ความน่าจะเป็นวัดได้อย่างไร? สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด สูตรคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

นำเสนอจนถึงปัจจุบันในธนาคารเปิดของปัญหาการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (mathege.ru) วิธีแก้ปัญหานั้นใช้สูตรเดียวเท่านั้นซึ่งเป็นคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำความเข้าใจสูตรคือการใช้ตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1ในตระกร้ามีลูกบอลสีแดง 9 ลูกและสีน้ำเงิน 3 ลูก ลูกบอลต่างกันแค่สีเท่านั้น เราสุ่มหยิบหนึ่งในนั้นออกมา (โดยไม่ดู) ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่เลือกในลักษณะนี้จะเป็นสีน้ำเงินเป็นเท่าใด?

ความคิดเห็น.ในปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็น มีบางอย่างเกิดขึ้น (ในกรณีนี้คือการกระทำของเราในการดึงลูกบอลออกมา) ซึ่งอาจให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างออกไป นั่นคือผลลัพธ์ ควรสังเกตว่าผลลัพธ์สามารถดูได้หลายวิธี “เราดึงบอลออกมาบ้าง” ก็เป็นผลเช่นกัน “ เราดึงลูกบอลสีน้ำเงินออกมา” - ผลลัพธ์ “เราดึงลูกบอลนี้ออกมาจากลูกบอลที่เป็นไปได้ทั้งหมด” - มุมมองทั่วไปน้อยที่สุดของผลลัพธ์นี้เรียกว่าผลลัพธ์เบื้องต้น เป็นผลลัพธ์เบื้องต้นที่มีความหมายในสูตรการคำนวณความน่าจะเป็น

สารละลาย.ทีนี้ มาคำนวณความน่าจะเป็นในการเลือกลูกบอลสีน้ำเงินกัน
เหตุการณ์ A: “ลูกบอลที่เลือกกลายเป็นสีน้ำเงิน”
จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: 9+3=12 (จำนวนลูกบอลทั้งหมดที่เราจับได้)
จำนวนผลลัพธ์ที่ดีสำหรับเหตุการณ์ A: 3 (จำนวนผลลัพธ์ที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น - นั่นคือจำนวนลูกบอลสีน้ำเงิน)
P(ก)=3/12=1/4=0.25
คำตอบ: 0.25

สำหรับปัญหาเดียวกัน ลองคำนวณความน่าจะเป็นในการเลือกลูกบอลสีแดง
จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะยังคงเท่าเดิม 12 จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ: 9 ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 9/12=3/4=0.75

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ จะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ
บางครั้งในการพูดในชีวิตประจำวัน (แต่ไม่ใช่ในทฤษฎีความน่าจะเป็น!) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะประมาณเป็นเปอร์เซ็นต์ การเปลี่ยนแปลงระหว่างคะแนนคณิตศาสตร์และคะแนนการสนทนาทำได้โดยการคูณ (หรือหาร) ด้วย 100%
ดังนั้น,
ยิ่งไปกว่านั้น ความน่าจะเป็นเป็นศูนย์สำหรับเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ - เหลือเชื่อมาก ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างของเรา ค่านี้คือความน่าจะเป็นในการหยิบลูกบอลสีเขียวออกจากตะกร้า (จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจคือ 0, P(A)=0/12=0 หากคำนวณโดยใช้สูตร)
ความน่าจะเป็นที่ 1 มีเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอนโดยไม่มีทางเลือก ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่ “ลูกบอลที่เลือกจะเป็นสีแดงหรือสีน้ำเงิน” เป็นงานของเรา (จำนวนผลลัพธ์ที่ดี: 12, P(A)=12/12=1)

เราดูตัวอย่างคลาสสิกที่แสดงให้เห็นถึงคำจำกัดความของความน่าจะเป็น ปัญหาที่คล้ายกันทั้งหมดของการสอบ Unified State ในทฤษฎีความน่าจะเป็นได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรนี้
แทนที่ลูกบอลสีแดงและสีน้ำเงิน อาจมีแอปเปิ้ลและลูกแพร์ เด็กชายและเด็กหญิง ตั๋วเรียนรู้และไม่ได้รับการเรียนรู้ ตั๋วที่มีและไม่มีคำถามในบางหัวข้อ (ต้นแบบ) กระเป๋าหรือปั๊มสวนที่มีข้อบกพร่องและมีคุณภาพสูง (ต้นแบบ ,) - หลักการยังคงเหมือนเดิม

พวกเขาแตกต่างกันเล็กน้อยในการกำหนดปัญหาของทฤษฎีความน่าจะเป็นของ Unified State Examination ซึ่งคุณต้องคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างที่เกิดขึ้นในวันใดวันหนึ่ง ( , ) เช่นเดียวกับปัญหาก่อนหน้านี้ คุณต้องพิจารณาว่าผลลัพธ์เบื้องต้นคืออะไร จากนั้นจึงใช้สูตรเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2การประชุมใช้เวลาสามวัน ในวันแรกและวันที่สองมีวิทยากร 15 คน ในวันที่สาม - 20 ความน่าจะเป็นที่รายงานของศาสตราจารย์เอ็มจะตกในวันที่สามคือเท่าใดหากลำดับของรายงานถูกกำหนดโดยการจับฉลาก

ผลลัพธ์เบื้องต้นที่นี่คืออะไร? – กำหนดรายงานของอาจารย์ให้เป็นหนึ่งในหมายเลขซีเรียลที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับสุนทรพจน์ 15+15+20=50 คนเข้าร่วมการจับรางวัล ดังนั้นรายงานของศาสตราจารย์เอ็มอาจได้รับ 1 ใน 50 ประเด็น ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์เบื้องต้นมีเพียง 50 รายการเท่านั้น
ผลลัพธ์ที่ดีคืออะไร? - ปรากฎว่าอาจารย์จะพูดในวันที่สาม นั่นก็คือเลข 20 ตัวสุดท้าย
ตามสูตร ความน่าจะเป็น P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
คำตอบ: 0.4

