Określ rodzaj równania różniczkowego cząstkowego. Częściowe równanie różniczkowe

21.09.2019

Wcześniej rozważano zwykłe równania różniczkowe. Ich decyzje zależą tylko od jednej zmiennej: ,
itp. W wielu problemach praktycznych poszukiwane funkcje zależą od kilku zmiennych, a równania opisujące takie problemy mogą zawierać pochodne cząstkowe poszukiwanych funkcji. Nazywają się Równania różniczkowe cząstkowe.

Na przykład wiele problemów w mechanice kontinuum prowadzi do rozwiązania cząstkowych równań różniczkowych. Tutaj szukanymi funkcjami są zazwyczaj gęstość, temperatura, napięcie itp., których argumentami są współrzędne rozpatrywanego punktu w przestrzeni, a także czas.

Pełne matematyczne sformułowanie problemu wraz z równaniami różniczkowymi zawiera również pewne dodatkowe warunki. Jeżeli poszukuje się rozwiązania na ograniczonym obszarze, wówczas na jego granicy określa się warunki, zwane warunkami brzegowymi (krawędziowymi). Takie problemy nazywane są problemami brzegowymi równań różniczkowych cząstkowych.

Jeśli jedną ze zmiennych niezależnych w rozważanym problemie jest czas T, wówczas w początkowej chwili ustawiane są pewne warunki (na przykład wartości wymaganych parametrów). , zwane warunkami początkowymi. Problem polegający na rozwiązaniu równania w danych warunkach początkowych nazywany jest problemem Cauchy'ego dla cząstkowego równania różniczkowego. W tym przypadku problem rozwiązuje się w nieograniczonej przestrzeni i nie są określone warunki brzegowe.

Problemy, przy formułowaniu których ustala się warunki brzegowe i początkowe, nazywane są niestacjonarnymi (lub mieszanymi) problemami wartości brzegowych. Powstałe rozwiązania zmieniają się w czasie.

Zatem modele matematyczne procesów fizycznych i innych opisywane są za pomocą równań różniczkowych cząstkowych. Argumentami funkcji tych równań są współrzędne przestrzenne
i czas .

Równania pierwszego rzędu. Równania pierwszego rzędu nazywane są także równaniami transportu. Wyjaśnia to fakt, że takie równania opisują procesy przenoszenia cząstek w ośrodkach, propagację zaburzeń itp.

Jego rozwiązanie jest interesujące nie tylko z praktycznego punktu widzenia; W jeszcze większym stopniu równanie to jest przydatne w opracowywaniu i badaniu schematów różnicowych.

Zakładamy, że wymagana funkcja zależy od czasu i jedną zmienną przestrzenną x. Następnie równanie transportu liniowego można zapisać jako

Tutaj - prędkość transferu.

Równania drugiego rzędu. Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu to związek między funkcją
Lub
i jego pochodne cząstkowe postaci.

(1)

Jeśli zmienna funkcja zależy od I , wówczas równanie można zapisać w następujący sposób:

(2)

Jeśli
, wówczas równania 1-2 nazywane są jednorodnymi, w przeciwnym razie niejednorodnymi.

Jeśli
, wówczas równanie (2) należy do klasy równań eliptycznych;

Jeśli
, to jest to równanie hiperboliczne;

Jeśli
- równanie paraboliczne.

Gdy
nie ma znaku stałego, otrzymuje się równanie typu mieszanego.

Klasyczne równania eliptyczne obejmują:

Równanie Laplace'a
, który służy do opisu magnetycznych i stacjonarnych pól termicznych;

Równanie Poissona
, który jest stosowany w elektrostatyce, teorii sprężystości i innych naukach;

Równanie Helmholtza
, opisujący stałe procesy oscylacyjne.

Operator Laplace'a:

w przypadku jednowymiarowym
;

w przypadku dwuwymiarowym
;

w przypadku trójwymiarowym
.

Wśród równań hiperbolicznych możemy wyróżnić:

Równania falowe:

jednowymiarowy
, który opisuje wymuszone drgania struny;

dwuwymiarowy
, który opisuje drgania membrany.

Równanie telegraficzne opisujące zmianę potencjału w liniach energetycznych. Tutaj
- współczynnik samoindukcji, pojemność, rezystancja, charakterystyka strat na jednostkę długości linii.

Klasyczne równania paraboliczne obejmują równanie ciepła
.

Aby znaleźć jednoznaczne rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego, konieczne jest określenie warunków początkowych i brzegowych. Warunki początkowe nazywane są zwykle warunkami określonymi w momencie początkowym . Warunki brzegowe są określone dla różnych wartości zmiennych przestrzennych. Dla równań eliptycznych podaje się jedynie warunki brzegowe, które można podzielić na trzy klasy:

Warunek Dirichleta
- w tym przypadku na granicy obszaru Г, w którym poszukuje się rozwiązania, określona jest pewna funkcja ciągła . W przypadku jednowymiarowym warunek ten przyjmuje postać:
I
Gdzie
- przedział, w którym poszukuje się rozwiązania problemu jednowymiarowego;

Warunek Neumanna
- w tym przypadku na granicy obszaru - określona jest pochodna kierunkowa zewnętrzna normalna;

Stan mieszany
.

W przypadku równań parabolicznych oprócz warunków brzegowych konieczne jest określenie jednego początkowego, który może wyglądać następująco:
.

W przypadku równań hiperbolicznych warunki początkowe mogą być następujące
I
.

Rozwiązanie szeregu równań różniczkowych cząstkowych można otrzymać analitycznie. Jedną z najczęściej stosowanych metod jest metoda separacji zmiennych (metoda Fouriera). Przyjrzyjmy się bliżej tej metodzie.

O metodach rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych.

Rozwiązanie najprostszych problemów równań różniczkowych cząstkowych można przeprowadzić w wielu przypadkach Metody analityczne, rozpatrywane w odpowiednich działach matematyki. Dotyczy to głównie niektórych równań pierwszego rzędu, ale także równań drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Metody analityczne są przydatne nie tylko dlatego, że umożliwiają uzyskanie rozwiązań ogólnych, które można wielokrotnie stosować. Mają one także ogromne znaczenie przy budowie metod numerycznych. Testowanie schematów różnicowych na znanych rozwiązaniach najprostszych równań pozwala ocenić te schematy i poznać ich mocne i słabe strony.

Wśród metody numeryczne Metody różnicowe są szeroko stosowane. Polegają one na wprowadzeniu w rozpatrywanym regionie określonej siatki różnic. Wartości pochodnych, warunków początkowych i brzegowych wyrażane są poprzez wartości funkcji w węzłach siatki, w wyniku czego powstaje układ równań algebraicznych zwany schematem różnicowym. Rozwiązując ten układ równań, można znaleźć wartości funkcji siatki w węzłach siatki, które w przybliżeniu uważa się za równe wartościom poszukiwanych funkcji.

Podane równania nazywane są równania fizyki matematycznej. Wiele problemów stosowanych sprowadza się do ich rozwiązania. Zanim przejdziemy do omówienia numerycznych metod rozwiązywania tych równań, rozważmy główne zagadnienia konstruowania schematów różnicowych.

2. Wprowadzenie do metod gridowych, pojęcia siatki, szablonu, warstwy.

O budowie schematów różnicowych. Jak już wspomniano, konstrukcja schematów różnicowych do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych opiera się na wprowadzeniu siatki do rozważanej przestrzeni. Węzły siatki są punktami projektowymi.

Przykład prostego prostokątnego obszaru G(x, y) z granicą Г w przypadku dwuwymiarowym pokazano na rys. 1, A. Boki prostokąta
,
podzielone są punktowo na elementarne segmenty
,
I
,
. Przez te punkty poprowadzono dwie rodziny linii współrzędnych
,
tworząc siatkę z prostokątnej komórki. Dowolny węzeł tej siatki, którego numer (
), określone przez współrzędne (
).

