Najgenijalnija otkrića u nauci mogu se radikalno promijeniti ljudski život. Izmišljena vakcina može spasiti milione ljudi; stvaranje oružja, naprotiv, oduzima ove živote. U skorije vrijeme (na ljestvici ljudske evolucije) naučili smo "ukrotiti" električnu energiju - a sada ne možemo zamisliti život bez svih ovih zgodnih uređaja koji koriste električnu energiju. Ali postoje i otkrića kojima malo ko pridaje značaj, iako i ona uveliko utiču na naše živote.
Jedno od ovih “neupadljivih” otkrića su fraktali. Vjerovatno ste već čuli ovu privlačnu riječ, ali znate li šta ona znači i koliko se zanimljivih informacija krije u ovom pojmu?
Svaka osoba ima prirodnu radoznalost, želju da razumije svijet oko sebe. I u tom nastojanju osoba pokušava da se pridržava logike u prosudbama. Analizirajući procese koji se odvijaju oko njega, pokušava pronaći logiku onoga što se dešava i izvući neki obrazac. Najveći umovi na planeti zauzeti su ovim zadatkom. Grubo govoreći, naučnici traže obrazac tamo gdje ga ne bi trebalo biti. Ipak, čak i u haosu moguće je pronaći veze između događaja. A ova veza je fraktalna.
Naša kćerkica, stara četiri i po godine, sada je u onoj divnoj dobi kada se broj pitanja “Zašto?” višestruko premašuje broj odgovora koje odrasli uspijevaju dati. Ne tako davno, dok je ispitivala granu podignutu od zemlje, moja ćerka je iznenada primetila da ova grana sa svojim grančicama i granama liči na drvo. I, naravno, uslijedilo je uobičajeno pitanje “Zašto?”, na koje su roditelji morali tražiti jednostavno objašnjenje koje bi dijete moglo razumjeti.
Sličnost jedne grane sa cijelim stablom koju je otkrilo dijete vrlo je točno zapažanje, što još jednom svjedoči o principu rekurzivne samosličnosti u prirodi. Mnogi organski i neorganski oblici u prirodi nastaju na sličan način. Oblaci, morske školjke, "kućica" puževa, kora drveta i krošnja, cirkulatorni sistem i tako dalje - nasumični oblici svih ovih objekata mogu se opisati fraktalnim algoritmom.
⇡ Benoit Mandelbrot: otac fraktalne geometrije
Sama riječ "fraktal" pojavila se zahvaljujući briljantnom naučniku Benoit B. Mandelbrotu.
On je sam skovao taj termin 1970-ih, pozajmivši riječ fractus iz latinskog, gdje ona doslovno znači "slomljen" ili "zgnječen". Šta je? Danas riječ “fraktal” najčešće označava grafički prikaz strukture koja je u većoj mjeri slična samoj sebi.
Matematička osnova za nastanak teorije fraktala postavljena je mnogo godina prije rođenja Benoita Mandelbrota, ali se mogla razviti tek s pojavom računarskih uređaja. Na početku svog naučna djelatnost Benoit je radio u istraživački centar IBM kompanija. U to vrijeme zaposleni u centru radili su na prenošenju podataka na daljinu. Tokom istraživanja, naučnici su se suočili sa problemom velikih gubitaka koji nastaju zbog smetnji buke. Benoit je imao težak i vrlo važan zadatak - razumjeti kako predvidjeti pojavu smetnji šuma u elektronskim kolima kada se statistička metoda pokaže neefikasnom.
Gledajući rezultate mjerenja buke, Mandelbrot je primijetio jedan čudan obrazac - grafovi buke na različitim skalama izgledali su isto. Uočen je identičan obrazac bez obzira da li se radi o grafu buke za jedan dan, sedmicu ili sat. Bilo je potrebno promijeniti skalu grafikona, a slika se svaki put ponavljala.
At Benoatov život Mandelbrot je više puta govorio da se ne bavi formulama, već se jednostavno igra slikama. Ovaj čovjek je razmišljao vrlo slikovito i svaki algebarski problem preveo u oblast geometrije, gdje je, po njemu, tačan odgovor uvijek očigledan.
Nije iznenađujuće da je upravo čovjek s tako bogatom prostornom maštom postao otac fraktalne geometrije. Uostalom, svijest o suštini fraktala dolazi upravo kada počnete proučavati crteže i razmišljati o značenju čudnih vrtložnih obrazaca.
Fraktalni uzorak nema identične elemente, ali je sličan na bilo kojoj skali. Ranije je bilo jednostavno nemoguće izraditi takvu sliku s visokim stupnjem detalja ručno; to je zahtijevalo velika količina kalkulacije. Na primjer, francuski matematičar Pierre Joseph Louis Fatou opisao je ovaj skup više od sedamdeset godina prije otkrića Benoita Mandelbrota. Ako govorimo o principima samosličnosti, oni su spomenuti u radovima Leibniza i Georga Cantora.
Jedan od prvih fraktalnih crteža bila je grafička interpretacija Mandelbrotovog skupa, koja je nastala zahvaljujući istraživanju Gastona Maurice Julia.
Gaston Julia (uvijek nosi masku - povreda iz Prvog svjetskog rata)
Ovaj francuski matematičar se pitao kako bi skup izgledao da je konstruisan iz jednostavne formule koja se ponavlja kroz povratnu petlju. Ako to objasnimo "na prstima", to znači da za određeni broj pronalazimo novu vrijednost pomoću formule, nakon čega je ponovo zamjenjujemo u formulu i dobivamo drugu vrijednost. Rezultat je veliki niz brojeva.
Da biste dobili potpunu sliku o takvom skupu, potrebno je izvršiti ogroman broj proračuna - stotine, hiljade, milione. To je bilo jednostavno nemoguće uraditi ručno. Ali kada su moćni računarski uređaji postali dostupni matematičarima, mogli su iznova pogledati formule i izraze koji su dugo bili interesantni. Mandelbrot je prvi koristio kompjuter za izračunavanje klasičnog fraktala. Nakon obrade niza koji se sastoji od velikog broja vrijednosti, Benoit je rezultate iscrtao na graf. To je ono što je dobio.
Nakon toga, ova slika je obojena (na primjer, jedna od metoda bojanja je po broju iteracija) i postala je jedna od najpopularnijih slika koje je čovjek ikada stvorio.
Kao što kaže drevna izreka koja se pripisuje Heraklitu iz Efeza: "Ne možete dvaput ući u istu rijeku." Savršeno je prikladan za tumačenje geometrije fraktala. Bez obzira koliko detaljno pogledamo fraktalnu sliku, uvijek ćemo vidjeti sličan obrazac.
Oni koji žele vidjeti kako bi slika Mandelbrotovog prostora izgledala kada je uvećana više puta, mogu to učiniti preuzimanjem animiranog GIF-a.
⇡ Lauren Carpenter: umjetnost koju je stvorila priroda
Teorija fraktala ubrzo je našla praktičnu primjenu. Budući da je usko povezana sa vizualizacijom sebi sličnih slika, ne čudi što su prvi usvojili algoritme i principe za konstruisanje neobičnih formi upravo umjetnici.
Budući suosnivač legendarnog studija Pixar, Loren C. Carpenter, počeo je da radi 1967. u kompaniji Boeing Computer Services, koja je bila jedna od divizija poznate korporacije koja je razvijala nove avione.
Godine 1977. kreirao je prezentacije sa prototipovima letećih modela. Lorenove odgovornosti uključivale su razvoj slika aviona koji se dizajnira. Morao je da kreira slike novih modela, prikazujući buduće avione iz različitih uglova. U nekom trenutku, budući osnivač Pixar Animation Studios došao je na kreativnu ideju da koristi sliku planina kao pozadinu. Danas svaki školarac može riješiti takav problem, ali kasnih sedamdesetih godina prošlog stoljeća kompjuteri se nisu mogli nositi sa tako složenim proračunima - nije bilo grafičkih uređivača, a da ne spominjemo aplikacije za 3D grafiku. Godine 1978. Lauren je slučajno u radnji vidjela knjigu Benoita Mandelbrota Fraktali: Forma, slučajnost i dimenzija. Ono što je privuklo njegovu pažnju u ovoj knjizi je to što je Benoit dao mnogo primjera fraktalnih oblika u stvarnom životu i tvrdio da se oni mogu opisati matematičkim izrazom.
