Nesretni su oni ljudi koji ne znaju programirati barem na nivou Excel formula! Na primjer, uvijek će im se činiti da su paradoksi teorije vjerovatnoće hirovite matematičara koji nisu u stanju razumjeti pravi zivot. U međuvremenu, teorija vjerovatnoće zapravo modelira stvarne procese, dok ljudska misao često ne može u cijelosti shvati šta se dešava.

Uzmimo Monty Hallov paradoks; ovdje ću dati njegovu formulaciju sa ruske Wikipedije:

Zamislite da ste postali učesnik igre u kojoj trebate izabrati jedno od tri vrata. Iza jednih vrata je auto, a iza druga dva su koze. Odaberete jedna od vrata, na primjer, broj 1, nakon čega vođa, koji zna gdje je auto, a gdje su koze, otvara jedna od preostalih vrata, na primjer, broj 3, iza kojih se nalazi koza. Zatim vas pita da li biste željeli promijeniti svoj izbor i izabrati vrata broj 2. Hoće li vam se povećati šanse za osvajanje automobila ako prihvatite ponudu domaćina i promijenite svoj izbor?

(u ovom slučaju, učesnik igre unaprijed zna sljedeća pravila:

1. auto je jednako vjerovatno postavljen iza bilo koje od 3 vrata;
2. U svakom slučaju, prezenter je dužan otvoriti vrata sa kozom (ali ne onim koju je igrač izabrao) i pozvati igrača da promijeni izbor;
3. ako vođa ima izbor koja od 2 vrata da otvori, on bira bilo koja od njih sa jednakom vjerovatnoćom)

Na prvi pogled koeficijent se ne bi trebao mijenjati (izvinite, ovo za mene više nije paradoks, i više ne mogu smisliti neko pogrešno objašnjenje zašto se šanse neće promijeniti, što bi na prvi pogled izgledalo logično).

Tipično, naratori ovog paradoksa počinju da se upuštaju u složeno rezonovanje ili zatrpavaju čitaoca formulama. Ali ako znate makar malo programiranja, ovo vam ne treba. Možete pokrenuti simulacijske eksperimente i vidjeti koliko često pobjeđujete ili gubite s određenom strategijom.

Zaista, šta je vjerovatnoća? Kada kažu "s datom strategijom, vjerovatnoća pobjede je 1/3" - to znači da ako provedete 1000 eksperimenata, dobit ćete oko 333 od njih. Odnosno, drugim riječima, šanse su "1 prema 3" - ovo je doslovno jedan od tri eksperimenta. “Vjerovatnoća 2/3” je potpuno ista u bukvalno dva od tri slučaja.

Dakle, uradimo eksperiment Monty Halla. Jedan eksperiment se lako uklapa u jedan red Excel tabele: evo ga (datoteka vredi preuzeti da biste videli formule), ovde ću dati opis po kolonama:

A. Broj eksperimenta (radi praktičnosti)

B. Generirajte cjelinu slučajni broj od 1 do 3. Ovo će biti vrata iza kojih je auto skriven

C-E. radi jasnoće, stavio sam "koze" i "automobile" u ove ćelije

F. Sada biramo nasumična vrata (u stvari, možemo stalno birati ista vrata, jer je slučajnost u odabiru vrata za automobil već dovoljna za model - provjerite!)

G. Domaćin sada bira vrata od preostala dva koja će vam otvoriti

H. I ovdje je najvažnije: ne otvara vrata iza kojih je auto, ali ako ste u početku pokazali na vrata sa kozom, otvara jedina moguća vrata sa kozom! Ovo je njegov savjet za vas.

I. Pa, hajde da sada izračunamo šanse. Za sada nećemo mijenjati vrata – tj. Izbrojimo slučajeve kada je kolona B jednaka koloni F. Neka je “1” - pobjednik, a "0" - izgubljen. Tada je zbir ćelija (ćelija I1003) broj pobjeda. Broj bi trebao biti blizu 333 (ukupno radimo 1000 eksperimenata). Zaista, pronalaženje automobila iza svakog od troja vrata je jednako vjerojatan događaj, što znači da je pri odabiru jednih vrata šansa da se pogodi jedna od tri.

J. Neće biti dovoljno! Hajde da promenimo naš izbor.

K. Slično: “1” – pobeda, “0” – poraz. Pa šta je ukupno? A zbroj je broj jednak 1000 minus broj iz ćelije I1003, tj. blizu 667. Da li vas ovo iznenađuje? Da li se još nešto moglo dogoditi? Uostalom, nema drugih zatvorenih vrata! Ako vam prvobitno odabrana vrata daju pobjedu 333 puta od 1000, onda bi vam druga vrata trebala dati pobjedu u svim preostalim slučajevima!

Da li me sada razumete zašto ne vidim paradoks ovde? Ako postoje dvije i samo dvije međusobno isključive strategije, a jedna daje pobjedu s vjerovatnoćom p, onda bi druga trebala dati pobjedu s vjerovatnoćom 1-p, kakav je ovo paradoks?

Ako vam se svidio ovaj post, sada pokušajte da napravite sličnu datoteku za paradoks dječak-djevojčica u sljedećoj formulaciji:

Gospodin Smith je otac dvoje djece. Sreli smo ga kako šeta ulicom sa dječačićem kojeg nam je s ponosom predstavio kao svog sina. Kolika je vjerovatnoća da je i drugo dijete g. Smitha dječak?