การจับสลากที่นี่แสดงถึงการสร้างการติดต่อแบบสุ่มระหว่างผู้คนกับสถานที่ที่เป็นระเบียบ ในตัวอย่างที่ 2 การจับคู่ได้รับการพิจารณาจากมุมมองของสถานที่ที่บุคคลใดสามารถครอบครองได้ คุณสามารถเข้าใกล้สถานการณ์เดียวกันได้จากอีกด้านหนึ่ง: คนใดที่มีความน่าจะเป็นมากพอที่จะไปยังสถานที่เฉพาะได้ (ต้นแบบ , , , ):

ตัวอย่างที่ 3การจับสลากประกอบด้วยชาวเยอรมัน 5 คน ฝรั่งเศส 8 คน และเอสโตเนีย 3 คน ความน่าจะเป็นที่คนแรก (/วินาที/เจ็ด/สุดท้าย – ไม่สำคัญ) จะเป็นชาวฝรั่งเศสคืออะไร

จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นคือจำนวนคนที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สามารถเข้าไปในสถานที่ที่กำหนดโดยการจับสลาก 5+8+3=16 คน
ผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ - ฝรั่งเศส. 8 คน.
ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 8/16=1/2=0.5
คำตอบ: 0.5

ต้นแบบมีความแตกต่างกันเล็กน้อย ยังคงมีปัญหาเกี่ยวกับเหรียญ () และลูกเต๋า () ซึ่งค่อนข้างสร้างสรรค์มากกว่า วิธีแก้ไขปัญหาเหล่านี้สามารถพบได้ในหน้าต้นแบบ

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการโยนเหรียญหรือลูกเต๋า

ตัวอย่างที่ 4เมื่อเราโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะตกหัวเป็นเท่าไร?
ผลลัพธ์มี 2 แบบ หัวหรือก้อย (เชื่อกันว่าเหรียญไม่เคยตกขอบ) ผลลัพธ์ที่ดีคือก้อย 1.
ความน่าจะเป็น 1/2=0.5
คำตอบ: 0.5

ตัวอย่างที่ 5จะเป็นอย่างไรถ้าเราโยนเหรียญสองครั้ง? ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวทั้งสองครั้งเป็นเท่าใด?
สิ่งสำคัญคือการกำหนดผลลัพธ์เบื้องต้นที่เราจะพิจารณาเมื่อโยนเหรียญสองเหรียญ หลังจากโยนเหรียญสองเหรียญ ผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้อาจเกิดขึ้นได้:
1) PP – ทั้งสองครั้งก็โผล่หัวขึ้นมา
2) PO – หัวครั้งแรก, หัวครั้งที่สอง
3) OP – ขึ้นหัวครั้งแรก และก้อยในครั้งที่สอง
4) OO – ขึ้นหัวทั้งสองครั้ง
ไม่มีทางเลือกอื่น ซึ่งหมายความว่ามีผลเบื้องต้น 4 ประการเท่านั้น
ความน่าจะเป็น: 1/4=0.25
คำตอบ: 0.25

ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญ 2 เหรียญจะออกก้อยเป็นเท่าไร?
จำนวนผลเบื้องต้นเท่ากัน 4 ผลดีผลที่ 2 และ 3 2.
ความน่าจะเป็นที่จะได้หนึ่งหาง: 2/4=0.5

ในปัญหาดังกล่าว อาจใช้สูตรอื่นได้
หากการโยนเหรียญหนึ่งครั้งเรามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 แบบ ดังนั้นสำหรับการโยนสองครั้งผลลัพธ์จะเป็น 2 2 = 2 2 = 4 (ดังตัวอย่างที่ 5) สำหรับการโยนสามครั้ง 2 2 2 = 2 3 = 8 สำหรับสี่ครั้ง: 2·2·2·2=2 4 =16, … สำหรับ N ม้วน ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จะเป็น 2·2·...·2=2 N

ดังนั้น คุณจะพบความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 5 ครั้งจากการโยนเหรียญ 5 ครั้ง
จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด: 2 5 =32
ผลลัพธ์ที่ดี: 1. (RRRRRR – โหม่งทั้ง 5 ครั้ง)
ความน่าจะเป็น: 1/32=0.03125

เช่นเดียวกับลูกเต๋า ในการโยนครั้งเดียว จะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 แบบ ดังนั้น สำหรับการโยนสองครั้ง: 6 6 = 36 สำหรับสามครั้ง 6 6 6 = 216 เป็นต้น

ตัวอย่างที่ 6เราโยนลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่เลขคู่จะถูกทอยคือเท่าไร?

ผลลัพธ์รวม: 6 ตามจำนวนข้าง
ดี: 3 ผลลัพธ์ (2, 4, 6)
ความน่าจะเป็น: 3/6=0.5

ตัวอย่างที่ 7เราโยนลูกเต๋าสองลูก ความน่าจะเป็นที่ผลรวมจะเป็น 10 เป็นเท่าไหร่? (ปัดเศษเป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด)

สำหรับการตาย 1 ครั้ง มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 แบบ ซึ่งหมายความว่าสำหรับสองตามกฎข้างต้น 6·6=36
ผลลัพธ์อะไรจะดีสำหรับผลรวมที่จะหมุน 10?
10 จะต้องแยกย่อยเป็นผลรวมของตัวเลขสองตัวตั้งแต่ 1 ถึง 6 ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี: 10=6+4 และ 10=5+5 ซึ่งหมายความว่าอ็อพชันต่อไปนี้เป็นไปได้สำหรับคิวบ์:
(6 ในครั้งแรกและ 4 ในครั้งที่สอง)
(4 ในครั้งแรกและ 6 ในครั้งที่สอง)
(5 ในครั้งแรกและ 5 ในครั้งที่สอง)
ทั้งหมด 3 ตัวเลือก ความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 3/36=1/12=0.08
คำตอบ: 0.08

ปัญหา B6 ประเภทอื่นๆ จะมีการหารือในบทความวิธีแก้ปัญหาในอนาคต

เมื่อรู้ว่าความน่าจะเป็นสามารถวัดได้ ลองแสดงเป็นตัวเลขดู มีสามวิธีที่เป็นไปได้

ข้าว. 1.1. การวัดความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยสมมาตร

มีสถานการณ์ที่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มีความเป็นไปได้เท่าเทียมกัน เช่น เมื่อโยนเหรียญครั้งเดียว ถ้าเหรียญเป็นแบบมาตรฐาน ความน่าจะเป็นที่ “หัว” หรือ “ก้อย” จะปรากฏจะเท่ากัน กล่าวคือ P("หัว") = P("ก้อย") เนื่องจากเป็นไปได้เพียงสองผลลัพธ์เท่านั้น ดังนั้น P("heads") + P("tails") = 1 ดังนั้น P("heads") = P("tails") = 0.5

ในการทดลองที่ผลลัพธ์มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E, P (E) จะเท่ากับ:

ตัวอย่างที่ 1.1 เหรียญถูกโยนสามครั้ง ความน่าจะเป็นของสองหัวและหนึ่งหางเป็นเท่าใด?

