Viene utilizzato il modello matematico. Modellazione matematica. Forma e principi di rappresentazione dei modelli matematici

29.09.2019

Modello matematico b è la rappresentazione matematica della realtà.

Modellazione matematica- il processo di costruzione e studio di modelli matematici.

Tutte le scienze naturali e sociali che utilizzano l'apparato matematico sono, infatti, impegnate nella modellizzazione matematica: sostituiscono l'oggetto reale con il suo modello matematico e poi studiano quest'ultimo.

Definizioni.

Nessuna definizione può coprire completamente l’attività reale della modellazione matematica. Nonostante ciò, le definizioni sono utili perché tentano di evidenziare le caratteristiche più significative.

Definizione di un modello secondo A. A. Lyapunov: La modellazione è uno studio pratico o teorico indiretto di un oggetto, in cui non viene studiato direttamente l'oggetto che ci interessa, ma un sistema artificiale o naturale ausiliario:

situato in qualche corrispondenza oggettiva con l'oggetto conoscibile;

in grado di sostituirlo sotto certi aspetti;

che, durante il suo studio, fornisce infine informazioni sull'oggetto da modellare.

Secondo il libro di testo di Sovetov e Yakovlev: "un modello è un oggetto sostitutivo dell'oggetto originale, che prevede lo studio di alcune proprietà dell'originale". "La sostituzione di un oggetto con un altro per ottenere informazioni sulle proprietà più importanti dell'oggetto originale utilizzando l'oggetto modello si chiama modellazione." “Con la modellazione matematica comprenderemo il processo per stabilire la corrispondenza con un dato oggetto reale di un oggetto matematico, chiamato modello matematico, e lo studio di questo modello, che consente di ottenere le caratteristiche dell'oggetto reale in esame. Il tipo di modello matematico dipende sia dalla natura dell’oggetto reale, sia dai compiti di studio dell’oggetto, sia dall’affidabilità e dall’accuratezza richieste per risolvere questo problema”.

Secondo Samarsky e Mikhailov, un modello matematico è un “equivalente” di un oggetto, che riflette in forma matematica le sue proprietà più importanti: le leggi a cui obbedisce, le connessioni inerenti alle sue parti costitutive, ecc. Esiste nelle triadi “ modello-algoritmo-programma” . Avendo creato la triade “modello-algoritmo-programma”, il ricercatore ottiene uno strumento universale, flessibile ed economico, che viene prima sottoposto a debug e testato in esperimenti computazionali di prova. Dopo aver stabilito l'adeguatezza della triade all'oggetto originale, vengono eseguiti vari e dettagliati "esperimenti" con il modello, fornendo tutte le proprietà e caratteristiche qualitative e quantitative richieste dell'oggetto.

Secondo la monografia di Myshkis: “Passiamo ad una definizione generale. Esploreremo alcuni insiemi S di proprietà di un oggetto reale con a

l'aiuto della matematica. Per fare ciò, scegliamo un “oggetto matematico” a" - un sistema di equazioni, o relazioni aritmetiche, o figure geometriche, o una combinazione di entrambi, ecc. - il cui studio attraverso la matematica dovrebbe rispondere alle domande poste su le proprietà di S. In queste condizioni a" è chiamato modello matematico dell'oggetto a rispetto alla totalità S delle sue proprietà".

Secondo A. G. Sevostyanov: "Un modello matematico è un insieme di relazioni matematiche, equazioni, disuguaglianze, ecc., che descrivono i principali modelli inerenti al processo, oggetto o sistema oggetto di studio".

Una definizione un po’ meno generale di modello matematico, basata su un’idealizzazione dello “stato input-output” presa in prestito dalla teoria degli automi, è data da Wikizionario: “Una rappresentazione matematica astratta di un processo, dispositivo o idea teorica; utilizza un insieme di variabili per rappresentare input, output e stati interni e insiemi di equazioni e disuguaglianze per descrivere le loro interazioni.

Infine, la definizione più concisa di modello matematico: "Un'equazione che esprime un'idea".

Classificazione formale dei modelli.

La classificazione formale dei modelli si basa sulla classificazione degli strumenti matematici utilizzati. Spesso costruito sotto forma di dicotomie. Ad esempio, uno degli insiemi popolari di dicotomie è:

Modelli lineari o non lineari; Sistemi concentrati o distribuiti; Deterministico o stocastico; Statico o dinamico; discreto o continuo.

e così via. Ogni modello costruito è lineare o non lineare, deterministico o stocastico,... Naturalmente sono possibili anche tipologie miste: concentrati in un aspetto, distribuiti in un altro, ecc.

Classificazione in base al modo in cui l'oggetto è rappresentato.

Oltre alla classificazione formale, i modelli differiscono nel modo in cui rappresentano l'oggetto:

I modelli strutturali rappresentano un oggetto come un sistema con un proprio dispositivo e meccanismo di funzionamento. I modelli funzionali non utilizzano tali rappresentazioni e riflettono solo il comportamento percepito esternamente dell'oggetto. Nella loro espressione estrema vengono anche chiamati modelli "black box", ma sono possibili anche modelli combinati, talvolta chiamati modelli "grey box".

Quasi tutti gli autori che descrivono il processo di modellazione matematica indicano che prima viene costruita una speciale costruzione ideale, un modello significativo. Non esiste una terminologia stabilita qui, e altri autori chiamano questo oggetto ideale un modello concettuale, un modello speculativo o un premodello. In questo caso, la costruzione matematica finale è chiamata modello formale o semplicemente modello matematico ottenuto come risultato della formalizzazione di questo modello di contenuto. Un modello significativo può essere costruito utilizzando una serie di idealizzazioni già pronte, come in meccanica, dove molle ideali, corpi rigidi, pendoli ideali, mezzi elastici, ecc. forniscono elementi strutturali già pronti per una modellazione significativa. Tuttavia, nelle aree della conoscenza in cui non esistono teorie formalizzate completamente complete, la creazione di modelli significativi diventa molto più complicata.

Il lavoro di R. Peierls fornisce una classificazione dei modelli matematici utilizzati in fisica e, più in generale, nelle scienze naturali. Nel libro di A. N. Gorban e R. G. Khlebopros, questa classificazione viene analizzata e ampliata. Questa classificazione si concentra principalmente sulla fase di costruzione di un modello significativo.

Questi modelli "rappresentano una descrizione sperimentale del fenomeno, e l'autore o crede nella sua possibilità, o addirittura lo considera vero". Secondo R. Peierls si tratta ad esempio del modello tolemeico del sistema solare e del modello copernicano, del modello dell'atomo di Rutherford e del modello del Big Bang.

Nessuna ipotesi scientifica può essere dimostrata una volta per tutte. Richard Feynman lo ha detto molto chiaramente:

“Abbiamo sempre la possibilità di confutare una teoria, ma tieni presente che non possiamo mai dimostrare che sia corretta. Supponiamo che tu avanzi un'ipotesi vincente, calcoli dove porta e scopri che tutte le sue conseguenze sono confermate sperimentalmente. Questo significa che la tua teoria è corretta? No, significa semplicemente che non sei riuscito a confutarlo.

Se viene costruito un modello del primo tipo, significa che viene temporaneamente riconosciuto come vero e ci si può concentrare su altri problemi. Non si tratta però di un punto di ricerca, ma solo di una pausa temporanea: lo statuto del modello del primo tipo non può che essere temporaneo.

Il modello fenomenologico contiene un meccanismo per descrivere il fenomeno. Tuttavia, questo meccanismo non è sufficientemente convincente, non può essere sufficientemente confermato dai dati disponibili o non concorda bene con le teorie disponibili e con la conoscenza accumulata sull'oggetto. Pertanto, i modelli fenomenologici hanno lo status di soluzioni temporanee. Si ritiene che la risposta sia ancora sconosciuta ed è necessario continuare la ricerca dei "veri meccanismi". Peierls riferisce, ad esempio, al secondo tipo il modello calorico e il modello a quark delle particelle elementari.

Il ruolo del modello nella ricerca può cambiare nel tempo, può accadere che nuovi dati e teorie confermino i modelli fenomenologici e vengano aggiornati a

stato di ipotesi. Allo stesso modo, nuove conoscenze possono progressivamente entrare in conflitto con modelli-ipotesi del primo tipo, e possono essere trasferite al secondo. Pertanto, il modello a quark si sta gradualmente spostando nella categoria delle ipotesi; l'atomismo in fisica è nato come soluzione temporanea, ma con il corso della storia è passato al primo tipo. Ma i modelli dell’etere sono passati dal tipo 1 al tipo 2, e ora sono fuori dalla scienza.

L'idea di semplificazione è molto popolare quando si costruiscono modelli. Ma la semplificazione è diversa. Peierls distingue tre tipi di semplificazioni nella modellazione.

Se è possibile costruire equazioni che descrivono il sistema studiato, ciò non significa che possano essere risolte anche con l'aiuto di un computer. Una tecnica comune in questo caso è l’uso delle approssimazioni. Tra questi ci sono i modelli di risposta lineare. Le equazioni sono sostituite da quelle lineari. L'esempio standard è la legge di Ohm.

Se utilizziamo il modello dei gas ideali per descrivere gas sufficientemente rarefatti, allora questo è un modello di tipo 3. A densità di gas più elevate, è anche utile immaginare una situazione di gas ideale più semplice per la comprensione e la valutazione qualitativa, ma in questo caso questo è già di tipo 4 .

In un modello di tipo 4 vengono scartati i dettagli che possono influenzare in modo evidente e non sempre controllabile il risultato. Le stesse equazioni possono fungere da modello di Tipo 3 o di Tipo 4, a seconda del fenomeno che il modello viene utilizzato per studiare. Quindi, se si utilizzano modelli di risposta lineare in assenza di modelli più complessi, allora questi sono già modelli lineari fenomenologici e appartengono al successivo tipo 4.

Esempi: applicazione di un modello di gas ideale a uno non ideale, equazione di stato di van der Waals, gran parte dei modelli di fisica dello stato solido, liquida e nucleare. Il percorso dalla microdescrizione alle proprietà dei corpi costituiti da un gran numero di particelle è molto lungo. Molti dettagli devono essere tralasciati. Ciò porta a modelli del 4° tipo.

Il modello euristico conserva solo una somiglianza qualitativa con la realtà e fa previsioni solo "in ordine di grandezza". Un tipico esempio è l'approssimazione del cammino libero medio nella teoria cinetica. Fornisce formule semplici per i coefficienti di viscosità, diffusione, conduttività termica, coerenti con la realtà in ordine di grandezza.

Ma quando si costruisce una nuova fisica, non si ottiene immediatamente un modello che dia almeno una descrizione qualitativa dell'oggetto: un modello del quinto tipo. In questo caso, spesso viene utilizzato un modello per analogia, che riflette almeno in qualche modo la realtà.

