| Modellazione in fogli di calcolo
Lezione 20
Modellazione in fogli di calcolo
Modellazione di processi casuali
Il caso è parte integrante della nostra vita. Se il caso ci ha aiutato in qualche modo, diciamo che è una fortuna; se non è stato a nostro favore, ci lamentiamo: che destino! Molti scienziati hanno dedicato il loro talento allo studio dei modelli eventi casuali. La conoscenza delle leggi del caso può essere utile aree diverse: dalla determinazione della probabilità di alcuni eventi, come vincere alla lotteria, all'utilizzo di modelli statistici esperimenti scientifici. Di seguito simuleremo situazioni che nella teoria della probabilità vengono chiamate “passeggiate casuali”.
Immagina di percorrere una lunga strada diritta. Lanci una moneta. Se il risultato è "testa", fai un passo avanti, se "croce", fai un passo indietro. Quanto lontano ti porterà un vagare così unidimensionale (in una direzione)?
PROBLEMA 3.32. Lancio della moneta
Fase I. Formulazione del problema
DESCRIZIONE DEL COMPITO
Hai 10 monete. Vuoi raddoppiare il tuo capitale, mettendo allo stesso tempo alla prova il tuo destino. L'essenza del gioco è semplice. Quando giochi con un broker, effettui una scommessa e lanci una moneta. Se la scommessa esce testa, il broker ti dà l'importo della tua scommessa, altrimenti sei tu a dargli questo importo. La scommessa può essere qualsiasi cosa: da 1 a 10 monete. Puoi assegnarne di più grande scommessa 10 monete, e poi in un colpo solo sarà chiaro se hai "rotto" la banca o, al contrario, sei andato in bancarotta. Giocatori esperti agire con maggiore attenzione, iniziando con una piccola scommessa.
Il raddoppio del capitale iniziale o il fallimento comporteranno l'immediata conclusione di questa sessione di gioco e la liquidazione. Il gioco può continuare a tua discrezione.
SCOPO DELLA SIMULAZIONE
Modellando possibili situazioni di gioco, in particolare variando le scommesse in una determinata partita, scopri quali tattiche portano più spesso ad un risultato (positivo o negativo).
Avvisa i potenziali giocatori del grado di rischio e dell'impossibilità di arricchirsi attraverso il gioco d'azzardo.
FORMALIZZAZIONE DEL PROBLEMA
Risponderemo alle seguenti domande:
Fase II. Sviluppo del modello
MODELLO INFORMATIVO
Il gioco è simulato qui. Il gioco è un processo, a cui partecipano tre oggetti: il giocatore, il broker e “Sua Maestà la possibilità”, che in questo gioco è rappresentata da una moneta. Il broker determina la perdita o il guadagno del giocatore e paga le vincite.
Puoi simulare il risultato della caduta di una moneta utilizzando la funzione CASUALE(). Questa funzione produce numeri casuali X nell'intervallo 0 ≤ x ˂ 1. Poiché la probabilità di ottenere una parte o l'altra è “metà e metà”, allora se CASUALE() ˂ 0,5, quindi il risultato è "testa" (1), altrimenti - "croce" (0).
La formula su come cade una moneta quando viene lanciata è la seguente:
Rotolo = SE(CASUALE() ˂ 0,5; 1; 0),
qui "1" all'uscita della funzione significa che il giocatore ha indovinato correttamente, cioè è caduta "testa", e "O" - non ha indovinato, cioè è caduta "croce".
Formula per cambiare il denaro di un giocatore:
Contanti = SE(Tiro=1; Contanti+Scommessa; Contanti-Scommessa)
Formula per determinare le vincite:
Vincita = SE(Contanti ˂ 2*Capitale iniziale; "-"; "banca")
qui viene visualizzato il messaggio "banca" quando il denaro raddoppia o più, che è una condizione per interrompere il gioco.
Funzione di rilevamento delle perdite:
Perdita = SE(Contanti ˃ 0; "fallimento")
qui viene visualizzato il messaggio “bancarotta” quando i soldi finiscono, che è anche una condizione per interrompere il gioco.
MODELLO COMPUTER
Dati iniziali;
statistiche sugli esperimenti.
Inserisci i dati iniziali nella tabella.
