Manuale di matematica per scienziati e ingegneri. Korn G., Korn T. Modellazione di processi casuali

09.04.2019

Astratto

Rivestimenti di polvere autoflussaggio PR-N77Kh15S3R2 (sistema Ni-Cr-Si-B) sono stati depositati su un substrato di acciaio dolce 20 mediante spruzzatura al plasma. Per studiare l'effetto della temperatura di fusione sulle trasformazioni strutturali e di fase, i campioni rivestiti sono stati fusi in un forno a temperature comprese tra 1030 e 1100 ºС. Gli studi strutturali sono stati effettuati utilizzando la microscopia ottica ed elettronica a scansione, analisi dispersive di energia e di fase a raggi X. Inoltre, l'articolo presenta i risultati delle misurazioni della microdurezza, nonché della resistenza all'usura in condizioni di attrito radente con un lubrificante secondo lo schema del piano del disco. Il documento mostra che i principali componenti strutturali dei rivestimenti dopo il riflusso sono i dendriti γ-Ni, le inclusioni Cr7C3 e l'eutettico Ni-Ni3B. Per i rivestimenti fusi al di sotto di 1070 ºС, è caratteristica anche la presenza di inclusioni di CrB ed eutettico Ni3B-Ni6Si2B, per i rivestimenti fusi a 1100 ° С, inclusioni di CrB2 ed eutettico (γ-Ni)-CrB. È stato riscontrato che con un aumento della temperatura di fusione aumenta la frazione volumetrica delle fasi solide (eutettiche, nonché carburi di cromo e boruri), il che porta ad un aumento della microdurezza e della resistenza all'usura.
INFORMAZIONI SUL SOSTEGNO FINANZIARIO: Il lavoro è stato sostenuto dalla Fondazione russa per la ricerca di base nell'ambito del progetto scientifico n. 16-38-50197 mol_nr.
L'influenza della temperatura di flusso sulla struttura e le proprietà di
OBRABOTKA METALLOV-METAL LAVORAZIONE E SCIENZA DEI MATERIALI 2016 Edizione: 4 Pagine: 52-62

Vengono depositati i rivestimenti a base di polvere autoflussante del sistema Ni-Cr-Si-B (Ni-base; 15,1 wt. %.r; 2,0 wt. % Si; 2,0 wt. %.; 0,4 wt. %.) vengono depositati su substrato di acciaio a basso tenore di carbonio (0,2% in peso C) mediante spruzzatura al plasma. Lo studio considera l'influenza della temperatura di flusso sulla struttura e sulle proprietà dei materiali specificati. I campioni con rivestimenti vengono riscaldati in forno fino a 1030, 1050, 1070 e 1100 . per 1 ora con il successivo raffreddamento ad aria. La struttura e la composizione di fase dei rivestimenti viene studiata mediante microscopia ottica ed elettronica a scansione e diffrattometria a raggi X. Vengono inoltre dimostrati i risultati della misurazione della microdurezza e delle prove di resistenza all'usura in condizioni di attrito radente. La diffrattometria a raggi X ha mostrato che le fasi principali dei rivestimenti prima del flusso e dopo uno sono le seguenti: gamma-Ni, Ni B-3, CrBH.r(7)C(3). I risultati ottenuti mediante microscopia ottica ed elettronica a scansione hanno evidenziato che i rivestimenti flussati a 1030, 1050 e 1070 gradi C. sono costituiti da dendriti di soluzione solida di Cr, Si e Fe in inclusioni gamma-Ni, Cr-7 C-3, CrB e eutettici Ni-Ni3B, Ni3B-Ni-6 Si2B. I rivestimenti flussati a 1100 gradi C. sono costituiti da dendriti di una soluzione solida di inclusioni di Cr, Si e Fe in.-Ni, Cr-7 C-3, CrB2 ed eutettici (gamma-Ni)-CrB, Ni-Ni3B. Una quantità di fasi dure (eutettiche, carburi di cromo e boruri di cromo) aumenta con l'aumento della temperatura. Porta ad un aumento della microdurezza e della resistenza all'usura dei rivestimenti. I risultati degli esperimenti dimostrano che i rivestimenti flussati a 1100 gradi C. hanno la massima microdurezza (953 HV) e resistenza all'usura. Sfortunatamente, temperature di flusso elevate possono favorire la separazione degli strati.

