Determinare il tipo di equazione alle derivate parziali. Equazione alle derivate parziali

21.09.2019

In precedenza venivano considerate le equazioni differenziali ordinarie. Le loro decisioni dipendono da una sola variabile: ,
ecc. In molti problemi pratici, le funzioni cercate dipendono da diverse variabili e le equazioni che descrivono tali problemi possono contenere derivate parziali delle funzioni cercate. Si chiamano equazioni alle derivate parziali.

Ad esempio, molti problemi nella meccanica del continuo portano alla soluzione di equazioni alle derivate parziali. Qui le funzioni ricercate sono solitamente densità, temperatura, tensione, ecc., i cui argomenti sono le coordinate del punto considerato nello spazio, nonché il tempo.

La formulazione matematica completa del problema, insieme alle equazioni differenziali, contiene anche alcune condizioni aggiuntive. Se si cerca una soluzione in un'area limitata, allora vengono specificate le condizioni sul suo confine, chiamate condizioni al contorno (margine). Tali problemi sono chiamati problemi ai limiti per equazioni alle derivate parziali.

Se una delle variabili indipendenti nel problema in esame è il tempo T, quindi vengono impostate alcune condizioni (ad esempio, i valori dei parametri richiesti) nel momento iniziale , chiamate condizioni iniziali. Il problema che consiste nel risolvere un'equazione sotto date condizioni iniziali è chiamato problema di Cauchy per un'equazione alle derivate parziali. In questo caso il problema è risolto in uno spazio illimitato e non sono specificate le condizioni al contorno.

I problemi nella cui formulazione vengono fissate condizioni al contorno e iniziali sono chiamati problemi ai valori al contorno non stazionari (o misti). Le soluzioni risultanti cambiano nel tempo.

Pertanto, i modelli matematici di processi fisici e di altro tipo vengono descritti utilizzando equazioni alle derivate parziali. Gli argomenti delle funzioni di queste equazioni sono coordinate spaziali
E tempo .

Equazioni del primo ordine. Le equazioni del primo ordine sono anche chiamate equazioni di trasporto. Ciò è spiegato dal fatto che tali equazioni descrivono i processi di trasferimento delle particelle nei mezzi, propagazione dei disturbi, ecc.

La sua soluzione è interessante non solo dal punto di vista pratico; In misura ancora maggiore, questa equazione è utile nello sviluppo e nello studio degli schemi di differenza.

Assumeremo che la funzione richiesta dipende dal tempo e una variabile spaziale x. Quindi l'equazione del trasporto lineare può essere scritta come

Qui - velocità di trasferimento.

Equazioni del secondo ordine. Un'equazione alle derivate parziali lineari del secondo ordine è la relazione tra la funzione
O
e le sue derivate parziali della forma.

(1)

Se la variabile function dipende da E , allora l'equazione può essere scritta come segue:

(2)

Se
, allora le equazioni 1-2 si dicono omogenee, altrimenti disomogenee.

Se
, allora l'equazione (2) appartiene alla classe delle equazioni ellittiche;

Se
, allora questa è un'equazione iperbolica;

Se
- equazione parabolica.

Quando
non ha segno costante, si ottiene un'equazione di tipo misto.

Le equazioni ellittiche classiche includono:

L'equazione di Laplace
, che viene utilizzato per descrivere campi termici magnetici e stazionari;

Equazione di Poisson
, che viene utilizzato in elettrostatica, teoria dell'elasticità e altre scienze;

Equazione di Helmholtz
, descrivendo processi oscillatori costanti.

Operatore di Laplace:

nel caso unidimensionale
;

nel caso bidimensionale
;

nel caso tridimensionale
.

Tra le equazioni iperboliche possiamo distinguere:

Equazioni d'onda:

unidimensionale
, che descrive le vibrazioni forzate della corda;

bidimensionale
, che descrive le vibrazioni della membrana.

Equazione del telegrafo, che descrive il cambiamento di potenziale nelle linee elettriche. Qui
- coefficiente di autoinduzione, capacità, resistenza, caratteristiche di perdita per unità di lunghezza della linea.

Le equazioni paraboliche classiche includono l'equazione del calore
.

Per trovare una soluzione unica ad un'equazione alle derivate parziali, è necessario specificare le condizioni iniziali e al contorno. Le condizioni iniziali sono solitamente chiamate condizioni specificate nel momento iniziale . Le condizioni al contorno sono specificate per diversi valori delle variabili spaziali. Per le equazioni ellittiche vengono specificate solo le condizioni al contorno, che possono essere suddivise in tre classi:

Condizione di Dirichlet
- in questo caso, sul confine della regione Г in cui si cerca la soluzione, si specifica una certa funzione continua . Nel caso unidimensionale, questa condizione assume la forma:
E
Dove
- l'intervallo durante il quale si cerca una soluzione ad un problema unidimensionale;

Condizione di Neumann
- in questo caso, al confine della regione Ã si specifica la derivata direzionale normale esterno;

Condizione mista
.

Per le equazioni paraboliche, oltre alle condizioni al contorno, è necessario determinarne una iniziale, che può essere la seguente:
.

Nel caso delle equazioni iperboliche, le condizioni iniziali possono essere le seguenti
E
.

La soluzione di numerose equazioni alle derivate parziali può essere ottenuta analiticamente. Uno dei metodi più comunemente utilizzati è il metodo di separazione delle variabili (metodo di Fourier). Diamo uno sguardo più da vicino a questo metodo.

Sui metodi per la risoluzione delle equazioni alle derivate parziali.

È possibile eseguire la soluzione dei problemi più semplici per equazioni alle derivate parziali in numerosi casi metodi analitici, considerato nelle sezioni pertinenti della matematica. Ciò vale principalmente per alcune equazioni del primo ordine, ma anche per equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti. I metodi analitici sono utili non solo perché consentono di ottenere soluzioni generali che possono essere utilizzate ripetutamente. Sono inoltre di grande importanza per la costruzione di metodi numerici. Testare gli schemi alle differenze su soluzioni note delle equazioni più semplici consente di valutare questi schemi e scoprirne i punti di forza e di debolezza.

Tra metodi numerici I metodi di differenza sono ampiamente utilizzati. Si basano sull'introduzione di una certa griglia di differenza nella regione in esame. I valori delle derivate, delle condizioni iniziali e al contorno sono espressi attraverso i valori delle funzioni ai nodi della griglia, risultando in un sistema di equazioni algebriche chiamato schema delle differenze. Risolvendo questo sistema di equazioni, è possibile trovare i valori delle funzioni della griglia nei nodi della griglia, che sono considerati approssimativamente uguali ai valori delle funzioni cercate.

Si chiamano le equazioni date equazioni della fisica matematica. Molti problemi applicati si riducono a risolverli. Prima di passare alla discussione dei metodi numerici per la risoluzione di queste equazioni, consideriamo le principali questioni relative alla costruzione di schemi alle differenze.

2. Introduzione ai metodi della griglia, concetti di griglia, template, layer.

Sulla costruzione degli schemi differenziali. Come già notato, la costruzione di schemi alle differenze per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali si basa sull'introduzione di una griglia nello spazio considerato. I nodi della griglia sono punti di progettazione.

Un esempio di una semplice area rettangolare G(x, y) con confine Ã nel caso bidimensionale è mostrato in Fig. 1, UN. Lati di un rettangolo
,
sono divisi in segmenti elementari per punti
,
E
,
. Attraverso questi punti vengono tracciate due famiglie di linee coordinate
,
formando una griglia con una cella rettangolare. Qualsiasi nodo di questa griglia il cui numero (
), determinato dalle coordinate (
).

