مبتکرانه ترین اکتشافات در علم می توانند به طور اساسی تغییر کنند زندگی انسان. واکسن اختراع شده می تواند میلیون ها انسان را نجات دهد؛ برعکس، ساخت سلاح، جان این افراد را می گیرد. اخیراً (در مقیاس تکامل انسان) ما یاد گرفته ایم که الکتریسیته را "رام کنیم" - و اکنون نمی توانیم زندگی را بدون همه این وسایل راحت که از برق استفاده می کنند تصور کنیم. اما اکتشافاتی نیز وجود دارد که تعداد کمی از مردم به آنها اهمیت می دهند، اگرچه آنها نیز تأثیر زیادی بر زندگی ما دارند.
یکی از این اکتشافات "نامحسوس" فراکتال ها است. احتمالاً قبلاً این کلمه جذاب را شنیده اید، اما آیا می دانید معنی آن چیست و چقدر اطلاعات جالب در این اصطلاح پنهان شده است؟
هر فردی یک کنجکاوی طبیعی دارد، میل به درک دنیای اطرافش. و در این تلاش انسان سعی می کند در قضاوت ها به منطق پایبند باشد. او با تجزیه و تحلیل فرآیندهایی که در اطراف او اتفاق می‌افتد، سعی می‌کند منطق آنچه را که اتفاق می‌افتد بیابد و الگویی را استخراج کند. بزرگترین ذهن های روی کره زمین مشغول این کار هستند. به طور کلی، دانشمندان به دنبال الگویی هستند که در آن نباید وجود داشته باشد. با این وجود، حتی در هرج و مرج نیز می توان ارتباط بین رویدادها را یافت. و این ارتباط یک فراکتال است.
دختر کوچک ما، چهار سال و نیم، اکنون در آن سن شگفت انگیز است که تعداد سوالات "چرا؟" تعداد پاسخ هایی که بزرگسالان می توانند بدهند چندین برابر بیشتر است. چندی پیش دخترم در حین بررسی شاخه ای که از روی زمین بلند شده بود، ناگهان متوجه شد که این شاخه با شاخه ها و شاخه هایش شبیه یک درخت است. و، البته، آنچه در پی آن بود، سؤال معمول «چرا؟» بود، که والدین باید به دنبال توضیح ساده‌ای باشند که کودک بتواند آن را بفهمد.
شباهت یک شاخه منفرد با یک درخت کامل که توسط یک کودک کشف شده است، مشاهده بسیار دقیقی است که یک بار دیگر به اصل خود شباهت بازگشتی در طبیعت گواهی می دهد. بسیاری از اشکال آلی و معدنی در طبیعت به روش مشابهی تشکیل می شوند. ابرها، صدف های دریایی، "خانه" حلزون، پوست درخت و تاج، سیستم گردش خونو غیره - اشکال تصادفی همه این اشیاء را می توان با یک الگوریتم فراکتال توصیف کرد.
⇡ بنوا ماندلبرو: پدر هندسه فراکتال
خود کلمه "فرکتال" به لطف دانشمند برجسته Benoit B. Mandelbrot ظاهر شد.
او خود این اصطلاح را در دهه 1970 ابداع کرد و کلمه fractus را از لاتین وام گرفت که در آن به معنای واقعی کلمه "شکسته" یا "له شده" است. چیست؟ امروزه، کلمه "فرکتال" اغلب به معنای نمایش گرافیکی ساختاری است که در مقیاس بزرگتر، شبیه به خود است.
مبنای ریاضی پیدایش نظریه فراکتال ها سال ها قبل از تولد بنوا ماندلبرو گذاشته شد، اما تنها با ظهور دستگاه های محاسباتی توانست توسعه یابد. در ابتدای آن فعالیت علمیبنوا کار کرد مرکز تحقیقاتشرکت آی بی ام در آن زمان کارمندان این مرکز روی انتقال اطلاعات از راه دور کار می کردند. در طول این تحقیق، دانشمندان با مشکل تلفات بزرگ ناشی از تداخل نویز مواجه شدند. بنوا با یک کار دشوار و بسیار مهم روبرو شد - درک چگونگی پیش بینی وقوع تداخل نویز در مدارهای الکترونیکی زمانی که روش آماری ناکارآمد است.
با نگاهی به نتایج اندازه‌گیری نویز، ماندلبرو متوجه یک الگوی عجیب شد - نمودارهای نویز در مقیاس‌های مختلف یکسان به نظر می‌رسند. یک الگوی یکسان بدون توجه به اینکه نمودار نویز برای یک روز، یک هفته یا یک ساعت بود مشاهده شد. لازم بود مقیاس نمودار تغییر کند و تصویر هر بار تکرار می شد.
در زندگی بنواماندلبروت بارها گفت که با فرمول ها سروکار ندارد، بلکه فقط با تصاویر بازی می کند. این مرد بسیار مجازی فکر می کرد و هر مسئله جبری را به حوزه هندسه ترجمه می کرد، جایی که به گفته او پاسخ صحیح همیشه آشکار است.
جای تعجب نیست که این مرد با چنین تخیل فضایی غنی بود که پدر هندسه فراکتال شد. از این گذشته ، آگاهی از ماهیت فراکتال ها دقیقاً زمانی حاصل می شود که شما شروع به مطالعه نقاشی ها می کنید و به معنای الگوهای چرخشی عجیب فکر می کنید.
یک الگوی فراکتال عناصر یکسانی ندارد، اما در هر مقیاسی مشابه است. قبلاً ساختن چنین تصویری با درجه بالایی از جزئیات به صورت دستی غیرممکن بود؛ این امر نیاز داشت مقدار زیادیمحاسبات برای مثال، ریاضیدان فرانسوی پیر ژوزف لوئی فاتو بیش از هفتاد سال قبل از کشف بنوا ماندلبرو این مجموعه را توصیف کرد. اگر از اصول خود شباهت صحبت کنیم، در آثار لایب نیتس و گئورگ کانتور به آنها اشاره شده است.
یکی از اولین نقاشی های فراکتال، تفسیر گرافیکی مجموعه مندلبرو بود که به لطف تحقیقات گاستون موریس جولیا متولد شد.
گاستون جولیا (همیشه ماسک به صورت - مجروحیت از جنگ جهانی اول)
این ریاضیدان فرانسوی از خود می‌پرسید که اگر یک مجموعه از یک فرمول ساده که از طریق یک حلقه بازخورد تکرار می‌شود، ساخته شود، چه شکلی به نظر می‌رسد. اگر آن را "روی انگشتان خود" توضیح دهیم، به این معنی است که برای یک عدد خاص یک مقدار جدید با استفاده از فرمول پیدا می کنیم، پس از آن دوباره آن را در فرمول جایگزین می کنیم و مقدار دیگری دریافت می کنیم. نتیجه یک توالی بزرگ از اعداد است.
برای به دست آوردن یک تصویر کامل از چنین مجموعه ای، شما باید تعداد زیادی محاسبات را انجام دهید - صدها، هزاران، میلیون ها. انجام این کار به صورت دستی به سادگی غیرممکن بود. اما زمانی که دستگاه‌های محاسباتی قدرتمند در دسترس ریاضیدانان قرار گرفت، توانستند نگاهی تازه به فرمول‌ها و عباراتی بیندازند که مدت‌ها مورد توجه بودند. مندلبروت اولین کسی بود که از کامپیوتر برای محاسبه فراکتال کلاسیک استفاده کرد. پس از پردازش یک دنباله متشکل از تعداد زیادی مقادیر، بنوا نتایج را روی یک نمودار رسم کرد. این چیزی است که او به دست آورد.
متعاقباً، این تصویر رنگی شد (مثلاً یکی از روش های رنگ آمیزی با تعداد تکرار است) و به یکی از محبوب ترین تصاویری تبدیل شد که تاکنون توسط انسان ساخته شده است.
همانطور که ضرب المثل قدیمی منسوب به هراکلیتوس افسوسی می گوید: "شما نمی توانید دو بار وارد یک رودخانه شوید." برای تفسیر هندسه فراکتال ها کاملاً مناسب است. مهم نیست که چقدر به یک تصویر فراکتال با جزئیات نگاه می کنیم، همیشه یک الگوی مشابه را خواهیم دید.
کسانی که مایلند ببینند که تصویری از فضای ماندلبروت در صورت بزرگنمایی چند برابر چه شکلی خواهد بود، می توانند با دانلود GIF متحرک این کار را انجام دهند.
⇡ لورن کارپنتر: هنری خلق شده توسط طبیعت
نظریه فراکتال ها به زودی کاربرد عملی پیدا کرد. از آنجایی که ارتباط نزدیکی با تجسم تصاویر خود مشابه دارد، جای تعجب نیست که اولین کسانی که الگوریتم ها و اصولی را برای ساخت فرم های غیرعادی اتخاذ کردند، هنرمندان بودند.
بنیانگذار آینده استودیوی افسانه ای پیکسار، لورن سی کارپنتر، در سال 1967 در بوئینگ خدمات کامپیوتری، که یکی از بخش های شرکت معروف در حال توسعه هواپیماهای جدید بود، شروع به کار کرد.