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Si considerino algoritmi per la modellazione di processi stazionari normali e casuali di Markov. Questi processi sono ampiamente utilizzati come modelli matematici di vari tipi di processi reali che si verificano in sistemi tecnici complessi. Di seguito, diamo alcune definizioni e concetti che sono essenziali per un'ulteriore presentazione e sono accettati nel quadro della correlazione e delle teorie spettrali delle funzioni casuali.

funzione casualeè chiamata funzione di un argomento non casuale t, che, per ogni valore fisso dell'argomento, è una variabile casuale. funzione casuale volta chiamato processo casuale. funzione casuale coordinate si chiamano punti nello spazio campo casuale. La forma specifica assunta da un processo casuale come risultato dell'esperienza è chiamata realizzazione (traiettoria) di un processo casuale. Tutte le implementazioni ottenute del processo casuale costituiscono un insieme di implementazioni. I valori delle realizzazioni in momenti specifici del tempo (sezioni temporali) sono chiamati valori istantanei di un processo casuale.

Introduciamo la seguente notazione: X(t) - processo casuale; x i (t) - i-esima implementazione del processo X(t); x i (t j) - valore istantaneo del processo Х(t), corrispondente all'i-esima realizzazione al j-esimo momento. L'insieme dei valori istantanei corrispondenti ai valori di diverse implementazioni contemporaneamente t j , chiameremo la j-esima sequenza del processo X(t) e indicheremo x(t j). Da quanto detto ne consegue che il tempo e il numero di implementazione possono fungere da argomenti di un processo casuale. A questo proposito, sono legittimi due approcci allo studio delle proprietà di un processo casuale: il primo si basa sull'analisi di un insieme di implementazioni, il secondo opera con un insieme di sequenze - sezioni temporali. La presenza o l'assenza di dipendenza dei valori delle caratteristiche probabilistiche di un processo casuale nel tempo o il numero di implementazione determina proprietà fondamentali del processo come stazionarietà ed ergodicità. Stazionarioè un processo le cui caratteristiche probabilistiche non dipendono dal tempo. Ergodico viene chiamato un processo le cui caratteristiche probabilistiche non dipendono dal numero di implementazione.

Viene chiamato il processo casuale normale(o gaussiano), se le leggi di distribuzione unidimensionali e bidimensionali di una qualsiasi delle sue sezioni sono normali. Le caratteristiche esaustive di un normale processo casuale sono la sua aspettativa matematica e la funzione di correlazione. Per un processo casuale normale stazionario, la IOL è costante e la funzione di correlazione dipende solo dalla differenza nei punti temporali per i quali vengono prese le ordinate del processo casuale ( =t 2 -t 1). Per un processo casuale stazionario con una deviazione sufficientemente grande dell'ordinata del processo casuale X(t 2) dalla sua aspettativa matematica m x all'istante t 2 diventa praticamente indipendente dal valore di questa deviazione all'istante t 1 . In questo caso, la funzione di correlazione K(t), che fornisce il valore del momento di connessione tra X(t 2) e X(t 1), tenderà a zero. Pertanto, K() può diminuire in modo monotono, come mostrato in Fig. 2.2, o avere la forma mostrata in Fig. 2.3. La funzione della forma (Fig. 2.2.), Di regola, è approssimata dalle espressioni:

(2.38)

e la funzione della forma (Fig. 2.3.) - per espressioni:

Fig.2.2. Fig.2.3.

La stabilità di un processo casuale stazionario nel tempo permette di sostituire l'argomento - tempo - con qualche variabile ausiliaria, che in molte applicazioni ha la dimensione della frequenza. Questa sostituzione consente di semplificare notevolmente i calcoli e ottenere una maggiore chiarezza dei risultati. La funzione risultante (S()) è chiamata densità spettrale di un processo casuale stazionario ed è correlata alla funzione di correlazione da trasformate di Fourier reciprocamente inverse:

(2.42)

(2.43)

Esistono altre normalizzazioni della densità spettrale, ad esempio:

(2.44)

Sulla base delle trasformate di Fourier, è facile ottenere, ad esempio, per un processo casuale con K(t) della forma (2.38):

(2.45)

Un processo casuale stazionario la cui densità spettrale è costante (S(w)=S=const) è chiamato stazionario rumore bianco. La funzione di correlazione del rumore bianco stazionario è uguale a zero per tutti, il che significa che due delle sue sezioni non sono correlate.

