| Modelowanie w arkuszach kalkulacyjnych
Lekcja 20
Modelowanie w arkuszach kalkulacyjnych
Modelowanie procesów losowych
Szansa jest integralną częścią naszego życia. Jeśli przypadek nam w jakiś sposób pomógł, mówimy – szczęście; jeśli okazało się, że nie jest dla nas łaskawy, lamentujemy – co za los! Wielu naukowców poświęciło swój talent badaniu wzorców zdarzenia losowe. Znajomość praw przypadku może być przydatna w różne obszary: od określenia prawdopodobieństwa wystąpienia jakiegoś zdarzenia, takiego jak wygrana na loterii, po wykorzystanie wzorców statystycznych eksperymenty naukowe. Poniżej przeprowadzimy symulację sytuacji, które w teorii prawdopodobieństwa nazywane są „spacerami losowymi”.
Wyobraź sobie siebie na długiej prostej drodze. Rzucasz monetą. Jeśli wynikiem są „reszki”, zrób krok do przodu, jeśli „reszka”, cofnij się o krok. Jak daleko zaprowadzi Cię taka jednowymiarowa (w jednym kierunku) wędrówka?
ZADANIE 3.32. Rzut monetą
Etap I. Sformułowanie problemu
OPIS ZADANIA
Masz 10 monet. Chcesz podwoić swój kapitał, jednocześnie wystawiając na próbę swój los. Istota gry jest prosta. Grając z brokerem, stawiasz zakład i rzucasz monetą. Jeśli zakład wypadnie orzeł, broker podaje kwotę Twojego zakładu, w przeciwnym razie Ty dajesz mu tę kwotę. Zakład może być dowolny: od 1 do 10 monet. Możesz przypisać najwięcej duży zakład 10 monet, a wtedy jednym rzutem będzie jasne, czy „rozbiłeś” bank, czy odwrotnie, zbankrutowałeś. Doświadczeni gracze postępuj ostrożniej, zaczynając od małego zakładu.
Podwojenie kapitału zakładowego lub upadłość skutkuje natychmiastowym zakończeniem sesji gry i rozliczeniem. Gra może być kontynuowana według własnego uznania.
CEL SYMULACJI
Modelując możliwe sytuacje w grze, w szczególności różnicując zakłady w danej grze, dowiesz się, która taktyka częściej prowadzi do wyniku (pozytywnego lub negatywnego).
Ostrzeż potencjalnych graczy o stopniu ryzyka i niemożności wzbogacenia się poprzez hazard.
FORMALIZACJA PROBLEMU
Odpowiemy na następujące pytania:
Etap II. Rozwój modelu
MODEL INFORMACYJNY
Gra jest tutaj symulowana. Gra to proces, w którym biorą udział trzy obiekty: gracz, broker i „Jego Królewska Mość Szansa”, którą w tej grze reprezentuje moneta. Broker określa stratę lub zysk gracza i wypłaca wygraną.
Za pomocą tej funkcji możesz symulować skutek spadającej monety SKRAJ(). Ta funkcja generuje liczby losowe X w zasięgu 0 ≤ x ˂ 1. Ponieważ prawdopodobieństwo wybrania jednej lub drugiej strony wynosi „pół na pół”, to jeśli LOS() ˂ 0,5, wówczas wynikiem są „reszki” (1), w przeciwnym razie - „reszki” (0).
Wzór na spadanie monety po rzucie jest następujący:
Rzut = JEŻELI(RANDA() ˂ 0,5; 1; 0),
tutaj „1” na wyjściu funkcji oznacza, że gracz zgadł poprawnie, czyli spadły „reszki”, a „O” - nie zgadł, czyli spadły „reszki”.
Wzór na zmianę gotówki gracza:
Gotówka = JEŻELI(Rzut=1; Gotówka+Zakład; Zakład gotówkowy)
Wzór na określenie wygranej:
Wygrana = JEŻELI(Gotówka ˂ 2*Kapitał startowy; „-”; „bank”)
tutaj pojawia się komunikat „bank”, gdy kwota gotówki podwoi się lub więcej, co jest warunkiem przerwania gry.
Funkcja wykrywania strat:
Strata = JEŻELI(Gotówka ˃ 0; „bankrut”)
tutaj pojawia się komunikat „bankrut” w przypadku wyczerpania się środków pieniężnych, co jest również warunkiem przerwania gry.
MODEL KOMPUTERA
Wstępne dane;
statystyki dotyczące eksperymentów.
Wprowadź początkowe dane do tabeli.
