Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów. Korn G., Korn T. Modelowanie procesów losowych

09.04.2019

Abstrakcyjny

Powłoki samotopnikującego proszku PR-N77Kh15S3R2 (układ Ni-Cr-Si-B) naniesiono na podłoże ze stali miękkiej 20 metodą natryskiwania plazmowego. W celu zbadania wpływu temperatury topnienia na przemiany strukturalne i fazowe, powleczone próbki topiono w piecu w temperaturach od 1030 do 1100 ºС. Badania strukturalne przeprowadzono za pomocą optycznej i skaningowej mikroskopii elektronowej, analizy dyspersji energii i rentgenowskiej analizy fazowej. Ponadto w artykule przedstawiono wyniki pomiarów mikrotwardości, a także odporności na zużycie w warunkach tarcia ślizgowego środkiem smarnym według schematu tarczowo-płaszczyznowego. W pracy wykazano, że głównymi składnikami strukturalnymi powłok po rozpływaniu są dendryty γ-Ni, wtrącenia Cr7C3 oraz eutektyk Ni-Ni3B. Dla powłok wytopionych poniżej 1070 ºС charakterystyczna jest również obecność wtrąceń CrB i eutektyki Ni3B-Ni6Si2B, dla powłok wytopionych w 1100 °С wtrąceń CrB2 i eutektyki (γ-Ni)-CrB. Stwierdzono, że wraz ze wzrostem temperatury topnienia zwiększa się udział objętościowy faz stałych (eutektyków, a także węglików i borków chromu), co prowadzi do wzrostu mikrotwardości i odporności na zużycie.
INFORMACJA O WSPARCIU FINANSOWYM: Praca została sfinansowana przez Rosyjską Fundację Badań Podstawowych w ramach projektu naukowego nr 16-38-50197 mol_nr.
Wpływ temperatury płynięcia na strukturę i właściwości
OBRABOTKA METALLOV-METAL WORKING AND MATERIAL SCIENCE 2016 Numer: 4 Strony: 52-62

Powłoki z proszku samotopnikującego układu Ni-Cr-Si-B (Ni-zasada; 15,1% mas. r; 2,0% mas. Si; 2,0% mas.; 0,4% mas.) nanosi się na podłoże ze stali niskowęglowej (0,2% mas. C) metodą natryskiwania plazmowego. W pracy rozpatrzono wpływ temperatury płynięcia na strukturę i właściwości określonych materiałów. Próbki z powłokami wygrzewa się w piecu do 1030, 1050, 1070 i 1100 . przez 1 godzinę z następującym chłodzeniem powietrzem. Struktura i skład fazowy powłok są badane za pomocą optycznej i skaningowej mikroskopii elektronowej oraz dyfraktometrii rentgenowskiej. Ponadto przedstawiono wyniki pomiarów mikrotwardości i badań odporności na zużycie w warunkach tarcia ślizgowego. Dyfraktometria rentgenowska wykazała, że głównymi fazami powłok przed topnikiem i po jednym są: gamma-Ni, Ni B-3, CrBH.r(7)C(3). Wyniki uzyskane za pomocą optycznego i skaningowego mikroskopu elektronowego wykazały, że powłoki utopione w temperaturze 1030, 1050 i 1070 stopni C składają się z dendrytów roztworu stałego Cr, Si i Fe we wtrąceniach gamma-Ni, Cr-7 C-3, CrB oraz eutektykach Ni-Ni3B, Ni3B-Ni-6 Si2B. Powłoki topione w temperaturze 1100 st. C składają się z dendrytów roztworu stałego Cr, Si i Fe w inkluzjach -Ni, Cr-7, C-3, CrB2 oraz eutektykach (gamma-Ni)-CrB, Ni-Ni3B. Ilość faz twardych (eutektyk, węgliki chromu i borki chromu) wzrasta wraz ze wzrostem temperatury. Prowadzi to do wzrostu mikrotwardości i odporności na zużycie powłok. Wyniki eksperymentów wykazały, że powłoki topione w temperaturze 1100 st. C mają maksymalną mikrotwardość (953 HV) i odporność na zużycie. Niestety, wysokie temperatury topnika mogą sprzyjać oddzielaniu się warstw.

1. L. P. Akimow, Yu. M. Gorodetsky i SI Shukuryan, „O modelowaniu losowych sekwencji Gaussa na komputerach cyfrowych”, Zh. „Automatyka i telemechanika”, 1969, nr 1.

2. PA Bakut, IA Bol'shakov i in., Pytania statystycznej teorii radaru, t. II. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1964.