UNB

Riso. 1. Maglia rettangolare ( UN), elemento mesh 3D ( B)

Nodi della griglia che giacciono sul confine della regione G G, sono detti nodi al contorno. Tutti gli altri nodi sono interni.

Le mesh per aree multidimensionali vengono introdotte in modo simile. Nella fig. 1, B mostra un elemento di mesh a forma di parallelepipedo rettangolare per una regione tridimensionale.

Campione– combinazione di nodi utilizzati

Poiché le condizioni iniziali e al contorno nell'impostazione dei problemi sono formulate al confine del dominio computazionale, possono essere considerate specificate ai nodi al contorno della griglia. A volte i punti di confine di un'area non sono nodi mesh, come nel caso delle aree di forma complessa. Quindi vengono introdotti ulteriori nodi all'intersezione delle linee di coordinate con il confine, oppure il confine viene approssimativamente sostituito da una linea spezzata che passa attraverso i nodi vicini al confine. Le condizioni al contorno vengono trasferite su questa linea spezzata.

In numerosi casi, regioni curvilinee complesse possono essere ridotte alla loro forma più semplice passando a nuove variabili indipendenti. Ad esempio, un'area quadrangolare G, mostrato in Fig. 2, può essere ridotto ad un quadrato unitario G" introducendo nuove variabili £, q invece di #, y utilizzando le relazioni

È necessario trasformare le equazioni, così come le condizioni iniziali e al contorno, nelle nuove variabili. In zona G" puoi inserire una mesh rettangolare, mentre sei nell'area G corrisponderà a una griglia con nodi distanziati in modo irregolare e celle curve,

In futuro, nella costruzione degli schemi alle differenze, utilizzeremo per semplicità griglie rettangolari (o con celle a forma di parallelepipedi rettangolari nel caso tridimensionale), e scriveremo le equazioni in coordinate cartesiane (
). In pratica è necessario risolvere problemi in diversi sistemi di coordinate curvilinee: polari, cilindriche, sferiche, ecc. Ad esempio, se è conveniente definire l'area di calcolo in coordinate polari (
), quindi la griglia viene introdotta gradualmente
E
secondo il raggio vettore e l'angolo polare.

A volte viene introdotta una mesh non uniforme in un dominio computazionale semplice. In particolare, in alcuni casi è necessario affinare i nodi per calcoli più accurati in alcune parti della regione in esame. In questo caso, le aree di concentrazione dei nodi sono note in anticipo oppure vengono determinate durante il processo di risoluzione del problema (ad esempio, in base ai gradienti delle funzioni ricercate).

Per costruire uno schema alle differenze, come nel caso delle equazioni differenziali ordinarie, le derivate parziali nell'equazione vengono sostituite da relazioni alle differenze finite secondo un determinato modello (vedi Capitolo 3, § 1). In questo caso, i valori esatti della funzione cercata U vengono sostituiti dai valori della funzione griglia nei nodi della griglia differenza.

Ad esempio, costruiremo alcuni schemi di differenza per risolvere l'equazione del calore per date condizioni iniziali e al contorno. Scriviamo il problema dei valori al contorno misti nella forma

,(6)

Dove
- distribuzione iniziale della temperatura U(A T= 0);
- distribuzione della temperatura alle estremità del tratto in esame ( X= 0, 1) in qualsiasi momento T. Si noti che le condizioni iniziali e al contorno devono essere coerenti, cioè.

Introduciamo una griglia rettangolare uniforme utilizzando le linee di coordinate
,
E
,
,E - rispettivamente, la griglia avanza nelle direzioni X E T. Indichiamo i valori della funzione nei nodi della griglia
. Sostituiremo questi valori con i valori corrispondenti della funzione griglia che soddisfano lo schema di differenza.

Sostituendo le derivate parziali della funzione desiderata nell'equazione originale (6) utilizzando le relazioni alle differenze finite, otteniamo uno schema di differenza

(7)

Nella registrazione di questo diagramma, per ciascun nodo viene utilizzato il modello mostrato in Fig. 1. 2, UN.

Per la stessa equazione è possibile costruire diversi schemi di differenza. In particolare, se si utilizza il modello mostrato in Fig. 2, B, allora invece di (7) otteniamo lo schema delle differenze

(8)

In entrambi i casi si ottiene un sistema di equazioni algebriche per determinare i valori della funzione griglia ai nodi interni. I valori ai nodi al contorno si trovano dalle condizioni al contorno

Un insieme di nodi a T= const, cioè per un valore fisso , chiamato strato. Lo schema (7) consente di trovare i valori in sequenza
,
SU
strato attraverso i valori corrispondenti SU th strato. Tali schemi sono chiamati ovvio.

Per iniziare a contare J= 1, è necessaria una soluzione sullo strato iniziale. È determinato dalla condizione iniziale

Contrariamente allo schema esplicito, ciascuna equazione alle differenze (8) contiene su ogni nuovo strato i valori delle incognite in tre punti, quindi è impossibile determinare immediatamente questi valori attraverso la soluzione nota sullo strato precedente. Tali schemi sono chiamati implicito. In questo caso, lo schema delle differenze (8) consiste in equazioni lineari a tre punti, ovvero ciascuna equazione contiene una funzione sconosciuta in tre punti di un dato strato. Tali sistemi di equazioni lineari con una matrice tridiagonale possono essere risolti con il metodo di scansione, in seguito al quale verranno trovati i valori della funzione griglia nei nodi.

Si noti che nell'esempio considerato otteniamo circuiti a due strati, quando ciascuna equazione alle differenze include i valori di una funzione da due strati: quello inferiore, su cui è già stata trovata la soluzione, e quello superiore, nei nodi di cui si cerca la soluzione.

Utilizzando il metodo considerato per costruire schemi di differenza, quando le singole derivate parziali incluse nell'equazione vengono sostituite da relazioni di differenza finita per la funzione griglia (o espressioni griglia), è possibile creare schemi multistrato, nonché schemi di elevato ordine di precisione creato.

L'equazione di Laplace. Molti problemi fisici stazionari (studi di potenziali flussi di fluidi, determinazione della forma di una membrana caricata, problemi di conduttività termica e diffusione in casi stazionari, ecc.) si riducono alla risoluzione dell'equazione Poisson Tipo

Se
, allora questa equazione è chiamata equazione Laplace. Per semplicità considereremo l’equazione di Laplace bidimensionale

Cercheremo una soluzione a questa equazione per una certa area limitata G cambiamenti nelle variabili indipendenti x, y. Confine regionale Gè una linea chiusa l. Per formulare completamente il problema dei valori al contorno, oltre all'equazione di Laplace, è necessario specificare una condizione al contorno sul confine l. Prendiamolo nella forma

Il problema che consiste nel risolvere l'equazione di Laplace (o Poisson) per dati valori della funzione desiderata al confine del dominio computazionale si chiama Problema di Dirichlet.

Uno dei modi per risolvere problemi ellittici stazionari, compresi i problemi ai limiti, è ridurli alla soluzione di qualche problema fittizio non stazionario (iperbolico o parabolico), la cui soluzione si trova per valori sufficientemente grandi T vicino alla soluzione del problema originario. Questa soluzione si chiama metodo di costituzione.

Perché la soluzione U(x,y) della nostra equazione (2) non dipende dal tempo, allora possiamo aggiungere a questa equazione il termine uguale a zero (per una soluzione esatta) . Quindi l'equazione (2) assumerà la forma

Questa è l'equazione di conduzione del calore a noi nota, per la quale sono già stati costruiti schemi di differenza. Non resta che impostare la condizione iniziale. Può essere assunto in forma quasi arbitraria, coerente con le condizioni al contorno. Mettiamo

La condizione al contorno (3) rimane stazionaria, cioè indipendente dal tempo.