Ryż. 1. Siatka prostokątna ( A), element siatki 3D ( B)

Węzły siatki leżące na granicy obszaru G G, nazywane są węzłami granicznymi. Wszystkie pozostałe węzły są wewnętrzne.

W podobny sposób wprowadza się siatki dla obszarów wielowymiarowych. Na ryc. 1, B pokazuje element siatki w postaci prostokątnego równoległościanu dla obszaru trójwymiarowego.

Próbka– kombinacja zastosowanych węzłów

Ponieważ warunki początkowe i brzegowe przy stawianiu problemów formułowane są na granicy dziedziny obliczeniowej, można je uznać za określone w węzłach granicznych siatki. Czasami punkty graniczne obszaru nie są węzłami siatki, co ma miejsce w przypadku obszarów o złożonym kształcie. Następnie albo wprowadza się dodatkowe węzły na przecięciu linii współrzędnych z granicą, albo granicę w przybliżeniu zastępuje się linią przerywaną przechodzącą przez węzły blisko granicy. Warunki brzegowe są przenoszone na tę linię przerywaną.

W wielu przypadkach złożone obszary krzywoliniowe można sprowadzić do najprostszej postaci, przechodząc do nowych zmiennych niezależnych. Na przykład obszar czworokątny G, pokazany na ryc. 2, można sprowadzić do kwadratu jednostkowego G" wprowadzając nowe zmienne £, q zamiast #, y za pomocą relacji

Należy przekształcić równania oraz warunki początkowe i brzegowe na nowe zmienne. W pobliżu G" będąc w okolicy możesz wejść w siatkę prostokątną G będzie odpowiadać siatce z nierównomiernie rozmieszczonymi węzłami i zakrzywionymi komórkami,

W przyszłości konstruując schematy różnicowe, dla uproszczenia będziemy korzystać z siatek prostokątnych (lub z komórek w postaci równoległościanów prostokątnych w przypadku trójwymiarowym), a równania będziemy pisać we współrzędnych kartezjańskich (
). W praktyce konieczne jest rozwiązywanie problemów w różnych krzywoliniowych układach współrzędnych: polarnym, cylindrycznym, sferycznym itp. Na przykład, jeśli wygodnie jest zdefiniować obszar obliczeniowy we współrzędnych biegunowych (
), następnie siatka jest wprowadzana stopniowo
I
zgodnie z wektorem promienia i kątem biegunowym.

Czasami w prostej dziedzinie obliczeniowej wprowadzana jest niejednorodna siatka. W szczególności w niektórych przypadkach konieczne jest udoskonalenie węzłów w celu dokładniejszych obliczeń w niektórych częściach rozważanego regionu. W tym przypadku obszary koncentracji węzłów są albo znane z góry, albo wyznaczane w procesie rozwiązywania problemu (np. w zależności od gradientów poszukiwanych funkcji).

Aby skonstruować schemat różnicowy, podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych, pochodne cząstkowe w równaniu zastępuje się relacjami różnic skończonych według pewnego szablonu (patrz rozdział 3, § 1). W tym przypadku dokładne wartości poszukiwanej funkcji U są zastępowane wartościami funkcji siatki w węzłach siatki różnicowej.

Jako przykład skonstruujemy pewne schematy różnicowe do rozwiązywania równania ciepła dla danych warunków początkowych i brzegowych. Zapiszmy mieszane zadanie brzegowe w postaci

,(6)

Gdzie
- początkowy rozkład temperatury U(Na T= 0);
- rozkład temperatur na końcach rozpatrywanego segmentu ( X= 0, 1) w dowolnym momencie T. Należy pamiętać, że warunki początkowe i brzegowe muszą być spójne, tj.

Wprowadźmy jednolitą prostokątną siatkę za pomocą linii współrzędnych
,
I
,
,I - odpowiednio kroki siatki w kierunkach X I T. Oznaczamy wartości funkcji w węzłach siatki
. Zastąpimy te wartości odpowiednimi wartościami funkcji siatki które spełniają schemat różnicowy.

Zastępując pochodne cząstkowe żądanej funkcji w pierwotnym równaniu (6) za pomocą relacji różnic skończonych, otrzymujemy schemat różnicowy

(7)

Podczas zapisywania tego diagramu dla każdego węzła używany jest szablon pokazany na ryc. 1. 2, A.

Dla tego samego równania można skonstruować różne schematy różnic. W szczególności, jeśli skorzystasz z szablonu pokazanego na ryc. 2, B, to zamiast (7) otrzymujemy schemat różnicowy

(8)

W obu przypadkach uzyskuje się układ równań algebraicznych w celu wyznaczenia wartości funkcji siatki w węzłach wewnętrznych. Wartości w węzłach granicznych wynikają z warunków brzegowych

Zbiór węzłów w T= const, tj. dla stałej wartości , zwany warstwa. Schemat (7) pozwala na sekwencyjne znajdowanie wartości
,
NA
warstwę poprzez odpowiednie wartości NA warstwa. Takie schematy nazywane są oczywiste.

Aby rozpocząć liczenie o godz J= 1, potrzebne jest rozwiązanie na warstwie początkowej. Jest to określone przez warunek początkowy

W przeciwieństwie do schematu jawnego, każde równanie różnicowe (8) zawiera na każdej nowej warstwie wartości niewiadomych w trzech punktach, więc nie da się od razu wyznaczyć tych wartości poprzez znane rozwiązanie z poprzedniej warstwy. Takie schematy nazywane są domniemany. W tym przypadku schemat różnicowy (8) składa się z liniowych równań trójpunktowych, tj. każde równanie zawiera nieznaną funkcję w trzech punktach danej warstwy. Takie układy równań liniowych z macierzą trójdiagonalną można rozwiązać metodą przemiatania, w wyniku czego zostaną znalezione wartości funkcji siatki w węzłach.

Zauważ, że w rozważanym przykładzie otrzymujemy obwody dwuwarstwowe, gdy każde równanie różnicowe zawiera wartości funkcji z dwóch warstw - dolnej, na której rozwiązanie zostało już znalezione, i górnej, w węzłach, których rozwiązania się szuka.

Stosując rozważaną metodę konstruowania schematów różnicowych, gdy poszczególne pochodne cząstkowe zawarte w równaniu zostaną zastąpione relacjami różnic skończonych dla funkcji siatki (lub wyrażeń siatkowych), można utworzyć schematy wielowarstwowe, a także schematy o wysokich rzędach dokładności Utworzony.

Równanie Laplace'a. Wiele stacjonarnych problemów fizycznych (badania potencjalnych przepływów płynu, wyznaczanie kształtu obciążonej membrany, problemy przewodnictwa cieplnego i dyfuzji w przypadkach stacjonarnych itp.) sprowadza się do rozwiązania równania Poissona Uprzejmy

Jeśli
, to równanie to nazywa się równaniem Laplace'a. Dla uproszczenia rozważymy dwuwymiarowe równanie Laplace'a

Będziemy szukać rozwiązania tego równania dla pewnego ograniczonego obszaru G zmiany zmiennych niezależnych x, y. Granica regionu G jest linią zamkniętą L. Aby w pełni sformułować problem wartości brzegowych, oprócz równania Laplace'a, konieczne jest określenie warunku brzegowego na granicy L. Weźmy to w formie

Problem polegający na rozwiązaniu równania Laplace'a (lub Poissona) dla zadanych wartości pożądanej funkcji na granicy domeny obliczeniowej nazywa się Problem Dirichleta.

Jednym ze sposobów rozwiązywania stacjonarnych problemów eliptycznych, w tym problemów wartości brzegowych, jest sprowadzenie ich do rozwiązania jakiegoś fikcyjnego problemu niestacjonarnego (hiperbolicznego lub parabolicznego), którego rozwiązanie znajduje się dla wystarczająco dużych wartości T blisko rozwiązania pierwotnego problemu. To rozwiązanie nazywa się sposób ustalenia.

