ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ไม่ค่อยมีใครรู้จัก ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส: เรียนรู้สิ่งใหม่เกี่ยวกับทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง

19.10.2019

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่วางอยู่บนขา ( กและ ข) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ( ค).

สูตรทางเรขาคณิต:

ทฤษฎีบทถูกกำหนดไว้แต่เดิมดังนี้:

สูตรพีชคณิต:

นั่นคือ แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมด้วย คและความยาวของขาทะลุ กและ ข :

ก 2 + ข 2 = ค 2

สูตรของทฤษฎีบททั้งสองสูตรมีค่าเท่ากัน แต่สูตรที่สองนั้นเป็นสูตรพื้นฐานมากกว่า ไม่ต้องการแนวคิดเรื่องพื้นที่ กล่าวคือ ข้อความที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่ต้องรู้อะไรเลยเกี่ยวกับพื้นที่ และโดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

ทฤษฎีบทคอนเวิร์สพีทาโกรัส:

การพิสูจน์

ในขณะนี้ มีการบันทึกข้อพิสูจน์ 367 ข้อเกี่ยวกับทฤษฎีบทนี้ในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนที่น่าประทับใจเช่นนี้ ความหลากหลายดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น

แน่นอนว่าตามแนวคิดแล้วทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นคลาสจำนวนเล็กน้อยได้ สิ่งที่มีชื่อเสียงที่สุด: การพิสูจน์โดยวิธีพื้นที่, การพิสูจน์ตามสัจพจน์และแปลกใหม่ (เช่น การใช้สมการเชิงอนุพันธ์)

ผ่านรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

การพิสูจน์สูตรพีชคณิตต่อไปนี้เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายที่สุด ซึ่งสร้างขึ้นจากสัจพจน์โดยตรง โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูป

อนุญาต เอบีซีมีสามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมฉาก ค. ลองวาดความสูงจาก คและแสดงฐานด้วย ชม. สามเหลี่ยม เอซีเอชคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบีซีตรงสองมุม สามเหลี่ยมเช่นเดียวกัน ซีบีเอชคล้ายกัน เอบีซี. โดยการแนะนำสัญกรณ์

เราได้รับ

สิ่งที่เทียบเท่ากัน

เมื่อบวกกันแล้วเราก็จะได้

การพิสูจน์โดยใช้วิธีพื้นที่

ข้อพิสูจน์ด้านล่าง แม้จะดูเรียบง่าย แต่ก็ไม่ง่ายเลย พวกมันทั้งหมดใช้คุณสมบัติของพื้นที่ ซึ่งการพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเสียอีก

พิสูจน์ผ่านการเสริมสมมูล

ลองจัดเรียงสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันเท่ากันดังแสดงในรูปที่ 1
สี่เหลี่ยมที่มีด้านข้าง คเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ 90° และมุมตรงคือ 180°
ด้านหนึ่งมีพื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากันกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) และอีกด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูปและสองรูปภายใน สี่เหลี่ยม

Q.E.D.

การพิสูจน์ด้วยความเท่าเทียมกัน

หลักฐานที่หรูหราโดยใช้การเรียงสับเปลี่ยน

ตัวอย่างของข้อพิสูจน์ประการหนึ่งแสดงไว้ในภาพวาดด้านขวา โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากถูกจัดเรียงใหม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่สร้างอยู่บนขา

ข้อพิสูจน์ของยุคลิด

การวาดภาพเพื่อพิสูจน์ของ Euclid

ภาพประกอบหลักฐานของ Euclid

แนวคิดในการพิสูจน์ของ Euclid มีดังนี้ ลองพิสูจน์ว่าครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา และจากนั้นพื้นที่ของ สี่เหลี่ยมใหญ่และสี่เหลี่ยมเล็กสองอันมีค่าเท่ากัน

ลองดูภาพวาดทางด้านซ้าย บนนั้นเราสร้างสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากและดึงรังสี s จากจุดยอดของมุมฉาก C ซึ่งตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB มันตัดสี่เหลี่ยม ABIK ที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสี่เหลี่ยมสองอัน - BHJI และ HAKJ ตามลำดับ ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาที่สอดคล้องกันทุกประการ

ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม DECA เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม AHJK ในการทำเช่นนี้เราจะใช้การสังเกตเสริม: พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีความสูงและฐานเท่ากับ สี่เหลี่ยมที่กำหนดมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่เป็นผลมาจากการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง จากการสังเกตนี้เป็นไปตามว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHK (ไม่แสดงในรูป) ซึ่งจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม AHJK

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ DECA สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย สิ่งเดียวที่ต้องทำเพื่อสิ่งนี้คือการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ACK และ BDA (เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยม BDA เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมตามคุณสมบัติข้างต้น) ความเท่าเทียมกันนั้นชัดเจน สามเหลี่ยมทั้งสองข้างเท่ากันและมีมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น กล่าวคือ - AB=AK,AD=AC - ความเท่าเทียมกันของมุม CAK และ BAD นั้นพิสูจน์ได้ง่ายโดยวิธีการเคลื่อนที่: เราหมุนสามเหลี่ยม CAK 90° ทวนเข็มนาฬิกา จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมทั้งสองใน คำถามจะตรงกัน (เนื่องจากมุมที่จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90°)

เหตุผลสำหรับความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCFG และสี่เหลี่ยม BHJI นั้นคล้ายกันโดยสิ้นเชิง

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นประกอบด้วยพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา แนวคิดเบื้องหลังข้อพิสูจน์นี้แสดงให้เห็นเพิ่มเติมจากภาพเคลื่อนไหวด้านบน

หลักฐานของเลโอนาร์โด ดา วินชี

องค์ประกอบหลักของการพิสูจน์คือความสมมาตรและการเคลื่อนที่

ลองพิจารณาการวาดภาพตามที่เห็นได้จากความสมมาตรซึ่งเป็นส่วน คฉันตัดสี่เหลี่ยม กบีชมเจ เป็นสองส่วนที่เหมือนกัน (ตั้งแต่รูปสามเหลี่ยม กบีคและ เจชมฉันเท่ากันในการก่อสร้าง) เมื่อใช้การหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา เราจะเห็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แรเงา คกเจฉัน และ ชดีกบี . ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของร่างที่เราแรเงานั้นเท่ากับผลรวมของครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาและพื้นที่ของสามเหลี่ยมดั้งเดิม ในทางกลับกัน จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก บวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม ขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์เป็นหน้าที่ของผู้อ่าน

พิสูจน์ด้วยวิธีขั้นต่ำสุด

การพิสูจน์โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้มักมาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อดัง Hardy ซึ่งอาศัยอยู่ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20

ดูภาพวาดที่แสดงในภาพและสังเกตการเปลี่ยนแปลงด้านข้าง กเราสามารถเขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้สำหรับการเพิ่มขึ้นทีละน้อยได้ กับและ ก(ใช้ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม):

พิสูจน์ด้วยวิธีขั้นต่ำสุด

เราพบว่าใช้วิธีการแยกตัวแปร

นิพจน์ทั่วไปสำหรับการเปลี่ยนแปลงด้านตรงข้ามมุมฉากในกรณีที่เพิ่มขึ้นทั้งสองด้าน

เราได้รับการรวมสมการนี้และการใช้เงื่อนไขเริ่มต้น

ค 2 = ก 2 + ข 2 + ค่าคงที่

เราจึงได้คำตอบที่ต้องการ

ค 2 = ก 2 + ข 2 .

ตามที่เห็นได้ง่าย การพึ่งพากำลังสองในสูตรสุดท้ายปรากฏขึ้นเนื่องจากสัดส่วนเชิงเส้นระหว่างด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมกับส่วนที่เพิ่มขึ้น ในขณะที่ผลรวมสัมพันธ์กับส่วนที่เพิ่มขึ้นอย่างอิสระจากการเพิ่มขึ้นของขาต่างๆ

สามารถหาข้อพิสูจน์ที่ง่ายกว่านี้ได้หากเราถือว่าขาข้างใดข้างหนึ่งไม่มีส่วนเพิ่มขึ้น (ในกรณีนี้ ขาข้างหนึ่ง ข). จากนั้นสำหรับค่าคงที่อินทิเกรตที่เราได้รับ

รูปแบบและลักษณะทั่วไป

หากแทนที่จะสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราสร้างรูปอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกันที่ด้านข้าง ดังนั้นลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัสต่อไปนี้จะเป็นจริง: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของพื้นที่ของรูปที่คล้ายกันซึ่งสร้างที่ด้านข้างจะเท่ากับพื้นที่ของรูปที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากโดยเฉพาะอย่างยิ่ง:
- ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติที่สร้างบนขาเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก
- ผลรวมของพื้นที่ครึ่งวงกลมที่สร้างบนขา (ตามเส้นผ่านศูนย์กลาง) เท่ากับพื้นที่ของครึ่งวงกลมที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ตัวอย่างนี้ใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งของวงกลมสองวง และเรียกว่า ลูนูลาฮิปโปเครติก

เรื่องราว

ชูเป่ย 500–200 ปีก่อนคริสตกาล ด้านซ้ายเป็นคำจารึก: ผลรวมของกำลังสองของความยาวของความสูงและฐานคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

หนังสือจีนโบราณ Chu-pei พูดถึงสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่มีด้าน 3, 4 และ 5: หนังสือเล่มเดียวกันนี้มีภาพวาดที่ตรงกับหนึ่งในภาพวาดของเรขาคณิตฮินดูของ Bashara

คันทอร์ (นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ที่สุด) เชื่อว่าความเท่าเทียมกัน 3² + 4² = 5² ชาวอียิปต์ทราบอยู่แล้วเมื่อประมาณ 2300 ปีก่อนคริสตกาล e. ในสมัยกษัตริย์อาเมเนมเฮตที่ 1 (อ้างอิงจากปาปิรัส 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน) ตามคำกล่าวของคันทอร์ ฮาร์พีโดแนปต์หรือ "เครื่องดึงเชือก" ได้สร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5

