Jak znaleźć ogólne i szczególne rozwiązanie układu równań liniowych. Wspólna, niestawowa martwica

12.10.2019

Przykład 1. Znajdź rozwiązanie ogólne i rozwiązanie szczególne układu

Rozwiązanie zrób to kalkulatorem Wypisujemy macierze rozszerzone i główne:

Linią kropkowaną oddzielona jest macierz główna A. Od góry zapisujemy nieznane układy, pamiętając o możliwej permutacji wyrazów w równaniach układu. Określając rangę rozszerzonej macierzy, jednocześnie znajdujemy rangę macierzy głównej. W macierzy B pierwsza i druga kolumna są proporcjonalne. Z dwóch kolumn proporcjonalnych tylko jedna może mieścić się w podstawowej moll, więc przesuńmy na przykład pierwszą kolumnę poza przerywaną linię ze znakiem przeciwnym. Dla układu oznacza to przeniesienie wyrazów z x 1 na prawą stronę równań.

Doprowadzamy macierz do trójkątnej formy. Będziemy pracować tylko z wierszami, ponieważ pomnożenie wiersza macierzy przez liczbę inną niż zero i dodanie do innego wiersza dla układu oznacza pomnożenie równania przez tę samą liczbę i dodanie go do innego równania, co nie zmienia rozwiązania układu . Praca z pierwszym wierszem: pomnóż pierwszy wiersz macierzy przez (-3) i dodaj kolejno do drugiego i trzeciego wiersza. Następnie mnożymy pierwszy wiersz przez (-2) i dodajemy go do czwartego.

Druga i trzecia linia są proporcjonalne, dlatego jedną z nich, na przykład drugą, można przekreślić. Jest to równoznaczne z usunięciem drugiego równania układu, ponieważ jest konsekwencją trzeciego.

Teraz pracujemy z drugą linią: pomnóż ją przez (-1) i dodaj do trzeciej.

Drugorzędna przerywana ma najwyższy rząd (ze wszystkich możliwych drugorzędnych) i jest różna od zera (jest równa iloczynowi elementów na głównej przekątnej), a ta drugorzędna należy zarówno do macierzy głównej, jak i rozszerzonej, stąd rangA = ranga B = 3 .
Drobny jest zasadowy. Zawiera współczynniki dla nieznanych x 2, x 3, x 4, co oznacza, że nieznane x 2, x 3, x 4 są zależne, a x 1, x 5 są wolne.
Przekształcamy macierz, pozostawiając po lewej stronie tylko podstawową drugorzędną (co odpowiada punktowi 4 powyższego algorytmu rozwiązania).

Układ ze współczynnikami tej macierzy jest odpowiednikiem układu pierwotnego i ma postać

Metodą eliminacji niewiadomych znajdujemy:
, ,

Otrzymaliśmy relacje wyrażające zmienne zależne x 2, x 3, x 4 do wolnych x 1 i x 5, czyli znaleźliśmy rozwiązanie ogólne:

Nadając dowolne wartości wolnym niewiadomym, otrzymujemy dowolną liczbę poszczególnych rozwiązań. Znajdźmy dwa konkretne rozwiązania:
1) niech x 1 = x 5 = 0, wtedy x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) wstaw x 1 = 1, x 5 = -1, następnie x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
W ten sposób znaleźliśmy dwa rozwiązania: (0.1, -3,3,0) - jedno rozwiązanie, (1,4, -7,7, -1) - drugie rozwiązanie.

Przykład 2. Zbadaj kompatybilność, znajdź ogólne i jedno szczególne rozwiązanie systemu

Rozwiązanie. Zmieńmy kolejność pierwszego i drugiego równania, aby mieć jednostkę w pierwszym równaniu i napiszmy macierz B.

Otrzymujemy zera w czwartej kolumnie, działając na pierwszym wierszu:

Teraz zdobądź zera w trzeciej kolumnie, używając drugiego wiersza:

Trzeci i czwarty rząd są proporcjonalne, więc jeden z nich można przekreślić bez zmiany rangi:
Pomnóż trzeci wiersz przez (-2) i dodaj do czwartego:

Widzimy, że rangi macierzy głównej i rozszerzonej wynoszą 4, a ranga pokrywa się z liczbą niewiadomych, dlatego system ma unikalne rozwiązanie:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Przykład 3. Sprawdź system pod kątem zgodności i znajdź rozwiązanie, jeśli istnieje.

Rozwiązanie. Tworzymy rozszerzoną macierz systemu.

Zmień układ dwóch pierwszych równań tak, aby w lewym górnym rogu znajdowała się cyfra 1:
Mnożąc pierwszy wiersz przez (-1), dodajemy go do trzeciego:

Pomnóż drugą linię przez (-2) i dodaj do trzeciej:

Układ jest niespójny, ponieważ główna macierz otrzymała wiersz składający się z zer, który jest przekreślany po znalezieniu rangi, a ostatni wiersz pozostaje w macierzy rozszerzonej, czyli r B > r A .

Ćwiczenia. Zbadaj ten układ równań pod kątem zgodności i rozwiąż go za pomocą rachunku macierzowego.
Rozwiązanie

Przykład. Udowodnij zgodność układu równań liniowych i rozwiąż go na dwa sposoby: 1) metodą Gaussa; 2) Metoda Cramera. (odpowiedź wpisz w postaci: x1,x2,x3)
Rozwiązanie :doc :doc :xls
Odpowiedź: 2,-1,3.

Przykład. Podano układ równań liniowych. Udowodnij jego kompatybilność. Znajdź rozwiązanie ogólne układu i jedno rozwiązanie szczególne.
Rozwiązanie
Odpowiedź: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3 x 5

Ćwiczenia. Znajdź ogólne i szczegółowe rozwiązania dla każdego systemu.
Rozwiązanie. Badamy ten system za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego.
Wypisujemy macierze rozszerzone i główne:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x2	x 3	x4	x5

Tutaj macierz A jest pogrubioną czcionką.
Doprowadzamy macierz do trójkątnej formy. Będziemy pracować tylko z wierszami, ponieważ pomnożenie wiersza macierzy przez liczbę inną niż zero i dodanie do innego wiersza dla układu oznacza pomnożenie równania przez tę samą liczbę i dodanie go do innego równania, co nie zmienia rozwiązania układu .
Pomnóż pierwszy wiersz przez (3). Pomnóż drugi wiersz przez (-1). Dodajmy drugą linię do pierwszej:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Pomnóż drugi wiersz przez (2). Pomnóż trzeci wiersz przez (-3). Dodajmy trzecią linię do drugiej:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Pomnóż drugi wiersz przez (-1). Dodajmy drugą linię do pierwszej:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Wybrany minor ma najwyższy rząd (spośród możliwych minorów) i jest różny od zera (jest równy iloczynowi elementów na odwrotnej przekątnej), a ten minor należy zarówno do macierzy głównej, jak i rozszerzonej, stąd rang( A) = rang(B) = 3 Ponieważ ranga macierzy głównej jest równa randze macierzy rozszerzonej, to system jest współpracujący.
Ten nieletni jest podstawowy. Zawiera współczynniki dla nieznanych x 1, x 2, x 3, co oznacza, że nieznane x 1, x 2, x 3 są zależne (podstawowe), a x 4, x 5 są dowolne.
Przekształcamy macierz, pozostawiając po lewej stronie tylko podstawowy minor.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x2	x 3		x4	x5

Układ ze współczynnikami tej macierzy jest równoważny układowi pierwotnemu i ma postać:
27x3=
- x 2 + 13 x 3 = - 1 + 3 x 4 - 6 x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Metodą eliminacji niewiadomych znajdujemy:
Otrzymaliśmy relacje wyrażające zmienne zależne x 1, x 2, x 3 do wolnych x 4, x 5, czyli znaleźliśmy wspólna decyzja:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
niepewny, ponieważ ma więcej niż jedno rozwiązanie.

Ćwiczenia. Rozwiąż układ równań.
Odpowiedź: x 2 = 2 - 1,67 x 3 + 0,67 x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Nadając dowolne wartości wolnym niewiadomym, otrzymujemy dowolną liczbę poszczególnych rozwiązań. System jest niepewny

System nazywa się wspólny, Lub rozpuszczalny jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie. System nazywa się niekompatybilny, Lub nierozpuszczalny jeśli nie ma rozwiązań.