Ponieważ rozwiązanie U(x, y) naszego równania (2) nie zależy od czasu, to możemy do tego równania dodać człon równy zeru (dla dokładnego rozwiązania) . Wtedy równanie (2) przyjmie postać

Jest to znane nam równanie przewodzenia ciepła, dla którego zbudowano już schematy różnicowe. Pozostaje tylko ustawić warunek początkowy. Można go przyjąć w niemal dowolnej formie, zgodnej z warunkami brzegowymi. Włóżmy

Warunek brzegowy (3) pozostaje stacjonarny, tj. niezależny od czasu.

Proces numerycznego rozwiązania równania (4) z warunkami (3), (5) polega na przejściu w
od dowolnej wartości (5) do pożądanego rozwiązania stacjonarnego. Liczenie prowadzi się do momentu osiągnięcia przez roztwór trybu stacjonarnego. Naturalnie ograniczamy się do rozwiązywania dla niektórych wystarczająco dużych , jeżeli wymagane wartości na dwóch kolejnych warstwach pokrywają się z danym stopniem dokładności.

Metoda ustalania faktycznie reprezentuje iteracyjny proces rozwiązywania problemu, a przy każdej iteracji wartości pożądanej funkcji uzyskuje się poprzez numeryczne rozwiązanie jakiegoś problemu pomocniczego.

Aby rozwiązać problem Dirichleta, można również skonstruować schemat różnicowy, przybliżając równanie (2). Wprowadźmy siatkę w prostokątnym obszarze G za pomocą linii współrzędnych X= stała i y = stała. Dla uproszczenia przyjmijmy wartości kroków w zmiennych X I Na równy H(zakłada się, że boki obszaru G są współmierne). Wartości funkcji U w węzłach
zamień na wartości funkcji siatki . Następnie aproksymując drugie pochodne równania (2) za pomocą relacji różnic skończonych, otrzymujemy równanie różnicowe (wzór pokazano na rysunku):

(6)

Równanie to można przedstawić jako układ liniowych równań algebraicznych dotyczących wartości funkcji siatki w węzłach. Układ ten można zapisać w postaci

Wartości funkcji siatki w węzłach znajdujących się na granicy domeny obliczeniowej można znaleźć z warunku brzegowego (3):

W teorii schematów różnicowych udowodniono, że istnieje rozwiązanie skonstruowanego problemu różnicy, a sam schemat jest stabilny.

Każde równanie układu (7) (z wyjątkiem tych, które odpowiadają węzłom położonym w pobliżu granic) zawiera pięć niewiadomych. Jedną z najczęstszych metod rozwiązywania tego układu równań liniowych jest metoda iteracyjna. Każde z równań piszemy w dozwolonej formie w stosunku do wartości w węźle centralnym (patrz rysunek):

Proces iteracji jest kontrolowany przez maksymalne odchylenie M wartości funkcji siatki w węzłach dla dwóch kolejnych iteracji. Jeśli jego wartość osiągnie pewną zadaną małą liczbę , iteracje zatrzymują się.

Rozwiązywanie równania Laplace'a w programie Mathcad. Mathcad zapewnia wbudowane funkcje rozwiązywania równań Laplace'a i Poissona zrelaksować się I wielosieciowe .

3. Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą różnic skończonych.

4. Rozwiązywanie równań eliptycznych, parabolicznych i hiperbolicznych.

5. Zagadnienia niestacjonarne.

6. Konstrukcja jawnych i ukrytych schematów różnicowych dla jednowymiarowego równania ciepła.

7. Zagadnienia przybliżenia, stabilności i zbieżności.

8. Metoda biegania.

9. Aproksymacja równań różniczkowych cząstkowych układem równań różniczkowych zwyczajnych (metoda bezpośrednia).

10. Problemy stacjonarne, schematy różnicowe, obliczenia do ustalenia.

11. Metody wariacyjno-różnicowe.

12. Metoda elementów skończonych.

Niech X 1 , X 2 , ..., X rz- dane funkcje zmiennych x 1 , x 2 , ..., x n.

Aby rozwiązać liniowe jednorodne równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:

należy rozwiązać układ równań różniczkowych zwyczajnych (równanie charakterystyczne):
:
Następnie należy przedstawić rozwiązanie w postaci:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = do 1,
φ 2 (x 1, x 2, ..., x n) = C 2,
..................
φ n- 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = do n-1,
gdzie C k są stałymi.
Następnie natychmiast otrzymujemy ogólne rozwiązanie:
,
gdzie F jest dowolną funkcją n - 1 argumenty.

Jeśli chcesz uzyskać konkretne rozwiązanie z określonymi warunkami brzegowymi, musisz zastąpić wartości zmiennych z warunków brzegowych rozwiązaniem ogólnym i znaleźć postać funkcji F.

Liniowe niejednorodne równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu

Niech X 1 , X 2 , ..., X n+1- dane funkcje zmiennych x 1 , x 2 , ..., x n i z.

Aby rozwiązać liniowe niejednorodne równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:
,
należy rozwiązać równanie charakterystyki:
.
Rozwiązanie tego układu należy przedstawić w postaci:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = do 1,
φ 2 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = do 2,
..................
φn (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = do n.
Po czym natychmiast otrzymujemy całkę ogólną w postaci ukrytej:

gdzie F jest dowolną funkcją. Całkę ogólną można również przedstawić na różne sposoby, na przykład:
φ 1 = F(φ 2, φ 3, ..., φ n),
φ 2 = F(φ 1, φ 3, ..., φ n),
itp.

Przykłady rozwiązań liniowych równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu

Równanie jednorodne

Zadanie

Znajdź ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego cząstkowego pierwszego rzędu i rozwiąż problem Cauchy'ego z określonym warunkiem brzegowym:
,
Na .

Rozwiązanie

Jest to liniowe jednorodne równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Tworzymy równanie cech:

To równanie charakterystyki zawiera trzy równania:
;
;
.
Musimy wybrać i rozwiązać dowolne dwa z nich. Następnie trzecia czynność zostanie wykonana automatycznie.

Wybieramy i rozwiązujemy pierwsze równanie:

Tutaj zmienne są już rozdzielone, zintegrujmy:

Całki tabelaryczne,

Wzmocnijmy:

Stąd

Lub:

czynnik integrujący. Pomnóż przez x -1 i przelicz:

Zintegrujmy:

Zastąpmy wcześniej uzyskane wyrażenie C 1 = x y 2:

Ogólne rozwiązanie pierwotnego równania różniczkowego cząstkowego to:

gdzie F jest dowolną funkcją dwóch argumentów F(φ 1, φ 2). Znajdźmy jego postać na podstawie warunku brzegowego
Na .

Rozważamy rozwiązanie na granicy.
Załóżmy x y = -1 :

Stąd

Na granicy
.

F (φ 1, φ 2) = φ 1 φ 2.
Ma taki sam wygląd w całym regionie.
Zastępowanie
;
,
otrzymujemy szczególne rozwiązanie pierwotnego równania różniczkowego cząstkowego przy zadanym warunku brzegowym:

Odpowiedź

Wspólna decyzja:

gdzie F jest dowolną funkcją dwóch argumentów F (φ 1, φ 2).

Rozwiązanie prywatne:

Równanie niejednorodne

Zadanie

Znajdź powierzchnię spełniającą to równanie
,
i przejście przez dany okrąg x + y + z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = za 2.

Rozwiązanie

Jest to liniowe niejednorodne równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Tworzymy równanie cech:

Zawiera trzy równania:
;
;
.
Musimy wybrać i rozwiązać dowolne dwa z nich. Wtedy trzeci zostanie spełniony automatycznie. Wybieramy pierwsze i drugie równanie.

