Na tej lekcji każdy będzie mógł przestudiować temat „Prostokątne pudełko”. Na początku lekcji powtórzymy, czym są dowolne i proste równoległościany, przypomnimy sobie właściwości ich przeciwległych ścian i przekątnych równoległościanu. Następnie zastanowimy się, czym jest prostopadłościan i omówimy jego główne właściwości.
Temat: Prostopadłość linii i płaszczyzn
Lekcja: prostopadłościan
Powierzchnia złożona z dwóch równych równoległoboków ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 oraz czterech równoległoboków ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 nazywa się równoległościan(Rys. 1).
Ryż. 1 równoległościan
To znaczy: mamy dwa równe równoległoboki ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (podstawy), leżą one w równoległych płaszczyznach, tak że krawędzie boczne AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 są równoległe. Tak więc nazywa się powierzchnię złożoną z równoległoboków równoległościan.
Zatem powierzchnia równoległościanu jest sumą wszystkich równoległoboków tworzących równoległościan.
1. Przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe i równe.
(liczby są równe, czyli można je łączyć nakładką)
Na przykład:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (równe równoległoboki z definicji),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (ponieważ AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C są przeciwległymi ścianami równoległościanu),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (ponieważ AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C są przeciwległymi ścianami równoległościanu).
2. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i przecinają ten punkt.
Przekątne równoległościanu AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B przecinają się w jednym punkcie O, a każda przekątna jest podzielona przez ten punkt na pół (ryc. 2).
Ryż. 2 Przekątne równoległościanu przecinają się i przecinają punkt przecięcia.
3. Istnieją trzy poczwórne równe i równoległe krawędzie równoległościanu: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, pne, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Definicja. Równoległościan nazywamy prostym, jeśli jego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw.
Niech krawędź boczna AA 1 będzie prostopadła do podstawy (ryc. 3). Oznacza to, że prosta AA 1 jest prostopadła do prostych AD i AB, które leżą w płaszczyźnie podstawy. A zatem prostokąty leżą na bocznych ścianach. A podstawami są dowolne równoległoboki. Oznaczmy, ∠BAD = φ, kąt φ może być dowolny.
Ryż. 3 Prawe pudełko
Zatem pudełko prawe to pudełko, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw pudełka.
Definicja. Równoległościan nazywa się prostokątnym, jeśli jego krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Podstawy to prostokąty.
Równoległościan АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 jest prostokątny (ryc. 4), jeśli:
1. AA 1 ⊥ ABCD (krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, czyli prostopadłościanu).
2. ∠BAD = 90°, czyli podstawa jest prostokątem.
Ryż. 4 prostopadłościan
Prostokątne pudełko ma wszystkie właściwości dowolnego pudełka. Istnieją jednak dodatkowe właściwości, które wywodzą się z definicji prostopadłościanu.
Więc, prostopadłościan jest równoległościanem, którego boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy. Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt.
1. W prostopadłościanie wszystkie sześć ścian to prostokąty.
ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 są z definicji prostokątami.
2. Żebra boczne są prostopadłe do podstawy. Oznacza to, że wszystkie ściany boczne prostopadłościanu są prostokątami.
3. Wszystkie kąty dwuścienne prostopadłościanu są kątami prostymi.
Rozważmy na przykład kąt dwuścienny równoległościanu prostokątnego o krawędzi AB, tj. kąt dwuścienny między płaszczyznami ABB 1 i ABC.
AB jest krawędzią, punkt A 1 leży w jednej płaszczyźnie - w płaszczyźnie ABB 1, a punkt D w drugiej - w płaszczyźnie A 1 B 1 C 1 D 1. Wtedy rozważany kąt dwuścienny można również oznaczyć następująco: ∠А 1 АВD.
Weź punkt A na krawędzi AB. AA 1 jest prostopadła do krawędzi AB na płaszczyźnie ABB-1, AD jest prostopadła do krawędzi AB na płaszczyźnie ABC. Zatem ∠A 1 AD jest kątem liniowym danego kąta dwuściennego. ∠A 1 AD \u003d 90 °, co oznacza, że kąt dwuścienny na krawędzi AB wynosi 90 °.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Udowodniono podobnie, że dowolne kąty dwuścienne prostokątnego równoległościanu są właściwe.
Kwadrat przekątnej prostopadłościanu jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów.