Ovu analogiju matematičar nije slučajno izabrao. Činjenica je da se, čim je objavio svoje istraživanje, morao suočiti sa čitavom salvom kritika. Glavna stvar koju su mu kolege zamjerile je beskorisnost teorije koja se razvija. „Da“, rekli su, „ovo su prelepe slike, ali ništa više. Teorija fraktala nema praktičnu vrijednost.” Bilo je i onih koji su općenito vjerovali da su fraktalni obrasci jednostavno nusproizvod rada “đavolskih mašina”, koji su se u kasnim sedamdesetim mnogima činili kao nešto previše složeno i neistraženo da bi im se moglo u potpunosti vjerovati. Mandelbrot je pokušao pronaći očiglednu primjenu za teoriju fraktala, ali, prema uglavnom, nije morao to da uradi. Tokom narednih 25 godina, sljedbenici Benoita Mandelbrota dokazali su ogromne prednosti takve "matematičke radoznalosti", a Lauren Carpenter je bila jedna od prvih koja je isprobala fraktalni metod u praksi.
Nakon što je proučio knjigu, budući animator je ozbiljno proučavao principe fraktalne geometrije i počeo tražiti način da je implementira u kompjuterska grafika. Za samo tri dana rada, Lauren je bila u stanju da vizualizira realistična slika planinski sistem na vašem računaru. Drugim riječima, koristeći formule nacrtao je potpuno prepoznatljivo Planinski pejzaž.
Princip kojim je Lauren postigla svoj cilj bio je vrlo jednostavan. Sastojao se od dijeljenja većeg geometrijska figura na male elemente, a oni se pak dijele na slične manje figure.
Koristeći veće trouglove, Carpenter ih je podijelio na četiri manja, a zatim je ponavljao ovaj proces iznova i iznova dok nije dobio realističan planinski pejzaž. Tako je uspio postati prvi umjetnik koji je koristio fraktalni algoritam za konstruiranje slika u kompjuterskoj grafici. Čim se pročulo o djelu, entuzijasti širom svijeta preuzeli su tu ideju i počeli koristiti fraktalni algoritam za imitiranje realističnih prirodnih oblika.
Jedna od prvih 3D vizualizacija koristeći fraktalni algoritam
Samo nekoliko godina kasnije, Lauren Carpenter je uspjela primijeniti svoj razvoj na mnogo više projekat velikih razmera. Animator je od njih napravio dvominutni demo Vol Libre, koji je prikazan na Siggraphu 1980. godine. Ovaj video je šokirao sve koji su ga vidjeli, a Lauren je dobila poziv od Lucasfilma.
Animacija je prikazana na VAX-11/780 kompjuteru kompanije Digital Equipment Corporation sa taktom od pet megaherca, a za svaki kadar je bilo potrebno oko pola sata.
Radeći za Lucasfilm Limited, animator je kreirao trodimenzionalne pejzaže koristeći istu shemu za drugi cjelovečernji film u sagi Zvjezdane staze. U Khanovom gnjevu, Carpenter je uspio stvoriti cijelu planetu koristeći isti princip modeliranja fraktalne površine.
Trenutno sve popularne aplikacije za kreiranje 3D pejzaža koriste sličan princip za generiranje prirodnih objekata. Terragen, Bryce, Vue i drugi 3D uređivači oslanjaju se na fraktalni algoritam za modeliranje površina i tekstura.
⇡ Fraktalne antene: manje je više
U poslednjih pola veka život se ubrzano počeo menjati. Većina nas napredak moderne tehnologije uzima zdravo za gotovo. Vrlo brzo se naviknete na sve što čini život ugodnijim. Rijetko ko postavlja pitanja „Odakle je ovo došlo?“ i "Kako to funkcionira?" Mikrovalna pećnica zagrijava doručak - odlično, pametni telefon vam daje priliku da razgovarate s drugom osobom - odlično. Ovo nam se čini kao očigledna mogućnost.
Ali život je mogao biti potpuno drugačiji da osoba nije tražila objašnjenje za događaje koji se dešavaju. Uzmimo, na primjer, Mobiteli. Sjećate li se uvlačivih antena na prvim modelima? Ometali su se, povećavali veličinu uređaja i na kraju često lomili. Vjerujemo da su zauvijek potonuli u zaborav, a dio razloga za to su... fraktali.
Fraktalni obrasci fasciniraju svojim šarama. Definitivno podsjećaju na slike kosmičkih objekata - magline, jata galaksija i tako dalje. Stoga je sasvim prirodno da kada je Mandelbrot iznio svoju teoriju fraktala, njegovo istraživanje je izazvalo povećan interes među onima koji su proučavali astronomiju. Jedan od ovih amatera po imenu Nathan Cohen, nakon što je prisustvovao predavanju Benoita Mandelbrota u Budimpešti, bio je inspiriran idejom praktične primjene stečenog znanja. Istina, uradio je to intuitivno, a ne poslednja uloga slučaj je odigrao ulogu u njegovom otkriću. Kao radio-amater, Nathan je nastojao stvoriti antenu sa najvećom mogućom osjetljivošću.
Jedini način da se poboljšaju parametri antene, koji je tada bio poznat, bio je povećanje njenih geometrijskih dimenzija. Međutim, vlasnik nekretnine u centru Bostona koju je Nathan iznajmio bio je kategorički protiv postavljanja velikih uređaja na krov. Tada je Nathan počeo eksperimentirati razne forme antene, pokušavajući postići maksimalni rezultat uz minimalnu veličinu. Inspiriran idejom fraktalnih formi, Cohen je, kako kažu, nasumično napravio jedan od najpoznatijih fraktala od žice - "Koch pahuljicu". Švedski matematičar Helge von Koch osmislio je ovu krivu još 1904. godine. Dobiva se podjelom segmenta na tri dijela i zamjenom srednjeg segmenta jednakostraničnim trouglom bez stranice koja se poklapa s tim segmentom. Definiciju je malo teško razumjeti, ali na slici je sve jasno i jednostavno.
Postoje i druge varijacije Kochove krive, ali približan oblik krivulje ostaje sličan
Kada je Nathan spojio antenu na radio prijemnik, bio je veoma iznenađen - osjetljivost se dramatično povećala. Nakon niza eksperimenata, budući profesor na Univerzitetu u Bostonu shvatio je da antena napravljena po fraktalnom uzorku ima visoku efikasnost i pokriva mnogo širi frekventni opseg u odnosu na klasična rješenja. Osim toga, oblik antene u obliku fraktalne krivulje omogućava značajno smanjenje geometrijskih dimenzija. Nathan Cohen je čak smislio teoremu koja dokazuje da je za stvaranje širokopojasne antene dovoljno dati joj oblik samoslične fraktalne krive.
Autor je patentirao svoje otkriće i osnovao kompaniju za razvoj i dizajn fraktalnih antena Fractal Antenna Systems, s pravom vjerujući da će se u budućnosti, zahvaljujući njegovom otkriću, mobiteli moći riješiti glomaznih antena i postati kompaktniji.
U principu, to se dogodilo. Istina, Nathan je do danas u pravnoj bitci s velikim korporacijama koje nezakonito koriste njegovo otkriće za proizvodnju kompaktnih komunikacijskih uređaja. Neki poznati proizvođači mobilnih uređaja, kao što je Motorola, već su postigli prijateljski sporazum sa izumiteljem fraktalne antene.
