หากทราบแล้วว่าก< А, то а называют ค่าประมาณของ A โดยมีข้อเสียถ้า a > A แล้ว a จะถูกเรียก ค่าประมาณของ A ที่มีส่วนเกิน
เรียกว่าความแตกต่างระหว่างค่าที่แน่นอนและค่าโดยประมาณของปริมาณ ข้อผิดพลาดในการประมาณและเขียนแทนด้วย D นั่นคือ
ง = ก – ก (1)
ข้อผิดพลาดในการประมาณ D อาจเป็นตัวเลขบวกหรือลบก็ได้
เพื่อระบุลักษณะความแตกต่างระหว่างค่าโดยประมาณของปริมาณและค่าที่แน่นอน มักจะเพียงพอที่จะระบุค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างค่าที่แน่นอนและค่าโดยประมาณ
ค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างค่าประมาณ กและแม่นยำ กค่าของตัวเลขเรียกว่า ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ (ข้อผิดพลาด) ของการประมาณและเขียนแทนด้วย D ก:
ดี ก = ½ ก – กครึ่ง (2)
ตัวอย่างที่ 1เมื่อทำการวัดส่วน ลใช้ไม้บรรทัดซึ่งมีมาตราส่วน 0.5 ซม. เราได้ค่าประมาณความยาวของส่วน ก= 204 ซม.
เป็นที่ชัดเจนว่าในระหว่างการวัดอาจมีข้อผิดพลาดไม่เกิน 0.5 ซม. เช่น ข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ไม่เกิน 0.5 ซม.
โดยปกติจะไม่ทราบข้อผิดพลาดที่แน่นอนเนื่องจากไม่ทราบค่าที่แน่นอนของหมายเลข A ดังนั้นใดๆ การประเมินข้อผิดพลาดแน่นอน:
ดี ก <= Dก ก่อน. (3)
ที่ไหน D และก่อนหน้านั้น. – ข้อผิดพลาดสูงสุด (หมายเลข, มากกว่าศูนย์) โดยคำนึงถึงความน่าเชื่อถือที่ทราบจำนวน a
เรียกอีกอย่างว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุด ขอบข้อผิดพลาด. ดังนั้นตามตัวอย่างที่ให้มา
ดี และก่อนหน้านั้น. = 0.5 ซม.
จาก (3) เราได้รับ:
ดี ก = ½ ก – ก½<= Dก ก่อน. .
ก– ด ก ก่อน. ≤ ก≤ ก+ดี ก ก่อน. . (4)
ก – ดี ก ก่อน. จะเป็นค่าประมาณ กมีข้อเสีย
ก + ดี ก ก่อน – ค่าโดยประมาณ กในความอุดมสมบูรณ์ สัญกรณ์แบบสั้นยังใช้:
ก= ก±ดี ก ก่อน (5)
จากคำจำกัดความของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดเป็นไปตามที่ตัวเลข D ก ก่อนสมหวังกับอสมการ (3) ก็จะมีเซตอนันต์ ในทางปฏิบัติพวกเขาพยายามที่จะเลือก อาจจะน้อยกว่านี้จากหมายเลข D และก่อนหน้านั้น, สนองความไม่เท่าเทียมกัน D ก <= Dก ก่อน.
ตัวอย่างที่ 2ให้เราพิจารณาความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดของตัวเลข ก=3.14นำมาเป็นค่าโดยประมาณของตัวเลข π
เป็นที่ทราบกันว่า 3,14<π<3,15. มันเป็นไปตามนั้น
|ก – π |< 0,01.
ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดสามารถถือเป็นตัวเลข D ก = 0,01.
หากเราคำนึงถึงสิ่งนั้น 3,14<π<3,142 แล้วเราจะได้คะแนนที่ดีกว่า: D ก= 0.002 แล้ว π µ3.14 ±0.002
4. ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ (ข้อผิดพลาด)การรู้เฉพาะข้อผิดพลาดที่แน่นอนนั้นไม่เพียงพอที่จะระบุลักษณะคุณภาพของการวัด
ตัวอย่างเช่น เมื่อชั่งน้ำหนักสองร่าง จะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:
พี 1 = 240.3 ±0.1 ก.
P 2 = 3.8 ±0.1 ก.
แม้ว่าข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ของผลลัพธ์ทั้งสองจะเท่ากัน แต่คุณภาพการวัดในกรณีแรกจะดีกว่าในกรณีที่สอง มีลักษณะเป็นข้อผิดพลาดสัมพัทธ์
ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ (ข้อผิดพลาด)ใกล้เข้ามาแล้ว กเรียกว่าอัตราส่วนความผิดพลาดสัมบูรณ์ ดีเอใกล้ถึงค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข A:
เนื่องจากมักจะไม่ทราบค่าที่แน่นอนของปริมาณ จึงถูกแทนที่ด้วยค่าโดยประมาณ จากนั้น:
(7)
ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดหรือ ขอบเขตของข้อผิดพลาดในการประมาณสัมพัทธ์เรียกว่าเลข d และก่อนหน้านั้น>0 โดยที่:
ง ก<= ง และก่อนหน้านั้น(8)
ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดสามารถนำมาเป็นอัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดต่อค่าสัมบูรณ์ของค่าโดยประมาณได้อย่างชัดเจน:
(9)
จาก (9) จะได้ความสัมพันธ์ที่สำคัญดังต่อไปนี้ได้ง่าย:
∆และก่อนหน้านั้น = |ก| ง และก่อนหน้านั้น(10)
ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดมักจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์:
ตัวอย่าง.ฐานของลอการิทึมธรรมชาติสำหรับการคำนวณจะถือว่าเท่ากับ จ=2.72. เราเอาเป็นค่าที่แน่นอน จเสื้อ = 2.7183. ค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของจำนวนโดยประมาณ
ดี จ = ½ จ – จเสื้อ ½=0.0017;
.
ขนาดของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงโดยมีการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนของจำนวนโดยประมาณส่วนใหญ่และข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ ดังนั้น สำหรับหมายเลข 634.7 ซึ่งคำนวณด้วยข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ที่ D = 1.3 และสำหรับหมายเลข 6347 ที่มีข้อผิดพลาด D = 13 ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะเหมือนกัน: ง= 0,2.
ขนาดของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สามารถประมาณได้จากตัวเลข ตัวบ่งชี้ที่แท้จริงตัวเลขของตัวเลข
ตัวเลขโดยประมาณและการปฏิบัติการ
- มูลค่าโดยประมาณของปริมาณ ข้อผิดพลาดที่แน่นอนและสัมพันธ์กัน
ตามกฎแล้วการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัตินั้นสัมพันธ์กับค่าตัวเลขของปริมาณ ค่าเหล่านี้ได้มาจากการวัดหรือการคำนวณ ในกรณีส่วนใหญ่ค่าของปริมาณที่ต้องดำเนินการจะเป็นค่าโดยประมาณ
ให้ X - ค่าที่แน่นอนของปริมาณที่แน่นอน และเอ็กซ์ - ค่าโดยประมาณที่รู้จักกันดีที่สุด ในกรณีนี้ข้อผิดพลาด (หรือข้อผิดพลาด) ของการประมาณเอ็กซ์ กำหนดโดยความแตกต่างเอ็กซ์-เอ็กซ์ โดยปกติสัญญาณของข้อผิดพลาดนี้จะไม่ชี้ขาดดังนั้นจึงพิจารณาค่าสัมบูรณ์:
หมายเลขในกรณีนี้เรียกว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดหรือ ขีดจำกัดของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณ x
ดังนั้นค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดของจำนวนโดยประมาณเอ็กซ์ - เป็นตัวเลขใดๆ ไม่น้อยกว่าค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ e x เลขนี้
ตัวอย่าง: เรามาเอาตัวเลขกันดีกว่า ถ้าโทรมาบนตัวบ่งชี้ MK 8 บิตเราจะได้ค่าประมาณนี้: ลองแสดงข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของค่ากัน เราได้รับเศษส่วนจำนวนอนันต์ ซึ่งไม่เหมาะกับการคำนวณเชิงปฏิบัติ อย่างไรก็ตาม เห็นได้ชัดเจนว่าตัวเลข 0.00000006 = 0.6 * 10-7 ถือได้ว่าเป็นข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดของการประมาณที่ใช้โดย MK แทนที่จะเป็นตัวเลข
อสมการ (2) ช่วยให้เราสร้างการประมาณค่าที่แน่นอนได้เอ็กซ์ ตามความขาดแคลนและส่วนเกิน:
ในหลายกรณีค่าของขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ตลอดจนค่าประมาณที่ดีที่สุดเอ็กซ์, ได้มาในทางปฏิบัติอันเป็นผลมาจากการวัด ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเป็นผลมาจากการวัดซ้ำในปริมาณเดียวกันเอ็กซ์ ค่าที่ได้รับ: 5.2; 5.3; 5.4; 5.3. ในกรณีนี้ เป็นเรื่องปกติที่จะถือว่าค่าเฉลี่ยเป็นการประมาณที่ดีที่สุดของค่าที่วัดได้ x= 5.3. นอกจากนี้ยังเห็นได้ชัดว่าค่าขอบเขตของปริมาณเอ็กซ์ ในกรณีนี้ก็จะมี NG X = 5.2, VG X = 5.4 และขีดจำกัดข้อผิดพลาดที่แน่นอนเอ็กซ์ สามารถกำหนดเป็นครึ่งหนึ่งของความยาวของช่วงเวลาที่เกิดจากค่าขอบเขต NG X และ VG X
เหล่านั้น.
ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่สามารถตัดสินความแม่นยำของการวัดหรือการคำนวณได้ทั้งหมด คุณภาพของการประมาณนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยค่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนความผิดพลาดอดีต สู่โมดูลค่าเอ็กซ์ (เมื่อไม่ทราบจึงไปที่โมดูลการประมาณเอ็กซ์)
ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุด(หรือ ขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์)จำนวนโดยประมาณคืออัตราส่วนของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดต่อค่าสัมบูรณ์ของการประมาณเอ็กซ์ :
ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มักจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์
ตัวอย่าง ให้เราพิจารณาข้อผิดพลาดสูงสุดของตัวเลข x=3.14 เป็นค่าประมาณของ π เนื่องจาก π=3.1415926…. จากนั้น |π-3.14|
- จำนวนจริงและมีความหมาย การบันทึกค่าโดยประมาณ
ชื่อของตัวเลขนั้นเรียกว่าจริง (ในความหมายกว้างๆ) หากข้อผิดพลาดที่แท้จริงไม่เกินหนึ่งหลัก นิ้วซึ่งหมายเลขนี้ย่อมาจาก
ตัวอย่าง. X=6.328 X=0.0007 X
ตัวอย่าง: ก) ให้ 0 = 2.91385 เป็นจำนวนก ตัวเลข 2, 9, 1 ถูกต้องในความหมายกว้างๆ
B) ใช้การประมาณตัวเลข = 3.141592... จำนวน= 3.142. จากนั้น (รูป) ตามมาว่าค่าโดยประมาณ = 3.142 ตัวเลขทั้งหมดถูกต้อง
C) ลองคำนวณผลหารของตัวเลข 3.2 และ 2.3 ที่แน่นอนบนไมโครคอนโทรลเลอร์ 8 บิต แล้วได้คำตอบ: 1.3913043 คำตอบมีข้อผิดพลาดเนื่องจาก
ข้าว. การประมาณตัวเลข π
ตารางหลัก MK ไม่รองรับตัวเลขทั้งหมดของผลลัพธ์ และละเว้นตัวเลขทั้งหมดที่เริ่มต้นจากหลักที่แปด (ง่ายต่อการตรวจสอบว่าคำตอบนั้นไม่ถูกต้องโดยตรวจสอบการหารด้วยการคูณ: 1.3913043 2.3 = 3.9999998) หากไม่ทราบค่าที่แท้จริงของข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้น เครื่องคำนวณในสถานการณ์เช่นนี้จะแน่ใจได้เสมอว่าค่านั้นจะต้องไม่เกินหนึ่ง อันที่อายุน้อยที่สุดที่แสดงบนตัวบ่งชี้หลักผลลัพธ์ ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้จึงเป็นตัวเลขที่ถูกต้องทุกประการ
มักเรียกว่าหลักแรกที่ถูกทิ้ง (ไม่ถูกต้อง)น่าสงสัย
พวกเขาบอกว่ามีการเขียนข้อมูลโดยประมาณขวา, ถ้าตัวเลขในบันทึกของเขาถูกต้องทั้งหมด หากเขียนตัวเลขถูกต้อง เพียงแค่เขียนเป็นเศษส่วนทศนิยม คุณก็สามารถตัดสินความถูกต้องของตัวเลขนั้นได้ ตัวอย่างเช่น ลองเขียนจำนวนโดยประมาณลงไปก = 16.784 ซึ่งตัวเลขทั้งหมดถูกต้อง จากการที่เลข 4 หลักสุดท้ายที่อยู่ในหลักพันนั้นถูกต้อง ตามมาว่า ค่าคลาดเคลื่อนแน่นอนก ไม่เกิน 0.001 ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถยอมรับได้เช่นก = 16.784±0.001