Pozdrav iz sunčanog Vijetnama! :) Dođite da radite sa nama! :)

Svima nam je poznata situacija kada smo se, umjesto trezvene računice, oslanjali na svoju intuiciju. Uostalom, moramo priznati da nije uvijek moguće sve izračunati prije izbora. I koliko god ljudi bili neiskreni, koji su navikli da se opredjeljuju tek nakon pažljive analize, nikada to nisu morali učiniti po principu „vjerovatno tako“. Jedan od razloga za takvu akciju može biti jednostavan nedostatak potrebnog vremena za procjenu situacije.

Istovremeno, izbor čeka trenutnu situaciju u ovom trenutku i ne dozvoljava vam da pobjegnete od odgovora ili akcije. Ali još teže situacije za nas koji se nalazimo bukvalno uzrokuje grč u mozgu - to je uništavanje povjerenja u ispravnost izbora ili u njegovu vjerojatnu superiornost nad drugim opcijama na temelju logičkih zaključaka. Svi postojeći paradoksi su zasnovani na tome.

Paradoks u igri TV emisije "Hajde da se dogovorimo"

Jedan od paradoksa koji izaziva žestoku debatu među entuzijastima slagalica zove se Monty Hall paradoks. Ime je dobio po voditelju američke TV emisije pod nazivom "Hajde da se dogovorimo". U TV emisiji voditelj nudi da otvori jedna od troja vrata, gdje je nagrada automobil, dok iza druga dva stoji po jedna koza.

Učesnik u igri pravi svoj izbor, ali prezenter, znajući gdje se nalazi automobil, otvara ne vrata koja je igrač pokazao, već druga, u kojima se nalazi koza, i nudi da promijeni početni izbor igrača. Za dalju analizu prihvatamo ovu konkretnu varijantu ponašanja vođe, iako se ona u stvari može periodično menjati. Jednostavno ćemo navesti druge opcije scenarija razvoja ispod u članku.

Šta je suština paradoksa?

Još jednom, tačku po tačku, odredimo uslove i promijenimo objekte igre u naše radi raznolikosti.

Učesnik igre je u prostoriji sa tri sefa. U jednoj od tri ćelije nalazi se zlatna poluga zlata, u druge dvije je jedan novčić nominalne vrijednosti 1 kopejke SSSR-a.

Dakle, učesnik je suočen sa izborom, a uslovi igre su sledeći:

1. Učesnik može izabrati samo jednu od tri ćelije.
2. Bankar u početku zna lokaciju poluga.
3. Bankar uvijek otvara ćeliju s novčićem koji se razlikuje od izbora igrača i nudi promjenu izbora igrača.
4. Igrač može, zauzvrat, promijeniti svoj izbor ili ostaviti originalni.

Šta kaže intuicija?

Paradoks je da za većinu ljudi koji su navikli logično razmišljati, šanse za pobjedu ako promijene svoj početni izbor su 50 prema 50. Uostalom, nakon što bankar otvori drugu ćeliju novčićem, različitu od početnog izbora igrača, 2 ostaju ćelije, od kojih jedna sadrži zlatnu polugu, a druga novčić. Igrač osvaja poluge ako prihvati ponudu bankara da promijeni ćeliju, pod uvjetom da nije bilo poluge u igračevoj prvobitno odabranoj ćeliji. I obrnuto kada dato stanje- gubi ako odbije prihvatiti ponudu.

Kao što zdrav razum sugerira, vjerovatnoća odabira ingota i pobjede u ovom slučaju je 1/2. Ali u stvarnosti je situacija drugačija! “Ali kako je to moguće, ovdje je sve očigledno?” - pitate. Recimo da ste izabrali ćeliju br. 1. Intuitivno, da, bez obzira kakav je vaš izbor bio u početku, na kraju zapravo imate izbor između novčića i ingota. I ako ste u početku imali 1/3 vjerovatnoće da dobijete nagradu, onda na kraju, kada bankar otvori jednu ćeliju, dobijate vjerovatnoću 1/2. Činilo se da se vjerovatnoća povećala sa 1/3 na 1/2. Pažljivom analizom igre ispada da kada se odluka promijeni, vjerovatnoća raste na 2/3 umjesto intuitivne 1/2. Pogledajmo zašto se to dešava.

Za razliku od intuitivnog nivoa, gde naša svest događaj nakon promene ćelije posmatra kao nešto odvojeno i zaboravlja na početni izbor, matematika ne razdvaja ova dva događaja, već čuva lanac događaja od početka do kraja. Dakle, kao što smo ranije rekli, naše šanse za pobjedu ako odmah sletimo na ingot su 1/3, a vjerovatnoća da ćemo izabrati ćeliju sa novčićem je 2/3 (pošto imamo jedan ingot i dva novčića) .

1. Prvo biramo ćeliju banke sa ingotom - vjerovatnoća 1/3.
   • Ako igrač promijeni svoj izbor prihvatanjem ponude bankara, gubi.
   • Ako igrač ne promijeni svoj izbor ne prihvativši ponudu bankara, pobjeđuje.
2. Prvi put biramo sef sa novčićem - vjerovatnoća 2/3.
   • Ako igrač promijeni svoj izbor, pobjeđuje.
   • Ako igrač ne promijeni svoj izbor, gubi.

Dakle, da bi igrač napustio banku sa zlatnom polugom u džepu, mora izabrati prvobitnu gubitnu poziciju novčićem (vjerovatnoća 1/3), a zatim prihvatiti ponudu bankara da promijeni ćeliju.

