Le scoperte più ingegnose della scienza possono cambiare radicalmente vita umana. Il vaccino inventato può salvare milioni di persone, la creazione di armi, al contrario, toglie queste vite. Più recentemente (sulla scala dell'evoluzione umana) abbiamo imparato a "domare" l'elettricità - e ora non possiamo immaginare la vita senza tutti questi convenienti dispositivi che utilizzano l'elettricità. Ma ci sono anche scoperte a cui poche persone attribuiscono importanza, sebbene influenzino notevolmente anche le nostre vite.
Una di queste scoperte “impercettibili” sono i frattali. Probabilmente hai sentito questa parola orecchiabile, ma sai cosa significa e quante cose interessanti si nascondono in questo termine?
Ogni persona ha una naturale curiosità, il desiderio di conoscere il mondo che lo circonda. E in questa aspirazione, una persona cerca di aderire alla logica nei giudizi. Analizzando i processi che si svolgono intorno a lui, cerca di trovare la logica di ciò che sta accadendo e di dedurre una certa regolarità. Le più grandi menti del pianeta sono impegnate in questo compito. In parole povere, gli scienziati stanno cercando uno schema dove non dovrebbe essere. Tuttavia, anche nel caos è possibile trovare una connessione tra gli eventi. E questa connessione è un frattale.
La nostra piccola figlia, di quattro anni e mezzo, ha ora quella meravigliosa età in cui il numero delle domande “Perché?” molte volte superiore al numero di risposte che gli adulti hanno il tempo di dare. Non molto tempo fa, guardando un ramo sollevato da terra, mia figlia improvvisamente notò che questo ramo, con nodi e rami, somigliava esso stesso ad un albero. E, naturalmente, seguiva la solita domanda “Perché?”, per la quale i genitori dovevano cercare una spiegazione semplice e comprensibile per il bambino.
La somiglianza di un singolo ramo con un intero albero scoperta da un bambino è un'osservazione molto accurata, che testimonia ancora una volta il principio dell'autosimilarità ricorsiva in natura. Moltissime forme organiche e inorganiche in natura si formano in modo simile. Nuvole, conchiglie, la "casa" di una lumaca, la corteccia e la chioma degli alberi, sistema circolatorio e così via: le forme casuali di tutti questi oggetti possono essere descritte dall'algoritmo frattale.
⇡ Benoit Mandelbrot: il padre della geometria frattale
La stessa parola "frattale" è apparsa grazie al brillante scienziato Benoît B. Mandelbrot.
Ha coniato lui stesso il termine negli anni '70, prendendo in prestito la parola fractus dal latino, dove significa letteralmente "rotto" o "schiacciato". Che cos'è? Oggi la parola "frattale" viene spesso utilizzata per indicare una rappresentazione grafica di una struttura simile a se stessa su scala più ampia.
Le basi matematiche per l'emergere della teoria dei frattali furono poste molti anni prima della nascita di Benoit Mandelbrot, ma essa poté svilupparsi solo con l'avvento dei dispositivi informatici. All'inizio del suo attività scientifica Benoit ha lavorato per centro di ricerca Azienda IBM. A quel tempo i dipendenti del centro lavoravano sulla trasmissione dei dati a distanza. Nel corso della ricerca, gli scienziati hanno dovuto affrontare il problema delle grandi perdite derivanti dalle interferenze del rumore. Benoit ha dovuto affrontare un compito difficile e molto importante: capire come prevedere il verificarsi di interferenze di rumore nei circuiti elettronici quando il metodo statistico è inefficace.
Osservando i risultati delle misurazioni del rumore, Mandelbrot attirò l'attenzione su uno strano schema: i grafici del rumore su scale diverse sembravano uguali. È stato osservato uno schema identico indipendentemente dal fatto che si trattasse di un diagramma del rumore per un giorno, una settimana o un'ora. Valeva la pena cambiare la scala del grafico e l'immagine si ripeteva ogni volta.
A La vita di Benoit Mandelbrot ha più volte affermato di non occuparsi di formule, ma semplicemente di giocare con le immagini. Quest'uomo pensava in modo molto figurato e traduceva qualsiasi problema algebrico nel campo della geometria, dove, secondo lui, la risposta corretta è sempre ovvia.
Non sorprende che sia stato un uomo con una così ricca immaginazione spaziale a diventare il padre della geometria frattale. Dopotutto, la realizzazione dell'essenza dei frattali arriva proprio quando inizi a studiare i disegni e a pensare al significato di strani schemi di turbinio.
Uno schema frattale non ha elementi identici, ma ha somiglianze su qualsiasi scala. Costruire manualmente un'immagine del genere con un alto grado di dettaglio era semplicemente impossibile, era necessario grande quantità informatica. Ad esempio, il matematico francese Pierre Joseph Louis Fatou descrisse questo insieme più di settant'anni prima della scoperta di Benoit Mandelbrot. Se parliamo dei principi di autosomiglianza, sono stati menzionati nelle opere di Leibniz e Georg Cantor.
Uno dei primi disegni di un frattale fu un'interpretazione grafica dell'insieme di Mandelbrot, nata dalla ricerca di Gaston Maurice Julia.
Gaston Julia (sempre mascherato - infortunio della prima guerra mondiale)
Questo matematico francese si chiedeva come sarebbe un insieme se fosse costruito da una semplice formula ripetuta da un ciclo di feedback. Se spiegato “sulle dita”, significa che per un determinato numero troviamo un nuovo valore utilizzando la formula, dopodiché lo sostituiamo nuovamente nella formula e otteniamo un altro valore. Il risultato è una grande sequenza di numeri.
Per avere un quadro completo di un set del genere, è necessario eseguire un'enorme quantità di calcoli: centinaia, migliaia, milioni. Era semplicemente impossibile farlo manualmente. Ma quando potenti dispositivi informatici apparvero a disposizione dei matematici, furono in grado di dare uno sguardo nuovo a formule ed espressioni che da tempo interessavano. Mandelbrot fu il primo a utilizzare un computer per calcolare il frattale classico. Dopo aver elaborato una sequenza composta da un gran numero di valori, Benoit ha trasferito i risultati in un grafico. Ecco cosa ha ottenuto.
Successivamente, questa immagine è stata colorata (ad esempio, uno dei modi per colorare è il numero di iterazioni) ed è diventata una delle immagini più popolari mai create dall'uomo.
Come recita l'antico detto attribuito ad Eraclito di Efeso: “Non si può entrare due volte nello stesso fiume”. È il più adatto per interpretare la geometria dei frattali. Non importa quanto dettagliatamente esaminiamo un'immagine frattale, vedremo sempre uno schema simile.
Coloro che desiderano vedere come apparirebbe un'immagine dello spazio di Mandelbrot se ingrandita più volte possono farlo caricando una GIF animata.
⇡ Lauren Carpenter: arte creata dalla natura
La teoria dei frattali trovò presto applicazione pratica. Poiché è strettamente correlato alla visualizzazione di immagini auto-simili, non sorprende che i primi ad adottare algoritmi e principi per costruire forme insolite siano stati gli artisti.
Il futuro co-fondatore del leggendario studio Pixar, Loren C. Carpenter, iniziò a lavorare nel 1967 presso Boeing Computer Services, una delle divisioni della nota società impegnata nello sviluppo di nuovi velivoli.
