Najbardziej pomysłowe odkrycia w nauce mogą radykalnie się zmienić życie człowieka. Wynaleziona szczepionka może uratować miliony ludzi; wręcz przeciwnie, tworzenie broni odbiera im życie. Niedawno (w skali ewolucji człowieka) nauczyliśmy się „oswajać” elektryczność - i teraz nie możemy sobie wyobrazić życia bez tych wszystkich wygodnych urządzeń wykorzystujących energię elektryczną. Ale zdarzają się też odkrycia, do których niewiele osób przywiązuje wagę, choć i one mają ogromny wpływ na nasze życie.
Jednym z takich „niepozornych” odkryć są fraktale. Prawdopodobnie słyszałeś już to chwytliwe słowo, ale czy wiesz, co ono oznacza i ile ciekawych informacji kryje się w tym określeniu?
Każdy człowiek ma naturalną ciekawość, chęć zrozumienia otaczającego go świata. W tym przedsięwzięciu człowiek stara się przestrzegać logiki w swoich osądach. Analizując procesy zachodzące wokół niego, stara się odnaleźć logikę tego, co się dzieje i wyprowadzić jakiś wzór. Największe umysły na planecie są zajęte tym zadaniem. Z grubsza rzecz biorąc, naukowcy szukają wzorca tam, gdzie nie powinno go być. Jednak nawet w chaosie można znaleźć powiązania między zdarzeniami. A to połączenie jest fraktalem.
Nasza córeczka, czteroipółletnia, jest teraz w tym cudownym wieku, kiedy pojawia się coraz więcej pytań „Dlaczego?” wielokrotnie przekracza liczbę odpowiedzi, jakich potrafią udzielić dorośli. Nie tak dawno temu, oglądając gałąź podniesioną z ziemi, moja córka nagle zauważyła, że ta gałąź, wraz ze swoimi gałązkami i gałęziami, sama w sobie wygląda jak drzewo. I oczywiście następowało zwykłe pytanie „Dlaczego?”, na które rodzice musieli szukać prostego wyjaśnienia, zrozumiałego dla dziecka.
Odkryte przez dziecko podobieństwo pojedynczej gałęzi do całego drzewa jest bardzo trafną obserwacją, która po raz kolejny świadczy o zasadzie rekurencyjnego samopodobieństwa w przyrodzie. Wiele form organicznych i nieorganicznych w przyrodzie powstaje w podobny sposób. Chmury, muszelki, „domek” ślimaka, kora i korona drzewa, układ krążenia i tak dalej - losowe kształty wszystkich tych obiektów można opisać algorytmem fraktalnym.
⇡ Benoit Mandelbrot: ojciec geometrii fraktalnej
Samo słowo „fraktal” pojawiło się dzięki genialnemu naukowcowi Benoitowi B. Mandelbrotowi.
Sam ukuł ten termin w latach 70. XX wieku, zapożyczając z łaciny słowo fractus, które dosłownie oznacza „złamany” lub „zmiażdżony”. Co to jest? Dziś słowo „fraktal” najczęściej oznacza graficzne przedstawienie struktury, która w większej skali jest do siebie podobna.
Matematyczne podstawy powstania teorii fraktali położono wiele lat przed narodzinami Benoita Mandelbrota, ale mogły się one rozwinąć dopiero wraz z pojawieniem się urządzeń komputerowych. Na początku swojego działalność naukowa Benoit pracował w Centrum Badań Firma IBM. W tym czasie pracownicy centrum pracowali nad przesyłaniem danych na odległość. W trakcie badań naukowcy stanęli przed problemem dużych strat powstałych na skutek zakłóceń hałasowych. Benoit stanął przed trudnym i bardzo ważnym zadaniem – zrozumieć, jak przewidzieć występowanie zakłóceń szumowych w obwodach elektronicznych, gdy metoda statystyczna okazuje się nieskuteczna.
Przeglądając wyniki pomiarów hałasu, Mandelbrot zauważył jedną dziwną prawidłowość – wykresy hałasu w różnych skalach wyglądały tak samo. Identyczny wzór zaobserwowano niezależnie od tego, czy był to wykres szumu dla jednego dnia, tygodnia czy godziny. Konieczna była zmiana skali wykresu i obraz za każdym razem się powtarzał.
Na Życie Benoita Mandelbrot wielokrotnie powtarzał, że nie zajmuje się formułami, lecz po prostu bawi się obrazami. Człowiek ten myślał bardzo obrazowo i przełożył każdy problem algebraiczny na dziedzinę geometrii, gdzie według niego prawidłowa odpowiedź jest zawsze oczywista.
Nic dziwnego, że to człowiek o tak bogatej wyobraźni przestrzennej stał się ojcem geometrii fraktalnej. W końcu świadomość istoty fraktali pojawia się właśnie wtedy, gdy zaczynasz studiować rysunki i zastanawiać się nad znaczeniem dziwnych wzorów wirowych.
Wzór fraktalny nie ma identycznych elementów, ale jest podobny w dowolnej skali. Wcześniej ręczne skonstruowanie takiego obrazu o dużej szczegółowości było po prostu niemożliwe, a to było wymagane wielka ilość obliczenia. Na przykład francuski matematyk Pierre Joseph Louis Fatou opisał ten zbiór ponad siedemdziesiąt lat przed odkryciem Benoita Mandelbrota. Jeśli mówimy o zasadach samopodobieństwa, to wspominano o nich w dziełach Leibniza i Georga Cantora.
Jednym z pierwszych rysunków fraktalnych była graficzna interpretacja zbioru Mandelbrota, która powstała dzięki badaniom Gastona Maurice’a Julii.
Gaston Julia (zawsze w masce - kontuzja podczas I wojny światowej)
Ten francuski matematyk zastanawiał się, jak wyglądałby zbiór, gdyby został zbudowany z prostego wzoru iterowanego w pętli sprzężenia zwrotnego. Jeśli wyjaśnimy to „na palcach”, oznacza to, że dla konkretnej liczby za pomocą wzoru znajdujemy nową wartość, po czym ponownie ją podstawimy do wzoru i otrzymamy inną wartość. Rezultatem jest duża sekwencja liczb.
Aby uzyskać pełny obraz takiego zestawu, trzeba wykonać ogromną liczbę obliczeń - setki, tysiące, miliony. Po prostu nie dało się tego zrobić ręcznie. Kiedy jednak matematycy udostępnili potężne urządzenia obliczeniowe, mogli na nowo spojrzeć na formuły i wyrażenia, które od dawna były przedmiotem zainteresowania. Mandelbrot jako pierwszy użył komputera do obliczenia klasycznego fraktala. Po przetworzeniu sekwencji składającej się z dużej liczby wartości Benoit naniósł wyniki na wykres. To właśnie dostał.
Następnie obraz ten został pokolorowany (na przykład jedną z metod kolorowania jest liczba iteracji) i stał się jednym z najpopularniejszych obrazów, jakie kiedykolwiek stworzył człowiek.
Jak głosi starożytne powiedzenie przypisywane Heraklitowi z Efezu: „Nie można dwa razy wejść do tej samej rzeki”. Doskonale nadaje się do interpretacji geometrii fraktali. Nieważne, jak szczegółowo przyjrzymy się obrazowi fraktalnemu, zawsze zobaczymy podobny wzór.
Ci, którzy chcą zobaczyć, jak wyglądałby obraz przestrzeni Mandelbrota po wielokrotnym powiększeniu, mogą to zrobić, pobierając animowany GIF.
⇡ Lauren Carpenter: sztuka stworzona przez naturę
Teoria fraktali szybko znalazła praktyczne zastosowanie. Ponieważ jest ona ściśle powiązana z wizualizacją obrazów samopodobnych, nic dziwnego, że algorytmy i zasady konstruowania nietypowych form jako pierwsi przyjęli artyści.
Przyszły współzałożyciel legendarnego studia Pixar, Loren C. Carpenter, rozpoczął pracę w 1967 roku w Boeing Computer Services, będącym jednym z oddziałów słynnej korporacji opracowującej nowe samoloty.
