Model matematyczny jest używany do. Modelowanie matematyczne. Forma i zasady reprezentacji modeli matematycznych

29.09.2019

Model matematyczny b jest matematyczną reprezentacją rzeczywistości.

Modelowanie matematyczne- proces budowania i badania modeli matematycznych.

Wszystkie nauki przyrodnicze i społeczne posługujące się aparatem matematycznym zajmują się w istocie modelowaniem matematycznym: zastępują rzeczywisty obiekt jego modelem matematycznym, a następnie go badają.

Definicje.

Żadna definicja nie jest w stanie w pełni opisać rzeczywistej działalności modelowania matematycznego. Mimo to definicje są przydatne, ponieważ próbują uwydatnić najważniejsze cechy.

Definicja modelu według A. A. Lapunowa: Modelowanie to pośrednie, praktyczne lub teoretyczne badanie obiektu, w którym bezpośrednio nie bada się interesującego nas obiektu, ale jakiś pomocniczy sztuczny lub naturalny system:

umiejscowiony w jakiejś obiektywnej korespondencji z poznawalnym przedmiotem;

w stanie zastąpić go pod pewnymi względami;

który w trakcie swoich badań ostatecznie dostarcza informacji o modelowanym obiekcie.

Według podręcznika Sowietowa i Jakowlewa: „model jest obiektem-substytutem obiektu pierwotnego, umożliwiającym badanie niektórych właściwości oryginału”. „Zastępowanie jednego obiektu drugim w celu uzyskania informacji o najważniejszych właściwościach obiektu pierwotnego za pomocą obiektu modelowego nazywa się modelowaniem.” „Pod pojęciem modelowania matematycznego będziemy rozumieć proces ustalania zgodności jakiegoś obiektu matematycznego z danym obiektem rzeczywistym, zwany modelem matematycznym, oraz badanie tego modelu, które pozwala uzyskać cechy rozpatrywanego obiektu rzeczywistego. Rodzaj modelu matematycznego zależy zarówno od charakteru obiektu rzeczywistego, jak i zadań badania obiektu oraz wymaganej niezawodności i dokładności rozwiązania tego problemu.

Według Samarskiego i Michajłowa model matematyczny jest „równoważnikiem” obiektu, odzwierciedlającym w formie matematycznej jego najważniejsze właściwości: prawa, którym podlega, połączenia właściwe jego częściom składowym itp. Istnieje w triadach „ model-algorytm-program”. Po stworzeniu triady „model-algorytm-program” badacz otrzymuje uniwersalne, elastyczne i niedrogie narzędzie, które najpierw jest debugowane i testowane w próbnych eksperymentach obliczeniowych. Po ustaleniu adekwatności triady do obiektu pierwotnego przeprowadza się różnorodne i szczegółowe „eksperymenty” z modelem, uzyskując wszystkie wymagane właściwości jakościowe i ilościowe oraz charakterystykę obiektu.

Jak czytamy w monografii Myshkisa: „Przejdźmy do definicji ogólnej. Zamierzamy zbadać pewien zbiór S właściwości rzeczywistego obiektu a

pomocą matematyki. Aby to zrobić, wybieramy „obiekt matematyczny” a” - układ równań, relacji arytmetycznych, figur geometrycznych lub ich kombinację itp. - którego badanie za pomocą matematyki powinno odpowiedzieć na postawione pytania o właściwościach S. W tych warunkach a” nazywa się modelem matematycznym obiektu a w odniesieniu do całości S jego właściwości”.

Według A. G. Sevostyanova: „Model matematyczny to zbiór matematycznych zależności, równań, nierówności itp., Opisujących główne wzorce właściwe badanemu procesowi, obiektowi lub systemowi”.

Nieco mniej ogólną definicję modelu matematycznego, opartą na idealizacji „stanu wejścia-wyjścia” zapożyczonego z teorii automatów, podaje Wikisłownik: „Abstrakcyjna matematyczna reprezentacja procesu, urządzenia lub idei teoretycznej; wykorzystuje zestaw zmiennych do reprezentowania wejść, wyników i stanów wewnętrznych oraz zestawy równań i nierówności do opisania ich interakcji.

Na koniec najbardziej zwięzła definicja modelu matematycznego: „Równanie wyrażające ideę”.

Klasyfikacja formalna modeli.

Formalna klasyfikacja modeli opiera się na klasyfikacji stosowanych narzędzi matematycznych. Często budowane w formie dychotomii. Na przykład jednym z popularnych zestawów dychotomii jest:

Modele liniowe lub nieliniowe; Systemy skoncentrowane lub rozproszone; Deterministyczny lub stochastyczny; Statyczne lub dynamiczne; dyskretny lub ciągły.

i tak dalej. Każdy skonstruowany model jest liniowy lub nieliniowy, deterministyczny lub stochastyczny, ... Naturalnie możliwe są również typy mieszane: skoncentrowane pod jednym względem, modele rozproszone pod innym itp.

Klasyfikacja ze względu na sposób przedstawienia obiektu.

Wraz z klasyfikacją formalną modele różnią się sposobem przedstawiania obiektu:

Modele strukturalne przedstawiają obiekt jako system z własnym urządzeniem i działającym mechanizmem. Modele funkcjonalne nie wykorzystują takich reprezentacji i odzwierciedlają jedynie postrzegane z zewnątrz zachowanie obiektu. W swoim skrajnym wyrazie nazywane są również modelami „czarnej skrzynki”. Możliwe są także modele kombinowane, które czasami nazywane są modelami „szarej skrzynki”.

Niemal wszyscy autorzy opisujący proces modelowania matematycznego wskazują, że najpierw budowana jest specjalna konstrukcja idealna, sensowny model. Nie ma tu ustalonej terminologii, a inni autorzy nazywają ten idealny obiekt modelem konceptualnym, modelem spekulatywnym lub premodelem. W tym przypadku ostateczna konstrukcja matematyczna nazywana jest modelem formalnym lub po prostu modelem matematycznym uzyskanym w wyniku sformalizowania tego modelu treści. Znaczący model można zbudować przy użyciu zestawu gotowych idealizacji, tak jak w mechanice, gdzie idealne sprężyny, ciała sztywne, idealne wahadła, ośrodki sprężyste itp. zapewniają gotowe elementy konstrukcyjne do znaczącego modelowania. Jednak w obszarach wiedzy, w których nie ma w pełni ukończonych, sformalizowanych teorii, tworzenie znaczących modeli staje się znacznie bardziej skomplikowane.

Praca R. Peierlsa podaje klasyfikację modeli matematycznych stosowanych w fizyce i szerzej w naukach przyrodniczych. W książce AN Gorbana i RG Khleboprosa klasyfikacja ta jest analizowana i rozszerzana. Klasyfikacja ta skupia się przede wszystkim na etapie konstruowania sensownego modelu.

Modele te „reprezentują próbny opis zjawiska, a autor albo wierzy w jego możliwość, albo nawet uważa ją za prawdziwą”. Według R. Peierlsa są to np. model Ptolemeusza Układu Słonecznego i model Kopernika, model atomu Rutherforda i model Wielkiego Wybuchu.

Żadna hipoteza naukowa nie może zostać udowodniona raz na zawsze. Richard Feynman ujął to bardzo jasno:

„Zawsze mamy możliwość obalenia teorii, ale pamiętaj, że nigdy nie możemy udowodnić, że jest ona poprawna. Załóżmy, że stawiasz udaną hipotezę, obliczasz, dokąd ona prowadzi, i stwierdzasz, że wszystkie jej konsekwencje zostały potwierdzone eksperymentalnie. Czy to oznacza, że Twoja teoria jest poprawna? Nie, oznacza to po prostu, że nie udało Ci się temu zaprzeczyć.

Jeśli zbuduje się model pierwszego typu, oznacza to, że zostaje on chwilowo uznany za prawdziwy i można skoncentrować się na innych problemach. Nie może to być jednak punkt badawczy, a jedynie chwilowa przerwa: status modelu pierwszego typu może być jedynie tymczasowy.

Model fenomenologiczny zawiera mechanizm opisu zjawiska. Jednak mechanizm ten nie jest wystarczająco przekonujący, nie może być wystarczająco potwierdzony przez dostępne dane lub nie zgadza się dobrze z dostępnymi teoriami i zgromadzoną wiedzą o obiekcie. Dlatego modele fenomenologiczne mają status rozwiązań tymczasowych. Uważa się, że odpowiedź nie jest jeszcze znana i należy kontynuować poszukiwania „prawdziwych mechanizmów”. Peierls odnosi np. model kaloryczny i model kwarkowy cząstek elementarnych do drugiego typu.

Rola modelu w badaniach może zmieniać się w czasie, może się zdarzyć, że nowe dane i teorie potwierdzą modele fenomenologiczne i zostaną one uaktualnione do

stan hipotezy. Podobnie nowa wiedza może stopniowo wchodzić w konflikt z modelami-hipotezami pierwszego typu i mogą one zostać przeniesione do drugiego. W ten sposób model kwarkowy stopniowo przechodzi do kategorii hipotez; Atomizm w fizyce powstał jako rozwiązanie tymczasowe, ale z biegiem historii przeszedł do pierwszego typu. Ale modele eterowe przeszły od typu 1 do typu 2 i teraz są poza nauką.

Idea uproszczenia jest bardzo popularna przy budowaniu modeli. Ale uproszczenie jest inne. Peierls wyróżnia trzy rodzaje uproszczeń w modelowaniu.

Jeśli możliwe jest skonstruowanie równań opisujących badany układ, nie oznacza to, że można je rozwiązać nawet przy pomocy komputera. Powszechną techniką w tym przypadku jest stosowanie przybliżeń. Wśród nich są liniowe modele odpowiedzi. Równania są zastępowane liniowymi. Standardowym przykładem jest prawo Ohma.

Jeśli użyjemy modelu gazu doskonałego do opisania wystarczająco rozrzedzonych gazów, to jest to model typu 3. Przy wyższych gęstościach gazu przydatne jest również wyobrażenie sobie prostszej sytuacji gazu doskonałego do jakościowego zrozumienia i oceny, ale wtedy jest to już typ 4 .

W modelu typu 4 odrzucane są szczegóły, które mogą zauważalnie i nie zawsze w sposób kontrolowany wpływać na wynik. Te same równania mogą służyć jako model typu 3 lub 4, w zależności od zjawiska, którego model jest używany do badania. Jeśli więc stosuje się modele reakcji liniowych przy braku modeli bardziej złożonych, to są to już fenomenologiczne modele liniowe i należą do kolejnego typu 4.

Przykłady: zastosowanie modelu gazu doskonałego do modelu nieidealnego, równanie stanu van der Waalsa, większość modeli fizyki ciała stałego, cieczy i jądrowej. Droga od mikroopisu do właściwości ciał składających się z dużej liczby cząstek jest bardzo długa. Wiele szczegółów trzeba pominąć. Prowadzi to do modeli czwartego typu.

Model heurystyczny zachowuje jedynie jakościowe podobieństwo do rzeczywistości i dokonuje przewidywań jedynie „w kolejności wielkości”. Typowym przykładem jest przybliżenie średniej ścieżki swobodnej w teorii kinetycznej. Podaje proste wzory na współczynniki lepkości, dyfuzji, przewodności cieplnej, zgodne z rzeczywistością w rzędzie wielkości.

Ale budując nową fizykę, dalekie jest od natychmiastowego uzyskania modelu, który daje przynajmniej jakościowy opis obiektu - modelu piątego typu. W tym przypadku model jest często używany przez analogię, odzwierciedlającą przynajmniej w jakiś sposób rzeczywistość.

