Tra le caratteristiche numeriche delle variabili aleatorie occorre innanzitutto notare quelle che caratterizzano la posizione di una variabile aleatoria sull'asse dei numeri, ovvero indicare un valore medio, approssimativo, attorno al quale sono raggruppati tutti i possibili valori di una variabile casuale.
Il valore medio di una variabile casuale è un certo numero, che è, per così dire, il suo “rappresentante” e lo sostituisce nei calcoli approssimativi. Quando diciamo: "il tempo medio di funzionamento della lampada è di 100 ore" o "il punto medio di impatto è spostato rispetto al bersaglio di 2 m a destra", indichiamo con ciò una certa caratteristica numerica di una variabile casuale che descrive la sua posizione sull'asse numerico, cioè descrizione della posizione.
Tra le caratteristiche di una posizione nella teoria della probabilità, il ruolo più importante è giocato dall'aspettativa matematica di una variabile casuale, che a volte viene chiamata semplicemente valore medio di una variabile casuale.
Considera una variabile casuale discreta che ha possibili valori con probabilità. Dobbiamo caratterizzare con un numero la posizione dei valori della variabile casuale sull'asse x, tenendo conto del fatto che questi valori hanno probabilità diverse. A questo scopo è naturale utilizzare la cosiddetta “media ponderata” dei valori, e ogni valore va preso in considerazione durante la media con un “peso” proporzionale alla probabilità di tale valore. Pertanto, calcoleremo la media della variabile casuale , che indicheremo con:
oppure, dato che,
. (5.6.1)
Questa media ponderata è chiamata aspettativa matematica della variabile casuale. Pertanto, abbiamo preso in considerazione uno dei concetti più importanti della teoria della probabilità: il concetto di aspettativa matematica.
L'aspettativa matematica di una variabile casuale è la somma dei prodotti di tutti i possibili valori di una variabile casuale e delle probabilità di questi valori.
Si noti che nella formulazione precedente, la definizione di aspettativa matematica è valida, in senso stretto, solo per variabili casuali discrete; Di seguito generalizzeremo questo concetto al caso di quantità continue.
Per rendere più illustrativo il concetto di aspettativa matematica, passiamo all'interpretazione meccanica della distribuzione di una variabile casuale discreta. Sull'asse delle ascisse si trovino i punti con le ascisse, in cui sono concentrate le masse, rispettivamente, e . Allora, ovviamente, la speranza matematica definita dalla formula (5.6.1) non è altro che l'ascissa del baricentro del dato sistema di punti materiali.
L'aspettativa matematica di una variabile casuale è collegata da una peculiare dipendenza dalla media aritmetica dei valori osservati di una variabile casuale con un gran numero di esperimenti. Questa dipendenza è dello stesso tipo della dipendenza tra frequenza e probabilità, vale a dire: con un gran numero di esperimenti, la media aritmetica dei valori osservati di una variabile casuale si avvicina (converge in probabilità) alla sua aspettativa matematica. Dalla presenza di una relazione tra frequenza e probabilità si può dedurre di conseguenza l'esistenza di una relazione simile tra media aritmetica e aspettativa matematica.
Consideriamo infatti una variabile casuale discreta caratterizzata da una serie di distribuzione:
Dove 
.
Si facciano esperimenti indipendenti, in ciascuno dei quali la quantità assuma un certo valore. Supponiamo che il valore sia apparso una volta, il valore sia apparso una volta, in generale il valore sia apparso una volta. Ovviamente,
Calcoliamo la media aritmetica dei valori osservati della quantità , che, contrariamente all'aspettativa matematica, indicheremo:
Ma non esiste altro che la frequenza (o la probabilità statistica) di un evento; questa frequenza può essere chiamata . Poi
,
quelli. la media aritmetica dei valori osservati di una variabile casuale è uguale alla somma dei prodotti di tutti i possibili valori della variabile casuale e delle frequenze di questi valori.
All'aumentare del numero di esperimenti, le frequenze si avvicineranno (convergeranno in probabilità) alle probabilità corrispondenti. Di conseguenza, la media aritmetica dei valori osservati di una variabile casuale con un aumento del numero di esperimenti si avvicinerà (convergerà in probabilità) alla sua aspettativa matematica.
Il collegamento tra la media aritmetica e l'aspettativa matematica sopra formulata costituisce il contenuto di una delle forme della legge dei grandi numeri. Daremo una dimostrazione rigorosa di questa legge nel capitolo 13.
Sappiamo già che tutte le forme della legge dei grandi numeri affermano che certe medie sono stabili su un gran numero di esperimenti. Qui stiamo parlando della stabilità della media aritmetica da una serie di osservazioni dello stesso valore. Con un numero limitato di esperimenti, la media aritmetica dei risultati è casuale; con un aumento sufficiente del numero di esperimenti, diventa "quasi non casuale" e, stabilizzandosi, si avvicina a un valore costante: l'aspettativa matematica.