Il processo di soluzione numerica dell'equazione (4) con le condizioni (3), (5) consiste nella transizione a
da un valore arbitrario (5) alla soluzione stazionaria desiderata. Il conteggio viene effettuato fino a quando la soluzione raggiunge una modalità stazionaria. Naturalmente ci limitiamo a risolverne alcuni sufficientemente grandi , se i valori richiesti su due strati successivi coincidono con un dato grado di precisione.

Il metodo di stabilimento rappresenta in realtà un processo iterativo di risoluzione del problema, e ad ogni iterazione si ottengono i valori della funzione desiderata risolvendo numericamente qualche problema ausiliario.

Per risolvere il problema di Dirichlet, puoi anche costruire uno schema alle differenze approssimando l'equazione (2). Introduciamo una griglia nella regione rettangolare G utilizzando le linee coordinate X= cost e y = cost. Per semplicità, accettiamo i valori dei passaggi nelle variabili X E A pari H(si assume che i lati della regione G siano commisurati). Valori di funzione U nei nodi
sostituire con i valori della funzione griglia . Quindi, approssimando le derivate seconde nell'equazione (2) utilizzando le relazioni alle differenze finite, otteniamo un'equazione alle differenze (il modello è mostrato in figura):

(6)

Questa equazione può essere rappresentata come un sistema di equazioni algebriche lineari riguardanti i valori della funzione griglia ai nodi. Questo sistema può essere scritto nella forma

I valori della funzione griglia nei nodi situati al confine del dominio computazionale possono essere trovati dalla condizione al contorno (3):

Nella teoria degli schemi di differenza, è dimostrato che esiste una soluzione al problema della differenza costruita e che lo schema stesso è stabile.

Ciascuna equazione del sistema (7) (ad eccezione di quelle che corrispondono ai nodi situati vicino ai confini) contiene cinque incognite. Uno dei metodi più comuni per risolvere questo sistema di equazioni lineari è il metodo iterativo. Scriviamo ciascuna delle equazioni nella forma consentita rispetto al valore nel nodo centrale (vedi figura):

Il processo di iterazione è controllato dalla deviazione massima M dei valori della funzione griglia ai nodi per due iterazioni successive. Se il suo valore raggiunge un dato piccolo numero , le iterazioni si fermano.

Risoluzione dell'equazione di Laplace in Mathcad. Mathcad fornisce funzioni integrate per la risoluzione delle equazioni di Laplace e Poisson relax E multigriglia .

3. Risoluzione di equazioni alle derivate parziali utilizzando il metodo delle differenze finite.

4. Risoluzione di equazioni ellittiche, paraboliche e iperboliche.

5. Problemi non stazionari.

6. Costruzione di schemi alle differenze esplicite ed implicite per l'equazione del calore unidimensionale.

7. Problemi di approssimazione, stabilità e convergenza.

8. Metodo di esecuzione.

9. Approssimazione di equazioni alle derivate parziali mediante un sistema di equazioni differenziali ordinarie (metodo diretto).

10. Problemi stazionari, schemi differenziali, calcolo per stabilimento.

11. Metodi delle differenze variazionali.

12. Metodo degli elementi finiti.

Sia X 1 , X 2 , ..., X n- date funzioni di variabili x 1 , x 2 , ..., x n.

Per risolvere un'equazione alle derivate parziali del primo ordine lineare omogenea:

è necessario risolvere un sistema di equazioni differenziali ordinarie (equazione caratteristica):
:
Successivamente è necessario presentare la soluzione nel modulo:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C 1,
φ 2 (x 1, x 2, ..., x n) = C 2,
..................
φ n- 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C n-1,
dove C k sono costanti.
Quindi otteniamo immediatamente la soluzione generale:
,
dove F è una funzione arbitraria di n - 1 argomenti.

Se devi ottenere una soluzione particolare con determinate condizioni al contorno, devi sostituire i valori delle variabili delle condizioni al contorno nella soluzione generale e trovare la forma della funzione F.

Equazioni differenziali alle derivate parziali disomogenee lineari del primo ordine

Sia X 1 , X 2 , ..., X n+1- date funzioni di variabili x 1 , x 2 , ..., x n e z.

Per risolvere un'equazione alle derivate parziali del primo ordine lineare e disomogenea:
,
è necessario risolvere l’equazione delle caratteristiche:
.
La soluzione a questo sistema dovrebbe essere presentata nella seguente forma:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C 1,
φ 2 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C 2,
..................
φn (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C n.
Dopodiché otteniamo subito l’integrale generale in forma implicita:

dove F è una funzione arbitraria. L'integrale generale può anche essere rappresentato in vari modi, ad esempio:
φ 1 = F(φ2, φ3, ..., φn),
φ 2 = F(φ 1, φ 3, ..., φ n),
eccetera.

Esempi di soluzioni di equazioni alle derivate parziali lineari del primo ordine

Equazione omogenea

L'obiettivo

Trova una soluzione generale a un'equazione differenziale parziale lineare omogenea del primo ordine e risolvi il problema di Cauchy con la condizione al contorno specificata:
,
A .

Soluzione

Questa è un'equazione differenziale parziale omogenea lineare del primo ordine. Creiamo un'equazione delle caratteristiche:

Questa equazione delle caratteristiche contiene tre equazioni:
;
;
.
Dobbiamo sceglierne e risolverne due qualsiasi. Quindi il terzo verrà eseguito automaticamente.

Selezioniamo e risolviamo la prima equazione:

Qui le variabili sono già separate, integriamo:

Integrali di tabella,

Potenziamo:

Da qui

O:

fattore integrativo. Moltiplica per x -1 e converti:

Integriamo:

Sostituiamo l'espressione precedentemente ottenuta C 1 = x y 2:

La soluzione generale dell'equazione differenziale parziale originale è:

dove F è una funzione arbitraria di due argomenti F(φ 1, φ 2). Troviamo la sua forma dalla condizione al contorno
A .

Consideriamo una soluzione al confine.
Poniamo x y = -1 :

Da qui

Sul bordo
.

F (φ 1, φ 2) = φ 1 φ 2.
Ha lo stesso aspetto in tutta la regione.
Sostituendo
;
,
otteniamo una soluzione particolare all'equazione alle derivate parziali originale con una data condizione al contorno:

Risposta

Decisione comune:

dove F è una funzione arbitraria di due argomenti F (φ1, φ2).

Soluzione privata:

Equazione disomogenea

L'obiettivo

Trova una superficie che soddisfi questa equazione
,
e passante per una circonferenza data x + y + z = 0, x 2 + y2 + z2 = a2.

Soluzione

Questa è un'equazione alle derivate parziali lineare e disomogenea del primo ordine. Creiamo un'equazione delle caratteristiche:

Contiene tre equazioni:
;
;
.
Dobbiamo sceglierne e risolverne due qualsiasi. Allora il terzo sarà soddisfatto automaticamente. Selezioniamo la prima e la seconda equazione.