ขั้นแรก เรามาค้นหาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: เพื่อให้แน่ใจว่าเราพบตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว เราจะใช้แผนผังต้นไม้ (ดูบทที่ 1 ส่วน 1.3.1)

มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากัน 8 รายการ ดังนั้น ความน่าจะเป็นคือ 1/8 เหตุการณ์ E - สองหัวและก้อย - เกิดขึ้น 3 ครั้ง นั่นเป็นเหตุผล:

ตัวอย่างที่ 1.2 แม่พิมพ์มาตรฐานจะทอยสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่คะแนนเป็น 9 ขึ้นไปเป็นเท่าใด

เรามาค้นหาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดกัน

ตารางที่ 1.2 จำนวนแต้มทั้งหมดที่ได้รับจากการทอยลูกเต๋าสองครั้ง

ดังนั้น ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 10 จาก 36 รายการ ผลรวมของคะแนนคือ 9 หรือเท่ากับ:

ความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยเชิงประจักษ์

ตัวอย่างเหรียญจากโต๊ะ 1.1 แสดงให้เห็นกลไกในการพิจารณาความน่าจะเป็นอย่างชัดเจน

เมื่อพิจารณาจากจำนวนการทดลองทั้งหมดที่ประสบความสำเร็จ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ต้องการจะถูกคำนวณดังนี้:

อัตราส่วนคือความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดผลลัพธ์บางอย่างในการทดลองที่ใช้เวลานานพอสมควร ความน่าจะเป็นจะคำนวณตามข้อมูลของการทดสอบที่ทำขึ้นหรือตามข้อมูลในอดีต

ตัวอย่างที่ 1.3 จากการทดสอบหลอดไฟฟ้าห้าร้อยหลอด 415 หลอดใช้งานได้นานกว่า 1,000 ชั่วโมง จากข้อมูลจากการทดลองนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าความน่าจะเป็นของการทำงานปกติของหลอดไฟประเภทนี้เป็นเวลานานกว่า 1,000 ชั่วโมงคือ:

บันทึก. การทดสอบมีลักษณะเป็นการทำลายล้าง ดังนั้นจึงไม่สามารถทดสอบหลอดไฟทั้งหมดได้ หากทดสอบหลอดไฟเพียงหลอดเดียว ความน่าจะเป็นจะเป็น 1 หรือ 0 (เช่น สามารถใช้งานได้นาน 1,000 ชั่วโมงหรือไม่) จึงต้องทำการทดลองซ้ำ

ตัวอย่างที่ 1.4 ในตาราง 1.3 แสดงข้อมูลเกี่ยวกับระยะเวลาการทำงานของผู้ชายที่ทำงานในบริษัท:

ตารางที่ 1.3. ประสบการณ์การทำงานของผู้ชาย

ความน่าจะเป็นที่บุคคลต่อไปที่ได้รับการว่าจ้างจากบริษัทจะทำงานเป็นเวลาอย่างน้อยสองปีคือเท่าใด:

สารละลาย.

ตารางแสดงให้เห็นว่าพนักงาน 38 คนจาก 100 คนทำงานในบริษัทมานานกว่าสองปี ความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์ที่พนักงานคนต่อไปจะอยู่กับบริษัทนานกว่าสองปีคือ:

ในเวลาเดียวกัน เราถือว่าพนักงานใหม่ "เป็นเรื่องปกติและสภาพการทำงานไม่เปลี่ยนแปลง

การประเมินความน่าจะเป็นเชิงอัตนัย

ในทางธุรกิจ สถานการณ์มักจะเกิดขึ้นเมื่อไม่มีความสมมาตร และไม่มีข้อมูลการทดลองเช่นกัน ดังนั้นการพิจารณาความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ดีภายใต้อิทธิพลของมุมมองและประสบการณ์ของผู้วิจัยจึงเป็นเรื่องส่วนตัว

ตัวอย่างที่ 1.5

1. ผู้เชี่ยวชาญด้านการลงทุนประมาณการว่าความน่าจะเป็นที่จะทำกำไรในสองปีแรกคือ 0.6

2. การคาดการณ์ของผู้จัดการฝ่ายการตลาด: ความน่าจะเป็นที่จะขายผลิตภัณฑ์ได้ 1,000 หน่วยในเดือนแรกหลังจากปรากฏตัวในตลาดคือ 0.4

เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในความเป็นจริงหรือในจินตนาการของเราแบ่งได้เป็น 3 กลุ่ม เหล่านี้คือเหตุการณ์บางอย่างที่จะเกิดขึ้นแน่นอน เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ และเหตุการณ์สุ่ม ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษาเหตุการณ์สุ่ม เช่น เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้ บทความนี้จะนำเสนอทฤษฎีสูตรความน่าจะเป็นโดยย่อและตัวอย่างการแก้ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งจะอยู่ในภารกิจที่ 4 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ระดับโปรไฟล์)

ทำไมเราต้องมีทฤษฎีความน่าจะเป็น?