เห็นได้ชัดว่าการบันทึกข้อมูลโดยประมาณที่ถูกต้องไม่เพียง แต่อนุญาต แต่ยังจำเป็นต้องเขียนเลขศูนย์ในหลักสุดท้ายด้วยหากศูนย์เหล่านี้เป็นการแสดงออกของตัวเลขที่ถูกต้อง เช่น ในรายการ= 109.070 ศูนย์ลงท้ายหมายความว่าหลักหนึ่งในพันถูกต้องและเท่ากับศูนย์ ค่าผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุด, ต่อไปนี้จากรายการสามารถพิจารณาเปรียบเทียบได้จะสังเกตได้ว่าค่าค = 109.07 มีความแม่นยำน้อยกว่า เนื่องจากจากสัญกรณ์แล้ว เราต้องถือว่าเป็นเช่นนั้น
ตัวเลขที่สำคัญในสัญลักษณ์ของตัวเลข จะมีการเรียกตัวเลขทั้งหมดในการแสดงทศนิยมที่ไม่ใช่ศูนย์ และให้เรียกศูนย์หากอยู่ระหว่างเลขนัยสำคัญหรือปรากฏต่อท้ายเพื่อแสดงเครื่องหมายที่ถูกต้อง
ตัวอย่าง ก) 0.2409 - ตัวเลขสำคัญสี่ตัว b) 24.09 - ตัวเลขสำคัญสี่ตัว c) 100.700 - ตัวเลขนัยสำคัญหกตัว
ตามกฎแล้วผลลัพธ์ของค่าตัวเลขในคอมพิวเตอร์ได้รับการออกแบบในลักษณะที่ไม่รายงานศูนย์ที่ส่วนท้ายของบันทึกตัวเลขแม้ว่าจะถูกต้องก็ตาม ซึ่งหมายความว่าหากคอมพิวเตอร์แสดงผลลัพธ์ 247.064 และในเวลาเดียวกันเป็นที่รู้กันว่าผลลัพธ์นี้ต้องมีตัวเลขนัยสำคัญแปดตัว ดังนั้นคำตอบที่ได้ควรเสริมด้วยศูนย์: 247.06400
ในระหว่างการคำนวณก็มักจะเกิดขึ้นการปัดเศษตัวเลขเหล่านั้น. การแทนที่ตัวเลขด้วยความหมายด้วยตัวเลขที่มีนัยสำคัญน้อยลง การปัดเศษทำให้เกิดข้อผิดพลาดที่เรียกว่าข้อผิดพลาดในการปัดเศษ อนุญาต x คือตัวเลขที่กำหนด และ x 1 - ผลการปัดเศษ ข้อผิดพลาดในการปัดเศษถูกกำหนดให้เป็นโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างค่าก่อนหน้าและค่าใหม่ของตัวเลข:
ในบางกรณี แทนที่จะเป็น ∆ตกลง เราต้องใช้ขอบเขตบนของมัน
ตัวอย่าง มาดำเนินการ 1/6 บน MK 8 บิตกัน ตัวบ่งชี้จะแสดงตัวเลข 0.1666666 เศษส่วนทศนิยมอนันต์ 0.1(6) จะถูกปัดเศษให้เป็นจำนวนหลักที่พอดีกับการลงทะเบียน MK โดยอัตโนมัติ ในกรณีนี้ก็ยอมรับได้
ชื่อของตัวเลขนั้นเรียกว่าเป็นจริงในความหมายที่เข้มงวดหากข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของตัวเลขนี้ไม่เกินครึ่งหน่วยของหลักที่ปรากฏตัวเลขนี้
กฎการเขียนตัวเลขโดยประมาณ
- ตัวเลขโดยประมาณเขียนอยู่ในรูปแบบ x ± x. เขียน X = x ± x หมายความว่าปริมาณที่ไม่ทราบค่า X เป็นไปตามค่าอสมการต่อไปนี้: x- x x
ในกรณีนี้เกิดข้อผิดพลาด แนะนำให้เลือก x เพื่อสิ่งนั้น
ก) ในรายการ x ไม่เกิน 1-2 ตัวนัยสำคัญ
b) ตัวเลขลำดับต่ำในรูปแบบตัวเลข x และ x สอดคล้องกัน
ตัวอย่าง: 23.4±0.2; 2.730±0.017; -6.97 0.10.
- สามารถเขียนตัวเลขโดยประมาณได้โดยไม่ต้องระบุข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดอย่างชัดเจน ในกรณีนี้ สัญกรณ์ (แมนทิสซา) ต้องมีเฉพาะตัวเลขที่ถูกต้องเท่านั้น (ในความหมายกว้างๆ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น) จากนั้นเมื่อบันทึกตัวเลขแล้ว เราก็สามารถตัดสินความถูกต้องได้
ตัวอย่าง. หากในตัวเลข A = 5.83 ตัวเลขทั้งหมดถูกต้องตามความหมายที่เข้มงวดแล้ว ก=0.005. การเขียน B=3.2 หมายความว่า บี=0.1. และจากสัญกรณ์ C=3,200 เราก็สรุปได้ว่า ค=0.001 ดังนั้น รายการ 3.2 และ 3.200 ในทฤษฎีการคำนวณโดยประมาณจึงไม่ได้มีความหมายเหมือนกัน
ตัวเลขในบันทึกตัวเลขโดยประมาณที่เราไม่รู้ว่าจริงหรือไม่นั้นเรียกว่าน่าสงสัย ตัวเลขที่น่าสงสัย (หนึ่งหรือสอง) จะถูกเก็บไว้ในบันทึกตัวเลขของผลลัพธ์ระดับกลางเพื่อรักษาความถูกต้องของการคำนวณ ผลลัพธ์สุดท้ายจะทิ้งตัวเลขที่น่าสงสัยไป
การปัดเศษตัวเลข
- กฎการปัดเศษ หากตัวเลขที่สำคัญที่สุดที่ถูกทิ้งมีตัวเลขน้อยกว่าห้า เนื้อหาของตัวเลขที่เก็บไว้จะไม่เปลี่ยนแปลง มิฉะนั้น จะมีการเพิ่มเครื่องหมายที่มีเครื่องหมายเดียวกันกับตัวเลขนั้นลงในหลักที่เก็บไว้ที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด
- เมื่อปัดเศษตัวเลขที่เขียนในรูปแบบ x ± x ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดจะเพิ่มขึ้นโดยคำนึงถึงข้อผิดพลาดในการปัดเศษ
ตัวอย่าง: ลองปัดเศษตัวเลข 4.5371±0.0482 เป็นทศนิยมที่ใกล้ที่สุด การเขียน 4.54±0.05 จะไม่ถูกต้อง เนื่องจากข้อผิดพลาดของตัวเลขที่ปัดเศษคือผลรวมของข้อผิดพลาดของตัวเลขเดิมและข้อผิดพลาดในการปัดเศษ ในกรณีนี้จะเท่ากับ 0.0482 + 0.0029 = 0.0511 ข้อผิดพลาดควรปัดเศษเสมอ ดังนั้นคำตอบสุดท้ายคือ 4.54±0.06
ตัวอย่าง ให้เข้า ค่าโดยประมาณก = 16,395 ตัวเลขทั้งหมดถูกต้องในความหมายกว้างๆ มาปัดเศษกันและถึงหนึ่งในร้อย: a 1 = 16.40 น. ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ หากต้องการค้นหาข้อผิดพลาดทั้งหมดจำเป็นต้องเพิ่มด้วยข้อผิดพลาดของค่าเดิม 1 ซึ่งในกรณีนี้สามารถหาได้จากเงื่อนไขว่าตัวเลขทุกตัวในบันทึกก ถูกต้อง: = 0.001 ดังนั้น, . ตามนั้นครับในมูลค่า 1 = 16.40 เลข 0 ไม่ถูกต้องในแง่ที่เข้มงวด
- การคำนวณข้อผิดพลาดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์
1. การบวกและการลบ. ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดของผลรวมพีชคณิตคือผลรวมของข้อผิดพลาดที่สอดคล้องกันของเงื่อนไข:
ฉ.1 (X+Y) = X + Y , (X-Y) = X + Y .