W 1977 roku stworzył prezentacje prototypowych modeli latających. Do obowiązków Lorena należało opracowywanie obrazów projektowanego samolotu. Musiał tworzyć zdjęcia nowych modeli, pokazując przyszłe samoloty z różnych perspektyw. W pewnym momencie przyszły założyciel Pixar Animation Studios wpadł na twórczy pomysł wykorzystania obrazu gór jako tła. Dziś każdy uczeń jest w stanie rozwiązać taki problem, jednak pod koniec lat siedemdziesiątych ubiegłego wieku komputery nie były w stanie poradzić sobie z tak złożonymi obliczeniami – nie było edytorów graficznych, nie mówiąc już o aplikacjach do grafiki 3D. W 1978 roku Lauren przypadkowo zobaczyła w sklepie książkę Benoita Mandelbrota Fractals: Form, Chance and Dimension. W tej książce jego uwagę przykuło to, że Benoit podał wiele przykładów kształtów fraktalnych występujących w prawdziwym życiu i argumentował, że można je opisać za pomocą wyrażeń matematycznych.
Matematyk wybrał tę analogię nieprzypadkowo. Fakt jest taki, że gdy tylko opublikował swoje badania, musiał stawić czoła całej lawinie krytyki. Najważniejszą rzeczą, za którą zarzucali mu koledzy, była bezużyteczność opracowywanej teorii. „Tak” – odpowiedzieli – „to piękne zdjęcia, ale nic więcej. Teoria fraktali nie ma praktycznej wartości.” Byli też tacy, którzy powszechnie wierzyli, że wzory fraktalne są po prostu produktem ubocznym pracy „diabelskich maszyn”, co pod koniec lat siedemdziesiątych wydawało się wielu osobom zbyt skomplikowane i niezbadane, aby można było im w pełni zaufać. Mandelbrot próbował znaleźć oczywiste zastosowanie dla teorii fraktali, ale wg ogólnie mówiąc, nie musiał tego robić. W ciągu następnych 25 lat zwolennicy Benoita Mandelbrota udowodnili ogromne korzyści płynące z takiej „ciekawości matematycznej”, a Lauren Carpenter jako jedna z pierwszych wypróbowała metodę fraktalną w praktyce.
Po przestudiowaniu książki przyszły animator poważnie przestudiował zasady geometrii fraktalnej i zaczął szukać sposobu na jej wdrożenie Grafika komputerowa. W ciągu zaledwie trzech dni pracy Lauren była w stanie wizualizować realistyczny obraz system górski na swoim komputerze. Inaczej mówiąc, za pomocą formuł narysował coś całkowicie rozpoznawalnego Krajobraz górski.
Zasada, którą Lauren zastosowała, aby osiągnąć swój cel, była bardzo prosta. Polegało to na podzieleniu większej figura geometryczna na małe elementy, a te z kolei są podzielone na podobne mniejsze figury.
Używając większych trójkątów, Carpenter podzielił je na cztery mniejsze, a następnie powtarzał ten proces w kółko, aż uzyskał realistyczny krajobraz górski. Tym samym udało mu się zostać pierwszym artystą, który wykorzystał algorytm fraktalny do konstruowania obrazów w grafice komputerowej. Gdy tylko wiadomość o dziele stała się znana, entuzjaści na całym świecie podchwycili ten pomysł i zaczęli używać algorytmu fraktalnego do imitowania realistycznych, naturalnych kształtów.
Jedna z pierwszych wizualizacji 3D wykorzystujących algorytm fraktalny
Zaledwie kilka lat później Lauren Carpenter była w stanie zastosować swoje osiągnięcia w znacznie szerszym zakresie projekt na dużą skalę. Animator stworzył z nich dwuminutowe demo Vol Libre, które w 1980 roku zostało pokazane na platformie Siggraph. Ten film zszokował wszystkich, którzy go obejrzeli, a Lauren otrzymała zaproszenie od Lucasfilm.
Animacja została wyrenderowana na komputerze VAX-11/780 firmy Digital Equipment Corporation z zegarem pięciu megaherców, a renderowanie każdej klatki trwało około pół godziny.
Pracując dla Lucasfilm Limited, animator stworzył trójwymiarowe krajobrazy, wykorzystując ten sam schemat w drugim pełnometrażowym filmie z sagi Gwiezdny Trek. W Gniewie Khana Carpenter był w stanie stworzyć całą planetę, korzystając z tej samej zasady fraktalnego modelowania powierzchni.
Obecnie wszystkie popularne aplikacje do tworzenia krajobrazów 3D wykorzystują podobną zasadę do generowania obiektów naturalnych. Terragen, Bryce, Vue i inne edytory 3D opierają się na algorytmie fraktalnym do modelowania powierzchni i tekstur.
⇡ Anteny fraktalne: mniej znaczy więcej
W ciągu ostatniego półwiecza życie zaczęło się gwałtownie zmieniać. Większość z nas uważa postępy nowoczesnych technologii za coś oczywistego. Bardzo szybko przyzwyczajasz się do wszystkiego, co czyni życie wygodniejszym. Rzadko kiedy ktoś zadaje sobie pytanie: „Skąd to się wzięło?” i „Jak to działa?” Kuchenka mikrofalowa podgrzewa śniadanie – świetnie, smartfon daje możliwość rozmowy z drugą osobą – świetnie. Wydaje nam się to oczywistą możliwością.
Ale życie mogłoby potoczyć się zupełnie inaczej, gdyby człowiek nie szukał wyjaśnienia zachodzących wydarzeń. Weź na przykład, Telefony komórkowe. Pamiętacie chowane anteny w pierwszych modelach? Ingerowali, zwiększali rozmiar urządzenia, a na koniec często się psuli. Wierzymy, że popadły w zapomnienie na zawsze, a jedną z przyczyn tego są… fraktale.
Fraktalne wzory fascynują swoim wzornictwem. Zdecydowanie przypominają obrazy obiektów kosmicznych - mgławic, gromad galaktyk i tak dalej. Jest zatem całkiem naturalne, że kiedy Mandelbrot przedstawił swoją teorię fraktali, jego badania wzbudziły zwiększone zainteresowanie wśród badaczy astronomii. Jeden z takich amatorów, Nathan Cohen, po wykładzie Benoita Mandelbrota w Budapeszcie zainspirował się ideą praktycznego zastosowania zdobytej wiedzy. To prawda, że zrobił to intuicyjnie i nie ostatnia rola przypadek odegrał rolę w jego odkryciu. Jako radioamator Nathan poszukiwał anteny o możliwie najwyższej czułości.
Jedynym znanym wówczas sposobem na poprawę parametrów anteny było zwiększenie jej wymiarów geometrycznych. Jednak właściciel wynajmowanej przez Nathana nieruchomości w centrum Bostonu kategorycznie sprzeciwiał się instalowaniu na dachu dużych urządzeń. Następnie Nathan zaczął eksperymentować różne formy anteny, próbując uzyskać maksymalny wynik przy minimalnym rozmiarze. Zainspirowany ideą form fraktalnych Cohen, jak mówią, losowo wykonał z drutu jeden z najsłynniejszych fraktali - „płatek śniegu Kocha”. Szwedzki matematyk Helge von Koch wymyślił tę krzywą w 1904 roku. Uzyskuje się go poprzez podzielenie odcinka na trzy części i zastąpienie środkowego odcinka trójkątem równobocznym bez boku pokrywającego się z tym odcinkiem. Definicja jest trochę trudna do zrozumienia, ale na rysunku wszystko jest jasne i proste.
Istnieją również inne odmiany krzywej Kocha, ale przybliżony kształt krzywej pozostaje podobny
Kiedy Nathan podłączył antenę do odbiornika radiowego, był bardzo zaskoczony – czułość wzrosła dramatycznie. Po serii eksperymentów przyszły profesor Uniwersytetu Bostońskiego stwierdził, że antena wykonana według wzoru fraktalnego charakteryzuje się dużą wydajnością i pokrywa znacznie szerszy zakres częstotliwości w porównaniu z klasycznymi rozwiązaniami. Dodatkowo kształt anteny w postaci krzywej fraktalnej pozwala na znaczne zmniejszenie wymiarów geometrycznych. Nathan Cohen wysunął nawet twierdzenie udowadniające, że aby stworzyć antenę szerokopasmową, wystarczy nadać jej kształt samopodobnej krzywej fraktalnej.
Autor opatentował swoje odkrycie i założył firmę zajmującą się opracowywaniem i projektowaniem anten fraktalnych Fractal Antenna Systems, słusznie wierząc, że w przyszłości dzięki jego odkryciu telefony komórkowe będą mogły pozbyć się nieporęcznych anten i stać się bardziej kompaktowe.