Rozwiązujemy równanie:

Pomnóż przez 2 z i całkuj:

Całki tabelaryczne,

Wzmocnijmy:

Stąd
x = C 1 rok

Podstawiamy do drugiego równania:

Lub:

Zauważamy to zatem

To jest równanie liniowe. Rozwiązujemy za pomocą czynnika całkującego. Podziel przez y 2 i przekształć:

Zintegrujmy:

Zastąpmy otrzymane wcześniej wyrażenie i przekształćmy:

Zatem znaleźliśmy dwie całki równania charakterystyki:

Dla wygody dalszych obliczeń należy pamiętać, że funkcja stałej jest również stała. Dlatego całki zapisujemy w postaci:

Całka ogólna pierwotnego równania różniczkowego cząstkowego ma postać:
F (φ 1, φ 2) = 0
Ponieważ jednak F jest dowolną funkcją dwóch argumentów, całkę ogólną można również zapisać w postaci:
φ 1 = F(φ 2),
gdzie F jest dowolną funkcją jednego argumentu.

Znajdźmy postać tej funkcji, rozważając rozwiązanie na granicy.
Na granicy x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Z równania x + y + z = 0, z = - (x+y). Podstaw w x 2 + y 2 + z 2 = a 2 i przekształć:
x2+y2+ (x + y) 2 = za 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = a 2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = za 2
Dzieląc przez y 2, mamy

Tak więc znaleźliśmy to na granicy:

.
Podstawiamy do wyrażenia całkę ogólną:
φ 1 = F(φ 2)
.
Dokonajmy zamiany
:
.

Stwierdziliśmy więc, że na granicy funkcja F ma postać:
.
Ma zatem taki sam wygląd w całym regionie
.
Podstawiamy wyrażenia za φ 1 i φ 2:

.
Pomnóżmy przez 2 i 2.

W dalszej części założymy, że czytelnik zna już podstawy teorii równań różniczkowych zwyczajnych, czyli równań odnoszących się do nieznanej funkcji jednej zmiennej niezależnej, jej pochodnych i samej zmiennej niezależnej. Przekażemy tylko najbardziej podstawowe informacje.

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci ma nieskończoną liczbę rozwiązań określonych wzorem zawierającym jedną dowolną stałą: . Podobnie ogólne rozwiązanie równania różniczkowego drugiego rzędu zawiera dwie dowolne stałe: Wyodrębnienie konkretnego rozwiązania można dokonać poprzez podanie warunków początkowych, które dla równania drugiego rzędu mają zwykle postać Podstawienie tych wartości do rozwiązania ogólnego i na jego pochodną, otrzymujemy dwa równania na znalezienie dowolnych stałych Q i C. Jeżeli prawa strona równania – funkcja – jest ciągła w pewnym sąsiedztwie wartości i ma tam ciągłe pochodne cząstkowe, to istnieje jednoznaczne cząstkowe rozwiązanie spełniające dane warunki początkowe (twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania).

W przyszłości szczególnie często spotykane będą liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu.

Dla równania jednorodnego

rozwiązanie ogólne jest liniową kombinacją dwóch poszczególnych rozwiązań

rozwiązania tylko wtedy, gdy rozwiązania te są liniowo niezależne (tj. gdzie k jest stałą):

Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego

jest sumą jego konkretnego rozwiązania i ogólnego rozwiązania odpowiedniego równania jednorodnego.

W tej książce omówione zostaną równania różniczkowe cząstkowe, czyli równania z nieznaną funkcją kilku zmiennych i jej pochodnymi cząstkowymi. Zwykle masz do czynienia z równaniami dla funkcji dwóch lub trzech zmiennych niezależnych. Oto przykłady takich równań – zmienne niezależne, u – nieznana funkcja):

W pierwszym wierszu znajdują się równania zawierające wyłącznie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Równania takie nazywane są równaniami pierwszego rzędu. W związku z tym równania zapisane w drugim wierszu są przykładami równań drugiego rzędu.

W ogóle nie stawiamy sobie zadania badania metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych w ogóle. Rozważymy tylko te konkretne równania (a nawet wtedy nie wszystkie), które są istotne dla fizyki, mechaniki i technologii. To właśnie te równania nazywane są równaniami różniczkowymi fizyki matematycznej.

Najpierw bez dowodu zapoznamy się z najprostszymi właściwościami równań różniczkowych cząstkowych; Założymy, że nieznana funkcja i zależy od dwóch zmiennych x i y.

Weźmy równanie

Jest oczywiste, że żądana funkcja nie zależy od zmiennej, ale może być dowolną funkcją y.

Rzeczywiście różniczkując funkcję względem otrzymujemy zero, co oznacza, że spełniona jest równość (1). Zatem rozwiązanie (2) równania (1) zawiera jedną dowolną funkcję. Jest to podstawowa różnica między rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowego pierwszego rzędu a rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu, które zawiera tylko dowolną stałą. Analogicznie rozwiązanie (2) zawierające jedną dowolną funkcję nazwiemy rozwiązaniem ogólnym równania (1).

Rozważmy bardziej złożone równanie

gdzie jest podana funkcja. Wszystkie funkcje spełniające równanie (3) mają postać

gdzie jest dowolną funkcją Można to sprawdzić różniczkując obie strony równości (4) ale y. Znalezione rozwiązanie równania (3) zależy od jednej dowolnej funkcji, czyli jest ogólne.

Łatwo sprawdzić, że równanie ma rozwiązanie ogólne, gdzie jest dowolną funkcją różniczkowalną.

W tym celu przypomnijmy sobie zasadę różniczkowania złożonej funkcji kilku zmiennych (patrz paragraf 116). Jeśli , gdzie są funkcje zmiennych to

Podobne wzory obowiązują dla pochodnych ze względu na. W tym przypadku liczba argumentów pośrednich, a także liczba zmiennych niezależnych może być dowolna.

W naszym przykładzie, gdzie . Dlatego

Podstawiając te wyrażenia do równania, otrzymujemy tożsamość

W ten sam sposób można sprawdzić, że równanie ma rozwiązanie ogólne i równanie ma rozwiązanie ogólne, gdzie jest dowolna funkcja różniczkowalna.

Rozważmy teraz równania drugiego rzędu. Pozwalać

Załóżmy, że równanie (5) przyjmie postać . Rozwiązaniem ogólnym równania będzie dowolna funkcja. Wracając do funkcji i, ponownie otrzymujemy równanie pierwszego rzędu

Zgodnie z (4) jej ogólnym rozwiązaniem będzie funkcja

Ponieważ jest to dowolna funkcja y, jej całka jest również dowolną funkcją, którą oznaczamy przez . W rezultacie otrzymaliśmy rozwiązanie w formie

gdzie są dowolnymi funkcjami różniczkowalnymi. Łatwo sprawdzić, że funkcja (6) rzeczywiście spełnia równanie (5).

Do tej pory nie poruszaliśmy jeszcze kwestii znalezienia konkretnych rozwiązań. Później zostanie wyjaśnione, jakie dodatkowe warunki należy ustawić, aby za ich pomocą można było wyodrębnić konkretne rozwiązanie, czyli funkcję spełniającą zarówno równanie różniczkowe, jak i warunki dodatkowe.

Okazuje się, że równania różniczkowe fizyki matematycznej, które będziemy badać w przyszłości, mają ze sobą sporo wspólnego: wszystkie są drugiego rzędu i liniowe względem nieznanej funkcji i jej pochodnych cząstkowych.

Najczęściej wszystkie współczynniki funkcji i jej pochodne są liczbami stałymi. Ogólna postać takich równań dla funkcji u w zależności od dwóch zmiennych x i y jest następująca:

gdzie A, B, C, D, E i F są liczbami stałymi, a prawa strona to dana funkcja zmiennych x i y.

Należy zauważyć, że charakter i zachowanie rozwiązań tego równania w znacznym stopniu zależy od jego współczynników. Porozmawiamy o tym na zakończenie, po zapoznaniu się z najprostszymi równaniami typu (7) i metodami ich rozwiązywania 1).

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Wykład nr 3-4

Temat : Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu.

Pytania:

1. Ogólna postać równania drugiego rzędu. Liniowe równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu. Równania liniowe jednorodne i liniowe niejednorodne.