ตัวอย่าง. ให้ตัวเลขโดยประมาณ X = 34.38 และ Y = 15.23 ตัวเลขทั้งหมดถูกต้องตามความหมายที่เข้มงวด หา (X-Y) และ (เอ็กซ์-วาย) การใช้สูตร F.1 เราได้รับ:
(X-Y) = 0.005 + 0.005 = 0.01
เราได้รับข้อผิดพลาดสัมพัทธ์โดยใช้สูตรการเชื่อมต่อ:
2. การคูณและการหารถ้า X ย
ฉ.2 (X · Y) = (X/Y) = X + Y
ตัวอย่าง. ค้นหา (XY) และ (X·Y) สำหรับตัวเลขจากตัวอย่างก่อนหน้า ขั้นแรกเราพบโดยใช้สูตร F.2 (XY):
(XY)= X + Y=0.00015+0.00033=0.00048
ตอนนี้ (X·Y) จะพบได้โดยใช้สูตรการเชื่อมต่อ:
(X·Y) = |X·Y|· (XY) = |34.38 -15.23| 0.00048 0,26 .
3. การยกกำลังและการสกัดราก. ถ้า X
เอฟ.แซด
4. ฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง
ปล่อยให้ฟังก์ชันการวิเคราะห์ f(x) และตัวเลขโดยประมาณ c ± กับ. แล้วแสดงด้วย อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นเล็กน้อยคุณสามารถเขียนได้
ถ้า ฉ "(ค) 0 จากนั้นการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน f(c+ ) - f(c) สามารถประมาณได้จากส่วนต่าง:
ฉ(ค+ ) - ฉ(ค) ฉ "(ค) · .
หากเกิดข้อผิดพลาด c มีขนาดเล็กเพียงพอ ในที่สุดเราก็ได้สูตรต่อไปนี้:
ฉ.4 ฉ(ค) = |ฉ "(s)|· วิ
ตัวอย่าง. ให้ f(x) = อาร์คซิน x, c = 0.5, ค = 0.05 คำนวณ ฉ(ค)
ลองใช้สูตร F.4:
ฯลฯ |
5. ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว
สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว f(x1, ... , xn) โดยมี xk= ck ± ck สูตรที่คล้ายกับ ฉ.4 ใช้ได้:
Ф.5 ฉ(c1, ... ,сn) l df(c1, ... ,сn) | = |ฉ "x1 (c1)|· с1+... + |f "xn (сn)|· сn.
ตัวอย่าง ให้ x = 1.5 และนั่นคือ ตัวเลขทั้งหมดเป็นตัวเลขเอ็กซ์ เป็นจริงในความหมายที่เข้มงวด ลองคำนวณค่าของ tg กัน x . เมื่อใช้ MK เราจะได้: tgl,5= 14.10141994 ในการกำหนดตัวเลขที่ถูกต้องในผลลัพธ์ เราจะประเมินข้อผิดพลาดสัมบูรณ์: ตามนั้นในค่าผลลัพธ์ของ tgl5 ไม่สามารถถือว่าตัวเลขตัวเดียวถูกต้องได้
- วิธีการประมาณค่าความผิดพลาดของการคำนวณโดยประมาณ
มีวิธีการที่เข้มงวดและไม่เข้มงวดในการประเมินความถูกต้องของผลการคำนวณ
1. วิธีการประเมินเชิงสรุปที่เข้มงวด. หากคำนวณโดยประมาณโดยใช้สูตรที่ค่อนข้างง่าย จากนั้นใช้สูตร F.1-F.5 และสูตรสหสัมพันธ์ข้อผิดพลาด สามารถรับสูตรสำหรับข้อผิดพลาดในการคำนวณขั้นสุดท้ายได้ ที่มาของสูตรและการประมาณค่าข้อผิดพลาดในการคำนวณโดยใช้ถือเป็นสาระสำคัญของวิธีนี้
ตัวอย่างค่า a = 23.1 และ b = 5.24 ให้ไว้เป็นตัวเลขที่ถูกต้องตามความหมายที่เข้มงวด คำนวณค่าของนิพจน์
ใช้ MK ที่เราได้รับบี = 0.2921247. เราเขียนโดยใช้สูตรสำหรับข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของผลหารและผลิตภัณฑ์:
เหล่านั้น.