Do części obliczeniowej wprowadź następujące wzory:
PLAN EKSPERYMENTALNY
TESTOWANIE
EKSPERYMENT 1
Zbadaj występowanie „orłów” i „reszek” podczas sesji gry.
EKSPERYMENT 2
PRZEPROWADZAĆ BADANIE
TESTOWANIE
Wprowadź kontrolne dane wejściowe do tabeli i formuły obliczeniowe do pierwszej linii. Porównaj wyniki z wynikami pokazanymi w tabeli.
Widzimy spadek środków pieniężnych o kwotę zakładu. Jeśli w kolumnie Rzut wypadnie 1 (reszka), dane w pozostałych kolumnach powinny wyglądać następująco:
Jeśli wynikiem w kolumnie Toss jest „O” (resztki), dane w pozostałych kolumnach powinny wyglądać następująco:
Widzimy wzrost środków pieniężnych o kwotę zakładu. Porównanie z próbą kontrolną wykazało poprawność wprowadzenia wzorów.
1. Skopiuj formuły do dolnych komórek w widocznej przestrzeni ekranu (około 20 rzutów). W ten sposób symulujesz od razu całą sesję gry - 20 rzutów. Możesz „rozciągnąć” przyjemność i skopiować formuły tylko do jednego dolnego wiersza, symulując jeden rzut monetą. Biorąc jednak pod uwagę fakt, że do wyciągnięcia wniosków konieczne jest zebranie statystyk, eksperyment został celowo przyspieszony. Pojawienie się komunikatu „bank” w kolumnie Wygrana oznacza podwójną gotówkę, a pojawienie się komunikatu „bankrut” w kolumnie Przegrana oznacza zero gotówki. Obydwa prowadzą do zakończenia sesji gry. Dalsze wyniki są ignorowane. Sesję gry uważa się za zakończoną.
2. Następną sesję gry przeprowadza się w tych samych komórkach, aktualizując dane w pierwszej kolumnie, dla czego formułę z komórki A7 należy ponownie skopiować do dolnych komórek.
3. Zbieraj statystyki gry. Aby to zrobić, w wolnym obszarze arkusza kalkulacyjnego zapisz wyniki 10-20 sesji gry w następującej formie:
♦ Kto wygrywa częściej: kasyno czy gracz?
♦ Ile średnio strzałów należy oddać przed końcem gry? EKSPERYMENT 2: Symulacja gry z różnymi zakładami Zmień wielkość zakładu na rzut (4, 7 i 10 monet). Wykonaj 20 rzutów. Gra może zakończyć się wcześniej lub nie.
Zagraj 10 razy dla każdego zakładu.
Zbieraj statystyki gry. Aby to zrobić, w wolnym obszarze arkusza kalkulacyjnego zapisz wyniki 10 sesji gry w następującej formie:
Etap IV. Analiza wyników symulacji
Na podstawie obszaru „Statystyki” wyciągnij wnioski dotyczące zakładu na jedną monetę; inne stawki. Wybierz i uzasadnij własną taktykę gry (zakład).
ZADANIE 3.33. Gra w ruletkę
Etap I. Sformułowanie problemu
OPIS ZADANIA
Kasyna prosperują, ponieważ właściciel zawsze ma przewagę nad graczem. Na przykład w jednej wersji ruletki koło ma 38 otworów: 36 jest ponumerowanych i podzielonych na czarny i czerwony, a pozostałe dwa mają numery 0 i 00 i są pomalowane na zielono. Gracz obstawiający kolor czerwony lub czarny ma 18 z 38 szans na wygraną i 20 z 38 szans na przegraną.
Powtórz eksperyment z zadania 3.32, zakładając, że masz określoną liczbę żetonów i chcesz podwoić swój kapitał. Jeśli koło zatrzyma się na wybranej przez Ciebie liczbie, Twój kapitał wzrośnie o kwotę postawionego zakładu, w przeciwnym razie zakład przejdzie do dochodu kasyna.
CEL SYMULACJI
Modelowanie możliwych sytuacji w grze i opracowywanie taktyk, które częściej prowadzą do wyników (pozytywnych lub negatywnych).
Ostrzeżenie dla graczy nadmiernie hazardowych.
FORMALIZACJA PROBLEMU
Etap II. Rozwój modelu
MODEL INFORMACYJNY
Gra jest tutaj symulowana. Gra to proces, w którym biorą udział trzy obiekty: gracz, właściciel kasyna i sprawa reprezentowana w tej grze przez ruletkę. Sprawa charakteryzuje się odgadnięciem lub nie, jaki kolor pojawił się na kole i ma dwa znaczenia: „odgadłem” (1) lub „nie zgadłem” (0).
