Fandagi eng mohir kashfiyotlar tubdan o'zgarishi mumkin inson hayoti. Ixtiro qilingan vaktsina millionlab odamlarni qutqarishi mumkin, qurol yaratish, aksincha, bu hayotni olib tashlaydi. Yaqinda (inson evolyutsiyasi miqyosida) biz elektr energiyasini "o'zlashtirishni" o'rgandik - va endi biz hayotni elektr energiyasidan foydalanadigan barcha qulay qurilmalarsiz tasavvur qila olmaymiz. Ammo kamdan-kam odamlar ahamiyat beradigan kashfiyotlar ham bor, garchi ular bizning hayotimizga katta ta'sir ko'rsatadi.
Ushbu "ko'zga tashlanmaydigan" kashfiyotlardan biri fraktallardir. Siz bu jozibali so'zni avval ham eshitgan bo'lsangiz kerak, lekin uning ma'nosi va bu atamada qanchalik qiziqarli ma'lumotlar yashiringanini bilasizmi?
Har bir insonda tabiiy qiziquvchanlik, uning atrofidagi dunyoni tushunish istagi bor. Va bu harakatda inson hukmlarda mantiqqa amal qilishga harakat qiladi. Atrofida sodir bo'layotgan jarayonlarni tahlil qilib, u sodir bo'layotgan voqealarning mantiqiyligini topishga va qandaydir naqsh chiqarishga harakat qiladi. Sayyoradagi eng buyuk aqllar bu vazifa bilan band. Taxminan aytganda, olimlar bunday bo'lmasligi kerak bo'lgan namunani qidirmoqdalar. Shunga qaramay, hatto tartibsizlikda ham voqealar o'rtasidagi aloqalarni topish mumkin. Va bu aloqa fraktaldir.
To'rt yarim yoshli qizimiz hozir o'sha ajoyib yoshda, "Nega?" degan savollar ko'p. kattalar bera oladigan javoblar sonidan ko'p marta oshadi. Yaqinda qizim yerdan ko‘tarilgan novdani ko‘zdan kechirar ekan, to‘satdan bu shoxning shoxlari va shoxlari bilan daraxtga o‘xshab qolganini payqadi. Va, albatta, "Nima uchun?" Odatdagi savol tug'ildi, ota-onalar bola tushunadigan oddiy tushuntirishni izlashlari kerak edi.
Bitta novdaning bola tomonidan kashf etilgan butun daraxt bilan o'xshashligi juda aniq kuzatuv bo'lib, bu tabiatdagi rekursiv o'ziga o'xshashlik tamoyilidan yana bir bor dalolat beradi. Tabiatdagi ko'pgina organik va noorganik shakllar xuddi shunday tarzda hosil bo'ladi. Bulutlar, dengiz chig'anoqlari, salyangoz "uy", daraxt po'stlog'i va toj, qon aylanish tizimi va boshqalar - bu barcha ob'ektlarning tasodifiy shakllari fraktal algoritm bilan tasvirlanishi mumkin.
⇡ Benoit Mandelbrot: fraktal geometriyaning otasi
"Fraktal" so'zining o'zi ajoyib olim Benoit B. Mandelbrot tufayli paydo bo'lgan.
Uning o'zi 1970-yillarda lotin tilidan fractus so'zini o'z ichiga olgan, so'zma-so'z "buzilgan" yoki "ezilgan" degan ma'noni anglatadi. Bu nima? Bugungi kunda "fraktal" so'zi ko'pincha kattaroq miqyosda o'ziga o'xshash strukturaning grafik tasvirini anglatadi.
Fraktallar nazariyasining paydo bo'lishi uchun matematik asos Benoit Mandelbrot tug'ilishidan ko'p yillar oldin qo'yilgan, ammo u faqat hisoblash qurilmalari paydo bo'lishi bilan rivojlanishi mumkin edi. Uning boshida ilmiy faoliyat Benoit ishlagan tadqiqot markazi IBM kompaniyasi. O‘shanda markaz xodimlari ma’lumotlarni masofadan uzatish ustida ishlayotgan edi. Tadqiqot davomida olimlar shovqin shovqinidan kelib chiqadigan katta yo'qotishlar muammosiga duch kelishdi. Benoitning oldida qiyin va juda muhim vazifa bor edi - statistik usul samarasiz bo'lib chiqqanda elektron kontaktlarning zanglashiga olib keladigan shovqin aralashuvini qanday bashorat qilishni tushunish.
Shovqinni o'lchash natijalarini ko'zdan kechirar ekan, Mandelbrot bitta g'alati naqshga e'tibor berdi - turli miqyosdagi shovqin grafiklari bir xil ko'rinishga ega edi. Bir kun, bir hafta yoki bir soat davomida shovqin grafigi bo'lishidan qat'i nazar, bir xil naqsh kuzatildi. Grafik masshtabini o'zgartirish kerak edi va rasm har safar takrorlandi.
Da Benoitning hayoti Mandelbrot bir necha bor u formulalar bilan shug'ullanmaganini, shunchaki rasmlar bilan o'ynaganini aytdi. Bu odam juda majoziy fikr yuritdi va har qanday algebraik masalani geometriya sohasiga tarjima qildi, bu erda uning so'zlariga ko'ra, to'g'ri javob har doim aniq bo'ladi.
Fraktal geometriyaning otasi shunday boy fazoviy tasavvurga ega bo'lgan odam bo'lganligi ajablanarli emas. Axir, fraktallarning mohiyatini bilish siz chizmalarni o'rganishni boshlaganingizda va g'alati burilish naqshlarining ma'nosi haqida o'ylaganingizda paydo bo'ladi.
Fraktal naqsh bir xil elementlarga ega emas, lekin har qanday miqyosda o'xshashdir. Ilgari bunday tasvirni yuqori darajadagi tafsilotlarga ega bo'lgan qo'lda yaratish oddiygina mumkin emas edi, bu zarur edi katta soni hisob-kitoblar. Misol uchun, frantsuz matematigi Per Jozef Lui Fatu bu to'plamni Benua Mandelbrot kashfiyotidan yetmish yil oldin tasvirlab bergan. Agar o'z-o'ziga o'xshashlik tamoyillari haqida gapiradigan bo'lsak, ular Leybnits va Georg Kantor asarlarida qayd etilgan.
Birinchi fraktal chizmalardan biri Gaston Moris Yuliyaning tadqiqotlari tufayli tug'ilgan Mandelbrot to'plamining grafik talqini edi.
Gaston Julia (har doim niqob kiygan - Birinchi jahon urushidan olingan jarohat)
Ushbu frantsuz matematigi, agar to'plam qayta aloqa zanjiri orqali takrorlangan oddiy formuladan tuzilgan bo'lsa, qanday ko'rinishga ega bo'lishi bilan qiziqdi. Agar biz buni "barmoqlarimizda" tushuntiradigan bo'lsak, bu ma'lum bir raqam uchun formuladan foydalanib yangi qiymat topamiz, shundan so'ng biz uni yana formulaga almashtiramiz va boshqa qiymatni olamiz. Natijada katta raqamlar ketma-ketligi paydo bo'ladi.
Bunday to'plamning to'liq rasmini olish uchun siz juda ko'p sonli hisob-kitoblarni bajarishingiz kerak - yuzlab, minglab, millionlab. Buni qo'lda qilish shunchaki imkonsiz edi. Ammo kuchli hisoblash qurilmalari matematiklar uchun mavjud bo'lganda, ular uzoq vaqtdan beri qiziq bo'lgan formulalar va iboralarga yangicha qarashga muvaffaq bo'lishdi. Mandelbrot birinchi bo'lib klassik fraktalni hisoblash uchun kompyuterdan foydalangan. Ko'p sonli qiymatlardan iborat ketma-ketlikni qayta ishlagandan so'ng, Benoit natijalarni grafikda chizdi. Uning olgani shu.
Keyinchalik, bu tasvir ranglangan (masalan, rang berish usullaridan biri iteratsiyalar soni bo'yicha) va inson tomonidan yaratilgan eng mashhur tasvirlardan biriga aylandi.
Efeslik Geraklitga atalgan qadimiy iborada aytilganidek: "Bir daryoga ikki marta bosish mumkin emas". Bu fraktallarning geometriyasini talqin qilish uchun juda mos keladi. Fraktal tasvirni qanchalik batafsil ko'rib chiqmasak ham, biz doimo shunga o'xshash naqshni ko'ramiz.
Mandelbrot fazosining tasviri ko'p marta kattalashtirilganda qanday ko'rinishini ko'rishni xohlaydiganlar buni GIF animatsiyasini yuklab olishlari mumkin.
⇡ Lauren Carpenter: tabiat tomonidan yaratilgan san'at
Fraktallar nazariyasi tez orada amaliy qo'llanilishini topdi. Bu o'ziga o'xshash tasvirlarni vizualizatsiya qilish bilan chambarchas bog'liq bo'lganligi sababli, birinchi bo'lib g'ayrioddiy shakllarni yaratish algoritmlari va tamoyillarini rassomlar qabul qilganligi ajablanarli emas.
Afsonaviy Pixar studiyasining bo'lajak hammuassisi Loren C. Karpenter 1967 yilda mashhur korporatsiyaning yangi samolyotlar ishlab chiqaruvchi bo'linmalaridan biri bo'lgan Boeing Computer Services kompaniyasida ishlay boshladi.