เมื่อใช้ MK เราได้ 5 ซึ่งให้ ซึ่งหมายความว่าด้วยเหตุนี้ ตัวเลขสองหลักหลังจุดทศนิยมจึงถูกต้องตามความหมายที่เข้มงวด: B = 0.29 ± 0.001
2. วิธีการบัญชีการดำเนินงานที่เข้มงวดสำหรับข้อผิดพลาด. บางครั้งการพยายามใช้วิธีการประเมินเชิงสรุปส่งผลให้สูตรยุ่งยากเกินไป ในกรณีนี้ อาจเหมาะสมกว่าที่จะใช้วิธีนี้ อยู่ที่ความถูกต้องของการคำนวณแต่ละครั้งได้รับการประเมินแยกกันโดยใช้สูตร F.1-F.5 และสูตรการเชื่อมต่อเดียวกัน
3. วิธีการนับเลขให้ถูกต้อง. วิธีนี้ไม่เข้มงวด การประมาณความแม่นยำในการคำนวณที่ให้ไว้นั้นไม่รับประกันในหลักการ (ต่างจากวิธีการที่เข้มงวด) แต่ค่อนข้างเชื่อถือได้ในทางปฏิบัติ สาระสำคัญของวิธีการคือหลังจากการคำนวณแต่ละครั้ง จำนวนหลักที่ถูกต้องในตัวเลขผลลัพธ์จะถูกกำหนดโดยใช้กฎต่อไปนี้
ป.1 . เมื่อบวกและลบตัวเลขโดยประมาณ ควรถือว่าตัวเลขผลลัพธ์นั้นถูกต้องหากตำแหน่งทศนิยมตรงกับตัวเลขที่ถูกต้องในทุกเงื่อนไข เลขหลักอื่นๆ ทั้งหมดยกเว้นเลขที่มีนัยสำคัญที่สุดจะต้องปัดเศษในทุกพจน์ก่อนบวกหรือลบ
ป.2. ในการคูณและหารตัวเลขโดยประมาณ ให้ถือว่าผลลัพธ์ถูกต้องตามหลักนัยสำคัญเท่ากับข้อมูลโดยประมาณที่มีเลขนัยสำคัญถูกต้องน้อยที่สุด ก่อนดำเนินการตามขั้นตอนเหล่านี้ คุณต้องเลือกตัวเลขที่มีเลขนัยสำคัญน้อยที่สุดจากข้อมูลโดยประมาณ และปัดเศษตัวเลขที่เหลือเพื่อให้มีเลขนัยสำคัญมากกว่าตัวเลขเพียงตัวเดียว
พี.ซี. เมื่อยกกำลังสองหรือยกกำลังสาม เช่นเดียวกับเมื่อแยกรากที่สองหรือรากที่สาม ผลลัพธ์ควรถือว่าถูกต้องเท่ากับเลขนัยสำคัญหลายๆ หลัก เนื่องจากมีเลขนัยสำคัญที่ถูกต้องในตัวเลขเดิม
ป.4 จำนวนหลักที่ถูกต้องอันเป็นผลมาจากการคำนวณฟังก์ชันขึ้นอยู่กับขนาดของโมดูลอนุพันธ์และจำนวนหลักที่ถูกต้องในอาร์กิวเมนต์ ถ้าโมดูลัสของอนุพันธ์อยู่ใกล้กับตัวเลข 10k (k เป็นจำนวนเต็ม) ผลก็คือจำนวนหลักที่ถูกต้องสัมพันธ์กับจุดทศนิยมจะมีค่า k น้อยกว่า (ถ้า k เป็นลบ ก็จะมากกว่า) มากกว่าที่มีอยู่ในสูตร การโต้แย้ง. ในงานห้องปฏิบัติการนี้ เพื่อความชัดเจน เราจะยอมรับข้อตกลงในการพิจารณาโมดูลัสของอนุพันธ์ให้มีค่าใกล้เคียง 10k หากความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่:
0.2·10K 2·10,000 .
ป.5 ในผลลัพธ์ระดับกลาง นอกเหนือจากตัวเลขที่ถูกต้องแล้ว ควรเหลือตัวเลขที่น่าสงสัยไว้หนึ่งตัว (สามารถปัดเศษตัวเลขที่น่าสงสัยที่เหลือได้) เพื่อรักษาความถูกต้องของการคำนวณ เหลือเพียงตัวเลขที่ถูกต้องในผลลัพธ์สุดท้าย
การคำนวณโดยใช้วิธีขอบเขต
หากคุณต้องการมีขอบเขตการรับประกันอย่างแน่นอนของค่าที่เป็นไปได้ของค่าที่คำนวณได้ ให้ใช้วิธีการคำนวณแบบพิเศษ - วิธีของขอบเขต
ให้ f(x, y) - ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและซ้ำซากในช่วงค่าอาร์กิวเมนต์ที่ยอมรับได้ x และ y เราต้องได้รับคุณค่าของมัน f(a, b) โดยที่ a และ b อยู่ ค่าโดยประมาณของข้อโต้แย้งและเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว
เอ็นจีเอ ก ก; เอ็นจีบี วีจีบี. |
ในที่นี้ NG, VG คือการกำหนดขีดจำกัดล่างและบนของค่าพารามิเตอร์ตามลำดับ คำถามก็คือต้องหาขีดจำกัดที่เข้มงวดของค่าฉ(ก, ข), ที่ขีดจำกัดของค่าที่ทราบก และ ข
สมมุติว่าฟังก์ชันนี้ฉ(x, ย) เพิ่มขึ้นสำหรับแต่ละอาร์กิวเมนต์ x และ y แล้ว
ฉ (NG ก, NG ข ฉ(ก,ข) ฉ (VG ถึง VG ข )
ให้ f(x, y) การโต้แย้งเพิ่มขึ้นเอ็กซ์ และลดลงตามข้อโต้แย้งที่ . จากนั้นจะรับประกันความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด
ภูมิภาคซาคาลิน
"โรงเรียนอาชีวศึกษาที่ 13"
แนวทางการทำงานอิสระของนักศึกษา
อเล็กซานดรอฟสค์-ซาคาลินสกี้
ค่าประมาณของปริมาณและข้อผิดพลาดในการประมาณ: วิธีการระบุ / คอมพ์
GBOU NPO "โรงเรียนอาชีวศึกษาหมายเลข 13", - Aleksandrovsk-Sakhalinsky, 2012
แนวปฏิบัตินี้จัดทำขึ้นสำหรับนักศึกษาทุกสาขาอาชีพที่กำลังศึกษาหลักสูตรคณิตศาสตร์
ประธานกรรมการ มค
ค่าประมาณของขนาดและค่าคลาดเคลื่อนของการประมาณ
ในทางปฏิบัติเราแทบไม่เคยรู้ค่าที่แน่นอนของปริมาณเลย ไม่มีมาตราส่วน ไม่ว่าจะแม่นยำแค่ไหน ก็สามารถแสดงน้ำหนักได้อย่างแม่นยำอย่างแน่นอน เทอร์โมมิเตอร์ใด ๆ ที่แสดงอุณหภูมิโดยมีข้อผิดพลาดอย่างใดอย่างหนึ่ง ไม่มีแอมป์มิเตอร์ใดที่สามารถอ่านค่ากระแสได้อย่างแม่นยำ ฯลฯ นอกจากนี้ตาของเราไม่สามารถอ่านค่าที่อ่านได้จากเครื่องมือวัดได้อย่างถูกต้องอย่างแน่นอน ดังนั้นแทนที่จะต้องจัดการกับค่าที่แท้จริงของปริมาณ เราจึงถูกบังคับให้ดำเนินการด้วยค่าประมาณของมัน
ความจริงที่ว่า เอ" เป็นค่าประมาณของตัวเลข ก , เขียนไว้ดังนี้:
ก อยู่ที่" .
ถ้า เอ" เป็นค่าประมาณของปริมาณ ก แล้วความแตกต่าง Δ = ก-ก" เรียกว่า ข้อผิดพลาดในการประมาณ*.