Risolviamo l'equazione:

Moltiplicare per 2 z e integrare:

Integrali di tabella,

Potenziamo:

Da qui
x = C 1 anno

Sostituiamo nella seconda equazione:

O:

Lo notiamo, quindi

Questa è un'equazione lineare. Risolviamo utilizzando il fattore di integrazione. Dividere per y 2 e trasformare:

Integriamo:

Sostituiamo l'espressione ottenuta in precedenza e trasformiamo:

Quindi, abbiamo trovato due integrali dell'equazione delle caratteristiche:

Per comodità di ulteriori calcoli, notare che anche la funzione di una costante è costante. Pertanto scriviamo gli integrali nella forma:

L'integrale generale dell'equazione alle derivate parziali originale ha la forma:
F (φ1, φ2) = 0
Ma poiché F è una funzione arbitraria di due argomenti, l’integrale generale può anche essere scritto nella forma:
φ 1 = F(φ2),
dove F è una funzione arbitraria di un argomento.

Troviamo la forma di questa funzione, considerando una soluzione alla frontiera.
Al confine, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Dall'equazione x + y + z = 0, z = - (x+y). Sostituisci in x 2 + y 2 + z 2 = a 2 e trasforma:
x2+y2+ (x + y) 2 = a 2
x2 + y2 + x2 + 2xy + y2 = a2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = a 2
Dividendo per y 2, abbiamo

Quindi, abbiamo scoperto che al confine:

.
Sostituiamo nell'espressione dell'integrale generale:
φ 1 = F(φ2)
.
Facciamo una sostituzione
:
.

Quindi, abbiamo trovato che al confine la funzione F ha la forma:
.
Ha quindi lo stesso aspetto in tutta la regione
.
Sostituiamo le espressioni per φ 1 e φ 2:

.
Moltiplichiamo per a 2 y 2.

In quanto segue, supporremo che il lettore abbia già familiarità con le basi della teoria delle equazioni differenziali ordinarie, cioè le equazioni che collegano una funzione sconosciuta di una variabile indipendente, le sue derivate e la variabile indipendente stessa. Forniremo solo le informazioni più elementari.

Un'equazione differenziale del primo ordine della forma ha un numero infinito di soluzioni determinate da una formula contenente una costante arbitraria: . Allo stesso modo, la soluzione generale di un'equazione differenziale del secondo ordine contiene due costanti arbitrarie: L'isolamento di una soluzione particolare può essere fatto specificando le condizioni iniziali, che per un'equazione del secondo ordine di solito hanno la forma Sostituendo questi valori nella soluzione generale e nella sua derivata, otteniamo due equazioni per trovare costanti arbitrarie Q e C. Se il lato destro dell'equazione - la funzione - è continuo in un certo intorno di valori e ha derivate parziali continue lì, allora esiste un parziale unico soluzione che soddisfa le condizioni iniziali date (teorema di esistenza e unicità della soluzione).

In futuro, le equazioni differenziali lineari del secondo ordine si incontreranno particolarmente spesso.

Per un'equazione omogenea

la soluzione generale è una combinazione lineare delle sue due particolari

soluzioni solo se queste soluzioni sono linearmente indipendenti (cioè dove k è una costante):

Soluzione generale dell'equazione disomogenea

è la somma di una sua soluzione particolare e della soluzione generale della corrispondente equazione omogenea.

Questo libro studierà le equazioni alle derivate parziali, cioè le equazioni che coinvolgono una funzione sconosciuta di più variabili e le sue derivate parziali. Di solito si ha a che fare con equazioni per funzioni di due o tre variabili indipendenti. Ecco alcuni esempi di tali equazioni - variabili indipendenti, u - funzione sconosciuta):

La prima riga contiene equazioni contenenti solo derivate parziali del primo ordine. Tali equazioni sono chiamate equazioni del primo ordine. Di conseguenza, le equazioni scritte nella seconda riga sono esempi di equazioni del secondo ordine.

Non ci prefiggiamo affatto il compito di studiare metodi per risolvere le equazioni alle derivate parziali in generale. Considereremo solo quelle specifiche equazioni (e nemmeno tutte) che sono essenziali per la fisica, la meccanica e la tecnologia. Sono queste equazioni che sono chiamate equazioni differenziali della fisica matematica.

Innanzitutto, senza dimostrazione, conosceremo le proprietà più semplici delle equazioni alle derivate parziali; Assumeremo che la funzione sconosciuta i dipenda da due variabili xey.

Prendiamo l'equazione

È chiaro che la funzione desiderata non dipende dalla variabile ma può essere una qualsiasi funzione di y.

Infatti differenziando la funzione rispetto a otteniamo zero, il che significa che l'uguaglianza (1) è soddisfatta. Di conseguenza, la soluzione (2) dell'equazione (1) contiene una funzione arbitraria. Questa è la differenza fondamentale tra la soluzione di un'equazione differenziale parziale del primo ordine e la soluzione generale di un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine, che contiene solo una costante arbitraria. Per analogia, una soluzione (2) contenente una funzione arbitraria sarà chiamata soluzione generale dell'equazione (1).

Consideriamo un'equazione più complessa

dove è la funzione data. Tutte le funzioni che soddisfano l'equazione (3) hanno la forma

dove è una funzione arbitraria di Questo può essere verificato differenziando entrambi i membri dell'uguaglianza (4) ma y. La soluzione trovata dell'equazione (3) dipende da una funzione arbitraria, cioè è generale.

È facile verificare che l'equazione ha una soluzione generale , dove è una funzione differenziabile arbitraria.

Per questo ricordiamo la regola per differenziare una funzione complessa di più variabili (vedi paragrafo 116). Se , dove sono le funzioni delle variabili allora

Formule simili valgono per le derivate rispetto a: in questo caso il numero di argomenti intermedi, così come il numero di variabili indipendenti, può essere qualsiasi.

Nel nostro esempio, dove . Ecco perché

Sostituendo queste espressioni nell'equazione, otteniamo l'identità

Allo stesso modo, si può verificare che l'equazione ha una soluzione generale, e che l'equazione ha una soluzione generale, dove è una funzione differenziabile arbitraria.

Consideriamo ora le equazioni del secondo ordine. Permettere

Mettiamo allora che l'equazione (5) assumerà la forma . La soluzione generale dell'equazione sarà una funzione arbitraria. Ritornando alla funzione e, otteniamo nuovamente un'equazione del primo ordine

Secondo la (4), la sua soluzione generale sarà la funzione

Poiché è una funzione arbitraria di y, anche il suo integrale è una funzione arbitraria, che indichiamo con . Di conseguenza, abbiamo ricevuto una soluzione nel modulo

dove sono funzioni differenziabili arbitrarie. È facile verificare che la funzione (6) soddisfa realmente l'equazione (5).

Finora non ci siamo ancora posti il problema di trovare soluzioni particolari. Successivamente verrà chiarito quali condizioni aggiuntive devono essere poste affinché con il loro aiuto sia possibile isolare una soluzione particolare, cioè una funzione che soddisfi sia l'equazione differenziale che le condizioni aggiuntive.

Si scopre che le equazioni differenziali della fisica matematica, che studieremo in futuro, hanno molto in comune tra loro: sono tutte del secondo ordine e lineari rispetto alla funzione sconosciuta e alle sue derivate parziali.

Molto spesso, tutti i coefficienti di una funzione e le sue derivate sono numeri costanti. La forma generale di tali equazioni per la funzione u, dipendente da due variabili x e y, è la seguente:

dove A, B, C, D, E e F sono numeri costanti e il lato destro è una funzione data delle variabili x e y.

Si noti che la natura e il comportamento delle soluzioni di questa equazione dipendono in modo significativo dai suoi coefficienti. Ne parleremo in conclusione, dopo aver conosciuto le equazioni più semplici del tipo (7) e i metodi per risolverle 1).

Equazioni alle derivate parziali del secondo ordine Lezione n. 3-4

Soggetto : Equazioni alle derivate parziali del secondo ordine.