2. Własności rozwiązań równań liniowych jednorodnych i liniowych niejednorodnych.

3. Klasyfikacja równań różniczkowych drugiego rzędu.

4. Sprowadzenie równania liniowego do postaci kanonicznej: typu hiperbolicznego, parabolicznego i eliptycznego.

5. Zestawienie głównych problemów liniowych równań różniczkowych drugiego rzędu.

Równanie postaci

jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu z żądaną funkcją z z dwóch zmiennych X I Na.

Równania fizyki matematycznej, w przeciwieństwie do równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu o postaci ogólnej (3.1), są liniowy, tj. liniowo zależą od pożądanej funkcji i jej pochodnych cząstkowych. Przykładowo w przypadku dwóch zmiennych niezależnych mają one postać

Równanie (3.2) nazywa się jednorodnym jeśli
. Jeśli
, wówczas równanie (3.2) nazywa się niejednorodnym.

Oznaczmy lewą stronę równania (3.2) przez
, wówczas (3.2) można zapisać jako:

. (3.3)

Odpowiednie jednorodne równanie przyjmuje postać

. (3.4)

- liniowy operator różniczkowy. Sprawdź samodzielnie właściwości liniowości operatora
.

Z właściwości liniowości operatora
Następujące stwierdzenia bezpośrednio następują:

Twierdzenie 3.1. Jeśli
jest rozwiązaniem liniowego równania jednorodnego (3.4), a następnie funkcją
jest także rozwiązaniem równania (3.4), gdzie Z– dowolna stała.

Twierdzenie 3.2. Jeśli
I
- rozwiązania liniowego równania jednorodnego (3.4), a następnie suma
+

Konsekwencja. Kombinacja liniowa z dowolnymi stałymi współczynnikami k rozwiązania równania (3.4)
jest również rozwiązaniem tego równania.

W przeciwieństwie do zwykłych liniowych jednorodnych równań różniczkowych, które mają skończoną liczbę liniowo niezależnych rozwiązań cząstkowych, których kombinacja liniowa daje ogólne rozwiązanie tego równania, cząstkowe równania różniczkowe mogą mieć nieskończoną liczbę liniowo niezależnych rozwiązań cząstkowych.

Na przykład. Równanie

ma rozwiązanie ogólne
, więc jego rozwiązaniami będą na przykład funkcje
.

Dla niejednorodności liniowej

. (3.5)

równaniach prawdziwe są następujące stwierdzenia:

Twierdzenie 3.3. Jeśli
jest rozwiązaniem liniowego niejednorodnego równania (3.5), oraz
- rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego (3.4), suma
jest również rozwiązaniem niejednorodnego równania (3.5).

Twierdzenie 3.4. Jeśli
- rozwiązanie równania
, A
- rozwiązania równania
, następnie suma
+
jest rozwiązaniem równania
.

Rozważmy Klasyfikacja równania różniczkowe drugiego rzędu z dwiema zmiennymi niezależnymi.

Definicja. Liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu (3.2) w pewnej dziedzinie
na powierzchni xOj zwany

Najprostszym z równań typu hiperbolicznego jest równanie falowe

Występuje w problemach związanych z procesami oscylacyjnymi.

Najprostszym równaniem typu eliptycznego jest równanie Laplace'a

Do całkowania tego równania dochodzi się podczas badania procesów stacjonarnych.

Najprostszym równaniem typu parabolicznego jest równanie ciepła (równanie Fouriera)

Często spotyka się go podczas badania procesów przewodnictwa cieplnego i dyfuzji.

Później przyjrzymy się tym równaniom bardziej szczegółowo.

W toku fizyki matematycznej bada się także równanie falowe, równanie Laplace'a i równanie Fouriera w bardziej ogólnej postaci:

,
,

,
.

Sprowadźmy równanie (3.2) do postaci kanonicznej w dostatecznie małym otoczeniu dowolnego punktu, w którym dane jest to równanie. Załóżmy, że współczynniki A, W I Z w równaniu (3.2) należą do tej klasy
w jakiejś okolicy i nigdzie w niej znikają jednocześnie. Dla pewności możemy to założyć
w tej okolicy. Rzeczywiście, w przeciwnym razie może się to okazać
, ale potem zamieniliśmy się miejscami X I Na, otrzymujemy równanie dla którego
. Jeśli A I Z jednocześnie znikają w pewnym momencie
w pobliżu tego punktu. W tym przypadku po podzieleniu przez 2 W równanie (3.2) będzie już miało postać kanoniczną:

Przejdźmy teraz do nowych zmiennych

,

,
, (3.6)

Zatem równanie (3.2) przyjmie postać

Wymagamy, aby funkcje
I
ustawić współczynniki na zero
I
, tj. spełnił równania:

Ponieważ
, to równania te są równoważne równaniom liniowym

,
, (3.7)

Gdzie
,
,
.

Jak zauważyliśmy, w zależności od Możliwe są trzy typy równań. Rozważmy te trzy przypadki osobno.

W tym przypadku równanie (3.2) sprowadza się do postaci kanonicznej:

. (3.8)

Zastępowanie zmiennych
,
sprowadza równanie (3.2) do innej, równoważnej postaci kanonicznej:

. (3.9)

Aby udowodnić reprezentację (3.8), pokazujemy, że istnieje co najmniej jedna para rozwiązań I równania (3.7) spełniające warunki (3.6). Ustalmy najpierw związek pomiędzy tymi rozwiązaniami a charakterystyką równania (3.2).

Załóżmy, że istnieją rozwiązania równań (3.7) takie, że
,
w rozważanym sąsiedztwie, a następnie krzywe

zdefiniować dwie rodziny cech równania (3.2). Udowodnimy teraz następujące twierdzenie pomocnicze.

Lemat. Niech funkcja
takie, że
. Aby rodzina krzywych
określił cechy równania (3.2), konieczne i wystarczające jest wyrażenie
była całką ogólną jednego ze zwyczajnych równań różniczkowych

,
. (3.10)

Wywoływane są równania (3.10). równania różniczkowe cech równanie (3.2).

Dowód. 1. Udowodnijmy konieczność. Pozwalać
- rodzina cech równania (3.2). Od warunku
wynika z tego, że ta rodzina zapełnia pewną dzielnicę D, przez każdy punkt, przez który przechodzi jedna i tylko jedna cecha. Pozwalać
. Jeżeli wówczas w przekształceniu (3.6) weźmiemy np.
, to w tym sąsiedztwie funkcja
spełni równanie

Ponieważ dla każdej cechy relacja jest ważna

,
,

wtedy ponieważ
, otrzymujemy

, Lub
,

te.
jest całką ogólną pierwszego z równań (3.10). Udowodniono, że istnieje taka potrzeba.

2. Udowodnijmy wystarczalność. Pozwalać
jest całką ogólną jednego z równań (3.10), na przykład pierwszego z nich. Z definicji oznacza to, że jeśli funkcja
jest zatem rozwiązaniem tego równania

dlatego różnicując ostatnią tożsamość w odniesieniu do X, będzie miał

i dlatego w każdej linii
związek się utrzymuje

. (3.11)

Natomiast zgodnie z twierdzeniem o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych przez każdy punkt z rozważanego sąsiedztwa przechodzi jedna krzywa całkowa
to równanie. Zatem równanie (3.11) jest spełnione we wszystkich punktach rozpatrywanego sąsiedztwa. A ponieważ pod warunkiem
,
, potem krzywe
są charakterystykami równania (3.2). Lemat został udowodniony.

Na podstawie sprawdzonego lematu całki ogólne równań (3.10):

, I

takie, że
,
,
, zdefiniuj dwie rodziny cech równania (3.2). Co więcej, od
, Następnie
, I

T Zatem rodziny cech
,
tworzą rodziny linii współrzędnych i funkcji
I
można przyjąć jako nowe zmienne. Ponadto w równaniu (*) współczynniki
I
będzie równy zeru i

Dlatego dzieląc równanie (*) przez 2
, otrzymujemy równanie w postaci kanonicznej (3.8).