La proprietà di stabilità delle medie per un gran numero di esperimenti è facile da verificare sperimentalmente. Ad esempio, pesando qualsiasi corpo in laboratorio su bilance precise, come risultato della pesatura otteniamo ogni volta un nuovo valore; per ridurre l'errore di osservazione, pesiamo più volte il corpo e utilizziamo la media aritmetica dei valori ottenuti. È facile vedere che con un ulteriore aumento del numero di esperimenti (pesate), la media aritmetica reagisce sempre meno a questo aumento, e con un numero sufficientemente elevato di esperimenti praticamente cessa di cambiare.
La formula (5.6.1) per l'aspettativa matematica corrisponde al caso di una variabile casuale discreta. Per un valore continuo, l'aspettativa matematica, ovviamente, non è più espressa come somma, ma come integrale:
, (5.6.2)
dove è la densità di distribuzione della quantità .
La formula (5.6.2) si ottiene dalla formula (5.6.1), se sostituiamo i singoli valori in essa contenuti con un parametro x in continua evoluzione, le probabilità corrispondenti - con un elemento di probabilità e la somma finale - con un integrale. Nel seguito utilizzeremo spesso questo metodo per estendere le formule derivate per quantità discontinue al caso di quantità continue.
Nell'interpretazione meccanica, l'aspettativa matematica di una variabile casuale continua mantiene lo stesso significato: l'ascissa del centro di gravità nel caso in cui la massa sia distribuita continuamente lungo l'asse delle ascisse, con densità . Questa interpretazione permette spesso di trovare il valore atteso matematico senza calcolare l'integrale (5.6.2), partendo da semplici considerazioni meccaniche.
Sopra abbiamo introdotto la notazione per l'aspettativa matematica della quantità . In alcuni casi, quando un valore è incluso nelle formule come un certo numero, è più conveniente denotarlo con una sola lettera. In questi casi, indicheremo l'aspettativa matematica del valore attraverso:
La notazione e l'aspettativa matematica verranno utilizzate in parallelo in futuro, a seconda della comodità dell'una o dell'altra notazione delle formule. Conveniamo anche, se necessario, di abbreviare le parole "aspettativa matematica" con le lettere m.o.
Va notato che la caratteristica più importante della posizione - l'aspettativa matematica - non esiste per tutte le variabili casuali. È possibile comporre esempi di tali variabili casuali per le quali l'aspettativa matematica non esiste, poiché la somma o integrale corrispondente diverge.
Consideriamo, ad esempio, una variabile casuale discontinua con una serie di distribuzione:
È facile verificarlo, es. la serie di distribuzione ha senso; tuttavia, la somma in questo caso diverge e, pertanto, l'aspettativa matematica del valore non esiste. Tuttavia, per la pratica, tali casi non presentano un interesse significativo. Di solito, le variabili casuali con cui abbiamo a che fare hanno una gamma limitata di valori possibili e, ovviamente, hanno un'aspettativa.
Sopra, abbiamo fornito le formule (5.6.1) e (5.6.2) che esprimono rispettivamente l'aspettativa matematica per una variabile casuale discontinua e continua.
Se il valore appartiene ai valori del tipo misto, la sua aspettativa matematica è espressa da una formula nella forma:
, (5.6.3)
dove la somma si estende a tutti i punti in cui la funzione di distribuzione si interrompe e l'integrale si estende a tutte le sezioni in cui la funzione di distribuzione è continua.
Oltre alla più importante delle caratteristiche di posizione - l'aspettativa matematica - nella pratica vengono talvolta utilizzate altre caratteristiche di posizione, in particolare il modo e la mediana di una variabile casuale.
La moda di una variabile casuale è il suo valore più probabile. Il termine "valore più probabile", in senso stretto, si applica solo a quantità discontinue; per una quantità continua, la moda è il valore in corrispondenza del quale la densità di probabilità è massima. Accettiamo di designare la modalità con la lettera . Nella fig. 5.6.1 e 5.6.2 mostrano la modalità rispettivamente per variabili casuali discontinue e continue.
Se il poligono di distribuzione (curva di distribuzione) ha più di un massimo, la distribuzione è detta “polimodale” (Figure 5.6.3 e 5.6.4).
A volte ci sono distribuzioni che hanno al centro non un massimo, ma un minimo (Fig. 5.6.5 e 5.6.6). Tali distribuzioni sono chiamate "antimodali". Un esempio di distribuzione antimodale è la distribuzione ottenuta nell'esempio 5, n° 5.1.
Nel caso generale, la moda e la aspettativa matematica di una variabile casuale non coincidono. In un caso particolare, quando la distribuzione è simmetrica e modale (cioè ha una moda) e c'è un'aspettativa matematica, allora coincide con la moda e il centro di simmetria della distribuzione.