Il problema della modellazione di un processo casuale normale stazionario (SNSP) può essere formulato come il problema di trovare un algoritmo che consenta di ottenere implementazioni discrete di questo processo su un computer. Il processo X(t) è sostituito con una data accuratezza dal corrispondente processo X(nDt) con tempo discreto t n = nDt (Dt è la fase di campionamento del processo, n è un argomento intero). Di conseguenza, al processo casuale x(t) verranno assegnate sequenze casuali:

x k [n]=x k (nDt), (2.46)

dove k è il numero di implementazione.

Ovviamente, un membro arbitrario della sequenza casuale x(nDt) può essere considerato come una funzione casuale del suo numero, cioè argomento intero n e quindi esclude Dt dalla considerazione, che viene presa in considerazione quando si scrive (2.46). Inoltre, per distinguere un argomento intero da un argomento che varia continuamente, è racchiuso tra parentesi quadre.

Le sequenze casuali sono spesso indicate come processi casuali discreti o serie temporali.

È noto che l'aggiunta di una variabile non casuale a una funzione casuale non modifica il valore della funzione di correlazione. Pertanto, in pratica, molto spesso si modellano processi casuali centrati (MOR è uguale a zero), da cui si può sempre passare a quello reale sommando il MOR ai membri di una sequenza casuale che simula un processo casuale.

Per le sequenze casuali, la funzione di correlazione e la densità spettrale sono calcolate dalle dipendenze:

(2.47)

(2.48)

Ridurre un processo casuale a una sequenza casuale significa essenzialmente sostituirlo con un vettore multidimensionale. Pertanto, il metodo considerato per modellare vettori casuali è, in generale, adatto per modellare processi casuali dati su un intervallo di tempo finito. Tuttavia, per i normali processi casuali stazionari, esistono metodi più efficienti per la costruzione di algoritmi di modellazione. Considera due metodi che hanno ricevuto la maggiore applicazione nella pratica.

| Modellazione in fogli di calcolo

Lezione 20
Modellazione in fogli di calcolo

Simulazione di processi casuali

Il caso è parte integrante della nostra vita. Se il caso ci ha aiutato in qualcosa, diciamo - fortunato, se non si è rivelato a nostro favore, ci lamentiamo - che destino! Molti scienziati hanno dedicato il loro talento allo studio dei modelli di eventi casuali. La conoscenza delle leggi del caso può essere utile in vari settori: dalla determinazione della probabilità di un evento, come vincere alla lotteria, all'utilizzo di modelli statistici negli esperimenti scientifici. Di seguito simuleremo situazioni che nella teoria della probabilità vengono chiamate "camminate casuali".

Immaginati su un lungo rettilineo. Lancia una moneta. Se esce testa, fai un passo avanti; se esce croce, fai un passo indietro. Quanto lontano ti porterà questo vagare unidimensionale (in una direzione)?

PROBLEMA 3.32. lancio della moneta

io in scena. Formulazione del problema

DESCRIZIONE DEL PROBLEMA

Hai 10 monete. Vuoi raddoppiare il tuo capitale, mentre metti alla prova il tuo destino allo stesso tempo. L'essenza del gioco è semplice. Quando si gioca con un broker, si piazza una scommessa e si lancia una moneta. Se l'"aquila" cade, il broker ti dà l'importo della tua scommessa, altrimenti gli dai questo importo. La puntata può essere qualsiasi: da 1 a 10 gettoni. Puoi impostare la puntata più alta di 10 monete, e poi in un tiro scoprirai se hai "rotto" la banca o, al contrario, sei fallito. I giocatori esperti sono più cauti a partire da una piccola scommessa.

Un raddoppio del capitale iniziale o un fallimento comporta l'immediata cessazione di quella sessione di gioco e del regolamento. Il gioco può continuare a tua discrezione.

SCOPO DELLA SIMULAZIONE

Modellando possibili situazioni di gioco, in particolare variando la posta in gioco in un determinato gioco, scopri quali tattiche portano più spesso a un risultato (positivo o negativo).

Avvertire i potenziali giocatori sul grado di rischio e sull'impossibilità di arricchirsi attraverso il gioco.

FORMALIZZAZIONE DEL PROBLEMA

Risponderemo alle seguenti domande:

II stadio. Sviluppo del modello

MODELLO INFORMATIVO

Il gioco viene modellato qui. Il gioco è un processo, a cui partecipano tre oggetti: il giocatore, l'intermediario e "Sua Maestà il caso", che in questo gioco è rappresentato da una moneta. Il broker determina la perdita o il guadagno del giocatore, paga le vincite.

