Zbiór liczb niewymiernych jest zwykle oznaczony wielką literą ja (\ displaystyle \ mathbb (ja)) w odważnym stylu, bez cieniowania. Zatem: ja = R ∖ Q (\ Displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ backslash \ mathbb (Q)), czyli zbiór liczb niewymiernych jest różnicą między zbiorami liczb rzeczywistych i wymiernych.
Istnienie liczb niewymiernych, a dokładniej odcinków niewspółmiernych z odcinkiem długości jednostkowej, było już znane starożytnym matematykom: znali na przykład niewspółmierność przekątnej i boku kwadratu, co jest równoznaczne z irracjonalnością numer.
Encyklopedyczny YouTube
-
1 / 5
Irracjonalne są:
Przykłady dowodów irracjonalności
Pierwiastek z 2
Załóżmy odwrotnie: 2 (\ Displaystyle (\ sqrt (2))) racjonalne, to znaczy przedstawiane jako ułamek m n (\ Displaystyle (\ Frac (m) (n))), Gdzie m (\ displaystyle m) jest liczbą całkowitą oraz n (\ displaystyle n)- Liczba naturalna .
Podnieśmy rzekomą równość do kwadratu:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ Displaystyle (\ sqrt (2)) = (\ Frac (m) (n)) \ Rightarrow 2 = (\ Frac (m ^ (2) ))(n^(2)))\Strzałka w prawo m^(2)=2n^(2)).Fabuła
Antyk
Pojęcie liczb niewymiernych zostało domyślnie przyjęte przez indyjskich matematyków w VII wieku p.n.e., kiedy Manava (ok. 750 p.n.e. - ok. 690 p.n.e.) odkrył, że pierwiastków kwadratowych niektórych liczb naturalnych, takich jak 2 i 61, nie można wyrazić wprost [ ] .
Pierwszy dowód na istnienie liczb niewymiernych przypisuje się zwykle Pitagorejczykowi Hippazosowi z Metapontusa (ok. 500 r. p.n.e.). W czasach pitagorejczyków wierzono, że istnieje pojedyncza jednostka długości, wystarczająco mała i niepodzielna, która obejmuje liczbę całkowitą razy w dowolnym odcinku [ ] .
Nie ma dokładnych danych, która liczba została udowodniona przez Hippasusa jako irracjonalna. Według legendy znalazł go, badając długości boków pentagramu. Można zatem przypuszczać, że był to złoty podział [ ] .
Greccy matematycy nazywali ten stosunek wielkościami niewspółmiernymi alogos(niewypowiedziane), ale według legend nie okazywali Hippasosowi należnego szacunku. Istnieje legenda, że Hippasos dokonał odkrycia podczas podróży morskiej i został wyrzucony za burtę przez innych pitagorejczyków „za stworzenie elementu wszechświata zaprzeczającego doktrynie, że wszystkie byty we wszechświecie można sprowadzić do liczb całkowitych i ich stosunków”. Odkrycie Hippasosa stanowiło poważny problem dla matematyki pitagorejskiej, burząc podstawowe założenie, że liczby i obiekty geometryczne są jednym i nierozłącznym.
Liczby całkowite
Definicja liczb naturalnych to liczby całkowite dodatnie. Liczby naturalne służą do liczenia obiektów i do wielu innych celów. Oto liczby:
Jest to naturalny ciąg liczb.
Czy zero jest liczbą naturalną? Nie, zero nie jest liczbą naturalną.
Ile jest liczb naturalnych? Istnieje nieskończona liczba liczb naturalnych.
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna? Jeden to najmniejsza liczba naturalna.
Jaka jest największa liczba naturalna? Nie da się tego określić, gdyż istnieje nieskończona liczba liczb naturalnych.Suma liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Zatem dodając liczby naturalne a i b:
Iloczyn liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn liczb naturalnych a i b:
c jest zawsze liczbą naturalną.
Różnica liczb naturalnych Nie zawsze istnieje liczba naturalna. Jeśli odjemna jest większa od odejmowania, to różnica liczb naturalnych jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie nią nie jest.
Iloraz liczb naturalnych nie zawsze jest liczbą naturalną. Jeśli dla liczb naturalnych a i b
gdzie c jest liczbą naturalną, oznacza to, że a jest podzielne przez b. W tym przykładzie a jest dywidendą, b jest dzielnikiem, c jest ilorazem.
Dzielnik liczby naturalnej to liczba naturalna, przez którą pierwsza liczba jest podzielna przez całość.
Każda liczba naturalna dzieli się przez jeden i samą siebie.