3. Berezin I. S., Zhidkov N. P. Metody obliczeniowe, t. II, Fizmatgiz, 1962.

4. Bobnev MP Generowanie losowych sygnałów i pomiar ich parametrów. Wydawnictwo „Energia”, 1966 r.

5. Bobnev M. P., Krivitsky B. Kh., Yarlykov M. S. Złożone systemy automatyki radiowej. Wydawnictwo „radzieckie radio”, 1968.

6. Bolszakow I. A. Statystyczne problemy wyodrębniania przepływu sygnału z szumu. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1969.

7. Bolshakov IA, Gutkin LS i wsp. Matematyczne podstawy współczesnej elektroniki radiowej. Wydawnictwo „Radzieckie Radio”, .1968.

8. Bolshakov I. A., Khomyakov E. N. Niektóre problemy wielowymiarowego filtrowania procesów z pochodnymi stacjonarnymi. „Izwiestia Akademii Nauk ZSRR”, Cybernetyka techniczna, 1966, nr 6.

9. Buslenko N. P. Modelowanie matematyczne procesy produkcji. Wydawnictwo "Nauka", 1964.

10. Buslenko N. P., Golenko D. I. i wsp. Metoda testów statystycznych (metoda Monte Carlo) i jej zastosowania. Fizmatgiz, 1962.

11. Buslenko N. P., Shreider Yu. A. Statystyczna metoda testowa (metoda Monte Carlo) i jej implementacja w maszynach cyfrowych. Fizmatgiz, 1961.

12. Bykov VV O jednej metodzie modelowania stacjonarnego szumu normalnego na komputerze cyfrowym. „Elektroświat”, 1965, nr. 2.

13. Bykov V.V., Malajczuk V.P.O. O błędzie całkowania cyfrowego stacjonarnego procesu losowego. „Automatyka i telemechanika”, 1966, nr 2.

14. VV Bykov i VP Malaichuk, W kwestii obliczania widma energii oscylacji modulowanej częstotliwością przez stacjonarny normalny szum. „Elektroswiaz”, 1966, nr 7.

15 Bykov VV, Malaichuk VP Zastosowanie metody Monte Carlo do badania odpowiedzi odbiornika amplitudy na oscylacje modulowane fluktuacjami częstotliwości. „Radiotechnika i elektronika”, 1967, t. 12, nr 8.

16. Bykov VV Algorytmy cyfrowego modelowania niektórych typów stacjonarnych normalnych procesów losowych. „Elektroswiaz”, 1967, nr 9.

17. Bykow V.V. Symulacja cyfrowa procesy w liniowych i nieliniowych układach ciągłych. „Radiotechnika”, 1968, t. 23, nr 5.

18. Bykov Yu. M. O statystycznej dokładności przywracania elementów w pulsacyjnej transmisji losowych sygnałów. „Izwiestia Akademii Nauk ZSRR”, Cybernetyka techniczna, 1965, nr 1.

19. Bykov Yu. M., Enikeev Sh. G. i inni Kwestie wykorzystania komputerów cyfrowych w badaniach statystycznych obiektów kontrolnych. Aparatura, automatyka i systemy sterowania, Materiały Konferencji Młodych Naukowców i Specjalistów. Wydawnictwo "Nauka", 1967.

20. Vilenkin S. Ya., Trakhtenberg E. A. Ocena dokładności sygnału wyjściowego w symulacji procesów dynamicznych na komputerze. „Automatyka i telemechanika”, 1965, t. 26, nr 12.

21. Wiener N. Cybernetyka. Wydawnictwo „radzieckie radio”, 1958.

22. Woodward FM Teoria prawdopodobieństwa i teoria informacji z zastosowaniami w radarach. Za. z angielskiego. wyd. G. S. Gorelik. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1955.

23. Golenko D. I. Modelowanie i analiza statystyczna liczby pseudolosowe na komputerach elektronicznych. Wydawnictwo "Nauka", 1965.

24. Gonorovsky S. I. Sygnały radiowe i zjawiska przejściowe w obwodach radiowych. Swiazizdat, 1954.

25. Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tablice całek, sum, szeregów i produktów, Fizmatgiz, 1962.

26. Gusev A. G. Analiza błędów pojawiających się w systemie automatycznym podczas wdrażania prawa sterowania na komputerze cyfrowym z harmonicznymi i losowymi działaniami wejściowymi. „Automatyka i telemechanika”, 1968, nr 9.