W zasadzie tak się stało. To prawda, że nathan do dziś toczy spór prawny z dużymi korporacjami, które nielegalnie wykorzystują jego odkrycie do produkcji kompaktowych urządzeń komunikacyjnych. Niektórzy znani producenci urządzeń mobilnych, jak np. Motorola, osiągnęli już polubowne porozumienie z wynalazcą anteny fraktalnej.
⇡ Wymiary fraktalne: nie da się tego zrozumieć umysłem
Benoit zapożyczył to pytanie od słynnego amerykańskiego naukowca Edwarda Kasnera.
Ten ostatni, podobnie jak wielu innych znanych matematyków, uwielbiał komunikować się z dziećmi, zadając im pytania i otrzymując nieoczekiwane odpowiedzi. Czasami prowadziło to do zaskakujących konsekwencji. Na przykład dziewięcioletni bratanek Edwarda Kasnera wymyślił dobrze znane obecnie słowo „googol”, oznaczające jedynkę i sto zer. Wróćmy jednak do fraktali. Amerykański matematyk lubił zadawać pytanie, jak długa jest linia brzegowa USA. Po wysłuchaniu opinii swojego rozmówcy sam Edward udzielił prawidłowej odpowiedzi. Jeśli zmierzysz długość na mapie za pomocą połamanych segmentów, wynik będzie niedokładny, ponieważ linia brzegowa ma dużą liczbę nieregularności. Co się stanie, jeśli zmierzymy tak dokładnie, jak to możliwe? Będziesz musiał wziąć pod uwagę długość każdej nierówności - będziesz musiał zmierzyć każdy przylądek, każdą zatokę, skałę, długość skalistej półki, leżącego na niej kamienia, ziarenko piasku, atom i tak dalej. Ponieważ liczba nieprawidłowości dąży do nieskończoności, zmierzona długość linii brzegowej będzie wzrastać do nieskończoności podczas pomiaru każdej nowej nieprawidłowości.
Im mniejsza miara podczas pomiaru, tym dłuższa zmierzona długość
Co ciekawe, dzieci, podążając za podpowiedziami Edwarda, znacznie szybciej niż dorośli podali prawidłowe rozwiązanie, podczas gdy ci drudzy mieli trudności z przyjęciem tak niewiarygodnej odpowiedzi.
Używając tego problemu jako przykładu, Mandelbrot zasugerował użycie nowe podejście do pomiarów. Ponieważ linia brzegowa jest zbliżona do krzywej fraktalnej, oznacza to, że można do niej zastosować parametr charakteryzujący – tzw. wymiar fraktalny.
To, czym jest regularny wymiar, jest jasne dla każdego. Jeśli wymiar jest równy jeden, otrzymujemy linię prostą, jeśli dwa - płaską figurę, trzy - objętość. Jednak takie rozumienie wymiaru w matematyce nie sprawdza się w przypadku krzywych fraktalnych, gdzie ten parametr ma wartość ułamkową. Wymiar fraktalny w matematyce można umownie uznać za „chropowatość”. Im większa chropowatość krzywej, tym większy jest jej wymiar fraktalny. Krzywa, która według Mandelbrota ma wymiar fraktalny większy od wymiaru topologicznego, ma przybliżoną długość niezależną od liczby wymiarów.
Obecnie naukowcy znajdują coraz więcej obszarów zastosowań teorii fraktali. Za pomocą fraktali można analizować wahania cen giełdowych, badać wszelkiego rodzaju procesy naturalne, takie jak wahania liczby gatunków, czy symulować dynamikę przepływów. Algorytmy fraktalne można wykorzystać do kompresji danych, na przykład kompresji obrazu. A swoją drogą, żeby uzyskać piękny fraktal na ekranie komputera, wcale nie trzeba mieć doktoratu.
⇡ Fractal w przeglądarce
Być może jeden z najbardziej proste sposoby uzyskaj wzór fraktalny - użyj online edytor wektorów od młodego utalentowanego programisty Toby’ego Schachmana. Narzędzia tego prostego edytora graficznego opierają się na tej samej zasadzie samopodobieństwa.
Do Twojej dyspozycji są tylko dwa najprostsze kształty – czworokąt i okrąg. Można je dodawać do obszaru roboczego, skalować (aby przeskalować wzdłuż jednej z osi, należy przytrzymać klawisz Shift) oraz obracać. Nakładając się na siebie zgodnie z zasadą dodawania logicznego, te najprostsze elementy tworzą nowe, mniej trywialne formy. Te nowe kształty można następnie dodać do projektu, a program będzie powtarzał generowanie tych obrazów w nieskończoność. Na każdym etapie pracy nad fraktalem możesz wrócić do dowolnego elementu złożonego kształtu i edytować jego położenie oraz geometrię. Zabawne zajęcie, zwłaszcza jeśli weźmie się pod uwagę, że jedynym narzędziem, które musisz stworzyć, jest przeglądarka. Jeśli nie rozumiesz zasady pracy z tym rekurencyjnym edytorem wektorów, radzimy obejrzeć film na oficjalnej stronie projektu, który szczegółowo pokazuje cały proces tworzenia fraktala.
⇡ XaoS: fraktale na każdy gust
Wiele edytorów graficznych posiada wbudowane narzędzia do tworzenia wzorów fraktalnych. Jednak narzędzia te są zwykle drugorzędne i nie pozwalają na precyzyjne dostrojenie wygenerowanego wzoru fraktalnego. W przypadkach, gdy konieczne jest skonstruowanie matematycznie dokładnego fraktala, pomoc nadejdzie wieloplatformowy edytor XaoS. Program ten umożliwia nie tylko budowanie samopodobnego obrazu, ale także wykonywanie na nim różnych manipulacji. Na przykład w czasie rzeczywistym możesz „spacerować” po fraktalu, zmieniając jego skalę. Animowany ruch wzdłuż fraktala można zapisać jako plik XAF, a następnie odtworzyć w samym programie.
XaoS może załadować losowy zestaw parametrów, a także skorzystać z różnych filtrów przetwarzania obrazu - dodać efekt rozmycia ruchu, wygładzić ostre przejścia pomiędzy punktami fraktalnymi, symulować obraz 3D i tak dalej.
⇡ Fractal Zoomer: kompaktowy generator fraktali
W porównaniu do innych generatorów obrazów fraktalnych ma kilka zalet. Po pierwsze, jest bardzo mały i nie wymaga instalacji. Po drugie, implementuje zdolność determinowania paleta kolorów rysunek. Możesz wybrać odcienie w modelach kolorów RGB, CMYK, HVS i HSL.
Korzystanie z tej opcji jest również bardzo wygodne losowy wybór odcienie kolorów i funkcja odwracania wszystkich kolorów na obrazie. Aby dostosować kolor, dostępna jest funkcja cyklicznego doboru odcieni - po włączeniu odpowiedniego trybu program animuje obraz, cyklicznie zmieniając na nim kolory.
Fractal Zoomer może wizualizować 85 różnych funkcji fraktalnych, a formuły są wyraźnie widoczne w menu programu. W programie znajdują się filtry do późniejszej obróbki obrazu, choć w małych ilościach. Każdy przypisany filtr można w każdej chwili anulować.
⇡ Mandelbulb3D: edytor fraktali 3D
Kiedy używany jest termin „fraktal”, najczęściej odnosi się on do płaskiego, dwuwymiarowego obrazu. Jednak geometria fraktalna wykracza poza wymiar 2D. W przyrodzie można spotkać zarówno przykłady płaskich form fraktalnych, powiedzmy geometrii błyskawicy, jak i trójwymiarowych figury wolumetryczne. Powierzchnie fraktalne mogą być trójwymiarowe i jedne z bardzo ilustracje wizualne Fraktale 3D w Życie codzienne- kapuściana głowa. Być może najlepszym sposobem na zobaczenie fraktali jest odmiana Romanesco, hybryda kalafiora i brokułów.
Można też zjeść ten fraktal
Program Mandelbulb3D potrafi tworzyć trójwymiarowe obiekty o podobnym kształcie. Aby uzyskać powierzchnię 3D za pomocą algorytmu fraktalnego, autorzy tej aplikacji, Daniel White i Paul Nylander, przekonwertowali zbiór Mandelbrota na współrzędne sferyczne. Stworzony przez nich program Mandelbulb3D to prawdziwy trójwymiarowy edytor modelujący powierzchnie fraktalne o różnych kształtach. Ponieważ w przyrodzie często obserwujemy wzory fraktalne, sztucznie stworzony fraktalny trójwymiarowy obiekt wydaje się niezwykle realistyczny, a nawet „żywy”.
