Co robi teoria gier. Gry z nieskończoną liczbą kroków. Co to jest teoria gier

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

1 Fabuła

2 Prezentacja gry

• 2.1 Obszerna forma

  2.2 normalna forma

  2.3 funkcja charakterystyczna

3 Zastosowanie teorii gier

• 3.1 Opis i modelowanie

  3.2 Analiza normatywna (identyfikacja najlepszego zachowania)

4 Rodzaje gier

• 4.1 Kooperacyjne i niekooperacyjne

  4.2 Symetryczne i asymetryczne

  4.3 O sumie zerowej i niezerowej

  4.4 Równoległe i szeregowe

  4.5 Z pełnymi lub niepełnymi informacjami

  4.6 Gry z nieskończoną liczbą kroków

  4.7 Gry dyskretne i ciągłe

  4.8 Metagry

Teoria gry- matematyczna metoda badania optymalnego strategie V Gry. Gra rozumiana jest jako proces, w którym uczestniczą dwie lub więcej stron, walczących o realizację swoich interesów. Każda ze stron ma swój własny cel i stosuje jakąś strategię, która może doprowadzić do wygranej lub przegranej – w zależności od zachowania innych graczy. Teoria gier pomaga wybrać najlepsze strategie, biorąc pod uwagę wyobrażenia o innych uczestnikach, ich zasoby i ich możliwe działania.

Teoria gier to sekcja Matematyka stosowana, dokładniej - badania operacyjne. Najczęściej stosowane są metody teorii gier gospodarka, nieco rzadziej u innych nauki społeczne-socjologia,politologia,psychologia,etyka i inni. Począwszy od lata 70 latach została adoptowana biolodzy do badania zachowań zwierząt i teorie ewolucji. Ma to ogromne znaczenie dla sztuczna inteligencja I cybernetyka zwłaszcza z zainteresowaniem inteligentni agenci.

Historia badań w teorii gier

Optymalne rozwiązania lub strategie w modelowaniu matematycznym proponowano już w XVIII wieku. Problemy produkcji i cen w warunkach oligopol, które później stały się podręcznikowymi przykładami teorii gier, były rozważane w XIX wieku. A. Cournota I J. Bertranda. Na początku XX wieku. E. Laskera, E. Zermelo, E. Borel wysunęli ideę matematycznej teorii konfliktu interesów.

Matematyczna teoria gier wywodzi się z ekonomia neoklasyczna. Po raz pierwszy w klasycznej książce przedstawiono matematyczne aspekty i zastosowania teorii 1944Jana von Neumanna I Oskara Morgensterna„Teoria gier i zachowania ekonomiczne” (język angielskiteoria z Gry I gospodarczy Zachowanie).

Ta dziedzina matematyki znalazła odzwierciedlenie w kulturze publicznej. W 1998amerykańskipisarz I dziennikarzSylwia Nazar wydał książkę o losie Johna Nasha, i naukowiec w dziedzinie teorii gier; i w 2001 Na podstawie książki powstał film Gry umysłowe". Niektóre amerykańskie programy telewizyjne, takie jak „ Przyjaciel czy wróg”, „Alias” lub „NUMB3RS” okresowo odwołują się do teorii w swoich odcinkach.

J. Nash w 1949 pisze rozprawę z teorii gier, po 45 latach otrzymuje Nagrodę Nobla z ekonomii. J. Nash Po ukończeniu Carnegie Polytechnic Institute z dwoma dyplomami – licencjatem i tytułem magistra – wstąpił do Uniwersytet Princeton gdzie uczęszczał na wykłady Jana von Neumanna. W jego pismach J. Nash opracował zasady „dynamiki menedżerskiej”. Przeanalizowano pierwsze koncepcje teorii gier gry antagonistyczne gdy są przegrani i gracze, którzy wygrali ich kosztem. Nash rozwija metody analizy, w których wszyscy uczestnicy albo wygrywają, albo przegrywają. Te sytuacje to tzw „równowaga Nasha”, czyli „równowaga niekooperacyjna”, w której strony stosują optymalną strategię, co prowadzi do powstania równowagi stabilnej. Zachowanie tej równowagi jest korzystne dla graczy, ponieważ każda zmiana pogorszy ich sytuację. Te prace J. Nash wniósł poważny wkład w rozwój teorii gier, zrewidowano matematyczne narzędzia modelowania ekonomicznego. J. Nash pokazuje, że klasyczne podejście do konkurencji A. Smitha, kiedy każdy człowiek dla siebie jest suboptymalny. Bardziej optymalne strategie mają miejsce wtedy, gdy każdy stara się zrobić coś lepiej dla siebie, jednocześnie robiąc coś lepiej dla innych.

Chociaż teoria gier pierwotnie zajmowała się modelami ekonomicznymi, do lat pięćdziesiątych XX wieku pozostawała teorią formalną w obrębie matematyki. Ale od lat 50 zaczynają się próby stosowania metod teorii gier nie tylko w ekonomii, ale i biologii, cybernetyka,technika,antropologia. Podczas Druga wojna światowa zaraz po tym wojsko poważnie zainteresowało się teorią gier, postrzegając ją jako potężne narzędzie do badania decyzji strategicznych.

W latach 1960-1970. zainteresowanie teorią gier słabnie, pomimo uzyskanych wówczas znaczących wyników matematycznych. Od połowy lat 80. rozpoczyna się aktywne praktyczne wykorzystanie teorii gier, zwłaszcza w ekonomii i zarządzaniu. W ciągu ostatnich 20-30 lat znaczenie i zainteresowanie teorią gier znacznie wzrosło, niektórych obszarów współczesnej teorii ekonomii nie da się opisać bez użycia teorii gier.

Głównym wkładem w zastosowanie teorii gier była praca Tomasza Schellinga,Laureat Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii 2005. „Strategia konfliktu”. T. Schelling rozważa różne „strategie” zachowań uczestników konfliktu. Strategie te są spójne z taktykami zarządzania konfliktami i zasadami analizy konfliktów konfliktologia(jest to dyscyplina psychologiczna) oraz w zarządzaniu konfliktami w organizacji (teoria zarządzania). W psychologii i innych naukach słowo „gra” jest używane w innych znaczeniach niż w matematyce. Niektórzy psychologowie i matematycy są sceptyczni co do używania tego terminu w innych znaczeniach, które rozwinęły się wcześniej. W pracy podano kulturową koncepcję gry Johan HuizingaHomo ludens(artykuły z historii kultury), autor mówi o wykorzystaniu gier w sprawiedliwości, kulturze, etyce.. mówi, że gra jest starsza od samego człowieka, bo zwierzęta też się bawią. Koncepcja gry znajduje się w koncepcji Eryka Byrne„Gry, w które grają ludzie, ludzie, którzy grają w gry”. Są to gry czysto psychologiczne oparte na analiza transakcyjna. Koncepcja gry J. Hözinga różni się od interpretacji gry w teorii konfliktów i matematycznej teorii gier. Gry są również wykorzystywane do szkoleń z przypadków biznesowych, seminariów GP Shchedrovitsky, twórca podejścia organizacyjno-aktywnościowego. W okresie pierestrojki w ZSRR GP Shchedrovitsky spędził wiele gier z sowieckimi menedżerami. Pod względem intensywności psychologicznej ODI (gry organizacyjno-aktywności) były tak silne, że służyły jako potężny katalizator zmian w ZSRR. Teraz w Rosji istnieje cały ruch ODI. Krytycy zwracają uwagę na sztuczną wyjątkowość ODI. Podstawą ODI było Moskiewskie Koło Metodyczne (MMC).

Matematyczna teoria gier rozwija się obecnie bardzo szybko, rozważane są gry dynamiczne. Jednak aparat matematyczny teorii gier jest kosztowny . Jest używany do uzasadnionych zadań: polityki, ekonomii monopoli i dystrybucji siły rynkowej itp. Wielu znanych naukowców zostało za wkład w rozwój teorii gier opisującej procesy społeczno-ekonomiczne. J. Nash, dzięki swoim badaniom w zakresie teorii gier, stał się jednym z czołowych ekspertów w dziedzinie "zimna wojna", co potwierdza skalę problemów, którymi zajmuje się teoria gier.

Laureaci Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii za osiągnięcia w dziedzinie teorii gier i teorii ekonomii otrzymali: Roberta Aumanna,Reinharda Seltena,Johna Nasha,Jan Harsanyi,Williama Vickreya,Jamesa Mirriliesa,Tomasza Schellinga,Jerzego Akerlofa,Michaela Spence'a,Józefa Stiglitza,Leonid Gurvits,Eryk Maskin,Rogera Myersona.

Miejska placówka oświatowa
szkoła średnia №___

dzielnica miejska - miasto Wołżski, obwód wołgogradzki

Miejska konferencja prac twórczych i badawczych studentów

„Z matematyką na całe życie”

Kierunek naukowy - matematyka

„Teoria gier i jej praktyczne zastosowanie”

uczeń klasy 9b

Gimnazjum MOU nr 2

Doradca naukowy:

nauczyciel matematyki Grigoryeva N.D.

Wstęp

Znaczenie wybranego tematu jest z góry określone przez zakres jego obszarów zastosowania. Teoria gier odgrywa kluczową rolę w teorii organizacji przemysłowych, teorii umów, teorii finansów przedsiębiorstw i wielu innych dziedzinach. Zakres teorii gier obejmuje nie tylko dyscypliny ekonomiczne, ale także biologię, politologię, wojskowość itp.

cel Projekt ten ma na celu opracowanie studium istniejących rodzajów gier, a także możliwości ich praktycznego zastosowania w różnych branżach.

Cel projektu z góry określił jego zadania:

Zapoznaj się z historią powstania teorii gier;

Zdefiniuj pojęcie i istotę teorii gier;

Opisz główne rodzaje gier;

Rozważ możliwe obszary zastosowania tej teorii w praktyce.

Przedmiotem projektu była teoria gier.

Przedmiotem opracowania jest istota i zastosowanie teorii gier w praktyce.

Teoretyczną podstawą napisania pracy była literatura ekonomiczna takich autorów jak J. von Neumann, Owen G., Vasin A.A., Morozov V.V., Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.N.

1. Wprowadzenie do teorii gier

1.1 Historia

Gra, jako szczególna forma pokazywania aktywności, powstała niezwykle dawno temu. Wykopaliska archeologiczne ujawniają przedmioty, które służyły do ​​gry. Malowidła naskalne pokazują nam pierwsze oznaki międzyplemiennych gier taktycznych. Z biegiem czasu gra uległa poprawie i osiągnęła zwykłą formę konfliktu kilku stron. Rodzinne więzi między zabawą a działalnością praktyczną stały się mniej zauważalne, zabawa przekształciła się w szczególną aktywność społeczeństwa.

Jeśli historia szachów czy gier karcianych sięga kilku tysiącleci wstecz, to pierwsze zarysy teorii pojawiły się dopiero trzy wieki temu w pracach Bernoulliego. Początkowo prace Poincarégo i Borela częściowo dostarczyły nam informacji o istocie teorii gier, a dopiero fundamentalne prace J. von Neumanna i O. Morgensterna ukazały nam całą integralność i wszechstronność tej gałęzi nauki.

Powszechnie przyjmuje się, że za moment narodzin teorii gier uważa się monografię J. Neumanna i O. Morgensterna „Teoria gier i zachowania ekonomiczne”. Po jej opublikowaniu w 1944 r. wielu uczonych przewidziało rewolucję w ekonomii poprzez zastosowanie nowego podejścia. Teoria ta opisywała racjonalne zachowania decyzyjne w powiązanych ze sobą sytuacjach, pomagając rozwiązać wiele palących problemów z różnych dziedzin nauki. W monografii podkreślono, że zachowania strategiczne, rywalizacja, współpraca, ryzyko i niepewność są głównymi elementami teorii gier i są bezpośrednio związane z problemami zarządzania.