1977 yilda u uchuvchi modellarning prototipi bilan taqdimotlar yaratdi. Lorenning mas'uliyati loyihalashtirilayotgan samolyot tasvirlarini ishlab chiqishni o'z ichiga olgan. U kelajakdagi samolyotlarni turli burchaklardan ko'rsatib, yangi modellarning rasmlarini yaratishi kerak edi. Bir paytlar Pixar Animation Studios-ning bo'lajak asoschisi fon sifatida tog'lar tasviridan foydalanish ijodiy g'oyasini o'ylab topdi. Bugungi kunda har qanday maktab o'quvchisi bunday muammoni hal qila oladi, ammo o'tgan asrning 70-yillari oxirida kompyuterlar bunday murakkab hisob-kitoblarni bajara olmadilar - 3D grafika uchun ilovalar haqida gapirmasa ham, grafik muharrirlar yo'q edi. 1978 yilda Loren do'konda tasodifan Benoit Mandelbrotning "Fraktallar: shakl, imkoniyat va o'lchov" kitobini ko'rib qoldi. Bu kitobda uning e'tiborini tortgan narsa shundaki, Benoit real hayotda fraktal shakllarga ko'plab misollar keltirgan va ularni matematik ifoda bilan tasvirlash mumkinligini ta'kidlagan.
Bu o'xshatish matematik tomonidan tasodifan tanlanmagan. Gap shundaki, u o'z tadqiqotini nashr etishi bilanoq, u butun tanqidlar to'lqiniga duch keldi. Uning hamkasblari uni qoralagan asosiy narsa bu ishlab chiqilayotgan nazariyaning foydasizligi edi. - Ha, - deyishdi ular, - bular chiroyli suratlar, lekin boshqa narsa emas. Fraktallar nazariyasi amaliy ahamiyatga ega emas”. Fraktal naqshlar 70-yillarning oxirida ko'pchilik uchun juda murakkab va o'rganilmagan narsa bo'lib tuyulgan "iblis mashinalari" ning qo'shimcha mahsuloti ekanligiga umuman ishonadiganlar ham bor edi. Mandelbrot fraktallar nazariyasi uchun aniq dasturni topishga harakat qildi, ammo shunga ko'ra katta va katta, u buni qilishi shart emas edi. Keyingi 25 yil ichida Benoit Mandelbrot izdoshlari bunday "matematik qiziqish" ning ulkan afzalliklarini isbotladilar va Loren Karpenter birinchilardan bo'lib fraktal usulni amalda sinab ko'rdi.
Kitobni o'rgangach, bo'lajak animator fraktal geometriya tamoyillarini jiddiy o'rganib chiqdi va uni amalga oshirish yo'lini izlay boshladi. kompyuter grafikasi. Atigi uch kunlik ishda Loren tasavvur qila oldi realistik tasvir kompyuteringizda tog 'tizimi. Boshqacha qilib aytganda, formulalar yordamida u butunlay taniqli chizilgan Tog' manzarasi.
Lauren o'z maqsadiga erishish uchun ishlatgan printsip juda oddiy edi. U kattaroq bo'linishdan iborat edi geometrik shakl kichik elementlarga bo'linadi va ular o'z navbatida shunga o'xshash kichikroq raqamlarga bo'linadi.
Kattaroq uchburchaklardan foydalanib, Duradgor ularni to'rtta kichikroqqa bo'ldi va keyin haqiqiy tog' manzarasiga ega bo'lguncha bu jarayonni qayta-qayta takrorladi. Shunday qilib, u kompyuter grafikasida tasvirlarni yaratish uchun fraktal algoritmdan foydalangan birinchi rassom bo'lishga muvaffaq bo'ldi. Ish haqida so'z ma'lum bo'lishi bilanoq, butun dunyodagi ishqibozlar bu g'oyani o'z zimmalariga olishdi va real tabiiy shakllarga taqlid qilish uchun fraktal algoritmdan foydalanishni boshladilar.
Fraktal algoritm yordamida birinchi 3D vizualizatsiyalardan biri
Bir necha yil o'tgach, Loren Karpenter o'z ishlanmalarini boshqa ko'p narsalarni qo'llashga muvaffaq bo'ldi keng ko'lamli loyiha. Animator ulardan ikki daqiqalik Vol Libre demosini yaratdi, u 1980 yilda Siggraphda namoyish etilgan. Ushbu video uni ko'rgan barchani hayratda qoldirdi va Loren Lucasfilmdan taklif oldi.
Animatsiya Digital Equipment Corporation kompaniyasining VAX-11/780 kompyuterida besh megaherts soat tezligida tasvirlangan va har bir kadrni ko‘rsatish uchun taxminan yarim soat vaqt ketgan.
Lucasfilm Limited kompaniyasida ishlagan animator dostondagi ikkinchi toʻliq metrajli film uchun xuddi shu sxemadan foydalangan holda uch oʻlchamli landshaftlarni yaratdi. Star Trek. "Xonning g'azabi" filmida Duradgor xuddi shu fraktal sirtni modellashtirish printsipidan foydalangan holda butun sayyorani yaratishga muvaffaq bo'ldi.
Hozirgi vaqtda 3D landshaftlarni yaratish uchun barcha mashhur ilovalar tabiiy ob'ektlarni yaratish uchun xuddi shunday printsipdan foydalanadi. Terragen, Bryce, Vue va boshqa 3D muharrirlari yuzalar va teksturalarni modellashtirish uchun fraktal algoritmga tayanadi.
⇡ Fraktal antennalar: kamroq - ko'proq
So'nggi yarim asrda hayot tez o'zgara boshladi. Ko'pchiligimiz zamonaviy texnologiyalarning yutuqlarini oddiy deb qabul qilamiz. Siz hayotni qulayroq qiladigan hamma narsaga juda tez ko'nikasiz. Kamdan-kam odam "Bu qaerdan paydo bo'ldi?" Deb so'raydi. va "Bu qanday ishlaydi?" Mikroto'lqinli pech nonushtani isitadi - ajoyib, smartfon sizga boshqa odam bilan gaplashish imkoniyatini beradi - ajoyib. Bu bizga aniq imkoniyatdek tuyuladi.
Ammo, agar inson sodir bo'layotgan voqealarga tushuntirish izlamaganida, hayot butunlay boshqacha bo'lishi mumkin edi. Misol uchun, Uyali telefonlar. Birinchi modellardagi tortib olinadigan antennalarni eslaysizmi? Ular aralashib, qurilma hajmini oshirdi va oxirida tez-tez buzildi. Bizning fikrimizcha, ular abadiy unutilib ketishgan va buning sabablarining bir qismi ... fraktallardir.
Fraktal naqshlar o'zlarining naqshlari bilan hayratda qoldiradi. Ular, albatta, kosmik jismlarning tasvirlariga o'xshaydi - tumanliklar, galaktika klasterlari va boshqalar. Shuning uchun Mandelbrot o'zining fraktallar nazariyasini aytganida, uning tadqiqotlari astronomiyani o'rganuvchilar orasida katta qiziqish uyg'otganligi tabiiydir. Natan Koen ismli havaskorlardan biri Budapeshtda Benoit Mandelbrotning ma'ruzasida qatnashgandan so'ng, olingan bilimlarni amalda qo'llash g'oyasidan ilhomlangan. To'g'ri, u buni intuitiv ravishda qildi, lekin emas oxirgi rol uning kashfiyotida tasodif rol o'ynadi. Radio havaskori sifatida Neytan eng yuqori sezuvchanlikka ega antenna yaratishga intildi.
O'sha paytda ma'lum bo'lgan antennaning parametrlarini yaxshilashning yagona yo'li uning geometrik o'lchamlarini oshirish edi. Biroq, Natan ijaraga olgan Boston markazidagi mulk egasi tomga katta qurilmalar o'rnatishga qat'iyan qarshi edi. Keyin Natan tajriba o'tkaza boshladi turli shakllar antennalar, minimal o'lcham bilan maksimal natijaga erishishga harakat qilish. Fraktal shakllar g'oyasidan ilhomlanib, Koen, ular aytganidek, tasodifiy ravishda simdan eng mashhur fraktallardan birini - "Koch qor parchasini" yaratdi. Shved matematigi Xelge fon Kox 1904 yilda bu egri chiziqni o'ylab topdi. U segmentni uch qismga bo'lish va o'rta segmentni ushbu segmentga to'g'ri keladigan tomoni bo'lmagan teng qirrali uchburchak bilan almashtirish orqali olinadi. Ta'rifni tushunish biroz qiyin, lekin rasmda hamma narsa aniq va sodda.
Koch egri chizig'ining boshqa o'zgarishlari ham mavjud, ammo egri chiziqning taxminiy shakli o'xshashligicha qolmoqda.
Neytan antennani radio qabul qiluvchiga ulaganida, u juda hayratda qoldi - sezuvchanlik keskin oshdi. Bir qator tajribalardan so'ng, Boston universitetining bo'lajak professori fraktal naqsh bo'yicha tayyorlangan antenna yuqori samaradorlikka ega ekanligini va klassik echimlarga nisbatan ancha kengroq chastota diapazonini qamrab olishini tushundi. Bundan tashqari, antennaning fraktal egri shaklidagi shakli geometrik o'lchamlarni sezilarli darajada kamaytirishga imkon beradi. Neytan Koen hatto keng polosali antennani yaratish uchun unga o'ziga o'xshash fraktal egri shaklini berish kifoya ekanligini isbotlovchi teorema bilan chiqdi.
Muallif o'z kashfiyotini patentladi va fraktal antennalarni ishlab chiqish va loyihalash bo'yicha kompaniyaga asos soldi Fractal Antenna Systems, uning kashfiyoti tufayli kelajakda uyali telefonlar katta hajmli antennalardan xalos bo'lib, yanada ixcham bo'lishi mumkinligiga haqli ravishda ishondi.
Aslida, shunday bo'ldi. To'g'ri, bugungi kungacha Neytan ixcham aloqa moslamalarini ishlab chiqarish uchun uning kashfiyotidan noqonuniy ravishda foydalanayotgan yirik korporatsiyalar bilan qonuniy kurash olib bormoqda. Motorola kabi ba'zi taniqli mobil qurilmalar ishlab chiqaruvchilari fraktal antenna ixtirochisi bilan do'stona kelishuvga erishdilar.