⇡ Fraktalne dimenzije: ne možete to razumjeti svojim umom
Benoit je ovo pitanje posudio od poznatog američkog naučnika Edwarda Kasnera.
Potonji je, kao i mnogi drugi poznati matematičari, volio komunicirati s djecom, postavljati im pitanja i dobijati neočekivane odgovore. Ponekad je to dovelo do iznenađujućih posljedica. Na primjer, devetogodišnji nećak Edwarda Kasnera smislio je sada već dobro poznatu riječ "googol", što znači jedan iza kojeg slijedi sto nula. No, vratimo se fraktalima. Američki matematičar volio je da postavlja pitanje koliko je duga američka obala. Nakon što je saslušao mišljenje svog sagovornika, sam Edvard je izgovorio tačan odgovor. Ako mjerite dužinu na karti koristeći izlomljene segmente, rezultat će biti netačan, jer obala ima veliki broj nepravilnosti. Šta se događa ako izmjerimo što je moguće preciznije? Morat ćete uzeti u obzir dužinu svake neravnine - morat ćete izmjeriti svaki rt, svaku uvalu, stijenu, dužinu stjenovite platforme, kamena na njoj, zrno pijeska, atom i tako dalje. Budući da broj nepravilnosti teži beskonačnosti, izmjerena dužina obalne linije će se povećavati do beskonačnosti prilikom mjerenja svake nove nepravilnosti.
Što je manja mjera pri mjerenju, to je izmjerena dužina duža
Zanimljivo je da su djeca, slijedeći Edwardove upute, bila mnogo brža od odraslih u izgovaranju ispravnog rješenja, dok su ovi imali problema s prihvatanjem tako nevjerovatnog odgovora.
Koristeći ovaj problem kao primjer, Mandelbrot je predložio korištenje novi pristup do merenja. Budući da je obalna linija blizu fraktalne krivulje, to znači da se na nju može primijeniti karakterizirajući parametar - takozvana fraktalna dimenzija.
Svakome je jasno šta je regularna dimenzija. Ako je dimenzija jednaka jedan, dobijamo ravnu liniju, ako je dvije - ravna figura, tri - volumen. Međutim, ovo razumijevanje dimenzije u matematici ne funkcionira s fraktalnim krivuljama, gdje ovaj parametar ima frakcijsku vrijednost. Fraktalna dimenzija u matematici se konvencionalno može smatrati „hrapavošću“. Što je veća hrapavost krivulje, veća je njena fraktalna dimenzija. Kriva koja, prema Mandelbrotu, ima fraktalnu dimenziju veću od svoje topološke dimenzije, ima približnu dužinu koja ne zavisi od broja dimenzija.
Trenutno naučnici pronalaze sve više oblasti za primjenu teorije fraktala. Koristeći fraktale, možete analizirati fluktuacije berzanskih cijena, proučavati sve vrste prirodnih procesa, kao što su fluktuacije u broju vrsta, ili simulirati dinamiku tokova. Fraktalni algoritmi se mogu koristiti za kompresiju podataka, kao što je kompresija slike. I usput, da biste dobili prekrasan fraktal na ekranu vašeg kompjutera, ne morate imati doktorat.
⇡ Fraktal u pretraživaču
Možda jedan od većine jednostavne načine dobiti fraktalni uzorak - koristite na mreži vektorski uređivač od mladog talentovanog programera Tobyja Schachmana. Alati ovog jednostavnog grafičkog uređivača zasnovani su na istom principu samosličnosti.
Na raspolaganju su vam samo dva najjednostavnija oblika - četverokut i krug. Možete ih dodati na platno, skalirati (za skaliranje duž jedne od osi, držite pritisnutu tipku Shift) i rotirati ih. Preklapajući se prema principu Booleovih operacija sabiranja, ovi najjednostavniji elementi formiraju nove, manje trivijalne forme. Ovi novi oblici se zatim mogu dodati projektu, a program će ponavljati generisanje ovih slika do beskonačnosti. U bilo kojoj fazi rada na fraktalu, možete se vratiti na bilo koju komponentu složenog oblika i urediti njen položaj i geometriju. Zabavna aktivnost, posebno ako uzmete u obzir da je jedini alat koji trebate kreirati pretraživač. Ako ne razumijete princip rada s ovim rekurzivnim uređivačem vektora, savjetujemo vam da pogledate video na službenoj web stranici projekta koji detaljno prikazuje cijeli proces stvaranja fraktala.
⇡ XaoS: fraktali za svaki ukus
Mnogi grafički uređivači imaju ugrađene alate za kreiranje fraktalnih uzoraka. Međutim, ovi alati su obično sekundarni i ne dozvoljavaju fino podešavanje generiranog fraktalnog uzorka. U slučajevima kada je potrebno konstruisati matematički tačan fraktal, pomoć će doći cross-platform XaoS editor. Ovaj program omogućava ne samo izgradnju samoslične slike, već i obavljanje raznih manipulacija s njom. Na primjer, u realnom vremenu možete napraviti „šetnju“ duž fraktala mijenjajući njegovu skalu. Animirano kretanje duž fraktala može se sačuvati kao XAF datoteka i zatim reproducirati u samom programu.
XaoS može učitati nasumični skup parametara, a također može koristiti različite filtere za naknadnu obradu slike - dodati efekat zamućenog pokreta, izgladiti oštre prijelaze između fraktalnih tačaka, simulirati 3D sliku i tako dalje.
⇡ Fraktalni zumer: kompaktni fraktalni generator
U poređenju sa drugim generatorima fraktalnih slika, ima nekoliko prednosti. Prvo, vrlo je male veličine i ne zahtijeva instalaciju. Drugo, implementira sposobnost određivanja paleta boja crtanje. Možete birati nijanse u RGB, CMYK, HVS i HSL modelima boja.
Također je vrlo zgodno koristiti opciju slučajni odabir nijanse boja i funkciju invertiranja svih boja na slici. Za podešavanje boje postoji funkcija cikličkog odabira nijansi - kada uključite odgovarajući način rada, program animira sliku, ciklički mijenjajući boje na njoj.
Fractal Zoomer može vizualizirati 85 različitih fraktalnih funkcija, a formule su jasno prikazane u meniju programa. U programu postoje filteri za naknadnu obradu slike, iako u malim količinama. Svaki dodijeljeni filter može se otkazati u bilo kojem trenutku.
⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktalni uređivač
Kada se koristi izraz "fraktal", najčešće se odnosi na ravnu, dvodimenzionalnu sliku. Međutim, fraktalna geometrija prevazilazi 2D dimenziju. U prirodi možete pronaći i primjere ravnih fraktalnih oblika, recimo, geometrija munje, i trodimenzionalne volumetrijske figure. Fraktalne površine mogu biti trodimenzionalne, i jedna od samih vizuelne ilustracije 3D fraktali u Svakodnevni život- glavica kupusa. Možda je najbolji način da vidite fraktale u sorti Romanesco, hibridu karfiola i brokule.
Takođe možete jesti ovaj fraktal
Program Mandelbulb3D može kreirati trodimenzionalne objekte sličnog oblika. Da bi dobili 3D površinu koristeći fraktalni algoritam, autori ove aplikacije, Daniel White i Paul Nylander, pretvorili su Mandelbrotov skup u sferne koordinate. Program Mandelbulb3D koji su kreirali je pravi trodimenzionalni uređivač koji modelira fraktalne površine različitih oblika. Budući da često promatramo fraktalne obrasce u prirodi, umjetno stvoreni fraktalni trodimenzionalni objekt izgleda nevjerovatno realistično, pa čak i „živo“.
Može ličiti na biljku, može ličiti na čudnu životinju, planetu ili nešto drugo. Ovaj efekat je poboljšan naprednim algoritmom za renderovanje, koji omogućava dobijanje realističnih refleksija, izračunavanje transparentnosti i senki, simulaciju efekta dubine polja itd. Mandelbulb3D ima ogroman broj postavki i opcija renderiranja. Možete kontrolirati nijanse izvora svjetlosti, odabrati pozadinu i nivo detalja simuliranog objekta.