Nel 1977 realizza presentazioni con prototipi di modelli volanti. Lauren era responsabile dello sviluppo delle immagini dell'aereo in fase di progettazione. Doveva creare immagini di nuovi modelli, mostrando i futuri aerei da diverse angolazioni. Ad un certo punto, il futuro fondatore dei Pixar Animation Studios ha avuto l'idea creativa di utilizzare l'immagine delle montagne come sfondo. Oggi qualsiasi scolaretto può risolvere un problema del genere, ma alla fine degli anni settanta del secolo scorso i computer non erano in grado di far fronte a calcoli così complessi: non esistevano editor grafici, per non parlare delle applicazioni per la grafica tridimensionale. Nel 1978, Lauren vide accidentalmente il libro di Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Randomness and Dimension in un negozio. In questo libro, la sua attenzione è stata attirata dal fatto che Benoit ha fornito molti esempi di forme frattali nella vita reale e ha dimostrato che possono essere descritte da un'espressione matematica.
Questa analogia è stata scelta dal matematico non a caso. Il fatto è che non appena ha pubblicato la sua ricerca, ha dovuto affrontare tutta una raffica di critiche. La cosa principale che i suoi colleghi gli rimproveravano era l'inutilità della teoria sviluppata. “Sì”, hanno detto, “sono belle foto, ma niente di più. La teoria dei frattali non ha alcun valore pratico”. C'erano anche quelli che generalmente credevano che i modelli frattali fossero semplicemente un sottoprodotto del lavoro delle "macchine del diavolo", che alla fine degli anni settanta sembravano a molti qualcosa di troppo complicato e inesplorato per potersi fidare completamente. Mandelbrot cercò di trovare un'ovvia applicazione della teoria dei frattali, ma, secondo nell'insieme non aveva bisogno di farlo. I seguaci di Benoit Mandelbrot nei successivi 25 anni si rivelarono di grande utilità per tale "curiosità matematica", e Lauren Carpenter fu una delle prime a mettere in pratica il metodo frattale.
Dopo aver studiato il libro, il futuro animatore studiò seriamente i principi della geometria frattale e iniziò a cercare un modo per implementarlo in grafica computerizzata. In soli tre giorni di lavoro, Lauren è riuscita a visualizzare immagine realistica sistema montuoso sul tuo computer. In altre parole, con l'aiuto delle formule, ha disegnato un'immagine completamente riconoscibile Paesaggio montano.
Il principio utilizzato da Lauren per raggiungere il suo obiettivo era molto semplice. Doveva condividerne uno più grande figura geometrica in piccoli elementi e questi, a loro volta, sono divisi in figure simili di dimensioni più piccole.
Usando triangoli più grandi, Carpenter li ha spezzati in quattro più piccoli e poi ha ripetuto questa procedura più e più volte finché non ha ottenuto un paesaggio montano realistico. Così, è riuscito a diventare il primo artista a utilizzare un algoritmo frattale nella computer grafica per costruire immagini. Non appena si è saputo del lavoro svolto, gli appassionati di tutto il mondo hanno raccolto questa idea e hanno iniziato a utilizzare l'algoritmo frattale per simulare forme naturali realistiche.
Uno dei primi rendering 3D che utilizzano l'algoritmo frattale
In pochi anni, Lauren Carpenter è stata in grado di applicare i suoi risultati a molto di più progetto su larga scala. L'animatore li ha basati su una demo di due minuti, Vol Libre, trasmessa su Siggraph nel 1980. Questo video ha scioccato tutti coloro che lo hanno visto e Lauren ha ricevuto un invito da Lucasfilm.
L'animazione è stata renderizzata su un computer VAX-11/780 della Digital Equipment Corporation a una velocità di clock di cinque megahertz e ogni fotogramma ha impiegato circa mezz'ora per essere disegnato.
Lavorando per Lucasfilm Limited, l'animatore ha creato gli stessi paesaggi 3D per il secondo lungometraggio della saga. star Trek. In L'ira di Khan, Carpenter è riuscito a creare un intero pianeta utilizzando lo stesso principio della modellazione frattale della superficie.
Attualmente, tutte le applicazioni più diffuse per la creazione di paesaggi 3D utilizzano lo stesso principio di generazione di oggetti naturali. Terragen, Bryce, Vue e altri editor 3D si affidano a un algoritmo di modellazione di superfici e texture frattali.
⇡ Antenne frattali: meno è meglio, ma meglio
Nell’ultimo mezzo secolo la vita è cambiata rapidamente. La maggior parte di noi dà per scontati i progressi della tecnologia moderna. Tutto ciò che rende la vita più comoda ci si abitua molto velocemente. Raramente qualcuno pone la domanda "Da dove viene?" E come funziona?". Un forno a microonde riscalda la colazione - beh, fantastico, uno smartphone ti permette di parlare con un'altra persona - fantastico. Questa ci sembra una possibilità ovvia.
Ma la vita potrebbe essere completamente diversa se una persona non cercasse una spiegazione per gli eventi che si stanno verificando. Prendiamo, ad esempio, Telefono cellulare. Ricordate le antenne retrattili dei primi modelli? Hanno interferito, hanno aumentato le dimensioni del dispositivo e alla fine si sono spesso rotti. Crediamo che siano sprofondati nell'oblio per sempre, e in parte a causa di questo... frattali.
I disegni frattali affascinano con i loro modelli. Assomigliano decisamente alle immagini di oggetti spaziali: nebulose, ammassi di galassie e così via. Pertanto, è del tutto naturale che quando Mandelbrot espresse la sua teoria dei frattali, la sua ricerca suscitò un crescente interesse tra coloro che studiavano astronomia. Uno di questi dilettanti di nome Nathan Cohen, dopo aver assistito a una conferenza di Benoit Mandelbrot a Budapest, fu ispirato dall'idea di applicare praticamente le conoscenze acquisite. È vero, lo ha fatto in modo intuitivo e non ultimo ruolo il caso ha giocato nella sua scoperta. Come radioamatore, Nathan ha cercato di creare un'antenna con la massima sensibilità possibile.
L'unico modo per migliorare i parametri dell'antenna, noto a quel tempo, era aumentarne le dimensioni geometriche. Tuttavia, il proprietario dell'appartamento di Nathan nel centro di Boston era fermamente contrario all'installazione di grandi dispositivi sul tetto. Quindi Nathan iniziò a sperimentare varie forme antenne, cercando di ottenere il massimo risultato con la minima dimensione. Avendo preso fuoco dall'idea delle forme frattali, Cohen, come si suol dire, ha creato casualmente uno dei frattali più famosi con il filo: il "fiocco di neve di Koch". Il matematico svedese Helge von Koch inventò questa curva nel 1904. Si ottiene dividendo il segmento in tre parti e sostituendo il segmento centrale con un triangolo equilatero senza lato coincidente con tale segmento. La definizione è un po’ difficile da capire, ma la figura è chiara e semplice.
Esistono anche altre varietà della "curva di Koch", ma la forma approssimativa della curva rimane simile
Quando Nathan collegò l'antenna al ricevitore radio, rimase molto sorpreso: la sensibilità aumentò notevolmente. Dopo una serie di esperimenti, il futuro professore dell'Università di Boston si rese conto che un'antenna realizzata secondo uno schema frattale ha un'elevata efficienza e copre una gamma di frequenze molto più ampia rispetto alle soluzioni classiche. Inoltre, la forma dell'antenna sotto forma di curva frattale può ridurre significativamente le dimensioni geometriche. Nathan Cohen ha addirittura sviluppato un teorema che dimostra che per creare un'antenna a banda larga è sufficiente darle la forma di una curva frattale autosimile.
L'autore ha brevettato la sua scoperta e ha fondato un'azienda per lo sviluppo e la progettazione di antenne frattali Fractal Antenna Systems, credendo giustamente che in futuro, grazie alla sua scoperta, i telefoni cellulari potranno liberarsi delle antenne ingombranti e diventare più compatti.
Fondamentalmente, questo è quello che è successo. È vero, fino ad oggi Nathan è coinvolto in una causa con grandi aziende che utilizzano illegalmente la sua scoperta per produrre dispositivi di comunicazione compatti. Alcuni noti produttori di dispositivi mobili, come Motorola, hanno già raggiunto un accordo di pace con l'inventore dell'antenna frattale.