⇡ Fraktal o'lchamlar: siz buni aqlingiz bilan tushunolmaysiz
Benoit bu savolni mashhur amerikalik olim Edvard Kasnerdan oldi.
Ikkinchisi, boshqa ko'plab mashhur matematiklar singari, bolalar bilan muloqot qilishni, ularga savollar berishni va kutilmagan javoblarni olishni yaxshi ko'rardi. Ba'zan bu hayratlanarli oqibatlarga olib keldi. Misol uchun, Edvard Kasnerning to'qqiz yoshli jiyani hozirda hammaga ma'lum bo'lgan "googol" so'zini o'ylab topdi, bu birdan keyin yuz nolni bildiradi. Ammo fraktallarga qaytaylik. Amerikalik matematik AQSh qirg'oq chizig'i qancha uzun degan savolni berishni yaxshi ko'rardi. Suhbatdoshining fikrini tinglab, Edvardning o'zi to'g'ri javobni aytdi. Agar siz xaritada uzunlikni singan segmentlar yordamida o'lchasangiz, natija noto'g'ri bo'ladi, chunki qirg'oq chizig'ida juda ko'p tartibsizliklar mavjud. Iloji boricha aniqroq o'lchasak nima bo'ladi? Siz har bir notekislikning uzunligini hisobga olishingiz kerak bo'ladi - siz har bir peshtoqni, har bir ko'rfazni, toshni, qoyali toshning uzunligini, undagi toshni, qum donasi, atomni va hokazolarni o'lchashingiz kerak bo'ladi. Nosimmetrikliklar soni cheksizlikka moyil bo'lganligi sababli, har bir yangi tartibsizlikni o'lchashda qirg'oq chizig'ining o'lchangan uzunligi cheksizgacha oshadi.
O'lchashda o'lchov qanchalik kichik bo'lsa, o'lchangan uzunlik shunchalik uzun bo'ladi
Qizig'i shundaki, Edvardning ko'rsatmalariga rioya qilgan holda, bolalar to'g'ri echimni aytishda kattalarga qaraganda ancha tezroq edi, ikkinchisi esa bunday aql bovar qilmaydigan javobni qabul qilishda qiynaldi.
Ushbu muammoni misol sifatida ishlatib, Mandelbrot foydalanishni taklif qildi yangi yondashuv o'lchovlarga. Sohil chizig'i fraktal egri chiziqqa yaqin bo'lganligi sababli, bu unga tavsiflovchi parametr - fraktal o'lchov deb ataladigan parametrni qo'llash mumkinligini anglatadi.
Muntazam o'lchov nima ekanligi har kimga tushunarli. Agar o'lcham birga teng bo'lsa, biz to'g'ri chiziqni olamiz, agar ikkitasi - tekis raqam, uchtasi - hajm. Biroq, matematikada o'lchamni tushunish fraktal egri chiziqlar bilan ishlamaydi, bu erda bu parametr kasr qiymatiga ega. Matematikadagi fraktal o'lchovni shartli ravishda "qo'pollik" deb hisoblash mumkin. Egri chiziqning pürüzlülüğü qanchalik baland bo'lsa, uning fraktal o'lchami shunchalik katta bo'ladi. Mandelbrotning fikricha, fraktal o'lchami topologik o'lchamidan yuqori bo'lgan egri chiziq o'lchamlar soniga bog'liq bo'lmagan taxminiy uzunlikka ega.
Hozirgi vaqtda olimlar fraktallar nazariyasini qo'llash uchun tobora ko'proq yo'nalishlarni topmoqdalar. Fraktallardan foydalanib, siz birja narxlaridagi o'zgarishlarni tahlil qilishingiz, turlar sonining o'zgarishi kabi barcha turdagi tabiiy jarayonlarni o'rganishingiz yoki oqimlar dinamikasini simulyatsiya qilishingiz mumkin. Fraktal algoritmlar tasvirni siqish kabi ma'lumotlarni siqish uchun ishlatilishi mumkin. Aytgancha, kompyuter ekranida chiroyli fraktalni olish uchun siz doktorlik darajasiga ega bo'lishingiz shart emas.
⇡ Brauzerda fraktal
Ehtimol, eng ko'plaridan biri oddiy usullar fraktal naqsh oling - onlayn foydalaning vektor muharriri yosh iste'dodli dasturchi Toby Schachmandan. Ushbu oddiy grafik muharrirning vositalari xuddi o'ziga o'xshashlik printsipiga asoslanadi.
Sizning ixtiyoringizda faqat ikkita eng oddiy shakl mavjud - to'rtburchak va aylana. Siz ularni tuvalga qo'shishingiz, masshtablashingiz mumkin (o'qlardan biri bo'ylab masshtablash uchun Shift tugmachasini bosib ushlab turing) va ularni aylantirishingiz mumkin. Mantiqiy qo'shish operatsiyalari printsipiga ko'ra, bu eng oddiy elementlar yangi, unchalik ahamiyatsiz shakllarni hosil qiladi. Keyin ushbu yangi shakllar loyihaga qo'shilishi mumkin va dastur bu tasvirlarni cheksiz ravishda yaratishni takrorlaydi. Fraktal ustida ishlashning istalgan bosqichida siz murakkab shaklning istalgan komponentiga qaytishingiz va uning pozitsiyasi va geometriyasini tahrirlashingiz mumkin. Qiziqarli faoliyat, ayniqsa siz yaratishingiz kerak bo'lgan yagona vosita brauzer deb hisoblasangiz. Agar siz ushbu rekursiv vektor muharriri bilan ishlash tamoyilini tushunmasangiz, biz sizga fraktal yaratishning butun jarayonini batafsil ko'rsatadigan loyihaning rasmiy veb-saytida videoni tomosha qilishni maslahat beramiz.
⇡ XaoS: har qanday lazzat uchun fraktallar
Ko'pgina grafik muharrirlarda fraktal naqshlarni yaratish uchun o'rnatilgan vositalar mavjud. Biroq, bu vositalar odatda ikkinchi darajali bo'lib, yaratilgan fraktal naqshni nozik sozlash imkonini bermaydi. Matematik jihatdan aniq fraktalni qurish zarur bo'lgan hollarda, yordam keladi platformalararo XaoS muharriri. Ushbu dastur nafaqat o'ziga o'xshash tasvirni yaratish, balki u bilan turli xil manipulyatsiyalarni amalga oshirish imkonini beradi. Misol uchun, real vaqtda fraktal bo'ylab uning masshtabini o'zgartirib, "yurish" mumkin. Fraktal bo'ylab jonlantirilgan harakat XAF fayli sifatida saqlanishi va keyin dasturning o'zida takrorlanishi mumkin.
XaoS tasodifiy parametrlar to'plamini yuklashi, shuningdek, tasvirni qayta ishlashdan keyingi turli filtrlardan foydalanishi mumkin - loyqa harakat effektini qo'shish, fraktal nuqtalar orasidagi keskin o'tishlarni yumshatish, 3D tasvirni simulyatsiya qilish va hokazo.
⇡ Fraktal zoomer: ixcham fraktal generator
Boshqa fraktal tasvir generatorlari bilan solishtirganda, u bir qator afzalliklarga ega. Birinchidan, u juda kichik o'lchamli va o'rnatishni talab qilmaydi. Ikkinchidan, aniqlash qobiliyatini amalga oshiradi ranglar palitrasi chizish. RGB, CMYK, HVS va HSL rang modellarida soyalarni tanlashingiz mumkin.
Variantdan foydalanish ham juda qulay tasodifiy tanlash rang soyalari va rasmdagi barcha ranglarni teskari aylantirish funktsiyasi. Rangni sozlash uchun soyalarni tsiklik tanlash funktsiyasi mavjud - tegishli rejimni yoqsangiz, dastur tasvirni jonlantiradi, undagi ranglarni davriy ravishda o'zgartiradi.
Fractal Zoomer 85 xil fraktal funktsiyalarni tasavvur qilishi mumkin va formulalar dastur menyusida aniq ko'rsatilgan. Kichik miqdorda bo'lsa-da, dasturda tasvirni qayta ishlash uchun filtrlar mavjud. Har bir tayinlangan filtr istalgan vaqtda bekor qilinishi mumkin.
⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktal muharriri
"Fraktal" atamasi ishlatilsa, u ko'pincha tekis, ikki o'lchovli tasvirni anglatadi. Biroq, fraktal geometriya 2D o'lchamidan tashqariga chiqadi. Tabiatda siz tekis fraktal shakllarning ikkala misolini topishingiz mumkin, masalan, chaqmoq geometriyasi va uch o'lchovli. hajmli raqamlar. Fraktal sirtlar uch o'lchovli bo'lishi mumkin va ulardan biri vizual illyustratsiyalar 3D fraktallar Kundalik hayot- karam boshi. Ehtimol, fraktallarni ko'rishning eng yaxshi usuli - gulkaram va brokkoli gibridi bo'lgan Romanesco navidir.
Siz bu fraktalni ham eyishingiz mumkin
Mandelbulb3D dasturi o'xshash shaklga ega uch o'lchamli ob'ektlarni yaratishi mumkin. Fraktal algoritm yordamida 3D sirtni olish uchun ushbu dastur mualliflari Daniel Uayt va Pol Nylander Mandelbrot to'plamini sferik koordinatalarga aylantirdilar. Ular yaratgan Mandelbulb3D dasturi har xil shakldagi fraktal yuzalarni modellashtiruvchi haqiqiy uch o'lchamli muharrirdir. Biz tabiatda fraktal naqshlarni tez-tez kuzatganimiz sababli, sun'iy ravishda yaratilgan uch o'lchamli fraktal ob'ekt nihoyatda real va hatto "tirik" ko'rinadi.