มันง่ายมากที่จะทำซ้ำวิธีการก่อสร้าง ลองใช้เชือกยาว 12 ม. แล้วผูกแถบสีไว้ที่ระยะ 3 ม. จากปลายด้านหนึ่งและ 4 เมตรจากอีกด้านหนึ่ง มุมฉากจะอยู่ระหว่างด้านยาว 3 ถึง 4 เมตร Harpedonaptians อาจแย้งว่าวิธีการก่อสร้างของพวกเขากลายเป็นสิ่งฟุ่มเฟือยหากมีใครใช้ เช่น ไม้สี่เหลี่ยม ซึ่งช่างไม้ทุกคนใช้ แท้จริงแล้วภาพวาดของอียิปต์เป็นที่รู้จักกันดีซึ่งพบเครื่องมือดังกล่าวเช่นภาพวาดที่แสดงถึงการประชุมเชิงปฏิบัติการของช่างไม้

ค่อนข้างเป็นที่รู้จักมากขึ้นเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหมู่ชาวบาบิโลน ในข้อความหนึ่งย้อนหลังไปถึงสมัยฮัมมูราบีนั่นคือถึง 2,000 ปีก่อนคริสตกาล e. ให้การคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยประมาณ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าในเมโสโปเตเมียพวกเขาสามารถคำนวณด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างน้อยก็ในบางกรณี ในอีกด้านหนึ่ง จากระดับความรู้ในปัจจุบันเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของอียิปต์และบาบิโลน และในอีกด้านหนึ่ง จากการศึกษาเชิงวิพากษ์เกี่ยวกับแหล่งที่มาของกรีก Van der Waerden (นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์) ได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้:

วรรณกรรม

ในภาษารัสเซีย

สโกเปตส์ ซี.เอ.เพชรประดับทางเรขาคณิต ม., 1990
เอเลนสกี้ ชช.ตามรอยพีทาโกรัส ม., 1961
ฟาน เดอร์ แวร์เดน บี.แอล.วิทยาศาสตร์ตื่นตัว. คณิตศาสตร์ของอียิปต์โบราณ บาบิโลน และกรีซ ม., 1959
เกลเซอร์ จี.ไอ.ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ม., 1982
W. Litzman “ทฤษฎีบทพีทาโกรัส” M. , 1960
- เว็บไซต์เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มีการพิสูจน์จำนวนมากเนื้อหาที่นำมาจากหนังสือของ V. Litzmann ภาพวาดจำนวนมากถูกนำเสนอในรูปแบบของไฟล์กราฟิกแยกต่างหาก
ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสและบทของพีทาโกรัสมีสามบทจากหนังสือของ D.V. Anosov “ดูคณิตศาสตร์และบางสิ่งบางอย่างจากมัน”
เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์ G. Glaser นักวิชาการของ Russian Academy of Education, Moscow

เป็นภาษาอังกฤษ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ WolframMathWorld
Cut-The-Knot หัวข้อเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ข้อพิสูจน์ประมาณ 70 ข้อและข้อมูลเพิ่มเติมที่ครอบคลุม (ภาษาอังกฤษ)

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.

ทุกคนรู้จักทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาตั้งแต่สมัยเรียน นักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นได้พิสูจน์สมมติฐานที่ดีซึ่งคนจำนวนมากใช้อยู่ในปัจจุบัน กฎดำเนินไปดังนี้ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา เป็นเวลาหลายทศวรรษแล้วที่ไม่มีใครสามารถท้าทายกฎข้อนี้ได้ ท้ายที่สุดแล้วพีทาโกรัสใช้เวลานานในการบรรลุเป้าหมายเพื่อที่ผลภาพวาดจะเกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน

ท่อนเล็กๆ ของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งประดิษฐ์ขึ้นไม่นานหลังจากการพิสูจน์ พิสูจน์โดยตรงถึงคุณสมบัติของสมมติฐานที่ว่า “กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง” บรรทัดสองบรรทัดนี้ฝังอยู่ในความทรงจำของหลาย ๆ คน - จนถึงทุกวันนี้บทกวียังจำได้เมื่อทำการคำนวณ
ทฤษฎีบทนี้เรียกว่า "กางเกงพีทาโกรัส" เนื่องจากเมื่อวาดตรงกลางจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละด้าน ในลักษณะที่ปรากฏภาพวาดนี้มีลักษณะคล้ายกับกางเกง - จึงเป็นที่มาของสมมติฐาน
พีทาโกรัสภูมิใจกับทฤษฎีบทที่พัฒนาขึ้น เนื่องจากสมมติฐานนี้แตกต่างจากทฤษฎีที่คล้ายกันในเรื่องจำนวนหลักฐานสูงสุด สำคัญ: สมการนี้รวมอยู่ใน Guinness Book of Records เนื่องจากมีข้อพิสูจน์จริงถึง 370 ข้อ
สมมติฐานนี้ได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์และอาจารย์จำนวนมากจากประเทศต่างๆ ในหลาย ๆ ด้าน. โจนส์นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษได้ประกาศสมมติฐานดังกล่าวและพิสูจน์โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ในไม่ช้า
ปัจจุบันไม่มีใครรู้ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีธากอรัสเอง. ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับการพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ยังไม่เป็นที่รู้จักในทุกวันนี้ เชื่อกันว่าหลักฐานการวาดภาพของยุคลิดถือเป็นข้อพิสูจน์ของพีทาโกรัส อย่างไรก็ตาม นักวิทยาศาสตร์บางคนโต้แย้งกับข้อความนี้: หลายคนเชื่อว่า Euclid พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อย่างอิสระโดยไม่ได้รับความช่วยเหลือจากผู้สร้างสมมติฐาน
นักวิทยาศาสตร์ในปัจจุบันได้ค้นพบว่านักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ไม่ใช่คนแรกที่ค้นพบสมมติฐานนี้. สมการนี้เป็นที่รู้จักมานานก่อนที่จะค้นพบโดยพีทาโกรัส นักคณิตศาสตร์คนนี้ทำได้เพียงรวบรวมสมมติฐานใหม่เท่านั้น
พีทาโกรัสไม่ได้ตั้งชื่อสมการว่า “ทฤษฎีบทพีทาโกรัส”. ชื่อนี้ติดอยู่หลัง "loud two-liner" นักคณิตศาสตร์เพียงต้องการให้คนทั้งโลกรู้จักและใช้ความพยายามและการค้นพบของเขา
มอริตซ์ คันทอร์ นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ ค้นพบและเห็นบันทึกที่มีภาพวาดบนกระดาษปาปิรัสโบราณ. ไม่นานหลังจากนั้น คันทอร์ก็ตระหนักว่าทฤษฎีบทนี้เป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์ตั้งแต่ช่วง 2300 ปีก่อนคริสตกาล จากนั้นจึงไม่มีใครใช้ประโยชน์จากมันหรือพยายามพิสูจน์มัน
นักวิทยาศาสตร์ในปัจจุบันเชื่อว่าสมมติฐานนี้เป็นที่รู้จักในศตวรรษที่ 8 ก่อนคริสต์ศักราช. นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียในยุคนั้นค้นพบการคำนวณโดยประมาณของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก จริงอยู่ในขณะนั้นไม่มีใครสามารถพิสูจน์สมการได้อย่างแน่นอนโดยใช้การคำนวณโดยประมาณ
หลังจากพิสูจน์สมมติฐานแล้ว Bartel van der Waerden นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ก็สรุปข้อสรุปที่สำคัญได้: “ข้อดีของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกไม่ถือเป็นการค้นพบทิศทางและเรขาคณิต แต่เป็นเพียงเหตุผลเท่านั้น พีทาโกรัสมีสูตรคำนวณอยู่ในมือซึ่งมีพื้นฐานอยู่บนสมมติฐาน การคำนวณที่ไม่ถูกต้อง และแนวคิดที่คลุมเครือ อย่างไรก็ตาม นักวิทยาศาสตร์ที่มีความโดดเด่นสามารถแปลงมันให้เป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนได้”
กวีผู้มีชื่อเสียงกล่าวว่าในวันที่ค้นพบภาพวาดของเขาเขาได้สร้างความเสียสละอันทรงเกียรติให้กับวัว. หลังจากการค้นพบสมมติฐานนี้เอง ก็มีข่าวลือแพร่สะพัดว่าการบูชายัญวัวร้อยตัว “เดินเตร่ไปตามหน้าหนังสือและสิ่งพิมพ์ต่างๆ” จนถึงทุกวันนี้ มีเรื่องตลกที่ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา วัวทุกตัวก็กลัวการค้นพบครั้งใหม่นี้
ข้อพิสูจน์ว่าไม่ใช่พีทาโกรัสที่คิดบทกวีเกี่ยวกับกางเกงขึ้นมาเพื่อพิสูจน์ภาพวาดที่เขาหยิบยกขึ้นมา: ในช่วงชีวิตของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ยังไม่มีกางเกงเลย. พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นหลายทศวรรษต่อมา
ภาพสะท้อนของพีทาโกรัสเกี่ยวกับการปกครองของเขาเอง: ความลับของทุกสิ่งบนโลกนั้นอยู่ที่ตัวเลข. ท้ายที่สุด นักคณิตศาสตร์อาศัยสมมติฐานของเขาเอง ศึกษาคุณสมบัติของตัวเลข ระบุความสม่ำเสมอและความคี่ และสร้างสัดส่วน

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสามเหลี่ยมที่คุณได้รับนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมหนึ่งในสามมุมจะมีขนาด 90 องศาเสมอ

มุมขวาในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะแสดงด้วยไอคอนสี่เหลี่ยมจัตุรัส แทนที่จะเป็นเส้นโค้งที่แสดงถึงมุมเอียง

ติดป้ายด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมตั้งชื่อขาว่า "a" และ "b" (ขาเป็นด้านที่ตัดกันเป็นมุมฉาก) และด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น "c" (ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ใหญ่ที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งอยู่ตรงข้ามมุมขวา)