Określone, nieokreślone SLAE.

Jeśli umowa SLAE ma rozwiązanie i jest unikatowa, nazywa się ją niektórzy a jeśli rozwiązanie nie jest unikalne, to niepewny.

RÓWNANIA MATRYCOWE

Macierze umożliwiają krótkie zapisanie układu równań liniowych. Niech dany będzie układ 3 równań z trzema niewiadomymi:

Rozważ macierz systemu i kolumny macierzowe nieznanych i wolnych członków

Znajdźmy produkt

te. w wyniku iloczynu otrzymujemy lewe strony równań tego układu. Następnie, korzystając z definicji równości macierzy, system ten można zapisać jako

lub krócej A∙X=B.

Tutaj macierze A I B są znane, a macierz X nieznany. Trzeba ją znaleźć, bo. jego elementy są rozwiązaniem tego układu. To równanie nazywa się równanie macierzowe.

Niech wyznacznik macierzy będzie różny od zera | A| ≠ 0. Wtedy równanie macierzowe rozwiązuje się w następujący sposób. Pomnóż obie strony równania po lewej stronie przez macierz A-1, odwrotność macierzy A: . Ponieważ A-1 A = E I mi∙X=X, to otrzymujemy rozwiązanie równania macierzowego w postaci X = A -1 B .

Należy zauważyć, że ponieważ macierz odwrotną można znaleźć tylko dla macierzy kwadratowych, metoda macierzowa może rozwiązać tylko te systemy, w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych.

Wzory Cramera

Metoda Cramera polega na tym, że sukcesywnie znajdujemy główny identyfikator systemu, tj. wyznacznik macierzy A: D = det (a i j) oraz n wyznaczniki pomocnicze D i (i= ), które otrzymujemy z wyznacznika D przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Formuły Cramera wyglądają następująco: D × x i = D i (i = ).

Z tego wynika reguła Cramera, która daje wyczerpującą odpowiedź na pytanie o kompatybilność systemu: jeśli główny wyznacznik systemu jest niezerowy, to system ma jednoznaczne rozwiązanie określone wzorami: x i = D i / D.

Jeżeli główny wyznacznik systemu D i wszystkie wyznaczniki pomocnicze D i = 0 (i= ), to układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Jeżeli główny wyznacznik systemu D = 0, a co najmniej jeden wyznacznik pomocniczy jest różny od zera, to układ jest niespójny.

Twierdzenie (reguła Cramera): Jeśli wyznacznikiem systemu jest Δ ≠ 0, to rozważany system ma jedno i tylko jedno rozwiązanie oraz

Dowód: Rozważmy więc układ 3 równań z trzema niewiadomymi. Pomnóż pierwsze równanie układu przez dopełnienie algebraiczne 11 element 11, drugie równanie - włączone A21 i 3. - wł 31:

Dodajmy te równania:

Rozważ każdy z nawiasów i prawą stronę tego równania. Zgodnie z twierdzeniem o rozwinięciu wyznacznika pod względem elementów pierwszej kolumny.

Podobnie można pokazać, że i .

Wreszcie łatwo to zauważyć

Otrzymujemy więc równość: . Stąd, .

Równości i są wyprowadzane podobnie, stąd wynika twierdzenie twierdzenia.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Układ równań liniowych jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy układu jest równy rządowi macierzy rozszerzonej.

Dowód: Rozkłada się na dwa etapy.

1. Niech system ma rozwiązanie. Pokażmy to.

Niech zbiór liczb jest rozwiązaniem układu. Oznaczmy przez -tą kolumnę macierzy , . Wtedy , czyli kolumna wyrazów wolnych jest kombinacją liniową kolumn macierzy . Pozwalać . Udawajmy, że . Następnie przez . Wybieramy w podstawowym moll. Ma porządek. Kolumna wolnych członków musi przechodzić przez tę nieletnią, w przeciwnym razie będzie to podstawa drugorzędna macierzy. Kolumna wyrazów wolnych w mniejszych jest liniową kombinacją kolumn macierzy. Na mocy właściwości wyznacznika, gdzie jest wyznacznik uzyskany z nieletniego przez zastąpienie kolumny terminów wolnych kolumną. Jeśli kolumna przeszła przez małe M, to w , będą dwie identyczne kolumny, a zatem . Jeśli kolumna nie przeszła przez podrzędną, to będzie się różnić od podrzędnej rzędu r + 1 macierzy tylko kolejnością kolumn. Od , więc . A zatem, co stoi w sprzeczności z definicją podstawy małoletniej. Stąd założenie, że , jest fałszywe.

2. Niech . Pokażmy, że układ ma rozwiązanie. Skoro , to podstawa podrzędna macierzy jest podstawą podrzędną macierzy . Niech kolumny przejdą przez minor . Wtedy, na podstawie twierdzenia o podstawie mniejszej w macierzy, kolumna wyrazów wolnych jest liniową kombinacją wskazanych kolumn:

(1)

Ustalamy , , , , i przyjmujemy pozostałe niewiadome równe zeru. Następnie dla tych wartości otrzymujemy

Na mocy równości (1) . Ostatnia równość oznacza, że zbiór liczb jest rozwiązaniem układu. Udowodniono istnienie rozwiązania.

W systemie omówionym powyżej , a system jest spójny. W systemie , , a system jest niespójny.

Uwaga: Chociaż twierdzenie Kroneckera-Capelliego umożliwia określenie, czy system jest niesprzeczny, jest ono stosowane dość rzadko, głównie w badaniach teoretycznych. Powodem jest to, że obliczenia wykonywane podczas znajdowania rangi macierzy są w zasadzie takie same, jak obliczenia podczas znajdowania rozwiązania systemu. Dlatego zwykle zamiast szukać i , szuka się rozwiązania systemu. Jeśli uda się go znaleźć, wówczas dowiadujemy się, że system jest niesprzeczny i jednocześnie otrzymujemy jego rozwiązanie. Jeśli nie można znaleźć rozwiązania, wnioskujemy, że system jest niespójny.

Algorytm znajdowania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych (metoda Gaussa)

Niech dany będzie układ równań liniowych z niewiadomymi. Wymagane jest znalezienie jego ogólnego rozwiązania, jeśli jest ono zgodne, lub ustalenie jego niezgodności. Metoda, która zostanie przedstawiona w tym podrozdziale, jest zbliżona do metody obliczania wyznacznika i metody znajdowania rzędu macierzy. Proponowany algorytm nazywa się Metoda Gaussa Lub metoda sukcesywnej eliminacji niewiadomych.

Napiszmy rozszerzoną macierz układu

Następujące operacje na macierzach nazywamy operacjami elementarnymi:

1. permutacja linii;

2. mnożenie ciągu znaków przez liczbę różną od zera;

3. dodanie ciągu z innym ciągiem pomnożonym przez liczbę.

Zauważ, że rozwiązując układ równań, w przeciwieństwie do obliczania wyznacznika i znajdowania rangi, nie można operować kolumnami. Jeżeli układ równań zostanie odtworzony z macierzy otrzymanej w wyniku wykonania elementarnej operacji, to nowy układ będzie równoważny pierwotnemu.

Celem algorytmu jest, poprzez zastosowanie sekwencji elementarnych operacji na macierzy, zapewnienie, że każdy wiersz, być może z wyjątkiem pierwszego, zaczyna się od zer, a liczba zer do pierwszego niezerowego elementu w każdym kolejnym wiersz jest większy niż w poprzednim.

Krok algorytmu jest następujący. Znajdź pierwszą niezerową kolumnę w macierzy. Niech to będzie kolumna z numerem . Znajdujemy w nim niezerowy element i zamieniamy wiersz z tym elementem z pierwszym wierszem. Aby nie piętrzyć dodatkowej notacji, przyjmiemy, że taka zmiana wierszy w macierzy została już dokonana, czyli . Następnie do drugiego wiersza dodajemy pierwszy pomnożony przez liczbę , do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy pomnożony przez liczbę itd. W rezultacie otrzymujemy macierz

(Zwykle brakuje pierwszych pustych kolumn).