⇡ Dimensioni frattali: la mente non comprende
Benoit ha preso in prestito questa domanda dal famoso scienziato americano Edward Kasner.
Quest'ultimo, come molti altri famosi matematici, amava molto comunicare con i bambini, porre loro domande e ottenere risposte inaspettate. A volte questo portava a risultati sorprendenti. Così, ad esempio, il nipote di nove anni di Edward Kasner ha inventato l'ormai famosa parola "googol", che denota un'unità con cento zeri. Ma torniamo ai frattali. Il matematico americano amava chiedersi quanto è lunga la costa americana. Dopo aver ascoltato l'opinione dell'interlocutore, lo stesso Edoardo ha dato la risposta corretta. Se misuri la lunghezza sulla mappa con segmenti spezzati, il risultato sarà impreciso, perché la costa presenta un gran numero di irregolarità. E cosa succede se misuri nel modo più accurato possibile? Dovrai tenere conto della lunghezza di ogni dislivello: dovrai misurare ogni promontorio, ogni baia, roccia, la lunghezza di una sporgenza rocciosa, una pietra su di essa, un granello di sabbia, un atomo e così via. Dato che il numero delle irregolarità tende all'infinito, la lunghezza misurata della linea costiera aumenterà all'infinito ad ogni nuova irregolarità.
Quanto più piccola è la misura durante la misurazione, maggiore è la lunghezza misurata
È interessante notare che, seguendo le indicazioni di Edward, i bambini erano molto più veloci degli adulti nel dire la risposta corretta, mentre questi ultimi avevano difficoltà ad accettare una risposta così incredibile.
Usando questo problema come esempio, Mandelbrot suggerì di utilizzare nuovo approccio alle misurazioni. Poiché la linea di costa è vicina ad una curva frattale, significa che ad essa può essere applicato un parametro caratterizzante, la cosiddetta dimensione frattale.
Qual è la dimensione abituale è chiara a chiunque. Se la dimensione è uguale a uno, otteniamo una linea retta, se due - una figura piatta, tre - volume. Tuttavia, una tale comprensione della dimensione in matematica non funziona con le curve frattali, dove questo parametro ha un valore frazionario. La dimensione frattale in matematica può essere condizionatamente considerata come "rugosità". Maggiore è la rugosità della curva, maggiore è la sua dimensione frattale. Una curva che, secondo Mandelbrot, ha una dimensione frattale superiore alla sua dimensione topologica, ha una lunghezza approssimativa che non dipende dal numero di dimensioni.
Attualmente, gli scienziati stanno trovando sempre più aree per l'applicazione della teoria dei frattali. Con l'aiuto dei frattali puoi analizzare le fluttuazioni dei prezzi delle azioni, esplorare tutti i tipi di processi naturali, come le fluttuazioni nel numero di specie, o simulare la dinamica dei flussi. Gli algoritmi frattali possono essere utilizzati per la compressione dei dati, ad esempio per la compressione delle immagini. E comunque, per ottenere un bellissimo frattale sullo schermo del tuo computer, non devi avere un dottorato.
⇡ Frattale nel browser
Forse uno dei più modi semplici ottieni uno schema frattale: usa il file online editore vettoriale da un giovane programmatore di talento Toby Schachman. Il toolkit di questo semplice editor grafico si basa sullo stesso principio di autosomiglianza.
Hai solo due forme semplici a tua disposizione: un quadrato e un cerchio. Puoi aggiungerli alla tela, ridimensionarli (per ridimensionarli lungo uno degli assi, tieni premuto il tasto Maiusc) e ruotare. Sovrapponendosi al principio delle operazioni di addizione booleane, questi elementi più semplici formano forme nuove e meno banali. Inoltre, queste nuove forme possono essere aggiunte al progetto e il programma ripeterà la generazione di queste immagini all'infinito. In qualsiasi fase del lavoro su un frattale, puoi tornare a qualsiasi componente di una forma complessa e modificarne la posizione e la geometria. È molto divertente, soprattutto se consideri che l'unico strumento di cui hai bisogno per essere creativo è un browser. Se non capisci il principio di lavoro con questo editor vettoriale ricorsivo, ti consigliamo di guardare il video sul sito ufficiale del progetto, che mostra in dettaglio l'intero processo di creazione di un frattale.
⇡ XaoS: frattali per tutti i gusti
Molti editor grafici dispongono di strumenti integrati per creare modelli frattali. Tuttavia, questi strumenti sono generalmente secondari e non consentono di mettere a punto il modello frattale generato. Nei casi in cui è necessario costruire un frattale matematicamente accurato, on l'aiuto arriverà editor XaoS multipiattaforma. Questo programma consente non solo di costruire un'immagine auto-simile, ma anche di eseguire varie manipolazioni con essa. Ad esempio, in tempo reale, puoi “camminare” attraverso un frattale modificandone la scala. Il movimento animato lungo un frattale può essere salvato come file XAF e quindi riprodotto nel programma stesso.
XaoS può caricare un set casuale di parametri, nonché utilizzare vari filtri di post-elaborazione delle immagini: aggiungere un effetto di movimento sfocato, attenuare le transizioni nette tra i punti frattali, simulare un'immagine 3D e così via.
⇡ Fractal Zoomer: generatore frattale compatto
Rispetto ad altri generatori di immagini frattali, presenta numerosi vantaggi. Innanzitutto, è di dimensioni piuttosto ridotte e non richiede installazione. In secondo luogo, ha la capacità di definire palette dei colori disegno. Puoi scegliere le tonalità nei modelli di colore RGB, CMYK, HVS e HSL.
È anche molto comodo utilizzare l'opzione selezione casuale sfumature di colore e la funzione di invertire tutti i colori nell'immagine. Per regolare il colore, esiste una funzione di selezione ciclica delle sfumature: quando la modalità corrispondente è attivata, il programma anima l'immagine, cambiando ciclicamente i colori su di essa.
Fractal Zoomer può visualizzare 85 diverse funzioni frattali e le formule sono chiaramente mostrate nel menu del programma. Nel programma sono presenti filtri per la post-elaborazione delle immagini, anche se in piccola quantità. Ogni filtro assegnato può essere annullato in qualsiasi momento.
⇡ Mandelbulb3D: editor di frattali 3D
Quando viene utilizzato il termine "frattale", molto spesso significa un'immagine piatta bidimensionale. Tuttavia, la geometria frattale va oltre la dimensione 2D. In natura, si possono trovare sia esempi di forme frattali piatte, ad esempio la geometria del fulmine, sia tridimensionali figure tridimensionali. Le superfici frattali possono essere tridimensionali e una delle stesse illustrazioni visive Frattali 3d dentro Vita di ogni giorno- testa di cavolo. Forse il modo migliore per vedere i frattali è in Romanesco, un ibrido di cavolfiore e broccoli.
E questo frattale può essere mangiato
Il programma Mandelbulb3D può creare oggetti tridimensionali con una forma simile. Per ottenere una superficie 3D utilizzando l'algoritmo frattale, gli autori di questa applicazione, Daniel White e Paul Nylander, hanno convertito l'insieme di Mandelbrot in coordinate sferiche. Il programma Mandelbulb3D da loro creato è un vero e proprio editor tridimensionale che modella superfici frattali di varie forme. Poiché spesso osserviamo modelli frattali in natura, un oggetto tridimensionale frattale creato artificialmente sembra incredibilmente realistico e persino “vivo”.