Równanie (3.2) sprowadza się do postaci kanonicznej

Ponieważ w jakiejś okolicy
, To
, dlatego równania różniczkowe (3.7) są zbieżne i równe

W rezultacie otrzymaliśmy jedną rodzinę cech
równanie (3.2), określone przez lemat, przez całkę ogólną równania

aby
I
. Dla drugiej rodziny linii współrzędnych wybieramy linie proste
. W rezultacie zmiana zmiennych

,
,

, ,
.

Dzielenie równania (*) przez współczynnik
, otrzymujemy równanie w postaci kanonicznej.

Jeśli szanse A, W I Z w równaniu (3.2) są funkcjami analitycznymi w sąsiedztwie pewnego punktu. Następnie równanie to sprowadza się do postaci kanonicznej

W tym przypadku współczynniki I równania (3.7) są funkcjami analitycznymi i to naprawdę
:
. Z twierdzenia Kowalewskiej wynika, że w wystarczająco małym sąsiedztwie istnieje rozwiązanie analityczne
równania

spełniający warunek
. Połóżmy teraz

,
, (3.12)

Gdzie
- funkcja złożona kompleksowo
. Funkcjonować
spełnia drugie równanie z (3.7):

od funkcji
spełnia pierwsze równanie z (3.7), tj.

Ponieważ funkcje
I
w takim razie analityczny
i ich jakobian

Dlatego funkcje
I
można przyjąć jako nowe zmienne. Konstruując funkcję
spełnia równanie

Wyodrębnijmy część rzeczywistą i urojoną i przechodząc do nowych zmiennych korzystając ze wzorów (3.12), otrzymamy

Uwzględniając wzory na współczynniki
rozumiemy to
I
w zmiennych
I
. Dalej, ponieważ
I
, To
. Dzielenie równania (*) przez
, sprowadźmy to do postaci kanonicznej

Zestawienie głównych problemów liniowych równań różniczkowych drugiego rzędu.

Aby w pełni opisać dany proces fizyczny, należy oprócz samego równania opisującego ten proces określić stan początkowy tego procesu (warunki początkowe) oraz reżim na granicy tego obszaru
, w którym proces ten zachodzi (warunki brzegowe). Wynika to z niejednoznaczności rozwiązania równań różniczkowych. Na przykład w przypadku równań różniczkowych cząstkowych rozwiązanie zależy od dowolnych funkcji. Dlatego też, aby wybrać rozwiązanie opisujące rzeczywisty proces fizyczny, konieczne jest ustalenie dodatkowych warunków. Takimi dodatkowymi warunkami są warunki brzegowe (początkowe i brzegowe). Wywoływane jest odpowiednie zadanie problem wartości brzegowych.

Istnieją trzy główne typy problemów brzegowych równań różniczkowych:

Zagadnienia mechaniki ciągłej opisywane są układami równań różniczkowych cząstkowych, dla których wyznacza się warunki brzegowe i początkowe – formułuje się zagadnienia wartości brzegowych. Nawet w przypadku równań o bardzo podobnej formie właściwości rozwiązania mogą się znacznie różnić. Dlatego w teorii równań różniczkowych cząstkowych szczególną uwagę poświęca się klasyfikacji – łączeniu ich w typy lub klasy, w ramach których właściwości rozwiązania i cechy formułowania problemów brzegowych są podobne.

Rozważmy klasyfikację na przykładzie równania drugiego rzędu z dwiema niezależnymi zmiennymi. Równania tego typu zaczęto badać w matematycznym opisie szeregu problemów fizycznych, a tę gałąź matematyki zaczęto nazywać fizyka matematyczna, i liniowe równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu - równania fizyki matematycznej. Należy zauważyć, że tylko w szczególnych przypadkach problemy ruchu gazu lub cieczy lub problemy przewodzenia ciepła sprowadzają się do równania tego typu. Jednak nawet ten prosty przykład ujawnia prawie wszystkie cechy charakterystyczne dla bardziej złożonych problemów.

Rozważmy więc równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu (o kolejności równania różniczkowego decyduje rząd najwyższej pochodnej zawartej w nim) z dwiema zmiennymi niezależnymi:

Jeśli A,W, Z - tylko funkcje X I y, a / jest funkcją liniową jej argumentów I,di/dh , czy ty , wówczas równanie (1.1) ma postać liniowy. W przypadku równań liniowych opracowano teorie matematyczne, które pozwalają zarówno na wyciąganie ogólnych wniosków jakościowych na temat rozwiązania, jak i na konstruowanie metod rozwiązywania. W wielu praktycznych przypadkach uzasadniony układ założeń i założeń pozwala sprowadzić model matematyczny procesu do układu liniowego lub równania liniowego.W szczególności równanie liniowe o postaci (1.1) opisuje potencjalny przepływ płynu, stacjonarne dwuwymiarowe pole temperatury, propagacja fal w ośrodku sprężystym i wiele innych problemów fizycznych, które zbadano najbardziej szczegółowo. Jednak w większości przypadków problemy praktyczne opisują równania nieliniowe, których ogólna teoria nie została jeszcze wyjaśniona jeszcze powstał.

Jeżeli nieliniowość równania polega tylko na tym, że współczynniki A, B, C zależy od nieznanego rozwiązania I i (lub) jego dolne pochodne (w tym przypadku pierwsze pochodne), wówczas taka nieliniowość lokalnie nie wpływa zbytnio na rozwiązanie w porównaniu z przypadkiem liniowym. Równania z nieliniowościami tego typu nazywane są quasiliniowy. Często do analizy równań quasilinearnych stosuje się metodę „zamrożenia” współczynników, co sprowadza problem do przypadku liniowego. Podejście to stosowane jest zarówno do jakościowej analizy rozwiązania, jak i do konstruowania numerycznych algorytmów rozwiązań. Należy zauważyć, że problemy aerogazdynamiki opisuje się za pomocą układu równań quasilinearnych.

Równanie (1.1) można sprowadzić do równoważnego układu równań różniczkowych pierwszego rzędu. W tym celu wprowadzamy zapis pierwszych pochodnych pożądanej funkcji względem zmiennych niezależnych R = di/dh I q = di/du i zapisz dane równanie, korzystając z tych oznaczeń. W efekcie otrzymujemy układ trzech równań pierwszego rzędu dla trzech nieznanych funkcji μ, R I Q:

Należy zauważyć, że działanie odwrotne (sprowadzenie układu równań pierwszego rzędu do jednego równania) nie zawsze jest możliwe.

Jednym z najważniejszych pojęć w teorii równań różniczkowych cząstkowych jest pojęcie cech. Po raz pierwszy pojawił się w pracach G. Monge'a podczas badania równań opisujących kształt powierzchni.

Ryż. 1.1.

Aby uprościć dalsze obliczenia, wprowadzamy następujące oznaczenie drugich pochodnych funkcji I :

Zdefiniujmy teraz problem Cauchy'ego dla równania drugiego rzędu. Niech na linii Na = y(x) podane są wartości żądanej funkcji i jej pierwszych pochodnych:

Gdzie A - naturalna współrzędna krzywej. Postawmy teraz następujący problem: czy jest to możliwe, znając wartości funkcji i jej pierwsze pochodne na krzywej? y(x), ustawić wartości funkcji w punktach sąsiadujących z tą krzywą? Zadanie nazywa się Problem Cauchy'ego dla równania (1.1).