در سال 1977، او با نمونه های اولیه مدل های پرنده، ارائه هایی را ایجاد کرد. مسئولیت های لورن شامل ایجاد تصاویری از هواپیمای در حال طراحی بود. او مجبور شد تصاویری از مدل های جدید ایجاد کند و هواپیماهای آینده را از زوایای مختلف نشان دهد. در مقطعی، بنیانگذار آینده استودیوی انیمیشن پیکسار ایده خلاقانه استفاده از تصویری از کوه ها به عنوان پس زمینه را مطرح کرد. امروزه، هر دانش آموزی می تواند چنین مشکلی را حل کند، اما در اواخر دهه هفتاد قرن گذشته، رایانه ها نمی توانستند با چنین محاسبات پیچیده ای کنار بیایند - ویرایشگر گرافیکی وجود نداشت، نه به ذکر برنامه های گرافیکی سه بعدی. در سال 1978، لورن به طور تصادفی کتاب فراکتال ها: فرم، شانس و ابعاد اثر بنوا ماندلبرو را در یک فروشگاه دید. چیزی که توجه او را در این کتاب جلب کرد این بود که بنوا مثال های زیادی از اشکال فراکتال در زندگی واقعی ارائه کرد و استدلال کرد که می توان آنها را با یک عبارت ریاضی توصیف کرد.
این قیاس توسط ریاضیدان تصادفی انتخاب نشده است. واقعیت این است که او به محض انتشار تحقیقات خود، مجبور شد با انبوهی از انتقادات روبرو شود. اصلی ترین چیزی که همکارانش او را به خاطر آن سرزنش کردند، بی فایده بودن نظریه ای بود که در حال توسعه بود. آنها گفتند: «بله، اینها تصاویر زیبایی هستند، اما نه بیشتر. نظریه فراکتال ها هیچ ارزش عملی ندارد. همچنین کسانی بودند که عموماً معتقد بودند که الگوهای فراکتال صرفاً محصول جانبی کار "ماشین های شیطانی" است که در اواخر دهه هفتاد برای بسیاری به نظر می رسید چیزی بسیار پیچیده و ناشناخته است که نمی توان به طور کامل به آن اعتماد کرد. مندلبروت سعی کرد کاربرد آشکاری برای نظریه فراکتال ها بیابد، اما، با توجه به روی هم رفته، او مجبور نبود این کار را انجام دهد. در طی 25 سال بعد، پیروان بنوا ماندلبرو مزایای عظیم چنین "کنجکاوی ریاضی" را ثابت کردند و لورن کارپنتر یکی از اولین کسانی بود که روش فراکتال را در عمل امتحان کرد.
پس از مطالعه کتاب، انیماتور آینده به طور جدی اصول هندسه فراکتال را مطالعه کرد و به دنبال راهی برای پیاده سازی آن در گرافیک کامپیوتری. فقط در سه روز کار، لورن توانست تجسم کند تصویر واقعیسیستم کوهستانی در رایانه شما به عبارت دیگر، او با استفاده از فرمول هایی کاملاً قابل تشخیص را ترسیم کرد منظره کوهستانی.
اصلی که لورن برای رسیدن به هدفش استفاده کرد بسیار ساده بود. این شامل تقسیم یک بزرگتر بود شکل هندسیبه عناصر کوچک، و آنها، به نوبه خود، به ارقام کوچکتر مشابه تقسیم می شود.
کارپنتر با استفاده از مثلث‌های بزرگتر، آنها را به چهار مثلث کوچکتر تقسیم کرد و سپس این روند را بارها و بارها تکرار کرد تا اینکه یک منظره کوهستانی واقعی داشت. بنابراین، او موفق شد اولین هنرمندی باشد که از الگوریتم فراکتال برای ساخت تصاویر در گرافیک کامپیوتری استفاده می کند. به محض اینکه کلمه کار مشخص شد، علاقه مندان در سراسر جهان این ایده را پذیرفتند و شروع به استفاده از الگوریتم فراکتال برای تقلید از اشکال طبیعی واقعی کردند.
یکی از اولین تجسم های سه بعدی با استفاده از الگوریتم فراکتال
فقط چند سال بعد، لورن کارپنتر توانست پیشرفت های خود را در موارد بسیار بیشتری اعمال کند پروژه در مقیاس بزرگ. انیماتور یک دمو دو دقیقه ای از Vol Libre از آنها ساخت که در سال 1980 در Siggraph نمایش داده شد. این ویدیو همه کسانی را که آن را دیدند شوکه کرد و لورن از لوکاس فیلم دعوت نامه دریافت کرد.
این انیمیشن بر روی کامپیوتر VAX-11/780 از Digital Equipment Corporation با سرعت کلاک پنج مگاهرتز رندر شده است و رندر هر فریم حدود نیم ساعت طول می کشد.
این انیماتور که برای Lucasfilm Limited کار می کرد، مناظر سه بعدی را با استفاده از همان طرح برای دومین فیلم تمام طول این حماسه خلق کرد. پیشتازان فضا. در The Wrath of Khan، کارپنتر توانست یک سیاره کامل را با استفاده از همان اصل مدل‌سازی سطح فراکتال ایجاد کند.
در حال حاضر، همه برنامه های محبوب برای ایجاد مناظر سه بعدی از یک اصل مشابه برای تولید اشیاء طبیعی استفاده می کنند. Terragen، Bryce، Vue و سایر ویرایشگرهای سه بعدی به الگوریتم فراکتال برای مدل‌سازی سطوح و بافت‌ها متکی هستند.
⇡ آنتن های فراکتال: کمتر، بیشتر است
در طول نیم قرن گذشته، زندگی به سرعت شروع به تغییر کرده است. بسیاری از ما پیشرفت های تکنولوژی مدرن را بدیهی می دانیم. خیلی سریع به هر چیزی که زندگی را راحت تر می کند عادت می کنید. به ندرت کسی این سوال را می پرسد که "این از کجا آمده است؟" و این چطوری کار می کند؟" مایکروویو صبحانه را گرم می کند - عالی است، تلفن هوشمند به شما این فرصت را می دهد که با شخص دیگری صحبت کنید - عالی. به نظر ما این یک احتمال آشکار است.
اما اگر فردی برای وقایع رخ داده به دنبال توضیحی نبود، زندگی می توانست کاملاً متفاوت باشد. به عنوان مثال، تلفن های همراه. آنتن های جمع شونده مدل های اول را به خاطر دارید؟ آنها دخالت کردند، اندازه دستگاه را افزایش دادند و در پایان اغلب می شکستند. ما معتقدیم که آنها برای همیشه در فراموشی فرو رفته اند و بخشی از دلیل این امر... فراکتال ها است.
الگوهای فراکتال با الگوهای خود مجذوب خود می شوند. آنها قطعاً شبیه تصاویر اجرام کیهانی - سحابی ها، خوشه های کهکشانی و غیره هستند. بنابراین کاملاً طبیعی است که وقتی ماندلبرو نظریه خود را در مورد فراکتال ها بیان کرد، تحقیقات او علاقه بیشتری را در بین کسانی که نجوم مطالعه می کردند برانگیخت. یکی از این آماتورها به نام ناتان کوهن، پس از شرکت در سخنرانی بنوا ماندلبروت در بوداپست، از ایده کاربرد عملی دانش به دست آمده الهام گرفت. درست است، او این کار را به طور شهودی انجام داد، و نه نقش آخرشانس در کشف او نقش داشت. ناتان به عنوان یک رادیو آماتور به دنبال ایجاد آنتنی با بالاترین حساسیت ممکن بود.
تنها راه بهبود پارامترهای آنتن که در آن زمان شناخته شده بود، افزایش ابعاد هندسی آن بود. با این حال، مالک ملک در مرکز شهر بوستون که ناتان اجاره کرده بود، قاطعانه مخالف نصب دستگاه های بزرگ روی پشت بام بود. سپس ناتان شروع به آزمایش کرد اشکال گوناگونآنتن ها، تلاش می کنند تا حداکثر نتیجه را با حداقل اندازه به دست آورند. کوهن، همانطور که می گویند، با الهام از ایده فرم های فراکتال، به طور تصادفی یکی از معروف ترین فراکتال ها را از سیم ساخته است - "برف کوچ". هلگه فون کوخ، ریاضیدان سوئدی، این منحنی را در سال 1904 ارائه کرد. با تقسیم یک پاره به سه قسمت و جایگزینی قسمت میانی با یک مثلث متساوی الاضلاع بدون ضلع منطبق بر این قطعه به دست می آید. درک تعریف کمی دشوار است، اما در شکل همه چیز واضح و ساده است.
همچنین تغییرات دیگری از منحنی کخ وجود دارد، اما شکل تقریبی منحنی مشابه است
وقتی ناتان آنتن را به گیرنده رادیو وصل کرد، بسیار شگفت زده شد - حساسیت به طور چشمگیری افزایش یافت. پس از یک سری آزمایشات، استاد آینده دانشگاه بوستون متوجه شد که آنتن ساخته شده بر اساس الگوی فراکتال دارای کارایی بالایی است و محدوده فرکانسی بسیار گسترده تری را در مقایسه با راه حل های کلاسیک پوشش می دهد. علاوه بر این، شکل آنتن به صورت منحنی فراکتال باعث می شود تا ابعاد هندسی به میزان قابل توجهی کاهش یابد. ناتان کوهن حتی قضیه‌ای را ارائه کرد که ثابت می‌کند برای ایجاد یک آنتن پهن باند، کافی است شکل یک منحنی فراکتال خود مشابه را به آن بدهیم.
نویسنده کشف خود را به ثبت رساند و شرکتی را برای توسعه و طراحی آنتن‌های فراکتال، سیستم‌های آنتن فراکتال تأسیس کرد و به درستی معتقد بود که در آینده، به لطف کشف او، تلفن‌های همراه قادر خواهند بود از شر آنتن‌های حجیم خلاص شوند و فشرده‌تر شوند.
در اصل این اتفاق افتاد. درست است، تا به امروز ناتان درگیر یک نبرد قانونی با شرکت های بزرگ است که به طور غیرقانونی از کشف او برای تولید دستگاه های ارتباطی فشرده استفاده می کنند. برخی از سازندگان مشهور دستگاه های تلفن همراه، مانند موتورولا، قبلاً با مخترع آنتن فراکتال به توافقی دوستانه دست یافته اند.