Domande:

1. Forma generale di un'equazione del secondo ordine. Equazioni alle derivate parziali lineari del secondo ordine. Equazioni lineari omogenee e lineari disomogenee.

2. Proprietà delle soluzioni di equazioni lineari omogenee e lineari disomogenee.

3. Classificazione delle equazioni differenziali del secondo ordine.

4. Riduzione di un'equazione lineare alla forma canonica: tipo iperbolico, tipo parabolico e tipo ellittico.

5. Esposizione dei principali problemi per equazioni differenziali lineari del secondo ordine.

Equazione della forma

è un'equazione differenziale del secondo ordine con la funzione desiderata z da due variabili X E A.

Le equazioni della fisica matematica, a differenza delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine di forma generale (3.1), lo sono lineare, cioè. dipendono linearmente dalla funzione desiderata e dalle sue derivate parziali. Ad esempio, nel caso di due variabili indipendenti hanno la forma

L'equazione (3.2) si dice omogenea se
. Se
, allora l'equazione (3.2) si dice disomogenea.

Indichiamo il lato sinistro dell'equazione (3.2) con
, allora la (3.2) può essere scritta come:

. (3.3)

La corrispondente equazione omogenea assume la forma

. (3.4)

- operatore differenziale lineare. Controlla tu stesso le proprietà di linearità dell'operatore
.

Dalle proprietà di linearità dell'operatore
Seguono direttamente le seguenti affermazioni:

Teorema 3.1. Se
è la soluzione dell'equazione lineare omogenea (3.4), quindi la funzione
è anche una soluzione dell'equazione (3.4), dove CON– costante arbitraria.

Teorema 3.2. Se
E
- soluzioni dell'equazione lineare omogenea (3.4), quindi la somma
+

Conseguenza. Combinazione lineare a coefficienti costanti arbitrari K soluzioni dell'equazione (3.4)
è anche una soluzione a questa equazione.

A differenza delle equazioni differenziali omogenee lineari ordinarie, che hanno un numero finito di soluzioni parziali linearmente indipendenti, la cui combinazione lineare dà la soluzione generale di questa equazione, le equazioni differenziali parziali possono avere un numero infinito di soluzioni parziali linearmente indipendenti.

Per esempio. L'equazione

ha una soluzione generale
, quindi le sue soluzioni saranno, ad esempio, le funzioni
.

Per un lineare disomogeneo

. (3.5)

equazioni, sono vere le seguenti affermazioni:

Teorema 3.3. Se
è la soluzione dell'equazione lineare disomogenea (3.5), e
- soluzione della corrispondente equazione omogenea (3.4), somma
`e anche una soluzione dell’equazione disomogenea (3.5).

Teorema 3.4. Se
- soluzione dell'equazione
, UN
- soluzioni dell'equazione
, quindi la somma
+
è una soluzione dell'equazione
.

Consideriamo classificazione equazioni differenziali del secondo ordine a due variabili indipendenti.

Definizione. Equazione differenziale lineare del secondo ordine (3.2) in qualche dominio
in superficie xOy chiamato

La più semplice delle equazioni di tipo iperbolico è l'equazione delle onde

Si verifica in problemi legati ai processi oscillatori.

La più semplice delle equazioni di tipo ellittico è l'equazione di Laplace

Si arriva all'integrazione di questa equazione quando si studiano i processi stazionari.

L’equazione più semplice di tipo parabolico è l’equazione del calore (equazione di Fourier)

Si incontra spesso quando si studiano i processi di conduttività termica e diffusione.

Successivamente esamineremo queste equazioni in modo più dettagliato.

Il corso di fisica matematica studia anche l'equazione delle onde, l'equazione di Laplace e l'equazione di Fourier in forma più generale:

,
,

,
.

Riduciamo l'equazione (3.2) alla forma canonica in un intorno sufficientemente piccolo di qualsiasi punto in cui questa equazione è data. Supponiamo che i coefficienti UN, IN E CON nell'equazione (3.2) appartengono alla classe
in qualche quartiere e da nessuna parte svaniscono contemporaneamente. Per certezza, possiamo presumerlo
in queste vicinanze. Infatti, altrimenti potrebbe risultare così
, ma poi scambiandosi di posto X E A, otteniamo un'equazione per la quale
. Se UN E CON contemporaneamente svaniscono ad un certo punto, quindi
in prossimità di questo punto. In questo caso, dopo aver diviso per 2 IN l’equazione (3.2) avrà già la forma canonica:

Passiamo ora alle nuove variabili

,

,
, (3.6)

Pertanto, l'equazione (3.2) assumerà la forma

Richiediamo che le funzioni
E
impostare i coefficienti a zero
E
, cioè. soddisfatto le equazioni:

Perché
, allora queste equazioni sono equivalenti alle equazioni lineari

,
, (3.7)

Dove
,
,
.

Come abbiamo notato, a seconda Sono possibili tre tipi di equazioni. Consideriamo separatamente questi tre casi.

In questo caso, l’equazione (3.2) è ridotta alla forma canonica:

. (3.8)

Sostituzione delle variabili
,
porta l’equazione (3.2) ad un’altra forma canonica equivalente:

. (3.9)

Per dimostrare la rappresentazione (3.8), mostriamo che esiste almeno una coppia di soluzioni E equazioni (3.7) che soddisfano le condizioni (3.6). Stabiliamo innanzitutto la connessione tra queste soluzioni e le caratteristiche dell'equazione (3.2).

Supponiamo che esistano soluzioni delle equazioni (3.7) tali che
,
nell'intorno in esame, poi le curve

definire due famiglie di caratteristiche dell'equazione (3.2). Dimostriamo ora la seguente affermazione ausiliaria.

Lemma. Lasciamo la funzione
tale che
. In ordine per una famiglia di curve
determinate le caratteristiche dell'equazione (3.2), è necessario e sufficiente che l'espressione
era l'integrale generale di una delle equazioni differenziali ordinarie

,
. (3.10)

Vengono chiamate le equazioni (3.10). equazioni differenziali delle caratteristiche equazione (3.2).

Prova. 1. Dimostriamo la necessità. Permettere
- famiglia di caratteristiche dell'equazione (3.2). Dalla condizione
ne consegue che questa famiglia riempie un certo quartiere D, per ogni punto di cui passa una ed una sola caratteristica. Permettere
. Allora, se nella trasformazione (3.6) prendiamo, ad esempio,
, quindi in questo intorno la funzione
soddisferà l'equazione

Poiché per ogni caratteristica vale la relazione

,
,

allora perché
, noi abbiamo

, O
,

quelli.
è l'integrale generale della prima delle equazioni (3.10). La necessità è stata dimostrata.

2. Dimostriamo la sufficienza. Permettere
è l'integrale generale di una delle equazioni (3.10), ad esempio la prima. Per definizione, ciò significa che se la funzione
è una soluzione a questa equazione, quindi

quindi, differenziando l'ultima identità rispetto a X, avrà

e quindi su ogni riga
la relazione vale

. (3.11)

Ma secondo il teorema di esistenza e unicità di una soluzione per le equazioni differenziali ordinarie, per ogni punto dell'intorno considerato passa una curva integrale
questa equazione. Pertanto l'equazione (3.11) è soddisfatta in tutti i punti dell'intorno considerato. E poiché per condizione
,
, poi le curve
sono caratteristiche dell'equazione (3.2). Il lemma è dimostrato.