Incendia fraktal editor podržava dvostruko izglađivanje slike, sadrži biblioteku od pedeset različitih trodimenzionalnih fraktala i ima poseban modul za uređivanje osnovnih oblika.
Aplikacija koristi fraktalne skripte, pomoću kojih možete samostalno opisati nove tipove fraktalnih dizajna. Incendia ima uređivače tekstura i materijala, a mehanizam za renderiranje vam omogućava da koristite volumetrijske efekte magle i razne shadere. Program implementira opciju čuvanja bafera tokom dugotrajnog renderovanja i podržava kreiranje animacije.
Incendia vam omogućava da izvezete fraktalni model u popularne 3D grafičke formate - OBJ i STL. Incendia uključuje mali uslužni program pod nazivom Geometrica, poseban alat za podešavanje izvoza fraktalne površine u 3D model. Koristeći ovaj uslužni program, možete odrediti rezoluciju 3D površine i odrediti broj fraktalnih iteracija. Izvezeni modeli se mogu koristiti u 3D projektima kada radite sa 3D uređivačima kao što su Blender, 3ds max i drugi.
Nedavno je rad na projektu Incendia donekle usporen. On ovog trenutka autor traži sponzore koji će mu pomoći da razvije program.
Ako nemate dovoljno mašte da nacrtate prekrasan trodimenzionalni fraktal u ovom programu, nema veze. Koristite biblioteku parametara koja se nalazi u folderu INCENDIA_EX\parameters. Koristeći PAR datoteke, možete brzo pronaći najneobičnije fraktalne oblike, uključujući i animirane.
⇡ Slušni: kako fraktali pjevaju
Obično ne razgovaramo o projektima koji su tek u toku, već o njima u ovom slučaju moramo napraviti izuzetak, ovo je vrlo neobična aplikacija. Projekat, nazvan Aural, izmislila je ista osoba koja je stvorila Incendia. Međutim, ovaj put program ne vizualizuje fraktalni skup, već ga ozvučuje, pretvarajući ga u elektronsku muziku. Ideja je vrlo interesantna, posebno s obzirom na neobična svojstva fraktala. Aural je audio uređivač koji generiše melodije pomoću fraktalnih algoritama, odnosno u suštini je audio sintisajzer-sekvencer.
Redoslijed zvukova koji proizvodi ovaj program je neobičan i... lijep. Može biti korisno za pisanje modernih ritmova i, po našem mišljenju, posebno je pogodan za kreiranje zvučnih zapisa za televizijske i radio programe, kao i „petlje“ pozadinske muzike za kompjuterske igrice. Ramiro još nije dao demo svog programa, ali obećava da kada to učini, da biste radili sa Auralom, nećete morati da proučavate teoriju fraktala - samo ćete se morati igrati s parametrima algoritma za generiranje niza nota. Poslušajte kako fraktali zvuče i.
Fraktali: muzička pauza
Zapravo, fraktali vam mogu pomoći da pišete muziku čak i bez softvera. Ali to može učiniti samo neko ko je istinski prožet idejom. prirodni sklad a pritom se nije pretvorio u nesretnog "šmokljana". Ima smisla uzeti primjer od muzičara po imenu Jonathan Coulton, koji, između ostalog, piše kompozicije za časopis Popular Science. I za razliku od drugih izvođača, Colton objavljuje sva svoja djela pod Creative Commons Attribution-Noncommercial licencom, koja (kada se koristi u nekomercijalne svrhe) omogućava besplatno kopiranje, distribuciju, prijenos djela na druge, kao i njegovu modifikaciju ( stvaranje izvedenih radova) tako da ga prilagodite svojim zadacima.
Jonathan Colton, naravno, ima pjesmu o fraktalima.
⇡ Zaključak
U svemu što nas okružuje često vidimo haos, ali u stvari to nije slučajnost, već idealna forma, koju nam fraktali pomažu da razaznamo. Priroda je najbolji arhitekta, idealan graditelj i inženjer. Strukturiran je vrlo logično, a ako negdje ne vidimo obrazac, to znači da ga trebamo tražiti u drugoj skali. Ljudi to sve bolje razumiju, pokušavajući na mnogo načina oponašati prirodne oblike. Inženjeri dizajniraju sisteme zvučnika u obliku školjke, kreiraju antene u obliku pahuljice i tako dalje. Sigurni smo da fraktali i dalje sadrže mnoge tajne, a mnoge od njih ljudi tek treba da otkriju.
Majstorska klasa "Višebojni komadi" (fraktalni uzorak).
Majstorska klasa je dizajnirana za rad s djecom bilo koje starosne kategorije. Može se koristiti u radu sa nastavnicima ili roditeljima.
svrha: kreiranje tehnikom “Fractal pattern”. umjetničko djelo.
Zadaci:
- upoznavanje sa nova tehnologija crtež;
- razvoj samoizražavanja i samospoznaje kroz kreativnost;
- opuštanje i ublažavanje emocionalnog stresa;
- stvaranje kolektivnih ili individualnih zanata;
- primjena tehnika art terapije za korekciju ponašanja djece s invalidnosti zdravlje;
- razvoj finih motoričkih sposobnosti.
Fraktalni uzorak.
Autori metode - psiholozi T. Z. Poluyakhtova i A. E. Komov. Njihova fraktalna metoda je stara preko 20 godina. Za to vrijeme hiljade ljudi upoznalo se s metodom.Prema knjizi autora:
“Posebno je značajan bio dan 14. jula 1991. Do tada se već razvila tehnologija fraktalnih uzoraka kao testa.
Da bi ga završili, svi slušaoci su zamoljeni da uzmu identične listove Whatman papira (A4 format).
Da bi se isključio uticaj svesti na crtež, svi ispitanici su zamoljeni da zatvore oči u trenutku izvođenja. I, ne skidajući ruku sa lista, pomerajte hemijsku olovku preko lista 45-60 sekundi, pokušavajući da popunite veći deo.
Času je prisustvovalo 49 osoba - odraslih i djece. Najstariji učesnik seminara imao je 56 godina, najmlađi 6 godina.
Proces crtanja zatvorenih očiju bio je kao nevjerovatan sakrament. Bilo je zanimljivo gledati kako se sve dešava.
Konačno je prošlo dodijeljenih 60 sekundi. Svi su otvorili oči, pogledali svoje crteže, a u hodniku je odjeknuo prijateljski smeh. Od tada se ova reakcija ispitanika ponavlja već deset godina.
Ono što je bilo prikazano na svakom listu papira zaista je izazvalo smijeh. Svi su bili različiti: neki su imali pravougaone ćelije, drugi trokutaste, neki su imali glatke linije, neki su imali ugaone, ponekad čvrste petlje i krugove.
Zatim je od slušalaca zatraženo da obojaju nastali crtež. Kako bismo isključili svjestan utjecaj na izbor boje, dogovorili smo se: uzimajte olovke i flomastere samo sa zatvorenim očima.
Kada su svi crteži bili završeni, učesnici seminara su videli čitavu galeriju ljudskih uslova.”
Osnova metode je princip fraktala i fraktalnosti kao takvog. Crtež se ovdje smatra nastavkom osobe, malim dijelom, projekcijom. I ovaj mali dio odražava veliku cjelinu – osobu. Gledajući crtež, možete dijagnosticirati stanje njegovog autora.
Za rad vam je potrebno:
- set olovaka u boji,
- flomasteri i olovke u što više boja;
- list Whatman papira A4 formata;
- hemijska olovka crne ili tamnoplave.