Jeżeli macierz ma wiersz o liczbie k, w której wszystkie elementy są równe zeru oraz , to przerywamy wykonywanie algorytmu i stwierdzamy, że układ jest niespójny. Rzeczywiście, odtwarzając układ równań z rozszerzonej macierzy, otrzymujemy, że -te równanie będzie miało postać

To równanie nie spełnia żadnego zestawu liczb .

Macierz można zapisać jako

W odniesieniu do macierzy wykonujemy opisany krok algorytmu. Zdobądź macierz

Gdzie , . Tę macierz można ponownie zapisać jako

i powyższy krok algorytmu jest ponownie stosowany do macierzy.

Proces zatrzymuje się, jeśli po wykonaniu kolejnego kroku nowa zredukowana macierz składa się tylko z zer lub wszystkie wiersze są wyczerpane. Należy pamiętać, że wniosek o niezgodności systemu może zatrzymać proces jeszcze wcześniej.

Gdybyśmy nie redukowali macierzy, to w końcu doszlibyśmy do macierzy postaci

Następnie wykonywany jest tzw. odwrotny przebieg metody Gaussa. Na podstawie macierzy układamy układ równań. Po lewej stronie zostawiamy niewiadome z liczbami odpowiadającymi pierwszym niezerowym elementom w każdym wierszu, czyli . Zauważ, że . Pozostałe niewiadome są przenoszone na prawą stronę. Biorąc pod uwagę, że niewiadome po prawej stronie są pewnymi ustalonymi wielkościami, łatwo jest wyrazić za ich pomocą niewiadome po lewej stronie.

Teraz, podając dowolne wartości niewiadomym po prawej stronie i obliczając wartości zmiennych po lewej stronie, znajdziemy różne rozwiązania pierwotnego układu Ax=b. Aby zapisać ogólne rozwiązanie, konieczne jest oznaczenie niewiadomych po prawej stronie w dowolnej kolejności literami , w tym te niewiadome, które nie są jawnie wypisane po prawej stronie ze względu na zerowe współczynniki, a następnie kolumnę niewiadomych można zapisać jako kolumnę, w której każdy element jest liniową kombinacją dowolnych wartości (w szczególności tylko dowolna wartość). Ten wpis będzie ogólnym rozwiązaniem systemu.

Jeżeli układ był jednorodny, to otrzymujemy ogólne rozwiązanie układu jednorodnego. Współczynniki , wzięte w każdym elemencie kolumny rozwiązania ogólnego, utworzą pierwsze rozwiązanie z podstawowego układu rozwiązań, współczynniki , drugie rozwiązanie i tak dalej.

Metoda 2: Podstawowy układ rozwiązań układu jednorodnego można otrzymać w inny sposób. W tym celu jednej zmiennej, przeniesionej na prawą stronę, należy przypisać wartość 1, a reszcie - zera. Obliczając wartości zmiennych po lewej stronie, otrzymujemy jedno rozwiązanie z układu podstawowego. Przypisując drugiej zmiennej po prawej stronie wartość 1, a pozostałym zer, otrzymujemy drugie rozwiązanie z układu podstawowego i tak dalej.

Definicja: system nazywa się łącznie th, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, a sprzeczne - w przeciwnym przypadku, czyli w przypadku, gdy system nie ma rozwiązań. Kwestia, czy układ ma rozwiązanie, czy nie, wiąże się nie tylko ze stosunkiem liczby równań do liczby niewiadomych. Na przykład układ trzech równań z dwiema niewiadomymi

ma rozwiązanie , a nawet ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale układ dwóch równań z trzema niewiadomymi.

……. … ……

ZA m 1 x 1 + … + za mn x n = 0

Ten system jest zawsze spójny, ponieważ ma trywialne rozwiązanie x 1 =…=x n =0

Aby istniały rozwiązania nietrywialne, jest to konieczne i wystarczające

warunki r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Cz Zbiór rozwiązań SLAE tworzy przestrzeń liniową o wymiarze (n-r). Oznacza to, że iloczyn jego rozwiązania przez liczbę, a także suma i liniowa kombinacja skończonej liczby jego rozwiązań są rozwiązaniami tego układu. Przestrzeń rozwiązań liniowych dowolnego SLAE jest podprzestrzenią przestrzeni R n .

Dowolny zbiór (n-r) liniowo niezależnych rozwiązań SLAE (który jest bazą w przestrzeni rozwiązań) jest nazywany podstawowy zbiór rozwiązań (FSR).

Niech х 1 ,…,х r będą podstawowymi niewiadomymi, х r +1 ,…,х n będą wolnymi niewiadomymi. Wolnym zmiennym podajemy po kolei następujące wartości:

……. … ……

ZA m 1 x 1 + … + za mn x n = 0

Tworzy przestrzeń liniową S (przestrzeń rozwiązań), która jest podprzestrzenią w R n (n jest liczbą niewiadomych) oraz dims=k=n-r, gdzie r jest rzędem układu. Baza w przestrzeni rozwiązań(x(1) ,…, x(k) ) nazywana jest podstawowym układem rozwiązań, a rozwiązanie ogólne ma postać:

X=c 1 x (1) + … + do k x (k) , do (1) ,…, do (k) ? R

Systemy M równania liniowe z N nieznany.
Rozwiązywanie układu równań liniowych jest takim zbiorem liczb ( x 1 , x 2 , …, x rz), podstawiając które do każdego z równań układu, uzyskuje się poprawną równość.
Gdzie za ij , ja = 1, …, m; j = 1, …, n są współczynnikami systemu;
b ja , ja = 1, …, m- wolni członkowie;
x jot , jot = 1, …, n- nieznany.
Powyższy układ można zapisać w postaci macierzowej: X = B,

Gdzie ( A|B) jest główną macierzą systemu;
A— rozbudowana macierz systemu;
X— kolumna niewiadomych;
B jest kolumną wolnych członków.
Jeśli macierz B nie jest macierzą zerową ∅, to ten układ równań liniowych nazywamy niejednorodnym.
Jeśli macierz B= ∅, to ten układ równań liniowych nazywamy jednorodnym. Układ jednorodny zawsze ma rozwiązanie zerowe (trywialne): x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
Wspólny układ równań liniowych jest układem równań liniowych, który ma rozwiązanie.
Niespójny układ równań liniowych jest układem równań liniowych, który nie ma rozwiązań.
Pewien układ równań liniowych jest układem równań liniowych, który ma unikalne rozwiązanie.
Nieoznaczony układ równań liniowych jest układem równań liniowych, który ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
Układy n równań liniowych z n niewiadomymi
Jeśli liczba niewiadomych jest równa liczbie równań, to macierz jest kwadratowa. Wyznacznik macierzowy nazywany jest głównym wyznacznikiem układu równań liniowych i oznaczany jest symbolem Δ.
Metoda Cramera do rozwiązywania układów N równania liniowe z N nieznany.
Reguła Cramera.
Jeżeli główny wyznacznik układu równań liniowych nie jest równy zeru, to układ jest spójny i zdefiniowany, a jedyne rozwiązanie obliczane jest za pomocą wzorów Cramera:
gdzie Δ i są wyznacznikami otrzymanymi z głównego wyznacznika systemu Δ przez zamianę I kolumna do kolumny wolnych członków. .
Układy m równań liniowych z n niewiadomymi
Twierdzenie Kroneckera-Cappellego.