⇡ ابعاد فراکتال: شما نمی توانید آن را با ذهن خود درک کنید
بنوا این سوال را از دانشمند مشهور آمریکایی ادوارد کاسنر وام گرفته است.
دومی، مانند بسیاری دیگر از ریاضیدانان مشهور، عاشق برقراری ارتباط با کودکان، پرسیدن سوالات و دریافت پاسخ های غیرمنتظره بود. گاهی اوقات این منجر به عواقب شگفت انگیزی می شد. به عنوان مثال، برادرزاده نه ساله ادوارد کاسنر کلمه شناخته شده "گوگول" را ابداع کرد که به معنای یک به دنبال صد صفر است. اما به فراکتال ها برگردیم. ریاضیدان آمریکایی دوست داشت این سوال را بپرسد که طول خط ساحلی ایالات متحده چقدر است؟ خود ادوارد پس از شنیدن نظر همکارش پاسخ صحیح را گفت. اگر طول را روی نقشه با استفاده از بخش های شکسته اندازه گیری کنید، نتیجه نادرست خواهد بود، زیرا خط ساحلی دارای تعداد زیادی بی نظمی است. اگر تا حد امکان دقیق اندازه گیری کنیم چه اتفاقی می افتد؟ شما باید طول هر ناهمواری را در نظر بگیرید - باید هر کیپ، هر خلیج، سنگ، طول یک تاقچه سنگی، یک سنگ روی آن، یک دانه شن، یک اتم و غیره را اندازه بگیرید. از آنجایی که تعداد بی‌نظمی‌ها به بی‌نهایت تمایل دارد، طول اندازه‌گیری شده خط ساحلی هنگام اندازه‌گیری هر بی‌نظمی جدید تا بی نهایت افزایش می‌یابد.
هرچه اندازه گیری در هنگام اندازه گیری کوچکتر باشد، طول اندازه گیری شده بیشتر می شود
جالب اینجاست که به دنبال تذکرات ادوارد، بچه ها در گفتن راه حل صحیح بسیار سریعتر از بزرگسالان بودند، در حالی که دومی در پذیرش چنین پاسخ باورنکردنی مشکل داشت.
با استفاده از این مشکل به عنوان مثال، Mandelbrot استفاده از آن را پیشنهاد کرد رویکرد جدیدبه اندازه گیری ها از آنجایی که خط ساحلی نزدیک به یک منحنی فراکتال است، به این معنی است که یک پارامتر مشخصه را می توان برای آن اعمال کرد - به اصطلاح بعد فراکتال.
این که بعد منظم چیست برای هر کسی روشن است. اگر ابعاد برابر با یک باشد، یک خط مستقیم می گیریم، اگر دو - یک شکل صاف، سه - یک حجم. با این حال، این درک از بعد در ریاضیات با منحنی های فراکتال، که در آن این پارامتر دارای مقدار کسری است، کار نمی کند. بعد فراکتال در ریاضیات می تواند به طور متعارف به عنوان یک "زبری" در نظر گرفته شود. هر چه زبری منحنی بیشتر باشد، بعد فراکتالی آن بیشتر است. منحنی که به گفته ماندلبرو، بعد فراکتالی بالاتر از بعد توپولوژیکی آن است، طول تقریبی دارد که به تعداد ابعاد آن بستگی ندارد.
در حال حاضر، دانشمندان در حال یافتن مناطق بیشتر و بیشتری برای به کارگیری نظریه فراکتال ها هستند. با استفاده از فراکتال ها می توانید نوسانات قیمت بورس را تجزیه و تحلیل کنید، انواع فرآیندهای طبیعی مانند نوسانات تعداد گونه ها را مطالعه کنید یا دینامیک جریان ها را شبیه سازی کنید. از الگوریتم های فراکتال می توان برای فشرده سازی داده ها مانند فشرده سازی تصویر استفاده کرد. و به هر حال، برای دریافت یک فراکتال زیبا روی صفحه کامپیوتر خود، لازم نیست دکترا داشته باشید.
⇡ فراکتال در مرورگر
شاید یکی از بیشترین راه های سادهیک الگوی فراکتال دریافت کنید - استفاده آنلاین ویرایشگر برداریاز یک برنامه نویس جوان با استعداد توبی شاچمن. ابزارهای این ویرایشگر گرافیکی ساده بر اساس همان اصل خود شباهت است.
در اختیار شما فقط دو شکل ساده وجود دارد - یک چهار گوش و یک دایره. می‌توانید آنها را به بوم اضافه کنید، آنها را مقیاس کنید (برای تغییر مقیاس در امتداد یکی از محورها، کلید Shift را نگه دارید) و آنها را بچرخانید. بر اساس اصل عملیات جمع بولی، این ساده ترین عناصر با هم تداخل دارند، اشکال جدید و کمتر بی اهمیتی را تشکیل می دهند. سپس این اشکال جدید را می توان به پروژه اضافه کرد و برنامه تولید این تصاویر را تا بی نهایت تکرار می کند. در هر مرحله از کار بر روی یک فراکتال، می توانید به هر جزء از یک شکل پیچیده برگردید و موقعیت و هندسه آن را ویرایش کنید. یک فعالیت سرگرم کننده، به خصوص وقتی در نظر بگیرید که تنها ابزاری که برای ایجاد آن نیاز دارید یک مرورگر است. اگر اصل کار با این ویرایشگر بردار بازگشتی را درک نمی کنید، به شما توصیه می کنیم که ویدیو را در وب سایت رسمی پروژه تماشا کنید، که به طور کامل کل فرآیند ایجاد یک فراکتال را نشان می دهد.
⇡ XaoS: فراکتال برای هر سلیقه
بسیاری از ویرایشگرهای گرافیکی ابزارهای داخلی برای ایجاد الگوهای فراکتال دارند. با این حال، این ابزارها معمولا ثانویه هستند و اجازه تنظیم دقیق الگوی فراکتال تولید شده را نمی دهند. در مواردی که نیاز به ساخت یک فراکتال دقیق ریاضی است، کمک خواهد آمدویرایشگر کراس پلتفرم XaoS. این برنامه نه تنها ساختن یک تصویر مشابه خود، بلکه انجام دستکاری های مختلف با آن را نیز ممکن می سازد. به عنوان مثال، در زمان واقعی می توانید با تغییر مقیاس آن، در امتداد یک فراکتال "پیاده روی" کنید. حرکت متحرک در امتداد یک فراکتال را می توان به عنوان یک فایل XAF ذخیره کرد و سپس در خود برنامه تکثیر کرد.
XaoS می تواند مجموعه ای تصادفی از پارامترها را بارگیری کند و همچنین از فیلترهای مختلف پس از پردازش تصویر استفاده کند - جلوه حرکتی تار را اضافه کند، انتقال واضح بین نقاط فراکتال را صاف کند، یک تصویر سه بعدی را شبیه سازی کند و غیره.
⇡ زومر فراکتال: ژنراتور فراکتال فشرده
در مقایسه با سایر مولدهای تصویر فراکتال، چندین مزیت دارد. اولاً اندازه آن بسیار کوچک است و نیازی به نصب ندارد. ثانیاً، توانایی تعیین را پیاده سازی می کند پالت رنگطراحی می توانید سایه ها را در مدل های رنگی RGB، CMYK، HVS و HSL انتخاب کنید.
همچنین استفاده از گزینه بسیار راحت است انتخاب تصادفیسایه های رنگی و عملکرد معکوس کردن همه رنگ ها در تصویر. برای تنظیم رنگ، تابعی از انتخاب دوره ای سایه ها وجود دارد - وقتی حالت مربوطه را روشن می کنید، برنامه تصویر را متحرک می کند و رنگ های روی آن را به صورت دوره ای تغییر می دهد.
زومر فراکتال می تواند 85 تابع مختلف فراکتال را تجسم کند و فرمول ها به وضوح در منوی برنامه نشان داده شده اند. فیلترهایی برای پس پردازش تصویر در برنامه وجود دارد، هرچند در مقادیر کم. هر فیلتر اختصاص داده شده را می توان در هر زمان لغو کرد.
⇡ Mandelbulb3D: ویرایشگر فراکتال سه بعدی
هنگامی که اصطلاح "فرکتال" استفاده می شود، اغلب به یک تصویر مسطح و دو بعدی اشاره دارد. با این حال، هندسه فراکتال از بعد دو بعدی فراتر می رود. در طبیعت می توانید هر دو نمونه از فرم های فرکتال مسطح، مثلاً هندسه رعد و برق، و سه بعدی را پیدا کنید. ارقام حجمی. سطوح فراکتال می توانند سه بعدی و یکی از موارد بسیار باشند تصاویر بصریفراکتال های سه بعدی در زندگی روزمره- سر کلم. شاید بهترین راه برای دیدن فراکتال ها در نوع رومانسکو باشد که ترکیبی از گل کلم و کلم بروکلی است.
شما همچنین می توانید این فراکتال را بخورید
برنامه Mandelbulb3D می تواند اشیاء سه بعدی با شکل مشابه ایجاد کند. برای به دست آوردن یک سطح سه بعدی با استفاده از الگوریتم فراکتال، نویسندگان این برنامه، دانیل وایت و پل نایلندر، مجموعه مندلبرو را به مختصات کروی تبدیل کردند. برنامه Mandelbulb3D که آنها ایجاد کردند یک ویرایشگر سه بعدی واقعی است که سطوح فراکتال را با اشکال مختلف مدل می کند. از آنجایی که ما اغلب الگوهای فراکتال را در طبیعت مشاهده می کنیم، یک شیء سه بعدی فراکتالی که به طور مصنوعی ایجاد شده است، فوق العاده واقعی و حتی "زنده" به نظر می رسد.