U o'simlikka o'xshab ketishi mumkin, u g'alati hayvonga, sayyoraga yoki boshqa narsaga o'xshab ketishi mumkin. Ushbu effekt ilg'or ko'rsatish algoritmi bilan kuchaytiriladi, bu real ko'zgularni olish, shaffoflik va soyalarni hisoblash, maydon chuqurligi effektini simulyatsiya qilish va hokazolarni amalga oshirish imkonini beradi. Mandelbulb3D juda ko'p sonli sozlamalar va renderlash imkoniyatlariga ega. Siz yorug'lik manbalarining soyalarini boshqarishingiz, simulyatsiya qilingan ob'ektning fonini va tafsilotlarini tanlashingiz mumkin.
Incendia fraktal muharriri ikki tomonlama tasvirni tekislashni qo'llab-quvvatlaydi, ellik xil uch o'lchovli fraktallar kutubxonasini o'z ichiga oladi va asosiy shakllarni tahrirlash uchun alohida modulga ega.
Ilova fraktal skriptlardan foydalanadi, uning yordamida siz mustaqil ravishda fraktal dizaynlarning yangi turlarini tasvirlashingiz mumkin. Incendia-da tekstura va materiallar muharrirlari mavjud va renderlash mexanizmi sizga hajmli tuman effektlari va turli xil shaderlardan foydalanishga imkon beradi. Dastur uzoq muddatli renderlash vaqtida buferni saqlash variantini amalga oshiradi va animatsiya yaratishni qo'llab-quvvatlaydi.
Incendia fraktal modelni mashhur 3D grafik formatlariga - OBJ va STLga eksport qilish imkonini beradi. Incendia Geometrica deb nomlangan kichik yordamchi dasturni o'z ichiga oladi, fraktal sirtni 3D modelga eksport qilishni sozlash uchun maxsus vosita. Ushbu yordam dasturidan foydalanib, siz 3D sirtining o'lchamlarini aniqlashingiz va fraktal iteratsiyalar sonini belgilashingiz mumkin. Eksport qilingan modellar Blender, 3ds max va boshqalar kabi 3D muharrirlari bilan ishlashda 3D loyihalarda foydalanish mumkin.
So'nggi paytlarda Incendia loyihasi ustidagi ishlar biroz sekinlashdi. Yoniq bu daqiqa muallif dasturni ishlab chiqishda yordam beradigan homiylarni qidirmoqda.
Agar ushbu dasturda chiroyli uch o'lchamli fraktalni chizish uchun etarli tasavvurga ega bo'lmasangiz, bu muhim emas. INCENDIA_EX\parameters jildida joylashgan parametrlar kutubxonasidan foydalaning. PAR fayllari yordamida siz eng noodatiy fraktal shakllarni, shu jumladan jonlantirilgan shakllarni tezda topishingiz mumkin.
⇡ Aural: fraktallar qanday kuylaydi
Biz odatda endigina ustida ishlanayotgan loyihalar haqida gapirmaymiz, lekin ularda Ushbu holatda biz istisno qilishimiz kerak, bu juda noodatiy dastur. Aural deb nomlangan loyihani Incendia-ni yaratgan shaxs tomonidan ixtiro qilingan. Biroq, bu safar dastur fraktal to'plamni tasavvur qilmaydi, balki uni elektron musiqaga aylantiradi. Bu g'oya juda qiziq, ayniqsa fraktallarning g'ayrioddiy xususiyatlarini hisobga olgan holda. Aural - bu fraktal algoritmlar yordamida ohanglarni yaratuvchi audio muharrir, ya'ni mohiyatiga ko'ra u audio sintezator-sequencer hisoblanadi.
Ushbu dastur tomonidan ishlab chiqarilgan tovushlar ketma-ketligi g'ayrioddiy va ... chiroyli. Yozish uchun foydali bo'lishi mumkin zamonaviy ritmlar va bizning fikrimizcha, u televidenie va radio dasturlari uchun saundtreklarni, shuningdek, kompyuter o'yinlari uchun fon musiqasining "ko'chadan" larini yaratish uchun juda mos keladi. Ramiro hali o'z dasturining demosini taqdim qilmagan, ammo u taqdim etganda, Aural bilan ishlash uchun fraktal nazariyani o'rganishingiz shart emasligini va'da qiladi - shunchaki ketma-ketlikni yaratish algoritmi parametrlari bilan o'ynashingiz kerak bo'ladi. eslatmalar. Fraktallar qanday ovoz berishini tinglang va.
Fraktallar: musiqiy tanaffus
Aslida, fraktallar hatto dasturiy ta'minotsiz ham musiqa yozishga yordam beradi. Ammo buni faqat g'oya bilan chinakam singdirilgan odam amalga oshirishi mumkin. tabiiy uyg'unlik va shu bilan birga baxtsiz "nerd" ga aylanmadi. Jonatan Koulton ismli musiqachidan o'rnak olish mantiqan to'g'ri keladi, u boshqa narsalar qatorida Popular Science jurnali uchun kompozitsiyalar yozadi. Va boshqa ijrochilardan farqli o'laroq, Kolton o'zining barcha asarlarini Creative Commons Attribution-notijorat litsenziyasi ostida nashr etadi, bu (notijorat maqsadlarda foydalanilganda) asardan bepul nusxa ko'chirish, tarqatish, boshqalarga o'tkazish, shuningdek uni o'zgartirishni ta'minlaydi ( hosilaviy asarlarni yaratish) sizning vazifalaringizga moslashtiring.
Albatta, Jonatan Koltonning fraktallar haqida qo'shig'i bor.
⇡ Xulosa
Bizni o'rab turgan hamma narsada biz ko'pincha tartibsizlikni ko'ramiz, lekin aslida bu tasodif emas, balki fraktallar bizga ajratishga yordam beradigan ideal shakldir. Tabiat eng yaxshi me'mor, ideal quruvchi va muhandisdir. Bu juda mantiqiy tuzilgan va agar biz biron bir joyda naqsh ko'rmasak, bu biz uni boshqa miqyosda izlashimiz kerakligini anglatadi. Odamlar buni yaxshiroq va yaxshiroq tushunishadi, tabiiy shakllarni ko'p jihatdan taqlid qilishga harakat qilishadi. Muhandislar qobiq shaklidagi dinamik tizimlarini loyihalashadi, qor parchasi shaklidagi antennalarni yaratadilar va hokazo. Ishonchimiz komilki, fraktallar hali ham ko'p sirlarni o'z ichiga oladi va ularning ko'pchiligi hali odamlar tomonidan kashf etilmagan.
"Ko'p rangli qismlar" master-klassi (fraktal naqsh).
Master-klass har qanday yoshdagi bolalar bilan ishlash uchun mo'ljallangan. O'qituvchilar yoki ota-onalar bilan ishlashda foydalanish mumkin.
Maqsad:"Fraktal naqsh" texnikasidan foydalangan holda yaratish san'at asari.
Vazifalar:
- bilan tanishish yangi texnologiya chizish;
- ijodkorlik orqali o'zini namoyon qilish va o'z-o'zini bilishni rivojlantirish;
- dam olish va hissiy stressni bartaraf etish;
- jamoaviy yoki individual hunarmandchilikni yaratish;
- bolalarning xatti-harakatlarini tuzatish uchun art-terapiya usullarini qo'llash nogironlar salomatlik;
- nozik vosita ko'nikmalarini rivojlantirish.
Fraktal naqsh.
Usul mualliflari - psixologlar T. Z. Poluyuaxtova va A. E. Komov. Ularning fraktal naqsh usuli 20 yoshdan oshgan. Bu vaqt ichida minglab odamlar bu usul bilan tanishdilar.Mualliflarning kitobiga ko'ra:
“1991-yilning 14-iyul kuni ayniqsa ahamiyatli edi.Bu vaqtga kelib test sifatida fraktal naqshlar texnologiyasi allaqachon ishlab chiqilgan edi.
Uni bajarish uchun barcha tinglovchilardan Whatman qog'ozining bir xil varaqlarini (A4 formati) olishlari so'ralgan.
Chizmaga ongning ta'sirini istisno qilish uchun barcha sinov sub'ektlaridan ijro paytida ko'zlarini yumish so'ralgan. Va qo'lingizni varaqdan olib tashlamasdan, sharikli qalamni varaq ustida 45-60 soniya davomida harakatlantiring, uning ko'p qismini to'ldirishga harakat qiling.
Darsda 49 kishi - kattalar va bolalar qatnashdi. Seminarning eng katta ishtirokchisi 56 yoshda, eng kichigi 6 yoshda edi.
Ko'zlaringizni yopiq holda chizish jarayoni ajoyib marosimga o'xshardi. Hamma narsa sodir bo'lishini kuzatish qiziq edi.
Nihoyat, ajratilgan 60 soniya tugadi. Hamma ko'zlarini ochdi, chizgan rasmlariga qaradi va zalda do'stona kulgi yangradi. O'shandan beri sinov sub'ektlarining bu reaktsiyasi o'n yil davomida takrorlanadi.
Har bir varaqda tasvirlangan narsa haqiqatan ham kulgiga sabab bo'ldi. Har kimning dizayni har xil edi: ba'zilarida to'rtburchaklar hujayralar, boshqalari uchburchaklar, ba'zilarida silliq chiziqlar, ba'zilarida burchakli, ba'zan qattiq ilmoqlar va doiralar bor edi.
Keyin tinglovchilardan olingan rasmni rang berish so'ralgan. Rang tanlashga ongli ravishda ta'sir qilishni istisno qilish uchun biz kelishib oldik: qalam va flomasterlarni faqat ko'zlaringiz yopiq holda oling.
Barcha chizmalar tugallangach, seminar ishtirokchilari insoniy holatlarning butun galereyasini ko'rdilar.
Usulning asosi fraktallar va fraktallik printsipidir. Bu erda rasm odamning davomi, uning kichik bir qismi, proyeksiyasi hisoblanadi. Bu kichik qism esa katta butunlikni – shaxsni aks ettiradi. Chizilgan rasmga qarab, siz uning muallifining holatini tashxislashingiz mumkin.