Aby ten układ równań liniowych był niesprzeczny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy układu był równy rządowi rozszerzonej macierzy układu, ranga(Α) = ranga(Α|B).
Jeśli zadzwonił(Α) ≠ zadzwonił(Α|B), to oczywiście układ nie ma rozwiązań.
Jeśli ranga(Α) = ranga(Α|B), to możliwe są dwa przypadki:
1) zadzwonił(Α) = n(do liczby niewiadomych) - rozwiązanie jest jednoznaczne i można je otrzymać ze wzorów Cramera;
2) ranga (Α)< n − istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.
Metoda Gaussa do rozwiązywania układów równań liniowych

Skomponujmy rozszerzoną macierz ( A|B) danego układu współczynników po nieznanej i prawej stronie.
Metoda Gaussa lub metoda eliminacji niewiadomych polega na zmniejszeniu rozszerzonej macierzy ( A|B) za pomocą elementarnych przekształceń po jego rzędach do postaci diagonalnej (do górnej formy trójkątnej). Wracając do układu równań, wszystkie niewiadome są określone.
Elementarne przekształcenia łańcuchów obejmują:
1) zamiana dwóch linii;
2) mnożenie napisu przez liczbę inną niż 0;
3) dodanie do ciągu kolejnego ciągu pomnożonego przez dowolną liczbę;
4) odrzucanie pustego łańcucha.
Rozciągnięta macierz sprowadzona do postaci diagonalnej odpowiada układowi liniowemu równoważnemu podanemu, którego rozwiązanie nie sprawia trudności. .
Układ jednorodnych równań liniowych.
Układ jednorodny ma postać:

odpowiada równaniu macierzowemu X = 0.
1) System jednorodny jest zawsze spójny, ponieważ r(A) = r(A|B), zawsze istnieje rozwiązanie zerowe (0, 0, …, 0).
2) Aby układ jednorodny miał niezerowe rozwiązanie, jest to konieczne i wystarczające r = r(A)< n , co jest równoważne Δ = 0.
3) Jeśli R< n , wtedy Δ = 0, to są wolne niewiadome do 1 , do 2 , …, do nr-r, układ ma rozwiązania nietrywialne, a jest ich nieskończenie wiele.
4) Rozwiązanie ogólne X Na R< n można zapisać w postaci macierzowej w następujący sposób:
X \u003d do 1 X 1 + do 2 X 2 + ... + do n-r X n-r,
gdzie są rozwiązania X 1 , X 2 , …, X n-r tworzą podstawowy system rozwiązań.
5) Podstawowy układ rozwiązań można otrzymać z ogólnego rozwiązania układu jednorodnego:

,
jeśli kolejno przyjmiemy, że wartości parametrów to (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Dekompozycja rozwiązania ogólnego pod względem podstawowego układu rozwiązań jest zapisem rozwiązania ogólnego jako liniowej kombinacji rozwiązań należących do systemu podstawowego.
Twierdzenie. Aby układ równań liniowych jednorodnych miał rozwiązanie niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby Δ ≠ 0.
Tak więc, jeśli wyznacznik wynosi Δ ≠ 0, to system ma unikalne rozwiązanie.
Jeżeli Δ ≠ 0, to układ równań liniowych jednorodnych ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
Twierdzenie. Aby układ jednorodny miał niezerowe rozwiązanie, jest to konieczne i wystarczające r(A)< n .
Dowód:
1) R nie może być więcej N(ranga macierzy nie przekracza liczby kolumn lub wierszy);
2) R< n , ponieważ Jeśli r=n, to główny wyznacznik układu Δ ≠ 0 i zgodnie ze wzorami Cramera istnieje unikalne trywialne rozwiązanie x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, co jest sprzeczne z warunkiem. Oznacza, r(A)< n .
Konsekwencja. W celu uzyskania jednorodnego systemu N równania liniowe z N niewiadome ma rozwiązanie niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby Δ = 0.

Układy równań są szeroko stosowane w ekonomii w matematycznym modelowaniu różnych procesów. Na przykład przy rozwiązywaniu problemów zarządzania i planowania produkcji, tras logistycznych (problem transportowy) czy rozmieszczenia sprzętu.

Systemy równań są wykorzystywane nie tylko w matematyce, ale także w fizyce, chemii i biologii przy rozwiązywaniu problemów określania wielkości populacji.

Układ równań liniowych to termin określający dwa lub więcej równań z kilkoma zmiennymi, dla których konieczne jest znalezienie wspólnego rozwiązania. Taki ciąg liczb, dla którego wszystkie równania stają się prawdziwymi równościami lub dowodzą, że ciąg nie istnieje.

Równanie liniowe

Równania postaci ax+by=c nazywane są liniowymi. Oznaczenia x, y to niewiadome, których wartość należy znaleźć, b, a to współczynniki zmiennych, c to wolny termin równania.
Rozwiązanie równania poprzez wykreślenie jego wykresu będzie wyglądać jak linia prosta, której wszystkie punkty są rozwiązaniem wielomianu.

Rodzaje układów równań liniowych

Najprostsze to przykłady układów równań liniowych z dwiema zmiennymi X i Y.

F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdzie F1,2 to funkcje, a (x, y) to zmienne funkcyjne.

Rozwiąż układ równań - oznacza znalezienie takich wartości (x, y), dla których układ staje się prawdziwą równością, lub ustalenie, że nie ma odpowiednich wartości x i y.

Parę wartości (x, y), zapisanych jako współrzędne punktu, nazywamy rozwiązaniem układu równań liniowych.

Jeśli systemy mają jedno wspólne rozwiązanie lub nie ma rozwiązania, nazywamy je równoważnymi.

Układy jednorodne równań liniowych to układy, których prawa strona jest równa zeru. Jeżeli prawa część po znaku równości ma wartość lub jest wyrażona funkcją, to taki układ nie jest jednorodny.

Liczba zmiennych może być znacznie większa niż dwie, wtedy powinniśmy mówić o przykładzie układu równań liniowych z trzema lub więcej zmiennymi.

W obliczu systemów uczniowie zakładają, że liczba równań musi koniecznie pokrywać się z liczbą niewiadomych, ale tak nie jest. Liczba równań w układzie nie zależy od zmiennych, może ich być dowolnie duża liczba.

Proste i złożone metody rozwiązywania układów równań

Nie ma ogólnego analitycznego sposobu rozwiązywania takich układów, wszystkie metody opierają się na rozwiązaniach numerycznych. Szkolny kurs matematyki opisuje szczegółowo takie metody jak permutacja, dodawanie algebraiczne, podstawienie, a także metodę graficzną i macierzową, rozwiązanie metodą Gaussa.

Głównym zadaniem w nauczaniu metod rozwiązywania jest nauczenie prawidłowej analizy systemu i znalezienia optymalnego algorytmu rozwiązania dla każdego przykładu. Najważniejsze nie jest zapamiętanie systemu zasad i działań dla każdej metody, ale zrozumienie zasad stosowania określonej metody.

Rozwiązanie przykładowych układów równań liniowych siódmej klasy programu szkoły ogólnokształcącej jest dość proste i szczegółowo wyjaśnione. W każdym podręczniku do matematyki tej sekcji poświęca się wystarczająco dużo uwagi. Rozwiązanie przykładów układów równań liniowych metodą Gaussa i Cramera jest badane bardziej szczegółowo na pierwszych kursach szkół wyższych.

Rozwiązywanie układów metodą podstawieniową

Działania metody podstawienia mają na celu wyrażenie wartości jednej zmiennej przez drugą. Wyrażenie jest podstawiane do pozostałego równania, a następnie redukowane do postaci pojedynczej zmiennej. Czynność powtarza się w zależności od ilości niewiadomych w układzie

Podajmy przykład układu równań liniowych 7. klasy metodą podstawienia:

Jak widać z przykładu, zmienną x wyrażono poprzez F(X) = 7 + Y. Otrzymane wyrażenie, podstawione w 2. równaniu układu w miejsce X, pozwoliło uzyskać jedną zmienną Y w 2. równaniu . Rozwiązanie z tego przykładu nie nastręcza trudności i pozwala uzyskać wartość Y. Ostatnim krokiem jest sprawdzenie uzyskanych wartości.

Nie zawsze jest możliwe rozwiązanie przykładowego układu równań liniowych przez podstawienie. Równania mogą być złożone, a wyrażenie zmiennej w postaci drugiej niewiadomej będzie zbyt kłopotliwe do dalszych obliczeń. Gdy w systemie jest więcej niż 3 niewiadome, rozwiązanie podstawienia jest również niepraktyczne.

Rozwiązanie przykładowego układu liniowych równań niejednorodnych:

Rozwiązanie z wykorzystaniem dodawania algebraicznego

Szukając rozwiązania układów metodą dodawania, wykonuje się dodawanie wyraz po wyrazie i mnożenie równań przez różne liczby. Ostatecznym celem operacji matematycznych jest równanie z jedną zmienną.