ممکن است شبیه یک گیاه باشد، ممکن است شبیه یک حیوان عجیب، یک سیاره یا چیز دیگری باشد. این افکت توسط یک الگوریتم رندر پیشرفته تقویت می شود که امکان به دست آوردن بازتاب های واقعی، محاسبه شفافیت و سایه ها، شبیه سازی اثر عمق میدان و غیره را فراهم می کند. Mandelbulb3D تعداد زیادی تنظیمات و گزینه های رندر دارد. شما می توانید سایه های منابع نور را کنترل کنید، پس زمینه و سطح جزئیات شی شبیه سازی شده را انتخاب کنید.
ویرایشگر فراکتال Incendia از صاف کردن تصویر دوتایی پشتیبانی می کند، شامل کتابخانه ای از پنجاه فراکتال سه بعدی مختلف است و دارای یک ماژول جداگانه برای ویرایش اشکال اصلی است.
این برنامه از برنامه نویسی فراکتال استفاده می کند که با آن می توانید انواع جدیدی از طرح های فراکتال را به طور مستقل توصیف کنید. Incendia دارای ویرایشگرهای بافت و متریال است و موتور رندر به شما امکان استفاده از افکت های مه حجمی و سایه زن های مختلف را می دهد. این برنامه گزینه ذخیره بافر را در طول رندر طولانی مدت اجرا می کند و از ایجاد انیمیشن پشتیبانی می کند.
Incendia به شما امکان می دهد یک مدل فراکتال را به فرمت های گرافیکی سه بعدی محبوب - OBJ و STL صادر کنید. Incendia شامل یک ابزار کوچک به نام Geometrica است، ابزاری ویژه برای تنظیم صادرات یک سطح فراکتال به یک مدل سه بعدی. با استفاده از این ابزار، می توانید وضوح یک سطح سه بعدی را تعیین کنید و تعداد تکرارهای فراکتال را مشخص کنید. مدل های صادر شده را می توان در پروژه های سه بعدی هنگام کار با ویرایشگرهای سه بعدی مانند Blender، 3ds max و غیره استفاده کرد.
اخیراً کار روی پروژه Incendia تا حدودی کند شده است. بر این لحظهنویسنده به دنبال حامیانی است که به او در توسعه برنامه کمک کنند.
اگر تخیل کافی برای کشیدن یک فراکتال سه بعدی زیبا در این برنامه ندارید، مهم نیست. از کتابخانه پارامترها که در پوشه INCENDIA_EX\parameters قرار دارد استفاده کنید. با استفاده از فایل های PAR، می توانید به سرعت غیرمعمول ترین شکل های فراکتال، از جمله شکل های متحرک را پیدا کنید.
⇡ شنیداری: چگونه فراکتال ها آواز می خوانند
ما معمولاً در مورد پروژه‌هایی صحبت نمی‌کنیم که فقط روی آنها کار می‌شود، بلکه در حال انجام است در این موردما باید یک استثنا قائل شویم، این یک برنامه بسیار غیر معمول است. این پروژه که Aural نام دارد توسط همان فردی که Incendia را ایجاد کرده بود اختراع شد. با این حال، این بار برنامه مجموعه فراکتال را تجسم نمی کند، بلکه آن را صدا می کند و آن را به موسیقی الکترونیک تبدیل می کند. این ایده بسیار جالب است، به خصوص با توجه به خواص غیر معمول فراکتال ها. Aural یک ویرایشگر صوتی است که ملودی‌ها را با استفاده از الگوریتم‌های فراکتال تولید می‌کند، یعنی در اصل، یک سنت‌سایزر-توالی‌سنج صوتی است.
توالی صداهای تولید شده توسط این برنامه غیرعادی و ... زیباست. ممکن است برای نوشتن مفید باشد ریتم های مدرنو، به نظر ما، به ویژه برای ایجاد موسیقی متن برای برنامه های تلویزیونی و رادیویی، و همچنین "حلقه" موسیقی پس زمینه برای بازی های رایانه ای مناسب است. رامیرو هنوز دمویی از برنامه خود ارائه نداده است، اما قول می دهد که وقتی این کار را انجام داد، برای کار با Aural، نیازی به مطالعه تئوری فراکتال نخواهید داشت - فقط باید با پارامترهای الگوریتم برای تولید یک دنباله بازی کنید. از یادداشت ها به صدای فراکتال ها گوش دهید و.
فراکتال: شکست موسیقی
در واقع، فراکتال ها می توانند به شما در نوشتن موسیقی حتی بدون نرم افزار کمک کنند. اما این کار را فقط کسی می تواند انجام دهد که واقعاً با این ایده آغشته باشد. هارمونی طبیعیو در عین حال تبدیل به یک "احمق" بدبخت نشد. منطقی است که از موزیسینی به نام جاناتان کولتون پیروی کنیم که از جمله برای مجله Popular Science آهنگ می نویسد. و برخلاف سایر اجراکنندگان، کولتون همه آثار خود را تحت مجوز Creative Commons Attribution-NonCommercial منتشر می کند که (در صورت استفاده برای مقاصد غیر تجاری) امکان کپی رایگان، توزیع، انتقال اثر به دیگران و همچنین اصلاح آن را فراهم می کند. ایجاد آثار مشتق شده) به طوری که آن را با وظایف خود تطبیق دهید.
جاناتان کولتون البته آهنگی در مورد فراکتال دارد.
⇡ نتیجه گیری
در هر چیزی که ما را احاطه کرده است، اغلب شاهد هرج و مرج هستیم، اما در واقع این یک تصادف نیست، بلکه یک فرم ایده آل است که فراکتال ها به ما کمک می کنند تا آن را تشخیص دهیم. طبیعت بهترین معمار، سازنده و مهندس ایده آل است. ساختار آن بسیار منطقی است، و اگر در جایی الگوی را نبینیم، به این معنی است که باید آن را در مقیاس دیگری جستجو کنیم. مردم این را بهتر و بهتر درک می کنند و سعی می کنند از اشکال طبیعی به طرق مختلف تقلید کنند. مهندسان سیستم های بلندگوهای پوسته ای شکل را طراحی می کنند، آنتن هایی به شکل دانه های برف ایجاد می کنند و غیره. ما مطمئن هستیم که فراکتال ها هنوز حاوی اسرار زیادی هستند و بسیاری از آنها هنوز توسط انسان ها کشف نشده اند.
کلاس کارشناسی ارشد "قطعات چند رنگ" (الگوی فراکتال).
کلاس کارشناسی ارشد برای کار با کودکان در هر رده سنی طراحی شده است. می تواند در کار با معلمان یا والدین استفاده شود.
هدف:ایجاد با استفاده از تکنیک "الگوی فراکتال". اثر هنری.
وظایف:
- آشنایی با تکنولوژی جدیدنقاشی؛
- توسعه بیان و خودشناسی از طریق خلاقیت؛
- آرامش و تسکین استرس عاطفی؛
- ایجاد صنایع دستی جمعی یا فردی؛
- استفاده از تکنیک های هنر درمانی برای اصلاح رفتار کودکان با معلولیت هاسلامتی؛
- توسعه مهارت های حرکتی ظریف.
الگوی فراکتال.
نویسندگان روش - روانشناسان T. Z. Poluyakhtova و A. E. Komov.روش الگوی فراکتالی آنها بیش از 20 سال قدمت دارد. در این مدت هزاران نفر با این روش آشنا شدند.طبق کتاب نویسندگان:
"روز 14 ژوئیه 1991 بسیار مهم بود. در این زمان، فناوری الگوهای فراکتال به عنوان یک آزمایش قبلا توسعه یافته بود.
برای تکمیل آن، از همه شنوندگان خواسته شد که برگه های یکسانی از کاغذ Whatman (فرمت A4) بگیرند.
برای حذف تأثیر هوشیاری بر نقاشی، از همه افراد آزمایش خواسته شد که چشمان خود را در زمان اجرا ببندند. و بدون برداشتن دست از روی ورق، خودکار را به مدت 45 تا 60 ثانیه روی ورق حرکت دهید و سعی کنید بیشتر آن را پر کنید.
چهل و نه نفر در این درس شرکت کردند - بزرگسالان و کودکان. مسن ترین شرکت کننده در سمینار 56 ساله و کوچکترین آنها 6 ساله بود.
روند نقاشی با چشمان بسته مانند یک آیین شگفت انگیز بود. تماشای همه چیز جالب بود.
سرانجام 60 ثانیه اختصاص داده شده به پایان رسید. همه چشمانشان را باز کردند، به نقاشی هایشان نگاه کردند و خنده های دوستانه در سالن پیچید. از آن زمان، این واکنش آزمودنی ها به مدت ده سال تکرار شده است.
آنچه روی هر ورق کاغذ به تصویر کشیده شده بود واقعا باعث خنده شد. طرح‌های همه متفاوت بود: برخی دارای سلول‌های مستطیلی، برخی دیگر مثلثی، برخی دارای خطوط صاف، برخی زاویه‌دار، گاهی اوقات حلقه‌ها و دایره‌های توپر.
سپس از شنوندگان خواسته شد تا نقاشی حاصل را رنگ آمیزی کنند. برای حذف تأثیر آگاهانه در انتخاب رنگ ، ما موافقت کردیم: مداد را بگیرید و قلم های احساس نوک را فقط با بسته شدن چشمان خود بگیرید.
هنگامی که تمام نقاشی ها تکمیل شد، شرکت کنندگان سمینار یک گالری کامل از شرایط انسانی را دیدند.