Notatka. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu są wymiarami prostopadłościanu. Czasami nazywa się je długością, szerokością, wysokością.
Biorąc pod uwagę: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - prostokątny równoległościan (ryc. 5).
Udowodnić: .
Ryż. 5 Prostopadłościan
Dowód:
Prosta CC 1 jest prostopadła do płaszczyzny ABC, a więc do prostej AC. Zatem trójkąt CC 1 A jest trójkątem prostokątnym. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:
Rozważmy trójkąt prostokątny ABC. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:
Ale BC i AD są przeciwległymi bokami prostokąta. Więc pne = ne. Następnie:
Ponieważ , A , To. Skoro CC 1 = AA 1, to co należało udowodnić.
Przekątne równoległościanu prostokątnego są równe.
Oznaczmy wymiary równoległościanu ABC jako a, b, c (patrz ryc. 6), a następnie AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Równoległościan to graniastosłup, którego podstawą są równoległoboki. W tym przypadku wszystkie krawędzie będą równoległoboki.
Każdy równoległościan można traktować jako graniastosłup na trzy różne sposoby, ponieważ co dwie przeciwległe ściany można przyjąć za podstawy (na ryc. 5 ściany ABCD i A „B” C „D” lub ABA „B” i CDC „D” lub BC „C” i ADA „D”).
Rozważane ciało ma dwanaście krawędzi, cztery równe i równoległe do siebie.
Twierdzenie 3
. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie, pokrywając się ze środkiem każdego z nich.
Równoległościan ABCDA"B"C"D" (rys. 5) ma cztery przekątne AC", BD", CA", DB". Musimy udowodnić, że środki dowolnych dwóch z nich, np. AC i BD, pokrywają się. Wynika to z faktu, że figura ABC „D”, która ma równe i równoległe boki AB i C „D”, jest równoległobokiem .
Definicja 7
. Prawy równoległościan to równoległościan, który jest również prostym pryzmatem, to znaczy równoległościan, którego krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy.
Definicja 8
. Równoległościan prostokątny to równoległościan prawy, którego podstawą jest prostokąt. W tym przypadku wszystkie jego ściany będą prostokątami.
Prostokątny równoległościan jest prostopadłościanem, bez względu na to, którą z jego ścian przyjmiemy za podstawę, ponieważ każda z jego krawędzi jest prostopadła do krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka, a zatem będzie prostopadła do płaszczyzn ścian zdefiniowane przez te krawędzie. Natomiast proste, ale nie prostokątne pudełko można postrzegać jako graniastosłup prosty tylko w jeden sposób.
Definicja 9
. Długości trzech krawędzi prostopadłościanu, z których żadne dwie nie są do siebie równoległe (na przykład trzy krawędzie wychodzą z tego samego wierzchołka), nazywane są jego wymiarami. Dwa prostokątne równoległościany mające odpowiednio równe wymiary są oczywiście sobie równe.
Definicja 10
Sześcian to prostokątny równoległościan, którego wszystkie trzy wymiary są sobie równe, tak że wszystkie jego ściany są kwadratami. Dwa sześciany, których krawędzie są równe, są równe. 
Definicja 11
. Nachylony równoległościan, w którym wszystkie krawędzie są równe, a kąty wszystkich ścian są równe lub dopełniające, nazywa się romboedrem.
Wszystkie ściany romboedru są równymi rombami. (Kształt romboedru ma pewne kryształy o dużym znaczeniu, na przykład kryształy drzewca islandzkiego.) W romboedrze można znaleźć taki wierzchołek (a nawet dwa przeciwległe wierzchołki), że wszystkie sąsiednie kąty są sobie równe .
Twierdzenie 4
. Przekątne równoległościanu prostokątnego są sobie równe. Kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów trzech wymiarów.
W prostokątnym równoległościanie ABCDA „B” C „D” (ryc. 6) przekątne AC „i BD” są równe, ponieważ czworokąt ABC „D” jest prostokątem (linia AB jest prostopadła do płaszczyzny BC „C” , w którym leży pne").
Ponadto AC" 2 = BD" 2 = AB2+AD" 2 na podstawie twierdzenia o kwadratach przeciwprostokątnych. Ale na podstawie tego samego twierdzenia AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; stąd mamy:
AC „2 \u003d AB 2 + AA” 2 + A „D” 2 \u003d AB 2 + AA „2 + AD 2.
