การเดินสุ่มเริ่มต้นที่ศูนย์กลาง “การเดินสุ่ม” นี้มันอะไรกัน?

มีปัญหาที่น่าสนใจอีกประการหนึ่ง ซึ่งวิธีแก้ปัญหาไม่สามารถทำได้หากไม่มีแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็น นี่คือปัญหา "การเดินสุ่ม" ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด งานนี้มีลักษณะดังนี้: ลองนึกภาพเกมที่ผู้เล่นเริ่มต้นจากจุด ในแต่ละการเคลื่อนไหวสามารถเคลื่อนที่ไปข้างหน้า (ไปยังจุด ) หรือย้อนกลับ (ไปยังจุด ) และการตัดสินใจว่าจะไปที่ไหนนั้นจะทำแบบสุ่มอย่างสมบูรณ์ เช่น การใช้การทอยเหรียญ . จะอธิบายผลของการเคลื่อนไหวดังกล่าวได้อย่างไร? ในรูปแบบทั่วไป ปัญหานี้อธิบายถึงการเคลื่อนที่ของอะตอม (หรืออนุภาคอื่นๆ) ในก๊าซที่เรียกว่าการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน หรือการเกิดข้อผิดพลาดในการวัด คุณจะเห็นว่าปัญหาการเดินสุ่มมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการทดลองโยนเหรียญที่อธิบายไว้ข้างต้นอย่างไร

ก่อนอื่น เรามาดูตัวอย่างการเดินสุ่มกันก่อน สามารถอธิบายได้ว่าเป็นความก้าวหน้าที่ "บริสุทธิ์" ใน N ขั้นตอน ในรูป รูปที่ 6.5 แสดงตัวอย่างเส้นทางเดินสุ่ม 3 ตัวอย่าง (เมื่อสร้างเป็นลำดับการตัดสินใจแบบสุ่มว่าจะไปขั้นตอนต่อไปที่ไหน ผลลัพธ์ของการโยนเหรียญที่แสดงในรูปที่ 6.1 จะถูกนำมาใช้)

สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวดังกล่าว? ก่อนอื่นอาจมีคนถามว่า: โดยเฉลี่ยแล้วเราจะไปได้ไกลแค่ไหน? เราต้องคาดหวังว่าจะไม่มีการเลื่อนระดับเฉลี่ยเลยเนื่องจากเรา ที่มีความน่าจะเป็นที่แตกต่างกันเราสามารถเดินหน้าและถอยหลังได้ อย่างไรก็ตาม รู้สึกเหมือนกับว่าเมื่อเราเพิ่มขึ้น เราก็มีแนวโน้มมากขึ้นที่จะเดินไปที่ไหนสักแห่งให้ไกลจากจุดเริ่มต้นของเรามากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นคำถามจึงเกิดขึ้น: ระยะทางเฉลี่ยสัมบูรณ์คือเท่าใด เช่น ค่าเฉลี่ยของ คืออะไร ? อย่างไรก็ตามจะสะดวกกว่าที่จะไม่จัดการ แต่ด้วย; ปริมาณนี้เป็นค่าบวกสำหรับการเคลื่อนไหวทั้งเชิงบวกและเชิงลบ ดังนั้นจึงสามารถใช้เป็นการวัดการเดินแบบสุ่มดังกล่าวได้อย่างสมเหตุสมผล

รูปที่ 6.5. ตัวอย่างการเดินสุ่มสามตัวอย่าง

จำนวนขั้นจะถูกพล็อตไปตามขอบฟ้า และพิกัดจะถูกพล็อตในแนวตั้ง กล่าวคือ ระยะทางสุทธิจากจุดเริ่มต้น

แสดงให้เห็นว่าค่าที่คาดหวังเป็นเพียงจำนวนก้าวที่ดำเนินการไป อย่างไรก็ตาม โดย "มูลค่าที่คาดหวัง" เราหมายถึงมูลค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด (เดา วิธีที่ดีที่สุด) ซึ่งถือได้ว่าเป็นค่าเฉลี่ยคาดหวัง จำนวนมากทำซ้ำกระบวนการเร่ร่อน ค่านี้ถูกกำหนดเป็นและเรียกอีกอย่างว่า "กำลังสองเฉลี่ยของระยะทาง" หลังจากหนึ่งขั้นตอนจะเท่ากับเสมอ ดังนั้น ไม่ต้องสงสัยเลย (ขั้นตอนหนึ่งจะถูกเลือกตลอดสำหรับหน่วยระยะทาง ดังนั้น ฉันจะไม่เขียนหน่วยความยาวในสิ่งต่อไปนี้)

ค่าคาดหวังหาได้จาก หากเราอยู่ห่างกันหลังจากก้าวไปแล้วอีกหนึ่งก้าวก็จะให้อย่างใดอย่างหนึ่งหรือ หรือสำหรับสี่เหลี่ยม

(6.7)

หากกระบวนการนี้ถูกทำซ้ำหลายครั้ง เราคาดหวังว่าความเป็นไปได้แต่ละอย่างจะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น ดังนั้นค่าที่คาดหวังโดยเฉลี่ยจะเป็นเพียงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเหล่านี้ กล่าวคือ ค่าที่คาดหวังจะเป็นเพียงแค่ แต่คุณค่าคืออะไร หรือมากกว่านั้น เราคาดหวังคุณค่าอะไร? พูดง่ายๆ ตามคำจำกัดความแล้ว ชัดเจนว่าค่านี้ควรเป็น "ค่าคาดหวังเฉลี่ย"

(6.8)

หากเราจำได้ตอนนี้ เราจะได้ผลลัพธ์ที่ง่ายมาก:

การเบี่ยงเบนจากตำแหน่งเริ่มต้นสามารถกำหนดลักษณะด้วยปริมาณของประเภทของระยะทาง (แทนที่จะเป็นกำลังสองของระยะทาง) ในการทำเช่นนี้คุณเพียงแค่ต้องแตกไฟล์ออก รากที่สองจากการได้รับสิ่งที่เรียกว่า “ระยะกำลังสองเฉลี่ย”

(6.10)

เราได้กล่าวไปแล้วว่าการเดินแบบสุ่มนั้นคล้ายคลึงกับการทดลองโยนเหรียญที่เราเริ่มบทนี้มาก ถ้าเราจินตนาการว่าความก้าวหน้าแต่ละครั้งไปข้างหน้าหรือข้างหลังถูกกำหนดโดยลักษณะของ "หัว" หรือ "ก้อย" มันจะเท่ากับนั่นคือความแตกต่างในจำนวนการเกิด "หัว" และ "ก้อย" หรือเนื่องจาก N (โดยที่คือจำนวนการทอยทั้งหมด) แล้ว . โปรดจำไว้ว่าก่อนหน้านี้เราได้รับนิพจน์สำหรับการแจกแจงปริมาณที่คาดหวังแล้ว [จากนั้นเขียนแทนด้วย ; ดูสมการ (6.5)] เนื่องจากมันเป็นค่าคงที่ ตอนนี้จึงมีการกระจายตัวแบบเดียวกันสำหรับ (ลักษณะของ “หัว” แต่ละตัวหมายถึงความล้มเหลวของ “หาง” ดังนั้นปัจจัย 2 จึงปรากฏในการเชื่อมต่อระหว่าง และ) ดังนั้น ในรูปที่ 6.2 กราฟจะแสดงการกระจายของระยะทางที่เราสามารถไปได้พร้อมกันใน 30 ก้าวแบบสุ่ม (แมตช์ การแข่งขัน ฯลฯ)

ส่วนเบี่ยงเบนจากค่าที่คาดหวังจะเท่ากับ

จากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่เราได้รับ

.

จำผลลัพธ์ของเราสำหรับ เราคาดว่าระยะทางเฉลี่ยที่ครอบคลุมใน 30 ขั้นตอนควรจะเท่ากับ ซึ่งค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยจาก 15 ควรเป็น โปรดทราบว่าค่าเฉลี่ยครึ่งหนึ่งของความกว้างของเส้นโค้งของเราในรูป 6.2 (เช่น ความกว้างครึ่งหนึ่งของ "ระฆัง" อยู่ตรงกลาง) มีค่าประมาณเท่ากับ 3 ซึ่งสอดคล้องกับผลลัพธ์นี้

ตอนนี้เราสามารถพิจารณาคำถามที่เราหลีกเลี่ยงมาได้จนถึงตอนนี้ เราจะรู้ได้อย่างไรว่าเหรียญของเรา “ยุติธรรม”? ตอนนี้เราสามารถตอบได้อย่างน้อยบางส่วนแล้ว หากเหรียญมี "ยุติธรรม" เราก็คาดหวังว่าครึ่งหนึ่งของเวลาที่เหรียญนั้นจะเป็น "หัว" เช่น

ขณะเดียวกันก็คาดว่าจำนวนหัวที่แท้จริงน่าจะแตกต่างจากจำนวนลำดับของ หรือถ้าเราพูดถึงเศษส่วนของการเบี่ยงเบนก็จะเท่ากับ

,

กล่าวคือ ยิ่งมาก อัตราส่วนก็จะยิ่งใกล้ถึงครึ่งหนึ่ง

รูปที่ 6.6. เปอร์เซ็นต์ของหัวในการโยนเหรียญตามลำดับเฉพาะ

ในรูป 6.6 กันตัวเลขในการโยนเหรียญที่เราพูดถึงไปก่อนหน้านี้ อย่างที่คุณเห็น เมื่อตัวเลขเพิ่มขึ้น เส้นโค้งจะเข้าใกล้ 0.5 มากขึ้นเรื่อยๆ แต่น่าเสียดาย ไม่มีการรับประกันว่าสำหรับอนุกรมใดๆ หรือการรวมกันของอนุกรม ความเบี่ยงเบนที่สังเกตได้จะใกล้เคียงกับค่าเบี่ยงเบนที่คาดไว้ มีความเป็นไปได้จำกัดเสมอว่าจะมีการผันผวนอย่างมาก เช่น หัวหรือก้อยจำนวนมาก ซึ่งจะทำให้เกิดการเบี่ยงเบนอย่างมากโดยพลการ สิ่งเดียวที่สามารถพูดได้คือถ้าการเบี่ยงเบนใกล้เคียงกับที่คาดไว้ (พูดด้วยปัจจัย 2 หรือ 3) ก็ไม่มีเหตุผลที่จะพิจารณาว่าเหรียญนั้นเป็น "ของปลอม" (หรือว่าพันธมิตรกำลังโกง) .