Potrebbe sembrare una pianta, potrebbe somigliare a uno strano animale, a un pianeta o qualcos'altro. Questo effetto è potenziato da un algoritmo di rendering avanzato che permette di ottenere riflessi realistici, calcolare trasparenze e ombre, simulare l'effetto della profondità di campo e così via. Mandelbulb3D ha un'enorme quantità di impostazioni e opzioni di rendering. Puoi controllare le sfumature delle sorgenti luminose, scegliere lo sfondo e il livello di dettaglio dell'oggetto modellato.
L'editor frattale Incendia supporta il livellamento della doppia immagine, contiene una libreria di cinquanta diversi frattali tridimensionali e dispone di un modulo separato per la modifica delle forme di base.
L'applicazione utilizza lo scripting frattale, con il quale puoi descrivere in modo indipendente nuovi tipi di strutture frattali. Incendia dispone di editor di texture e materiali e di un motore di rendering che consente di utilizzare effetti di nebbia volumetrica e vari shader. Il programma ha un'opzione per salvare il buffer durante il rendering a lungo termine, è supportata la creazione di animazioni.
Incendia ti consente di esportare un modello frattale nei formati grafici 3D più diffusi: OBJ e STL. Incendia include una piccola utility Geometrica, uno strumento speciale per impostare l'esportazione di una superficie frattale in un modello tridimensionale. Usando questa utility, puoi determinare la risoluzione di una superficie 3D, specificare il numero di iterazioni frattali. I modelli esportati possono essere utilizzati in progetti 3D quando si lavora con editor 3D come Blender, 3ds max e altri.
Recentemente, i lavori sul progetto Incendia hanno subito un certo rallentamento. SU questo momento l'autore è alla ricerca di sponsor che lo aiutino a sviluppare il programma.
Se non hai abbastanza immaginazione per disegnare un bellissimo frattale tridimensionale in questo programma, non importa. Utilizzare la libreria dei parametri situata nella cartella INCENDIA_EX\parameters. Con l'aiuto dei file PAR, puoi trovare rapidamente le forme frattali più insolite, comprese quelle animate.
⇡ Aural: come cantano i frattali
Di solito non parliamo di progetti su cui si sta semplicemente lavorando, ma di progetti in corso questo caso dobbiamo fare un'eccezione, questa è un'applicazione molto insolita. Un progetto chiamato Aural è stato ideato dalla stessa persona di Incendia. È vero, questa volta il programma non visualizza l'insieme frattale, ma lo dà voce, trasformandolo in musica elettronica. L'idea è molto interessante, soprattutto considerando le proprietà insolite dei frattali. Aural è un editor audio che genera melodie utilizzando algoritmi frattali, ovvero, in effetti, è un sintetizzatore-sequenziatore audio.
La sequenza di suoni emessi da questo programma è insolita e... bellissima. Potrebbe tornare utile per scrivere ritmi moderni e, a nostro avviso, è particolarmente adatto per creare colonne sonore per screensaver televisivi e radiofonici, nonché per "loop" di musica di sottofondo per giochi per computer. Ramiro non ha ancora fornito una demo del suo programma, ma promette che quando lo farà, per lavorare con Aural, non avrà bisogno di imparare la teoria dei frattali - basterà giocare con i parametri dell'algoritmo per generare una sequenza di Appunti. Ascolta come suonano i frattali e.
Frattali: pausa musicale
In effetti, i frattali possono aiutare a scrivere musica anche senza software. Ma questo può essere fatto solo da qualcuno che sia veramente intriso di questa idea. armonia naturale e allo stesso tempo non si è trasformato in uno sfortunato "nerd". Ha senso prendere spunto da un musicista di nome Jonathan Coulton, che, tra le altre cose, scrive composizioni per la rivista Popular Science. E a differenza di altri artisti, Colton pubblica tutte le sue opere sotto una licenza Creative Commons Attribution-Noncommercial, che (se utilizzata per scopi non commerciali) prevede la copia gratuita, la distribuzione, il trasferimento dell'opera ad altri, nonché la sua modifica (creazione di opere derivate) per adattarlo alle vostre esigenze.
Jonathan Colton, ovviamente, ha una canzone sui frattali.
⇡ Conclusione
In tutto ciò che ci circonda, spesso vediamo il caos, ma in realtà questo non è un incidente, ma una forma ideale, che i frattali ci aiutano a discernere. La natura è il miglior architetto, il costruttore e l’ingegnere ideale. È organizzato in modo molto logico e se da qualche parte non vediamo schemi, significa che dobbiamo cercarlo su una scala diversa. Le persone lo capiscono sempre meglio, cercando di imitare le forme naturali in molti modi. Gli ingegneri progettano sistemi di altoparlanti sotto forma di guscio, creano antenne con la geometria del fiocco di neve e così via. Siamo sicuri che i frattali custodiscano ancora moltissimi segreti, e molti di essi devono ancora essere scoperti dall'uomo.
Master class "Pezzi colorati" (disegno frattale).
La master class è progettata per funzionare con bambini di qualsiasi fascia di età. Può essere utilizzato con insegnanti o genitori.
Scopo: creazione nella tecnica del "disegno frattale" opera d'arte.
Compiti:
- conoscenza di nuova tecnologia disegno;
- sviluppo dell'espressione di sé e della conoscenza di sé attraverso la creatività;
- rilassamento e rimozione dello stress emotivo;
- realizzazione di artigianato collettivo o individuale;
- l'uso di tecniche di arteterapia per correggere il comportamento dei bambini con portatori di handicap salute;
- sviluppo delle capacità motorie fini.
Disegno frattale.
Autori del metodo - psicologi T. 3. Poluyakhtova e A. E. Komov. Il loro metodo di disegno frattale ha più di 20 anni. Durante questo periodo, migliaia di persone hanno conosciuto il metodo.Secondo il libro dell'autore:
"La giornata del 14 luglio 1991 è stata particolarmente significativa. A questo punto, la tecnologia del disegno frattale come prova era già stata stabilita.
Per la sua attuazione, a tutti gli studenti è stato chiesto di prendere gli stessi fogli di carta Whatman (formato A4).
Per escludere l'influenza della coscienza sul disegno, al momento dell'esecuzione, a tutti i soggetti del test è stato chiesto di chiudere gli occhi. E, senza staccare le mani dal foglio, per 45-60 secondi, passa una penna a sfera sul foglio, cercando di riempirne la maggior parte.
Alla lezione hanno partecipato quarantanove persone: adulti e bambini. Il partecipante più anziano al seminario aveva 56 anni, il più giovane - 6 anni.
Il processo di disegno ad occhi chiusi è stato come un sacramento straordinario. È stato interessante vedere come succede tutto.
Finalmente i 60 secondi concessi erano scaduti. Tutti aprirono gli occhi, guardarono i loro disegni e nella sala risuonò una risata amichevole. Da allora, questa reazione dei soggetti del test si è ripetuta per dieci anni.
Ciò che era raffigurato su ogni foglio provocava davvero risate. Tutti i disegni erano diversi: alcuni avevano celle rettangolari, altri erano triangolari, alcuni avevano linee morbide e alcuni avevano anelli e cerchi angolari, a volte solidi.
Successivamente è stato chiesto agli studenti di colorare il disegno risultante. Per escludere un'influenza consapevole sulla scelta del colore, abbiamo concordato: prendi matite e pennarelli solo con gli occhi chiusi.
Una volta completati tutti i disegni, i partecipanti al workshop hanno visto un’intera galleria di stati umani”.
La base del metodo è il principio dei frattali e della frattalità in quanto tale. Il disegno qui è considerato la continuazione di una persona, la sua piccola parte, una proiezione. E questa piccola parte riflette il grande tutto: la persona. Guardando l'immagine, puoi diagnosticare lo stato del suo autore.
Per lavorare hai bisogno di:
- un set di matite colorate,
- pennarelli e penne in quante più sfumature di colore possibili;
- Foglio di carta A4;
- penna a sfera nero o blu scuro.