W geometrii kluczowymi pojęciami są płaszczyzna, punkt, linia i kąt. Za pomocą tych terminów można opisać dowolną figurę geometryczną. Wielościany są zwykle opisywane w kategoriach prostszych kształtów leżących w tej samej płaszczyźnie, takich jak koło, trójkąt, kwadrat, prostokąt itp. W tym artykule zastanowimy się, czym jest równoległościan, opiszemy rodzaje równoległościanów, jego właściwości, z jakich elementów się składa, a także podamy podstawowe wzory do obliczania powierzchni i objętości dla każdego rodzaju równoległościanów.
Definicja
Równoległościan w przestrzeni trójwymiarowej to pryzmat, którego wszystkie boki są równoległobokami. W związku z tym może mieć tylko trzy pary równoległoboków lub sześć ścian.
Aby zwizualizować pudełko, wyobraź sobie zwykły standardowy klocek. Cegła jest dobrym przykładem prostopadłościanu, który może sobie wyobrazić nawet dziecko. Innymi przykładami są wielopiętrowe domy prefabrykowane, szafy, odpowiednio ukształtowane pojemniki do przechowywania żywności itp.
Odmiany figury
Istnieją tylko dwa rodzaje równoległościanów:
- Prostokątny, którego wszystkie ściany boczne są ustawione pod kątem 90o do podstawy i są prostokątami.
- Pochylony, którego boczne powierzchnie znajdują się pod pewnym kątem do podstawy.
Na jakie elementy można podzielić tę figurę?
- Podobnie jak w przypadku każdej innej figury geometrycznej, w równoległościanie dowolne 2 ściany o wspólnej krawędzi nazywane są sąsiadującymi, a te, które jej nie mają, nazywane są równoległymi (na podstawie właściwości równoległoboku, który ma przeciwległe boki parami równoległych).
- Wierzchołki równoległościanu, które nie leżą na tej samej ścianie, nazywamy wierzchołkami przeciwległymi.
- Segmentem łączącym takie wierzchołki jest przekątna.
- Długości trzech krawędzi prostopadłościanu, które łączą się w jednym wierzchołku, to jego wymiary (mianowicie długość, szerokość i wysokość).
Właściwości kształtu
- Jest zawsze zbudowany symetrycznie względem środka przekątnej.
- Punkt przecięcia wszystkich przekątnych dzieli każdą przekątną na dwa równe segmenty.
- Przeciwległe ściany są równej długości i leżą na równoległych liniach.
- Jeśli dodasz kwadraty wszystkich wymiarów pudełka, wynikowa wartość będzie równa kwadratowi długości przekątnej.
Formuły obliczeniowe
Wzory dla każdego konkretnego przypadku równoległościanu będą różne.
W przypadku dowolnego równoległościanu prawdziwe jest twierdzenie, że jego objętość jest równa wartości bezwzględnej potrójnego iloczynu skalarnego wektorów trzech boków wychodzących z jednego wierzchołka. Jednak nie ma wzoru na obliczenie objętości dowolnego równoległościanu.
W przypadku równoległościanu prostokątnego obowiązują następujące wzory:
- V=a*b*c;
- Sb=2*c*(a+b);
- Sp=2*(a*b+b*c+a*c).
- V to objętość figury;
- Sb - powierzchnia boczna;
- Sp - całkowita powierzchnia;
- a - długość;
- b - szerokość;
- c - wysokość.
Innym szczególnym przypadkiem równoległościanu, w którym wszystkie boki są kwadratami, jest sześcian. Jeśli którykolwiek z boków kwadratu jest oznaczony literą a, wówczas można zastosować następujące wzory na pole powierzchni i objętość tej figury:
- S=6*a*2;
- V=3*a.
- S to obszar figury,
- V to objętość figury,
- a - długość twarzy figury.
Ostatnim rozważanym rodzajem równoległościanu jest równoległościan prosty. Jaka jest różnica między prostopadłościanem a prostopadłościanem, pytasz. Faktem jest, że podstawą prostokątnego równoległościanu może być dowolny równoległobok, a podstawą linii prostej może być tylko prostokąt. Jeżeli obwód podstawy, równy sumie długości wszystkich boków, oznaczymy jako Po, a wysokość jako h, to mamy prawo skorzystać z poniższych wzorów do obliczenia objętości i pól pełnego i bocznego powierzchnie.