Ishlash uchun sizga kerak:
- rangli qalamlar to'plami,
- imkon qadar ko'proq rangdagi flomaster va ruchkalar;
- A4 formatidagi Whatman qog'oz varag'i;
- sharli qalam qora yoki to'q ko'k.
"Qalam" masali
Qalamni qutiga qo'yishdan oldin qalamchi uni bir chetga qo'ydi."Sizni dunyoga yuborishdan oldin beshta narsani bilishingiz kerak, - dedi u qalamga." Ularni har doim esda tuting va hech qachon unutmang, shunda siz eng yaxshi qalamchiga aylanasiz.
Birinchidan, siz ko'p ajoyib ishlarni qila olasiz, lekin faqat Kimdir sizni Uning qo'lida ushlab turishiga ruxsat bersangiz.
Ikkinchidan, siz vaqti-vaqti bilan og'riqli o'tkirlashni boshdan kechirasiz, ammo yaxshi qalamchi bo'lishingiz kerak bo'ladi.
Uchinchidan: yo‘l qo‘ygan xatolaringizni to‘g‘rilashga qodir bo‘lasiz.
To'rtinchisi: eng ko'p muhim qismi har doim sizning ichingizda bo'ladi.
Va beshinchisi: qaysi sirtda ishlatilmasin, har doim o'z izingizni qoldirishingiz kerak. Sizning ahvolingizdan qat'i nazar, siz yozishni davom ettirishingiz kerak.
Qalam buni tushundi va eslab qolishga va'da berdi. Uni yuragida chaqiriq bor qutiga solib qo'yishdi.
Bosqichma-bosqich ish jarayoni:
1. Ish uchun kerakli materiallarni yig'amiz.
2. Varaqni gorizontal ravishda oldingizga qo'ying. Qalam to'pini varaqning istalgan nuqtasiga qo'ying. Ko'zimizni yumib, iloji boricha to'ldirishga harakat qilib, uzluksiz chiziq chizamiz katta maydon varaq, 45-60 soniya.
3. Ko'zlaringizni yumib, qalam tanlang. Bo'yash paytida, chiziq bilan ajratilgan qo'shni hujayralarni bir xil rang bilan to'ldirish mumkin emasligini yodda tutishingiz kerak. Agar hujayralar bir nuqtaga tegsa va diagonal joylashgan bo'lsa, unda bu mumkin. Siz bitta hujayrani yoki bir nechta hujayralarni bitta rang bilan bo'yashingiz mumkin.
4. Ko'zlaringizni yumib, keyingi qalamni tanlang. Biz tegmaydigan hujayralarni bo'yab qo'yamiz.
5. Ko'zlaringizni yumib, keyingi qalamni tanlang. Biz tegmaydigan hujayralarni bo'yab qo'yamiz.
6. Bizning "Ko'p rangli qismlar" rasmimiz tayyor.
7. Ushbu chizma nafaqat ijodkorlik paytida hissiy stressdan xalos bo'lishga yordam beradi, balki interyerni ham bezatadi. Sizning rasmingiz noyobdir!
Mana mening guruhim bolalari tomonidan bajarilgan ba'zi ishlar.
Kichik maktab o'quvchilari uchun master-klass "Ko'p rangli qismlar" (fraktal rasm).
Muallif: Anna Sergeevna Ogonkova, “2-sonli nogiron bolalar uchun maktab-internati” shahar byudjet ta’lim muassasasi o‘qituvchisi Elektrostal, Moskva viloyati", Elektrostal.
Master-klass har qanday yoshdagi bolalar bilan ishlash uchun mo'ljallangan. O'qituvchilar yoki ota-onalar bilan ishlashda foydalanish mumkin. Ushbu texnikadan foydalangan holda rasm chizish orqali siz uyingizning ichki qismini mukammal bezashingiz yoki rasmni do'stlaringizga berishingiz mumkin. Ushbu master-klassda ishlash siz juda ko'p zavq olasiz va ijodiy hayajonni boshdan kechirasiz!
Maqsad: “Fraktal chizish” texnikasidan foydalangan holda badiiy asar yaratish.
Vazifalar:
yangi chizish texnikasi bilan tanishish;
ijodkorlik orqali o'zini namoyon qilish va o'z-o'zini bilishni rivojlantirish;
dam olish va hissiy stressni bartaraf etish;
jamoaviy yoki individual hunarmandchilikni yaratish;
nogiron bolalarning xatti-harakatlarini tuzatish uchun art-terapiya usullaridan foydalanish;
nozik vosita ko'nikmalarini rivojlantirish.
Fraktal naqsh.
Usul mualliflari T. 3. Poluyuxtova va A. E. Komov. Ularning fraktal naqsh usuli 20 yoshdan oshgan. Bu vaqt ichida minglab odamlar bu usul bilan tanishdilar.
Mualliflarning kitobiga ko'ra:
“1991-yilning 14-iyul kuni ayniqsa ahamiyatli edi.Bu vaqtga kelib test sifatida fraktal naqshlar texnologiyasi allaqachon ishlab chiqilgan edi.
Uni bajarish uchun barcha tinglovchilardan Whatman qog'ozining bir xil varaqlarini (A4 formati) olishlari so'ralgan.
Chizmaga ongning ta'sirini istisno qilish uchun barcha sinov sub'ektlaridan ijro paytida ko'zlarini yumish so'ralgan. Va qo'lingizni varaqdan olib tashlamasdan, sharikli qalamni varaq ustida 45-60 soniya davomida harakatlantiring, uning ko'p qismini to'ldirishga harakat qiling.
Darsda 49 kishi - kattalar va bolalar qatnashdi. Seminarning eng katta ishtirokchisi 56 yoshda, eng kichigi 6 yoshda edi.
Ko'zlaringizni yopiq holda chizish jarayoni ajoyib marosimga o'xshardi. Hamma narsa sodir bo'lishini kuzatish qiziq edi.
Nihoyat, ajratilgan 60 soniya tugadi. Hamma ko'zlarini ochdi, chizgan rasmlariga qaradi va zalda do'stona kulgi yangradi. O'shandan beri sinov sub'ektlarining bu reaktsiyasi o'n yil davomida takrorlanadi.
Har bir varaqda tasvirlangan narsa haqiqatan ham kulgiga sabab bo'ldi. Har kimning dizayni har xil edi: ba'zilarida to'rtburchaklar hujayralar, boshqalari uchburchaklar, ba'zilarida silliq chiziqlar, ba'zilarida burchakli, ba'zan qattiq ilmoqlar va doiralar bor edi.
Keyin tinglovchilardan olingan rasmni rang berish so'ralgan. Rang tanlashga ongli ravishda ta'sir qilishni istisno qilish uchun biz kelishib oldik: qalam va flomasterlarni faqat ko'zlaringiz yopiq holda oling.
Barcha chizmalar tugallangach, seminar ishtirokchilari insoniy holatlarning butun galereyasini ko'rdilar.
Usulning asosi fraktallar va fraktallik printsipidir. Bu erda rasm odamning davomi, uning kichik bir qismi, proyeksiyasi hisoblanadi. Bu kichik qism esa katta butunlikni – shaxsni aks ettiradi. Chizilgan rasmga qarab, siz uning muallifining holatini tashxislashingiz mumkin.
Ishlash uchun sizga kerak:
iloji boricha ko'proq rang soyalarida rangli qalamlar, flomasterlar va qalamlar to'plami; Whatman qog'ozining A4 varag'i; qora yoki quyuq ko'k rangdagi sharikli qalam.
"Qalam" masali
Qalamni qutiga qo'yishdan oldin qalamchi uni bir chetga qo'ydi.
"Sizni dunyoga yuborishdan oldin beshta narsani bilishingiz kerak, - dedi u qalamga." Ularni har doim esda tuting va hech qachon unutmang, shunda siz eng yaxshi qalamchiga aylanasiz.
Birinchidan, siz ko'p ajoyib ishlarni qila olasiz, lekin faqat Kimdir sizni Uning qo'lida ushlab turishiga ruxsat bersangiz.
Ikkinchidan, siz vaqti-vaqti bilan og'riqli o'tkirlashni boshdan kechirasiz, ammo yaxshi qalamchi bo'lishingiz kerak bo'ladi.
Uchinchidan: yo‘l qo‘ygan xatolaringizni to‘g‘rilashga qodir bo‘lasiz.
To'rtinchidan: sizning eng muhim qismingiz doimo sizning ichingizda bo'ladi.
Va beshinchisi: qaysi sirtda ishlatilmasin, har doim o'z izingizni qoldirishingiz kerak. Sizning ahvolingizdan qat'i nazar, siz yozishni davom ettirishingiz kerak.
Qalam buni tushundi va eslab qolishga va'da berdi. Uni yuragida chaqiriq bor qutiga solib qo'yishdi.
Bosqichma-bosqich ish jarayoni:
1. Ish uchun kerakli materiallarni yig'amiz.
2. Varaqni gorizontal ravishda oldingizga qo'ying. Qalam to'pini varaqning istalgan nuqtasiga qo'ying. Ko'zlarimizni yumib, biz 45-60 soniya ichida varaqni iloji boricha to'ldirishga harakat qilib, uzluksiz chiziq chizamiz.
3. Ko'zlaringizni yumib, qalam tanlang. Bo'yash paytida, chiziq bilan ajratilgan qo'shni hujayralarni bir xil rang bilan to'ldirish mumkin emasligini yodda tutishingiz kerak. Agar hujayralar bir nuqtaga tegsa va diagonal joylashgan bo'lsa, unda bu mumkin. Siz bitta hujayrani yoki bir nechta hujayralarni bitta rang bilan bo'yashingiz mumkin.