กำหนดว่าคุณต้องการหาด้านใดของสามเหลี่ยม.ทฤษฎีบทพีทาโกรัสช่วยให้คุณหาด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้ (หากทราบอีกสองด้านที่เหลือ) พิจารณาว่าจะต้องค้นหาด้านใด (a, b, c)

ตัวอย่างเช่น ให้ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 5 และให้ขาเท่ากับ 3 ในกรณีนี้ จำเป็นต้องหาขาที่สอง เราจะกลับมาที่ตัวอย่างนี้ในภายหลัง
หากไม่ทราบอีกสองด้าน คุณจะต้องค้นหาความยาวของด้านที่ไม่ทราบด้านใดด้านหนึ่งจึงจะสามารถประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน (หากคุณได้รับค่าของมุมเฉียงมุมใดมุมหนึ่ง)

แทนที่ค่าที่กำหนดให้กับคุณ (หรือค่าที่คุณพบ) ลงในสูตร a 2 + b 2 = c 2จำไว้ว่า a และ b เป็นขา และ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในตัวอย่างของเรา เขียน: 3² + b² = 5²

ยกกำลังสองแต่ละด้านที่รู้จักหรือทิ้งเลขยกกำลัง - คุณสามารถยกกำลังสองตัวเลขได้ในภายหลัง

ในตัวอย่างของเรา เขียน: 9 + b² = 25

แยกด้านที่ไม่ทราบออกจากด้านหนึ่งของสมการเมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้โอนค่าที่ทราบไปยังอีกด้านหนึ่งของสมการ หากคุณพบด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นก็แสดงว่าในทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นถูกแยกออกไปแล้วที่ด้านหนึ่งของสมการ (ดังนั้นคุณจึงไม่จำเป็นต้องทำอะไรเลย)

ในตัวอย่างของเรา ให้ย้าย 9 ไปทางด้านขวาของสมการเพื่อแยกค่า b² ที่ไม่รู้จัก คุณจะได้b² = 16

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการหลังจากที่คุณได้ค่าไม่ทราบค่า (กำลังสอง) อยู่ที่ด้านหนึ่งของสมการและมีค่าตัดแกน (ตัวเลข) อยู่ที่อีกด้านหนึ่ง

ในตัวอย่างของเรา b² = 16 หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการแล้วได้ b = 4 ดังนั้น ขาที่สองคือ 4

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตประจำวันของคุณเพราะสามารถนำไปใช้กับสถานการณ์ในทางปฏิบัติได้หลากหลาย เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เรียนรู้ที่จะจดจำสามเหลี่ยมมุมฉากในชีวิตประจำวัน - ในสถานการณ์ใดๆ ที่วัตถุสองชิ้น (หรือเส้น) ตัดกันเป็นมุมฉาก และวัตถุชิ้นที่สาม (หรือเส้น) เชื่อมต่อ (ในแนวทแยง) ด้านบนของวัตถุสองชิ้นแรก (หรือ เส้นตรง) คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อค้นหาด้านที่ไม่รู้จัก (หากทราบอีกสองด้านที่เหลือ)

ตัวอย่าง: ให้บันไดพาดพิงอาคาร ฐานบันไดอยู่ห่างจากฐานผนัง 5 เมตร ด้านบนของบันไดสูงจากพื้นดิน 20 เมตร (ขึ้นไปที่ผนัง) บันไดยาวเท่าไรคะ?
- “5 เมตรจากฐานกำแพง” หมายความว่า a = 5; “อยู่ห่างจากพื้นดิน 20 เมตร” หมายความว่า b = 20 (นั่นคือ คุณจะได้ขาสองข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากผนังของอาคารและพื้นผิวโลกตัดกันเป็นมุมฉาก) ความยาวของบันไดคือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งไม่ทราบ
  - ก² + b² = ค²
  - (5)² + (20)² = ซี²
  - 25 + 400 = ซี²
  - 425 = ซี²
  - ค = √425
  - ค = 20.6 ดังนั้นความยาวของบันไดโดยประมาณคือ 20.6 เมตร

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

สถาบันการศึกษาเทศบาลสถานศึกษาหมายเลข 1

รายงานในหัวข้อ: “พีทาโกรัสและทฤษฎีบทของเขา”

นักเรียนกลุ่ม 8 – 1, 2:

มินิทสกาย่า อี.พี.

ครู:

สควอร์ตโซวา เอ.เอส.

ชีวประวัติของพีทาโกรัส
ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบท
ตัวเลขพีทาโกรัส
การพิสูจน์ทฤษฎีบท (จากการพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดไปจนถึงที่ซับซ้อนที่สุด)

1. ชีวประวัติของพีทาโกรัส

นักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ พีทาโกรัส ถือกำเนิดขึ้น 570 พ.ศ บนเกาะซามอส พ่อของพีทาโกรัสคือมเนซาร์คัส ช่างตัดอัญมณี ไม่ทราบชื่อแม่ของพีทาโกรัส ตามคำให้การโบราณหลายฉบับ เด็กชายที่เกิดมาพร้อมกับความหล่อเหลา และในไม่ช้าก็แสดงความสามารถพิเศษของเขาออกมา ในบรรดาครูของพีทาโกรัสรุ่นเยาว์ ประเพณีจะตั้งชื่อผู้อาวุโสเฮอร์โมดามันทัสและฟีเรไคเดสแห่งซีรอส (แม้ว่าจะไม่มีความแน่ชัดแน่ชัดว่าเป็นเฮอร์โมดาแมนทัสและฟีเรไคเดสซึ่งเป็นครูคนแรกของพีทาโกรัส) พีธากอรัสรุ่นเยาว์ใช้เวลาทั้งวันอยู่ใกล้เท้าของเฮอร์โมดาแมนทัสผู้เฒ่า ฟังท่วงทำนองของซิทาราและเฮกซามิเตอร์ของโฮเมอร์ พีทาโกรัสยังคงหลงใหลในดนตรีและบทกวีของโฮเมอร์ผู้ยิ่งใหญ่มาตลอดชีวิต และเนื่องจากเป็นปราชญ์ที่ได้รับการยอมรับ รายล้อมไปด้วยกลุ่มสาวก พีธากอรัสจึงเริ่มต้นวันใหม่ด้วยการร้องเพลงบทหนึ่งของโฮเมอร์ เฟเรซิเดสเป็นนักปรัชญาและถือเป็นผู้ก่อตั้งโรงเรียนปรัชญาแห่งอิตาลี ดังนั้น หาก Hermodamant แนะนำ Pythagoras รุ่นเยาว์เข้าสู่แวดวงรำพึง Pherecydes ก็หันใจไปที่โลโก้ ฟีเรซิเดสกำกับการจ้องมองของพีทาโกรัสต่อธรรมชาติ และแนะนำให้เขาไปพบครูคนแรกและครูหลักในธรรมชาติของเขา แต่อาจเป็นไปได้ว่าในไม่ช้าจินตนาการอันไม่สงบของพีทาโกรัสรุ่นเยาว์ก็คับแคบใน Samos ตัวน้อยและเขาก็ไปที่มิเลทัสซึ่งเขาได้พบกับนักวิทยาศาสตร์อีกคน - ทาเลส ทาลีสแนะนำให้เขาไปอียิปต์เพื่อหาความรู้ ซึ่งพีธากอรัสทำ

ใน 548 พ.ศ พีธากอรัสมาถึงเมือง Naucratis ซึ่งเป็นอาณานิคมของชาวซาเมียนซึ่งมีคนหาที่พักพิงและอาหาร หลังจากศึกษาภาษาและศาสนาของชาวอียิปต์แล้วเขาก็เดินทางไปเมมฟิส แม้จะมีจดหมายแนะนำของฟาโรห์ แต่นักบวชเจ้าเล่ห์ก็ไม่รีบร้อนที่จะเปิดเผยความลับของพวกเขาต่อพีทาโกรัสโดยเสนอการทดสอบที่ยากลำบากแก่เขา แต่ด้วยความกระหายความรู้ พีทาโกรัสจึงเอาชนะพวกเขาทั้งหมด แม้ว่าตามการขุดค้น นักบวชชาวอียิปต์ไม่สามารถสอนเขาได้มากนัก เพราะ... ในเวลานั้น เรขาคณิตของอียิปต์เป็นวิทยาศาสตร์ประยุกต์ล้วนๆ (สนองความต้องการการนับและการวัดที่ดินในเวลานั้น) ดังนั้นเมื่อเรียนรู้ทุกสิ่งที่นักบวชมอบให้เขาแล้วเขาก็หนีจากพวกเขาและย้ายไปบ้านเกิดที่เฮลลาส อย่างไรก็ตาม หลังจากเสร็จสิ้นการเดินทางบางส่วนแล้ว พีทาโกรัสก็ตัดสินใจเดินทางทางบก ซึ่งในระหว่างนั้นเขาถูกกษัตริย์แคมบีซีสแห่งบาบิโลนจับตัวไป ซึ่งกำลังมุ่งหน้ากลับบ้าน ไม่จำเป็นต้องสร้างละครเกี่ยวกับชีวิตของพีธากอรัสในบาบิโลน เพราะ... ไซรัสผู้ปกครองผู้ยิ่งใหญ่ก็อดทนต่อเชลยทุกคน คณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลนได้รับการพัฒนามากขึ้นอย่างไม่ต้องสงสัย (ตัวอย่างนี้คือระบบตำแหน่งของแคลคูลัส) มากกว่าอียิปต์ และพีธากอรัสยังมีอะไรให้เรียนรู้อีกมาก แต่ใน 530 พ.ศ ไซรัสออกรณรงค์ต่อต้านชนเผ่าต่างๆ ในเอเชียกลาง และใช้ประโยชน์จากความวุ่นวายในเมือง Pythagoras จึงหนีไปยังบ้านเกิดของเขา และบนซามอสในเวลานั้นโพลีเครติสผู้เผด็จการก็ขึ้นครองราชย์ แน่นอน พีทาโกรัสไม่พอใจกับชีวิตของทาสในราชสำนัก และเขาก็ออกไปที่ถ้ำใกล้เกาะซามอส หลังจากหลายเดือนของการอ้างสิทธิ์จาก Polycrates พีทาโกรัสก็ย้ายไปที่ Croton ในเมืองโครตัน พีธากอรัสได้ก่อตั้งกลุ่มภราดรภาพทางศาสนาและจริยธรรม หรือคณะสงฆ์ที่เป็นความลับ (“พีทาโกรัส”) ซึ่งสมาชิกให้คำมั่นว่าจะเป็นผู้นำวิถีชีวิตที่เรียกว่าวิถีชีวิตพีทาโกรัส ในเวลาเดียวกันก็เป็นสหภาพทางศาสนา ชมรมการเมือง และสังคมวิทยาศาสตร์ ต้องบอกว่าหลักการบางอย่างที่พีทาโกรัสสั่งสอนนั้นสมควรที่จะเลียนแบบแม้ในตอนนี้

