Nasza odpowiedź
Wybór odpowiedniego zakładu zależy nie tylko od intuicji, wiedzy sportowej, kursów bukmachera, ale także od współczynnika prawdopodobieństwa zdarzenia. Umiejętność wyliczenia takiego wskaźnika w zakładach bukmacherskich jest kluczem do sukcesu w przewidywaniu nadchodzącego wydarzenia, na które ma zostać postawiony zakład.
U bukmacherów istnieją trzy rodzaje kursów (więcej szczegółów w artykule), od których rodzaju zależy sposób obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia dla gracza.
Kursy dziesiętne
W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzenia oblicza się ze wzoru: 1/współczynnik. = v.i, gdzie współczynnik. to współczynnik zdarzenia, a v.i to prawdopodobieństwo wyniku. Przykładowo, przy zakładzie za jednego dolara przyjmujemy kurs zdarzenia 1,80, wykonując operację matematyczną według wzoru, gracz otrzymuje, że prawdopodobieństwo wyniku zdarzenia według bukmachera wynosi 0,55 procent.
Szanse ułamkowe
W przypadku kursów ułamkowych wzór na obliczenie prawdopodobieństwa będzie inny. Zatem przy współczynniku 7/2, gdzie pierwsza cyfra oznacza możliwą kwotę zysku netto, a druga wielkość zakładu wymaganego do uzyskania tego zysku, równanie będzie wyglądać następująco: zn.od/ dla sumy z zn.od i chs.od = v.i. Tutaj zn.coef jest mianownikiem współczynnika, chs.coef jest licznikiem współczynnika, v.i jest prawdopodobieństwem wyniku. Zatem dla ułamkowego kursu 7/2 równanie wygląda jak 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, zatem prawdopodobieństwo wyniku zdarzenia wynosi według bukmachera 0,22%.
Amerykańskie kursy
Kursy amerykańskie nie cieszą się zbyt dużą popularnością wśród graczy i z reguły stosowane są wyłącznie w USA, gdyż mają złożoną i zagmatwaną strukturę. Aby odpowiedzieć na pytanie: „Jak w ten sposób obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia?”, trzeba wiedzieć, że współczynniki te mogą być ujemne i dodatnie.
Współczynnik ze znakiem „-”, na przykład -150, pokazuje, że gracz musi postawić zakład za 150 dolarów, aby otrzymać zysk netto w wysokości 100 dolarów. Prawdopodobieństwo zdarzenia oblicza się na podstawie wzoru, w którym należy podzielić ujemny współczynnik przez sumę ujemnego współczynnika i 100. Wygląda to jak na przykładzie zakładu o wartości -150, a więc (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, gdzie 0,6 mnoży się przez 100, a prawdopodobieństwo wyniku zdarzenia wynosi 60 procent. Tę samą formułę można zastosować również w przypadku dodatnich kursów amerykańskich.
Aby ilościowo porównać zdarzenia ze sobą według stopnia ich możliwości, należy oczywiście każdemu zdarzeniu przypisać pewną liczbę, która jest tym większa, im bardziej jest ono możliwe. Nazwiemy tę liczbę prawdopodobieństwem zdarzenia. Zatem, prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbową miarą stopnia obiektywnej możliwości wystąpienia tego zdarzenia.
Pierwszą definicję prawdopodobieństwa należy uznać za klasyczną, która wyrosła z analizy gier hazardowych i początkowo była stosowana intuicyjnie.
Klasyczna metoda wyznaczania prawdopodobieństwa opiera się na koncepcji zdarzeń równie możliwych i niezgodnych, które są wynikiem danego doświadczenia i tworzą kompletną grupę zdarzeń niezgodnych.
Najprostszym przykładem równie możliwych i niezgodnych zdarzeń tworzących kompletną grupę jest pojawienie się tej lub drugiej kuli z urny zawierającej kilka kul o tej samej wielkości, wadze i innych namacalnych cechach, różniących się jedynie kolorem, dokładnie wymieszanych przed wyjęciem.
Dlatego mówi się, że test, którego wyniki tworzą kompletną grupę niezgodnych i równie możliwych zdarzeń, można sprowadzić do układu urn lub układu przypadków lub wpasowuje się w klasyczny wzór.
Równie możliwe i niezgodne zdarzenia, które tworzą kompletną grupę, będą nazywane po prostu przypadkami lub szansami. Co więcej, w każdym eksperymencie wraz z przypadkami mogą wystąpić bardziej złożone zdarzenia.
Przykład: Przy rzucie kostką oprócz przypadków A i – utrata i-punktów na górnej krawędzi, możemy uwzględnić takie zdarzenia jak B – utrata parzystej liczby punktów, C – utrata pewnej liczby punktów punkty będące wielokrotnością trzech...
Ze względu na każde zdarzenie, które może wystąpić podczas eksperymentu, przypadki dzieli się na korzystny, w którym zdarzenie to zachodzi, i niekorzystne, w którym zdarzenie to nie zachodzi. W poprzednim przykładzie zdarzeniu B sprzyjają przypadki A 2, A 4, A 6; zdarzenie C - przypadki A 3, A 6.
Prawdopodobieństwo klasyczne wystąpienie określonego zdarzenia nazywa się stosunkiem liczby przypadków sprzyjających zaistnieniu tego zdarzenia do całkowitej liczby równie możliwych, niezgodnych przypadków, które tworzą kompletną grupę w danym eksperymencie:
Gdzie ROCZNIE)- prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A; M- liczba przypadków sprzyjających zdarzeniu A; N- łączna liczba przypadków.