Liczby naturalne pierwsze dzielą się tylko przez jeden i same siebie. Mamy tu na myśli całkowity podział. Przykład, cyfry 2; 3; 5; Liczba 7 dzieli się tylko przez jeden i samą siebie. Są to proste liczby naturalne.
Jeden nie jest uważany za liczbę pierwszą.
Liczby większe niż jeden i niebędące liczbami pierwszymi nazywane są liczbami złożonymi. Przykłady liczb złożonych:
Jeden nie jest uważany za liczbę złożoną.
Zbiór liczb naturalnych składa się z jedynki, liczb pierwszych i liczb złożonych.
Zbiór liczb naturalnych oznacza się łacińską literą N.
Właściwości dodawania i mnożenia liczb naturalnych:
przemienność dodawania
asocjacyjna własność dodawania
(a + b) + do = za + (b + c);
przemienność mnożenia
asocjacyjna własność mnożenia
(ab) do = a (bc);
rozdzielność mnożenia
ZA (b + c) = ab + ac;
Wszystkie liczby
Liczby całkowite to liczby naturalne, zero i przeciwieństwa liczb naturalnych.
Przeciwieństwem liczb naturalnych są liczby całkowite ujemne, na przykład:
1; -2; -3; -4;...
Zbiór liczb całkowitych oznacza się łacińską literą Z.
Liczby wymierne
Liczby wymierne to liczby całkowite i ułamki zwykłe.
Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka okresowego. Przykłady:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
Z przykładów jasno wynika, że dowolna liczba całkowita jest ułamkiem okresowym z okresem zerowym.
Każdą liczbę wymierną można przedstawić jako ułamek m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Wyobraźmy sobie liczbę 3,(6) z poprzedniego przykładu jako taki ułamek.
Definicja liczby niewymiernej
Liczby niewymierne to te liczby, które w zapisie dziesiętnym reprezentują nieskończone, nieokresowe ułamki dziesiętne.
Na przykład liczby uzyskane przez pierwiastek kwadratowy z liczb naturalnych są niewymierne i nie są kwadratami liczb naturalnych. Ale nie wszystkie liczby niewymierne uzyskuje się przez pierwiastkowanie kwadratowe, ponieważ liczba pi otrzymana przez dzielenie jest również niewymierna i jest mało prawdopodobne, aby ją uzyskać, próbując wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej.
Własności liczb niewymiernych
W przeciwieństwie do liczb zapisywanych w postaci nieskończonych miejsc po przecinku, tylko liczby niewymierne są zapisywane w postaci nieokresowych nieskończonych miejsc po przecinku.
Suma dwóch nieujemnych liczb niewymiernych może w rezultacie być liczbą wymierną.
Liczby niewymierne określają cięcia Dedekinda w zbiorze liczb wymiernych, w klasie niższej nie ma liczby największej, a w klasie wyższej nie ma mniejszej.
Każda rzeczywista liczba przestępna jest niewymierna.
Wszystkie liczby niewymierne są albo algebraiczne, albo przestępne.
Zbiór liczb niewymiernych na prostej jest gęsto umiejscowiony i pomiędzy dowolnymi dwiema jego liczbami z pewnością znajduje się liczba niewymierna.
Zbiór liczb niewymiernych jest nieskończony, nieprzeliczalny i należy do zbioru drugiej kategorii.
Podczas wykonywania dowolnej operacji arytmetycznej na liczbach wymiernych, z wyjątkiem dzielenia przez 0, wynikiem będzie liczba wymierna.
Kiedy dodajemy liczbę wymierną do liczby niewymiernej, wynikiem jest zawsze liczba niewymierna.
Dodając liczby niewymierne, możemy otrzymać liczbę wymierną.
Zbiór liczb niewymiernych nie jest parzysty.Liczby nie są irracjonalne
Czasami dość trudno jest odpowiedzieć na pytanie, czy liczba jest niewymierna, zwłaszcza w przypadkach, gdy liczba ta ma postać ułamka dziesiętnego lub ma postać wyrażenia liczbowego, pierwiastka lub logarytmu.
Dlatego nie będzie zbędne wiedzieć, które liczby nie są irracjonalne. Jeśli zastosujemy się do definicji liczb niewymiernych, to już wiemy, że liczby wymierne nie mogą być niewymierne.
Liczby niewymierne nie są:
Po pierwsze, wszystkie liczby naturalne;
Po drugie, liczby całkowite;
Po trzecie, zwykłe ułamki;
Po czwarte, różne liczby mieszane;
Po piąte, są to nieskończone okresowe ułamki dziesiętne.Oprócz wszystkich powyższych liczba niewymierna nie może być dowolną kombinacją liczb wymiernych, która jest wykonywana przez znaki operacji arytmetycznych, takie jak +, -, , :, ponieważ w tym przypadku wynik dwóch liczb wymiernych również będzie liczba wymierna.