R. Peierls cita la storia dell'uso delle analogie nel primo articolo di W. Heisenberg sulla natura delle forze nucleari. "Ciò è accaduto dopo la scoperta del neutrone, e sebbene lo stesso W. Heisenberg avesse capito che i nuclei potevano essere descritti come costituiti da neutroni e protoni, non riusciva ancora a liberarsi dell'idea che il neutrone alla fine dovesse consistere di un protone e un elettrone . In questo caso è nata un'analogia tra l'interazione nel sistema neutrone-protone e l'interazione di un atomo di idrogeno e un protone. Fu questa analogia che lo portò alla conclusione che devono esserci forze di scambio di interazione tra un neutrone e un protone, analoghe alle forze di scambio nel sistema H − H, dovute alla transizione di un elettrone tra due protoni. ... Successivamente fu comunque dimostrata l'esistenza di forze di scambio di interazione tra un neutrone e un protone, sebbene non fossero completamente esaurite

interazione tra due particelle ... Ma, seguendo la stessa analogia, W. Heisenberg giunse alla conclusione che non esistono forze nucleari di interazione tra due protoni e alla postulazione della repulsione tra due neutroni. Entrambi questi ultimi risultati sono in conflitto con i risultati di studi successivi.

A. Einstein è stato uno dei grandi maestri dell'esperimento mentale. Ecco uno dei suoi esperimenti. Fu inventato in gioventù e alla fine portò alla costruzione della teoria della relatività speciale. Supponiamo che nella fisica classica seguiamo un'onda luminosa alla velocità della luce. Osserveremo un campo elettromagnetico variabile periodicamente nello spazio e costante nel tempo. Secondo le equazioni di Maxwell ciò non può essere. Da ciò il giovane Einstein concluse: o le leggi della natura cambiano quando cambia il sistema di riferimento, oppure la velocità della luce non dipende dal sistema di riferimento. Ha scelto la seconda opzione, più bella. Un altro famoso esperimento mentale di Einstein è il paradosso Einstein-Podolsky-Rosen.

Ed ecco il tipo 8, ampiamente utilizzato nei modelli matematici dei sistemi biologici.

Si tratta anche di esperimenti mentali con entità immaginarie, che dimostrano che il presunto fenomeno è coerente con i principi di base ed è internamente coerente. Questa è la principale differenza rispetto ai modelli di tipo 7, che rivelano contraddizioni nascoste.

Uno degli esperimenti più famosi è la geometria di Lobachevskij. Un altro esempio è la produzione di massa di modelli formalmente cinetici di oscillazioni chimiche e biologiche, autoonde, ecc. Il paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen è stato concepito come un modello di tipo 7 per dimostrare l'incoerenza della meccanica quantistica. In modo del tutto non pianificato, alla fine si trasformò in un modello di tipo 8, una dimostrazione della possibilità del teletrasporto quantistico delle informazioni.

Consideriamo un sistema meccanico costituito da una molla fissata ad un'estremità e un carico di massa m fissato all'estremità libera della molla. Supponiamo che il carico possa muoversi solo nella direzione dell'asse della molla. Costruiamo un modello matematico di questo sistema. Descriveremo lo stato del sistema mediante la distanza x dal centro del carico alla sua posizione di equilibrio. Descriviamo l'interazione tra una molla e un carico utilizzando la legge di Hooke, dopodiché utilizziamo la seconda legge di Newton per esprimerla sotto forma di un'equazione differenziale:

dove significa la derivata seconda di x rispetto al tempo..

L'equazione risultante descrive il modello matematico del sistema fisico considerato. Questo modello è chiamato "oscillatore armonico".

Secondo la classificazione formale, questo modello è lineare, deterministico, dinamico, concentrato, continuo. Nel processo di costruzione abbiamo fatto molte supposizioni che potrebbero non essere vere nella realtà.

Rispetto alla realtà, si tratta, molto spesso, di un modello di tipo 4, una semplificazione, poiché vengono omesse alcune caratteristiche universali essenziali. In una certa approssimazione, un modello del genere descrive abbastanza bene un sistema meccanico reale

i fattori scartati hanno un’influenza trascurabile sul suo comportamento. Tuttavia, il modello può essere perfezionato tenendo conto di alcuni di questi fattori. Ciò porterà a un nuovo modello, con una portata più ampia.

Tuttavia, quando il modello viene perfezionato, la complessità del suo studio matematico può aumentare in modo significativo e rendere il modello praticamente inutile. Spesso un modello più semplice consente di esplorare meglio e più a fondo il sistema reale rispetto ad uno più complesso.

Se applichiamo il modello dell’oscillatore armonico a oggetti lontani dalla fisica, il suo status significativo potrebbe essere diverso. Ad esempio, quando si applica questo modello alle popolazioni biologiche, molto probabilmente dovrebbe essere attribuito all’analogia di tipo 6.

Modelli duri e morbidi.

L'oscillatore armonico è un esempio del cosiddetto modello "duro". Si ottiene come risultato di una forte idealizzazione di un sistema fisico reale. Per risolvere il problema della sua applicabilità è necessario comprendere quanto siano significativi i fattori che abbiamo trascurato. In altre parole, è necessario indagare il modello “soft”, che si ottiene con una piccola perturbazione di quello “hard”. Può essere data, ad esempio, dalla seguente equazione:

Qui - qualche funzione che può tenere conto della forza di attrito o della dipendenza del coefficiente di rigidità della molla dal grado del suo allungamento, ε - qualche piccolo parametro. La forma esplicita della funzione f non ci interessa per il momento. Se dimostriamo che il comportamento di un modello soft non è fondamentalmente diverso dal comportamento di un modello hard, il problema si ridurrà allo studio di un modello hard. Altrimenti, l'applicazione dei risultati ottenuti nello studio del modello rigido richiederà ulteriori ricerche. Ad esempio, la soluzione dell'equazione di un oscillatore armonico sono funzioni della forma

Cioè oscillazioni con ampiezza costante. Ne consegue che un oscillatore reale oscillerà indefinitamente con un'ampiezza costante? No, perché considerando un sistema con attrito arbitrariamente piccolo, si ottengono oscillazioni smorzate. Il comportamento del sistema è cambiato qualitativamente.

Se un sistema mantiene il suo comportamento qualitativo anche sotto una piccola perturbazione, si dice che sia strutturalmente stabile. L'oscillatore armonico è un esempio di sistema strutturalmente instabile. Tuttavia, questo modello può essere utilizzato per studiare processi su intervalli di tempo limitati.

Versatilità del modello.

I modelli matematici più importanti di solito hanno un'importante proprietà di universalità: fenomeni reali fondamentalmente diversi possono essere descritti dallo stesso modello matematico. Ad esempio, un oscillatore armonico descrive non solo il comportamento di un carico su una molla, ma anche altri processi oscillatori, spesso di natura completamente diversa: piccole oscillazioni di un pendolo, fluttuazioni del livello del liquido in un recipiente a forma di U, o un cambiamento nella forza corrente in un circuito oscillatorio. Pertanto, studiando un modello matematico, studiamo subito un'intera classe di fenomeni da esso descritti. È questo isomorfismo delle leggi espresse dai modelli matematici in vari segmenti della conoscenza scientifica che ha portato Ludwig von Bertalanffy a creare la Teoria Generale dei Sistemi.

Problemi diretti e inversi di modellizzazione matematica

corpi di materiali diversi, per ogni materiale viene specificata la sua idealizzazione meccanica standard, dopo di che vengono compilate le equazioni, lungo il percorso alcuni dettagli vengono scartati come insignificanti, vengono effettuati calcoli, confrontati con misurazioni, il modello viene perfezionato e così via. Tuttavia, per lo sviluppo di tecnologie di modellazione matematica, è utile scomporre questo processo nei suoi principali elementi costitutivi.

Tradizionalmente, esistono due classi principali di problemi associati ai modelli matematici: diretti e inversi.

Compito diretto: la struttura del modello e tutti i suoi parametri sono considerati noti, il compito principale è studiare il modello per estrarre conoscenze utili sull'oggetto. Quale carico statico può sopportare il ponte? Come reagirà al carico dinamico, come l'aereo supererà la barriera del suono, se cadrà a pezzi per sbattimento: questi sono tipici esempi di un problema diretto. La formulazione di un problema diretto corretto richiede abilità speciali. Se non vengono poste le domande giuste, il ponte può crollare, anche se è stato costruito un buon modello per il suo comportamento. Così, nel 1879, nel Regno Unito, crollò un ponte di metallo sul fiume Tey, i cui progettisti costruirono un modello del ponte, lo calcolarono per un margine di sicurezza di 20 volte per il carico utile, ma dimenticarono i venti che soffiano costantemente in quelle zone. luoghi. E dopo un anno e mezzo è crollato.

IN Nel caso più semplice, il problema diretto è molto semplice e si riduce ad una soluzione esplicita di questa equazione.

Problema inverso: si conosce un insieme di possibili modelli, è necessario scegliere un modello specifico in base a dati aggiuntivi sull'oggetto. Molto spesso, la struttura del modello è nota ed è necessario determinare alcuni parametri sconosciuti. Ulteriori informazioni possono consistere in ulteriori dati empirici o nei requisiti dell'oggetto. Ulteriori dati possono provenire indipendentemente dal processo di risoluzione del problema inverso o essere il risultato di un esperimento appositamente pianificato nel corso della risoluzione.

Uno dei primi esempi di soluzione virtuosa di un problema inverso con il massimo utilizzo possibile dei dati disponibili è stato il metodo ideato da I. Newton per ricostruire le forze di attrito dalle oscillazioni smorzate osservate.

IN Un altro esempio è la statistica matematica. Il compito di questa scienza è lo sviluppo di metodi per registrare, descrivere e analizzare dati osservativi e sperimentali al fine di costruire modelli probabilistici di fenomeni casuali di massa. Quelli. l'insieme dei modelli possibili è limitato da modelli probabilistici. In problemi specifici, l’insieme dei modelli è più limitato.

Sistemi informatici di modellistica.

Per supportare la modellazione matematica, sono stati sviluppati sistemi di matematica informatica, ad esempio Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, ecc. Consentono di creare modelli formali e a blocchi di processi e dispositivi sia semplici che complessi e di modificare facilmente i parametri del modello durante simulazione. I modelli a blocchi sono rappresentati da blocchi, il cui insieme e connessione sono specificati dal diagramma del modello.

Ulteriori esempi.

Il tasso di crescita è proporzionale alla dimensione attuale della popolazione. È descritto dall'equazione differenziale

dove α è un parametro determinato dalla differenza tra fertilità e mortalità. La soluzione di questa equazione è la funzione esponenziale x = x0 e. Se il tasso di natalità supera quello di mortalità, la dimensione della popolazione aumenta indefinitamente e molto rapidamente. È chiaro che in realtà ciò non può accadere a causa dei limiti

risorse. Quando viene raggiunta una certa dimensione critica della popolazione, il modello cessa di essere adeguato, poiché non tiene conto delle risorse limitate. Un perfezionamento del modello di Malthus può essere il modello logistico, che è descritto dall'equazione differenziale di Verhulst

dove xs è la dimensione della popolazione "di equilibrio", alla quale il tasso di natalità è esattamente compensato dal tasso di mortalità. La dimensione della popolazione in tale modello tende al valore di equilibrio xs e questo comportamento è strutturalmente stabile.