Przykłady:
1) (patrz przykład powyżej) P(B)= , P(C) =.
2) W urnie znajduje się 9 kul czerwonych i 6 niebieskich. Znajdź prawdopodobieństwo, że jedna lub dwie losowo wylosowane kule okażą się czerwone.
A- losowo wylosowana kula czerwona:
M= 9, N= 9 + 6 = 15, ROCZNIE)=
B- dwie losowo wylosowane kule czerwone:
Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa wynikają następujące własności (pokaż się):
1) Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0;
2) Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia wynosi 1;
3) Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia mieści się w przedziale od 0 do 1;
4) Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A,
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zakłada, że liczba wyników próby jest skończona. W praktyce bardzo często zdarzają się testy, których liczba możliwych przypadków jest nieskończona. Ponadto słabością klasycznej definicji jest to, że bardzo często nie można przedstawić wyniku testu w postaci zestawu zdarzeń elementarnych. Jeszcze trudniej jest wskazać powody, dla których elementarne wyniki testu można uznać za jednakowo możliwe. Zwykle o równoważności wyników elementarnych testów wnioskuje się na podstawie rozważań o symetrii. Zadania takie są jednak w praktyce bardzo rzadkie. Z tych powodów obok klasycznej definicji prawdopodobieństwa stosuje się także inne definicje prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo statystyczne zdarzenie A to względna częstotliwość występowania tego zdarzenia w przeprowadzonych badaniach:
gdzie jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A;
Względna częstotliwość występowania zdarzenia A;
Liczba prób, w których pojawiło się zdarzenie A;
Całkowita liczba prób.
W przeciwieństwie do prawdopodobieństwa klasycznego, prawdopodobieństwo statystyczne jest cechą prawdopodobieństwa eksperymentalnego.
Przykład: Do kontroli jakości produktów z partii wybrano losowo 100 produktów, spośród których 3 okazały się wadliwe. Określ prawdopodobieństwo zawarcia małżeństwa.
.
Statystyczna metoda określania prawdopodobieństwa ma zastosowanie tylko do tych zdarzeń, które mają następujące właściwości:
Rozważane zdarzenia powinny być wynikami wyłącznie tych testów, które można odtworzyć nieograniczoną liczbę razy w tych samych warunkach.
Zdarzenia muszą mieć stabilność statystyczną (lub stabilność względnych częstotliwości). Oznacza to, że w różnych seriach testów względna częstotliwość zdarzenia niewiele się zmienia.
Liczba prób skutkujących zdarzeniem A musi być dość duża.
Łatwo sprawdzić, że własności prawdopodobieństwa wynikające z definicji klasycznej są zachowane także w statystycznej definicji prawdopodobieństwa.
Zdarzenia dziejące się w rzeczywistości lub w naszej wyobraźni można podzielić na 3 grupy. Są to pewne zdarzenia, które na pewno będą miały miejsce, zdarzenia niemożliwe i zdarzenia losowe. Teoria prawdopodobieństwa bada zdarzenia losowe, tj. zdarzenia, które mogą, ale nie muszą, nastąpić. W artykule pokrótce przedstawiona zostanie teoria wzorów prawdopodobieństwa oraz przykłady rozwiązywania problemów z teorii prawdopodobieństwa, które znajdą się w zadaniu 4 Unified State Exam z matematyki (poziom profilu).
Po co nam teoria prawdopodobieństwa?
Historycznie rzecz biorąc, potrzeba zbadania tych problemów pojawiła się w XVII wieku w związku z rozwojem i profesjonalizacją gier hazardowych oraz pojawieniem się kasyn. Było to zjawisko realne, wymagające własnych studiów i badań.
Gra w karty, kości i ruletka stwarzała sytuacje, w których mogło nastąpić dowolne ze skończonej liczby równie możliwych zdarzeń. Zaistniała potrzeba podania liczbowych szacunków możliwości wystąpienia określonego zdarzenia.
W XX wieku stało się jasne, że ta pozornie niepoważna nauka odgrywa ważną rolę w zrozumieniu podstawowych procesów zachodzących w mikrokosmosie. Powstała nowoczesna teoria prawdopodobieństwa.
Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa
Przedmiotem badań teorii prawdopodobieństwa są zdarzenia i ich prawdopodobieństwa. Jeśli zdarzenie jest złożone, można je rozłożyć na proste elementy, których prawdopodobieństwa można łatwo znaleźć.
Suma zdarzeń A i B nazywana jest zdarzeniem C, co polega na tym, że albo zdarzenie A, albo zdarzenie B, albo zdarzenia A i B wystąpiły jednocześnie.
Iloczynem zdarzeń A i B jest zdarzenie C, co oznacza, że wystąpiło zarówno zdarzenie A, jak i zdarzenie B.
Zdarzenia A i B nazywane są niezgodnymi, jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie.
Zdarzenie A nazywamy niemożliwym, jeżeli nie może nastąpić. Zdarzenie takie oznaczone jest symbolem.
Zdarzenie A nazywamy pewnym, jeśli wystąpi z pewnością. Zdarzenie takie oznaczone jest symbolem.
Niech każde zdarzenie A będzie powiązane z liczbą P(A). Ta liczba P(A) nazywana jest prawdopodobieństwem zdarzenia A, jeśli z tą korespondencją spełnione są następujące warunki.
Ważnym przypadkiem szczególnym jest sytuacja, gdy istnieją równie prawdopodobne wyniki elementarne i dowolne ze zdarzeń A. W tym przypadku prawdopodobieństwo można wpisać za pomocą wzoru. Prawdopodobieństwo wprowadzone w ten sposób nazywa się prawdopodobieństwem klasycznym. Można wykazać, że w tym przypadku spełnione są właściwości 1-4.