Definicja
wielościan powierzchnię zamkniętą złożoną z wielokątów i ograniczającą jakąś część przestrzeni będziemy nazywać powierzchnią zamkniętą.
Segmenty, które są bokami tych wielokątów, nazywane są żeberka wielościan, a same wielokąty - twarze. Wierzchołki wielokątów nazywane są wierzchołkami wielościanu.
Rozważymy tylko wielościany wypukłe (jest to wielościan, który znajduje się po jednej stronie każdej płaszczyzny zawierającej jego ścianę).
Wielokąty tworzące wielościan tworzą jego powierzchnię. Część przestrzeni ograniczona przez dany wielościan nazywa się jego wnętrzem.
Definicja: pryzmat
Rozważmy dwa równe wielokąty \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) położone w równoległych płaszczyznach tak, że odcinki \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) są równoległe. Wielościan utworzony przez wielokąty \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) , a także równoległoboki \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), nazywa się (\(n\)-węgiel) pryzmat.
Wielokąty \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) nazywane są podstawami graniastosłupa, równoległoboku \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– ściany boczne, segmenty \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- boczne żebra.
Zatem boczne krawędzie pryzmatu są równoległe i równe sobie.
Rozważ przykład - pryzmat \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), którego podstawą jest pięciokąt wypukły.
Wysokość Pryzmat jest prostopadłą z dowolnego punktu na jednej podstawie do płaszczyzny innej podstawy.
Jeśli krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy, wówczas nazywa się taki pryzmat skośny(ryc. 1), w przeciwnym razie - prosty. W przypadku graniastosłupa prostego krawędzie boczne są wysokościami, a ściany boczne są równymi prostokątami.
Jeśli regularny wielokąt leży u podstawy prawego pryzmatu, to nazywa się ten pryzmat prawidłowy.
Definicja: pojęcie objętości
Jednostką objętości jest sześcian jednostkowy (sześcian o wymiarach \(1\times1\times1\) units\(^3\) , gdzie jednostka to pewna jednostka miary).
Możemy powiedzieć, że objętość wielościanu to ilość przestrzeni, którą ten wielościan ogranicza. Inaczej: jest to wartość, której wartość liczbowa wskazuje, ile razy sześcian jednostkowy i jego części mieszczą się w danym wielościanie.
Objętość ma takie same właściwości jak powierzchnia:
1. Objętości liczb równych są równe.
2. Jeśli wielościan składa się z kilku nieprzecinających się wielościanów, to jego objętość jest równa sumie objętości tych wielościanów.
3. Objętość jest wartością nieujemną.
4. Objętość mierzy się w cm\(^3\) (centymetrach sześciennych), m\(^3\) (metrach sześciennych) itd.
Twierdzenie
1. Pole powierzchni bocznej pryzmatu jest równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.
Pole powierzchni bocznej jest sumą pól powierzchni bocznych graniastosłupa.
2. Objętość pryzmatu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości pryzmatu: \
Definicja: pudełko
Równoległościan Jest to graniastosłup, którego podstawą jest równoległobok.
Wszystkie ściany równoległościanu (ich \(6\) : \(4\) ściany boczne i \(2\) podstawy) są równoległobokami, a przeciwległe ściany (równoległe do siebie) są równymi równoległobokami (ryc. 2).
Przekątna pudełka to odcinek łączący dwa wierzchołki równoległościanu, które nie leżą na tej samej ścianie (ich \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) itp.).
prostopadłościan jest równoległościanem prostokątnym u podstawy.
Ponieważ jest równoległościanem prawym, to ściany boczne są prostokątami. Tak więc, ogólnie rzecz biorąc, wszystkie ściany prostokątnego równoległościanu są prostokątami.
Wszystkie przekątne prostopadłościanu są równe (wynika to z równości trójkątów \(\trójkąt ACC_1=\trójkąt AA_1C=\trójkąt BDD_1=\trójkąt BB_1D\) itp.).
Komentarz
Zatem równoległościan ma wszystkie właściwości pryzmatu.
Twierdzenie
Pole powierzchni bocznej prostokątnego równoległościanu jest równe \
Całkowita powierzchnia prostokątnego równoległościanu wynosi \
Twierdzenie
Objętość prostopadłościanu jest równa iloczynowi trzech jego krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka (trzy wymiary prostopadłościanu): \
Dowód
Ponieważ dla równoległościanu prostokątnego krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy, to są też jego wysokości, czyli \(h=AA_1=c\) podstawą jest prostokąt \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Stąd bierze się formuła.