Viene spesso utilizzata un'altra caratteristica della posizione: la cosiddetta mediana di una variabile casuale. Questa caratteristica viene solitamente utilizzata solo per variabili casuali continue, sebbene possa essere definita formalmente anche per una variabile discontinua.
La mediana di una variabile casuale è il suo valore
quelli. è altrettanto probabile che la variabile casuale sia minore o maggiore di . Geometricamente la mediana è l'ascissa del punto in cui l'area delimitata dalla curva di distribuzione è divisa a metà (Fig. 5.6.7).
Moda- il valore nell'insieme di osservazioni che si verifica più spesso
Mo \u003d X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),
qui X Mo è il bordo sinistro dell'intervallo modale, h Mo è la lunghezza dell'intervallo modale, f Mo-1 è la frequenza dell'intervallo premodale, f Mo è la frequenza dell'intervallo modale, f Mo+1 è il frequenza dell'intervallo postmodale.
La modalità di distribuzione assolutamente continua è qualsiasi punto del massimo locale della densità di distribuzione. Per le distribuzioni discrete, una moda è qualsiasi valore a i la cui probabilità pi è maggiore delle probabilità dei valori vicini
Mediano variabile casuale continua X il suo valore Me si chiama tale, per cui è ugualmente probabile che la variabile casuale risulti minore o maggiore Me, cioè.
M e \u003d (n + 1) / 2 P(X < Io) = P(X > Me)
Distribuito uniformemente NUOVO
Anche la distribuzione. Una variabile casuale continua viene chiamata distribuita uniformemente sul segmento () se la sua funzione di densità di distribuzione (Fig. 1.6, UN) sembra:
Designazione: - Il SW è distribuito uniformemente su .
Di conseguenza, la funzione di distribuzione sul segmento (Fig. 1.6, B):
Riso. 1.6. Funzioni di variabile casuale distribuita uniformemente su [ UN,B]: UN– densità di probabilità F(X); B– distribuzioni F(X)
L'aspettativa matematica e la varianza di questo RV sono determinate dalle espressioni:
A causa della simmetria della funzione di densità, coincide con la mediana. La moda non ha una distribuzione uniforme
Esempio 4 Il tempo di attesa per una risposta ad una telefonata è una variabile casuale che obbedisce ad una legge di distribuzione uniforme nell'intervallo da 0 a 2 minuti. Trova le funzioni di distribuzione integrale e differenziale di questa variabile casuale.
27. Legge normale della distribuzione di probabilità
Una variabile casuale continua x ha una distribuzione normale con parametri: m,s > 0, se la densità della distribuzione di probabilità ha la forma:
dove: m è l'aspettativa matematica, s è la deviazione standard.
La distribuzione normale è detta anche gaussiana dal nome del matematico tedesco Gauss. Il fatto che una variabile casuale abbia una distribuzione normale con parametri: m, , si denota come segue: N (m, s), dove: m=a=M[X];
Molto spesso, nelle formule, l'aspettativa matematica è indicata con UN . Se una variabile casuale è distribuita secondo la legge N(0,1), allora viene chiamata valore normale normalizzato o standardizzato. La sua funzione di distribuzione ha la forma:
Il grafico della densità della distribuzione normale, chiamato curva normale o curva gaussiana, è mostrato in Fig. 5.4.
Riso. 5.4. Densità di distribuzione normale
proprietà una variabile casuale con legge di distribuzione normale.
1. Se , quindi per trovare la probabilità che questo valore rientri in un dato intervallo ( x1; x2) si utilizza la formula:
2. La probabilità che la deviazione di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica non superi il valore (in valore assoluto) è uguale a:
3. "Regola dei tre Sigma". Se si tratta di una variabile casuale, allora è praticamente certo che i suoi valori siano contenuti nell'intervallo (). (La probabilità di oltrepassare questi limiti è 0,0027.) La regola consente, conoscendo i parametri ( e ), di determinare approssimativamente l'intervallo dei valori pratici di una variabile casuale.
distribuzione esponenziale
Una variabile casuale X ha una distribuzione esponenziale con un parametro se la sua densità ha la forma
Integrando la densità, otteniamo la funzione di distribuzione esponenziale:
principali caratteristiche della distribuzione esponenziale:
Grafici di densità e funzioni della distribuzione esponenziale risultante
Valore atteso. aspettativa matematica variabile casuale discreta X, che accetta un numero finito di valori Xio con probabilità Rio, è detta somma:
aspettativa matematica variabile casuale continua X si chiama integrale del prodotto dei suoi valori X sulla densità della distribuzione di probabilità F(X):
(6B)
Integrale improprio (6 B) si assume assolutamente convergente (altrimenti si dice che l'aspettativa M(X) non esiste). L'aspettativa matematica caratterizza valore medio variabile casuale X. La sua dimensione coincide con la dimensione di una variabile casuale.