Problemy z teorii prawdopodobieństwa pojawiające się na egzaminie Unified State Examination z matematyki dotyczą głównie prawdopodobieństwa klasycznego. Takie zadania mogą być bardzo proste. Szczególnie proste są problemy teorii prawdopodobieństwa w wersjach demonstracyjnych. Łatwo jest obliczyć liczbę korzystnych wyników; liczba wszystkich wyników jest zapisana bezpośrednio w warunku.
Odpowiedź otrzymujemy korzystając ze wzoru.
Przykład zadania z Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki dotyczącego wyznaczania prawdopodobieństwa
Na stole leży 20 placków - 5 z kapustą, 7 z jabłkami i 8 z ryżem. Marina chce wziąć ciasto. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zje ciastko ryżowe?
Rozwiązanie.
Istnieje 20 równie prawdopodobnych wyników elementarnych, co oznacza, że Marina może wziąć dowolny z 20 ciast. Musimy jednak oszacować prawdopodobieństwo, że Marina zje ciasto ryżowe, czyli gdzie A jest wyborem ciasta ryżowego. Oznacza to, że liczba korzystnych wyników (wybór placków z ryżem) wynosi tylko 8. Wtedy prawdopodobieństwo będzie określone według wzoru:
Niezależne, przeciwne i arbitralne zdarzenia
Jednak w otwartym banku zadań zaczęto znajdować bardziej złożone zadania. Dlatego zwróćmy uwagę czytelnika na inne zagadnienia badane w teorii prawdopodobieństwa.
Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo każdego z nich nie zależy od tego, czy zajdzie drugie zdarzenie.
Zdarzenie B to zdarzenie A, które nie miało miejsca, tj. zdarzenie B jest przeciwne do zdarzenia A. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest równe jeden minus prawdopodobieństwo zdarzenia bezpośredniego, tj. .
Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństwa, wzory
Dla dowolnych zdarzeń A i B prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw bez prawdopodobieństwa ich wspólnego zdarzenia, tj. .
Dla niezależnych zdarzeń A i B prawdopodobieństwo wystąpienia tych zdarzeń jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw, tj. w tym przypadku .
Ostatnie 2 stwierdzenia nazywane są twierdzeniami o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw.
Liczenie liczby wyników nie zawsze jest takie proste. W niektórych przypadkach konieczne jest zastosowanie wzorów kombinatoryki. Najważniejsze jest policzenie liczby zdarzeń spełniających określone warunki. Czasami tego rodzaju obliczenia mogą stać się niezależnymi zadaniami.
Na ile sposobów można posadzić 6 uczniów na 6 wolnych miejscach? Pierwszy uczeń zajmie dowolne z 6 miejsc. Każda z tych opcji odpowiada 5 sposobom zajęcia miejsca przez drugiego ucznia. Zostały 4 wolne miejsca dla trzeciego ucznia, 3 dla czwartego, 2 dla piątego, a jedyne wolne miejsce zajmie szósty. Aby znaleźć liczbę wszystkich opcji, musisz znaleźć produkt, który jest oznaczony symbolem 6! i brzmi „sześć silni”.
W ogólnym przypadku odpowiedź na to pytanie daje wzór na liczbę permutacji n elementów. W naszym przypadku.
Rozważmy teraz inny przypadek z naszymi uczniami. Na ile sposobów można posadzić 2 uczniów na 6 wolnych miejscach? Pierwszy uczeń zajmie dowolne z 6 miejsc. Każda z tych opcji odpowiada 5 sposobom zajęcia miejsca przez drugiego ucznia. Aby znaleźć liczbę wszystkich opcji, musisz znaleźć produkt.
Generalnie odpowiedź na to pytanie daje wzór na liczbę umieszczenia n elementów na k elementach
W naszym przypadku .
I ostatni przypadek z tej serii. Na ile sposobów możesz wybrać trzech uczniów spośród sześciu? Pierwszego ucznia można wybrać na 6 sposobów, drugiego na 5, trzeciego na cztery sposoby. Ale wśród tych opcji ci sami trzej uczniowie pojawiają się 6 razy. Aby znaleźć liczbę wszystkich opcji, musisz obliczyć wartość: . Ogólnie odpowiedź na to pytanie daje wzór na liczbę kombinacji elementów po elemencie:
W naszym przypadku .
Przykłady rozwiązywania problemów z egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki w celu określenia prawdopodobieństwa
Zadanie 1. Ze zbioru pod redakcją. Jaszczenko.
Na talerzu znajduje się 30 placków: 3 z mięsem, 18 z kapustą i 9 z wiśniami. Sasha wybiera losowo jedno ciasto. Znajdź prawdopodobieństwo, że skończy z wiśnią.
.
Odpowiedź: 0,3.
Zadanie 2. Ze zbioru pod redakcją. Jaszczenko.
W każdej partii liczącej 1000 żarówek średnio 20 jest uszkodzonych. Znajdź prawdopodobieństwo, że żarówka wybrana losowo z partii będzie działać.
Rozwiązanie: Liczba działających żarówek wynosi 1000-20=980. Wtedy prawdopodobieństwo, że losowo wybrana z partii żarówka będzie działać:
Odpowiedź: 0,98.
Prawdopodobieństwo, że uczeń U rozwiąże poprawnie więcej niż 9 zadań podczas testu z matematyki, wynosi 0,67. Prawdopodobieństwo, że U. poprawnie rozwiąże więcej niż 8 zadań, wynosi 0,73. Znajdź prawdopodobieństwo, że U rozwiąże poprawnie dokładnie 9 problemów.