ในอดีต ความจำเป็นในการศึกษาปัญหาเหล่านี้เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 ซึ่งเกี่ยวข้องกับการพัฒนาและความเป็นมืออาชีพของการพนันและการเกิดขึ้นของคาสิโน นี่เป็นปรากฏการณ์ที่แท้จริงที่ต้องมีการศึกษาและวิจัยของตัวเอง

การเล่นไพ่ ลูกเต๋า และรูเล็ตสร้างสถานการณ์ที่อาจเกิดเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันในจำนวนจำกัด มีความจำเป็นต้องให้การประมาณการเชิงตัวเลขเกี่ยวกับความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

ในศตวรรษที่ 20 เห็นได้ชัดว่าวิทยาศาสตร์ที่ดูไร้สาระนี้มีบทบาทสำคัญในการทำความเข้าใจกระบวนการพื้นฐานที่เกิดขึ้นในพิภพเล็ก ๆ ทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ได้ถูกสร้างขึ้น

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น

วัตถุประสงค์ของการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นคือเหตุการณ์และความน่าจะเป็น หากเหตุการณ์มีความซับซ้อน ก็สามารถแบ่งออกเป็นองค์ประกอบง่ายๆ ได้ ซึ่งความน่าจะเป็นนั้นหาได้ง่าย

ผลรวมของเหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B หรือเหตุการณ์ A และ B ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน

ผลคูณของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ C ซึ่งหมายความว่าทั้งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เกิดขึ้น

เหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเข้ากันไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้

เหตุการณ์ A เรียกว่าเป็นไปไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นได้ เหตุการณ์ดังกล่าวมีสัญลักษณ์ระบุ

เหตุการณ์ A จะถูกเรียกว่าแน่นอนถ้ามันจะเกิดขึ้นแน่นอน เหตุการณ์ดังกล่าวมีสัญลักษณ์ระบุ

ให้แต่ละเหตุการณ์ A เชื่อมโยงกับตัวเลข P(A) จำนวน P(A) นี้เรียกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้

กรณีพิเศษที่สำคัญคือสถานการณ์เมื่อมีผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน และผลลัพธ์เหล่านี้เกิดขึ้นโดยพลการจากเหตุการณ์ A ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นสามารถป้อนได้โดยใช้สูตร ความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก สามารถพิสูจน์ได้ว่าในกรณีนี้มีคุณสมบัติตรงตามที่ 1-4

ปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ปรากฏในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นแบบดั้งเดิม งานดังกล่าวสามารถทำได้ง่ายมาก ปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นในเวอร์ชันสาธิตนั้นง่ายมาก ง่ายต่อการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดเขียนถูกต้องในเงื่อนไข

เราได้คำตอบโดยใช้สูตร

ตัวอย่างโจทย์จากการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เรื่องการหาความน่าจะเป็น

บนโต๊ะมีพาย 20 ชิ้น - กะหล่ำปลี 5 ชิ้น, แอปเปิ้ล 7 ชิ้นและข้าว 8 ชิ้น มาริน่าอยากจะเอาพายไป ความน่าจะเป็นที่เธอจะเอาเค้กข้าวเป็นเท่าไร?

สารละลาย.

มีผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้พอๆ กัน 20 รายการ กล่าวคือ มาริน่าสามารถรับพายใดก็ได้จาก 20 พาย แต่เราต้องประมาณความน่าจะเป็นที่มาริน่าจะเอาพายข้าว นั่นคือ โดยที่ A คือตัวเลือกของพายข้าว ซึ่งหมายความว่าจำนวนผลลัพธ์ที่ดี (ตัวเลือกพายกับข้าว) มีเพียง 8 เท่านั้น จากนั้นความน่าจะเป็นจะถูกกำหนดโดยสูตร:

เหตุการณ์อิสระ ตรงกันข้าม และโดยพลการ

อย่างไรก็ตาม เริ่มพบงานที่ซับซ้อนมากขึ้นในคลังงานที่เปิดอยู่ ดังนั้นให้เราดึงความสนใจของผู้อ่านไปยังประเด็นอื่น ๆ ที่ศึกษาในทฤษฎีความน่าจะเป็น

เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระจากกันหากความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าอีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นหรือไม่

เหตุการณ์ B คือเหตุการณ์ A ที่ไม่ได้เกิดขึ้น กล่าวคือ เหตุการณ์ B อยู่ตรงข้ามกับเหตุการณ์ A ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามมีค่าเท่ากับ 1 ลบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรง นั่นคือ -

ทฤษฎีบทการบวกและการคูณความน่าจะเป็น สูตร

สำหรับเหตุการณ์ตามอำเภอใจ A และ B ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์เหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นโดยไม่มีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมเช่น -

สำหรับเหตุการณ์อิสระ A และ B ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์เหล่านี้จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น เช่น ในกรณีนี้ .

ข้อความ 2 ข้อความสุดท้ายเรียกว่าทฤษฎีบทของการบวกและการคูณความน่าจะเป็น

การนับจำนวนผลลัพธ์ไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป ในบางกรณีจำเป็นต้องใช้สูตรเชิงผสม สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการนับจำนวนเหตุการณ์ที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการ บางครั้งการคำนวณประเภทนี้อาจกลายเป็นงานอิสระได้

นักเรียน 6 คนสามารถนั่งในที่นั่งว่าง 6 ที่นั่งได้กี่วิธี? นักเรียนคนแรกจะได้อันดับที่ 6 อย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ละตัวเลือกเหล่านี้สอดคล้องกับ 5 วิธีที่นักเรียนคนที่สองจะเข้าเรียน เหลือที่ว่าง 4 ที่สำหรับนักเรียนคนที่ 3, 3 ที่สำหรับคนที่สี่, 2 ที่ที่ 5 และที่ที่ 6 จะเป็นที่เดียวที่เหลืออยู่ หากต้องการค้นหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมด คุณต้องค้นหาผลิตภัณฑ์ซึ่งมีสัญลักษณ์ 6 แทน! และอ่านว่า "หกแฟคทอเรียล"

ในกรณีทั่วไป คำตอบสำหรับคำถามนี้จะได้รับจากสูตรสำหรับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n ตัว

ให้เราพิจารณาอีกกรณีหนึ่งกับนักเรียนของเรา นักเรียน 2 คนสามารถนั่งในที่นั่งว่าง 6 ที่นั่งได้กี่วิธี? นักเรียนคนแรกจะได้อันดับที่ 6 อย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ละตัวเลือกเหล่านี้สอดคล้องกับ 5 วิธีที่นักเรียนคนที่สองจะเข้าเรียน หากต้องการค้นหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมด คุณต้องค้นหาผลิตภัณฑ์

โดยทั่วไป คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้มาจากสูตรสำหรับจำนวนตำแหน่งขององค์ประกอบ n ตัวเหนือองค์ประกอบ k

ในกรณีของเรา.