27. Gutkin L.S., Lebedev V.L., Siforov VI Odbiorniki radiowe. Wydawnictwo „radzieckie radio”, 1961.

28. VB Davenport i VL Ruth, Wprowadzenie do teorii losowych sygnałów i szumów. Wydawnictwo Literatury Obcej, 1960.

29. Juri E. Impulsowe układy automatyki. Za. z angielskiego. Fizmatgiz, 1963.

30. JL Dub, Procesy probabilistyczne. Wydawnictwo literatury obcej, 1956.

31. Evtyanov S. I. Procesy przejściowe w obwodach odbiorczych i wzmacniających. Swiazizdat, 1948.

32. Kagan BM Zastosowanie komputerów cyfrowych do rozwiązywania naukowych i technicznych problemów elektromechaniki oraz do sterowania automatycznego. w sobotę „Zautomatyzowany napęd elektryczny mechanizmów produkcyjnych”, t. 1, 1965.

33. NA Kaganova, EP Dubrovin i NG Kornienko, Doświadczenie w obliczaniu stałych modów systemów energetycznych Ukraińskiej SRR na komputerze cyfrowym. w sobotę „Modelowanie i automatyzacja układów elektrycznych”. Kijów. Wydawnictwo „Naukova Dumka”, 1966.

34. Kazamarov A. A., Palatnik A. M., Rodnyansky L. O. Dynamika dwuwymiarowych układów automatycznego sterowania. Wydawnictwo "Nauka", 1967.

35. V. Ya. Katkovnik i RA Poluektov, Wielowymiarowe dyskretne systemy sterowania. Wydawnictwo "Nauka", 1966.

36. V. Ya. Katkovnik i R. A. Poluektov, O optymalnej transmisji ciągłego sygnału przez obwód impulsowy. „Automatyka i telemechanika”, 1964, nr 2.

37. Kendall M., Stuart A. Teoria dystrybucji. Za. z angielskiego, wyd. A. N. Kołmogorowa. Wydawnictwo "Nauka", 1966.

38. Kitov AI, Krinitsky NA Elektroniczne maszyny cyfrowe i programowanie, wyd. 2. Fizmatgiz, 1961.

39. GP Klimov, Stochastyczne systemy kolejkowe. Wydawnictwo "Nauka", 1966.

40. Kogan B. Ya Elektroniczne urządzenia modelujące i ich zastosowanie do badania systemów automatycznego sterowania. Fizmatgiz, 1963.

41. MI Kontorowicz, Rachunek operacyjny i procesy niestacjonarne w obwodach elektrycznych. Gostekhizdat, 1955.

42. Korn G. Symulacja procesów losowych na maszynach analogowych i analogowo-cyfrowych. Wydawnictwo "Mir", 1968.

43. Krasovskii A. A. O dwukanałowych układach automatyki z połączeniami antysymetrycznymi. „Automatyka i telemechanika”, 1957, t. 18, nr 2.

44. Krasovsky A. A., Pospelov G. S. Niektóre metody obliczania przybliżonej charakterystyki czasowej liniowych systemów automatycznego sterowania. „Automatyka i telemechanika”. 1953, t. 14, nr 6.

45. Krasovsky A. A., Pospelov G. S. Podstawy automatyki i cybernetyki technicznej. Gosenergoizdat, 1962.

46. AN Kryłow, Wykłady z obliczeń przybliżonych. Gostekhizdat, 1950.

47. VI Kryłow, Przybliżone obliczenie całek. Fizmatgiz, 1959.

48. AG Kurosh, Wyższy kurs algebry. Fizmatgiz, 1963.

49. Kryukshenko D. J. Metody analizy liniowych i nieliniowych układów sterowania oparte na wykorzystaniu ciągów czasowych i - transformacji. Obrady pierwszego Kongresu IFAC. Wydawnictwo Akademii Nauk ZSRR, 1961, t. 2.

50. Levin B. R. Podstawy teoretyczne statystyczna inżynieria radiowa. Wydawnictwo „Radio Radzieckie”, 1969, t. 1.

51. Levin B. R., Serov V. V. O dystrybucji funkcja okresowa zmienna losowa. „Radiotechnika i elektronika”, 1964, t. 9, nr 6.

52. Levin L. Metody rozwiązywania problemów technicznych z wykorzystaniem komputerów analogowych. Wydawnictwo "Mir", 1966.

53. Yu S. Lezin, Optymalne filtry i akumulatory sygnałów impulsowych. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1969.

54. Leites R. D. Metody modelowania matematycznego systemów transmisji sygnału mowy. „Elektroswiaz”, 1963, nr 8.

55. Likharev V. A., Avdeev V. V. Technika modelowania problemów radaru statystycznego na elektronicznych komputerach cyfrowych. w sobotę „Zagadnienia odporności na zakłócenia i rozdzielczości systemów radiotechnicznych (telewizji i radaru)”. Ryazan Radio Engineering Institute, tom. 10. Wydawnictwo „Energia”, 1967 r.