Supponiamo che in un determinato territorio vivano due specie di animali: i conigli e le volpi. Sia x il numero di conigli e y il numero di volpi. Utilizzando il modello di Malthus con le dovute correzioni, tenendo conto del consumo di conigli da parte delle volpi, arriviamo al seguente sistema, che porta il nome di modello Lotka-Volterra:

Questo sistema ha uno stato di equilibrio quando il numero di conigli e volpi è costante. La deviazione da questo stato porta a fluttuazioni nel numero di conigli e volpi, simili alle fluttuazioni dell'oscillatore armonico. Come nel caso di un oscillatore armonico, questo comportamento non è strutturalmente stabile: un piccolo cambiamento nel modello può portare ad un cambiamento qualitativo nel comportamento. Ad esempio, lo stato di equilibrio può diventare stabile e le fluttuazioni demografiche svaniranno. È possibile anche la situazione opposta, quando ogni piccola deviazione dalla posizione di equilibrio porterà a conseguenze catastrofiche, fino alla completa estinzione di una delle specie. Alla domanda su quale di questi scenari si realizzi, il modello Volterra-Lotka non fornisce una risposta: qui sono necessarie ulteriori ricerche.

Modelli matematici

Modello matematico - opi approssimativodescrizione dell'oggetto della modellazione, espressa utilizzandosimbolismo matematico schyu.

I modelli matematici sono apparsi insieme alla matematica molti secoli fa. Un enorme impulso allo sviluppo della modellistica matematica è stato dato dalla comparsa dei computer. L'uso dei computer ha permesso di analizzare e mettere in pratica molti modelli matematici che in precedenza non erano suscettibili di ricerca analitica. Matematica implementata dal computermodello del cielo chiamato modello matematico computerizzato, UN esecuzione di calcoli mirati utilizzando un modello computerizzato chiamato esperimento computazionale.

Fasi del processo matematico informaticocancellazione mostrato nella figura. Primopalcoscenico - definizione degli obiettivi di modellazione. Questi obiettivi possono essere diversi:

è necessario un modello per capire come funziona un particolare oggetto, qual è la sua struttura, le proprietà di base, le leggi di sviluppo e interazione
con il mondo esterno (comprensione);
è necessario un modello per imparare a gestire un oggetto (o processo) e determinare i modi migliori per gestirlo per determinati obiettivi e criteri (gestione);
il modello è necessario per prevedere le conseguenze dirette e indirette dell'implementazione dei metodi e delle forme di impatto specificati sull'oggetto (previsione).

Spieghiamo con degli esempi. Lascia che l'oggetto di studio sia l'interazione di un flusso di liquido o gas con un corpo che costituisce un ostacolo a questo flusso. L'esperienza dimostra che la forza di resistenza al flusso laterale del corpo aumenta con l'aumentare della velocità del flusso, ma a velocità sufficientemente elevate questa forza diminuisce bruscamente per aumentare nuovamente con un ulteriore aumento della velocità. Cosa ha causato la diminuzione della forza di resistenza? La modellazione matematica ci consente di ottenere una risposta chiara: al momento di una brusca diminuzione della resistenza, i vortici formati nel flusso di liquido o gas dietro il corpo aerodinamico iniziano a staccarsi da esso e vengono portati via dal flusso.

Un esempio da un'area completamente diversa: convivendo pacificamente con un numero stabile di popolazioni di due specie di individui con una base alimentare comune, "improvvisamente" iniziano a cambiare radicalmente il loro numero. E qui la modellazione matematica permette (con un certo grado di certezza) di stabilirne la causa (o almeno di confutare una certa ipotesi).

Lo sviluppo del concetto di gestione degli oggetti è un altro possibile obiettivo della modellazione. Quale modalità di volo dell'aereo dovrebbe essere scelta affinché il volo sia sicuro ed economicamente più vantaggioso? Come programmare centinaia di tipologie di lavoro per la costruzione di una grande struttura in modo che termini il prima possibile? Molti di questi problemi si presentano sistematicamente davanti agli economisti, ai progettisti e agli scienziati.

Infine, prevedere le conseguenze di determinati impatti su un oggetto può essere sia una questione relativamente semplice in sistemi fisici semplici, sia estremamente complessa - al limite della fattibilità - in sistemi biologici, economici e sociali. Se è relativamente facile rispondere alla domanda sul cambiamento nella modalità di propagazione del calore in un'asta sottile con cambiamenti nella sua lega costituente, allora è incomparabilmente più difficile tracciare (prevedere) le conseguenze ambientali e climatiche della costruzione di un grande centrale idroelettrica o le conseguenze sociali dei cambiamenti nella legislazione fiscale. Forse anche in questo caso i metodi di modellazione matematica forniranno un aiuto più significativo in futuro.

Seconda fase: definizione dei parametri di input e output del modello; divisione dei parametri di input in base al grado di importanza dell'impatto delle loro modifiche sull'output. Questo processo è chiamato classificazione o divisione per grado (vedi sotto). "Formalizzatazione e modellazione").

Terza fase: costruzione di un modello matematico. In questa fase si passa dalla formulazione astratta del modello a una formulazione che abbia una specifica rappresentazione matematica. Un modello matematico è costituito da equazioni, sistemi di equazioni, sistemi di disequazioni, equazioni differenziali o sistemi di tali equazioni, ecc.

Quarta fase: scelta del metodo per lo studio del modello matematico. Molto spesso qui vengono utilizzati metodi numerici, che si prestano bene alla programmazione. Di norma, diversi metodi sono adatti per risolvere lo stesso problema, differendo per precisione, stabilità, ecc. Il successo dell'intero processo di modellazione dipende spesso dalla corretta scelta del metodo.

Quinta fase: lo sviluppo di un algoritmo, la compilazione e il debug di un programma per computer è un processo difficile da formalizzare. Tra i linguaggi di programmazione, molti professionisti della modellazione matematica preferiscono FORTRAN: sia per tradizione, sia per l'insuperabile efficienza dei compilatori (per il lavoro computazionale) e la presenza di enormi librerie, attentamente debuggate e ottimizzate, di programmi standard di metodi matematici scritti in Esso. Vengono utilizzati anche linguaggi come PASCAL, BASIC, C, a seconda della natura del compito e delle inclinazioni del programmatore.

Sesta fase: test del programma. Il funzionamento del programma viene testato su un problema di prova con una risposta nota. Questo è solo l’inizio di un percorso di testing difficilmente descrivibile in modo formalmente esaustivo. Solitamente il testing termina quando l'utente, in base alle sue caratteristiche professionali, ritiene corretto il programma.

Settima fase: vero e proprio esperimento computazionale, durante il quale diventa chiaro se il modello corrisponde a un oggetto (processo) reale. Il modello è sufficientemente adeguato al processo reale se alcune caratteristiche del processo ottenute su un computer coincidono con le caratteristiche ottenute sperimentalmente con un dato grado di accuratezza. Se il modello non corrisponde al processo reale, torniamo a una delle fasi precedenti.

Classificazione dei modelli matematici

La classificazione dei modelli matematici può basarsi su vari principi. È possibile classificare i modelli per branche della scienza (modelli matematici in fisica, biologia, sociologia, ecc.). Può essere classificato in base all'apparato matematico applicato (modelli basati sull'uso di equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali, metodi stocastici, trasformazioni algebriche discrete, ecc.). Infine, se procediamo dai compiti generali della modellazione in diverse scienze, indipendentemente dall'apparato matematico, la seguente classificazione è la più naturale:

modelli descrittivi (descrittivi);
modelli di ottimizzazione;
modelli multicriterio;
modelli di gioco.

Spieghiamolo con degli esempi.

Modelli descrittivi (descrittivi).. Ad esempio, vengono effettuate simulazioni del movimento di una cometa che invade il sistema solare per prevederne la traiettoria di volo, la distanza che passerà dalla Terra e così via. In questo caso, gli obiettivi della modellazione sono descrittivi, poiché non c'è modo di influenzare il movimento della cometa, di cambiare qualcosa in essa.

Modelli di ottimizzazione sono usati per descrivere i processi che possono essere influenzati nel tentativo di raggiungere un determinato obiettivo. In questo caso, il modello include uno o più parametri che possono essere influenzati. Ad esempio, modificando il regime termico in un granaio, è possibile stabilire l'obiettivo di scegliere tale regime per ottenere la massima conservazione del grano, ad es. ottimizzare il processo di archiviazione.

Modelli multicriterio. Spesso è necessario ottimizzare il processo sotto diversi parametri contemporaneamente e gli obiettivi possono essere molto contraddittori. Ad esempio, conoscendo i prezzi dei prodotti alimentari e il bisogno di cibo di una persona, è necessario organizzare i pasti per grandi gruppi di persone (nell'esercito, nel campo estivo per bambini, ecc.) fisiologicamente correttamente e, allo stesso tempo, nel modo più economico possibile. È chiaro che questi obiettivi non coincidono affatto; durante la modellazione verranno utilizzati diversi criteri, tra i quali è necessario cercare un equilibrio.

Modelli di gioco può essere correlato non solo ai giochi per computer, ma anche a cose molto serie. Ad esempio, prima di una battaglia, se ci sono informazioni incomplete sull'esercito avversario, il comandante deve sviluppare un piano: in quale ordine portare in battaglia determinate unità, ecc., Tenendo conto della possibile reazione del nemico. Esiste una sezione speciale della matematica moderna - la teoria dei giochi - che studia i metodi del processo decisionale in condizioni di informazione incompleta.

Nel corso scolastico di informatica gli studenti ricevono una prima idea di modellazione matematica informatica come parte del corso base. Nella scuola superiore, la modellazione matematica può essere approfondita in un corso di istruzione generale per le classi di fisica e matematica, nonché all'interno di un corso specialistico facoltativo.

Le principali forme di insegnamento della modellazione matematica informatica nelle scuole superiori sono lezioni frontali, laboratori e lezioni di credito. Di solito, il lavoro di creazione e preparazione allo studio di ogni nuovo modello richiede 3-4 lezioni. Nel corso della presentazione del materiale vengono stabiliti i compiti che in futuro dovrebbero essere risolti dagli studenti da soli, in termini generali vengono delineate le modalità per risolverli. Vengono formulate domande, le cui risposte dovrebbero essere ottenute durante l'esecuzione delle attività. Viene indicata la letteratura aggiuntiva che consente di ottenere informazioni ausiliarie per un completamento più efficace delle attività.