และกรณีสุดท้ายในชุดนี้ คุณสามารถเลือกนักเรียน 3 คนจาก 6 คนได้กี่วิธี? นักเรียนคนแรกสามารถเลือกได้ 6 วิธี คนที่สอง - 5 วิธี คนที่สาม - สี่วิธี แต่ในบรรดาตัวเลือกเหล่านี้ นักเรียนสามคนคนเดิมจะปรากฏ 6 ครั้ง หากต้องการค้นหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมด คุณต้องคำนวณค่า: โดยทั่วไปคำตอบสำหรับคำถามนี้จะได้รับจากสูตรสำหรับจำนวนการรวมกันขององค์ประกอบตามองค์ประกอบ:

ในกรณีของเรา.

ตัวอย่างการแก้ปัญหาจากการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดความน่าจะเป็น

ภารกิจที่ 1. จากการรวบรวมที่แก้ไขโดย ยาชเชนโก.

จานมีพาย 30 ชิ้น: 3 อันพร้อมเนื้อ 18 อันพร้อมกะหล่ำปลีและ 9 อันพร้อมเชอร์รี่ Sasha เลือกพายหนึ่งชิ้นโดยการสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาจะจบลงด้วยเชอร์รี่

.

คำตอบ: 0.3

ภารกิจที่ 2. จากการรวบรวมที่แก้ไขโดย ยาชเชนโก.

หลอดไฟเสียโดยเฉลี่ย 20 ดวงในแต่ละชุดมี 1,000 ดวง ค้นหาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟที่ถ่ายแบบสุ่มจากแบตช์จะใช้งานได้

วิธีแก้ไข: จำนวนหลอดไฟที่ใช้งานอยู่คือ 1,000-20=980 ความน่าจะเป็นที่หลอดไฟที่ถ่ายแบบสุ่มจากแบตช์จะใช้งานได้:

คำตอบ: 0.98.

ความน่าจะเป็นที่นักเรียน U จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 9 ข้อระหว่างการทดสอบคณิตศาสตร์คือ 0.67 ความน่าจะเป็นที่ U จะแก้ปัญหาถูกมากกว่า 8 ข้อ คือ 0.73 ค้นหาความน่าจะเป็นที่คุณจะแก้ปัญหา 9 ข้อได้อย่างถูกต้อง

ถ้าเราจินตนาการถึงเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายจุด 8 และ 9 ไว้ เราจะเห็นว่าเงื่อนไข “U. จะแก้ปัญหาได้ถูกต้อง 9 ข้อ” รวมอยู่ในเงื่อนไข “U. จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 8 ข้อ” แต่ไม่ใช้กับเงื่อนไข “ส. จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 9 ข้อ”

อย่างไรก็ตาม เงื่อนไข “U. จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 9 ข้อ” มีอยู่ในเงื่อนไข “U. จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 8 ข้อ” ดังนั้นหากเรากำหนดเหตุการณ์: “U. จะแก้ปัญหา 9 ข้อได้อย่างถูกต้อง" - ผ่าน A, "U. จะแก้ปัญหาได้มากกว่า 8 ปัญหาอย่างถูกต้อง" - ผ่าน B, "U. จะแก้ปัญหาได้มากกว่า 9 ปัญหาอย่างถูกต้อง” ผ่าน C วิธีแก้ไขนั้นจะมีลักษณะดังนี้:

คำตอบ: 0.06.

ในการสอบเรขาคณิต นักเรียนจะตอบคำถามหนึ่งข้อจากรายการคำถามในข้อสอบ ความน่าจะเป็นที่ว่านี่คือคำถามตรีโกณมิติคือ 0.2 ความน่าจะเป็นที่เป็นคำถามเกี่ยวกับมุมภายนอกคือ 0.15 ไม่มีคำถามที่เกี่ยวข้องกับสองหัวข้อนี้พร้อมๆ กัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะได้รับคำถามจากหนึ่งในสองหัวข้อนี้ในการสอบ

ลองคิดดูว่าเรามีเหตุการณ์อะไรบ้าง เราได้รับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ นั่นคือคำถามจะเกี่ยวข้องกับหัวข้อ "ตรีโกณมิติ" หรือหัวข้อ "มุมภายนอก" ตามทฤษฎีบทความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ เราต้องหาผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ กล่าวคือ

ตอบ: 0.35.

ห้องสว่างไสวด้วยโคมไฟสามดวง ความน่าจะเป็นที่หลอดไฟ 1 ดวงจะดับภายในหนึ่งปีคือ 0.29 ค้นหาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟอย่างน้อยหนึ่งดวงจะไม่ดับในระหว่างปี

ลองพิจารณาเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ เรามีหลอดไฟสามหลอด ซึ่งแต่ละหลอดอาจจะดับหรือไม่แยกจากหลอดไฟอื่นก็ได้ เหล่านี้เป็นเหตุการณ์อิสระ

จากนั้นเราจะระบุตัวเลือกสำหรับเหตุการณ์ดังกล่าว ลองใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: - หลอดไฟเปิดอยู่ - หลอดไฟดับ และต่อไปเราจะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีเหตุการณ์อิสระสามเหตุการณ์ "หลอดไฟดับ", "หลอดไฟเปิดอยู่", "หลอดไฟเปิดอยู่" เกิดขึ้น: โดยที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "หลอดไฟเปิดอยู่" is on” คำนวณจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ “หลอดไฟไม่เปิด” กล่าวคือ .

