วิธีค้นหาความน่าจะเป็นของการดรอป พื้นฐานของความสมดุลของเกม: การสุ่มและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้น

ต้องการทราบอัตราต่อรองทางคณิตศาสตร์ของการเดิมพันของคุณที่จะประสบความสำเร็จหรือไม่? มีข่าวดีสำหรับคุณสองประการ ประการแรก: ในการคำนวณความสามารถข้ามประเทศ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณที่ซับซ้อนและใช้เวลามากนัก การใช้สูตรง่ายๆ ก็เพียงพอแล้วซึ่งจะใช้เวลาสองสามนาทีในการทำงาน ประการที่สอง: หลังจากอ่านบทความนี้แล้ว คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ธุรกรรมใดๆ ของคุณผ่านได้อย่างง่ายดาย

ในการพิจารณาความสามารถข้ามประเทศอย่างถูกต้อง คุณต้องดำเนินการสามขั้นตอน:

• คำนวณเปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามสำนักงานเจ้ามือรับแทง
• คำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้ข้อมูลทางสถิติด้วยตัวเอง
• ค้นหามูลค่าของการเดิมพัน โดยคำนึงถึงความน่าจะเป็นทั้งสองอย่าง

มาดูรายละเอียดแต่ละขั้นตอนกัน ไม่ใช่แค่ใช้สูตรเท่านั้น แต่ยังใช้ตัวอย่างด้วย

ผ่านอย่างรวดเร็ว

การคำนวณความน่าจะเป็นที่รวมอยู่ในอัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทง

ขั้นตอนแรกคือการหาความน่าจะเป็นที่เจ้ามือรับแทงเองประเมินโอกาสของผลลัพธ์นั้น ๆ เป็นที่ชัดเจนว่าเจ้ามือรับแทงไม่ได้กำหนดอัตราต่อรองเช่นนั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรต่อไปนี้:

ปบี=(1/K)*100%,

โดยที่ P B คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามสำนักงานของเจ้ามือรับแทง

K – อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าอัตราต่อรองสำหรับชัยชนะของลอนดอนอาร์เซนอลในการแข่งขันกับบาเยิร์นมิวนิกคือ 4 ซึ่งหมายความว่าเจ้ามือรับแทงจะประเมินความน่าจะเป็นที่จะชนะเป็น (1/4)*100%=25% หรือยอโควิชเล่นกับยูซนี่ ตัวคูณสำหรับชัยชนะของ Novak คือ 1.2 โอกาสของเขาคือ (1/1.2)*100%=83%

นี่คือวิธีที่เจ้ามือรับแทงประเมินโอกาสในการประสบความสำเร็จของผู้เล่นและทีมแต่ละคน เมื่อเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกแล้วเราก็ไปยังขั้นตอนที่สอง

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยผู้เล่น

ประเด็นที่สองของแผนของเราคือการประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยตัวเราเอง เนื่องจากเราไม่สามารถคำนึงถึงพารามิเตอร์ต่างๆ เช่น แรงจูงใจและโทนของเกมในทางคณิตศาสตร์ได้ เราจะใช้แบบจำลองที่เรียบง่ายและใช้เฉพาะสถิติจากการประชุมครั้งก่อนๆ ในการคำนวณความน่าจะเป็นทางสถิติของผลลัพธ์ เราใช้สูตร:

ปและ=(อืม/ม)*100%,

ที่ไหนปและ– ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามผู้เล่น;

UM – จำนวนการแข่งขันที่ประสบความสำเร็จซึ่งมีเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้น

M – จำนวนการแข่งขันทั้งหมด

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นเราขอยกตัวอย่าง แอนดี เมอร์เรย์ และราฟาเอล นาดาล ลงเล่น 14 นัดระหว่างกัน ใน 6 เกมนั้นมีทั้งหมดน้อยกว่า 21 เกม และใน 8 เกมนั้นมากกว่านั้น คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่นัดถัดไปจะเล่นด้วยผลรวมที่สูงกว่า: (8/14)*100=57% บาเลนเซียลงเล่น 74 นัดกับแอตเลติโกที่เมสตายา ซึ่งพวกเขาเก็บชัยชนะได้ 29 นัด ความน่าจะเป็นที่บาเลนเซียจะชนะ: (29/74)*100%=39%.

และเราเรียนรู้ทั้งหมดนี้ด้วยสถิติของเกมก่อนหน้าเท่านั้น! โดยปกติแล้ว จะไม่สามารถคำนวณความน่าจะเป็นดังกล่าวสำหรับทีมหรือผู้เล่นใหม่ได้ ดังนั้นกลยุทธ์การเดิมพันนี้จึงเหมาะสำหรับการแข่งขันที่ฝ่ายตรงข้ามพบกันมากกว่าหนึ่งครั้งเท่านั้น ตอนนี้เรารู้วิธีกำหนดเจ้ามือรับแทงและความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แล้ว และเรามีความรู้ทั้งหมดที่จะไปยังขั้นตอนสุดท้าย

การกำหนดมูลค่าของการเดิมพัน

มูลค่า (มูลค่า) ของการเดิมพันและความสามารถในการผ่านมีความเชื่อมโยงกันโดยตรง ยิ่งมูลค่าสูงเท่าใด โอกาสที่จะผ่านก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ค่าจะถูกคำนวณดังนี้:

วี=ปและ*K-100%,

โดยที่ V คือมูลค่า

P I – ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามนักเดิมพัน

K – อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าเราต้องการเดิมพันชัยชนะของมิลานในการแข่งขันกับโรม่า และเราคำนวณว่าความน่าจะเป็นที่ “แดง-ดำ” จะชนะคือ 45% เจ้ามือรับแทงเสนออัตราต่อรองให้เรา 2.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ การเดิมพันดังกล่าวจะมีคุณค่าหรือไม่? เราทำการคำนวณ: V=45%*2.5-100%=12.5% เยี่ยมเลย เรามีการเดิมพันที่คุ้มค่าพร้อมโอกาสผ่านที่ดี

มาดูอีกกรณีหนึ่ง มาเรีย ชาราโปวา พบกับ เปตรา ควิโตวา เราต้องการทำข้อตกลงเพื่อให้มาเรียชนะ ความน่าจะเป็นที่ตามการคำนวณของเราคือ 60% เจ้ามือรับแทงเสนอตัวคูณ 1.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ เรากำหนดค่า: V=60%*1.5-100=-10% อย่างที่คุณเห็น การเดิมพันนี้ไม่มีค่าและควรหลีกเลี่ยง

เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในความเป็นจริงหรือในจินตนาการของเราแบ่งได้เป็น 3 กลุ่ม เหล่านี้คือเหตุการณ์บางอย่างที่จะเกิดขึ้นแน่นอน เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ และเหตุการณ์สุ่ม ทฤษฎีความน่าจะเป็นศึกษาเหตุการณ์สุ่ม เช่น เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้ บทความนี้จะนำเสนอทฤษฎีสูตรความน่าจะเป็นโดยย่อและตัวอย่างการแก้ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งจะอยู่ในภารกิจที่ 4 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ระดับโปรไฟล์)

ทำไมเราต้องมีทฤษฎีความน่าจะเป็น?

ในอดีต ความจำเป็นในการศึกษาปัญหาเหล่านี้เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 ซึ่งเกี่ยวข้องกับการพัฒนาและความเป็นมืออาชีพของการพนันและการเกิดขึ้นของคาสิโน นี่เป็นปรากฏการณ์ที่แท้จริงที่ต้องอาศัยการศึกษาและวิจัยของตัวเอง

การเล่นไพ่ ลูกเต๋า และรูเล็ตสร้างสถานการณ์ที่อาจเกิดเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันในจำนวนจำกัด มีความจำเป็นต้องให้การประมาณการเชิงตัวเลขเกี่ยวกับความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

ในศตวรรษที่ 20 เห็นได้ชัดว่าวิทยาศาสตร์ที่ดูไร้สาระนี้มีบทบาทสำคัญในการทำความเข้าใจกระบวนการพื้นฐานที่เกิดขึ้นในพิภพเล็ก ๆ ทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ได้ถูกสร้างขึ้น

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น

วัตถุประสงค์ของการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นคือเหตุการณ์และความน่าจะเป็น หากเหตุการณ์มีความซับซ้อน ก็สามารถแบ่งออกเป็นองค์ประกอบง่ายๆ ได้ ซึ่งความน่าจะเป็นนั้นหาได้ง่าย

ผลรวมของเหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B หรือเหตุการณ์ A และ B ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน

ผลคูณของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ C ซึ่งหมายความว่าทั้งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เกิดขึ้น

เหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเข้ากันไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้

เหตุการณ์ A เรียกว่าเป็นไปไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นได้ เหตุการณ์ดังกล่าวมีสัญลักษณ์ระบุ

เหตุการณ์ A จะถูกเรียกว่าแน่นอนถ้ามันจะเกิดขึ้นแน่นอน เหตุการณ์ดังกล่าวมีสัญลักษณ์ระบุ

ให้แต่ละเหตุการณ์ A เชื่อมโยงกับตัวเลข P(A) จำนวน P(A) นี้เรียกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้

กรณีพิเศษที่สำคัญคือสถานการณ์เมื่อมีผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน และผลลัพธ์เหล่านี้เกิดขึ้นโดยพลการจากเหตุการณ์ A ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นสามารถป้อนได้โดยใช้สูตร ความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก สามารถพิสูจน์ได้ว่าในกรณีนี้มีคุณสมบัติตรงตามที่ 1-4

ปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ปรากฏในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นแบบดั้งเดิม งานดังกล่าวสามารถทำได้ง่ายมาก ปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นในเวอร์ชันสาธิตนั้นง่ายมาก ง่ายต่อการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดเขียนไว้ในเงื่อนไขที่ถูกต้อง

เราได้คำตอบโดยใช้สูตร

ตัวอย่างโจทย์จากการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เรื่องการหาความน่าจะเป็น

บนโต๊ะมีพาย 20 ชิ้น - กะหล่ำปลี 5 ชิ้น, แอปเปิ้ล 7 ชิ้นและข้าว 8 ชิ้น มาริน่าอยากจะเอาพายไป ความน่าจะเป็นที่เธอจะเอาเค้กข้าวเป็นเท่าไร?