Sulla base del lemma dimostrato, gli integrali generali delle equazioni (3.10):

, E

tale che
,
,
, definire due famiglie di caratteristiche dell'equazione (3.2). Inoltre, da allora
, Poi
, E

T Quindi, famiglie di caratteristiche
,
formare famiglie di linee e funzioni coordinate
E
possono essere assunte come nuove variabili. Inoltre, nell'equazione (*) i coefficienti
E
sarà uguale a zero e

Pertanto, dividendo l'equazione (*) per 2
, otteniamo l'equazione in forma canonica (3.8).

L'equazione (3.2) è ridotta alla forma canonica

Da quando in qualche quartiere
, Quello
, quindi le equazioni differenziali (3.7) coincidono e sono uguali

Di conseguenza, abbiamo ricevuto una famiglia di caratteristiche
equazione (3.2), determinata dal lemma, dall'integrale generale dell'equazione

affinché
E
. Per la seconda famiglia di linee coordinate scegliamo le linee rette
. Di conseguenza, il cambiamento delle variabili

,
,

, ,
.

Dividendo l'equazione (*) per il coefficiente
, otteniamo l'equazione in forma canonica.

Se le probabilità UN, IN E CON nell'equazione (3.2) ci sono funzioni analitiche nell'intorno di un certo punto. Quindi questa equazione viene ridotta alla forma canonica

In questo caso, i coefficienti E le equazioni (3.7) sono funzioni analitiche e reali
:
. Dal teorema di Kovalevskaya segue che in un intorno sufficientemente piccolo esiste una soluzione analitica
equazioni

soddisfacendo la condizione
. Mettiamo ora

,
, (3.12)

Dove
- una funzione complessamente associata a
. Funzione
soddisfa la seconda equazione della (3.7):

poiché funzione
soddisfa la prima equazione della (3.7), cioè

Poiché le funzioni
E
analitico, quindi
e il loro Jacobiano

Quindi le funzioni
E
possono essere assunte come nuove variabili. Per costruzione la funzione
soddisfa l'equazione

Isoliamo la parte reale e quella immaginaria e passando a nuove variabili utilizzando le formule (3.12), otteniamo

Tenendo conto delle formule per i coefficienti
lo capiamo
E
nelle variabili
E
. Successivamente, perché
E
, Quello
. Dividendo l'equazione (*) per
, portiamolo in forma canonica

Esposizione dei principali problemi per equazioni differenziali lineari del secondo ordine.

Per descrivere completamente un particolare processo fisico, è necessario, oltre all'equazione stessa che descrive questo processo, specificare lo stato iniziale di questo processo (condizioni iniziali) e il regime al confine di quella regione
, in cui avviene questo processo (condizioni al contorno). Ciò è dovuto alla non unicità della soluzione delle equazioni differenziali. Ad esempio, per le equazioni alle derivate parziali, la soluzione dipende da funzioni arbitrarie. Pertanto, per selezionare una soluzione che descriva un processo fisico reale, è necessario impostare condizioni aggiuntive. Tali condizioni aggiuntive sono le condizioni al contorno (condizioni iniziali e al contorno). Viene richiamata l'attività corrispondente problema dei valori limite.

Esistono tre tipi principali di problemi ai limiti per le equazioni differenziali:

I problemi di meccanica del continuo sono descritti da sistemi di equazioni alle derivate parziali, per i quali vengono fissate le condizioni al contorno e iniziali - vengono formulati problemi ai valori al contorno. Anche per equazioni molto simili nella forma, le proprietà della soluzione possono differire in modo significativo. Pertanto, particolare attenzione nella teoria delle equazioni alle derivate parziali viene data alla classificazione, combinandole in tipi o classi, all'interno delle quali le proprietà della soluzione e le caratteristiche della formulazione dei problemi ai limiti sono simili.

Consideriamo la classificazione usando l'esempio di un'equazione del secondo ordine con due variabili indipendenti. Equazioni di questo tipo iniziarono ad essere studiate nella descrizione matematica di una serie di problemi fisici, e questo ramo della matematica cominciò ad essere chiamato fisica matematica, ed equazioni alle derivate parziali lineari del secondo ordine - equazioni della fisica matematica. Si noti che solo in casi particolari i problemi di moto dei gas o dei liquidi o di conduzione del calore si riducono ad un'equazione di questo tipo. Tuttavia, anche questo semplice esempio rivela quasi tutte le caratteristiche inerenti a problemi più complessi.

Consideriamo quindi un'equazione alle derivate parziali del secondo ordine (l'ordine dell'equazione differenziale è determinato dall'ordine della derivata più alta inclusa in essa) con due variabili indipendenti:

Se UN,IN, CON - solo funzioni X E sì, a / è una funzione lineare dei suoi argomenti E,di/dh , Hai tu , allora l'equazione (1.1) è lineare. Per le equazioni lineari sono state sviluppate teorie matematiche che consentono sia di trarre conclusioni qualitative generali sulla soluzione sia di costruire metodi di soluzione. In molti casi pratici, un sistema giustificato di ipotesi e ipotesi consente di ridurre un modello matematico di un processo a un sistema lineare o un'equazione lineare. In particolare, un'equazione lineare della forma (1.1) descrive il flusso potenziale di un fluido, un campo di temperatura bidimensionale stazionario, la propagazione delle onde in un mezzo elastico e molti altri problemi fisici, ed è stato studiato nei minimi dettagli. Ma nella maggior parte dei casi, i problemi pratici sono descritti da equazioni non lineari, la cui teoria generale non è stata ancora stato creato.

Se la non linearità dell'equazione consiste solo nel fatto che i coefficienti A, B, C dipendono da una soluzione sconosciuta E e (o) le sue derivate inferiori (in questo caso, le derivate prime), allora tale nonlinearità localmente non influenza troppo la soluzione rispetto al caso lineare. Vengono chiamate equazioni con non linearità di questo tipo quasilineare. Spesso, per analizzare equazioni quasilineari, si utilizza il metodo del “congelamento” dei coefficienti, che riduce il problema al caso lineare. Questo approccio viene utilizzato sia per l'analisi qualitativa della soluzione che per la costruzione di algoritmi di soluzione numerica. Si noti che i problemi di aerogasdinamica sono descritti da un sistema di equazioni quasilineari.

L'equazione (1.1) può essere ridotta ad un sistema equivalente di equazioni differenziali del primo ordine. Per fare ciò, introduciamo la notazione per le derivate prime della funzione desiderata rispetto a variabili indipendenti R = di/dh E q = di/du e scrivi l'equazione in questione usando queste notazioni. Di conseguenza, arriviamo a un sistema di tre equazioni del primo ordine per tre funzioni incognite μ, R E Q:

Si noti che l'azione inversa (ridurre un sistema di equazioni del primo ordine a un'unica equazione) non è sempre fattibile.

Uno dei concetti più importanti nella teoria delle equazioni alle derivate parziali è il concetto di caratteristiche. Apparve per la prima volta nei lavori di G. Monge durante lo studio delle equazioni che descrivono la forma delle superfici.

Riso. 1.1.

Per semplificare i calcoli successivi, introduciamo la seguente notazione per le derivate seconde della funzione E :

Definiamo ora il problema di Cauchy per un'equazione del secondo ordine. Lasciati in linea A = y(x) vengono forniti i valori della funzione desiderata e le sue derivate prime:

Dove UN - coordinata naturale della curva. Poniamo ora il seguente problema: è possibile, conoscendo i valori della funzione e le sue derivate prime sulla curva y(x), impostare i valori della funzione nei punti adiacenti a questa curva? L'attività viene chiamata Problema di Cauchy per l'equazione (1.1).