* Δ - ตัวอักษรกรีก อ่าน: เดลต้า ถัดมาเป็นอักษรกรีกอีกฉบับ ε (อ่าน: เอปไซลอน)
ตัวอย่างเช่น หากแทนที่ตัวเลข 3.756 ด้วยค่าประมาณ 3.7 ข้อผิดพลาดจะเท่ากับ: Δ = 3.756 - 3.7 = 0.056 หากเราใช้ 3.8 เป็นค่าโดยประมาณ ข้อผิดพลาดจะเท่ากับ: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.
ในทางปฏิบัติ ข้อผิดพลาดในการประมาณมักถูกใช้บ่อยที่สุด Δ
และค่าสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาดนี้ | Δ
|. ต่อไปนี้เราจะเรียกค่าสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาดนี้ว่า ข้อผิดพลาดแน่นอน. การประมาณค่าหนึ่งจะถือว่าดีกว่าอีกค่าหนึ่ง หากความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณครั้งแรกน้อยกว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการประมาณครั้งที่สอง เช่น การประมาณ 3.8 สำหรับหมายเลข 3.756 นั้นดีกว่าการประมาณ 3.7 เพราะสำหรับการประมาณครั้งแรก
|Δ
| = | - 0.044| =0.044 และสำหรับตัวที่สอง | Δ
| = |0,056| = 0,056.
ตัวเลข เอ" กจนถึงε ถ้าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณนี้น้อยกว่าε :
|ก-ก" | < ε .
เช่น 3.6 คือค่าประมาณของตัวเลข 3.671 โดยมีความแม่นยำ 0.1 เนื่องจาก |3.671 - 3.6| = | 0.071| = 0.071< 0,1.
ในทำนองเดียวกัน - 3/2 ถือได้ว่าเป็นค่าประมาณของตัวเลข - 8/5 ถึงภายใน 1/5 เนื่องจาก
< ก , ที่ เอ" เรียกว่าค่าประมาณของตัวเลข ก มีข้อเสีย.
ถ้า เอ" > ก , ที่ เอ" เรียกว่าค่าประมาณของตัวเลข ก ในความอุดมสมบูรณ์
เช่น 3.6 คือค่าประมาณของเลข 3.671 ที่มีข้อเสีย เนื่องจาก 3.6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .
ถ้าแทนที่จะเป็นตัวเลขเรา ก และ ข รวมค่าโดยประมาณเข้าด้วยกัน เอ" และ ข" แล้วผลลัพธ์ ก" + ข" จะเป็นค่าประมาณของผลรวม ก + ข . คำถามเกิดขึ้น: จะประเมินความถูกต้องของผลลัพธ์นี้ได้อย่างไรหากทราบความแม่นยำของการประมาณของแต่ละเทอม? วิธีแก้ปัญหานี้และปัญหาที่คล้ายกันจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์ต่อไปนี้:
|ก + ข | < |ก | + |ข |.
ค่าสัมบูรณ์ของผลรวมของตัวเลขสองตัวใดๆ จะไม่เกินผลรวมของค่าสัมบูรณ์
ข้อผิดพลาด
ความแตกต่างระหว่างจำนวนที่แน่นอน x และค่าประมาณ a เรียกว่าข้อผิดพลาดของจำนวนโดยประมาณนี้ หากทราบแล้วว่า | x - ก |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.
อัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ต่อค่าสัมบูรณ์ของค่าประมาณเรียกว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่าโดยประมาณ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มักจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์
ตัวอย่าง. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.
จริงหรือ,
|1 - 20| = |-19| = 19,
|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,
แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ
1. ไม้บรรทัดธรรมดาสามารถวัดความยาวได้แม่นยำแค่ไหน?
2.นาฬิกามีความเที่ยงตรงแค่ไหน?
3. คุณรู้หรือไม่ว่าเครื่องชั่งไฟฟ้าสมัยใหม่สามารถวัดน้ำหนักตัวได้อย่างแม่นยำเพียงใด?
4. ก) จำนวนดังกล่าวอยู่ภายในขีดจำกัดใด? ก ถ้าค่าประมาณที่มีความแม่นยำ 0.01 เท่ากับ 0.99?
b) จำนวนนั้นมีอยู่ในขีดจำกัดใด? ก ถ้าค่าประมาณที่มีข้อเสียตรงถึง 0.01 คือ 0.99 ล่ะ?
c) ขีดจำกัดของจำนวนคืออะไร? ก ถ้าค่าประมาณที่เกิน 0.01 เท่ากับ 0.99?
5. ตัวเลขประมาณไหนครับ π 3.1415 ดีกว่า: 3.1 หรือ 3.2?
6. ค่าประมาณของตัวเลขจำนวนหนึ่งที่มีความแม่นยำ 0.01 ถือเป็นค่าประมาณของตัวเลขเดียวกันที่มีความแม่นยำ 0.1 ได้หรือไม่? แล้วในทางกลับกันล่ะ?
7. บนเส้นจำนวนจะมีการระบุตำแหน่งของจุดที่สอดคล้องกับตัวเลข ก . ระบุในบรรทัดนี้:
ก) ตำแหน่งของทุกจุดที่สอดคล้องกับค่าประมาณของตัวเลข ก มีข้อเสียด้วยความแม่นยำ 0.1;
b) ตำแหน่งของทุกจุดที่สอดคล้องกับค่าโดยประมาณของตัวเลข ก เกินด้วยความแม่นยำ 0.1;
c) ตำแหน่งของทุกจุดที่สอดคล้องกับค่าประมาณของตัวเลข ก ด้วยความแม่นยำ 0.1
8. ในกรณีใดคือค่าสัมบูรณ์ของผลรวมของตัวเลขสองตัว:
ก) น้อยกว่าผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขเหล่านี้
b) เท่ากับผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขเหล่านี้?
9. พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน:
ก) | เอบี | < |ก| + |ข |; ข)* | ก - ข | > ||ก | - | ข ||.