สารละลาย.

มีผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้พอๆ กัน 20 รายการ กล่าวคือ มาริน่าสามารถรับพายใดก็ได้จาก 20 พาย แต่เราต้องประมาณความน่าจะเป็นที่มาริน่าจะเอาพายข้าว นั่นคือ โดยที่ A คือตัวเลือกของพายข้าว ซึ่งหมายความว่าจำนวนผลลัพธ์ที่ดี (ตัวเลือกพายกับข้าว) มีเพียง 8 เท่านั้น จากนั้นความน่าจะเป็นจะถูกกำหนดโดยสูตร:

เหตุการณ์อิสระ ตรงกันข้าม และโดยพลการ

อย่างไรก็ตาม เริ่มพบงานที่ซับซ้อนมากขึ้นในคลังงานที่เปิดอยู่ ดังนั้นให้เราดึงความสนใจของผู้อ่านไปยังประเด็นอื่น ๆ ที่ศึกษาในทฤษฎีความน่าจะเป็น

เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระจากกันหากความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าอีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นหรือไม่

เหตุการณ์ B คือเหตุการณ์ A ที่ไม่ได้เกิดขึ้น กล่าวคือ เหตุการณ์ B อยู่ตรงข้ามกับเหตุการณ์ A ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามมีค่าเท่ากับ 1 ลบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรง นั่นคือ .

ทฤษฎีบทการบวกและการคูณความน่าจะเป็น สูตร

สำหรับเหตุการณ์ตามอำเภอใจ A และ B ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์เหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นโดยไม่มีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมเช่น .

สำหรับเหตุการณ์อิสระ A และ B ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์เหล่านี้จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น เช่น ในกรณีนี้ .

ข้อความ 2 ข้อความสุดท้ายเรียกว่าทฤษฎีบทของการบวกและการคูณความน่าจะเป็น

การนับจำนวนผลลัพธ์ไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป ในบางกรณีจำเป็นต้องใช้สูตรเชิงผสม สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการนับจำนวนเหตุการณ์ที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการ บางครั้งการคำนวณประเภทนี้อาจกลายเป็นงานอิสระได้

นักเรียน 6 คนสามารถนั่งในที่นั่งว่าง 6 ที่นั่งได้กี่วิธี? นักเรียนคนแรกจะได้อันดับที่ 6 อย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ละตัวเลือกเหล่านี้สอดคล้องกับ 5 วิธีที่นักเรียนคนที่สองจะเข้าเรียน เหลือที่ว่าง 4 ที่สำหรับนักเรียนคนที่ 3, 3 ที่สำหรับคนที่สี่, 2 ที่ที่ 5 และที่ที่ 6 จะเป็นที่เดียวที่เหลืออยู่ หากต้องการค้นหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมด คุณต้องค้นหาผลิตภัณฑ์ซึ่งมีสัญลักษณ์ 6 แทน! และอ่านว่า "หกแฟคทอเรียล"

ในกรณีทั่วไป คำตอบสำหรับคำถามนี้จะได้รับจากสูตรสำหรับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n ตัว ในกรณีของเรา

ให้เราพิจารณาอีกกรณีหนึ่งกับนักเรียนของเรา นักเรียน 2 คนสามารถนั่งในที่นั่งว่าง 6 ที่นั่งได้กี่วิธี? นักเรียนคนแรกจะได้อันดับที่ 6 อย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ละตัวเลือกเหล่านี้สอดคล้องกับ 5 วิธีที่นักเรียนคนที่สองจะเข้าเรียน หากต้องการค้นหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมด คุณต้องค้นหาผลิตภัณฑ์

โดยทั่วไป คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้มาจากสูตรสำหรับจำนวนตำแหน่งขององค์ประกอบ n ตัวเหนือองค์ประกอบ k

ในกรณีของเรา.

และกรณีสุดท้ายในชุดนี้ คุณสามารถเลือกนักเรียน 3 คนจาก 6 คนได้กี่วิธี? นักเรียนคนแรกสามารถเลือกได้ 6 วิธี คนที่สอง - 5 วิธี คนที่สาม - สี่วิธี แต่ในบรรดาตัวเลือกเหล่านี้ นักเรียนสามคนเดียวกันจะปรากฏ 6 ครั้ง หากต้องการค้นหาจำนวนตัวเลือกทั้งหมด คุณต้องคำนวณค่า: โดยทั่วไปคำตอบสำหรับคำถามนี้จะได้รับจากสูตรสำหรับจำนวนการรวมกันขององค์ประกอบตามองค์ประกอบ:

ในกรณีของเรา.

ตัวอย่างการแก้ปัญหาจากการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดความน่าจะเป็น

ภารกิจที่ 1. จากการรวบรวมที่แก้ไขโดย ยาชเชนโก.

จานมีพาย 30 ชิ้น: 3 อันพร้อมเนื้อ 18 อันพร้อมกะหล่ำปลีและ 9 อันพร้อมเชอร์รี่ Sasha เลือกพายหนึ่งชิ้นโดยการสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาจะจบลงด้วยเชอร์รี่

.

คำตอบ: 0.3

ภารกิจที่ 2. จากการรวบรวมที่แก้ไขโดย ยาชเชนโก.

ในแต่ละชุดมีหลอดไฟ 1,000 ดวง โดยเฉลี่ยมีหลอดไฟเสีย 20 ดวง ค้นหาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟที่ถ่ายแบบสุ่มจากแบตช์จะใช้งานได้

วิธีแก้ไข: จำนวนหลอดไฟที่ใช้งานอยู่คือ 1,000-20=980 ความน่าจะเป็นที่หลอดไฟที่ถ่ายแบบสุ่มจากแบตช์จะใช้งานได้:

คำตอบ: 0.98.

ความน่าจะเป็นที่นักเรียน U จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 9 ข้อระหว่างการทดสอบคณิตศาสตร์คือ 0.67 ความน่าจะเป็นที่ ส. จะแก้โจทย์ถูกมากกว่า 8 ข้อ คือ 0.73 ค้นหาความน่าจะเป็นที่คุณจะแก้ปัญหา 9 ข้อได้อย่างถูกต้อง

ถ้าเราจินตนาการถึงเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายจุด 8 และ 9 ไว้ เราจะเห็นว่าเงื่อนไข “U. จะแก้ปัญหาได้ถูกต้อง 9 ข้อ” รวมอยู่ในเงื่อนไข “U. จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 8 ข้อ” แต่ไม่ใช้กับเงื่อนไข “ส. จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 9 ข้อ”

อย่างไรก็ตาม เงื่อนไข “U. จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 9 ข้อ” มีอยู่ในเงื่อนไข “U. จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องมากกว่า 8 ข้อ” ดังนั้นหากเรากำหนดเหตุการณ์: “U. จะแก้ปัญหา 9 ข้อได้อย่างถูกต้อง" - ผ่าน A, "U. จะแก้ปัญหาได้มากกว่า 8 ปัญหาอย่างถูกต้อง" - ผ่าน B, "U. จะแก้ปัญหาได้มากกว่า 9 ปัญหาอย่างถูกต้อง” ผ่าน C วิธีแก้ไขนั้นจะมีลักษณะดังนี้:

คำตอบ: 0.06.

ในการสอบเรขาคณิต นักเรียนจะตอบคำถามหนึ่งข้อจากรายการคำถามในข้อสอบ ความน่าจะเป็นที่ว่านี่คือคำถามตรีโกณมิติคือ 0.2 ความน่าจะเป็นที่เป็นคำถามเกี่ยวกับมุมภายนอกคือ 0.15 ไม่มีคำถามที่เกี่ยวข้องกับสองหัวข้อนี้พร้อมๆ กัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะได้รับคำถามจากหนึ่งในสองหัวข้อนี้ในการสอบ

ลองคิดดูว่าเรามีเหตุการณ์อะไรบ้าง เราได้รับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ นั่นคือคำถามจะเกี่ยวข้องกับหัวข้อ "ตรีโกณมิติ" หรือหัวข้อ "มุมภายนอก" ตามทฤษฎีบทความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ เราต้องหาผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ กล่าวคือ

คำตอบ: 0.35.

ภายในห้องสว่างไสวด้วยโคมไฟสามดวง ความน่าจะเป็นที่หลอดไฟ 1 ดวงจะดับภายในหนึ่งปีคือ 0.29 ค้นหาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟอย่างน้อยหนึ่งดวงจะไม่ดับในระหว่างปี

ลองพิจารณาเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ เรามีหลอดไฟสามหลอด ซึ่งแต่ละหลอดอาจจะดับหรือไม่แยกจากหลอดไฟอื่นก็ได้ เหล่านี้เป็นเหตุการณ์อิสระ

จากนั้นเราจะระบุตัวเลือกสำหรับเหตุการณ์ดังกล่าว ลองใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: - หลอดไฟเปิดอยู่ - หลอดไฟดับ และถัดจากนั้น เราจะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีเหตุการณ์อิสระสามเหตุการณ์ "หลอดไฟดับ", "หลอดไฟเปิดอยู่", "หลอดไฟเปิดอยู่" เกิดขึ้น: โดยที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "หลอดไฟเปิดอยู่" is on” คำนวณจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ “หลอดไฟไม่เปิด” กล่าวคือ .