Model matematyczny procesu składa się z następującego rozumowania.
Symuluj zakład gracza za pomocą funkcji SKRAJ() nie ma sensu, bo to zależy tylko od niego. Gracz może zawsze postawić na czerwony, zawsze na czarny lub co drugi raz...
Za pomocą tej funkcji możesz symulować wynik obrotu koła SKRAJ(), co generuje liczby w zakresie 0 ≤ x ˂ 1. Zgodnie z warunkami zadania prawdopodobieństwo odgadnięcia koloru wynosi 18/38, co równa się 0,47. Liczba 0,47 dzieli zakres liczb losowych na dwie nierówne części. Wpadnięcie w mniejszą część przedziału oznacza odgadnięcie wyniku (ma mniejsze prawdopodobieństwo), natomiast wpadnięcie w większą część oznacza porażkę (z większym prawdopodobieństwem). Sytuację tę można opisać następującym wzorem:
Koło = JEŻELI(RANDA()˂0,47; 1; 0).
Formuły wymiany gotówki, a także zatrzymania gry w wyniku podwojenia gotówki lub bankructwa są podobne do podanych w Zadaniu 3.32.
MODEL KOMPUTERA
Do modelowania wybierzemy środowisko arkusza kalkulacyjnego. W tym środowisku informacje i model matematyczny są łączone w tabelę zawierającą trzy obszary:
Wstępne dane;
obliczone dane (wyniki);
statystyki dotyczące eksperymentów.
Wprowadź początkowe dane do tabeli:
Do części obliczeniowej wprowadź następujące wzory:
Etap III. Eksperyment komputerowy
PLAN EKSPERYMENTALNY
TESTOWANIE
Sprawdź, czy formuły zostały wprowadzone poprawnie.
EKSPERYMENT 1
Zbadaj występowanie wygranych podczas jednej sesji gry.
EKSPERYMENT 2
Zbieraj statystyki wygranych i przegranych podczas wielu sesji gier różne znaczenia stawki i zapoznaj się z nimi.
PRZEPROWADZAĆ BADANIE
TESTOWANIE
Wprowadź kontrolne dane wejściowe i wzory obliczeniowe do tabeli w pierwszym wierszu. Porównaj wyniki z wynikami pokazanymi w tabeli.
Widzimy wzrost środków pieniężnych o kwotę zakładu.
Jeżeli w kolumnie Koło wynik wynosi 1, dane w pozostałych kolumnach powinny wyglądać następująco:
Widzimy spadek środków pieniężnych o kwotę zakładu. Porównanie z próbą kontrolną wykazało poprawność wprowadzenia wzorów.
EKSPERYMENT 1. Symulacja jednej sesji gry dla danego zakładu
1. Skopiuj formuły do niższych komórek w widocznym obszarze ekranu (około 20 obrotów koła). W ten sposób symulujesz całą sesję gry na raz. Pojawienie się komunikatu „bank” w kolumnie Wygrana oznacza podwojenie środków, natomiast w kolumnie Przegrana komunikat „bankrut” oznacza zerową gotówkę. Obydwa prowadzą do zakończenia sesji gry. Dalsze wyniki są ignorowane. Sesję gry uważa się za zakończoną.
2. Rozegraj następną sesję gry w tych samych komórkach, aktualizując dane w pierwszej kolumnie, dla której formuła w komórce A7 skopiuj ponownie do niższych komórek
3. Zbieraj statystyki gry. Aby to zrobić, zapisz wyniki w wolnym obszarze tabeli. 10-20 sesji gry w następującej formie:
Na podstawie zebranych statystyk odpowiedz na pytania:
♦ Kto wygrywa częściej – kasyno czy gracz?
♦ Ile średnio obrotów kołem należy wykonać, zanim gra się zakończy?
EKSPERYMENT 2. Zestaw statystyk dla samodzielnie wybranego zakładu
1. Zmień wielkość zakładu (4, 7 lub 10 monet).
2. Wykonaj 20 obrotów kołem. Gra może zakończyć się wcześniej lub nie.
3. Zagraj 10 razy dla każdego zakładu.
4. Zbieraj statystyki gry. Aby to zrobić, w wolnym obszarze arkusza kalkulacyjnego zapisz wyniki 10 sesji gry w następującej formie:
W kolumnie Wynik możliwe są następujące wartości:
♦ wygrane (gdy pojawia się wartość „bank”);
♦ strata (gdy pojawia się wartość „upadłość”);
♦ nie (gra nieskuteczna).