เรายังไม่ได้พิจารณากรณีที่เหรียญหรือวัตถุทดสอบอื่นๆ ที่คล้ายกับเหรียญ (ในแง่ที่ว่าผลลัพธ์ที่คาดเดาไม่ได้ของการสังเกตสองอย่างหรือมากกว่านั้นเป็นไปได้ เช่น ก้อนหินที่ตกลงได้เพียงด้านใดด้านหนึ่งเท่านั้น) มีเหตุผลเพียงพอที่จะเชื่อว่าความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่แตกต่างกันไม่เท่ากัน เรานิยามความน่าจะเป็นเป็นอัตราส่วน แต่เราควรเอาอะไรมาเป็นคุณค่าล่ะ? คุณจะรู้ได้อย่างไรว่าคาดหวังอะไร? ในหลายกรณี สิ่งที่ดีที่สุดที่คุณสามารถทำได้คือนับจำนวนหัวที่คุณได้รับ ชุดใหญ่ทดสอบและรับ (สังเกต) (คุณจะคาดหวังสิ่งอื่นใดได้อีก) อย่างไรก็ตาม จะต้องเข้าใจว่าผู้สังเกตการณ์ที่แตกต่างกันและชุดการทดสอบที่แตกต่างกันอาจให้คุณค่าที่แตกต่างจากของเรา อย่างไรก็ตาม ควรคาดหวังว่าคำตอบที่แตกต่างกันทั้งหมดเหล่านี้จะไม่แตกต่างกันเกิน [หากเกือบครึ่งหนึ่ง] นักฟิสิกส์เชิงทดลองมักจะบอกว่าความน่าจะเป็นที่ "ค้นพบจากการทดลอง" มี "ข้อผิดพลาด" และเขียนเป็น

. (6.14)

สัญลักษณ์นี้บอกเป็นนัยว่ามีความน่าจะเป็น "จริง" บางอย่าง ซึ่งโดยหลักการแล้วสามารถคำนวณได้ แต่ความผันผวนต่างๆ ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการพิจารณาการทดลอง อย่างไรก็ตาม ไม่มีวิธีใดที่จะทำให้ข้อโต้แย้งเหล่านี้สอดคล้องกันในเชิงตรรกะ ท้ายที่สุด จะดีกว่าสำหรับคุณที่จะเข้าใจว่าความน่าจะเป็นในแง่หนึ่งนั้นเป็นเรื่องส่วนตัว ซึ่งจะขึ้นอยู่กับความไม่แน่นอนในความรู้ของเราเสมอ และมูลค่าของมันก็ผันผวนเมื่อมีการเปลี่ยนแปลง

การเคลื่อนที่อย่างวุ่นวายของอนุภาคบราวเนียนในของเหลวหรือก๊าซเป็นตัวอย่างหนึ่งของการเดินแบบสุ่ม ทฤษฎีการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนได้รับการพัฒนาโดย A. Einstein และ M. Smoluchowski ในปี 1905 - 1906

ปัญหาการเดินแบบสุ่มเป็นปัญหาหนึ่งที่มีการศึกษาอย่างกว้างขวางในทฤษฎีความน่าจะเป็น และมีการนำไปประยุกต์ใช้อื่นๆ อีกมากมาย

6.1. รูปแบบการเดินสุ่ม

รูปแบบของการเดินแบบสุ่มสามารถเข้าใจได้โดยใช้แบบจำลองง่ายๆ ที่สามารถนำมาใช้งานได้อย่างง่ายดายด้วยคอมพิวเตอร์

อนุภาค N (ซึ่งในช่วงเวลาเริ่มต้น เพื่อความสะดวกในการสังเกต จะถูกกระจายบนแกน y) จะถูกแทนที่ในขั้นตอนต่อเนื่อง ∆x ตามแนวแกน x แต่ละขั้นตอนของแต่ละอนุภาคจะถูกเลือกแบบสุ่มและไม่ขึ้นอยู่กับขั้นตอนอื่นๆ อย่างไรก็ตาม การแจกแจงความน่าจะเป็นในการเลือกขั้นตอนใดๆ จะเหมือนกัน สมมติว่าการกระจัดในทิศทางตรงกันข้ามมีความเป็นไปได้เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าการกระจัดเฉลี่ย

ความหมายของความเท่าเทียมกันนี้คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการกระจัด ∆x ของอนุภาคจำนวนมากจะเข้าใกล้ศูนย์เมื่อจำนวนนี้เพิ่มขึ้น นี่คือวิธีที่เข้าใจค่าเฉลี่ยเพิ่มเติม บางครั้งค่าเฉลี่ยดังกล่าวเรียกว่านิรนัย 19 นอกจากนี้ เราจะใช้ "ค่าเฉลี่ยที่สังเกตได้" - ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอนุภาคตามจำนวนที่กำหนด (โดยปกติแล้วจะมีขนาดใหญ่มาก) การกระจัดของอนุภาค ∆x n “ค่าเฉลี่ยที่สังเกตได้” มีขนาดเล็ก แต่ไม่เท่ากับศูนย์

หลังจากแต่ละขั้นตอน อนุภาคจะ "กระจาย" ออกจากแกน y ให้ x(k) แทนพิกัดของอนุภาคจำนวนหนึ่งหลังจาก k ขั้นตอน แล้ว

เราได้รับค่าเฉลี่ยความเท่าเทียมกันนี้ (อีกครั้งเหนือเซตของอนุภาค)

x (k + 1) = x (k) ,

เหล่านั้น. ค่าเฉลี่ยของ x (k) จะไม่เปลี่ยนแปลงไปในแต่ละขั้นตอน ดังนั้น จึงเท่ากับ x (0) = 0 ค่าที่สังเกตได้ของ x n สำหรับอนุภาคจำนวนมาก

ก่อนหน้านี้ เราถือว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวคือ 1/2

จะอยู่ใกล้กับศูนย์ (โดยที่ x j คือพิกัดของอนุภาค j)20

ความกว้างของแถบซึ่งอนุภาคถูกกระจายไปหลังจากขั้นตอนที่ k สามารถระบุลักษณะเฉพาะได้อย่างสะดวกด้วยค่า x 2 (k) หากต้องการค้นหาการขึ้นต่อกันของค่านี้กับจำนวนขั้นตอน ให้ลองความเท่าเทียมกันกำลังสอง (2) และค่าเฉลี่ย:

เนื่องจากความเป็นอิสระของ x(k) และ ∆x เราจึงได้

x (k)∆x =x (k) ∆x = 0

ให้เราแสดงว่า (∆x )2 =a 2 . จาก (4) ดังต่อไปนี้

x 2 (k + 1) = x 2 (k) +a 2,

เหล่านั้น. กำลังสองเฉลี่ยของพิกัดจะเพิ่มขึ้นในแต่ละขั้นตอนด้วยจำนวน a 2 วิธี,

จะแปรผันตามจำนวนก้าวโดยประมาณ

การกระจายของอนุภาคในแถบที่พวกมันครอบครองนั้นมีรายละเอียดมากขึ้นโดยฟังก์ชันการกระจาย f (x) ซึ่งกำหนดความเข้มข้นของอนุภาค dW = f (x)dx

– ความน่าจะเป็นที่พิกัดของอนุภาค j หลังขั้นตอน k จะอยู่ในช่วง x ≤ x j ≤ x +dx ทฤษฎีการเดินสุ่มจะให้การแจกแจงแบบเกาส์เซียนสำหรับขั้นตอนจำนวนมากเพียงพอ

ฟังก์ชันการกระจายที่สังเกตได้มาจากการแบ่งแกน x ออกเป็นช่วงที่จำกัด แล้วนับจำนวนอนุภาคในแต่ละอนุภาค ผลลัพธ์ของการคำนวณจะแสดงเป็นกราฟเป็นเส้นโค้งขั้นตอน – ฮิสโตแกรม (รูปที่ 7)

ให้เราใส่ใจกับคุณสมบัติหนึ่งของการพึ่งพาอาศัยกัน (5) หากเราขยายเวลาทีละ l ครั้ง ดังนั้นกำลังสองเฉลี่ยของการกระจัดสำหรับขั้นตอนที่ 2 จะตามมาด้วย

20 สำหรับจำนวนอนุภาค N ที่ระบุ สิ่งนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน ห้องใหญ่ขั้นตอน

ข้าว. 7. การกระจายตัวของอนุภาคระหว่างการแพร่กระจาย (ฮิสโตแกรมและเส้นโค้งทางทฤษฎี)

6.2. การประมาณค่าพารามิเตอร์การเคลื่อนที่ของอนุภาคบราวเนียนในของเหลว

ให้เรานำเสนอค่าประมาณสำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนจริง ความเร็วเฉลี่ยของการเคลื่อนที่ที่ไม่เป็นระเบียบของอนุภาคบราวเนียน v T ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับ ความเร็วเฉลี่ยโมเลกุลอัตราส่วน

หากความเร็วของอนุภาคใกล้กับความร้อน v v T แสดงว่าแรงนั้นมีขนาดเล็กลงมากตามธรรมชาติ และการเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ย −αv นั้นมีความสำคัญมาก

21 สำหรับลูกบอลรัศมี R ในของเหลวที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความหนืด η ตามกฎของสโตกส์

α = 6 πηR

มันเป็นความเบี่ยงเบนเหล่านี้ที่รับผิดชอบต่อการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่ไม่หยุดยั้ง ถ้า เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวดังกล่าว τ จาก (9) สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการประมาณเวลาที่อนุภาคจะ "ลืม" ทิศทางเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ แต่ค่าเดียวกันนี้ให้ค่าประมาณคร่าว ๆ ของช่วงเวลาที่อนุภาค "จดจำ" ทิศทางการเคลื่อนที่ (บางทีการประมาณเวลา "รับประกันการลืม" คงจะคุ้มค่าที่จะใช้ 2τ และเพื่อประมาณเวลารับประกันการรักษาทิศทาง τ/ 2 แต่เราไม่สนใจเวลาที่ "รับประกัน" แต่ในเวลาเฉลี่ย ดังนั้น เราจะถือว่าค่าสัมประสิทธิ์คือ 2, 1/2 และอื่น ๆ อยู่นอกความถูกต้องของการประมาณการที่ยอมรับ)

ในช่วงเวลา τ อนุภาคเคลื่อนที่ในเส้นทางที่มีขนาดเท่ากันตามลำดับความสำคัญ

เราสามารถพิจารณาการกระจัดของอนุภาคในช่วงเวลาต่างๆ ของลำดับของ τ เป็นการสุ่ม คล้ายกับการกระจัดของอนุภาคที่พิจารณาก่อนหน้านี้ ∆x เพียงแต่ไม่ได้พุ่งไปตามแนวแกน x แต่ไปในทิศทางที่กำหนด (เช่น เป็นการกระจัดอิสระพร้อมกันสามครั้งพร้อมกันสาม แกนพิกัด) การเคลื่อนที่ของอนุภาคเมื่อเวลาผ่านไป t τ สามารถแบ่งออกเป็นขั้นตอนดังกล่าว k t/τ การกระจัดของอนุภาคในช่วงเวลา t ประเมินโดยการเปรียบเทียบกับ (5):

โดยที่ D คือสัมประสิทธิ์การแพร่ 22 โดยคำนึงถึง (8), (9), (11)

D k α B T .(13)

หากในตอนแรกอนุภาคมีความเข้มข้นในปริมาตรเล็กน้อย จากนั้นเมื่อเวลาผ่านไปพวกมันก็จะแพร่กระจายออกไปมากขึ้นเรื่อยๆ โดยครอบครองพื้นที่ขนาด r(t)

ความสัมพันธ์ของรูปแบบ (12), (13) ที่ได้รับโดย Einstein และ Smoluchowski ทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับการทดลองของ Perrin ในระหว่างที่มวลของอะตอมถูกกำหนดและได้รับการยอมรับจาก "ชุมชนวิทยาศาสตร์" ว่าเป็นหลักฐานที่น่าเชื่อของการมีอยู่ของอะตอม .