โปรดทราบว่ามีเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เพียง 7 เหตุการณ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเรา ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์: .

คำตอบ: 0.975608.

คุณสามารถเห็นปัญหาอื่นในรูป:

ดังนั้นเราจึงเข้าใจว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นคืออะไร สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาที่คุณอาจพบในเวอร์ชัน Unified State Exam

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดสอบบางอย่างจะเท่ากับอัตราส่วน โดยที่:

จำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันของการทดสอบที่กำหนด ซึ่งจะเกิดขึ้น เหตุการณ์เต็มกลุ่ม;

จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เอื้อต่อกิจกรรม

ปัญหาที่ 1

โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 15 ลูก สีแดง 5 ลูก และสีดำ 10 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็น: a) สีขาว b) สีแดง c) สีดำ

สารละลาย: ข้อกำหนดเบื้องต้นที่สำคัญที่สุดสำหรับการใช้คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นคือ ความสามารถในการนับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด.

ในโกศมีลูกบอลทั้งหมด 15 + 5 + 10 = 30 ลูก และเห็นได้ชัดว่าข้อเท็จจริงต่อไปนี้เป็นจริง:

การรับลูกบอลใด ๆ ก็เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน (โอกาสที่เท่าเทียมกันผลลัพธ์)ในขณะที่ผลลัพธ์ ระดับประถมศึกษา และรูปแบบ เหตุการณ์เต็มกลุ่ม (เช่นผลการทดสอบลูกหนึ่งใน 30 ลูกจะถูกลบออกอย่างแน่นอน).

ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:

พิจารณาเหตุการณ์: - ลูกบอลสีขาวจะถูกดึงออกจากโกศ เหตุการณ์นี้ได้รับการสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น ดังนั้น ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวออกมาจากโกศ

น่าแปลกที่แม้ในงานง่าย ๆ ก็สามารถทำให้เกิดความไม่ถูกต้องอย่างร้ายแรงได้ หลุมพรางอยู่ที่นี่อยู่ที่ไหน? มันไม่ถูกต้องที่จะโต้แย้งที่นี่ “เนื่องจากครึ่งหนึ่งของลูกบอลเป็นสีขาว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาว » . คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นหมายถึง ประถมศึกษาผลลัพธ์และเศษส่วนต้องถูกเขียนลงไป!

สำหรับประเด็นอื่นๆ ให้พิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้ในทำนองเดียวกัน:

ลูกบอลสีแดงจะถูกดึงออกมาจากโกศ
- ลูกบอลสีดำจะถูกดึงออกมาจากโกศ

เหตุการณ์ได้รับผลสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 5 ประการ และเหตุการณ์หนึ่งได้รับผลสนับสนุนจากผลลัพธ์เบื้องต้น 10 ประการ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันคือ:

การตรวจสอบงานเซิร์ฟเวอร์หลายอย่างโดยทั่วไปนั้นดำเนินการโดยใช้ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อให้เกิดกลุ่มที่สมบูรณ์. ในกรณีของเรา เหตุการณ์ต่างๆ จะรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมของความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องจะต้องเท่ากับ 1:

มาตรวจสอบว่าสิ่งนี้เป็นจริงหรือไม่: นั่นคือสิ่งที่ฉันต้องการให้แน่ใจ

คำตอบ:

ในทางปฏิบัติ ตัวเลือกการออกแบบโซลูชัน "ความเร็วสูง" เป็นเรื่องปกติ:

รวม: 15 + 5 + 10 = 30 ลูกในโกศ ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีขาวออกมาจากโกศ
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีแดงออกจากโกศ
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีดำออกมาจากโกศ

คำตอบ:

ปัญหาที่ 2

ร้านค้าได้รับตู้เย็นจำนวน 30 ตู้ โดย 5 ตู้มีข้อบกพร่องจากการผลิต ตู้เย็นหนึ่งใบจะถูกสุ่มเลือก ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีข้อบกพร่องเป็นเท่าใด?

ปัญหา 3

ขณะกดหมายเลขโทรศัพท์ผู้สมัครสมาชิกลืมตัวเลขสองตัวสุดท้าย แต่จำไว้ว่าหนึ่งในนั้นคือศูนย์และอีกอันเป็นเลขคี่ ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาจะกดหมายเลขที่ถูกต้อง

บันทึก: 0 เป็นเลขคู่ (หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ)

สารละลาย: ก่อนอื่นเราจะหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด ตามเงื่อนไข ผู้สมัครสมาชิกจำได้ว่าตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์และอีกหลักหนึ่งเป็นเลขคี่ มีเหตุผลมากกว่าที่จะไม่แยกผมด้วย เชิงผสมและใช้ประโยชน์ วิธีการแสดงรายการผลลัพธ์โดยตรง . นั่นคือเมื่อทำการแก้ปัญหา เราเพียงเขียนชุดค่าผสมทั้งหมด:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

และเรานับผลลัพธ์ทั้งหมด: 10 ผลลัพธ์

ผลลัพธ์ที่ดีมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นคือตัวเลขที่ถูกต้อง

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่สมาชิกจะกดหมายเลขที่ถูกต้อง

คำตอบ: 0,1

งานขั้นสูงสำหรับโซลูชันอิสระ:

ปัญหาที่ 4

ผู้ใช้บริการลืมรหัส PIN สำหรับซิมการ์ดของเขา แต่จำไว้ว่ารหัสนั้นมี "ห้า" สามตัว และหนึ่งในตัวเลขนั้นอาจเป็น "เจ็ด" หรือ "แปด" ความน่าจะเป็นที่จะอนุมัติสำเร็จในการลองครั้งแรกคือเท่าใด

ที่นี่คุณยังสามารถพัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ที่สมาชิกจะถูกลงโทษในรูปแบบของรหัส puk แต่น่าเสียดายที่การให้เหตุผลจะอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทเรียนนี้

วิธีแก้ไขและคำตอบอยู่ด้านล่าง

บางครั้งการรวมรายการเข้าด้วยกันกลายเป็นงานที่ต้องใช้ความอุตสาหะมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี่เป็นกรณีถัดไปซึ่งไม่ใช่กลุ่มปัญหาที่ได้รับความนิยมน้อยกว่าที่มีการทอยลูกเต๋า 2 ลูก (ไม่บ่อย-มาก):

ปัญหาที่ 5

จงหาความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก จำนวนรวมจะเป็นดังนี้:

ก) ห้าคะแนน;

b) ไม่เกินสี่คะแนน

c) รวม 3 ถึง 9 คะแนน

สารละลาย: ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:

วิธีที่ด้านข้างของลูกเต๋าลูกที่ 1 สามารถหลุดออกมาได้ และด้วยวิธีต่างๆ ด้านข้างของลูกบาศก์ที่ 2 อาจหลุดออกมาได้ โดย กฎสำหรับการคูณชุดค่าผสม, ทั้งหมด: ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละหน้าของลูกบาศก์ที่ 1 สามารถสร้างคู่ที่สั่งได้ กับแต่ละขอบของลูกบาศก์ที่ 2 ให้เราตกลงกันว่าจะเขียนคู่ดังกล่าวให้อยู่ในรูป โดยที่ คือ เลขที่ปรากฏบนลูกเต๋าตัวที่ 1 และ คือ ตัวเลขที่ปรากฏบนลูกเต๋าตัวที่ 2

ตัวอย่างเช่น:

ลูกเต๋าลูกแรกได้ 3 แต้ม ลูกเต๋าลูกที่สองได้ 5 แต้ม รวมคะแนน: 3 + 5 = 8;
- ลูกเต๋าลูกแรกได้ 6 คะแนน ลูกที่สอง - 1 คะแนน ผลรวมคะแนน: 6 + 1 = 7;
- ทอยลูกเต๋าทั้งสองลูกได้ 2 แต้ม ผลรวม: 2 + 2 = 4

แน่นอนว่าจำนวนเงินที่น้อยที่สุดจะได้รับจากหนึ่งคู่ และจำนวนเงินที่ใหญ่ที่สุดคือ "หก" สองอัน

ก) พิจารณาเหตุการณ์: - เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก 5 แต้มจะปรากฏขึ้น มาเขียนและนับจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์นี้:

ทั้งหมด: 4 ผลลัพธ์ที่ดี ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

b) พิจารณากิจกรรม: - จะมีคะแนนปรากฏไม่เกิน 4 คะแนน นั่นคือ 2 หรือ 3 หรือ 4 คะแนน เราแสดงรายการและนับชุดค่าผสมที่ดีอีกครั้งฉันจะเขียนจำนวนคะแนนทั้งหมดทางด้านซ้ายและหลังเครื่องหมายทวิภาค - คู่ที่เหมาะสม:

ทั้งหมด: 6 ชุดค่าผสมที่ดี ดังนั้น:
- ความน่าจะเป็นที่จะทอยได้ไม่เกิน 4 แต้ม

c) พิจารณากิจกรรม: - จะมีการทอยคะแนน 3 ถึง 9 แต้ม ที่นี่คุณสามารถใช้ถนนตรงได้ แต่... ด้วยเหตุผลบางอย่างที่คุณไม่ต้องการ ใช่ มีบางคู่ระบุไว้แล้วในย่อหน้าก่อนๆ แต่ยังมีงานอีกมากที่ต้องทำ

วิธีที่ดีที่สุดในการดำเนินการคืออะไร? ในกรณีเช่นนี้ เส้นทางวงเวียนจะกลายเป็นเหตุผล ลองพิจารณาดู เหตุการณ์ตรงกันข้าม: - 2 หรือ 10 หรือ 11 หรือ 12 จุดจะปรากฏขึ้น