Etap IV. Analiza wyników
Przeanalizuj dane w obszarze „Statystyki”. Porównaj liczbę zwycięstw i przegranych. Podsumuj wygrane i przegrane kolumny i wyciągnij wnioski.
ZADANIE 3.34. Gra w kości
Etap I. Sformułowanie problemu
OPIS ZADANIA
Dwóch graczy rzuca po dwiema kostkami.
Suma punktów uzyskanych na obu kostkach sumuje się. Gra kończy się, gdy jeden z graczy osiągnie sumę 101.
Gra jest powtarzana aż do trzech zwycięstw.
CEL SYMULACJI
Stworzenie modelu gry w oparciu o zdarzenia losowe.
FORMALIZACJA PROBLEMU
Sformalizujmy problem w formie poszukiwania odpowiedzi na następujące pytania:
Etap II. Rozwój modelu
MODEL INFORMACYJNY
Model matematyczny procesu składa się z następującego rozumowania.
Kostka ma 6 ścianek z liczbą kropek od 1 do 6.
Model symulujący rzut dwiema kostkami przez jednego gracza:
DO 1 =CAŁKOWITA(1+6*RANDA())
DO 2 = LICZBA CAŁKOWITA(1+6*RANDA())
Wartości losowe są sumowane. Sumy rzutów każdego gracza są gromadzone w oddzielnych kolumnach: Suma pierwszego i Suma drugiego i są analizowane po każdym rzucie w kolumnie Wynik:
JEŻELI(OR("Suma pierwszej"˃101; "Suma drugiej"˃101); "koniec gry","-").
Tutaj, gdy obie sumy są mniejsze niż 101, w kolumnie wpisuje się „-”, a gdy przynajmniej jeden gracz przekroczy próg, w kolumnie wpisuje się „koniec gry”. Kto wygrał, można określić na podstawie sąsiednich kolumn.
Gra kończy się, gdy w kolumnie Wynik pojawi się komunikat „koniec gry”.
MODEL KOMPUTERA
Do modelowania użyj środowiska procesora tabel. Wykonaj modelowanie samodzielnie.
Możesz symulować przebieg gry z partnerem, kopiując na zmianę formuły tylko do jednego rzędu dolnych komórek, co odpowiada jednemu rzutowi parą kostek.
ZADANIA DO PRACY SAMODZIELNEJ
3.35. Loteria „Sportloto”.
Kto z Was nie zna loterii Sportloto? Istnieją dwie popularne taktyki:
Przekreśl tę samą kombinację „szczęśliwych” liczb na biletach;
rzuć kostką i ułóż zestaw liczb z liczby kropek na górnej powierzchni.
Symuluj serię „5 z 36” gier, eksperymentując z obiema taktykami.
Aby uzyskać liczby losowe z zakresu od 1 do 36, użyj następującego modelu matematycznego:
K=CAŁKOWITA(1+36*RANDA())
Wprowadź statystyki. Wyciągać wnioski.
Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów. Korn G., Korn T.
M.: Nauka, 1974.- 832 s..
W podręczniku znajdują się informacje z następujących działów: algebra wyższa, geometria analityczna i różniczkowa, analiza matematyczna (w tym całki Lebesgue’a i Stieltjesa), analiza wektorowa i tensorowa, współrzędne krzywoliniowe, funkcje zmiennej zespolonej, rachunek operacyjny, równania różniczkowe pochodne zwyczajne i cząstkowe, rachunek wariacyjny, algebra abstrakcyjna, macierze, przestrzenie wektorów liniowych, operatory i teoria reprezentacji, równania całkowe, zagadnienia wartości brzegowych, teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, numeryczne metody analizy, funkcje specjalne. W tym wydaniu przepisano rozdziały 11, 20 oraz znaczną część rozdziałów 13 i 18. Król został uzupełniony znaczną liczbą nowych sekcji.
Katalog przeznaczony jest dla studentów ostatnich lat kierunków matematycznych, pracownicy naukowi i inżynierowie.