Parabola "olovka"
Prije stavljanja olovke u kutiju, proizvođač olovke ju je ostavio na stranu."Postoji pet stvari koje morate znati", rekao je olovci, "prije nego što vas pošaljem u svijet." Uvijek ih zapamtite i nikada ih ne zaboravite, i postaćete najbolji olovci koji možete biti.
Prvo, možete učiniti mnoge velike stvari, ali samo ako dozvolite Nekome da vas drži u svojoj ruci.
Drugo, s vremena na vrijeme ćete doživjeti bolno oštrenje, ali će biti potrebno da postanete bolji olovci.
Treće: moći ćete da ispravite greške koje pravite.
Četvrto: najviše važan deo uvek će biti u tebi.
I peto: bez obzira na kojoj se površini nalazite, uvijek morate ostaviti svoj trag. Bez obzira na vaše stanje, morate nastaviti pisati.
Pencil je shvatio i obećao da će to zapamtiti. Smješten je u kutiju s pozivom u srcu.
Proces rada korak po korak:
1. Prikupljamo potreban materijal za rad.
2. Postavite list vodoravno ispred sebe. Postavite olovku na bilo koju tačku na listu. Zatvarajući oči, crtamo kontinuiranu liniju, pokušavajući ispuniti što je više moguće velika površina list, 45 - 60 sekundi.
3. Zatvorite oči, odaberite olovku. Kada slikate, morate imati na umu da susjedne ćelije odvojene linijom ne mogu biti ispunjene istom bojom. Ako se ćelije dodiruju u tački i nalaze se dijagonalno, onda je to moguće. Možete obojiti jednu ili više ćelija jednom bojom.
4. Zatvorite oči, odaberite sljedeću olovku. Bojimo preko ćelija koje se ne dodiruju.
5. Zatvorite oči, odaberite sljedeću olovku. Bojimo preko ćelija koje se ne dodiruju.
6. Naša slika “Višebojni komadi” je spremna.
7. Ovaj crtež ne samo da će pomoći u oslobađanju od emocionalnog stresa tokom kreativnosti, već će i ukrasiti unutrašnjost. Vaša slika je jedinstvena!
Evo nekoliko radova koje su završila djeca iz moje grupe.
Majstorska klasa za mlađe školarce "Višebojni komadi" (fraktalni crtež).
Autor: Anna Sergeevna Ogonkova, učiteljica u opštinskoj budžetskoj obrazovnoj ustanovi „Internat za decu sa smetnjama u razvoju br. 2 Elektrostal, Moskovska oblast", Elektrostal.
Majstorska klasa je dizajnirana za rad s djecom bilo koje starosne kategorije. Može se koristiti u radu sa nastavnicima ili roditeljima. Izradom crteža ovom tehnikom možete savršeno ukrasiti unutrašnjost svog doma ili sliku pokloniti prijateljima. Radeći u ovoj majstorskoj klasi, dobit ćete puno zadovoljstva i doživjeti kreativno uzbuđenje!
Svrha: izrada umjetničkog djela tehnikom “Fraktalno crtanje”.
Zadaci:
upoznavanje sa novim tehnikama crtanja;
razvoj samoizražavanja i samospoznaje kroz kreativnost;
opuštanje i ublažavanje emocionalnog stresa;
stvaranje kolektivnih ili individualnih zanata;
korištenje tehnika art terapije za korekciju ponašanja djece sa smetnjama u razvoju;
razvoj finih motoričkih sposobnosti.
Fraktalni uzorak.
Autori metode su T. 3. Poluyakhtova i A. E. Komov. Njihova fraktalna metoda je stara preko 20 godina. Za to vrijeme hiljade ljudi upoznalo se s metodom.
Prema knjizi autora:
“Posebno je značajan bio dan 14. jula 1991. Do tada se već razvila tehnologija fraktalnih uzoraka kao testa.
Da bi ga završili, svi slušaoci su zamoljeni da uzmu identične listove Whatman papira (A4 format).
Da bi se isključio uticaj svesti na crtež, svi ispitanici su zamoljeni da zatvore oči u trenutku izvođenja. I, ne skidajući ruku sa lista, pomerajte hemijsku olovku preko lista 45-60 sekundi, pokušavajući da popunite veći deo.
Času je prisustvovalo 49 osoba - odraslih i djece. Najstariji učesnik seminara imao je 56 godina, najmlađi 6 godina.
Proces crtanja zatvorenih očiju bio je kao nevjerovatan sakrament. Bilo je zanimljivo gledati kako se sve dešava.
Konačno je prošlo dodijeljenih 60 sekundi. Svi su otvorili oči, pogledali svoje crteže, a u hodniku je odjeknuo prijateljski smeh. Od tada se ova reakcija ispitanika ponavlja već deset godina.
Ono što je bilo prikazano na svakom listu papira zaista je izazvalo smijeh. Svi su bili različiti: neki su imali pravougaone ćelije, drugi trokutaste, neki su imali glatke linije, neki su imali ugaone, ponekad čvrste petlje i krugove.
Zatim je od slušalaca zatraženo da obojaju nastali crtež. Kako bismo isključili svjestan utjecaj na izbor boje, dogovorili smo se: uzimajte olovke i flomastere samo sa zatvorenim očima.
Kada su svi crteži bili završeni, učesnici seminara su videli čitavu galeriju ljudskih uslova.”
Osnova metode je princip fraktala i fraktalnosti kao takvog. Crtež se ovdje smatra nastavkom osobe, malim dijelom, projekcijom. I ovaj mali dio odražava veliku cjelinu – osobu. Gledajući crtež, možete dijagnosticirati stanje njegovog autora.
Za rad vam je potrebno:
set olovaka u boji, flomastera i olovaka u što više nijansi boja; A4 list Whatman papira; hemijska olovka u crnoj ili tamno plavoj boji.
Parabola "olovka"
Prije stavljanja olovke u kutiju, proizvođač olovke ju je ostavio na stranu.
"Postoji pet stvari koje morate znati", rekao je olovci, "prije nego što vas pošaljem u svijet." Uvijek ih zapamtite i nikada ih ne zaboravite, i postaćete najbolji olovci koji možete biti.
Prvo, možete učiniti mnoge velike stvari, ali samo ako dozvolite Nekome da vas drži u svojoj ruci.
Drugo, s vremena na vrijeme ćete doživjeti bolno oštrenje, ali će biti potrebno da postanete bolji olovci.
Treće: moći ćete da ispravite greške koje pravite.
Četvrto: vaš najvažniji dio će uvijek biti u vama.
I peto: bez obzira na kojoj se površini nalazite, uvijek morate ostaviti svoj trag. Bez obzira na vaše stanje, morate nastaviti pisati.
Pencil je shvatio i obećao da će to zapamtiti. Smješten je u kutiju s pozivom u srcu.
Proces rada korak po korak:
1. Prikupljamo potreban materijal za rad.
2. Postavite list vodoravno ispred sebe. Postavite olovku na bilo koju tačku na listu. Zatvarajući oči, povlačimo kontinuiranu liniju, pokušavajući popuniti što je moguće više lista, u roku od 45 - 60 sekundi.
3. Zatvorite oči, odaberite olovku. Kada slikate, morate imati na umu da susjedne ćelije odvojene linijom ne mogu biti ispunjene istom bojom. Ako se ćelije dodiruju u tački i nalaze se dijagonalno, onda je to moguće. Možete obojiti jednu ili više ćelija jednom bojom.
4. Zatvorite oči, odaberite sljedeću olovku. Bojimo preko ćelija koje se ne dodiruju.
5. Zatvorite oči, odaberite sljedeću olovku. Bojimo preko ćelija koje se ne dodiruju.
6. Naša slika “Višebojni komadi” je spremna.
7. Ovaj crtež neće samo pomoći u oslobađanju od emocionalnog stresa tokom kreativnosti, omogućiti vam da dijagnosticirate svoje emocionalno stanje (Dodatak 1), već će i ukrasiti unutrašnjost. Vaša slika je jedinstvena!