56. Laning J. G., Bettin RG Procesy losowe w problemach sterowania automatycznego. Wydawnictwo literatury obcej, 1958.

57. Yu K. Lyubimov, Uzyskanie dyskretnych wartości stacjonarnego procesu stochastycznego w nierówno rozmieszczonych punktach na komputerze cyfrowym. „Automatyka i telemechanika”, 1965, t. 26, nr 12.

58. Lyashenko VF Programowanie dla komputerów cyfrowych M-20, BESM-ZM, BESM-4, M-220. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1967.

59. A. N. Malakhov, Fluktuacje w systemach samooscylacyjnych. Wydawnictwo "Nauka", 1968.

60. P. V. Melent'ev, Obliczenia przybliżone. Fizmatgiz, 1962.

61. Middleton D. Wprowadzenie do statystycznej teorii komunikacji. t. 2, Wydawnictwo Radzieckiego Radia, 1962.

62. Mityashev BN Wyznaczanie czasowego położenia impulsów w obecności zakłóceń. Wydawnictwo „radzieckie radio”, 1962.

63. Naumov B. N. Procesy przejściowe w systemy liniowe automatyczna regulacja. Gosenergoizdat, 1960.

64. Neronsky N. B. Transmisja sygnału i szumu przez urządzenia odbiorcze o nieliniowej charakterystyce amplitudowej. „Izwiestija wuzow”, Radiotechnika, 1964, t. 7, nr 6.

65. GV Obrezkov i SV Pervachev, Śledzenie zakłóceń w systemie z astatyzmem drugiego rzędu. „Automatyka i telemechanika”, 1966, nr 3.

66. Pollak Yu T. Modelowanie sekwencji próbek nierównomiernie rozmieszczonych w czasie z losowego procesu Gaussa „Materiały Akademii Nauk ZSRR” Cybernetyka techniczna. 1969, 1 nr 1.

67. Yu V. Prochorow i Yu A. Rozanov, Teoria prawdopodobieństwa, SMB. Wydawnictwo "Nauka", .1967.

68. VS Pugaczow, Teoria funkcji losowych. Fizmatgiz, 1962.

69. Rakov GK Opracowanie losowej wartości skorelowanej na szybkich komputerach elektronicznych. Automatyka i technika komputerowa (zbiór prac). Gostekhizdat, 1958.

70. Yu A. Rozanov, Stacjonarne procesy losowe. Fizmatgiz, 1963.

71. Ryto V. M. Wprowadzenie do radiofizyki statystycznej. Wydawnictwo "Nauka", 1966.

72. G. S. Safronow, Funkcje korelacji i gęstości widmowe różnicy między dwiema funkcjami losowymi skwantowanymi w czasie. „Automatyka i telemechanika”, 1962, nr 6.

73. Sedyakin N. M. Elementy teorii losowych przepływów impulsów. Wydawnictwo „radzieckie radio”, 1965.

74. B. D. Sergievsky, Reakcja odbiornika z detektorem kwadratowym na oscylacje modulowane przez fluktuacje fazy lub częstotliwości. „Radiotechnika i elektronika”, 1962, t. 7, nr 5.

75. B. D. Sergievsky, Reakcja odbiornika amplitudy na oscylacje modulowane w fazie lub częstotliwości, gdy częstotliwość nośna jest rozstrojona względem odbiornika. „Radiotechnika i elektronika”, 1963, t. 8, nr 12.

76. Smirnov V. N. Kurs wyższej matematyki, t. 2, Fizmatgiz, 1958.

77. Sragovich VG Modelowanie niektórych klas procesów losowych. „Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics”, 1963, t. 3, nr 3.

78. Stratonowicz R. L. Wybrane zagadnienia teorii fluktuacji w radiotechnice. Wydawnictwo „radzieckie radio”, 1961.

79. GP Tartakovskii, Dynamika systemów automatycznej kontroli wzmocnienia. Gosenergoizdat, 1957.

80. Tichonow VI Statystyczna inżynieria radiowa. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1966.

81. Tu Yu Cyfrowe i impulsowe systemy sterowania. Maszgiz, 1964.

82. X Arkevich A. A., O twierdzeniu Kotelnikowa. „Inżynieria radiowa”, 1958, t. 13, nr 8.

83. AA Charkiewicz, Widma i analiza. Fizmatgiz, 1962.

84. Hellgren G. Pytania teorii radaru jednopulsowego „Zagraniczna elektronika radiowa”, 1962, nr 12; 1963, nr 1.

85. Cypkin Ja 3. Teoria liniowych układów impulsowych. Fizmatgiz, 1963.

86. Tsypkin Ya. Z., Goldenberg L. M. Budowa procesu przejściowego w systemach automatycznej regulacji zgodnie z charakterystyką poszczególnych ogniw. Obrady Ogólnounijnego Instytutu Energetyki Korespondencyjnej, nr. 7. „Elektrotechnika”, GEI, 1957.