Proprietà dell'aspettativa matematica:
Dispersione. dispersione variabile casuale X il numero si chiama:
La dispersione è caratteristica di dispersione valori di una variabile casuale X rispetto al suo valore medio M(X). La dimensione della varianza è uguale alla dimensione della variabile casuale al quadrato. Sulla base delle definizioni di varianza (8) e aspettativa matematica (5) per una variabile casuale discreta e (6) per una variabile casuale continua, otteniamo espressioni simili per la varianza:
(9)
Qui M = M(X).
Proprietà di dispersione:
Deviazione standard:
(11)
Poiché la dimensione della deviazione standard è la stessa di una variabile casuale, viene utilizzata più spesso della varianza come misura di dispersione.
momenti di distribuzione. I concetti di aspettativa matematica e varianza sono casi speciali di un concetto più generale per le caratteristiche numeriche delle variabili casuali - momenti di distribuzione. I momenti di distribuzione di una variabile casuale vengono introdotti come aspettative matematiche di alcune semplici funzioni di una variabile casuale. Quindi, il momento dell'ordine K rispetto al punto X 0 si chiama aspettativa M(X–X 0 )K. Momenti relativi all'origine X= 0 vengono chiamati momenti iniziali e sono contrassegnati:
(12)
Il momento iniziale del primo ordine è il centro di distribuzione della variabile aleatoria considerata:
(13)
Momenti relativi al centro di distribuzione X= M chiamato momenti centrali e sono contrassegnati:
(14)
Dalla (7) segue che il momento centrale del primo ordine è sempre pari a zero:
I momenti centrali non dipendono dall'origine dei valori della variabile aleatoria, poiché con uno spostamento di un valore costante CON il suo centro di distribuzione è spostato dello stesso valore CON, e la deviazione dal centro non cambia: X – M = (X – CON) – (M – CON).
Ora è ovvio che dispersione- Questo Momento centrale del secondo ordine:
Asimmetria. Momento centrale del terzo ordine:
(17)
serve per valutare asimmetria della distribuzione. Se la distribuzione è simmetrica rispetto al punto X= M, allora il momento centrale del terzo ordine sarà pari a zero (così come tutti i momenti centrali di ordine dispari). Pertanto, se il momento centrale del terzo ordine è diverso da zero, allora la distribuzione non può essere simmetrica. L'entità dell'asimmetria viene stimata utilizzando un metodo adimensionale coefficiente di asimmetria:
(18)
Il segno del coefficiente di asimmetria (18) indica un'asimmetria destra o sinistra (Fig. 2).
Riso. 2. Tipi di asimmetria delle distribuzioni.
Eccesso. Momento centrale del quarto ordine:
(19)
serve a valutare il cosiddetto curtosi, che determina il grado di pendenza (puntualità) della curva di distribuzione in prossimità del centro di distribuzione rispetto alla curva di distribuzione normale. Poiché per una distribuzione normale la quantità presa come curtosi è:
(20)
Nella fig. 3 mostra esempi di curve di distribuzione con diversi valori di curtosi. Per una distribuzione normale E= 0. Le curve con più picchi del normale hanno una curtosi positiva, mentre le curve con più picchi piatti hanno una curtosi negativa.
Riso. 3. Curve di distribuzione con diversi gradi di pendenza (curtosi).
I momenti di ordine superiore nelle applicazioni ingegneristiche della statistica matematica solitamente non vengono utilizzati.
Moda
discreto la variabile casuale è il suo valore più probabile. Moda continuo una variabile casuale è il suo valore al quale la densità di probabilità è massima (Fig. 2). Se la curva di distribuzione ha un massimo, viene chiamata la distribuzione unimodale. Se la curva di distribuzione ha più di un massimo, viene chiamata la distribuzione polimodale. A volte ci sono distribuzioni le cui curve non hanno un massimo, ma un minimo. Tali distribuzioni sono chiamate antimodale. Nel caso generale, la moda e la aspettativa matematica di una variabile casuale non coincidono. In un caso particolare, per modale, cioè. avendo una modalità, una distribuzione simmetrica, e purché vi sia un'aspettativa matematica, quest'ultima coincide con la modalità e il centro di simmetria della distribuzione.
Mediano variabile casuale Xè il suo significato Me, per cui vale l'uguaglianza: cioè è altrettanto probabile che la variabile casuale X sarà meno o più Me. Geometricamente medianoè l'ascissa del punto in cui l'area sotto la curva di distribuzione è divisa a metà (Fig. 2). Nel caso di una distribuzione modale simmetrica, la mediana, la moda e la media coincidono.