Jeśli wyobrazimy sobie oś liczbową i zaznaczymy na niej punkty 8 i 9, to zobaczymy, że warunek „U. rozwiąże poprawnie dokładnie 9 problemów” jest zawarte w warunku „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 8 zadań”, ale nie dotyczy warunku „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 9 problemów.”
Jednakże warunek „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 9 zadań” zawiera się w warunku „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 8 problemów.” Jeśli więc wyznaczymy zdarzenia: „U. rozwiąże poprawnie dokładnie 9 problemów” – poprzez A, „U. rozwiąże poprawnie więcej niż 8 problemów” – poprzez B, „U. poprawnie rozwiąże więcej niż 9 problemów” do C. To rozwiązanie będzie wyglądać następująco:
Odpowiedź: 0,06.
Na egzaminie z geometrii student odpowiada na jedno pytanie z listy pytań egzaminacyjnych. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie z trygonometrii, wynosi 0,2. Prawdopodobieństwo, że jest to pytanie dotyczące kątów zewnętrznych, wynosi 0,15. Nie ma pytań, które dotyczą jednocześnie tych dwóch tematów. Znajdź prawdopodobieństwo, że student otrzyma na egzaminie pytanie dotyczące jednego z tych dwóch tematów.
Zastanówmy się, jakie mamy wydarzenia. Mamy do czynienia z dwoma niezgodnymi zdarzeniami. Oznacza to, że albo pytanie będzie dotyczyć tematu „Trygonometria”, albo tematu „Kąty zewnętrzne”. Zgodnie z twierdzeniem prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw każdego zdarzenia, musimy znaleźć sumę prawdopodobieństw tych zdarzeń, czyli:
Odpowiedź: 0,35.
Pomieszczenie oświetla latarnia z trzema lampami. Prawdopodobieństwo przepalenia się jednej lampy w ciągu roku wynosi 0,29. Znajdź prawdopodobieństwo, że w ciągu roku co najmniej jedna lampa nie przepali się.
Rozważmy możliwe zdarzenia. Mamy trzy żarówki, z których każda może, ale nie musi, przepalić się niezależnie od innej żarówki. To są niezależne wydarzenia.
Następnie wskażemy opcje takich wydarzeń. Stosujmy następujące oznaczenia: - żarówka jest zapalona, - żarówka jest przepalona. A tuż obok obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia. Przykładowo, prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym wystąpiły trzy niezależne zdarzenia „przepaliła się żarówka”, „zapaliła się żarówka”, „zapaliła się żarówka”: , gdzie prawdopodobieństwo zdarzenia „zapaliła się żarówka” świeci” oblicza się jako prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego do zdarzenia „żarówka nie świeci”, czyli: .
Należy pamiętać, że korzystnych dla nas zdarzeń niezgodnych jest tylko 7. Prawdopodobieństwo takich zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw każdego ze zdarzeń: .
Odpowiedź: 0,975608.
Na rysunku widać kolejny problem:
W ten sposób zrozumieliśmy, czym jest teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, które możesz napotkać w wersji Unified State Exam.
Początkowo będąc jedynie zbiorem informacji i obserwacji empirycznych na temat gry w kości, teoria prawdopodobieństwa stała się nauką ścisłą. Pierwszymi, którzy nadali mu ramy matematyczne, byli Fermat i Pascal.
Od myślenia o wieczności do teorii prawdopodobieństwa
Dwie osoby, którym teoria prawdopodobieństwa zawdzięcza wiele swoich podstawowych formuł, Blaise Pascal i Thomas Bayes, są znani jako ludzie głęboko religijni, przy czym ten ostatni jest pastorem prezbiteriańskim. Najwyraźniej chęć udowodnienia przez tych dwóch naukowców błędności opinii o pewnej Fortunie przynoszącej szczęście swoim ulubieńcom dała impuls do badań w tym obszarze. W końcu każda gra hazardowa z jej wygranymi i przegranymi jest po prostu symfonią zasad matematycznych.
Dzięki pasji Kawalera de Mere, który był zarówno hazardzistą, jak i człowiekiem nieobojętnym na naukę, Pascal zmuszony był znaleźć sposób na obliczenie prawdopodobieństwa. De Mere’a zainteresowało następujące pytanie: „Ile razy trzeba rzucić dwiema kostkami parami, aby prawdopodobieństwo zdobycia 12 punktów przekroczyło 50%?” Drugie pytanie, które bardzo zainteresowało pana: „Jak podzielić zakład pomiędzy uczestników niedokończonej gry?” Oczywiście Pascal z powodzeniem odpowiedział na oba pytania de Mere, który stał się mimowolnym inicjatorem rozwoju teorii prawdopodobieństwa. Co ciekawe, postać de Mere’a pozostała znana w tym obszarze, a nie w literaturze.
Wcześniej żaden matematyk nie próbował obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń, ponieważ uważano, że jest to jedynie rozwiązanie oparte na domysłach. Blaise Pascal podał pierwszą definicję prawdopodobieństwa zdarzenia i pokazał, że jest to konkretna wielkość, którą można uzasadnić matematycznie. Teoria prawdopodobieństwa stała się podstawą statystyki i jest szeroko stosowana we współczesnej nauce.
Co to jest losowość
Jeśli weźmiemy pod uwagę test, który można powtórzyć nieskończoną liczbę razy, wówczas możemy zdefiniować zdarzenie losowe. To jeden z prawdopodobnych wyników eksperymentu.