R. Peierls przytacza historię stosowania analogii w pierwszym artykule W. Heisenberga o naturze sił jądrowych. „Stało się to po odkryciu neutronu i chociaż sam W. Heisenberg rozumiał, że jądra można opisać jako składające się z neutronów i protonów, nadal nie mógł pozbyć się myśli, że neutron powinien ostatecznie składać się z protonu i elektronu . W tym przypadku powstała analogia między oddziaływaniem w układzie neutron-proton a oddziaływaniem atomu wodoru i protonu. To właśnie ta analogia doprowadziła go do wniosku, że muszą istnieć siły wymiany oddziaływania między neutronem a protonem, które są analogiczne do sił wymiany w układzie H - H, w wyniku przejścia elektronu między dwoma protonami. ... Później jednak udowodniono istnienie sił wymiany interakcji między neutronem a protonem, chociaż nie zostały one całkowicie wyczerpane

oddziaływanie między dwiema cząstkami ... Ale idąc tą samą analogią, W. Heisenberg doszedł do wniosku, że nie ma jądrowych sił oddziaływania między dwoma protonami i do postulowania odpychania między dwoma neutronami. Oba te ostatnie ustalenia są sprzeczne z wynikami późniejszych badań.

A. Einstein był jednym z wielkich mistrzów eksperymentu myślowego. Oto jeden z jego eksperymentów. Został wynaleziony w młodości i ostatecznie doprowadził do zbudowania szczególnej teorii względności. Załóżmy, że w fizyce klasycznej podążamy za falą świetlną z prędkością światła. Będziemy obserwować pole elektromagnetyczne okresowo zmieniające się w przestrzeni i stałe w czasie. Według równań Maxwella tak nie jest. Z tego młody Einstein wywnioskował: albo prawa natury zmieniają się, gdy zmienia się układ odniesienia, albo prędkość światła nie zależy od układu odniesienia. Wybrał drugą - piękniejszą opcję. Innym słynnym eksperymentem myślowym Einsteina jest paradoks Einsteina-Podolskiego-Rosena.

A oto typ 8, który jest szeroko stosowany w modelach matematycznych układów biologicznych.

To także eksperymenty myślowe z wyimaginowanymi bytami, wykazujące, że rzekome zjawisko jest zgodne z podstawowymi zasadami i jest wewnętrznie spójne. Na tym polega główna różnica w porównaniu z modelami typu 7, które ujawniają ukryte sprzeczności.

Jednym z najbardziej znanych tego typu eksperymentów jest geometria Łobaczewskiego. Innym przykładem jest masowa produkcja formalnie kinetycznych modeli oscylacji chemicznych i biologicznych, autofal itp. Paradoks Einsteina-Podolskiego-Rosena został pomyślany jako model typu 7, aby zademonstrować niespójność mechaniki kwantowej. W zupełnie nieplanowany sposób ostatecznie przekształcił się w model typu 8 – demonstrację możliwości kwantowej teleportacji informacji.

Rozważmy układ mechaniczny składający się ze sprężyny zamocowanej na jednym końcu i obciążenia o masie m przymocowanego do wolnego końca sprężyny. Założymy, że obciążenie może poruszać się tylko w kierunku osi sprężyny. Skonstruujmy model matematyczny tego układu. Stan układu opiszemy odległością x od środka ładunku do jego położenia równowagi. Oddziaływanie sprężyny i obciążenia opisujemy za pomocą prawa Hooke'a, po czym używamy drugiego prawa Newtona, aby wyrazić to w postaci równania różniczkowego:

gdzie oznacza drugą pochodną x względem czasu.

Otrzymane równanie opisuje model matematyczny rozważanego układu fizycznego. Ten wzór nazywa się „oscylatorem harmonicznym”.

Zgodnie z klasyfikacją formalną model ten jest liniowy, deterministyczny, dynamiczny, skoncentrowany, ciągły. W trakcie jego budowy przyjęliśmy wiele założeń, które w rzeczywistości mogą się nie sprawdzić.

W odniesieniu do rzeczywistości jest to najczęściej model typu 4, uproszczenie, gdyż pominięto pewne istotne cechy uniwersalne. W pewnym przybliżeniu taki model całkiem dobrze opisuje rzeczywisty układ mechaniczny

odrzucone czynniki mają znikomy wpływ na jego zachowanie. Model można jednak udoskonalić, biorąc pod uwagę niektóre z tych czynników. Doprowadzi to do powstania nowego modelu o szerszym zakresie.

Jednakże po udoskonaleniu modelu złożoność jego badań matematycznych może znacznie wzrosnąć i sprawić, że model stanie się praktycznie bezużyteczny. Często prostszy model pozwala lepiej i głębiej poznać rzeczywisty system niż bardziej złożony.

Jeśli zastosujemy model oscylatora harmonicznego do obiektów odległych od fizyki, jego znaczący status może być inny. Na przykład, stosując ten model do populacji biologicznych, najprawdopodobniej należy go przypisać analogii typu 6.

Modele twarde i miękkie.

Oscylator harmoniczny jest przykładem tzw. modelu „twardego”. Uzyskuje się go w wyniku silnej idealizacji rzeczywistego układu fizycznego. Aby rozwiązać kwestię jego stosowalności, należy zrozumieć, jak istotne są czynniki, które zaniedbaliśmy. Inaczej mówiąc, konieczne jest zbadanie modelu „miękkiego”, który uzyskuje się poprzez niewielkie zaburzenie modelu „twardego”. Można to wyrazić na przykład za pomocą następującego równania:

Tutaj - jakaś funkcja, która może uwzględniać siłę tarcia lub zależność sztywności sprężyny od stopnia jej rozciągnięcia, ε - jakiś mały parametr. Jawna postać funkcji f nas w tej chwili nie interesuje. Jeśli udowodnimy, że zachowanie miękkiego modelu nie różni się zasadniczo od zachowania twardego modelu, problem zostanie zredukowany do badania twardego modelu. W przeciwnym razie zastosowanie wyników uzyskanych w badaniu modelu sztywnego będzie wymagało dodatkowych badań. Na przykład rozwiązaniem równania oscylatora harmonicznego są funkcje postaci

Oznacza to oscylacje o stałej amplitudzie. Czy z tego wynika, że prawdziwy oscylator będzie oscylował w nieskończoność ze stałą amplitudą? Nie, ponieważ rozważając układ o dowolnie małym tarciu, otrzymujemy tłumione oscylacje. Zachowanie systemu zmieniło się jakościowo.

Jeżeli system zachowuje swoje jakościowe zachowanie nawet przy niewielkich zakłóceniach, mówi się, że jest strukturalnie stabilny. Oscylator harmoniczny jest przykładem układu niestabilnego strukturalnie. Jednakże model ten można wykorzystać do badania procesów w ograniczonych odstępach czasu.

Wszechstronność modelu.

Najważniejsze modele matematyczne mają zazwyczaj ważną cechę uniwersalności: za pomocą tego samego modelu matematycznego można opisać zasadniczo różne zjawiska rzeczywiste. Przykładowo oscylator harmoniczny opisuje nie tylko zachowanie obciążenia na sprężynie, ale także inne procesy oscylacyjne, często o zupełnie innym charakterze: małe drgania wahadła, wahania poziomu cieczy w naczyniu w kształcie litery U, czy zmiana natężenia prądu w obwodzie oscylacyjnym. Zatem badając jeden model matematyczny, badamy od razu całą klasę opisywanych przez niego zjawisk. To właśnie izomorfizm praw wyrażanych przez modele matematyczne w różnych segmentach wiedzy naukowej doprowadził Ludwiga von Bertalanffy'ego do stworzenia Ogólnej Teorii Systemów.

Zagadnienia bezpośrednie i odwrotne modelowania matematycznego

ciała z różnych materiałów, każdy materiał jest określony jako jego standardowa idealizacja mechaniczna, po czym zestawiane są równania, po drodze odrzucane są niektóre szczegóły jako nieistotne, przeprowadzane są obliczenia, porównywane z pomiarami, model jest udoskonalany i tak dalej. Jednak dla rozwoju technologii modelowania matematycznego przydatne jest rozbicie tego procesu na główne elementy składowe.

Tradycyjnie istnieją dwie główne klasy problemów związanych z modelami matematycznymi: bezpośrednie i odwrotne.

Zadanie bezpośrednie: struktura modelu i wszystkie jego parametry są uważane za znane, głównym zadaniem jest zbadanie modelu w celu wydobycia przydatnej wiedzy o obiekcie. Jakie obciążenie statyczne może wytrzymać most? Jak zareaguje na obciążenie dynamiczne, jak samolot pokona barierę dźwięku, czy rozpadnie się od trzepotania – to typowe przykłady bezpośredniego problemu. Sformułowanie poprawnego problemu bezpośredniego wymaga specjalnych umiejętności. Jeśli nie zostaną zadane właściwe pytania, most może się zawalić, nawet jeśli zbudowano dobry model jego zachowania. Tak więc w 1879 roku w Wielkiej Brytanii zawalił się metalowy most na rzece Tey, którego projektanci zbudowali model mostu, obliczyli go na 20-krotny margines bezpieczeństwa dla ładunku, ale zapomnieli o wiatrach wiejących nieustannie w tych miejsca. I po półtora roku się załamał.

W W najprostszym przypadku bezpośredni problem jest bardzo prosty i sprowadza się do jawnego rozwiązania tego równania.

Problem odwrotny: znany jest zbiór możliwych modeli, należy wybrać konkretny model na podstawie dodatkowych danych o obiekcie. Najczęściej znana jest struktura modelu i trzeba określić jakieś nieznane parametry. Dodatkowe informacje mogą polegać na dodatkowych danych empirycznych lub wymaganiach dla obiektu. Dodatkowe dane mogą pochodzić niezależnie od procesu rozwiązywania problemu odwrotnego lub być wynikiem specjalnie zaplanowanego w trakcie rozwiązywania eksperymentu.

Jednym z pierwszych przykładów wirtuozowskiego rozwiązania problemu odwrotnego przy możliwie najpełniejszym wykorzystaniu dostępnych danych była opracowana przez I. Newtona metoda odtwarzania sił tarcia z obserwowanych oscylacji tłumionych.

W Innym przykładem jest statystyka matematyczna. Zadaniem tej nauki jest rozwój metod rejestrowania, opisywania i analizowania danych obserwacyjnych i eksperymentalnych w celu budowy probabilistycznych modeli masowych zjawisk losowych. Te. zbiór możliwych modeli jest ograniczony przez modele probabilistyczne. W konkretnych problemach zestaw modeli jest bardziej ograniczony.

Komputerowe systemy modelowania.

Do obsługi modelowania matematycznego opracowano komputerowe systemy matematyczne, np. Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim itp. Pozwalają one tworzyć modele formalne i blokowe zarówno prostych, jak i złożonych procesów i urządzeń oraz łatwo zmieniać parametry modelu podczas symulacja. Modele blokowe są reprezentowane przez bloki, których zestaw i połączenie określa diagram modelu.

Dodatkowe przykłady.

Tempo wzrostu jest proporcjonalne do aktualnej wielkości populacji. Opisuje się to równaniem różniczkowym

gdzie α jest pewnym parametrem określonym przez różnicę między płodnością a śmiertelnością. Rozwiązaniem tego równania jest funkcja wykładnicza x = x0 e. Jeśli wskaźnik urodzeń przewyższa wskaźnik zgonów, wielkość populacji rośnie w nieskończoność i bardzo szybko. Oczywiste jest, że w rzeczywistości nie może się to zdarzyć ze względu na ograniczone możliwości

zasoby. Po osiągnięciu określonej krytycznej wielkości populacji model przestaje być adekwatny, ponieważ nie uwzględnia ograniczonych zasobów. Udoskonaleniem modelu Malthusa może być model logistyczny, który opisuje równanie różniczkowe Verhulsta

gdzie xs to „równowaga” wielkości populacji, przy której współczynnik urodzeń jest dokładnie kompensowany przez współczynnik zgonów. Liczebność populacji w takim modelu zmierza do wartości równowagi xs , a zachowanie to jest strukturalnie stabilne.

