Pechowcy nie potrafią programować przynajmniej na poziomie formuł w Excelu! Na przykład zawsze będzie im się zdawało, że paradoksy teorii prawdopodobieństwa są kaprysami matematyków, którzy nie są w stanie zrozumieć prawdziwe życie. Tymczasem teoria prawdopodobieństwa po prostu modeluje rzeczywiste procesy, podczas gdy ludzka myśl często tego nie potrafi w pełni sobie sprawę, co się dzieje.

Weźmy paradoks Monty'ego Halla, oto jego treść z rosyjskiej Wikipedii:

Wyobraź sobie, że zostałeś uczestnikiem gry, w której musisz wybrać jedne z trojga drzwi. Za jednymi drzwiami stoi samochód, za dwoma pozostałymi są kozy. Wybierasz jedne z drzwi, np. numer 1, po czym gospodarz, który wie, gdzie jest samochód i gdzie są kozy, otwiera jedne z pozostałych drzwi, np. numer 3, za którymi stoi koza. Następnie zapyta cię, czy chciałbyś zmienić swój wybór i wybrać drzwi numer 2. Czy twoje szanse na wygranie samochodu wzrosną, jeśli zaakceptujesz ofertę gospodarza i zmienisz swój wybór?

(Jednocześnie uczestnik gry zna z góry następujące zasady:

1. samochód z równym prawdopodobieństwem zostanie umieszczony za dowolnymi z 3 drzwi;
2. w każdym przypadku gospodarz jest zobowiązany do otwarcia drzwi z kozą (ale nie tą wybraną przez gracza) i zaproponowania graczowi zmiany wyboru;
3. jeśli lider ma wybór, które z 2 drzwi otworzyć, wybiera dowolne z nich z takim samym prawdopodobieństwem)

Na pierwszy rzut oka szanse nie powinny się zmieniać (przepraszam, dla mnie to już nie jest paradoks i nie przychodzi mi już do głowy niepoprawne wyjaśnienie, dlaczego szanse się nie zmienią, co na pierwszy rzut oka wyglądałoby logicznie).

Zwykle narratorzy tego paradoksu zaczynają oddawać się złożonemu rozumowaniu lub bombardować czytelnika formułami. Ale jeśli wiesz, jak programować choć trochę, nie potrzebujesz tego. Możesz przeprowadzać eksperymenty symulacyjne i sprawdzać, jak często wygrywasz lub przegrywasz przy danej strategii.

Właściwie, czym jest prawdopodobieństwo? Kiedy mówią „z tą strategią prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3” – oznacza to, że jeśli przeprowadzisz 1000 eksperymentów, to wygrasz w około 333 z nich. Innymi słowy, prawdopodobieństwo „1 na 3” jest dosłownie jednym z trzech eksperymentów. „Prawdopodobieństwo 2/3” jest dokładnie takie samo w dwóch z trzech przypadków.

Zróbmy więc eksperyment Monty'ego Halla. Jeden eksperyment łatwo mieści się w jednej linii tabeli Excela: oto on (plik warto pobrać, aby zobaczyć formuły), opiszę tutaj według kolumn:

A. Numer eksperymentu (dla wygody)

B. Generowanie liczby całkowitej Liczba losowa od 1 do 3. To będą drzwi, za którymi schowany jest samochód

CE-E. dla jasności umieściłem w tych celach „kozy” i „samochody”.

F. Teraz wybieramy losowe drzwi (właściwie można cały czas wybierać te same drzwi, bo już jest dość przypadkowości w wyborze drzwi do samochodu do modelu - sprawdźcie!)

G. Gospodarz wybiera teraz drzwi z pozostałych dwóch, aby je dla ciebie otworzyć

H. I tu najważniejsze: nie otwiera drzwi, za którymi stoi samochód, aw przypadku, gdy początkowo wskazałeś drzwi z kozą, otwiera inne jedyne możliwe drzwi z kozą! To jego wskazówka dla ciebie.

I. Cóż, teraz obliczmy szanse. Dopóki nie zmienimy drzwi - tj. policzmy przypadki, gdy kolumna B jest równa kolumnie F. Niech będzie „1” – wygrana, a „0” – przegrana. Wtedy suma komórek (komórka I1003) to liczba wygranych. Powinieneś otrzymać liczbę bliską 333 (w sumie wykonujemy 1000 eksperymentów). Rzeczywiście, znalezienie samochodu za każdymi z trojga drzwi jest zdarzeniem dość prawdopodobnym, co oznacza, że ​​wybierając jedne drzwi, szansa na zgadnięcie wynosi jeden na trzy.

J. To nie wystarczy! Zmieńmy nasz wybór.

K. Podobnie: „1” – wygrana, „0” – przegrana. A jaka jest suma? A suma to liczba równa 1000 minus liczba z komórki I1003, czyli blisko 667. Czy to cię dziwi? Ale czy mogło stać się coś innego? W końcu nie ma innych zamkniętych drzwi! Jeśli początkowo wybrane drzwi wygrywają 333 razy na 1000, to inne drzwi powinny wygrywać za każdym razem!

Czy teraz mnie rozumiesz, dlaczego nie widzę tu paradoksu? Jeśli istnieją dwie i tylko dwie wzajemnie wykluczające się strategie i jedna daje wypłatę z prawdopodobieństwem p, to druga musi dawać wypłatę z prawdopodobieństwem 1-p, co to za paradoks?

Jeśli spodobał Ci się ten post, spróbuj teraz zbudować podobny plik dla paradoksu chłopców i dziewcząt w następującym sformułowaniu:

Pan Smith jest ojcem dwójki dzieci. Spotkaliśmy go idącego ulicą z małym chłopcem, którego z dumą przedstawił nam jako swojego syna. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko pana Smitha jest również chłopcem?

Pozdrowienia ze słonecznego Wietnamu! :) Przyjdź do nas do pracy! :)

Wszyscy znamy sytuację, kiedy zamiast trzeźwej kalkulacji zdaliśmy się na intuicję. W końcu musimy przyznać, że nie zawsze jest możliwe obliczenie wszystkiego przed dokonaniem wyboru. I bez względu na to, jak przebiegli są ludzie, którzy są przyzwyczajeni do dokonywania wyboru dopiero po dokładnej analizie, ani razu nie musieli tego robić na zasadzie „prawdopodobnie tak”. Jednym z powodów takiego działania może być banalny brak czasu niezbędnego do oceny sytuacji.

Jednocześnie wybór czeka na obecną sytuację w tej chwili i nie pozwala uciec od odpowiedzi lub działania. Ale jeszcze bardziej trudne dla nas sytuacje, które w dosłownie powoduje skurcz mózgu, jest zniszczeniem wiary w słuszność wyboru lub w jego prawdopodobną wyższość nad innymi opcjami opartymi na logicznych wnioskach. Na tym opierają się wszystkie istniejące paradoksy.

Paradoks w grze w programie telewizyjnym „Zawrzyjmy umowę”

Jeden z paradoksów, który wywołuje gorącą debatę wśród miłośników puzzli, nazywa się paradoksem Monty'ego Halla. Jej nazwa pochodzi od wiodącego programu telewizyjnego w USA o nazwie „Let's Make a Deal”. W programie telewizyjnym gospodarz proponuje otwarcie jednych z trzech drzwi, w których nagrodą jest samochód, podczas gdy za pozostałymi dwoma stoi jedna koza.

Uczestnik gry dokonuje wyboru, ale gospodarz, wiedząc, gdzie jest samochód, otwiera nie wskazane przez gracza drzwi, ale te drugie, w których znajduje się koza i proponuje graczowi zmianę początkowego wyboru. Do dalszej analizy przyjmujemy to szczególne zachowanie gospodarza, choć w rzeczywistości może ono okresowo ulegać zmianie. Po prostu wymienimy inne opcje scenariusza rozwoju poniżej w artykule.

Jaka jest istota paradoksu?

Po raz kolejny, punkt po punkcie, wyznaczymy warunki i zmienimy obiekty gry na zmianę na własne.

Uczestnik gry znajduje się w pomieszczeniu z trzema komórkami bankowymi. W jednej z trzech cel znajduje się złota sztabka złota, w pozostałych dwóch jedna moneta o nominale 1 kopiejki ZSRR.

Tak więc uczestnik przed wyborem i warunkami gry przedstawia się następująco:

1. Uczestnik może wybrać tylko jedną z trzech komórek.
2. Bankier zna początkowo lokalizację sztabki.
3. Bankier zawsze otwiera komórkę na monety inną niż wybrana przez gracza i prosi gracza o zmianę wyboru.
4. Gracz może z kolei zmienić swój wybór lub pozostać przy pierwotnym.

Co mówi intuicja?

Paradoks polega na tym, że dla większości ludzi, którzy są przyzwyczajeni do logicznego myślenia, szanse na wygraną, jeśli zmienią swój początkowy wybór, wynoszą od 50 do 50. W końcu po tym, jak bankier otworzy kolejną komórkę z monetą inną niż pierwotnie wybrana przez gracza, 2 komórki pozostać, w jednym z nich jest sztabka złota, aw drugim moneta. Gracz wygrywa sztabkę, jeśli zaakceptuje ofertę bankiera dotyczącą zmiany komórki, pod warunkiem, że w komórce pierwotnie wybranej przez gracza nie było sztabki. I odwrotnie kiedy ten warunek- przegrywa, jeśli odmówi przyjęcia oferty.

Jak sugerujemy zdrowym rozsądkiem, prawdopodobieństwo wybrania sztabki i wygranej w tym przypadku wynosi 1/2. Ale w rzeczywistości sytuacja jest inna! „Ale jak to jest, tutaj wszystko jest oczywiste?” - ty pytasz. Powiedzmy, że wybrałeś komórkę numer 1. Intuicyjnie tak, bez względu na to, jaki wybór miałeś na początku, ostatecznie masz monetę i sztabkę przed wyborem. A jeśli początkowo miałeś prawdopodobieństwo otrzymania nagrody 1/3, to w końcu, kiedy otworzysz jedną komórkę przez bankiera, masz prawdopodobieństwo 1/2. Wydawało się, że prawdopodobieństwo wzrosło z 1/3 do 1/2. Po dokładnej analizie gry okazuje się, że po zmianie decyzji prawdopodobieństwo wzrasta do 2/3 zamiast intuicyjnego 1/2. Przyjrzyjmy się, dlaczego tak się dzieje.

W przeciwieństwie do poziomu intuicyjnego, gdzie nasza świadomość traktuje zdarzenie po zmianie komórki jako coś oddzielnego i zapomina o początkowym wyborze, matematyka nie rozdziela tych dwóch zdarzeń, ale raczej zachowuje łańcuch zdarzeń od początku do końca. Tak więc, jak powiedzieliśmy wcześniej, szanse na wygraną przy natychmiastowym trafieniu sztabki wynoszą 1/3, a prawdopodobieństwo, że wybierzemy komórkę z monetą, wynosi 2/3 (ponieważ mamy jedną sztabkę i dwie monety).

1. Wstępnie wybieramy komórkę bankową z wlewkiem - prawdopodobieństwo wynosi 1/3.
   • Jeśli gracz zmieni swój wybór, akceptując ofertę bankiera, przegrywa.
   • Jeśli gracz nie zmieni swojego wyboru bez zaakceptowania oferty bankiera, wygrywa.
2. Za pierwszym razem wybieramy komórkę bankową z monetą - prawdopodobieństwo wynosi 2/3.
   • Jeśli gracz zmieni swój wybór, wygrywa.
   • Jeśli gracz nie zmieni wyboru – przegrany.

Aby więc gracz wyszedł z banku ze sztabką złota w kieszeni, musi wybrać początkowo przegraną pozycję z monetą (prawdopodobieństwo 1/3), a następnie zaakceptować ofertę bankiera dotyczącą zmiany komórki.

Aby zrozumieć ten paradoks i wyrwać się z kajdan początkowego wzorca selekcji i pozostałych komórek, wyobraźmy sobie zachowanie gracza w dokładnie odwrotny sposób. Zanim bankier zaproponuje komórkę do wyboru, gracz jest w umyśle precyzyjnie zdeterminowany, aby zmienić swój wybór, a dopiero potem następuje dla niego zdarzenie otwarcia dodatkowych drzwi. Dlaczego nie? W końcu otwarte drzwi nie dają mu więcej informacji w tak logicznej kolejności. Na pierwszym etapie gracz dzieli komórki na dwa różne obszary: pierwszy to obszar z jedną komórką z jego początkowym wyborem, drugi z dwoma pozostałymi komórkami. Następnie gracz musi dokonać wyboru pomiędzy dwoma obszarami. Prawdopodobieństwo otrzymania sztabki złota z komórki z pierwszego obszaru wynosi 1/3, z drugiego 2/3. Wybór następuje po drugim obszarze, w którym może otworzyć dwie komórki, pierwszą otworzy bankier, drugą sam.

Istnieje jeszcze lepsze wyjaśnienie paradoksu Monty'ego Halla. Aby to zrobić, musisz zmienić treść zadania. Bankier wyjaśnia, że ​​jedna z trzech komórek bankowych zawiera sztabkę złota. W pierwszym przypadku proponuje otwarcie jednej z trzech cel, w drugim - dwóch jednocześnie. Co wybierze gracz? Cóż, oczywiście, dwa na raz, przez podwojenie prawdopodobieństwa. A moment kiedy bankier otworzył komórkę monetą, to właściwie w żaden sposób nie pomaga graczowi i nie przeszkadza w wyborze, bo bankier i tak pokaże tę komórkę monetą, więc gracz może to po prostu zignorować działanie. Ze strony gracza można tylko podziękować bankierowi za ułatwienie mu życia, a zamiast dwóch musiał otworzyć jedną celę. Cóż, w końcu możesz pozbyć się syndromu paradoksu, jeśli postawisz się na miejscu bankiera, który początkowo wie, że gracz wskazuje niewłaściwe drzwi w dwóch na trzy przypadki. Dla bankiera nie ma paradoksu jako takiego, bo ma pewność, że w takim odwróceniu wydarzeń gracz w przypadku zmiany wydarzeń bierze sztabkę złota.

Paradoks Monty'ego Halla najwyraźniej nie pozwala wygrać konserwatystom, którzy są uzbrojeni w swój pierwotny wybór i tracą szansę na zwiększenie prawdopodobieństwa. Dla konserwatystów pozostanie 1/3. Dla osób czujnych i rozsądnych rośnie do powyższych 2/3.

Wszystkie powyższe stwierdzenia są ważne tylko zgodnie z początkowo określonymi warunkami.

Co jeśli zwiększymy liczbę komórek?

Co jeśli zwiększymy liczbę komórek? Powiedzmy, że zamiast trzech będzie ich 50. Sztabka złota będzie leżeć tylko w jednej komórce, aw pozostałych 49 - monetach. W związku z tym, w przeciwieństwie do klasycznego przypadku, prawdopodobieństwo trafienia w cel w ruchu wynosi 1/50 lub 2% zamiast 1/3, podczas gdy prawdopodobieństwo wybrania komórki z monetą wynosi 98%. Ponadto sytuacja rozwija się, podobnie jak w poprzednim przypadku. Bankier oferuje otwarcie dowolnej z 50 komórek, według wyboru uczestnika. Powiedzmy, że gracz otwiera komórkę o numerze seryjnym 49. Z kolei bankier, podobnie jak w klasycznej wersji, nie spieszy się ze spełnieniem życzenia gracza i otwiera kolejne 48 komórek z monetami i proponuje zmianę swojego wyboru na pozostałą pod numerem 50.

Ważne jest, aby zrozumieć tutaj, że bankier otwiera dokładnie 48 komórek, a nie 30, i jednocześnie opuszcza 2, w tym tę wybraną przez gracza. To właśnie ten wybór sprawia, że ​​paradoks działa wbrew intuicji. Jak w przypadku z wersja klasyczna, otwarcie 48 komórek przez bankiera pozostawia tylko jedną alternatywę do wyboru. Przypadek wariantu mniejszego otwarcia komórek nie pozwala postawić problemu na równi z klasyką i odczuć paradoks.

Skoro jednak poruszyliśmy już tę opcję, to załóżmy, że bankier pozostawia nie jedną, poza tą wybraną przez gracza, ale kilka komórek. Przedstawiono, jak poprzednio, 50 komórek. Bankier po wyborze gracza otwiera tylko jedną komórkę, pozostawiając 48 komórek zamkniętych, w tym tę wybraną przez gracza. Prawdopodobieństwo wybrania wlewka przy pierwszej próbie wynosi 1/50. W sumie prawdopodobieństwo znalezienia wlewka w pozostałych komórkach wynosi 49/50, co z kolei rozkłada się nie na 49, ale na 48 komórek. Nietrudno obliczyć, że prawdopodobieństwo znalezienia sztabki wynosi w tym przypadku (49/50)/48=49/2900 . Prawdopodobieństwo, choć nieduże, jest nadal wyższe od 1/50 o około 1%.

Jak wspomnieliśmy na samym początku, gospodarz Monty Hall w klasycznym scenariuszu gry z drzwiami, kozami i samochodem z nagrodami może zmienić warunki gry, a wraz z nią prawdopodobieństwo wygranej.

Matematyka paradoksu

Czy formuły matematyczne mogą udowodnić wzrost prawdopodobieństwa przy zmianie wyborów?
Wyobraźmy sobie łańcuch wydarzeń jako zbiór podzielony na dwie części, pierwsza część zostanie wzięta jako X - to jest wybór gracza na pierwszym etapie bezpiecznej celi; a drugi zestaw Y - pozostałe dwie pozostałe komórki. Prawdopodobieństwo (B) wygranej dla pól 2 i 3 można wyrazić za pomocą wzorów.

B(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
B(3) = 1/2 * 2/3 = 1/3

Gdzie 1/2 to prawdopodobieństwo, z jakim bankier otworzy komórki 2 i 3, pod warunkiem, że gracz początkowo wybrał komórkę bez sztabki.
Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe 1/2, gdy bankier otworzy komórkę z monetą, zmienia się na 1 i 0. Wtedy formuły przyjmują następującą postać:

B(2) = 0 * 2/3 = 0
B(3) = 1 * 2/3 = 1

Tutaj wyraźnie widzimy, że prawdopodobieństwo wybrania wlewka w komórce 3 wynosi 2/3, czyli nieco ponad 60 proc.
Sam programista poziom wejścia można łatwo sprawdzić ten paradoks, pisząc program, który oblicza prawdopodobieństwo zmiany wyborów lub odwrotnie i sprawdza wyniki.

Wyjaśnienie paradoksu w filmie 21 (dwadzieścia jeden)

Wizualne wyjaśnienie paradoksu Monty Paula znajduje się w filmie „21” (Dwadzieścia jeden) w reżyserii Roberta Luketica. Profesor Mickey Rosa w wykładzie podaje przykład z programu Let's Make a Deal i pyta ucznia Bena Campbella (aktor i piosenkarz James Anthony) o rozkład prawdopodobieństwa, który podaje prawidłowy układ i tym samym zaskakuje nauczyciela.

Niezależne badanie paradoksu

Dla osób, które chcą samodzielnie sprawdzić wynik w praktyce, ale nie mają podstaw matematycznych, proponujemy samodzielnie przeprowadzić symulację gry, w której będziesz liderem, a ktoś będzie graczem. W tę zabawę możesz zaangażować dzieci, które we wcześniej przygotowanych kartonikach wybiorą z nich cukierki lub opakowania po cukierkach. Przy każdym wyborze pamiętaj o zapisaniu wyniku do dalszych obliczeń.

Sformułowanie

Najpopularniejszym zadaniem jest dodatkowy warunek Nr 6 z tabeli – uczestnik gry zna z góry następujące zasady:

• samochód jest równie prawdopodobnie umieszczony za dowolnymi z 3 drzwi;
• gospodarz w każdym przypadku jest zobowiązany do otwarcia drzwi z kozą i zaproponowania graczowi zmiany wyboru, ale nie drzwi, które wybrał gracz;
• jeśli lider ma wybór, które z 2 drzwi otworzyć, wybiera dowolne z nich z takim samym prawdopodobieństwem.

Poniższy tekst omawia problem Monty'ego Halla w tym sformułowaniu.

Rozbiór gramatyczny zdania

Rozwiązując ten problem, zwykle argumentuje się w ten sposób: gospodarz zawsze na koniec usuwa jedne zgubione drzwi, a wtedy prawdopodobieństwo pojawienia się samochodu za dwojgiem nieotwartych drzwi wynosi 1/2, niezależnie od początkowego wyboru.

Chodzi o to, że przy swoim początkowym wyborze uczestnik dzieli drzwi: wybrańca A i dwóch innych - B I C. Prawdopodobieństwo, że samochód jest za wybranymi drzwiami = 1/3, że za innymi = 2/3.

Dla każdego z pozostałych drzwi aktualna sytuacja jest opisana w następujący sposób:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

Gdzie 1/2 to prawdopodobieństwo warunkowe, że samochód znajduje się za podanymi drzwiami, pod warunkiem, że samochód nie znajduje się za wybranymi przez gracza drzwiami.

Gospodarz, otwierając jedne z pozostałych drzwi, które zawsze przegrywają, przekazuje tym samym graczowi dokładnie 1 bit informacji i zmienia prawdopodobieństwa warunkowe odpowiednio dla B i C na „1” i „0”.

W rezultacie wyrażenia przybierają postać:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

Uczestnik powinien zatem zmienić swój początkowy wybór – w takim przypadku prawdopodobieństwo jego wygranej wyniesie 2/3.

Jedno z najprostszych wyjaśnień jest następujące: jeśli zmienisz drzwi po tym, jak gospodarz zadziałał, wygrywasz, jeśli pierwotnie wybrałeś przegrane drzwi (wtedy gospodarz otworzy drugie przegrane drzwi i będziesz musiał zmienić swój wybór, aby wygrać) . I początkowo możesz wybrać przegrane drzwi na 2 sposoby (prawdopodobieństwo 2/3), tj. jeśli zmienisz drzwi, wygrywasz z prawdopodobieństwem 2/3.

Wniosek ten przeczy intuicyjnemu postrzeganiu sytuacji przez większość ludzi, dlatego opisywane zadanie nazywa się Paradoks Monty'ego Halla, tj. paradoks w sensie codziennym.

A intuicyjna percepcja jest następująca: otwierając drzwi kozą, gospodarz wyznacza graczowi nowe zadanie, które nie ma nic wspólnego z poprzednim wyborem – w końcu koza jest za otwarte drzwi pojawi się niezależnie od tego, czy gracz wcześniej wybrał kozę, czy samochód. Po otwarciu trzecich drzwi gracz musi ponownie dokonać wyboru - albo wybrać te same drzwi, które wybrał wcześniej, albo inne. To znaczy, podczas gdy nie zmienia swojego poprzedniego wyboru, ale dokonuje nowego. Rozwiązanie matematyczne traktuje dwa kolejne zadania lidera jako powiązane ze sobą.

Należy jednak wziąć pod uwagę czynnik z warunku, że gospodarz otworzy drzwi kozą z pozostałych dwóch, a nie wybrane przez gracza drzwi. Dlatego pozostałe drzwi mają większe szanse na samochód, ponieważ nie zostały wybrane jako główne. Jeśli weźmiemy pod uwagę przypadek, gdy prowadzący, wiedząc, że za wybranymi przez gracza drzwiami znajduje się koza, mimo to otwiera te drzwi, czyniąc to celowo zmniejsza szanse gracza na wybranie właściwych drzwi, ponieważ. prawdopodobieństwo właściwy wybór będzie 1/2. Ale tego rodzaju Gra będzie miała inne zasady.

Podajmy jeszcze jedno wyjaśnienie. Załóżmy, że grasz zgodnie z opisanym powyżej systemem, tj. spośród dwojga pozostałych drzwi, zawsze wybierasz drzwi inne niż pierwotnie wybrałeś. W którym przypadku przegrasz? Strata przyjdzie wtedy i tylko wtedy, gdy od początku wybrałeś drzwi, za którymi stoi samochód, bo później nieuchronnie zmienisz zdanie na korzyść drzwi z kozą, we wszystkich innych przypadkach wygrać, tj. jeśli od samego początku Zły wybór drzwi. Ale prawdopodobieństwo wybrania drzwi z kozą od samego początku wynosi 2/3, więc okazuje się, że aby wygrać, potrzebny jest błąd, którego prawdopodobieństwo jest dwukrotnie większe niż prawidłowy wybór.

Wzmianki

• W filmie Dwadzieścia jeden nauczyciel, Miki Rosa, proponuje głównemu bohaterowi, Benowi, rozwiązanie problemu: za trzema drzwiami stoją dwa skutery i jeden samochód, musisz odgadnąć drzwi z samochodem. Po pierwszym wyborze Miki proponuje zmianę wyboru. Ben zgadza się i matematycznie uzasadnia swoją decyzję. Więc mimowolnie zdaje egzamin dla zespołu Miki.
• W powieści Siergieja Lukyanenko „Kluttyopa” główni bohaterowie za pomocą tej techniki wygrywają powóz i możliwość kontynuowania podróży.
• W serialu telewizyjnym „4isla” (odcinek 13 sezonu 1 „Polowanie na człowieka”) jeden z głównych bohaterów, Charlie Epps, w popularnym wykładzie z matematyki wyjaśnia paradoks Monty'ego Halla, wyraźnie ilustrując go za pomocą tabliczek markerowych, na odwrotne strony którymi są malowane kozy i samochód. Charlie znajduje samochód, zmieniając wybór. Należy jednak zauważyć, że przeprowadza tylko jeden eksperyment, podczas gdy korzyść ze strategii wymiany jest statystyczna i należy przeprowadzić serię eksperymentów, aby poprawnie to zilustrować.
• Paradoks Monty Hall został omówiony w dzienniku bohatera opowiadania Marka Haddona Dziwny przypadek psa w nocy.
• Paradoks Monty'ego Halla przetestowany przez Pogromców Mitów

Zobacz też

• Paradoks Bertranda

Spinki do mankietów

	Paradoks Monty'ego Halla w Wikibooks
	Paradoks Monty'ego Halla w Wikimedia Commons

• Interaktywny prototyp: dla tych, którzy chcą się wygłupiać (generacja następuje po pierwszym wyborze)
• Interaktywny prototyp: prawdziwy prototyp gry (karty są generowane przed selekcją, praca prototypu jest przejrzysta)
• Wyjaśnienie wideo na Smart Videos.ru

• WeissteinEric W. The Monty Hall Paradox (angielski) na stronie internetowej Wolfram MathWorld.
• The Monty Hall Paradox na stronie internetowej programu telewizyjnego Let's Make a Deal
• Fragment książki S. Lukyanenko, w której wykorzystano paradoks Monty Halla
• Kolejne rozwiązanie bayesowskie Kolejne rozwiązanie bayesowskie na forum Nowosybirskiego Uniwersytetu Państwowego

Literatura

• Gmurman VE Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, - M .: Wyższa edukacja. 2005
• Gnedin, Sasha „Gra Mondee Gills”. czasopismo Inteligencja matematyczna, 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
• Magazyn Parady z dnia 17 lutego.
• vos Savant, Marilyn. Zapytaj kolumnę Marilyn, magazyn Magazyn Parady z dnia 26 lutego.
• Bapeswara Rao, VV i Rao, M. Bhaskara. „Trzydrzwiowy teleturniej i niektóre jego warianty”. Czasopismo Matematyk, 1992, № 2.
• Tijms, Henk. Zrozumienie prawdopodobieństwa, zasad przypadku w życiu codziennym. Cambridge University Press, Nowy Jork, 2004. ( ISBN 0-521-54036-4 )

Notatki

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Zobacz, czym jest „Paradoks Monty Hall” w innych słownikach:

W poszukiwaniu samochodu gracz wybiera drzwi 1. Następnie gospodarz otwiera trzecie drzwi, za którymi znajduje się koza i zaprasza gracza do zmiany wyboru na drzwi 2. Czy powinien to zrobić? Paradoks Monty'ego Halla jest jednym z dobrze znanych problemów teorii... ...Wikipedii

- (Paradoks krawata) to dobrze znany paradoks podobny do problemu dwóch obwiedni, który również wykazuje cechy subiektywnego postrzegania teorii prawdopodobieństwa. Istota paradoksu: dwóch mężczyzn daje sobie kupione przez siebie świąteczne krawaty……Wikipedii

„Istnieją trzy rodzaje kłamstw: kłamstwa, bezczelne kłamstwa i statystyki”. To zdanie, przypisane przez Marka Twaina brytyjskiemu premierowi Benjaminowi Disraeli, dobrze oddaje stosunek większości do praw matematycznych. Rzeczywiście, teoria prawdopodobieństwa czasami rzuca niesamowite fakty, w które na pierwszy rzut oka trudno uwierzyć - a które jednak są potwierdzone przez naukę. „Teorie i praktyki” przypominały najsłynniejsze paradoksy.

Problem Monty'ego Halla

Właśnie to zadanie przebiegły profesor MIT zaproponował studentom w filmie „Dwadzieścia jeden”. Podanie właściwej odpowiedzi główny bohater dołącza do zespołu genialnych młodych matematyków, którzy pokonują kasyna w Las Vegas.

Klasyczne sformułowanie brzmi następująco: „Powiedzmy, że pewnemu graczowi zaproponowano udział w słynnym amerykańskim programie telewizyjnym Let's Make a Deal, którego gospodarzem jest Monty Hall, i musi wybrać jedne z trzech drzwi. Za dwojgiem drzwi są kozy, za jednymi - Nagroda główna, samochód, prezenter zna lokalizację nagród. Po dokonaniu przez gracza wyboru prowadzący otwiera jedne z pozostałych drzwi, za którymi znajduje się koza, i zaprasza gracza do zmiany zdania. Czy gracz powinien się zgodzić, czy lepiej pozostać przy pierwotnym wyborze?”

Oto typowy tok rozumowania: po tym, jak gospodarz otworzył jedne z drzwi i pokazał kozę, gracz musi wybrać między dwojgiem drzwi. Samochód stoi za jednym z nich, więc prawdopodobieństwo zgadnięcia wynosi ½. Więc nie ma różnicy - zmienić swój wybór czy nie. A jednak teoria prawdopodobieństwa mówi, że możesz zwiększyć swoje szanse na wygraną, zmieniając swoją decyzję. Zobaczmy, dlaczego tak jest.

Aby to zrobić, cofnijmy się o krok. W momencie, gdy dokonaliśmy pierwszego wyboru, podzieliliśmy drzwi na dwie części: tę, którą wybraliśmy i dwie pozostałe. Oczywiście prawdopodobieństwo, że samochód chowa się za „naszymi” drzwiami wynosi ⅓ - odpowiednio, samochód jest za jednymi z dwojga pozostałych drzwi z prawdopodobieństwem ⅔. Kiedy facylitator wskaże, że za jednymi z tych drzwi stoi koza, okazuje się, że te ⅔ szans padają na drugie drzwi. A to ogranicza wybór gracza do dwojga drzwi, z których za jednymi (wybranymi początkowo) znajduje się samochód z prawdopodobieństwem ⅓, a za drugimi z prawdopodobieństwem ⅔. Wybór staje się oczywisty. Co oczywiście nie zmienia faktu, że od samego początku gracz mógł wybrać drzwi z samochodem.

Zadanie trzech więźniów

Paradoks Trzech Więźniów jest podobny do problemu Monty'ego Halla, chociaż akcja toczy się w bardziej dramatycznych sceneriach. Trzech więźniów (A, B i C) zostało skazanych na kara śmierci i umieszczony w izolatce. Gubernator losowo wybiera jednego z nich i udziela mu ułaskawienia. Naczelnik wie, który z trzech jest ułaskawiony, ale kazano mu zachować to w tajemnicy. Więzień A prosi strażnika o podanie nazwiska drugiego więźnia (poza nim), który na pewno zostanie stracony: „jeśli B zostanie ułaskawiony, powiedz mi, że C zostanie stracony. Jeśli C zostanie ułaskawiony, powiedz mi, że B zostanie stracony Jeśli obaj zostaną straceni, ale mam litość, rzuć monetą i wypowiedz jedno z tych dwóch imion. Naczelnik mówi, że zostanie stracony więzień B. Czy więzień A powinien być szczęśliwy?

Wydawałoby się, że tak. Przecież przed otrzymaniem tej informacji prawdopodobieństwo śmierci więźnia A wynosiło ⅔, a teraz wie on, że jeden z dwóch pozostałych więźniów zostanie stracony, co oznacza, że ​​prawdopodobieństwo jego egzekucji spadło do ½. Ale tak naprawdę więzień A nie dowiedział się niczego nowego: jeśli nie zostanie ułaskawiony, pozna nazwisko innego więźnia, a już wiedział, że jeden z dwóch pozostałych zostanie stracony. Jeśli miał szczęście i egzekucja została odwołana, usłyszy przypadkowe imię B lub C. Dlatego jego szanse na ocalenie nie uległy żadnej zmianie.

Teraz wyobraź sobie, że jeden z pozostałych więźniów dowiaduje się o pytaniu więźnia A i otrzymanej odpowiedzi. To zmieni jego poglądy na temat prawdopodobieństwa ułaskawienia.

Jeśli więzień B podsłucha rozmowę, będzie wiedział, że na pewno zostanie stracony. A jeśli więźniem jest B, to prawdopodobieństwo jego ułaskawienia wyniesie ⅔. Dlaczego to się stało? Więzień A nie otrzymał żadnych informacji, a jego szanse na ułaskawienie nadal wynoszą ⅓. Więzień B na pewno nie zostanie ułaskawiony, a jego szanse są zerowe. Oznacza to, że prawdopodobieństwo uwolnienia trzeciego więźnia wynosi ⅔.

Paradoks dwóch kopert

Ten paradoks stał się znany dzięki matematykowi Martinowi Gardnerowi i jest sformułowany w następujący sposób: „Załóżmy, że tobie i przyjacielowi zaoferowano dwie koperty, z których jedna zawiera pewną kwotę pieniędzy X, a druga zawiera kwotę dwa razy większą. Samodzielnie otwierasz koperty, liczysz pieniądze, po czym możesz je wymienić. Koperty są takie same, więc jest ½ szansy, że dostaniesz kopertę z mniejszą kwotą. Załóżmy, że otworzyłeś kopertę i znalazłeś w niej 10 dolarów. Dlatego też koperta twojego przyjaciela może równie dobrze zawierać 5 lub 20 dolarów. Jeśli zdecydujesz się na wymianę, możesz obliczyć matematyczne oczekiwanie ostatecznej kwoty - czyli jej średnią wartość. To jest 1/2x5 $ + 1/2x20 = 12,5 $. Zatem wymiana jest dla Ciebie korzystna. I najprawdopodobniej twój przyjaciel będzie się kłócił dokładnie w ten sam sposób. Ale oczywiste jest, że wymiana nie może być korzystna dla was obojga. Jaki jest błąd?

Paradoks polega na tym, że dopóki nie otworzysz koperty, prawdopodobieństwa zachowują się sprawiedliwie: w rzeczywistości masz 50 procent szans na znalezienie X w swojej kopercie i 50 procent szans na znalezienie 2X w swojej kopercie. A zdrowy rozsądek podpowiada, że ​​informacja o posiadanej kwocie nie może mieć wpływu na zawartość drugiej koperty.

Jednak po otwarciu koperty sytuacja diametralnie się zmienia (paradoks ten przypomina trochę historię z kotem Schrödingera, gdzie sama obecność obserwatora wpływa na stan rzeczy). Faktem jest, że aby spełnić warunki paradoksu, prawdopodobieństwo znalezienia w drugiej kopercie większej lub mniejszej kwoty niż twoja musi być takie samo. Ale wtedy każda wartość tej sumy od zera do nieskończoności jest równie prawdopodobna. A jeśli to niewiarygodne nieskończona liczba możliwości, sumują się do nieskończoności. A to jest niemożliwe.

Dla jasności wyobraź sobie, że w kopercie znajdujesz jeden cent. Oczywiście druga koperta nie może zawierać połowy kwoty.

Ciekawe, że dyskusje dotyczące rozwiązania paradoksu trwają do chwili obecnej. Jednocześnie podejmowane są próby zarówno wyjaśnienia paradoksu od wewnątrz, jak i rozwinięcia najlepsza strategia zachowanie w takiej sytuacji. W szczególności profesor Thomas Cover zaproponował oryginalne podejście do tworzenia strategii – zmieniać czy nie zmieniać koperty, kierując się jakimś intuicyjnym oczekiwaniem. Powiedzmy, że jeśli otworzysz kopertę i znajdziesz w niej 10 dolarów – niewielką kwotę według twoich szacunków – warto ją wymienić. A jeśli koperta zawiera, powiedzmy, 1000 $, co przekracza Twoje najśmielsze oczekiwania, nie ma potrzeby, aby zmieniać. Ta intuicyjna strategia, jeśli regularnie proponuje się ci wybór dwóch kopert, daje ci możliwość zwiększenia całkowitej wygranej bardziej niż strategia ciągłych zmian kopert.

Paradoks chłopca i dziewczynki

Ten paradoks został również zaproponowany przez Martina Gardnera i sformułowany w następujący sposób: „Pan Smith ma dwoje dzieci. Przynajmniej jedno dziecko to chłopiec. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga osoba również jest chłopcem?

Wydawałoby się, że zadanie jest proste. Jeśli jednak zaczniesz rozumieć, ujawnia się ciekawa okoliczność: poprawna odpowiedź będzie się różnić w zależności od tego, jak obliczymy prawdopodobieństwo płci drugiego dziecka.

opcja 1

Rozważ wszystkie możliwe kombinacje w rodzinach z dwójką dzieci:

Dziewczyna dziewczyna

Dziewczyna chłopak

Chłopak, dziewczyna

Chłopcze chłopcze

Opcja dziewczyna/dziewczyna nie odpowiada nam w zależności od warunków problemu. Zatem dla rodziny pana Kowalskiego istnieją trzy równie prawdopodobne warianty – co oznacza, że ​​prawdopodobieństwo, że drugie dziecko również będzie chłopcem, wynosi ⅓. Takiej odpowiedzi udzielił początkowo sam Gardner.

Opcja 2

Wyobraźmy sobie, że spotykamy pana Smitha na ulicy, gdy spaceruje z synem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko również będzie chłopcem? Ponieważ płeć drugiego dziecka jest niezależna od płci pierwszego, oczywistą (i poprawną) odpowiedzią jest ½.

Dlaczego tak się dzieje, skoro wydawałoby się, że nic się nie zmieniło?

Wszystko zależy od tego, jak podejdziemy do kwestii obliczania prawdopodobieństwa. W pierwszym przypadku rozważyliśmy wszystko możliwe opcje Rodzina Smithów. W drugim – uwzględniliśmy wszystkie rodziny, które podlegają obowiązkowemu warunkowi „musi być jeden chłopiec”. Obliczenie prawdopodobieństwa płci drugiego dziecka przeprowadzono z tym warunkiem (w teorii prawdopodobieństwa nazywa się to „prawdopodobieństwem warunkowym”), co doprowadziło do wyniku innego niż pierwszy.

Spotkałem ją o nazwie Paradoks Monty Hall i wow rozwiązał to inaczej, a mianowicie: udowodnił, że jest to pseudo-paradoks.

Przyjaciele, chętnie usłyszę krytykę mojego obalenia tego paradoksu (pseudo-paradoksu, jeśli mam rację). A wtedy na własne oczy zobaczę, że moja logika jest kiepska, przestanę myśleć o sobie jako o myślicielu i pomyślę o zmianie rodzaju aktywności na bardziej liryczny: o). Oto treść zadania. Proponowane rozwiązanie i moje obalenie znajdują się poniżej.

Wyobraź sobie, że zostałeś uczestnikiem gry, w której stoisz przed trojgiem drzwi. Gospodarz, który znany jest z uczciwości, za jednymi drzwiami umieścił samochód, a za dwoma pozostałymi kozę. Nie masz informacji o tym, co jest za którymi drzwiami.

Facylitator mówi ci: „Najpierw musisz wybrać jedne z drzwi. Następnie otworzę jedne z pozostałych drzwi, za którymi znajduje się koza. Następnie poproszę cię o zmianę pierwotnego wyboru i wybranie pozostałych zamknięte drzwi zamiast tego, który wybrałeś na początku. Możesz skorzystać z mojej rady i wybrać inne drzwi lub potwierdzić swój pierwotny wybór. Potem otworzę wybrane przez ciebie drzwi i wygrasz to, co jest za tymi drzwiami”.

Wybierasz drzwi numer 3. Prowadzący otwiera drzwi numer 1 i pokazuje, że za nimi znajduje się koza. Następnie gospodarz poprosi cię o wybranie drzwi numer 2.