Format: djvu
Rozmiar: 13,7 MB
Pobierać: drive.google
STRESZCZENIE
ROZDZIAŁ 1. ELEMENTARNA ALGEBRA, GEOMETRIA I TRYGONOMETRIA (PŁASKA I SFERYCZNA)
ROZDZIAŁ 2. GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYZNIE
ROZDZIAŁ 3. GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
ROZDZIAŁ 4. FUNKCJE I OGRANICZENIA. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I INTEGRALNY
ROZDZIAŁ 5. ANALIZA WEKTOROWA
ROZDZIAŁ 6. KRZYWILINOWE UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH
ROZDZIAŁ 7. FUNKCJE ZMIENNEJ ZŁOŻONEJ
ROZDZIAŁ 8. TRANSFORMACJA LAPLACEA I INNE PRZEKSZTAŁCENIA INTEGRALNE
ROZDZIAŁ 9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYKŁE
ROZDZIAŁ 10. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE Z POCHODNYMI CZĘŚCIOWYMI
ROZDZIAŁ 11. MAKSYMALNE I MINIMALNE
ROZDZIAŁ 12. DEFINICJA MODELI MATEMATYCZNYCH: WSPÓŁCZESNA (ABSTRAKTYCZNA) ALGEBRA I PRZESTRZENIE ABSTRAKCYJNE
ROZDZIAŁ 13. MACIERZE, FORMY KWADRATOWE I HERMITOWE
ROZDZIAŁ 14. LINIOWE PRZESTRZENIE WEKTOROWE I PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE (OPERATORY LINIOWE). REPREZENTACJA MODELI MATEMATYCZNYCH ZA POMOCĄ MACIERZY
ROZDZIAŁ 15. RÓWNANIA CAŁKOWITE LINIOWE, PROBLEMY Z WARTOŚCIAMI BOUNARNYMI I ZWARTOŚCIAMI WŁASNYMI
ROZDZIAŁ 16. PRZEDSTAWIENIA MODELI MATEMATYCZNYCH. ALGEBRA TENSORÓW I ANALIZA TENSORÓW
ROZDZIAŁ 17. GEOMETRIA RÓŻNICZKOWA
ROZDZIAŁ 18. TEORIA PRAWIDŁOWOŚCI I PROCESY LOSOWE
ROZDZIAŁ 19. STATYSTYKA MATEMATYCZNA
ROZDZIAŁ 20. METODY NUMERYCZNE I RÓŻNICE SKOŃCZONE
ROZDZIAŁ 21. FUNKCJE SPECJALNE
Literatura 796
Indeks ważnych symboli 801
Indeks przedmiotowy 804
2. Galustov G.G., Panov D.N., Orlichenko A.N. Analiza nierównomierności losowego ciągu liczb otrzymanego na podstawie binarnego ciągu losowego // Analiza statystyczna oraz modelowanie procesów i systemów. – Taganrog, 1979. – s. 86-92.
3. A.s. 193163 (ZSRR). Ekonomiczny szybki czujnik równomiernie rozłożonych liczb losowych / Galustov G.G., Boychenko V.M., Gladkiy V.S. kl. 42m3.
4. Korn G. Modelowanie procesów losowych na maszynach analogowych i analogowo-cyfrowych. – M.: Mir, 1968. – 315 s.
5. Tichonow V.I. Charakterystyka emisji procesów losowych // Radiotechnika i elektronika. – 1964. – nr 3.
6. Galustov G.G., Galustov A.G. Synteza parametrów podstawowych procesów losowych przy rozwiązywaniu problemów modelowania statystycznego // Radioinżynieria. Tom. 54. Urządzenia radioelektroniczne oraz systemy sterowania, lokalizacji i łączności. – 2001. – nr 7. – s. 76-80.
7. Neiman V.I., Paramonov Yu.V. Elektroniczny czujnik liczb losowych // Problemy transmisji informacji. – 1961. – Wydanie. 9.
8. Galustov G.G., Panov D.N. Wyznaczanie funkcji korelacji ciągu liczbowego na wyjściu rejestru przesuwnego // Analiza statystyczna i modelowanie procesów i systemów. – 1976. – Wydanie. 2. – s. 17-21.
9. Galustow G.G. Modelowanie procesów losowych i ocena ich charakterystyk statystycznych. – M.: Radio i Łączność, 1999. – 120 s.
10. Iwanow M.A., Chugunkov I.V. Teoria, zastosowanie i ocena jakości generatorów sekwencji pseudolosowych. – M.: KUDITS-OBRAZ, 2003. – 240 s.
11. Bakałow V.P. Cyfrowe modelowanie procesów losowych. – M.: SCIENCE-PRESS, 2002. – 88 s.
12. Algorytm Barasha L. AKS do sprawdzania pierwszości liczb i wyszukiwania stałych generatora liczby pseudolosowe// Bezpieczeństwo Technologie informacyjne. – 2005. – nr 2. – s. 27-38.