Może przypominać roślinę, może przypominać dziwne zwierzę, planetę lub coś innego. Efekt ten jest wzmocniony przez zaawansowany algorytm renderowania, który pozwala uzyskać realistyczne odbicia, obliczyć przezroczystość i cienie, symulować efekt głębi ostrości i tak dalej. Mandelbulb3D ma ogromną liczbę ustawień i opcji renderowania. Możesz kontrolować odcienie źródeł światła, wybrać tło i poziom szczegółowości symulowanego obiektu.
Edytor fraktali Incendia obsługuje podwójne wygładzanie obrazu, zawiera bibliotekę pięćdziesięciu różnych trójwymiarowych fraktali oraz posiada osobny moduł do edycji podstawowych kształtów.
Aplikacja wykorzystuje skrypty fraktalne, za pomocą których możesz samodzielnie opisywać nowe typy projektów fraktalnych. Incendia posiada edytory tekstur i materiałów, a silnik renderujący pozwala na wykorzystanie wolumetrycznych efektów mgły i różnorodnych shaderów. W programie zaimplementowano opcję zapisywania bufora podczas długotrwałego renderowania oraz wspiera tworzenie animacji.
Incendia umożliwia eksport modelu fraktalnego do popularnych formatów grafiki 3D - OBJ i STL. Incendia zawiera małe narzędzie o nazwie Geometrica, specjalne narzędzie do konfigurowania eksportu powierzchni fraktalnej do modelu 3D. Za pomocą tego narzędzia można określić rozdzielczość powierzchni 3D i określić liczbę iteracji fraktalnych. Wyeksportowane modele można wykorzystać w projektach 3D podczas pracy z edytorami 3D, takimi jak Blender, 3ds max i inne.
Ostatnio prace nad projektem Incendia nieco zwolniły. NA ten moment autor poszukuje sponsorów, którzy pomogą mu w rozwoju programu.
Jeśli nie masz wystarczającej wyobraźni, aby narysować piękny trójwymiarowy fraktal w tym programie, nie ma to znaczenia. Użyj biblioteki parametrów, która znajduje się w folderze INCENDIA_EX\parameters. Korzystając z plików PAR, możesz szybko znaleźć najbardziej niezwykłe kształty fraktali, w tym animowane.
⇡ Aural: jak śpiewają fraktale
Zwykle nie mówimy o projektach, nad którymi dopiero pracujemy, ale o w tym przypadku musimy zrobić wyjątek, jest to bardzo nietypowa aplikacja. Projekt o nazwie Aural wymyśliła ta sama osoba, która stworzyła Incendię. Jednak tym razem program nie wizualizuje zestawu fraktalnego, ale go odtwarza, zamieniając go w muzykę elektroniczną. Pomysł jest bardzo interesujący, szczególnie biorąc pod uwagę niezwykłe właściwości fraktali. Aural to edytor audio generujący melodie za pomocą algorytmów fraktalnych, czyli w istocie jest to syntezator-sekwenser audio.
Sekwencja dźwięków wytwarzanych przez ten program jest niezwykła i... piękna. Może się przydać do pisania nowoczesne rytmy i naszym zdaniem szczególnie dobrze nadaje się do tworzenia ścieżek dźwiękowych do programów telewizyjnych i radiowych, a także „pętli” podkładu muzycznego do gier komputerowych. Ramiro nie udostępnił jeszcze wersji demonstracyjnej swojego programu, ale obiecuje, że kiedy to zrobi, aby pracować z Aural, nie będziesz musiał studiować teorii fraktali – wystarczy pobawić się parametrami algorytmu generowania sekwencji notatek. Posłuchaj, jak brzmią fraktale i.
Fraktale: muzyczna przerwa
W rzeczywistości fraktale mogą pomóc w pisaniu muzyki nawet bez oprogramowania. Ale może to zrobić tylko ktoś, kto jest naprawdę przepojony tą ideą. naturalna harmonia a przy tym nie stał się nieszczęsnym „kujonem”. Warto wziąć przykład z muzyka Jonathana Coultona, który pisze między innymi kompozycje dla magazynu Popular Science. I w przeciwieństwie do innych wykonawców, Colton publikuje wszystkie swoje utwory na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne, która (w przypadku wykorzystania do celów niekomercyjnych) zapewnia bezpłatne kopiowanie, rozpowszechnianie, przekazywanie utworu innym osobom, a także jego modyfikację ( tworzenie dzieł zależnych), aby dostosować je do swoich zadań.
Jonathan Colton ma oczywiście piosenkę o fraktalach.
⇡ Zakończenie
We wszystkim, co nas otacza, często widzimy chaos, ale tak naprawdę nie jest to przypadek, ale idealna forma, którą fraktale pomagają nam dostrzec. Natura jest najlepszym architektem, idealnym budowniczym i inżynierem. Jest to bardzo logicznie skonstruowane i jeśli nie widzimy gdzieś prawidłowości, to znaczy, że trzeba jej szukać w innej skali. Ludzie rozumieją to coraz lepiej, próbując na wiele sposobów naśladować formy naturalne. Inżynierowie projektują systemy głośników w kształcie muszli, tworzą anteny w kształcie płatków śniegu i tak dalej. Jesteśmy pewni, że fraktale wciąż skrywają wiele tajemnic, a wiele z nich nie zostało jeszcze odkrytych przez człowieka.
Klasa mistrzowska „Kawałki wielokolorowe” (wzór fraktalny).
Klasa mistrzowska przeznaczona jest do pracy z dziećmi w każdej kategorii wiekowej. Można je wykorzystać w pracy z nauczycielami lub rodzicami.
Zamiar: kreacja z wykorzystaniem techniki „fraktalnego wzoru”. dzieło sztuki.
Zadania:
- znajomość Nowa technologia rysunek;
- rozwój autoekspresji i samowiedzy poprzez kreatywność;
- odprężenie i złagodzenie stresu emocjonalnego;
- tworzenie rzemiosła zbiorowego lub indywidualnego;
- zastosowanie technik arteterapeutycznych do korygowania zachowań dzieci niepełnosprawności zdrowie;
- rozwój umiejętności motorycznych.
Wzór fraktalny.
Autorzy metody - psychologowie T. Z. Poluyakhtova i A. E. Komov. Ich metoda wzorów fraktalnych ma ponad 20 lat. W tym czasie z metodą tą zapoznało się tysiące ludzi.Według książki autorów:
„Szczególnie znaczący był dzień 14 lipca 1991 r. W tym czasie rozwinęła się już technologia wzorów fraktalnych jako testu.
Aby go wypełnić, wszyscy słuchacze zostali poproszeni o wzięcie identycznych kartek papieru Whatman (format A4).
Aby wykluczyć wpływ świadomości na rysunek, wszystkim osobom badanym poproszono o zamknięcie oczu w momencie egzekucji. I nie odrywając ręki od kartki, przesuwaj długopis po kartce przez 45-60 sekund, starając się wypełnić większość arkusza.
W lekcji wzięło udział czterdzieści dziewięć osób – dorosłych i dzieci. Najstarszy uczestnik seminarium miał 56 lat, najmłodszy 6 lat.
Proces rysowania z zamkniętymi oczami był jak niesamowity sakrament. Ciekawie było obserwować wszystko, co się działo.
Wreszcie minęło wyznaczone 60 sekund. Wszyscy otworzyli oczy, spojrzeli na swoje rysunki, a na sali rozległ się przyjazny śmiech. Od tego czasu ta reakcja badanych powtarza się przez dziesięć lat.
To, co było przedstawione na każdej kartce papieru, naprawdę wywołało śmiech. Projekty każdego były inne: niektóre miały prostokątne komórki, inne trójkątne, niektóre miały gładkie linie, niektóre miały kanciaste, czasem pełne pętle i koła.
Następnie słuchacze zostali poproszeni o pokolorowanie powstałego rysunku. Aby wykluczyć świadomy wpływ na wybór koloru, zgodziliśmy się: ołówki i pisaki zabieraj tylko z zamkniętymi oczami.
Kiedy wszystkie rysunki były już gotowe, uczestnicy seminarium zobaczyli całą galerię ludzkich warunków.”