Czy Twoje szanse na wygranie samochodu wzrosną, jeśli zastosujesz się do jego rady?
Paradoks Monty'ego Halla jest jednym z dobrze znanych problemów teorii prawdopodobieństwa, którego rozwiązanie na pierwszy rzut oka przeczy zdrowemu rozsądkowi.
Rozwiązując ten problem, zwykle rozumują mniej więcej tak: po tym, jak gospodarz otworzy drzwi, za którymi znajduje się koza, samochód może znajdować się tylko za jednymi z dwóch pozostałych drzwi. Ponieważ gracz nie może ich otrzymać Dodatkowe informacje o tym, za którymi drzwiami znajduje się samochód, to prawdopodobieństwo znalezienia samochodu za każdymi drzwiami jest takie samo, a zmiana początkowego wyboru drzwi nie daje graczowi żadnej przewagi. Jednak ten tok rozumowania jest błędny.
Jeśli gospodarz zawsze wie, które drzwi są za drzwiami, zawsze otwiera pozostałe drzwi, w których znajduje się koza, i zawsze prosi gracza o zmianę wyboru, to prawdopodobieństwo, że samochód jest za drzwiami wybranymi przez gracza, wynosi 1/3, a odpowiednio, prawdopodobieństwo, że samochód znajduje się za pozostałymi drzwiami, wynosi 2/3. W ten sposób zmiana początkowego wyboru podwaja szanse gracza na wygranie samochodu. Wniosek ten przeczy intuicyjnemu postrzeganiu sytuacji przez większość ludzi, dlatego opisywany problem nazywany jest paradoksem Monty Halla.

Wydaje mi się, że szanse się nie zmienią; nie ma paradoksu.

A oto dlaczego: wybór pierwszych i drugich drzwi jest niezależny wydarzenia. To jak rzucić monetą 2 razy: to, co wypadło za drugim razem, nie zależy w żaden sposób od tego, co wypadło za pierwszym razem.

A więc tutaj: po otwarciu drzwi z kozą, gracz trafia do środka nowa sytuacja gdy ma 2 drzwi i prawdopodobieństwo wyboru samochodu lub kozy wynosi 1/2.

Jeszcze raz: po otwarciu jednych drzwi na trzy prawdopodobieństwo, że samochód jest za pozostałymi drzwiami, nie równe 2/3, ponieważ 2/3 to prawdopodobieństwo, że samochód znajduje się za dowolnymi 2 drzwiami. Niepoprawne jest przypisywanie tego prawdopodobieństwa nieotwartym i otwartym drzwiom. Zanim otwarcie drzwi było takim wyrównaniem prawdopodobieństw, ale Po otwierając jedne drzwi, wszystkie te prawdopodobieństwa stają się pustka, bo sytuacja uległa zmianie i dlatego potrzebne jest nowe obliczenie prawdopodobieństwa, Który zwykli ludzie poprawnie przeprowadzona, odpowiadając, że nic się nie zmieni od zmiany wyboru.

Załącznik: 1) uzasadnienie, że:

a) prawdopodobieństwo znalezienia samochodu za wybranymi drzwiami wynosi 1/3,

b) prawdopodobieństwo, że samochód znajduje się za dwojgiem innych niewybranych drzwi, 2/3,

c) ponieważ gospodarz otworzył drzwi kozą, wtedy prawdopodobieństwo 2/3 trafia w całości do jednych niewybranych (i nieotwartych) drzwi,

i dlatego konieczna jest zmiana wyboru na inne drzwi, tak aby prawdopodobieństwo z 1/3 stało się 2/3, nie prawda, ale fałsz, a mianowicie: w akapicie „c”, ponieważ początkowo prawdopodobieństwo 2/3 dotyczy dowolnych dwojga drzwi, w tym 2 pozostałych nieotwartych, a skoro jedne drzwi były otwarte, to prawdopodobieństwo to zostanie równo podzielone między 2 nieotwarte, tj. prawdopodobieństwo będzie równe, a wybór kolejnych drzwi go nie zwiększy.

2) prawdopodobieństwa warunkowe są obliczane, jeśli jest ich 2 lub więcej zdarzenia losowe, i dla każdego zdarzenia prawdopodobieństwo jest obliczane osobno, a dopiero potem obliczane jest prawdopodobieństwo łącznego wystąpienia 2 lub więcej zdarzeń. Tutaj na początku prawdopodobieństwo zgadnięcia wynosiło 1/3, ale aby obliczyć prawdopodobieństwo, że samochód nie znajduje się za wybranymi drzwiami, ale za tymi drugimi, które nie są otwarte, nie trzeba obliczać prawdopodobieństwo warunkowe, ale musisz obliczyć proste prawdopodobieństwo, które wynosi 1 z 2, tj. 1/2.

3) Zatem nie jest to paradoks, ale błąd! (19.11.2009)

Załącznik 2: Wczoraj wymyśliłem najprostsze wyjaśnienie strategia ponownego wyboru jest jeszcze bardziej korzystna(paradoks prawdziwy!): przy pierwszym wyborze wsiadanie do kozy jest 2 razy bardziej prawdopodobne niż do samochodu, bo kozy są dwie, dlatego przy drugim wyborze trzeba zmienić wybór. to takie oczywiste :o)

Lub innymi słowy: konieczne jest nie oznaczanie w samochodzie, ale odrzucenie kóz, a nawet prezenter pomaga w tym, otwierając kozę. A na początku gry, z prawdopodobieństwem 2 na 3, gracz również odniesie sukces, więc po odrzuceniu kóz musisz zmienić wybór. I nagle stało się to bardzo oczywiste :o)

Więc wszystko, co do tej pory napisałem, było pseudo-obaleniem. Cóż, oto kolejna ilustracja tego, że trzeba być skromniejszym, szanować czyjś punkt widzenia i nie ufać zapewnieniom swojej logiki, że jej decyzje są krystalicznie logiczne.