Wczesne prace nad teorią gier wyróżniały się prostotą jej założeń, co czyniło ją mniej przydatną do praktycznego zastosowania. W ciągu ostatnich 10-15 lat sytuacja zmieniła się diametralnie. Postęp w przemyśle wykazał owocność metod gry w stosowanych działaniach.

Ostatnio metody te przeniknęły do ​​praktyki zarządzania. Należy zauważyć, że już pod koniec XX wieku M. Porter wprowadził do tej teorii pewne pojęcia, takie jak „posunięcie strategiczne” i „gracz”, które później stały się jednymi z kluczowych.

Obecnie znaczenie teorii gier znacznie wzrosło w wielu obszarach nauk ekonomicznych i społecznych. W ekonomii ma zastosowanie nie tylko do rozwiązywania różnych problemów o ogólnym znaczeniu gospodarczym, ale także do analizy strategicznych problemów przedsiębiorstw, opracowywania struktur zarządzania i systemów motywacyjnych.

W latach 1958-1959. do 1965-1966 powstała radziecka szkoła teorii gier, która charakteryzowała się kumulacją wysiłków w zakresie gier antagonistycznych i zastosowań stricte militarnych. Początkowo był to powód pozostawania w tyle za szkołą amerykańską, ponieważ w tym czasie dokonano już głównych odkryć w grach antagonistycznych. W ZSRR matematycy do połowy lat 70. nie zostały dopuszczone do zarządzania i ekonomii. I nawet kiedy sowiecki system gospodarczy zaczął się załamywać, ekonomia nie stała się głównym przedmiotem badań teorii gier. Specjalistycznym instytutem, który był i jest obecnie zaangażowany w teorię gier, jest Instytut Analizy Systemowej Rosyjskiej Akademii Nauk.

1.2 Definicja teorii gier

Teoria gier to matematyczna metoda badania optymalnych strategii w grach. Gra rozumiana jest jako proces, w którym uczestniczą dwie lub więcej stron, walczących o realizację swoich interesów. Każda ze stron ma swój własny cel i stosuje jakąś strategię, która może doprowadzić do wygranej lub przegranej – w zależności od swojego zachowania i zachowania innych graczy. Teoria gier pomaga wybrać najbardziej dochodowe strategie, biorąc pod uwagę innych uczestników, ich zasoby i zamierzone działania.

Teoria ta jest gałęzią matematyki zajmującą się badaniem sytuacji konfliktowych.

Jak podzielić się tortem, aby wszyscy członkowie rodziny uznali go za sprawiedliwy? Jak rozwiązać spór płacowy pomiędzy klubem sportowym a związkiem zawodowym zawodników? Jak zapobiegać wojnom cenowym podczas aukcji? To tylko trzy przykłady problemów, którymi zajmuje się jedna z głównych gałęzi ekonomii – teoria gier.

Ta dziedzina nauki analizuje konflikty za pomocą metod matematycznych. Teoria ma swoją nazwę, ponieważ najprostszym przykładem konfliktu jest gra (taka jak szachy lub kółko i krzyżyk). Zarówno w grze, jak iw konflikcie każdy gracz ma swoje cele i stara się je osiągnąć, podejmując różne decyzje strategiczne.

1.3 Rodzaje sytuacji konfliktowych

Jedną z charakterystycznych cech każdego zjawiska społecznego, społeczno-gospodarczego jest liczba i różnorodność interesów, a także obecność stron, które są w stanie te interesy wyrazić. Klasycznym przykładem są tu sytuacje, w których z jednej strony jest jeden kupujący, z drugiej sprzedawca, gdy na rynek wchodzi kilku producentów, którzy mają wystarczającą siłę oddziaływania na cenę towaru. Bardziej złożone sytuacje pojawiają się, gdy istnieją stowarzyszenia lub grupy osób uwikłane w konflikt interesów, na przykład, gdy stawki płac są ustalane przez związki lub stowarzyszenia pracowników i pracodawców, podczas analizy wyników głosowania w parlamencie itp.

Konflikt może również wynikać z różnicy celów, które odzwierciedlają interesy różnych stron, ale także wielostronne interesy tej samej osoby. Na przykład decydent zwykle dąży do różnych celów, godząc sprzeczne wymagania stawiane danej sytuacji (wzrost produkcji, wzrost dochodów, zmniejszenie obciążenia środowiska itp.). Konflikt może przejawiać się nie tylko w wyniku świadomych działań różnych uczestników, ale także w wyniku działania pewnych „sił żywiołów” (przypadek tzw. „gier z naturą”)

Gra jest matematycznym modelem opisu konfliktu.

Gry to ściśle określone obiekty matematyczne. Gra jest tworzona przez graczy, zestaw strategii dla każdego gracza oraz wskazanie wypłat lub wypłat graczy dla każdej kombinacji strategii.

I wreszcie zwykłe gry to przykłady gier: towarzyskie, sportowe, karciane itp. Matematyczna teoria gier rozpoczęła się właśnie od analizy takich gier; do dziś służą jako doskonały materiał do zobrazowania twierdzeń i wniosków tej teorii. Te gry są nadal aktualne.

Zatem każdy model matematyczny zjawiska społeczno-ekonomicznego musi mieć nieodłączne cechy konfliktu, tj. opisać:

a) wielu interesariuszy. W przypadku, gdy liczba graczy jest (oczywiście) ograniczona, wyróżnia się ich numerami lub przypisanymi im imionami;

b) możliwe działania każdej ze stron, zwane też strategiami lub ruchami;

c) interesy stron reprezentowane przez funkcje wypłaty (płatności) dla każdego z graczy.

W teorii gier przyjmuje się, że funkcje wypłat i zestaw strategii dostępnych dla każdego z graczy są dobrze znane, tj. każdy gracz zna swoją funkcję wypłaty i zestaw dostępnych mu strategii, a także funkcje wypłat i strategie wszystkich pozostałych graczy i zgodnie z tą informacją kształtuje swoje zachowanie.

2 rodzaje gier

2.1 Dylemat więźnia

Jednym z najbardziej znanych i klasycznych przykładów teorii gier, który przyczynił się do jej spopularyzowania, jest dylemat więźnia. W teorii gier dylemat więźnia(rzadziej używano nazwy „ dylemat bandyty”) to gra niekooperacyjna, w której gracze dążą do zysku, jednocześnie współpracując lub zdradzając się nawzajem. Jak we wszystkich teoria gry , zakłada się, że gracz maksymalizuje, czyli zwiększa własną wypłatę, nie dbając o korzyści innych.

Rozważmy taką sytuację. Trwa śledztwo w sprawie dwóch podejrzanych. W śledztwie nie było wystarczających dowodów, więc dzieląc podejrzanych, każdemu z nich zaproponowano ugodę. Jeśli jeden z nich będzie milczał, a drugi będzie zeznawał przeciwko niemu, pierwszy dostanie 10 lat, a drugi wyjdzie na wolność za ułatwianie śledztwa. Jeśli obaj będą milczeć, otrzymają po 6 miesięcy. Wreszcie, jeśli obaj zastawią się nawzajem, otrzymają po 2 lata. Pytanie: jakiego wyboru dokonają?

Tabela 1 - Macierz wypłat w grze „Dylemat więźnia”

Załóżmy, że ci dwaj są racjonalnymi ludźmi, którzy chcą zminimalizować swoje straty. Wtedy pierwszy może rozumować w ten sposób: jeśli drugi mnie położy, to lepiej dla mnie, żeby jego też położył: w ten sposób dostaniemy po 2 lata każdy, inaczej ja dostanę 10 lat. Ale jeśli drugi mnie nie położy, to i tak lepiej dla mnie, żebym go położył - wtedy od razu pozwolą mi odejść. Dlatego bez względu na to, co zrobi drugi, bardziej opłaca mi się go zastawić. Drugi rozumie również, że w każdym razie lepiej jest dla niego zastawić pierwszego. W rezultacie obaj otrzymują dwa lata. Chociaż gdyby nie zeznawali przeciwko sobie, otrzymaliby tylko 6 miesięcy.

W dylemacie więźnia zdrada ściśle zdominowany nad współpracą, więc jedyną możliwą równowagą jest zdrada obu uczestników. Mówiąc prościej, bez względu na to, co zrobi drugi gracz, wszyscy odniosą większe korzyści, jeśli zdradzą. Ponieważ w każdej sytuacji lepiej jest zdradzić niż współpracować, wszyscy racjonalni gracze zdecydują się zdradzić.

Zachowując się racjonalnie indywidualnie, uczestnicy wspólnie podejmują irracjonalną decyzję. Na tym polega dylemat.

Konflikty takie jak ten dylemat są powszechne w życiu, na przykład w ekonomii (określanie budżetu na reklamę), polityce (wyścig zbrojeń), sporcie (stosowanie sterydów). Dylemat więźnia i smutna przepowiednia teorii gier stały się więc powszechnie znane, a praca w dziedzinie teorii gier jest dla matematyka jedyną szansą na otrzymanie Nagrody Nobla.

2.2 Klasyfikacja gier

Klasyfikacja różnych gier odbywa się w oparciu o pewną zasadę: według liczby graczy, liczby strategii, właściwości funkcji wypłat, możliwości wstępnych negocjacji i interakcji między graczami podczas gry.

Istnieją gry z dwoma, trzema lub więcej uczestnikami - w zależności od liczby graczy. Zasadniczo możliwe są również gry z nieskończoną liczbą graczy.

Według innej zasady klasyfikacji gry wyróżnia liczba strategii – skończona i nieskończona. W skończonych grach uczestnicy mają skończoną liczbę możliwych strategii (na przykład w grze w rzut gracze mają dwa możliwe ruchy - mogą wybrać orzeł lub reszkę). Same strategie w skończonych grach są często nazywane czystymi strategiami. W związku z tym w nieskończonych grach gracze mają do dyspozycji nieskończoną liczbę możliwych strategii – na przykład w sytuacji sprzedający-kupujący każdy z graczy może podać dowolną cenę, która mu odpowiada oraz ilość sprzedanego (zakupionego) towaru.

Trzecią z rzędu jest metoda klasyfikacji gier – według własności funkcji wypłat (funkcji płatniczych). Ważnym przypadkiem w teorii gier jest sytuacja, w której zysk jednego z graczy jest równy stracie drugiego, tj. istnieje bezpośredni konflikt między graczami. Takie gry nazywane są grami o sumie zerowej lub grami antagonistycznymi. Gry rzutowe lub gry punktowe to typowe przykłady gier antagonistycznych. Bezpośrednim przeciwieństwem tego typu gier są gry ze stałą różnicą, w których gracze jednocześnie wygrywają i przegrywają, dlatego korzystna jest dla nich współpraca. Pomiędzy tymi skrajnymi przypadkami istnieje wiele gier o sumie niezerowej, w których występują zarówno konflikty, jak i skoordynowane działania graczy.

W zależności od możliwości wstępnych negocjacji między graczami wyróżnia się gry kooperacyjne i niekooperacyjne. Gra kooperacyjna to gra, w której przed jej rozpoczęciem gracze tworzą koalicje i dokonują wzajemnie wiążących uzgodnień dotyczących swoich strategii. Brak współpracy to gra, w której gracze nie mogą w ten sposób koordynować swoich strategii. Oczywiście wszystkie gry antagonistyczne mogą służyć jako przykłady gier niekooperacyjnych. Przykładem gry kooperacyjnej jest tworzenie koalicji w parlamencie w celu przyjęcia w drodze głosowania decyzji, która w taki czy inny sposób wpływa na interesy uczestników głosowania.