เครื่องหมายเท่ากับเกิดขึ้นในสูตรเหล่านี้เมื่อใด
วรรณกรรม:
1. Bashmakov (ระดับพื้นฐาน) เกรด 10-11 – ม., 2012
2. บาชมาคอฟ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 การรวบรวมปัญหา - อ: ศูนย์สำนักพิมพ์ "Academy", 2551
3., Mordkovich: เอกสารอ้างอิง: หนังสือสำหรับนักเรียน - ฉบับที่ 2 - อ.: การศึกษา, 2533
4. พจนานุกรมสารานุกรมของนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ / คอมพ์ .-ม.: การสอน, 2532
ในกิจกรรมภาคปฏิบัติ บุคคลจะต้องวัดปริมาณต่างๆ คำนึงถึงวัสดุและผลิตภัณฑ์ของแรงงาน และทำการคำนวณต่างๆ ผลการวัด การคำนวณ และการคำนวณต่างๆ เป็นตัวเลข ตัวเลขที่ได้รับจากการวัดเพียงประมาณเท่านั้นโดยมีความแม่นยำระดับหนึ่งเท่านั้นที่จะระบุลักษณะปริมาณที่ต้องการ การวัดที่แม่นยำนั้นเป็นไปไม่ได้เนื่องจากความไม่ถูกต้องของเครื่องมือวัด ความไม่สมบูรณ์ของอวัยวะในการมองเห็นของเรา และบางครั้งวัตถุที่วัดได้ก็ไม่อนุญาตให้เรากำหนดขนาดของมันด้วยความแม่นยำใด ๆ
ตัวอย่างเช่นเป็นที่ทราบกันว่าความยาวของคลองสุเอซคือ 160 กม. ระยะทางโดยรถไฟจากมอสโกถึงเลนินกราดคือ 651 กม. ที่นี่เรามีผลการวัดด้วยความแม่นยำสูงสุด 1 กิโลเมตร ตัวอย่างเช่น หากความยาวของส่วนสี่เหลี่ยมคือ 29 ม. ความกว้างคือ 12 ม. ดังนั้นการวัดอาจทำกับเมตรที่ใกล้ที่สุดและเศษส่วนของเมตรก็ถูกละเลย
ก่อนทำการวัดใด ๆ จำเป็นต้องตัดสินใจว่าจะต้องดำเนินการด้วยความแม่นยำเท่าใด เช่น ควรคำนึงถึงเศษส่วนของหน่วยการวัดใดและควรละเลยส่วนใด
หากมีปริมาณที่แน่นอน เอ,ไม่ทราบมูลค่าที่แท้จริงและค่าประมาณ (ประมาณ) ของปริมาณนี้เท่ากับ เอ็กซ์,แล้วพวกเขาก็เขียน เอ็กซ์.
ด้วยการวัดที่แตกต่างกันในปริมาณเท่ากัน เราจะได้ค่าประมาณที่ต่างกัน การประมาณแต่ละครั้งจะแตกต่างจากมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ เท่ากับ เช่น เอ,ตามจำนวนหนึ่งซึ่งเราจะเรียก ข้อผิดพลาด.คำนิยาม. ถ้าตัวเลข x เป็นการประมาณ (ประมาณ) ของปริมาณบางจำนวนที่มีค่าจริงเท่ากับตัวเลข เอ,จากนั้นโมดูลัสของผลต่างของตัวเลข กและ เอ็กซ์เรียกว่า ข้อผิดพลาดแน่นอนของการประมาณนี้และแสดงแทน ก x: หรือเพียงแค่ ก. ดังนั้นตามคำนิยามแล้ว
ก x = a-x (1)
จากคำจำกัดความนี้เป็นไปตามนั้น
ก = x ก x (2)
หากรู้ว่าเรากำลังพูดถึงปริมาณเท่าใดก็ให้อยู่ในสัญกรณ์ ก xดัชนี กถูกละเว้นและความเท่าเทียมกัน (2) ถูกเขียนดังนี้:
ก = x x (3)
เนื่องจากส่วนใหญ่มักไม่ทราบมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่ต้องการ จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการประมาณปริมาณนี้ คุณสามารถระบุเฉพาะจำนวนบวกในแต่ละกรณีเท่านั้น ซึ่งมากกว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์นี้ไม่สามารถระบุได้ จำนวนนี้เรียกว่าขีดจำกัดของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณค่า กและถูกกำหนดไว้ ชม. ก. ดังนั้นหาก x-- การประมาณค่า a ตามอำเภอใจสำหรับขั้นตอนที่กำหนดเพื่อให้ได้ค่าประมาณ
ก x = a-x ชั่วโมง ก (4)
จากที่กล่าวมาข้างต้นจะเป็นไปตามว่าถ้า ชม. กคือขีดจำกัดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการประมาณค่า กแล้วจำนวนใดๆ ที่มากกว่า ชม. กจะเป็นขีดจำกัดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการประมาณค่าด้วย ก.
ในทางปฏิบัติ เป็นเรื่องปกติที่จะเลือกเนื่องจากข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จะจำกัดจำนวนที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (4)
การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน axh กเราเข้าใจแล้ว กอยู่ภายในขอบเขต
เอ็กซ์ - ชม ก ก x + ชม ก (5)
แนวคิดที่เข้มงวดยิ่งขึ้นเกี่ยวกับขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สามารถให้ไว้ได้ดังนี้
อนุญาต เอ็กซ์- การประมาณที่แตกต่างกันมากมาย เอ็กซ์ปริมาณ กสำหรับขั้นตอนที่กำหนดเพื่อให้ได้ค่าประมาณ แล้วเลขไหนก็ได้. ชม., เป็นไปตามเงื่อนไข axh กได้เลย xXเรียกว่าขีดจำกัดของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของการประมาณจากเซต เอ็กซ์. ให้เราแสดงโดย ชม. กจำนวนที่น้อยที่สุดที่รู้จัก ชม.. เบอร์นี้ ชม. กและได้รับเลือกในทางปฏิบัติให้เป็นขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมบูรณ์
ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสัมบูรณ์ไม่ได้บ่งบอกถึงคุณภาพของการวัด จริงๆ แล้ว ถ้าเราวัดความยาวใดๆ ด้วยความแม่นยำ 1 ซม. เมื่อต้องกำหนดความยาวของดินสอ ก็จะถือว่ามีความแม่นยำต่ำ หากคุณกำหนดความยาวหรือความกว้างของสนามวอลเลย์บอลด้วยความแม่นยำ 1 ซม. ก็จะมีความแม่นยำสูง
เพื่อระบุลักษณะความแม่นยำในการวัด จึงได้นำแนวคิดเรื่องข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มาใช้
คำนิยาม. ถ้า ก x: มีข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสัมบูรณ์ เอ็กซ์ปริมาณบางอย่างที่มีค่าจริงเท่ากับจำนวน กแล้วความสัมพันธ์ ก xถึงโมดูลัสของตัวเลข เอ็กซ์เรียกว่าความคลาดเคลื่อนการประมาณสัมพัทธ์และระบุแทน ก xหรือ x.
ดังนั้นตามคำนิยามแล้ว
ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มักจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์
ต่างจากข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นปริมาณมิติ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คือปริมาณไร้มิติ
ในทางปฏิบัติ ไม่ใช่ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ที่ถูกพิจารณา แต่เป็นข้อผิดพลาดที่เรียกว่าขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์: ตัวเลขดังกล่าว อี กมากกว่าที่ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในการประมาณค่าที่ต้องการไม่สามารถเป็นได้
ดังนั้น, ก x อี ก .