La forma di organizzazione delle lezioni nello studio di nuovo materiale è solitamente una lezione. Dopo il completamento della discussione del modello successivo studenti avere a disposizione le informazioni teoriche necessarie e una serie di compiti per ulteriori lavori. In preparazione al compito, gli studenti scelgono il metodo di soluzione appropriato, utilizzando una soluzione privata conosciuta, testano il programma sviluppato. In caso di possibili difficoltà nell'esecuzione dei compiti, viene fornita consulenza, viene proposta l'elaborazione di queste sezioni in modo più dettagliato in letteratura.

La parte più rilevante per la parte pratica dell'insegnamento della modellazione computerizzata è il metodo dei progetti. Il compito è formulato per lo studente sotto forma di progetto educativo e viene svolto in più lezioni, e la forma organizzativa principale in questo caso è il lavoro di laboratorio informatico. Imparare a modellare utilizzando il metodo del progetto di apprendimento può essere implementato a diversi livelli. La prima è una dichiarazione del problema del processo di implementazione del progetto, che è guidato dall'insegnante. Il secondo è l'implementazione del progetto da parte degli studenti sotto la guida di un insegnante. Il terzo è l'implementazione indipendente da parte degli studenti di un progetto di ricerca educativa.

I risultati del lavoro dovrebbero essere presentati in forma numerica, sotto forma di grafici, diagrammi. Se possibile, il processo viene presentato sullo schermo del computer in dinamica. Al termine dei calcoli e alla ricezione dei risultati, questi vengono analizzati, confrontati con i fatti noti dalla teoria, viene confermata l'attendibilità e viene effettuata un'interpretazione significativa, che successivamente si riflette in una relazione scritta.

Se i risultati soddisfano lo studente e l'insegnante, allora il lavoro conta completato e la sua fase finale è la preparazione di una relazione. La relazione include brevi informazioni teoriche sull'argomento in studio, la formulazione matematica del problema, l'algoritmo di soluzione e la sua giustificazione, un programma per computer, i risultati del programma, l'analisi dei risultati e delle conclusioni, un elenco di riferimenti.

Quando tutte le relazioni sono state redatte, in occasione della sessione di prova, gli studenti fanno brevi relazioni sul lavoro svolto, difendono il loro progetto. Si tratta di una forma efficace di rapporto del team di progetto alla classe, che comprende l'impostazione del problema, la costruzione di un modello formale, la scelta dei metodi per lavorare con il modello, l'implementazione del modello su un computer, il lavoro con il modello finito, l'interpretazione dei risultati, previsione. Di conseguenza, gli studenti possono ricevere due voti: il primo - per l'elaborazione del progetto e il successo della sua difesa, il secondo - per il programma, l'ottimalità del suo algoritmo, dell'interfaccia, ecc. Gli studenti ricevono voti anche nel corso dei sondaggi sulla teoria.

Una domanda essenziale è: che tipo di strumenti utilizzare nel corso di informatica scolastica per la modellazione matematica? L'implementazione informatica dei modelli può essere effettuata:

utilizzando un foglio di calcolo (solitamente MS Excel);
creando programmi nei linguaggi di programmazione tradizionali (Pascal, BASIC, ecc.), così come nelle loro versioni moderne (Delphi, Visual
Base per l'Applicazione, ecc.);
utilizzo di pacchetti software speciali per la risoluzione di problemi matematici (MathCAD, ecc.).

A livello di scuola elementare, il primo rimedio sembra essere quello preferito. Tuttavia, alle scuole superiori, quando la programmazione è, insieme alla modellazione, un argomento chiave dell'informatica, è auspicabile coinvolgerla come strumento di modellazione. Nel processo di programmazione, i dettagli delle procedure matematiche diventano disponibili agli studenti; inoltre, sono semplicemente costretti a padroneggiarli, e questo contribuisce anche all'educazione matematica. Per quanto riguarda l'uso di pacchetti software speciali, questo è appropriato in un corso di informatica profilata come supplemento ad altri strumenti.

Esercizio :

Delineare i concetti chiave.

NOTE DI LETTURA

Al ritmo

"Modellazione matematica di macchine e sistemi di trasporto"

Il corso affronta le problematiche relative alla modellistica matematica, alla forma e al principio di rappresentazione dei modelli matematici. Vengono considerati metodi numerici per la risoluzione di sistemi non lineari unidimensionali. Vengono evidenziate le questioni relative alla modellazione computerizzata e agli esperimenti computazionali. Vengono presi in considerazione i metodi di elaborazione dei dati ottenuti a seguito di esperimenti scientifici o industriali; ricerca di vari processi, identificazione di modelli nel comportamento di oggetti, processi e sistemi. Vengono considerati i metodi di interpolazione e di approssimazione dei dati sperimentali. Vengono affrontate le problematiche relative alla simulazione al computer e alla soluzione di sistemi dinamici non lineari. In particolare vengono considerati metodi di integrazione numerica e di soluzione di equazioni differenziali ordinarie del primo, secondo e ordine superiore.

Lezione: Modellazione matematica. Forma e principi di rappresentazione dei modelli matematici

La lezione affronta questioni generali di modellizzazione matematica. Viene fornita la classificazione dei modelli matematici.

I computer sono entrati saldamente nelle nostre vite e praticamente non esiste un'area dell'attività umana in cui i computer non vengano utilizzati. I computer sono ora ampiamente utilizzati nel processo di creazione e ricerca di nuove macchine, nuovi processi tecnologici e nella ricerca delle loro opzioni ottimali; nella soluzione di problemi economici, nella soluzione di problemi di pianificazione e gestione della produzione ai vari livelli. La creazione di grandi oggetti nel campo della missilistica, della costruzione di aerei, della costruzione navale, nonché la progettazione di dighe, ponti, ecc., è generalmente impossibile senza l'uso dei computer.

Per utilizzare un computer nella risoluzione di problemi applicati, prima di tutto, il problema applicato deve essere "tradotto" in un linguaggio matematico formale, cioè per un oggetto, processo o sistema reale, è necessario costruire il suo modello matematico.

La parola “Modello” deriva dal latino modus (copia, immagine, contorno). La modellazione è la sostituzione di un oggetto A con un altro oggetto B. L'oggetto A sostituito è chiamato oggetto originale o oggetto di simulazione, e la sostituzione B è chiamata modello. In altre parole, un modello è un oggetto sostitutivo dell'oggetto originale, prevedendo lo studio di alcune proprietà dell'originale.

Lo scopo della modellazione è ottenere, elaborare, presentare e utilizzare informazioni sugli oggetti che interagiscono tra loro e con l'ambiente esterno; e il modello qui funge da mezzo per conoscere le proprietà e i modelli di comportamento dell'oggetto.

La modellazione è ampiamente utilizzata in vari campi dell'attività umana, in particolare nelle aree della progettazione e della gestione, dove i processi per prendere decisioni efficaci basate sulle informazioni ricevute sono speciali.

Un modello è sempre costruito con un obiettivo specifico in mente, che influenza quali proprietà di un fenomeno oggettivo sono significative e quali no. Il modello è, per così dire, una proiezione della realtà oggettiva da un certo angolo di vista. A volte, a seconda degli obiettivi, si possono ottenere una serie di proiezioni della realtà oggettiva che entrano in conflitto. Questo è tipico, di regola, dei sistemi complessi, in cui ciascuna proiezione individua ciò che è essenziale per uno scopo specifico da un insieme di elementi non essenziali.

La teoria della modellazione è una branca della scienza che studia i modi per studiare le proprietà degli oggetti originali basandosi sulla loro sostituzione con altri oggetti modello. La teoria della somiglianza è alla base della teoria della modellazione. Durante la modellazione, la somiglianza assoluta non avviene e cerca solo di garantire che il modello rifletta sufficientemente bene il lato studiato del funzionamento dell'oggetto. La somiglianza assoluta può verificarsi solo quando un oggetto viene sostituito da un altro esattamente identico.

Tutti i modelli possono essere suddivisi in due classi:

1. reale,

2. perfetto.

A loro volta, i modelli reali possono essere suddivisi in:

1. naturale,

2. fisico,

3. matematico.

I modelli ideali possono essere suddivisi in:

1. visivo,

2. iconico,

3. matematico.

I modelli reali a grandezza naturale sono oggetti, processi e sistemi reali su cui vengono eseguiti esperimenti scientifici, tecnici e industriali.

I modelli fisici reali sono mock-up, modelli che riproducono le proprietà fisiche degli originali (modelli cinematici, dinamici, idraulici, termici, elettrici, luminosi).

I veri matematici sono i modelli analogici, strutturali, geometrici, grafici, digitali e cibernetici.

I modelli visivi ideali sono diagrammi, mappe, disegni, grafici, grafici, analoghi, modelli strutturali e geometrici.

I modelli di segni ideali sono simboli, alfabeto, linguaggi di programmazione, notazione ordinata, notazione topologica, rappresentazione di rete.

I modelli matematici ideali sono modelli analitici, funzionali, di simulazione e combinati.

Nella classificazione di cui sopra, alcuni modelli hanno una doppia interpretazione (ad esempio, analogico). Tutti i modelli, ad eccezione di quelli a grandezza naturale, possono essere combinati in un'unica classe di modelli mentali sono il prodotto del pensiero astratto dell'uomo.

Soffermiamoci su uno dei tipi più universali di modellazione: quello matematico, che mette in corrispondenza del processo fisico simulato un sistema di relazioni matematiche, la cui soluzione consente di ottenere una risposta alla domanda sul comportamento di un oggetto senza creare un modello fisico, che spesso si rivela costoso e inefficiente.

La modellazione matematica è un mezzo per studiare un oggetto, un processo o un sistema reale sostituendoli con un modello matematico più conveniente per la ricerca sperimentale utilizzando un computer.

Un modello matematico è una rappresentazione approssimativa di oggetti, processi o sistemi reali, espressa in termini matematici e che conserva le caratteristiche essenziali dell'originale. I modelli matematici in forma quantitativa, con l'aiuto di costruzioni logiche e matematiche, descrivono le principali proprietà di un oggetto, processo o sistema, i suoi parametri, le connessioni interne ed esterne.

Nel caso generale, un modello matematico di un oggetto, processo o sistema reale è rappresentato come un sistema di funzionali

Ô i (X,Y,Z,t)=0,

dove X è un vettore di variabili di input, X= t ,

Y - vettore delle variabili di output, Y= t ,

Z - vettore delle influenze esterne, Z= t ,

t - coordinata temporale.

La costruzione di un modello matematico consiste nel determinare le relazioni tra determinati processi e fenomeni, creando un apparato matematico che consenta di esprimere quantitativamente e qualitativamente la relazione tra determinati processi e fenomeni, tra quantità fisiche di interesse per uno specialista e fattori che influenzano la risultato finale.