2.3 Rodzaje gier

Symetryczne i asymetryczne

A	B
A	1, 2	0, 0
B	0, 0	1, 2
Gra asymetryczna

Gra będzie symetryczna, gdy odpowiednie strategie graczy będą miały takie same wypłaty, to znaczy będą równe. Te. jeśli wypłaty za te same ruchy nie zmieniają się, mimo że gracze zamieniają się miejscami. Wiele badanych gier dla dwóch graczy jest symetrycznych. W szczególności są to: „Dylemat więźnia”, „Polowanie na jelenie”, „Jastrzębie i gołębie”. Jako gry asymetryczne można wymienić „Ultimatum” czy „Dictator”.

W przykładzie po prawej stronie gra na pierwszy rzut oka może wydawać się symetryczna ze względu na podobne strategie, ale tak nie jest – wszak wypłata drugiego gracza przy którejkolwiek ze strategii (1, 1) i (2 , 2) będzie większy niż pierwszy.

O sumie zerowej i niezerowej

Gry o sumie zerowej to szczególny rodzaj gier o sumie stałej, czyli takich, w których gracze nie mogą zwiększać ani zmniejszać dostępnych zasobów ani funduszu gry. W tym przypadku suma wszystkich wygranych jest równa sumie wszystkich przegranych w dowolnym ruchu. Spójrz w prawo - liczby oznaczają wypłaty dla graczy - a ich suma w każdej komórce wynosi zero. Przykładami takich gier są poker, w którym wygrywa się wszystkie zakłady innych; reversi, gdzie przechwytywane są żetony wroga; lub jawna kradzież.

Wiele gier studiowanych przez matematyków, w tym wspomniany już Dylemat Więźnia, ma inny rodzaj: w grach o sumie niezerowej wygrana jednego gracza niekoniecznie oznacza przegraną drugiego i odwrotnie. Wynik takiej gry może być mniejszy lub większy od zera. Takie gry można zamienić na gry o sumie zerowej – odbywa się to poprzez wprowadzenie fikcyjnego gracza, który „przywłaszcza sobie” nadwyżkę lub uzupełnia brak środków.

Również gra o niezerowej sumie to handel, w którym każdy uczestnik odnosi korzyści. Ten typ obejmuje gry takie jak warcaby i szachy; w dwóch ostatnich gracz może zamienić swoją zwykłą figurę w mocniejszą, zyskując przewagę. We wszystkich tych przypadkach ilość gry wzrasta.

Kooperacyjne i niekooperacyjne

Gra nazywa się kooperacją lub koalicją, jeśli gracze mogą łączyć się w grupy, biorąc na siebie pewne zobowiązania wobec innych graczy i koordynując swoje działania. Tym różni się od gier niekooperacyjnych, w których każdy musi grać dla siebie. Gry rozrywkowe rzadko są kooperacyjne, ale takie mechanizmy nie są rzadkością w życiu codziennym.

Często przyjmuje się, że gry kooperacyjne różnią się właśnie zdolnością graczy do komunikowania się ze sobą. Ale nie zawsze jest to prawdą, ponieważ istnieją gry, w których komunikacja jest dozwolona, ​​​​ale uczestnicy dążą do osobistych celów i odwrotnie.

Z tych dwóch rodzajów gier gry niekooperacyjne opisują sytuacje bardzo szczegółowo i dają dokładniejsze wyniki. Spółdzielnie traktują proces gry jako całość.

Gry hybrydowe zawierają elementy gier kooperacyjnych i niekooperacyjnych.

Na przykład gracze mogą tworzyć grupy, ale gra będzie rozgrywana w stylu niekooperacyjnym. Oznacza to, że każdy gracz będzie realizował interesy swojej grupy, jednocześnie starając się osiągnąć osobisty zysk.

Równoległe i szeregowe

W grach równoległych gracze poruszają się w tym samym czasie lub nie są informowani o wyborach innych, dopóki wszyscy nie wykonają swojego ruchu. W grach sekwencyjnych lub dynamicznych uczestnicy mogą wykonywać ruchy w z góry ustalonej lub losowej kolejności, ale robiąc to, otrzymują informacje o wcześniejszych działaniach innych. Ta informacja może nawet nie być kompletna, na przykład gracz może dowiedzieć się, że jego przeciwnik zdecydowanie nie wybrał piątej strategii z dziesięciu jego strategii, nie dowiadując się niczego o pozostałych.

Z pełnymi lub niepełnymi informacjami

Ważnym podzbiorem gier sekwencyjnych są gry z pełną informacją. W takiej grze uczestnicy znają wszystkie wykonane do tej pory posunięcia, a także możliwe strategie przeciwników, co pozwala im w pewnym stopniu przewidzieć dalszy rozwój gry. Pełne informacje nie są dostępne w grach równoległych, ponieważ nie znają one aktualnych ruchów przeciwników. Większość gier omawianych w matematyce zawiera niepełne informacje. Na przykład, cały sens Dylematu więźnia polega na jego niekompletności.

Jednocześnie istnieją ciekawe przykłady gier z pełną informacją: szachy, warcaby i inne.

Często pojęcie kompletnej informacji mylone jest z podobnym pojęciem – idealną informacją. W przypadku tych ostatnich wystarczy znać wszystkie strategie dostępne przeciwnikom, znajomość wszystkich ich ruchów nie jest konieczna.

Gry z nieskończoną liczbą kroków

Gry w prawdziwym świecie lub gry studiowane w ekonomii zwykle trwają skończoną liczbę ruchów. Matematyka nie jest tak ograniczona, aw szczególności teoria mnogości zajmuje się grami, które mogą trwać w nieskończoność. Co więcej, zwycięzca i jego wygrane nie są ustalane do końca wszystkich ruchów...

Tutaj zwykle nie chodzi o to, aby znaleźć optymalne rozwiązanie, ale przynajmniej zwycięską strategię. (Korzystając z aksjomatu wyboru, można udowodnić, że czasami nawet w grach z kompletną informacją i dwoma wynikami – „wygrana” lub „przegrana” – żaden z graczy nie ma takiej strategii.)

Gry dyskretne i ciągłe

W większości badanych gier liczba graczy, ruchów, wyników i wydarzeń jest skończona; są dyskretne. Jednak składowe te można rozszerzyć na zbiór liczb rzeczywistych (materialnych). Gry zawierające takie elementy są często nazywane grami różnicowymi. Są one zawsze związane z jakąś realną skalą (zwykle – skalą czasową), choć zdarzenia w nich występujące mogą mieć charakter dyskretny. Gry różnicowe znajdują zastosowanie w inżynierii i technologii, fizyce.

3. Zastosowanie teorii gier

Teoria gier jest gałęzią matematyki stosowanej. Najczęściej metody teorii gier stosowane są w ekonomii, nieco rzadziej w innych naukach społecznych – socjologii, politologii, psychologii, etyce i innych. Od lat 70. XX wieku biolodzy przyjęli ją do badania zachowania zwierząt i teorii ewolucji. Ta gałąź matematyki jest bardzo ważna dla sztucznej inteligencji i cybernetyki, szczególnie przy przejawach zainteresowania inteligentnymi agentami.

Neumann i Morgenstern napisali oryginalną książkę, która zawierała głównie przykłady ekonomiczne, ponieważ konflikt ekonomiczny jest najłatwiejszy do oszacowania. W czasie II wojny światowej i zaraz po niej wojsko poważnie zainteresowało się teorią gier, postrzegając ją jako narzędzie do badania decyzji strategicznych. Następnie ponownie zwrócono uwagę na problemy gospodarcze. W naszych czasach wykonuje się wiele prac mających na celu rozszerzenie zakresu teorii gier.

Dwa główne obszary zastosowań to wojsko i ekonomia. Rozwój teorii gier jest wykorzystywany w projektowaniu systemów automatycznego sterowania bronią rakietową / przeciwrakietową, wyborze form aukcji sprzedaży częstotliwości radiowych, stosowanym modelowaniu wzorców obiegu pieniądza w interesie banków centralnych itp. Stosunki międzynarodowe i bezpieczeństwo strategiczne zawdzięczają teorię gier (i teorię decyzji) przede wszystkim koncepcji wzajemnie gwarantowanej destrukcji. To zasługa plemienia błyskotliwych umysłów (w tym związanych z korporacją RAND w Santa Monica w Kalifornii), których duch osiągnął najwyższe pozycje przywódcze w osobie Roberta McNamary. Trzeba przyznać, że sam McNamara nie nadużywał teorii gier.

3.1 W sprawach wojskowych

Informacja jest dziś jednym z najważniejszych zasobów. A teraz wszystko

powiedzenie „Kto jest właścicielem informacji, jest właścicielem świata” jest również prawdziwe. Ponadto na pierwszy plan wysuwa się potrzeba efektywnego wykorzystania dostępnych informacji. Teoria gier w połączeniu z teorią optymalnej kontroli pozwalają podejmować właściwe decyzje w różnych sytuacjach konfliktowych i niekonfliktowych.

Teoria gier to dyscyplina matematyczna zajmująca się problemami konfliktów. Wojskowy

sprawa, jako wyraźna istota konfliktu, stała się jednym z pierwszych poligonów doświadczalnych dla praktycznego zastosowania rozwoju teorii gier.

Badanie zadań bitew wojskowych za pomocą teorii gier (w tym różniczkowych) to obszerny i trudny temat. Zastosowanie teorii gier do problematyki spraw wojskowych sprawia, że ​​dla wszystkich uczestników można znaleźć skuteczne rozwiązania – optymalne działania, które pozwalają na maksymalne rozwiązanie postawionych zadań.

Wielokrotnie podejmowano próby deasemblacji gier wojennych na modele desktopowe. Ale eksperyment w sprawach wojskowych (jak w każdej innej nauce) jest środkiem zarówno do potwierdzenia teorii, jak i do znalezienia nowych sposobów analizy.

Analiza wojskowa jest czymś znacznie bardziej niepewnym pod względem praw, przewidywań i logiki niż nauki fizyczne. Z tego powodu modelowanie ze szczegółowymi i starannie dobranymi realistycznymi szczegółami nie może dać ogólnego wiarygodnego wyniku, chyba że gra jest powtarzana bardzo wiele razy. Z punktu widzenia gier różniczkowych jedyne, na co można liczyć, to potwierdzenie wniosków teorii. Szczególnie ważny jest przypadek, gdy takie wnioski wyprowadza się z modelu uproszczonego (z konieczności zawsze tak się dzieje).

W niektórych przypadkach gry różnicowe w problemach militarnych pełnią zupełnie oczywistą rolę, która nie wymaga specjalnych komentarzy. To prawda np

większość modeli, w tym pościg, odwrót i inne tego typu manewry. Tak więc w przypadku sterowania zautomatyzowanymi sieciami komunikacyjnymi w złożonym środowisku radioelektronicznym starano się wykorzystywać jedynie stochastyczne wieloetapowe gry antagonistyczne. Celowe wydaje się stosowanie gier różniczkowych, gdyż ich zastosowanie w wielu przypadkach pozwala z dużą dozą pewności opisać niezbędne procesy i znaleźć optymalne rozwiązanie problemu.

Dość często w sytuacjach konfliktowych przeciwne strony łączą się w sojusze w celu osiągnięcia lepszych rezultatów. Dlatego istnieje potrzeba zbadania koalicyjnych gier różnicowych. Ponadto idealne sytuacje, które nie mają żadnej ingerencji, nie istnieją na świecie. Oznacza to, że celowe jest badanie koalicyjnych gier różnicowych w warunkach niepewności. Istnieją różne podejścia do konstruowania rozwiązań gier różnicowych.

Podczas II wojny światowej osiągnięcia naukowe von Neumanna okazały się nieocenione dla armii amerykańskiej – dowódcy wojskowi mówili, że naukowiec jest dla Pentagonu równie ważny jak cała dywizja wojskowa. Oto przykład wykorzystania teorii gier w sprawach wojskowych. Instalacje przeciwlotnicze zostały zainstalowane na amerykańskich statkach handlowych. Jednak przez cały czas trwania wojny ani jeden samolot wroga nie został zestrzelony przez te instalacje. Powstaje słuszne pytanie: czy w ogóle warto wyposażać w taką broń statki, które nie są przeznaczone do działań bojowych. Grupa naukowców kierowana przez von Neumanna, po zbadaniu problemu, doszła do wniosku, że sama wiedza wroga o obecności takich dział na statkach handlowych dramatycznie zmniejsza prawdopodobieństwo i celność ich ostrzału i bombardowania, a zatem umieszczenie „ przeciwlotnicze” na tych statkach w pełni dowiodły swojej skuteczności.