اساس روش اصل فراکتال ها و فراکتالیته به این صورت است.نقاشی در اینجا ادامه یک شخص، بخش کوچکی از او، یک طرح ریزی در نظر گرفته می شود. و این بخش کوچک منعکس کننده کل بزرگ است - شخص. با نگاهی به نقاشی ، می توانید وضعیت نویسنده آن را تشخیص دهید.
برای کار شما نیاز دارید:
- مجموعه ای از مداد رنگی،
- قلم ها و قلم ها را در حد ممکن در رنگ های مختلف قرار دهید.
- یک ورق کاغذ Whatman در فرمت A4؛
- قلم توپسیاه یا آبی تیره
تمثیل "مداد"
قبل از قرار دادن مداد در جعبه ، سازنده مداد آن را کنار گذاشت.وی به مداد گفت: "پنج چیز وجود دارد که شما باید بدانید ،" قبل از اینکه شما را به جهان بفرستم. " همیشه آنها را به یاد داشته باشید و هرگز آنها را فراموش نکنید ، و به بهترین مداد شما تبدیل خواهید شد.
اول ، شما می توانید کارهای بسیار خوبی انجام دهید ، اما فقط اگر به کسی اجازه دهید شما را در دست خود نگه دارد.
دوم، شما هر از گاهی تیز کردن دردناکی را تجربه خواهید کرد، اما برای تبدیل شدن به یک مداد بهتر ضروری است.
سوم: شما قادر خواهید بود اشتباهاتی را که مرتکب می شوید اصلاح کنید.
چهارم: بیشترین شما یک بخش مهمهمیشه در درون شما خواهد بود
و پنجم: مهم نیست که از چه سطحی استفاده می کنید ، همیشه باید علامت خود را ترک کنید. صرف نظر از وضعیت شما ، باید به نوشتن خود ادامه دهید.
مداد فهمید و قول داد که این را به خاطر بسپارد. او با یک تماس در قلبش در یک جعبه قرار گرفت.
مراحل کار مرحله به مرحله:
1. مواد لازم برای کار را جمع آوری می کنیم.
2. ورق را به صورت افقی در مقابل خود قرار دهید. توپ قلم را در هر نقطه از ورق قرار دهید. با بستن چشمانمان ، ما یک خط مداوم ترسیم می کنیم و سعی می کنیم تا حد ممکن پر کنیم منطقه بزرگورق، به مدت 45 - 60 ثانیه.
3. چشمان خود را ببندید، یک مداد انتخاب کنید. هنگام نقاشی، باید به یاد داشته باشید که سلول های مجاور که با یک خط جدا شده اند را نمی توان با همان رنگ پر کرد. اگر سلول ها در یک نقطه با هم تماس داشته باشند و به صورت مورب قرار گیرند، این امکان وجود دارد. می توانید یک سلول یا تعدادی سلول را با یک رنگ رنگ کنید.
4. چشمان خود را ببندید، مداد بعدی را انتخاب کنید. روی سلول هایی که با هم تماس ندارند رنگ می کنیم.
5. چشمان خود را ببندید، مداد بعدی را انتخاب کنید. روی سلول هایی که با هم تماس ندارند رنگ می کنیم.
6. نقاشی ما "قطعات چند رنگ" آماده است.
7. این نقاشی نه تنها به کاهش استرس عاطفی در حین خلاقیت کمک می کند، بلکه فضای داخلی را نیز تزئین می کند. نقاشی شما بی نظیر است!
اینم چند کار که توسط بچه های گروهم تکمیل شد.
کلاس کارشناسی ارشد برای دانش آموزان خردسال "قطعات چند رنگ" (نقاشی فراکتال).
نویسنده: آنا سرگیونا اوگونکووا، معلم مؤسسه آموزشی بودجه شهرداری "مدرسه شبانه روزی برای کودکان دارای معلولیت شماره 2" الکتروستال، منطقه مسکو، الکترواستال.
کلاس کارشناسی ارشد برای کار با کودکان در هر رده سنی طراحی شده است. می تواند در کار با معلمان یا والدین استفاده شود. با کشیدن نقاشی با استفاده از این تکنیک می توانید فضای داخلی خانه خود را به خوبی تزیین کنید یا نقاشی را به دوستان هدیه دهید. با کار در این کلاس کارشناسی ارشد، لذت زیادی خواهید برد و هیجان خلاقانه را تجربه خواهید کرد!
هدف: خلق یک اثر هنری با استفاده از تکنیک "طراحی فراکتال".
وظایف:
آشنایی با تکنیک های جدید نقاشی؛
توسعه بیان و خودشناسی از طریق خلاقیت؛
آرامش و تسکین استرس عاطفی؛
ایجاد صنایع دستی جمعی یا فردی؛
استفاده از تکنیک های هنر درمانی برای اصلاح رفتار کودکان دارای معلولیت؛
توسعه مهارت های حرکتی ظریف
الگوی فراکتال.
نویسندگان روش T. 3. Poluyakhtova و A. E. Komov هستند. روش الگوی فراکتالی آنها بیش از 20 سال قدمت دارد. در این مدت هزاران نفر با این روش آشنا شدند.
طبق کتاب نویسندگان:
"روز 14 ژوئیه 1991 بسیار مهم بود. در این زمان، فناوری الگوهای فراکتال به عنوان یک آزمایش قبلا توسعه یافته بود.
برای تکمیل آن، از همه شنوندگان خواسته شد که برگه های یکسانی از کاغذ Whatman (فرمت A4) بگیرند.
برای حذف تأثیر هوشیاری بر نقاشی، از همه افراد آزمایش خواسته شد که چشمان خود را در زمان اجرا ببندند. و بدون برداشتن دست از روی ورق، خودکار را به مدت 45 تا 60 ثانیه روی ورق حرکت دهید و سعی کنید بیشتر آن را پر کنید.
چهل و نه نفر در این درس شرکت کردند - بزرگسالان و کودکان. مسن ترین شرکت کننده در سمینار 56 ساله و کوچکترین آنها 6 ساله بود.
روند نقاشی با چشمان بسته مانند یک آیین شگفت انگیز بود. تماشای همه چیز جالب بود.
سرانجام 60 ثانیه اختصاص داده شده به پایان رسید. همه چشمانشان را باز کردند، به نقاشی هایشان نگاه کردند و خنده های دوستانه در سالن پیچید. از آن زمان، این واکنش آزمودنی ها به مدت ده سال تکرار شده است.
آنچه روی هر ورق کاغذ به تصویر کشیده شده بود واقعا باعث خنده شد. طرح‌های همه متفاوت بود: برخی دارای سلول‌های مستطیلی، برخی دیگر مثلثی، برخی دارای خطوط صاف، برخی زاویه‌دار، گاهی اوقات حلقه‌ها و دایره‌های توپر.
سپس از شنوندگان خواسته شد تا نقاشی حاصل را رنگ آمیزی کنند. برای جلوگیری از تأثیر آگاهانه در انتخاب رنگ، ما توافق کردیم: مدادها و خودکارهای نمدی را فقط با چشمان بسته بردارید.
هنگامی که تمام نقاشی ها تکمیل شد، شرکت کنندگان سمینار یک گالری کامل از شرایط انسانی را دیدند.
اساس روش اصل فراکتال ها و فراکتالیته به این صورت است. نقاشی در اینجا ادامه یک شخص، بخش کوچکی از او، یک طرح ریزی در نظر گرفته می شود. و این بخش کوچک منعکس کننده کل بزرگ است - شخص. با نگاه کردن به نقاشی، می توانید وضعیت نویسنده آن را تشخیص دهید.
برای کار شما نیاز دارید:
مجموعه ای از مداد رنگی، خودکارهای نمدی و خودکار در سایه های رنگی که ممکن است. ورق A4 کاغذ واتمن؛ خودکار به رنگ مشکی یا آبی تیره.
تمثیل "مداد"
قبل از قرار دادن مداد در جعبه ، سازنده مداد آن را کنار گذاشت.
او به مداد گفت: "پنج چیز وجود دارد که باید بدانید، قبل از اینکه شما را به دنیا بفرستم." همیشه آنها را به خاطر بسپارید و هرگز آنها را فراموش نکنید، و شما بهترین مدادکاری خواهید شد.
اول، شما می توانید بسیاری از کارهای بزرگ انجام دهید، اما به شرطی که اجازه دهید کسی شما را در دستان خود بگیرد.
دوم، شما هر از گاهی تیز کردن دردناکی را تجربه خواهید کرد، اما برای تبدیل شدن به یک مداد بهتر ضروری است.
سوم: شما قادر خواهید بود اشتباهاتی را که مرتکب می شوید اصلاح کنید.
چهارم: مهمترین بخش شما همیشه در درون شما خواهد بود.
و پنجم: مهم نیست که روی چه سطحی استفاده می‌کنید، همیشه باید اثری از خود بگذارید. صرف نظر از شرایط خود، باید به نوشتن ادامه دهید.
مداد فهمید و قول داد که این را به خاطر بسپارد. او را در جعبه ای قرار دادند که صدایی در دل داشت.
مراحل کار مرحله به مرحله:
1. مواد لازم برای کار را جمع آوری می کنیم.
2. ورق را به صورت افقی در مقابل خود قرار دهید. توپ قلم را در هر نقطه از ورق قرار دهید. با بستن چشمان خود، یک خط پیوسته می کشیم و سعی می کنیم تا جایی که ممکن است ورق را در عرض 45 تا 60 ثانیه پر کنیم.
3. چشمان خود را ببندید، یک مداد انتخاب کنید. هنگام نقاشی، باید به یاد داشته باشید که سلول های مجاور که با یک خط جدا شده اند را نمی توان با همان رنگ پر کرد. اگر سلول ها در یک نقطه با هم تماس داشته باشند و به صورت مورب قرار گیرند، این امکان وجود دارد. می توانید یک سلول یا تعدادی سلول را با یک رنگ رنگ کنید.