20 ปีผ่านไปแล้ว ชื่อเสียงของภราดรภาพแพร่กระจายไปทั่วโลก วันหนึ่ง ไซลอน เศรษฐีแต่ชั่วร้าย มาที่พีธากอรัส โดยต้องการเข้าร่วมเป็นภราดรภาพขณะเมาเหล้า เมื่อได้รับการปฏิเสธ Cylon ก็เริ่มต่อสู้กับ Pythagoras โดยใช้ประโยชน์จากการลอบวางเพลิงบ้านของเขา ในช่วงที่เกิดเพลิงไหม้ ชาวพีทาโกรัสช่วยชีวิตครูไว้ด้วยค่าใช้จ่ายของตัวเอง หลังจากนั้นพีทาโกรัสก็เศร้าโศกและฆ่าตัวตายในไม่ช้า

2. ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกล่าวไว้ : กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

มาเริ่มการทบทวนประวัติศาสตร์กับจีนโบราณกันดีกว่า . หนังสือคณิตศาสตร์ของ Chu-Pei ดึงดูดความสนใจเป็นพิเศษที่นี่ งานนี้พูดถึงสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่มีด้าน 3, 4 และ 5:

“ถ้ามุมฉากถูกแยกออกเป็นส่วนประกอบ เส้นที่เชื่อมปลายด้านข้างจะเป็น 5 เมื่อฐานเป็น 3 และความสูงเป็น 4”.

ใน หนังสือเล่มเดียวกันนี้มีภาพวาดที่สอดคล้องกับหนึ่งในภาพวาดเรขาคณิตฮินดูของบาชารา

คันทอร์(นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชั้นนำชาวเยอรมัน) เชื่อว่าความเท่าเทียมกัน

3² + 4² = 5²

เป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์แล้วประมาณ 2300 ปีก่อนคริสตกาล e. ในสมัยกษัตริย์อาเมเนมฮัตที่ 1 (อ้างอิงจากปาปิรัส 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน)

ตามคำกล่าวของคันทอร์ ฮาร์พีโดแนปต์หรือ "เครื่องดึงเชือก" ได้สร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5 วิธีการก่อสร้างสามารถทำซ้ำได้ง่ายมาก ลองใช้เชือกยาว 12 ม. แล้วผูกแถบสีไว้ที่ระยะ 3 ม. จากปลายด้านหนึ่งและ 4 เมตรจากอีกด้านหนึ่ง มุมฉากจะอยู่ระหว่างด้านยาว 3 ถึง 4 เมตร Harpedonaptians อาจแย้งว่าวิธีการก่อสร้างของพวกเขากลายเป็นสิ่งฟุ่มเฟือยหากมีใครใช้ เช่น ไม้สี่เหลี่ยม ซึ่งช่างไม้ทุกคนใช้ แท้จริงแล้วภาพวาดของอียิปต์เป็นที่รู้จักกันดีซึ่งพบเครื่องมือดังกล่าวเช่นภาพวาดที่แสดงถึงการประชุมเชิงปฏิบัติการของช่างไม้

ค่อนข้างเป็นที่รู้จักมากขึ้นเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหมู่ชาวบาบิโลน ในข้อความหนึ่งย้อนหลังไปถึงสมัยฮัมมูราบีนั่นคือถึง 2,000 ปีก่อนคริสตกาล e. ให้การคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยประมาณ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าในเมโสโปเตเมียพวกเขาสามารถคำนวณด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างน้อยก็ในบางกรณี ในด้านหนึ่ง จากระดับความรู้ในปัจจุบันเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของอียิปต์และบาบิโลน และอีกด้านหนึ่ง จากการศึกษาเชิงวิพากษ์จากแหล่งข้อมูลภาษากรีก ฟาน เดอร์ วอเดน(นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์) ได้ข้อสรุปดังนี้:

“ข้อดีของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกกลุ่มแรกๆ เช่น Thales, Pythagoras และ Pythagoreans ไม่ใช่การค้นพบคณิตศาสตร์ แต่เป็นการจัดระบบและการให้เหตุผล ในมือของพวกเขา สูตรการคำนวณที่มีพื้นฐานจากแนวคิดที่คลุมเครือกลายเป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน”

เรขาคณิตในหมู่ชาวฮินดู เช่นเดียวกับชาวอียิปต์และชาวบาบิโลน มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับลัทธิ มีความเป็นไปได้อย่างมากว่าทฤษฎีบทเรื่องกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นที่รู้จักในอินเดียแล้วประมาณศตวรรษที่ 18 ก่อนคริสต์ศักราช จ.

ตัวเลขพีทาโกรัส

ในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวเลขพีทาโกรัส (พีทาโกรัสสามเท่า) คือสิ่งอันดับของจำนวนเต็มสามตัวที่เป็นไปตามความสัมพันธ์พีทาโกรัส:

x 2 + ย 2 = z 2 .

ตั้งแต่สมการ x 2 + ย 2 = z 2 เป็นเนื้อเดียวกันเมื่อคูณ x, ยและ zสำหรับจำนวนเดียวกัน คุณจะได้สามเท่าของพีทาโกรัสอีก เรียกว่า เลขสามพีทาโกรัส ดั้งเดิม หากไม่สามารถรับได้ด้วยวิธีนี้ก็คือ - หมายเลขโคไพรม์.

สามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากับตัวเลขพีทาโกรัสคือ สี่เหลี่ยม . นอกจากนี้ สามเหลี่ยมใดๆ ก็ตามที่เป็นสามเหลี่ยมเฮโรเนียน ซึ่งก็คือสามเหลี่ยมที่มีด้านและพื้นที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด สิ่งที่ง่ายที่สุดคือ สามเหลี่ยมอียิปต์กับฝ่ายต่างๆ 3, 4 และ 5 (3 2 + 4 2 = 5 2 ).

สามเหลี่ยมพีทาโกรัสกำหนดจุดด้วยพิกัดตรรกยะบนวงกลมหน่วย x 2 + ย 2 = 1 .

จะเห็นได้ง่ายว่าในตรีโกณมิติดั้งเดิม ( x, ย, z) ตัวเลข xและ ยมีความเท่าเทียมกันที่แตกต่างกัน ทริปเปิลพีทาโกรัสดั้งเดิมใดๆ ( x, ย, z), ที่ไหน x- แปลก แต่ ย- แม้กระทั่งแสดงในรูปแบบที่ไม่ซ้ำใครสำหรับบางคน โคไพรม์ธรรมชาติตัวเลข ม > nของความเท่าเทียมกันที่แตกต่างกัน ในทางตรงกันข้าม คู่ใดๆ ดังกล่าวจะกำหนดสามเท่าของพีทาโกรัสดั้งเดิม

เลขสามเท่าของพีทาโกรัสบางตัว (เรียงลำดับจากน้อยไปมากของจำนวนสูงสุด โดยเน้นค่าดั้งเดิม): (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

แฝดพีทาโกรัสเป็นที่รู้จักมาเป็นเวลานานมาก ในสถาปัตยกรรมของศิลาหลุมศพเมโสโปเตเมียโบราณ พบสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่มีด้านขนาด 9, 12 และ 15 ศอก ปิรามิดของฟาโรห์สโนฟรู (ศตวรรษที่ XXVII ก่อนคริสต์ศักราช) ถูกสร้างขึ้นโดยใช้สามเหลี่ยมที่มีด้าน 20, 21 และ 29 รวมถึง 18, 24 และ 30 สิบศอกอียิปต์

ดูในพจนานุกรมอื่นๆ ด้วย:

ตัวเลขพีทาโกรัส- แฝดของจำนวนธรรมชาติ เช่น สามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นสัดส่วน (หรือเท่ากัน) กับตัวเลขเหล่านี้จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ตามทฤษฎีบทสนทนากับทฤษฎีบทพีทาโกรัส (ดูทฤษฎีบทพีทาโกรัส) เพราะสิ่งนี้ก็เพียงพอแล้วที่พวกเขาพอใจ ... (สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต).

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ขณะนี้มีบันทึกไว้ในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ 367 การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนที่น่าประทับใจเช่นนี้ ความหลากหลายดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น

ผ่านรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ป
สหรัฐอเมริกา เอบีซีมีสามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมฉาก ค. ลองวาดความสูงจาก คและแสดงฐานด้วย ชม. สามเหลี่ยม เอซีเอชคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบีซีตรงสองมุม สามเหลี่ยมเช่นเดียวกัน ซีบีเอชคล้ายกัน เอบีซี. โดยการแนะนำสัญกรณ์

เราได้รับ

สิ่งที่เทียบเท่ากัน

เมื่อบวกกันแล้วเราก็จะได้

การพิสูจน์โดยใช้วิธีพื้นที่

พิสูจน์ผ่านการเสริมสมมูล

ลองจัดเรียงสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันที่เท่ากัน
สี่เหลี่ยมที่มีด้านข้าง คเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ 90° และมุมตรงคือ 180°
ด้านหนึ่งมีพื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากันกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) และอีกด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสี่รูปและ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านใน

Q.E.D.