CIA, Departament Obrony USA i największe korporacje z listy Fortune 500 aktywnie współpracują z futurologami. Oczywiście mówimy o ściśle naukowej futurologii, czyli o matematycznych obliczeniach obiektywnego prawdopodobieństwa przyszłych zdarzeń. Tym właśnie zajmuje się teoria gier – jedna z nowych dziedzin nauk matematycznych, mająca zastosowanie do niemal wszystkich dziedzin życia człowieka. Być może informatyka przyszłości, która wcześniej była prowadzona w ścisłej tajemnicy dla „elitarnych” klientów, wkrótce wejdzie na publiczny rynek komercyjny. Przynajmniej świadczy o tym fakt, że w tym samym czasie dwa główne amerykańskie czasopisma opublikowały jednocześnie materiały na ten temat i oba wydrukowały wywiad z profesorem Uniwersytetu Nowojorskiego Brucem Bueno de Mesquita (BruceBuenodeMesquita). Profesor jest właścicielem firmy konsultingowej zajmującej się obliczeniami komputerowymi opartymi na teorii gier. W ciągu dwudziestu lat współpracy z CIA naukowiec trafnie wyliczył kilka ważnych i nieoczekiwanych wydarzeń (m.in. dojście Andropowa do władzy w ZSRR i zdobycie Hongkongu przez Chińczyków). W sumie obliczył ponad tysiąc zdarzeń z dokładnością przekraczającą 90%.Teraz Bruce doradza amerykańskim agencjom wywiadowczym w sprawie polityki w Iranie. Z jego wyliczeń wynika np., że USA nie mają szans na powstrzymanie Iranu przed uruchomieniem cywilnego reaktora jądrowego.

3.2 Pod kontrolą

Jako przykłady zastosowania teorii gier w zarządzaniu można wymienić decyzje dotyczące realizacji pryncypialnej polityki cenowej, wchodzenia na nowe rynki, współpracy i tworzenia wspólnych przedsięwzięć, identyfikowania liderów i wykonawców w dziedzinie innowacji itp. Zapisy tej teorii w zasadzie mogą być stosowane do wszelkiego rodzaju decyzji, jeżeli na ich podjęcie mają wpływ inni aktorzy. Te osoby lub gracze nie muszą być konkurentami rynkowymi; ich rolą mogą być poddostawcy, wiodący klienci, pracownicy organizacji, a także współpracownicy w pracy.

W jaki sposób firmy mogą skorzystać z analizy opartej na teorii gier? Mamy na przykład przypadek konfliktu interesów między IBM a Telexem. Telex ogłosił swoje wejście na rynek sprzedaży, w związku z czym odbyło się „kryzysowe” spotkanie kierownictwa IBM, na którym analizowano działania mające na celu zmuszenie nowego konkurenta do rezygnacji z zamiaru penetracji nowego rynku. Te działania najwyraźniej stały się znane Telexowi. Jednak analiza oparta na teorii gier wykazała, że ​​groźby IBM związane z wysokimi kosztami są bezpodstawne. Dowodzi to, że firmom przyda się rozważenie możliwych reakcji partnerów gier. Pojedyncze kalkulacje ekonomiczne, nawet oparte na teorii podejmowania decyzji, są często, jak w opisanej sytuacji, ograniczone. Na przykład firma zewnętrzna może wybrać ruch „niewchodzenia”, jeśli wstępna analiza przekona ją, że penetracja rynku sprowokuje agresywną reakcję firmy monopolistycznej. W tej sytuacji zasadne jest wybranie ruchu „bez wejścia” z prawdopodobieństwem agresywnej odpowiedzi 0,5, zgodnie z kryterium oczekiwanego kosztu.

Ważny wkład w wykorzystanie teorii gier wnieśli m.in prace eksperymentalne. Wiele obliczeń teoretycznych jest opracowywanych w laboratorium, a uzyskane wyniki stanowią ważny element dla praktyków. Teoretycznie ustalono, w jakich warunkach korzystne jest, aby dwóch samolubnych partnerów współpracowało i osiągało dla siebie lepsze wyniki.

Wiedza ta może być wykorzystana w praktyce przedsiębiorstw, aby pomóc dwóm firmom osiągnąć sytuację win-win. Obecnie konsultanci przeszkoleni w grach szybko i jednoznacznie identyfikują możliwości, z których firmy mogą skorzystać, aby zabezpieczyć stabilne i długoterminowe umowy z klientami, poddostawcami, partnerami rozwojowymi i nie tylko. .

3.3 Zastosowanie w innych obszarach

w biologii

Bardzo ważnym kierunkiem są próby zastosowania teorii gier w biologii i zrozumienia, w jaki sposób sama ewolucja buduje optymalne strategie. Tutaj, w istocie, ta sama metoda, która pomaga nam wyjaśnić ludzkie zachowanie. W końcu teoria gier nie mówi, że ludzie zawsze działają świadomie, strategicznie, racjonalnie. Chodzi raczej o ewolucję pewnych zasad, które dają bardziej użyteczne rezultaty, jeśli są przestrzegane. Oznacza to, że ludzie często nie obliczają swojej strategii, stopniowo kształtuje się ona w miarę gromadzenia doświadczenia. Pomysł ten jest obecnie akceptowany w biologii.

W technologii komputerowej

Badania w dziedzinie technologii komputerowych są jeszcze bardziej pożądane, na przykład analiza aukcji, które są przeprowadzane przez komputery w trybie automatycznym. Poza tym teoria gier pozwala dziś jeszcze raz pomyśleć o tym, jak działają komputery, jak buduje się między nimi współpracę. Powiedzmy, że serwery w sieci mogą być postrzegane jako gracze próbujący koordynować swoje działania.

W grach (szachy)

Szachy to skrajny przypadek teorii gier, ponieważ wszystko, co robisz, ma na celu wyłącznie twoje zwycięstwo i nie musisz się przejmować, jak zareaguje na to twój partner. Wystarczająco, by upewnić się, że nie będzie w stanie skutecznie zareagować. Oznacza to, że jest to gra o sumie zerowej. I oczywiście w innych grach kultura może mieć określone znaczenie.

Przykłady z innego obszaru

Teoria gier jest wykorzystywana w poszukiwaniu odpowiedniej pary dawcy i biorcy nerki. Jedna osoba chce oddać nerkę drugiej, ale okazuje się, że ich grupy krwi są niezgodne. A co należy zrobić w takim przypadku? Przede wszystkim poszerzyć listę darczyńców i biorców, a następnie zastosować metody selekcji, których dostarcza teoria gier. To bardzo przypomina zaaranżowane małżeństwo. Raczej w ogóle nie wygląda to na małżeństwo, ale model matematyczny tych sytuacji jest ten sam, stosowane są te same metody i obliczenia. Teraz, na pomysłach takich teoretyków jak David Gale, Lloyd Shapley i inni, rozwinął się prawdziwy przemysł - praktyczne zastosowania teorii w grach kooperacyjnych.

3.4 Dlaczego teoria gier nie jest stosowana jeszcze szerzej

A w polityce, ekonomii i wojskowości praktycy natknęli się na fundamentalne ograniczenia podstaw współczesnej teorii gier - racjonalność Nasha.

Po pierwsze, człowiek nie jest tak doskonały, by cały czas myśleć strategicznie. Aby przezwyciężyć to ograniczenie, teoretycy zaczęli badać sformułowania równowagi ewolucyjnej, które mają słabsze założenia na poziomie racjonalności.

Po drugie, założenia teorii gier dotyczące świadomości graczy na temat struktury gry i płatności w prawdziwym życiu nie są przestrzegane tak często, jak byśmy tego chcieli. Teoria gier bardzo boleśnie reaguje na najdrobniejsze (z punktu widzenia laika) zmiany reguł gry ostrymi przesunięciami przewidywanych równowag.

W konsekwencji tych problemów współczesna teoria gier znajduje się w „owocnym impasie”. Łabędź, rak i szczupak proponowanych rozwiązań ciągną teorię gier w różnych kierunkach. Powstają dziesiątki prac w każdym kierunku… jednak „rzeczy wciąż tam są”.

Przykłady zadań

Definicje potrzebne do rozwiązywania problemów

1. Sytuacja nazywana jest konfliktem, jeśli dotyczy stron, których interesy są całkowicie lub częściowo przeciwstawne.

2. Gra to rzeczywisty lub formalny konflikt, w którym bierze udział co najmniej dwóch uczestników (graczy), z których każdy dąży do osiągnięcia własnych celów.

3. Dopuszczalne działania każdego z graczy zmierzające do osiągnięcia jakiegoś celu nazywane są regułami gry.

4. Kwantyfikacja wyników gry nazywana jest płatnością.

5. Grę nazywamy parą, jeśli biorą w niej udział tylko dwie strony (dwie osoby).

6. Gra w pary nazywana jest grą o sumie zerowej, jeśli suma wypłat wynosi zero, tj. jeśli strata jednego gracza jest równa zyskowi drugiego.

7. Jednoznaczny opis wyboru gracza w każdej z możliwych sytuacji, w których musi wykonać osobisty ruch, nazywa się strategią gracza.

8. Strategia gracza nazywana jest optymalną, jeśli przy wielokrotnym powtarzaniu gry zapewnia graczowi maksymalny możliwy zysk (lub równoważnie minimalną możliwą średnią stratę).

Niech będzie dwóch graczy, z których jeden może wybrać i-tą strategię spośród m możliwych strategii (i=1,m), a drugi, nie znając wyboru pierwszego, wybiera j-tą strategię spośród n możliwych strategie (j=1,n) W rezultacie pierwszy gracz wygrywa wartość aij, a drugi traci tę wartość.

Z liczb aij tworzymy macierz

Wiersze macierzy A odpowiadają strategiom pierwszego gracza, a kolumny odpowiadają strategiom drugiego. Strategie te nazywane są czystymi.

9. Macierz A nazywana jest wypłatą (lub macierzą gry).

10. Gra zdefiniowana przez macierz A z m wierszami i n kolumnami nazywana jest m x n grą skończoną.

11. Numer nazywana jest niższą ceną gry lub maksiminem, a odpowiadająca jej strategia (wiersz) nazywana jest maksiminem.

12. Numer nazywana jest górną ceną gry lub minimaksem, a odpowiadająca jej strategia (kolumna) nazywa się minimaksem.

13. Jeśli α=β=v, to liczbę v nazywamy ceną gry.

14. Gra, dla której α=β nazywana jest grą z punktem siodłowym.

W przypadku gry z punktem siodłowym znalezienie rozwiązania polega na wyborze optymalnej strategii maximin i minimax.

Jeśli gra dana przez macierz nie ma punktu siodłowego, to do znalezienia jej rozwiązania stosuje się strategie mieszane.
Zadania

1. Orlanka. To jest gra o sumie zerowej. Zasada jest taka, że ​​gdy gracze wybiorą te same strategie, pierwsza wygrywa jeden rubel, a gdy wybiorą inne, tracą jednego rubla.

Jeśli obliczamy strategie zgodnie z zasadą maxmin i minmax, to widzimy, że nie da się obliczyć optymalnej strategii, w tej grze prawdopodobieństwa przegranej i wygranej są sobie równe.