87. Szestow N, S. Selekcja sygnałów optycznych na tle szumu losowego. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1967.

88. Shirman Ya. D., Golikov V. N. Podstawy teorii detekcji sygnałów radarowych i pomiaru ich parametrów. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1963.

89. NA Shishonok, VF Repkin i LA Barvinskii, Podstawy teorii niezawodności. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1964.

90. AM Yaglom, Teoria korelacji procesów ze stacjonarnymi n-tymi przyrostami. matematyka sob. (nowa seria), 1955, 37(79), nr 1.

91. AM Yaglom, Efektywne rozwiązanie problemów aproksymacji liniowej dla wielowymiarowych procesów stacjonarnych z racjonalnym widmem. Teoria prawdopodobieństwa i jej zastosowania, 1960, t. 5, nie. 3.

92. Yanke E., Emde F., Lesh F. Funkcje specjalne. Wydawnictwo "Nauka", M, 1964.

93. Anderson W.H., Ball RB, Voss I.R. Numeryczna metoda rozwiązywania różniczkowania na komputerach cyfrowych. IACM, 1960, tom. 7 stycznia.

94. Boxer R., Thaler S. Uproszczona metoda rozwiązywania układów liniowych i nieliniowych. proc. IRE, 1956, tom. 44, nr 1.

95. Davis MC O faktoryzacji macierzy widmowej. IEEE Trans, o automatycznym sterowaniu, 1963, AG-8, nr 4.

96. Dujack R. L., Epstein D. I. Cyfrowa symulacja komputerowa sieci komunikacyjnej. IRE Trans. Lud. system 1962, tom. 10, nr 1.

98. Katzenelson J. AEDNET: Symulator sieci nieliniowej. Proc IEE, 1966, tom. 54, nr 11.

99. Kuo. Analiza obwodów z wykorzystaniem komputerów cyfrowych. TIIER, 1966, t. 54, nr 6.

100. Cooley I. W., Tukey I. W. Algorytm dla obliczenia maszynowe zespolonych szeregów Fouriera. Matematyka, komputer. 1965, tom. 19 kwietnia

101. Levin M. I. Generowanie próbkowanego szeregu czasowego Gaussa o określonej funkcji korelacji. Trans. IRE, 1960, tom. 60, nr 5.

102. Madwed A. Metoda szeregów liczbowych rozwiązywania układów liniowych i nieliniowych. proc. IRE, 1956, tom. 44, nr 1.

103. Neumann I. Wariacje techniki w związku z przypadkowymi cyframi. Aplikacja NBS Matematyka, 1951, ser. 12.

104. Ragazzini I. R., Bergen AR A matematyczna technika analizy systemów liniowych. proc. IRE, 1956, tom. 42, nr 11.

105. Reabody PR, Adorno DS Cyfrowa synteza skorelowanego szumu stacjonarnego. Comuns, doc. Oblicz. Mach. 1962, tom. 5, nr 7.

106. Rohrer RA W pełni zautomatyzowane projektowanie sieci przez komputer cyfrowy: rozważania wstępne. proc. IEEE, 1967, tom. 55, nr 11.

107 Rolka. Komputer - Technik fur Trickfilme Kino - Techn. (BRD), 1967, 21, nr 12.

108. Sage AP, Burt RW Optymalny projekt i analiza błędów integratorów cyfrowych do symulacji systemów dyskretnych, 1965, AFIPS, konf. proc. tom. 27, pkt. 1.

109. Sage AP, Smith S. L., Cyfrowa symulacja sterowania systemami w czasie rzeczywistym. Proc of the IEEE, .1966, tom. 54, nr 12.