Doświadczenie to realizacja konkretnych działań w stałych warunkach.
Aby móc pracować z wynikami eksperymentu, zdarzenia są zwykle oznaczone literami A, B, C, D, E...
Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego
Aby rozpocząć matematyczną część prawdopodobieństwa, należy zdefiniować wszystkie jego składowe.
Prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbową miarą możliwości wystąpienia jakiegoś zdarzenia (A lub B) w wyniku doświadczenia. Prawdopodobieństwo oznacza się jako P(A) lub P(B).
W teorii prawdopodobieństwa rozróżnia się:
- niezawodny zdarzenie ma miejsce w wyniku doświadczenia P(Ω) = 1;
- niemożliwe zdarzenie nie może nigdy nastąpić P(Ř) = 0;
- losowy zdarzenie leży pomiędzy pewnym a niemożliwym, to znaczy prawdopodobieństwo jego wystąpienia jest możliwe, ale nie gwarantowane (prawdopodobieństwo zdarzenia losowego zawsze mieści się w przedziale 0≤Р(А)≤ 1).
Relacje między zdarzeniami
Pod uwagę bierze się zarówno jedno, jak i sumę zdarzeń A+B, gdy zdarzenie jest liczone, gdy spełniony jest co najmniej jeden ze składników A lub B, lub oba, A i B.
W stosunku do siebie zdarzeniami mogą być:
- Równie możliwe.
- Zgodny.
- Niekompatybilny.
- Przeciwieństwo (wzajemnie się wykluczające).
- Zależny.
Jeśli dwa zdarzenia mogą się wydarzyć z równym prawdopodobieństwem, to tak równie możliwe.
Jeżeli wystąpienie zdarzenia A nie zmniejsza do zera prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia B, to tak zgodny.
Jeśli zdarzenia A i B nigdy nie występują jednocześnie w tym samym doświadczeniu, wówczas nazywa się je niekompatybilny. Dobrym przykładem jest rzucanie monetą: pojawienie się głów jest automatycznie równoznaczne z ich brakiem.
Prawdopodobieństwo sumy takich niezgodnych zdarzeń składa się z sumy prawdopodobieństw każdego ze zdarzeń:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Jeśli wystąpienie jednego zdarzenia uniemożliwia wystąpienie innego, wówczas nazywa się je przeciwstawnymi. Wtedy jeden z nich jest oznaczony jako A, a drugi - Ā (czytaj: „nie A”). Wystąpienie zdarzenia A oznacza, że Ā nie zaszło. Te dwa zdarzenia tworzą kompletną grupę o sumie prawdopodobieństw równej 1.
Zdarzenia zależne wywierają na siebie wzajemny wpływ, zmniejszając lub zwiększając wzajemne prawdopodobieństwo.
Relacje między zdarzeniami. Przykłady
Na przykładach znacznie łatwiej jest zrozumieć zasady teorii prawdopodobieństwa i kombinacji zdarzeń.
Eksperyment, który zostanie przeprowadzony, polega na wyjęciu kulek z pudełka, a wynik każdego doświadczenia jest wynikiem elementarnym.
Zdarzenie to jeden z możliwych wyników eksperymentu - czerwona kula, niebieska kula, kula z numerem sześć itp.
Próba nr 1. W grze bierze udział 6 kul, z których trzy są niebieskie z liczbami nieparzystymi, a pozostałe trzy czerwone z liczbami parzystymi.
Próba nr 2. Jest 6 niebieskich kul z liczbami od jednego do sześciu.
Na podstawie tego przykładu możemy nazwać kombinacje:
- Niezawodne wydarzenie. Po hiszpańsku Nr 2 zdarzenie „zdobądź niebieską kulę” jest niezawodne, ponieważ prawdopodobieństwo jego wystąpienia jest równe 1, ponieważ wszystkie kule są niebieskie i nie można przegapić. Natomiast zdarzenie „zdobądź piłkę z numerem 1” jest losowe.
- Niemożliwe wydarzenie. Po hiszpańsku Nr 1 w przypadku kul niebieskich i czerwonych zdarzenie „zdobycia fioletowej kuli” jest niemożliwe, ponieważ prawdopodobieństwo jego wystąpienia wynosi 0.
- Równie możliwe zdarzenia. Po hiszpańsku nr 1, zdarzenia „zdobądź piłkę z numerem 2” i „zdobądź piłkę z numerem 3” są równie możliwe, a zdarzenia „zdobądź piłkę z numerem parzystym” i „zdobądź piłkę z numerem 2” ” mają różne prawdopodobieństwa.
- Zgodne wydarzenia. Zdobycie szóstki dwa razy z rzędu podczas rzucania kostką jest wydarzeniem zgodnym.
- Niezgodne zdarzenia. W tym samym hiszpańskim Nr 1, wydarzeń „zdobądź czerwoną kulę” i „zdobądź piłkę o nieparzystej liczbie” nie można łączyć w tym samym doświadczeniu.
- Zdarzenia przeciwne. Najbardziej uderzającym tego przykładem jest rzut monetą, w którym wylosowanie orła jest równoznaczne z niewyciągnięciem reszki, a suma ich prawdopodobieństw wynosi zawsze 1 (pełna grupa).
- Zdarzenia zależne. A więc po hiszpańsku Nr 1, możesz ustawić cel polegający na losowaniu czerwonej kuli dwa razy z rzędu. To, czy zostanie on odzyskany za pierwszym razem, czy nie, wpływa na prawdopodobieństwo odzyskania go za drugim razem.