Per ottenere una soluzione nel punto A/ adiacente alla curva, è possibile utilizzare lo sviluppo in serie della soluzione attorno ad un certo punto O giacente sulla curva per specificare i dati iniziali y(x). Questa espansione ha la forma

Si noti che in questa espansione non possiamo limitarci solo ai termini lineari: la presenza delle derivate seconde è obbligatoria. Ciò è dovuto al fatto che l'equazione differenziale originale impone vincoli sulle derivate seconde. Se li omettiamo nell'espansione (1.2), andrà perso l'intero contenuto fisico del fenomeno in esame, in cui è la relazione delle derivate seconde (una sorta di “curvatura”) a determinare l'essenza del processo descritto .

Usare questa espressione per ottenere una soluzione in un punto M connesso alla possibilità di determinare i derivati in esso compresi. Le derivate prime sono note dalle condizioni iniziali specificate sulla curva dati iniziale. Quest'ultimo deve essere determinato in qualche modo, dopodiché si può usare l'espressione (1.2) per ottenere una soluzione al punto M. Si può dimostrare che dopo aver determinato le derivate seconde, è possibile calcolare anche le derivate superiori e quindi verrà risolto il problema di aumentare l'accuratezza dell'espressione (1.2) aumentando il numero di termini di espansione.

Per determinare le derivate seconde, possiamo utilizzare i dati forniti sulla curva. Gli incrementi delle derivate prime lungo la curva verranno scritti come segue:

Si noti che in queste espressioni dx E dy sono interconnessi e la loro relazione è determinata dalla pendenza della curva dy/dx = y"(x).

A queste due espressioni relative alle tre derivate seconde incognite è necessario aggiungere l'equazione differenziale originaria, che permetterà di ottenere un sistema lineare per i valori delle derivate seconde nel punto M storto y(x):

La questione di determinare le derivate seconde e, quindi, di ripristinare la soluzione nei punti adiacenti alla curva dei dati iniziale è legata alla possibilità di risolvere il sistema lineare (1.3). Se il determinante di questo sistema non è uguale a zero, allora ha un'unica soluzione, derivate r, s, t e l'espressione (1.2) può essere utilizzata per prevedere la soluzione nei punti della regione che si trovano all'esterno della linea dei dati iniziali y = y(x).

Nello stesso caso, quando il determinante del sistema (1.3) si annulla:

il sistema di equazioni lineari diventa degenere, non consentendo la determinazione delle derivate seconde. Se non si trova una soluzione, in linea di principio sarà impossibile spostarsi dalla curva dei dati iniziali ai punti vicini della regione.

Espandendo il determinante (1.4), otteniamo la condizione per il suo svanire:

che può essere scritta come un'equazione differenziale risolta rispetto alla derivata dy/dx modulo:

Da questa relazione è chiaro che il problema originario diventa irrisolvibile se il coefficiente angolare della curva assume un valore speciale, espresso attraverso i coefficienti dell'equazione differenziale originaria. Questa direzione speciale si chiama caratteristica, e la curva, la tangente alla quale in ciascun punto prende la direzione caratteristica, - caratteristica Equazione alle derivate parziali. Come vediamo, l'equazione differenziale ordinaria (1.5) determina il campo delle direzioni caratteristiche e il suo integrale determina le linee caratteristiche.

Se queste curve vengono utilizzate come linee per specificare i dati iniziali, la soluzione non può essere continuata nei punti vicini della regione, quindi tali curve sono di grande importanza nell'analisi delle proprietà delle equazioni differenziali e nella costruzione di algoritmi computazionali per risolverle.

La classificazione dell'equazione (1.1) si basa sulla presenza delle sue caratteristiche. Come si può vedere dalla (1.5), l'equazione originale in ciascun punto del suo dominio di definizione può avere due direzioni caratteristiche, oppure una, oppure non avere alcuna caratteristica. Il fattore decisivo in questa materia è il segno discriminante equazione - espressione radicale IN 2 - AC.

Se ALLE 2 - AC ellittico, o appartiene a tipo ellittico.

Se B2-AC= Oh, allora c'è una famiglia di caratteristiche. In questo caso si dice che l’equazione (1.1) sia parabolico. o appartiene a tipo parabolico.

Se B2-AC> 0, allora ci sono due diverse famiglie di caratteristiche e l'equazione (1.1) lo è iperbolico o appartiene a tipo iperbolico.

Poiché il tipo di equazione è associato ai valori dei coefficienti dell'equazione differenziale, un'equazione con coefficienti variabili in diverse parti del dominio di definizione può appartenere a diversi tipi. Tali equazioni sono chiamate equazioni misto tipo.

A prima vista sembra strano il motivo per cui, per determinare il tipo di equazione differenziale, si utilizza una terminologia che si riferisce alle sezioni coniche - curve algebriche del secondo ordine: ellisse, parabola e iperbole. La connessione è che un ruolo fondamentale nella teoria delle equazioni della forma (1.1) è giocato da un'espressione algebrica appositamente costruita, una forma quadratica, i cui coefficienti sono i coefficienti dell'equazione originale. Per l'equazione (1.1) ha la forma Ah 2 +2Bhu+Su 2 e può essere ridotto ad una forma canonica, che, a seconda dei valori dei coefficienti, assumerà la forma di un'ellisse, di una parabola o di un'iperbole, il che spiega la terminologia utilizzata.

Si noti che per la classificazione abbiamo utilizzato un'equazione lineare del secondo ordine, ma l'analisi caratteristica può essere applicata ad altre equazioni e sistemi.

Considerazioni simili costituiscono la base per la classificazione dei sistemi di equazioni differenziali, che si basa su proprietà caratteristiche: l'inizio di un insieme completo di caratteristiche (sistemi iperbolici) o l'assenza di caratteristiche reali (sistemi ellittici). Il tipo di equazione determina la natura generale della sua soluzione, la dipendenza della soluzione dai dati di input e, di conseguenza, i metodi per ottenere soluzioni numeriche di problemi ai limiti. Nel nostro corso ritorneremo più volte all'analisi delle proprietà caratteristiche dei modelli matematici studiati della meccanica del continuo.

Facciamo alcune osservazioni a cui non abbiamo prestato attenzione prima.

Osservazione 1. Invarianza delle direzioni caratteristiche. Si può dimostrare che le caratteristiche rimangono invarianti rispetto alle trasformazioni delle variabili indipendenti. Cioè, le direzioni caratteristiche non dipendono dalla scelta del sistema di coordinate in cui scriviamo l'equazione originale, e da varie trasformazioni delle variabili indipendenti. Queste direzioni sono determinate solo dalle proprietà del fenomeno studiato, che è descritto nel suo modello matematico da un'equazione differenziale. In questo senso, le caratteristiche determinano alcune direzioni speciali nello spazio: le “proprie” direzioni di un dato problema. Notiamo in particolare che è stato possibile determinare le direzioni caratteristiche dall'analisi dell'equazione differenziale. Pertanto, l'ottenimento delle direzioni caratteristiche è associato alla scrittura di un modello matematico sotto forma di un'equazione differenziale (più tardi vedremo che esistono altre forme di scrittura di modelli matematici, ad esempio sotto forma di relazioni integrali).

Osservazione 2. Definizione di derivate superiori. Nell'esempio che abbiamo costruito, per continuare la soluzione ai punti adiacenti alla linea per specificare i dati iniziali, sono state utilizzate le derivate fino al secondo ordine compreso. Mostriamo che se si utilizza una curva non caratteristica come linea dati iniziale, l'accuratezza della relazione può essere aumentata quanto desiderato calcolando le derivate più alte della soluzione e continuando così la serie.