ถ้า ชม. ก-- ขีดจำกัดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของการประมาณค่า ก, ที่ ก x ชม กและดังนั้นจึง
แน่นอนว่าจะเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ อีเมื่อตรงตามเงื่อนไขจะเป็นขอบเขตข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ในทางปฏิบัติ มักจะทราบการประมาณค่าบางอย่าง เอ็กซ์ปริมาณ กและขีดจำกัดข้อผิดพลาดที่แน่นอน จากนั้นจึงนำขีดจำกัดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มาเป็นตัวเลข
ค่าที่แน่นอนและโดยประมาณของปริมาณ
ในกรณีส่วนใหญ่ ข้อมูลตัวเลขที่เป็นปัญหาจะเป็นค่าโดยประมาณ ในเงื่อนไขของงาน ค่าที่แน่นอนอาจเกิดขึ้นได้ เช่น ผลลัพธ์ของการนับวัตถุจำนวนน้อย ค่าคงที่บางอย่าง เป็นต้น
หากต้องการระบุค่าโดยประมาณของตัวเลข ให้ใช้เครื่องหมายเท่ากับโดยประมาณ อ่านดังนี้: “ประมาณเท่ากัน” (ไม่ควรอ่าน: “ประมาณเท่ากัน”)
การค้นหาลักษณะของข้อมูลตัวเลขถือเป็นขั้นตอนการเตรียมการที่สำคัญในการแก้ไขปัญหาต่างๆ
หลักเกณฑ์ต่อไปนี้สามารถช่วยให้คุณจดจำตัวเลขที่แน่นอนและโดยประมาณได้:
| ค่าที่แน่นอน | ค่าโดยประมาณ |
| 1. ค่าของปัจจัยการแปลงจำนวนหนึ่งสำหรับการเปลี่ยนจากหน่วยการวัดหนึ่งไปยังอีกหน่วยหนึ่ง (1m = 1,000 มม.; 1 ชม. = 3600 วินาที) ปัจจัยการแปลงจำนวนมากได้รับการวัดและคำนวณด้วยความแม่นยำ (มาตรวิทยา) สูงดังกล่าว ตอนนี้ถือว่าถูกต้องในทางปฏิบัติ | 1. ค่าส่วนใหญ่ของปริมาณทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดในตาราง (ราก, ลอการิทึม, ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ, รวมถึงค่าเชิงปฏิบัติของตัวเลขและฐานของลอการิทึมธรรมชาติ (หมายเลข e)) |
| 2. ปัจจัยขนาด ตัวอย่างเช่น หากทราบว่ามาตราส่วนคือ 1:10000 ตัวเลข 1 และ 10,000 ก็ถือว่าถูกต้อง หากระบุว่า 1 ซม. คือ 4 ม. แสดงว่า 1 และ 4 เป็นค่าความยาวที่แน่นอน | 2. ผลการวัด (ค่าคงที่พื้นฐานบางอย่าง: ความเร็วแสงในสุญญากาศ, ค่าคงที่แรงโน้มถ่วง, ประจุและมวลของอิเล็กตรอน ฯลฯ ) ค่าตารางของปริมาณทางกายภาพ (ความหนาแน่นของสสาร จุดหลอมเหลวและจุดเดือด ฯลฯ ) |
| 3. ภาษีและราคา (ค่าไฟฟ้า 1 kWh – ราคาที่แน่นอน) | 3. ข้อมูลการออกแบบก็เป็นข้อมูลโดยประมาณเช่นกันเพราะว่า มีการระบุไว้ด้วยความเบี่ยงเบนบางประการซึ่งเป็นมาตรฐานโดย GOST (ตัวอย่างเช่น ตามมาตรฐาน ขนาดของอิฐคือ ยาว 250×6 มม. กว้าง 120×4 มม. หนา 65×3 มม.) ตัวเลขโดยประมาณกลุ่มเดียวกันนี้รวมมิติที่นำมาจากแบบวาดด้วย |
| 4. ค่าทั่วไปของปริมาณ (ตัวอย่าง: อุณหภูมิศูนย์สัมบูรณ์ -273.15 C, ความดันบรรยากาศปกติ 1,01325 Pa) | |
| 5. ค่าสัมประสิทธิ์และเลขชี้กำลังที่พบในสูตรฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ ( ; %; ฯลฯ ) | |
| 6. ผลการนับรายการ (จำนวนแบตเตอรี่ในแบตเตอรี่, จำนวนกล่องนมที่โรงงานผลิตและนับด้วยมิเตอร์โฟโตอิเล็กทริก) | |
| 7. ให้ค่าของปริมาณ (เช่นในโจทย์ “หาคาบการแกว่งของลูกตุ้มยาว 1 และ 4 ม.” ตัวเลข 1 และ 4 ถือเป็นค่าที่แน่นอนของความยาวของลูกตุ้ม) |
ดำเนินการ งานต่อไปนี้ จัดรูปแบบคำตอบของคุณในรูปแบบตาราง:
1. ระบุว่าค่าใดที่ให้มานั้นแม่นยำและเป็นค่าประมาณ:
1) ความหนาแน่นของน้ำ (4 C)………..………………..………1,000กก./ลบ.ม.
2) ความเร็วเสียง (0 C)………………………………………….332 เมตร/วินาที
3) ความจุความร้อนจำเพาะของอากาศ….……………………1.0 kJ/(kg∙K)
4) จุดเดือดของน้ำ…….…………………………….100 C
5) ค่าคงที่ของอาโวกาโดร….…………………………………..…..6.02∙10 23 โมล -1
6) มวลอะตอมสัมพัทธ์ของออกซิเจน…………………………………..16
2. ค้นหาค่าที่แน่นอนและค่าประมาณในปัญหาต่อไปนี้:
1) ในเครื่องจักรไอน้ำ แกนม้วนทองสัมฤทธิ์ซึ่งมีความยาวและความกว้าง 200 และ 120 มม. ตามลำดับ จะมีแรงดัน 12 MPa ค้นหาแรงที่จำเป็นในการเคลื่อนย้ายแกนม้วนไปตามพื้นผิวเหล็กหล่อของกระบอกสูบ ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.10
2) กำหนดความต้านทานของไส้หลอดของหลอดไฟฟ้าโดยใช้เครื่องหมายต่อไปนี้: "220V, 60 W"
3. เราจะได้รับคำตอบอะไร - แบบตรงหรือแบบประมาณ - เมื่อแก้ไขปัญหาต่อไปนี้
1) ความเร็วของวัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่ 15 เป็นเท่าใด โดยถือว่ามีการระบุช่วงเวลาไว้อย่างแน่นอน
2) ความเร็วของรอกคือเท่าไรหากเส้นผ่านศูนย์กลางของมันคือ 300 มม. และความเร็วในการหมุนคือ 10 rps? พิจารณาข้อมูลให้ถูกต้อง
3) กำหนดโมดูลัสของแรง สเกล 1 ซม. – 50N.
4) กำหนดค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตสำหรับวัตถุที่อยู่บนระนาบเอียงหากร่างกายเริ่มเลื่อนสม่ำเสมอไปตามทางลาดที่ = 0.675 โดยที่ คือมุมเอียงของระนาบ