ประเด็นคืออะไร? เหตุการณ์ตรงกันข้ามได้รับการสนับสนุนจากคู่รักจำนวนน้อยกว่ามาก:

ทั้งหมด: 7 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้น้อยกว่าสามหรือมากกว่า 9 คะแนน

โดยเฉพาะผู้ที่มีวิจารณญาณสามารถลงรายการได้ทั้งหมด 29 คู่จึงจะเสร็จสิ้นการตรวจสอบ

คำตอบ:

ในปัญหาต่อไป เราจะทำซ้ำตารางสูตรคูณ:

ปัญหาที่ 6

จงหาความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก ผลคูณของแต้มจะเป็น:

ก) จะเท่ากับเจ็ด;

b) จะมีอย่างน้อย 20;

c) จะเท่ากัน

คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ปัญหาที่ 7

มีคน 3 คนเข้าไปในลิฟต์ของอาคาร 20 ชั้นที่ชั้น 1 และไปกันเถอะ ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) พวกเขาจะออกบนชั้นต่างๆ

b) สองคนจะออกจากชั้นเดียวกัน

c) ทุกคนจะลงที่ชั้นเดียวกัน

สารละลาย: ลองคำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด: วิธีที่ผู้โดยสารคนแรกจะออกจากลิฟต์ได้ และวิธี - ผู้โดยสารคนที่ 2 และวิธี - ผู้โดยสารคนที่สาม ตามกฎของการคูณของชุดค่าผสม: ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ นั่นคือ, ทั้งหมดชั้นทางออกบุคคลที่ 1 สามารถรวมกันได้ กับทุกๆชั้นทางออกบุคคลที่ 2 และ กับทุกๆชั้นทางออกบุคคลที่ 3

วิธีที่สองขึ้นอยู่กับ ตำแหน่งที่มีการทำซ้ำ:
- ใครก็ตามที่เข้าใจชัดเจนยิ่งขึ้น

ก) พิจารณาเหตุการณ์: - ผู้โดยสารจะลงจากชั้นต่างๆ มาคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ:
ผู้โดยสาร 3 คนบนชั้นต่างๆ สามารถออกได้โดยใช้วิธีการเหล่านี้ ทำเหตุผลของคุณเองตามสูตร

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:

ค) พิจารณาเหตุการณ์: - ผู้โดยสารจะลงจากชั้นเดียวกัน เหตุการณ์นี้มีผลลัพธ์ที่น่าพอใจ และตามคำจำกัดความดั้งเดิม ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน: .

เราเข้ามาจากประตูหลัง:

b) พิจารณาเหตุการณ์: - คนสองคนจะลงจากชั้นเดียวกัน (และด้วยเหตุนี้อันที่สามจึงอยู่อีกด้านหนึ่ง).

แบบฟอร์มกิจกรรม เต็มกลุ่ม (เราเชื่อว่าไม่มีใครหลับในลิฟต์และลิฟต์จะไม่ติด, ซึ่งหมายความว่า .

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ:

ดังนั้น, ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อตัวเป็นกลุ่มสมบูรณ์ไม่เพียงแต่จะสะดวก แต่ยังเป็นผู้ช่วยชีวิตที่แท้จริงอีกด้วย!

คำตอบ:

เมื่อคุณได้เศษส่วนจำนวนมาก แนวทางปฏิบัติที่ดีในการระบุค่าทศนิยมโดยประมาณ มักจะปัดเศษเป็นทศนิยม 2-3-4 ตำแหน่ง

เนื่องจากเหตุการณ์ของคะแนน "a", "be", "ve" ก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์จึงสมเหตุสมผลที่จะดำเนินการตรวจสอบการควบคุมและจะดีกว่าหากใช้ค่าโดยประมาณ:

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องตรวจสอบ

บางครั้งเนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษผลลัพธ์อาจเป็น 0.9999 หรือ 1.0001 ในกรณีนี้ค่าประมาณค่าใดค่าหนึ่งควร "ปรับ" เพื่อให้ผลรวมเป็นหน่วย "บริสุทธิ์"

ด้วยตนเอง:

ปัญหาที่ 8

มีการโยนเหรียญ 10 เหรียญ ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) เหรียญทั้งหมดจะแสดงหัว;

b) 9 เหรียญจะลงหัว และหนึ่งเหรียญจะลงก้อย

c) หัวจะปรากฏบนเหรียญครึ่งหนึ่ง

ปัญหาที่ 9

7 คนสุ่มนั่งบนม้านั่งเจ็ดที่นั่ง ความน่าจะเป็นที่คนสองคนจะสนิทกันเป็นเท่าใด?

สารละลาย: ไม่มีปัญหากับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
คน 7 คนสามารถนั่งบนม้านั่งได้หลายวิธี

แต่จะคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่ดีได้อย่างไร? สูตรจิ๊บจ๊อยไม่เหมาะสมและวิธีเดียวคือการให้เหตุผลเชิงตรรกะ ก่อนอื่น ให้เราพิจารณาสถานการณ์ที่ Sasha และ Masha อยู่ข้างๆ กันที่ขอบด้านซ้ายของม้านั่ง:

เห็นได้ชัดว่าลำดับมีความสำคัญ: Sasha สามารถนั่งทางซ้าย Masha ทางด้านขวาและในทางกลับกัน แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด - แต่ละในสองกรณีนี้ คนที่เหลือสามารถนั่งในที่นั่งว่างด้วยวิธีอื่นได้ การพูดแบบผสมผสาน Sasha และ Masha สามารถจัดเรียงใหม่ในตำแหน่งที่อยู่ติดกันได้ด้วยวิธีต่อไปนี้: และสำหรับการเรียงสับเปลี่ยนแต่ละครั้ง บุคคลอื่นสามารถจัดเรียงใหม่ได้หลายวิธี

ดังนั้นตามกฎของการคูณของการรวมกันผลลัพธ์ที่ดีจึงเกิดขึ้น

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ข้อเท็จจริงข้างต้นเป็นจริง แต่ละสถานที่ใกล้เคียงคู่:

เป็นที่น่าสังเกตว่าหากม้านั่งมี "โค้งมน" (เชื่อมต่อที่นั่งซ้ายและขวา)จากนั้นจะมีสถานที่ที่อยู่ติดกันคู่ที่เจ็ดเพิ่มเติมเกิดขึ้น แต่อย่าให้ฟุ้งซ่าน ตามหลักการเดียวกันของการคูณชุดค่าผสม เราได้ผลลัพธ์ที่น่าพอใจในจำนวนสุดท้าย:

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่บุคคลสองคนจะอยู่ใกล้เคียง

คำตอบ:

ปัญหาที่ 10

เรือสำราญสองลำ สีขาวและสีดำ ถูกสุ่มวางบนกระดานหมากรุกที่มี 64 เซลล์ มีโอกาสแค่ไหนที่พวกเขาจะไม่ "ตี" กัน?

อ้างอิง: กระดานหมากรุกมีขนาดเท่าสี่เหลี่ยม เรือขาวดำจะ "ตี" กันเมื่อพวกมันอยู่ในอันดับเดียวกันหรือในแนวดิ่งเดียวกัน

อย่าลืมวาดแผนผังกระดาน และดียิ่งขึ้นหากมีหมากรุกอยู่ใกล้ๆ การใช้เหตุผลบนกระดาษเป็นเรื่องหนึ่ง และอีกเรื่องหนึ่งเมื่อคุณจัดเรียงชิ้นส่วนด้วยมือของคุณเอง

ปัญหาที่ 11

ความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสี่ใบที่แจกจะมีหนึ่งเอซและคิงหนึ่งใบเป็นเท่าใด

ลองคำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด คุณสามารถนำไพ่ 4 ใบออกจากสำรับได้กี่วิธี? ทุกคนคงเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึง จำนวนชุดค่าผสม:
โดยใช้วิธีการเหล่านี้คุณสามารถเลือกไพ่ 4 ใบจากสำรับได้

ตอนนี้เราพิจารณาผลลัพธ์ที่ดี ตามเงื่อนไข ในการเลือกไพ่ 4 ใบ จะต้องมีเอซหนึ่งใบ คิงหนึ่งใบ และซึ่งไม่ได้ระบุเป็นข้อความธรรมดา – การ์ดอีกสองใบ:

วิธีแยกเอซหนึ่งตัว
วิธีที่คุณสามารถเลือกกษัตริย์ได้หนึ่งองค์

เราไม่รวมเอซและราชาจากการพิจารณา: 36 - 4 - 4 = 28

วิธีที่คุณสามารถแยกไพ่อีกสองใบออกมาได้

ตามกฎสำหรับการคูณชุดค่าผสม:
วิธีที่คุณสามารถดึงไพ่รวมกันที่ต้องการ (1st Ace และกษัตริย์องค์ที่ 1 และอีกสองใบ)

ให้ฉันแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายเชิงผสมของสัญกรณ์ในอีกทางหนึ่ง:
ทั้งหมดเอซรวมกัน กับทุกๆกษัตริย์และ กับแต่ละคู่ไพ่อื่นที่เป็นไปได้

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสี่ใบที่แจกจะมีหนึ่งเอซและคิงหนึ่งใบ

หากคุณมีเวลาและความอดทน ให้ลดเศษส่วนจำนวนมากให้มากที่สุด

คำตอบ:

งานที่ง่ายกว่าในการแก้ไขด้วยตัวเอง:

ปัญหาที่ 12

กล่องประกอบด้วยชิ้นส่วนคุณภาพ 15 ชิ้นและชิ้นส่วนที่ชำรุด 5 ชิ้น 2 ส่วนจะถูกลบออกโดยการสุ่ม

ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) ทั้งสองส่วนจะมีคุณภาพสูง

b) ส่วนหนึ่งจะมีคุณภาพสูงและส่วนหนึ่งจะมีข้อบกพร่อง

c) ทั้งสองส่วนมีข้อบกพร่อง

เหตุการณ์ตามรายการจะรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้นการตรวจสอบที่นี่จึงถือเป็นการแนะนำตัวมันเอง คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน โดยทั่วไปสิ่งที่น่าสนใจที่สุดเพิ่งเริ่มต้น!