Inserisci le seguenti formule nella parte di calcolo:
PIANO SPERIMENTALE
TEST
ESPERIMENTO 1
Esaminare la presenza di "testa" e "croce" durante una sessione di gioco.
ESPERIMENTO 2
CONDURRE LA RICERCA
TEST
Immettere i dati di input di controllo nella tabella e formule di calcolo alla prima riga. Confronta i risultati con quelli riportati in tabella.
Vediamo una diminuzione del denaro in base all'importo della scommessa. Se esce 1 (testa) nella colonna Lancio, i dati nelle restanti colonne dovrebbero essere i seguenti:
Se il risultato nella colonna Lancio è "O" (croce), i dati nelle restanti colonne dovrebbero essere i seguenti:
Vediamo un aumento in contanti in base all'importo della scommessa. Il confronto con il campione di controllo mostra la correttezza dell'introduzione delle formule.
1. Copia le formule nelle celle inferiori nello spazio visibile dello schermo (circa 20 lanci). In questo modo simuli l'intera sessione di gioco in una volta: 20 lanci. Puoi “allungare” il piacere e copiare le formule in una sola riga inferiore, simulando il lancio di una moneta. Ma, dato che è necessario raccogliere alcune statistiche per trarre conclusioni, l'esperimento viene deliberatamente accelerato. La comparsa del messaggio "banca" nella colonna delle vincite significa contanti doppi, mentre la scritta "bancarotta" nella colonna delle perdite significa contanti zero. Entrambi portano alla fine della sessione di gioco. I risultati a valle vengono ignorati. La sessione di gioco è considerata terminata.
2. La successiva sessione di gioco si effettua nelle stesse celle aggiornando i dati della 1a colonna, per cui la formula della cella A7 dovrà essere nuovamente copiata nelle celle inferiori.
3. Raccogli le statistiche del gioco. Per fare ciò, nell'area libera del foglio di calcolo, annota i risultati di 10-20 sessioni di gioco nel seguente modulo:
♦ Chi vince più spesso: il casinò o il giocatore?
♦ In media, quanti tiri devono essere effettuati prima della fine della partita? ESPERIMENTO 2: Simulare un gioco con scommesse diverse Cambia l'importo della scommessa per lancio (4, 7 e 10 monete). Effettua 20 lanci. Il gioco potrebbe finire presto oppure no.
Gioca 10 volte per ogni scommessa.
Raccogli le statistiche del gioco. Per fare ciò, nell'area libera del foglio di calcolo, annota i risultati di 10 sessioni di gioco nel seguente modulo:
Fase IV. Analisi dei risultati della simulazione
Sulla base dell'area “Statistiche”, trarre conclusioni sulla scommessa di una moneta; altre tariffe. Scegli e giustifica la tua tattica di gioco (scommessa).
PROBLEMA 3.33. Gioco della roulette
Fase I. Formulazione del problema
DESCRIZIONE DEL COMPITO
I casinò prosperano perché il proprietario ha sempre qualche vantaggio rispetto al giocatore. Ad esempio, in una versione della roulette, la ruota ha 38 buche: 36 sono numerate e divise in nero e rosso, e le restanti due sono numerate 0 e 00 e sono colorate in verde. Un giocatore che scommette sul rosso o sul nero ha 18 possibilità su 38 di vincere e 20 su 38 possibilità di perdere.
Ripeti l'esperimento del Problema 3.32, supponendo che tu abbia un certo numero di fiches e desideri raddoppiare il tuo capitale. Se la ruota si ferma sul numero scelto, il tuo capitale aumenterà dell’importo della scommessa, altrimenti la scommessa andrà alle entrate del casinò.
SCOPO DELLA SIMULAZIONE
Modellare possibili situazioni di gioco e sviluppare tattiche che più spesso portano a risultati (positivi o negativi).
Un avvertimento per i giocatori d'azzardo eccessivi.
FORMALIZZAZIONE DEL PROBLEMA
Fase II. Sviluppo del modello
MODELLO INFORMATIVO
Il gioco è simulato qui. Il gioco è un processo, a cui partecipano tre oggetti: il giocatore, il proprietario del casinò e la cassa rappresentata in questo gioco dalla roulette. Il caso è caratterizzato dall’indovinare o meno quale colore è uscito sulla ruota, e ha due significati: “indovinato” (1) o “non ho indovinato” (0).