Parabola "Matita"
Prima di riporre la matita nella scatola, il creatore la metteva da parte.“Ci sono cinque cose che devi sapere”, disse alla matita, “prima che ti mandi nel mondo. Ricordateli sempre e non dimenticateli mai, e allora diventerai la matita migliore che puoi essere.
Innanzitutto, puoi fare tante grandi cose, ma solo se lasci che Qualcuno ti tenga in mano.
In secondo luogo, di tanto in tanto sperimenterai una macinazione dolorosa, ma sarà necessario diventare una matita migliore.
Terzo, sarai in grado di correggere gli errori che commetti.
Quarto: il tuo massimo una parte importante sarà sempre dentro di te.
E quinto, non importa su quale superficie sei abituato, devi sempre lasciare il segno. Indipendentemente dalla tua condizione, devi continuare a scrivere.
Pencil lo capì e promise di ricordarlo. È stato messo in una scatola con una chiamata nel cuore.
Procedura passo dopo passo:
1. Raccogliamo i materiali necessari per il lavoro.
2. Posizioniamo il foglio davanti a noi in orizzontale. Posizioniamo la sfera della penna in un punto qualsiasi del foglio. Chiudendo gli occhi, traccia una linea continua, cercando di riempire il più possibile. vasta area foglio, entro 45 - 60 secondi.
3. Chiudendo gli occhi, scegli una matita. Quando dipingi, ricorda che le celle adiacenti separate da una linea non possono essere riempite con lo stesso colore. Se le celle si toccano in un punto e si trovano in diagonale, è possibile. Un colore può essere utilizzato per dipingere una cella o più celle.
4. Chiudendo gli occhi, scegli la matita successiva. Colora le celle non contigue.
5. Chiudendo gli occhi, scegli la matita successiva. Colora le celle non contigue.
6. Il nostro dipinto "Pezzi colorati" è pronto.
7. Questo disegno non solo aiuterà ad alleviare lo stress emotivo durante la creatività, ma decorerà anche l'interno. Il tuo dipinto è unico!
Ecco alcuni lavori realizzati dai bambini del mio gruppo.
Master class per scolari "Pezzi multicolori" (disegno frattale).
Autore: Anna Sergeevna Ogonkova, educatrice dell'istituto educativo generale di bilancio municipale “Convitto per bambini con disabilità n. Elektrostal della regione di Mosca, Elektrostal.
La master class è progettata per funzionare con bambini di qualsiasi fascia di età. Può essere utilizzato con insegnanti o genitori. Dopo aver completato il disegno con questa tecnica, puoi decorare perfettamente l'interno della casa o regalare l'immagine agli amici. Lavorando a questa master class, proverai molto piacere e sperimenterai un'impennata creativa!
Scopo: creazione di un'opera d'arte nella tecnica del "Disegno Frattale".
Compiti:
familiarità con una nuova tecnica di disegno;
sviluppo dell'espressione di sé e della conoscenza di sé attraverso la creatività;
rilassamento e rimozione dello stress emotivo;
creazione di artigianato collettivo o individuale;
l'utilizzo di tecniche di arteterapia per correggere il comportamento dei bambini con disabilità;
sviluppo delle capacità motorie fini.
Disegno frattale.
Gli autori del metodo sono T. 3. Poluyakhtova e A. E. Komov. Il loro metodo di disegno frattale ha più di 20 anni. Durante questo periodo, migliaia di persone hanno conosciuto il metodo.
Secondo il libro dell'autore:
"La giornata del 14 luglio 1991 è stata particolarmente significativa. A questo punto, la tecnologia del disegno frattale come prova era già stata stabilita.
Per la sua attuazione, a tutti gli studenti è stato chiesto di prendere gli stessi fogli di carta Whatman (formato A4).
Per escludere l'influenza della coscienza sul disegno, al momento dell'esecuzione, a tutti i soggetti del test è stato chiesto di chiudere gli occhi. E, senza staccare le mani dal foglio, per 45-60 secondi, passa una penna a sfera sul foglio, cercando di riempirne la maggior parte.
Alla lezione hanno partecipato quarantanove persone: adulti e bambini. Il partecipante più anziano al seminario aveva 56 anni, il più giovane - 6 anni.
Il processo di disegno ad occhi chiusi è stato come un sacramento straordinario. È stato interessante vedere come succede tutto.
Finalmente i 60 secondi concessi erano scaduti. Tutti aprirono gli occhi, guardarono i loro disegni e nella sala risuonò una risata amichevole. Da allora, questa reazione dei soggetti del test si è ripetuta per dieci anni.
Ciò che era raffigurato su ogni foglio provocava davvero risate. Tutti i disegni erano diversi: alcuni avevano celle rettangolari, altri erano triangolari, alcuni avevano linee morbide e alcuni avevano anelli e cerchi angolari, a volte solidi.
Successivamente è stato chiesto agli studenti di colorare il disegno risultante. Per escludere un'influenza consapevole sulla scelta del colore, abbiamo concordato: prendi matite e pennarelli solo con gli occhi chiusi.
Una volta completati tutti i disegni, i partecipanti al workshop hanno visto un’intera galleria di stati umani”.
La base del metodo è il principio dei frattali e della frattalità in quanto tale. Il disegno qui è considerato la continuazione di una persona, la sua piccola parte, una proiezione. E questa piccola parte riflette il grande tutto: la persona. Guardando l'immagine, puoi diagnosticare lo stato del suo autore.
Per lavorare hai bisogno di:
un set di matite colorate, pennarelli e penne in quante più sfumature di colore possibili; Foglio di carta A4; penna a sfera nera o blu navy.
Parabola "Matita"
Prima di riporre la matita nella scatola, il creatore la metteva da parte.
“Ci sono cinque cose che devi sapere”, disse alla matita, “prima che ti mandi nel mondo. Ricordateli sempre e non dimenticateli mai, e allora diventerai la matita migliore che puoi essere.
Innanzitutto, puoi fare tante grandi cose, ma solo se lasci che Qualcuno ti tenga in mano.
In secondo luogo, di tanto in tanto sperimenterai una macinazione dolorosa, ma sarà necessario diventare una matita migliore.
Terzo, sarai in grado di correggere gli errori che commetti.
Quarto, la tua parte più importante sarà sempre dentro di te.
E quinto, non importa su quale superficie sei abituato, devi sempre lasciare il segno. Indipendentemente dalla tua condizione, devi continuare a scrivere.
Pencil lo capì e promise di ricordarlo. È stato messo in una scatola con una chiamata nel cuore.
Procedura passo dopo passo:
1. Raccogliamo i materiali necessari per il lavoro.
2. Posizioniamo il foglio davanti a noi in orizzontale. Posizioniamo la sfera della penna in un punto qualsiasi del foglio. Chiudendo gli occhi, traccia una linea continua, cercando di riempire quanto più possibile il foglio, entro 45 - 60 secondi.
3. Chiudendo gli occhi, scegli una matita. Quando dipingi, ricorda che le celle adiacenti separate da una linea non possono essere riempite con lo stesso colore. Se le celle si toccano in un punto e si trovano in diagonale, è possibile. Un colore può essere utilizzato per dipingere una cella o più celle.
4. Chiudendo gli occhi, scegli la matita successiva. Colora le celle non contigue.
5. Chiudendo gli occhi, scegli la matita successiva. Colora le celle non contigue.
6. Il nostro dipinto "Pezzi colorati" è pronto.
7. Questo disegno non solo aiuterà ad alleviare lo stress emotivo durante la creatività, ti consentirà di diagnosticare lo stato emotivo (Appendice 1), ma decorerà anche l'interno. Il tuo dipinto è unico!