4. Ko'zlaringizni yumib, keyingi qalamni tanlang. Biz tegmaydigan hujayralarni bo'yab qo'yamiz.
5. Ko'zlaringizni yumib, keyingi qalamni tanlang. Biz tegmaydigan hujayralarni bo'yab qo'yamiz.
6. Bizning "Ko'p rangli qismlar" rasmimiz tayyor.
7. Ushbu chizma nafaqat ijodkorlik paytida hissiy stressni bartaraf etishga yordam beradi, sizning hissiy holatingizni tashxislash imkonini beradi (1-ilova), balki interyerni ham bezatadi. Sizning rasmingiz noyobdir!
1-ILOVA.
FRAKTAL NASHINNI DEKOD OLISH
1. FRAKTAL NASHINDA BO'LGAN MA'LUMOTLARNI TAHLIL VA DEKOD OLISH SIZLAR BILAN BOSHLANADI.
Aniq chizilgan chiziq - ishonchli, kuchli xarakter, maqsadlilik va mustaqillik, aniqlik, mehnatsevarlik, majburiyat.
Chiziqni chizishda bosim hamma joyda bir xil emas - ko'pincha bu moslashuvchan xarakterga ega bo'lgan ijodiy odam, xayolparast, his-tuyg'ular har doim ham barqaror emas, ba'zan esa o'z-o'zidan shubhalanish o'zini namoyon qiladi.
Zaif chizilgan chiziqlar og'riqli holatni, komplekslarni, sezilarli o'z-o'zidan shubhalanishni ko'rsatadi.
O'tkir, burchakli chizilgan chiziqlar hissiy taranglikni, stressli holatni ko'rsatadi.
Silliq o'tishli chiziqlar - uyg'un, barqaror holat.
Konsentrik doiradagi chiziqlarni joylashtirish, chizmada dumaloq takrorlash - obsesif holatlarga, nevrozlarga moyillik.
2. NASHINNING O'lchami VA KONFIGURASYONI
Kichkina rasm (varaq maydonining 1/3 qismidan ko'p bo'lmagan) - bir tomondan, komplekslar va o'zini past baholaydi, boshqa tomondan, egosentrizmga moyillik.
O'rtacha o'lcham (varaq maydonining taxminan 2/3 qismi) va naqshning oval perimetri ko'pincha muvozanatli belgining ko'rsatkichidir.
Chiziqlar varaqdan tashqariga cho'zilgan katta chizma (varaq maydonining 2/3 qismidan sezilarli darajada ko'proq) barqaror emas. hissiy holat, ba'zi hollarda diqqatni jamlay olmaslik. Dizaynning perimetri to'rtburchaklar shakli to'g'ri chiziqli, ko'pincha murakkab xarakterga ega.
Naqshning perimetri bo'ylab g'alati talaffuz qilingan "dumlar" bilan konfiguratsiyasi - yorqin shaxsiyat, originallik, ayrim hollarda xarakterning beqarorligi.
3. HUYAYALAR. KONFIGURASYON VA O'lchamlar.
Naqshning butun maydoni bo'ylab hujayra o'lchamlarining uyg'un kombinatsiyasi (1/3 katta, 1/3 o'rta, 1/3 kichik) o'ziga ishonch, qat'iyat va barqarorlik haqida gapiradi.
Ko'p sonli katta hujayralar - mehribon, ochiq tabiat.
Ko'p sonli o'rta hujayralar - mehnatsevarlik, aniqlik, pedantriya, analitik qobiliyatlarning mavjudligi, aniq fanlarga moyillik.
Ko'p sonli kichik hujayralar - murakkabliklar, tafsilotlarga intilish, ba'zi hollarda o'z-o'zidan shubhalanish, lekin har doim aniqlik va mehnatsevarlik.
Kichik miqdordagi geometrik shakllarga ega silliq, yumaloq hujayralar - oqilona, xotirjam xarakter, ijodkorlikka moyillik.
Ko'p sonli geometrik shakllar - aniq tahlilga moyillik, baholashda shubha, to'g'ridan-to'g'ri avtoritar xarakter.
Keskin chizilgan, burchakli, notekis hujayralar - hissiy beqarorlik, tirnash xususiyati, stress.
4. BORLAR
Kichik qora (nuqtali dog'lar) hujayralar - hodisalarning "oldingi" sifatining mavjudligi (odam nima haqida o'ylaydi, sodir bo'ladi).
Har qanday kichik qora nuqta hozirgi vaqtda voqealarning o'zgarishi boshlanishining dalilidir.
O'rta dog'larning sezilarli soni yoki katta qora nuqta energiya ochligi (keraksiz ish, bo'sh ish).
Katta mahalliy qorong'u nuqta - shoshilinch muammo shaxsiy xususiyatga ega.
5. XARAKTERISTIK RANG URUVLARI
Katta qizil qon tanachalari - obsesif holatlarga moyillik, tashvish.
O'rta kattalikdagi qizil dog'larning sezilarli soni - kuchlanish, beqaror his-tuyg'ular.
Bir yoki bir nechta yirik jigarrang hujayralar uzoq vaqt davomida hal qilinmagan shaxslararo munosabatlardagi muammolarni ifodalaydi.
Yashil ranglarning ko'pligi tananing o'zini o'zi boshqarishning tabiiy qobiliyatidir.
Bir yoki bir nechta katta binafsha hujayralar - tashvish, tajovuz, o'tkir stress.
6. RANG
Dog'lar va izlarsiz tozalang Oq fon chizish - diqqatni jamlash, mehnatsevarlik, aniqlik.
Tasodifan yoki qasddan to'ldirilmagan hujayralar oq- tabiiy xususiyatlarga talabning sezilarli darajada etishmasligi haqida gapirish.
- Limon sariq - tarbiyachining, o'qituvchining rangi.
- Tovuq sariq - bu "takrorlovchi", ma'lumot uzatuvchi, sharhlovchining rangi.
- Barcha soyalarning yashil rangi sog'lom energiyaning rangi, tananing qarshilik ko'rsatish va o'z-o'zini davolashning maqbul qobiliyati va shifo qobiliyatidir.
Moviy - tinch energiyaning rangi.
Moviy va quyuq ko'k - sovuq, befarq energiyaning rangi.
Lilak - kuchli energiya rangi.
Binafsha rang - energiya oqimining rangi.
Lilak - kuchli, boshqarib bo'lmaydigan energiya rangi.
Pushti - issiq energiyaning rangi.
Qizil, qip-qizil - xavf mavjudligini bildiruvchi rang, signal rangi.
Qizil, bordo, gilosning qalin soyasi - kuch, tajovuzkor energiya rangi.
- Apelsin - hayotiy, jinsiy energiya rangi.
- Jigarrangning engil soyalari (oltin, bej, ocher, qum) sof energiya, muqaddas energiya rangidir.
- Jigarrang - bu muammo, chuqur his-tuyg'ular, tushkunlik (boshqa quyuq ranglar va soyalar bilan birgalikda) mavjudligini aniqlaydigan rang.
- To'q jigarrang - bu muammo, chuqur his-tuyg'ular, tushkunlik (boshqa quyuq ranglar va soyalar bilan birgalikda) mavjudligini aniqlaydigan rang.
- Kul rang - bu beqaror energiya mavjudligini aniqlaydigan rang, boshqa quyuq ranglar bilan birgalikda - chegara holati. Kichik miqdorda bu rang joriy voqealarning tez o'zgarishini anglatadi.
- Qora rang - bu energiya teshigi, vakuum, bo'shliq, energiya etishmasligining rangi.
Ko'pincha fanda qilingan yorqin kashfiyotlar hayotimizni tubdan o'zgartirishi mumkin. Misol uchun, vaksina ixtirosi ko'p odamlarni qutqarishi mumkin, ammo yangi qurollarning yaratilishi qotillikka olib keladi. Kecha (tarix miqyosida) inson elektr energiyasini "o'zlashtirgan" va bugungi kunda u o'z hayotini endi usiz tasavvur qila olmaydi. Biroq, ular aytganidek, bizning hayotimizga u yoki bu ta'sir ko'rsatishiga qaramay, soyada qoladigan kashfiyotlar ham mavjud. Ushbu kashfiyotlardan biri fraktal edi. Ko'pchilik bu tushunchani hech qachon eshitmagan va uning ma'nosini tushuntira olmaydi. Ushbu maqolada biz fraktal nima degan savolni tushunishga harakat qilamiz va bu atamaning ma'nosini fan va tabiat nuqtai nazaridan ko'rib chiqamiz.
Xaosda tartib
Fraktal nima ekanligini tushunish uchun biz qisqacha ma'lumotni matematikaning pozitsiyasidan boshlashimiz kerak, ammo uni o'rganishdan oldin biz biroz falsafa qilamiz. Har bir insonda tabiiy qiziqish bor, buning natijasida u o'rganadi dunyo. Ko'pincha, bilimga intilishda u o'z hukmlarida mantiqdan foydalanishga harakat qiladi. Shunday qilib, uning atrofida sodir bo'layotgan jarayonlarni tahlil qilib, u munosabatlarni hisoblash va muayyan naqshlarni chiqarishga harakat qiladi. Sayyoradagi eng buyuk aqllar bu muammolarni hal qilish bilan band. Taxminan aytadigan bo'lsak, olimlarimiz yo'q va bo'lmasligi kerak bo'lgan naqshlarni izlamoqda. Va shunga qaramay, hatto tartibsizlikda ham muayyan hodisalar o'rtasida bog'liqlik mavjud. Bu bog'lanish fraktal nimadir. Misol tariqasida, yo'lda yotgan singan novdani ko'rib chiqing. Agar diqqat bilan qarasak, uning barcha shoxlari va novdalari bilan daraxtga o'xshab qolganini ko'ramiz. Alohida qismning yagona butun bilan o'xshashligi rekursiv o'ziga o'xshashlik deb ataladigan printsipni ko'rsatadi. Fraktallarni tabiatning hamma joylarida uchratish mumkin, chunki ko'pgina noorganik va organik shakllar xuddi shunday shakllangan. Bu bulutlar, dengiz qobig'i, salyangoz qobig'i, daraxt tojlari va hatto qon aylanish tizimi. Ushbu ro'yxatni cheksiz davom ettirish mumkin. Bu barcha tasodifiy shakllar fraktal algoritm bilan osongina tasvirlangan. Endi biz aniq fanlar nuqtai nazaridan fraktal nima ekanligini ko'rib chiqishga keldik.