Il modello matematico del processo consiste nel seguente ragionamento.
Simula la scommessa di un giocatore utilizzando una funzione CASUALE()è inutile, poiché dipende solo da lui. Il giocatore può scommettere sempre sul rosso, oppure sempre sul nero, oppure ogni altra volta...
È possibile simulare il risultato della rotazione di una ruota utilizzando la funzione CASUALE(), che produce numeri nell'intervallo 0 ≤ x ˂ 1. Secondo le condizioni del compito, la probabilità di indovinare il colore è 18/38, ovvero 0,47. Il numero 0,47 divide l'intervallo di numeri casuali in due parti disuguali. Cadere in una parte più piccola dell'intervallo significa indovinare il risultato (ha una probabilità inferiore), mentre cadere in una parte più ampia significa fallimento (con una probabilità maggiore). Questa situazione può essere descritta dalla seguente formula:
Ruota = SE(RAND()˂0,47; 1; 0).
Le formule per cambiare denaro, così come per interrompere il gioco in seguito al raddoppio del denaro o al fallimento, sono simili a quelle fornite nel Problema 3.32.
MODELLO COMPUTER
Per la modellazione, sceglieremo un ambiente di foglio di calcolo. In questo ambiente le informazioni e il modello matematico sono riuniti in una tabella che contiene tre aree:
Dati iniziali;
dati calcolati (risultati);
statistiche sugli esperimenti.
Inserisci i dati iniziali nella tabella:
Inserisci le seguenti formule nella parte di calcolo:
Fase III. Esperimento informatico
PIANO SPERIMENTALE
TEST
Controlla che le formule siano inserite correttamente.
ESPERIMENTO 1
Investiga sul verificarsi delle vincite durante una sessione di gioco.
ESPERIMENTO 2
Raccogli statistiche di vincita e perdita in più sessioni di gioco con significati diversi tariffe ed esplorarle.
CONDURRE LA RICERCA
TEST
Immettere i dati di input di controllo e le formule di calcolo nella tabella nella prima riga. Confronta i risultati con quelli riportati in tabella.
Vediamo un aumento in contanti in base all'importo della scommessa.
Se il risultato nella colonna Ruota è 1, i dati nelle restanti colonne dovrebbero essere i seguenti:
Vediamo una diminuzione del denaro in base all'importo della scommessa. Il confronto con il campione di controllo mostra la correttezza dell'introduzione delle formule.
ESPERIMENTO 1. Simulazione di una sessione di gioco per una determinata scommessa
1. Copia le formule nelle celle inferiori nello spazio visibile dello schermo (circa 20 giri di ruota). In questo modo simuli l'intera sessione di gioco in una volta. La comparsa del messaggio “banca” nella colonna Vincita significa raddoppiare il denaro, e nella colonna Perdita il messaggio “bancarotta” significa zero contanti. Entrambi portano alla fine della sessione di gioco. I risultati a valle vengono ignorati. La sessione di gioco è considerata terminata.
2. Gioca la sessione di gioco successiva nelle stesse celle aggiornando i dati nella prima colonna, per cui la formula nella cella A7 copiare di nuovo nelle celle inferiori
3. Raccogli le statistiche del gioco. Per fare ciò, annota i risultati nell'area libera della tabella. 10-20 sessioni giochi nella seguente forma:
Sulla base delle statistiche raccolte, rispondi alle domande:
♦ Chi vince più spesso: il casinò o il giocatore?
♦ In media, quanti giri della ruota devono essere fatti prima che il gioco finisca?
ESPERIMENTO 2. Una serie di statistiche per una scommessa autoselezionata
1. Modifica l'importo della scommessa (4, 7 o 10 gettoni).
2. Fai 20 giri della ruota. Il gioco potrebbe finire presto oppure no.
3. Gioca 10 volte per ogni scommessa.
4. Raccogli le statistiche del gioco. Per fare ciò, nell'area libera del foglio di calcolo, annota i risultati di 10 sessioni di gioco nel seguente modulo:
Nella colonna Risultato sono possibili i seguenti valori:
♦ vincite (quando compare il valore “banca”);
♦ perdita (quando compare il valore “fallito”);
♦ no (gioco inefficace).