13. Uspienski V.A. Cztery algorytmiczne twarze losowości. – M.: MTsNMO, 2006. – 48 s. – ISBN 978-5-94057-485-9.
14. Zhelnikov V. Kryptografia od papirusu do komputera. – M.: ABF, 1996. – 335 s. – ISBN 5-87484-054-0.
15. Barker E., Kelsey J. Rekomendacja dla pokolenia Liczba losowa używając determinizmu generatory losowe bity, NIST SP800-90A, styczeń 2012.
16. Kulikov D., Lee A. Nowy czujnik do rejestracji efektów psychofizycznych oparty na półprzewodnikowych generatorach szumu // Anomalia. – 2009. – nr 4. – s. 3-9.
17. Galustow G.G., Woronin V.V. Estymacja parametrów sekwencji losowej w stochastycznych urządzeniach liczących // 23 Forum Telekomunikacyjne TELFOR 2015, 24-26 listopada 2015 (Belgrad, Serbia). – s. 670-673.
18. Menezes A., van Oorshot P., Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography. – CRC Press, 1997.
19. Cortois P.J. Niestabilności rozkładu i nasycenie w systemach wieloprogramowych // Komunikacja ACM. – 1975. – Cz. 18, Nie. 7. – s. 371-377.
20. Kumar A. Równoważne sieci kolejkowe i ich zastosowanie w przybliżonej analizie równowagi // System techniczny Bella J. – 1982. – Tom. 62, Nie. 10. – s. 2893-2907.
W podręczniku znajdują się informacje z następujących działów: algebra wyższa, geometria analityczna i różniczkowa, analiza matematyczna (w tym całki Lebesgue'a i Stieltjesa), analiza wektorowa i tensorowa, współrzędne krzywoliniowe, funkcje zmiennej zespolonej, rachunek operacyjny, równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe , rachunek wariacyjny , algebra abstrakcyjna, macierze, liniowe przestrzenie wektorowe, operatory i teoria reprezentacji, równania całkowe, zagadnienia wartości brzegowych, teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, numeryczne metody analizy, funkcje specjalne. W tym wydaniu przepisano rozdziały 11, 20 oraz znaczną część rozdziałów 13 i 18. Książka została uzupełniona znaczną liczbą nowych rozdziałów.
Katalog przeznaczony jest dla studentów ostatnich lat kierunków matematycznych, naukowców i inżynierów.
Książka G. Korna i T. Korna „Podręcznik matematyki (dla naukowców i inżynierów)” wyróżnia się bardzo szerokim zakresem materiału. Obejmuje prawie wszystkie kwestie, takie jak kurs ogólny matematyki, a także większości sekcji specjalnych studiowanych na uczelniach z zaawansowanym programem matematyki (analiza wektorów i tensorów, współrzędne krzywoliniowe, równania fizyki matematycznej, funkcje zmiennej zespolonej i rachunek operacyjny, rachunek wariacyjny, algebra liniowa, teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna itp.) d.). Ponadto w książce znajdują się rozdziały poświęcone współczesnej algebrze, teorii całek Lebesgue’a i Stieltjesa, geometrii Riemanna, równaniom całkowym, funkcjom specjalnym, a także szeregowi innych zagadnień, które wykraczają daleko poza matematyczny trening inżynierów, ale są stopniowo staje się niezbędnym narzędziem dla naukowców i inżynierów badawczych pracujących w różnych dziedzinach. Wiele uwagi poświęca się powiązaniom między rozważanymi problemy matematyczne z stosowanymi dyscyplinami (metody obliczeń i syntezy obwodów elektrycznych, oscylacje liniowe i nieliniowe itp.).