2. Liczby. Istota gry polega na tym, że każdy z graczy myśli o liczbach całkowitych od 1 do 4, a wypłata pierwszego gracza jest równa różnicy między liczbą, którą odgadł, a liczbą, którą odgadł drugi gracz.

nazwy	Gracz B
Gracz A	strategie	1	2	3	4
	1	0	-1	-2	-3
	2	1	0	-1	-2
	3	2	1	0	-1
	4	3	2	1	0

Rozwiązujemy problem zgodnie z teorią maxmin i minmax, podobnie jak w poprzednim problemie okazuje się, że maxmin = 0, minmax = 0, pojawił się punkt siodłowy, bo ceny górne i dolne są równe. Strategie obu graczy to 4.

3. Rozważ problem ewakuacji ludzi w przypadku pożaru.

Sytuacja pożarowa 1: Czas pożaru - godzina 10, lato.

Gęstość przepływu człowieka D \u003d 0,2 h / m2, prędkość przepływu v \u003d 60

m / min. Wymagany czas ewakuacji TeV = 0,5 min.

Sytuacja pożarowa 2: Godzina rozpoczęcia pożaru 20:00, lato. Gęstość przepływu człowieka D = 0,83 h/min. prędkość przepływu

v = 17 m/min. Wymagany czas ewakuacji TeV = 1,6 min.

Możliwe są różne opcje ewakuacji Li, które są określone

cechy konstrukcyjne i planistyczne budynku, obecność

klatki schodowe wolne od dymu, liczbę kondygnacji budynku i inne czynniki.

W przykładzie rozważamy opcję ewakuacji jako trasę, którą ludzie muszą obrać podczas ewakuacji z budynku. Sytuacja pożarowa 1 będzie odpowiadała takiemu wariantowi ewakuacji L1, w którym ewakuacja odbywa się korytarzem do dwóch klatek schodowych. Ale możliwy jest też najgorszy wariant ewakuacji - L2, w którym ewakuacja

odbywa się na jednej klatce schodowej, a droga ewakuacyjna jest maksymalna.

W przypadku sytuacji 2 opcje ewakuacji L1 i L2 są oczywiście odpowiednie, chociaż

Preferowany jest L1. Opis możliwych sytuacji pożarowych chronionego obiektu oraz możliwości ewakuacji sporządzany jest w formie matrycy opłat, przy czym:

N - możliwe sytuacje pożaru:

L - możliwości ewakuacji;

i 11 - i nm wynik ewakuacji: „a” zmienia się od 0 (bezwzględna strata) - do 1 (maksymalne wzmocnienie).

Na przykład w sytuacjach pożarowych:

N1 - występuje zadymienie wspólnego korytarza i jego objęcie płomieniami

po 5 minutach po wybuchu pożaru;

N2 - zadymienie i zadymienie korytarza następuje po 7 minutach;

N3 - zadymienie i zadymienie korytarza następuje po 10 minutach.

Dostępne są następujące opcje ewakuacji:

L1 - zapewnienie ewakuacji w 6 minut;

L2 - zapewnienie ewakuacji w 8 minut;

L3 - zapewniając ewakuację w 12 minut.

za 11 = N1 / L1 = 5/ 6 = 0,83

za 12 \u003d N1 / L2 \u003d 5/ 8 \u003d 0,62

za 13 \u003d N1 / L3 \u003d 5 / 12 \u003d 0,42

i 21 = N2 / L1 = 7/ 6 = 1

za 22 = N2 / L2 = 7/ 8 = 0,87

za 23 \u003d N2 / L3 \u003d 7/ 12 \u003d 0,58

za 31 = N3 / L1 = 10/ 6 = 1

za 32 = N3 / L2 = 10/ 8 = 1

a 33 = N3 / L3 = 10/12 = 0,83

Tabela. Macierz wypłat wyników ewakuacji

L1	L2	L3
N1	0,83	0,6	0,42
N2	1	0,87	0,58
N3	1	1	0,83

Oblicz wymagany czas ewakuacji w przewodniku po procesie

nie ma potrzeby ewakuacji, można ją wprowadzić do programu jako gotową.

Ta macierz jest wprowadzana do komputera i zgodnie z wartością liczbową wielkości i ij podsystem automatycznie wybiera najlepszą opcję ewakuacji.

Wniosek

Podsumowując, należy podkreślić, że teoria gier jest bardzo złożoną dziedziną wiedzy. Podczas obchodzenia się z nim należy zachować pewną ostrożność i wyraźnie znać granice zastosowania. Zbyt proste interpretacje, przyjęte przez samą firmę lub przy pomocy konsultantów, są obarczone ukrytym niebezpieczeństwem. Ze względu na ich złożoność analiza i konsultacje oparte na teorii gier są zalecane tylko w przypadku krytycznych obszarów problemowych. Z doświadczeń firm wynika, że ​​stosowanie odpowiednich narzędzi jest preferowane przy podejmowaniu jednorazowych, fundamentalnie ważnych zaplanowanych decyzji strategicznych, w tym przy przygotowywaniu dużych umów o współpracy. Jednak zastosowanie teorii gier ułatwia nam zrozumienie istoty tego, co się dzieje, a uniwersalność tej gałęzi nauki pozwala z powodzeniem wykorzystywać metody i właściwości tej teorii w różnych obszarach naszej działalności.

Teoria gier wpaja człowiekowi dyscyplinę umysłu. Od decydenta wymaga to systematycznego formułowania możliwych alternatyw behawioralnych, oceny ich wyników, a przede wszystkim rozważenia zachowania innych obiektów. Osoba zaznajomiona z teorią gier jest mniej skłonna uważać innych za głupszych od siebie i dzięki temu unika wielu niewybaczalnych błędów. Jednak teoria gier nie może i nie jest przeznaczona do nadawania decyzyjności, wytrwałości w osiąganiu celów, bez względu na niepewność i ryzyko. Znajomość podstaw teorii gier nie daje nam wyraźnej przewagi, ale chroni przed popełnianiem głupich i niepotrzebnych błędów.

Teoria gier zawsze zajmuje się szczególnym typem myślenia, strategicznym.

Spis bibliograficzny

1. J. von Neumann, O. Morgenstern. „Teoria gier i zachowania ekonomiczne”, Science, 1970.

2. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.N. „Metody matematyczne w ekonomii”, Moskwa 1997, wyd. "DIS".

3. Owen G. „Teoria gier”. – M.: Mir, 1970.

4. Mgr Raskin „Wstęp do teorii gier” // Szkoła letnia „Matematyka współczesna”. - Dubna: 2008.

5. http://ru.wikipedia.org/wiki

6. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/104891

7. http://ru.wikipedia.org/wiki

8. http://www.rae.ru/zk/arj/2007/12/Stepanenko.pdf

9. http://banzay-kz.livejournal.com/13890.html

10. http://propolis.com.ua/node/21

11. http://www.cfin.ru/management/game_theory.shtml

12. http://konflickt.ru/16/

13. http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/IGR_TEORIYA.html

14. http://matmodel.ru/article.php/20081126162627533

15. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ec_cs/kokgames/prog3k.htm

Zabawnym przykładem zastosowania teorii gier jest książka fantasy The Brave Golem autorstwa Anthony'ego Pierce'a.

Dużo tekstu

„Celem tego, co wam teraz pokażę”, zaczął Grundy, „jest zebranie wymaganej liczby punktów. Punkty mogą być bardzo różne – wszystko zależy od kombinacji decyzji, które podejmują uczestnicy gry. Załóżmy na przykład, że każdy uczestnik zeznaje przeciwko swojemu towarzyszowi zabaw. W takim przypadku każdemu uczestnikowi można przyznać jeden punkt!
- Jeden punkt! - powiedziała Morska Wiedźma, wykazując nieoczekiwane zainteresowanie grą. Najwyraźniej czarodziejka chciała się upewnić, że golem nie ma szans, by demon Xanth był z niego zadowolony.
„Załóżmy teraz, że żaden z uczestników gry nie zeznaje przeciwko swojemu towarzyszowi! Grandi kontynuował. - W tym przypadku każdemu można przyznać trzy punkty. Chcę szczególnie zauważyć, że dopóki wszyscy uczestnicy zachowują się w ten sam sposób, to otrzymują taką samą liczbę punktów. Nikt nie ma przewagi nad drugim.
- Trzy punkty! - powiedziała druga czarownica.
- Ale teraz mamy prawo sugerować, że jeden z graczy zaczął zeznawać przeciwko drugiemu, a drugi nadal milczy! — powiedział Grandi. - W tym przypadku ten, kto daje te dowody, dostaje od razu pięć punktów, a ten, kto milczy, nie dostaje ani jednego punktu!
- Aha! – wykrzyknęły jednym głosem obie czarownice, oblizując łapczywie usta. Było jasne, że obaj zdobędą po pięć punktów.
„Cały czas traciłem punkty!” wykrzyknął demon. – Ale dotychczas tylko opisałeś sytuację, ale jeszcze nie przedstawiłeś sposobu jej rozwiązania! Więc jaka jest twoja strategia? Nie musisz tracić czasu!
– Poczekaj, zaraz wszystko wyjaśnię! wykrzyknął Grundy. „Każdy z naszej czwórki – jesteśmy dwoma golemami i dwiema wiedźmami – będzie walczył ze swoimi przeciwnikami. Oczywiście czarownice będą starały się nikomu nie ustępować w niczym ...
- Z pewnością! – wykrzyknęły ponownie obie czarownice. Doskonale rozumieli golema od pół słowa!
"A drugi golem zastosuje się do mojej taktyki," kontynuował niewzruszony Grundy. Spojrzał na swojego sobowtóra. „Oczywiście, że wiesz?
- Tak, oczywiście! Jestem twoją kopią! Doskonale rozumiem, co myślisz!
- To wspaniale! W takim razie zróbmy pierwszy krok, żeby demon sam się przekonał. W każdej walce będzie kilka rund, aby cała strategia mogła się objawić do końca i sprawiać wrażenie spójnego systemu. Może powinienem zacząć.