Di solito ce ne sono così tanti che non è possibile introdurre l'intero set nel modello. Quando si costruisce un modello matematico, prima della ricerca, si pone il compito di identificare ed escludere dalla considerazione fattori che non influenzano in modo significativo il risultato finale (un modello matematico di solito include un numero di fattori significativamente inferiore rispetto alla realtà). Sulla base dei dati sperimentali vengono avanzate ipotesi sulla relazione tra le quantità che esprimono il risultato finale e i fattori introdotti nel modello matematico. Tale connessione è spesso espressa da sistemi di equazioni differenziali in derivate parziali (ad esempio, in problemi di meccanica dei solidi, dei liquidi e dei gas, teoria della filtrazione, conduzione del calore, teoria dei campi elettrostatici ed elettrodinamici).

L'obiettivo finale di questa fase è la formulazione di un problema matematico, la cui soluzione, con la necessaria accuratezza, esprime i risultati di interesse per uno specialista.

La forma e i principi di rappresentazione di un modello matematico dipendono da molti fattori.

Secondo i principi di costruzione, i modelli matematici si dividono in:

1. analitico;

2. imitazione.

Nei modelli analitici, i processi di funzionamento di oggetti, processi o sistemi reali sono scritti sotto forma di dipendenze funzionali esplicite.

Il modello analitico è suddiviso in tipologie a seconda del problema matematico:

1. equazioni (algebriche, trascendenti, differenziali, integrali),

2. problemi di approssimazione (interpolazione, estrapolazione, integrazione e differenziazione numerica),

3. problemi di ottimizzazione,

4. problemi stocastici.

Tuttavia, man mano che l’oggetto della modellazione diventa più complesso, la costruzione di un modello analitico diventa un problema insolubile. Quindi il ricercatore è costretto a utilizzare la modellazione di simulazione.

Nella modellazione di simulazione, il funzionamento di oggetti, processi o sistemi è descritto da una serie di algoritmi. Gli algoritmi imitano i fenomeni elementari reali che compongono un processo o un sistema mantenendo la loro struttura logica e sequenza nel tempo. La modellazione di simulazione consente di ottenere informazioni sugli stati di un processo o sistema in determinati momenti dai dati iniziali, ma è difficile prevedere il comportamento di oggetti, processi o sistemi. Possiamo dire che i modelli di simulazione sono esperimenti computazionali basati su computer con modelli matematici che simulano il comportamento di oggetti, processi o sistemi reali.

A seconda della natura dei processi e dei sistemi reali studiati, i modelli matematici possono essere:

1. deterministico,

2. stocastico.

Nei modelli deterministici si presuppone che non vi siano influenze casuali, che gli elementi del modello (variabili, relazioni matematiche) siano abbastanza ben stabiliti e che il comportamento del sistema possa essere determinato con precisione. Quando si costruiscono modelli deterministici, vengono spesso utilizzate equazioni algebriche, equazioni integrali e algebra delle matrici.

Il modello stocastico tiene conto della natura casuale dei processi negli oggetti e nei sistemi studiati, che è descritta dai metodi della teoria della probabilità e della statistica matematica.

In base alla tipologia delle informazioni in ingresso, i modelli si dividono in:

1. continuo,

2. discreto.

Se le informazioni e i parametri sono continui e le relazioni matematiche sono stabili, allora il modello è continuo. E viceversa, se le informazioni e i parametri sono discreti e le connessioni sono instabili, anche il modello matematico è discreto.

In base al comportamento dei modelli nel tempo, essi si dividono in:

1. statico,

2. dinamico.

I modelli statici descrivono il comportamento di un oggetto, processo o sistema in qualsiasi momento. I modelli dinamici riflettono il comportamento di un oggetto, processo o sistema nel tempo.

A seconda del grado di corrispondenza tra il modello matematico e l'oggetto, processo o sistema reale, i modelli matematici si dividono in:

1. isomorfo (stessa forma),

2. omomorfo (diverso nella forma).

Un modello è detto isomorfo se esiste una corrispondenza completa elemento per elemento tra esso e un oggetto, processo o sistema reale. Omomorfo - se esiste una corrispondenza solo tra le componenti più significative dell'oggetto e del modello.

In futuro, per una breve definizione della tipologia di modello matematico nella classificazione sopra riportata, utilizzeremo la seguente notazione:

Prima lettera:

D - deterministico,

C - stocastico.

Seconda lettera:

H - continuo,

D - discreto.

Terza lettera:

A - analitico,

E - imitazione.

1. Non esiste (più precisamente, non viene presa in considerazione) l'influenza di processi casuali, ad es. modello deterministico (D).

2. Le informazioni e i parametri sono continui, vale a dire modello - continuo (H),

3. Il funzionamento del modello del manovellismo è descritto sotto forma di equazioni trascendenti non lineari, vale a dire modello - analitico (A)

2. Lezione frontale: Caratteristiche della costruzione di modelli matematici

La lezione descrive il processo di costruzione di un modello matematico. Viene fornito l'algoritmo verbale del processo.

Per utilizzare i computer nella risoluzione di problemi applicati, prima di tutto, il problema applicato deve essere "tradotto" in un linguaggio matematico formale, cioè per un oggetto, processo o sistema reale, è necessario costruire il suo modello matematico.

I modelli matematici in forma quantitativa, con l'aiuto di costruzioni logiche e matematiche, descrivono le principali proprietà di un oggetto, processo o sistema, i suoi parametri, le connessioni interne ed esterne.

Per costruire un modello matematico, è necessario:

1. analizzare attentamente un oggetto o processo reale;

2. evidenziarne le caratteristiche e le proprietà più significative;

3. definire le variabili, ad es. parametri i cui valori influenzano le principali caratteristiche e proprietà dell'oggetto;

4. descrivere la dipendenza delle proprietà di base di un oggetto, processo o sistema dal valore delle variabili utilizzando relazioni logiche e matematiche (equazioni, uguaglianze, disuguaglianze, costruzioni logiche e matematiche);

5. evidenziare le connessioni interne di un oggetto, processo o sistema utilizzando vincoli, equazioni, uguaglianze, disuguaglianze, costruzioni logiche e matematiche;

6. determinare le relazioni esterne e descriverle utilizzando restrizioni, equazioni, uguaglianze, disuguaglianze, costruzioni logiche e matematiche.

La modellazione matematica, oltre allo studio di un oggetto, processo o sistema e alla compilazione della loro descrizione matematica, comprende anche:

1. costruzione di un algoritmo che modella il comportamento di un oggetto, processo o sistema;

2. verifica dell'adeguatezza del modello e dell'oggetto, processo o sistema basato su esperimenti computazionali e naturali;

3. adeguamento del modello;

4. utilizzo del modello.

La descrizione matematica dei processi e dei sistemi oggetto di studio dipende da:

1. la natura di un processo o sistema reale ed è compilato sulla base delle leggi della fisica, della chimica, della meccanica, della termodinamica, dell'idrodinamica, dell'ingegneria elettrica, della teoria della plasticità, della teoria dell'elasticità, ecc.

2. l'affidabilità e l'accuratezza richieste dello studio e dello studio di processi e sistemi reali.

Nella fase di scelta di un modello matematico, vengono stabiliti: linearità e non linearità di un oggetto, processo o sistema, dinamismo o staticità, stazionarietà o non stazionarietà, nonché il grado di determinismo dell'oggetto o processo sotto studio. Nella modellizzazione matematica, si astrae deliberatamente dalla natura fisica specifica di oggetti, processi o sistemi e si concentra principalmente sullo studio delle dipendenze quantitative tra le quantità che descrivono questi processi.

Un modello matematico non è mai completamente identico all'oggetto, processo o sistema considerato. Basata sulla semplificazione, sull'idealizzazione, è una descrizione approssimativa dell'oggetto. Pertanto, i risultati ottenuti nell’analisi del modello sono approssimativi. La loro accuratezza è determinata dal grado di adeguatezza (corrispondenza) del modello e dell'oggetto.

La costruzione di un modello matematico inizia solitamente con la costruzione e l'analisi del modello matematico più semplice e approssimativo dell'oggetto, processo o sistema in esame. In futuro, se necessario, il modello verrà affinato, la sua corrispondenza all'oggetto sarà resa più completa.

Facciamo un semplice esempio. È necessario determinare la superficie della scrivania. Di solito, per questo, vengono misurate la sua lunghezza e larghezza, quindi i numeri risultanti vengono moltiplicati. Una procedura così elementare significa in realtà quanto segue: l'oggetto reale (la superficie del tavolo) viene sostituito da un modello matematico astratto: un rettangolo. Le dimensioni ottenute misurando la lunghezza e la larghezza della superficie del tavolo sono attribuite al rettangolo e l'area di tale rettangolo viene presa approssimativamente come l'area desiderata del tavolo.

Tuttavia, il modello rettangolare della scrivania è il modello più semplice e grezzo. Con un approccio più serio al problema, prima di utilizzare il modello rettangolare per determinare l'area della tabella, è necessario verificare questo modello. I controlli possono essere effettuati come segue: misurare le lunghezze dei lati opposti del tavolo, nonché le lunghezze delle sue diagonali e confrontarle tra loro. Se, con il grado di precisione richiesto, le lunghezze dei lati opposti e le lunghezze delle diagonali sono uguali a due a due, allora la superficie del tavolo può effettivamente essere considerata come un rettangolo. Altrimenti il modello del rettangolo dovrà essere rifiutato e sostituito da un modello generale a quadrilatero. Se i requisiti di precisione sono più elevati, potrebbe essere necessario perfezionare ulteriormente il modello, ad esempio per tenere conto dell'arrotondamento degli angoli del tavolo.

Utilizzando questo semplice esempio, è stato dimostrato che il modello matematico non è determinato univocamente dall'oggetto, dal processo o dal sistema oggetto di studio. Per la stessa tavola possiamo accettare sia un modello rettangolare, sia un modello più complesso di quadrilatero generale, oppure un quadrilatero con angoli arrotondati. La scelta dell'uno o dell'altro modello è determinata dal requisito di precisione. Con crescente precisione, il modello deve essere complicato, tenendo conto di nuove e nuove caratteristiche dell'oggetto, del processo o del sistema in esame.

Consideriamo un altro esempio: lo studio del movimento del meccanismo a manovella (Fig. 2.1).

Riso. 2.1.

Per un'analisi cinematica di questo meccanismo è innanzitutto necessario costruire il suo modello cinematico. Per questo:

1. Sostituiamo il meccanismo con il suo schema cinematico, dove tutti i collegamenti sono sostituiti da collegamenti rigidi;

2. Utilizzando questo schema, ricaviamo l'equazione del moto del meccanismo;

3. Differenziando queste ultime, otteniamo le equazioni della velocità e dell'accelerazione, che sono equazioni differenziali del 1° e del 2° ordine.