Aby otrzymać rozwiązanie w punkcie A/ sąsiadującym z krzywą, w celu określenia danych początkowych można zastosować rozwinięcie szeregowe rozwiązania wokół pewnego punktu O leżącego na krzywej y(x). To rozwinięcie ma postać

Należy pamiętać, że w tym rozwinięciu nie możemy ograniczyć się wyłącznie do wyrażeń liniowych – obecność drugich pochodnych jest obowiązkowa. Wynika to z faktu, że pierwotne równanie różniczkowe nakłada ograniczenia na drugie pochodne. Jeśli pominiemy je w rozwinięciu (1.2), wówczas utracona zostanie cała treść fizyczna rozpatrywanego zjawiska, w którym to właśnie relacja drugich pochodnych (rodzaj „krzywizny”) wyznacza istotę opisywanego procesu .

Użycie tego wyrażenia w celu uzyskania rozwiązania w punkcie M wiąże się z możliwością ustalenia zawartych w nim instrumentów pochodnych. Pierwsze pochodne znane są z warunków początkowych określonych na krzywej danych początkowych. To ostatnie należy w jakiś sposób wyznaczyć, po czym można zastosować wyrażenie (1.2) w celu uzyskania rozwiązania w punkcie M. Można wykazać, że po wyznaczeniu drugich pochodnych można obliczyć także wyższe pochodne, co rozwiąże kwestię zwiększania dokładności wyrażenia (1.2) poprzez zwiększenie liczby wyrazów rozwinięcia.

Do wyznaczenia drugich pochodnych możemy wykorzystać dane podane na krzywej. Przyrosty pierwszych pochodnych wzdłuż krzywej zapiszemy następująco:

Zauważ, że w tych wyrażeniach dx I dy są ze sobą powiązane, a ich związek jest określony przez nachylenie krzywej dy/dx = y"(x).

Do tych dwóch wyrażeń odnoszących się do trzech nieznanych drugich pochodnych należy dodać pierwotne równanie różniczkowe, które pozwoli nam otrzymać układ liniowy wartości drugich pochodnych w punkcie M krzywy y(x):

Zagadnienie wyznaczenia drugich pochodnych i tym samym przywrócenia rozwiązania w punktach sąsiadujących z krzywą danych początkowych wiąże się z możliwością rozwiązania układu liniowego (1.3). Jeżeli wyznacznik tego układu nie jest równy zero, to ma on jednoznaczne rozwiązanie, pochodne r, s, t a wyrażenie (1.2) można zastosować do przewidzenia rozwiązania w punktach obszaru leżącego poza linią danych początkowych y = y(x).

W tym samym przypadku, gdy znika wyznacznik układu (1.3):

układ równań liniowych ulega degeneracji, nie pozwalając na wyznaczenie drugich pochodnych. Jeśli nie uda się znaleźć rozwiązania, w zasadzie nie będzie możliwe przesunięcie się z początkowej krzywej danych do sąsiednich punktów obszaru.

Rozwijając wyznacznik (1.4) otrzymujemy warunek jego zaniku:

które można zapisać jako równanie różniczkowe rozwiązane względem pochodnej dy/dx formularz:

Z tej zależności jasno wynika, że pierwotny problem staje się nierozwiązywalny, jeśli współczynnik kątowy krzywej przyjmuje jakąś specjalną wartość, wyrażoną poprzez współczynniki pierwotnego równania różniczkowego. Ten specjalny kierunek nazywa się Charakterystyka i krzywa, styczna, do której w każdym punkcie przyjmuje charakterystyczny kierunek, - Charakterystyka cząstkowe równanie różniczkowe. Jak widzimy, równanie różniczkowe zwyczajne (1.5) wyznacza pole charakterystycznych kierunków, a jego całka wyznacza linie charakterystyczne.

Jeżeli krzywe te zostaną wykorzystane jako linie do określenia danych początkowych, wówczas rozwiązanie nie może być kontynuowane do sąsiednich punktów obszaru, dlatego krzywe te mają ogromne znaczenie w analizie właściwości równań różniczkowych i konstruowaniu algorytmów obliczeniowych do ich rozwiązywania.

Klasyfikacja równania (1.1) opiera się na obecności jego cech. Jak widać z (1.5), równanie pierwotne w każdym punkcie swojej dziedziny definicji może mieć albo dwa charakterystyczne kierunki, albo jeden, albo też nie posiadać żadnej charakterystyki. Decydującym czynnikiem w tej kwestii jest znak dyskryminujący równanie - wyrażenie radykalne W 2 - AC.

Jeśli O 2 - AC eliptyczny, lub należy do typ eliptyczny.

Jeśli B 2 - AC = Och, zatem istnieje jedna rodzina cech. W tym przypadku mówimy, że równanie (1.1) ma postać paraboliczny. lub należy do typ paraboliczny.

Jeśli B 2 - AC> 0, to istnieją dwie różne rodziny cech i równanie (1.1). hiperboliczny lub należy do typ hiperboliczny.

Ponieważ rodzaj równania jest powiązany z wartościami współczynników równania różniczkowego, równanie ze zmiennymi współczynnikami w różnych częściach dziedziny definicji może należeć do różnych typów. Takie równania nazywane są równaniami mieszany typ.

Na pierwszy rzut oka wydaje się dziwne, dlaczego do określenia rodzaju równania różniczkowego używa się terminologii odnoszącej się do przekrojów stożkowych - krzywych algebraicznych drugiego rzędu: elipsy, paraboli i hiperboli. Łączy się to z tym, że zasadniczą rolę w teorii równań postaci (1.1) odgrywa specjalnie skonstruowane wyrażenie algebraiczne, postać kwadratowa, której współczynniki są współczynnikami równania pierwotnego. Dla równania (1.1) ma ono postać Ah2+2Bhu+Su2 i można go sprowadzić do postaci kanonicznej, która w zależności od wartości współczynników przybierze postać elipsy, paraboli lub hiperboli, co wyjaśnia zastosowaną terminologię.

Należy zauważyć, że do klasyfikacji użyliśmy równania liniowego drugiego rzędu, ale analizę charakterystyczną można zastosować do innych równań i układów.

Podobne rozważania stanowią podstawę klasyfikacji układów równań różniczkowych, która opiera się na własnościach charakterystycznych – początku pełnego zbioru cech (układy hiperboliczne) lub braku cech rzeczywistych (układy eliptyczne). Rodzaj równania określa ogólny charakter jego rozwiązania, zależność rozwiązania od danych wejściowych, a co za tym idzie, metody otrzymywania numerycznych rozwiązań problemów brzegowych. W naszym kursie będziemy wielokrotnie wracać do analizy charakterystycznych właściwości badanych modeli matematycznych mechaniki ciągłej.

Pozwolę sobie na kilka uwag, na które wcześniej nie zwróciliśmy uwagi.

Uwaga 1. Niezmienniczość kierunków charakterystycznych. Można wykazać, że charakterystyka pozostaje niezmienna przy przekształceniach zmiennych niezależnych. Oznacza to, że kierunki charakterystyczne nie zależą od wyboru układu współrzędnych, w którym zapisujemy pierwotne równanie, oraz od różnych transformacji zmiennych niezależnych. Kierunki te wyznaczają jedynie właściwości badanego zjawiska, które jego model matematyczny opisuje równaniem różniczkowym. W tym sensie cechy wyznaczają pewne szczególne kierunki w przestrzeni – „własne” kierunki danego problemu. Szczególnie zauważamy, że na podstawie analizy równania różniczkowego udało się wyznaczyć charakterystyczne kierunki. Dlatego uzyskanie charakterystycznych kierunków wiąże się z zapisaniem modelu matematycznego w postaci równania różniczkowego (później przekonamy się, że istnieją inne formy zapisu modeli matematycznych, na przykład w postaci relacji całkowych).

Uwaga 2. Definicja wyższych pochodnych. W skonstruowanym przez nas przykładzie, aby kontynuować rozwiązanie punktów sąsiadujących z prostą w celu określenia danych początkowych, zastosowano pochodne do drugiego rzędu włącznie. Pokażmy, że jeśli jako początkową linię danych zastosujemy krzywą niecharakterystyczną, dokładność zależności można dowolnie zwiększyć, obliczając najwyższe pochodne rozwiązania i w ten sposób kontynuując szereg.