DODATAK 1.
DEKODIRANJE FRAKTALNOG OBRAZCA
1. ANALIZA I DEKODIRANJE INFORMACIJA SADRŽANIH U FRAKTALNOM OBRAZU POČINJE LINIJAMA.
Jasno povučena linija - samopouzdanje, snažan karakter, svrsishodnost i nezavisnost, tačnost, marljivost, posvećenost.
Pritisak pri povlačenju linije nije svugdje isti - najčešće se radi o kreativnoj osobi fleksibilnog karaktera, sanjaru, emocije nisu uvijek stabilne, a ponekad se ispoljava i sumnja u sebe.
Slabo povučene linije ukazuju na bolno stanje, komplekse, primjetnu sumnju u sebe.
Oštre, ugao povučene linije ukazuju na emocionalnu napetost, stresno stanje.
Linije sa glatkim prijelazima - harmonično, stabilno stanje.
Raspored linija u koncentričnom krugu, kružno ponavljanje na crtežu - sklonost opsesivnim stanjima, neurozama.
2. VELIČINA I KONFIGURACIJA Uzorka
Mali crtež (ne više od 1/3 površine lista) - s jedne strane, kompleksi i nisko samopoštovanje, s druge, sklonost egocentrizmu.
Prosječna veličina (oko 2/3 površine lista) i ovalni obod uzorka najčešće su pokazatelj uravnoteženog karaktera.
Veliki crtež (značajno više od 2/3 površine lista) sa linijama koje se protežu izvan lista je nestabilan emocionalno stanje, u nekim slučajevima, nemogućnost koncentracije. Pravokutni oblik perimetra dizajna je pravolinijski, često složene prirode.
Konfiguracija uzorka s bizarno izraženim "repovima" duž perimetra - svetla ličnost, originalnost, u nekim slučajevima, nestabilnost karaktera.
3. ĆELIJE. KONFIGURACIJA I DIMENZIJE.
Skladna kombinacija veličina ćelija na cijeloj površini uzorka (1/3 velika, 1/3 srednja, 1/3 mala) govori o samopouzdanju, odlučnosti i stabilnosti.
Veliki broj velikih ćelija - ljubazna, otvorena priroda.
Veliki broj srednjih ćelija - marljivost, tačnost, pedantnost, prisustvo analitičkih sposobnosti, sklonost egzaktnim naukama.
Veliki broj malih ćelija - složenost, želja za detaljima, u nekim slučajevima sumnja u sebe, ali uvijek tačnost i marljivost.
Glatke, zaobljene ćelije s malim brojem geometrijskih oblika - razuman, miran karakter, sklonost kreativnosti.
Veliki broj geometrijskih oblika - izražena sklonost analizi, skepticizam u procjenama, neposredan autoritarni karakter.
Oštro nacrtane, ugaone, neravne ćelije - emocionalna nestabilnost, iritacija, stres.
4. MRLJE
Male crne (tačkaste mrlje) ćelije - prisutnost kvaliteta "bivšeg" događaja (ono o čemu osoba misli, događa se).
Svaka mala crna tačka je dokaz početka promjene događaja u sadašnjem vremenu.
Primjetan broj srednjih mrlja ili velika crna mrlja je glad za energijom (neželjeni rad, rad u praznom hodu).
Velika lokalna tamna mrlja - hitan problem lične prirode.
5. KARAKTERISTIČNI AKCENTI U BOJI
Velike crvene ćelije - predispozicija za opsesivna stanja, anksioznost.
Primjetan broj crvenih mrlja srednje veličine - napetost, nestabilne emocije.
Jedna ili više velikih smeđih ćelija predstavljaju probleme u međuljudskim odnosima koji dugo nisu riješeni.
Veliki broj nijansi zelene je prirodna sposobnost tijela da se samoreguliše.
Jedna ili više velikih ljubičastih ćelija - anksioznost, agresija, akutni stres.
6. BOJA
Očistite bez mrlja ili tragova Bijela pozadina crtanje - visoka koncentracija pažnje, marljivost, tačnost.
Slučajno ili namjerno nepopunjene ćelije bijela- govore o značajnom nedostatku potražnje za prirodnim karakteristikama.
- Limun žuta je boja vaspitača, učitelja.
- Kokoš žuta je boja „ponavljača“, prenosioca informacija, komentatora.
- Zelena boja svih nijansi je boja zdrave energije, optimalne sposobnosti organizma da se odupre i samoizlječenja, te sposobnosti zacjeljivanja.
Plava je boja mirne energije.
Plava i tamnoplava su boje hladne, ravnodušne energije.
Jorgovan je boja snažne energije.
Ljubičasta je boja šikljajuće energije.
Jorgovan je boja moćne, nekontrolisane energije.
Ružičasta je boja tople energije.
Grimizna, grimizna - boja koja signalizira prisutnost opasnosti, boja alarma.
Debela nijansa crvene, bordo, trešnje - boja snage, agresivne energije.
- Narandžasta je boja vitalne, seksualne energije.
- Svijetle nijanse (zlatna, bež, oker, pijesak) braon su boja čiste energije, svete energije.
- Smeđa je boja koja određuje prisustvo nevolje, dubokih osećanja, depresije (u kombinaciji sa drugim tamnim bojama i nijansama).
- Tamno smeđa je boja koja određuje prisustvo nevolje, dubokih emocija, depresije (u kombinaciji sa drugim tamnim bojama i nijansama).
- Siva boja je boja koja određuje prisustvo nestabilnih energija, u kombinaciji sa drugim tamnim bojama - granično stanje. U malim količinama ova boja znači brzu promjenu trenutnih događaja.
- Crna boja je boja energetske rupe, vakuuma, praznine, energetske deprivacije.
Često briljantna otkrića u nauci mogu radikalno promijeniti naše živote. Na primjer, pronalazak vakcine može spasiti mnoge ljude, ali stvaranje novog oružja vodi u ubistvo. Doslovno juče (na ljestvici istorije) čovjek je „ukrotio” električnu energiju, a danas više ne može zamisliti svoj život bez nje. Međutim, postoje i otkrića koja, kako kažu, ostaju u sjeni, unatoč tome što i ona imaju jedan ili drugi utjecaj na naše živote. Jedno od ovih otkrića bio je fraktal. Većina ljudi nikada nije ni čula za ovaj koncept i neće moći da objasne njegovo značenje. U ovom članku pokušat ćemo razumjeti pitanje što je fraktal i razmotriti značenje ovog pojma iz perspektive nauke i prirode.
Red u haosu
Da bismo razumeli šta je fraktal, trebalo bi da počnemo sa debrifingom sa pozicije matematike, ali pre nego što uđemo u to, malo ćemo filozofirati. Svaka osoba ima prirodnu radoznalost, zahvaljujući kojoj uči svijet. Često, u potrazi za znanjem, pokušava da koristi logiku u svojim prosudbama. Stoga, analizirajući procese koji se dešavaju oko njega, pokušava izračunati odnose i izvući određene obrasce. Najveći umovi na planeti zauzeti su rješavanjem ovih problema. Grubo govoreći, naši naučnici traže obrasce tamo gdje ih nema, a ne bi ih trebalo biti. Pa ipak, čak i u haosu postoji veza između određenih događaja. Ova veza je ono što je fraktal. Kao primjer, uzmite slomljenu granu koja leži na cesti. Ako ga bolje pogledamo, vidjet ćemo da sa svim svojim granama i grančicama i sam liči na drvo. Ova sličnost zasebnog dijela sa jedinstvenom cjelinom ukazuje na takozvani princip rekurzivne samosličnosti. Fraktali se mogu naći posvuda u prirodi, jer se mnogi neorganski i organski oblici formiraju na sličan način. To su oblaci, morske školjke, školjke puževa, krošnje drveća, pa čak i krvožilni sistem. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi nasumični oblici se lako opisuju fraktalnim algoritmom. Sada smo došli da razmotrimo šta je fraktal iz perspektive egzaktnih nauka.