Można zauważyć, że pierwsze zdarzenie znacząco wpływa na prawdopodobieństwo drugiego (40% i 60%).
Wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia
Przejście od wróżenia do precyzyjnych danych następuje poprzez przełożenie tematu na płaszczyznę matematyczną. Oznacza to, że oceny dotyczące zdarzenia losowego, takie jak „wysokie prawdopodobieństwo” lub „minimalne prawdopodobieństwo”, można przełożyć na określone dane liczbowe. Dopuszczalna jest już ocena, porównywanie i wprowadzanie takiego materiału do bardziej złożonych obliczeń.
Z kalkulacyjnego punktu widzenia określenie prawdopodobieństwa zdarzenia jest stosunkiem liczby elementarnych pozytywnych wyników do liczby wszystkich możliwych wyników doświadczenia dotyczących konkretnego zdarzenia. Prawdopodobieństwo jest oznaczane przez P(A), gdzie P oznacza słowo „probabilite”, które z francuskiego jest tłumaczone jako „prawdopodobieństwo”.
Zatem wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia wygląda następująco:
Gdzie m jest liczbą korzystnych wyników zdarzenia A, n jest sumą wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia. W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzenia zawsze mieści się w przedziale od 0 do 1:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia. Przykład
Weźmy hiszpański. Nr 1 z kulkami, co zostało opisane wcześniej: 3 kule niebieskie z numerami 1/3/5 i 3 kule czerwone z numerami 2/4/6.
Na podstawie tego testu można rozważyć kilka różnych problemów:
- A - wypadająca czerwona kula. Są 3 czerwone kule i łącznie jest 6 opcji.To najprostszy przykład, w którym prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi P(A)=3/6=0,5.
- B - wyrzucenie liczby parzystej. Istnieją 3 liczby parzyste (2,4,6), a łączna liczba możliwych opcji numerycznych wynosi 6. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi P(B)=3/6=0,5.
- C - wystąpienie liczby większej niż 2. Są 4 takie opcje (3,4,5,6) z ogólnej liczby możliwych wyników 6. Prawdopodobieństwo zdarzenia C jest równe P(C)=4 /6=0,67.
Jak widać z obliczeń, zdarzenie C ma większe prawdopodobieństwo, gdyż liczba prawdopodobnych pozytywnych wyników jest większa niż w przypadku A i B.
Niezgodne zdarzenia
Takie zdarzenia nie mogą pojawiać się jednocześnie w tym samym doświadczeniu. Jak w języku hiszpańskim Nr 1. Nie da się jednocześnie zdobyć niebieskiej i czerwonej piłki. Oznacza to, że możesz zdobyć niebieską lub czerwoną piłkę. Podobnie liczba parzysta i nieparzysta nie mogą pojawić się jednocześnie na kostce.
Prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń uważa się za prawdopodobieństwo ich sumy lub iloczynu. Sumę takich zdarzeń A+B uważa się za zdarzenie, na które składa się zajście zdarzenia A lub B, a iloczynem tych zdarzeń AB jest zajście obu. Na przykład pojawienie się dwóch szóstek naraz na ściankach dwóch kości w jednym rzucie.
Suma kilku zdarzeń to zdarzenie, które zakłada zajście przynajmniej jednego z nich. Produkcja kilku wydarzeń jest ich wspólnym występowaniem.
W teorii prawdopodobieństwa z reguły użycie spójnika „i” oznacza sumę, a spójnika „lub” - mnożenie. Wzory z przykładami pomogą Ci zrozumieć logikę dodawania i mnożenia w teorii prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń niezgodnych
Jeśli weźmiemy pod uwagę prawdopodobieństwo zdarzeń niezgodnych, to prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe dodaniu ich prawdopodobieństw:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Na przykład: obliczmy prawdopodobieństwo, że w języku hiszpańskim. Nr 1 z kulkami niebieskimi i czerwonymi pojawi się liczba od 1 do 4. Obliczymy nie w jednej akcji, ale na podstawie sumy prawdopodobieństw składowych elementarnych. Zatem w takim eksperymencie jest tylko 6 kul, czyli 6 wszystkich możliwych wyników. Liczby spełniające warunek to 2 i 3. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby 2 wynosi 1/6, prawdopodobieństwo wylosowania liczby 3 również wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby od 1 do 4 wynosi:
Prawdopodobieństwo sumy niezgodnych zdarzeń w całej grupie wynosi 1.
Jeśli więc w eksperymencie z sześcianem dodamy prawdopodobieństwa pojawienia się wszystkich liczb, wynik będzie jeden.
Dotyczy to również zdarzeń przeciwnych, na przykład w eksperymencie z monetą, gdzie jedna strona to zdarzenie A, a druga zdarzenie przeciwne Ā, jak wiadomo,
P(A) + P(Ā) = 1
Prawdopodobieństwo wystąpienia niezgodnych zdarzeń
Mnożenie prawdopodobieństwa stosuje się, gdy rozważa się wystąpienie dwóch lub więcej niezgodnych zdarzeń w jednej obserwacji. Prawdopodobieństwo, że zdarzenia A i B wystąpią w nim jednocześnie, jest równe iloczynowi ich prawdopodobieństw, czyli:
P(A*B)=P(A)*P(B)
Na przykład prawdopodobieństwo, że w języku hiszpańskim Nr 1, w wyniku dwóch prób, niebieska kula pojawi się dwukrotnie, jednakowo
Oznacza to, że prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym w wyniku dwóch prób wydobycia kulek zostaną wydobyte tylko kule niebieskie, wynosi 25%. Bardzo łatwo jest przeprowadzić praktyczne eksperymenty dotyczące tego problemu i sprawdzić, czy rzeczywiście tak jest.