รูปแบบที่อธิบายไว้ข้างต้นควรเข้าใจว่าเป็นกรณีที่จำกัดซึ่งสอดคล้องกับการสังเกต จำนวนอนันต์อนุภาค การดำเนินการสุ่มเดินของอนุภาคจำนวนจำกัดที่ทำการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน (ของจริงหรือ "คอมพิวเตอร์") แสดงให้เห็นเพียงการเติมเต็มความสัมพันธ์เหล่านี้โดยประมาณเท่านั้น

22 สำหรับการสุ่มเดินในทิศทางของแกน x แทนที่จะเป็น (12) เรามี x 2 (t) = 2 D t

อธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในพื้นที่เฟสหนึ่งภายใต้อิทธิพลของกลไกสุ่มบางอย่าง โดยทั่วไปแล้วปริภูมิเฟสจะเป็นมิติ d หรือจำนวนเต็ม กลไกสุ่มอาจแตกต่างกัน บ่อยครั้งที่มีการพิจารณาระบบที่สร้างขึ้นโดยการรวมของตัวแปรสุ่มอิสระหรือลูกโซ่มาร์คอฟ คำจำกัดความที่ยอมรับโดยทั่วไปของ S.b. เลขที่
วิถีโคจรของโปรโตซัว S.b. ในกรณี d=l อธิบายโดยตำแหน่งเริ่มต้น S 0 =0 และลำดับของผลรวม

ที่ไหน เอ็กซ์ ฉันมีความเป็นอิสระและมีเบอร์นูลลี

ความหมาย สสามารถตีความได้ว่าเป็นการชนะของผู้เล่นคนใดคนหนึ่งในสองคนหลังจากจบเกม p-game โดยผู้เล่นคนนี้จะชนะหนึ่งรูเบิลในแต่ละเกมด้วยความน่าจะเป็น . และแพ้ด้วยความน่าจะเป็น 1- ร.ถ้าเล่นเกมด้วยการโยนเหรียญสมมาตรให้ตั้ง p = 1/2 (เดินสมมาตรดู เบอร์นูลลี่เดิน). สมมติว่าทุนเริ่มต้นของผู้เล่นคนที่ 1 เท่ากับ b และทุนเริ่มต้นของผู้เล่นคนที่ 2 เท่ากับ a เกมจะสิ้นสุดเมื่ออนุภาคที่หลงทาง (ที่มีพิกัด S 1, S 2, ... ) สัมผัสครั้งแรก ระดับใดระดับหนึ่งหรือ -ข.ในกรณีนี้ ผู้เล่นคนใดคนหนึ่งจะพัง คลาสสิคขนาดนี้ ปัญหาความพินาศซึ่งสิ่งกีดขวางที่จุด a และ -b ถือได้ว่าเป็นการดูดซับ
ในแอพพลิเคชั่นที่เกี่ยวข้องกับ ทฤษฎีการเข้าคิวอนุภาคที่อยู่ใกล้สิ่งกีดขวาง a และ -b=0 อาจมีพฤติกรรมแตกต่างออกไป เช่น ถ้า ก=, ข=0 แล้ววางตำแหน่ง Z n+1อนุภาคที่เคลื่อนที่ ณ ขณะนี้ n+1 ตาม (1) อธิบายไว้ในความสัมพันธ์

และสิ่งกีดขวางที่จุด 0 ก็สามารถเรียกได้ ล่าช้า ยังมีความเป็นไปได้อื่นๆ สำหรับพฤติกรรมของอนุภาคใกล้กับสิ่งกีดขวาง
ถ้า a = พวกเขาจะได้งานสำหรับ S. b มีขอบเดียว ถ้า ก=ข= แล้วจะได้ S.b. ไม่จำกัด การศึกษา S.b. ที่อธิบายไว้ มักเกิดขึ้นโดยใช้เครื่องมือของสายโซ่มาร์คอฟแบบแยกส่วน และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง โดยการศึกษาสมการผลต่างอันจำกัดที่สอดคล้องกัน ยกตัวอย่างว่า คุณเคคือความหายนะของผู้เล่นคนที่ 1 ในปัญหาความหายนะหากทุนของเขาเท่ากับ เค และทุนรวมของผู้เล่นทั้งสองจะคงที่และเท่ากัน ก+ขแล้วจากสูตร ความน่าจะเป็นเต็ม(จากการกระโดดครั้งแรก) ตามนั้น และเคเป็นไปตามสมการ

และเงื่อนไขขอบเขต คุณเป็น=0, คุณบี= 1. จากตรงนี้เราได้

สูตรที่สองนี้แสดงให้เห็นว่าแม้จะไม่มีอันตรายก็ตาม

สารานุกรมทางคณิตศาสตร์. - ม.: สารานุกรมโซเวียต. ไอ. เอ็ม. วิโนกราดอฟ พ.ศ. 2520-2528.

ดูว่า "RANDOM WALK" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

ทฤษฎี Random Walk เป็นทฤษฎีที่การเปลี่ยนแปลงมูลค่าของหลักทรัพย์ผันผวนแบบสุ่มตามราคาเป้าหมาย ซึ่งตรงกันข้ามกับทฤษฎีการวิเคราะห์ทางเทคนิค สารบัญ 1 การเดินสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องมิติเดียว ... Wikipedia

เดินแบบสุ่ม- atsitiktinis klajojimas สถานะ T sritis fizika atitikmenys: engl สุ่มเดิน vok zufällige Irrfahrt, f; zufällige Schrittfolge, f rus. สุ่มเดิน n pranc เคมีaléatoire, ม.; ความผิดพลาดฉ; Marche aléatoire, f … Fizikos สิ้นสุด žodynas

การเดินสุ่มที่เกิดจากการทดลองของเบอร์นูลลี ใช้ตัวอย่างของ B.b. เป็นไปได้ที่จะอธิบายลักษณะพื้นฐานบางประการของการเดินสุ่มทั่วไป โดยเฉพาะอยู่แล้วในเรื่องนี้ โครงการที่ง่ายที่สุดคุณสมบัติของการสุ่มปรากฏขัดแย้งจากมุมมอง... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ปัญหาการพังทลายของผู้เล่นเป็นปัญหาจากทฤษฎีความน่าจะเป็น พิจารณารายละเอียดโดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย A. N. Shiryaev ในเอกสารเรื่อง "ความน่าจะเป็น" ... Wikipedia

เกมที่มีลักษณะของกระบวนการที่เปิดเผยในเวลาแยกกันบนชุดคำสั่งที่มีลักษณะคล้ายต้นไม้ (หรือที่เรียกว่าต้นไม้) สุดท้าย ป. และ. เรียกว่า ระบบที่ 1) I คือเซตของผู้เล่น (|I| = n); 2) X คือต้นไม้จำกัด ซึ่งมีจุดยอดเรียกว่า... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

กระบวนการมาร์คอฟที่เป็นเนื้อเดียวกัน X(t) โดยที่ T คือกลุ่มย่อยการบวกของแกนจริง R ที่มีค่าในทอพอโลยี ช่องว่าง. ด้วยโทโพโลยีและพีชคณิตบอเรล ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่าน P(t, x, B) ซึ่งมีคุณสมบัติบางประการคือความราบรื่น... สารานุกรมคณิตศาสตร์

คำนี้มีความหมายอื่น ดูมอนติคาร์โล (ความหมาย) วิธีมอนติคาร์โล (วิธีมอนติคาร์โล, MMK) เป็นชื่อทั่วไปของกลุ่มวิธีการเชิงตัวเลขโดยยึดตามการได้มาซึ่งการสุ่ม (สุ่ม) จำนวนมาก ... ... Wikipedia

วิธีมอนติคาร์โล (วิธีมอนติคาร์โล, MMK) เป็นชื่อทั่วไปของกลุ่มของวิธีการเชิงตัวเลขโดยอาศัยการได้รับกระบวนการสุ่ม (สุ่ม) จำนวนมากซึ่งเกิดขึ้นในลักษณะที่ความน่าจะเป็น ... . .. วิกิพีเดีย

เมื่อพิจารณาการเดินแบบสุ่ม สถานะของระบบจะถูกตีความให้ชัดเจนว่าเป็นตำแหน่งของ "อนุภาค" ที่กำลังเคลื่อนที่

การเดินสุ่มมิติเดียวคือห่วงโซ่มาร์คอฟซึ่งมีพื้นที่ของรัฐประกอบด้วยชุดจำนวนเต็มจำกัดหรืออนันต์ หากอนุภาคอยู่ในสถานะ I จากนั้นในขั้นตอนเดียวก็สามารถไปยังสถานะใกล้เคียงหรือหรือคงอยู่ในสถานะนั้นได้ ถ้า state space เป็นชุดของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น เมทริกซ์ของความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงของการสุ่ม เดินมีรูปแบบ

ที่ไหน . ตัวเลขมีความหมายดังนี้ ถ้า แล้ว เมื่อใด

การเปลี่ยนแปลงนั้นชัดเจน

ชื่อ "การเดินสุ่ม" สำหรับกระบวนการประเภทนี้ได้รับการสนับสนุนจากข้อเท็จจริงที่ว่าการดำเนินการนั้นอธิบายถึงเส้นทางของบุคคลที่ "เมามาย" โดยสุ่มก้าวไปข้างหน้าหรือถอยหลัง