Załóżmy, że na pewnym terytorium żyją dwa rodzaje zwierząt: króliki i lisy. Niech liczba królików będzie wynosić x, a liczba lisów y. Wykorzystując model Malthusa z niezbędnymi poprawkami, uwzględniając zjadanie królików przez lisy, dochodzimy do następującego układu, który nosi nazwę modelu Lotki-Volterry:

Układ ten znajduje się w stanie równowagi, gdy liczba królików i lisów jest stała. Odchylenie od tego stanu prowadzi do wahań liczby królików i lisów, podobnych do wahań oscylatora harmonicznego. Podobnie jak w przypadku oscylatora harmonicznego, zachowanie to nie jest strukturalnie stabilne: niewielka zmiana w modelu może prowadzić do jakościowej zmiany zachowania. Na przykład stan równowagi może się ustabilizować, a wahania populacji zanikną. Możliwa jest także sytuacja odwrotna, gdy każde niewielkie odchylenie od położenia równowagi doprowadzi do katastrofalnych skutków, aż do całkowitego wyginięcia jednego z gatunków. Na pytanie, który z tych scenariuszy się realizuje, model Volterry-Lotki nie daje odpowiedzi: potrzebne są tu dodatkowe badania.

Modele matematyczne

Model matematyczny - przybliżone opiopis przedmiotu modelowania, wyrażony za pomocąschyu matematyczna symbolika.

Modele matematyczne pojawiły się wraz z matematyką wiele wieków temu. Ogromny impuls do rozwoju modelowania matematycznego dało pojawienie się komputerów. Zastosowanie komputerów umożliwiło analizę i zastosowanie w praktyce wielu modeli matematycznych, które wcześniej nie nadawały się do badań analitycznych. Matematyka realizowana komputerowowzór nieba zwany komputerowy model matematyczny, A prowadzenie ukierunkowanych obliczeń z wykorzystaniem modelu komputerowego zwany eksperyment obliczeniowy.

Etapy matematycznego komputera mousunięcie pokazany na rysunku. Pierwszyscena - określenie celów modelowania. Cele te mogą być różne:

model jest potrzebny, aby zrozumieć, jak działa dany obiekt, jaka jest jego budowa, podstawowe właściwości, prawa rozwoju i interakcji
ze światem zewnętrznym (zrozumienie);
model jest potrzebny, aby nauczyć się zarządzać obiektem (procesem) i określić najlepsze sposoby zarządzania dla danych celów i kryteriów (zarządzanie);
model jest potrzebny do przewidywania bezpośrednich i pośrednich skutków realizacji określonych metod i form oddziaływania na obiekt (prognozowanie).

Wyjaśnijmy na przykładach. Niech przedmiotem badań będzie oddziaływanie przepływu cieczy lub gazu z ciałem stanowiącym przeszkodę dla tego przepływu. Doświadczenie pokazuje, że siła oporu przepływu z boku ciała rośnie wraz ze wzrostem prędkości przepływu, ale przy pewnej wystarczająco dużej prędkości siła ta gwałtownie maleje, aby ponownie wzrosnąć wraz z dalszym wzrostem prędkości. Co spowodowało spadek siły oporu? Modelowanie matematyczne pozwala uzyskać jednoznaczną odpowiedź: w momencie gwałtownego spadku oporu wiry powstałe w przepływie cieczy lub gazu za opływowym korpusem zaczynają się od niego odrywać i są porywane przez przepływ.

Przykład z zupełnie innego obszaru: pokojowo współistniejąc przy stabilnych liczebnościach populacji dwóch gatunków osobników mających wspólną bazę pokarmową, „nagle” zaczynają drastycznie zmieniać swoją liczebność. I tutaj modelowanie matematyczne pozwala (z pewnym stopniem pewności) ustalić przyczynę (lub przynajmniej obalić pewną hipotezę).

Kolejnym możliwym celem modelowania jest opracowanie koncepcji zarządzania obiektami. Jaki tryb lotu samolotem wybrać, aby lot był bezpieczny i najkorzystniejszy ekonomicznie? Jak zaplanować setki rodzajów prac przy budowie dużego obiektu, aby zakończyły się jak najszybciej? Wiele takich problemów systematycznie pojawia się przed ekonomistami, projektantami i naukowcami.

Wreszcie przewidywanie skutków określonych oddziaływań na obiekt może być zarówno sprawą stosunkowo prostą w prostych układach fizycznych, jak i niezwykle złożoną – na granicy wykonalności – w układach biologicznych, ekonomicznych, społecznych. O ile stosunkowo łatwo jest odpowiedzieć na pytanie o zmianę sposobu rozchodzenia się ciepła w cienkim pręcie wraz ze zmianami składowego stopu, to nieporównanie trudniej jest prześledzić (przewidzieć) środowiskowe i klimatyczne konsekwencje budowy duża elektrownia wodna czy społeczne skutki zmian w przepisach podatkowych. Być może i tutaj metody modelowania matematycznego będą w przyszłości bardziej pomocne.

Druga faza: definicja parametrów wejściowych i wyjściowych modelu; podział parametrów wejściowych ze względu na stopień ważności wpływu ich zmian na wynik. Proces ten nazywany jest rankingiem lub podziałem według rangi (patrz poniżej). „Formalizacjai modelowanie”).

Trzeci etap: budowa modelu matematycznego. Na tym etapie następuje przejście od abstrakcyjnego sformułowania modelu do sformułowania, które ma określoną reprezentację matematyczną. Model matematyczny to równania, układy równań, układy nierówności, równania różniczkowe lub układy takich równań itp.

Czwarty etap: wybór metody badania modelu matematycznego. Najczęściej stosuje się tu metody numeryczne, które dobrze nadają się do programowania. Z reguły do rozwiązania tego samego problemu nadaje się kilka metod, różniących się dokładnością, stabilnością itp. Powodzenie całego procesu modelowania często zależy od prawidłowego wyboru metody.

Piąty etap: opracowanie algorytmu, kompilacja i debugowanie programu komputerowego to proces trudny do sformalizowania. Spośród języków programowania wielu profesjonalistów zajmujących się modelowaniem matematycznym preferuje FORTRAN: zarówno ze względu na tradycję, jak i niezrównaną wydajność kompilatorów (do prac obliczeniowych) oraz obecność ogromnych, starannie debugowanych i zoptymalizowanych bibliotek standardowych programów metod matematycznych napisanych w To. W użyciu są także języki takie jak PASCAL, BASIC, C, w zależności od charakteru zadania i upodobań programisty.

Szósty etap: testowanie programu. Działanie programu sprawdzane jest na zadaniu testowym ze znaną odpowiedzią. To dopiero początek procedury testowej, którą trudno opisać w sposób formalnie wyczerpujący. Zwykle testowanie kończy się w momencie, gdy użytkownik, zgodnie ze swoimi kwalifikacjami zawodowymi, uzna program za poprawny.

Siódmy etap: rzeczywisty eksperyment obliczeniowy, podczas którego staje się jasne, czy model odpowiada rzeczywistemu obiektowi (procesowi). Model jest wystarczająco adekwatny do procesu rzeczywistego, jeśli pewne charakterystyki procesu uzyskane na komputerze pokrywają się z charakterystykami uzyskanymi doświadczalnie z zadaną dokładnością. Jeżeli model nie odpowiada rzeczywistemu procesowi, wracamy do jednego z poprzednich etapów.

Klasyfikacja modeli matematycznych

Klasyfikacja modeli matematycznych może opierać się na różnych zasadach. Modele można klasyfikować według dziedzin nauki (modele matematyczne w fizyce, biologii, socjologii itp.). Można go klasyfikować ze względu na stosowany aparat matematyczny (modele oparte na równaniach różniczkowych zwyczajnych, równaniach różniczkowych cząstkowych, metodach stochastycznych, dyskretnych przekształceniach algebraicznych itp.). Wreszcie, jeśli przejdziemy od ogólnych zadań modelowania w różnych naukach, niezależnie od aparatu matematycznego, najbardziej naturalna będzie następująca klasyfikacja:

modele opisowe (opisowe);
modele optymalizacyjne;
modele wielokryterialne;
modele gier.

Wyjaśnijmy to na przykładach.

Modele opisowe (opisowe).. Na przykład przeprowadza się symulacje ruchu komety atakującej Układ Słoneczny, aby przewidzieć trajektorię jej lotu, odległość, na jaką minie ona od Ziemi, i tak dalej. W tym przypadku cele modelowania mają charakter opisowy, ponieważ nie ma możliwości wpłynięcia na ruch komety, aby coś w niej zmienić.

Modele optymalizacji służą do opisu procesów, na które można wpływać, próbując osiągnąć dany cel. W takim przypadku model zawiera jeden lub więcej parametrów, na które można wpływać. Przykładowo, zmieniając reżim termiczny w spichlerzu, można postawić sobie za cel taki dobór reżimu, aby uzyskać maksymalne zachowanie ziarna, tj. zoptymalizować proces przechowywania.

Modele wielokryterialne. Często konieczna jest optymalizacja procesu w kilku parametrach jednocześnie, a cele mogą być bardzo sprzeczne. Na przykład, znając ceny żywności i zapotrzebowanie danej osoby na żywność, konieczne jest zorganizowanie żywienia dużych grup ludzi (w wojsku, na obozach letnich dla dzieci itp.) Fizjologicznie prawidłowo, a jednocześnie możliwie najtaniej . Oczywiste jest, że cele te wcale się nie pokrywają; podczas modelowania zostanie zastosowanych kilka kryteriów, pomiędzy którymi należy szukać równowagi.

Modele gier można wiązać nie tylko z grami komputerowymi, ale także z bardzo poważnymi sprawami. Przykładowo przed bitwą, jeśli nie ma pełnych informacji o armii przeciwnika, dowódca musi opracować plan: w jakiej kolejności wprowadzić do bitwy określone jednostki itp., biorąc pod uwagę możliwą reakcję wroga. Istnieje specjalny dział współczesnej matematyki – teoria gier – który bada metody podejmowania decyzji w warunkach niepełnej informacji.

W ramach szkolnego kursu informatyki studenci otrzymują wstępną wiedzę z zakresu komputerowego modelowania matematycznego w ramach kursu podstawowego. W szkole średniej modelowanie matematyczne można pogłębiać w ramach zajęć ogólnorozwojowych z fizyki i matematyki, a także w ramach specjalistycznych zajęć do wyboru.

Głównymi formami nauczania komputerowego modelowania matematycznego w szkole średniej są wykłady, ćwiczenia laboratoryjne i zaliczeniowe. Zwykle praca nad stworzeniem i przygotowaniem do nauki każdego nowego modelu zajmuje 3-4 lekcje. W trakcie prezentacji materiału stawiane są zadania, które w przyszłości uczniowie powinni samodzielnie rozwiązać, ogólnie zarysowuje się sposoby ich rozwiązania. Formułowane są pytania, na które należy uzyskać odpowiedzi podczas wykonywania zadań. Wskazana jest dodatkowa literatura, która pozwala uzyskać informacje pomocnicze w celu skuteczniejszej realizacji zadań.

Formą organizacji zajęć z nauki nowego materiału jest zazwyczaj wykład. Po zakończeniu dyskusji nad kolejnym modelem studenci mają do dyspozycji niezbędne informacje teoretyczne i zestaw zadań do dalszej pracy. Przygotowując się do zadania, uczniowie wybierają odpowiednią metodę rozwiązania, korzystając ze znanego rozwiązania prywatnego, testują opracowany program. W przypadku całkiem możliwych trudności w realizacji zadań udziela się konsultacji, proponuje się bardziej szczegółowe opracowanie tych odcinków w literaturze.

Najistotniejsza dla praktycznej części nauczania modelowania komputerowego jest metoda projektów. Zadanie jest sformułowane dla ucznia w formie projektu edukacyjnego i realizowane jest w formie kilku lekcji, a główną formą organizacyjną w tym przypadku jest praca w laboratorium komputerowym. Nauka modelowania metodą projektów edukacyjnych może być realizowana na różnych poziomach. Pierwszym z nich jest sformułowanie problemowe procesu realizacji projektu, które prowadzi nauczyciel. Drugi to realizacja projektu przez uczniów pod kierunkiem nauczyciela. Trzeci to samodzielna realizacja przez studentów edukacyjnego projektu badawczego.