110. Truxal IG Analiza numeryczna do projektowania sieci. IRE Trans, na torze. Teoria, 1954, tom. CT-1.

111. Tustin A. Metoda analizy systemów zachowań w ujęciu czasowym. IEEE, 1947, tom. 94, pkt. II-A.

Rozważ algorytmy modelowania stacjonarnych procesów normalnych i losowych procesów Markowa. Procesy te są szeroko stosowane jako modele matematyczne różnego rodzaju rzeczywistych procesów zachodzących w złożonych systemach technicznych. Poniżej podajemy kilka definicji i pojęć, które są niezbędne do dalszej prezentacji i są akceptowane w ramach teorii korelacji i teorii spektralnych funkcji losowych.

funkcja losowa nazywa się funkcją nielosowego argumentu t, który dla każdej ustalonej wartości argumentu jest zmienną losową. funkcja losowa czas zwany losowy proces. funkcja losowa współrzędne punkty w przestrzeni nazywane są losowe pole. Specyficzna forma, jaką proces losowy przyjmuje w wyniku doświadczenia, nazywana jest realizacją (trajektorią) procesu losowego. Wszystkie otrzymane implementacje procesu losowego stanowią zespół implementacji. Wartości realizacji w określonych momentach czasu (przekrojach czasowych) nazywane są wartościami chwilowymi procesu losowego.

Wprowadzamy następującą notację: X(t) - proces losowy; x i (t) - i-ta realizacja procesu X(t); x i (t j) - wartość chwilowa procesu Х(t), odpowiadająca i-tej realizacji w j-tym momencie czasu. Zbiór wartości chwilowych odpowiadających wartościom różnych implementacji w tym samym czasie t j nazywamy j-tym ciągiem procesu X(t) i oznaczamy x(t j). Z tego co zostało powiedziane wynika, że czas i liczba implementacji mogą pełnić rolę argumentów procesu losowego. W tym względzie uprawnione są dwa podejścia do badania właściwości procesu losowego: pierwsze opiera się na analizie zbioru realizacji, drugie operuje zbiorem sekwencji – odcinków czasowych. Obecność lub brak zależności wartości charakterystyk probabilistycznych procesu losowego od czasu lub liczby implementacji determinuje takie podstawowe właściwości procesu, jak stacjonarność i ergodyczność. Stacjonarny jest procesem, którego cechy probabilistyczne nie zależą od czasu. Ergodyczny nazywamy proces, którego charakterystyki probabilistyczne nie zależą od numeru implementacji.

Nazywa się proces losowy normalna(lub Gaussa), jeśli jednowymiarowe i dwuwymiarowe prawa dystrybucji którejkolwiek z jego sekcji są normalne. Wyczerpujące cechy normalnego procesu losowego to jego matematyczne oczekiwanie i funkcja korelacji. Dla stacjonarnego normalnego procesu losowego IOL jest stała, a funkcja korelacji zależy tylko od różnicy punktów czasowych, dla których brane są rzędne procesu losowego (=t 2 -t 1). Dla stacjonarnego procesu losowego z wystarczająco dużym odchyleniem rzędnej procesu losowego X(t 2) od jego matematycznego oczekiwania m x w chwili t 2 staje się praktycznie niezależne od wartości tego odchylenia w chwili t 1 . W tym przypadku funkcja korelacji K(t), która podaje wartość momentu połączenia między X(t 2) i X(t 1), będzie dążyć do zera. Dlatego K () może albo maleć monotonicznie, jak pokazano na ryc. 2.2, albo mieć postać pokazaną na ryc. 2.3. Funkcję formy (ryc. 2.2.) z reguły przybliżają wyrażenia:

(2.38)

i funkcja formy (ryc. 2.3.) - według wyrażeń:

Ryc.2.2. Ryc.2.3.

Stabilność stacjonarnego procesu losowego w czasie umożliwia zastąpienie argumentu - czasu - pewną zmienną pomocniczą, która w wielu zastosowaniach ma wymiar częstotliwości. Podstawienie to pozwala na znaczne uproszczenie obliczeń i uzyskanie większej czytelności wyników. Otrzymana funkcja (S()) nazywana jest gęstością widmową stacjonarnego procesu losowego i jest powiązana z funkcją korelacji przez wzajemnie odwrotne transformaty Fouriera:

(2.42)

(2.43)

Istnieją inne normalizacje gęstości widmowej, na przykład:

(2.44)

Na podstawie przekształceń Fouriera łatwo otrzymać np. dla procesu losowego o K(t) postaci (2.38):

(2.45)

Stacjonarny proces losowy, którego gęstość widmowa jest stała (S(w)=S=const) nazywamy stacjonarnym biały szum. Funkcja korelacji stacjonarnego białego szumu jest równa zeru dla wszystkich , co oznacza, że dowolne dwa jej odcinki nie są skorelowane.