ทุนของผู้เล่นที่เข้าร่วมในซีรีส์เกม การพนันมักถูกอธิบายว่าเป็นกระบวนการเดินแบบสุ่ม สมมติว่าผู้เล่น A ซึ่งมีทุน เล่นกับหุ้นส่วนที่รวยไม่จำกัด และความน่าจะเป็นที่เขาจะชนะเกมและเพิ่มทุนหนึ่งเท่ากับ และความน่าจะเป็นที่เขาจะแพ้และลดทุนลงหนึ่งคือ เท่ากับ . การพึ่งพาความน่าจะเป็นของการชนะและแพ้สะท้อนให้เห็นถึงการพึ่งพาเงื่อนไขของเกมเกี่ยวกับเงินทุนที่เป็นไปได้ ดังนั้น เราจึงตกลงกันว่าเมื่ออยู่ในสถานะ O (ซึ่งสอดคล้องกับการล่มสลายของผู้เล่น A) กระบวนการจะยังคงอยู่ในสถานะนี้ กล่าวคือ กระบวนการที่ขนาดของทุนของผู้เล่นหลังเกมเป็นกระบวนการเดินแบบสุ่ม กระบวนการนี้เรียกว่า “ปัญหาความหายนะของนักพนัน”

การเดินแบบสุ่มสอดคล้องกับชุดการทำซ้ำที่เหมือนกัน หากในแต่ละเกมโอกาสของผู้เล่น A จะดีกว่าอย่างชัดเจน ในช. 3 เราจะแสดงให้เห็นว่าในกรณีนี้ ด้วยความน่าจะเป็นที่เงินทุนเริ่มต้นของเขาอยู่ที่ไหน ผู้เล่น A จะล้มละลาย (สูญเสียเงินทุน) และความน่าจะเป็นที่เงินทุนของเขาจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด อย่างไรก็ตาม หากเกมนี้เป็นประโยชน์ต่อเจ้าของสถานประกอบการพนันอย่างชัดเจน และเกือบจะแน่นอน (ด้วยความน่าจะเป็น 1) ผู้เล่น A จะพังถ้าเขาเล่นนานพอ ผู้เล่น A ถึงวาระที่จะถูกทำลาย (ด้วยความน่าจะเป็น 1) แม้ว่าเกมจะไม่เป็นอันตรายก็ตาม เช่น เมื่อ

หากหุ้นส่วนซึ่งเป็นผู้เล่นเริ่มเกมด้วยทุน y ที่จำกัด ดังนั้นทุนของผู้เล่น A จะถูกอธิบายอีกครั้งโดยสายโซ่ Markov อย่างไรก็ตาม สายโซ่นี้มีชุดของสถานะที่จำกัดซึ่งเป็นสถานะเริ่มต้นของผู้เล่น ตามลำดับ ความแตกต่างถูกตีความว่าเป็นทุนของผู้เล่น B หลังเกม หากอนุญาตให้เสมอกันระหว่างผลลัพธ์ของแต่ละเกม ดังนั้นเมทริกซ์ของความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลงของลูกโซ่จะมีรูปแบบ

เช่นเดิมมีความเป็นไปได้ที่ผู้เล่น A ที่มีทุนจะเพิ่ม (ลดลง) ทีละคนในเกมถัดไป โปรดทราบว่าตามเมทริกซ์ของความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลง (2.3) ทุนของผู้เล่น A (สถานะของกระบวนการ) เมื่อถึงค่า a หรือเปลี่ยนเป็น 0 จะยังคงอยู่ในสถานะเหล่านี้ตลอดไป เราบอกว่าผู้เล่น A พังหากกระบวนการถึงสถานะ 0; หากกระบวนการจบลงในสถานะ a เราก็บอกว่าผู้เล่นถูกทำลาย

การเดินสุ่มมีประโยชน์ไม่เพียงแต่ในการอธิบายสถานการณ์ในเกมเท่านั้น แต่ยังทำหน้าที่เป็นแบบจำลองที่ดีของกระบวนการทางกายภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการแพร่กระจายของอนุภาค หากอนุภาคเกิดการชนกันแบบสุ่ม ตำแหน่งของอนุภาคนั้นก็จะผันผวนแบบสุ่ม แม้ว่าวิถีการเคลื่อนที่จะอธิบายอย่างต่อเนื่องก็ตาม หากตำแหน่งในอนาคต (หรือการกระจายความน่าจะเป็นที่แม่นยำยิ่งขึ้น) ของอนุภาคขึ้นอยู่กับตำแหน่งปัจจุบันเท่านั้น ดังนั้นกระบวนการที่ตำแหน่งของอนุภาคในขณะนี้คือ Markovian การประมาณแบบไม่ต่อเนื่องของการเคลื่อนที่ต่อเนื่องดังกล่าวสอดคล้องกับการเดินแบบสุ่ม การเดินสุ่มแบบสมมาตรเป็นอะนาล็อกแยกคลาสสิกของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน (ดูมาตรา 2 ของบทที่ 1) โดยการสุ่มแบบสมมาตรบนเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด เราหมายถึงลูกโซ่มาร์คอฟที่มีช่องว่างของรัฐที่เป็นเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด โดยมีองค์ประกอบของเมทริกซ์ของความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลงของรูปแบบ

ที่ไหน . โดยปกติแล้วการเดินสุ่มแบบสมมาตรจะเป็นห่วงโซ่มาร์คอฟด้วย

การศึกษาแบบจำลองทางกายภาพบางแบบจำลองนำเราไปสู่การพิจารณาการสุ่มเดินบนเซตของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ สามารถจำแนกกระบวนการดังกล่าวตามคุณสมบัติของสถานะศูนย์ได้ ให้อธิบายการเดินสุ่มด้วยเมทริกซ์ (2.2) ถ้า (และด้วย) สถานะศูนย์จะมีคุณสมบัติเป็นหน้าจอสะท้อนแสง เมื่อใดก็ตามที่อนุภาคมีสถานะเป็นศูนย์ ผลจากการเปลี่ยนแปลงครั้งต่อไปจะจบลงที่สถานะ 1 ซึ่งสอดคล้องกับสถานการณ์เมื่อมีกำแพงยืดหยุ่นอยู่ที่ศูนย์ และอนุภาคกระเด็นออกไปโดยไม่มีผลกระทบตกค้างใดๆ

หากสถานะศูนย์มีพฤติกรรมเหมือนหน้าจอดูดซับ เมื่ออยู่ในสถานะศูนย์ อนุภาคจะยังคงอยู่

ในนั้นตลอดไป หากสถานะศูนย์เป็นหน้าจอสะท้อนแสงบางส่วน

หากการเดินแบบสุ่มจำกัดอยู่ในสถานะจำนวนจำกัด ให้บอกว่าทั้งสถานะสุดขั้ว 0 และ a โดยแยกจากกันและรวมกันใดๆ ก็ได้ อาจเป็นหน้าจอสะท้อนแสง ดูดซับ หรือสะท้อนแสงบางส่วนได้ เราได้จัดการกับกรณีที่สถานะ 0 และ a น่าสนใจแล้ว [ดู (2.3)].

รูปแบบคลาสสิกของการแพร่กระจายผ่านเมมเบรนคือแบบจำลอง Ehrenfest แบบจำลองนี้อธิบายว่าเป็นกระบวนการเดินแบบสุ่มที่มีสถานะจำนวนจำกัด โดยมีสถานะสุดขีด a และหน้าจอสะท้อนแสง เมทริกซ์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงได้รับดังนี้:

การตีความทางกายภาพของแบบจำลองนี้มีดังนี้ มีโกศสองใบที่บรรจุลูกบอล 2a ไว้ด้วยกัน สมมติว่าโกศ A มีลูกบอล ในการทดลองแต่ละครั้ง ลูกบอลหนึ่งลูกจะถูกสุ่มเลือกและย้ายไปยังโกศอื่น ยิ่งไปกว่านั้น ลูกบอลแต่ละลูกมีความน่าจะเป็นเช่นเดียวกับลูกบอลอื่นๆ ที่ถูกเคลื่อนย้าย ไม่ว่าลูกบอลจะอยู่ในโกศใดก็ตาม การทดสอบแต่ละครั้งจะนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงสถานะของ 1) ระบบ ลักษณะทิศทางการเคลื่อนที่ของลูกบอลจะมาจากโกศด้วย ความเข้มข้นที่สูงขึ้นสู่โกศที่มีความเข้มข้นต่ำกว่า ในบางกรณี แบบจำลองเอห์เรนเฟสต์สามารถใช้เพื่อศึกษาระบบทางกายภาพภายใต้อิทธิพลของแรงฟื้นฟู ซึ่งขนาดจะเป็นสัดส่วนกับระยะห่างจากตำแหน่งสมดุล

การเดินสุ่มมิติสมมาตรแบบคลาสสิกมีการกำหนดไว้ดังนี้ สเปซสถานะของกระบวนการคือโครงตาข่ายจำนวนเต็มใน (ปริภูมิยูคลิด n มิติ) ซึ่งจุดต่างๆ นั้นเป็นเซตของจำนวนเต็มในรูปแบบ ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านถูกกำหนดไว้ดังนี้:

คล้ายกับกรณีมิติเดียว การเดินแบบสุ่มสมมาตรแบบมิติเป็นอะนาล็อกที่แยกจากกันของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนในมิติ

ลองทำความเข้าใจว่าตำแหน่งของอนุภาคที่กำลังเต้นเปลี่ยนแปลงไปมากน้อยเพียงใดในช่วงเวลาหนึ่ง ซึ่งยาวนานกว่าช่วงเวลาระหว่างการกระแทกสองครั้งหลายเท่า ลองดูที่อนุภาคเล็กๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน และกำลังเต้นอยู่ภายใต้การกระแทกอย่างต่อเนื่องและสุ่มของโมเลกุลของน้ำที่ตกลงมา คำถาม:อนุภาคจะเคลื่อนที่จากตำแหน่งเดิมไปไกลแค่ไหนเมื่อพ้นเวลาที่กำหนด? ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดย Einstein และ Smoluchowski ลองจินตนาการว่าเราแบ่งเวลาที่จัดสรรให้เราออกเป็นระยะเล็กๆ เช่น หนึ่งร้อยวินาที เพื่อที่ว่าหลังจากหนึ่งในร้อยวินาทีแรก อนุภาคก็จะไปอยู่ที่จุดเดียว ในช่วงหนึ่งร้อยวินาทีที่สอง อนุภาคจะเคลื่อนที่ต่อไปอีกที่ เมื่อสิ้นสุดหนึ่งในร้อยวินาทีถัดไปมันก็เคลื่อนที่ต่อไป ฯลฯ ด้วยอัตราการทิ้งระเบิดที่อนุภาคถูกโจมตี หนึ่งในร้อยวินาทีนั้นถือเป็นเวลาจำนวนมาก