TREŚĆ
ROZDZIAŁ 1. ELEMENTARNA ALGEBRA, GEOMETRIA I TRYGONOMETRIA (PŁASKA I SFERYCZNA)
ROZDZIAŁ 2. GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYZNIE
ROZDZIAŁ 3. GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
ROZDZIAŁ 4. FUNKCJE I OGRANICZENIA. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I INTEGRALNY
ROZDZIAŁ 5. ANALIZA WEKTOROWA
ROZDZIAŁ 6. KRZYWILINOWE UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH
ROZDZIAŁ 7. FUNKCJE ZMIENNEJ ZŁOŻONEJ
ROZDZIAŁ 8. TRANSFORMACJA LAPLACEA I INNE PRZEKSZTAŁCENIA INTEGRALNE
ROZDZIAŁ 9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYKŁE
ROZDZIAŁ 10. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE Z POCHODNYMI CZĘŚCIOWYMI
ROZDZIAŁ 11. MAKSYMALNE I MINIMALNE
ROZDZIAŁ 12. DEFINICJA MODELI MATEMATYCZNYCH: WSPÓŁCZESNA (ABSTRAKTYCZNA) ALGEBRA I PRZESTRZENIE ABSTRAKCYJNE
ROZDZIAŁ 13. MACIERZE, FORMY KWADRATOWE I HERMITOWE
ROZDZIAŁ 14. LINIOWE PRZESTRZENIE WEKTOROWE I PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE (OPERATORY LINIOWE). REPREZENTACJA MODELI MATEMATYCZNYCH ZA POMOCĄ MACIERZY
ROZDZIAŁ 15. RÓWNANIA CAŁKOWITE LINIOWE, PROBLEMY Z WARTOŚCIAMI BOUNARNYMI I ZWARTOŚCIAMI WŁASNYMI
ROZDZIAŁ 16. PRZEDSTAWIENIA MODELI MATEMATYCZNYCH. ALGEBRA TENSORÓW I ANALIZA TENSORÓW
ROZDZIAŁ 17. GEOMETRIA RÓŻNICZKOWA
ROZDZIAŁ 18. TEORIA PRAWIDŁOWOŚCI I PROCESY LOSOWE
ROZDZIAŁ 19. STATYSTYKA MATEMATYCZNA
ROZDZIAŁ 20. METODY NUMERYCZNE I RÓŻNICE SKOŃCZONE
ROZDZIAŁ 21. FUNKCJE SPECJALNE
Literatura 796
Indeks ważnych symboli 801
Indeks przedmiotowy 804
Darmowe pobieranie e-book w wygodnej formie, obejrzyj i przeczytaj:
Pobierz książkę Handbook of Mathematics, Korn G., Korn T., 1973 - fileskachat.com, szybkie i bezpłatne pobieranie.
- Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów - Korn G., Korn T.
- Matematyka, Podręcznik szkolny, klasy 7-11, Definicje, wzory, diagramy, twierdzenia, algorytmy, Chernyak A.A., Chernyak Zh.A., 2018
Rozważmy algorytmy modelowania stacjonarnych procesów normalnych i losowych Markowa. Procesy te są szeroko stosowane jako modele matematyczne różnego rodzaju procesy rzeczywiste zachodzące w złożonych systemach technicznych. Przedstawmy poniżej kilka niezbędnych do dalszej prezentacji definicji i pojęć, przyjętych w ramach teorii korelacyjnej i spektralnej funkcji losowych.
Funkcja losowa jest funkcją nielosowego argumentu t, która dla każdej ustalonej wartości argumentu wynosi zmienna losowa. Funkcja losowa czas zwany proces losowy. Funkcja losowa współrzędne nazywają się punkty w przestrzeni losowe pole. Specyficzną postać, jaką przyjmuje proces losowy w wyniku eksperymentu, nazywa się realizacją (trajektorią) procesu losowego. Wszystkie uzyskane realizacje procesu losowego stanowią zbiór realizacji. Wartości realizacji w określonych momentach (odcinkach czasu) nazywane są wartościami chwilowymi procesu losowego.
Wprowadźmy następującą notację: X(t) - proces losowy; x i (t) - i-ta realizacja procesu X(t); x i (t j) - wartość chwilowa procesu X(t), odpowiadająca i-tej realizacji w j-tym momencie czasu. Zbiór wartości chwilowych odpowiadający wartościom różnych realizacji w tym samym momencie czasu t j będzie nazywany j-tym ciągiem procesu X(t) i oznaczany przez x(t j). Z powyższego wynika, że argumentami procesu losowego może być czas i numer implementacji. W tym względzie uprawnione są dwa podejścia do badania właściwości procesu losowego: pierwsze opiera się na analizie zbioru implementacji, drugie operuje zbiorem sekwencji – odcinków czasowych. Obecność lub brak zależności wartości cech probabilistycznych procesu losowego od czasu lub liczby implementacji determinuje takie podstawowe właściwości procesu, jak stacjonarność i ergodyczność. Stacjonarny jest procesem, którego charakterystyka probabilistyczna nie zależy od czasu. Ergodyczny jest procesem, którego charakterystyka probabilistyczna nie zależy od numeru implementacji.