Wspólne wydarzenia
Zdarzenia uważa się za wspólne, jeżeli wystąpienie jednego z nich może zbiegać się z wystąpieniem drugiego. Pomimo tego, że są one wspólne, uwzględnia się prawdopodobieństwo wystąpienia niezależnych zdarzeń. Przykładowo rzut dwiema kostkami może dać wynik, gdy na obu pojawi się liczba 6. Mimo, że zdarzenia zbiegły się i wystąpiły w tym samym czasie, są od siebie niezależne – mogła wypaść tylko jedna szóstka, na drugiej kostce nie ma na to wpływ.
Prawdopodobieństwo wspólnych zdarzeń uważa się za prawdopodobieństwo ich sumy.
Prawdopodobieństwo sumy wspólnych zdarzeń. Przykład
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B, które są ze sobą powiązane, jest równe sumie prawdopodobieństw zdarzenia minus prawdopodobieństwo ich wystąpienia (czyli ich wspólnego wystąpienia):
Złącze R (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
Załóżmy, że prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,4. Wtedy zdarzenie A trafia w cel w pierwszej próbie, B – w drugiej. Zdarzenia te są wspólne, ponieważ możliwe jest trafienie w cel zarówno pierwszym, jak i drugim strzałem. Ale zdarzenia nie są od siebie zależne. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia w cel dwoma strzałami (przynajmniej jednym)? Zgodnie ze wzorem:
0,4+0,4-0,4*0,4=0,64
Odpowiedź na pytanie brzmi: „Prawdopodobieństwo trafienia w cel dwoma strzałami wynosi 64%.
Ten wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia można zastosować także do zdarzeń niezgodnych, gdzie prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia zdarzenia P(AB) = 0. Oznacza to, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń niezgodnych można uznać za przypadek szczególny proponowanej formuły.
Geometria prawdopodobieństwa dla jasności
Co ciekawe, prawdopodobieństwo sumy wspólnych zdarzeń można przedstawić jako dwa obszary A i B, które się ze sobą przecinają. Jak widać na zdjęciu, obszar ich związku jest równy całkowitemu obszarowi minus obszar ich przecięcia. Dzięki temu geometrycznemu wyjaśnieniu pozornie nielogiczna formuła staje się bardziej zrozumiała. Należy zauważyć, że rozwiązania geometryczne nie są rzadkością w teorii prawdopodobieństwa.
Określenie prawdopodobieństwa sumy wielu (więcej niż dwóch) wspólnych zdarzeń jest dość kłopotliwe. Aby to obliczyć, należy skorzystać ze wzorów podanych dla tych przypadków.
Zdarzenia zależne
Zdarzenia nazywamy zależnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich (A) wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego (B). Uwzględnia się ponadto wpływ zarówno wystąpienia zdarzenia A, jak i jego niezaistnienia. Chociaż zdarzenia z definicji nazywane są zależnymi, tylko jedno z nich jest zależne (B). Prawdopodobieństwo zwyczajne oznaczono jako P(B) lub prawdopodobieństwo zdarzeń niezależnych. W przypadku zdarzeń zależnych wprowadza się nowe pojęcie – prawdopodobieństwo warunkowe P A (B), które jest prawdopodobieństwem zdarzenia zależnego B, pod warunkiem wystąpienia zdarzenia A (hipoteza), od którego to zależy.
Ale zdarzenie A jest również losowe, więc również ma prawdopodobieństwo, które wymaga i może być brane pod uwagę w przeprowadzanych obliczeniach. Poniższy przykład pokaże, jak pracować ze zdarzeniami zależnymi i hipotezą.
Przykład obliczenia prawdopodobieństwa zdarzeń zależnych
Dobrym przykładem obliczania zdarzeń zależnych może być standardowa talia kart.
Na przykładzie talii 36 kart przyjrzyjmy się zdarzeniom zależnym. Musimy określić prawdopodobieństwo, że druga karta wylosowana z talii będzie karo, jeśli pierwszą wylosowaną kartą będzie:
- Bubnowaja.
- Inny kolor.
Oczywiście prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia B zależy od pierwszego A. Jeśli więc prawdą jest pierwsza opcja, że w talii jest o 1 kartę (35) i 1 karo (8) mniej, prawdopodobieństwo zdarzenia B:
RA (B) = 8/35 = 0,23
Jeśli druga opcja jest prawdziwa, wówczas talia liczy 35 kart, a pełna liczba karo (9) jest nadal zachowywana, wówczas prawdopodobieństwo wystąpienia następującego zdarzenia B:
RA (B) = 9/35 = 0,26.
Można zauważyć, że jeśli zdarzenie A jest uwarunkowane tym, że pierwszą kartą jest karo, to prawdopodobieństwo zdarzenia B maleje i odwrotnie.
Mnożenie zdarzeń zależnych
Kierując się poprzednim rozdziałem, pierwsze zdarzenie (A) przyjmujemy za fakt, jednak w istocie ma ono charakter losowy. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia, czyli wylosowania diamentu z talii kart, jest równe:
P(A) = 9/36=1/4
Ponieważ teoria nie istnieje sama w sobie, lecz ma służyć celom praktycznym, należy zauważyć, że najczęściej potrzebne jest prawdopodobieństwo wytworzenia zależnych zdarzeń.