ผู้อ่านสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าจำนวนการชนที่เกิดขึ้นจากโมเลกุลหนึ่งที่ลอยอยู่ในน้ำนั้นมีค่าประมาณ 10 14 ครั้งต่อวินาที ดังนั้นในหนึ่งร้อยวินาทีจะมีการชนประมาณ 10 12 ครั้ง ซึ่งถือว่าเยอะมาก! โดยธรรมชาติแล้ว หลังจากผ่านไปหนึ่งร้อยวินาที อนุภาคจะไม่ "จดจำ" ว่าเกิดอะไรขึ้นกับอนุภาคก่อนหน้านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่งการชนกันทั้งหมด สุ่ม,เพื่อให้แต่ละ "ขั้นตอน" ที่ตามมาของอนุภาคเป็นอิสระจากขั้นตอนก่อนหน้าโดยสิ้นเชิง สิ่งนี้ชวนให้นึกถึงปัญหาที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับกะลาสีขี้เมาที่ออกจากบาร์และเดินไปไม่กี่ก้าว แต่มีปัญหาในการยืนและเดินไปแต่ละก้าวโดยบังเอิญ (รูปที่ 41.6)

รูปที่. 41.6. เส้นทางซิกแซกสุ่ม 36 ขั้น ความยาว L

จุด S 36 ห่างจาก B ไกลแค่ไหน? โดยเฉลี่ย 6 ลิตร

แล้วกะลาสีของเราจะไปจบลงที่ใดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง? แน่นอนว่าเราไม่รู้! และมันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำนายสิ่งนี้ ทั้งหมดที่กล่าวได้ก็คือมันอาจจะอยู่ที่ไหนสักแห่ง แต่ก็ไม่แน่นอนโดยสิ้นเชิง โอเค แต่เขาจะไปได้ไกลแค่ไหน? ระยะทางเฉลี่ยจากบาร์ที่กะลาสีจะพบว่าตัวเองเป็นเท่าใด?เราได้ตอบคำถามนี้ไปแล้ว เพราะครั้งหนึ่งเราเคยพูดถึงการซ้อนของแสงจากจำนวนมหาศาลไปแล้ว แหล่งต่างๆกับ ขั้นตอนที่แตกต่างกันซึ่งหมายความว่าเราได้รวมลูกศรจำนวนมากที่พุ่งไปในทิศทางที่กำหนด (ดูบทที่ 32) จากนั้นเราค้นพบว่ากำลังสองเฉลี่ยของระยะทางจากปลายด้านหนึ่งของห่วงโซ่ของขั้นบันไดสุ่มไปยังอีกด้านหนึ่ง (เช่น ความเข้มของ แสงสว่าง) เท่ากับผลรวมความเข้มของแหล่งที่มาแต่ละแห่ง ในทำนองเดียวกัน การใช้คณิตศาสตร์แบบเดียวกัน เราสามารถแสดงได้ทันทีว่าถ้า ร N คือระยะเวกเตอร์จากจุดเริ่มต้นถึง เอ็นขั้นตอน ดังนั้นกำลังสองเฉลี่ยของระยะห่างจากจุดเริ่มต้นจะเป็นสัดส่วนกับจำนวนก้าว เอ็น.

มันหมายความว่าอย่างนั้น <ร 2 ยังไม่มีข้อความ >=NL 2 ,โดยที่ L คือความยาวของแต่ละขั้นตอน เนื่องจากจำนวนขั้นตอนเป็นสัดส่วนกับเวลาที่จัดสรรให้เราตามเงื่อนไขของปัญหาแล้ว กำลังสองเฉลี่ยของระยะทางเป็นสัดส่วนกับเวลา:

=ที่. (41.17)

นี่ไม่ได้หมายความว่าอย่างนั้น ระยะทางเฉลี่ยสัดส่วนกับเวลา ถ้าระยะทางเฉลี่ยเป็นสัดส่วนกับเวลา อนุภาคก็จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ไม่ต้องสงสัยเลยว่ากะลาสีก้าวไปข้างหน้า แต่การเคลื่อนไหวของเขาเป็นเช่นนั้น สี่เหลี่ยมระยะทางเฉลี่ยเป็นสัดส่วนกับเวลา นั่นคือสิ่งที่มันเป็น คุณลักษณะเฉพาะเดินแบบสุ่ม

เราสามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ ว่าแต่ละขั้นตอนจะเพิ่มกำลังสองของระยะทางโดยเฉลี่ย L 2 ถ้าเราเขียน รน= ร N-1+ ลแล้วปรากฎว่า R 2 N เท่ากัน

ร n รยังไม่มีข้อความ = ร 2 ยังไม่มีข้อความ = r 2 n-i + 2ร N-1 ล+ล 2,

และโดยเฉลี่ยแล้วเราได้ความพยายามหลายครั้ง =+L 2 เพราะว่า<ร N-1 ล>=0. ดังนั้นโดยการเหนี่ยวนำ

ร 2 ยังไม่มีข้อความ =NL 2(41.18)

ตอนนี้ การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ a ในสมการ (41.17) เป็นการดี สำหรับสิ่งนี้เราจำเป็นต้องเพิ่มอย่างอื่น สมมติว่าหากมีการใช้แรงกับอนุภาค (มันไม่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน เราแค่มองหาการแสดงออกของโมเมนตัม) อนุภาคก็จะต้านทานแรงในลักษณะต่อไปนี้ ก่อนอื่นต้องมีความเฉื่อยปรากฏขึ้น ให้ม - ค่าสัมประสิทธิ์ความเฉื่อย มวลประสิทธิผลของอนุภาค (ไม่จำเป็นต้องเป็นมวลที่แท้จริงของอนุภาคจริง เพราะถ้าคุณลากอนุภาคผ่านน้ำ น้ำก็จะเคลื่อนที่ไปด้วย) ดังนั้น ถ้าเราพิจารณาการเคลื่อนไหวไปในทิศทางเดียว เราก็จำเป็นต้องได้รับคำจากด้านหนึ่ง ม.(ง 2 x/dt 2)เรายังเน้นอีกว่าหากเราผลักอนุภาคอย่างสม่ำเสมอ ของเหลวจะต้องทำให้อนุภาคช้าลงด้วยแรงที่แปรผันตามความเร็ว นอกจากความเฉื่อยของของไหลแล้ว ยังมีความต้านทานต่อการไหลที่เกิดจากความหนืดและโครงสร้างที่ซับซ้อนของของไหลอีกด้วย เพื่อให้ความผันผวนเกิดขึ้นอย่างแน่นอน จำเป็นการมีอยู่ของการสูญเสียที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ บางอย่างเช่นการต่อต้าน แม้ว่าจะไม่มีการสูญเสียดังกล่าว แต่ก็ไม่มีทางได้รับ เคที".สาเหตุของความผันผวนมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการสูญเสียดังกล่าว นอกจากนี้เรายังจะพูดถึงกลไกของแรงเสียดทานดังกล่าว เราจะพูดถึงแรงที่แปรผันตามความเร็ว และค้นหาว่าพวกมันมาจากไหน สำหรับตอนนี้ สมมติว่ามีแนวต้านดังกล่าวอยู่ แล้วสูตรการเคลื่อนที่ภายใต้การกระทำของแรงภายนอกหากมันดันอนุภาคด้วยตัวมันเอง ตามปกติ, ดูสิ
ดังนั้น:

ค่าของ m สามารถกำหนดได้จากการทดลอง ตัวอย่างเช่น เราสามารถศึกษาการตกของหยดภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงได้ แล้วเราก็รู้ว่าแรงมีค่าเท่ากับ มก.และม. คือ มก.หารด้วยความเร็วคงตัวสุดท้ายของหยด หรือคุณสามารถวางหยดลงในเครื่องหมุนเหวี่ยงและติดตามอัตราการตกตะกอน และหากมีประจุอยู่คุณก็สามารถใช้สนามไฟฟ้าได้ ดังนั้นม เป็นปริมาณที่วัดได้ ไม่ใช่ของเทียม และคุณค่าของมันเป็นที่รู้จักจากอนุภาคคอลลอยด์หลายประเภท

ขอให้เราใช้สูตรนี้ในกรณีที่แรงไม่อยู่ภายนอก แต่เท่ากับแรงสุ่มของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน ลองหากำลังสองเฉลี่ยของเส้นทางที่ร่างกายเดินทาง เราจะพิจารณาระยะทางไม่ใช่สามมิติ แต่เป็นมิติเดียวและหาค่าเฉลี่ย x2,เพื่อเตรียมตัวสำหรับงาน (แน่นอนว่าเฉลี่ย. x2เท่ากับค่าเฉลี่ย y 2 และค่าเฉลี่ย r 2 ดังนั้นกำลังสองเฉลี่ยของระยะทางจะเป็น 3 เท่า นอกจากนี้สิ่งที่เราได้รับ)

แน่นอนว่า องค์ประกอบ x ของแรงที่ไม่เป็นระเบียบนั้นมีความยุ่งเหยิงพอๆ กับองค์ประกอบอื่นๆ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ x 2 เป็นเท่าใด? มันก็เท่าเทียมกัน (d/dt)(x 2)=2x(dx/dt)ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าเฉลี่ย x 2 ? สามารถพบได้โดยการหาค่าเฉลี่ยผลคูณของความเร็วและพิกัด ให้เราแสดงว่านี่คือค่าคงที่ กล่าวคือ ค่าเฉลี่ยกำลังสองของรัศมีเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนของเวลา แล้วเราจะหาอัตราการเพิ่มขึ้นได้ ถ้าเราคูณสมการ (41.19) ด้วย เอ็กซ์,แล้วเราจะได้ mx (วัน 2 x/วัน 2)+ม x(dx/dt)=xF xเราสนใจเรื่องเวลาเฉลี่ย x(dx/dt),ดังนั้น เรามาเฉลี่ยสมการทั้งหมดในช่วงเวลาหนึ่งแล้วศึกษาทั้งสามเทอมกัน คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับงานนี้ได้บ้าง? เอ็กซ์เพื่อความแข็งแกร่ง? แม้ว่าอนุภาคจะถึงจุดแล้วก็ตาม เอ็กซ์,การกระแทกครั้งต่อไปสามารถกำหนดทิศทางไปในทิศทางใดก็ได้ที่สัมพันธ์กับ เอ็กซ์,มันเป็นพลังสุ่ม อย่างเต็มที่เป็นการสุ่มและไม่สนใจว่าอนุภาคจะเริ่มเคลื่อนที่มาจากไหน ถ้าจะประสานงาน. เอ็กซ์บวก แรงเฉลี่ยไม่มีเหตุผลที่จะเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกัน สำหรับเธอแล้วมันก็เป็นไปได้เหมือนกับคนอื่นๆ แรงสุ่มไม่สามารถส่งอนุภาคไปได้ ทิศทางที่แน่นอน. ดังนั้นค่าเฉลี่ยของสินค้า เอ็กซ์บน เอฟเอ็กซ์เท่ากับศูนย์ ในทางกลับกัน คำว่า mx(d 2 x/dt 2)คุณสามารถแสดงท่าทางได้ด้วยการแกล้งเล่นเล็กน้อย