Neke suve činjenice
Sama riječ “fraktal” sa latinskog je prevedena kao “djelomičan”, “podijeljen”, “fragmentiran”, a što se tiče sadržaja ovog pojma, ne postoji formulacija kao takva. Obično se tumači kao sebi sličan skup, dio cjeline, koji svoju strukturu ponavlja na mikro nivou. Ovaj termin je skovan sedamdesetih godina veka Benoit Mandelbrot, koji je prepoznat kao otac. Danas koncept fraktala označava grafičku sliku određene strukture, koja će, kada se uveća, biti slična samoj sebi. Međutim, matematička osnova za stvaranje ove teorije bila je postavljena još prije rođenja samog Mandelbrota, ali se nije mogla razviti sve dok se nisu pojavili elektronski računari.
Istorijska pozadina, ili Kako je sve počelo
Na prelazu iz 19. u 20. vek proučavanje prirode fraktala bilo je sporadično. To se objašnjava činjenicom da su matematičari radije proučavali objekte koji se mogu istraživati na osnovu općih teorija i metoda. Godine 1872. njemački matematičar K. Weierstrass konstruisao je primjer kontinuirane funkcije koja se nigdje ne može razlikovati. Međutim, ispostavilo se da je ova konstrukcija potpuno apstraktna i teško uočljiva. Sljedeći je došao Šveđanin Helge von Koch, koji je 1904. godine konstruirao kontinuiranu krivu koja nigdje nije imala tangentu. Prilično je lako nacrtati i ispostavilo se da ima fraktalna svojstva. Jedna od varijanti ove krivulje dobila je ime po svom autoru - "Koch pahulja". Nadalje, ideju o samosličnosti figura razvio je budući mentor B. Mandelbrota, Francuz Paul Levy. Godine 1938. objavio je članak "Ravan i prostorne krive i površine koje se sastoje od dijelova sličnih cjelini". U njemu je opisao nova vrsta- Levijeva C-kriva. Sve gore navedene figure se konvencionalno klasificiraju kao geometrijski fraktali.
Dinamički ili algebarski fraktali
Mandelbrotov skup pripada ovoj klasi. Prvi istraživači u ovom pravcu bili su francuski matematičari Pierre Fatou i Gaston Julia. Julia je 1918. objavila rad zasnovan na proučavanju iteracija racionalnih kompleksnih funkcija. Ovdje je opisao porodicu fraktala koji su usko povezani sa Mandelbrotovim skupom. Uprkos činjenici da je ovo djelo proslavilo autora među matematičarima, brzo je zaboravljeno. I samo pola veka kasnije, zahvaljujući kompjuterima, Julijin rad je dobio drugi život. Kompjuteri su omogućili da se svakom čovjeku učini vidljivom ljepota i bogatstvo svijeta fraktala koje su matematičari mogli „vidjeti“ prikazujući ih kroz funkcije. Mandelbrot je bio prvi koji je koristio kompjuter za izvođenje proračuna (ovakav volumen se ne može napraviti ručno) koji je omogućio konstruiranje slike ovih figura.
Osoba sa prostornom maštom
Mandelbrot je započeo svoju naučnu karijeru u IBM istraživačkom centru. Proučavajući mogućnosti prijenosa podataka na velike udaljenosti, naučnici su se suočili s činjenicom velikih gubitaka koji su nastali zbog smetnji buke. Benoit je tražio načine da riješi ovaj problem. Gledajući kroz rezultate mjerenja, primijetio je čudan obrazac, naime: grafovi šuma izgledali su isto na različitim vremenskim skalama.
Slična slika je uočena i za period od jednog dana i za sedam dana ili sat vremena. Sam Benoit Mandelbrot je često ponavljao da ne radi sa formulama, već se igra slikama. Ovaj naučnik je bio drugačiji maštovitom razmišljanju, preveo je bilo koji algebarski problem u geometrijsku oblast, gde je tačan odgovor očigledan. Stoga nije iznenađujuće da se ističe svojim bogatstvom i da je postao otac fraktalne geometrije. Na kraju krajeva, svijest o ovoj figuri može doći samo kada proučavate crteže i razmišljate o značenju ovih čudnih vrtloga koji formiraju obrazac. Fraktalni obrasci nemaju identične elemente, ali su slični u bilo kojoj skali.
Julia - Mandelbrot
Jedan od prvih crteža ove figure bila je grafička interpretacija kompleta, koja je nastala iz rada Gastona Julije i koju je dalje razvio Mandelbrot. Gaston je pokušao zamisliti kako bi skup izgledao na osnovu jednostavne formule koja se ponavljala kroz povratnu petlju. Hajde da pokušamo da objasnimo šta je rečeno ljudski jezik, da tako kažem, na prstima. Za konkretnu numerička vrijednost koristeći formulu nalazimo novu vrijednost. Zamjenjujemo ga u formulu i nalazimo sljedeće. Rezultat je veliki, da bi se predstavio takav skup potrebno je izvršiti ovu operaciju ogroman broj puta: stotine, hiljade, milione. Ovo je Benoit uradio. Obradio je niz i rezultate prenio u grafički oblik. Nakon toga je obojio rezultirajuću figuru (svaka boja odgovara određenom broju iteracija). Ova grafička slika je nazvana “Mandelbrotov fraktal”.
L. Carpenter: umjetnost koju je stvorila priroda
Teorija fraktala brzo je našla praktičnu primjenu. Budući da je vrlo blisko povezana sa vizualizacijom sebi sličnih slika, umjetnici su prvi usvojili principe i algoritme za konstruiranje ovih neobičnih oblika. Prva od njih bila je buduća osnivačica Pixara, Lauren Carpenter. Dok je radio na prezentaciji prototipova aviona, došao je na ideju da kao pozadinu koristi sliku planina. Danas skoro svaki korisnik računara može da se nosi sa takvim zadatkom, ali sedamdesetih godina prošlog veka računari nisu mogli da obavljaju takve procese, jer u to vreme nije bilo grafičkih uređivača niti aplikacija za trodimenzionalnu grafiku. A onda je Loren naišao na Mandelbrotovu knjigu “Fraktali: Forma, slučajnost i dimenzija”. U njemu je Benoit dao mnogo primjera, pokazujući da fraktali postoje u prirodi (fyva), opisao ih je raznih oblika i dokazao da se lako opisuju matematičkim izrazima. Matematičar je ovu analogiju naveo kao argument za korisnost teorije koju je razvijao kao odgovor na salvu kritika svojih kolega. Oni su tvrdili da je fraktal pravedan Lijepa slika, koji nema nikakvu vrijednost i nusproizvod je rada elektronskih mašina. Carpenter je odlučio isprobati ovu metodu u praksi. Nakon pažljivog proučavanja knjige, budući animator počeo je tražiti način implementacije fraktalne geometrije u kompjutersku grafiku. Trebalo mu je samo tri dana da na svom kompjuteru prikaže potpuno realističnu sliku planinskog pejzaža. I danas se ovaj princip široko koristi. Kako se ispostavilo, stvaranje fraktala ne oduzima mnogo vremena i truda.
Tesarsko rešenje
Princip koji je Lauren koristila bio je jednostavan. Sastoji se od dijeljenja većih na male elemente, a onih na slične manje i tako dalje. Carpenter ih je, koristeći velike trouglove, podijelio na 4 mala, i tako dalje, dok nije dobio realističan planinski pejzaž. Tako je postao prvi umjetnik koji je koristio fraktalni algoritam u kompjuterskoj grafici da konstruiše potrebnu sliku. Danas se ovaj princip koristi za oponašanje različitih realističnih prirodnih oblika.