Da bismo razumjeli ovaj paradoks i izbili iz okova šablona početnog izbora i preostalih ćelija, zamislimo ponašanje igrača na potpuno suprotan način. Prije nego što bankar ponudi ćeliju na izbor, igrač mentalno utvrđuje da mijenja svoj izbor, a tek nakon toga slijedi događaj otvaranja dodatnih vrata za njega. Zašto ne? Uostalom, otvorena vrata mu ne pružaju više informacija u tako logičnom slijedu. U prvoj fazi vremena, igrač dijeli ćelije u dvije različite oblasti: prvo je područje s jednom ćelijom s njegovim početnim izborom, drugo s dvije preostale ćelije. Zatim će igrač morati da bira između dva područja. Verovatnoća da dobijete zlatnu polugu iz ćelije iz prve oblasti je 1/3, iz druge je 2/3. Izbor slijedi drugo područje u kojem može otvoriti dvije ćelije, prvu će otvoriti bankar, drugu on sam.

Postoji još jasnije objašnjenje za Monty Hall paradoks. Da biste to učinili, morate promijeniti formulaciju zadatka. Bankar jasno daje do znanja da se u jednom od tri sefa nalazi zlatna poluga. U prvom slučaju nudi otvaranje jedne od tri ćelije, au drugom - dvije istovremeno. Šta će igrač izabrati? Pa, naravno, dva odjednom, udvostručavanjem vjerovatnoće. A trenutak kada je bankar otvorio ćeliju novčićem, to zapravo ni na koji način ne pomaže igraču i ne ometa izbor, jer će bankar u svakom slučaju pokazati ovu ćeliju sa novčićem, tako da igrač može jednostavno ignorirati ovu akciju. Sa igračeve strane može se samo zahvaliti bankaru što mu je olakšao život, a umjesto dvije, morao je otvoriti jednu ćeliju. Pa, konačno se možete riješiti sindroma paradoksa ako se stavite na mjesto bankara koji u početku zna da igrač pokazuje na pogrešna vrata u dva od tri slučaja. Za bankara nema paradoksa kao takvog, jer je upravo u takvoj inverziji događaja siguran da će, ako se događaji promijene, igrač uzeti zlatnu polugu.

Paradoks Monty Halla očito ne dozvoljava konzervativcima pobjedu, koji čvrsto stoje na svom početnom izboru i gube šansu za povećanje vjerovatnoće. Za konzervativce će ostati 1/3. Za budne i razumne ljude naraste do gore navedenih 2/3.

Sve gore navedene izjave su relevantne samo ako su ispunjeni prvobitno dogovoreni uslovi.

Šta ako povećamo broj ćelija?

Šta ako povećamo broj ćelija? Recimo da će ih umjesto tri biti 50. Zlatna poluga će biti u samo jednoj ćeliji, a preostalih 49 će sadržavati novčiće. Shodno tome, za razliku od klasičnog slučaja, vjerovatnoća pogađanja mete u pokretu je 1/50 ili 2% umjesto 1/3, dok je vjerovatnoća odabira ćelije sa novčićem 98%. Tada se situacija razvija, kao u prethodnom slučaju. Bankar nudi otvaranje bilo koje od 50 ćelija, koje učesnik bira. Recimo da igrač otvori ćeliju sa serijskim brojevima 49. Bankar, zauzvrat, kao u klasičnoj verziji, ne žuri da ispuni želju igrača i otvara još 48 ćelija s novčićima i nudi da promijeni svoj izbor na preostalu na broju 50.

Ovdje je važno shvatiti da bankar otvara tačno 48 ćelija, a ne 30, i ostavlja 2, uključujući i onu koju odabere igrač. Upravo taj izbor omogućava da paradoks ide protiv intuicije. Kao što je slučaj sa klasična verzija, otvaranje bankara od 48 ćelija ostavlja samo jednu alternativu za izbor. Slučaj varijante manjeg otvaranja ćelija ne dozvoljava nam da problem stavimo u ravan sa klasicima i osjetimo paradoks.

Ali pošto smo se dotakli ove opcije, pretpostavimo da bankar ne ostavlja jednu osim one koju je izabrao igrač, već nekoliko ćelija. Predstavljeno, kao i ranije, 50 ćelija. Nakon odabira igrača, bankar otvara samo jednu ćeliju, ostavljajući zatvorenih 48 ćelija, uključujući i onu koju je igrač izabrao. Vjerovatnoća odabira ingota prvi put je 1/50. Ukupno, vjerovatnoća pronalaska ingota u preostalim ćelijama je 49/50, što se zauzvrat širi ne na 49, već na 48 ćelija. Nije teško izračunati da je vjerovatnoća pronalaska ingota u ovoj opciji (49/50)/48=49/2900. Vjerovatnoća, iako ne mnogo, ipak je veća od 1/50 za otprilike 1%.

Kao što smo spomenuli na samom početku, domaćin Monty Hall u klasičnom scenariju igre sa vratima, kozama i nagradnim automobilom može promijeniti uslove igre, a uz to i vjerovatnoću pobjede.

Matematika paradoksa

Mogu li matematičke formule dokazati povećanje vjerovatnoće prilikom promjene izbora?
Zamislimo lanac događaja u obliku seta podijeljenog na dva dijela, prvi dio će biti uzet kao X - ovo je izbor sigurne ćelije igrača u prvoj fazi; a drugi set Y - preostale dvije preostale ćelije. Vjerovatnoća (B) pobjede za ćelije 2 i 3 može se izraziti pomoću formula.