เราแบ่งคำศัพท์ดั้งเดิมออกเป็นสองส่วน และต้องเฉลี่ยทั้งสองคำ มาดูกันว่าสินค้าจะเท่ากับอะไร เอ็กซ์เพื่อความเร็ว สินค้านี้ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเพราะเมื่อมีอนุภาคเข้ามา จุดที่กำหนดเธอจำไม่ได้ว่าก่อนหน้านี้เธออยู่ที่ไหนอีกต่อไป และปริมาณที่บ่งบอกถึงสถานการณ์ดังกล่าวไม่ควรขึ้นอยู่กับเวลา ดังนั้นค่าเฉลี่ยของปริมาณนี้จึงเป็นศูนย์ เราเหลือแค่ mv 2 และเรารู้บางอย่างเกี่ยวกับค่านี้: ค่าเฉลี่ย เอ็มวี 2 /2เท่ากับ 1/2 เคทีดังนั้นเราจึงได้จัดตั้งขึ้น
อะไร

ประกอบไปด้วย

ซึ่งหมายความว่ากำลังสองเฉลี่ยของเวกเตอร์รัศมีของอนุภาค ในขณะนี้ ทีเท่ากับ

=2kTt/ม. (41.21)

ดังนั้นเราจึงสามารถค้นหาได้จริง ไกลแค่ไหนอนุภาคจะหายไป! ก่อนอื่น เราต้องศึกษาการตอบสนองของอนุภาคต่อแรงคงที่ ค้นหาความเร็วการดริฟท์ของอนุภาคภายใต้อิทธิพลของแรงที่ทราบ (เพื่อกำหนด m) จากนั้นเราจะหาได้ว่าอนุภาคที่เคลื่อนที่แบบสุ่มจะกระจายออกไปไกลแค่ไหน สมการที่เราได้รับมีขนาดใหญ่ คุณค่าทางประวัติศาสตร์เพราะหนึ่งในวิธีแรกๆ ในการกำหนดค่าคงที่นั้นขึ้นอยู่กับมัน เคท้ายที่สุดแล้ว คุณสามารถวัดค่า m และเวลา กำหนดระยะทางที่อนุภาคจะเคลื่อนที่ออกไป และรับค่าเฉลี่ยได้ เหตุใดจึงสำคัญมากที่จะต้องพิจารณา ค่าที่แน่นอนเค? เพราะตามกฎหมายแล้ว พีวี=อาร์ทีสำหรับโมลสามารถวัดได้ อาร์ซึ่งเท่ากับผลคูณของจำนวนอะตอมในหน่วยโมลคูณ เคตุ่นถูกกำหนดครั้งหนึ่งว่าเป็นเช่นนั้น กรัมออกซิเจนคือ 16 (ปัจจุบันมีการใช้คาร์บอนเพื่อจุดประสงค์นี้) ดังนั้นตัวเลข อะตอมตอนแรกพวกเขาไม่รู้จักที่ห้างสรรพสินค้า สิ่งนี้น่าสนใจอย่างแน่นอนและ คำถามสำคัญ. อะตอมมีขนาดเท่าใด? มีเยอะไหม? ดังนั้นหนึ่งในที่สุด คำจำกัดความเบื้องต้นจำนวนอะตอมลดลงเพื่อกำหนดว่าจุดที่เล็กที่สุดจะไปได้ไกลแค่ไหน ในขณะที่เราตรวจดูพวกมันด้วยกล้องจุลทรรศน์อย่างอดทนตามเวลาที่กำหนดอย่างเคร่งครัด หลังจากนี้ ก็จะสามารถหาค่าคงที่ของ Boltzmann ได้ เคและเลขอาโวกาโดร N0,เพราะ รคราวนี้ก็วัดได้แล้ว

สิ้นสุดการทำงาน -

หัวข้อนี้เป็นของส่วน:

ทฤษฎีจลน์ของก๊าซ

บนเว็บไซต์อ่านว่า: "ทฤษฎีจลน์ของก๊าซ"..

ถ้าคุณต้องการ วัสดุเพิ่มเติมในหัวข้อนี้หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหาเราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:

หัวข้อทั้งหมดในส่วนนี้:

คุณสมบัติของสสาร
จากบทนี้เราจะเริ่มศึกษากัน หัวข้อใหม่ซึ่งจะทำให้เราต้องใช้เวลานานพอสมควร เราจะเริ่มวิเคราะห์คุณสมบัติของสสารจากมุมมองทางกายภาพ รู้ว่าเรื่องนั้นประกอบขึ้นเป็นเรื่องใหญ่

แรงดันแก๊ส
ทุกคนรู้ดีว่าก๊าซมีแรงกดดัน แต่ทำไม? เรื่องนี้ต้องจัดการให้เรียบร้อย ถ้าหูของเราไวกว่าความเป็นจริงมาก เราจะได้ยินเสียงแย่ๆ ตลอดเวลา

การอัดตัวของรังสี
ขอให้เรายกตัวอย่างอีกตัวอย่างหนึ่งจากทฤษฎีจลน์ของก๊าซ มันไม่ได้น่าสนใจเป็นพิเศษสำหรับนักเคมี แต่สำคัญมากสำหรับนักดาราศาสตร์ ภายในอุ่นถึง อุณหภูมิสูงกล่องมีโฟตอนจำนวนมาก

อุณหภูมิและพลังงานจลน์
จนถึงตอนนี้เรายังไม่ได้จัดการกับอุณหภูมิ เราจงใจหลีกเลี่ยงการพูดถึงหัวข้อนี้ เรารู้ว่าถ้าเราอัดแก๊ส พลังงานของโมเลกุลจะเพิ่มขึ้น และเรามักจะบอกว่าแก๊สนั้น

กฎหมายก๊าซในอุดมคติ
ตอนนี้เราสามารถแทนคำจำกัดความของอุณหภูมิของเราเป็นสมการ (39.9) และค้นหากฎของการพึ่งพาแรงดันแก๊สกับอุณหภูมิ: ผลคูณของความดันและปริมาตรเท่ากับผลคูณของจำนวนอะตอมทั้งหมด

บรรยากาศแบบเอ็กซ์โปเนอเรชั่น
เราได้ศึกษาคุณสมบัติบางประการของอะตอมที่ชนกันจำนวนมากแล้ว วิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้เรียกว่าทฤษฎีจลน์ศาสตร์ และอธิบายคุณสมบัติของสสารโดยพิจารณาว่าเป็นอย่างไร

กฎของโบลต์ไมอา
ให้เราสังเกตข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเศษของเลขชี้กำลังในความเท่าเทียมกัน (40.1) คือพลังงานศักย์ของอะตอม ดังนั้นในกรณีของเราจึงสามารถกำหนดกฎหมายได้ดังนี้ แพ

การระเหยของของเหลว
กลศาสตร์สถิติเบื้องต้นน้อยพยายามแก้ไขปัญหาสำคัญต่อไปนี้ สมมติว่ามีการรวมตัวกันของโมเลกุลที่ดึงดูดกันและมีแรงระหว่างสองโมเลกุลใดๆ

การกระจายตัวของโมเลกุลด้วยความเร็ว
ตอนนี้เรามาดูการกระจายตัวของโมเลกุลตามความเร็วกันดีกว่า เพราะมันน่าสนใจและบางครั้งก็มีประโยชน์ที่จะรู้ว่าส่วนใดของโมเลกุลเคลื่อนที่ด้วยความเร็วหนึ่งหรืออีกความเร็วหนึ่ง คุณสามารถใช้สิ่งเหล่านั้นได้

ความจุความร้อนจำเพาะของก๊าซ
มาดูกันว่าเราจะทดสอบทฤษฎีและประเมินว่ามันดีแค่ไหน ทฤษฎีคลาสสิกก๊าซ เราได้กล่าวไปแล้วว่าหาก U คือพลังงานภายในของโมเลกุล N ดังนั้นสูตร pV=NkT=(g-1)

ความพ่ายแพ้ของฟิสิกส์คลาสสิก
เลยต้องบอกว่าเราเจอกับความยากลำบาก คุณสามารถเชื่อมโยงอะตอมกับสิ่งอื่นที่ไม่ใช่สปริงได้ แต่ปรากฎว่าสิ่งนี้จะเพิ่มค่าของ g เท่านั้น หากใช้ผู้อื่นเข้ามา.