Scriviamo queste equazioni:

dove C 0 è la posizione estrema destra del cursore C:

r è il raggio della manovella AB;

l è la lunghezza della biella BC;

- angolo di rotazione della pedivella;

Le equazioni trascendenti risultanti rappresentano un modello matematico del movimento di un meccanismo a manovella assiale piatto basato sulle seguenti ipotesi semplificatrici:

1. Non ci interessavano le forme costruttive e la disposizione delle masse comprese nel meccanismo dei corpi, e abbiamo sostituito tutti i corpi del meccanismo con segmenti di linea. In effetti, tutti i collegamenti del meccanismo hanno una massa e una forma piuttosto complessa. Ad esempio, una biella è una connessione prefabbricata complessa, la cui forma e dimensioni, ovviamente, influenzeranno il movimento del meccanismo;

2. durante la costruzione di un modello matematico del movimento del meccanismo in esame, non abbiamo nemmeno tenuto conto dell'elasticità dei corpi inclusi nel meccanismo, ad es. tutti i collegamenti erano considerati come corpi astratti assolutamente rigidi. In realtà tutti i corpi compresi nel meccanismo sono corpi elastici. Quando il meccanismo si muove, si deformeranno in qualche modo e potrebbero verificarsi anche vibrazioni elastiche. Tutto ciò, ovviamente, influenzerà anche il movimento del meccanismo;

3. non abbiamo tenuto conto dell'errore di fabbricazione dei collegamenti, degli spazi nelle coppie cinematiche A, B, C, ecc.

Pertanto, è importante sottolineare ancora una volta che maggiori sono i requisiti per l'accuratezza dei risultati della risoluzione del problema, maggiore è la necessità di tenere conto delle caratteristiche dell'oggetto, del processo o del sistema in esame quando si costruisce un modello matematico. Tuttavia, è importante fermarsi qui in tempo, poiché un modello matematico complesso può trasformarsi in un compito difficile.

Il modello è costruito più semplicemente quando le leggi che determinano il comportamento e le proprietà di un oggetto, processo o sistema sono ben note e c'è molta esperienza pratica nella loro applicazione.

Una situazione più complicata si verifica quando la nostra conoscenza dell'oggetto, del processo o del sistema oggetto di studio è insufficiente. In questo caso, quando si costruisce un modello matematico, è necessario fare ulteriori presupposti che hanno la natura di ipotesi, tale modello è chiamato ipotetico. Le conclusioni tratte dallo studio di un tale modello ipotetico sono condizionali. Per verificare le conclusioni, è necessario confrontare i risultati dello studio del modello su un computer con i risultati di un esperimento su vasta scala. Pertanto, la questione dell'applicabilità di un determinato modello matematico allo studio dell'oggetto, processo o sistema in esame non è una questione matematica e non può essere risolta con metodi matematici.

Il criterio principale della verità è l'esperimento, la pratica nel senso più ampio del termine.

Costruire un modello matematico nei problemi applicati è una delle fasi di lavoro più complesse e responsabili. L'esperienza dimostra che in molti casi scegliere il modello giusto significa risolvere più della metà del problema. La difficoltà di questa fase è che richiede una combinazione di conoscenze matematiche e speciali. Pertanto, è molto importante che, quando risolvono problemi applicati, i matematici abbiano una conoscenza speciale dell'oggetto e che i loro partner, specialisti, abbiano una certa cultura matematica, esperienza di ricerca nel loro campo, conoscenza dei computer e della programmazione.

Lezione 3. Modellazione al computer ed esperimento computazionale. Risoluzione di modelli matematici

La modellazione computerizzata come nuovo metodo di ricerca scientifica si basa su:

1. costruzione di modelli matematici per descrivere i processi oggetto di studio;

2. utilizzare i computer più recenti ad alta velocità (milioni di operazioni al secondo) e in grado di condurre un dialogo con una persona.

L'essenza della simulazione al computer è la seguente: sulla base di un modello matematico, una serie di esperimenti computazionali viene eseguita con l'aiuto di un computer, ad es. si studiano le proprietà di oggetti o processi, si trovano i loro parametri ottimali e le modalità operative, il modello viene perfezionato. Ad esempio, avendo un'equazione che descrive il corso di un particolare processo, è possibile modificarne i coefficienti, le condizioni iniziali e al contorno e indagare su come si comporterà l'oggetto in questo caso. Inoltre, è possibile prevedere il comportamento di un oggetto in varie condizioni.

L'esperimento computazionale consente di sostituire un costoso esperimento su vasta scala con calcoli computerizzati. Consente in breve tempo e senza costi materiali significativi di effettuare lo studio di un gran numero di opzioni per l'oggetto o processo progettato per varie modalità di funzionamento, riducendo significativamente il tempo necessario per lo sviluppo di sistemi complessi e la loro introduzione in produzione.

La modellazione computerizzata e l'esperimento computazionale come nuovo metodo di ricerca scientifica rendono necessario migliorare l'apparato matematico utilizzato nella costruzione di modelli matematici, consente, utilizzando metodi matematici, di affinare e complicare i modelli matematici. Il più promettente per condurre un esperimento computazionale è il suo utilizzo per risolvere i principali problemi scientifici, tecnici e socioeconomici del nostro tempo (progettazione di reattori per centrali nucleari, progettazione di dighe e centrali idroelettriche, convertitori di energia magnetoidrodinamica e nel campo dell'economia - elaborazione di un piano equilibrato per un settore, una regione, un paese, ecc.).

In alcuni processi in cui un esperimento su vasta scala è pericoloso per la vita e la salute umana, un esperimento computazionale è l'unico possibile (fusione termonucleare, esplorazione spaziale, progettazione e ricerca di industrie chimiche e di altro tipo).

Per verificare l'adeguatezza del modello matematico e dell'oggetto, processo o sistema reale, i risultati della ricerca su un computer vengono confrontati con i risultati di un esperimento su un campione sperimentale in scala reale. I risultati della verifica vengono utilizzati per correggere il modello matematico o si decide la questione dell'applicabilità del modello matematico costruito alla progettazione o allo studio di determinati oggetti, processi o sistemi.

In conclusione, sottolineiamo ancora una volta che la simulazione al computer e l'esperimento computazionale consentono di ridurre lo studio di un oggetto "non matematico" alla soluzione di un problema matematico. Ciò apre la possibilità di utilizzare un apparato matematico ben sviluppato per il suo studio in combinazione con una potente tecnologia informatica. Questa è la base per l'uso della matematica e del computer per la conoscenza delle leggi del mondo reale e il loro utilizzo nella pratica.

Nei compiti di progettazione o studio del comportamento di oggetti, processi o sistemi reali, i modelli matematici, di regola, non sono lineari, perché devono riflettere i reali processi fisici non lineari che si verificano in essi. Allo stesso tempo, i parametri (variabili) di questi processi sono interconnessi da leggi fisiche non lineari. Pertanto, nei problemi di progettazione o studio del comportamento di oggetti, processi o sistemi reali, vengono spesso utilizzati modelli matematici di tipo DND.

Secondo la classificazione fornita nella lezione 1:

D - il modello è deterministico, non c'è (più precisamente, non viene preso in considerazione) l'influenza dei processi casuali.

H - il modello è continuo, le informazioni e i parametri sono continui.

A - modello analitico, il funzionamento del modello è descritto sotto forma di equazioni (lineari, non lineari, sistemi di equazioni, equazioni differenziali e integrali).

Quindi, abbiamo costruito un modello matematico dell'oggetto, processo o sistema considerato, ad es. ha presentato un problema applicato come se fosse matematico. Successivamente, inizia la seconda fase della risoluzione del problema applicato: la ricerca o lo sviluppo di un metodo per risolvere il problema matematico formulato. Il metodo dovrebbe essere conveniente per la sua implementazione su un computer e fornire la qualità necessaria della soluzione.

Tutti i metodi per risolvere problemi matematici possono essere divisi in 2 gruppi:

1. metodi esatti per risolvere i problemi;

2. metodi numerici per la risoluzione dei problemi.

Nei metodi esatti per risolvere problemi matematici, la risposta può essere ottenuta sotto forma di formule.

Ad esempio, calcolando le radici di un'equazione quadratica:

o, ad esempio, il calcolo delle funzioni derivate:

oppure il calcolo di un integrale definito:

Tuttavia, sostituendo i numeri nella formula come frazioni decimali finite, otteniamo comunque valori approssimativi del risultato.

Per la maggior parte dei problemi incontrati nella pratica, i metodi esatti di soluzione sono sconosciuti o forniscono formule molto complicate. Tuttavia, non sono sempre necessari. Un problema applicato può essere considerato praticamente risolto se riusciamo a risolverlo con il grado di accuratezza richiesto.

Per risolvere tali problemi sono stati sviluppati metodi numerici in cui la soluzione di problemi matematici complessi si riduce all'esecuzione sequenziale di un gran numero di semplici operazioni aritmetiche. Lo sviluppo diretto dei metodi numerici appartiene alla matematica computazionale.

Un esempio di metodo numerico è il metodo dei rettangoli per l'integrazione approssimata, che non richiede il calcolo dell'antiderivativa per l'integrando. Al posto dell'integrale si calcola la somma della quadratura finale:

x 1 =a - il limite inferiore di integrazione;

x n+1 =b – limite superiore di integrazione;

n è il numero di segmenti in cui è suddiviso l'intervallo di integrazione (a,b);

è la lunghezza di un segmento elementare;

f(xi) è il valore dell'integrando agli estremi dei segmenti elementari di integrazione.

Quanto maggiore è il numero di segmenti n in cui è suddiviso l'intervallo di integrazione, tanto più la soluzione approssimata si avvicina a quella vera, cioè più accurato sarà il risultato.

Pertanto, nei problemi applicati, sia quando si utilizzano metodi di soluzione esatti che quando si utilizzano metodi di soluzione numerica, i risultati dei calcoli sono approssimativi. È importante solo garantire che gli errori rientrino nella precisione richiesta.

I metodi numerici per la risoluzione dei problemi matematici sono noti da molto tempo, anche prima dell'avvento dei computer, ma venivano utilizzati raramente e solo in casi relativamente semplici a causa dell'estrema complessità dei calcoli. L'uso diffuso dei metodi numerici è diventato possibile grazie ai computer.

Secondo il libro di testo di Sovetov e Yakovlev: "un modello (lat. modulo - misura) è un oggetto sostitutivo dell'oggetto originale, che prevede lo studio di alcune proprietà dell'originale". (p. 6) "La sostituzione di un oggetto con un altro per ottenere informazioni sulle proprietà più importanti dell'oggetto originale con l'aiuto di un oggetto modello si chiama modellazione." (p. 6) “Sotto la modellazione matematica comprenderemo il processo per stabilire la corrispondenza con un dato oggetto reale di un oggetto matematico, chiamato modello matematico, e lo studio di questo modello, che consente di ottenere le caratteristiche dell'oggetto reale in esame . Il tipo di modello matematico dipende sia dalla natura dell'oggetto reale che dai compiti di studio dell'oggetto e dall'affidabilità e accuratezza richieste per risolvere questo problema.

Infine, la definizione più concisa di modello matematico: "Un'equazione che esprime l'idea».