Fase IV. Analisi dei risultati
Analizza i dati nell'area “Statistiche”. Confronta il numero di vittorie e sconfitte. Riassumi le colonne vincenti e perdenti e trai le conclusioni.
PROBLEMA 3.34. Gioco di dadi
Fase I. Formulazione del problema
DESCRIZIONE DEL COMPITO
Due giocatori lanciano ciascuno due dadi.
Si accumula la somma dei punti lanciati sui due dadi. Il gioco termina quando uno dei giocatori raggiunge la somma di 101.
Il gioco si ripete fino a tre vittorie.
SCOPO DELLA SIMULAZIONE
Creazione di un modello di gioco basato su eventi casuali.
FORMALIZZAZIONE DEL PROBLEMA
Formalizziamo il problema sotto forma di ricerca di risposte alle seguenti domande:
Fase II. Sviluppo del modello
MODELLO INFORMATIVO
Il modello matematico del processo consiste nel seguente ragionamento.
Il dado ha 6 facce con un numero di punti che va da 1 a 6.
Modello che simula il lancio di due dadi da parte di un giocatore:
A 1 =INTERO(1+6*CASUALE())
TO 2 =INTERO(1+6*CASUALE())
I valori casuali vengono sommati. I totali dei lanci per ciascun giocatore vengono accumulati in colonne separate: Somma del primo e Somma del secondo e vengono analizzati dopo ogni lancio nella colonna Risultato:
IF(OR("Somma dei primi"˃101; "Somma dei secondi"˃101); "fine del gioco","-").
Qui, quando entrambe le somme sono inferiori a 101, nella colonna viene scritto "-" e quando almeno un giocatore supera la soglia, nella colonna viene scritto "game over". Chi ha vinto può essere determinato dalle colonne adiacenti.
Il gioco termina quando nella colonna Risultato appare il messaggio "game over".
MODELLO COMPUTER
Per la modellazione, utilizzare l'ambiente del processore di tabelle. Fai tu stesso il modello.
Puoi simulare il flusso del gioco con un partner copiando a turno le formule in una sola riga di celle inferiori, che corrisponde a un lancio di una coppia di dadi.
COMPITI PER IL LAVORO INDIPENDENTE
3.35. Lotteria "Sportloto".
Chi di voi non conosce la lotteria Sportloto? Esistono due tattiche comuni:
Cancella la stessa combinazione di numeri “fortunati” sui biglietti;
lancia i dadi e forma una serie di numeri dal numero di punti sulla faccia superiore.
Simula una serie di giochi “5 su 36” sperimentando entrambe le tattiche.
Per ottenere numeri casuali compresi tra 1 e 36, utilizzare il seguente modello matematico:
K=INTERO(1+36*CASUALE())
Inserisci le statistiche. Trarre conclusioni.
Manuale di matematica per scienziati e ingegneri. Korn G., Korn T.
M.: Nauka, 1974.- 832 pp..
Il libro di consultazione contiene informazioni sulle seguenti sezioni: algebra superiore, geometria analitica e differenziale, analisi matematica (compresi gli integrali di Lebesgue e Stieltjes), analisi vettoriale e tensoriale, coordinate curvilinee, funzioni di variabile complessa, calcolo operazionale, equazioni differenziali derivate ordinarie e parziali, calcolo delle variazioni, algebra astratta, matrici, spazi vettoriali lineari, operatori e teoria delle rappresentazioni, equazioni integrali, problemi ai limiti, teoria della probabilità e statistica matematica, metodi numerici di analisi, funzioni speciali. In questa edizione sono stati riscritti i capitoli 11, 20 e una parte significativa dei capitoli 13 e 18. Il Re è stato arricchito con un numero significativo di nuove sezioni.
La directory è destinata agli studenti senior di specialità matematiche, operatori scientifici e ingegneri.