Proces losowy nazywa się normalna(lub Gaussa), jeśli jednowymiarowe i dwuwymiarowe prawa rozkładu którejkolwiek z jego sekcji są normalne. Kompleksową charakterystyką normalnego procesu losowego są jego matematyczne oczekiwania i funkcja korelacji. Dla stacjonarnego normalnego procesu losowego MOF jest stały, a funkcja korelacji zależy tylko od różnicy pomiędzy momentami czasu, dla których przyjmowane są rzędne procesu losowego ( =t 2 -t 1). Dla stacjonarnego procesu losowego, przy dostatecznie dużym odchyleniu rzędnej procesu losowego X(t 2) od jego matematycznego oczekiwania m x w chwili t 2 staje się praktycznie niezależne od wartości tego odchylenia w chwili t 1 . W tym przypadku funkcja korelacji K(t), która podaje wartość momentu połączenia pomiędzy X(t 2) i X(t 1), będzie dążyć do zera. Dlatego K() może albo maleć monotonicznie, jak pokazano na ryc. 2.2, albo mieć postać pokazaną na ryc. 2.3. Funkcję formy (ryc. 2.2.) z reguły przybliża się za pomocą wyrażeń:
(2.38)
oraz funkcja formy (ryc. 2.3.) - z wyrażeniami:
Ryc.2.2. Ryc.2.3.
Stabilność stacjonarnego procesu losowego w czasie pozwala zastąpić argument – czas – jakąś zmienną pomocniczą, która w wielu zastosowaniach ma wymiar częstotliwości. Zastąpienie to pozwala znacznie uprościć obliczenia i uzyskać większą przejrzystość wyników. Otrzymana funkcja (S()) nazywana jest gęstością widmową stacjonarnego procesu losowego i jest powiązana z funkcją korelacji poprzez wzajemnie odwrotne transformaty Fouriera:
(2.42)
(2.43)
Istnieją inne normalizacje gęstości widmowej, na przykład:
(2.44)
Na podstawie transformat Fouriera łatwo otrzymać np. dla procesu losowego z K(t) postaci (2.38):
(2.45)
Stacjonarny proces losowy, którego gęstość widmowa jest stała (S(w)=S=const), nazywa się stacjonarnym biały szum. Funkcja korelacji stacjonarnego białego szumu jest dla wszystkich równa zeru, co oznacza, że dowolne dwa jego przekroje są nieskorelowane.
Problem modelowania stacjonarnego procesu losowego normalnego (SNSP) można sformułować jako problem znalezienia algorytmu umożliwiającego uzyskanie dyskretnych implementacji tego procesu na komputerze. Proces X(t) zostaje zastąpiony z zadaną dokładnością odpowiednim procesem X(nDt) z czasem dyskretnym t n = nDt (Dt jest krokiem próbkowania procesu, n jest argumentem całkowitym). W rezultacie proces losowy x(t) zostanie powiązany z ciągami losowymi:
x k [n]=x k (nDt), (2,46)
gdzie k jest numerem implementacji.
Oczywiście dowolny element ciągu losowego x(nDt) można uznać za losową funkcję jego liczby, tj. argument całkowity n i tym samym wykluczamy Dt z rozważań, co jest brane pod uwagę przy pisaniu (2.46). Dodatkowo, aby odróżnić argument będący liczbą całkowitą od argumentu zmieniającego się w sposób ciągły, jest on ujęty w nawiasy kwadratowe.
Sekwencje losowe są często nazywane dyskretnymi procesami losowymi lub szeregami czasowymi.
Wiadomo, że dodanie do funkcja losowa zmienna nielosowa nie zmienia wartości funkcji korelacji. Dlatego w praktyce bardzo często modeluje się scentralizowane procesy losowe (MOR równy zeru), z których zawsze można przejść do rzeczywistego, dodając MOR do elementów ciągu losowego symulującego proces losowy.
Dla ciągów losowych funkcję korelacji i gęstość widmową oblicza się z zależności:
(2.47)
(2.48)
Sprowadzenie procesu losowego do losowej sekwencji zasadniczo oznacza zastąpienie go wektorem wielowymiarowym. Dlatego rozważana metoda modelowania wektorów losowych jest, ogólnie rzecz biorąc, odpowiednia do modelowania procesów losowych określonych w skończonym przedziale czasu. Jednak w przypadku stacjonarnych normalnych procesów losowych jest ich więcej skuteczne metody konstrukcja algorytmów modelowania. Rozważmy dwie metody, które są najczęściej stosowane w praktyce.