B(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
B(3) = 1/2 * 2/3= 1/3

Gdje je 1/2 vjerovatnoća s kojom će bankar otvoriti ćelije 2 i 3, pod uslovom da je igrač u početku izabrao ćeliju bez poluge.
Zatim, uslovna vjerovatnoća od 1/2 kada bankar otvori ćeliju s novčićem mijenja se na 1 i 0. Tada formule poprimaju sljedeći oblik:

B(2) = 0 * 2/3 = 0
B(3) = 1 * 2/3 = 1

Ovdje jasno vidimo da je vjerovatnoća odabira ingota u ćeliji 3 2/3, što je nešto više od 60 posto.
Sam programer ulazni nivo može lako provjeriti ovaj paradoks pisanjem programa koji izračunava vjerovatnoću prilikom promjene izbora ili obrnuto i upoređuje rezultate.

Objašnjenje paradoksa u filmu 21 (Dvadeset i jedan)

Vizuelno objašnjenje paradoksa Monty Paula dato je u filmu “21” (Dvadeset i jedan), reditelja Roberta Luketića. Tokom svog predavanja, profesor Mickey Rosa daje primjer iz emisije Let’s Make a Deal i postavlja studentu Benu Campbellu (glumac i pjevač James Anthony) pitanje o raspodjeli vjerovatnoća, koji daje ispravnu raspodjelu i time iznenađuje nastavnika.

Samoproučavanje paradoksa

Za ljude koji žele sami provjeriti rezultat u praksi, ali nemaju matematičku osnovu, predlažemo da sami simuliraju igru ​​u kojoj ćete vi biti domaćin, a neko drugi će biti igrač. U ovu igru ​​možete uključiti djecu koja će od njih birati bombone ili omote od slatkiša u unaprijed pripremljenim kartonskim kutijama. Uz svaki izbor, obavezno zabilježite rezultat za daljnji izračun.

Formulacija

Najpopularniji problem je sa dodatni uslov Broj 6 iz tabele - učesnik igre unapred zna sledeća pravila:

• auto je jednako vjerovatno postavljen iza bilo koje od 3 vrata;
• U svakom slučaju, voditelj je dužan otvoriti vrata sa kozom i pozvati igrača da promijeni izbor, ali ne i vrata koja je igrač odabrao;
• ako vođa ima izbor koja od 2 vrata da otvori, on bira jedno od njih sa jednakom vjerovatnoćom.

Sljedeći tekst razmatra problem Monty Halla upravo u ovoj formulaciji.

Analiza

Prilikom rješavanja ovog problema obično razmišljaju ovako: vođa uvijek na kraju ukloni jedna izgubljena vrata, a onda vjerovatnoća da se automobil pojavi iza dva otvorena postaje jednaka 1/2, bez obzira na početni izbor.

Čitava poenta je da svojim početnim izborom učesnik dijeli vrata: odabrani A i još dvoje - B I C. Vjerovatnoća da je automobil iza odabranih vrata = 1/3, da je iza ostalih = 2/3.

Za svaka od preostalih vrata, trenutna situacija je opisana na sljedeći način:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

Gdje je 1/2 uslovna vjerovatnoća pronalaska automobila tačno iza datih vrata, pod uslovom da se automobil ne nalazi iza vrata koje je igrač izabrao.

Voditelj, otvarajući jedna od preostalih vrata, koja su uvijek gubitnička, na taj način obavještava igrača tačno 1 bit informacije i mijenja uslovne vjerovatnoće za B i C, respektivno, na “1” i “0”.

Kao rezultat, izrazi poprimaju oblik:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

Dakle, učesnik treba da promeni svoj prvobitni izbor - u ovom slučaju, verovatnoća pobede će biti jednaka 2/3.

Jedno od najjednostavnijih objašnjenja je sljedeće: ako promijenite vrata nakon akcije domaćina, onda pobjeđujete ako ste inicijalno odabrali izgubljena vrata (onda će domaćin otvoriti druga izgubljena i morate promijeniti svoj izbor da biste pobijedili) . I u početku možete izabrati izgubljena vrata na 2 načina (vjerovatnoća 2/3), tj. ako promijenite vrata, pobjeđujete sa 2/3 vjerovatnoće.

Ovaj zaključak je u suprotnosti s intuitivnom percepcijom situacije od strane većine ljudi, zbog čega se opisani zadatak naziva Monty Hall paradoks, tj. paradoks u svakodnevnom smislu.

A intuitivna percepcija je sljedeća: otvarajući vrata s kozom, voditelj postavlja novi zadatak igraču, koji ni na koji način nije povezan s prethodnim izborom - uostalom, koza je iza otvorena vrataće ispasti bez obzira da li je igrač prethodno izabrao kozu ili auto. Nakon što se treća vrata otvore, igrač će morati ponovo da napravi izbor - i da izabere ili ista vrata koja je izabrao ranije, ili neka druga. Odnosno, on ne mijenja svoj prethodni izbor, već donosi novi. Matematičko rješenje razmatra dva uzastopna zadatka vođe koji su međusobno povezani.