Ba'zi quruq faktlar
"Fraktal" so'zining o'zi lotin tilidan "qisman", "bo'lingan", "parchalangan" deb tarjima qilingan va bu atamaning mazmuniga kelsak, bunday formula yo'q. Odatda u o'ziga o'xshash to'plam, butunning bir qismi sifatida talqin qilinadi, u o'z tuzilishini mikro darajada takrorlaydi. Bu atama 70-yillarda paydo bo'lgan asr Benoit Ota sifatida tan olingan Mandelbrot Bugungi kunda fraktal tushunchasi ma'lum bir tuzilishning grafik tasvirini anglatadi, u kengaytirilganda o'ziga o'xshash bo'ladi. Biroq, bu nazariyani yaratish uchun matematik asos Mandelbrotning o'zi tug'ilishidan oldin ham qo'yilgan, ammo elektron kompyuterlar paydo bo'lmaguncha u rivojlana olmadi.
Tarixiy fon yoki hammasi qanday boshlangan
19—20-asrlar boʻsagʻasida fraktallarning tabiatini oʻrganish vaqti-vaqti bilan boʻlgan. Bu matematiklarning umumiy nazariyalar va metodlar asosida tadqiq qilinishi mumkin bo'lgan ob'ektlarni o'rganishni afzal ko'rganligi bilan izohlanadi. 1872 yilda nemis matematigi K.Vyershtras hech qayerda differensiallanmaydigan uzluksiz funksiyaga misol tuzdi. Biroq, bu qurilish butunlay mavhum va idrok etish qiyin bo'lib chiqdi. Keyinchalik shved Xelge fon Kox keldi, u 1904 yilda hech bir joyda tangensi bo'lmagan uzluksiz egri chiziqni yaratdi. Chizish juda oson va fraktal xususiyatlarga ega. Ushbu egri chiziqning variantlaridan biri uning muallifi sharafiga nomlangan - "Koch qor parchasi". Bundan tashqari, raqamlarning o'ziga o'xshashligi g'oyasi B. Mandelbrotning bo'lajak ustozi, frantsuz Pol Levi tomonidan ishlab chiqilgan. 1938-yilda u “Teklik va fazoviy egri chiziqlar va butunga oʻxshash qismlardan tashkil topgan sirtlar” nomli maqolasini eʼlon qildi. Unda u tasvirlab bergan yangi tur- Leviyning C-egri chizig'i. Yuqoridagi barcha raqamlar shartli ravishda geometrik fraktallar sifatida tasniflanadi.
Dinamik yoki algebraik fraktallar
Mandelbrot to'plami ushbu sinfga tegishli. Bu yo'nalishdagi birinchi tadqiqotchilar frantsuz matematiklari Per Fatu va Gaston Julia edi. 1918 yilda Yuliya ratsional kompleks funktsiyalarning iteratsiyasini o'rganishga asoslangan maqola chop etdi. Bu erda u Mandelbrot to'plami bilan chambarchas bog'liq bo'lgan fraktallar oilasini tasvirlab berdi. Bu asar matematiklar orasida muallifni ulug‘lagan bo‘lsa-da, tezda unutildi. Va faqat yarim asr o'tgach, kompyuterlar tufayli Yuliyaning ishi ikkinchi hayotga ega bo'ldi. Kompyuterlar fraktallar dunyosining go'zalligi va boyligini har bir insonga ko'rsatishga imkon berdi, ularni funktsiyalar orqali ko'rsatish orqali matematiklar "ko'rishlari" mumkin edi. Mandelbrot birinchi bo'lib hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun kompyuterdan foydalangan (bunday hajmni qo'lda bajarish mumkin emas), bu esa ushbu raqamlarning tasvirini yaratishga imkon berdi.
Fazoviy tasavvurga ega odam
Mandelbrot ilmiy faoliyatini IBM tadqiqot markazida boshlagan. Uzoq masofalarga ma'lumotlarni uzatish imkoniyatlarini o'rganayotganda, olimlar shovqin shovqinlari tufayli yuzaga kelgan katta yo'qotishlar faktiga duch kelishdi. Benoit bu muammoni hal qilish yo'llarini qidirdi. O'lchov natijalarini ko'zdan kechirar ekan, u g'alati naqshni payqadi, ya'ni: shovqin grafiklari turli vaqt shkalalarida bir xil ko'rinadi.
Xuddi shunday rasm ham bir kun, ham etti kun yoki bir soat davomida kuzatilgan. Benoit Mandelbrotning o'zi ko'pincha formulalar bilan ishlamasligini, balki rasmlar bilan o'ynashini takrorlagan. Bu olim boshqacha edi xayoliy fikrlash, u har qanday algebraik masalani geometrik mintaqaga tarjima qilgan, bu erda to'g'ri javob aniq. Shuning uchun u o'zining boyligi bilan ajralib turishi va fraktal geometriyaning otasi bo'lishi ajablanarli emas. Axir, bu raqamni bilish faqat chizmalarni o'rganganingizda va naqshni tashkil etuvchi bu g'alati burilishlarning ma'nosi haqida o'ylaganingizda paydo bo'lishi mumkin. Fraktal naqshlar bir xil elementlarga ega emas, lekin ular har qanday masshtabda o'xshashdir.
Yuliya - Mandelbrot
Ushbu figuraning birinchi chizmalaridan biri Gaston Julia ishidan kelib chiqqan va Mandelbrot tomonidan yanada ishlab chiqilgan to'plamning grafik talqini edi. Gaston teskari aloqa orqali takrorlangan oddiy formula asosida to‘plam qanday ko‘rinishini tasavvur qilishga harakat qildi. Keling, nima deyilganini tushuntirishga harakat qilaylik inson tili, aytganda, barmoqlar ustida. Muayyan uchun raqamli qiymat formuladan foydalanib, biz yangi qiymatni topamiz. Biz uni formulaga almashtiramiz va quyidagini topamiz. Natija katta.Bunday to'plamni ifodalash uchun bu amalni juda ko'p marta bajarish kerak: yuzlab, minglab, millionlab. Benoit shunday qildi. U ketma-ketlikni qayta ishladi va natijalarni grafik shaklga o'tkazdi. Keyinchalik, u olingan raqamni bo'yadi (har bir rang ma'lum miqdordagi iteratsiyaga to'g'ri keladi). Ushbu grafik tasvir "Mandelbrot fraktal" deb nomlangan.
L. Duradgor: tabiat tomonidan yaratilgan san'at
Fraktallar nazariyasi tezda amaliy qo'llanilishini topdi. Bu o'ziga o'xshash tasvirlarni vizualizatsiya qilish bilan chambarchas bog'liq bo'lganligi sababli, rassomlar birinchi bo'lib ushbu noodatiy shakllarni qurish tamoyillari va algoritmlarini qabul qilishdi. Ulardan birinchisi bo'lajak Pixar asoschisi Loren Karpenter edi. Samolyot prototiplari taqdimoti ustida ishlayotganda u tog'lar tasvirini fon sifatida ishlatish g'oyasini o'ylab topdi. Bugungi kunda deyarli har bir kompyuter foydalanuvchisi bunday vazifani bajara oladi, lekin o'tgan asrning 70-yillarida kompyuterlar bunday jarayonlarni amalga oshira olmadi, chunki o'sha paytda uch o'lchovli grafiklar uchun grafik muharrirlar yoki ilovalar mavjud emas edi. Va keyin Loren Mandelbrotning "Fraktallar: shakl, tasodifiylik va o'lchov" kitobiga duch keldi. Unda Benua tabiatda fraktallar mavjudligini ko'rsatib, ko'plab misollar keltirdi (fyva), u ularni tasvirlab berdi. turli shakllar va ularni matematik ifodalar bilan oson tasvirlashini isbotladi. Matematik bu o‘xshatishni hamkasblarining ko‘plab tanqidlariga javoban o‘zi ishlab chiqayotgan nazariyaning foydaliligiga dalil sifatida keltirdi. Ular fraktalning adolatli ekanligini ta'kidladilar Yoqimli rasm, hech qanday qiymatga ega bo'lmagan va elektron mashinalar ishining qo'shimcha mahsulotidir. Duradgor ushbu usulni amalda sinab ko'rishga qaror qildi. Kitobni diqqat bilan o'rganib chiqqandan so'ng, bo'lajak animator kompyuter grafikasida fraktal geometriyani amalga oshirish yo'lini izlay boshladi. Uning kompyuterida tog‘ landshaftining to‘liq real tasvirini yaratish uchun unga bor-yo‘g‘i uch kun kerak bo‘ldi. Va bugungi kunda bu tamoyil keng qo'llaniladi. Ma'lum bo'lishicha, fraktallarni yaratish ko'p vaqt va kuch talab qilmaydi.
Duradgorning yechimi
Lauren ishlatgan printsip oddiy edi. U kattaroqlarini kichik elementlarga, o'xshashlarni kichikroq va hokazolarga bo'lishdan iborat. Duradgor katta uchburchaklardan foydalanib, ularni 4 ta kichikga bo'lib, haqiqiy tog' manzarasiga ega bo'lgunga qadar davom etadi. Shunday qilib, u kompyuter grafikasida fraktal algoritmdan kerakli tasvirni yaratish uchun foydalangan birinchi rassom bo'ldi. Bugungi kunda bu tamoyil turli xil realistik tabiiy shakllarga taqlid qilish uchun ishlatiladi.