Classificazione dei modelli

Classificazione formale dei modelli

e così via. Ogni modello costruito è lineare o non lineare, deterministico o stocastico,... Naturalmente sono possibili anche tipi misti: concentrati in un aspetto (in termini di parametri), modelli distribuiti in un altro, ecc.

Classificazione in base al modo in cui l'oggetto è rappresentato

Oltre alla classificazione formale, i modelli differiscono nel modo in cui rappresentano l'oggetto:

Modelli strutturali o funzionali

Modelli strutturali rappresentare un oggetto come un sistema con un proprio dispositivo e meccanismo di funzionamento. modelli funzionali non utilizzare tali rappresentazioni e riflettono solo il comportamento (funzionamento) percepito esternamente dell'oggetto. Nella loro espressione estrema vengono anche definiti modelli “black box”. Sono possibili anche tipi combinati di modelli, a volte indicati come "modelli" scatola grigia».

Contenuti e modelli formali

Quasi tutti gli autori che descrivono il processo di modellazione matematica indicano che prima viene costruita una costruzione ideale speciale, modello di contenuto. Non esiste una terminologia stabilita qui e altri autori chiamano questo oggetto ideale modello concettuale , modello speculativo O premodello. In questo caso, viene chiamata la costruzione matematica finale modello formale o semplicemente un modello matematico ottenuto come risultato della formalizzazione di questo modello di contenuto (pre-modello). Un modello significativo può essere costruito utilizzando una serie di idealizzazioni già pronte, come in meccanica, dove molle ideali, corpi rigidi, pendoli ideali, mezzi elastici, ecc. forniscono elementi strutturali già pronti per una modellazione significativa. Tuttavia, nelle aree della conoscenza in cui non esistono teorie formalizzate completamente complete (l’avanguardia della fisica, della biologia, dell’economia, della sociologia, della psicologia e della maggior parte degli altri campi), la creazione di modelli significativi è drammaticamente più complicata.

Classificazione significativa dei modelli

Nessuna ipotesi scientifica può essere dimostrata una volta per tutte. Richard Feynman lo ha detto molto chiaramente:

“Abbiamo sempre la possibilità di confutare una teoria, ma tieni presente che non possiamo mai dimostrare che sia corretta. Supponiamo che tu avanzi un'ipotesi vincente, calcoli dove porta e scopri che tutte le sue conseguenze sono confermate sperimentalmente. Questo significa che la tua teoria è corretta? No, significa semplicemente che non sei riuscito a confutarlo.

Tipo 2: Modello fenomenologico (comportarsi come se…)

Il ruolo del modello nella ricerca può cambiare nel tempo, può accadere che nuovi dati e teorie confermino modelli fenomenologici e siano promossi allo status di ipotesi. Allo stesso modo, nuove conoscenze possono progressivamente entrare in conflitto con modelli-ipotesi del primo tipo, e possono essere trasferite al secondo. Pertanto, il modello a quark si sta gradualmente spostando nella categoria delle ipotesi; l'atomismo in fisica è nato come soluzione temporanea, ma con il corso della storia è passato al primo tipo. Ma i modelli dell’etere sono passati dal tipo 1 al tipo 2, e ora sono fuori dalla scienza.

L'idea di semplificazione è molto popolare quando si costruiscono modelli. Ma la semplificazione è diversa. Peierls distingue tre tipi di semplificazioni nella modellazione.

Tipo 3: Approssimazione (qualcosa è considerato molto grande o molto piccolo)

Se è possibile costruire equazioni che descrivono il sistema studiato, ciò non significa che possano essere risolte anche con l'aiuto di un computer. Una tecnica comune in questo caso è l'uso di approssimazioni (modelli di tipo 3). Tra loro modelli di risposta lineare. Le equazioni sono sostituite da quelle lineari. L'esempio standard è la legge di Ohm.

Ed ecco il tipo 8, ampiamente utilizzato nei modelli matematici dei sistemi biologici.

Tipo 8: Dimostrazione di possibilità (l'importante è mostrare la coerenza interna della possibilità)

Anche questi sono esperimenti mentali. con entità immaginarie che lo dimostrano presunto fenomeno coerente con i principi fondamentali e internamente coerente. Questa è la principale differenza rispetto ai modelli di tipo 7, che rivelano contraddizioni nascoste.

Uno dei più famosi di questi esperimenti è la geometria di Lobachevskij (Lobachevskij la chiamava "geometria immaginaria"). Un altro esempio è la produzione di massa di modelli formalmente cinetici di oscillazioni chimiche e biologiche, autoonde, ecc. Il paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen è stato concepito come un modello di tipo 7 per dimostrare l'incoerenza della meccanica quantistica. In modo del tutto non pianificato, alla fine si trasformò in un modello di tipo 8, una dimostrazione della possibilità del teletrasporto quantistico delle informazioni.

Esempio

Consideriamo un sistema meccanico costituito da una molla fissata ad un'estremità e un carico di massa, fissato all'estremità libera della molla. Assumeremo che il carico possa muoversi solo nella direzione dell'asse della molla (ad esempio, il movimento avviene lungo l'asta). Costruiamo un modello matematico di questo sistema. Descriveremo lo stato del sistema in base alla distanza dal centro del carico alla sua posizione di equilibrio. Descriviamo l'interazione tra una molla e un carico utilizzando La legge di Hooke() dopodiché utilizziamo la seconda legge di Newtonper esprimerla sotto forma di un'equazione differenziale:

dove significa la derivata seconda di rispetto al tempo: .

L'equazione risultante descrive il modello matematico del sistema fisico considerato. Questo modello è chiamato "oscillatore armonico".

Secondo la classificazione formale, questo modello è lineare, deterministico, dinamico, concentrato, continuo. Nel processo di costruzione, abbiamo fatto molte ipotesi (sull'assenza di forze esterne, sull'assenza di attrito, sulla piccolezza delle deviazioni, ecc.), che in realtà potrebbero non essere soddisfatte.

In relazione alla realtà, questo è molto spesso un modello di tipo 4. semplificazione(“omettiamo alcuni dettagli per chiarezza”), poiché alcune caratteristiche universali essenziali (ad esempio, la dissipazione) vengono omesse. Con una certa approssimazione (ad esempio, mentre la deviazione del carico dall'equilibrio è piccola, con poco attrito, per un tempo non troppo lungo e soggetto a determinate altre condizioni), un modello di questo tipo descrive abbastanza bene un sistema meccanico reale, poiché i fattori scartati hanno un effetto trascurabile sul suo comportamento. Tuttavia, il modello può essere perfezionato tenendo conto di alcuni di questi fattori. Ciò porterà a un nuovo modello, con una portata più ampia (anche se ancora limitata).

Modelli duri e morbidi

Qui - qualche funzione che può tenere conto della forza di attrito o della dipendenza del coefficiente di rigidità della molla dal grado del suo allungamento - qualche piccolo parametro. La forma esplicita della funzione al momento non ci interessa. Se dimostriamo che il comportamento di un modello soft non differisce fondamentalmente da quello di un modello hard (indipendentemente dalla forma esplicita dei fattori perturbanti, se sono sufficientemente piccoli), il problema si ridurrà allo studio del modello hard. Altrimenti, l'applicazione dei risultati ottenuti nello studio del modello rigido richiederà ulteriori ricerche. Ad esempio, la soluzione dell'equazione di un oscillatore armonico sono funzioni della forma , cioè oscillazioni con ampiezza costante. Ne consegue che un oscillatore reale oscillerà indefinitamente con un'ampiezza costante? No, perché considerando un sistema con un attrito arbitrariamente piccolo (sempre presente in un sistema reale), si ottengono oscillazioni smorzate. Il comportamento del sistema è cambiato qualitativamente.

Se un sistema mantiene il suo comportamento qualitativo anche sotto una piccola perturbazione, si dice che sia strutturalmente stabile. L'oscillatore armonico è un esempio di sistema strutturalmente instabile (non ruvido). Tuttavia, questo modello può essere utilizzato per studiare processi su intervalli di tempo limitati.

Universalità dei modelli

I modelli matematici più importanti di solito hanno la proprietà importante universalità: fenomeni reali fondamentalmente diversi possono essere descritti dallo stesso modello matematico. Ad esempio, un oscillatore armonico descrive non solo il comportamento di un carico su una molla, ma anche altri processi oscillatori, spesso di natura completamente diversa: piccole oscillazioni di un pendolo, fluttuazioni del livello del liquido in un recipiente a forma di variazione dell'intensità della corrente in un circuito oscillatorio. Pertanto, studiando un modello matematico, studiamo subito un'intera classe di fenomeni da esso descritti. È questo isomorfismo delle leggi espresse dai modelli matematici in vari segmenti della conoscenza scientifica che ha portato Ludwig von Bertalanffy a creare la "Teoria generale dei sistemi".

Problemi diretti e inversi di modellizzazione matematica

Ci sono molti problemi associati alla modellazione matematica. Innanzitutto, è necessario elaborare lo schema di base dell'oggetto da modellare, riprodurlo nel quadro delle idealizzazioni di questa scienza. Quindi, un vagone ferroviario si trasforma in un sistema di piastre e corpi più complessi realizzati con materiali diversi, ogni materiale viene specificato come la sua idealizzazione meccanica standard (densità, moduli elastici, caratteristiche di resistenza standard), dopo di che vengono compilate le equazioni, alcuni dettagli vengono scartati insignificante lungo il percorso, si effettuano calcoli, si confrontano con misurazioni, si perfeziona il modello e così via. Tuttavia, per lo sviluppo di tecnologie di modellazione matematica, è utile scomporre questo processo nei suoi principali elementi costitutivi.

Tradizionalmente, esistono due classi principali di problemi associati ai modelli matematici: diretti e inversi.

Problema diretto: la struttura del modello e tutti i suoi parametri sono considerati noti, il compito principale è studiare il modello per estrarre conoscenze utili sull'oggetto. Quale carico statico può sopportare il ponte? Come reagirà a un carico dinamico (ad esempio, alla marcia di una compagnia di soldati, o al passaggio di un treno a velocità diverse), come l'aereo supererà la barriera del suono, se cadrà a pezzi per sbattimento - questi sono esempi tipici di un compito diretto. Impostare il problema diretto corretto (porre la domanda corretta) richiede abilità speciali. Se non vengono poste le domande giuste, il ponte può crollare, anche se è stato costruito un buon modello per il suo comportamento. Così, nel 1879, in Gran Bretagna crollò un ponte di metallo sul fiume Tey, i cui progettisti costruirono un modello del ponte, lo calcolarono per un margine di sicurezza 20 volte maggiore per il carico utile, ma dimenticarono i venti che soffiano costantemente quei posti. E dopo un anno e mezzo è crollato.

Nel caso più semplice (ad esempio un'equazione dell'oscillatore), il problema diretto è molto semplice e si riduce ad una soluzione esplicita di questa equazione.