Twierdzenie
Przekątna \(d\) prostopadłościanu jest wyszukiwana według wzoru (gdzie \(a,b,c\) to wymiary prostopadłościanu)\
Dowód
Rozważ Ryc. 3. Ponieważ podstawa jest prostokątem, więc \(\trójkąt ABD\) jest prostokątny, a więc zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Ponieważ wszystkie krawędzie boczne są więc prostopadłe do podstaw \(BB_1\sprawca (ABC) \Strzałka w prawo BB_1\) prostopadle do dowolnej linii w tej płaszczyźnie, tj. \(BB_1\sprawca BD\) . Więc \(\trójkąt BB_1D\) jest prostokątny. Następnie z twierdzenia Pitagorasa \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), td.
Definicja: sześcian
Sześcian jest równoległościanem prostokątnym, którego wszystkie boki są równymi kwadratami.
Zatem te trzy wymiary są sobie równe: \(a=b=c\) . Więc poniższe są prawdziwe
Twierdzenia
1. Objętość sześcianu o krawędzi \(a\) wynosi \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. Przekątna sześcianu jest przeszukiwana według wzoru \(d=a\sqrt3\) .
3. Całkowita powierzchnia sześcianu \(S_(\text(full.circumcube))=6a^2\).
Równoległobok oznacza płaszczyznę w języku greckim. Równoległościan to graniastosłup, którego podstawą jest równoległobok. Istnieje pięć rodzajów równoległoboków: ukośny, prosty i prostokątny. Sześcian i romboedr również należą do równoległościanu i są jego odmianą.
Zanim przejdziemy do podstawowych pojęć, podajmy kilka definicji:
- Przekątna równoległościanu to odcinek łączący przeciwległe wierzchołki równoległościanu.
- Jeśli dwie ściany mają wspólną krawędź, możemy je nazwać sąsiednimi krawędziami. Jeśli nie ma wspólnej krawędzi, wówczas twarze nazywane są przeciwnymi.
- Dwa wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie, nazywamy przeciwnymi.
Jakie są właściwości równoległościanu?
- Ściany równoległościanu leżącego po przeciwnych stronach są do siebie równoległe i równe.
- Jeśli narysujesz przekątne z jednego wierzchołka do drugiego, punkt przecięcia tych przekątnych podzieli je na pół.
- Boki równoległościanu leżącego pod tym samym kątem do podstawy będą równe. Innymi słowy, kąty boków współkierunkowych będą sobie równe.
Jakie są rodzaje równoległościanów?
Teraz dowiedzmy się, czym są równoległościany. Jak wspomniano powyżej, istnieje kilka rodzajów tej figury: prosty, prostokątny, ukośny równoległościan, a także sześcian i romboedr. Czym się od siebie różnią? Chodzi o płaszczyzny, które je tworzą, i kąty, które tworzą.
Przyjrzyjmy się bliżej każdemu z wymienionych typów równoległościanów.
- Jak sama nazwa wskazuje, skośne pudełko ma skośne ściany, a mianowicie te ściany, które nie są pod kątem 90 stopni w stosunku do podstawy.
- Ale dla prawego równoległościanu kąt między podstawą a ścianą wynosi zaledwie dziewięćdziesiąt stopni. Z tego powodu ten typ równoległościanu ma taką nazwę.
- Jeśli wszystkie ściany równoległościanu są tymi samymi kwadratami, to tę figurę można uznać za sześcian.
- Prostokątny równoległościan ma swoją nazwę ze względu na płaszczyzny, które go tworzą. Jeśli wszystkie są prostokątami (łącznie z podstawą), to jest to prostopadłościan. Ten typ równoległościanu nie jest tak powszechny. W języku greckim romboedr oznacza twarz lub podstawę. Tak nazywa się trójwymiarowa figura, w której twarze są rombami.
Podstawowe wzory na równoległościan
Objętość równoległościanu jest równa iloczynowi pola podstawy i jego wysokości prostopadłej do podstawy.
Pole powierzchni bocznej będzie równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości.
Znając podstawowe definicje i wzory, możesz obliczyć pole podstawy i objętość. Możesz wybrać bazę według własnego uznania. Jednak z reguły prostokąt jest używany jako podstawa.