การกระจายพลังงานอย่างสมดุล
การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนถูกค้นพบในปี พ.ศ. 2370 โดยนักพฤกษศาสตร์ โรเบิร์ต บราวน์ ขณะศึกษาชีวิตภายใต้กล้องจุลทรรศน์ เขาสังเกตเห็นอนุภาคละอองเกสรขนาดเล็กกำลังเต้นอยู่ในลานสายตาของเขา ในขณะเดียวกันเขาก็ค่อนข้างจะ

สมดุลความร้อนของการแผ่รังสี
เราเริ่มที่จะหารือที่ซับซ้อนมากขึ้นและ ทฤษฎีบทที่น่าสนใจซึ่งมีสาระสำคัญดังนี้ สมมติว่าเรามีออสซิลเลเตอร์ที่มีประจุ เหมือนกับที่เราพูดถึงเมื่อกี้

การกระจายแบบสม่ำเสมอและออสซิลเลเตอร์ควอนตัม
ความยากลำบากที่เพิ่งสังเกตคืออีกด้านของปัญหาความต่อเนื่องในฟิสิกส์คลาสสิก มันเริ่มต้นจากความผิดปกติในความจุความร้อนของก๊าซ และปัญหานี้ก็มุ่งไปที่การกระจายตัว

การระเหย
บทนี้เน้นไปที่การประยุกต์ใช้ทฤษฎีจลน์ศาสตร์เพิ่มเติม ในบทที่แล้ว เราได้เน้นข้อสรุปประการหนึ่งของทฤษฎีนี้ว่าพลังงานจลน์เฉลี่ยของแต่ละระดับความเป็นอิสระของโมเลกุลหรือ

การปล่อยความร้อน
เรายกตัวอย่างอีกตัวอย่างหนึ่งของกระบวนการที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งได้ ซึ่งคล้ายกับการระเหยของของเหลวจนไม่จำเป็นต้องวิเคราะห์แยกกันด้วยซ้ำ โดยพื้นฐานแล้วนี่เป็นงานเดียวกัน ด้วยเหตุผลใด ๆ

ไอออนไนซ์ด้วยความร้อน
ตอนนี้เรามาดูการประยุกต์ใช้แนวคิดเดียวกันนี้กัน ตอนนี้เราจะพูดถึงไอออนไนซ์ สมมติว่าก๊าซประกอบด้วยอะตอมจำนวนมากซึ่งโดยปกติจะเป็นกลาง แต่ถ้าก๊าซได้รับความร้อน

จลนพลศาสตร์เคมี
ที่ ปฏิกริยาเคมีมีบางสิ่งที่คล้ายกับ "ไอออไนเซชัน" เกิดขึ้น

กฎรังสีของไอน์สไตน์
ตอนนี้เรามาดูปัญหาที่น่าสนใจซึ่งคล้ายกับปัญหาที่เพิ่งเกิดขึ้น

การชนกันของโมเลกุล
จนถึงขณะนี้เราได้ศึกษาการเคลื่อนที่ของโมเลกุลในสมดุลความร้อนเท่านั้น ตอนนี้เราต้องมาคุยกันว่าโมเลกุลของก๊าซเคลื่อนที่อย่างไรเมื่อมันเข้าใกล้สมดุล แต่ยังไม่ถึงจุดสมดุลทั้งหมด ถ้าติดแก๊ส

เส้นทางฟรีโดยเฉลี่ย
นอกจากนี้ยังสามารถอธิบายการชนกันของโมเลกุลโดยไม่ต้องบอกเวลาระหว่างการชนกันอีกด้วย เป็นไปได้ที่จะกำหนดว่าอนุภาคจะมีเวลาเดินทางระหว่างการชนได้ไกลแค่ไหน ถ้าเรารู้

ความเร็วดริฟท์
เราต้องการอธิบายพฤติกรรมของโมเลกุลหนึ่งหรือสองสามโมเลกุลที่แตกต่างจากโมเลกุลก๊าซอื่นๆ ส่วนใหญ่ในทางใดทางหนึ่ง เราจะเรียกโมเลกุล "ส่วนใหญ่" ของโมเลกุลว่า "พื้นหลัง" และความแตกต่าง

การนำไฟฟ้าแบบโนนิค
ให้เราใช้ผลลัพธ์ของเราเป็นกรณีพิเศษ สมมติว่าภาชนะที่เต็มไปด้วยก๊าซก็มีไอออน - อะตอมหรือโมเลกุลที่มีประจุไฟฟ้ามากเกินไปเช่นกัน แผนผังมีลักษณะเช่นนี้

การแพร่กระจายของโมเลกุล
ให้เราไปยังปัญหาอื่นที่เราจะต้องเปลี่ยนวิธีการวิเคราะห์เล็กน้อย - ปัญหาการแพร่กระจาย สมมติว่าเราเอากล่องที่เต็มไปด้วยก๊าซในสมดุลความร้อนและ

เราได้ผลลัพธ์นี้มาแทนผลลัพธ์นี้ใน (43.22) และละเลยตัวประกอบ 2
Jx=lv(dna/dx) (43.24) เราพบว่าการไหลของโมเลกุลพิเศษเป็นสัดส่วนกับอนุพันธ์ของความหนาแน่น หรือที่บางครั้งพวกเขาพูดว่า "การไล่ระดับความหนาแน่น"

การนำความร้อน
วิธีทฤษฎีจลน์ศาสตร์ที่เราได้ใช้มาอย่างประสบความสำเร็จ ยังทำให้สามารถคำนวณค่าการนำความร้อนของก๊าซได้อีกด้วย ถ้าแก๊สด้านบนกล่องร้อนกว่าด้านล่าง ความร้อนจะไหลจากด้านบน

เครื่องยนต์ระบายความร้อน กฎหมายฉบับแรก
จนถึงขณะนี้เราได้พิจารณาคุณสมบัติของสสารจากมุมมองของอะตอมแล้ว และเราได้ลองแล้ว อย่างน้อยก็ใน โครงร่างทั่วไปเข้าใจว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรายอมรับว่าสสารประกอบด้วยอะตอมที่เชื่อฟัง

กฎข้อที่สอง
กฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์คืออะไร? เรารู้ว่าหากต้องเอาชนะแรงเสียดทานระหว่างการทำงาน งานที่สูญเสียไปจะเท่ากับความร้อนที่ปล่อยออกมา ถ้าเราเอาชนะแรงเสียดทานในห้องได้เร็ว

เครื่องจักรแบบพลิกกลับได้
มาทำความเข้าใจรถของเรากันดีกว่า เราทราบถึงคุณสมบัติอย่างหนึ่งของเครื่องจักรทั้งหมดแล้ว หากมีการเสียดสีในเครื่องจักร การสูญเสียพลังงานเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ รถที่ดีที่สุดคงเป็นรถที่ไม่มีการเสียดสีเลย

ประสิทธิภาพของเครื่องจักรในอุดมคติ
ทีนี้ลองหากฎที่กำหนดงาน W เป็นฟังก์ชันของ Q1, T1 และ T2 เห็นได้ชัดว่า W เป็นสัดส่วนกับ Q1 เนื่องจาก ec

อุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์
ในตอนนี้เราจะไม่พยายามแสดงฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นนี้ในแง่ของการแบ่งส่วนของเทอร์โมมิเตอร์แบบปรอทที่คุ้นเคย แต่เราจะกำหนดระดับอุณหภูมิใหม่แทน กาลครั้งหนึ่ง "อุณหภูมิ"

เอนโทรปี
สมการ (44.7) หรือ (44.12) สามารถตีความได้แตกต่างกัน เมื่อเครื่องจักรแบบพลิกกลับได้ทำงาน Q1/T1=Q2/T2 และให้ความร้อน Q1 ที่อุณหภูมิ

กำลังภายใน
เมื่อคุณต้องใช้อุณหพลศาสตร์เพื่อธุรกิจ ปรากฎว่าเป็นวิชาที่ยากและซับซ้อนมาก อย่างไรก็ตาม ในหนังสือเล่มนี้ เราจะไม่เข้าไปในป่าทึบ บริเวณนี้มีความสนใจเป็นพิเศษ

การใช้งาน
ตอนนี้เรามาพูดถึงความหมายของสมการ (45.7) และดูว่าทำไมสมการนี้จึงให้คำตอบสำหรับคำถามในบทที่แล้ว เรากำลังพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: ในทฤษฎีจลน์ศาสตร์ เห็นได้ชัดว่าการเพิ่มขึ้นของ t

สมการของคลอเซียส-เคลย์เปรอน
การระเหยของของเหลวเป็นอีกพื้นที่หนึ่งที่สามารถนำผลลัพธ์ของเราไปใช้ สมมติว่าเราดันลูกสูบเข้าไปในกระบอกสูบที่บรรจุสารบางอย่างอยู่ เป็นเรื่องปกติที่จะถามตัวเองด้วยคำถาม: ถึง

วงล้อทำงานอย่างไร?
ในบทนี้ เราจะพูดถึงเฟืองวงล้อและอุ้งเท้า ซึ่งเป็นอุปกรณ์ง่ายๆ ที่ช่วยให้เพลาหมุนไปในทิศทางเดียวเท่านั้น ความสามารถในการรับการหมุนทางเดียวสมควรได้รับอย่างลึกซึ้ง

วงล้อเหมือนเครื่องจักร
ไปต่อกันดีกว่า ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: อุณหภูมิของจานหมุนคือ T1 และอุณหภูมิของวงล้อคือ T2; T2 น้อยกว่า T1 เนื่องจากวงล้อเย็น

การพลิกกลับได้ในกลศาสตร์
อะไรคือหลักการทางกลเชิงลึกที่ระบุว่าหากอุณหภูมิคงที่และการทำงานนานพอ อุปกรณ์ของเราจะไม่เคลื่อนที่ถอยหลังหรือไปข้างหน้า แน่นอนว่าเราเป็นลูกครึ่ง

กลับไม่ได้
กฎแห่งฟิสิกส์ทั้งหมดสามารถย้อนกลับได้หรือไม่? ไม่แน่นอน! เช่น ลองทำไข่จากไข่คน! หรือติดฟิล์ม. ด้านหลัง- ผู้ชมในห้องโถงจะเริ่มหัวเราะทันที กลับไม่ได้

ลำดับและเอนโทรปี
ดังนั้น เราต้องคุยกันว่าอะไรคือความยุ่งเหยิง และอะไรคือความเป็นระเบียบ ประเด็นไม่ใช่ว่าระเบียบเป็นที่พอใจและความวุ่นวายไม่เป็นที่พอใจ ก๊าซผสมและไม่ผสมของเราแตกต่างกัน

การแพร่กระจายเสียง
ตอนนี้เรามาดูคุณสมบัติของการแพร่กระจายเสียงระหว่างแหล่งกำเนิดและเครื่องรับ ตามกฎของนิวตัน แต่ไม่คำนึงถึงปฏิสัมพันธ์ของเสียงกับแหล่งกำเนิดและเครื่องรับ โดยปกติ

สมการคลื่น
ดังนั้นปรากฏการณ์ทางกายภาพที่เกิดขึ้นในคลื่นเสียงจึงมีคุณสมบัติสามประการดังต่อไปนี้: I. การเคลื่อนที่ของก๊าซและความหนาแน่นของก๊าซจะเปลี่ยนไป ครั้งที่สอง เมื่อความหนาแน่นเปลี่ยนแปลง ความดันก็เปลี่ยนไปด้วย ฉัน

คำตอบของสมการคลื่น
ตอนนี้เรามาดูกันว่าสมการคลื่นอธิบายคุณสมบัติพื้นฐานของคลื่นเสียงในตัวกลางได้จริงหรือไม่ ก่อนอื่น เราต้องการอนุมานว่าการสั่นสะเทือนหรือการรบกวนของเสียงเคลื่อนที่ด้วยความคงที่