4. چشمان خود را ببندید، مداد بعدی را انتخاب کنید. روی سلول هایی که با هم تماس ندارند رنگ می کنیم.
5. چشمان خود را ببندید، مداد بعدی را انتخاب کنید. روی سلول هایی که با هم تماس ندارند رنگ می کنیم.
6. نقاشی ما "قطعات چند رنگ" آماده است.
7. این نقاشی نه تنها به کاهش استرس عاطفی در حین خلاقیت کمک می کند، به شما امکان می دهد وضعیت عاطفی خود را تشخیص دهید (پیوست 1)، بلکه فضای داخلی را نیز تزئین می کند. نقاشی شما بی نظیر است!
ضمیمه 1.
رمزگشایی الگوی فراکتال
1. تجزیه و تحلیل و رمزگشایی اطلاعات موجود در یک الگوی فراکتال با خطوط شروع می شود.
یک خط به وضوح ترسیم شده - با اعتماد به نفس، شخصیت قوی، هدفمندی و استقلال، دقت، کوشش، تعهد.
فشار هنگام کشیدن یک خط در همه جا یکسان نیست - اغلب این یک فرد خلاق با شخصیت انعطاف پذیر، یک رویاپرداز است، احساسات همیشه پایدار نیستند و گاهی اوقات خود شک و تردید خود را نشان می دهد.
خطوط ضعیف ترسیم شده نشان دهنده وضعیت دردناک، عقده ها، شک قابل توجه به خود است.
خطوط تیز و زاویه دار نشان دهنده تنش عاطفی، یک حالت استرس زا است.
خطوط با انتقال صاف - یک حالت هماهنگ و پایدار.
ترتیب خطوط در یک دایره متحدالمرکز، تکرار دایره ای در نقاشی - تمایل به حالات وسواسی، روان رنجوری.
2. اندازه و پیکربندی الگو
یک نقاشی کوچک (بیش از 1/3 از سطح ورق) - از یک طرف عقده ها و عزت نفس پایین، از سوی دیگر تمایل به خود محوری.
اندازه متوسط (حدود 2/3 سطح ورق) و محیط بیضی شکل اغلب نشانگر یک شخصیت متعادل است.
یک نقشه بزرگ (به طور قابل توجهی بیش از 2/3 سطح ورق) با خطوطی که فراتر از ورق امتداد دارند، ناپایدار است. وضعیت عاطفی، در برخی موارد، عدم توانایی در تمرکز. شکل مستطیلی محیط طرح مستطیل است و اغلب در طبیعت پیچیده است.
پیکربندی الگوی با تلفظ عجیب "دم" در امتداد محیط آن - شخصیت روشن، اصالت، در برخی موارد، عدم ثبات شخصیت.
3. سلول ها. پیکربندی و ابعاد.
ترکیبی هماهنگ از اندازه سلول در کل منطقه الگو (1/3 بزرگ، 1/3 متوسط، 1/3 کوچک) از اعتماد به نفس، عزم و ثبات صحبت می کند.
تعداد زیادی سلول بزرگ - طبیعتی مهربان و باز.
تعداد زیادی سلول میانی - سخت کوشی، دقت، کاردانی، وجود توانایی های تحلیلی، تمایل به علوم دقیق.
تعداد زیادی سلول کوچک - پیچیدگی ها، میل به جزئیات، در برخی موارد شک به خود، اما همیشه دقت و کوشش.
سلول های صاف و گرد با تعداد کمی اشکال هندسی - یک شخصیت معقول و آرام، تمایل به خلاقیت.
تعداد زیادی اشکال هندسی - تمایل آشکار به تجزیه و تحلیل، شک و تردید در ارزیابی ها، یک شخصیت مستبد مستقیم.
سلول های به شدت کشیده، زاویه ای، ناهموار - بی ثباتی عاطفی، تحریک، استرس.
4. لکه
سلول های کوچک سیاه (لکه های نقطه ای) - وجود کیفیت "سابق" رویدادها (آنچه که شخص در مورد آن فکر می کند اتفاق می افتد).
هر نقطه سیاه کوچک شواهدی از آغاز تغییر وقایع در زمان حال است.
تعداد قابل توجهی از نقاط متوسط یا یک نقطه سیاه بزرگ گرسنگی انرژی (کار ناخواسته، کار بیکار) است.
نقطه تاریک محلی بزرگ - مشکل فوریاز ماهیت شخصی
5. لهجه های رنگی مشخص
گلبول های قرمز بزرگ - مستعد حالت های وسواسی، اضطراب.
تعداد قابل توجهی از لکه های قرمز با اندازه متوسط - تنش، احساسات ناپایدار.
یک یا چند سلول قهوه ای بزرگ نشان دهنده مشکلاتی در روابط بین فردی است که برای مدت طولانی حل نشده است.
تعداد زیادی سایه سبز توانایی طبیعی بدن برای خود تنظیمی است.
یک یا چند سلول بزرگ بنفش - اضطراب، پرخاشگری، استرس حاد.
6. رنگ
بدون لکه یا علامت تمیز کنید پس زمینه سفیدنقاشی - تمرکز بالای توجه، کوشش، وقت شناسی.
سلول های پر نشده تصادفی یا عمدی سفید- در مورد کمبود قابل توجه تقاضا برای ویژگی های طبیعی صحبت کنید.
- زرد لیمویی رنگ یک مربی، یک معلم است.
- زرد مرغی رنگ "تکرار کننده"، فرستنده اطلاعات، مفسر است.
- رنگ سبز همه سایه ها رنگ انرژی سالم، توانایی بهینه بدن برای مقاومت و خوددرمانی و توانایی التیام است.
آبی رنگ انرژی آرام است.
آبی و آبی تیره رنگ انرژی سرد و بی تفاوت هستند.
یاس بنفش رنگ انرژی قوی است.
بنفش رنگ فوران انرژی است.
یاس بنفش رنگ انرژی قدرتمند و غیرقابل کنترل است.
صورتی رنگ انرژی گرم است.
مایل به قرمز، زرشکی - رنگی که وجود خطر را نشان می دهد، رنگ زنگ خطر.
سایه ضخیم قرمز، بورگوندی، گیلاس - رنگ قدرت، انرژی تهاجمی.
- نارنجی رنگ انرژی حیاتی و جنسی است.
- سایه های روشن (طلایی، بژ، اخرایی، شنی) قهوه ای رنگ انرژی خالص، انرژی مقدس است.
- قهوه ای رنگی است که وجود دردسر، احساسات عمیق، افسردگی (در ترکیب با سایر رنگ ها و سایه های تیره) را تعیین می کند.
- قهوه ای تیره رنگی است که وجود مشکل، احساسات عمیق، افسردگی (در ترکیب با سایر رنگ ها و سایه های تیره) را تعیین می کند.
- رنگ خاکستری رنگی است که وجود انرژی های ناپایدار را در ترکیب با سایر رنگ های تیره تعیین می کند - حالت مرزی. در مقادیر کم، این رنگ به معنای تغییر سریع در رویدادهای جاری است.
- رنگ سیاه رنگ حفره انرژی، خلاء، پوچی، کمبود انرژی است.
اغلب، اکتشافات درخشان در علم می تواند زندگی ما را به طور اساسی تغییر دهد. به عنوان مثال، اختراع یک واکسن می تواند بسیاری از مردم را نجات دهد، اما ایجاد سلاح های جدید منجر به قتل می شود. به معنای واقعی کلمه دیروز (در مقیاس تاریخ) انسان برق را "رام" کرد و امروز دیگر نمی تواند زندگی خود را بدون آن تصور کند. با این حال، اکتشافاتی نیز وجود دارد که، همانطور که می گویند، در سایه می مانند، علیرغم این واقعیت که آنها نیز تأثیری بر زندگی ما دارند. یکی از این اکتشافات فراکتال بود. اکثر مردم حتی هرگز در مورد این مفهوم نشنیده اند و نمی توانند معنای آن را توضیح دهند. در این مقاله سعی خواهیم کرد تا به این سوال بپردازیم که فراکتال چیست و معنای این اصطلاح را از منظر علم و طبیعت بررسی کنیم.
نظم در هرج و مرج
برای اینکه بفهمیم فراکتال چیست، باید بحث را از موضع ریاضیات شروع کنیم، اما قبل از پرداختن به آن، کمی فلسفه می‌کنیم. هر فردی یک کنجکاوی طبیعی دارد که به لطف آن یاد می گیرد جهان. او اغلب در جستجوی دانش، سعی می کند از منطق در قضاوت های خود استفاده کند. بنابراین، با تجزیه و تحلیل فرآیندهایی که در اطراف او رخ می دهد، سعی می کند روابط را محاسبه کند و الگوهای خاصی را استخراج کند. بزرگترین ذهن های روی کره زمین مشغول حل این مشکلات هستند. به طور کلی، دانشمندان ما به دنبال الگوهایی هستند که هیچ کدام وجود ندارد و نباید وجود داشته باشد. و با این حال، حتی در هرج و مرج ارتباطی بین برخی رویدادها وجود دارد. این ارتباط همان چیزی است که فراکتال است. به عنوان مثال، شاخه شکسته ای را در نظر بگیرید که روی جاده افتاده است. اگر به آن دقت کنیم، می بینیم که با تمام شاخه ها و شاخه هایش مانند یک درخت است. این شباهت یک جزء جداگانه با یک کل واحد، به اصطلاح اصل خود شباهت بازگشتی را نشان می دهد. فراکتال ها را می توان در همه جای طبیعت یافت، زیرا بسیاری از اشکال معدنی و آلی به روشی مشابه تشکیل می شوند. اینها ابرها، پوسته های دریایی، صدف حلزون ها، تاج درختان و حتی سیستم گردش خون هستند. این لیست را می توان به طور نامحدود ادامه داد. همه این اشکال تصادفی به راحتی توسط یک الگوریتم فراکتال توصیف می شوند. حال به این موضوع می پردازیم که فراکتال از منظر علوم دقیق چیست.