„Teraz każdy z nas musi zaznaczyć swoje kartki!” golem zwrócił się do wiedźmy. - Najpierw powinieneś narysować uśmiechniętą twarz. Oznacza to, że nie będziemy zeznawać przeciwko współwięźniowi. Możesz także narysować zmarszczoną twarz, co oznacza, że ​​\u200b\u200bmyślimy tylko o sobie i dajemy niezbędne świadectwo naszemu towarzyszowi. Oboje zdajemy sobie sprawę, że byłoby lepiej, gdyby nikt nie okazał się tą bardzo pochmurną twarzą, ale z drugiej strony pochmurna twarz ma pewną przewagę nad uśmiechniętą! Ale najważniejsze jest to, że każdy z nas nie wie, co wybierze drugi! Nie dowiemy się, dopóki partner gry nie ujawni swojego rysunku!
- Zaczynaj, draniu! – skarciła go wiedźma. Ona, jak zawsze, nie mogła obejść się bez obraźliwych epitetów!
- Gotowy! - wykrzyknął Grundy, rysując na swojej kartce wielką uśmiechniętą twarz w taki sposób, że czarownica nie mogła zobaczyć, co tam narysował. Czarownica wykonała ruch, również robiąc minę. Trzeba pomyśleć, że z pewnością przedstawiła niemiłą fizjonomię!
„Cóż, teraz musimy tylko pokazać sobie nawzajem nasze rysunki” – oznajmił Grundy. Odwracając się, otworzył rysunek publicznie i pokazał go we wszystkich kierunkach, aby każdy mógł zobaczyć rysunek. Mrucząc coś niezadowolonego, Morska Wiedźma zrobiła to samo.
Tak jak Grundy miał nadzieję, z rysunku czarodziejki wyłoniła się wściekła, niezadowolona twarz.
„Teraz wy, szanowni widzowie”, powiedział Grundy z powagą, „widzicie, że czarownica wolała zeznawać przeciwko mnie. nie zamierzam tego robić. W ten sposób Morska Wiedźma zdobywa pięć punktów. I w związku z tym nie otrzymuję ani jednego punktu. I tu…
Przez rzędy widzów ponownie przetoczył się cichy hałas. Wszyscy wyraźnie sympatyzowali z golemem i pragnęli przegranej Morskiej Wiedźmy.
Ale gra dopiero się zaczęła! Gdyby tylko jego strategia była słuszna...
„Teraz możemy przejść do drugiej rundy!” — oznajmił uroczyście Grandi. Musimy powtórzyć ruchy. Każdy rysuje twarz, która jest mu bliższa!
Tak zrobili. Grundy przybierał teraz ponurą, niezadowoloną minę.
Gdy tylko gracze pokazali swoje rysunki, publiczność zobaczyła, że ​​teraz obaj narysowali wściekłe twarze.
- Po dwa punkty! — powiedział Grandi.
„Siedem dwa na moją korzyść!” – krzyknęła radośnie czarownica. - Nie wyjdziesz stąd, draniu!
- Zacznijmy jeszcze raz! wykrzyknął Grundy. Zrobili kolejny rysunek i pokazali go publiczności. Znowu te same złe twarze.
- Każdy z nas powtórzył poprzedni ruch, zachowywał się samolubnie i dlatego wydaje mi się, że lepiej nie przyznawać punktów nikomu! - powiedział golem.
Ale nadal prowadzę grę! - powiedziała czarownica, radośnie zacierając ręce.
- Dobra, nie rób hałasu! — powiedział Grandi. - Gra się nie skończyła. Zobaczmy, co się stanie! Zatem, drodzy słuchacze, zaczynamy czwartą rundę!
Gracze ponownie wykonali rysunki, pokazując publiczności, co narysowali na swoich arkuszach. Oba arkusze ponownie pokazały publiczności te same wściekłe twarze.
- Osiem - trzy! – wrzasnęła czarownica, wybuchając złośliwym śmiechem. „Wykopałeś sobie grób swoją głupią strategią, golemie!”
– Piąta runda! krzyknął Grundy. Stało się to samo co w poprzednich rundach - znowu wściekłe twarze, zmienił się tylko wynik - wyszło dziewięć - cztery na korzyść czarodziejki.
- Teraz ostatnia, szósta runda! — powiedział Grundy. Jego wstępne obliczenia pokazały, że to właśnie ta runda powinna stać się kluczowa. Teraz teoria musiała zostać potwierdzona lub obalona przez praktykę.
Kilka szybkich i nerwowych ruchów ołówkiem na papierze - i oba rysunki pojawiły się przed oczami publiczności. Znowu dwie twarze, teraz nawet z obnażonymi zębami!
- Dziesięć - pięć na moją korzyść! Moja gra! Wygrałem! Morska Wiedźma zarechotała.

- Naprawdę wygrałeś - zgodził się ponuro Grundy. Widzowie milczeli złowrogo.
Demon poruszył ustami, żeby coś powiedzieć.

Ale nasz konkurs jeszcze się nie skończył! — krzyknął głośno Grundy. – To była dopiero pierwsza część meczu.
- Daj ci wieczność! – mruknął niezadowolony demon Xanth.
- Prawda! — powiedział spokojnie Grundy. - Ale jedna runda niczego nie rozwiązuje, tylko metodyczność wskazuje na najlepszy wynik.
Teraz golem zbliżył się do drugiej wiedźmy.
– Chciałbym rozegrać tę rundę z innym przeciwnikiem! ogłosił. - Każdy z nas przedstawi twarze, tak jak było to poprzednio, a potem publicznie zademonstruje to, co narysował!
I tak też zrobili. Rezultat był taki sam jak ostatnim razem - Grundy narysował uśmiechniętą twarz, a wiedźma narysowała czaszkę. Od razu uzyskała przewagę aż pięciu punktów, zostawiając Grundy'ego w tyle.
Pozostałe pięć rund zakończyło się wynikami, których można było się spodziewać. Ponownie wynik wynosił dziesięć pięć na korzyść Morskiej Wiedźmy.
„Golemie, naprawdę podoba mi się twoja strategia!” czarownica się roześmiała.
- A więc obejrzeliście dwie rundy meczu, drodzy widzowie! wykrzyknął Grundy. - Ja w ten sposób zdobyłem dziesięć punktów, a moi rywale - dwadzieścia!
Publiczność, która również liczyła punkty, żałośnie kiwała głowami. Ich liczba zgadzała się z liczbą golema. Jedynie chmurka o imieniu Frakto wydawała się bardzo zadowolona, ​​choć oczywiście wiedźmie też się to nie podobało.
Ale Roszpunka uśmiechnęła się z aprobatą do golema - nadal w niego wierzyła. Mogła być jedyną osobą, która mu teraz wierzyła. Grandi miał nadzieję, że usprawiedliwi to bezgraniczne zaufanie.
Teraz Grundy zbliżył się do swojego trzeciego przeciwnika - swojego sobowtóra. Miał być jego ostatnim przeciwnikiem. Szybko bazgrając ołówkami na papierze, golemy pokazały papiery publiczności. Wszyscy widzieli dwie roześmiane twarze.
- Uwaga, drodzy widzowie, każdy z nas wolał być dobrym współwięźniem! wykrzyknął Grundy. - I dlatego nikt z nas nie uzyskał w tej grze niezbędnej przewagi nad przeciwnikiem. W ten sposób oboje otrzymujemy trzy punkty i przechodzimy do następnej rundy!
Rozpoczęła się druga runda. Wynik był taki sam jak poprzednio. Potem pozostałe rundy. I w każdej rundzie obaj przeciwnicy ponownie zdobywali po trzy punkty! To było po prostu niewiarygodne, ale publiczność była gotowa potwierdzić wszystko, co się działo.

W końcu ta wycieczka dobiegła końca, a Grundy, szybko przesuwając ołówkiem po papierze, zaczął obliczać wynik. W końcu ogłosił uroczyście:
- Osiemnaście na osiemnaście! W sumie zdobyłem dwadzieścia osiem punktów, a moi przeciwnicy aż trzydzieści osiem!
- A więc przegrałeś - oznajmiła radośnie Morska Wiedźma. - Jeden z nas zostanie zwycięzcą!
- Może! Grundy odpowiedział spokojnie. Teraz nadchodzi kolejny ważny moment. Jeśli wszystko pójdzie zgodnie z planem...
- Musimy dokończyć robotę! — wykrzyknął drugi golem. „Muszę jeszcze walczyć z dwiema Morskimi Wiedźmami!” Gra jeszcze się nie skończyła!
- Tak, oczywiście, chodź! — powiedział Grandi. - Ale po prostu kieruj się strategią!
- Tak, oczywiście! zapewnił go jego sobowtór.
Ten golem podszedł do jednej z czarownic i rozpoczęła się wycieczka. Skończyło się na takim samym wyniku, z jakim podobną rundę opuścił sam Grundy – wynik wynosił dziesięć pięć na korzyść czarodziejki. Czarownica promieniała niewysłowioną radością, a publiczność zapadła w ponurą ciszę. Demon Xant wyglądał na nieco zmęczonego, co nie było zbyt dobrą wróżbą.
Teraz przyszedł czas na rundę finałową - jedna czarownica musiała walczyć z drugą. Każda miała dwadzieścia punktów w swoich zasobach, które była w stanie zdobyć, walcząc z golemami.
„Teraz, jeśli pozwolisz mi zdobyć przynajmniej kilka dodatkowych punktów…” Morska Wiedźma szepnęła konspiracyjnie do swojego sobowtóra.
Grandi starał się zachować spokój, przynajmniej na zewnątrz, chociaż w jego duszy szalał huragan sprzecznych uczuć. Jego szczęście zależało teraz od tego, jak poprawnie przewidział możliwe zachowanie obu czarownic - w końcu ich charakter był w istocie taki sam!
Teraz nadchodzi najbardziej, być może, krytyczny moment. Ale jeśli się mylił!
– Dlaczego miałbym ci się poddać! – wychrypiała druga czarownica do pierwszej. „Chcę sam zdobyć więcej punktów i wydostać się stąd!”
„Cóż, jeśli zachowujesz się tak bezczelnie”, krzyczał wnioskodawca, „to cię pobiję, abyś już nie wyglądał jak ja!”
Czarownice, rzucając sobie nienawistne spojrzenia, rysowały swoje rysunki i pokazywały je publiczności. Oczywiście nie mogło tam być nic poza dwiema czaszkami! Każdy zdobył jeden punkt.
Czarownice, obsypując się nawzajem przekleństwami, przechodziły do ​​drugiej rundy. Wynik jest taki sam - znowu dwie niezgrabnie narysowane czaszki. W ten sposób czarownice zdobyły po jednym punkcie więcej. Publiczność wszystko skrupulatnie rejestrowała.
Trwało to w przyszłości. Kiedy wycieczka dobiegła końca, zmęczone czarownice stwierdziły, że każda z nich zdobyła po sześć punktów. Kolejny remis!
- Teraz obliczmy wyniki i porównajmy wszystko! - powiedział triumfalnie Grandi. „Każda z czarownic zdobyła po dwadzieścia sześć punktów, a każdy z golemów po dwadzieścia osiem punktów. Więc co mamy? I mamy taki wynik, że golemy mają więcej punktów!
Przez publiczność przetoczył się okrzyk zaskoczenia. Podekscytowani widzowie zaczęli wypisywać na swoich karteczkach kolumny cyfr, sprawdzając poprawność liczenia. Wielu w tym czasie po prostu nie liczyło liczby zdobytych punktów, wierząc, że już zna wynik gry. Obie czarownice zaczęły warczeć z oburzenia, nie wiadomo, kogo dokładnie obwiniają za to, co się stało. Oczy demona Xantha ponownie rozbłysły czujnym ogniem. Jego zaufanie było uzasadnione!
„Proszę was drodzy słuchacze o zwrócenie uwagi na fakt,” Grundy uniósł rękę, domagając się uspokojenia publiczności, „że żaden z golemów nie wygrał ani jednej rundy. Ale ostateczne zwycięstwo nadal będzie należeć do jednego z nas, od golemów. Wyniki będą bardziej wymowne, jeśli konkurencja będzie kontynuowana! Chcę powiedzieć, moi drodzy widzowie, że w odwiecznym pojedynku moja strategia zawsze okaże się zwycięska!
Demon Xant słuchał z zainteresowaniem tego, co miał do powiedzenia Grundy. W końcu otworzył usta, wydobywając kłęby pary.
– Jaka jest dokładnie Twoja strategia?
- Nazywam to „Bądź stanowczy, ale uczciwy”! Grundy wyjaśnił. - Grę zaczynam uczciwie, ale potem zaczynam przegrywać, bo trafiam na bardzo konkretnych partnerów. Dlatego w pierwszej rundzie, gdy okaże się, że Morska Wiedźma zaczyna zeznawać przeciwko mnie, automatycznie przegrywam w drugiej rundzie – i tak dalej, aż do końca. Wynik może być inny, jeśli wiedźma zmieni taktykę gry. Ale ponieważ nie mogła nawet o czymś takim pomyśleć, graliśmy dalej według poprzedniego szablonu. Kiedy zacząłem grać z moim sobowtórem, był dla mnie dobry, a ja byłem dobry dla niego w następnej rundzie gry. W związku z tym nasza gra też przebiegała inaczej i nieco monotonnie, bo nie chcieliśmy zmieniać taktyki…
„Ale nie wygrałeś ani jednej rundy! Demon odparł zaskoczony.
- Tak, a te czarownice nie przegrały ani jednej rundy! Grundy potwierdził. - Ale przecież zwycięstwo nie przypada automatycznie temu, kto ma jeszcze rundy. Zwycięstwo przypada temu, kto zdobył najwięcej punktów, a to już zupełnie inna sprawa! Udało mi się zdobyć więcej punktów, gdy bawiliśmy się z moim sobowtórem niż z czarownicami. Ich samolubna postawa przyniosła im chwilowe zwycięstwo, ale na dłuższą metę okazało się, że właśnie przez to obaj przegrali całą partię. To też często się zdarza!