Innanzitutto, consideriamo la questione della determinazione delle derivate terze, che denotiamo di conseguenza Q = u xxx R = tu xxx, S== e eh, T = e y ay. Poiché, per condizione, la curva non è una caratteristica, allora basarsi sull'analisi precedente sulla curva dei dati iniziali y(x) oltre ai valori m, p, specificati dalle condizioni iniziali Q sono state calcolate anche le derivate seconde r, .s T. Pertanto per le derivate terze è possibile scrivere un sistema di relazioni che le determinano a partire dai differenziali delle derivate seconde lungo la retta y(x) :

Aggiungendo a questo sistema l'equazione originaria (1.1), differenziata rispetto a X, otteniamo un sistema lineare

È facile verificare che esso presenta la stessa condizione di non degenerazione del sistema di equazioni lineari nell'analisi delle caratteristiche.

Per fare ciò, quando calcoliamo il determinante della matrice, lo scomporremo negli elementi dell'ultima colonna. Il determinante del terzo ordine, che si trova nell'unico elemento diverso da zero, coinciderà con il determinante della matrice nel problema dell'analisi delle caratteristiche.

Pertanto, per qualsiasi curva non caratteristica, le soluzioni della derivata terza si trovano dai dati forniti su questa curva. Continuando in questo modo si possono trovare i successivi termini più alti dello sviluppo e quindi aumentare l'ordine di accuratezza della rappresentazione della soluzione.

Osservazione 3. Condizioni di consistenza sulle caratteristiche. IN

Se una caratteristica è definita per l'equazione (1.1), allora per gli incrementi delle derivate della soluzione p, Q Ulteriori condizioni vengono imposte lungo la curva. Infatti, l'uguaglianza del determinante (1.4) a zero significa una dipendenza lineare delle equazioni incluse nella (1.3). Dall’algebra lineare è noto che affinché un sistema degenere sia risolvibile, il rango del sistema deve essere uguale al rango della sua matrice estesa. In altre parole, è necessario che tutti i determinanti del terzo ordine della matrice estesa

erano pari a zero. È facile mostrare che questa condizione, insieme alla relazione per le caratteristiche precedentemente ottenuta (1-5), porta alle seguenti due condizioni che devono essere soddisfatte lungo le caratteristiche:

Queste condizioni sono chiamate condizioni sulle caratteristiche O condizionicoeAiecmnocmu. Essi svolgono un ruolo importante sia nello studio delle proprietà qualitative della soluzione che nella costruzione di algoritmi per la soluzione numerica di problemi.

1 Spesso è conveniente formulare un problema iperbolico in termini di un insieme di sue caratteristiche e di relazioni di compatibilità differenziale valide su tali caratteristiche. Si noti che nel caso di due variabili indipendenti, il problema si trasforma in un sistema di equazioni ordinarie che definiscono le curve caratteristiche ed equazioni differenziali ordinarie corrispondenti alle condizioni di compatibilità.

Osservazione 4. Significato fisico delle caratteristiche. Nelle equazioni in cui le variabili spaziali agiscono come variabili indipendenti, le caratteristiche determinano l'area di influenza dei punti. Conosciuto dalla dinamica dei gas dei flussi stazionari supersonici Cono di Mach E Linea Mach appartengono a questa gamma di concetti.

Se il tempo è una delle variabili indipendenti - la variabile iperbolicità - le caratteristiche esprimono la finitezza della velocità di propagazione del segnale e quindi controllano le relazioni di causa-effetto nel sistema in esame. Le caratteristiche in questo caso sono strettamente legate alla possibilità di propagazione delle onde con velocità finita.

Diamo esempi di equazioni differenziali di vario tipo.

Esempio 1. Equazione di Poisson}:

Se / = 0, allora questa equazione è chiamata equazione di Laplace. Qui UN = CON = 1, IN= Oh, B2-AC= -1, cioè è un'equazione di tipo ellittico che si trova spesso nelle applicazioni di fisica. Descrive problemi di moto potenziale dei fluidi, filtrazione in corpi porosi, problemi di magneto- ed elettrostatica, distribuzione stazionaria della temperatura in un corpo, distribuzione delle tensioni in alcuni problemi della teoria lineare dell'elasticità, ecc.

Il seguente sistema ellittico d'Alembert-Euler più semplice è equivalente all'equazione di Laplace (a volte queste equazioni sono chiamate equazioni di Cauchy-Riemann):

L'equazione di Laplace può essere estesa al caso di tre (o più) variabili indipendenti:

1 Poisson Simeon Denis(Poisson S.D., 1781-1840) - Matematico, fisico e meccanico francese. Le sue opere hanno avuto un ruolo importante nello sviluppo della scienza moderna: nella teoria della probabilità, nella fisica matematica, nella teoria dell'elasticità e nella meccanica dei fluidi. L'equazione menzionata fu derivata da Poisson mentre studiava una serie di problemi nella teoria dell'attrazione gravitazionale (memoria “Sull'attrazione degli sferoidi”, 1835).

Operatore differenziale D = d2/dx 2 + d2/d 2 + d2/dg2 chiamato Operatore di Laplace.

Esempio 2. Equazione della conducibilità termica. Un campo di temperatura non stazionario unidimensionale in un mezzo con caratteristiche termofisiche costanti è descritto dall'equazione

in cui il coefficiente di diffusività termica UN deve soddisfare la condizione un > 0.

Qui invece di una variabile A variabile immessa T- tempo corrispondente al contenuto fisico dei compiti descritti dall'equazione. I coefficienti inclusi nell’equazione sono pari a: A = 1, B = 0, CON = 0, IN 2 - AC= 0, cioè Questa equazione è di tipo parabolico. Tali equazioni descrivono la distribuzione non stazionaria della temperatura in problemi di conducibilità termica, diffusione di un'impurezza inerte, propagazione di onde elettromagnetiche in mezzi conduttori, movimento di un fluido viscoso nello strato limite di un corpo, ecc.

II Esempio 3. Equazione delle onde. La propagazione di un'onda piana con velocità costante ñ in un mezzo isotropo è descritta dall'equazione d'onda lineare unidimensionale

in cui l'asse X corrisponde alla direzione di propagazione dell'onda.

Qui A =Cq, C = 1, IN= 0, questa è un'equazione iperbolica. Un esempio del sistema iperbolico più semplice è il sistema equivalente (1.11).

Equazioni di questo tipo descrivono la propagazione delle oscillazioni in mezzi continui, le oscillazioni elettromagnetiche e il flusso supersonico di un gas ideale.

Gli esempi sopra riportati dimostrano i tre principali tipi di equazioni nella fisica matematica. La loro differenza è dovuta alla differenza nei processi fisici che descrivono. Le equazioni di tipo parabolico e iperbolico descrivono un processo instabile. Ciò significa che la soluzione al momento T lo stato nei momenti precedenti influenza, ma gli eventi successivi non possono influenzare in alcun modo. Equazioni di tipo iperbolico possono anche descrivere processi stazionari; in questo caso, la condizione al contorno influenza la soluzione solo in una direzione (rispetto ad una variabile che è analoga al tempo), e una delle coordinate spaziali è analoga a tempo. Un esempio di tale problema iperbolico è il movimento supersonico e stazionario di un gas. Pertanto, le equazioni paraboliche e iperboliche sono associate a regioni “aperte” in una direzione, e la variabile indipendente corrispondente a questa direzione è un analogo del tempo.

Nel caso dei problemi ellittici, la soluzione in un certo punto del dominio è influenzata dalle condizioni al contorno specificate sull'intero confine chiuso del dominio.