Podstawą tej metody jest zasada fraktali i fraktali jako takiej. Rysunek tutaj jest uważany za kontynuację osoby, jej małej części, projekcji. I ta mała część odzwierciedla wielką całość – osobę. Patrząc na rysunek, można zdiagnozować stan jego autora.
Do pracy potrzebujesz:
- zestaw kolorowych kredek,
- flamastry i długopisy w jak największej liczbie kolorów;
- kartka papieru Whatman w formacie A4;
- długopis kulkowy czarny lub ciemnoniebieski.
Przypowieść „Ołówek”
Przed włożeniem ołówka do pudełka ołówek odłożył go na bok.„Jest pięć rzeczy, które musisz wiedzieć” – powiedział do ołówka – „zanim wyślę cię w świat”. Zawsze o nich pamiętaj i nigdy o nich nie zapominaj, a staniesz się najlepszym ołówkiem, jakim możesz być.
Po pierwsze, możesz dokonać wielu wielkich rzeczy, ale tylko wtedy, gdy pozwolisz, aby Ktoś trzymał cię w Swojej dłoni.
Po drugie, od czasu do czasu będziesz odczuwać bolesne ostrzenie, ale konieczne będzie stać się lepszym ołówkiem.
Po trzecie: będziesz w stanie naprawić błędy, które popełniasz.
Po czwarte: najbardziej ważna część zawsze będzie w Tobie.
I po piąte: niezależnie od tego, na jakiej nawierzchni się poruszasz, zawsze musisz zostawić po sobie ślad. Bez względu na twój stan, musisz kontynuować pisanie.
Ołówek zrozumiał i obiecał o tym pamiętać. Został umieszczony w pudełku z powołaniem w sercu.
Proces pracy krok po kroku:
1. Zbieramy niezbędne materiały do pracy.
2. Połóż arkusz poziomo przed sobą. Umieść kulkę pisaka w dowolnym miejscu kartki. Zamykając oczy, rysujemy ciągłą linię, starając się wypełnić ją jak najpełniej Duża powierzchnia arkusz, przez 45 - 60 sekund.
3. Zamykając oczy, wybierz ołówek. Podczas malowania należy pamiętać, że sąsiednie komórki oddzielone linią nie mogą być wypełnione tym samym kolorem. Jeśli komórki stykają się w jednym punkcie i są ułożone po przekątnej, jest to możliwe. Jednym kolorem można pomalować jedną komórkę lub kilka komórek.
4. Zamykając oczy, wybierz następny ołówek. Malujemy komórki, które się nie stykają.
5. Zamykając oczy, wybierz następny ołówek. Malujemy komórki, które się nie stykają.
6. Nasz obraz „Wielokolorowe kawałki” jest gotowy.
7. Ten rysunek nie tylko pomoże złagodzić stres emocjonalny podczas kreatywności, ale także ozdobi wnętrze. Twój obraz jest wyjątkowy!
Oto kilka prac, które wykonały dzieci z mojej grupy.
Kurs mistrzowski dla młodszych uczniów „Kawałki wielokolorowe” (rysunek fraktalny).
Autorka: Anna Sergeevna Ogonkova, nauczycielka w Miejskiej Budżetowej Instytucji Oświatowej „Internat dla dzieci niepełnosprawnych nr 2” Elektrostal, obwód moskiewski”, Elektrostal.
Klasa mistrzowska przeznaczona jest do pracy z dziećmi w każdej kategorii wiekowej. Można je wykorzystać w pracy z nauczycielami lub rodzicami. Wykonując rysunek tą techniką, możesz doskonale ozdobić wnętrze swojego domu lub podarować obraz znajomym. Pracując w tej klasie mistrzowskiej, będziesz miał wiele przyjemności i doświadczysz twórczych emocji!
Zamiar: stworzenie dzieła sztuki przy użyciu techniki „Rysunek fraktalny”.
Zadania:
zapoznanie się z nowymi technikami rysunkowymi;
rozwój autoekspresji i samowiedzy poprzez kreatywność;
odprężenie i złagodzenie stresu emocjonalnego;
tworzenie rzemiosła zbiorowego lub indywidualnego;
wykorzystanie technik arteterapeutycznych do korygowania zachowań dzieci niepełnosprawnych;
rozwój umiejętności motorycznych.
Wzór fraktalny.
Autorami metody są T. 3. Poluyakhtova i A. E. Komov. Ich metoda wzorów fraktalnych ma ponad 20 lat. W tym czasie z metodą tą zapoznało się tysiące ludzi.
Według książki autorów:
„Szczególnie znaczący był dzień 14 lipca 1991 r. W tym czasie rozwinęła się już technologia wzorów fraktalnych jako testu.
Aby go wypełnić, wszyscy słuchacze zostali poproszeni o wzięcie identycznych kartek papieru Whatman (format A4).
Aby wykluczyć wpływ świadomości na rysunek, wszystkim osobom badanym poproszono o zamknięcie oczu w momencie egzekucji. I nie odrywając ręki od kartki, przesuwaj długopis po kartce przez 45-60 sekund, starając się wypełnić większość arkusza.
W lekcji wzięło udział czterdzieści dziewięć osób – dorosłych i dzieci. Najstarszy uczestnik seminarium miał 56 lat, najmłodszy 6 lat.
Proces rysowania z zamkniętymi oczami był jak niesamowity sakrament. Ciekawie było obserwować wszystko, co się działo.
Wreszcie minęło wyznaczone 60 sekund. Wszyscy otworzyli oczy, spojrzeli na swoje rysunki, a na sali rozległ się przyjazny śmiech. Od tego czasu ta reakcja badanych powtarza się przez dziesięć lat.
To, co było przedstawione na każdej kartce papieru, naprawdę wywołało śmiech. Projekty każdego były inne: niektóre miały prostokątne komórki, inne trójkątne, niektóre miały gładkie linie, niektóre miały kanciaste, czasem pełne pętle i koła.
Następnie słuchacze zostali poproszeni o pokolorowanie powstałego rysunku. Aby wykluczyć świadomy wpływ na wybór koloru, zgodziliśmy się: ołówki i pisaki zabieraj tylko z zamkniętymi oczami.
Kiedy wszystkie rysunki były już gotowe, uczestnicy seminarium zobaczyli całą galerię ludzkich warunków.”
Podstawą tej metody jest zasada fraktali i fraktali jako takiej. Rysunek tutaj jest uważany za kontynuację osoby, jej małej części, projekcji. I ta mała część odzwierciedla wielką całość – osobę. Patrząc na rysunek, można zdiagnozować stan jego autora.
Do pracy potrzebujesz:
zestaw kolorowych ołówków, pisaków i długopisów w jak największej liczbie odcieni kolorystycznych; Arkusz papieru Whatman w formacie A4; długopis w kolorze czarnym lub granatowym.
Przypowieść „Ołówek”
Przed włożeniem ołówka do pudełka ołówek odłożył go na bok.
„Jest pięć rzeczy, które musisz wiedzieć” – powiedział do ołówka – „zanim wyślę cię w świat”. Zawsze o nich pamiętaj i nigdy o nich nie zapominaj, a staniesz się najlepszym ołówkiem, jakim możesz być.
Po pierwsze, możesz dokonać wielu wielkich rzeczy, ale tylko wtedy, gdy pozwolisz, aby Ktoś trzymał cię w Swojej dłoni.
Po drugie, od czasu do czasu będziesz odczuwać bolesne ostrzenie, ale konieczne będzie stać się lepszym ołówkiem.
Po trzecie: będziesz w stanie naprawić błędy, które popełniasz.
Po czwarte: Twoja najważniejsza część zawsze będzie w Tobie.
I po piąte: niezależnie od tego, na jakiej nawierzchni się poruszasz, zawsze musisz zostawić po sobie ślad. Niezależnie od stanu zdrowia, musisz kontynuować pisanie.
Ołówek zrozumiał i obiecał o tym pamiętać. Został umieszczony w pudełku z powołaniem w sercu.
Proces pracy krok po kroku:
1. Zbieramy niezbędne materiały do pracy.
2. Połóż arkusz poziomo przed sobą. Umieść kulkę pisaka w dowolnym miejscu kartki. Zamykając oczy, rysujemy ciągłą linię, starając się wypełnić jak największą część arkusza w ciągu 45 - 60 sekund.
3. Zamykając oczy, wybierz ołówek. Podczas malowania należy pamiętać, że sąsiednie komórki oddzielone linią nie mogą być wypełnione tym samym kolorem. Jeśli komórki stykają się w jednym punkcie i są ułożone po przekątnej, jest to możliwe. Jednym kolorem można pomalować jedną komórkę lub kilka komórek.