Međutim, treba uzeti u obzir faktor iz uslova da će voditelj otvoriti vrata sa jarcem iz preostala dva, a ne vrata po izboru igrača. Dakle, preostala vrata imaju veće šanse da budu auto jer ih nije odabrao vođa. Ako uzmemo u obzir slučaj kada prezenter, znajući da se iza vrata koje je igrač izabrala nalazi koza, ipak otvori ova vrata, time će namjerno umanjiti igračeve šanse da izabere ispravna vrata, jer vjerovatnoća pravi izbor već će biti 1/2. Ali ova vrsta igra će pratiti drugačija pravila.

Hajde da damo još jedno objašnjenje. Pretpostavimo da igrate po gore opisanom sistemu, tj. od dva preostala vrata, uvijek birate vrata drugačija od vašeg prvobitnog izbora. U kom slučaju ćete izgubiti? Gubitak će nastati ako i samo ako ste od samog početka odabrali vrata iza kojih se nalazi auto, jer ćete naknadno neminovno promijeniti svoju odluku u korist vrata sa kozom, u svim ostalim slučajevima ćete pobijediti, tj. , ako smo od samog početka pogriješili s izborom vrata. Ali vjerovatnoća odabira vrata s kozom od samog početka je 2/3, pa se ispostavilo da je za pobjedu potrebna greška čija je vjerovatnoća dvostruko veća od ispravnog izbora.

Spominje

• U filmu Dvadeset jedan učitelj Miki Rosa nudi glavnom liku Benu da riješi problem: iza troja vrata nalaze se dva skutera i jedan automobil, potrebno je da pogodite vrata s autom. Nakon prvog izbora, Miki predlaže promjenu izbora. Ben se slaže i matematički argumentira svoju odluku. Tako da nehotice položi test za Mikin tim.
• U romanu "Klutz" Sergeja Lukjanenka, glavni likovi, koristeći ovu tehniku, osvajaju kočiju i priliku da nastave put.
• U televizijskoj seriji “4isla” (epizoda 13 prve sezone “Man Hunt”), jedan od glavnih likova, Charlie Epps, objašnjava Monty Hall paradoks na popularnom predavanju o matematici, jasno ga ilustrujući korištenjem markera, na nedostaci od kojih se vuku koze i auto. Charlie zapravo pronalazi auto nakon što promijeni svoj izbor. Međutim, treba napomenuti da on provodi samo jedan eksperiment, dok je prednost strategije promjene izbora statistička, te je potrebno provesti niz eksperimenata kako bi se to ispravno ilustrovalo.
• O paradoksu Monty Halla govori se u dnevniku junaka priče Marka Haddona "Neobično ubistvo psa u noći".
• Paradoks Monty Halla testirali su MythBusters

vidi takođe

• Bertrandov paradoks

Linkovi

	Paradoks Monty Halla u Wikiknjigama
	Paradoks Monty Halla na Wikimedia Commons

• Interaktivni prototip: za one koji se žele zezati (generacija nastaje nakon prvog izbora)
• Interaktivni prototip: pravi prototip igre (karte se generiraju prije odabira, rad prototipa je transparentan)
• Video s objašnjenjima na web stranici Smart Videos .ru

• Weisstein, Eric W. Monty Hall's Paradox (engleski) na web stranici Wolfram MathWorld.
• Paradoks Monty Halla na web stranici TV emisije Hajde da se dogovorimo
• Odlomak iz knjige S. Lukjanenka, koji koristi paradoks Monty Halla
• Još jedno Bayesovo rješenje Još jedno Bayesovo rješenje na forumu Novosibirskog državnog univerziteta

Književnost

• Gmurman V.E. Teorija vjerovatnoće i matematička statistika, - M.: Više obrazovanje. 2005
• Gnedin, Saša "The Mondee Gills Game." časopis Matematički inteligencija, 2011. http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
• Parade Magazine od 17. februara.
• vos Savant, Marilyn. Kolumna "Pitajte Marilyn", magazin Parade Magazine od 26. februara.
• Bapeswara Rao, V. V. i Rao, M. Bhaskara. "Igre sa troja vrata i neke od njegovih varijanti." Časopis The Mathematical Scientist, 1992, № 2.
• Tijms, Henk. Razumijevanje pravila vjerovatnoće, slučajnosti u svakodnevnom životu. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Bilješke

Wikimedia fondacija. 2010.

Pogledajte šta je "Paradoks Monty Halla" u drugim rječnicima:

U potrazi za automobilom, igrač bira vrata 1. Zatim voditelj otvara 3. vrata, iza kojih se nalazi koza, i poziva igrača da promijeni svoj izbor na vrata 2. Da li to treba učiniti? Paradoks Monty Halla je jedan od dobro poznatih problema teorije... ... Wikipedije

- (Paradoks kravate) je dobro poznati paradoks, sličan problemu dve koverte, koji takođe pokazuje osobenosti subjektivne percepcije teorije verovatnoće. Suština paradoksa: dva muškarca poklanjaju jedan drugom kravate za Božić, koje su oni kupili... ... Wikipedia

“Postoje tri vrste laži: laži, proklete laži i statistika.” Ova fraza, koju je Mark Tven pripisao britanskom premijeru Benjaminu Dizraeliju, pošteno odražava stav većine prema matematičkim zakonima. Zaista, teorija vjerovatnoće se ponekad pojavi neverovatne činjenice, u koje je na prvi pogled teško povjerovati - a koje, ipak, potvrđuje nauka. “Teorije i prakse” podsjetile su na najpoznatije paradokse.