Wyniki pracy należy przedstawić w postaci liczbowej, w postaci wykresów, diagramów. W miarę możliwości proces jest prezentowany na ekranie komputera w sposób dynamiczny. Po zakończeniu obliczeń i otrzymaniu wyników poddaje się je analizie, porównuje ze znanymi faktami z teorii, potwierdza się ich wiarygodność i dokonuje się sensownej interpretacji, co następnie znajduje odzwierciedlenie w pisemnym raporcie.

Jeśli wyniki satysfakcjonują ucznia i nauczyciela, to do dzieła liczy zakończone, a jego końcowym etapem jest przygotowanie raportu. Sprawozdanie zawiera krótkie informacje teoretyczne na badany temat, matematyczne sformułowanie problemu, algorytm rozwiązania i jego uzasadnienie, program komputerowy, wyniki programu, analizę wyników i wnioski, wykaz literatury.

Po sporządzeniu wszystkich raportów, podczas sesji testowej studenci sporządzają krótkie raporty z wykonanej pracy, broniąc swojego projektu. Jest to skuteczna forma raportowania zajęć przez zespół projektowy, obejmująca ustawienie problemu, zbudowanie modelu formalnego, wybór metod pracy z modelem, wdrożenie modelu na komputerze, pracę z gotowym modelem, interpretację wyników, i prognozowanie. W rezultacie studenci mogą otrzymać dwie oceny: pierwszą - za opracowanie projektu i powodzenie jego obrony, drugą - za program, optymalność jego algorytmu, interfejsu itp. Studenci otrzymują także oceny z ankiet z teorii.

Zasadniczym pytaniem jest, jakiego rodzaju narzędzia wykorzystać na szkolnym kursie informatyki do modelowania matematycznego? Komputerowa implementacja modeli może być przeprowadzona:

za pomocą arkusza kalkulacyjnego (najczęściej MS Excel);
tworząc programy w tradycyjnych językach programowania (Pascal, BASIC itp.), a także w ich nowoczesnych wersjach (Delphi, Visual
Podstawowy dla aplikacji itp.);
korzystanie ze specjalnych pakietów oprogramowania do rozwiązywania problemów matematycznych (MathCAD itp.).

Na poziomie szkoły podstawowej pierwsze rozwiązanie wydaje się preferowane. Jednak w szkole średniej, gdy programowanie, obok modelowania, jest kluczowym tematem informatyki, pożądane jest wykorzystanie go jako narzędzia do modelowania. W procesie programowania studentom udostępniane są szczegóły procedur matematycznych; co więcej, są po prostu zmuszani do ich opanowania, a to także przyczynia się do edukacji matematycznej. Jeśli chodzi o wykorzystanie specjalnych pakietów oprogramowania, jest to wskazane w profilu kursu informatyki jako uzupełnienie innych narzędzi.

Ćwiczenia :

Omów kluczowe pojęcia.

NOTATKI Z WYKŁADU

według stawki

„Modelowanie matematyczne maszyn i systemów transportowych”

Przedmiot obejmuje zagadnienia związane z modelowaniem matematycznym, formą i zasadą reprezentacji modeli matematycznych. Rozważane są numeryczne metody rozwiązywania jednowymiarowych układów nieliniowych. Podkreślono zagadnienia modelowania komputerowego i eksperymentu obliczeniowego. Rozważane są metody przetwarzania danych uzyskanych w wyniku eksperymentów naukowych lub przemysłowych; badanie różnych procesów, identyfikacja wzorców zachowania obiektów, procesów i systemów. Omówiono metody interpolacji i aproksymacji danych eksperymentalnych. Rozważane są zagadnienia związane z symulacją komputerową i rozwiązywaniem nieliniowych układów dynamicznych. W szczególności rozważane są metody numerycznego całkowania i rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego, drugiego i wyższych rzędów.

Wykład: Modelowanie matematyczne. Forma i zasady reprezentacji modeli matematycznych

Wykład dotyczy ogólnych zagadnień modelowania matematycznego. Podano klasyfikację modeli matematycznych.

Komputery mocno wkroczyły w nasze życie i praktycznie nie ma takiej dziedziny ludzkiej działalności, w której komputery nie byłyby używane. Komputery są obecnie szeroko stosowane w procesie tworzenia i badania nowych maszyn, nowych procesów technologicznych i poszukiwania ich optymalnych opcji; w rozwiązywaniu problemów ekonomicznych, w rozwiązywaniu problemów planowania i zarządzania produkcją na różnych poziomach. Tworzenie dużych obiektów w rakietach, budowie samolotów, przemyśle stoczniowym, a także projektowanie tam, mostów itp. jest w zasadzie niemożliwe bez użycia komputerów.

Aby wykorzystać komputer do rozwiązywania problemów aplikacyjnych, należy przede wszystkim zastosować problem „przetłumaczony” na formalny język matematyczny, tj. dla rzeczywistego obiektu, procesu lub systemu należy zbudować jego model matematyczny.

Słowo „model” pochodzi od łacińskiego modus (kopia, obraz, kontur). Modelowanie polega na zastąpieniu jakiegoś obiektu A innym obiektem B. Zastępowany obiekt A nazywany jest obiektem oryginalnym lub symulacyjnym, a zamiennik B nazywany jest modelem. Innymi słowy, model jest obiektem zastępującym obiekt oryginalny, umożliwiającym badanie niektórych właściwości oryginału.

Celem modelowania jest pozyskanie, przetworzenie, przedstawienie i wykorzystanie informacji o obiektach wchodzących w interakcję ze sobą i środowiskiem zewnętrznym; a model służy tutaj do poznania właściwości i wzorców zachowania obiektu.

Modelowanie ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach działalności człowieka, szczególnie w obszarach projektowania i zarządzania, gdzie szczególne znaczenie mają procesy podejmowania skutecznych decyzji na podstawie otrzymanych informacji.

Model zawsze buduje się z myślą o konkretnym celu, od którego zależy, które właściwości obiektywnego zjawiska są istotne, a które nie. Model jest jakby projekcją obiektywnej rzeczywistości pod pewnym kątem. Czasami, w zależności od celów, można uzyskać wiele projekcji obiektywnej rzeczywistości, które wchodzą w konflikt. Jest to z reguły typowe dla systemów złożonych, w których każda projekcja wyodrębnia to, co jest istotne dla określonego celu, ze zbioru nieistotnych.

Teoria modelowania to dziedzina nauki badająca sposoby badania właściwości oryginalnych obiektów w oparciu o zastępowanie ich innymi obiektami modelowymi. Teoria podobieństwa leży u podstaw teorii modelowania. W modelowaniu nie ma miejsca absolutne podobieństwo, a jedynie dąży się do tego, aby model dostatecznie dobrze odzwierciedlał badaną stronę funkcjonowania obiektu. Absolutne podobieństwo może mieć miejsce tylko wtedy, gdy jeden przedmiot zostanie zastąpiony innym, dokładnie tym samym.

Wszystkie modele można podzielić na dwie klasy:

1. prawdziwy,

2. idealny.

Z kolei modele rzeczywiste można podzielić na:

1. naturalny,

2. fizyczne,

3. matematyczny.

Modele idealne można podzielić na:

1. wizualny,

2. ikoniczny,

3. matematyczny.

Prawdziwe modele pełnowymiarowe to rzeczywiste obiekty, procesy i systemy, na których przeprowadzane są eksperymenty naukowe, techniczne i przemysłowe.

Prawdziwymi modelami fizycznymi są makiety, modele odtwarzające właściwości fizyczne oryginałów (modele kinematyczne, dynamiczne, hydrauliczne, termiczne, elektryczne, świetlne).

Prawdziwe matematyczne to modele analogowe, strukturalne, geometryczne, graficzne, cyfrowe i cybernetyczne.

Idealnymi modelami wizualnymi są diagramy, mapy, rysunki, wykresy, wykresy, analogi, modele strukturalne i geometryczne.

Idealnymi modelami znaków są symbole, alfabet, języki programowania, notacja uporządkowana, notacja topologiczna, reprezentacja sieci.

Idealnymi modelami matematycznymi są modele analityczne, funkcjonalne, symulacyjne, kombinowane.

W powyższej klasyfikacji niektóre modele mają podwójną interpretację (na przykład analogową). Od tego czasu wszystkie modele, z wyjątkiem pełnoskalowych, można połączyć w jedną klasę modeli mentalnych są wytworem abstrakcyjnego myślenia człowieka.

Zatrzymajmy się przy jednym z najbardziej uniwersalnych rodzajów modelowania – matematycznym, który wiąże symulowany proces fizyczny z systemem zależności matematycznych, których rozwiązanie pozwala uzyskać odpowiedź na pytanie o zachowanie obiektu bez tworzenia modelu fizycznego, który często okazuje się kosztowny i nieefektywny.

Modelowanie matematyczne to sposób badania rzeczywistego obiektu, procesu lub systemu poprzez zastąpienie ich modelem matematycznym, który jest wygodniejszy w badaniach eksperymentalnych z wykorzystaniem komputera.

Model matematyczny to przybliżone przedstawienie rzeczywistych obiektów, procesów lub systemów, wyrażone w kategoriach matematycznych i zachowujące istotne cechy oryginału. Modele matematyczne w formie ilościowej za pomocą konstrukcji logicznych i matematycznych opisują główne właściwości obiektu, procesu lub systemu, jego parametry, powiązania wewnętrzne i zewnętrzne.

W ogólnym przypadku model matematyczny rzeczywistego obiektu, procesu lub systemu jest reprezentowany jako system funkcjonałów

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

gdzie X jest wektorem zmiennych wejściowych, X= t ,

Y - wektor zmiennych wyjściowych, Y= t ,

Z - wektor wpływów zewnętrznych, Z= t ,

t - współrzędna czasowa.

Budowa modelu matematycznego polega na określeniu zależności pomiędzy określonymi procesami i zjawiskami, stworzeniu aparatu matematycznego pozwalającego wyrazić ilościowo i jakościowo związek pomiędzy określonymi procesami i zjawiskami, pomiędzy interesującymi specjalistę wielkościami fizycznymi a czynnikami wpływającymi na ostateczny wynik.

Zwykle jest ich tak dużo, że nie ma możliwości wprowadzenia całego ich zestawu do modelu. Podczas konstruowania modelu matematycznego, przed rozpoczęciem badań, pojawia się zadanie zidentyfikowania i wykluczenia z rozważań czynników, które nie mają istotnego wpływu na wynik końcowy (model matematyczny zawiera zwykle znacznie mniejszą liczbę czynników niż w rzeczywistości). Na podstawie danych eksperymentalnych stawiane są hipotezy dotyczące zależności między wielkościami wyrażającymi wynik końcowy a czynnikami wprowadzonymi do modelu matematycznego. Taki związek często wyrażają układy równań różniczkowych w pochodnych cząstkowych (np. w zagadnieniach mechaniki ciała stałego, cieczy i gazów, teorii filtracji, przewodnictwa ciepła, teorii pól elektrostatycznych i elektrodynamicznych).

Ostatecznym celem tego etapu jest sformułowanie problemu matematycznego, którego rozwiązanie z wymaganą dokładnością wyraża wyniki interesujące specjalistę.

Forma i zasady reprezentacji modelu matematycznego zależą od wielu czynników.

Zgodnie z zasadami budowy modele matematyczne dzielą się na:

1. analityczny;

2. imitacja.

W modelach analitycznych procesy funkcjonowania rzeczywistych obiektów, procesów lub systemów zapisywane są w postaci jawnych zależności funkcjonalnych.

Model analityczny dzieli się na typy w zależności od problemu matematycznego:

1. równania (algebraiczne, przestępne, różniczkowe, całkowe),

2. zagadnienia aproksymacji (interpolacja, ekstrapolacja, całkowanie i różniczkowanie numeryczne),

3. problemy optymalizacyjne,

4. problemy stochastyczne.

Jednak w miarę jak modelowany obiekt staje się bardziej złożony, konstrukcja modelu analitycznego staje się trudnym problemem. Wtedy badacz jest zmuszony do zastosowania modelowania symulacyjnego.

W modelowaniu symulacyjnym funkcjonowanie obiektów, procesów lub systemów opisywane jest za pomocą zestawu algorytmów. Algorytmy imitują rzeczywiste elementarne zjawiska składające się na proces lub system, zachowując ich logiczną strukturę i kolejność w czasie. Modelowanie symulacyjne umożliwia uzyskanie informacji o stanach procesu lub systemu w określonych punktach czasowych z danych początkowych, ale trudno jest przewidzieć zachowanie obiektów, procesów lub systemów. Można powiedzieć, że modele symulacyjne to komputerowe eksperymenty obliczeniowe z modelami matematycznymi, które symulują zachowanie rzeczywistych obiektów, procesów lub systemów.

W zależności od charakteru badanych rzeczywistych procesów i systemów modelami matematycznymi mogą być:

1. deterministyczny,

2. stochastyczny.

W modelach deterministycznych zakłada się, że nie ma wpływów przypadkowych, elementy modelu (zmienne, zależności matematyczne) są dość dobrze ustalone, a zachowanie systemu można dokładnie określić. Przy konstruowaniu modeli deterministycznych najczęściej wykorzystuje się równania algebraiczne, równania całkowe i algebrę macierzową.

Model stochastyczny uwzględnia losowy charakter procesów zachodzących w badanych obiektach i układach, co opisuje się metodami teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej.

Ze względu na rodzaj informacji wejściowych modele dzielą się na:

1. ciągły,

2. dyskretny.

Jeżeli informacje i parametry są ciągłe, a zależności matematyczne stabilne, to model jest ciągły. I odwrotnie, jeśli informacje i parametry są dyskretne, a połączenia niestabilne, to model matematyczny również jest dyskretny.

Ze względu na zachowanie modeli w czasie dzieli się je na:

1. statyczny,

2. dynamiczny.

Modele statyczne opisują zachowanie obiektu, procesu lub systemu w dowolnym momencie. Modele dynamiczne odzwierciedlają zachowanie obiektu, procesu lub systemu w czasie.

Ze względu na stopień zgodności modelu matematycznego z rzeczywistym obiektem, procesem lub systemem modele matematyczne dzielą się na:

1. izomorficzny (tego samego kształtu),

2. homomorficzny (różny kształt).

Model nazywa się izomorficznym, jeśli istnieje pełna zgodność element po elemencie między nim a rzeczywistym obiektem, procesem lub systemem. Homomorficzny - jeśli istnieje zgodność tylko pomiędzy najważniejszymi elementami obiektu i modelem.

W przyszłości dla krótkiego określenia typu modelu matematycznego w powyższej klasyfikacji będziemy posługiwać się następującym zapisem:

Pierwsza litera:

D - deterministyczny,

C - stochastyczny.

Drugi list:

H - ciągły,

D - dyskretny.

Trzecia litera:

A - analityczny,

I - imitacja.

1. Nie ma (a dokładniej nie jest to brane pod uwagę) wpływu procesów losowych, tj. model deterministyczny (D).

2. Informacje i parametry mają charakter ciągły, tj. model - ciągły (H),

3. Działanie modelu mechanizmu korbowego opisano w postaci nieliniowych równań przestępnych, tj. model - analityczny (A)

2. Wykład: Cechy budowy modeli matematycznych

Wykład opisuje proces budowy modelu matematycznego. Podano słowny algorytm procesu.

Aby wykorzystać komputery w rozwiązywaniu problemów stosowanych, należy przede wszystkim zastosowany problem „przetłumaczyć” na formalny język matematyczny, tj. dla rzeczywistego obiektu, procesu lub systemu należy zbudować jego model matematyczny.

Modele matematyczne w formie ilościowej za pomocą konstrukcji logicznych i matematycznych opisują główne właściwości obiektu, procesu lub systemu, jego parametry, powiązania wewnętrzne i zewnętrzne.

Aby zbudować model matematyczny, potrzebujesz:

1. dokładnie przeanalizować rzeczywisty obiekt lub proces;

2. podkreślić jego najważniejsze cechy i właściwości;

3. zdefiniować zmienne, tj. parametry, których wartości wpływają na główne cechy i właściwości obiektu;

4. opisywać zależność podstawowych właściwości obiektu, procesu lub układu od wartości zmiennych za pomocą zależności logicznych i matematycznych (równania, równości, nierówności, konstrukcje logiczne i matematyczne);

5. podkreślać wewnętrzne powiązania obiektu, procesu lub systemu za pomocą ograniczeń, równań, równości, nierówności, konstrukcji logicznych i matematycznych;

6. określać relacje zewnętrzne i opisywać je za pomocą ograniczeń, równań, równości, nierówności, konstrukcji logicznych i matematycznych.

Modelowanie matematyczne, oprócz badania obiektu, procesu lub układu i opracowania ich matematycznego opisu, obejmuje także:

1. konstrukcja algorytmu modelującego zachowanie obiektu, procesu lub systemu;

2. weryfikacja adekwatności modelu i obiektu, procesu lub systemu w oparciu o eksperyment obliczeniowy i naturalny;

3. dostosowanie modelu;

4. wykorzystanie modelu.

Opis matematyczny badanych procesów i systemów zależy od:

1. charakter rzeczywistego procesu lub układu i jest opracowywany na podstawie praw fizyki, chemii, mechaniki, termodynamiki, hydrodynamiki, elektrotechniki, teorii plastyczności, teorii sprężystości itp.

2. wymagana niezawodność i dokładność badania i badania rzeczywistych procesów i systemów.

Na etapie wyboru modelu matematycznego ustala się: liniowość i nieliniowość obiektu, procesu lub układu, dynamikę lub statykę, stacjonarność lub niestacjonarność, a także stopień determinizmu obiektu lub procesu. badanie. W modelowaniu matematycznym celowo abstrahuje się od specyficznej fizycznej natury obiektów, procesów lub systemów i skupia się głównie na badaniu zależności ilościowych pomiędzy wielkościami opisującymi te procesy.

Model matematyczny nigdy nie jest całkowicie identyczny z rozważanym obiektem, procesem czy systemem. Oparta na uproszczeniu, idealizacji, jest to przybliżony opis obiektu. Dlatego wyniki uzyskane w analizie modelu są przybliżone. O ich dokładności decyduje stopień adekwatności (zgodności) modelu z obiektem.

Konstruowanie modelu matematycznego zwykle rozpoczyna się od zbudowania i analizy najprostszego, najbardziej przybliżonego modelu matematycznego rozważanego obiektu, procesu lub systemu. W przyszłości, jeśli to konieczne, model zostanie udoskonalony, a jego zgodność z obiektem stanie się pełniejsza.

Weźmy prosty przykład. Musisz określić powierzchnię biurka. Zwykle w tym celu mierzy się jego długość i szerokość, a następnie uzyskane liczby mnoży się. Taka elementarna procedura oznacza w rzeczywistości, że rzeczywisty obiekt (powierzchnia stołu) zostaje zastąpiony abstrakcyjnym modelem matematycznym – prostokątem. Wymiary uzyskane w wyniku pomiaru długości i szerokości powierzchni stołu przypisuje się prostokątowi, a powierzchnię takiego prostokąta przyjmuje się w przybliżeniu jako pożądaną powierzchnię stołu.

Jednak model prostokąta biurka jest najprostszym i najbardziej prymitywnym modelem. Przy poważniejszym podejściu do problemu, przed użyciem modelu prostokątnego do określenia powierzchni stołu, należy sprawdzić ten model. Kontrolę można przeprowadzić w następujący sposób: zmierzyć długości przeciwległych boków stołu, a także długości jego przekątnych i porównać je ze sobą. Jeśli przy wymaganym stopniu dokładności długości przeciwległych boków i długości przekątnych są parami równe, wówczas powierzchnię stołu rzeczywiście można uznać za prostokąt. W przeciwnym razie model prostokątny będzie musiał zostać odrzucony i zastąpiony ogólnym modelem czworobocznym. Przy większych wymaganiach dotyczących dokładności może zaistnieć konieczność jeszcze dalszego udoskonalenia modelu, np. uwzględnienia zaokrągleń narożników stołu.

Na tym prostym przykładzie wykazano, że model matematyczny nie jest jednoznacznie determinowany przez badany obiekt, proces czy system. Dla tej samej tabeli możemy przyjąć albo model prostokątny, albo bardziej złożony model ogólnego czworoboku, albo czworobok z zaokrąglonymi narożnikami. Wybór jednego lub drugiego modelu zależy od wymogu dokładności. Wraz ze wzrostem dokładności model musi być skomplikowany, uwzględniając coraz to nowe cechy badanego obiektu, procesu czy systemu.

Rozważmy inny przykład: badanie ruchu mechanizmu korbowego (ryc. 2.1).

Ryż. 2.1.

Do analizy kinematycznej tego mechanizmu konieczne jest przede wszystkim zbudowanie jego modelu kinematycznego. Dla tego:

1. Zastępujemy mechanizm jego schematem kinematycznym, w którym wszystkie ogniwa są zastępowane sztywnymi ogniwami;

2. Korzystając z tego schematu wyprowadzamy równanie ruchu mechanizmu;

3. Różniczkując to ostatnie, otrzymujemy równania prędkości i przyspieszenia, które są równaniami różniczkowymi I i II stopnia.

Napiszmy te równania:

gdzie C 0 to skrajnie prawe położenie suwaka C:

r jest promieniem korby AB;

l jest długością korbowodu BC;

- kąt obrotu korby;

Otrzymane równania przestępne reprezentują matematyczny model ruchu płaskiego osiowego mechanizmu korbowego oparty na następujących założeniach upraszczających:

1. Nie interesowały nas formy konstrukcyjne i układ mas wchodzących w skład mechanizmu korpusów i zastąpiliśmy wszystkie korpusy mechanizmu odcinkami liniowymi. W rzeczywistości wszystkie ogniwa mechanizmu mają masę i dość złożony kształt. Na przykład korbowód jest złożonym, prefabrykowanym połączeniem, którego kształt i wymiary oczywiście wpłyną na ruch mechanizmu;

2. Konstruując matematyczny model ruchu rozpatrywanego mechanizmu, nie uwzględniliśmy także sprężystości ciał wchodzących w skład mechanizmu, tj. wszystkie ogniwa uznano za abstrakcyjne, absolutnie sztywne bryły. W rzeczywistości wszystkie ciała wchodzące w skład mechanizmu są ciałami sprężystymi. Kiedy mechanizm się poruszy, zostaną one w jakiś sposób zdeformowane, mogą nawet wystąpić w nich drgania sprężyste. Wszystko to oczywiście wpłynie również na ruch mechanizmu;

3. nie uwzględniliśmy błędu wykonania ogniw, luk w parach kinematycznych A, B, C itp.

Tym samym należy jeszcze raz podkreślić, że im wyższe wymagania dotyczące dokładności wyników rozwiązania problemu, tym większa potrzeba uwzględnienia cech badanego obiektu, procesu czy systemu przy konstruowaniu modelu matematycznego. Jednak ważne jest, aby zatrzymać się tutaj w czasie, ponieważ złożony model matematyczny może okazać się trudnym zadaniem.

Model buduje się najprościej, gdy prawa określające zachowanie i właściwości obiektu, procesu czy systemu są dobrze znane i istnieje duże doświadczenie praktyczne w ich stosowaniu.

Bardziej skomplikowana sytuacja powstaje, gdy nasza wiedza o badanym obiekcie, procesie lub systemie jest niewystarczająca. W takim przypadku konstruując model matematyczny należy przyjąć dodatkowe założenia mające charakter hipotez, taki model nazywamy hipotetycznym. Wnioski wyciągnięte z badania takiego hipotetycznego modelu są warunkowe. Aby zweryfikować wnioski, konieczne jest porównanie wyników badania modelu na komputerze z wynikami eksperymentu w pełnej skali. Zatem kwestia możliwości zastosowania określonego modelu matematycznego do badania rozważanego obiektu, procesu lub systemu nie jest kwestią matematyczną i nie można jej rozwiązać metodami matematycznymi.

Głównym kryterium prawdy jest eksperyment, praktyka w najszerszym tego słowa znaczeniu.

Budowa modelu matematycznego w problemach stosowanych jest jednym z najbardziej złożonych i odpowiedzialnych etapów pracy. Doświadczenie pokazuje, że w wielu przypadkach wybór odpowiedniego modelu oznacza rozwiązanie problemu o ponad połowę. Trudność tego etapu polega na tym, że wymaga połączenia wiedzy matematycznej i specjalistycznej. Dlatego bardzo ważne jest, aby matematycy przy rozwiązywaniu problemów aplikacyjnych posiadali specjalistyczną wiedzę o przedmiocie, a ich partnerzy – specjaliści – określoną kulturę matematyczną, doświadczenie badawcze w swojej dziedzinie, wiedzę z zakresu komputerów i programowania.

Wykład 3. Modelowanie komputerowe i eksperyment obliczeniowy. Rozwiązywanie modeli matematycznych

Modelowanie komputerowe jako nowa metoda badań naukowych opiera się na:

1. budowanie modeli matematycznych opisujących badane procesy;

2. korzystanie z najnowszych komputerów o dużej szybkości (miliony operacji na sekundę) i zdolnych do prowadzenia dialogu z człowiekiem.

Istota symulacji komputerowej jest następująca: na podstawie modelu matematycznego przeprowadza się szereg eksperymentów obliczeniowych za pomocą komputera, tj. badane są właściwości obiektów lub procesów, znajdowane są ich optymalne parametry i sposoby działania, model jest udoskonalany. Przykładowo, mając równanie opisujące przebieg konkretnego procesu, można zmieniać jego współczynniki, warunki początkowe i brzegowe oraz badać, jak obiekt zachowa się w tym przypadku. Ponadto możliwe jest przewidywanie zachowania się obiektu w różnych warunkach.

Eksperyment obliczeniowy umożliwia zastąpienie kosztownego eksperymentu na pełną skalę obliczeniami komputerowymi. Pozwala w krótkim czasie i bez znacznych kosztów materiałowych przeprowadzić badania dużej liczby opcji projektowanego obiektu lub procesu dla różnych trybów jego działania, co znacznie skraca czas potrzebny na opracowanie złożonych systemów i ich wprowadzenie do produkcji.

Modelowanie komputerowe i eksperyment obliczeniowy jako nowa metoda badań naukowych powoduje konieczność udoskonalania aparatu matematycznego stosowanego przy budowie modeli matematycznych, pozwala za pomocą metod matematycznych udoskonalać i komplikować modele matematyczne. Najbardziej obiecujące dla przeprowadzenia eksperymentu obliczeniowego jest jego zastosowanie do rozwiązania głównych problemów naukowych, technicznych i społeczno-ekonomicznych naszych czasów (projektowanie reaktorów dla elektrowni jądrowych, projektowanie zapór i elektrowni wodnych, magnetohydrodynamiczne konwertery energii oraz w dziedzinie ekonomii - sporządzenie zrównoważonego planu dla branży, regionu, kraju itp.).

W niektórych procesach, w których eksperyment na pełną skalę jest niebezpieczny dla życia i zdrowia człowieka, jedynym możliwym jest eksperyment obliczeniowy (fuzja termojądrowa, eksploracja kosmosu, projektowanie i badania w przemyśle chemicznym i innych).

Aby sprawdzić adekwatność modelu matematycznego do rzeczywistego obiektu, procesu lub układu, wyniki badań prowadzonych na komputerze porównuje się z wynikami eksperymentu na pełnowymiarowej próbce eksperymentalnej. Wyniki weryfikacji służą do korekty modelu matematycznego lub rozstrzyga się o przydatności zbudowanego modelu matematycznego do projektowania lub badania danych obiektów, procesów lub systemów.

Podsumowując, jeszcze raz podkreślamy, że symulacja komputerowa i eksperyment obliczeniowy umożliwiają ograniczenie badania obiektu „niematematycznego” do rozwiązania problemu matematycznego. Otwiera to możliwość wykorzystania dobrze rozwiniętego aparatu matematycznego do jego badań w połączeniu z potężną technologią komputerową. Jest to podstawa wykorzystania matematyki i komputerów do poznania praw świata rzeczywistego i ich wykorzystania w praktyce.

W zadaniach projektowania lub badania zachowania rzeczywistych obiektów, procesów lub systemów modele matematyczne z reguły są nieliniowe, ponieważ muszą odzwierciedlać rzeczywiste fizyczne procesy nieliniowe w nich zachodzące. Jednocześnie parametry (zmienne) tych procesów są ze sobą powiązane fizycznymi nieliniowymi prawami. Dlatego w problematyce projektowania lub badania zachowania rzeczywistych obiektów, procesów czy systemów najczęściej wykorzystuje się modele matematyczne typu DND.

Zgodnie z klasyfikacją podaną na wykładzie 1:

D - model jest deterministyczny, nie ma (dokładniej nie jest brany pod uwagę) wpływu procesów losowych.

H - model jest ciągły, informacje i parametry są ciągłe.

A - model analityczny, funkcjonowanie modelu opisuje się w postaci równań (liniowych, nieliniowych, układów równań, równań różniczkowych i całkowych).

Zbudowaliśmy więc model matematyczny rozważanego obiektu, procesu lub systemu, tj. przedstawił problem stosowany jako matematyczny. Następnie rozpoczyna się drugi etap rozwiązywania zastosowanego problemu - poszukiwanie lub opracowanie metody rozwiązania sformułowanego problemu matematycznego. Metoda powinna być wygodna do wdrożenia na komputerze, zapewniać niezbędną jakość rozwiązania.

Wszystkie metody rozwiązywania problemów matematycznych można podzielić na 2 grupy:

1. dokładne metody rozwiązywania problemów;

2. numeryczne metody rozwiązywania problemów.

W dokładnych metodach rozwiązywania problemów matematycznych odpowiedź można uzyskać w postaci wzorów.

Na przykład obliczanie pierwiastków równania kwadratowego:

lub np. obliczanie funkcji pochodnych:

lub obliczenie całki oznaczonej:

Jednak podstawiając liczby do wzoru jako skończone ułamki dziesiętne, nadal otrzymujemy przybliżone wartości wyniku.

W przypadku większości problemów napotykanych w praktyce dokładne metody rozwiązania są albo nieznane, albo dają bardzo kłopotliwe formuły. Jednak nie zawsze są one konieczne. Zastosowany problem można uznać za praktycznie rozwiązany, jeśli potrafimy go rozwiązać z wymaganym stopniem dokładności.

Aby rozwiązać takie problemy, opracowano metody numeryczne, w których rozwiązanie złożonych problemów matematycznych sprowadza się do sekwencyjnego wykonywania dużej liczby prostych operacji arytmetycznych. Bezpośredni rozwój metod numerycznych należy do matematyki obliczeniowej.

Przykładem metody numerycznej jest metoda prostokątów do całkowania przybliżonego, która nie wymaga obliczania funkcji pierwotnej całki. Zamiast całki obliczana jest końcowa suma kwadraturowa:

x 1 =a - dolna granica całkowania;

x n+1 =b – górna granica całkowania;

n jest liczbą segmentów, na które podzielony jest przedział całkowania (a, b);

jest długością segmentu elementarnego;

f(x i) jest wartością całki na końcach elementarnych segmentów całkowania.

Im większa jest liczba odcinków n, na które podzielony jest przedział całkowania, tym rozwiązanie przybliżone jest bliższe prawdziwemu, tj. tym dokładniejszy wynik.

Zatem w stosowanych problemach, zarówno przy zastosowaniu metod rozwiązań dokładnych, jak i przy zastosowaniu metod rozwiązań numerycznych, wyniki obliczeń są przybliżone. Ważne jest jedynie, aby upewnić się, że błędy mieszczą się w wymaganej dokładności.

Numeryczne metody rozwiązywania problemów matematycznych były znane już od dawna, jeszcze przed pojawieniem się komputerów, jednak stosowano je rzadko i tylko w stosunkowo prostych przypadkach ze względu na ogromną złożoność obliczeń. Powszechne zastosowanie metod numerycznych stało się możliwe dzięki komputerom.

Według podręcznika Sowietowa i Jakowlewa: „model (łac. moduł - miara) jest obiektem-substytutem obiektu pierwotnego, który zapewnia badanie niektórych właściwości oryginału”. (s. 6) „Zastępowanie jednego obiektu drugim w celu uzyskania informacji o najważniejszych właściwościach obiektu pierwotnego za pomocą obiektu modelowego nazywa się modelowaniem”. (s. 6) „Pod pojęciem modelowania matematycznego będziemy rozumieć proces ustalania zgodności jakiegoś obiektu matematycznego z danym obiektem rzeczywistym, zwany modelem matematycznym, oraz badanie tego modelu, które pozwala uzyskać charakterystykę rozpatrywanego obiektu rzeczywistego . Rodzaj modelu matematycznego zależy zarówno od charakteru obiektu rzeczywistego, jak i zadań badania obiektu oraz wymaganej niezawodności i dokładności rozwiązania tego problemu.

Na koniec najbardziej zwięzła definicja modelu matematycznego: „Równanie wyrażające ideę».

Klasyfikacja modeli

Formalna klasyfikacja modeli

Formalna klasyfikacja modeli opiera się na klasyfikacji stosowanych narzędzi matematycznych. Często budowane w formie dychotomii. Na przykład jednym z popularnych zestawów dychotomii jest:

i tak dalej. Każdy skonstruowany model jest liniowy lub nieliniowy, deterministyczny lub stochastyczny,… Naturalnie możliwe są również typy mieszane: skoncentrowane pod jednym względem (pod względem parametrów), modele rozproszone pod innym itp.

Klasyfikacja ze względu na sposób przedstawienia obiektu

Wraz z klasyfikacją formalną modele różnią się sposobem przedstawiania obiektu:

Modele strukturalne lub funkcjonalne

Modele strukturalne przedstawiają obiekt jako system posiadający własne urządzenie i mechanizm działania. modele funkcjonalne nie używaj takich reprezentacji i odzwierciedlaj jedynie zewnętrznie postrzegane zachowanie (funkcjonowanie) obiektu. W swoim ekstremalnym wyrazie nazywane są również modelami „czarnych skrzynek”. Możliwe są również modele łączone, które czasami określa się jako „modele” szare pudełko».

Modele treściowe i formalne

Niemal wszyscy autorzy opisujący proces modelowania matematycznego wskazują, że najpierw budowana jest specjalna konstrukcja idealna, model zawartości. Nie ma tu ustalonej terminologii, a inni autorzy nazywają ten obiekt idealny model koncepcyjny , model spekulacyjny Lub premodelka. W tym przypadku nazywana jest ostateczna konstrukcja matematyczna model formalny lub po prostu model matematyczny uzyskany w wyniku sformalizowania tego modelu treści (premodel). Znaczący model można zbudować przy użyciu zestawu gotowych idealizacji, tak jak w mechanice, gdzie idealne sprężyny, ciała sztywne, idealne wahadła, ośrodki sprężyste itp. zapewniają gotowe elementy konstrukcyjne do znaczącego modelowania. Jednakże w obszarach wiedzy, w których nie ma w pełni ukończonych, sformalizowanych teorii (nowoczesne fizyka, biologia, ekonomia, socjologia, psychologia i większość innych dziedzin), tworzenie znaczących modeli jest znacznie bardziej skomplikowane.

Sensowna klasyfikacja modeli

Żadna hipoteza naukowa nie może zostać udowodniona raz na zawsze. Richard Feynman ujął to bardzo jasno:

„Zawsze mamy możliwość obalenia teorii, ale pamiętaj, że nigdy nie możemy udowodnić, że jest ona poprawna. Załóżmy, że stawiasz udaną hipotezę, obliczasz, dokąd ona prowadzi, i stwierdzasz, że wszystkie jej konsekwencje zostały potwierdzone eksperymentalnie. Czy to oznacza, że Twoja teoria jest poprawna? Nie, oznacza to po prostu, że nie udało Ci się temu zaprzeczyć.

Typ 2: Model fenomenologiczny (zachowywać się tak, jakby…)

Rola modelu w badaniach może zmieniać się w czasie, może się zdarzyć, że nowe dane i teorie potwierdzają modele fenomenologiczne i awansują do rangi hipotezy. Podobnie nowa wiedza może stopniowo wchodzić w konflikt z modelami-hipotezami pierwszego typu i mogą one zostać przeniesione do drugiego. W ten sposób model kwarkowy stopniowo przechodzi do kategorii hipotez; Atomizm w fizyce powstał jako rozwiązanie tymczasowe, ale z biegiem historii przeszedł do pierwszego typu. Ale modele eterowe przeszły od typu 1 do typu 2 i teraz są poza nauką.

Idea uproszczenia jest bardzo popularna przy budowaniu modeli. Ale uproszczenie jest inne. Peierls wyróżnia trzy rodzaje uproszczeń w modelowaniu.

Typ 3: Przybliżenie (coś jest uważane za bardzo duże lub bardzo małe)

Jeśli możliwe jest skonstruowanie równań opisujących badany układ, nie oznacza to, że można je rozwiązać nawet przy pomocy komputera. Powszechną techniką jest w tym przypadku stosowanie przybliżeń (modele typu 3). Pomiędzy nimi liniowe modele odpowiedzi. Równania są zastępowane liniowymi. Standardowym przykładem jest prawo Ohma.

A oto typ 8, który jest szeroko stosowany w modelach matematycznych układów biologicznych.

Typ 8: Możliwość demonstracji (najważniejsze jest pokazanie wewnętrznej spójności możliwości)

To także eksperymenty myślowe. z wyimaginowanymi bytami, które to demonstrują rzekome zjawisko spójne z podstawowymi zasadami i spójne wewnętrznie. Na tym polega główna różnica w porównaniu z modelami typu 7, które ujawniają ukryte sprzeczności.

Jednym z najbardziej znanych z tych eksperymentów jest geometria Łobaczewskiego (Łobaczewski nazwał ją „geometrią wyimaginowaną”). Innym przykładem jest masowa produkcja formalnie kinetycznych modeli oscylacji chemicznych i biologicznych, autofal itp. Paradoks Einsteina-Podolskiego-Rosena został pomyślany jako model typu 7, aby zademonstrować niespójność mechaniki kwantowej. W zupełnie nieplanowany sposób ostatecznie przekształcił się w model typu 8 – demonstrację możliwości kwantowej teleportacji informacji.

Przykład

Rozważmy układ mechaniczny składający się ze sprężyny zamocowanej na jednym końcu i obciążenia masowego przymocowanego do wolnego końca sprężyny. Zakładamy, że ładunek może poruszać się tylko w kierunku osi sprężyny (na przykład ruch odbywa się wzdłuż pręta). Skonstruujmy model matematyczny tego układu. Stan układu opiszemy odległością od środka ładunku do jego położenia równowagi. Opiszmy oddziaływanie sprężyny i obciążenia za pomocą Prawo Hooke’a() po czym używamy drugiego prawa Newtona, aby wyrazić to w postaci równania różniczkowego:

gdzie oznacza drugą pochodną po czasie: .

Otrzymane równanie opisuje model matematyczny rozważanego układu fizycznego. Ten wzór nazywa się „oscylatorem harmonicznym”.

Zgodnie z klasyfikacją formalną model ten jest liniowy, deterministyczny, dynamiczny, skoncentrowany, ciągły. W procesie jego budowy przyjęliśmy wiele założeń (o braku sił zewnętrznych, braku tarcia, małej odchyłki itp.), które w rzeczywistości mogą nie zostać spełnione.

W odniesieniu do rzeczywistości jest to najczęściej model typu 4. uproszczenie(„pomijamy pewne szczegóły dla przejrzystości”), ponieważ pominięto pewne istotne cechy uniwersalne (na przykład rozpraszanie). W pewnym przybliżeniu (powiedzmy, chociaż odchylenie obciążenia od równowagi jest małe, przy niewielkim tarciu, przez niezbyt długi czas i pod pewnymi innymi warunkami) taki model całkiem dobrze opisuje rzeczywisty układ mechaniczny, ponieważ odrzucone czynniki mają znikomy wpływ na jego zachowanie. Model można jednak udoskonalić, biorąc pod uwagę niektóre z tych czynników. Doprowadzi to do powstania nowego modelu o szerszym (choć ponownie ograniczonym) zakresie.

Modele twarde i miękkie

Tutaj - jakaś funkcja, która może uwzględniać siłę tarcia lub zależność współczynnika sztywności sprężyny od stopnia jej rozciągnięcia - jakiś mały parametr. Jawna postać funkcji nas w tej chwili nie interesuje. Jeśli udowodnimy, że zachowanie miękkiego modelu nie różni się zasadniczo od zachowania modelu twardego (niezależnie od jawnej postaci czynników zakłócających, jeśli są one wystarczająco małe), problem sprowadzi się do badania modelu twardego. W przeciwnym razie zastosowanie wyników uzyskanych w badaniu modelu sztywnego będzie wymagało dodatkowych badań. Przykładowo rozwiązaniem równania oscylatora harmonicznego są funkcje postaci , czyli oscylacje o stałej amplitudzie. Czy z tego wynika, że prawdziwy oscylator będzie oscylował w nieskończoność ze stałą amplitudą? Nie, ponieważ rozważając układ o dowolnie małym tarciu (zawsze występującym w układzie rzeczywistym), otrzymujemy drgania tłumione. Zachowanie systemu zmieniło się jakościowo.

Jeżeli system zachowuje swoje jakościowe zachowanie nawet przy niewielkich zakłóceniach, mówi się, że jest strukturalnie stabilny. Oscylator harmoniczny jest przykładem układu niestabilnego strukturalnie (nieszorstkiego). Jednakże model ten można wykorzystać do badania procesów w ograniczonych odstępach czasu.

Uniwersalność modeli

Najważniejsze modele matematyczne mają zwykle ważną właściwość uniwersalność: zasadniczo różne zjawiska rzeczywiste można opisać tym samym modelem matematycznym. Przykładowo oscylator harmoniczny opisuje nie tylko zachowanie się obciążenia na sprężynie, ale także inne procesy oscylacyjne, często o zupełnie innym charakterze: małe drgania wahadła, wahania poziomu cieczy w naczyniu kształtowym czy zmiana natężenia prądu w obwodzie oscylacyjnym. Zatem badając jeden model matematyczny, badamy od razu całą klasę opisywanych przez niego zjawisk. To właśnie izomorfizm praw wyrażanych przez modele matematyczne w różnych segmentach wiedzy naukowej skłonił Ludwiga von Bertalanffy'ego do stworzenia „Ogólnej teorii systemów”.

Zagadnienia bezpośrednie i odwrotne modelowania matematycznego

Istnieje wiele problemów związanych z modelowaniem matematycznym. W pierwszej kolejności należy wymyślić podstawowy schemat modelowanego obiektu, odtworzyć go w ramach idealizacji tej nauki. Tak więc wagon zamienia się w układ płyt i bardziej złożonych korpusów wykonanych z różnych materiałów, każdy materiał jest określony jako jego standardowa idealizacja mechaniczna (gęstość, moduły sprężystości, standardowe właściwości wytrzymałościowe), po czym zestawiane są równania, niektóre szczegóły są odrzucane jako nieistotne po drodze. , wykonywane są obliczenia, porównywane z pomiarami, model jest udoskonalany i tak dalej. Jednak dla rozwoju technologii modelowania matematycznego przydatne jest rozbicie tego procesu na główne elementy składowe.

Tradycyjnie istnieją dwie główne klasy problemów związanych z modelami matematycznymi: bezpośrednie i odwrotne.

Bezpośredni problem: strukturę modelu i wszystkie jego parametry uważa się za znane, głównym zadaniem jest zbadanie modelu w celu wydobycia użytecznej wiedzy o obiekcie. Jakie obciążenie statyczne może wytrzymać most? Jak zareaguje na obciążenie dynamiczne (np. na przemarsz kompanii żołnierzy, czy na przejazd pociągu z różną prędkością), jak samolot pokona barierę dźwięku, czy rozpadnie się od trzepotania – są to typowe przykłady zadania bezpośredniego. Postawienie prawidłowego, bezpośredniego problemu (zadanie prawidłowego pytania) wymaga specjalnych umiejętności. Jeśli nie zostaną zadane właściwe pytania, most może się zawalić, nawet jeśli zbudowano dobry model jego zachowania. Tak więc w 1879 roku w Wielkiej Brytanii zawalił się metalowy most na rzece Tey, którego projektanci zbudowali model mostu, obliczyli go na 20-krotny margines bezpieczeństwa dla ładunku, ale zapomnieli o stale wiejących wiatrach te miejsca. I po półtora roku się załamał.

W najprostszym przypadku (na przykład jedno równanie oscylatora) bezpośredni problem jest bardzo prosty i sprowadza się do jawnego rozwiązania tego równania.

Problem odwrotny: znanych jest wiele możliwych modeli, należy wybrać konkretny model na podstawie dodatkowych danych o obiekcie. Najczęściej znana jest struktura modelu i trzeba określić jakieś nieznane parametry. Informacje dodatkowe mogą polegać na dodatkowych danych empirycznych lub wymaganiach wobec obiektu ( zadanie projektowe). Dodatkowe dane mogą pojawić się niezależnie od procesu rozwiązywania problemu odwrotnego ( bierna obserwacja) lub być wynikiem specjalnie zaplanowanego w trakcie rozwiązania eksperymentu ( aktywny nadzór).

Innym przykładem jest statystyka matematyczna. Zadaniem tej nauki jest rozwój metod rejestrowania, opisywania i analizowania danych obserwacyjnych i eksperymentalnych w celu budowy probabilistycznych modeli masowych zjawisk losowych. Te. zbiór możliwych modeli jest ograniczony przez modele probabilistyczne. W konkretnych problemach zestaw modeli jest bardziej ograniczony.

Komputerowe systemy symulacyjne

Do obsługi modelowania matematycznego opracowano komputerowe systemy matematyczne, np. Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim itp. Pozwalają one tworzyć modele formalne i blokowe zarówno prostych, jak i złożonych procesów i urządzeń oraz łatwo zmieniać parametry modelu podczas symulacja. Modele blokowe są reprezentowane przez bloki (najczęściej graficzne), których zestaw i połączenie określa schemat modelu.

Dodatkowe przykłady

Model Malthusa

Tempo wzrostu jest proporcjonalne do aktualnej wielkości populacji. Opisuje się to równaniem różniczkowym

gdzie jest pewnym parametrem określonym przez różnicę między współczynnikiem urodzeń a współczynnikiem zgonów. Rozwiązaniem tego równania jest funkcja wykładnicza. Jeśli wskaźnik urodzeń przekracza współczynnik zgonów (), wielkość populacji rośnie w nieskończoność i bardzo szybko. Oczywiste jest, że w rzeczywistości nie może to nastąpić ze względu na ograniczone zasoby. Po osiągnięciu określonej krytycznej wielkości populacji model przestaje być adekwatny, ponieważ nie uwzględnia ograniczonych zasobów. Udoskonaleniem modelu Malthusa może być model logistyczny, który opisuje równanie różniczkowe Verhulsta

gdzie oznacza „równowagową” wielkość populacji, przy której współczynnik urodzeń jest dokładnie kompensowany przez wskaźnik zgonów. Liczebność populacji w takim modelu zmierza do wartości równowagi, a zachowanie to jest strukturalnie stabilne.

układ drapieżnik-ofiara

Załóżmy, że na pewnym obszarze żyją dwa rodzaje zwierząt: króliki (jedzące rośliny) i lisy (jedzące króliki). Niech liczba królików, liczba lisów. Wykorzystując model Malthusa z niezbędnymi poprawkami, biorąc pod uwagę zjadanie królików przez lisy, dochodzimy do następującego układu, który nosi nazwę modele tacowe - Volterra:

Układ ten znajduje się w stanie równowagi, w którym liczba królików i lisów jest stała. Odchylenie od tego stanu prowadzi do wahań liczby królików i lisów, podobnych do wahań oscylatora harmonicznego. Podobnie jak w przypadku oscylatora harmonicznego, zachowanie to nie jest strukturalnie stabilne: niewielka zmiana w modelu (na przykład uwzględnienie ograniczonych zasobów potrzebnych królikom) może prowadzić do jakościowej zmiany zachowania. Na przykład stan równowagi może się ustabilizować, a wahania populacji zanikną. Możliwa jest także sytuacja odwrotna, gdy każde niewielkie odchylenie od położenia równowagi doprowadzi do katastrofalnych skutków, aż do całkowitego wyginięcia jednego z gatunków. Na pytanie, który z tych scenariuszy się realizuje, model Volterry-Lotki nie daje odpowiedzi: potrzebne są tu dodatkowe badania.

Notatki

„Matematyczna reprezentacja rzeczywistości” (Encyklopedia Britanica)
Nowik I. B., O filozoficznych zagadnieniach modelowania cybernetycznego. M., Wiedza, 1964.
Sowietow B. Ja., Jakowlew S. A., Modelowanie systemów: Proc. dla uniwersytetów - wyd. 3, poprawione. i dodatkowe - M.: Wyżej. szkoła, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A.A., Michajłow A.P. Modelowanie matematyczne. Pomysły. Metody. Przykłady. - wyd. 2, poprawione. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myszkis A. D., Elementy teorii modeli matematycznych. — wyd. 3, ks. - M.: KomKniga, 2007. - 192 o numerze ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Modelowanie procesów technologicznych: podręcznik / A.G. Sevostyanov, PA Sewostyanow. - M.: Przemysł lekki i spożywczy, 1984. - 344 s.
Wikisłownik: modele matematyczne
CliffsNotes.com. Glosariusz nauk o Ziemi. 20 września 2010 r
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-Nowy Jork, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
„Teorię uważa się za liniową lub nieliniową, w zależności od tego, jakiego – liniowego czy nieliniowego – aparatu matematycznego, jakich – liniowych czy nieliniowych – modeli matematycznych używa. ... nie zaprzeczając temu drugiemu. Współczesny fizyk, gdyby zdarzyło mu się przedefiniować tak ważną jednostkę, jak nieliniowość, najprawdopodobniej zachowałby się inaczej i preferując nieliniowość jako ważniejszą i bardziej powszechną z dwóch przeciwieństw, zdefiniowałby liniowość jako „nie-nie-- liniowość". Daniłow Yu.A., Wykłady z dynamiki nieliniowej. Podstawowe wprowadzenie. Synergetyka: seria od przeszłości do przyszłości. wyd.2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
„Układy dynamiczne modelowane za pomocą skończonej liczby równań różniczkowych zwyczajnych nazywane są układami skupionymi lub punktowymi. Opisane są one za pomocą skończonej wymiarowej przestrzeni fazowej i charakteryzują się skończoną liczbą stopni swobody. Jeden i ten sam system działający w różnych warunkach można uznać za skoncentrowany lub rozproszony. Modele matematyczne systemów rozproszonych to równania różniczkowe cząstkowe, równania całkowe lub zwykłe równania opóźnienia. Liczba stopni swobody systemu rozproszonego jest nieskończona, a do określenia jego stanu potrzebna jest nieskończona liczba danych. Aniszczenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, nr 11, s. 2. 77-84.
„W zależności od charakteru badanych procesów w systemie S wszystkie rodzaje modelowania można podzielić na deterministyczne i stochastyczne, statyczne i dynamiczne, dyskretne, ciągłe i dyskretno-ciągłe. Modelowanie deterministyczne przedstawia procesy deterministyczne, to znaczy procesy, w których zakłada się brak jakichkolwiek wpływów przypadkowych; modelowanie stochastyczne wyświetla probabilistyczne procesy i zdarzenia. … Modelowanie statyczne służy do opisu zachowania obiektu w dowolnym momencie, natomiast modelowanie dynamiczne odzwierciedla zachowanie obiektu w czasie. Modelowanie dyskretne służy do opisu procesów, które z założenia są dyskretne, modelowanie ciągłe pozwala na odzwierciedlenie procesów ciągłych w systemach, a modelowanie dyskretno-ciągłe stosuje się w przypadkach, gdy chcemy podkreślić obecność zarówno procesów dyskretnych, jak i ciągłych. Sowietow B. Ja., Jakowlew S. A. ISBN 5-06-003860-2
Zwykle model matematyczny odzwierciedla strukturę (układ) modelowanego obiektu, istotne dla celów badań właściwości i wzajemne powiązania elementów tego obiektu; taki model nazywa się strukturalnym. Jeśli model odzwierciedla jedynie to, jak obiekt funkcjonuje – na przykład, jak reaguje na wpływy zewnętrzne – wówczas nazywa się go funkcjonalnym lub w przenośni czarną skrzynką. Możliwe są również modele łączone. Myszkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
„Oczywistym, ale najważniejszym początkowym etapem konstruowania lub wyboru modelu matematycznego jest uzyskanie jak największej przejrzystości modelowanego obiektu i udoskonalenie jego modelu merytorycznego w oparciu o nieformalne dyskusje. Na tym etapie nie należy szczędzić czasu i wysiłków, od tego w dużej mierze zależy powodzenie całego badania. Niejednokrotnie zdarzało się, że znaczny wysiłek włożony w rozwiązanie problemu matematycznego okazywał się nieskuteczny lub wręcz zmarnowany ze względu na niedostateczną uwagę poświęconą tej stronie zagadnienia. Myszkis A. D., Elementy teorii modeli matematycznych. – wyd. 3, ks. - M.: KomKniga, 2007. - 192 z ISBN 978-5-484-00953-4, s. 10-10. 35.
« Opis modelu koncepcyjnego systemu. Na tym podetapie budowy modelu systemu: a) model pojęciowy M jest opisany za pomocą abstrakcyjnych terminów i koncepcji; b) opis modelu podano przy użyciu typowych schematów matematycznych; c) ostateczne przyjęcie hipotez i założeń; d) uzasadniono wybór procedury aproksymacji procesów rzeczywistych przy budowie modelu.” Sowietow B. Ja., Jakowlew S. A., Modelowanie systemów: Proc. dla uniwersytetów - wyd. 3, poprawione. i dodatkowe - M.: Wyżej. szkoła, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.
Blekhman I.I., Myshkis A.D., Panovko N.G., Matematyka stosowana: Przedmiot, logika, cechy podejść. Z przykładami z mechaniki: Podręcznik. — wyd. 3, ks. i dodatkowe - M.: URSS, 2006. - 376 s. ISBN 5-484-00163-3, rozdział 2.

wektor zmiennych wejściowych, X= t,

Y - wektor zmiennych wyjściowych, Y=t,

Z - wektor wpływów zewnętrznych, Z= t,

t - współrzędna czasowa.

Budynek model matematyczny polega na określeniu powiązań między określonymi procesami i zjawiskami, stworzeniu aparatu matematycznego pozwalającego wyrazić ilościowo i jakościowo związek między określonymi procesami i zjawiskami, między interesującymi specjalistę wielkościami fizycznymi a czynnikami wpływającymi na wynik końcowy.

Zwykle jest ich tak dużo, że nie ma możliwości wprowadzenia całego ich zestawu do modelu. Podczas budowania model matematyczny przed badaniem pojawia się zadanie zidentyfikowania i wykluczenia z rozważań czynników, które nie wpływają znacząco na wynik końcowy ( model matematyczny zazwyczaj obejmuje znacznie mniejszą liczbę czynników niż w rzeczywistości). Na podstawie danych eksperymentalnych stawia się hipotezy dotyczące zależności pomiędzy wielkościami wyrażającymi wynik końcowy a czynnikami wprowadzonymi w model matematyczny. Zależność taką często wyrażają systemy różniczkowe Równania różniczkowe cząstkowe(m.in. w zagadnieniach mechaniki ciała stałego, cieczy i gazu, teorii filtracji, przewodzenia ciepła, teorii pól elektrostatycznych i elektrodynamicznych).

Ostatecznym celem tego etapu jest sformułowanie problemu matematycznego, którego rozwiązanie z wymaganą dokładnością wyraża wyniki interesujące specjalistę.

Forma i zasady prezentacji model matematyczny zależy od wielu czynników.

Zgodnie z zasadami konstrukcji modele matematyczne podzielone na:

analityczny;
imitacja.

W modelach analitycznych procesy funkcjonowania rzeczywistych obiektów, procesów czy systemów zapisywane są w formie jawnej zależności funkcjonalne.

Model analityczny dzieli się na typy w zależności od problemu matematycznego:

równania (algebraiczne, przestępne, różniczkowe, całkowe),
problemy aproksymacyjne (interpolacja, ekstrapolacja, całkowanie numeryczne I różnicowanie),
problemy optymalizacyjne,
problemy stochastyczne.

Jednak w miarę jak modelowany obiekt staje się bardziej złożony, konstrukcja modelu analitycznego staje się trudnym problemem. Następnie badacz jest zmuszony do użycia modelowanie symulacyjne.

W modelowanie symulacyjne funkcjonowanie obiektów, procesów czy systemów opisuje zbiór algorytmów. Algorytmy naśladują rzeczywiste zjawiska elementarne składające się na proces lub system, zachowując jednocześnie ich właściwości struktura logiczna i sekwencjonowania w czasie. Symulacja umożliwia uzyskanie informacji o danych źródłowych stany procesu lub systemów w określonych momentach czasu, jednak przewidywanie zachowania obiektów, procesów czy systemów jest tutaj trudne. Można tak powiedzieć modele symulacyjne- te są oparte na komputerze eksperymenty obliczeniowe Z modele matematyczne, imitujące zachowanie rzeczywistych obiektów, procesów czy systemów.

W zależności od charakteru badanych rzeczywistych procesów i systemów modele matematyczne może być:

deterministyczny,
stochastyczny.

W modelach deterministycznych zakłada się, że nie ma wpływów przypadkowych, elementy modelu (zmienne, zależności matematyczne) są dość dobrze ustalone, a zachowanie systemu można dokładnie określić. Przy konstruowaniu modeli deterministycznych najczęściej stosuje się równania algebraiczne, równania całkowe, algebrę macierzową.

Model stochastyczny uwzględnia losowy charakter procesów zachodzących w badanych obiektach i układach, który opisuje się metodami teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej.

Ze względu na rodzaj informacji wejściowych modele dzielą się na:

ciągły,
oddzielny.

Jeżeli informacje i parametry są ciągłe, a zależności matematyczne stabilne, to model jest ciągły. I odwrotnie, jeśli informacje i parametry są dyskretne, a połączenia są niestabilne, to wtedy model matematyczny- dyskretny.

Ze względu na zachowanie modeli w czasie dzieli się je na:

statyczny,
dynamiczny.

Modele statyczne opisują zachowanie obiektu, procesu lub systemu w dowolnym momencie. Modele dynamiczne odzwierciedlają zachowanie obiektu, procesu lub systemu w czasie.

Według stopnia zgodności pomiędzy