Zobaczmy teraz, które liczby są niewymierne:
Czy wiesz o istnieniu fanklubu, w którym fani tego tajemniczego zjawiska matematycznego poszukują coraz więcej informacji na temat Pi, próbując rozwikłać jego tajemnicę? Członkiem tego klubu może zostać każda osoba, która zna na pamięć określoną liczbę Pi po przecinku;
Czy wiesz, że w Niemczech, pod ochroną UNESCO, znajduje się pałac Castadel Monte, dzięki któremu można obliczyć liczbę Pi. Król Fryderyk II poświęcił temu numerowi cały pałac.
Okazuje się, że przy budowie Wieży Babel próbowano wykorzystać liczbę Pi. Ale niestety doprowadziło to do upadku projektu, ponieważ w tym czasie dokładne obliczenie wartości Pi nie zostało wystarczająco zbadane.
Piosenkarka Kate Bush na swojej nowej płycie nagrała piosenkę „Pi”, w której usłyszano sto dwadzieścia cztery numery ze słynnej serii numerów 3, 141….
Wszystkie liczby wymierne można przedstawić w postaci ułamka zwykłego. Dotyczy to liczb całkowitych (na przykład 12, –6, 0) i skończonych ułamków dziesiętnych (na przykład 0,5; –3,8921) i nieskończonych okresowych ułamków dziesiętnych (na przykład 0,11(23); –3 ,(87 )).
Jednakże nieskończone nieokresowe ułamki dziesiętne nie można przedstawić w postaci ułamków zwykłych. Oto czym są liczby niewymierne(czyli irracjonalne). Przykładem takiej liczby jest liczba π, która jest w przybliżeniu równa 3,14. Nie można jednak określić, co to dokładnie jest równe, ponieważ po liczbie 4 następuje nieskończona seria innych liczb, w których nie można rozróżnić powtarzających się okresów. Co więcej, choć liczby π nie można wyrazić precyzyjnie, ma ona określone znaczenie geometryczne. Liczba π to stosunek długości dowolnego okręgu do długości jego średnicy. Zatem liczby niewymierne rzeczywiście istnieją w przyrodzie, podobnie jak liczby wymierne.
Innym przykładem liczb niewymiernych są pierwiastki kwadratowe liczb dodatnich. Wyodrębnianie pierwiastków z niektórych liczb daje wartości wymierne, z innych - irracjonalne. Na przykład √4 = 2, czyli pierwiastek z 4 jest liczbą wymierną. Ale √2, √5, √7 i wiele innych dają liczby niewymierne, to znaczy można je wydobyć jedynie w przybliżeniu, zaokrąglając do określonego miejsca po przecinku. W takim przypadku ułamek staje się nieokresowy. Oznacza to, że nie można dokładnie i zdecydowanie określić, jaki jest pierwiastek tych liczb.
Zatem √5 jest liczbą leżącą pomiędzy liczbami 2 i 3, ponieważ √4 = 2 i √9 = 3. Możemy również stwierdzić, że √5 jest bliżej 2 niż 3, ponieważ √4 jest bliżej √5 niż √9 do √5. Rzeczywiście, √5 ≈ 2,23 lub √5 ≈ 2,24.
Liczby niewymierne są uzyskiwane także w innych obliczeniach (a nie tylko podczas wyodrębniania pierwiastków) i mogą być ujemne.
W odniesieniu do liczb niewymiernych można powiedzieć, że niezależnie od tego, jaki segment jednostkowy weźmiemy do pomiaru długości wyrażonej taką liczbą, nie będziemy w stanie jej jednoznacznie zmierzyć.
W operacjach arytmetycznych obok liczb wymiernych mogą brać udział liczby niewymierne. Jednocześnie istnieje szereg prawidłowości. Na przykład, jeśli w operacji arytmetycznej biorą udział tylko liczby wymierne, wówczas wynikiem jest zawsze liczba wymierna. Jeżeli w operacji biorą udział tylko osoby niewymierne, to nie można jednoznacznie stwierdzić, czy wynikiem będzie liczba wymierna czy niewymierna.
Na przykład, jeśli pomnożysz dwie liczby niewymierne √2 * √2, otrzymasz 2 - jest to liczba wymierna. Z drugiej strony √2 * √3 = √6 jest liczbą niewymierną.