ความเร็วเสียง
เมื่อหาสมการคลื่นสำหรับเสียง เราได้สูตรที่เกี่ยวข้องกับความเร็วของคลื่นที่ความดันปกติและการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ของความดันด้วยความหนาแน่น: c2

บวกสองคลื่น
ไม่นานมานี้เราได้พูดคุยกันในรายละเอียดเกี่ยวกับคุณสมบัติของคลื่นแสงและการรบกวนของมัน ซึ่งก็คือผลของการซ้อนทับกันของคลื่นสองลูกจากแหล่งต่างๆ แต่สันนิษฐานว่ามาจากความถี่ต้นทาง

หมายเหตุบางประการเกี่ยวกับจังหวะและการมอดูเลต
สมมติว่าเราสนใจความเข้มของคลื่นที่อธิบายโดยสมการ (48.7) หากต้องการค้นหา คุณจะต้องหากำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของด้านขวาหรือด้านซ้ายของสมการนี้ นกพิราบ

ลายด้านข้าง
คลื่นมอดูเลตที่อธิบายไว้ข้างต้นสามารถเขียนได้ทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบ S=(1+bcoswmt)coswct, (48.9) โดยที่ (wc คือความถี่พาหะ และ w

แพ็กเก็ตคลื่นที่แปลเป็นภาษาท้องถิ่น
ประเด็นต่อไปที่เราอยากจะหารือคือการรบกวนของคลื่นทั้งในอวกาศและเวลา สมมติว่ามีคลื่นสองลูกกำลังแพร่กระจายในอวกาศ แน่นอนว่าคุณรู้เรื่องนี้

แอมพลิจูดของความน่าจะเป็นของอนุภาค
ลองดูอีกอย่างที่ไม่ธรรมดา ตัวอย่างที่น่าสนใจความเร็วเฟส

คลื่นในสามมิติ
เราสรุปการอภิปรายเรื่องคลื่นด้วยข้อสังเกตทั่วไปบางประการเกี่ยวกับสมการคลื่น ข้อสังเกตเหล่านี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อให้เห็นภาพถึงสิ่งที่เราต้องทำในอนาคต ไม่ได้มีเจตนาให้เป็นเช่นนี้

แรงสั่นสะเทือนตามธรรมชาติ
ตอนนี้เรากลับไปสู่ตัวอย่างการทุบตีอื่นๆ ที่น่าสนใจมาก ซึ่งแตกต่างจากที่เราพิจารณามาเล็กน้อย ลองนึกภาพลูกตุ้มสองตัวที่เหมือนกันซึ่งเชื่อมต่อกัน

การสะท้อนของคลื่น
ในบทนี้ เราจะดูปรากฏการณ์ที่น่าทึ่งจำนวนหนึ่งซึ่งเกิดขึ้นจากการ "จำกัด" ของคลื่นให้เข้าสู่บริเวณที่จำกัด ก่อนอื่นเราจะต้องสร้างข้อเท็จจริงบางประการเกี่ยวกับ

คลื่นในพื้นที่จำกัดและความถี่ธรรมชาติ
เรามาพูดถึงปัญหาที่น่าสนใจต่อไปกันดีกว่า จะเกิดอะไรขึ้นถ้าผูกเชือกไว้ที่ปลายทั้งสองข้าง เช่น ที่จุด x=0 และ x=L? เริ่มจากแนวคิดเรื่องคลื่นสะท้อน โหนกที่กำลังเคลื่อนไหว

แรงสั่นสะเทือนตามธรรมชาติแบบสองมิติ
ตอนนี้เราจะพิจารณาพฤติกรรมที่น่าสนใจมากของฮาร์โมนิคตามธรรมชาติในการแกว่งสองมิติ จนถึงตอนนี้เราได้พูดถึงเพียงการสั่นสะเทือนในมิติเดียวเท่านั้น: เส้นยืดหรือคลื่นเสียง

ลูกตุ้มที่เชื่อมโยง
ท้ายที่สุด จะต้องเน้นย้ำว่าฮาร์โมนิคเกิดขึ้นไม่เพียงแต่ในระบบต่อเนื่องที่ซับซ้อนเท่านั้น แต่ยังเกิดขึ้นในระบบกลไกที่เรียบง่ายด้วย เป็นตัวอย่างที่ดีนี่คือสิ่งที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้

ระบบเชิงเส้นตรง
ตอนนี้ให้เราสรุปแนวคิดที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งเป็นแง่มุมทั้งหมดของสิ่งที่ดูเหมือนจะเป็นหลักการทั่วไปและน่าประหลาดใจที่สุดของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ถ้าเรามี ระบบเชิงเส้น, ฮาร์

เสียงดนตรี
ว่ากันว่าพีทาโกรัสเป็นคนแรกที่ค้นพบสิ่งนั้น ความจริงที่น่าสนใจว่าสายสองสายที่เหมือนกันและมีความยาวต่างกันจะฟังพร้อมกันได้สบายกว่าถ้าความยาวของสายเหล่านี้สัมพันธ์กัน

อนุกรมฟูริเยร์
ในบทที่แล้ว เราได้แนะนำมุมมองอื่นเกี่ยวกับระบบการสั่น เราได้เห็นแล้วว่าฮาร์โมนิคตามธรรมชาติต่างๆ เกิดขึ้นในสาย และการสั่นสะเทือนใดๆ ก็ตามที่เกิดขึ้นเท่านั้น

คุณภาพและความสามัคคี
ตอนนี้เราสามารถอธิบายสิ่งที่กำหนด "คุณภาพ" ของโทนเสียงดนตรีได้แล้ว ถูกกำหนดโดยจำนวนสัมพัทธ์ของฮาร์โมนิกต่างๆ เช่น ค่าสัมพัทธ์ของ a และ b โทน,

สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์
ตอนนี้เรากลับมาที่ข้อความที่ว่าแต่ละโน้ตซึ่งก็คือการสั่นสะเทือนเป็นระยะๆ สามารถแสดงเป็นการผสมผสานที่เหมาะสมของฮาร์โมนิคได้ ฉันต้องการทราบวิธีการค้นหาสิ่งที่คุณต้องการ

ทฤษฎีบทพลังงาน
พลังงานของคลื่นเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของแอมพลิจูด

การตอบสนองแบบไม่เชิงเส้น
ในที่สุด ในทฤษฎีฮาร์มอนิกก็มีทฤษฎีหนึ่งเหมือนกัน ปรากฏการณ์ที่สำคัญซึ่งควรสังเกตเมื่อคำนึงถึงความสำคัญในทางปฏิบัติ แต่สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับขอบเขตของผลกระทบที่ไม่เป็นเชิงเส้นอยู่แล้ว พิจารณาทั้งหมดแล้ว

คลื่นจากวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่
เราทำเสร็จแล้ว การวิเคราะห์เชิงปริมาณคลื่น แต่เราจะอุทิศอีกบทเพิ่มเติมให้กับการประเมินเชิงคุณภาพของปรากฏการณ์ต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับคลื่น สำหรับ การวิเคราะห์โดยละเอียดมันซับซ้อนเกินไป

คลื่นกระแทก
บ่อยครั้งที่ความเร็วของคลื่นขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของมัน และในกรณีของเสียง การพึ่งพาอาศัยกันนี้เกิดขึ้นดังต่อไปนี้ วัตถุที่เคลื่อนที่ในอากาศจะต้องเคลื่อนที่ออกนอกเส้นทางทำให้เกิด

คลื่นในของแข็ง
ประเภทต่อไปคลื่นที่เราควรพูดถึงคือคลื่นในของแข็ง เราได้พิจารณาคลื่นเสียงในของเหลวและก๊าซแล้ว และระหว่างพวกเขากับ คลื่นเสียงในของแข็งจะมีทันที

คลื่นพื้นผิว
คลื่นประเภทต่อไปที่น่าสนใจซึ่งใครๆ ก็เคยเห็นและมักเป็นตัวอย่างคลื่นในหลักสูตรประถมศึกษาอย่างไม่ต้องสงสัย คือ คลื่นบนผิวน้ำ ในไม่ช้าคุณจะเห็นว่าไม่ประสบความสำเร็จมากขึ้น

กฎหมายสมมาตรและการอนุรักษ์
แม้ในระดับสมมาตรนี้ กฎของฟิสิกส์ก็น่าทึ่งมาก แต่กลับกลายเป็นสิ่งที่น่าสนใจและน่าประหลาดใจมากขึ้นเมื่อเราย้ายไปที่ กลศาสตร์ควอนตัม. ความจริงที่ฉันไม่สามารถอธิบายได้

การสะท้อนของกระจก
เรามาต่อกันที่ คำถามต่อไปซึ่งจะครอบครองเราจนจบบทคือความสมมาตรเมื่อสะท้อนในอวกาศ ปัญหาคือ: กฎทางกายภาพมีความสมมาตรเมื่อใด

เวกเตอร์เชิงขั้วและแนวแกน
ไปต่อกันดีกว่า คุณคงเห็นแล้วว่าในวิชาฟิสิกส์มีตัวอย่างมากมายของการบังคับใช้กฎมือขวาและมือซ้าย ที่จริงแล้ว เมื่อเราศึกษาการวิเคราะห์เวกเตอร์ เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับกฎมือขวา ซึ่งก็คือ

มือไหนคือมือขวา?
ความจริงก็คือมีข้อเท็จจริงที่น่าสนใจประการหนึ่ง: กฎเกณฑ์ในทุกปรากฏการณ์ มือขวามักเกิดขึ้นสองครั้งหรือเป็นจำนวนคู่เสมอ และด้วยเหตุนี้ ปรากฏการณ์ใดๆ จึงดูสมมาตรอยู่เสมอ

ความเท่าเทียมกันจะไม่ถูกรักษาไว้!
ปรากฎว่ากฎแห่งแรงโน้มถ่วง กฎของไฟฟ้า และผู้วิเศษ

ปฏิสสาร
เมื่อความสมมาตรอันใดอันหนึ่งหายไป ขั้นตอนแรกคือหันไปดูรายการความสมมาตรที่ทราบหรือสงสัยทันที และดูว่ายังมีความสมมาตรใดที่ยังเสียหายอยู่หรือไม่ เราไม่ได้พูดถึง

สมมาตรหัก
เราควรทำอย่างไรกับกฎหมายที่มีความสมมาตรโดยประมาณเท่านั้น? สิ่งที่น่าประหลาดใจที่สุดคือในปรากฏการณ์ที่สำคัญที่สุดในพื้นที่กว้าง - กองกำลังนิวเคลียร์ ปรากฏการณ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าและไม่แม้แต่