Zastosowania tej metody wymagają praktyki i obserwacji. Nie jest łatwo rozwiązać układ równań liniowych metodą dodawania z liczbą zmiennych 3 lub większą. Dodawanie algebraiczne jest przydatne, gdy równania zawierają ułamki zwykłe i liczby dziesiętne.

Algorytm działania rozwiązania:

Pomnóż obie strony równania przez pewną liczbę. W wyniku działania arytmetycznego jeden ze współczynników zmiennej musi być równy 1.
Dodaj wynikowe wyrażenie wyraz po wyrazie i znajdź jedną z niewiadomych.
Podstaw wynikową wartość do drugiego równania układu, aby znaleźć pozostałą zmienną.

Metoda rozwiązania przez wprowadzenie nowej zmiennej

Nową zmienną można wprowadzić, jeśli system musi znaleźć rozwiązanie dla nie więcej niż dwóch równań, liczba niewiadomych również nie powinna przekraczać dwóch.

Metoda służy do uproszczenia jednego z równań poprzez wprowadzenie nowej zmiennej. Nowe równanie jest rozwiązywane w odniesieniu do wprowadzonej niewiadomej, a wynikowa wartość służy do wyznaczenia pierwotnej zmiennej.

Na przykładzie widać, że wprowadzając nową zmienną t, można było sprowadzić pierwsze równanie układu do standardowego trójmianu kwadratowego. Możesz rozwiązać wielomian, znajdując dyskryminator.

Należy znaleźć wartość wyróżnika korzystając ze znanego wzoru: D = b2 - 4*a*c, gdzie D to poszukiwany wyróżnik, b, a, c to mnożniki wielomianu. W podanym przykładzie a=1, b=16, c=39, stąd D=100. Jeżeli dyskryminator jest większy od zera, to są dwa rozwiązania: t = -b±√D / 2*a, jeśli dyskryminator jest mniejszy od zera, to jest tylko jedno rozwiązanie: x= -b / 2*a.

Rozwiązanie dla powstałych układów znajduje się metodą dodawania.

Wizualna metoda rozwiązywania układów

Nadaje się do układów z 3 równaniami. Metoda polega na wykreśleniu na osi współrzędnych wykresów każdego równania wchodzącego w skład układu. Współrzędne punktów przecięcia krzywych będą rozwiązaniem ogólnym układu.

Metoda graficzna ma wiele niuansów. Rozważ kilka przykładów rozwiązywania układów równań liniowych w sposób wizualny.

Jak widać z przykładu dla każdej linii skonstruowano dwa punkty, wartości zmiennej x wybrano arbitralnie: 0 i 3. Na podstawie wartości x wyznaczono wartości dla y: 3 i 0. Punkty o współrzędnych (0, 3) i (3, 0) zaznaczono na wykresie i połączono linią.

Kroki należy powtórzyć dla drugiego równania. Punkt przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu.

W poniższym przykładzie wymagane jest znalezienie graficznego rozwiązania układu równań liniowych: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.

Jak widać na przykładzie, układ nie ma rozwiązania, ponieważ wykresy są równoległe i nie przecinają się na całej długości.

Układy z przykładów 2 i 3 są podobne, ale po zbudowaniu staje się oczywiste, że ich rozwiązania są różne. Należy pamiętać, że nie zawsze można stwierdzić, czy system ma rozwiązanie, czy nie, zawsze konieczne jest zbudowanie grafu.

Matryca i jej odmiany

Macierze służą do krótkiego zapisania układu równań liniowych. Macierz to specjalny rodzaj tabeli wypełnionej liczbami. n*m ma n - wierszy i m - kolumn.

Macierz jest kwadratowa, gdy liczba kolumn i wierszy jest równa. Macierz-wektor to macierz jednokolumnowa z nieskończenie możliwą liczbą wierszy. Macierz z jednostkami wzdłuż jednej z przekątnych i innymi elementami zerowymi nazywana jest tożsamością.

Macierz odwrotna to taka macierz, po pomnożeniu przez którą pierwotna zamienia się w jedynkę, taka macierz istnieje tylko dla pierwotnej kwadratowej.

Zasady przekształcania układu równań w macierz

W odniesieniu do układów równań współczynniki i człony swobodne równań są zapisywane jako liczby macierzy, jedno równanie to jeden wiersz macierzy.

Wiersz macierzy nazywamy niezerowym, jeśli przynajmniej jeden element wiersza nie jest równy zeru. Dlatego jeśli w którymś z równań liczba zmiennych jest różna, to w miejsce brakującej niewiadomej należy wpisać zero.

Kolumny macierzy muszą ściśle odpowiadać zmiennym. Oznacza to, że współczynniki zmiennej x można zapisać tylko w jednej kolumnie, np. w pierwszej, współczynnik nieznanej y tylko w drugiej.

Podczas mnożenia macierzy wszystkie elementy macierzy są kolejno mnożone przez liczbę.

Opcje znajdowania macierzy odwrotnej

Wzór na znalezienie macierzy odwrotnej jest dość prosty: K -1 = 1 / |K|, gdzie K -1 to macierz odwrotna, a |K| - wyznacznik macierzowy. |K| nie może być równy zeru, to układ ma rozwiązanie.

Wyznacznik można łatwo obliczyć dla macierzy dwa na dwa, wystarczy pomnożyć elementy po przekątnej przez siebie. Dla opcji „trzy na trzy” istnieje wzór |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + za 3 b 2 do 1 . Możesz użyć formuły lub możesz pamiętać, że musisz wziąć jeden element z każdego wiersza i każdej kolumny, aby numery kolumn i wierszy elementów nie powtarzały się w produkcie.

Rozwiązywanie przykładowych układów równań liniowych metodą macierzową

Macierzowa metoda znajdowania rozwiązania pozwala zredukować uciążliwe wpisy przy rozwiązywaniu układów z dużą liczbą zmiennych i równań.

W przykładzie a nm to współczynniki równań, macierz to wektor x n to zmienne, a b n to wyrazy wolne.

Rozwiązywanie układów metodą Gaussa

W matematyce wyższej metoda Gaussa jest badana razem z metodą Cramera, a proces znajdowania rozwiązań układów nazywany jest metodą rozwiązywania Gaussa-Cramera. Metody te służą do znajdowania zmiennych układów o dużej liczbie równań liniowych.

Metoda Gaussa jest bardzo podobna do rozwiązań polegających na podstawieniu i dodawaniu algebraicznym, ale jest bardziej systematyczna. Na kursie szkolnym rozwiązanie Gaussa jest używane dla układów 3 i 4 równań. Celem metody jest doprowadzenie układu do postaci odwróconego trapezu. Za pomocą przekształceń algebraicznych i podstawień wartość jednej zmiennej znajduje się w jednym z równań układu. Drugie równanie to wyrażenie z 2 niewiadomymi, a 3 i 4 - odpowiednio z 3 i 4 zmiennymi.

Po doprowadzeniu układu do opisanej postaci dalsze rozwiązanie sprowadza się do sekwencyjnego podstawienia znanych zmiennych do równań układu.

W podręcznikach szkolnych dla klasy 7 przykład rozwiązania Gaussa jest opisany w następujący sposób:

Jak widać z przykładu, w kroku (3) otrzymano dwa równania 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rozwiązanie dowolnego z równań pozwoli ci znaleźć jedną ze zmiennych x n.

Wspomniane w tekście twierdzenie 5 mówi, że jeśli jedno z równań układu zastąpimy równoważnym, to otrzymany układ będzie również równoważny pierwotnemu.

Metoda Gaussa jest trudna do zrozumienia dla gimnazjalistów, ale jest jednym z najciekawszych sposobów rozwijania pomysłowości dzieci uczących się w rozszerzonym programie nauczania na lekcjach matematyki i fizyki.

Aby ułatwić rejestrowanie obliczeń, zwykle wykonuje się następujące czynności:

Współczynniki równań i wyrazy wolne zapisywane są w postaci macierzy, gdzie każdy wiersz macierzy odpowiada jednemu z równań układu. oddziela lewą stronę równania od prawej. Cyfry rzymskie oznaczają numery równań w układzie.