ALLEGATO 1.
INTERPRETAZIONE DEL MODELLO FRATTALE
1. L'ANALISI E LA DECRITTAZIONE DELLE INFORMAZIONI CONTENUTE IN UN'IMMAGINE FRATTALE INIZIA CON LE LINEE.
Una linea chiaramente tracciata è un carattere fiducioso e fermo, determinazione e indipendenza, accuratezza, diligenza, impegno.
La pressione quando si traccia una linea non è la stessa ovunque: molto spesso si tratta di una persona creativa con un carattere flessibile, un sognatore, emozioni non sempre stabili, a volte si manifesta insicurezza.
Linee debolmente tracciate: una condizione dolorosa, complessi, notevole insicurezza.
Linee nette e angolari: stress emotivo, condizione stressante.
Linee con transizioni fluide: uno stato armonioso e stabile.
La disposizione delle linee in un cerchio concentrico, una ripetizione circolare nel disegno - una tendenza a stati ossessivi, nevrosi.
2. CONFIGURAZIONE DIMENSIONI E IMMAGINE
Un piccolo disegno (non più di 1/3 dell'area del foglio) - da un lato complessi e bassa autostima, dall'altro una tendenza all'egocentrismo.
La dimensione media (circa 2/3 dell'area fogliare) e il perimetro ovale del disegno sono spesso indicatori di un carattere equilibrato.
Disegno di grandi dimensioni (molto più di 2/3 dell'area del foglio) con linee che si estendono oltre il foglio - instabile condizione emotiva, in alcuni casi incapacità di concentrazione. La forma rettangolare del perimetro del disegno è un carattere rettilineo, spesso complesso.
Configurazione del modello con "code" espresse in modo intricato lungo il suo perimetro - personalità brillante, eccentricità, in alcuni casi, instabilità di carattere.
3. CELLE. CONFIGURAZIONE E DIMENSIONI.
La combinazione armoniosa delle dimensioni delle cellule su tutta l'area dell'immagine (1/3 grande, 1/3 media, 1/3 piccola) parla di fiducia in se stessi, determinazione e stabilità.
Un gran numero di grandi cellule: una natura gentile e aperta.
Un gran numero di cellule centrali: diligenza, accuratezza, pedanteria, presenza di capacità analitiche, un debole per le scienze esatte.
Un gran numero di piccole cellule: complesse, ricerca dei dettagli, in alcuni casi insicurezza, ma sempre accuratezza e diligenza.
Celle lisce e arrotondate con un piccolo numero di forme geometriche: un carattere calmo e prudente, un debole per la creatività.
Un gran numero di forme geometriche: una spiccata propensione all'analisi, scetticismo nelle valutazioni, un carattere schietto e autoritario.
Cellule nettamente disegnate, angolari e irregolari: instabilità emotiva, irritazione, stress.
4. PUNTO
Piccole celle nere (punti punteggiati): la presenza della qualità del "plasmatore" degli eventi (ciò a cui pensa una persona, accade).
Ogni piccola macchia nera è la prova dell'inizio di un cambiamento negli eventi nel presente.
Un numero notevole di punti medi o una grande macchia nera: fame di energia (lavoro indesiderato, lavoro inattivo).
Grande macchia scura locale - problema urgente natura personale.
5. ACCENTI DI COLORE CARATTERISTICI
Grandi globuli rossi: predisposizione agli stati ossessivi, ansia.
Una notevole quantità di macchie rosse di media grandezza: tensione, emozioni instabili.
Una o più grandi cellule marroni: problemi di relazioni interpersonali che non sono stati risolti da molto tempo.
Un gran numero di sfumature di verde rappresentano la naturale capacità del corpo di autoregolarsi.
Una o più grandi cellule viola: ansia, aggressività, stress acuto.
6. COLORE
Pulito senza macchie e macchie sfondo bianco disegno: alta concentrazione di attenzione, diligenza, puntualità.
Celle accidentalmente o intenzionalmente non ombreggiate Colore bianco- parlare di una significativa mancanza di domanda per le caratteristiche naturali.
- Giallo limone: il colore dell'insegnante, insegnante.
- Giallo pollo - il colore del "ritrasmettitore", il trasmettitore di informazioni, il commentatore.
- Colore verde di tutte le sfumature: il colore dell'energia sana, la capacità ottimale di resistenza e autoguarigione del corpo, la capacità di guarire.
Il blu è il colore dell’energia calma.
Il blu e il blu scuro sono il colore dell'energia fredda e indifferente.
Il lilla è il colore della forte energia.
Il viola è il colore dell’energia che sgorga.
Il lilla è il colore dell’energia potente e incontrollabile.
Il rosa è il colore dell’energia calda.
Scarlatto, cremisi: un colore che segnala la presenza di pericolo, il colore dell'ansia.
Una densa tonalità di rosso, bordeaux, ciliegia: il colore della forza, dell'energia aggressiva.
- L'arancione è il colore dell'energia vitale e sessuale.
- Tonalità chiare (dorato, beige, ocra, sabbia) marrone: il colore dell'energia pura, dell'energia sacra.
- Marrone: il colore che determina la presenza di problemi, sentimenti profondi, depressione (in combinazione con altri colori e sfumature scure).
- Marrone scuro - il colore che determina la presenza di problemi, sentimenti profondi, depressione (in combinazione con altri colori e sfumature scuri).
- Colore grigio - un colore che determina la presenza di energie instabili, in combinazione con altri colori scuri - uno stato limite. In piccole quantità, questo colore indica un rapido cambiamento negli eventi in corso.
- Colore nero: il colore della fossa energetica, del vuoto, del vuoto, della diseccitazione energetica.
Spesso le brillanti scoperte scientifiche possono cambiare radicalmente la nostra vita. Quindi, ad esempio, l’invenzione di un vaccino può salvare molte persone e la creazione di una nuova arma porta all’omicidio. Letteralmente ieri (sulla scala della storia) una persona ha "domato" l'elettricità, e oggi non può più immaginare la sua vita senza di essa. Tuttavia, ci sono anche scoperte che, come si suol dire, rimangono nell'ombra e nonostante abbiano anche una certa influenza sulle nostre vite. Una di queste scoperte è stata il frattale. La maggior parte delle persone non ha nemmeno sentito parlare di un simile concetto e non sarà in grado di spiegarne il significato. In questo articolo cercheremo di affrontare la questione di cosa sia un frattale, di considerare il significato di questo termine dal punto di vista della scienza e della natura.
Ordine nel caos
Per capire cos'è un frattale, si dovrebbe iniziare il debriefing dalla posizione della matematica, tuttavia, prima di approfondire, filosofiamo un po'. Ogni persona ha una curiosità naturale, grazie alla quale impara il mondo. Spesso, nel suo desiderio di conoscenza, cerca di operare con logica nei suoi giudizi. Quindi, analizzando i processi che avvengono intorno, cerca di calcolare le relazioni e ricavare determinati schemi. Le più grandi menti del pianeta sono impegnate a risolvere questi problemi. In parole povere, i nostri scienziati stanno cercando modelli dove non ci sono e non dovrebbero esserci. Tuttavia, anche nel caos esiste una connessione tra determinati eventi. Questa connessione è il frattale. Ad esempio, considera un ramo spezzato che giace sulla strada. Se lo osserviamo da vicino, vedremo che, con tutti i suoi rami e nodi, sembra esso stesso un albero. Questa somiglianza di una parte separata con un unico tutto testimonia il cosiddetto principio di autosimilarità ricorsiva. I frattali in natura si possono trovare continuamente, perché molte forme inorganiche e organiche si formano in modo simile. Queste sono nuvole, conchiglie di mare, gusci di lumache, corone di alberi e persino il sistema circolatorio. Questo elenco può essere continuato indefinitamente. Tutte queste forme casuali sono facilmente descritte dall'algoritmo frattale. Qui veniamo a considerare cosa è un frattale dal punto di vista delle scienze esatte.