Wykorzystanie metod matematycznych, do których należy teoria gier, w analizie procesów gospodarczych umożliwia identyfikację takich trendów i zależności, które pozostają ukryte przy użyciu innych metod.

W rzeczywistości gospodarczej na każdym kroku zdarzają się sytuacje, w których jednostki, firmy lub całe państwa próbują prześcignąć się w walce o prymat. Takimi sytuacjami zajmuje się dział analizy ekonomicznej zwany „teorią gier”.

„Teoria gier to nauka o tym, jak dwóch lub więcej graczy wybiera poszczególne działania lub całe strategie. Nazwa tej teorii jest nieco abstrakcyjna, ponieważ wiąże się z grą w szachy i brydża lub prowadzeniem wojen. W rzeczywistości implikacje tego Dyscypliny są bardzo głębokie Teoria gier została opracowana przez węgierskiego geniusza matematycznego Johna von Neumanna (1903-1957) i jest stosunkowo młodą dyscypliną matematyczną.

W przyszłości teoria gier została uzupełniona o takie osiągnięcia, jak równowaga Nasha (nazwana na cześć matematyka Johna Nasha). Równowaga Nasha występuje wtedy, gdy żaden z graczy nie może poprawić swojej pozycji, chyba że przeciwnicy zmienią strategię. Strategia każdego gracza jest najlepszą odpowiedzią na strategię przeciwnika. Czasami równowaga Nasha nazywana jest również równowagą niekooperacyjną, ponieważ jej uczestnicy dokonują wyboru bez zawierania ze sobą jakichkolwiek umów i bez brania pod uwagę jakichkolwiek innych względów (interesów społeczeństwa lub interesów innych stron) niż ich własne. korzyść.

Równowaga doskonale konkurencyjnego rynku jest również równowagą Nasha, czyli równowagą niekooperacyjną, w której każda firma i każdy konsument podejmuje decyzje w oparciu o już istniejące ceny jako niezależne od swojej woli. Wiemy już, że w warunkach, w których każda firma dąży do maksymalizacji zysków, a każdy konsument maksymalizuje użyteczność, równowaga występuje, gdy ceny są równe kosztom krańcowym, a zyski są zerowe. „ Mamaeva L.N. Ekonomia instytucjonalna: kurs wykładów - M .: Korporacja wydawniczo-handlowa „Dashkov and K”, 2012. - 200 s.

Przypomnijmy koncepcję „niewidzialnej ręki” Adama Smitha: „Realizując własne interesy, on (jednostka) często przyczynia się do dobrobytu społeczeństwa w większym stopniu, niż gdyby świadomie o to zabiegał” Smith A. Studium nad natura i przyczyny bogactwa narodów // Antologia klasyków ekonomii . - M.: Ekonov-Klyuch, 19931. Paradoks „niewidzialnej ręki” polega na tym, że chociaż wszyscy działają jako niezależna siła, ostatecznie zwycięzcą pozostaje społeczeństwo. Jednocześnie równowaga konkurencyjna jest również równowagą Nasha w tym sensie, że nikt nie ma powodu, aby zmieniać swoją strategię, jeśli wszyscy inni trzymają się jej. W gospodarce doskonale konkurencyjnej zachowanie niechętne do współpracy jest opłacalne z punktu widzenia interesów społeczeństwa.

Wręcz przeciwnie, gdy członkowie określonej grupy zdecydują się na współpracę i wspólnie dojdą do ceny monopolistycznej, takie zachowanie będzie szkodliwe dla efektywności ekonomicznej. Państwo jest zmuszone do tworzenia przepisów antymonopolowych, a tym samym do rozsądku z tymi, którzy próbują podnieść ceny i podzielić rynek. Jednak brak jedności w zachowaniu nie zawsze jest opłacalny. Rywalizacja między firmami prowadzi do niskich cen i konkurencyjnej produkcji. „Niewidzialna ręka” ma niemal magiczny wpływ na doskonale konkurencyjne rynki: efektywna alokacja zasobów następuje w wyniku działań jednostek dążących do maksymalizacji zysków.

Jednak w wielu przypadkach zachowania niechętne współpracy prowadzą do nieefektywności ekonomicznej, a nawet stanowią zagrożenie dla społeczeństwa (np. wyścig zbrojeń). Brak współpracy zarówno ze strony USA, jak i ZSRR zmusił obie strony do znacznych inwestycji w dziedzinie militarnej i doprowadził do stworzenia arsenału prawie 100 000 głowic nuklearnych. Istnieje również obawa, że ​​nadmierna dostępność broni w Ameryce może wywołać rodzaj wewnętrznego wyścigu zbrojeń. Niektórzy ludzie zbroją się przeciwko innym – i ten „biegowy wyścig” może trwać w nieskończoność. Tutaj wchodzi w grę całkowicie „widzialna ręka”, która kieruje tą niszczycielską walką i nie ma nic wspólnego z „niewidzialną ręką” Adama Smitha. Innym ważnym przykładem ekonomicznym są „gry w zanieczyszczenie” (środowisko). Tutaj przedmiotem naszej uwagi będzie taki efekt uboczny jak zanieczyszczenie. Gdyby firmy nigdy nikogo nie pytały, co robić, każda z nich wolałaby raczej tworzyć zanieczyszczenie niż instalować drogie środki czyszczące. Z drugiej strony, gdyby firma ze szlachetnych pobudek zdecydowała się ograniczyć szkodliwe emisje, to koszty, a co za tym idzie ceny jej produktów, wzrosłyby, a popyt spadł. Całkiem możliwe, że ta firma po prostu zbankrutuje. Żyjąc w brutalnym świecie doboru naturalnego, firmy wolałyby pozostać w równowadze Nasha.Żadna firma nie może zwiększyć zysków poprzez redukcję zanieczyszczeń.

Zaangażowana w śmiertelną grę ekonomiczną, każda niekontrolowana, nastawiona na maksymalizację zysków firma stalowa będzie produkować zanieczyszczenie wody i powietrza. Jeśli jakakolwiek firma spróbuje oczyścić swoje emisje, będzie zmuszona podnieść ceny i ponieść straty. Zachowanie niechętne do współpracy ustanowi równowagę Nasha w warunkach dużej wartości odstającej. Rząd może podjąć kroki w celu przesunięcia równowagi. W tej sytuacji zanieczyszczenie będzie znikome, ale zyski pozostaną takie same. Mamajewa L.N. Ekonomia instytucjonalna: kurs wykładów - M .: Korporacja Wydawniczo-Handlowa „Daszkow i K”, 2012. - 203 s.

Gry z zanieczyszczeniami to jeden z przypadków, w których mechanizm „niewidzialnej ręki” nie działa. Jest to sytuacja, w której równowaga Nasha jest nieefektywna. Czasami te wymykające się spod kontroli gry stają się groźne i rząd może interweniować. Ustanawiając system kar i limitów emisji, rząd może zachęcić firmy do wybrania wyniku o niskim poziomie zanieczyszczeń. Firmy zarabiają dokładnie tyle samo, co wcześniej, przy dużych emisjach, a świat staje się nieco czystszy.

Teoria gier ma również zastosowanie do polityki makroekonomicznej. Ekonomiści i politycy w USA często krytykują obecną politykę pieniężną i fiskalną: deficyt budżetu federalnego jest zbyt duży i ogranicza krajowe oszczędności, podczas gdy polityka pieniężna generuje takie stopy procentowe, które ograniczają inwestycje. Co więcej, ten „syndrom fiskalno-pieniężny” jest cechą makroekonomicznego „krajobrazu” od ponad dekady. Dlaczego Ameryka tak uparcie prowadzi oba rodzaje polityki, skoro żadna z nich nie jest pożądana?

Syndrom ten można próbować wyjaśnić w kategoriach teorii gier. Rozdzielenie tego typu polityk stało się zwyczajem we współczesnej gospodarce. Bank Centralny Ameryki – System Rezerwy Federalnej – określa politykę pieniężną niezależnie od rządu, ustalając stopy procentowe. Polityka fiskalna, podatki i wydatki są odpowiedzialne za władzę ustawodawczą i wykonawczą. Jednak każda z tych polityk ma inne cele. Bank centralny dąży do ograniczenia wzrostu podaży pieniądza i zapewnienia niskiej inflacji.

Arthur Burns, specjalista od cykli koniunkturalnych i były szef Fed, napisał: „Urzędnicy banku centralnego mają tendencję, zgodnie z tradycją i być może osobistymi uprzedzeniami, do kontrolowania cen. prywatne kręgi finansowe”. Władzom odpowiedzialnym za politykę fiskalną bardziej jednak podobają się takie kwestie, jak pełne zatrudnienie, własna popularność, utrzymanie podatków na niskim poziomie oraz zbliżające się wybory.

Politycy fiskalni preferują najniższą możliwą stopę bezrobocia, wyższe wydatki rządowe w połączeniu z niższymi podatkami i nie dbają o inflację i inwestycje prywatne.

W grze fiskalnej strategia kooperacyjna skutkuje umiarkowaną inflacją i bezrobociem, w połączeniu z wysokimi inwestycjami stymulującymi wzrost gospodarczy. Jednak chęć zmniejszenia bezrobocia i realizacji programów socjalnych skłania władze kraju do zwiększania deficytu budżetowego, a odrzucenie inflacji zmusza bank centralny do podnoszenia stóp procentowych. Równowaga niekooperacyjna oznacza najmniejszą możliwą kwotę inwestycji.

Wybierają „duży deficyt budżetowy”. Z drugiej strony bank centralny stara się redukować inflację, nie ulega wpływom związków zawodowych i grup lobbystycznych i wybiera „wysokie stopy procentowe”. Rezultatem jest równowaga niechętna współpracy z umiarkowaną inflacją i bezrobociem, ale niskimi inwestycjami.

Niewykluczone, że to dzięki „grze budżetowo-pieniężnej” prezydent Clinton przedstawił program gospodarczy mający na celu zmniejszenie deficytu budżetowego, obniżenie stóp procentowych i zwiększenie inwestycji.

Istnieją różne sposoby opisywania gier. Jednym z nich jest rozważenie wszystkich możliwych strategii graczy i określenie wypłat odpowiadających dowolnej możliwej kombinacji strategii graczy. Gra opisana w ten sposób nazywa się gra w normalnej formie.

Normalna forma gry dwóch uczestników składa się z dwóch macierzy wypłat pokazujących, ile każdy gracz otrzyma za dowolną z możliwych par strategii. Zazwyczaj macierze te wyrażane są w postaci pojedynczej macierzy, która jest tzw dwumacierzowa. Elementami bimacierzy są pary liczb, z których pierwsza określa wypłatę pierwszego gracza, a druga określa wypłatę drugiego. Pierwszy gracz (stan) wybiera jedną z m strategii, a każda strategia odpowiada wierszowi macierzy I (i= 1,…,m). Drugi gracz (biznes) wybiera jedną z n strategii, przy czym każda strategia odpowiada kolumnie macierzy j (j= 1,…,n). Para liczb na przecięciu wiersza i kolumny, które odpowiadają strategiom wybranym przez graczy, pokazuje wysokość wypłaty dla każdej z nich. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli gracz I wybiera strategię I i gracz II - strategia j, wtedy wypłaty pierwszego i drugiego gracza są odpowiednio równe i (i= 1,…,m; j= 1,…,n), gdzie m,n jest liczbą skończonych strategii odpowiednio zawodnicy I i II. Zakłada się, że każdy z graczy zna wszystkie elementy bimacierzy wypłat. W tym przypadku ich strategia nazywa się określoną i ma skończoną liczbę opcji.

Jeżeli gracz nie zna żadnych opcji strategii przeciwnika (elementów matrycy), to gra nazywana jest nieokreśloną i może mieć nieskończoną liczbę opcji (strategii).