การพิสูจน์ด้วยความเท่าเทียมกัน

อี

การพิสูจน์อันสง่างามโดยใช้วิธีเรียงสับเปลี่ยน ตัวอย่างของข้อพิสูจน์ประการหนึ่งแสดงไว้ในภาพวาดด้านขวา โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากถูกจัดเรียงใหม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่สร้างอยู่บนขา

ข้อพิสูจน์ของยุคลิด

และ

ลองดูภาพวาดทางด้านขวา บนนั้นเราสร้างสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากและดึงรังสี s จากจุดยอดของมุมฉาก C ซึ่งตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB มันตัดสี่เหลี่ยม ABIK ที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสี่เหลี่ยมสองอัน - BHJI และ HAKJ ตามลำดับ ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาที่สอดคล้องกันทุกประการ

ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม DECA เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม AHJK ในการทำเช่นนี้เราจะใช้การสังเกตเสริม: พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีความสูงและฐานเท่ากับสี่เหลี่ยมที่กำหนดจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่เป็นผลมาจากการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง จากการสังเกตนี้เป็นไปตามว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHK (ไม่แสดงในรูป) ซึ่งจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม AHJK

ดี ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ DECA สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย สิ่งเดียวที่ต้องทำเพื่อสิ่งนี้คือการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ACK และ BDA (เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยม BDA เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมตามคุณสมบัติข้างต้น) ความเท่าเทียมกันนั้นชัดเจน สามเหลี่ยมทั้งสองข้างเท่ากันและมีมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น กล่าวคือ - AB = AK, AD = AC - ความเท่าเทียมกันของมุม CAK และ BAD นั้นพิสูจน์ได้ง่ายโดยวิธีการเคลื่อนที่: เราหมุนสามเหลี่ยม CAK 90° ทวนเข็มนาฬิกา จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมทั้งสองใน คำถามจะตรงกัน (เนื่องจากมุมที่จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90°)

การพิสูจน์ เลโอนาร์โด ดา วินชี

ช

องค์ประกอบหลักของการพิสูจน์คือความสมมาตรและการเคลื่อนที่

ลองพิจารณาการวาดภาพตามที่เห็นได้จากความสมมาตรซึ่งเป็นส่วน ซีไอตัดสี่เหลี่ยม เอบีเอชเจเป็นสองส่วนที่เหมือนกัน (ตั้งแต่รูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ เจเอชไอเท่ากันในการก่อสร้าง) เมื่อใช้การหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา เราจะเห็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แรเงา คาจิและ จีดีบี. ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของร่างที่เราแรเงานั้นเท่ากับผลรวมของครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาและพื้นที่ของสามเหลี่ยมดั้งเดิม ในทางกลับกัน จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก บวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม ขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์เป็นหน้าที่ของคุณ

กับ

การพิสูจน์ต่อไปนี้โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์มักมาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้โด่งดัง ฮาร์ดีซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20

พิสูจน์ด้วยวิธีขั้นต่ำสุด

เราพบว่าใช้วิธีการแยกตัวแปร

เราได้รับการรวมสมการนี้และการใช้เงื่อนไขเริ่มต้น

ค 2 = ก 2 + ข 2 + ค่าคงที่

เราจึงได้คำตอบที่ต้องการ

ค 2 = ก 2 + ข 2 .

การพิสูจน์ที่ง่ายที่สุด

การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ง่ายที่สุดนั้นได้ในกรณีที่ง่ายที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ในความเป็นจริง แค่ดูโมเสกของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วก็เพียงพอแล้วที่จะมั่นใจในความถูกต้องของทฤษฎีบท ตัวอย่างเช่น สำหรับสามเหลี่ยม ABC: สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC มีสามเหลี่ยมดั้งเดิม 4 รูป และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ด้านข้างมี 2 รูป

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
พิสูจน์โดยวิธีการสลายตัว

มีข้อพิสูจน์หลายประการเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนขาและด้านตรงข้ามมุมฉากถูกตัดออก เพื่อให้แต่ละส่วนของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากสอดคล้องกับส่วนหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอันใดอันหนึ่งที่สร้างขึ้นบนขา ในกรณีทั้งหมดเหล่านี้ การดูภาพวาดเพียงครั้งเดียวก็เพียงพอแล้วที่จะเข้าใจข้อพิสูจน์ การให้เหตุผลในที่นี้จำกัดอยู่เพียงคำเดียว: “ดูสิ!” ดังที่เคยทำในงานเขียนของนักคณิตศาสตร์ฮินดูโบราณ อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าในความเป็นจริงแล้ว การพิสูจน์ไม่สามารถถือว่าสมบูรณ์ได้จนกว่าเราจะพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของส่วนที่เกี่ยวข้องทั้งหมดแล้ว ซึ่งแทบจะทำได้ค่อนข้างง่ายเสมอไป แต่ (โดยเฉพาะที่มีชิ้นส่วนจำนวนมาก) ก็ต้องอาศัยการทำงานค่อนข้างมาก

ข้อพิสูจน์ของเอพสเตน

เริ่มจากหลักฐานกันก่อน เอปสเตน; ข้อดีของมันคือสามเหลี่ยมที่นี่ปรากฏเป็นส่วนประกอบของการสลายตัวเท่านั้น เพื่อให้เข้าใจถึงการวาดภาพโปรดทราบว่าสายซีดีตรง ตั้งฉากกับเส้นตรง EF

การสลายตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมสามารถทำให้มองเห็นได้ชัดเจนกว่าในรูป

ดี การเรนเดอร์ของ Nielsen

ในรูปเส้นเสริมได้รับการแก้ไขตามที่แนะนำโดย นีลเซ่น.

ดี การเรนเดอร์ของ Boettcher

ในรูปแสดงการสลายตัวที่ชัดเจนมาก เบตเธอร่า.

หลักฐานของเพริกัล

ใน หนังสือเรียนมักมีการสลายตัวดังรูป (เรียกว่า “กงล้อมีคม” ซึ่งพบหลักฐานนี้โดย เพอริกัล). เราวาดเส้นตรงขนานและตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากผ่านจุดศูนย์กลาง O ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนขาที่ใหญ่กว่า ความสอดคล้องของส่วนต่างๆ ของภาพจะมองเห็นได้ชัดเจนจากภาพวาด

ข้อพิสูจน์ของกูเธล

และ การสลายตัวที่แสดงในรูปเป็นของ Gutheil มันโดดเด่นด้วยการจัดเรียงภาพของแต่ละส่วนซึ่งช่วยให้คุณเห็นได้ทันทีว่ากรณีของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วจะง่ายขึ้นอย่างไร

หลักฐานจากคริสต์ศตวรรษที่ 9

ร ก่อนหน้านี้ มีเพียงข้อพิสูจน์ดังกล่าวเท่านั้นที่ถูกนำเสนอ โดยด้านหนึ่งเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนขาอีกด้านหนึ่ง ประกอบด้วยส่วนเท่าๆ กัน การพิสูจน์ดังกล่าวเรียกว่าการพิสูจน์โดยการบวก ("การพิสูจน์เพิ่มเติม") หรือโดยทั่วไปคือ การพิสูจน์โดยการสลายตัว จนถึงขณะนี้ เราได้ดำเนินการจากการจัดเรียงสี่เหลี่ยมตามปกติซึ่งสร้างบนด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยม นั่นคือ ด้านนอกรูปสามเหลี่ยม อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แตกต่างกันจะมีประโยชน์มากกว่า

ในรูป สี่เหลี่ยมที่สร้างไว้บนขาจะวางเป็นขั้นๆ โดยอันหนึ่งอยู่ติดกัน ตัวเลขนี้ซึ่งปรากฏในหลักฐานย้อนหลังไปถึงช่วงคริสตศตวรรษที่ 9 ก. พวกอินเดียนแดงเรียก "เก้าอี้เจ้าสาว". วิธีสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นชัดเจนจากภาพวาด ส่วนทั่วไปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่สร้างบนขาและสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากคือเพนตากอนสีเทาที่ไม่ปกติ 5 เมื่อติดสามเหลี่ยม 1 และ 2 เข้ากับมัน เราจะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสองอันที่ขา ถ้าเราแทนที่สามเหลี่ยม 1 และ 2 ด้วยสามเหลี่ยม 3 และ 4 ที่เท่ากัน เราจะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างจากด้านตรงข้ามมุมฉาก รูปภาพด้านล่างแสดงการจัดเรียงที่แตกต่างกันสองแบบซึ่งใกล้เคียงกับการจัดวางในภาพแรก

หลักฐานเพิ่มเติม

พิสูจน์อย่างหนึ่ง

เอ็น นอกจากการพิสูจน์โดยใช้วิธีการบวกแล้ว คุณยังสามารถยกตัวอย่างการพิสูจน์โดยใช้การลบ หรือที่เรียกว่าการพิสูจน์ด้วยวิธีบวกได้ แนวคิดทั่วไปของการพิสูจน์ดังกล่าวมีดังนี้

จากพื้นที่ที่เท่ากันสองแห่ง คุณต้องลบส่วนที่เท่ากัน เพื่อว่าในกรณีหนึ่ง คุณจะเหลือสี่เหลี่ยมสองอันที่สร้างอยู่บนขา และอีกอันคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ท้ายที่สุดหากอยู่ในความเท่าเทียมกัน

B – A = C และ B 1 - A 1 = C 1

ส่วนหนึ่ง กส่วนที่เท่ากัน ก 1 และส่วนหนึ่ง ในขนาดเท่ากัน ใน 1 จากนั้นชิ้นส่วน กับและ กับ 1 ขนาดเท่ากันอีกด้วย

ลองอธิบายวิธีนี้ด้วยตัวอย่าง ในรูป สำหรับรูปพีทาโกรัสปกตินั้น สามเหลี่ยม 2 และ 3 จะถูกแนบไว้ด้านบนและด้านล่าง ซึ่งเท่ากับสามเหลี่ยมเดิม 1 เส้นตรง DG จะต้องผ่าน C ตอนนี้เราสังเกตว่า (เราจะพิสูจน์สิ่งนี้ในภายหลัง) ว่ารูปหกเหลี่ยม DABGFE และ CAJKHB คือ ขนาดเท่ากัน ถ้าเราลบสามเหลี่ยม 1 และ 2 จากรูปแรก เราจะเหลือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างอยู่บนขา และถ้าเราลบสามเหลี่ยม 1 และ 3 ที่เท่ากันออกจากรูปหกเหลี่ยมที่สอง เราก็จะเหลือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างอยู่บน ด้านตรงข้ามมุมฉาก จากนี้ไป สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา

ยังคงต้องพิสูจน์ว่ารูปหกเหลี่ยมของเรามีขนาดเท่ากัน โปรดทราบว่าเส้น DG แบ่งรูปหกเหลี่ยมด้านบนออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน เช่นเดียวกันอาจกล่าวได้เกี่ยวกับเส้นตรง CK และรูปหกเหลี่ยมด้านล่าง ลองหมุน DABG รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของ DABGFE หกเหลี่ยม รอบจุด A ตามเข็มนาฬิกาที่มุม 90 จากนั้นจะตรงกับรูปสี่เหลี่ยม CAJK ซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของรูปหกเหลี่ยม CAJKHB ดังนั้น รูปหกเหลี่ยม DABGFE และ CAJKHB จึงมีขนาดเท่ากัน

พิสูจน์ด้วยการลบอีก

ป ลองดูข้อพิสูจน์อื่นโดยใช้วิธีการลบ ขอให้เราแนบภาพวาดทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่คุ้นเคยไว้ในกรอบสี่เหลี่ยม ซึ่งทิศทางของด้านข้างตรงกับทิศทางของขาของรูปสามเหลี่ยม เรามาต่อบางส่วนของรูปตามที่ระบุไว้ในรูปนี้กัน ในขณะที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และสี่เหลี่ยมหลายๆ อัน ก่อนอื่น ให้เอาหลายส่วนออกจากสี่เหลี่ยมเพื่อให้เหลือเพียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่านั้น ส่วนเหล่านี้มีดังนี้: สามเหลี่ยม 1, 2, 3, 4; สี่เหลี่ยมผืนผ้า 5; สี่เหลี่ยม 6 และสี่เหลี่ยม 8; สี่เหลี่ยม 7 และสี่เหลี่ยม 9;

จากนั้นเราก็โยนชิ้นส่วนออกจากสี่เหลี่ยมเพื่อให้เหลือเพียงสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นที่ด้านข้างเท่านั้น ส่วนเหล่านี้จะเป็น: สี่เหลี่ยม 6 และ 7; สี่เหลี่ยมผืนผ้า 5; สี่เหลี่ยมผืนผ้า 1(แรเงา); สี่เหลี่ยมผืนผ้า 2(แรเงา);

สิ่งที่เราต้องทำคือแสดงให้เห็นว่าชิ้นส่วนที่นำออกไปนั้นมีขนาดเท่ากัน มองเห็นได้ง่ายเนื่องจากการจัดเรียงของตัวเลข จากรูปจะชัดเจนว่า:

สี่เหลี่ยม 5 มีขนาดเท่ากันกับตัวมันเอง
สามเหลี่ยมสี่อัน 1,2,3,4 มีขนาดเท่ากับสองสี่เหลี่ยม 6 และ 7
สี่เหลี่ยมผืนผ้า 6 และสี่เหลี่ยมจัตุรัส 8 เมื่อนำมารวมกันมีขนาดเท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 (แรเงา)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า 7 พร้อมกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส 9 มีขนาดเท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้า 2 (แรเงา)

หลักฐานเสร็จสมบูรณ์

ข้อพิสูจน์ของยุคลิด

อี ได้รับหลักฐานนั้นแล้ว ยุคลิดใน "หลักการ" ของเขา ตามคำกล่าวของ Proclus (Byzantium) Euclid เป็นผู้ประดิษฐ์มันขึ้นมาเอง ข้อพิสูจน์ของ Euclid ระบุไว้ในประโยคที่ 47 ของหนังสือเล่มแรกของ Elements

กำลังสองที่สอดคล้องกันถูกสร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากและขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC และพิสูจน์ได้ว่าสี่เหลี่ยม BJLD เท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABFH และสี่เหลี่ยม ICEL เท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACCC จากนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านตรงข้ามมุมฉาก

ที่จริงแล้ว สามเหลี่ยม ABD และ BFC เท่ากันในสองด้านและมีมุมระหว่างพวกมัน:

FB = AB, BC = BD
PFBC = d + PABC = PABD
S ABD = 1/2 S BJLD,

เนื่องจากสามเหลี่ยม ABD และสี่เหลี่ยมผืนผ้า BJLD มีฐาน BD และ LD ที่มีความสูงร่วม เช่นเดียวกัน

S FBC = 1\2S ABFH

(BF คือฐานร่วม AB คือส่วนสูงร่วม) ดังนั้นเมื่อพิจารณาว่า

ส ABD = ส FBC
S BJLD = S ABFH .

ในทำนองเดียวกัน การใช้ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม VSK และ ACE ก็พิสูจน์ได้ว่า

S JCEL = เอส แอคกก.
S ABFH +S ACKG = S BJLD +S JCEL = S BCED ,

Q.E.D.

การพิสูจน์ของยุคลิดอย่างง่าย

ถึง ทั้งในการพิสูจน์โดยวิธีการสลายตัวและการพิสูจน์แบบยุคลิด เราสามารถดำเนินการจากการจัดเรียงสี่เหลี่ยมใดๆ ก็ได้ บางครั้งมันก็เป็นไปได้ที่จะทำให้ง่ายขึ้น

ให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาข้างหนึ่ง (ในรูปคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาที่ใหญ่กว่า) ให้อยู่ที่ด้านเดียวกับขาข้างเดียวกับรูปสามเหลี่ยมนั่นเอง จากนั้นด้านต่อเนื่องของด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้จะผ่านจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก การพิสูจน์ในกรณีนี้ค่อนข้างง่ายเนื่องจากที่นี่ก็เพียงพอที่จะเปรียบเทียบพื้นที่ของตัวเลขที่เราสนใจกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมหนึ่งอัน (มีสีเทา) - พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้คือ เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสและในเวลาเดียวกันครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

ข้อพิสูจน์ของฮอว์กินส์

ป เราให้ข้อพิสูจน์อีกข้อหนึ่ง ซึ่งมีลักษณะเป็นการคำนวณ แต่แตกต่างอย่างมากจากข้อพิสูจน์ก่อนหน้านี้ทั้งหมด จัดพิมพ์โดยชาวอังกฤษ Hawkins ในปี 1909; ไม่ว่าจะรู้มาก่อนหรือไม่นั้นยากที่จะพูด

หมุน ABC สามเหลี่ยมมุมฉากด้วยมุม C มุมขวา 90° เพื่อให้อยู่ในตำแหน่ง A "CB" ให้เราขยายด้านตรงข้ามมุมฉาก A"B" ผ่านจุด A" จนกระทั่งมันตัดกับเส้น AB ที่จุด D ส่วน B"D จะเป็นความสูงของสามเหลี่ยม B"AB ให้เราพิจารณารูปสี่เหลี่ยมสีเทา A"AB"B . มันสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองอัน CAA" และ SVV" (หรือเป็นสามเหลี่ยมสองอัน A"B"A และ A"B"B).

S CAA" = b²/2
S CBB" = a²/2
S A"AB"B = (a²+b²)/2
สามเหลี่ยม A"B"A และ A"B"B มีฐานและระดับความสูงร่วมคือ DA และ DB ดังนั้น:

S A"AB"B = c*DA/2+ c*DB/2 = c (DA+DB)/2 = c²/2

เมื่อเปรียบเทียบสองนิพจน์ที่ได้รับสำหรับพื้นที่ เราได้:

ก² + b² = ค²

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อพิสูจน์ของวัลด์ไฮม์

อี การพิสูจน์นั้นก็มีลักษณะเป็นการคำนวณเช่นกัน คุณสามารถใช้รูปภาพเพื่อพิสูจน์ตามการคำนวณพื้นที่ได้สองวิธี

ดี เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้รูปแรก การแสดงพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูในสองวิธีก็เพียงพอแล้ว

สี่เหลี่ยมคางหมู = (a+b) ²/2
สี่เหลี่ยมคางหมู = a²b²+c²/2
การทำให้ด้านขวาเท่ากันที่เราได้รับ:

ก² + b² = ค²

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ศักยภาพในการสร้างสรรค์มักจะมาจากมนุษยศาสตร์ โดยปล่อยให้วิทยาศาสตร์ธรรมชาติเป็นหน้าที่ของการวิเคราะห์ วิธีปฏิบัติ และภาษาที่แห้งแล้งของสูตรและตัวเลข คณิตศาสตร์ไม่สามารถจัดเป็นวิชามนุษยศาสตร์ได้ แต่หากไม่มีความคิดสร้างสรรค์คุณจะไม่ไปไกลใน "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด" - ผู้คนรู้จักสิ่งนี้มาเป็นเวลานาน ตั้งแต่สมัยพีทาโกรัส เป็นต้น

น่าเสียดายที่ตำราเรียนของโรงเรียนมักไม่ได้อธิบายว่าในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่งสำคัญไม่เพียงแต่ต้องยัดเยียดทฤษฎีบท สัจพจน์ และสูตรเท่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจและรู้สึกถึงหลักการพื้นฐานของมัน และในเวลาเดียวกันพยายามปลดปล่อยจิตใจของคุณจากความคิดโบราณและความจริงเบื้องต้น - เฉพาะในเงื่อนไขเช่นนี้เท่านั้นที่การค้นพบที่ยิ่งใหญ่จะเกิดขึ้นทั้งหมด

การค้นพบดังกล่าวรวมถึงสิ่งที่เรารู้ในปัจจุบันว่าเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้วยความช่วยเหลือนี้ เราจะพยายามแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่สามารถทำได้ แต่ยังน่าตื่นเต้นอีกด้วย และการผจญภัยครั้งนี้ไม่เพียงเหมาะสำหรับเด็กเนิร์ดแว่นตาหนาเท่านั้น แต่ยังเหมาะสำหรับทุกคนที่มีจิตใจเข้มแข็งและจิตวิญญาณที่แข็งแกร่งอีกด้วย

