Które były ci w takim czy innym stopniu znane. Zaznaczono tam także, że zasób właściwości funkcjonalnych będzie sukcesywnie uzupełniany. W tej sekcji zostaną omówione dwie nowe właściwości.
Definicja 1.
Funkcja y = f(x), x є X, jest wywoływana nawet wtedy, gdy dla dowolnej wartości x ze zbioru X zachodzi równość f (-x) = f (x).
Definicja 2.
Funkcję y = f(x), x є X nazywamy nieparzystą, jeśli dla dowolnej wartości x ze zbioru X zachodzi równość f (-x) = -f (x).
Udowodnić, że y = x 4 jest funkcją parzystą.
Rozwiązanie. Mamy: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ale(-x) 4 = x 4. Oznacza to, że dla dowolnego x zachodzi równość f(-x) = f(x), tj. funkcja jest parzysta.
Podobnie można udowodnić, że funkcje y – x 2, y = x 6, y – x 8 są parzyste.
Udowodnić, że y = x 3 ~ funkcja nieparzysta.
Rozwiązanie. Mamy: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3. Oznacza to, że dla dowolnego x zachodzi równość f (-x) = -f (x), tj. funkcja jest nieparzysta.
Podobnie można udowodnić, że funkcje y = x, y = x 5, y = x 7 są nieparzyste.
Niejednokrotnie byliśmy już przekonani, że nowe terminy w matematyce mają najczęściej „ziemskie” pochodzenie, tj. można je jakoś wytłumaczyć. Dzieje się tak zarówno w przypadku funkcji parzystych, jak i nieparzystych. Zobacz: y - x 3, y = x 5, y = x 7 to funkcje nieparzyste, natomiast y = x 2, y = x 4, y = x 6 to funkcje parzyste. I ogólnie dla dowolnej funkcji postaci y = x” (poniżej szczegółowo przeanalizujemy te funkcje), gdzie n jest liczbą naturalną, możemy stwierdzić: jeśli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja y = x” wynosi dziwne; jeśli n jest liczbą parzystą, to funkcja y = xn jest parzysta.
Istnieją również funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Taka jest na przykład funkcja y = 2x + 3. Rzeczywiście f(1) = 5 i f (-1) = 1. Jak więc widać, tutaj zatem ani tożsamość f(-x) = f ( x), ani tożsamość f(-x) = -f(x).
Zatem funkcja może być parzysta, nieparzysta lub żadna z nich.
Badanie, czy dana funkcja jest parzysta czy nieparzysta, nazywa się zwykle badaniem parzystości.
Definicje 1 i 2 odnoszą się do wartości funkcji w punktach x i -x. Zakłada się, że funkcja jest zdefiniowana zarówno w punkcie x, jak i w punkcie -x. Oznacza to, że punkt -x należy do dziedziny definicji funkcji jednocześnie z punktem x. Jeśli zbiór liczbowy X wraz z każdym jego elementem x zawiera także element przeciwny -x, to X nazywa się zbiorem symetrycznym. Powiedzmy, że (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) są zbiorami symetrycznymi, natomiast: niech X 1A;B, A X 2A;B .