4. Zamykając oczy, wybierz następny ołówek. Malujemy komórki, które się nie stykają.
5. Zamykając oczy, wybierz następny ołówek. Malujemy komórki, które się nie stykają.
6. Nasz obraz „Wielokolorowe kawałki” jest gotowy.
7. Ten rysunek nie tylko pomoże złagodzić stres emocjonalny podczas twórczości, pozwoli zdiagnozować swój stan emocjonalny (załącznik 1), ale także ozdobi wnętrze. Twój obraz jest wyjątkowy!
ANEKS 1.
DEKODOWANIE WZORU FRACTALNEGO
1. ANALIZA I DEKODOWANIE INFORMACJI ZAWARTYCH WZOREM FRACTALNYM ZACZYNA SIĘ OD LINI.
Wyraźnie narysowana linia - pewność siebie, silny charakter, celowość i niezależność, dokładność, pracowitość, zaangażowanie.
Presja podczas rysowania linii nie wszędzie jest taka sama – najczęściej jest to osoba kreatywna o elastycznym charakterze, marzycielka, emocje nie zawsze są stabilne, a czasem pojawia się zwątpienie.
Słabo narysowane linie wskazują na bolesny stan, kompleksy, zauważalne zwątpienie.
Ostre, narysowane pod kątem linie wskazują na napięcie emocjonalne, stan stresujący.
Linie z płynnymi przejściami - stan harmonijny, stabilny.
Układ linii w koncentrycznym okręgu, okrężna powtarzalność na rysunku – skłonność do stanów obsesyjnych, nerwic.
2. ROZMIAR I KONFIGURACJA WZORU
Mały rysunek (nie więcej niż 1/3 powierzchni arkusza) - z jednej strony kompleksy i niska samoocena, z drugiej skłonność do egocentryzmu.
Średnia wielkość (około 2/3 powierzchni arkusza) i owalny obwód wzoru są najczęściej wyznacznikiem zrównoważonego charakteru.
Duży rysunek (znacznie większy niż 2/3 powierzchni arkusza) z liniami wystającymi poza arkusz jest niestabilny stan emocjonalny w niektórych przypadkach niezdolność do koncentracji. Prostokątny kształt obwodu projektu jest prostoliniowy, często ma złożony charakter.
Konfiguracja wzoru z dziwnie wyraźnymi „ogonami” na obwodzie - jasna osobowość, oryginalność, w niektórych przypadkach niestałość charakteru.
3. KOMÓRKI. KONFIGURACJA I WYMIARY.
Harmonijne połączenie rozmiarów komórek na całym obszarze wzoru (1/3 duża, 1/3 średnia, 1/3 mała) mówi o pewności siebie, determinacji i stabilności.
Duża liczba dużych komórek - miły, otwarty charakter.
Duża liczba komórek środkowych - pracowitość, dokładność, pedanteria, obecność zdolności analitycznych, zamiłowanie do nauk ścisłych.
Duża liczba małych komórek - złożoność, chęć szczegółowości, w niektórych przypadkach zwątpienie, ale zawsze dokładność i pracowitość.
Gładkie, zaokrąglone komórki z niewielką liczbą geometrycznych kształtów - rozsądny, spokojny charakter, zamiłowanie do kreatywności.
Duża liczba kształtów geometrycznych - wyraźna skłonność do analizy, sceptycyzm w ocenach, bezpośredni autorytarny charakter.
Ostro narysowane, kanciaste, nierówne komórki - niestabilność emocjonalna, irytacja, stres.
4. PLAMA
Małe czarne (kropkowane plamy) komórki - obecność jakości „poprzedniego” zdarzenia (o czym dana osoba myśli, dzieje się).
Każda mała czarna plama jest dowodem początku zmiany wydarzeń w teraźniejszości.
Zauważalna liczba średnich plam lub duża czarna plama to głód energetyczny (niechciana praca, jałowa praca).
Duża lokalna ciemna plama - pilny problem o charakterze osobistym.
5. CHARAKTERYSTYCZNE AKCENTY KOLOROWE
Duże czerwone krwinki - predyspozycja do stanów obsesyjnych, lęku.
Wyraźna ilość średniej wielkości czerwonych plamek – napięcie, niestabilne emocje.
Jedna lub więcej dużych brązowych komórek reprezentuje problemy w relacjach międzyludzkich, które nie zostały rozwiązane przez długi czas.
Duża ilość odcieni zieleni to naturalna zdolność organizmu do samoregulacji.
Jedna lub więcej dużych fioletowych komórek - niepokój, agresja, ostry stres.
6. KOLOR
Czysty bez plam i śladów białe tło rysunek - duża koncentracja uwagi, pracowitość, punktualność.
Przypadkowo lub celowo niewypełnione komórki biały- mówić o znaczącym braku zapotrzebowania na walory przyrodnicze.
- Cytrynowy żółty to kolor wychowawcy, nauczyciela.
- Kurczak żółty to kolor „przekaźnika”, przekaziciela informacji, komentatora.
- Zielony kolor wszystkich odcieni to kolor zdrowej energii, optymalnej zdolności organizmu do stawiania oporu i samoleczenia oraz zdolności do leczenia.
Niebieski to kolor spokojnej energii.
Niebieski i granatowy to kolor zimnej, obojętnej energii.
Liliowy to kolor silnej energii.
Fioletowy to kolor tryskającej energii.
Liliowy to kolor potężnej, niekontrolowanej energii.
Różowy to kolor ciepłej energii.
Szkarłat, karmazyn - kolor sygnalizujący obecność niebezpieczeństwa, kolor alarmu.
Gęsty odcień czerwieni, bordo, wiśni - kolor siły, agresywnej energii.
- Pomarańczowy to kolor witalnej, seksualnej energii.
- Jasne odcienie brązu (złoty, beżowy, ochra, piaskowy) to kolor czystej energii, świętej energii.
- Brąz to kolor, który określa obecność kłopotów, głębokich uczuć, depresji (w połączeniu z innymi ciemnymi kolorami i odcieniami).
- Ciemny brąz to kolor, który określa obecność kłopotów, głębokich emocji, depresji (w połączeniu z innymi ciemnymi kolorami i odcieniami).
- Kolor szary to kolor określający obecność energii niestabilnych, w połączeniu z innymi ciemnymi kolorami - stan graniczny. W małych ilościach kolor ten oznacza szybką zmianę bieżących wydarzeń.
- Kolor czarny to kolor dziury energetycznej, próżni, pustki, pozbawienia energii.
Często genialne odkrycia dokonane w nauce mogą radykalnie zmienić nasze życie. Na przykład wynalezienie szczepionki może uratować wiele osób, ale stworzenie nowej broni prowadzi do morderstwa. Dosłownie wczoraj (w skali historii) człowiek „oswoił” prąd, a dziś nie wyobraża sobie już życia bez niego. Zdarzają się jednak i odkrycia, które, jak mówią, pozostają w cieniu, mimo że i one mają taki czy inny wpływ na nasze życie. Jednym z takich odkryć był fraktal. Większość ludzi nigdy nawet nie słyszała o tym pojęciu i nie będzie w stanie wyjaśnić jego znaczenia. W tym artykule postaramy się zrozumieć pytanie, czym jest fraktal i zastanowić się nad znaczeniem tego terminu z punktu widzenia nauki i przyrody.
Porządek w chaosie
Aby zrozumieć, czym jest fraktal, omówienie powinniśmy zacząć od stanowiska matematyki, ale zanim się w to zagłębimy, trochę pofilozofujemy. Każdy człowiek ma naturalną ciekawość, dzięki której się uczy świat. Często w swym dążeniu do wiedzy stara się w swoich sądach kierować logiką. Tym samym analizując procesy zachodzące wokół niego stara się wyliczyć zależności i wyprowadzić pewne wzorce. Największe umysły na planecie są zajęte rozwiązywaniem tych problemów. Z grubsza rzecz biorąc, nasi naukowcy szukają wzorców tam, gdzie ich nie ma i nie powinno ich być. A jednak nawet w chaosie istnieje powiązanie między pewnymi wydarzeniami. To połączenie jest tym, czym jest fraktal. Weźmy na przykład złamaną gałąź leżącą na drodze. Jeśli przyjrzymy się mu uważnie, zobaczymy, że ze wszystkimi gałęziami i gałązkami sam w sobie wygląda jak drzewo. To podobieństwo odrębnej części do jednej całości wskazuje na tzw. zasadę rekurencyjnego samopodobieństwa. Fraktale można znaleźć wszędzie w przyrodzie, ponieważ wiele form nieorganicznych i organicznych powstaje w podobny sposób. Są to chmury, muszle morskie, muszle ślimaków, korony drzew, a nawet układ krążenia. Listę tę można ciągnąć w nieskończoność. Wszystkie te losowe kształty można łatwo opisać za pomocą algorytmu fraktalnego. Teraz doszliśmy do rozważenia, czym jest fraktal z punktu widzenia nauk ścisłych.