Problema inverso: sono noti molti modelli possibili, è necessario scegliere un modello specifico in base a dati aggiuntivi sull'oggetto. Molto spesso, la struttura del modello è nota ed è necessario determinare alcuni parametri sconosciuti. Ulteriori informazioni possono consistere in ulteriori dati empirici o nei requisiti dell'oggetto ( compito di progettazione). Ulteriori dati possono arrivare indipendentemente dal processo di risoluzione del problema inverso ( osservazione passiva) o essere il risultato di un esperimento appositamente pianificato durante la soluzione ( sorveglianza attiva).

Un altro esempio è la statistica matematica. Il compito di questa scienza è lo sviluppo di metodi per registrare, descrivere e analizzare dati osservativi e sperimentali al fine di costruire modelli probabilistici di fenomeni casuali di massa. Quelli. l'insieme dei modelli possibili è limitato da modelli probabilistici. In problemi specifici, l’insieme dei modelli è più limitato.

Sistemi di simulazione al computer

Per supportare la modellazione matematica, sono stati sviluppati sistemi di matematica informatica, ad esempio Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, ecc. Consentono di creare modelli formali e a blocchi di processi e dispositivi sia semplici che complessi e di modificare facilmente i parametri del modello durante simulazione. Modelli a blocchi sono rappresentati da blocchi (il più delle volte grafici), il cui insieme e connessione sono specificati dal diagramma del modello.

Ulteriori esempi

Modello di Malthus

Il tasso di crescita è proporzionale alla dimensione attuale della popolazione. È descritto dall'equazione differenziale

dove è un certo parametro determinato dalla differenza tra il tasso di natalità e il tasso di mortalità. La soluzione di questa equazione è una funzione esponenziale. Se il tasso di natalità supera il tasso di mortalità (), la dimensione della popolazione aumenta indefinitamente e molto rapidamente. È chiaro che in realtà ciò non può avvenire a causa delle risorse limitate. Quando viene raggiunta una certa dimensione critica della popolazione, il modello cessa di essere adeguato, poiché non tiene conto delle risorse limitate. Un perfezionamento del modello di Malthus può essere il modello logistico , descritto dall'equazione differenziale di Verhulst

dove è la dimensione della popolazione di "equilibrio", alla quale il tasso di natalità è esattamente compensato dal tasso di mortalità. La dimensione della popolazione in tale modello tende al valore di equilibrio e questo comportamento è strutturalmente stabile.

sistema predatore-preda

Diciamo che in una certa zona vivono due tipi di animali: i conigli (che mangiano piante) e le volpi (che mangiano conigli). Lasciamo il numero dei conigli, il numero delle volpi. Utilizzando il modello di Malthus con le dovute correzioni, tenendo conto del consumo di conigli da parte delle volpi, arriviamo al seguente sistema, che porta il nome modelli vassoio - Volterra:

Questo sistema ha uno stato di equilibrio in cui il numero di conigli e volpi è costante. La deviazione da questo stato porta a fluttuazioni nel numero di conigli e volpi, simili alle fluttuazioni dell'oscillatore armonico. Come nel caso dell’oscillatore armonico, questo comportamento non è strutturalmente stabile: un piccolo cambiamento nel modello (tenendo conto, ad esempio, delle limitate risorse necessarie ai conigli) può portare a un cambiamento qualitativo nel comportamento. Ad esempio, lo stato di equilibrio può diventare stabile e le fluttuazioni demografiche svaniranno. È possibile anche la situazione opposta, quando ogni piccola deviazione dalla posizione di equilibrio porterà a conseguenze catastrofiche, fino alla completa estinzione di una delle specie. Alla domanda su quale di questi scenari si realizzi, il modello Volterra-Lotka non fornisce una risposta: qui sono necessarie ulteriori ricerche.

Appunti

"Una rappresentazione matematica della realtà" (Enciclopedia Britanica)
Novik I.B., Sulle questioni filosofiche della modellazione cibernetica. M., La conoscenza, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., riveduta. e aggiuntivi - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
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Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4
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“Una teoria è considerata lineare o non lineare, a seconda di quale apparato matematico - lineare o non lineare -, di quali modelli matematici - lineari o non lineari - utilizza. ...senza negare quest'ultima. Un fisico moderno, se gli capitasse di ridefinire un'entità così importante come la non linearità, molto probabilmente si comporterebbe diversamente e, preferendo la non linearità come il più importante e comune dei due opposti, definirebbe la linearità come "non-non-linearità" linearità". Danilov Yu.A., Lezioni sulla dinamica non lineare. Introduzione elementare. Sinergetica: dal passato al futuro della serie. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
“I sistemi dinamici modellati da un numero finito di equazioni differenziali ordinarie sono chiamati sistemi concentrati o puntuali. Sono descritti utilizzando uno spazio delle fasi a dimensione finita e sono caratterizzati da un numero finito di gradi di libertà. Uno stesso sistema in condizioni diverse può essere considerato concentrato o distribuito. I modelli matematici dei sistemi distribuiti sono equazioni alle derivate parziali, equazioni integrali o equazioni di ritardo ordinarie. Il numero di gradi di libertà di un sistema distribuito è infinito e per determinarne lo stato è necessario un numero infinito di dati. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, n. 11, p. 77-84.
“A seconda della natura dei processi studiati nel sistema S, tutti i tipi di modellazione possono essere suddivisi in deterministici e stocastici, statici e dinamici, discreti, continui e discreti-continui. La modellazione deterministica mostra processi deterministici, cioè processi in cui si presuppone l'assenza di influenze casuali; la modellazione stocastica mostra processi ed eventi probabilistici. … La modellazione statica viene utilizzata per descrivere il comportamento di un oggetto in qualsiasi momento, mentre la modellazione dinamica riflette il comportamento di un oggetto nel tempo. La modellazione discreta serve a descrivere processi che si presuppone siano discreti, rispettivamente, la modellazione continua consente di riflettere i processi continui nei sistemi e la modellazione discreto-continua viene utilizzata nei casi in cui si desidera evidenziare la presenza di processi sia discreti che continui. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Di solito, il modello matematico riflette la struttura (disposizione) dell'oggetto da modellare, le proprietà e le interconnessioni dei componenti di questo oggetto che sono essenziali ai fini dello studio; tale modello è chiamato strutturale. Se il modello riflette solo il modo in cui funziona l'oggetto, ad esempio come reagisce alle influenze esterne, allora viene chiamato scatola funzionale o, in senso figurato, scatola nera. Sono possibili anche modelli combinati. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
“La fase iniziale ovvia, ma la più importante, nella costruzione o nella scelta di un modello matematico è quella di avere il più chiaro possibile l’oggetto da modellare e perfezionare il suo modello di contenuto sulla base di discussioni informali. In questa fase non bisogna risparmiare tempo e sforzi: da questo dipende in gran parte il successo dell’intero studio. Più di una volta è successo che un notevole lavoro speso per risolvere un problema matematico si è rivelato inefficace o addirittura sprecato a causa dell'insufficiente attenzione a questo aspetto della questione. Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
« Descrizione del modello concettuale del sistema. In questa sottofase della costruzione di un modello di sistema: a) il modello concettuale M è descritto in termini e concetti astratti; b) viene fornita una descrizione del modello utilizzando schemi matematici tipici; c) le ipotesi e le ipotesi vengono finalmente accettate; d) sia motivata la scelta di una procedura per approssimare i processi reali nella costruzione di un modello. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., riveduta. e aggiuntivi - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, pag. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Matematica applicata: soggetto, logica, caratteristiche degli approcci. Con esempi tratti dalla meccanica: Libro di testo. - 3a ed., Rev. e aggiuntivi - M.: URSS, 2006. - 376 p. ISBN 5-484-00163-3, Capitolo 2.

vettore delle variabili di input, X=t,

Y - vettore delle variabili di output, Y=t,

Z - vettore di influenze esterne, Z=t,

t - coordinata temporale.

Edificio modello matematico consiste nel determinare i legami tra determinati processi e fenomeni, creando un apparato matematico che consenta di esprimere quantitativamente e qualitativamente la relazione tra determinati processi e fenomeni, tra quantità fisiche di interesse per uno specialista e fattori che influenzano il risultato finale.

Di solito ce ne sono così tanti che non è possibile introdurre l'intero set nel modello. Durante la costruzione modello matematico prima dello studio, si pone il compito di identificare ed escludere dalla considerazione fattori che non influenzano in modo significativo il risultato finale ( modello matematico di solito include un numero di fattori molto inferiore rispetto alla realtà). Sulla base dei dati sperimentali vengono avanzate ipotesi sulla relazione tra le grandezze che esprimono il risultato finale e i fattori introdotti nella modello matematico. Tale relazione è spesso espressa da sistemi differenziali equazioni alle derivate parziali(ad esempio, in problemi di meccanica di un corpo solido, liquido e gas, teoria della filtrazione, conduzione del calore, teoria dei campi elettrostatici ed elettrodinamici).

L'obiettivo finale di questa fase è la formulazione di un problema matematico, la cui soluzione, con la necessaria accuratezza, esprime i risultati di interesse per uno specialista.

Forma e principi di presentazione modello matematico dipende da molti fattori.

Secondo i principi di costruzione modelli matematici diviso in:

analitico;
imitazione.

Nei modelli analitici, i processi di funzionamento di oggetti, processi o sistemi reali sono scritti sotto forma di esplicito dipendenze funzionali.

Il modello analitico è suddiviso in tipologie a seconda del problema matematico:

equazioni (algebriche, trascendenti, differenziali, integrali),
problemi di approssimazione (interpolazione, estrapolazione, integrazione numerica E differenziazione),
problemi di ottimizzazione,
problemi stocastici.

IN modellazione di simulazione il funzionamento di oggetti, processi o sistemi è descritto da un insieme di algoritmi. Gli algoritmi imitano i fenomeni elementari reali che compongono un processo o un sistema mantenendone la struttura struttura logica e sequenziamento nel tempo. Simulazione consente di ottenere informazioni sui dati di origine stati del processo o sistemi in determinati momenti nel tempo, tuttavia in questo caso è difficile prevedere il comportamento di oggetti, processi o sistemi. Si può dire così modelli di simulazione- questi sono basati su computer esperimenti computazionali Con modelli matematici, imitando il comportamento di oggetti, processi o sistemi reali.

A seconda della natura dei processi e dei sistemi reali studiati modelli matematici può essere:

deterministico,
Stocastico.

Modello stocastico tiene conto della natura casuale dei processi negli oggetti e nei sistemi studiati, che è descritta dai metodi della teoria della probabilità e della statistica matematica.

In base alla tipologia delle informazioni in ingresso, i modelli si dividono in:

continuo,
discreto.

In base al comportamento dei modelli nel tempo, essi si dividono in:

statico,
dinamico.

I modelli statici descrivono il comportamento di un oggetto, processo o sistema in qualsiasi momento. I modelli dinamici riflettono il comportamento di un oggetto, processo o sistema nel tempo.

Secondo il grado di corrispondenza tra