Fraktal algoritm yordamida birinchi 3D vizualizatsiya
Bir necha yil o'tgach, Loren o'z ishlanmalarini keng ko'lamli loyihada - 1980 yilda Siggraphda namoyish etilgan Vol Libre animatsion videosida qo'lladi. Ushbu video ko'pchilikni hayratda qoldirdi va uning yaratuvchisi Lucasfilmga ishlashga taklif qilindi. Bu erda animator o'zining to'liq salohiyatini ro'yobga chiqara oldi, u "Yulduzli yo'l" badiiy filmi uchun uch o'lchamli landshaftlarni (butun bir sayyora) yaratdi. Har qanday zamonaviy dastur(“Fraktallar”) yoki 3D grafik ilovasi (Terragen, Vue, Bryce) tekstura va sirtlarni modellashtirish uchun bir xil algoritmdan foydalanadi.
Tom Beddard
Ilgari lazer fizigi, hozir esa raqamli rassom va rassom bo'lgan Beddard bir qator juda qiziq geometrik shakllarni yaratdi va ularni Faberge fraktallari deb ataydi. Tashqi tomondan, ular rus zargarining dekorativ tuxumlariga o'xshaydi, ular bir xil yorqin, murakkab naqshga ega. Beddard modellarning raqamli tasvirini yaratish uchun shablon usulidan foydalangan. Olingan mahsulotlar go'zalligi bilan hayratda qoldiradi. Garchi ko'pchilik qo'lda tayyorlangan mahsulotni solishtirishdan bosh tortsa ham kompyuter dasturi, ammo shuni tan olish kerakki, hosil bo'lgan shakllar juda chiroyli. Shunisi e'tiborga loyiqki, har kim WebGL dasturiy kutubxonasidan foydalanib, bunday fraktalni qurishi mumkin. Bu real vaqtda turli fraktal tuzilmalarni o'rganish imkonini beradi.
Tabiatdagi fraktallar
Bir nechta odam e'tibor beradi, ammo bu ajoyib raqamlar hamma joyda mavjud. Tabiat o'ziga o'xshash figuralardan yaratilgan, biz buni sezmaymiz. Kattalashtiruvchi oynadan terimizga yoki daraxt bargiga qarash kifoya, va biz fraktallarni ko'ramiz. Yoki, masalan, ananas yoki hatto tovusning dumini oling - ular o'xshash raqamlardan iborat. Romanesku brokkoli navi odatda o'zining tashqi ko'rinishi bilan hayratlanarli, chunki uni haqiqatan ham tabiat mo''jizasi deb atash mumkin.
Musiqiy pauza
Ma'lum bo'lishicha, fraktallar nafaqat geometrik shakllar, balki tovushlar ham bo'lishi mumkin. Shunday qilib, musiqachi Jonatan Kolton fraktal algoritmlar yordamida musiqa yozadi. Bu tabiiy uyg'unlikka mos kelishini da'vo qiladi. Bastakor o‘zining barcha asarlarini CreativeCommons Attribution-Notijoriy litsenziyasi asosida nashr etadi, bu esa asarlarni bepul tarqatish, nusxalash va boshqalarga o‘tkazishni nazarda tutadi.
Fraktal ko'rsatkich
Ushbu texnika juda kutilmagan dasturni topdi. Uning asosida birja bozorini tahlil qilish vositasi yaratildi va natijada u Forex bozorida qo'llanila boshlandi. Hozirgi vaqtda fraktal indikator barcha savdo maydonchalarida mavjud bo'lib, narxni buzish deb ataladigan savdo texnikasida qo'llaniladi. Ushbu texnika Bill Uilyams tomonidan ishlab chiqilgan. Muallif o'z ixtirosini sharhlar ekan, bu algoritm bir nechta "shamlar" ning kombinatsiyasi bo'lib, unda markaziy qism maksimal yoki aksincha, minimal ekstremal nuqtani aks ettiradi.
Nihoyat
Shunday qilib, biz fraktal nima ekanligini ko'rib chiqdik. Ma'lum bo'lishicha, bizni o'rab turgan xaosda haqiqatan ham mavjud mukammal shakllar. Tabiat eng yaxshi me'mor, ideal quruvchi va muhandisdir. Bu juda mantiqiy tartibga solingan va agar biz naqsh topa olmasak, bu uning mavjud emasligini anglatmaydi. Ehtimol, biz boshqa miqyosda qarashimiz kerak. Ishonch bilan aytishimiz mumkinki, fraktallar hali ham biz ochilmagan ko'plab sirlarni saqlaydi.
Ko'p ranglar va "jingalaklar" bilan bunday ta'sirli naqshlarni ko'p marta ko'rgansiz ...
Ularning ko'pchiligi oddiy shakllarni qayta-qayta nusxalash orqali qurilgan, ularning har biri kattaroq bezakning kichikroq nusxasi.
Ushbu qo'llanma sizga Adobe Photoshop-da shunga o'xshash naqshlarni qanday qilishni o'rgatadi.
Mana biz qiladigan ishning yakuniy natijasi: 
1-qadam
Fraktal(lotincha fractus — maydalangan) — oʻziga oʻxshashlik xususiyatiga ega boʻlgan, yaʼni har biri butun figuraga oʻxshash bir necha qismlardan tashkil topgan geometrik figurani bildiruvchi atama. Kengroq ma'noda fraktallar Evklid fazosida kasr metrik o'lchamiga (Minkovski yoki Hausdorff ma'nosida) yoki metrik o'lchami topologikdan qat'iy kattaroq bo'lgan nuqtalar to'plami sifatida tushuniladi. © Vikipediya
Xo'sh, keling, boshlaylik. Birinchidan, yarataylik yangi hujjat 1600x1200 piksel o'lchamdagi va hujjatning o'rtasiga yo'naltiruvchi chiziqlarni (O'lchagichlar (Ctrl+R)) qo'ying. Keyin fonni doiraviy gradient bilan to'ldiring #095261 - #000000 qat'iy markazdan. 
2-qadam
Endi oddiy doira chizamiz... Ha, hazillashmayman, hammasi oddiy doiradan boshlanadi. Uni Shift tugmachasini bosib, Ellips Tool yordamida chizing.Men uchun u 83x83 piksel o'lchamga ega va tasvirning o'rta qismida joylashgan.So'ngra Fraktal qatlamlari papkasini yarating va qatlamni doira bilan joylashtiring. 
3-qadam
Keling, doiraga biroz chuqurlik qo'shamiz:
4-qadam
Endi qatlamni doira (Ctrl+J) bilan takrorlang, uning hajmini o'zgartiring va quyidagi rasmda ko'rsatilganidek joylashtiring: 
Oq uchburchak men uchun doiralarni siljitish uchun qo'llanma bo'lib xizmat qiladi :)
5-qadam
Bu erda qiziqarli qism boshlanadi. Qatlamni naqshimiz asosi bilan takrorlang (qavatlarni doiralar bilan oldindan bog'lagan holda) va erkin o'zgartirish rejimiga kirish uchun Ctrl+Alt+T tugmalarini bosing. 
6-qadam
Shift tugmachasini bosib ushlab turganda, naqshni soat yo'nalishi bo'yicha bir necha daraja aylantiring va uni biroz kichikroq qiling. Keyin o'zgartirish markazini chapga va naqshimiz ostiga o'tkazamiz (yo'nalish sizning ehtiyojlaringizga bog'liq). Enter tugmasini bosing. 
7-qadam
Bitta yorliq (Ctrl+Shift+Alt+T) yordamida kichik hiyla-nayrang qilish vaqti keldi. Ushbu sehrli tugmalar birikmasini bosing. Nima sodir bo `LDI? Photoshop yangi ob'ektga bir xil o'zgartirish sozlamalarini qo'lladi. Istalgan natijaga erishmagunimizcha, bu qadamni bir necha marta takrorlaymiz. 
8-qadam
Fraktal jildini takrorlang va uni bitta qatlamga birlashtirish uchun Ctrl + E tugmalarini bosing. Asl jildni yashirish. Olingan naqshni hujjatimizning pastki o'ng sektoriga joylashtiramiz. 
9-qadam
Olingan qatlamni tanlang, uni takrorlang va unga bepul transformatsiyani qo'llang, transformatsiya markazini hujjatning o'rtasiga o'tkazing. Naqshni 120 daraja aylantiring. 
10-qadam
Uchinchi yuzni olish uchun biz xuddi shunday qilamiz. Keyin biz qatlamlar papkasini yaratamiz va u erda barcha 3 ta naqshni joylashtiramiz. Jildni takrorlang va uning tarkibini bitta qatlamga birlashtiring (Ctrl + E). 
11-qadam
Qatlamni takrorlang va uni o'zgartiring: 
12-qadam
Tasvir-Sozlash-Rang/Toʻyinganlik menyusiga oʻting va quyidagi parametrlarni oʻrnating: 
13-qadam
Biz 11 va 12-bandlarni takrorlaymiz (boshqa parametrlar bilan 12): 
14-qadam
Shunga o'xshash natijaga erishmagunimizcha, biz ushbu texnikani ko'p marta ishlatamiz. Olingan barcha qatlamlarni yangi papkaga joylashtiramiz, uni ko'paytiramiz va yana uning tarkibini bitta qatlamga birlashtiramiz (ilgari yaratilgan hamma narsani yashirish mumkin). 
15-qadam
Soya qo'shish. 
16-qadam
Olingan bezak bilan 5-bandda tasvirlangan manevrlarni bajaramiz. 
Xulosa
Ko'rib turganingizdek, ushbu texnikadan foydalangan holda ko'plab chiroyli mavhum dizaynlarni yaratish mumkin. Ishlaringizda omad yor bo'lsin! :)