Prva 3D vizualizacija pomoću fraktalnog algoritma
Nekoliko godina kasnije, Lauren je primijenio svoj razvoj u velikom projektu - animiranom videu Vol Libre, prikazanom na Siggraphu 1980. godine. Ovaj video je šokirao mnoge, a njegov kreator je pozvan da radi u Lucasfilmu. Ovdje je animator mogao ostvariti svoj puni potencijal, kreirao je trodimenzionalne pejzaže (cijela planeta) za igrani film "Zvjezdane staze". Bilo koji savremeni program(“Fraktali”) ili aplikacija za 3D grafiku (Terragen, Vue, Bryce) koristi isti algoritam za modeliranje tekstura i površina.
Tom Beddard
Nekadašnji laserski fizičar, a sada digitalni umjetnik i umjetnik, Beddard je stvorio niz vrlo intrigantnih geometrijskih oblika, koje je nazvao Fabergéovim fraktalima. Izvana podsjećaju na ukrasna jaja ruskog draguljara, imaju isti briljantan, zamršen uzorak. Beddard je koristio metodu šablona da kreira svoje digitalne prikaze modela. Dobiveni proizvodi zadivljuju svojom ljepotom. Iako mnogi odbijaju usporediti ručno izrađeni proizvod s kompjuterski program, međutim, mora se priznati da su nastale forme izuzetno lijepe. Vrhunac je da svako može napraviti takav fraktal koristeći WebGL softversku biblioteku. Omogućava vam da istražite različite fraktalne strukture u realnom vremenu.
Fraktali u prirodi
Malo ljudi obraća pažnju, ali ove nevjerovatne brojke prisutne su posvuda. Priroda je stvorena od sebi sličnih figura, mi to jednostavno ne primjećujemo. Dovoljno je da kroz lupu pogledamo našu kožu ili list drveta i videćemo fraktale. Ili uzmite, na primjer, ananas ili čak paunov rep - sastoje se od sličnih figura. A sorta brokule Romanescu općenito je upečatljiva svojim izgledom, jer se zaista može nazvati čudom prirode.
Muzička pauza
Ispostavilo se da fraktali nisu samo geometrijski oblici, već mogu biti i zvukovi. Tako muzičar Jonathan Colton piše muziku koristeći fraktalne algoritme. Tvrdi da odgovara prirodnoj harmoniji. Kompozitor sva svoja djela objavljuje pod CreativeCommons Attribution-Nekomercijalnom licencom, koja omogućava besplatnu distribuciju, kopiranje i prijenos djela drugima.
Fraktalni indikator
Ova tehnika je našla vrlo neočekivanu primjenu. Na njegovoj osnovi stvoren je alat za analizu berzanskog tržišta, koji je kao rezultat toga počeo da se koristi na Forex tržištu. Danas se fraktalni indikator nalazi na svim trgovačkim platformama i koristi se u tehnici trgovanja koja se zove probijanje cijene. Ovu tehniku je razvio Bill Williams. Kako autor komentira svoj izum, ovaj algoritam je kombinacija nekoliko "svijeća", u kojima središnja odražava maksimalnu ili, obrnuto, minimalnu ekstremnu tačku.
Konačno
Pa smo pogledali šta je fraktal. Ispostavilo se da u haosu koji nas okružuje zapravo postoje savršenih oblika. Priroda je najbolji arhitekta, idealan graditelj i inženjer. Vrlo je logično raspoređeno, a ako ne možemo pronaći obrazac, to ne znači da ne postoji. Možda treba da gledamo u drugom razmjeru. Sa sigurnošću možemo reći da fraktali još uvijek kriju mnoge tajne koje tek treba da otkrijemo.
Vjerovatno ste mnogo puta vidjeli ovako impresivne šare sa mnogo boja i "kodrica"...
Mnogi od njih su izgrađeni uzastopnim kopiranjem običnih oblika, od kojih je svaki manja kopija većeg ukrasa.
Ovaj vodič će vas naučiti kako napraviti slične uzorke u Adobe Photoshopu.
Evo krajnjeg rezultata onoga što ćemo uraditi: 
Korak 1
Fraktal(latinski fractus - zdrobljen) - izraz koji označava geometrijsku figuru koja ima svojstvo samosličnosti, odnosno sastavljena od nekoliko dijelova, od kojih je svaki sličan cijeloj figuri. U širem smislu, fraktali se shvataju kao skupovi tačaka u euklidskom prostoru koji imaju frakcionu metričku dimenziju (u smislu Minkowskog ili Hausdorffa), ili metričku dimenziju striktno veću od topološke. © Wikipedia
Pa, hajde da počnemo. Prvo, krenimo novi dokument Veličina 1600x1200 piksela i postavite linije vodilice (Lenjiri (Ctrl+R)) u centar dokumenta. Zatim ispunite pozadinu kružnim gradijentom #095261 - #000000 striktno od centra. 
Korak 2
Sada nacrtajmo pravilan krug... Da, ne šalim se, sve počinje jednostavnim krugom. Nacrtajte ga koristeći Ellipse Tool držeći Shift.Za mene je veličine 83x83 piksela i nalazi se u srednjem dijelu slike.Potom kreirajte folder fraktalnih slojeva i tamo postavite sloj sa krugom. 
Korak 3
Dodajmo malo dubine krugu:
Korak 4
Sada duplirajte sloj sa krugom (Ctrl+J), promenite mu veličinu i postavite ga kao što je prikazano na slici ispod: 
Bijeli trokut mi služi kao vodič za pomicanje krugova :)
Korak 5
Ovdje počinje zabavni dio. Duplirajte sloj sa bazom našeg uzorka (prethodno spojite slojeve sa krugovima) i pritisnite Ctrl+Alt+T da uđete u režim besplatne transformacije. 
Korak 6
Dok držite Shift, zarotirajte uzorak za nekoliko stupnjeva u smjeru kazaljke na satu i učinite ga malo manjim. Zatim pomičemo centar transformacije ulijevo i ispod našeg uzorka (smjer ovisi o vašim potrebama). Pritisnite Enter. 
Korak 7
Vrijeme je za mali trik s jednom prečicom (Ctrl+Shift+Alt+T). Pritisnite ovu čarobnu kombinaciju tastera. Šta se desilo? Photoshop je primenio iste postavke transformacije na novi objekat. Ponovimo ovaj korak nekoliko puta dok ne postignemo željeni rezultat. 
Korak 8
Duplirajte folder Fractal i pritisnite Ctrl+E da ga spojite u jedan sloj. Sakrivanje originalnog foldera. Dobijeni uzorak postavljamo u donji desni sektor našeg dokumenta. 
Korak 9
Odaberite rezultirajući sloj, duplicirajte ga i primijenite slobodnu transformaciju na njega, pomičući centar transformacije na sredinu dokumenta. Rotirajte uzorak za 120 stepeni. 
Korak 10
Činimo isto da dobijemo treće lice. Zatim kreiramo fasciklu sa slojevima i tamo stavljamo sva 3 rezultujuća uzorka. Duplirajte fasciklu i kombinujte njen sadržaj u jedan sloj (Ctrl+E). 
Korak 11
Duplicirajte sloj i transformirajte ga: 
Korak 12
Idite na meni Image-Adjustments-Hue/Saturation i postavite sljedeće parametre: 
Korak 13
Ponavljamo tačke 11 i 12 (12 sa drugim parametrima): 
Korak 14
Ovu tehniku koristimo mnogo puta dok ne postignemo sličan rezultat. Sve nastale slojeve stavljamo u novu mapu, dupliciramo je i ponovo kombinujemo njen sadržaj u jedan sloj (sve što je ranije kreirano može se sakriti). 
Korak 15
Dodavanje senke. 
Korak 16
Izvodimo manevre opisane u paragrafu 5 sa rezultirajućim ornamentom. 
Zaključak
Kao što možete vidjeti, mnogi prekrasni apstraktni dizajni mogu se stvoriti pomoću ove tehnike. Srećno vam bilo u vašim nastojanjima! :)