ปัญหาที่ 13

นักเรียนรู้คำตอบของคำถามสอบ 25 ข้อจาก 60 ข้อ ความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านคือเท่าใดถ้าคุณต้องการตอบคำถามอย่างน้อย 2 ใน 3 ข้อ?

สารละลาย: ดังนั้น สถานการณ์จะเป็นดังนี้: ทั้งหมด 60 คำถาม โดย 25 คำถาม "ดี" และ 60 - 25 = 35 คำถาม "ไม่ดี" สถานการณ์ไม่ปลอดภัยและไม่เป็นผลดีต่อนักเรียน มาดูกันว่าโอกาสของเขาดีแค่ไหน:

วิธีที่คุณสามารถเลือก 3 คำถามจาก 60 ข้อ (จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด).

จะสอบผ่านต้องตอบข้อ 2 หรือ 3 คำถาม เราพิจารณาชุดค่าผสมที่เหมาะสม:

วิธีเลือกคำถาม “ดี” 2 ข้อ และอันหนึ่งคือ "ไม่ดี";

วิธีที่คุณสามารถเลือกคำถาม "ดี" ได้ 3 ข้อ

โดย กฎสำหรับการเพิ่มชุดค่าผสม:
วิธีที่คุณสามารถเลือกรวมคำถาม 3 ข้อที่เหมาะกับการสอบผ่าน (ไม่มีความแตกต่างกับคำถาม "ดี") สองหรือสามข้อ).

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:

คำตอบ:

ปัญหาที่ 14

ผู้เล่นโป๊กเกอร์จะได้รับไพ่ 5 ใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) ในบรรดาไพ่เหล่านี้จะมีแจ็คสิบคู่และแจ็คหนึ่งคู่
b) ผู้เล่นจะได้รับไพ่ฟลัช (ไพ่ 5 ใบในชุดเดียวกัน)
c) ผู้เล่นจะได้รับไพ่สี่ใบที่เหมือนกัน (ไพ่ 4 ใบที่มีมูลค่าเท่ากัน)

ชุดค่าผสมใดต่อไปนี้น่าจะได้รับมากที่สุด

! ความสนใจ!หากเงื่อนไขถามคำถามที่คล้ายกัน ให้ตอบคำถามนั้น จำเป็นให้คำตอบ
อ้างอิง : โดยทั่วไปแล้วโป๊กเกอร์จะเล่นโดยใช้สำรับไพ่ 52 ใบ ซึ่งมีไพ่ 4 ดอกตั้งแต่ไพ่สองใบไปจนถึงเอซ

โป๊กเกอร์เป็นเกมทางคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุด (ผู้ที่เล่นจะรู้ดี) ซึ่งคุณสามารถได้เปรียบอย่างเห็นได้ชัดเหนือคู่ต่อสู้ที่มีคุณสมบัติน้อยกว่า

โซลูชั่นและคำตอบ:

ภารกิจที่ 2: สารละลาย: 30 - 5 = 25 ตู้เย็นไม่มีตำหนิ

- ความน่าจะเป็นที่ตู้เย็นที่สุ่มเลือกไม่มีตำหนิ
คำตอบ :

ภารกิจที่ 4: สารละลาย: ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
วิธีที่คุณสามารถเลือกสถานที่ที่มีหมายเลขที่น่าสงสัยอยู่ และทุกๆจาก 4 ตำแหน่งนี้สามารถระบุได้ 2 หลัก (เจ็ดหรือแปด) ตามกฎของการคูณชุดค่าผสม จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด: .
อีกวิธีหนึ่ง วิธีแก้ปัญหาสามารถแสดงรายการผลลัพธ์ทั้งหมดได้ (โชคดีที่มีเพียงไม่กี่ผลลัพธ์):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

ผลลัพธ์ที่ดีมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น (รหัสพินที่ถูกต้อง)

ดังนั้น ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่สมาชิกเข้าสู่ระบบในครั้งแรก
คำตอบ :

ภารกิจที่ 6: สารละลาย

ภารกิจที่ 6:สารละลาย : ค้นหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
ตัวเลขสามารถปรากฏบนลูกเต๋า 2 ลูกได้หลายวิธี

ก) พิจารณาเหตุการณ์: - เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก ผลคูณของแต้มจะเท่ากับเจ็ด ไม่มีผลลัพธ์ที่น่าพอใจสำหรับเหตุการณ์นี้
, เช่น. เหตุการณ์นี้เป็นไปไม่ได้

b) พิจารณาเหตุการณ์: - เมื่อโยนลูกเต๋าสองลูกผลคูณของแต้มจะต้องมีอย่างน้อย 20 ผลลัพธ์ต่อไปนี้สนับสนุนเหตุการณ์นี้:

รวมทั้งหมด: 8

ตามคำจำกัดความคลาสสิก:

- ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

c) พิจารณาเหตุการณ์ตรงกันข้าม:

- ผลคูณของคะแนนจะเท่ากัน

- ผลคูณของแต้มจะเป็นคี่

เรามาดูผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นผลดีต่องานนี้กัน :

ทั้งหมด: 9 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ

ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:

เหตุการณ์ตรงกันข้ามจะรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้น:

- ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

คำตอบ :

ปัญหาที่ 8:สารละลาย วิธีที่ 2 เหรียญสามารถตกได้
อีกวิธีหนึ่ง: วิธีที่เหรียญ 1 ล้มได้และ วิธีที่เหรียญที่ 2 จะล้มได้และ … และ วิธีที่เหรียญ 10 ล้มได้ ตามกฎของการคูณการผสม 10 เหรียญสามารถล้มได้ วิธี
ก) พิจารณาเหตุการณ์: - เหรียญทั้งหมดจะแสดงหัว เหตุการณ์นี้สนับสนุนโดยผลลัพธ์เดียว ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: .
b) พิจารณาเหตุการณ์: - 9 เหรียญจะลงหัว และ 1 เหรียญจะลงก้อย
มีอยู่ เหรียญที่อาจตกลงบนหัว ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: .
c) พิจารณาเหตุการณ์: - หัวจะปรากฏบนเหรียญครึ่งหนึ่ง
มีอยู่ การผสมผสานที่เป็นเอกลักษณ์ของเหรียญห้าเหรียญที่สามารถลงหัวได้ ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:
คำตอบ:

ปัญหาที่ 10:สารละลาย : ลองคำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
วิธีวางเรือสองลำบนกระดาน
ตัวเลือกการออกแบบอื่น: วิธีเลือกกระดานหมากรุกสองช่องและ วิธีวางเรือขาวและเรือดำในทุกๆ จากกรณีปี 2559 ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด: .

ทีนี้มานับผลลัพธ์ที่พวกโกง "เอาชนะ" กัน ลองพิจารณาเส้นแนวนอนเส้นที่ 1 เห็นได้ชัดว่าสามารถวางตัวเลขไว้ในลักษณะใดก็ได้เช่น:

นอกจากนี้ยังสามารถจัดเรียงโกงใหม่ได้ ลองใส่เหตุผลในรูปแบบตัวเลข: วิธีที่คุณสามารถเลือกสองเซลล์ได้และ วิธีจัดเรียงเรือใหม่ในทุกๆจากทั้งหมด 28 คดี ทั้งหมด: ตำแหน่งที่เป็นไปได้ของตัวเลขในแนวนอน
การออกแบบเวอร์ชันสั้น: วิธีที่คุณสามารถวางเรือสีขาวและสีดำไว้ที่อันดับ 1

การให้เหตุผลข้างต้นถูกต้องแต่ละ แนวนอน ดังนั้นจำนวนชุดค่าผสมควรคูณด้วยแปด: . นอกจากนี้ เรื่องราวที่คล้ายกันนี้ถือเป็นเรื่องจริงสำหรับแนวดิ่งทั้งแปดแนว ลองคำนวณจำนวนรูปแบบทั้งหมดที่ชิ้นส่วน "ตี" กัน:

จากนั้นในเวอร์ชันที่เหลือของการจัดเรียง เรือจะไม่ "ตี" กัน:
4032 - 896 = 3136

ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:
- ความน่าจะเป็นที่เรือสีขาวและสีดำสุ่มบนกระดานจะไม่ "ตี" กัน

คำตอบ :

ปัญหาที่ 12:สารละลาย : ทั้งหมด: 15 + 5 = 20 ชิ้นส่วนในกล่อง คำนวณจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด:
เมื่อใช้วิธีการเหล่านี้ คุณสามารถนำ 2 ส่วนออกจากกล่องได้
ก) พิจารณาเหตุการณ์: - ส่วนที่สกัดออกมาทั้งสองจะมีคุณภาพสูง
โดยใช้วิธีการเหล่านี้คุณสามารถแยกส่วนคุณภาพได้ 2 ส่วน
ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:
b) พิจารณาเหตุการณ์: - ส่วนหนึ่งจะมีคุณภาพสูงและส่วนหนึ่งจะมีข้อบกพร่อง
วิธีที่คุณสามารถดึงส่วนคุณภาพออกมาได้ 1 ส่วนและมีข้อบกพร่อง 1 รายการ
ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
c) พิจารณาเหตุการณ์: - ส่วนที่ถอดออกมามีตำหนิทั้งสองชิ้น
เมื่อใช้วิธีการเหล่านี้ คุณสามารถถอดชิ้นส่วนที่ชำรุด 2 ชิ้นออกได้
ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
การตรวจสอบ: ลองคำนวณผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่รวมกันเป็นกลุ่มทั้งหมด: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องตรวจสอบ
คำตอบ:

และตอนนี้เรามาใช้เครื่องมือการเรียนรู้ที่คุ้นเคยและไร้ปัญหาในมือของเรากันดีกว่า เหตุการณ์เต็มกลุ่ม ซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าเมื่อโยนออกไป 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 คะแนนจะปรากฏขึ้นตามลำดับ

พิจารณาเหตุการณ์ - อย่างน้อยห้าแต้มจะปรากฏขึ้นอันเป็นผลมาจากการโยนลูกเต๋า เหตุการณ์นี้ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้สองประการ: (ม้วนที่ 5 หรือ 6 คะแนน)
- ความน่าจะเป็นที่การทอยลูกเต๋าจะส่งผลให้มีแต้มอย่างน้อยห้าแต้ม

ลองพิจารณาเหตุการณ์ที่จะทอยได้ไม่เกิน 4 แต้มแล้วหาความน่าจะเป็น ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:

บางทีผู้อ่านบางคนอาจยังไม่เข้าใจอย่างเต็มที่ แก่นแท้ความไม่เข้ากัน ลองคิดดูอีกครั้ง: นักเรียนไม่สามารถตอบคำถาม 2 ใน 3 ข้อได้ และในเวลาเดียวกันตอบคำถามทั้ง 3 ข้อ ดังนั้นเหตุการณ์จึงเข้ากันไม่ได้

ตอนนี้ใช้ คำจำกัดความแบบคลาสสิกเรามาค้นหาความน่าจะเป็นกันดีกว่า:

ความจริงในการผ่านการทดสอบนั้นแสดงเป็นจำนวนเงิน (ตอบ 2 ใน 3 คำถาม หรือสำหรับคำถามทั้งหมด). ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:
- ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะสอบผ่าน

โซลูชันนี้เทียบเท่ากันโดยสิ้นเชิง เลือกวิธีที่คุณชอบที่สุด

ปัญหาที่ 1

ร้านค้าได้รับสินค้าในกล่องจากคลังสินค้าขายส่งสี่แห่ง: สี่แห่งจากที่ 1, ห้าแห่งจากที่ 2, เจ็ดแห่งจากที่ 3 และสี่แห่งจากที่ 4 กล่องสำหรับขายจะถูกสุ่มเลือก ความน่าจะเป็นที่จะเป็นกล่องจากโกดังที่ 1 หรือ 3 เป็นเท่าใด

สารละลาย: รวมที่ร้านค้าได้รับ: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 กล่อง

ในงานนี้ จะสะดวกกว่าหากใช้วิธีการจัดรูปแบบ "เร็ว" โดยไม่ต้องเขียนเหตุการณ์ด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ตามคำจำกัดความคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นที่กล่องจากคลังสินค้าที่ 1 จะถูกเลือกขาย
- ความน่าจะเป็นที่กล่องจากโกดังที่ 3 จะถูกเลือกขาย

ตามทฤษฎีบทของการบวกเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:
- ความน่าจะเป็นที่กล่องจากคลังสินค้าที่หนึ่งหรือสามจะถูกเลือกเพื่อขาย

คำตอบ: 0,55

แน่นอนว่าปัญหาสามารถแก้ไขได้และผ่านพ้นไปได้ คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นโดยนับจำนวนผลลัพธ์ที่ดีโดยตรง (4 + 7 = 11) แต่วิธีที่พิจารณาก็ไม่แย่ไปกว่านั้น และชัดเจนยิ่งขึ้น

ปัญหาที่ 2

ในกล่องประกอบด้วยปุ่มสีแดง 10 ปุ่มและปุ่มสีน้ำเงิน 6 ปุ่ม ปุ่มสองปุ่มจะถูกลบออกโดยการสุ่ม ความน่าจะเป็นที่จะเป็นสีเดียวกันเป็นเท่าใด?

ในทำนองเดียวกัน - คุณสามารถใช้ที่นี่ กฎผลรวมเชิงผสมแต่เธอไม่มีทางรู้หรอก...จู่ๆก็มีคนลืมไป ถ้าอย่างนั้นทฤษฎีบทสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ก็จะช่วยได้!

เมื่อรู้ว่าความน่าจะเป็นสามารถวัดได้ ลองแสดงเป็นตัวเลขดู มีสามวิธีที่เป็นไปได้

ข้าว. 1.1. การวัดความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยสมมาตร

มีสถานการณ์ที่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มีความเป็นไปได้เท่าเทียมกัน เช่น เมื่อโยนเหรียญครั้งเดียว ถ้าเหรียญเป็นแบบมาตรฐาน ความน่าจะเป็นที่ “หัว” หรือ “ก้อย” จะปรากฏจะเท่ากัน กล่าวคือ P("หัว") = P("ก้อย") เนื่องจากเป็นไปได้เพียงสองผลลัพธ์เท่านั้น ดังนั้น P("heads") + P("tails") = 1 ดังนั้น P("heads") = P("tails") = 0.5

ในการทดลองที่ผลลัพธ์มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E, P (E) จะเท่ากับ:

ตัวอย่างที่ 1.1 เหรียญถูกโยนสามครั้ง ความน่าจะเป็นของสองหัวและหนึ่งหางเป็นเท่าใด?

ขั้นแรก เรามาค้นหาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: เพื่อให้แน่ใจว่าเราพบตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว เราจะใช้แผนผังต้นไม้ (ดูบทที่ 1 ส่วน 1.3.1)

มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากัน 8 รายการ ดังนั้น ความน่าจะเป็นคือ 1/8 เหตุการณ์ E - สองหัวและก้อย - เกิดขึ้น 3 ครั้ง นั่นเป็นเหตุผล:

ตัวอย่างที่ 1.2 แม่พิมพ์มาตรฐานจะทอยสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่คะแนนเป็น 9 ขึ้นไปเป็นเท่าใด

เรามาค้นหาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดกัน

ตารางที่ 1.2 จำนวนแต้มทั้งหมดที่ได้รับจากการทอยลูกเต๋าสองครั้ง

ดังนั้น ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 10 จาก 36 รายการ ผลรวมของคะแนนคือ 9 หรือเท่ากับ:

ความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยเชิงประจักษ์

ตัวอย่างเหรียญจากโต๊ะ 1.1 แสดงให้เห็นกลไกในการพิจารณาความน่าจะเป็นอย่างชัดเจน

เมื่อพิจารณาจากจำนวนการทดลองทั้งหมดที่ประสบความสำเร็จ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ต้องการจะถูกคำนวณดังนี้:

อัตราส่วนคือความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดผลลัพธ์บางอย่างในการทดลองที่ใช้เวลานานพอสมควร ความน่าจะเป็นจะคำนวณตามข้อมูลของการทดลองที่ดำเนินการ โดยอิงจากข้อมูลในอดีต

ตัวอย่างที่ 1.3 จากการทดสอบหลอดไฟฟ้าห้าร้อยหลอด 415 หลอดใช้งานได้นานกว่า 1,000 ชั่วโมง จากข้อมูลจากการทดลองนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าความน่าจะเป็นของการทำงานปกติของหลอดไฟประเภทนี้เป็นเวลานานกว่า 1,000 ชั่วโมงคือ:

บันทึก. การทดสอบมีลักษณะเป็นการทำลายล้าง ดังนั้นจึงไม่สามารถทดสอบหลอดไฟทั้งหมดได้ หากทดสอบหลอดไฟเพียงหลอดเดียว ความน่าจะเป็นจะเป็น 1 หรือ 0 (เช่น สามารถใช้งานได้นาน 1,000 ชั่วโมงหรือไม่) จึงต้องทำการทดลองซ้ำ

ตัวอย่างที่ 1.4 ในตาราง 1.3 แสดงข้อมูลเกี่ยวกับระยะเวลาการทำงานของผู้ชายที่ทำงานในบริษัท:

ตารางที่ 1.3. ประสบการณ์การทำงานของผู้ชาย

ความน่าจะเป็นที่บุคคลต่อไปที่ได้รับการว่าจ้างจากบริษัทจะทำงานเป็นเวลาอย่างน้อยสองปีคือเท่าใด:

สารละลาย.