Problem modelowania stacjonarnego normalnego procesu losowego (SNSP) można sformułować jako problem znalezienia algorytmu umożliwiającego uzyskanie dyskretnych implementacji tego procesu na komputerze. Proces X(t) jest zastępowany z zadaną dokładnością przez odpowiedni proces X(nDt) o czasie dyskretnym t n = nDt (Dt jest krokiem próbkowania procesu, n jest argumentem całkowitym). W rezultacie losowemu procesowi x(t) zostaną przypisane losowe sekwencje:

x k [n]=x k (nDt), (2,46)

gdzie k jest numerem implementacji.

Oczywiście dowolny element ciągu losowego x(nDt) można traktować jako losową funkcję jego liczby, tj. całkowitoliczbowy argument n i tym samym wykluczamy Dt z rozważań, które jest brane pod uwagę przy zapisywaniu (2.46). Ponadto, aby odróżnić argument będący liczbą całkowitą od stale zmieniającego się argumentu, jest on ujęty w nawiasy kwadratowe.

Losowe sekwencje są często określane jako dyskretne losowe procesy lub szeregi czasowe.

Wiadomo, że dodanie funkcja losowa zmienna nielosowa nie zmienia wartości funkcji korelacji. Dlatego w praktyce bardzo często modeluje się procesy losowe centrowane (MOR jest równe zeru), z których zawsze można przejść do rzeczywistego, dodając MOR do członków ciągu losowego symulującego proces losowy.

Dla sekwencji losowych funkcja korelacji i gęstość widmowa są obliczane z zależności:

(2.47)

(2.48)

Zredukowanie losowego procesu do losowej sekwencji zasadniczo oznacza zastąpienie go wielowymiarowym wektorem. Dlatego rozważana metoda modelowania wektorów losowych, ogólnie rzecz biorąc, nadaje się do modelowania procesów losowych zadanych w skończonym przedziale czasu. Jednak w przypadku stacjonarnych normalnych procesów losowych jest ich więcej skuteczne metody budowa algorytmów modelowania. Rozważ dwie metody, które otrzymały największe zastosowanie w praktyce.

| Modelowanie w arkuszach kalkulacyjnych

Lekcja 20
Modelowanie w arkuszach kalkulacyjnych

Symulacja procesów losowych

Sprawa jest nieodłączną częścią naszego życia. Jeśli sprawa nam w czymś pomogła, mówimy - szczęśliwie, jeśli okazała się nie na naszą korzyść, lamentujemy - co za los! Wielu naukowców poświęciło swój talent badaniu wzorców zdarzenia losowe. Znajomość praw przypadku może być przydatna w różne obszary: od określania prawdopodobieństwa wystąpienia jakiegoś zdarzenia, takiego jak wygrana na loterii, po wykorzystanie wzorców statystycznych eksperymenty naukowe. Poniżej zasymulujemy sytuacje, które w teorii prawdopodobieństwa nazywane są „spacerami losowymi”.

Wyobraź sobie siebie na długiej prostej drodze. Rzucasz monetą. Jeśli to reszka, robisz krok do przodu, jeśli to reszka, cofasz się. Jak daleko zaprowadzi Cię taka jednowymiarowa (w jednym kierunku) wędrówka?

PROBLEM 3.32. rzut monetą

ja inscenizuję. Sformułowanie problemu

OPIS PROBLEMU

Masz 10 monet. Chcesz podwoić swój kapitał, jednocześnie testując swój los. Istota gry jest prosta. Grając z brokerem, stawiasz zakład i rzucasz monetą. Jeśli „orzeł” wypadnie, broker poda ci kwotę zakładu, w przeciwnym razie ty mu tę kwotę. Zakład może być dowolny: od 1 do 10 monet. Możesz nominować najwięcej duży zakład za 10 monet, a potem za jednym rzutem okaże się, czy „rozbiłeś” bank, czy odwrotnie, zbankrutowałeś. Doświadczeni gracze zachowuj się ostrożniej, zaczynając od małego zakładu.

Podwojenie kapitału początkowego lub bankructwo skutkuje natychmiastowym zakończeniem tej sesji gry i rozliczeniem. Gra może być kontynuowana według twojego uznania.

CEL SYMULACJI

Symulując możliwe sytuacje w grze, w szczególności zmieniając stawki w danej grze, dowiedz się, która taktyka częściej prowadzi do wyniku (pozytywnego lub negatywnego).

Ostrzeż potencjalnych graczy o stopniu ryzyka i niemożności wzbogacenia się poprzez hazard.

FORMALIZACJA PROBLEMU

Odpowiemy na następujące pytania:

II etap. Rozwój modelu

WZÓR INFORMACYJNY

Gra jest tutaj modelowana. Zabawa to proces, w którym uczestniczą trzy obiekty: gracz, broker i „Jego Królewska Mość sprawa”, która w tej grze jest reprezentowana przez monetę. Broker określa stratę lub zysk gracza, wypłaca wygrane.