چند واقعیت خشک
خود کلمه "فرکتال" از لاتین به عنوان "جزئی"، "تقسیم شده"، "تکه تکه شده" ترجمه شده است و در مورد محتوای این اصطلاح، هیچ فرمول بندی به این صورت وجود ندارد. معمولاً به عنوان یک مجموعه خود مشابه تفسیر می شود، بخشی از کل، که ساختار خود را در سطح خرد تکرار می کند. این اصطلاح در دهه هفتاد ابداع شد قرن بنوامندلبروت که به عنوان پدر شناخته می شود امروزه مفهوم فراکتال به معنای تصویری گرافیکی از یک ساختار خاص است که وقتی بزرگ شود، شبیه به خود خواهد بود. با این حال، پایه ریاضی برای ایجاد این نظریه حتی قبل از تولد خود مندلبروت گذاشته شد، اما تا زمانی که رایانه های الکترونیکی ظاهر نشدند، نمی توانست توسعه یابد.
پیشینه تاریخی، یا چگونه همه چیز آغاز شد
در آغاز قرن 19 و 20، مطالعه ماهیت فراکتال ها پراکنده بود. این با این واقعیت توضیح داده می شود که ریاضیدانان ترجیح می دهند اشیایی را مطالعه کنند که می توان بر اساس نظریه ها و روش های کلی تحقیق کرد. در سال 1872، ریاضیدان آلمانی K. Weierstrass نمونه ای از تابع پیوسته ساخت که در هیچ کجا قابل تمایز نیست. با این حال، معلوم شد که این ساختار کاملاً انتزاعی و درک آن دشوار است. بعد هلگه فون کخ سوئدی آمد که در سال 1904 یک منحنی پیوسته ساخت که هیچ تانژانتی در هیچ کجا نداشت. ترسیم آن نسبتاً آسان است و معلوم می شود که دارای خواص فراکتالی است. یکی از انواع این منحنی به نام نویسنده آن - "برف کوچ" نامگذاری شد. علاوه بر این، ایده خود شباهت چهره ها توسط مربی آینده B. Mandelbrot، فرانسوی پل لوی توسعه داده شد. او در سال 1938 مقاله «صفحه و منحنی های فضایی و سطوح متشکل از اجزایی شبیه به کل» را منتشر کرد. در آن توصیف کرد نوع جدید- منحنی C Levi. تمام شکل های فوق به طور معمول به عنوان فراکتال های هندسی طبقه بندی می شوند.
فراکتال های پویا یا جبری
مجموعه Mandelbrot متعلق به این کلاس است. اولین محققین در این راستا، ریاضیدانان فرانسوی پیر فاتو و گاستون جولیا بودند. در سال 1918، جولیا مقاله ای را بر اساس مطالعه تکرارهای توابع مختلط گویا منتشر کرد. او در اینجا خانواده ای از فراکتال ها را توصیف کرد که ارتباط نزدیکی با مجموعه ماندلبروت دارند. با وجود این واقعیت که این اثر باعث تجلیل نویسنده در بین ریاضیدانان شد، به سرعت فراموش شد. و تنها نیم قرن بعد، به لطف رایانه ها، کار جولیا زندگی دوم را دریافت کرد. رایانه‌ها این امکان را فراهم کردند که زیبایی و غنای دنیای فراکتال‌هایی را که ریاضیدانان می‌توانستند با نمایش آنها از طریق توابع «ببینند» برای هر فردی قابل مشاهده کنند. Mandelbrot اولین کسی بود که از رایانه برای انجام محاسبات استفاده کرد (چنین حجمی را نمی توان به صورت دستی انجام داد) که امکان ساخت تصویری از این ارقام را فراهم کرد.
فردی با تخیل فضایی
ماندلبروت فعالیت علمی خود را در مرکز تحقیقات IBM آغاز کرد. در حین مطالعه امکان انتقال داده ها در فواصل طولانی، دانشمندان با این واقعیت مواجه شدند که تلفات زیادی به دلیل تداخل نویز ایجاد شده است. بنوا به دنبال راه هایی برای حل این مشکل بود. با نگاهی به نتایج اندازه گیری، او متوجه الگوی عجیبی شد، یعنی: نمودارهای نویز در مقیاس های زمانی مختلف یکسان به نظر می رسید.
تصویر مشابهی هم برای مدت یک روز و هم برای هفت روز یا یک ساعت مشاهده شد. خود بنوا ماندلبرو اغلب تکرار می کرد که با فرمول ها کار نمی کند، بلکه با تصاویر بازی می کند. این دانشمند متفاوت بود تفکر تخیلی، او هر مسئله جبری را به منطقه هندسی ترجمه کرد، جایی که پاسخ صحیح واضح است. بنابراین جای تعجب نیست که او با ثروت خود متمایز شده و پدر هندسه فراکتال شد. از این گذشته، آگاهی از این شکل تنها زمانی می تواند به دست آید که نقاشی ها را مطالعه کنید و به معنای این چرخش های عجیب و غریب که الگو را تشکیل می دهند فکر کنید. الگوهای فراکتال عناصر یکسانی ندارند، اما در هر مقیاسی مشابه هستند.
جولیا - ماندلبروت
یکی از اولین نقاشی‌های این شکل، تفسیر گرافیکی مجموعه بود که از آثار گاستون جولیا متولد شد و توسط ماندلبروت بیشتر توسعه یافت. گاستون سعی کرد بر اساس یک فرمول ساده که از طریق یک حلقه بازخورد تکرار می شد، تصور کند که یک مجموعه چگونه به نظر می رسد. بیایید سعی کنیم آنچه گفته شد را توضیح دهیم زبان انسانبه اصطلاح روی انگشتان دست. برای یک خاص مقدار عددیبا استفاده از فرمول مقدار جدید را پیدا می کنیم. ما آن را جایگزین فرمول می کنیم و موارد زیر را پیدا می کنیم. نتیجه بزرگ است.برای نشان دادن چنین مجموعه ای لازم است که این عملیات تعداد زیادی بار انجام شود: صدها، هزاران، میلیون ها. این کاری است که بنوا انجام داد. او دنباله را پردازش کرد و نتایج را به شکل گرافیکی منتقل کرد. متعاقباً، او شکل حاصل را رنگ کرد (هر رنگ مربوط به تعداد معینی از تکرار است). این تصویر گرافیکی «فرکتال ماندلبروت» نام داشت.
L. Carpenter: هنری خلق شده توسط طبیعت
نظریه فراکتال ها به سرعت کاربرد عملی پیدا کرد. از آنجایی که ارتباط بسیار نزدیکی با تجسم تصاویر خود مشابه دارد، هنرمندان اولین کسانی بودند که اصول و الگوریتم‌های ساخت این اشکال غیرعادی را اتخاذ کردند. اولین آنها بنیانگذار آینده پیکسار، لورن کارپنتر بود. هنگام کار بر روی ارائه نمونه های اولیه هواپیما، او ایده استفاده از تصویری از کوه ها را به عنوان پس زمینه پیدا کرد. امروزه تقریباً هر کاربر رایانه ای می تواند با چنین کاری کنار بیاید، اما در دهه هفتاد قرن گذشته، رایانه ها قادر به انجام چنین فرآیندهایی نبودند، زیرا در آن زمان ویرایشگرهای گرافیکی یا برنامه های کاربردی برای گرافیک های سه بعدی وجود نداشت. و سپس لورن با کتاب ماندلبروت "فرکتال ها: فرم، تصادفی و ابعاد" برخورد کرد. در آن، بنوا مثال‌های زیادی ارائه کرد و نشان داد که فراکتال‌ها در طبیعت وجود دارند (fyva) و آنها را توصیف کرد. اشکال مختلفو ثابت کرد که آنها به راحتی با عبارات ریاضی توصیف می شوند. این ریاضیدان این قیاس را به عنوان استدلالی برای سودمندی نظریه ای که در پاسخ به سیل انتقادات همکارانش ارائه می کرد، ذکر کرد. آنها استدلال کردند که یک فراکتال فقط است عکس زیبا، که ارزشی ندارد و محصول جانبی عملکرد ماشین های الکترونیکی است. نجار تصمیم گرفت این روش را در عمل امتحان کند. پس از مطالعه دقیق کتاب، انیماتور آینده شروع به جستجوی راهی برای پیاده سازی هندسه فراکتال در گرافیک کامپیوتری کرد. او تنها سه روز طول کشید تا تصویری کاملا واقعی از منظره کوهستان را در رایانه خود ارائه کند. و امروزه این اصل به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرد. همانطور که مشخص است، ایجاد فراکتال ها زمان و تلاش زیادی نمی خواهد.
راه حل نجار
اصلی که لورن استفاده کرد ساده بود. این شامل تقسیم بزرگترها به عناصر کوچک و آنهایی به عناصر کوچکتر مشابه و غیره است. نجار، با استفاده از مثلث های بزرگ، آنها را به 4 مثلث کوچک تقسیم کرد و به همین ترتیب، تا زمانی که یک منظره کوهستانی واقع گرایانه داشت. بنابراین، او اولین هنرمندی بود که از الگوریتم فراکتال در گرافیک کامپیوتری برای ساخت تصویر مورد نیاز استفاده کرد. امروزه این اصل برای تقلید از اشکال مختلف طبیعی واقع گرایانه استفاده می شود.