จากประวัติความเป็นมาของปัญหา

พูดอย่างเคร่งครัด แม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะเรียกว่า "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" แต่พีทาโกรัสเองก็ไม่ได้ค้นพบทฤษฎีบทนี้ สามเหลี่ยมมุมฉากและคุณสมบัติพิเศษของมันได้รับการศึกษามานานแล้ว มีมุมมองสองขั้วเกี่ยวกับปัญหานี้ ตามเวอร์ชันหนึ่ง พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่ค้นพบข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สมบูรณ์ อีกประการหนึ่งหลักฐานไม่ได้เป็นของผู้ประพันธ์ของพีทาโกรัส

วันนี้คุณไม่สามารถตรวจสอบได้อีกต่อไปว่าใครถูกและใครผิด สิ่งที่ทราบก็คือข้อพิสูจน์ของพีทาโกรัส (หากเคยมีอยู่จริง) ก็ไม่รอด อย่างไรก็ตาม มีข้อเสนอแนะว่าข้อพิสูจน์ที่มีชื่อเสียงจาก Euclid's Elements อาจเป็นของ Pythagoras และ Euclid บันทึกไว้เท่านั้น

เป็นที่ทราบกันดีในปัจจุบันว่าปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากพบได้ในแหล่งที่มาของอียิปต์ตั้งแต่สมัยฟาโรห์อาเมเนมฮัตที่ 1 บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนตั้งแต่รัชสมัยของกษัตริย์ฮัมมูราบี ในตำราอินเดียโบราณ "Sulva Sutra" และงานของจีนโบราณ " โจวปี้ ซวนจิน”

อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสครอบครองจิตใจของนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ สิ่งนี้ได้รับการยืนยันด้วยหลักฐานต่าง ๆ ประมาณ 367 ชิ้นที่มีอยู่ในปัจจุบัน ในข้อนี้ไม่มีทฤษฎีบทอื่นใดสามารถแข่งขันกับทฤษฎีบทนี้ได้ ในบรรดานักเขียนบทพิสูจน์ที่มีชื่อเสียง เราสามารถระลึกถึง Leonardo da Vinci และ James Garfield ประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกาได้ ทั้งหมดนี้พูดถึงความสำคัญอย่างยิ่งยวดของทฤษฎีบทนี้สำหรับคณิตศาสตร์: ทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่ได้มาจากทฤษฎีบทนี้หรือมีความเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทนี้ในทางใดทางหนึ่ง

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่จะให้ข้อพิสูจน์เกี่ยวกับพีชคณิต แต่แก่นแท้ของทฤษฎีบทนั้นอยู่ที่เรขาคณิต ดังนั้นก่อนอื่นเรามาพิจารณาข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงซึ่งมีพื้นฐานมาจากวิทยาศาสตร์นี้ก่อน

หลักฐานที่ 1

เพื่อการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ง่ายที่สุดสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณต้องกำหนดเงื่อนไขในอุดมคติ: ปล่อยให้รูปสามเหลี่ยมไม่เพียงแต่เป็นมุมฉากเท่านั้น แต่ยังมีหน้าจั่วด้วย มีเหตุผลที่จะเชื่อได้ว่าสามเหลี่ยมชนิดนี้เป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์โบราณพิจารณาในตอนแรก

คำแถลง “สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาของมัน”สามารถแสดงด้วยภาพวาดต่อไปนี้:

ดูสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC: บนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยม 4 รูปซึ่งเท่ากับ ABC ดั้งเดิม และด้าน AB และ BC ก็มีการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมา แต่ละอันมีสามเหลี่ยมสองอันที่คล้ายกัน

อย่างไรก็ตาม ภาพวาดนี้เป็นพื้นฐานของเรื่องตลกและการ์ตูนมากมายที่อุทิศให้กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่มีชื่อเสียงที่สุดน่าจะเป็น “กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกทิศทุกทาง”:

หลักฐานที่ 2

วิธีการนี้เป็นการผสมผสานพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน และถือได้ว่าเป็นอีกวิธีหนึ่งของการพิสูจน์ Bhaskari นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณ

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านข้าง ก ข และค(รูปที่ 1) จากนั้นสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันโดยให้ด้านเท่ากับผลรวมของความยาวของขาทั้งสองข้าง - (ก+ข). ในแต่ละช่อง ให้ก่อสร้างดังรูปที่ 2 และ 3

ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก ให้สร้างสามเหลี่ยมสี่อันเหมือนกับในรูปที่ 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือสี่เหลี่ยมสองอัน: อันหนึ่งมีด้าน a, อันที่สองมีด้าน ข.

ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สอง มีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสี่รูปที่สร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นในรูปที่ 2 เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เราสร้างด้วยด้าน c ในรูปที่ 3 สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ ด้วยการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมในรูป 2 ตามสูตร และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกจารึกไว้ในรูปที่ 3 โดยการลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปที่มีขนาดเท่ากันที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่มีด้าน (ก+ข).

การเขียนทั้งหมดนี้เรามี: ก 2 +ข 2 =(ก+ข) 2 – 2ab. เปิดวงเล็บ คำนวณพีชคณิตที่จำเป็นทั้งหมด แล้วรับสิ่งนั้น ก 2 +ข 2 = ก 2 +ข 2. ในกรณีนี้ พื้นที่ที่ถูกจารึกไว้ในรูปที่ 3 สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรดั้งเดิม ส=ค 2. เหล่านั้น. ก 2 +ข 2 =ค 2– คุณได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว

หลักฐานที่ 3

การพิสูจน์ของอินเดียโบราณนั้นอธิบายไว้ในศตวรรษที่ 12 ในบทความเรื่อง "มงกุฎแห่งความรู้" (“สิทธันตะ ชิโรมานี”) และเป็นข้อโต้แย้งหลักที่ผู้เขียนใช้คำอุทธรณ์ที่ส่งถึงความสามารถทางคณิตศาสตร์และทักษะการสังเกตของนักเรียนและผู้ติดตาม: “ ดู!"

แต่เราจะวิเคราะห์หลักฐานนี้โดยละเอียด:

ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันตามที่ระบุในภาพวาด ให้เราแสดงด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่หรือที่เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ. เรียกขาของสามเหลี่ยมกันดีกว่า กและ ข. ตามรูปวาด ด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านในคือ (ก-ข).

ใช้สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ส=ค 2เพื่อคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอก และในเวลาเดียวกันก็คำนวณค่าเดียวกันโดยบวกพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านในและพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสี่รูป: (ก-ข) 2 2+4*1\2*ก*ข.

คุณสามารถใช้ทั้งสองตัวเลือกในการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์เหมือนกัน และนี่ให้สิทธิ์คุณเขียนลงไป ค 2 =(ก-ข) 2 +4*1\2*ก*ข. จากผลของการแก้ปัญหา คุณจะได้สูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ค 2 =ก 2 +ข 2. ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

หลักฐาน 4

หลักฐานจีนโบราณที่น่าสงสัยนี้ถูกเรียกว่า "เก้าอี้ของเจ้าสาว" - เนื่องจากรูปร่างที่เหมือนเก้าอี้ซึ่งเป็นผลมาจากการก่อสร้างทั้งหมด:

โดยจะใช้ภาพวาดที่เราได้เห็นแล้วในรูปที่ 3 ในการพิสูจน์ครั้งที่สอง และจัตุรัสด้านในที่มีด้าน c ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับหลักฐานอินเดียโบราณที่ให้ไว้ข้างต้น

หากคุณตัดสามเหลี่ยมสีเขียวสองอันออกจากภาพวาดในรูปที่ 1 ในใจ ให้ย้ายพวกมันไปที่ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยด้าน c และแนบด้านตรงข้ามมุมฉากเข้ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมไลแลค คุณจะได้ร่างที่เรียกว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" (รูปที่ 2) เพื่อความชัดเจน คุณสามารถทำแบบเดียวกันกับกระดาษสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยมได้ คุณจะต้องแน่ใจว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" นั้นประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสองอัน: อันเล็กที่มีด้านข้าง ขและใหญ่มีด้านข้าง ก.

โครงสร้างเหล่านี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ชาวจีนโบราณและเราติดตามพวกเขาได้ข้อสรุปว่า ค 2 =ก 2 +ข 2.

หลักฐานที่ 5

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการค้นหาคำตอบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้เรขาคณิต เรียกว่าวิธีการ์ฟิลด์

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซี. เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ก่อนคริสต์ศักราช 2 = เอซี 2 + เอบี 2.

ในการทำเช่นนี้ให้ทำขาต่อ เครื่องปรับอากาศและสร้างส่วน ซีดีซึ่งเท่ากับขา เอบี. ลดแนวตั้งฉากลง ค.ศส่วนของเส้น ส.อ. เซ็กเมนต์ ส.อและ เครื่องปรับอากาศมีความเท่าเทียมกัน เชื่อมต่อจุดต่างๆ อีและ ใน, และ อีและ กับและรับภาพวาดตามภาพด้านล่าง:

เพื่อพิสูจน์หอคอยเราใช้วิธีที่เราได้ลองไปแล้วอีกครั้ง: เราค้นหาพื้นที่ของผลลัพธ์ที่ได้ในสองวิธีและแบ่งนิพจน์ให้กันและกัน

ค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม เตียงสามารถทำได้โดยการบวกพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสามที่ประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมนั้น และหนึ่งในนั้น อีอาร์ยู, ไม่ใช่แค่สี่เหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังมีหน้าจั่วอีกด้วย อย่าลืมสิ่งนั้นด้วย เอบี=ซีดี, เอซี=อีดีและ พ.ศ.=SE– สิ่งนี้จะทำให้เราสามารถลดความซับซ้อนของการบันทึกและไม่โอเวอร์โหลด ดังนั้น, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

ขณะเดียวกันก็เป็นที่ชัดเจนว่า เตียง- นี่คือสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นเราจึงคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร: ส เอเบด =(DE+AB)*1/2AD. สำหรับการคำนวณของเรา การแสดงกลุ่มจะสะดวกและชัดเจนยิ่งขึ้น ค.ศเป็นผลรวมของส่วนต่างๆ เครื่องปรับอากาศและ ซีดี.