Formato: djvu
Misurare: 13,7MB
Scaricamento: drive.google
RIEPILOGO
CAPITOLO 1. ALGEBRA ELEMENTARE, GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA (PIANO E SFERICO)
CAPITOLO 2. GEOMETRIA ANALITICA SUL PIANO
CAPITOLO 3. GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
CAPITOLO 4. FUNZIONI E LIMITI. CALCOLO DIFFERENZIALE ED INTEGRALE
CAPITOLO 5. ANALISI VETTORIALE
CAPITOLO 6. SISTEMI DI COORDINATE CURVILINEE
CAPITOLO 7. FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA
CAPITOLO 8. TRASFORMATA DI LAPLACE E ALTRE TRASFORMAZIONI INTEGRALI
CAPITOLO 9. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
CAPITOLO 10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI CON DERIVATE PARZIALI
CAPITOLO 11. MASSIMO E MINIMO
CAPITOLO 12. DEFINIZIONE DI MODELLI MATEMATICI: ALGEBRA MODERNA (ASTRATTA) E SPAZI ASTRATTI
CAPITOLO 13. MATRICI, FORME QUADRATICHE ED HERMITIANE
CAPITOLO 14. SPAZI VETTORIALI LINEARI E TRASFORMAZIONI LINEARI (OPERATORI LINEARI). RAPPRESENTAZIONE DEI MODELLI MATEMATICI PER MATRICI
CAPITOLO 15. EQUAZIONI INTEGRALI LINEARI, PROBLEMI SUI VALORI LIMITE E PROBLEMI SUGLI AUTOVALORI
CAPITOLO 16. RAPPRESENTAZIONI DEI MODELLI MATEMATICI. ALGEBRA TENSORALE E ANALISI TENSORALE
CAPITOLO 17. GEOMETRIA DIFFERENZIALE
CAPITOLO 18. TEORIA DELLA PROBABILITÀ E PROCESSI CASUALI
CAPITOLO 19. STATISTICA MATEMATICA
CAPITOLO 20. METODI NUMERICI E DIFFERENZE FINITE
CAPITOLO 21. FUNZIONI SPECIALI
Letteratura 796
Indice dei simboli importanti 801
Indice soggetto 804
2. Galustov G.G., Panov D.N., Orlichenko A.N. Analisi dell'irregolarità di una sequenza di numeri casuali ottenuta sulla base di una sequenza casuale binaria // analisi statistica e modellazione di processi e sistemi. – Taganrog, 1979. – P. 86-92.
3. A.s. 193163 (URSS). Sensore economico ad alta velocità di numeri casuali distribuiti uniformemente / Galustov G.G., Boychenko V.M., Gladkiy V.S. Cl. 42 m3.
4. Korn G. Modellazione di processi casuali su macchine analogiche e analogico-digitali. – M.: Mir, 1968. – 315 p.
5. Tikhonov V.I. Caratteristiche delle emissioni di processi casuali // Radioingegneria ed elettronica. – 1964. – N. 3.
6. Galustov G.G., Galustov A.G. Sintesi dei parametri dei processi casuali di base nella risoluzione dei problemi di modellazione statistica // Ingegneria radio. vol. 54. Dispositivi radioelettronici e sistemi di controllo, localizzazione e comunicazione. – 2001. – N. 7. – P. 76-80.
7. Neiman V.I., Paramonov Yu.V. Sensore elettronico di numeri casuali // Problemi di trasmissione delle informazioni. – 1961. – Emissione. 9.
8. Galustov G.G., Panov D.N. Determinazione della funzione di correlazione di una sequenza numerica all'uscita di un registro a scorrimento // Analisi statistica e modellazione di processi e sistemi. – 1976. – Emissione. 2. – pp. 17-21.
9. Galustov G.G. Modellazione di processi casuali e valutazione delle loro caratteristiche statistiche. – M.: Radio e comunicazioni, 1999. – 120 p.
10. Ivanov M.A., Chugunkov I.V. Teoria, applicazione e valutazione della qualità dei generatori di sequenze pseudo-casuali. – M.: KUDITS-OBRAZ, 2003. – 240 p.
11. Bakalov V.P. Modellazione digitale di processi casuali. – M.: SCIENCE-PRESS, 2002. – 88 p.
12. Algoritmo di Barash L. AKS per il controllo della primalità dei numeri e la ricerca delle costanti del generatore numeri pseudocasuali// Sicurezza Tecnologie informatiche. – 2005. – N. 2. – P. 27-38.