Istnieją inne klasy gier, w których gracze wygrywają i przegrywają w tym samym czasie.

Antagonistyczne gry dwóch osób związane są z faktem, że jeden z graczy wygrywa dokładnie tyle, ile traci drugi. W takich grach interesy jej graczy są wprost przeciwne.

Jako przykład rozważmy grę, w której bierze udział dwóch graczy, z których każdy ma dwie strategie. Wypłaty każdego z graczy określają następujące zasady: jeśli obaj gracze wybiorą strategie o tych samych liczbach (gracz I - , gracz II -), to pierwszy gracz wygrywa, a drugi przegrywa (państwo podnosi podatki - biznes im płaci, tj. zysk państwa determinuje stratę biznesową) jeśli obaj gracze wybiorą różne strategie (gracz I - i 1 gracz II - j 2 to pierwszy przegrywa, a drugi wygrywa (państwo podnosi podatki na biznes - biznes unika ich; państwo traci - biznes wygrywa).

Teoria gier to teoria modeli matematycznych takich zjawisk, w których uczestnicy („gracze”) mają różne zainteresowania i mają mniej lub bardziej swobodnie obrane ścieżki (strategie) do osiągnięcia swoich celów. W większości prac z zakresu teorii gier przyjmuje się, że interesy uczestników gry są kwantyfikowalne i są realnymi funkcjami sytuacji, tj. zbiór strategii uzyskanych, gdy każdy z graczy wybierze jakąś ze swoich strategii. Aby uzyskać wyniki, należy wziąć pod uwagę jedną lub drugą klasę gier, wyróżniającą się pewnymi restrykcyjnymi założeniami. Takie ograniczenia można nałożyć na kilka sposobów.

Można wyróżnić kilka sposobów (sposobów) nakładania ograniczeń.

1. Ograniczenia możliwości relacji między graczami. Najprostszym przypadkiem jest sytuacja, w której gracze działają całkowicie oddzieleni od siebie i nie mogą świadomie sobie pomagać ani przeszkadzać poprzez działanie lub brak działania, informacje lub dezinformację. Taki stan rzeczy nieuchronnie ma miejsce, gdy w grze biorą udział tylko dwaj gracze (państwo i biznes), mający diametralnie przeciwne interesy: wzrost wypłaty jednego z nich oznacza spadek wypłaty drugiego, a ponadto przez tę samą kwotę, pod warunkiem, że wypłaty obu graczy są wyrażone w tych samych jednostkach miary. Bez utraty ogólności możemy przyjąć, że całkowity zysk obu graczy jest równy zeru i zinterpretować zysk jednego z nich jako stratę drugiego.

Gry te nazywane są antagonistycznymi (lub grami o sumie zerowej lub dwuosobowymi grami zerowymi). Wychodzą z założenia, że ​​nie może być żadnych relacji między graczami, żadnych kompromisów, wymiany informacji i innych zasobów, z natury rzeczy, w istocie gry, ponieważ każda otrzymana przez gracza wiadomość o intencjach innego może tylko zwiększać wypłatę pierwszego gracza, a tym samym zwiększyć utratę przeciwnika.

Wnioskujemy zatem, że w grach antagonistycznych gracze nie mogą mieć bezpośrednich relacji i jednocześnie znajdować się w stosunku do siebie w stanie gry (konfrontacji).

2. Ograniczenia lub upraszczające założenia dotyczące zbioru strategii graczy. W najprostszym przypadku te zbiory strategii są skończone, co eliminuje sytuacje związane z możliwymi koincydencjami (zbieżnościami) w zbiorach strategii oraz eliminuje konieczność wprowadzania jakiejkolwiek technologii na zbiorach.

Nazywamy gry, w których zbiory strategii każdego gracza są skończone koniec gier.

3. Sugestie dotyczące wewnętrznej struktury każdej strategii, tj. o jego treści. Tak więc, na przykład, jako strategie można rozważyć funkcje czasu (ciągłe lub dyskretne), których wartościami są działania gracza w odpowiednim momencie. Te i podobne gry są zwykle nazywane dynamicznymi (pozycyjnymi).

Ograniczeniami strategii graczy mogą być także ich funkcje celu, tj. określenie celów, które mają zostać osiągnięte przez tę lub inną strategię. Można przypuszczać, że ograniczenia strategii dotyczą również sposobów osiągania tych celów w określonych przedziałach czasowych, np. miesięcy (lub roku). Jeśli nie przyjmuje się żadnych założeń co do natury strategii, uważa się je za jakiś abstrakcyjny zbiór. Takie gry w najprostszym sformułowaniu pytania nazywane są grami w postaci normalnej.

Skończone gry antagonistyczne w postaci normalnej nazywane są skończonymi grami antagonistycznymi w postaci normalnej matryca. Nazwę tę tłumaczy się możliwością następującej interpretacji gier tego typu. Strategie pierwszego gracza (gracza I – państwo) będziemy rozumieć jako wiersze jakiejś macierzy, a strategie drugiego gracza (gracza II – biznes) – jako jej kolumny. Dla zwięzłości strategie graczy nazywane są nie samymi wierszami lub kolumnami macierzy, ale ich liczbami. Wtedy sytuacjami w grze są komórki tej macierzy, które znajdują się na przecięciach każdego wiersza z każdą z kolumn. Wypełniając te komórki-sytuacje liczbami opisującymi wypłaty gracza I w tych sytuacjach, wykonujemy zadanie gry. Otrzymana macierz nazywa się macierz wypłat gry, Lub matryca gry. Ze względu na antagonizm gry macierzowej, wypłata gracza II w każdej sytuacji jest całkowicie zdeterminowana przez wypłatę gracza I w tej sytuacji, różniącą się od niego jedynie znakiem. Nie są zatem wymagane żadne dodatkowe wskazania dotyczące funkcji wypłaty gracza II w grze macierzowej.

Macierz z m wierszami i n kolumnami nazywana jest macierzą (m*n), a gra z tą macierzą nazywana jest grą (m*n).

Proces (m * n) - gry z macierzą można przedstawić w następujący sposób:

Gracz I ustala numer wiersza i, a gracz II numer kolumny j, po czym pierwszy gracz otrzymuje od przeciwnika sumę

Celem gracza I w grze macierzowej jest uzyskanie maksymalnej wypłaty, celem gracza II jest zapewnienie graczowi I minimalnej wypłaty.

Niech gracz I (państwo) wybierze własną strategię i. Wtedy w najgorszym przypadku dostanie wypłatę min. W teorii gier zakłada się, że gracze są ostrożni, licząc na najmniej korzystny dla siebie obrót wydarzeń.

Ten stan rzeczy, najmniej korzystny dla gracza I, może wystąpić np. wtedy, gdy strategia i stanie się znana graczowi II (biznesowemu). Przewidując taką możliwość, gracz I musi wybrać swoją strategię w taki sposób, aby zmaksymalizować tę minimalną wypłatę:

min = maks min (I)

Wartość po prawej stronie równości to gwarantowana wypłata gracza I. Gracz II (biznesowy) musi wybrać taką strategię, że

maks. = min. maks. (II)

Wartość po prawej stronie równości to wypłata gracza I, powyżej której nie może uzyskać więcej przy prawidłowych działaniach przeciwnika.

Rzeczywista wypłata gracza I powinna, przy rozsądnych działaniach partnerów, mieścić się w przedziale między wartościami wypłat w pierwszym i drugim przypadku. Jeśli te wartości są równe, to wypłata gracza I jest dobrze określoną liczbą, same gry są nazywane całkiem określone. Wypłata gracza I nazywana jest wartością gry i jest równa elementowi macierzy.

Gracze mogą mieć dodatkowe opcje - losowy i niezależny od siebie wybór strategii (strategie odpowiadają wierszom i kolumnom macierzy). Losowy wybór strategii przez gracza to tzw mieszany kraj tagi tego gracza. W grze (m*n) strategie mieszane gracza I są określone przez zbiory prawdopodobieństw: X = (,…), z którymi gracz ten wybiera swoje początkowe, czyste strategie.

Teoria gier macierzowych opiera się na twierdzeniu Neumanna o aktywnych strategiach: „Jeżeli jeden z graczy trzyma się swojej optymalnej strategii, wówczas wypłata pozostaje niezmieniona i równa kosztowi gry, niezależnie od tego, co zrobi drugi gracz, jeśli nie wykraczać poza swoje aktywne strategie (tj. używać żadnej z nich w czystej postaci lub mieszać je w dowolnych proporcjach „Neumann J. Wkłady do teorii gier. 1995 .. - 155 s.). Zauważ to aktywny jest czystą strategią gracza, która jest zawarta w jego optymalnej strategii mieszanej z niezerowym prawdopodobieństwem.

Głównym celem gry jest znalezienie optymalnej strategii dla obu graczy, jeśli nie z maksymalnym zyskiem dla jednego z nich, to z minimalną stratą dla obu. Metoda znajdowania optymalnych strategii często daje więcej niż jest to konieczne do celów praktycznych. W grze macierzowej nie jest konieczne, aby gracz znał wszystkie swoje optymalne struktury, ponieważ wszystkie są wymienne i do udanej gry wystarczy, aby gracz znał jedną z nich. Dlatego w odniesieniu do gier macierzowych aktualna jest kwestia znalezienia przynajmniej jednej optymalnej strategii dla każdego z graczy.

Podstawowe twierdzenie o grach Matrix ustala istnienie wartości gry i optymalnych strategii mieszanych dla obu graczy. Optymalna strategia nie musi być pojedyncza. To bardzo ważny wniosek płynący z teorii gier.

Podmiot grający w grę matrix charakteryzuje się następujące cechy:

elementy matrycy zinterpretowane jako płatności gotówkowe, a zatem ich zysk i strata oceniane w monetarny formularz;

każdy z gracze stosuje funkcję do tych elementów pożytek;

w grze każdy gracz zachowuje się tak, jakby funkcja użyteczności jego przeciwnika miała dokładnie taki sam wpływ na macierz, tj. każdy patrzy na grę „od siebie”. dzwonnice".

Te założenia prowadzić do gier o sumie zerowej, w których występują relacje współpracy, targowania się i inne rodzaje interakcji między nimi gracze jak przed startem Gry, jak i w trakcie. Mamajewa L.N. Ekonomia instytucjonalna: kurs wykładów - M .: Korporacja wydawniczo-handlowa „Daszkow i K”, 2012. - 210 - 211s.

Uogólnienie teorii gier mające na celu włączenie inni możliwości analizy, prowadzi do ciekawe, ale trudne zadania. Rozwijając teorię gier, konieczne jest zastosowanie funkcji użyteczności nie tylko do wyników pieniężnych, ale także do kwot z oczekiwaniami przyszły wyniki. Te założenia są dyskusyjne, ale istnieją. W tym przypadku wychodzimy z faktu, że to założenie o taka operacja To ma podobieństwo z zachowaniem gracze w pewne sytuacje decyzyjne i dopuszcza taką możliwość grać w gre przez tego gracza zależy od stanu jego stolicy w danym momencie ich prowadzenie Gry.

Spójrzmy na to dalej przykład. Pozwalać pierwszy gracz na początku gry G ma stolicę x dolarów. Potem jego kapitał na koniec gry będą równa się + x, gdzie jest rzeczywista wypłata, jaką otrzymuje z gry. Użyteczność, którą im przypisuje exodus, równa się f (+ x), gdzie f jest funkcją użyteczności.

Te kilka przykładów ilustruje tylko część ogromnej różnorodności wyników, które można uzyskać za pomocą teorii gier. Ta gałąź ekonomii jest niezwykle przydatnym narzędziem (dla ekonomistów i innych badaczy społecznych) do analizowania sytuacji, w których niewielka liczba ludzi jest dobrze poinformowana i próbuje przechytrzyć się nawzajem na rynkach, w polityce lub w operacjach wojskowych.