Monty Hall problem

Upravo je to problem koji je lukavi profesor MIT-a predstavio studentima u filmu Dvadeset jedan. Nakon što ste dali tačan odgovor, glavni lik završava u timu briljantnih mladih matematičara koji pobjeđuju kazina u Las Vegasu.

Klasična formulacija glasi ovako: „Recimo da je određenom igraču ponuđeno da učestvuje u čuvenoj američkoj TV emisiji Let’s Make a Deal, koju vodi Monty Hall, a on treba da izabere jedno od tri vrata. Iza dvoja vrata su koze, iza jednih - Velika nagrada, auto, prezenter zna lokaciju nagrada. Nakon što igrač odabere, domaćin otvara jedna od preostalih vrata, iza kojih se nalazi koza, i poziva igrača da promijeni svoju odluku. Treba li se igrač složiti ili je bolje zadržati svoj prvobitni izbor?”

Evo tipične linije rezonovanja: nakon što je domaćin otvorio jedna od vrata i pokazao kozu, igrač mora izabrati između dva vrata. Auto se nalazi iza jednog od njih, što znači da je vjerovatnoća da ćete ga pogoditi ½. Dakle, nije bitno hoćete li promijeniti svoj izbor ili ne. Pa ipak, teorija vjerovatnoće kaže da možete povećati svoje šanse za pobjedu promjenom odluke. Hajde da shvatimo zašto je to tako.

Da bismo to uradili, vratimo se korak unazad. U trenutku kada smo napravili prvi izbor, vrata smo podijelili na dva dijela: jedan koji smo izabrali i druga dva. Očigledno, vjerovatnoća da se automobil krije iza „naših” vrata je ⅓ - prema tome, auto je iza jednog od dva preostala vrata sa vjerovatnoćom od ⅔. Kada voditelj pokaže da se iza jednih od ovih vrata nalazi koza, ispada da ova ⅔ šansa pada na druga vrata. I to smanjuje izbor igrača na dvoja vrata, iza kojih se jedna (početno odabrana) nalazi automobil s vjerovatnoćom od ⅓, a iza druge - s vjerovatnoćom od ⅔. Izbor postaje očigledan. Što, naravno, ne menja činjenicu da je igrač od samog početka mogao da bira vrata sa automobilom.

Problem tri zatvorenika

Paradoks tri zatvorenika sličan je problemu Monty Halla, iako se odvija u dramatičnijem okruženju. Osuđena su tri zatvorenika (A, B i C). smrtna kazna i stavljen u samicu. Guverner nasumično bira jednog od njih i daje mu pomilovanje. Upravnik zna ko je od njih trojice pomilovan, ali mu je naređeno da to čuva u tajnosti. Zatvorenik A traži od čuvara da mu kaže ime drugog zatvorenika (osim njega) koji će sigurno biti pogubljen: „ako je B pomilovan, reci mi da će biti pogubljen C. Ako je B pomilovan, reci mi da će B biti pogubljen. Ako su oboje pogubljeni, a ja sam pomilovan, bacite novčić i izgovorite bilo koje od ova dva imena.” Upravnik kaže da će zatvorenik B biti pogubljen. Da li zatvorenik A treba da bude sretan?

Tako bi izgledalo. Uostalom, prije nego što je dobio ovu informaciju, vjerovatnoća smrti zatvorenika A bila je ⅔, a sada zna da će jedan od druga dva zatvorenika biti pogubljen - što znači da je vjerovatnoća njegovog pogubljenja smanjena na ½. Ali zapravo, zatvorenik A nije saznao ništa novo: ako ne bude pomilovan, reklo bi mu se ime drugog zatvorenika, a on je već znao da će jedan od dvojice preostalih biti pogubljen. Ako ima sreće i pogubljenje se otkaže, čut će nasumično ime B ili C. Dakle, njegove šanse za spas se ni na koji način nisu promijenile.

Sada zamislite da jedan od preostalih zatvorenika sazna za pitanje zatvorenika A i dobijen odgovor. To će promijeniti njegove stavove o vjerovatnoći pomilovanja.

Ako je zatvorenik B čuo razgovor, znat će da će sigurno biti pogubljen. A ako je zatvorenik B, onda će vjerovatnoća njegovog pomilovanja biti ⅔. Zašto se to dogodilo? Zatvorenik A nije dobio nikakvu informaciju i još uvijek ima ⅓ šanse da bude pomilovan. Zatvorenik B sigurno neće biti pomilovan, a šanse su mu ravne nuli. To znači da je vjerovatnoća da će treći zatvorenik biti pušten ⅔.

Paradoks dve koverte

Ovaj paradoks postao je poznat zahvaljujući matematičaru Martinu Gardneru, a formuliran je na sljedeći način: „Pretpostavimo da su vama i prijatelju ponuđene dvije koverte, od kojih jedna sadrži određeni iznos novca X, a druga dvostruko veći iznos. Samostalno otvarate koverte, brojite novac, a zatim ih možete zamijeniti. Koverte su iste, pa je vjerovatnoća da ćete dobiti kovertu sa manjim iznosom ½. Recimo da otvorite kovertu i nađete 10 dolara u njoj. Stoga je jednako vjerovatno da koverta vašeg prijatelja sadrži 5 ili 20 dolara. Ako se odlučite za razmjenu, tada možete izračunati matematičko očekivanje konačnog iznosa - odnosno njegovu prosječnu vrijednost. To je 1/2x5$+1/2x20=12,5$. Dakle, razmjena je korisna za vas. I, najvjerovatnije, vaš prijatelj će razmišljati na isti način. Ali očigledno je da razmena ne može biti korisna za oboje. u čemu je greška?