นี่คืออัตราส่วนของจำนวนการสังเกตที่มีเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้นต่อจำนวนการสังเกตทั้งหมด การตีความนี้เป็นที่ยอมรับในกรณีที่มีการสังเกตหรือการทดลองจำนวนมากเพียงพอ ตัวอย่างเช่น หากประมาณครึ่งหนึ่งของคนที่คุณพบบนถนนเป็นผู้หญิง คุณสามารถบอกได้ว่าความน่าจะเป็นที่คนที่คุณพบบนถนนจะเป็นผู้หญิงคือ 1/2 กล่าวอีกนัยหนึ่ง การประมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อาจเป็นความถี่ของการเกิดขึ้นในการทดลองสุ่มซ้ำอย่างอิสระชุดยาว

ความน่าจะเป็นในวิชาคณิตศาสตร์

ในแนวทางทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก (นั่นคือ ไม่ใช่ควอนตัม) ถูกกำหนดโดยสัจพจน์ของโคลโมโกรอฟ ความน่าจะเป็นเป็นการวัด ปซึ่งถูกกำหนดไว้ในชุด เอ็กซ์เรียกว่าปริภูมิความน่าจะเป็น การวัดนี้ต้องมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

จากเงื่อนไขเหล่านี้จะเป็นไปตามการวัดความน่าจะเป็น ปก็มีทรัพย์สินเช่นกัน บวก: ถ้าตั้งค่า ก 1 และ ก 2 ไม่ตัดกัน แล้ว . เพื่อพิสูจน์ว่าคุณต้องใส่ทุกอย่าง ก 3 , ก 4 , ... เท่ากับเซตว่างและใช้คุณสมบัติของการบวกที่นับได้

การวัดความน่าจะเป็นอาจไม่ได้กำหนดไว้สำหรับชุดย่อยทั้งหมดของชุด เอ็กซ์- ก็เพียงพอแล้วที่จะนิยามมันด้วยพีชคณิตซิกมา ซึ่งประกอบด้วยเซตย่อยบางส่วนของเซต เอ็กซ์- ในกรณีนี้ เหตุการณ์สุ่มถูกกำหนดให้เป็นชุดย่อยของพื้นที่ที่สามารถวัดได้ เอ็กซ์นั่นคือ เป็นองค์ประกอบของพีชคณิตซิกมา

ความรู้สึกของความน่าจะเป็น

เมื่อเราพบว่าสาเหตุของข้อเท็จจริงที่เป็นไปได้เกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลที่ตรงกันข้าม เราจะพิจารณาข้อเท็จจริงนั้น น่าจะเป็น, มิฉะนั้น - เหลือเชื่อ- ความเหนือกว่าของฐานบวกเหนือฐานลบ และในทางกลับกัน สามารถแสดงถึงเซตขององศาที่ไม่แน่นอน ซึ่งเป็นผลมาจากการที่ ความน่าจะเป็น(และ ความไม่น่าจะเป็นไปได้) มันเกิดขึ้น มากกว่าหรือ น้อย .

ข้อเท็จจริงส่วนบุคคลที่ซับซ้อนไม่อนุญาตให้มีการคำนวณระดับความน่าจะเป็นที่แน่นอน แต่ถึงแม้ที่นี่สิ่งสำคัญคือต้องสร้างเขตการปกครองขนาดใหญ่บางแห่ง ตัวอย่างเช่น ในสาขากฎหมาย เมื่อมีการกำหนดข้อเท็จจริงส่วนบุคคลที่ต้องได้รับการพิจารณาคดีบนพื้นฐานของคำให้การ ความจริงนั้นก็จะยังคงอยู่ พูดอย่างเคร่งครัด มีเพียงความน่าจะเป็นเท่านั้น และจำเป็นต้องรู้ว่าความน่าจะเป็นนี้มีนัยสำคัญเพียงใด ในกฎหมายโรมันมีการนำการแบ่งสี่เท่ามาใช้ที่นี่: ภาคทัณฑ์เต็ม(โดยที่ความน่าจะเป็นกลายเป็นจริง ความน่าเชื่อถือ), ไกลออกไป - ภาคทัณฑ์ลบเต็ม, แล้ว - ภาคทัณฑ์เซมิเพลนาเมเจอร์และในที่สุดก็ ภาคทัณฑ์เซมิเพลนาไมเนอร์ .

นอกเหนือจากคำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของคดีแล้ว ยังอาจเกิดคำถามขึ้น ทั้งในสาขากฎหมายและสาขาศีลธรรม (ด้วยมุมมองด้านจริยธรรมบางประการ) ว่าข้อเท็จจริงดังกล่าวมีแนวโน้มเพียงใดที่ข้อเท็จจริงที่กำหนดจะก่อให้เกิด การละเมิดกฎหมายทั่วไป คำถามนี้ซึ่งทำหน้าที่เป็นแรงจูงใจหลักในนิติศาสตร์ศาสนาของทัลมุดยังก่อให้เกิดโครงสร้างที่เป็นระบบที่ซับซ้อนมากและวรรณกรรมขนาดใหญ่ที่ไม่เชื่อและโต้แย้งในเทววิทยาทางศีลธรรมของนิกายโรมันคาทอลิก (โดยเฉพาะจากปลายศตวรรษที่ 16) ( ดูความน่าจะเป็น)

แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นทำให้เกิดการแสดงออกทางตัวเลขบางอย่างเมื่อใช้เฉพาะกับข้อเท็จจริงที่เป็นส่วนหนึ่งของอนุกรมที่เป็นเนื้อเดียวกันบางชุดเท่านั้น ดังนั้น (ในตัวอย่างที่ง่ายที่สุด) เมื่อมีคนโยนเหรียญร้อยครั้งติดต่อกัน เราจะพบชุดทั่วไปหรือชุดใหญ่ชุดหนึ่ง (ผลรวมของการตกของเหรียญทั้งหมด) ประกอบด้วยชุดส่วนตัวสองชุดหรือเล็กกว่า ในกรณีนี้เป็นตัวเลข เท่ากัน ซีรีส์ (ตก " หัว" และตก "ก้อย"); ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวในครั้งนี้ นั่นคือ สมาชิกใหม่ของซีรีย์ทั่วไปจะเป็นของซีรีย์เล็กสองชุดนี้ เท่ากับเศษส่วนที่แสดงความสัมพันธ์เชิงตัวเลขระหว่างซีรีย์เล็กนี้กับซีรีย์ที่ใหญ่กว่า คือ 1/2 นั่นคือ ความน่าจะเป็นเดียวกันเป็นของชุดใดชุดหนึ่งหรือชุดอื่นของชุดข้อมูลสองชุด ในตัวอย่างที่ไม่ซับซ้อนนี้ ไม่สามารถอนุมานข้อสรุปได้โดยตรงจากข้อมูลของปัญหา แต่ต้องมีการปฐมนิเทศก่อน ตัวอย่างเช่น คำถามคือ ความน่าจะเป็นที่ทารกแรกเกิดจะมีชีวิตถึงอายุ 80 ปีเป็นเท่าใด ในที่นี้จะต้องมีกลุ่มคนทั่วไปหรือกลุ่มใหญ่จำนวนหนึ่งที่เกิดในสภาพที่คล้ายคลึงกันและเสียชีวิตในวัยที่ต่างกัน (จำนวนนี้ต้องมากพอที่จะกำจัดการเบี่ยงเบนแบบสุ่ม และน้อยพอที่จะรักษาความเป็นเนื้อเดียวกันของซีรีส์ได้ สำหรับบุคคลที่เกิดในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กในครอบครัวที่ร่ำรวยและมีวัฒนธรรมประชากรทั้งล้านที่แข็งแกร่งของเมืองส่วนสำคัญประกอบด้วยผู้คนจากกลุ่มต่าง ๆ ที่สามารถเสียชีวิตก่อนวัยอันควร - ทหาร, นักข่าว, คนงานในอาชีพที่เป็นอันตราย - เป็นตัวแทนของกลุ่มที่ต่างกันเกินไปสำหรับการพิจารณาความน่าจะเป็นที่แท้จริง) ให้ซีรีย์ทั่วไปนี้ประกอบด้วยชีวิตมนุษย์หมื่นคน ประกอบด้วยซีรีส์เล็กๆ ที่แสดงถึงจำนวนผู้รอดชีวิตในช่วงอายุหนึ่งๆ หนึ่งในชุดข้อมูลเล็กๆ เหล่านี้แสดงถึงจำนวนผู้ที่มีอายุถึง 80 ปี แต่ไม่สามารถระบุจำนวนซีรีส์ที่มีขนาดเล็กกว่านี้ได้ (เช่นเดียวกับชุดอื่นๆ ทั้งหมด) นิรนัย- สิ่งนี้กระทำโดยอุปนัยล้วนๆ ผ่านสถิติ สมมติว่าการศึกษาทางสถิติพบว่าจากชนชั้นกลางในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กจำนวน 10,000 คน มีเพียง 45 คนเท่านั้นที่จะมีชีวิตอยู่จนถึงอายุ 80 ปี ดังนั้น ชุดที่เล็กกว่านี้สัมพันธ์กับชุดที่ใหญ่กว่า เช่น 45 เท่ากับ 10,000 และความน่าจะเป็นที่บุคคลหนึ่งๆ จะอยู่ในชุดที่เล็กกว่านี้ กล่าวคือ มีอายุถึง 80 ปี จะแสดงเป็นเศษส่วนของ 0.0045 การศึกษาความน่าจะเป็นจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ถือเป็นวินัยพิเศษ - ทฤษฎีความน่าจะเป็น

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

วรรณกรรม

• อัลเฟรด เรนยี่. ตัวอักษรเกี่ยวกับความน่าจะเป็น / ทรานส์ จากประเทศฮังการี ดี. ซาส และ เอ. ครัมลีย์, eds. บี.วี. กเนเดนโก้. ม.: มีร์. 1970
• Gnedenko B.V.หลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็น ม. 2550 42 น.
• คุปต์ซอฟ วี.ไอ.ความมุ่งมั่นและความน่าจะเป็น ม., 2519. 256 น.

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.

คำตรงข้าม:

ดูว่า "ความน่าจะเป็น" ในพจนานุกรมอื่นคืออะไร:

วิทยาศาสตร์และปรัชญาทั่วไป หมวดหมู่ที่แสดงถึงระดับความเป็นไปได้เชิงปริมาณของการเกิดเหตุการณ์สุ่มมวลภายใต้เงื่อนไขการสังเกตคงที่ ซึ่งระบุลักษณะความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์ ในเชิงตรรกศาสตร์ ระดับความหมาย...... สารานุกรมปรัชญา

ความน่าจะเป็น ตัวเลขในช่วงตั้งแต่ศูนย์ถึงหนึ่ง แสดงถึงความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์หนึ่งๆ จะเกิดขึ้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ หมายถึง อัตราส่วนของจำนวนโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นต่อจำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมด... ... พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค

เป็นไปได้ทั้งหมด.. พจนานุกรมคำพ้องความหมายภาษารัสเซียและสำนวนที่คล้ายกัน ภายใต้. เอ็ด N. Abramova, M.: พจนานุกรมรัสเซีย, 1999. ความน่าจะเป็น, ความน่าจะเป็น, โอกาส, ความเป็นไปได้ตามวัตถุประสงค์, Maza, การยอมรับ, ความเสี่ยง มด. เป็นไปไม่ได้...... พจนานุกรมคำพ้อง

ความน่าจะเป็น- มาตรการที่เหตุการณ์หนึ่งมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้น หมายเหตุ คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นคือ “จำนวนจริงระหว่าง 0 ถึง 1 ที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์สุ่ม” ตัวเลขอาจสะท้อนความถี่สัมพัทธ์ในชุดการสังเกต... ... คู่มือนักแปลด้านเทคนิค

ความน่าจะเป็น- “คุณลักษณะทางคณิตศาสตร์และตัวเลขของระดับความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์ใด ๆ ในเงื่อนไขเฉพาะบางประการที่สามารถทำซ้ำได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง” ขึ้นอยู่กับคลาสสิกนี้...... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

- (ความน่าจะเป็น) ความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์หรือผลลัพธ์บางอย่าง สามารถนำเสนอในรูปแบบของมาตราส่วนที่มีการหารตั้งแต่ 0 ถึง 1 หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นศูนย์ การเกิดขึ้นนั้นเป็นไปไม่ได้ ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 การเริ่มต้นของ... พจนานุกรมคำศัพท์ทางธุรกิจ

แนวคิดหลักของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือแนวคิดเกี่ยวกับเหตุการณ์สุ่ม เหตุการณ์สุ่มเป็นเหตุการณ์ที่อาจเกิดหรือไม่อาจเกิดขึ้นได้หากตรงตามเงื่อนไขบางประการ ตัวอย่างเช่น การชนวัตถุบางอย่างหรือหายไปเมื่อยิงไปที่วัตถุนี้จากอาวุธที่กำหนดถือเป็นเหตุการณ์สุ่ม