Na początek rozważmy kwestię wyznaczania trzecich pochodnych, które odpowiednio oznaczamy P = ty xxx R = ty xxy, S== i huu, T = i y yy. Ponieważ pod warunkiem krzywa nie jest cechą, to w oparciu o poprzednią analizę początkowej krzywej danych y(x) oprócz wartości m, p, określonych w warunkach początkowych Q obliczono także drugie pochodne r, .s T. Zatem dla trzecich pochodnych można napisać układ relacji wyznaczających je z różniczek drugich pochodnych wzdłuż prostej y(x) :

Dodając do tego układu pierwotne równanie (1.1), zróżnicowane ze względu na X, otrzymujemy układ liniowy

Łatwo sprawdzić, że ma on taki sam warunek niezdegenerowania jak układ równań liniowych w analizie charakterystyk.

Aby to zrobić, obliczając wyznacznik macierzy, rozłożymy ją na elementy ostatniej kolumny. Wyznacznik trzeciego rzędu, stojący na jedynym niezerowym elemencie, będzie pokrywał się z wyznacznikiem macierzy w problematyce analizy cech.

Zatem dla dowolnej krzywej niecharakterystycznej na podstawie danych podanych na tej krzywej można znaleźć rozwiązania trzeciej pochodnej. Kontynuując w ten sposób, można znaleźć kolejne najwyższe wyrazy rozwinięcia i tym samym zwiększyć stopień dokładności reprezentacji rozwiązania.

Uwaga 3. Warunki spójności cech. W

Jeżeli dla równania (1.1) zdefiniowana jest cecha, to dla przyrostów pochodnych rozwiązania p, Q Wzdłuż krzywej nałożone są dodatkowe warunki. Rzeczywiście, równość wyznacznika (1.4) do zera oznacza liniową zależność równań zawartych w (1.3). Z algebry liniowej wiadomo, że aby zdegenerowany układ był rozwiązywalny, stopień układu musi być równy rządowi jego rozszerzonej macierzy. Innymi słowy, wymagane jest, aby wszystkie wyznaczniki trzeciego rzędu rozszerzonej macierzy

były równe zero. Łatwo pokazać, że warunek ten wraz z otrzymaną wcześniej zależnością dla cech (1-5) prowadzi do dwóch warunków, które muszą być spełnione wzdłuż cech:

Warunki te nazywane są warunki dotyczące charakterystyki Lub warunkicoeAiecmnocmu. Odgrywają ważną rolę zarówno w badaniu właściwości jakościowych rozwiązania, jak i w konstrukcji algorytmów numerycznego rozwiązywania problemów.

1 Często wygodnie jest sformułować problem hiperboliczny w kategoriach zbioru jego charakterystyk i różnicowych relacji zgodności, które obowiązują dla tych charakterystyk. Należy zauważyć, że w przypadku dwóch zmiennych niezależnych problem zostaje przekształcony w układ równań zwyczajnych określających krzywe charakterystyczne oraz równania różniczkowe zwyczajne odpowiadające warunkom zgodności.

Uwaga 4. Fizyczne znaczenie cech. W równaniach, w których zmienne przestrzenne pełnią rolę zmiennych niezależnych, charakterystyki wyznaczają obszar oddziaływania punktów. Znany z dynamiki gazów naddźwiękowych przepływów stacjonarnych Stożek Macha I Linia Macha należą do tego zakresu pojęć.

Jeśli czas jest jedną ze zmiennych niezależnych – zmienną hiperboliczności – charakterystyka wyraża skończoność prędkości propagacji sygnału i tym samym kontroluje związki przyczynowo-skutkowe w rozpatrywanym systemie. Charakterystyki w tym przypadku są ściśle powiązane z możliwością propagacji fali ze skończoną prędkością.

Podajmy przykłady równań różniczkowych różnych typów.

Przykład 1. Równanie Poissona}:

Jeśli / = 0, to równanie to nazywa się równaniem Laplace'a. Tutaj A = Z = 1, W= Och, B 2 - AC= -1, tj. jest to równanie typu eliptycznego często spotykane w zastosowaniach fizyki. Opisuje zagadnienia potencjalnego ruchu płynu, filtracji w ciałach porowatych, problemy magneto- i elektrostatyki, stacjonarny rozkład temperatury w ciele, rozkład naprężeń w niektórych zagadnieniach liniowej teorii sprężystości itp.

Poniższy najprostszy eliptyczny układ d'Alemberta-Eulera jest odpowiednikiem równania Laplace'a (czasami równania te nazywane są równaniami Cauchy'ego-Riemanna):

Równanie Laplace'a można rozszerzyć na przypadek trzech (lub więcej) zmiennych niezależnych:

1 Poissona Simeona Denisa(Poisson S.D., 1781-1840) – francuski matematyk, fizyk i mechanik. Jego prace odegrały ważną rolę w rozwoju współczesnej nauki: teorii prawdopodobieństwa, fizyki matematycznej, teorii sprężystości i mechaniki płynów. Wspomniane równanie zostało wyprowadzone przez Poissona podczas studiowania szeregu problemów teorii przyciągania grawitacyjnego (pamiętnik „O przyciąganiu sferoidów”, 1835).

Operator różniczkowy D = d 2 / dx 2 + d 2 /d 2 + d 2 / d 2 zwany Operator Laplace’a.

Przykład 2. Równanie przewodności cieplnej. Równanie opisuje jednowymiarowe, niestacjonarne pole temperatury w ośrodku o stałych charakterystykach termofizycznych

w którym współczynnik dyfuzyjności cieplnej A musi spełniać warunek > 0.

Tutaj zamiast zmiennej Na wprowadzona zmienna T- czas odpowiadający fizycznej treści zadań opisanych równaniem. Współczynniki uwzględnione w równaniu są równe: A = 1, B = 0, Z = 0, W 2 - AC= 0, tj. Równanie to jest typu parabolicznego. Równania takie opisują niestacjonarny rozkład temperatury w zagadnieniach przewodności cieplnej, dyfuzji obojętnego zanieczyszczenia, propagacji fal elektromagnetycznych w ośrodkach przewodzących, ruchu lepkiego płynu w warstwie granicznej ciała itp.

II Przykład 3. Równanie falowe. Rozchodzenie się fali płaskiej ze stałą prędkością с w ośrodku izotropowym opisuje liniowe jednowymiarowe równanie falowe

w której oś X odpowiada kierunkowi rozchodzenia się fali.

Tutaj A =Cq, C = 1, W= 0, jest to równanie hiperboliczne. Przykładem najprostszego układu hiperbolicznego jest układ równoważny (1.11).

Równania tego typu opisują propagację oscylacji w ośrodkach ciągłych, oscylacje elektromagnetyczne i naddźwiękowy przepływ gazu doskonałego.

Powyższe przykłady demonstrują trzy główne typy równań w fizyce matematycznej. Różnica między nimi wynika z różnicy w procesach fizycznych, które opisują. Równania typu parabolicznego i hiperbolicznego opisują proces niestabilny. Oznacza to, że rozwiązanie jest dostępne w danym momencie T stan w poprzednich momentach czasowych wpływa, ale późniejsze wydarzenia nie mogą w żaden sposób wpływać. Równania typu hiperbolicznego mogą opisywać także procesy w stanie ustalonym, w tym przypadku warunek brzegowy wpływa na rozwiązanie tylko w jednym kierunku (w odniesieniu do zmiennej będącej analogiem czasu), a jedna ze współrzędnych przestrzennych jest analogią czas. Przykładem takiego problemu hiperbolicznego jest naddźwiękowy, stały ruch gazu. Zatem równania paraboliczne i hiperboliczne są powiązane z obszarami „otwartymi” w jednym kierunku, a zmienna niezależna odpowiadająca temu kierunkowi jest analogią czasu.

W przypadku problemów eliptycznych na rozwiązanie w pewnym punkcie dziedziny wpływają warunki brzegowe określone na całej zamkniętej granicy dziedziny.