Kilka suchych faktów
Samo słowo „fraktal” jest tłumaczone z łaciny jako „częściowy”, „podzielony”, „fragmentowany”, a jeśli chodzi o treść tego terminu, nie ma jako takiego sformułowania. Zwykle interpretuje się go jako zbiór samopodobny, część całości, która powtarza swoją strukturę na poziomie mikro. Termin ten powstał w latach siedemdziesiątych wieku Benoit Mandelbrota, uznawanego za ojca. Dziś pojęcie fraktala oznacza graficzny obraz pewnej struktury, która po powiększeniu będzie do siebie podobna. Jednak matematyczne podstawy do stworzenia tej teorii położono jeszcze przed narodzinami samego Mandelbrota, ale nie mogła się ona rozwinąć, dopóki nie pojawiły się komputery elektroniczne.
Tło historyczne, czyli jak to się wszystko zaczęło
Na przełomie XIX i XX wieku badania natury fraktali miały charakter sporadyczny. Wyjaśnia to fakt, że matematycy woleli badać obiekty, które można było badać w oparciu o ogólne teorie i metody. W 1872 roku niemiecki matematyk K. Weierstrass skonstruował przykład funkcji ciągłej, która nigdzie nie jest różniczkowalna. Konstrukcja ta okazała się jednak całkowicie abstrakcyjna i trudna do dostrzeżenia. Następny był Szwed Helge von Koch, który w 1904 roku skonstruował ciągłą krzywą, która nigdzie nie miała stycznej. Jest dość łatwy do narysowania i okazuje się, że ma właściwości fraktalne. Jeden z wariantów tej krzywej został nazwany na cześć jej autora - „płatek śniegu Kocha”. Co więcej, ideę samopodobieństwa postaci rozwinął przyszły mentor B. Mandelbrota, Francuz Paul Levy. W 1938 roku opublikował artykuł pt. „Krzywe płaskie i przestrzenne oraz powierzchnie składające się z części podobnych do całości”. W nim opisał nowy rodzaj- Krzywa C Leviego. Wszystkie powyższe figury są umownie klasyfikowane jako fraktale geometryczne.
Fraktale dynamiczne lub algebraiczne
Zbiór Mandelbrota należy do tej klasy. Pierwszymi badaczami w tym kierunku byli francuscy matematycy Pierre Fatou i Gaston Julia. W 1918 roku Julia opublikowała pracę opartą na badaniu iteracji wymiernych funkcji zespolonych. Tutaj opisał rodzinę fraktali, które są ściśle powiązane ze zbiorem Mandelbrota. Mimo że dzieło to gloryfikowało autora wśród matematyków, szybko zostało zapomniane. I dopiero pół wieku później, dzięki komputerom, twórczość Julii otrzymała drugie życie. Komputery umożliwiły każdemu człowiekowi uwidocznienie piękna i bogactwa świata fraktali, który matematycy mogli „zobaczyć”, wyświetlając je za pomocą funkcji. Mandelbrot jako pierwszy użył komputera do przeprowadzenia obliczeń (takiej objętości nie można wykonać ręcznie), które umożliwiły skonstruowanie obrazu tych figur.
Osoba z wyobraźnią przestrzenną
Mandelbrot rozpoczął karierę naukową w IBM Research Center. Badając możliwości transmisji danych na duże odległości, naukowcy zetknęli się z faktem dużych strat powstałych na skutek zakłóceń zakłócających. Benoit szukał sposobów rozwiązania tego problemu. Przeglądając wyniki pomiarów zauważył dziwną prawidłowość, a mianowicie: wykresy szumów wyglądały tak samo w różnych skalach czasowych.
Podobny obraz zaobserwowano zarówno przez okres jednego dnia, jak i siedmiu dni lub godziny. Sam Benoit Mandelbrot często powtarzał, że nie pracuje ze wzorami, ale bawi się obrazami. Ten naukowiec był inny twórcze myślenie, przełożył dowolny problem algebraiczny na obszar geometryczny, gdzie poprawna odpowiedź jest oczywista. Nic więc dziwnego, że wyróżnił się bogactwem i stał się ojcem geometrii fraktalnej. W końcu świadomość tej postaci może przyjść tylko wtedy, gdy przestudiujesz rysunki i zastanowisz się nad znaczeniem tych dziwnych wirów tworzących wzór. Wzory fraktalne nie mają identycznych elementów, ale są podobne w dowolnej skali.
Julia-Mandelbrot
Jednym z pierwszych rysunków tej figury była graficzna interpretacja zbioru, która zrodziła się z twórczości Gastona Julii i została rozwinięta przez Mandelbrota. Gaston próbował wyobrazić sobie, jak wyglądałby zbiór, na podstawie prostego wzoru iterowanego w pętli sprzężenia zwrotnego. Spróbujmy wyjaśnić, co zostało powiedziane język ludzki, że tak powiem, na palcach. Dla konkretnego wartość numeryczna korzystając ze wzoru, znajdujemy nową wartość. Podstawiamy go do wzoru i otrzymujemy następujący wynik. Wynik jest duży.Aby przedstawić taki zbiór, należy wykonać tę operację ogromną liczbę razy: setki, tysiące, miliony. To właśnie zrobił Benoit. Przetworzył sekwencję i przeniósł wyniki do postaci graficznej. Następnie pokolorował powstałą figurę (każdy kolor odpowiada określonej liczbie iteracji). Ten obraz graficzny został nazwany „Fraktalem Mandelbrota”.
L. Carpenter: sztuka stworzona przez naturę
Teoria fraktali szybko znalazła praktyczne zastosowanie. Ponieważ jest to bardzo ściśle powiązane z wizualizacją obrazów samopodobnych, artyści jako pierwsi przyjęli zasady i algorytmy konstruowania tych niezwykłych form. Pierwszą z nich była przyszła założycielka Pixara, Lauren Carpenter. Pracując nad prezentacją prototypów samolotów wpadł na pomysł wykorzystania w tle obrazu gór. Dziś z takim zadaniem poradzi sobie niemal każdy użytkownik komputera, jednak w latach siedemdziesiątych ubiegłego wieku komputery nie były w stanie wykonywać takich procesów, gdyż nie było wówczas edytorów graficznych ani aplikacji do grafiki trójwymiarowej. I wtedy Loren natknęła się na książkę Mandelbrota „Fraktale: forma, losowość i wymiar”. Benoit podał w nim wiele przykładów, pokazując, że fraktale istnieją w przyrodzie (fyva), opisał je różne kształty i udowodnił, że można je łatwo opisać za pomocą wyrażeń matematycznych. Matematyk przytoczył tę analogię jako argument za przydatnością rozwijanej przez siebie teorii w odpowiedzi na falę krytyki ze strony kolegów. Twierdzili, że fraktal jest sprawiedliwy Ładne zdjęcie, który nie ma żadnej wartości i jest produktem ubocznym działania maszyn elektronicznych. Stolarz postanowił wypróbować tę metodę w praktyce. Po dokładnym przestudiowaniu książki przyszły animator zaczął szukać sposobu na wdrożenie geometrii fraktalnej w grafice komputerowej. Wygenerowanie na komputerze całkowicie realistycznego obrazu górskiego krajobrazu zajęło mu zaledwie trzy dni. A dziś ta zasada jest szeroko stosowana. Jak się okazuje, tworzenie fraktali nie wymaga wiele czasu i wysiłku.
Rozwiązanie stolarskie
Zasada, którą stosowała Lauren, była prosta. Polega na podzieleniu większych na mniejsze elementy, a tych na podobne mniejsze i tak dalej. Stolarz za pomocą dużych trójkątów podzielił je na 4 mniejsze i tak dalej, aż uzyskał realistyczny krajobraz górski. Tym samym stał się pierwszym artystą, który zastosował algorytm fraktalny w grafice komputerowej do skonstruowania wymaganego obrazu. Dziś tę zasadę stosuje się do naśladowania różnych realistycznych form naturalnych.