Alcuni fatti secchi
La stessa parola "frattale" è tradotta dal latino come "parziale", "diviso", "frammentato" e per quanto riguarda il contenuto di questo termine, non esiste una formulazione in quanto tale. Di solito viene trattato come un insieme autosimilare, una parte del tutto, che si ripete nella sua struttura a livello micro. Questo termine è stato coniato negli anni '70. secolo Benois Mandelbrot, che è riconosciuto come il padre Oggi, il concetto di frattale significa una rappresentazione grafica di una certa struttura che, una volta ingrandita, sarà simile a se stessa. Tuttavia, le basi matematiche per la creazione di questa teoria furono poste anche prima della nascita dello stesso Mandelbrot, ma non poterono svilupparsi finché non apparvero i computer elettronici.
Riferimento storico o come tutto ebbe inizio
A cavallo tra il XIX e il XX secolo, lo studio della natura dei frattali era episodico. Ciò è dovuto al fatto che i matematici preferivano studiare oggetti che potevano essere investigati sulla base di teorie e metodi generali. Nel 1872 il matematico tedesco K. Weierstrass costruì un esempio di funzione continua che non è differenziabile da nessuna parte. Tuttavia, questa costruzione si è rivelata completamente astratta e difficile da comprendere. Poi venne lo svedese Helge von Koch, che nel 1904 costruì una curva continua che non ha tangente da nessuna parte. È abbastanza facile da disegnare e, come si è scoperto, è caratterizzato da proprietà frattali. Una delle varianti di questa curva prende il nome dal suo autore: "il fiocco di neve di Koch". Inoltre, l'idea dell'autosomiglianza delle figure è stata sviluppata dal futuro mentore di B. Mandelbrot, il francese Paul Levy. Nel 1938 pubblicò l'articolo "Curve piane e spaziali e superfici costituite da parti come un tutto". In esso ha descritto il nuovo tipo- Curva C del prelievo. Tutte le figure di cui sopra si riferiscono condizionatamente a una forma come i frattali geometrici.
Frattali dinamici o algebrici
A questa classe appartiene l’insieme di Mandelbrot. I matematici francesi Pierre Fatou e Gaston Julia furono i primi ricercatori in questa direzione. Nel 1918 Julia pubblicò un articolo basato sullo studio delle iterazioni di funzioni complesse razionali. Qui ha descritto una famiglia di frattali strettamente correlati all'insieme di Mandelbrot. Nonostante il fatto che questo lavoro abbia glorificato l'autore tra i matematici, fu rapidamente dimenticato. E solo mezzo secolo dopo, grazie ai computer, il lavoro di Julia ha ricevuto una seconda vita. I computer hanno permesso di rendere visibile a ogni persona la bellezza e la ricchezza del mondo dei frattali che i matematici potevano "vedere" visualizzandoli attraverso funzioni. Mandelbrot fu il primo a utilizzare un computer per eseguire calcoli (un volume del genere è impossibile da eseguire manualmente) che permisero di costruire un'immagine di queste cifre.
Uomo con immaginazione spaziale
Mandelbrot iniziò la sua carriera scientifica presso il Centro di ricerca IBM. Studiando le possibilità di trasmissione dei dati su lunghe distanze, gli scienziati si sono trovati di fronte al fatto di grandi perdite derivanti dall'interferenza del rumore. Benoit stava cercando modi per risolvere questo problema. Osservando i risultati delle misurazioni, ha attirato l'attenzione su uno strano schema, vale a dire: i grafici del rumore apparivano uguali su scale temporali diverse.
Un'immagine simile è stata osservata sia per un periodo di un giorno, sia per sette giorni o per un'ora. Lo stesso Benoit Mandelbrot ripeteva spesso di non lavorare con le formule, ma di giocare con le immagini. Questo scienziato lo era pensiero figurato, ha tradotto qualsiasi problema algebrico in un'area geometrica, dove la risposta corretta è ovvia. Quindi non sorprende che si distinse tra i ricchi e divenne il padre della geometria frattale. Dopotutto, la consapevolezza di questa figura può arrivare solo quando studi i disegni e pensi al significato di questi strani vortici che formano il disegno. I disegni frattali non hanno elementi identici, ma sono simili a qualsiasi scala.
Julia-Mandelbrot
Uno dei primi disegni di questa figura fu un'interpretazione grafica della scenografia, nata grazie al lavoro di Gaston Julia e finalizzata da Mandelbrot. Gaston stava cercando di immaginare come appare un set quando è costruito da una semplice formula ripetuta da un ciclo di feedback. Proviamo a spiegare quanto detto linguaggio umano per così dire, sulle dita. Per specifico valore numerico utilizzando la formula per trovare un nuovo valore. Lo sostituiamo nella formula e troviamo quanto segue. Il risultato è grande: per rappresentare un insieme del genere è necessario eseguire questa operazione un numero enorme di volte: centinaia, migliaia, milioni. Questo è ciò che ha fatto Benoit. Ha elaborato la sequenza e ha trasferito i risultati in forma grafica. Successivamente ha colorato la figura risultante (ogni colore corrisponde ad un certo numero di iterazioni). Questa immagine grafica è chiamata frattale di Mandelbrot.
L. Carpenter: l'arte creata dalla natura
La teoria dei frattali trovò rapidamente applicazione pratica. Poiché è strettamente correlato alla visualizzazione di immagini auto-simili, i primi ad adottare i principi e gli algoritmi per costruire queste forme insolite sono stati gli artisti. Il primo di questi è stato il futuro fondatore dello studio Pixar Lauren Carpenter. Mentre lavorava alla presentazione di prototipi di aerei, gli è venuta l'idea di utilizzare l'immagine delle montagne come sfondo. Oggi, quasi tutti gli utenti di computer possono far fronte a tale compito e negli anni settanta del secolo scorso i computer non erano in grado di eseguire tali processi, perché a quel tempo non esistevano editor grafici e applicazioni per la grafica tridimensionale. Loren si è imbattuto nei frattali di Mandelbrot: forma, casualità e dimensione. In esso, Benois ha fornito molti esempi, dimostrando che in natura esistono i frattali (fiwa), li ha descritti forma varia e hanno dimostrato che sono facilmente descrivibili mediante espressioni matematiche. Il matematico ha citato questa analogia come argomento a sostegno dell'utilità della teoria che stava sviluppando in risposta a una raffica di critiche da parte dei suoi colleghi. Sostenevano che un frattale è giusto Bella foto, che non ha valore, che è un sottoprodotto del funzionamento delle macchine elettroniche. Carpenter ha deciso di provare questo metodo nella pratica. Dopo aver studiato attentamente il libro, il futuro animatore ha iniziato a cercare un modo per implementare la geometria frattale nella computer grafica. Gli ci sono voluti solo tre giorni per riprodurre sul suo computer un'immagine completamente realistica del paesaggio montano. E oggi questo principio è ampiamente utilizzato. Come si è scoperto, la creazione di frattali non richiede molto tempo e fatica.
La decisione del falegname
Il principio utilizzato da Lauren si è rivelato semplice. Consiste nel dividere quelli più grandi in elementi più piccoli, e quelli in elementi più piccoli simili, e così via. Carpenter, utilizzando triangoli grandi, li ha schiacciati in 4 piccoli e così via, fino a ottenere un paesaggio montano realistico. Pertanto, è diventato il primo artista ad applicare l'algoritmo frattale nella computer grafica per costruire l'immagine richiesta. Oggi questo principio viene utilizzato per simulare varie forme naturali realistiche.