Paradoks je da sve dok ne otvorite svoju kovertu, vjerovatnoće se ponašaju dobro: zapravo imate 50% šanse da pronađete iznos X u svojoj koverti i 50% šanse da pronađete iznos 2X. A zdrav razum nalaže da informacija o količini koju imate ne može uticati na sadržaj druge koverte.

Međutim, čim otvorite kovertu, situacija se dramatično mijenja (ovaj paradoks je donekle sličan priči o Schrödingerovoj mački, gdje samo prisustvo posmatrača utiče na stanje stvari). Činjenica je da da bi se ispunili uslovi paradoksa, verovatnoća da se u drugoj koverti nađe veći ili manji iznos od vaše mora biti ista. Ali tada je bilo koja vrijednost ove sume od nule do beskonačnosti jednako vjerovatna. I ako je jednako vjerovatno beskonačan broj mogućnosti se zbrajaju u beskonačnost. A ovo je nemoguće.

Radi jasnoće, možete zamisliti da pronađete jedan cent u svojoj koverti. Očigledno, druga koverta ne može sadržavati polovinu iznosa.

Zanimljivo je da rasprave o rješavanju paradoksa traju do danas. Istovremeno se pokušava i objasniti paradoks iznutra i razviti najbolja strategija ponašanje u takvoj situaciji. Konkretno, profesor Thomas Cover je predložio originalan pristup formiranju strategije - promijeniti ili ne promijeniti omotnicu, vođen nekim intuitivnim očekivanjem. Recimo, ako otvorite kovertu i nađete u njoj 10 dolara - mali iznos po vašoj procjeni - vrijedi ga zamijeniti. A ako se u koverti nalazi, recimo, 1.000 dolara, što prevazilazi vaša najluđa očekivanja, onda nema potrebe za mijenjanjem. Ova intuitivna strategija, ako se od vas redovno traži da odaberete dvije koverte, omogućava vam da povećate svoj ukupni dobitak više od strategije stalnog mijenjanja koverte.

Paradoks dječaka i djevojčice

Ovaj paradoks je također predložio Martin Gardner i formuliran je na sljedeći način: „Gospodin Smith ima dvoje djece. Najmanje jedno dijete je dječak. Kolika je vjerovatnoća da je i drugi dječak?

Čini se da je zadatak jednostavan. Međutim, ako počnete da se bavite time, iskrsava se neobična okolnost: tačan odgovor će se razlikovati ovisno o tome kako izračunamo vjerovatnoću spola drugog djeteta.

Opcija 1

Razmotrimo sve moguće kombinacije u porodicama sa dvoje djece:

Girl/Girl

Girl boy

Dječak/djevojčica

Dječak/Dječak

Opcija djevojka/djevojka nam ne odgovara prema uslovima zadatka. Dakle, za porodicu gospodina Smitha postoje tri podjednako vjerovatne opcije – što znači da je vjerovatnoća da će i drugo dijete biti dječak ⅓. Upravo je to odgovor koji je sam Gardner dao na početku.

Opcija 2

Zamislimo da sretnemo gospodina Smitha na ulici dok šeta sa svojim sinom. Kolika je vjerovatnoća da je i drugo dijete dječak? Pošto pol drugog djeteta nema nikakve veze sa polom prvog, očigledan (i tačan) odgovor je ½.

Zašto se to dešava, jer se čini da se ništa nije promijenilo?

Sve zavisi od toga kako pristupamo pitanju izračunavanja verovatnoće. U prvom slučaju smo razmotrili sve moguće opcije Porodica Smith. U drugom smo razmatrali sve porodice koje potpadaju pod obavezni uslov „mora postojati jedan dječak“. Izračunavanje vjerovatnoće spola drugog djeteta izvršeno je uz ovaj uslov (u teoriji vjerovatnoće to se zove „uslovna vjerovatnoća“), što je dovelo do rezultata različitog od prvog.

Upoznao sam ga pod imenom "The Monty Hall Paradox", i wow, riješio drugačije, naime: dokazao da je ovo pseudo-paradoks.

Prijatelji, rado ću poslušati kritike na račun mog pobijanja ovog paradoksa (pseudoparadoksa, ako sam u pravu). I onda ću svojim očima vidjeti da mi je logika šepa, prestat ću zamišljati sebe kao mislioca i razmišljati o tome da svoju vrstu aktivnosti promijenim u lirskiju :o). Dakle, evo sadržaja zadatka. Predloženo rješenje i moje pobijanje su u nastavku.

Zamislite da ste učesnik igre u kojoj se nalazite ispred troja vrata. Voditeljica, za koju se zna da je iskrena, stavila je automobil iza jednih vrata, a po jednu kozu iza druga dva. Nemate informaciju šta je iza kojih vrata.

Domaćin vam kaže: „Prvo morate izabrati jedna od vrata. Nakon toga ću otvoriti jedna od preostalih vrata, iza kojih je koza. Zatim ću vas zamoliti da promijenite svoj prvobitni izbor i odaberete preostali zatvorena vrata umjesto one koju ste prvo odabrali. Možete poslušati moj savjet i odabrati druga vrata, ili potvrditi svoj prvobitni izbor. Nakon toga, ja ću otvoriti vrata koja si izabrao i ti ćeš osvojiti sve što je iza tih vrata.”