Możesz symulować wynik spadającej monety za pomocą tej funkcji SKRAJ(). Ta funkcja generuje liczby losowe X w zasięgu 0 ≤ x ˂ 1. Ponieważ prawdopodobieństwo wypadnięcia z jednej lub drugiej strony wynosi „pół na pół”, to jeśli RAND() ˂ 0,5, to wynikiem są „reszki” (1), w przeciwnym razie „reszki” (0).

Wzór na upadek monety podczas rzutu jest następujący:

Rzut = JEŻELI(RAND() ˂ 0,5; 1; 0),

tutaj „1” na wyjściu funkcji oznacza, że gracz odgadł poprawnie, to znaczy wypadły „głowy”, a „O” nie zgadł, czyli wypadły „reszki”.

Formuła zmiany gotówki gracza jest następująca:

Gotówka = JEŻELI (rzut=1; gotówka+stawka; gotówka-stawka)

Zwycięska formuła:

Wygrana = JEŻELI(Gotówka ˂ 2*Kapitał początkowy; „-”, „bank”)

tutaj komunikat „bank” pojawia się, gdy gotówka podwoi się lub więcej, co jest warunkiem zatrzymania gry.

Funkcja wykrywania strat:

Strata = JEŻELI (gotówka ˃ 0; „bankrut”)

tutaj na koniec kasy wydawany jest komunikat „bankrut”, co jest jednocześnie warunkiem zakończenia gry.

MODEL KOMPUTERA

Wstępne dane;
statystyki eksperymentu.

Wprowadź dane do tabeli.

Wprowadź następujące formuły do części obliczeniowej:

PLAN EKSPERYMENTU

TESTOWANIE

EKSPERYMENT 1

Zbadaj utratę „orłów” i „reszek” podczas sesji gry.

EKSPERYMENT 2

PRZEPROWADZAĆ BADANIE

TESTOWANIE

Wprowadź początkowe dane kontrolne do tabeli i wzory obliczeniowe do pierwszej linii. Porównaj wyniki z podanymi w tabeli.

Widzimy spadek gotówki o wartość kursu. Jeśli w kolumnie Rzut wypadnie „1” (rezeł), dane w pozostałych kolumnach powinny wyglądać następująco:

Jeśli kolumna Rzut pokazuje „O” (reszka), dane w pozostałych kolumnach powinny wyglądać następująco:

Widzimy wzrost gotówki o wartość kursu. Porównanie z próbą kontrolną pokazuje poprawność wprowadzenia receptur.

1. Skopiuj formuły do poniższych komórek w widocznej przestrzeni ekranu (około 20 rzutów). W ten sposób symulujesz całą sesję gry na raz - 20 rzutów. Możesz „rozciągnąć” przyjemność i skopiować formuły tylko do jednego dolnego rzędu, symulując jeden rzut monetą. Ale biorąc pod uwagę, że wymagane jest zebranie pewnych statystyk w celu wyciągnięcia wniosków, eksperyment jest celowo przyspieszany. Pojawienie się w kolumnie Wygrana komunikatu „bank” oznacza podwojenie stanu gotówki, aw kolumnie Strata komunikatu „bankrut” zero gotówki. Oba prowadzą do końca sesji gry. Dalsze wyniki są ignorowane. Sesję gry uważa się za zakończoną.

2. Kolejna sesja gry rozgrywana jest w tych samych komórkach poprzez aktualizację danych pierwszej kolumny, dla której formuła z komórki A7 musi zostać ponownie skopiowana do niższych komórek.

3. Zbieraj statystyki gry. Aby to zrobić, w wolnym obszarze arkusza kalkulacyjnego zapisz wyniki 10-20 sesji gry w następującej formie:

♦ Kto częściej wygrywa: kasyno czy gracz?
♦ Średnio, ile strzałów należy oddać przed końcem gry? EKSPERYMENT 2. Symulacja gry z różnymi stawkami Zmień wysokość stawki za jeden rzut (4, 7 i 10 monet). Zrób 20 rolek. Gra może zakończyć się wcześniej lub nie.

Rozegraj 10 sesji gry dla każdego zakładu.

Zbieraj statystyki gry. W tym celu w wolnym obszarze arkusza kalkulacyjnego zapisz wyniki 10 sesji gry w następującej formie:

IV etap. Analiza wyników symulacji

Na podstawie obszaru „Statystyki” wyciągnij wnioski dotyczące zakładu jednej monety; inne stawki. Wybierz i uzasadnij własną taktykę gry (zakład).