Zgodnie z twierdzeniem o iloczynie prawdopodobieństw zdarzeń zależnych, prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń wspólnie zależnych A i B jest równe prawdopodobieństwu jednego zdarzenia A pomnożonemu przez prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B (zależne od A):
P(AB) = P(A) *P A(B)
Następnie, w przykładzie talii, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kart w kolorze karo wynosi:
9/36*8/35=0,0571, czyli 5,7%
A prawdopodobieństwo wydobycia najpierw nie diamentów, a potem diamentów, jest równe:
27/36*9/35=0,19, czyli 19%
Można zauważyć, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B jest większe pod warunkiem, że pierwsza wylosowana karta jest innego koloru niż karo. Wynik ten jest dość logiczny i zrozumiały.
Całkowite prawdopodobieństwo zdarzenia
Kiedy problem prawdopodobieństw warunkowych staje się wieloaspektowy, nie można go obliczyć za pomocą konwencjonalnych metod. Gdy istnieją więcej niż dwie hipotezy, a mianowicie A1, A2,…, An, ..tworzy się kompletna grupa zdarzeń pod warunkiem:
- P(A i)>0, i=1,2,…
- A ja ∩ A jot =Ř,i≠j.
- Σ k ZA k = Ω.
Zatem wzór na prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia B przy pełnej grupie zdarzeń losowych A1, A2,..., An jest równy:
Spojrzenie w przyszłość
Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest niezwykle potrzebne w wielu dziedzinach nauki: ekonometrii, statystyce, fizyce itp. Ponieważ niektórych procesów nie można opisać deterministycznie, ponieważ same mają charakter probabilistyczny, wymagane są specjalne metody pracy. Teorię prawdopodobieństwa zdarzenia można zastosować w dowolnej dziedzinie technologicznej jako sposób na określenie możliwości wystąpienia błędu lub nieprawidłowego działania.
Można powiedzieć, że rozpoznając prawdopodobieństwo, w pewnym sensie robimy teoretyczny krok w przyszłość, patrząc na nią przez pryzmat formuł.
Czy nam się to podoba, czy nie, nasze życie jest pełne wszelkiego rodzaju wypadków, zarówno przyjemnych, jak i mniej przyjemnych. Dlatego nie zaszkodzi każdemu z nas wiedzieć, jak znaleźć prawdopodobieństwo konkretnego zdarzenia. Pomoże Ci to w podjęciu właściwych decyzji w każdych okolicznościach, które wiążą się z niepewnością. Na przykład taka wiedza będzie bardzo przydatna przy wyborze opcji inwestycyjnych, ocenie możliwości wygrania akcji lub loterii, określeniu realności osiągnięcia osobistych celów itp. itp.
Wzór teorii prawdopodobieństwa
W zasadzie przestudiowanie tego tematu nie zajmuje zbyt wiele czasu. Aby uzyskać odpowiedź na pytanie: „Jak obliczyć prawdopodobieństwo zjawiska?”, należy zrozumieć kluczowe pojęcia i pamiętać o podstawowych zasadach, na których opierają się obliczenia. Zatem według statystyk badane zdarzenia są oznaczone przez A1, A2,..., An. Każdy z nich ma zarówno korzystne wyniki (m), jak i całkowitą liczbę elementarnych wyników. Interesuje nas na przykład, jak znaleźć prawdopodobieństwo, że na górnej stronie sześcianu będzie parzysta liczba punktów. Wtedy A to rzut m - wyrzucenie 2, 4 lub 6 punktów (trzy korzystne opcje), a n to wszystkie sześć możliwych opcji.
Sam wzór obliczeniowy jest następujący:
Przy jednym wyniku wszystko jest niezwykle łatwe. Ale jak znaleźć prawdopodobieństwo, jeśli zdarzenia zachodzą jedno po drugim? Rozważmy następujący przykład: jedna karta jest pokazywana z talii kart (36 sztuk), następnie jest chowana z powrotem do talii, a po przetasowaniu wyciągana jest następna. Jak znaleźć prawdopodobieństwo, że przynajmniej w jednym przypadku została wylosowana dama pik? Obowiązuje następująca zasada: jeśli weźmiemy pod uwagę zdarzenie złożone, które można podzielić na kilka niezgodnych ze sobą prostych zdarzeń, wówczas można najpierw obliczyć wynik dla każdego z nich, a następnie dodać je do siebie. W naszym przypadku będzie to wyglądać następująco: 1/36 + 1/36 = 1/18. Ale co się stanie, gdy kilka wystąpi jednocześnie? Następnie mnożymy wyniki! Na przykład prawdopodobieństwo, że przy jednoczesnym rzucie dwiema monetami wypadną dwie reszki, będzie równe: ½ * ½ = 0,25.
Weźmy teraz jeszcze bardziej złożony przykład. Załóżmy, że bierzemy udział w loterii książkowej, w której wygrywa dziesięć z trzydziestu losów. Musisz określić:
- Prawdopodobieństwo, że obaj zostaną zwycięzcami.
- Przynajmniej jeden z nich przyniesie nagrodę.
- Obaj będą przegrani.
Rozważmy więc pierwszy przypadek. Można to podzielić na dwa zdarzenia: pierwszy los będzie szczęśliwy, a drugi również będzie szczęśliwy. Weźmy pod uwagę, że zdarzenia są zależne, ponieważ po każdym wyciągnięciu całkowita liczba opcji maleje. Otrzymujemy:
10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.
W drugim przypadku musisz określić prawdopodobieństwo przegranej biletu i wziąć pod uwagę, że może to być pierwszy lub drugi: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.
Wreszcie trzeci przypadek, gdy nie uda się wylosować ani jednej książki: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.