اولین تجسم سه بعدی با استفاده از الگوریتم فراکتال
چند سال بعد ، لورن از تحولات خود در یک پروژه در مقیاس بزرگ استفاده کرد - فیلم انیمیشن Vol Libre ، که در سال 1980 در Siggraph نشان داده شده است. این فیلم بسیاری را شوکه کرد و از خالق آن دعوت شد تا در لوکاسفیلم کار کند. در اینجا انیماتور توانست تمام پتانسیل خود را بشناسد؛ او مناظر سه بعدی (یک سیاره کامل) را برای فیلم داستانی "Star Trek" خلق کرد. هر برنامه مدرن("Fractals") یا یک برنامه گرافیکی سه بعدی (Terragen ، Vue ، Bryce) از همان الگوریتم برای مدل سازی بافت ها و سطوح استفاده می کند.
تام بدارد
بدارد که قبلاً یک فیزیکدان لیزر و اکنون یک هنرمند و هنرمند دیجیتال است، تعدادی اشکال هندسی بسیار جذاب خلق کرد که آنها را فراکتال فابرژه نامید. از نظر ظاهری، آنها شبیه تخم مرغ های تزئینی یک جواهرساز روسی هستند؛ آنها همان الگوی درخشان و پیچیده را دارند. Beddard از یک روش الگو برای ایجاد رندرهای دیجیتالی خود از مدل ها استفاده کرد. محصولات به دست آمده با زیبایی خود شگفت زده می شوند. اگرچه بسیاری از مقایسه یک محصول دست ساز با برنامه کامپیوتریبا این حال باید اعتراف کرد که فرم های به دست آمده فوق العاده زیبا هستند. نکته قابل توجه این است که هر کسی می تواند با استفاده از کتابخانه نرم افزار WebGL چنین فراکتالی بسازد. این به شما امکان می دهد ساختارهای مختلف فراکتال را در زمان واقعی کشف کنید.
فراکتال ها در طبیعت
افراد کمی توجه می کنند، اما این چهره های شگفت انگیز در همه جا حضور دارند. طبیعت از چهره های مشابه خود ساخته شده است، ما فقط متوجه آن نمی شویم. کافی است با ذره بین به پوست خود یا برگ درخت نگاه کنیم تا فراکتال ها را ببینیم. یا مثلاً یک آناناس یا حتی دم طاووس را در نظر بگیرید - آنها از چهره های مشابه تشکیل شده اند. و نوع کلم بروکلی رومانسکو به طور کلی از نظر ظاهری قابل توجه است، زیرا واقعاً می توان آن را یک معجزه طبیعت نامید.
مکث موسیقی
به نظر می رسد که فراکتال ها نه تنها اشکال هندسی هستند، بلکه می توانند صدا نیز باشند. بنابراین، جاناتان کولتون، نوازنده، موسیقی را با استفاده از الگوریتم های فراکتال می نویسد. ادعا می کند که با هماهنگی طبیعی مطابقت دارد. آهنگساز همه آثار خود را تحت مجوز CreativeCommons Attribution-NonCommercial منتشر می‌کند که امکان توزیع، کپی و انتقال رایگان آثار به دیگران را فراهم می‌کند.
نشانگر فراکتال
این تکنیک کاربرد بسیار غیرمنتظره ای پیدا کرده است. بر اساس آن، ابزاری برای تجزیه و تحلیل بازار بورس ایجاد شد و در نتیجه شروع به استفاده از آن در بازار فارکس شد. امروزه اندیکاتور فراکتال در تمامی پلتفرم های معاملاتی یافت می شود و در تکنیک معاملاتی به نام برک آوت قیمت مورد استفاده قرار می گیرد. این تکنیک توسط بیل ویلیامز توسعه داده شد. همانطور که نویسنده در مورد اختراع خود اظهار نظر می کند، این الگوریتم ترکیبی از چندین "شمع" است که در آن الگوریتم مرکزی حداکثر یا برعکس، حداقل نقطه افراطی را منعکس می کند.
سرانجام
بنابراین ما بررسی کردیم که فراکتال چیست. معلوم می شود که در هرج و مرجی که ما را احاطه کرده است، در واقع وجود دارد اشکال کامل. طبیعت بهترین معمار، سازنده و مهندس ایده آل است. خیلی منطقی چیده شده است و اگر نتوانیم الگویی پیدا کنیم به این معنی نیست که وجود ندارد. شاید لازم باشد در مقیاس دیگری نگاه کنیم. می‌توانیم با اطمینان بگوییم که فراکتال‌ها هنوز اسرار زیادی در خود دارند که هنوز کشف نکرده‌ایم.
احتمالاً بارها چنین الگوهای چشمگیری را با رنگ های زیاد و «فر» دیده اید...
بسیاری از آنها با کپی کردن مکرر اشکال معمولی ساخته می شوند که هر یک کپی کوچکتر از یک زیور آلات بزرگتر است.
در این آموزش نحوه ساخت الگوهای مشابه در Adobe Photoshop به شما آموزش داده می شود.
در اینجا نتیجه نهایی کاری است که ما می خواهیم انجام دهیم: 
مرحله 1
فراکتال(لاتین fractus - خرد شده) - اصطلاحی به معنای شکل هندسی است که خاصیت خود شباهت را دارد ، یعنی از چندین قسمت تشکیل شده است که هر یک از آنها شبیه به کل شکل است. در مفهوم وسیع‌تر، فراکتال‌ها به مجموعه‌ای از نقاط در فضای اقلیدسی درک می‌شوند که یک بعد متریک کسری (به معنای مینکوفسکی یا هاوسدورف) یا یک بعد متریک به شدت بزرگتر از بعد توپولوژیکی دارند. © ویکی پدیا
خوب، بیایید شروع کنیم. ابتدا بیایید ایجاد کنیم سند جدیداندازه 1600x1200 پیکسل و خطوط راهنما (خط کش (Ctrl+R)) را در مرکز سند قرار دهید. سپس پس زمینه را با یک گرادیان دایره ای #095261 - 000000 به شدت از مرکز پر کنید. 
گام 2
حالا بیایید یک دایره معمولی بکشیم... بله، شوخی نمی کنم، همه چیز از یک دایره ساده شروع می شود. با استفاده از ابزار Ellipse با نگه داشتن Shift آن را بکشید، برای من اندازه آن 83x83 پیکسل است و در قسمت وسط تصویر قرار دارد، سپس یک پوشه از لایه های فراکتال ایجاد کنید و لایه را با دایره در آنجا قرار دهید. 
مرحله 3
بیایید کمی عمق به دایره اضافه کنیم:
مرحله 4
اکنون لایه را با دایره کپی کنید (Ctrl+J)، اندازه آن را تغییر داده و مانند شکل زیر قرار دهید: 
مثلث سفید به عنوان راهنمای من برای حرکت دایره ها عمل می کند :)
مرحله 5
اینجاست که قسمت سرگرم کننده شروع می شود. لایه را با پایه الگوی خود کپی کرده (قبلاً لایه ها را با دایره ها وصل کرده ایم) و Ctrl+Alt+T را فشار دهید تا وارد حالت تبدیل آزاد شوید. 
مرحله 6
در حالی که Shift را نگه داشته اید، الگو را چند درجه در جهت عقربه های ساعت بچرخانید و آن را کمی کوچکتر کنید. سپس مرکز تبدیل را به سمت چپ و زیر الگوی خود حرکت می دهیم (جهت بستگی به نیاز شما دارد). Enter را فشار دهید. 
مرحله 7
وقت آن است که یک ترفند کوچک با یک میانبر (Ctrl+Shift+Alt+T) انجام دهیم. این کلید ترکیبی جادویی را فشار دهید. چی شد؟ فتوشاپ همان تنظیمات تبدیل را روی شی جدید اعمال کرد. این مرحله را چندین بار تکرار می کنیم تا به نتیجه دلخواه برسیم. 
مرحله 8
پوشه فراکتال را کپی کرده و Ctrl+E را فشار دهید تا در یک لایه ادغام شود. پنهان کردن پوشه اصلی الگوی به دست آمده را در بخش پایین سمت راست سند خود قرار می دهیم. 
مرحله 9
لایه حاصل را انتخاب کنید، آن را کپی کنید و یک تبدیل رایگان روی آن اعمال کنید و مرکز تبدیل را به وسط سند منتقل کنید. الگو را 120 درجه بچرخانید. 
مرحله 10
همین کار را برای به دست آوردن وجه سوم انجام می دهیم. سپس یک پوشه از لایه ها ایجاد می کنیم و هر 3 الگوی به دست آمده را در آنجا قرار می دهیم. پوشه را کپی کرده و محتویات آن را در یک لایه (Ctrl+E) ترکیب کنید. 
مرحله 11
لایه را کپی کنید و آن را تبدیل کنید: 
مرحله 12
به منوی Image-Adjustments-Hue/Saturation بروید و پارامترهای زیر را تنظیم کنید: 
مرحله 13
نکات 11 و 12 (12 با سایر پارامترها) را تکرار می کنیم: 
مرحله 14
ما بارها از این تکنیک استفاده می کنیم تا به نتیجه ای مشابه برسیم. تمام لایه های به دست آمده را در یک پوشه جدید قرار می دهیم، آن را کپی می کنیم و دوباره محتویات آن را در یک لایه ترکیب می کنیم (هر چیزی که قبلا ایجاد شده است را می توان پنهان کرد). 
مرحله 15
اضافه کردن یک سایه 
مرحله 16
ما مانورهای شرح داده شده در بند 5 را با زینت حاصل انجام می دهیم. 
نتیجه
همانطور که می بینید با استفاده از این تکنیک می توان طرح های انتزاعی بسیار زیبایی خلق کرد. برای شما در تلاش های خود موفق باشید! :)