Puoi simulare il risultato di una moneta che cade usando la funzione RAND(). Questa funzione genera numeri casuali X nell'intervallo 0 ≤ x ˂ 1. Poiché la probabilità di cadere da una parte o dall'altra è "metà e metà", allora se RAND() ˂ 0,5, il risultato è "testa" (1), altrimenti - "croce" (0).

La formula per la caduta di una moneta durante un lancio è la seguente:

Throw = SE(RAND() ˂ 0,5; 1; 0),

qui "1" all'uscita della funzione significa che il giocatore ha indovinato correttamente, cioè "testa" è caduta e "O" non ha indovinato, cioè "croce" è caduta.

La formula per cambiare il denaro di un giocatore è:

Cash = SE(Roll=1; Cash+Stake; Cash-Stake)

Formula vincente:

Vincita = SE(Contanti ˂ 2*Capitale iniziale; "-", "banca")

qui, il messaggio "banca" viene emesso quando il denaro viene raddoppiato o più, condizione per interrompere il gioco.

Funzione di rilevamento delle perdite:

Perdita = SE(Cash ˃ 0; "fallito")

qui al termine del cash viene emesso il messaggio "fallito", che è anche condizione per la fine del gioco.

MODELLO INFORMATICO

Dati iniziali;
statistiche degli esperimenti.

Inserisci i dati nella tabella.

Immettere le seguenti formule nella parte di calcolo:

PIANO DI SPERIMENTAZIONE

PROVA

ESPERIMENTO 1

Indagare sulla perdita di "testa" e "croce" durante la sessione di gioco.

ESPERIMENTO 2

SVOLGIMENTO DELLA RICERCA

PROVA

Immettere i dati di input di controllo e le formule di calcolo nella tabella nella prima riga. Confronta i risultati con quelli riportati nella tabella.

Vediamo una diminuzione in contanti del valore del tasso. Se viene visualizzato un "1" (testa) nella colonna Toss, i dati nelle colonne rimanenti dovrebbero essere i seguenti:

Se la colonna Toss mostra una "O" (croce), i dati nelle colonne rimanenti dovrebbero essere i seguenti:

Vediamo un aumento in contanti del valore del tasso. Il confronto con il campione di controllo mostra la correttezza dell'introduzione delle formule.

1. Copia le formule nelle celle sottostanti nello spazio visibile dello schermo (circa 20 lanci). Pertanto, simuli l'intera sessione del gioco in una volta: 20 lanci. Puoi "allungare" il piacere e copiare le formule solo su una riga inferiore, simulando il lancio di una moneta. Ma, dato che è necessario raccogliere alcune statistiche per trarre conclusioni, l'esperimento è volutamente accelerato. L'apparizione nella colonna Vincita del messaggio "banca" indica un raddoppio del contante e nella colonna Perdita del messaggio "fallimento" zero contante. Entrambi portano alla fine della sessione di gioco. I risultati a valle vengono ignorati. La sessione di gioco è considerata completata.

2. La prossima sessione di gioco si gioca nelle stesse celle aggiornando i dati della 1a colonna, per la quale la formula nella cella A7 deve essere ricopiata nelle celle inferiori.

3. Raccogli le statistiche di gioco. Per fare ciò, nell'area libera del foglio di calcolo, annota i risultati di 10-20 sessioni di gioco nel seguente modulo:

♦ Chi vince più spesso: il casinò o il giocatore?
♦ Quanti tiri in media devono essere effettuati prima della fine della partita? ESPERIMENTO 2. Simulare un gioco con diverse puntate Modificare l'importo della puntata per un tiro (4, 7 e 10 monete). Fare 20 rotoli. Il gioco può o non può finire in anticipo.

Gioca 10 sessioni di gioco per ogni scommessa.

Raccogli le statistiche di gioco. Per fare ciò, nell'area libera del foglio di calcolo, annota i risultati di 10 sessioni di gioco nel seguente modulo:

IV stadio. Analisi dei risultati della simulazione

Sulla base dell'area "Statistiche", trarre conclusioni sulla scommessa di una moneta; altre tariffe. Scegli e giustifica le tue tattiche di gioco (scommessa).