Vi birate vrata broj 3. Domaćin otvara vrata broj 1 i pokazuje da je iza njih koza. Zatim domaćin traži da odaberete vrata broj 2.

Hoće li vam se šanse za osvajanje automobila povećati ako poslušate njegov savjet?
Paradoks Monty Halla jedan je od poznatih problema u teoriji vjerovatnoće, čije je rješenje na prvi pogled u suprotnosti sa zdravim razumom.
Prilikom rješavanja ovog problema obično razmišljaju ovako: nakon što je vođa otvorio vrata iza kojih se nalazi koza, auto može biti samo iza jednog od dva preostala vrata. Pošto igrač ne može primiti nijednu Dodatne informacije o tome iza kojih vrata se auto nalazi, onda je vjerovatnoća pronalaska automobila iza svih vrata ista, a promjena početnog izbora vrata ne daje igraču nikakvu prednost. Međutim, ova linija rezonovanja je netačna.
Ako domaćin uvijek zna koja su vrata iza onoga što je, uvijek otvara jedna od preostalih vrata iza kojih se nalazi koza i uvijek poziva igrača da promijeni svoj izbor, tada je vjerovatnoća da je auto iza vrata koju je igrač izabrao je 1/3, i, shodno tome, vjerovatnoća da je automobil iza preostalih vrata je 2/3. Dakle, promjena početnog izbora povećava šanse igrača za osvajanje automobila za 2 puta. Ovaj zaključak je u suprotnosti sa intuitivnom percepcijom situacije od strane većine ljudi, zbog čega se opisani problem naziva Monty Hall paradoks.

Čini mi se da se šanse neće promijeniti, tj. nema paradoksa.

I evo zašto: prva i druga vrata su izbori nezavisni događaji. To je kao da dvaput bacite novčić: ono što se pojavi drugi put ne zavisi ni na koji način od onoga što ispadne prvi put.

Tako je i ovdje: nakon što otvori vrata s kozom, igrač se nađe unutra novoj situaciji , kada ima 2 vrata i vjerovatnoća izbora automobila ili koze je 1/2.

Još jednom: nakon otvaranja jednih od tri vrata, vjerovatnoća da je automobil iza preostalih vrata je nije jednako 2/3, jer 2/3 je vjerovatnoća da je automobil iza bilo koja 2 vrata. Netačno je pripisivati ​​ovu vjerovatnoću neotvorenim ili otvorenim vratima. Prije otvaranje vrata je bila takva ravnoteža vjerovatnoća, ali poslije otvarajući jedna vrata, sve ove vjerovatnoće postaju beznačajno, jer situacija se promijenila i stoga je potreban novi proračun vjerovatnoće, koji obični ljudi ispravno, odgovor da promjena izbora neće promijeniti ništa.

Dodatak: 1) obrazlažući da:

a) vjerovatnoća pronalaska automobila iza odabranih vrata je 1/3,

b) vjerovatnoća da je automobil iza još dva neizabrana vrata je 2/3,

c) jer vođa je otvorio vrata sa kozom, tada vjerovatnoća od 2/3 ide u potpunosti na jedna neodabrana (i neotvorena) vrata,

i stoga je potrebno promijeniti izbor na druga vrata tako da vjerovatnoća od 1/3 postane 2/3, nije tačno, ali netačno, naime: u stavu "c", jer se u početku vjerovatnoća od 2/3 odnosi na bilo koja dva vrata, uključujući i 2 koja su ostala neotvorena, a pošto su jedna vrata otvorena, onda će se ova vjerovatnoća podijeliti jednako na 2 neotvorena, tj. vjerovatnoća će biti jednaka, a odabir drugih vrata je neće povećati.

2) uslovne vjerovatnoće se računaju ako ih ima 2 ili više slučajni događaji, a za svaki događaj se posebno računa vjerovatnoća, a tek onda se računa vjerovatnoća zajedničkog nastupa 2 ili više događaja. Ovdje je isprva vjerovatnoća pogađanja bila 1/3, ali da biste izračunali vjerovatnoću da automobil nije iza odabranih vrata, već iza onih drugih koja nisu otvorena, ne morate izračunati uvjet vjerovatnoću, ali morate izračunati jednostavnu vjerovatnoću, koja je jednaka 1 od 2, onih. 1/2.

3) Dakle, ovo nije paradoks, već zabluda! (19.11.2009.)

Dodatak 2: Jučer sam došao do najjednostavnijeg objašnjenja za to strategija reizbora je ipak povoljnija(paradoks je tačan!): sa prvim izborom, ulazak u kozu je 2 puta vjerojatniji nego u auto, jer postoje dvije koze, pa prema tome, sa drugim izborom, morate promijeniti izbor. Tako je ocigledno :o)

Ili drugim riječima: ne morate obilježavati koze u autu, već ih odvojite, a čak i vođa pomaže u tome otvaranjem koze. I na početku igre, sa vjerovatnoćom 2 od 3, igrač će uspjeti, tako da nakon izbacivanja koza, morate promijeniti izbor. I ovo je odjednom postalo vrlo očigledno: o)

Dakle, sve što sam do sada napisao je pseudo-pobijanje. Pa, evo još jedne ilustracije činjenice da morate biti skromniji, poštovati tuđe gledište i ne vjerovati uvjeravanjima svoje logike da su njene odluke kristalno logične.