งานนี้เรียกว่า เชื่อถือได้หากจำเป็นต้องเกิดขึ้นจากผลการทดสอบ เป็นไปไม่ได้เรียกว่าเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้เนื่องจากการทดสอบ

เหตุการณ์สุ่มเรียกว่า เข้ากันไม่ได้ในการทดลองที่กำหนดหากไม่มีทั้งสองคนสามารถปรากฏร่วมกันได้

แบบฟอร์มเหตุการณ์สุ่ม เต็มกลุ่มหากในระหว่างการทดลองแต่ละครั้ง สิ่งใดสิ่งหนึ่งสามารถปรากฏขึ้นได้ และไม่มีเหตุการณ์อื่นใดที่ไม่เข้ากันกับสิ่งเหล่านั้นสามารถปรากฏได้

ให้เราพิจารณากลุ่มทั้งหมดของเหตุการณ์สุ่มที่เข้ากันไม่ได้ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน เราจะเรียกเหตุการณ์ดังกล่าวว่า ผลลัพธ์หรือเหตุการณ์เบื้องต้น- เรียกว่าได้ผล ดีการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ $A$ ถ้าการเกิดขึ้นของผลลัพธ์นี้ก่อให้เกิดการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ $A$

ตัวอย่าง.โกศประกอบด้วยลูกบอลที่มีหมายเลข 8 ลูก (แต่ละลูกมีหมายเลขเดียวตั้งแต่ 1 ถึง 8) ลูกบอลที่มีหมายเลข 1, 2, 3 เป็นสีแดง ที่เหลือเป็นสีดำ การปรากฏตัวของลูกบอลที่มีหมายเลข 1 (หรือหมายเลข 2 หรือหมายเลข 3) ถือเป็นเหตุการณ์ที่เป็นผลดีต่อการปรากฏตัวของลูกบอลสีแดง การปรากฏตัวของลูกบอลที่มีหมายเลข 4 (หรือหมายเลข 5, 6, 7, 8) ถือเป็นเหตุการณ์ที่เอื้ออำนวยต่อการปรากฏตัวของลูกบอลสีดำ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์$A$ คืออัตราส่วนของจำนวน $m$ ของผลลัพธ์ที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์นี้ ต่อจำนวนทั้งหมด $n$ ของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมดที่เป็นไปได้เท่ากันซึ่งก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ $$P(A)=\frac(m)( น) \ควอด(1)$$

คุณสมบัติ 1.ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้มีค่าเท่ากับหนึ่ง
คุณสมบัติ 2.ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์
คุณสมบัติ 3.ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มคือจำนวนบวกระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ จะเป็นที่น่าพอใจกับอสมการสองเท่า $0 \le P(A) \le 1$

วัสดุที่มีประโยชน์

เครื่องคิดเลขออนไลน์

ปัญหาจำนวนมากที่แก้ไขได้โดยใช้สูตร (1) เกี่ยวข้องกับหัวข้อความน่าจะเป็นแบบไฮเปอร์เรขาคณิต ด้านล่างนี้คุณจะพบคำอธิบายปัญหายอดนิยมและเครื่องคำนวณออนไลน์สำหรับวิธีแก้ไขโดยใช้ลิงก์:

• ปัญหาเกี่ยวกับลูกบอล (โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว $k$ และลูกบอลสีดำ $n$ โดยสุ่มลูกบอล $m$...)
• ปัญหาเกี่ยวกับชิ้นส่วน (กล่องประกอบด้วยชิ้นส่วนมาตรฐาน $k$ และชิ้นส่วนที่ชำรุด $n$ ชิ้นส่วน $m$ ถูกนำออก...)
• ปัญหาเกี่ยวกับตั๋วลอตเตอรี (มีตั๋ว $k$ ที่ถูกรางวัลและ $n$ ที่ไม่ชนะในลอตเตอรี มีการซื้อตั๋ว $m$...)

บทความทางการศึกษาพร้อมตัวอย่าง

• จะค้นหาความน่าจะเป็นของปัญหาการโยนเหรียญได้อย่างไร?

ตัวอย่างคำตอบสำหรับความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก

ตัวอย่าง.ในโกศมีลูกบอลที่มีหมายเลข 10 ลูก โดยมีหมายเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 โดยหยิบลูกบอลออกมาหนึ่งลูก ความน่าจะเป็นที่จำนวนลูกบอลที่สุ่มออกมาไม่เกิน 10 เป็นเท่าไหร่?

สารละลาย.ให้จัดงาน ก= (จำนวนลูกบอลที่สุ่มออกมาไม่เกิน 10) จำนวนคดีที่เอื้อให้เกิดเหตุการณ์ กเท่ากับจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด ม=n=10. เพราะฉะนั้น, ร(ก)=1. เหตุการณ์ และเชื่อถือได้.

ตัวอย่าง.ในโกศมีลูกบอล 10 ลูก: สีขาว 6 ลูกและสีดำ 4 ลูก ลูกบอลสองลูกถูกนำออกมา ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองลูกเป็นสีขาวเป็นเท่าใด?

สารละลาย.คุณสามารถเอาลูกบอลสองลูกออกจากสิบได้หลายวิธีดังต่อไปนี้: .
จำนวนครั้งที่จะมีลูกบอลสีขาวสองลูกในสองลูกนี้คือ .
ความน่าจะเป็นที่ต้องการ
.

ตัวอย่าง.ในโกศมีลูกบอล 15 ลูก: สีขาว 5 ลูกและสีดำ 10 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีน้ำเงินออกจากโกศเป็นเท่าใด

สารละลาย.เนื่องจากไม่มีลูกบอลสีน้ำเงินอยู่ในโกศแล้ว ม=0, n=15. ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ ร=0. กิจกรรมจับสลากลูกบอลสีน้ำเงิน เป็นไปไม่ได้.

ตัวอย่าง.จั่วไพ่หนึ่งใบจากสำรับไพ่ 36 ใบ ความน่าจะเป็นที่ไพ่จะปรากฏในชุดหัวใจเป็นเท่าใด?

สารละลาย- จำนวนผลเบื้องต้น (จำนวนไพ่) n=36. เหตุการณ์ ก= (ลักษณะไพ่ชุดหัวใจ) จำนวนคดีที่สนับสนุนให้เกิดเหตุการณ์ ก, ม=9. เพราะฉะนั้น,
.