13. Uspensky V.A. Quattro facce algoritmiche della casualità. – M.: MTsNMO, 2006. – 48 p. – ISBN 978-5-94057-485-9.
14. Zhelnikov V. Crittografia dal papiro al computer. – M.: ABF, 1996. – 335 pag. – ISBN 5-87484-054-0.
15. Barker E., Kelsey J. Raccomandazione per una generazione numero casuale utilizzando deterministico generatori casuali bit, NIST SP800-90A, gennaio 2012.
16. Kulikov D., Lee A. Un nuovo sensore per la registrazione di effetti psicofisici basato su generatori di rumore a semiconduttore // Anomalia. – 2009. – N. 4. – P. 3-9.
17. Galustov G.G., Voronin V.V. Stima dei parametri della sequenza casuale nei dispositivi di calcolo stocastici // 23° Forum delle Telecomunicazioni TELFOR 2015, 24-26 novembre 2015 (Belgrado, Serbia). – P. 670-673.
18. Menezes A., van Oorshot P., Vanstone S. Manuale di crittografia applicata. – CRC Press, 1997.
19. Cortois P.J. Instabilità di scomponibilità e saturazione in sistemi multiprogrammazione // Comunicazioni dell'ACM. – 1975. – Vol. 18, n. 7. – P. 371-377.
20. Kumar A. Reti di code equivalenti e loro utilizzo nell'analisi approssimata dell'equilibrio // Il sistema tecnico di Bell J. – 1982. – Vol. 62, n. 10. – P. 2893-2907.
Il libro di consultazione contiene informazioni sulle seguenti sezioni: algebra superiore, geometria analitica e differenziale, analisi matematica (compresi gli integrali di Lebesgue e Stieltjes), analisi vettoriale e tensoriale, coordinate curvilinee, funzioni di una variabile complessa, calcolo operazionale, equazioni differenziali ordinarie e parziali , calcolo delle variazioni, algebra astratta, matrici, spazi vettoriali lineari, operatori e teoria delle rappresentazioni, equazioni integrali, problemi ai limiti, teoria della probabilità e statistica matematica, metodi numerici di analisi, funzioni speciali. In questa edizione sono stati riscritti i capitoli 11, 20 e una parte significativa dei capitoli 13 e 18. Il libro è stato integrato con un numero significativo di nuove sezioni.
La directory è destinata a studenti senior di specialità matematiche, scienziati e ingegneri.
Il libro di G. Korn e T. Korn “Manuale di matematica (per scienziati e ingegneri)” si distingue per una copertura molto ampia di materiale. Copre quasi tutti i problemi come corso generale matematica, nonché la maggior parte delle sezioni speciali studiate nelle università con un programma avanzato di matematica (analisi vettoriale e tensoriale, coordinate curvilinee, equazioni di fisica matematica, funzioni di una variabile complessa e calcolo operazionale, calcolo delle variazioni, algebra lineare, teoria della probabilità e statistica matematica, ecc.). d.). Inoltre, il libro comprende capitoli dedicati all'algebra moderna, alla teoria degli integrali di Lebesgue e Stieltjes, alla geometria riemanniana, alle equazioni integrali, alle funzioni speciali, nonché a una serie di altre questioni che vanno ben oltre la formazione matematica degli ingegneri, ma vengono gradualmente diventando uno strumento necessario per scienziati e ingegneri ricercatori che lavorano in una varietà di campi. Molta attenzione è prestata alla connessione tra il considerato problemi matematici con le discipline applicate (metodi di calcolo e sintesi di circuiti elettrici, oscillazioni lineari e non lineari, ecc.).