Najpierw zapisują macierz, z którą mają pracować, a następnie wszystkie czynności wykonane w jednym z wierszy. Wynikowa macierz jest zapisywana po znaku „strzałki” i kontynuuje wykonywanie niezbędnych operacji algebraicznych, aż do osiągnięcia wyniku.

W rezultacie należy uzyskać macierz, w której jedna z przekątnych wynosi 1, a wszystkie inne współczynniki są równe zeru, to znaczy macierz zostaje zredukowana do jednej postaci. Nie możemy zapomnieć o wykonaniu obliczeń z liczbami po obu stronach równania.

Ta notacja jest mniej kłopotliwa i pozwala nie rozpraszać się wyliczaniem wielu niewiadomych.

Swobodne zastosowanie dowolnej metody rozwiązania będzie wymagało ostrożności i pewnego doświadczenia. Nie wszystkie metody są stosowane. Niektóre sposoby znajdowania rozwiązań są bardziej preferowane w określonym obszarze działalności człowieka, podczas gdy inne istnieją w celu uczenia się.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) jest niewątpliwie najważniejszym tematem kursu algebry liniowej. Ogromna liczba problemów ze wszystkich działów matematyki sprowadza się do rozwiązywania układów równań liniowych. Czynniki te wyjaśniają powód utworzenia tego artykułu. Materiał artykułu jest tak dobrany i uporządkowany, że z jego pomocą możesz

wybrać optymalną metodę rozwiązania swojego układu liniowych równań algebraicznych,
zapoznać się z teorią wybranej metody,
rozwiązać swój układ równań liniowych, szczegółowo rozważając rozwiązania typowych przykładów i problemów.

Krótki opis materiału artykułu.

Najpierw podajemy wszystkie niezbędne definicje, pojęcia i wprowadzamy pewną notację.

Następnie rozważymy metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych i które mają unikalne rozwiązanie. Po pierwsze, skupmy się na metodzie Cramera, po drugie, pokażemy macierzową metodę rozwiązywania takich układów równań, a po trzecie, przeanalizujemy metodę Gaussa (metodę sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych). Aby skonsolidować teorię, na pewno rozwiążemy kilka SLAE na różne sposoby.

Następnie przechodzimy do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej, w których liczba równań nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych lub główna macierz układu jest zdegenerowana. Formułujemy twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które pozwala nam ustalić zgodność SLAE. Przeanalizujmy rozwiązanie układów (w przypadku ich kompatybilności) wykorzystując pojęcie bazy podrzędnej macierzy. Rozważymy również metodę Gaussa i szczegółowo opiszemy rozwiązania przykładów.

Pamiętaj, aby zastanowić się nad strukturą ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych. Podajmy pojęcie podstawowego układu rozwiązań i pokażmy, jak zapisuje się ogólne rozwiązanie SLAE za pomocą wektorów podstawowego układu rozwiązań. Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na kilka przykładów.

Podsumowując, rozważamy układy równań zredukowane do liniowych, a także różne problemy, w rozwiązaniu których powstają SLAE.

Nawigacja po stronie.

Definicje, pojęcia, oznaczenia.

Rozważymy układy p liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi (p może być równe n ) postaci

Nieznane zmienne, - współczynniki (niektóre liczby rzeczywiste lub zespolone), - wolne składowe (również liczby rzeczywiste lub zespolone).

Ta forma SLAE nazywa się koordynować.

W forma macierzowa ten układ równań ma postać ,
Gdzie - główna macierz układu, - macierz-kolumna nieznanych zmiennych, - macierz-kolumna wolnych członków.

Jeżeli do macierzy A jako (n + 1)-tej kolumny dodamy macierz-kolumnę wyrazów wolnych, to otrzymamy tzw. rozszerzona macierz układy równań liniowych. Zwykle rozszerzoną macierz oznacza się literą T, a kolumnę wolnych prętów oddzielono pionową linią od reszty kolumn, czyli

Rozwiązując układ liniowych równań algebraicznych zwany zbiorem wartości nieznanych zmiennych, który zamienia wszystkie równania układu w tożsamości. Równanie macierzowe dla danych wartości nieznanych zmiennych również zamienia się w tożsamość.

Jeśli układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się go wspólny.

Jeśli układ równań nie ma rozwiązań, nazywa się go niekompatybilny.

Jeśli umowa SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się ją niektórzy; jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to - niepewny.

Jeżeli wolne terminy wszystkich równań układu są równe zeru , wtedy nazywa się system jednorodny, W przeciwnym razie - heterogeniczny.

Rozwiązywanie elementarnych układów liniowych równań algebraicznych.

Jeżeli liczba równań układu jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik jego głównej macierzy nie jest równy zeru, to takie SLAE będziemy nazywać podstawowy. Takie układy równań mają unikalne rozwiązanie, aw przypadku układu jednorodnego wszystkie nieznane zmienne są równe zeru.

Zaczęliśmy studiować takie SLAE w szkole średniej. Rozwiązując je, wzięliśmy jedno równanie, wyraziliśmy jedną nieznaną zmienną za pomocą innych i podstawiliśmy ją do pozostałych równań, następnie wzięliśmy następne równanie, wyraziliśmy następną nieznaną zmienną i podstawiliśmy ją do innych równań i tak dalej. Lub zastosowali metodę dodawania, to znaczy dodali dwa lub więcej równań, aby wyeliminować pewne nieznane zmienne. Nie będziemy szczegółowo omawiać tych metod, ponieważ są one zasadniczo modyfikacjami metody Gaussa.

Główne metody rozwiązywania elementarnych układów równań liniowych to metoda Cramera, metoda macierzowa i metoda Gaussa. Uporządkujmy je.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.

Rozwiążmy układ liniowych równań algebraicznych

w którym liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, czyli .

Niech będzie wyznacznikiem głównej macierzy systemu i są wyznacznikami macierzy uzyskanych z A przez zastąpienie 1., 2., …, n-ty kolumna odpowiednio do kolumny wolnych członków:

Przy takim zapisie nieznane zmienne są obliczane za pomocą wzorów metody Cramera as . W ten sposób rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych znajduje się metodą Cramera.

Przykład.

Metoda Cramera .

Rozwiązanie.

Główna macierz systemu ma postać . Oblicz jego wyznacznik (w razie potrzeby zobacz artykuł):

Ponieważ wyznacznik głównej macierzy układu jest różny od zera, układ ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera.

Skomponuj i oblicz niezbędne wyznaczniki (wyznacznik uzyskuje się zastępując pierwszą kolumnę macierzy A kolumną wolnych elementów, wyznacznik - zastępując drugą kolumnę kolumną wolnych elementów, - zastępując trzecią kolumnę macierzy A kolumną wolnych elementów ):

Znajdowanie nieznanych zmiennych za pomocą wzorów :

Odpowiedź:

Główną wadą metody Cramera (jeśli można to nazwać wadą) jest złożoność obliczania wyznaczników, gdy liczba równań układu jest większa niż trzy.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową (z wykorzystaniem macierzy odwrotnej).

Niech układ liniowych równań algebraicznych będzie podany w postaci macierzowej , gdzie macierz A ma wymiar n na n, a jej wyznacznik jest niezerowy.

Skoro , to macierz A jest odwracalna, to znaczy istnieje macierz odwrotna . Jeśli pomnożymy obie części równości przez lewą stronę, otrzymamy wzór na znalezienie macierzy kolumnowej nieznanych zmiennych. Otrzymaliśmy więc rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą macierzową.

Przykład.

Rozwiąż układ równań liniowych metoda macierzowa.

Rozwiązanie.

Przepiszmy układ równań w postaci macierzowej:

Ponieważ

wówczas SLAE można rozwiązać metodą macierzową. Korzystając z macierzy odwrotnej, rozwiązanie tego układu można znaleźć jako .

Zbudujmy macierz odwrotną używając macierzy algebraicznych uzupełnień elementów macierzy A (w razie potrzeby zobacz artykuł):

Pozostaje obliczyć - macierz nieznanych zmiennych mnożąc macierz odwrotną na kolumnie macierzy wolnych członków (w razie potrzeby zobacz artykuł):

Odpowiedź:

lub w innym zapisie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Głównym problemem znajdowania rozwiązań układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową jest złożoność znajdowania macierzy odwrotnej, zwłaszcza dla macierzy kwadratowych rzędu wyższego niż trzecia.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.

Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie układu n równań liniowych z n nieznanymi zmiennymi
wyznacznik macierzy głównej jest różny od zera.

Istota metody Gaussa polega na sukcesywnym wykluczaniu nieznanych zmiennych: najpierw wyklucza się x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego, następnie wyklucza się x 2 ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego i tak dalej, aż tylko nieznana zmienna x n pozostaje w ostatnim równaniu. Taki proces przekształcania równań układu w celu sukcesywnego eliminowania nieznanych zmiennych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po zakończeniu przebiegu do przodu metody Gaussa, x n jest obliczane z ostatniego równania, x n-1 jest obliczane z przedostatniego równania przy użyciu tej wartości, i tak dalej, x 1 jest znajdowane z pierwszego równania. Nazywa się proces obliczania nieznanych zmiennych podczas przechodzenia od ostatniego równania układu do pierwszego odwrotna metoda Gaussa.

Opiszmy pokrótce algorytm eliminacji nieznanych zmiennych.

Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć poprzez przekształcenie równań układu. Wykluczamy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiej. Aby to zrobić, dodaj pierwsze równanie pomnożone przez do drugiego równania układu, dodaj pierwsze pomnożone przez do trzeciego równania i tak dalej, dodaj pierwsze pomnożone przez do n-tego równania. Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie .

Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy wyrazili x 1 za pomocą innych nieznanych zmiennych w pierwszym równaniu układu i podstapili wynikowe wyrażenie we wszystkich innych równaniach. Zatem zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od drugiego.

Dalej postępujemy podobnie, ale tylko z częścią wynikowego układu, która jest zaznaczona na rysunku

Aby to zrobić, dodaj drugą pomnożoną przez do trzeciego równania układu, dodaj drugą pomnożoną przez do czwartego równania i tak dalej, dodaj drugą pomnożoną przez do n-tego równania. Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie . Zatem zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, począwszy od trzeciego.

Następnie przystępujemy do eliminacji nieznanego x 3, postępując analogicznie z częścią układu zaznaczoną na rysunku

Kontynuujemy więc bezpośredni przebieg metody Gaussa, aż układ przybierze postać

Od tego momentu zaczynamy odwrotny przebieg metody Gaussa: obliczamy x n z ostatniego równania jako , korzystając z otrzymanej wartości x n znajdujemy x n-1 z przedostatniego równania i tak dalej, znajdujemy x 1 z pierwszego równanie.

Przykład.

Rozwiąż układ równań liniowych Metoda Gaussa.

Rozwiązanie.

Wykluczmy nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu. W tym celu do obu części drugiego i trzeciego równania dodajemy odpowiednie części pierwszego równania, pomnożone odpowiednio przez i przez:

Teraz wykluczamy x 2 z trzeciego równania, dodając do jego lewej i prawej części lewą i prawą część drugiego równania, pomnożone przez:

Na tym kurs do przodu metody Gaussa jest zakończony, zaczynamy kurs odwrotny.

Z ostatniego równania wynikowego układu równań znajdujemy x 3:

Z drugiego równania otrzymujemy .

Z pierwszego równania znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną, co kończy odwrotny przebieg metody Gaussa.

Odpowiedź:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.

W ogólnym przypadku liczba równań układu p nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych n:

Takie SLAE mogą nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań. To stwierdzenie dotyczy również układów równań, których główna macierz jest kwadratowa i zdegenerowana.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Przed znalezieniem rozwiązania układu równań liniowych konieczne jest ustalenie jego zgodności. Odpowiedź na pytanie, kiedy SLAE jest kompatybilna, a kiedy niekompatybilna, daje Twierdzenie Kroneckera-Capellego:
aby układ równań p z n niewiadomymi (p może być równy n ) był spójny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy głównej układu był równy rządowi macierzy rozszerzonej, czyli Rank( A)=Ranga(T) .

Jako przykład rozważmy zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Cappellego do wyznaczenia zgodności układu równań liniowych.

Przykład.

Dowiedz się, czy układ równań liniowych ma rozwiązania.

Rozwiązanie.

. Zastosujmy metodę graniczących nieletnich. Minor drugiego rzędu różne od zera. Przyjrzyjmy się otaczającym go nieletnim trzeciego rzędu:

Ponieważ wszystkie graniczące drugorzędne trzeciego rzędu są równe zeru, ranga głównej macierzy wynosi dwa.

Z kolei ranga rozszerzonej macierzy jest równa trzem, ponieważ małoletni trzeciego rzędu

różne od zera.

Zatem, Rang(A) , zatem zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capelliego możemy stwierdzić, że pierwotny układ równań liniowych jest niespójny.

Odpowiedź:

Nie ma systemu rozwiązań.

Nauczyliśmy się więc ustalać niespójność systemu za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego.

Ale jak znaleźć rozwiązanie SLAE, jeśli ustalono jego zgodność?

Aby to zrobić, potrzebujemy pojęcia bazy mniejszej macierzy i twierdzenia o rzędach macierzy.

Nazywa się najwyższy rząd mniejszy macierzy A, różny od zera podstawowy.

Z definicji bazy minor wynika, że jej rząd jest równy randze macierzy. Dla niezerowej macierzy A może być kilka podstawowych drugorzędnych; zawsze jest jeden podstawowy drugorzędny.

Weźmy na przykład macierz .

Wszystkie drugorzędne trzeciego rzędu tej macierzy są równe zeru, ponieważ elementy trzeciego rzędu tej macierzy są sumą odpowiednich elementów pierwszego i drugiego rzędu.

Następujące drugorzędne drugiego rzędu są podstawowe, ponieważ są niezerowe

Nieletni nie są podstawowe, ponieważ są równe zeru.

Macierzowe twierdzenie o rangach.

Jeśli rząd macierzy rzędu p na n wynosi r, to wszystkie elementy wierszy (i kolumn) macierzy, które nie tworzą wybranej bazy mniejszej, są wyrażone liniowo w kategoriach odpowiednich elementów wierszy (i kolumn ), które tworzą podstawę minor.

Co daje nam macierzowe twierdzenie o rangach?

Jeżeli na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelli ustaliliśmy zgodność układu, to wybieramy dowolną drugorzędną podstawową macierzy głównej układu (jej rząd jest równy r) i wykluczamy z układu wszystkie równania, które nie tworzą wybraną podstawową minorę. Otrzymany w ten sposób SLAE będzie równoważny pierwotnemu, ponieważ odrzucone równania są nadal zbędne (zgodnie z macierzowym twierdzeniem o rangach są liniową kombinacją pozostałych równań).

W efekcie po odrzuceniu nadmiarowych równań układu możliwe są dwa przypadki.

Jeżeli liczba równań r w otrzymanym układzie jest równa liczbie nieznanych zmiennych, to będzie on określony i jedyne rozwiązanie można znaleźć metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Przykład.

Rozwiązanie.

Ranga głównej macierzy systemu jest równy dwóm, ponieważ małoletni drugiego rzędu różne od zera. Rozszerzony ranking macierzy jest również równe dwóm, ponieważ jedyna mniejsza trzeciego rzędu jest równa zeru

a drugorzędna rozpatrywanego powyżej rzędu drugiego jest różna od zera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capelliego można stwierdzić zgodność pierwotnego układu równań liniowych, ponieważ Rank(A)=Rank(T)=2 .

Jako podstawę mniejszą bierzemy . Tworzą go współczynniki pierwszego i drugiego równania:

Trzecie równanie układu nie bierze udziału w tworzeniu drugorzędnego podstawowego, więc wykluczamy je z układu opartego na macierzowym twierdzeniu o rangach:

W ten sposób otrzymaliśmy elementarny układ liniowych równań algebraicznych. Rozwiążmy to metodą Cramera:

Odpowiedź:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jeżeli liczba równań r w wynikowym SLAE jest mniejsza niż liczba nieznanych zmiennych n , to wyrazy tworzące drugorzędną podstawową pozostawiamy w lewej części równań, a pozostałe wyrazy przenosimy do prawej części równania układu o przeciwnym znaku.