Jeśli operacja arytmetyczna obejmuje liczby wymierne i niewymierne, wówczas wynik będzie niewymierny. Na przykład 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.
Dlaczego √17 – 4 jest liczbą niewymierną? Wyobraźmy sobie, że otrzymujemy liczbę wymierną x. Wtedy √17 = x + 4. Ale x + 4 jest liczbą wymierną, ponieważ założyliśmy, że x jest wymierne. Liczba 4 jest również wymierna, więc x + 4 jest wymierne. Jednak liczba wymierna nie może być równa liczbie niewymiernej √17. Dlatego założenie, że √17 – 4 daje wynik racjonalny, jest błędne. Wynik operacji arytmetycznej będzie niewymierny.
Istnieje jednak wyjątek od tej reguły. Jeśli pomnożymy liczbę niewymierną przez 0, otrzymamy liczbę wymierną 0.
Starożytni matematycy znali już odcinek długości jednostkowej: znali na przykład niewspółmierność przekątnej i boku kwadratu, co jest równoznaczne z niewymiernością liczby.
Irracjonalne są:
Przykłady dowodów irracjonalności
Pierwiastek z 2
Załóżmy odwrotnie: jest racjonalny, to znaczy jest reprezentowany w postaci ułamka nieredukowalnego, gdzie i są liczbami całkowitymi. Podnieśmy rzekomą równość do kwadratu:
.Wynika z tego, że nawet jest parzyste i . Niech będzie tam, gdzie jest całość. Następnie
Dlatego nawet oznacza parzysty i . Stwierdziliśmy, że i są parzyste, co zaprzecza nieredukowalności ułamka . Oznacza to, że pierwotne założenie było błędne i jest to liczba niewymierna.
Logarytm binarny liczby 3
Załóżmy odwrotnie: jest wymierny, to znaczy jest przedstawiany jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi. Ponieważ , i można wybrać jako dodatnie. Następnie
Ale parzyste i dziwne. Otrzymujemy sprzeczność.
mi
Fabuła
Pojęcie liczb niewymiernych zostało domyślnie przyjęte przez indyjskich matematyków w VII wieku p.n.e., kiedy Manava (ok. 750 p.n.e. - ok. 690 p.n.e.) odkrył, że pierwiastków kwadratowych niektórych liczb naturalnych, takich jak 2 i 61, nie można wyrazić wprost .
Pierwszy dowód na istnienie liczb niewymiernych przypisuje się zwykle Hippazosowi z Metapontusa (ok. 500 r. p.n.e.), pitagorejczykowi, który znalazł ten dowód badając długości boków pentagramu. W czasach pitagorejczyków wierzono, że istnieje pojedyncza jednostka długości, wystarczająco mała i niepodzielna, która wchodziła w dowolny odcinek całkowitą liczbę razy. Hippazos argumentował jednak, że nie ma jednej jednostki długości, gdyż założenie o jej istnieniu prowadzi do sprzeczności. Pokazał, że jeśli przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego zawiera całkowitą liczbę odcinków jednostkowych, to liczba ta musi być zarówno parzysta, jak i nieparzysta. Dowód wyglądał następująco:
- Stosunek długości przeciwprostokątnej do długości ramienia trójkąta prostokątnego równoramiennego można wyrazić jako A:B, Gdzie A I B wybrany jako najmniejszy.
- Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: A² = 2 B².
- Ponieważ A- nawet, A musi być parzysta (ponieważ kwadrat liczby nieparzystej byłby nieparzysty).
- Ponieważ A:B nieskracalny B musi być dziwne.
- Ponieważ A nawet, oznaczamy A = 2y.
- Następnie A² = 4 y² = 2 B².
- B² = 2 y² zatem B- nawet wtedy B nawet.
- Jednak zostało to udowodnione B dziwne. Sprzeczność.
Greccy matematycy nazywali ten stosunek wielkościami niewspółmiernymi alogos(niewypowiedziane), ale według legend nie okazywali Hippasosowi należnego szacunku. Istnieje legenda, że Hippasos dokonał odkrycia podczas podróży morskiej i został wyrzucony za burtę przez innych pitagorejczyków „za stworzenie elementu wszechświata zaprzeczającego doktrynie, że wszystkie byty we wszechświecie można sprowadzić do liczb całkowitych i ich stosunków”. Odkrycie Hippasosa stanowiło poważny problem dla matematyki pitagorejskiej, burząc podstawowe założenie, że liczby i obiekty geometryczne są jednym i nierozłącznym.
Zobacz też
Notatki
Systemy numeryczne Rachunkowość
zestawyLiczby naturalne () Liczby całkowite ()