CONTENUTO
CAPITOLO 1. ALGEBRA ELEMENTARE, GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA (PIANO E SFERICO)
CAPITOLO 2. GEOMETRIA ANALITICA SUL PIANO
CAPITOLO 3. GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
CAPITOLO 4. FUNZIONI E LIMITI. CALCOLO DIFFERENZIALE ED INTEGRALE
CAPITOLO 5. ANALISI VETTORIALE
CAPITOLO 6. SISTEMI DI COORDINATE CURVILINEE
CAPITOLO 7. FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA
CAPITOLO 8. TRASFORMATA DI LAPLACE E ALTRE TRASFORMAZIONI INTEGRALI
CAPITOLO 9. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
CAPITOLO 10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI CON DERIVATE PARZIALI
CAPITOLO 11. MASSIMO E MINIMO
CAPITOLO 12. DEFINIZIONE DI MODELLI MATEMATICI: ALGEBRA MODERNA (ASTRATTA) E SPAZI ASTRATTI
CAPITOLO 13. MATRICI, FORME QUADRATICHE ED HERMITIANE
CAPITOLO 14. SPAZI VETTORIALI LINEARI E TRASFORMAZIONI LINEARI (OPERATORI LINEARI). RAPPRESENTAZIONE DEI MODELLI MATEMATICI PER MATRICI
CAPITOLO 15. EQUAZIONI INTEGRALI LINEARI, PROBLEMI SUI VALORI LIMITE E PROBLEMI SUGLI AUTOVALORI
CAPITOLO 16. RAPPRESENTAZIONI DEI MODELLI MATEMATICI. ALGEBRA TENSORALE E ANALISI TENSORALE
CAPITOLO 17. GEOMETRIA DIFFERENZIALE
CAPITOLO 18. TEORIA DELLA PROBABILITÀ E PROCESSI CASUALI
CAPITOLO 19. STATISTICA MATEMATICA
CAPITOLO 20. METODI NUMERICI E DIFFERENZE FINITE
CAPITOLO 21. FUNZIONI SPECIALI
Letteratura 796
Indice dei simboli importanti 801
Indice soggetto 804
Download gratuito e-book in un formato conveniente, guarda e leggi:
Scarica il libro Handbook of Mathematics, Korn G., Korn T., 1973 - fileskachat.com, download veloce e gratuito.
- Manuale di matematica per scienziati e ingegneri - Korn G., Korn T.
- Matematica, Libro di consultazione scolastica, classi 7-11, Definizioni, formule, diagrammi, teoremi, algoritmi, Chernyak A.A., Chernyak Zh.A., 2018
Consideriamo gli algoritmi per modellare processi normali stazionari e processi casuali di Markov. Questi processi sono ampiamente utilizzati come modelli matematici vari tipi di processi reali che si verificano in sistemi tecnici complessi. Presentiamo di seguito alcune definizioni e concetti essenziali per un'ulteriore presentazione, adottati nel quadro delle teorie di correlazione e spettrali delle funzioni casuali.
Funzione casualeè una funzione di un argomento non casuale t, che per ogni valore fisso dell'argomento è variabile casuale. Funzione casuale tempo chiamato processo casuale. Funzione casuale coordinate vengono chiamati i punti nello spazio campo casuale. La forma specifica assunta da un processo casuale come risultato dell'esperimento è chiamata realizzazione (traiettoria) del processo casuale. Tutte le realizzazioni ottenute di un processo casuale costituiscono un insieme di realizzazioni. I valori delle realizzazioni in tempi specifici (sezioni temporali) sono chiamati valori istantanei del processo casuale.
Introduciamo la seguente notazione: X(t) - processo casuale; x i (t) - i-esima implementazione del processo X(t); x i (t j) - valore istantaneo del processo X(t), corrispondente all'i-esima implementazione nel j-esimo momento del tempo. L'insieme dei valori istantanei corrispondenti ai valori di diverse implementazioni nello stesso istante di tempo t j sarà chiamato sequenza j-esima del processo X(t) e indicato con x(t j). Da quanto sopra segue che gli argomenti di un processo casuale possono essere il tempo e il numero di implementazione. A questo proposito, sono legittimi due approcci allo studio delle proprietà di un processo casuale: il primo si basa sull'analisi di un insieme di implementazioni, il secondo opera con un insieme di sequenze - sezioni temporali. La presenza o l'assenza di dipendenza dei valori delle caratteristiche probabilistiche di un processo casuale dal tempo o dal numero di implementazione determina proprietà fondamentali del processo come stazionarietà ed ergodicità. Stazionarioè un processo le cui caratteristiche probabilistiche non dipendono dal tempo. Ergodicoè un processo le cui caratteristiche probabilistiche non dipendono dal numero di implementazioni.