ตารางแสดงให้เห็นว่าพนักงาน 38 คนจาก 100 คนทำงานในบริษัทมานานกว่าสองปี ความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์ที่พนักงานคนต่อไปจะอยู่กับบริษัทนานกว่าสองปีคือ:

ในเวลาเดียวกัน เราถือว่าพนักงานใหม่ "เป็นเรื่องปกติและสภาพการทำงานไม่เปลี่ยนแปลง

การประเมินความน่าจะเป็นเชิงอัตนัย

ในธุรกิจ สถานการณ์มักจะเกิดขึ้นเมื่อไม่มีความสมมาตร และไม่มีข้อมูลการทดลองเช่นกัน ดังนั้นการกำหนดความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ดีภายใต้อิทธิพลของมุมมองและประสบการณ์ของผู้วิจัยจึงเป็นเรื่องส่วนตัว

ตัวอย่างที่ 1.5

1. ผู้เชี่ยวชาญด้านการลงทุนประมาณการว่าความน่าจะเป็นที่จะทำกำไรในสองปีแรกคือ 0.6

2. การคาดการณ์ของผู้จัดการฝ่ายการตลาด: ความน่าจะเป็นที่จะขายผลิตภัณฑ์ได้ 1,000 หน่วยในเดือนแรกหลังจากปรากฏตัวในตลาดคือ 0.4

เนื่องจากหมวดหมู่ภววิทยาสะท้อนถึงขอบเขตของความเป็นไปได้ของการเกิดขึ้นของเอนทิตีใด ๆ ภายใต้เงื่อนไขใด ๆ ตรงกันข้ามกับการตีความทางคณิตศาสตร์และตรรกะของแนวคิดนี้ คณิตศาสตร์ภววิทยาไม่ได้เชื่อมโยงตัวเองกับภาระหน้าที่ของการแสดงออกเชิงปริมาณ ความหมายของ V. ถูกเปิดเผยในบริบทของการทำความเข้าใจระดับและธรรมชาติของการพัฒนาโดยทั่วไป

คำจำกัดความที่ยอดเยี่ยม

คำจำกัดความที่ไม่สมบูรณ์ ↓

ความน่าจะเป็น

แนวคิดที่แสดงลักษณะปริมาณ การวัดความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์บางอย่างจะเกิดขึ้น ณ จุดใดจุดหนึ่ง เงื่อนไข. ในทางวิทยาศาสตร์ ความรู้ มีการตีความของ V. อยู่สามแบบ แนวคิดคลาสสิกของ V. ซึ่งเกิดขึ้นจากคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์การพนันและการพัฒนาอย่างเต็มที่โดย B. Pascal, J. Bernoulli และ P. Laplace ถือว่าการชนะเป็นอัตราส่วนของจำนวนคดีที่น่าพึงพอใจต่อจำนวนรวมที่เป็นไปได้ที่เท่าเทียมกันทั้งหมด เช่น เมื่อโยนลูกเต๋าที่มี 6 เหลี่ยม แต่ละลูกเต๋าจะลงจอดด้วยค่า 1/6 เนื่องจากไม่มีฝ่ายใดได้เปรียบเหนืออีกฝ่าย ความสมมาตรของผลการทดลองดังกล่าวได้รับการพิจารณาเป็นพิเศษเมื่อจัดเกม แต่ค่อนข้างหายากในการศึกษาเหตุการณ์วัตถุประสงค์ในทางวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติ คลาสสิค การตีความของ V. ทำให้เกิดสถิติ แนวคิดของวีซึ่งอยู่บนพื้นฐานของความเป็นจริง การเฝ้าสังเกตการเกิดเหตุการณ์บางอย่างเป็นระยะเวลานาน ประสบการณ์ภายใต้เงื่อนไขที่แน่นอน การปฏิบัติยืนยันว่ายิ่งเหตุการณ์เกิดขึ้นบ่อยเพียงใด ระดับของความเป็นไปได้ตามวัตถุประสงค์ของการเกิดขึ้นก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้นในทางสถิติ การตีความของ V. ขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องความสัมพันธ์ ความถี่ซึ่งสามารถกำหนดได้จากการทดลอง V. ตามทฤษฎี แนวคิดนี้ไม่เคยเกิดขึ้นพร้อมกับความถี่ที่กำหนดเชิงประจักษ์ แต่เป็นพหูพจน์ ในกรณีที่มีความแตกต่างกันเล็กน้อยจากญาติ ความถี่ที่พบเป็นผลมาจากระยะเวลา การสังเกต นักสถิติหลายคนถือว่า V. เป็น "สองเท่า" หมายถึง ความถี่, ขอบจะถูกกำหนดทางสถิติ การศึกษาผลการสังเกต

หรือการทดลอง คำจำกัดความของ V. มีความสมจริงน้อยกว่าตามขีดจำกัดที่เกี่ยวข้อง ความถี่ของเหตุการณ์มวลชนหรือกลุ่มที่เสนอโดย R. Mises เพื่อเป็นการพัฒนาเพิ่มเติมของแนวทางความถี่ของ V. จึงมีการนำเสนอการตีความเชิงอารมณ์หรือเชิงปฏิเสธของ V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle) ตามการตีความนี้ V. กำหนดลักษณะของคุณสมบัติของการสร้างเงื่อนไขเป็นต้น การทดลอง. การติดตั้งเพื่อให้ได้ลำดับเหตุการณ์สุ่มขนาดใหญ่ มันเป็นทัศนคติที่ก่อให้เกิดทางกายภาพอย่างแน่นอน นิสัยหรือใจโอนเอียง V. ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ญาติ ความถี่

เชิงสถิติ การตีความของ V. ครอบงำการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ ความรู้ความเข้าใจเพราะมันสะท้อนถึงความเฉพาะเจาะจง ธรรมชาติของรูปแบบที่มีอยู่ในปรากฏการณ์มวลที่มีลักษณะสุ่ม ในด้านกายภาพ ชีวภาพ เศรษฐกิจ และประชากรศาสตร์ และกระบวนการทางสังคมอื่น ๆ จำเป็นต้องคำนึงถึงการกระทำของปัจจัยสุ่มหลายประการซึ่งมีความถี่คงที่ การระบุความถี่และปริมาณที่เสถียรเหล่านี้ การประเมินด้วยความช่วยเหลือของ V. ทำให้สามารถเปิดเผยความจำเป็นที่ทำให้เกิดการกระทำสะสมของอุบัติเหตุจำนวนมากได้ นี่คือจุดที่วิภาษวิธีของการเปลี่ยนโอกาสเป็นความจำเป็นพบการสำแดงของมัน (ดู F. Engels ในหนังสือ: K. Marx และ F. Engels, Works, vol. 20, pp. 535-36)

การใช้เหตุผลเชิงตรรกะหรืออุปนัยแสดงลักษณะความสัมพันธ์ระหว่างสถานที่และข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบไม่สาธิต และโดยเฉพาะอย่างยิ่งการให้เหตุผลเชิงอุปนัย สถานที่ของการปฐมนิเทศไม่เหมือนกับการหักล้างตรงที่ไม่รับประกันความจริงของข้อสรุป แต่เพียงทำให้เป็นไปได้มากขึ้นหรือน้อยลงเท่านั้น ความน่าเชื่อถือนี้ซึ่งมีการกำหนดสถานที่ไว้อย่างแม่นยำ บางครั้งสามารถประเมินได้โดยใช้ V ค่าของ V. นี้มักจะถูกกำหนดโดยการเปรียบเทียบ แนวคิด (มากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากับ) และบางครั้งก็เป็นตัวเลข ตรรกะ การตีความมักใช้ในการวิเคราะห์การใช้เหตุผลเชิงอุปนัยและสร้างระบบตรรกะความน่าจะเป็นต่างๆ (R. Carnap, R. Jeffrey) ในความหมาย แนวคิดเชิงตรรกะ V. มักถูกกำหนดให้เป็นระดับที่ข้อความหนึ่งได้รับการยืนยันจากข้อความอื่น (เช่น สมมติฐานจากข้อมูลเชิงประจักษ์)

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับการพัฒนาทฤษฎีการตัดสินใจและเกมที่เรียกว่า การตีความส่วนตัวของ V. แม้ว่า V. ในเวลาเดียวกันจะแสดงระดับศรัทธาของเรื่องและการเกิดขึ้นของเหตุการณ์บางอย่าง แต่ V. จะต้องเลือกเองในลักษณะที่สัจพจน์ของแคลคูลัสของ V. มีความพึงพอใจ ดังนั้น V. ด้วยการตีความดังกล่าวจึงแสดงถึงระดับของอัตนัยไม่มากนัก แต่เป็นศรัทธาที่สมเหตุสมผล ดังนั้นการตัดสินใจบนพื้นฐานของ V. จะมีเหตุผลเนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงจิตวิทยา ลักษณะและความโน้มเอียงของเรื่อง

ด้วยญาณวิทยา t.zr. ความแตกต่างระหว่างสถิติและตรรกะ และการตีความส่วนบุคคลของ V. คือถ้าสิ่งแรกแสดงลักษณะเฉพาะของคุณสมบัติวัตถุประสงค์และความสัมพันธ์ของปรากฏการณ์มวลที่มีลักษณะสุ่มแล้วสองตัวสุดท้ายจะวิเคราะห์คุณลักษณะของอัตนัยและความรู้ กิจกรรมของมนุษย์ภายใต้สภาวะที่ไม่แน่นอน

ความน่าจะเป็น

หนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของวิทยาศาสตร์ซึ่งแสดงลักษณะวิสัยทัศน์เชิงระบบพิเศษของโลก โครงสร้าง วิวัฒนาการ และความรู้ ความเฉพาะเจาะจงของมุมมองความน่าจะเป็นของโลกถูกเปิดเผยผ่านการรวมแนวคิดของการสุ่มความเป็นอิสระและลำดับชั้น (แนวคิดเกี่ยวกับระดับในโครงสร้างและการกำหนดระบบ) ไว้ในแนวคิดพื้นฐานของการดำรงอยู่

แนวคิดเกี่ยวกับความน่าจะเป็นมีต้นกำเนิดในสมัยโบราณและเกี่ยวข้องกับคุณลักษณะของความรู้ของเรา ในขณะที่การมีอยู่ของความรู้ความน่าจะเป็นได้รับการยอมรับ ซึ่งแตกต่างจากความรู้ที่เชื่อถือได้และจากความรู้เท็จ ผลกระทบของแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นต่อการคิดทางวิทยาศาสตร์และการพัฒนาความรู้นั้นเกี่ยวข้องโดยตรงกับการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นในฐานะวินัยทางคณิตศาสตร์ ต้นกำเนิดของหลักคำสอนทางคณิตศาสตร์เรื่องความน่าจะเป็นเกิดขึ้นตั้งแต่ศตวรรษที่ 17 ซึ่งเป็นช่วงที่มีการพัฒนาแกนกลางของแนวคิด ลักษณะเชิงปริมาณ (ตัวเลข) และการแสดงความคิดที่น่าจะเป็น