Pierwsza wizualizacja 3D wykorzystująca algorytm fraktalny
Kilka lat później Lauren zastosował swoje osiągnięcia w projekcie na dużą skalę - animowanym filmie Vol Libre, pokazanym w Siggraph w 1980 roku. Ten film zszokował wielu, a jego twórca został zaproszony do pracy w Lucasfilm. Tutaj animator mógł w pełni wykorzystać swój potencjał, stworzył trójwymiarowe krajobrazy (całą planetę) na potrzeby filmu fabularnego „Star Trek”. Każdy nowoczesny program(„Fractals”) lub aplikacja do grafiki 3D (Terragen, Vue, Bryce) wykorzystuje ten sam algorytm do modelowania tekstur i powierzchni.
Tomek Beddar
Beddard, poprzednio fizyk laserowy, a obecnie artysta i artysta cyfrowy, stworzył szereg bardzo intrygujących kształtów geometrycznych, które nazwał fraktalami Fabergé. Zewnętrznie przypominają ozdobne jajka od rosyjskiego jubilera, mają ten sam genialny, misterny wzór. Beddard zastosował metodę szablonową do stworzenia cyfrowych renderingów modeli. Powstałe produkty zachwycają swoim pięknem. Chociaż wielu nie chce porównywać produktu ręcznie robionego z program komputerowy trzeba jednak przyznać, że powstałe formy są niezwykle piękne. Najważniejsze jest to, że każdy może zbudować taki fraktal, korzystając z biblioteki oprogramowania WebGL. Pozwala eksplorować różne struktury fraktalne w czasie rzeczywistym.
Fraktale w przyrodzie
Niewiele osób zwraca na to uwagę, ale te niesamowite postacie są obecne wszędzie. Natura składa się z samopodobnych postaci, po prostu tego nie zauważamy. Wystarczy spojrzeć przez szkło powiększające na naszą skórę lub liść drzewa, a zobaczymy fraktale. Lub weź na przykład ananasa, a nawet ogon pawia - składają się z podobnych postaci. A odmiana brokułów Romanescu jest ogólnie uderzająca swoim wyglądem, ponieważ naprawdę można ją nazwać cudem natury.
Pauza muzyczna
Okazuje się, że fraktale to nie tylko kształty geometryczne, mogą to być także dźwięki. Dlatego muzyk Jonathan Colton pisze muzykę za pomocą algorytmów fraktalnych. Twierdzi, że odpowiada naturalnej harmonii. Kompozytor publikuje wszystkie swoje utwory na licencji CreativeCommons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne, która przewiduje bezpłatne rozpowszechnianie, kopiowanie i przekazywanie utworów innym osobom.
Wskaźnik fraktalny
Technika ta znalazła bardzo nieoczekiwane zastosowanie. Na jego podstawie stworzono narzędzie do analizy rynku giełdowego, które w efekcie zaczęto wykorzystywać na rynku Forex. Obecnie wskaźnik fraktalny występuje na wszystkich platformach transakcyjnych i jest używany w technice handlowej zwanej przebiciem ceny. Technikę tę opracował Bill Williams. Jak autor komentuje swój wynalazek, algorytm ten jest kombinacją kilku „świec”, w których środkowa odzwierciedla maksimum lub odwrotnie, minimalny punkt skrajny.
Wreszcie
Przyjrzeliśmy się więc, czym jest fraktal. Okazuje się, że w otaczającym nas chaosie rzeczywiście istnieją doskonałe kształty. Natura jest najlepszym architektem, idealnym budowniczym i inżynierem. Ułożone jest to bardzo logicznie i jeśli nie możemy znaleźć wzoru, nie oznacza to, że go nie ma. Może trzeba spojrzeć na inną skalę. Możemy śmiało powiedzieć, że fraktale wciąż kryją wiele tajemnic, których jeszcze nie odkryliśmy.
Pewnie nie raz widziałaś takie efektowne wzory, z wieloma kolorami i „lokami”…
Wiele z nich buduje się poprzez wielokrotne kopiowanie zwykłych kształtów, z których każdy jest mniejszą kopią większej ozdoby.
W tym samouczku dowiesz się, jak tworzyć podobne wzory w programie Adobe Photoshop.
Oto końcowy wynik tego, co zamierzamy zrobić: 
Krok 1
Fraktal(łac. fractus – rozdrobniony) – termin oznaczający figurę geometryczną posiadającą właściwość samopodobieństwa, czyli złożoną z kilku części, z których każda jest podobna do całej figury. W szerszym znaczeniu fraktale są rozumiane jako zbiory punktów w przestrzeni euklidesowej, które mają ułamkowy wymiar metryczny (w sensie Minkowskiego czy Hausdorffa) lub wymiar metryczny ściśle większy od topologicznego. © Wikipedia
Cóż, zaczynajmy. Najpierw stwórzmy nowy dokument Rozmiar 1600x1200 pikseli i umieść linie pomocnicze (Linijki (Ctrl+R)) na środku dokumentu. Następnie wypełnij tło okrągłym gradientem #095261 - #000000 ściśle od środka. 
Krok 2
Teraz narysujmy zwykły okrąg... Tak, nie żartuję, wszystko zaczyna się od prostego koła. Narysuj go za pomocą narzędzia Elipsa, trzymając Shift.U mnie ma on rozmiar 83x83 pikseli i znajduje się w środkowej części obrazka.Następnie utwórz folder warstw fraktalnych i umieść tam warstwę z okręgiem. 
Krok 3
Dodajmy trochę głębi do okręgu:
Krok 4
Teraz zduplikuj warstwę z okręgiem (Ctrl+J), zmień jej rozmiar i umieść jak pokazano na poniższym rysunku: 
Biały trójkąt służy mi jako wskazówka przy przesuwaniu okręgów :)
Krok 5
Tutaj zaczyna się zabawna część. Zduplikuj warstwę z bazą naszego wzoru (po wcześniejszym połączeniu warstw z okręgami) i naciśnij Ctrl+Alt+T, aby wejść w tryb swobodnej transformacji. 
Krok 6
Trzymając Shift, obróć wzór o kilka stopni w prawo i zmniejsz go. Następnie przesuwamy środek transformacji w lewo i pod nasz wzór (kierunek zależy od Twoich potrzeb). Naciśnij enter. 
Krok 7
Czas na małą sztuczkę z jednym skrótem (Ctrl+Shift+Alt+T). Naciśnij tę magiczną kombinację klawiszy. Co się stało? Photoshop zastosował te same ustawienia transformacji do nowego obiektu. Powtórzmy ten krok kilka razy, aż osiągniemy pożądany efekt. 
Krok 8
Zduplikuj folder Fractal i naciśnij Ctrl+E, aby połączyć go w jedną warstwę. Ukrywanie oryginalnego folderu. Powstały wzór umieszczamy w prawym dolnym sektorze naszego dokumentu. 
Krok 9
Wybierz powstałą warstwę, zduplikuj ją i zastosuj do niej swobodną transformację, przesuwając środek transformacji na środek dokumentu. Obróć wzór o 120 stopni. 
Krok 10
Robimy to samo, aby uzyskać trzecią twarz. Następnie tworzymy folder warstw i umieszczamy w nim wszystkie 3 powstałe wzory. Zduplikuj folder i połącz jego zawartość w jedną warstwę (Ctrl+E). 
Krok 11
Zduplikuj warstwę i przekształć ją: 
Krok 12
Przejdź do menu Image-Adjustments-Hue/Saturation i ustaw następujące parametry: 
Krok 13
Powtarzamy punkty 11 i 12 (12 z innymi parametrami): 
Krok 14
Technikę tę stosujemy wielokrotnie, aż do uzyskania podobnego rezultatu. Wszystkie powstałe warstwy umieszczamy w nowym folderze, duplikujemy i ponownie łączymy jego zawartość w jedną warstwę (wszystko utworzone wcześniej można ukryć). 
Krok 15
Dodanie cienia. 
Krok 16
Z powstałą ozdobą wykonujemy manewry opisane w paragrafie 5. 
Wniosek
Jak widać, przy użyciu tej techniki można stworzyć wiele pięknych abstrakcyjnych projektów. Powodzenia w Twoich wysiłkach! :)