Nieznane zmienne (jest ich r) pozostające po lewej stronie równań nazywane są główny.

Wywoływane są nieznane zmienne (jest ich n - r), które znalazły się po prawej stronie bezpłatny.

Teraz załóżmy, że wolne nieznane zmienne mogą przyjmować dowolne wartości, podczas gdy r głównych nieznanych zmiennych będzie wyrażone w postaci wolnych nieznanych zmiennych w unikalny sposób. Ich ekspresję można znaleźć, rozwiązując wynikowe SLAE metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Weźmy przykład.

Przykład.

Rozwiąż system liniowych równań algebraicznych .

Rozwiązanie.

Znajdź rangę głównej macierzy systemu metodą graniczących małoletnich. Weźmy 1 1 = 1 jako niezerową drugorzędną pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowej drugorzędnej drugorzędnej otaczającej tego nieletniego:

Więc znaleźliśmy niezerową drugorzędną drugiego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowej granicy drugorzędnej trzeciego rzędu:

Zatem ranga głównej macierzy wynosi trzy. Ranga rozszerzonej macierzy jest również równa trzy, czyli układ jest spójny.

Znaleziona niezerowa drugorzędna trzeciego rzędu będzie traktowana jako podstawowa.

Dla jasności pokazujemy elementy, które tworzą podstawę minor:

Wyrazy uczestniczące w podrzędnym podrzędnym pozostawiamy po lewej stronie równań układu, a resztę o przeciwnych znakach przenosimy na prawe strony:

Dajemy darmowe nieznane zmienne x 2 i x 5 dowolne wartości, czyli bierzemy , gdzie to dowolne liczby. W takim przypadku SLAE przyjmuje formę

Otrzymany elementarny układ liniowych równań algebraicznych rozwiązujemy metodą Cramera:

Stąd, .

W odpowiedzi nie zapomnij wskazać wolnych nieznanych zmiennych.

Odpowiedź:

Gdzie są dowolne liczby.

Podsumować.

Aby rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej, najpierw sprawdzamy jego zgodność za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego. Jeśli ranga macierzy głównej nie jest równa rangi macierzy rozszerzonej, to wnioskujemy, że układ jest niespójny.

Jeżeli ranga macierzy głównej jest równa rangi macierzy rozszerzonej, to wybieramy drugorzędną podstawową i odrzucamy równania układu, które nie biorą udziału w tworzeniu wybranej drugorzędnej podstawowej.

Jeśli rząd bazy minor jest równy liczbie nieznanych zmiennych, to SLAE ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć dowolną znaną nam metodą.

Jeżeli rząd podstawy mniejszej jest mniejszy niż liczba nieznanych zmiennych, to wyrazy z głównymi nieznanymi zmiennymi pozostawiamy po lewej stronie równań układu, pozostałe wyrazy przenosimy na prawe strony i przypisujemy dowolne wartości do wolnych nieznanych zmiennych. Z otrzymanego układu równań liniowych znajdujemy główne nieznane zmienne metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Metoda Gaussa do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.

Za pomocą metody Gaussa można rozwiązywać układy liniowych równań algebraicznych dowolnego rodzaju bez ich wstępnego badania pod kątem zgodności. Proces sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych pozwala wnioskować zarówno o zgodności, jak i niespójności SLAE, a jeśli rozwiązanie istnieje, umożliwia jego znalezienie.

Z punktu widzenia pracy obliczeniowej preferowana jest metoda Gaussa.

Zobacz jej szczegółowy opis i przeanalizowane przykłady w artykule Metoda Gaussa do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.

Zapisywanie rozwiązania ogólnego jednorodnych i niejednorodnych liniowych układów algebraicznych za pomocą wektorów podstawowego układu rozwiązań.

W tej sekcji skupimy się na wspólnych jednorodnych i niejednorodnych układach liniowych równań algebraicznych, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań.

Zajmijmy się najpierw systemami jednorodnymi.

Podstawowy system decyzyjny Jednorodny układ p liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi to zbiór (n – r) liniowo niezależnych rozwiązań tego układu, gdzie r jest rzędem mniejszej bazy głównej macierzy układu.

Jeśli oznaczymy liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego SLAE jako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) to kolumny macierzy wymiaru n przez 1 ) , to ogólne rozwiązanie tego układu jednorodnego jest reprezentowane jako liniowa kombinacja wektorów podstawowego układu rozwiązań z dowolnymi stałymi współczynnikami С 1 , С 2 , …, С (n-r), to znaczy .

Co oznacza termin ogólne rozwiązanie jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych (oroslau)?

Znaczenie jest proste: formuła określa wszystkie możliwe rozwiązania pierwotnego SLAE, innymi słowy, przyjmując dowolny zestaw wartości dowolnych stałych C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , zgodnie ze wzorem my otrzyma jedno z rozwiązań oryginalnego jednorodnego SLAE.

Tak więc, jeśli znajdziemy fundamentalny system rozwiązań, możemy ustawić wszystkie rozwiązania tego jednorodnego SLAE jako .

Pokażmy proces konstruowania podstawowego systemu rozwiązań dla jednorodnego SLAE.

Wybieramy drugorzędną podstawową pierwotnego układu równań liniowych, wykluczamy z układu wszystkie inne równania i przenosimy na prawą stronę równań układu o przeciwnych znakach wszystkie wyrazy zawierające wolne nieznane zmienne. Nadajmy wolnym niewiadomym zmiennym wartości 1,0,0,…,0 i obliczmy główne niewiadome rozwiązując wynikowy elementarny układ równań liniowych w dowolny sposób, na przykład metodą Cramera. W ten sposób otrzymamy X(1) – pierwsze rozwiązanie układu podstawowego. Jeśli wolnym niewiadomym podamy wartości 0,1,0,0,…,0 i obliczymy główne niewiadome, to otrzymamy X(2) . I tak dalej. Jeśli wolnym niewiadomym zmiennym nadamy wartości 0,0,…,0,1 i obliczymy główne niewiadome, to otrzymamy X (n-r) . W ten sposób zostanie skonstruowany podstawowy układ rozwiązań jednorodnego SLAE, a jego rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci .

W przypadku niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych ogólne rozwiązanie jest reprezentowane jako

Spójrzmy na przykłady.

Przykład.

Znajdź podstawowy układ rozwiązań i ogólne rozwiązanie jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych .

Rozwiązanie.

Rząd macierzy głównej jednorodnych układów równań liniowych jest zawsze równy rządowi macierzy rozszerzonej. Znajdźmy rangę macierzy głównej metodą frędzli nieletnich. Jako niezerową drugorzędną pierwszego rzędu bierzemy element a 1 1 = 9 macierzy głównej układu. Znajdź graniczącą niezerową drugorzędną drugiego rzędu:

Znajduje się minor drugiego rzędu, różny od zera. Przejrzyjmy graniczące z nim drugorzędne trzeciego rzędu w poszukiwaniu niezerowego:

Wszystkie graniczące nieletnie trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga macierzy głównej i rozszerzonej wynosi dwa. Weźmy podstawowy minor. Dla jasności zwracamy uwagę na elementy systemu, które go tworzą:

Trzecie równanie pierwotnego SLAE nie bierze udziału w formowaniu podstawowego minora, dlatego można go wykluczyć:

Wyrazy zawierające główne niewiadome zostawiamy po prawej stronie równań, a wyrazy z niewiadomymi wolnymi przenosimy na prawą stronę:

Skonstruujmy fundamentalny układ rozwiązań pierwotnego jednorodnego układu równań liniowych. Podstawowy system rozwiązań tego SLAE składa się z dwóch rozwiązań, ponieważ oryginalny SLAE zawiera cztery nieznane zmienne, a kolejność jego podstawowych drugorzędnych wynosi dwa. Aby znaleźć X (1), nadajemy wolnym nieznanym zmiennym wartości x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań
.