Viene chiamato il processo casuale normale(o gaussiano) se le leggi di distribuzione unidimensionale e bidimensionale di una qualsiasi delle sue sezioni sono normali. Le caratteristiche generali di un normale processo casuale sono la sua aspettativa matematica e la funzione di correlazione. Per un processo casuale normale stazionario, il MOF è costante e la funzione di correlazione dipende solo dalla differenza tra i momenti di tempo per i quali vengono prese le ordinate del processo casuale ( =t 2 -t 1). Per un processo casuale stazionario, con una deviazione sufficientemente grande dell'ordinata del processo casuale X(t 2) dalla sua aspettativa matematica m x al tempo t 2 diventa praticamente indipendente dal valore di questa deviazione al tempo t 1 . In questo caso la funzione di correlazione K(t), che dà il valore del momento di connessione tra X(t 2) e X(t 1), tenderà a zero. Pertanto, K() può diminuire monotonicamente, come mostrato in Fig. 2.2, oppure avere la forma mostrata in Fig. 2.3. Una funzione della forma (Fig. 2.2.), di regola, è approssimata dalle espressioni:
(2.38)
e una funzione della forma (Fig. 2.3.) - con espressioni:
Fig.2.2. Fig.2.3.
La stabilità nel tempo di un processo casuale stazionario ci consente di sostituire l'argomento - il tempo - con qualche variabile ausiliaria, che in molte applicazioni ha la dimensione della frequenza. Questa sostituzione consente di semplificare notevolmente i calcoli e ottenere una maggiore chiarezza dei risultati. La funzione risultante (S()) è chiamata densità spettrale di un processo casuale stazionario ed è correlata alla funzione di correlazione mediante trasformate di Fourier reciprocamente inverse:
(2.42)
(2.43)
Esistono altre normalizzazioni della densità spettrale, ad esempio:
(2.44)
Basandosi sulle trasformate di Fourier è facile ottenere, ad esempio, per un processo aleatorio con K(t) della forma (2.38):
(2.45)
Un processo casuale stazionario, la cui densità spettrale è costante (S(w)=S=const), è detto stazionario rumore bianco. La funzione di correlazione del rumore bianco stazionario è uguale a zero per tutti, il che significa che due qualsiasi delle sue sezioni non sono correlate.
Il problema della modellazione di un processo casuale normale stazionario (SNSP) può essere formulato come il problema di trovare un algoritmo che consenta di ottenere implementazioni discrete di questo processo su un computer. Il processo X(t) è sostituito con una data precisione dal corrispondente processo X(nDt) con tempo discreto t n = nDt (Dt è il passo di campionamento del processo, n è un argomento intero). Di conseguenza, il processo casuale x(t) sarà associato a sequenze casuali:
xk[n]=xk(nDt), (2.46)
dove k è il numero di implementazione.
Ovviamente, un membro arbitrario di una sequenza casuale x(nDt) può essere considerato come una funzione casuale del suo numero, cioè argomento intero n e, quindi, escludere Dt dalla considerazione, di cui si tiene conto durante la scrittura (2.46). Inoltre, per distinguere un argomento intero da uno che varia continuamente, viene racchiuso tra parentesi quadre.
Le sequenze casuali sono spesso chiamate processi casuali discreti o serie temporali.
È noto che aggiungendo a funzione casuale la variabile non casuale non modifica il valore della funzione di correlazione. Pertanto, in pratica, molto spesso vengono modellati processi casuali centrati (il MOR è uguale a zero), da cui si può sempre passare a quello reale sommando il MOR ai membri della sequenza casuale che simula il processo casuale.
Per le sequenze casuali, la funzione di correlazione e la densità spettrale vengono calcolate dalle dipendenze:
(2.47)
(2.48)
Ridurre un processo casuale ad una sequenza casuale significa essenzialmente sostituirlo con un vettore multidimensionale. Pertanto, il metodo considerato per modellare i vettori casuali è, in generale, adatto per modellare processi casuali specificati su un intervallo di tempo finito. Tuttavia, per i processi casuali normali stazionari ce ne sono altri metodi efficaci costruzione di algoritmi di modellazione. Consideriamo due metodi più utilizzati nella pratica.