การประยุกต์ความน่าจะเป็นอย่างเข้มข้นเพื่อการพัฒนาความรู้ความเข้าใจเกิดขึ้นในครึ่งปีหลัง 19 - ชั้น 1 ศตวรรษที่ 20 ความน่าจะเป็นได้เข้าสู่โครงสร้างของวิทยาศาสตร์พื้นฐานแห่งธรรมชาติ เช่น ฟิสิกส์สถิติคลาสสิก พันธุศาสตร์ ทฤษฎีควอนตัม และไซเบอร์เนติกส์ (ทฤษฎีสารสนเทศ) ดังนั้น ความน่าจะเป็นจึงเป็นตัวกำหนดขั้นตอนดังกล่าวในการพัฒนาวิทยาศาสตร์ ซึ่งปัจจุบันได้รับการกำหนดให้เป็นวิทยาศาสตร์ที่ไม่ใช่แบบคลาสสิก เพื่อเปิดเผยความแปลกใหม่และคุณลักษณะของวิธีคิดความน่าจะเป็น จำเป็นต้องเริ่มจากการวิเคราะห์หัวข้อของทฤษฎีความน่าจะเป็นและรากฐานของการประยุกต์มากมาย ทฤษฎีความน่าจะเป็นมักถูกกำหนดให้เป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่มมวลภายใต้เงื่อนไขบางประการ ความสุ่มหมายความว่าภายในกรอบของลักษณะมวล การดำรงอยู่ของปรากฏการณ์พื้นฐานแต่ละปรากฏการณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับและไม่ได้ถูกกำหนดโดยการมีอยู่ของปรากฏการณ์อื่น ในเวลาเดียวกัน ธรรมชาติมวลของปรากฏการณ์เองก็มีโครงสร้างที่มั่นคงและมีความสม่ำเสมอบางประการ ปรากฏการณ์มวลถูกแบ่งออกเป็นระบบย่อยค่อนข้างเข้มงวด และจำนวนสัมพัทธ์ของปรากฏการณ์เบื้องต้นในแต่ละระบบย่อย (ความถี่สัมพัทธ์) มีความเสถียรมาก ความเสถียรนี้ถูกเปรียบเทียบกับความน่าจะเป็น ปรากฏการณ์มวลโดยรวมมีลักษณะเฉพาะด้วยการแจกแจงความน่าจะเป็น กล่าวคือ โดยการระบุระบบย่อยและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือภาษาของการแจกแจงความน่าจะเป็น ดังนั้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นจึงถูกกำหนดให้เป็นศาสตร์เชิงนามธรรมของการดำเนินการกับการแจกแจง

ความน่าจะเป็นทำให้เกิดความคิดทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับรูปแบบทางสถิติและระบบทางสถิติ อย่างหลังคือระบบที่เกิดจากเอนทิตีอิสระหรือกึ่งอิสระ โครงสร้างของมันมีลักษณะเฉพาะด้วยการแจกแจงความน่าจะเป็น แต่เป็นไปได้อย่างไรที่จะสร้างระบบจากหน่วยงานอิสระ? โดยปกติจะสันนิษฐานว่าสำหรับการก่อตัวของระบบที่มีลักษณะเฉพาะนั้นจำเป็นต้องมีการเชื่อมต่อที่เสถียรเพียงพอระหว่างองค์ประกอบที่ยึดระบบไว้ ความเสถียรของระบบสถิตินั้นเกิดจากการมีเงื่อนไขภายนอก สภาพแวดล้อมภายนอก ภายนอกมากกว่าแรงภายใน คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนั้นขึ้นอยู่กับการกำหนดเงื่อนไขสำหรับการก่อตัวของปรากฏการณ์มวลเริ่มต้นเสมอ แนวคิดที่สำคัญอีกประการหนึ่งที่แสดงถึงกระบวนทัศน์ความน่าจะเป็นคือแนวคิดเรื่องลำดับชั้น (การอยู่ใต้บังคับบัญชา) แนวคิดนี้เป็นการแสดงออกถึงความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะของแต่ละองค์ประกอบและคุณลักษณะเชิงบูรณาการของระบบ: อย่างหลังนั้นถูกสร้างขึ้นจากองค์ประกอบแรก

ความสำคัญของวิธีการความน่าจะเป็นในการรับรู้อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่ามันทำให้สามารถศึกษาและแสดงรูปแบบของโครงสร้างและพฤติกรรมของวัตถุและระบบที่มีโครงสร้าง "สองระดับ" แบบลำดับชั้นได้

การวิเคราะห์ลักษณะของความน่าจะเป็นนั้นขึ้นอยู่กับความถี่และการตีความทางสถิติ ในเวลาเดียวกัน เป็นเวลานานมากที่ความเข้าใจเกี่ยวกับความน่าจะเป็นดังกล่าวครอบงำในวิทยาศาสตร์ ซึ่งเรียกว่าความน่าจะเป็นเชิงตรรกะหรืออุปนัย ความน่าจะเป็นเชิงตรรกะมีความสนใจในคำถามเกี่ยวกับความถูกต้องของการตัดสินแยกกันของแต่ละบุคคลภายใต้เงื่อนไขบางประการ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะประเมินระดับการยืนยัน (ความน่าเชื่อถือ ความจริง) ของข้อสรุปเชิงอุปนัย (ข้อสรุปเชิงสมมุติ) ในรูปแบบเชิงปริมาณ ในระหว่างการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็น มีการพูดคุยถึงคำถามดังกล่าวซ้ำแล้วซ้ำอีก และพวกเขาเริ่มพูดคุยเกี่ยวกับระดับของการยืนยันข้อสรุปเชิงสมมุติ การวัดความน่าจะเป็นนี้กำหนดโดยข้อมูลที่มีให้กับบุคคลหนึ่งๆ ประสบการณ์ของเขา มุมมองต่อโลก และกรอบความคิดทางจิตวิทยา ในกรณีดังกล่าวทั้งหมด ขนาดของความน่าจะเป็นไม่สอดคล้องกับการวัดที่เข้มงวด และในทางปฏิบัติอยู่นอกเหนือความสามารถของทฤษฎีความน่าจะเป็นในฐานะที่เป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกัน

วัตถุประสงค์ การตีความความน่าจะเป็นบ่อยครั้งนั้นก่อตั้งขึ้นในทางวิทยาศาสตร์โดยมีปัญหาอย่างมาก ในขั้นต้น ความเข้าใจในธรรมชาติของความน่าจะเป็นได้รับอิทธิพลอย่างมากจากมุมมองทางปรัชญาและระเบียบวิธีซึ่งเป็นลักษณะของวิทยาศาสตร์คลาสสิก ในอดีต การพัฒนาวิธีการความน่าจะเป็นในฟิสิกส์เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลที่กำหนดของแนวคิดเรื่องกลศาสตร์: ระบบทางสถิติถูกตีความง่ายๆ ว่าเป็นกลไก เนื่องจากปัญหาที่เกี่ยวข้องไม่ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีกลศาสตร์ที่เข้มงวด จึงมีการยืนยันว่าการเปลี่ยนไปใช้วิธีความน่าจะเป็นและกฎทางสถิติเป็นผลมาจากความรู้ที่ไม่สมบูรณ์ของเรา ในประวัติศาสตร์ของการพัฒนาฟิสิกส์สถิติคลาสสิก มีการพยายามหลายครั้งเพื่อยืนยันมันบนพื้นฐานของกลศาสตร์คลาสสิก แต่ทั้งหมดกลับล้มเหลว พื้นฐานของความน่าจะเป็นคือการแสดงออกถึงคุณลักษณะเชิงโครงสร้างของระบบบางประเภท นอกเหนือจากระบบกลไก สถานะขององค์ประกอบของระบบเหล่านี้มีลักษณะเฉพาะคือความไม่เสถียรและลักษณะพิเศษของการโต้ตอบ (ไม่สามารถลดเป็นกลไกได้)

การเข้ามาของความน่าจะเป็นในความรู้นำไปสู่การปฏิเสธแนวคิดเรื่องการกำหนดระดับยาก ไปสู่การปฏิเสธแบบจำลองพื้นฐานของความเป็นอยู่และความรู้ที่พัฒนาขึ้นในกระบวนการการก่อตัวของวิทยาศาสตร์คลาสสิก แบบจำลองพื้นฐานที่แสดงโดยทฤษฎีทางสถิติมีลักษณะทั่วไปที่แตกต่างและกว้างกว่า: ซึ่งรวมถึงแนวคิดเรื่องการสุ่มและความเป็นอิสระ แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับการเปิดเผยพลวัตภายในของวัตถุและระบบซึ่งไม่สามารถกำหนดได้ทั้งหมดโดยเงื่อนไขและสถานการณ์ภายนอก

แนวความคิดเกี่ยวกับวิสัยทัศน์ที่น่าจะเป็นไปได้ของโลก ซึ่งมีพื้นฐานมาจากการทำให้แนวคิดเกี่ยวกับความเป็นอิสระสมบูรณ์ (ดังเช่นก่อนกระบวนทัศน์แห่งความมุ่งมั่นที่เข้มงวด) ได้เผยให้เห็นถึงข้อจำกัดของมัน ซึ่งสะท้อนให้เห็นอย่างชัดเจนที่สุดในการเปลี่ยนผ่านของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ไปสู่วิธีการวิเคราะห์เพื่อการศึกษา ระบบที่ซับซ้อนและรากฐานทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์การจัดระเบียบตนเอง

คำจำกัดความที่ยอดเยี่ยม

คำจำกัดความที่ไม่สมบูรณ์ ↓