มาเขียนทั้งสองวิธีในการคำนวณพื้นที่ของร่างโดยใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างพวกเขา: AB*เอซี+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(เอซี+ซีดี). เราใช้ความเท่าเทียมกันของกลุ่มที่เรารู้จักอยู่แล้วและอธิบายไว้ข้างต้นเพื่อทำให้ด้านขวาของสัญลักษณ์ง่ายขึ้น: AB*เอซี+1/2บีซี 2 =1/2(เอบี+เอซี) 2. ตอนนี้เรามาเปิดวงเล็บและแปลงความเท่าเทียมกัน: AB*เอซี+1/2บีซี 2 =1/2เอซี 2 +2*1/2(เอบี*เอซี)+1/2เอบี 2. เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดเสร็จแล้ว เราก็ได้สิ่งที่เราต้องการ: ก่อนคริสต์ศักราช 2 = เอซี 2 + เอบี 2. เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทแล้ว

แน่นอนว่ารายการหลักฐานนี้ยังห่างไกลจากความสมบูรณ์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ จำนวนเชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์ สเตอริโอเมทรี ฯลฯ และแม้แต่นักฟิสิกส์: ตัวอย่างเช่นหากของเหลวถูกเทลงในปริมาตรสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยมคล้ายกับที่แสดงในภาพวาด ด้วยการเทของเหลว คุณสามารถพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของพื้นที่และทฤษฎีบทได้

คำไม่กี่คำเกี่ยวกับแฝดพีทาโกรัส

ประเด็นนี้มีน้อยหรือไม่มีการศึกษาเลยในหลักสูตรของโรงเรียน ในขณะเดียวกันก็น่าสนใจมากและมีความสำคัญอย่างยิ่งในเรขาคณิต ค่าสามเท่าของพีทาโกรัสใช้เพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง การทำความเข้าใจสิ่งเหล่านี้อาจเป็นประโยชน์กับคุณในการศึกษาต่อ

แล้วแฝดพีทาโกรัสคืออะไร? นี่คือชื่อของจำนวนธรรมชาติที่รวบรวมไว้เป็นกลุ่มสามกลุ่ม ผลรวมของกำลังสองของจำนวนนั้นเท่ากับจำนวนตัวที่สามยกกำลังสอง

ทริปเปิลพีทาโกรัสสามารถเป็น:

ดั้งเดิม (ทั้งสามตัวเลขค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ);
ไม่ใช่แบบดั้งเดิม (ถ้าแต่ละหมายเลขของ Triple คูณด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจะได้ Triple ใหม่ซึ่งไม่ใช่แบบดั้งเดิม)

แม้กระทั่งก่อนยุคของเรา ชาวอียิปต์โบราณหลงใหลในความคลุ้มคลั่งในเรื่องจำนวนแฝดพีทาโกรัส: ในปัญหาพวกเขาถือว่าสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5 หน่วย อย่างไรก็ตาม สามเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านเท่ากับตัวเลขจากสามเหลี่ยมพีทาโกรัสจะเป็นสี่เหลี่ยมตามค่าเริ่มต้น

ตัวอย่างของแฝดพีทาโกรัส: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50) ฯลฯ

การประยุกต์ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง ดาราศาสตร์ และแม้แต่วรรณคดีด้วย

ประการแรก เกี่ยวกับการก่อสร้าง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในปัญหาที่มีระดับความซับซ้อนต่างๆ ตัวอย่างเช่น ดูที่หน้าต่างแบบโรมาเนสก์:

ให้เราแสดงความกว้างของหน้าต่างเป็น ขจากนั้นรัศมีของครึ่งวงกลมหลักสามารถเขียนแทนได้ว่าเป็น รและแสดงออกผ่าน ข: R=ข/2. รัศมีของครึ่งวงกลมเล็กๆ ก็สามารถแสดงผ่านได้เช่นกัน ข: r=b/4. ในปัญหานี้ เราสนใจรัศมีของวงกลมด้านในของหน้าต่าง (เรียกอีกอย่างว่า พี).

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์ในการคำนวณเท่านั้น ร. ในการทำเช่นนี้ เราใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งระบุด้วยเส้นประในรูป ด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมประกอบด้วยสองรัศมี: ข/4+พี. ขาข้างหนึ่งแสดงถึงรัศมี ข/4, อื่น b/2-p. เราเขียนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. ต่อไปเราจะเปิดวงเล็บแล้วรับ ข 2 /16+ บีพี/2+พี 2 =ข 2 /16+ข 2 /4-bp+p 2. ลองแปลงนิพจน์นี้เป็น บีพี/2=บี 2 /4-bp. แล้วเราหารพจน์ทั้งหมดด้วย ขเรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกันเพื่อรับ 3/2*พี=ข/4. และในที่สุดเราก็พบว่า พี=ข/6- ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการ

เมื่อใช้ทฤษฎีบท คุณสามารถคำนวณความยาวของจันทันสำหรับหลังคาหน้าจั่วได้ พิจารณาว่าต้องใช้เสาสื่อสารเคลื่อนที่สูงแค่ไหนเพื่อให้สัญญาณไปถึงพื้นที่ที่มีประชากรหนาแน่น และแม้กระทั่งติดตั้งต้นคริสต์มาสอย่างยั่งยืนในจัตุรัสกลางเมือง อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงแต่อยู่บนหน้าหนังสือเรียนเท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์ในชีวิตจริงอีกด้วย

ในวรรณคดี ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นแรงบันดาลใจให้นักเขียนมาตั้งแต่สมัยโบราณและยังคงเป็นเช่นนั้นในยุคของเรา ตัวอย่างเช่น Adelbert von Chamisso นักเขียนชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 19 ได้รับแรงบันดาลใจให้เขียนโคลง:

แสงสว่างแห่งความจริงจะไม่ดับไปในเร็ววัน
แต่เมื่อส่องแสงแล้ว ก็ไม่น่าจะสลายไป
และเช่นเดียวกับเมื่อหลายพันปีก่อน
มันจะไม่ทำให้เกิดข้อสงสัยหรือข้อพิพาท

ฉลาดที่สุดเมื่อสัมผัสดวงตาของคุณ
แสงแห่งความจริง ขอบคุณพระเจ้า
และวัวหนึ่งร้อยตัวถูกฆ่าโกหก -
ของขวัญตอบแทนจากพีทาโกรัสผู้โชคดี

ตั้งแต่นั้นมาวัวก็คำรามอย่างสิ้นหวัง:
ทำให้ชนเผ่าวัวตื่นตระหนกตลอดไป
เหตุการณ์ที่กล่าวถึงที่นี่

ดูเหมือนว่าเวลานั้นกำลังจะมาถึงแล้ว
และพวกเขาจะเสียสละอีกครั้ง
ทฤษฎีบทที่ดีบางอย่าง

(แปลโดย Viktor Toporov)

และในศตวรรษที่ 20 Evgeny Veltistov นักเขียนชาวโซเวียตได้อุทิศทั้งบทในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหนังสือของเขาเรื่อง The Adventures of Electronics และอีกครึ่งบทของเรื่องราวเกี่ยวกับโลกสองมิติที่อาจดำรงอยู่ได้หากทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นกฎพื้นฐานและแม้แต่ศาสนาสำหรับโลกใบเดียว การใช้ชีวิตที่นั่นจะง่ายกว่ามาก แต่ก็น่าเบื่อกว่ามากด้วย เช่น ไม่มีใครเข้าใจความหมายของคำว่า "กลม" และ "ปุย"

และในหนังสือ "The Adventures of Electronics" ผู้เขียนผ่านปากของครูคณิตศาสตร์ Taratar กล่าวว่า "สิ่งสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์คือการเคลื่อนไหวของความคิด แนวคิดใหม่ ๆ" มันเป็นการหลีกหนีจากความคิดที่สร้างสรรค์อย่างแม่นยำซึ่งก่อให้เกิดทฤษฎีบทพีทาโกรัส - ไม่ใช่เพื่ออะไรที่มีข้อพิสูจน์ที่หลากหลายมากมาย ช่วยให้คุณก้าวข้ามขอบเขตของสิ่งที่คุ้นเคยและมองสิ่งที่คุ้นเคยในรูปแบบใหม่

บทสรุป

บทความนี้ถูกสร้างขึ้นเพื่อให้คุณสามารถมองข้ามหลักสูตรของโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์และเรียนรู้ไม่เพียงแต่การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ให้ไว้ในหนังสือเรียน "เรขาคณิต 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) และ "เรขาคณิต 7" - 11” (A.V. Pogorelov) แต่ยังมีวิธีอื่นที่น่าสนใจในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงอีกด้วย และยังดูตัวอย่างว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างไร

ประการแรก ข้อมูลนี้จะช่วยให้คุณมีคุณสมบัติได้รับคะแนนที่สูงขึ้นในบทเรียนคณิตศาสตร์ - ข้อมูลเกี่ยวกับหัวข้อจากแหล่งข้อมูลเพิ่มเติมจะได้รับการชื่นชมอย่างสูงเสมอ

ประการที่สอง เราต้องการช่วยให้คุณรู้สึกว่าคณิตศาสตร์น่าสนใจเพียงใด ยืนยันด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงว่ามีพื้นที่สำหรับความคิดสร้างสรรค์อยู่เสมอ เราหวังว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้จะเป็นแรงบันดาลใจให้คุณสำรวจและค้นพบสิ่งที่น่าตื่นเต้นในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ อย่างอิสระ

บอกเราในความคิดเห็นหากคุณพบหลักฐานที่นำเสนอในบทความที่น่าสนใจ คุณพบว่าข้อมูลนี้มีประโยชน์ในการศึกษาของคุณหรือไม่? เขียนถึงเราว่าคุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้ - เรายินดีที่จะหารือทั้งหมดนี้กับคุณ

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา