Klub klasy 5
Szef Blinkow Aleksander Dawidowicz
Rok akademicki 2005/2006
Cube i jego rozwój (9.03 i 11.03)
Buratino miał papier pokryty z jednej strony polietylenem. Zrobił pokazany na zdjęciu wykroj do sklejenia kartonu po mleku. Fox Alice powiedziała, że może zrobić kolejny blankiet i przykleić tę samą torbę. Który? 
Ciała pokazane na rysunku składają się z sześcianów. Ile sześcianów jest w każdym z nich? 
Na widocznych ścianach sześcianu znajdują się cyfry 1, 2 i 3. A na skanach - dwie z powyższych liczb lub jedna. Umieść liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 po bokach sześcianu tak, aby suma liczb na przeciwległych ściankach była równa 7. 
Linie przerywane na rysunku wskazują niewidoczne krawędzie sześcianu. W związku z tym linie ciągłe wskazują widoczne linie. Przyjrzeliśmy się sześcianowi w prawym górnym rogu. Na rysunkach a, b, c narysuj linie ciągłe tak, aby sześcian był widoczny
a) prawy dolny róg;
b) u góry po lewej;
c) lewy dolny róg. 
Dodatkowe zadania
Drewniana kostka została z zewnątrz pomalowana na niebiesko. Następnie każde żebro podzielono na 5 części i tę kostkę pocięto na mniejsze kawałki, których żebro jest 5 razy mniejsze. Ile małych sześcianów otrzymałeś?
A) Ile sześcianów ma trzy kolorowe ściany?
B) Dwie twarze?
C) Jedna krawędź?
Żadnych?
Odcinek łączący dwa najbardziej oddalone od siebie wierzchołki sześcianu nazywa się jego przekątną. Jak zmierzyć przekątną niepustej kostki za pomocą linijki i mając trzy takie kostki?
Rysunek do zadania 2
Wszystkie otaczające nas przedmioty można mentalnie zmieścić w prostych bryłach geometrycznych (sześcian, kula, stożek, walec, pryzmat itp.). Studiując kształt sześcianu uczymy się rysować np. dom, bo w uproszczony sposób dom rysuje się tą samą techniką co sześcian. Ma wierzchołki, krawędzie i ściany, zupełnie jak sześcian. Dach domu to wielopłaszczyznowy pryzmat.
Narysujmy sześcian z życia, a następnie wykorzystamy tę wiedzę na swoim do zobrazowania bardziej skomplikowanych obiektów, takich jak domy i ulice.
Sześcian to bryła geometryczna utworzona przez przecięcie płaszczyzn. I jak każdy obiekt trójwymiarowy, przedstawiony na płaskiej kartce, będzie podlegał zmianom zgodnie z prawami perspektywy. Na zdjęciu widać linię horyzontu płaszczyzna widzenia artysty. Zawiera znikające punkty linii równoległych. W naszym przypadku są to cztery linie poziome prowadzące do punktu zbiegu po lewej stronie i cztery linie poziome prowadzące do punktu zbiegu po prawej stronie.
Przedstawiamy obiekty w przestrzeni tak, jak postrzegają je nasze oczy. (Im dalej od widza, tym mniejszy wydaje się obiekt itp.)
Początkiem każdego obrazu jest kompozycja. Nasz obiekt obrysowujemy na arkuszu jasnymi liniami. Zawsze powinno być trochę więcej miejsca od krawędzi u góry niż u dołu. Intuicyjnie określ skalę, aby obiekt nie wydawał się gigantyczny lub zbyt mały.
Ustaw najbliższą pionową krawędź tak, aby była nie pasowało ze środkiem arkusza przechodzącym przez przecięcie jego przekątnych. Wysokość oznaczamy szeryfami, jest to najwyższa krawędź naszego obrazu, ponieważ jest najbliżej widza. Na oko określamy kąt nachylenia żeber leżących na stole względem poziomu. Trenuj swoją pamięć wzrokową, zapamiętując kąt. Szybko przenieś wzrok na kostkę lub na rysunek.
Zróbmy to samo z górnymi żebrami. Podstawowe prawa wyjaśniają nam, jak przenieść przestrzeń na arkuszu perspektywa liniowa. Wszystko równoległe liniełączą się w kierunku linii horyzontu w jeden punkt. Dlatego, aby przekazać, że krawędź jest dalej od widza, przedstawimy ją mniej i uporządkować wyższy. W ten sposób wszystkie krawędzie będą miały różną wysokość.
Kiedy odległe poziome krawędzie przecięły się, powstały wierzchołki. Przez nie przechodzi najdalsze, niewidoczne dla oka żebro. NA etap początkowy Przedstawmy sześcian jako przezroczysty, aby zrozumieć pełną strukturę obiektu.
Aby dowiedzieć się, jak bardzo zmniejszono krawędzie boczne, użyjemy metoda obserwacji. Za pomocą tej metody postrzegane są kontury obiektu, artysta uczy się przedstawiać obiekty proporcjonalnie i pod różnymi kątami.
Jak on pracuje? Weź ołówek na wyciągnięcie ręki, zamknij jedno oko, zrównaj ołówek z obrazem krawędzi sześcianu w przestrzeni. Górna krawędź ołówka powinna pokrywać się z górnym wierzchołkiem żebra, a palcem uszczypnąć punkt ołówka, który pokrywa się z dolnym wierzchołkiem. Nie odrywając palca od ołówka, obróć go pod kątem prostym i zmierz odległość między dwiema krawędziami. W ten sposób zobaczymy stosunek wysokości i szerokości jednej twarzy. Zapamiętaj ten stosunek i pokaż go na rysunku. Metodę tę można również zastosować do pomiaru i wyświetlenia proporcji żeber.
Po zakończeniu konstrukcji liniowych przystępujemy do perspektywa powietrzna , a co za tym idzie, do cieniowania.
Głównym zadaniem artysty jest oddanie trójwymiarowych kształtów obiektów. Widzimy trzy ściany naszego sześcianu, wszystkie różniące się tonem. Lewa strona jest najciemniejsza - to jest własny cień temat. Dzięki odbitemu światłu od otaczających obiektów lub refleksom, w miarę oddalania się w lewo, cieniowanie staje się nieco jaśniejsze. Największa krawędź jest bardziej kontrastowa niż wszystkie pozostałe. W ten sposób pokazują jego bliskość do pierwszego planu.
Górna płaszczyzna ciemniejszy niż pionowa po prawej stronie. Światło tylko się po nim przesuwa, tworząc półton. Należy pamiętać, że niż bliższy do źródła światła, tj zapalniczka będzie ton. Kreskowanie można zastosować po przekątnej. Użyj gumki, aby podkreślić krawędź, aby przekazać wyróżnienie.
Aby pracować na najlżejszej krawędzi, weź twardy ołówek N lub 2H. Zapobiegnie to nadmiernemu przyciemnieniu tonu. Zastosuj cieniowanie pionowo, w kierunku płaszczyzny.
Spadające cienie są zawsze ciemniejsze niż własny cień obiektu. Bliższa krawędź to linia przejścia między światłem a cieniem. Zaczyna się od niego spadający cień. Im bliżej obiektu, tym bogatszy ton. Odbite światło od sześcianu tworzy refleks wewnątrz cienia i nieco rozjaśnia.
Rysunek prosty ciała geometryczne często używany i pozwala początkującemu artyście nauczyć się przedstawiać obiekty w przestrzeni, stosując prawa konstrukcja perspektywiczna i perspektywa powietrzna.
POWTÓRZ TEORIĘ
260. Uzupełnij teorię.
1) Każda ściana prostokątnego równoległościanu jest prostokąt.
2) Boki ścian prostokątnego równoległościanu nazywane są krawędziami, wierzchołki ścian są wierzchołki równoległościanu prostokątnego.
3) Równoległościan ma 6 ścian, 12 krawędzi i 8 wierzchołków.
4) Nazywa się ściany prostokątnego równoległościanu, które nie mają wspólnych wierzchołków naprzeciwko.
5) Przeciwległe ściany prostokątnego równoległościanu są równe.
6) Nazywa się pole powierzchni równoległościanu suma pól jego ścian.
7) Długości trzech krawędzi prostopadłościanu o wspólnym wierzchołku nazywane są wymiarami prostopadłościanu.
8) Aby rozróżnić wymiary prostokątnego równoległościanu, użyj nazw: długość, szerokość i wysokość.
9) Nazywają to sześcianem prostopadłościan, Który wszystkie wymiary są równe.
10) Powierzchnia sześcianu składa się z sześć równych kwadratów.
ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW
261. Rysunek przedstawia równoległościan prostokątny ABCDMKEF. Wypełnić luki.
1) Wierzchołek B należy do ścian AMKV, ABCD, KVSE.
2) Krawędź EF jest równa krawędziom KM, AB, CD.
3) Górna ściana równoległościanu jest prostokątem MKEF.
4) Krawędź DF jest wspólną krawędzią ścian AMFD i FECD.
5) Powierzchnia AMKV jest równa powierzchni FESD.
262. Oblicz pole powierzchni sześcianu o krawędzi 6 cm.
Rozwiązanie:
Powierzchnia jednej twarzy jest równa
6 2 -6*6 = 36 (cm2)
Powierzchnia jest równa
6*36 = 216 (cm2)
Odpowiedź: Powierzchnia wynosi 216 cm 2 .
263. Rysunek przedstawia prostokątny równoległościan MNKPEFCD, którego wymiary wynoszą 8 cm, 5 cm i 3 cm.Oblicz sumę długości wszystkich jego krawędzi i pola powierzchni.
Rozwiązanie:
Suma krawędzi
4*(8+5+3) = 64 (cm)
Powierzchnia wynosi:
2*(8*3+8*5+5*3) = 158 (cm2)
Odpowiedź: suma długości wszystkich jego krawędzi wynosi 64 cm, pole powierzchni wynosi 158 cm2.
264. Wypełnij puste miejsca.
1) Powierzchnia piramidy składa się ze ścian bocznych - trójkątów, które mają wspólny wierzchołek i podstawę.
2) Nazywa się wspólny wierzchołek ścian bocznych szczyt piramidy.
3) Nazywa się boki podstawy piramidy żebra podstawy, oraz boki ścian bocznych, które nie należą do podstawy - żebra boczne.
265. Rysunek przedstawia piramidę SABCDE. Wypełnić luki.
1) Rysunek przedstawia piramidę 5-kątną.
2) Boczne ściany piramidy to trójkąty SAB, SBC, SCD, SDE, SEA, a podstawą jest 5-kwadrat ABCDE.
3) Wierzchołek piramidy to punkt S.
4) Krawędzie podstawy piramidy to odcinki AB, BC, CD, DE, EA, a krawędzie boczne to odcinki SA, SB, SC, SD, SE.
266. Rysunek przedstawia piramidę DABC.Wszystkie jej ściany są trójkątami równobocznymi o bokach 4 cm.Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi piramidy?
Rozwiązanie:
Suma długości krawędzi wynosi
6*4 = 24 (cm)
Odpowiedź: 24cm.
267. Rysunek przedstawia piramidę МАВСD, której boczne ściany są trójkątami równoramiennymi o bokach 7 cm, a podstawą jest kwadrat o boku 8 cm Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi piramidy ?
Rozwiązanie:
Suma długości krawędzi bocznych jest równa
4*7 = 28 (cm)
Suma długości krawędzi podstawy jest równa
4*8 = 32 (cm)
Suma długości wszystkich krawędzi
28+32 = 60 (cm)
Odpowiedź: suma długości wszystkich krawędzi piramidy wynosi 60 cm.
268. Czy może mieć (tak, nie) kształt równoległościanu prostokątnego:
1) jabłko; 2) pudełko; 3) ciasto; 4) drzewo; 5) kawałek sera; 6) kostka mydła?
Odpowiedź: 1) nie; 2) tak; 3) tak; 4) nie; 5) tak; 6) tak.
269. Rysunek przedstawia sekwencję kroków na obrazie prostokątnego równoległościanu. W ten sam sposób narysuj równoległościan.
270. Rysunek przedstawia sekwencję kroków obrazu piramidy. Narysuj tę samą piramidę.
271. Jaka jest wielkość krawędzi sześcianu, jeśli jego powierzchnia wynosi 96 cm 2?
Rozwiązanie:
1) 96:6 = 16 (cm 2) - powierzchnia jednej ściany sześcianu.
2) 4*4 = 16, co oznacza, że krawędź sześcianu ma długość 4 cm.
Odpowiedź: 4cm.
272. Zapisz wzór na obliczenie pola powierzchni S:
1) sześcian, którego krawędź jest równa a;
2) prostokątny równoległościan o wymiarach a, b, c.
Odpowiedź: 1) S = 6a 2 ; 2) S = 2(аb+ас+bс)
273. Do pomalowania kostki pokazanej na obrazku po lewej stronie potrzeba 270 g farby. Część sześcianu została wycięta. Ile gramów farby będzie potrzebne do pomalowania części powierzchni powstałego ciała, zaznaczonej na niebiesko.
Rozwiązanie:
1) 270:6:9 = 45:9 = 5 (g) - do malowania pojedynczej powierzchni
2) 5*12 = 60 (g) - do malowania niebieskiej powierzchni
Odpowiedź: będziesz potrzebować 60 g farby
274. Która z figur A, B, C, D, D uzupełnia figurę E w równoległościan?
275. Prostokątny równoległościan i sześcian mają równe obszary powierzchnie. Wysokość równoległościanu wynosi 4 cm, czyli 3 razy mniej niż jego długość i 5 cm mniej niż jego szerokość. Znajdź krawędź sześcianu.
Rozwiązanie:
1) 4*3 = 12 (cm) długości perelepipe
2) 4+5 = 9 (cm) szerokość równoległościanu
3) 2*(4*12+4*9+12*9) = 384 (cm 2) pole powierzchni równoległościanu
4) 384:6 = 64 (cm 2) pole powierzchni sześcianu
5) 64 = 8*8 = 8 2, co oznacza, że krawędź sześcianu ma długość 8 cm.
Odpowiedź: krawędź sześcianu 8 cm.
276. Zakreśl kredką widoczne krawędzie na obrazie sześcianu, tak aby sześcian był widoczny: 1) z góry i z prawej strony; 2) poniżej i po lewej stronie.
277. Ściany sześcianu ponumerowano od 1 do 6. Na rysunku przedstawiono dwie wersje rozwoju tego samego sześcianu, uzyskane przez równe przecięcie. Jaka liczba powinna zastąpić znak zapytania?
Rozwiązywanie problemów jest sztuką praktyczną, podobnie jak pływanie i bieganie. Można się tego nauczyć jedynie poprzez naśladownictwo i praktykę.
D. Polia
Kości są ważne w życiu małego dziecka. Ale ich rola nie zmniejsza się w szkole, zwłaszcza podczas nauki matematyki. Musimy zawsze pamiętać, że uczeń, uczeń, to przede wszystkim dziecko. On, niczym gąbka, chłonie wszystkie informacje z otaczającego go świata. Zawsze można znaleźć sytuacje lub stworzyć warunki, które mogą być impulsem do głębokiej refleksji i działań twórczych i badawczych u ucznia. "Aby skłonić dziecko do konkretnych pomysłów, potrzebne są także określone środki. Nie można liczyć na to, że sama obserwacja zdarzeń losowych pozwoli dzieciom odkryć prawa probabilistyczne; konieczne jest wprowadzenie elementów rywalizacji, należy ekscytować i pobudzać naturalną ciekawość dziecka, konfrontować je z rzeczywistością, a także obalać fałszywe wyobrażenia” – mówią M. Gleman i T. Varga. I nie sposób się z nimi nie zgodzić.
Zadania odgrywają ogromną rolę w życiu człowieka. Zadania, które człowiek sobie stawia, oraz zadania, które stawiają przed nim inni ludzie i okoliczności życiowe, kierują wszystkimi jego działaniami przez całe życie. Słynny rosyjski metodolog V.A. Evtushevsky scharakteryzował funkcje zadań w nauczaniu w następujący sposób: „Zadania oferowane w klasie zawierają żywy materiał do ćwiczenia myślenia ucznia, do wyprowadzania reguł matematycznych i do ćwiczenia stosowania tych reguł w rozwiązywaniu konkretnych problemów praktycznych”.
Prezentowane zabawne zadania z kostkami są różnorodne, ponieważ można wybierać kostki, których ścianki przedstawiają cyfry, litery, rysunki i kolory. Takie zadania dotyczą dzieci w szerokiej kategorii wiekowej różne etapy lekcja matematyki, na zajęciach pozalekcyjnych. Wszyscy przyczyniają się do:
- uczyć się czytać informacje graficzne, obrazy obiektów geometrycznych;
- rozwój wyobraźni przestrzennej;
- rozwijanie umiejętności wyobrażania sobie w myślach różnych pozycji obiektu i zmian jego położenia w zależności od różnych punktów odniesienia oraz umiejętności utrwalenia tej idei na obrazie;
- nauczanie logicznych uzasadnień faktów geometrycznych;
- rozwój umiejętności projektowania, modelowania;
- rozwój procesy poznawcze: percepcja, uwaga, pamięć, myślenie;
- rozwój umiejętności badawczych.
Zabawne zadania z kostkami do zabawy przyciągnie uwagę dzieci i sprawi, że ich zainteresowanie matematyką będzie trwałe, pomoże opanować umiejętności matematyczne nie tylko mocnym uczniom, ale także tym, dla których ten przedmiot szkolny jest najtrudniejszy.
Zadania.
Zadanie nr 1. Ponumeruj 8 wierzchołków sześcianu numerami porządkowymi (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) tak, aby suma liczb na każdej z sześciu ścian była taka sama (rys. 1a).
Odpowiedź. Każdy wierzchołek sześcianu należy do trzech ścian, więc sumę 1 + 2 + : + 8 należy pomnożyć przez 3, a następnie podzielić przez 6 (przez liczbę ścian) i otrzymasz 18 - suma liczb na każdej ścianie (ryc. 1b).
Obrazek 1.
Zadanie nr 2. Czy można „ponumerować” wszystkie krawędzie liczbami całkowitymi tak, aby sumy liczb krawędzi zbiegających się w każdym wierzchołku były takie same, jeżeli są to liczby: a) 1; 2; :; 12; b) -6; -5; :; -1; 1; 2; :; 6?
nie. Załóżmy, że jest to możliwe i suma liczb krawędzi zbiegających się w każdym wierzchołku jest równa x. Wtedy suma liczb na wszystkich ośmiu krawędziach sześcianu wynosi 8x. Z drugiej strony, ponieważ każda liczba została uwzględniona w tej sumie dwa razy, to ta sama suma jest równa: (1 + 2 + : + 11 + 12) 2 = (1 + 12) 12 = 156. Równanie 8x = 156 w rozwiązania całkowite nie, więc nasze założenie jest błędne.
b) Tak. Suma liczby krawędzi zbiegających się w każdym wierzchołku jest równa 0 (ryc. 2).
Rysunek 2.
Zadanie nr 3. Na ryc. Rysunek 3 przedstawia figurę będącą rozwinięciem sześcianu. Cienkie linie to linie zagięcia. W myślach złóż kostkę z rozłożonego wzoru. Określ, która ściana jest na górze, jeśli zacieniona ściana jest na dole.
Rysunek 3.
Odpowiedź. „V”.
Zadanie nr 4. Na ścianach nieprzezroczystego sześcianu zapisane są litery, jak pokazano na ryc. 4a. Kostka została rzucona i spadła w taki sposób, że jedna z liter zaczęła się układać, jak pokazano na ryc. 4b. Narysuj odpowiednie litery na pozostałych ścianach sześcianu (można je obracać). Sprawdź swoją odpowiedź, korzystając z modelu sześcianu.
Rysunek 4.
Odpowiedź. Ryż. 4c.
Zadanie nr 5. Rzuć w myślach kostką z każdego rozwinięcia podanego na ryc. 5 i określ, która ściana jest górna, jeśli dolna ściana jest zacieniona.
Odpowiedź. a) D, b) B, c) D, d) C.
Rysunek 5.
Zadanie nr 6. Wszystkie kostki na ryc. 6a są takie same. Narysuj ponownie wzór jednej z kostek (ryc. 6b) i umieść na niej brakujące litery.
Rysunek 6.
Odpowiedź. Ryż. VI wiek
Zadanie nr 7. Rzuciliśmy kostkę (ryc. 7a) tak, że upadła, jak pokazano na rys. 7b uzupełnij puste miejsca widoczne krawędzie Kuba.
Odpowiedź. Ryż. VII wiek
Rysunek 7.
Zadanie nr 8. W odpowiednim miejscu na przedniej stronie sześcianu wpisz litery G i P w odpowiednim miejscu (ryc. 8).
Cyfra 8.
Odpowiedź. Ryż. 9.
Rysunek 9.
Zadanie nr 9. Patrząc na ramę sześcianu najpierw od przodu (widok A), następnie od lewej strony (widok B), a na końcu od góry (widok C), odczytaj wyraz utworzony pogrubionymi liniami (ryc. 10) ).
Odpowiedź. 1) BOR, 2) ŚWIERK, 3) BES.
Rysunek 10.
Zadanie nr 10. Na ryc. Rysunek 11 przedstawia figurę będącą rozwinięciem sześcianu (cienkie linie to linie zagięcia). Które punkty będą pokrywać się z punktem A podczas klejenia rozwinięcia pokazanego na rysunku?
Rysunek 11.
Odpowiedź. M., H.
Zadanie nr 11. Po prawidłowym zobrazowaniu trzech prostokątnych rzutów sześcianów z przesuniętymi między sobą literami, przeczytaj rosyjski mądrość ludowa(Rys. 12a).
Odpowiedź. Lenistwo jest matką wad (ryc. 12b).
Rysunek 12.
Zadanie nr 12. Z tektury przyklejony jest sześcian, na którego krawędziach są zapisane litery. Na ryc. 13a przedstawia jedną z wersji rozwoju tej kostki z wizerunkiem liter na jej ściankach.
Rysunek 13.
Na pustych ściankach narysuj litery innej wersji rozwinięcia tej sześcianu (ryc. 13b-d).
Odpowiedź. Ryż. 14.
Rysunek 14.
Zadanie nr 13. Jeśli odgadniesz, jak ułożyć litery na sześcianach (na przednich ścianach), to litery na górnych ścianach utworzą nowe słowo (ryc. 15).
Odpowiedź. KOTEK - MAŁPA.
Rysunek 15.
Zadanie nr 14. Z rysunków pokazanych na ryc. 16, wybierz te, które są wymiarami sześcianu. Podkreśl je kolorem. Narysuj ponownie dane obrazu, wytnij je i sprawdź swój wybór.
Rysunek 16.
Odpowiedź. „a”, „b”, „d”, „d”, „f”, „g”.
Zadanie nr 15. Które z kostek pokazanych na rysunkach 17b-h można skleić z układu (rysunek 17a)?
Rysunek 17.
Odpowiedź. "mi".
Zadanie nr 16. Na ryc. 18 widzisz trzy bloki dziecięce. Wszystkie zwrócone są w naszą stronę tym samym wzorem – jodełką. Wskaż, jakie obrazki zobaczymy na każdej z kostek, patrząc na nie z góry, biorąc pod uwagę rozwój kostki.
Rysunek 18.
Odpowiedź. a) kula, b) liść, c) chmura.
Zadanie nr 17. Wskaż kolorystykę ścian sześcianu na rozwinięciu pokazanym na ryc. 19a-b, jeżeli na ryc. Kostka 19v-d jest prezentowana w trzech różnych pozycjach.
Rysunek 19.
Odpowiedź. Ryż. 20.
Rysunek 20.
Zadanie nr 18. Ściany sześcianu pokolorowano jak na ryc. 21. Rzucono kostką. Opadł tak, że przednia krawędź stała się przezroczystą krawędzią. Pokoloruj pozostałe ściany sześcianu w odpowiednich kolorach (ryc. 21). Rozważ wszystkie możliwe opcje. Wykonaj niezbędne przemiatanie. Wytnij go i sprawdź swoją odpowiedź.
Rysunek 21.
Odpowiedź. Ryż. 22.
Rysunek 22.
Zadanie nr 19. Z wielokolorowych kostek wykonano zabawkę (ryc. 23a). Pokoloruj kostki, jeśli czerwony znajduje się pomiędzy niebieskim i żółtym, a żółty poniżej zielonego.
Rysunek 23.
Odpowiedź. Ryż. 23b.
Zadanie nr 20. Pokoloruj na czerwono maksymalną liczbę wierzchołków sześcianu tak, aby spośród czerwonych wierzchołków nie było możliwości wybrania trzech tworzących trójkąt równoboczny.
Odpowiedź. Maksymalna możliwa liczba czerwonych wierzchołków wynosi cztery. Udowodnijmy to.
Możliwe jest pomalowanie czterech wierzchołków. Na przykład możesz pomalować cztery wierzchołki jednej ściany. W tym przypadku czerwone wierzchołki tworzą kwadrat i nie ma wśród nich trzech tworzących trójkąt równoboczny.
Udowodnijmy, że nie da się pokolorować pięciu wierzchołków sześcianu spełniających warunek. Pokolorujmy cztery wierzchołki sześcianu Kolor niebieski, a pozostałe - kolorem zielonym (ryc. 24). Zauważ, że pomiędzy dowolnymi dwoma wierzchołkami tego samego koloru jest taka sama odległość. Pozwól nam ponownie pokolorować pięć wierzchołków na czerwono. Następnie około trzech z nich pomalowano na ten sam kolor. Dlatego tworzą trójkąt równoboczny.
Rysunek 24.
Zadanie nr 21. Na ścianach sześcianu znajdują się figury takie jak na ryc. 25a. Kostka jest sukcesywnie toczona od ścian do ścian, jak pokazano na ryc. 25b. Jakie figury powinny znajdować się na górnej i prawej stronie ostatniego obrazu sześcianu?
Rysunek 25.
Odpowiedź. Na górnej ścianie znajduje się okrąg, po prawej stronie znajduje się kwadrat.
Zadanie nr 22. Biały sześcian o krawędzi 3 cm został pomalowany niebieską farbą, a następnie pocięty na kostki o krawędzi 1 cm.Ile z nich ma jedną kolorową ściankę, dwie kolorowe ściany, trzy kolorowe twarze? Czy istnieje sześcian z niepokolorowanymi ścianami?
Odpowiedź. Mają jedną pomalowaną ściankę - 6 kostek, dwie pomalowane ścianki - 12 kostek, trzy pomalowane ścianki - 8 kostek, kostkę z niepomalowanymi ścianami - 1 kostka.
Zadanie nr 23. Dwa sześciany, których przeciwległe ściany pomalowane są na ten sam kolor, zostały połączone ze sobą na różne sposoby. Zapomnieli pokolorować niektóre ściany kostek. Pokoloruj je na odpowiednie kolory (ryc. 26).
Rysunek 26.
Odpowiedź. Ryż. 27.
Rysunek 27.
Zadanie nr 24. Które z poniższych sześcianów otrzymamy po złożeniu rozwinięcia w sześcian (ryc. 28)? (Zignoruj rozmieszczenie obrazów.)
Odpowiedź. "G".
Rysunek 28.
Zadanie nr 25. Która kostka jest sklejona z tej rozwinięcia (ryc. 29)?
Odpowiedź. "A".
Rysunek 29.
Zadanie nr 26. Znajdź sumę trzech części sześcianu po lewej stronie znaków równości (ryc. 30a, b) i narysuj ją po prawej stronie znaków równości, jak pokazano w przykładzie (ryc. 31) .
Rysunek 30.
Rysunek 31.
Odpowiedź. Ryż. 32.
Rysunek 32.
Zadanie nr 27. Każda z figur przedstawionych na lewo od znaków równości (ryc. 33) jest sumą dwóch części sześcianu powstałego w wyniku przecięcia go płaszczyzną przechodzącą przez środek. Przywróć te części, przedstawiając odpowiedź w formie podobnej do poprzedniego zadania.
Rysunek 33.
Odpowiedź. Ryż. 34.
Rysunek 34.
Zadanie nr 28. Wszystkie ściany sześcianu są pomalowane na różne kolory, a każda ściana jest pomalowana na ten sam kolor. Jeśli spojrzysz na tę kostkę z jednej strony, zobaczysz niebieskie, żółte i białe twarze. Z drugiej strony widoczne są czarne, niebieskie i czerwone krawędzie. Po trzeciej stronie widoczne są krawędzie w kolorze zielonym, czarnym i białym. Która krawędź jest naprzeciwko białej?
Odpowiedź. Naprzeciwko białej krawędzi znajduje się czerwona krawędź.
Zadanie nr 29. Z ilu kostek zbudowano wieżę (ryc. 35)?
Rysunek 35.
Odpowiedź. a) 28; b) 44.
Zadanie nr 30. Ile kostek potrzeba do złożenia takiej figury (ryc. 36)?
Odpowiedź. 106 kostek.
Rysunek 36.
Zadanie nr 31. Na ryc. 37a przedstawia cztery sześciany. Są one różnie zabarwione, ale każdy z nich ma przeciwległe krawędzie tego samego koloru. Z tych kostek zbudowali figury „cokół”, a następnie równoległościan. Zostały zbudowane tak, aby stykające się ściany kostek były tego samego koloru. Dokończ kolorowanie figur na ryc. 37b,c i wskaż numery kostek.
Rysunek 37.
Odpowiedź. Ryż. 38.
Rysunek 38.
Zadanie nr 32. Podróż muchy. Mucha, zaczynając od punktu A, może okrążyć cztery boki podstawy sześcianu w ciągu 4 minut. Ile czasu zajmie jej dotarcie z A do przeciwległego wierzchołka B (ryc. 39a).
Rysunek 39.
Odpowiedź. Inteligentna mucha wybrałaby ścieżkę zaznaczoną na ryc. 39b linią ciągłą, jej pokonanie zajmie 2,236 minuty. Ścieżka oznaczona linia przerywana, jest dłuższe i zajmie więcej czasu.
Zadanie nr 33. Duża kostka jest sklejona z małych drewnianych kostek. Wywiercono w nim 6 otworów przelotowych, równoległych do żeber (ryc. 40). Ile małych sześcianów pozostało nienaruszonych?
Rysunek 40.
Odpowiedź. 44 kostki.
Zadanie nr 34. Mam kawałek sera w kształcie sześcianu. Jak wykonać jedno proste cięcie nożem, aby dwie nowe krawędzie były foremnymi sześciokątami? Oczywiście, jeśli przetniemy ser w kierunku linii przerywanej na ryc. 41a, wtedy otrzymujemy dwa kwadraty. Spróbuj zdobyć sześciokąty.
Odpowiedź. Zaznacz środki żeber BC, CH, HE, EF, FG i GB. Następnie zaczynając od góry wykonaj cięcie wzdłuż płaszczyzny oznaczonej linią przerywaną (ryc. 41b). Wtedy każda z dwóch nowych powierzchni będzie foremnym sześciokątem, a prawy element będzie wyglądał mniej więcej tak, jak pokazano na ryc. 41c.
Rysunek 41.
Zadanie nr 35. Agencja reklamowa przesłała te rysunki klientowi – producentowi opakowań. Poproszono go o podjęcie decyzji, jaki kolor powinna znajdować się na tej stronie opakowania, która jest przeciwna do żółtej strony na rysunku. 42 P. Następnego dnia klient zadzwonił. Jakie pytanie zadał?
Rysunek 42.
Odpowiedź. Zapytał: „Czy jest tu błąd, czy celowo powtórzyłeś żółty? ” Kompletny schemat pokazano na ryc. 43.
Rysunek 43.
Zadanie nr 36. W tych modelach architektonicznych każda kostka jest oddzielnym mieszkaniem (ryc. 44). Umowa na budowę trafi do architekta, którego model będzie miał najwięcej mieszkań. Który układ spełnia ten wymóg?
Rysunek 44.
Odpowiedź. Układ budynku A spełnia ten wymóg; w tym budynku znajduje się 80 mieszkań, podczas gdy w budynku B jest ich tylko 79.
Zadanie nr 37. Legenda związana z problemem podwojenia powierzchni sześcianu stała się już klasyką. Filoponus opowiada, jak Ateńczycy przestraszeni epidemią dżumy z 432 roku p.n.e. e. zwrócił się do Platona o radę. Zanim jednak doszli do wielkiego filozofa, zwrócili się do Apolla, który swoimi ustami Wyrocznia Delficka nakazał im podwoić rozmiar złotego ołtarza w swojej świątyni. Jednak Ateńczycy okazali się niezdolni do tego. Platon powiedział, że spotkało ich nieszczęście z powodu złośliwego zaniedbania wzniosłej nauki geometrii i ubolewał, że nie było wśród nich ani jednej osoby na tyle mądrej, aby rozwiązać ten problem.
Problem Wyroczni Delfickiej, gdzie chodzi po prostu o podwojenie sześcianu, jest tak ściśle powiązany z problemem sześcianów Platona, że autorzy niezbyt doświadczeni w matematyce często je mylą. Ten ostatni problem nazywany jest także problemem liczb geometrycznych Platona, twierdząc zazwyczaj, że o jego prawdziwych warunkach nie wiadomo prawie nic. Niektórzy nawet uważają, że jego warunki zostały utracone.
Istnieje starożytny opis masywną kostkę wzniesioną pośrodku wyłożonej kafelkami platformy i nie trzeba wiele wyobraźni, aby powiązać ten pomnik z problemem Platona. Na rycinie 45 widać Platon kontemplujący tak masywną marmurową kostkę, która składa się z kilku mniejszych sześcianów. Pomnik wznosi się pośrodku kwadratowej platformy wyłożonej tymi samymi małymi marmurowymi kostkami.
Rysunek 45.
Liczba kostek w miejscu i w pomniku jest taka sama. Powiedz mi, ile kostek potrzeba do zbudowania pomnika i kwadratowej platformy, a rozwiążesz wielki problem liczb geometrycznych Platona.
Odpowiedź. Problem polega na znalezieniu liczby, która po podaniu do sześcianu da dokładny kwadrat. Dzieje się tak, jak się okazuje, z dowolną liczbą, która sama jest kwadratem. Najmniejszy kwadrat (nie licząc 1) to 4, zatem pomnik mógłby składać się z 64 małych sześcianów (4*4*4) i stanąć pośrodku kwadratu 8*8. Oczywiście nie zgadza się to z proporcjami pokazanymi na Figura. Dlatego wypróbujemy następny kwadrat 9, w wyniku czego powstanie pomnik złożony z 729 sześcianów stojących na kwadracie 27 * 27. To jest prawidłowa odpowiedź, ponieważ jako jedyna zgadza się z rysunkiem.
Zadanie nr 38. Na Wschodzie sztuka mieszania różnych rodzajów herbat nie zaniedbuje milionowych części uncji! Mówią, że tajemnice niektórych mikstur skrywane są w tajemnicy głęboka tajemnica i przez wieki nie dało się ich powtórzyć.
Aby zobrazować jak trudno jest wniknąć w sztukę mieszania herbat, przedstawiamy Państwu jedno proste zadanie polegające na mieszaniu tylko dwóch odmian.
Blender otrzymał dwa pudełka herbaty. Obydwa miały kształt sześcienny, ale miały różne rozmiary. W większym pudełku znajdowała się herbata czarna, a w mniejszym – zielona. Po wymieszaniu zawartości tych pudeł mężczyzna odkrył, że powstałą mieszaniną udało się wypełnić dokładnie 22 pudełka o sześciennym kształcie i tej samej wielkości. Załóżmy, że wewnętrzne wymiary pudełek są wyrażone w skończonym ułamku dziesiętnym. Czy potrafisz określić proporcje czarnej i zielonej herbaty w tej mieszance? Innymi słowy, znajdź dwa różne liczby wymierne, tak że po dodaniu ich kostek otrzymujemy wynik, który po podzieleniu przez 22 i wyjęciu pierwiastka z sześcianu również dałby liczbę wymierną.
Odpowiedź. Sześcian o krawędzi 17,299 cala i sześcian o krawędzi 25,469 cala mają całkowitą objętość (21697,794418608 cali sześciennych) dokładnie równą całkowitej objętości 22 sześcianów o krawędzi każdy 9,954 cala. Dlatego herbatę zieloną i czarną zmieszano w proporcji (17299) 3 do (25469) 3.
Bibliografia:
- Bizam D., Herceg Y. Gra i logika. 85 problemów logicznych / przeł. z węgierskiego Yu.A. Daniłowa. - M.: Mir, 1975. - 358 s.
- Zajęcia dodatkowe z matematyki w klasach 4-5 / wyd. SI. Szwartburda. - M.: Edukacja, 1974. - 191 s.
- Zajęcia pozalekcyjne z matematyki w klasach 6-8 / wyd. SI. Szwartburda. - M.: Edukacja, 1977. - 288 s.
- Gardner M. No, zgadnij! / uliczka z angielskiego - M.: Mir, 1984. - 213 s.
- Gardner M. Matematyczne cuda i tajemnice: przeł. z angielskiego / wyd. G.E. Shilova. - 5. wyd. - M.: Nauka, 1986. - 128 s.
- Gardner M. Odpoczynek matematyczny: przeł. z angielskiego / wyd. Tak. Smorodiński. - M.: Mir, 1972. - 496 s.
- Gardner M. Opowiadania matematyczne: przeł. z angielskiego / wyd. Tak. Smorodiński. - M.: Mir, 1974. - 456 s.
- Gleman M., Varga T. Prawdopodobieństwo w grach i rozrywce: elementy teorii prawdopodobieństwa w przebiegu środowisk. Szkoły: podręcznik dla nauczycieli / przeł. od ks. AK Zvonkina. - M.: Edukacja, 1979. - 176 s.
- Zabawna matematyka. 5-11 klas. (Jak sprawić, by lekcje matematyki były zabawne) /author-comp. T.D. Gawriłowa. - Wołgograd: Nauczyciel, 2005. - 96 s.
- Kordemsky BA Zachęty matematyczne. - M.: Wydawnictwo ONYX: Alliance-V, 2000. - 512 s.
- Matematyka: Maratony intelektualne, turnieje, walki: klasy 5-11. Książka dla nauczycieli. - M.: Wydawnictwo „Pierwszy września”, 2003. - 256 s.
- Mosteller F. Pięćdziesiąt zabawnych problemów probabilistycznych z rozwiązaniami / tłum. z angielskiego - M.: Nauka, 1985. - 88 s.
- Problemy olimpijskie z matematyki. 5-8 klas. 500 niestandardowych zadań na organizację konkursów i olimpiad: rozwój istoty twórczej uczniów/autora. N.V. Zobołotnewa. - Wołgograd: Nauczyciel, 2005. - 99 s.
- Perelman Ya.I. Zabawne zadania i eksperymenty. - M.: Literatura dziecięca, 1972. - 464 s.
- Russell K., Carter F. Szkolenie wywiadowcze. - M.: Eksmo, 2003. - 96 s.
- Friedman L.M. Zadania fabularne w matematyce. Historia, teoria, metodologia. - M.: Prasa szkolna, 2002. - 208 s.
- Sharygin I.F., Shevkin A.V. Matematyka: zadania na pomysłowość: podręcznik. dodatek dla klas 5-6. ogólne wykształcenie instytucje. - M.: Edukacja, 1995. - 80 s.
Załącznik nr 2
Ćwiczenia rozwijające wyobraźnię
№1. Istnieją dwa sposoby ułożenia równoległościanu z czterech sześcianów. Czy pole powierzchni równoległościanu będzie takie samo w pierwszym i drugim przypadku?
№2. Objętość równoległościanu wynosi 64 cm 3 , szerokość - 4 cm, wysokość - 2 cm Długość tego równoległościanu zmniejszono o 3 cm Określ objętość powstałego równoległościanu. (Z pomocą nauczyciela uczniowie muszą sobie wyobrazić, że równoległościan określony w warunku jest przecięty na dwa równoległościany, a długość „wyciętego” równoległościanu wynosi 3 cm. Stąd, aby rozwiązać zadanie, należy zmniejszyć objętość pierwotnego równoległościanu przez objętość „odciętej” części.)
№ 3 . Narysuj linię prostą i oznacz ją literą a. Skonstruuj kilka punktów oddalonych od prostej a o 2 cm Gdzie znajdują się wszystkie takie punkty?
№ 4. Rysunek przedstawia model szkieletowy sześcianu. Nazwij krawędzie wychodzące z wierzchołka M.
№ 5. Zacieniuj widoczne ściany sześcianu, używając innego koloru dla każdej ściany.
№ 6 . Rysunek przedstawia prostokątny równoległościan zwrócony w stronę widza z krawędzią LN. Obrysuj widoczne krawędzie liniami ciągłymi, niewidoczne krawędzie liniami przerywanymi..
№ 7. Rysunek 11 pokazuje, jak skonstruować prostokąt. Opisz słownie proponowaną metodę i dokończ konstrukcję.
№ 8. Zastanów się, która z figur pokazanych na rysunku mogłaby być siatką sześcianu?
№ 9.
Które punkty zrównają się podczas klejenia rozwinięcia pokazane w rysunek? 
Wykonanie tego zadania musi być poprzedzone wykonaniem przez uczniów skanu z kartki papieru.
№ 10. Na powierzchni szklanej kostki przechodzi linia przerywana wykonany z drutu. Narysuj tę polilinię na obrazie sześcianu od przodu, od góry i od lewej strony.
№ 11. Ile kostek potrzeba do zbudowania wieży pokazanej na obrazku?
№ 13. Ułóż litery na rozkładach sześcianu zgodnie z już zarysowanymi. B - krawędź boczna, B – górny, N – dolny.
№ 14 . Na sześcian spoglądano z prawego górnego rogu. Narysuj linie ciągłe tak, aby sześcian był widoczny z lewego dolnego rogu, prawego górnego i prawego dolnego rogu.
№ 15. Ile różnych kwadratów o wierzchołkach w danych punktach można narysować na rysunku?
№ 16. Który najmniejsza liczba kostki potrzebne do zbudowania wieży? Ilustracja przedstawia widok z przodu i widok z lewej strony.
№ 17. Skonstruuj odcinek AC, jeśli wiadomo, że punkt B jest środkiem tego odcinka, a odcinek BC ma długość 4 cm 2 mm.
№ 18 . Narysuj dwusieczną kąta rozłożonego i dwusieczną każdego z kątów powstałych. Ile jest w sumie kątów? Znajdź wielkości tych kątów.
№ 19. Ile ścian będzie miał wielościan powstały w wyniku odcięcia wszystkich wierzchołków sześcianu?
№ 20. Narysuj ciągłe linie wokół krawędzi sześcianu, tak aby był widoczny z prawego górnego rogu (lewy dolny róg, lewy górny róg, prawy dolny róg).
Nr 21. Kartkę papieru w kształcie prostokąta złożono na pół, jak pokazano na rysunku. Następnie przetnij wzdłuż przerywanej linii
i rozwinięto mniejszą wyciętą część. Jaki jest kształt rozwinięcia mniejszego wyciętego kawałka?
Nr 22. Zobacz jak wykonać rysunek łącząc kropki. Spróbuj narysować coś samodzielnie, łącząc kropki.