La prima visualizzazione 3D basata sull'algoritmo frattale
Alcuni anni dopo, Lauren applicò il suo lavoro a un progetto su larga scala: il video animato Vol Libre, mostrato su Siggraph nel 1980. Questo video ha scioccato molti e il suo creatore è stato invitato a lavorare alla Lucasfilm. Qui l'animatore ha potuto realizzarsi pienamente, ha creato paesaggi tridimensionali (l'intero pianeta) per il lungometraggio "Star Trek". Qualunque programma moderno("Fractals") o un'applicazione di grafica 3D (Terragen, Vue, Bryce) utilizzano ancora lo stesso algoritmo per modellare trame e superfici.
Tom Bedard
Ex fisico del laser e ora artista e artista digitale, Beddard ha creato una serie di forme geometriche molto intriganti che ha chiamato frattali di Fabergé. Esternamente, assomigliano alle uova decorative di un gioielliere russo, hanno lo stesso modello brillante e intricato. Beddard ha utilizzato un metodo basato su modelli per creare i suoi rendering digitali dei modelli. I prodotti risultanti colpiscono per la loro bellezza. Anche se molti si rifiutano di paragonare un prodotto fatto a mano programma per computer, tuttavia, bisogna ammettere che le forme risultanti sono insolitamente belle. Il punto forte è che chiunque può costruire un frattale di questo tipo utilizzando la libreria software WebGL. Ti consente di esplorare varie strutture frattali in tempo reale.
frattali in natura
Poche persone prestano attenzione, ma queste cifre sorprendenti sono ovunque. La natura è fatta di figure auto-simili, semplicemente non ce ne accorgiamo. Basta guardare attraverso una lente d'ingrandimento la nostra pelle o una foglia di un albero e vedremo i frattali. Oppure prendi, ad esempio, un ananas o anche la coda di un pavone: sono costituiti da figure simili. E la varietà di broccoli Romanescu colpisce generalmente nel suo aspetto, perché può davvero essere definita un miracolo della natura.
Pausa musicale
Si scopre che i frattali non sono solo forme geometriche, ma possono anche essere suoni. Quindi, il musicista Jonathan Colton scrive musica utilizzando algoritmi frattali. Afferma di corrispondere all'armonia naturale. Il compositore pubblica tutte le sue opere sotto la licenza CreativeCommons Attribution-Noncommercial, che prevede la distribuzione, la copia e il trasferimento gratuiti di opere da parte di altre persone.
Indicatore frattale
Questa tecnica ha trovato un'applicazione davvero inaspettata. Sulla base è stato creato uno strumento per analizzare il mercato azionario e, di conseguenza, ha iniziato ad essere utilizzato nel mercato Forex. Ora l'indicatore frattale si trova su tutte le piattaforme di trading e viene utilizzato in una tecnica di trading chiamata breakout del prezzo. Bill Williams ha sviluppato questa tecnica. Come l'autore commenta la sua invenzione, questo algoritmo è una combinazione di più "candele", in cui quella centrale riflette il punto estremo massimo o, al contrario, minimo.
Finalmente
Quindi abbiamo considerato cos'è un frattale. Si scopre che nel caos che ci circonda, in effetti, ci sono forme ideali. La natura è il miglior architetto, il costruttore e l’ingegnere ideale. È organizzato in modo molto logico e, se non riusciamo a trovare uno schema, ciò non significa che non esista. Forse dovresti guardare a una scala diversa. Possiamo affermare con sicurezza che i frattali custodiscono ancora molti segreti che dobbiamo ancora scoprire.
Probabilmente hai visto molte volte modelli così impressionanti con molti colori e "riccioli" ...
Molti di essi sono costruiti utilizzando ripetute copie di forme ordinarie, ognuna delle quali è una copia ridotta di un grande ornamento.
Questo tutorial ti insegnerà come creare modelli simili in Adobe Photoshop.
Ecco il risultato finale di ciò che faremo: 
Passo 1
frattale(lat. fractus - schiacciato) - un termine che indica una figura geometrica con la proprietà di autosimilarità, cioè composta da più parti, ciascuna delle quali è simile all'intera figura nel suo insieme. In un senso più ampio, i frattali sono intesi come insiemi di punti nello spazio euclideo che hanno una dimensione metrica frazionaria (nel senso di Minkowski o Hausdorff), ovvero una dimensione metrica strettamente maggiore di quella topologica. ©Wikipedia
Bene, cominciamo. Per iniziare, creiamo nuovo documento dimensione 1600x1200 pixel e inserisci le linee guida (Righelli (Ctrl + R)) al centro del documento. Quindi riempi lo sfondo con una sfumatura circolare # 095261 - # 000000 rigorosamente dal centro. 
Passo 2
Ora disegniamo un cerchio regolare... Sì, non sto scherzando, tutto inizia con un semplice cerchio. Disegnalo con lo strumento Ellisse "a, tenendo premuto Maiusc. Ho una dimensione di 83x83 pixel e si trova al centro dell'immagine. Quindi, crea una cartella del livello Frattale e posiziona lì il livello circolare. 
Passaggio 3
Aggiungiamo profondità al cerchio:
Passaggio 4
Ora duplica il livello con un cerchio (Ctrl + J), ridimensionalo e impostalo come mostrato nella figura qui sotto: 
Il triangolo bianco mi serve come guida per spostare i cerchi :)
Passaggio 5
È qui che inizia la parte divertente. Duplica il livello con la base del nostro pattern (avendo precedentemente collegato i livelli con cerchi) e premi Ctrl + Alt + T per accedere alla modalità di trasformazione libera. 
Passaggio 6
Tenendo premuto Maiusc, ruota il motivo di alcuni gradi in senso orario e ridimensionalo leggermente. Quindi spostiamo il centro di trasformazione a sinistra e sotto il nostro modello (la direzione dipende dalle tue esigenze). Premere Invio. 
Passaggio 7
È il momento di un piccolo trucchetto con una scorciatoia (Ctrl+Shift+Alt+T). Premi questa combinazione di tasti magici. Quello che è successo? Photoshop ha applicato le stesse opzioni di trasformazione al nuovo oggetto. Ripetiamo questo passaggio più volte fino a ottenere il risultato desiderato. 
Passaggio 8
Duplica la cartella Fractal e premi Ctrl+E per unirla in un unico livello. Nascondi la cartella originale. Inseriamo il modello risultante nel settore in basso a destra del nostro documento. 
Passaggio 9
Seleziona il livello risultante, duplicalo e applica una trasformazione libera con il centro di trasformazione spostato al centro del documento. Ruota il disegno di 120 gradi. 
Passaggio 10
Facciamo lo stesso per ottenere la terza faccia. Quindi creiamo una cartella di livelli e inseriamo lì tutti e 3 i modelli ricevuti. Duplica la cartella e unisci i suoi contenuti in un unico livello (Ctrl + E). 
Passaggio 11
Duplica il livello e trasformalo: 
Passaggio 12
Andare al menu Immagine-Regolazioni-Tonalità/Saturazione e impostare i seguenti parametri: 
Passaggio 13
Ripetiamo i punti 11 e 12 (12 con altri parametri): 
Passaggio 14
Applichiamo questa tecnica molte volte finché non otteniamo un risultato simile. Inseriamo tutti i livelli risultanti in una nuova cartella, la duplichiamo e combiniamo nuovamente il suo contenuto in un livello (tutto ciò che è stato creato in precedenza può essere nascosto). 
Passaggio 15
Aggiunta di un'ombra. 
Passaggio 16
Eseguiamo le manovre descritte al paragrafo 5 con l'ornamento risultante. 
Conclusione
Come puoi vedere, utilizzando questa tecnica è possibile creare molti bellissimi disegni astratti. Buona fortuna per il tuo impegno! :)