Naš odgovor
Odabir prave opklade ne zavisi samo od intuicije, sportskog znanja, kvota klađenja, već i od omjera kvota događaja. Sposobnost izračunavanja takvog pokazatelja u klađenju je ključ uspjeha u predviđanju predstojećeg događaja na koji bi se opklada trebala izvršiti.
U kladionicama postoje tri vrste kvota (za više detalja pogledajte članak), čija raznolikost određuje kako izračunati vjerovatnoću događaja za igrača.
Decimalne kvote
Proračun vjerovatnoće događaja u ovom slučaju se odvija prema formuli: 1/koeficijent događaja. = v.i, gdje je koeficijent sob. je koeficijent događaja, a c.i je vjerovatnoća ishoda. Na primjer, uzmemo kvotu za događaj od 1,80 uz opkladu od jednog dolara, izvodeći matematičku radnju prema formuli, igrač dobije da je vjerovatnoća ishoda događaja prema kladionici 0,55 posto.
Fractional Odds
Kada koristite razlomke, formula za izračunavanje vjerovatnoće će biti drugačija. Dakle, sa koeficijentom 7/2, gdje prva znamenka označava mogući iznos neto dobiti, a druga je veličina potrebne stope, da bi se dobio ovaj profit, jednačina će izgledati ovako: . Ovdje je zn.coef imenilac koeficijenta, chs.coef je brojilac koeficijenta, s.i je vjerovatnoća ishoda. Dakle, za razlomak od 7/2, jednačina izgleda kao 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, dakle, 0,22 posto vjerovatnoće ishoda događaja prema kladioničaru.
Američki izgledi
Američke kvote nisu jako popularne među kladioničarima i obično se koriste isključivo u SAD-u, imaju složenu i zamršenu strukturu. Da biste odgovorili na pitanje: "Kako izračunati vjerovatnoću događaja na ovaj način?", morate znati da takvi koeficijenti mogu biti negativni i pozitivni.
Koeficijent sa znakom "-", kao što je -150, označava da igrač treba da uloži 150 dolara da bi ostvario neto profit od 100 dolara. Vjerovatnoća događaja se izračunava na osnovu formule gdje je potrebno podijeliti negativni koeficijent sa zbirom negativnog koeficijenta i 100. Ovo izgleda kao primjer opklade od -150, tako da (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, gdje je 0,6 pomnoženo sa 100, a ishod događaja je 60 posto. Ista formula vrijedi i za pozitivne američke izglede.
Da bismo kvantitativno uporedili događaje jedni s drugima prema stepenu njihove mogućnosti, očigledno je potrebno svakom događaju povezati određeni broj, koji je veći, što je događaj mogući. Taj broj nazivamo vjerovatnoćom događaja. dakle, verovatnoća događaja je numerička mjera stepena objektivne mogućnosti ovog događaja.
Prvom definicijom vjerovatnoće treba smatrati klasičnu definiciju vjerovatnoće, koja je nastala analizom kockanja i koja se u početku primjenjivala intuitivno.
Klasičan način određivanja vjerovatnoće zasniva se na konceptu jednako vjerovatnih i nekompatibilnih događaja, koji su ishodi datog iskustva i čine potpunu grupu nespojivih događaja.
Najjednostavniji primjer jednako mogućih i nespojivih događaja koji čine kompletnu grupu je pojava jedne ili druge kuglice iz urne koja sadrži nekoliko loptica iste veličine, težine i drugih opipljivih osobina, koje se razlikuju samo po boji, temeljito promiješane prije nego što budu izvađene. .
Stoga se kaže da se test, čiji ishodi čine kompletnu grupu nekompatibilnih i jednako vjerojatnih događaja, svodi na shemu urni, ili shemu slučajeva, ili se uklapa u klasičnu shemu.
Jednako mogući i nespojivi događaji koji čine kompletnu grupu nazvat ćemo jednostavno slučajevi ili šanse. Štaviše, u svakom eksperimentu, zajedno sa slučajevima, mogu se desiti i složeniji događaji.
Primjer: Prilikom bacanja kocke, zajedno sa slučajevima A i - i-tačke koje padaju na gornju stranu, događaji kao što su B - paran broj bodova koji ispadaju, C - višestruki od tri boda koji ispadaju...
U odnosu na svaki događaj koji se može desiti tokom sprovođenja eksperimenta, slučajevi su podeljeni na povoljno, u kojoj se ovaj događaj događa, i nepovoljna, u kojoj se događaj ne događa. U prethodnom primjeru, događaj B favoriziraju slučajevi A 2 , A 4 , A 6 ; događaj C - slučajevi A 3 , A 6 .
klasična verovatnoća pojava nekog događaja je omjer broja slučajeva koji pogoduju pojavljivanju ovog događaja i ukupnog broja slučajeva jednako mogućih, nekompatibilnih, koji čine kompletnu grupu u datom iskustvu:
Gdje P(A)- vjerovatnoća nastanka događaja A; m- broj slučajeva povoljnih za događaj A; n je ukupan broj slučajeva.
primjeri:
1) (vidi primjer iznad) P(B)= , P(C) =.
2) Urna sadrži 9 crvenih i 6 plavih kuglica. Pronađite vjerovatnoću da će jedna ili dvije nasumično izvučene kuglice biti crvene.
A- nasumično izvučena crvena kugla:
m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=
B- dvije nasumično izvučene crvene kuglice:
Sljedeća svojstva proizlaze iz klasične definicije vjerovatnoće (pokažite se):
1) Verovatnoća nemogućeg događaja je 0;
2) Verovatnoća određenog događaja je 1;
3) Verovatnoća bilo kog događaja je između 0 i 1;
4) Vjerovatnoća događaja suprotnog događaju A,
Klasična definicija vjerovatnoće pretpostavlja da je broj ishoda suđenja konačan. U praksi, međutim, vrlo često postoje suđenja čiji je broj mogućih slučajeva beskonačan. Osim toga, slabost klasične definicije je u tome što je vrlo često nemoguće predstaviti rezultat testa kao skup elementarnih događaja. Još je teže navesti razloge zbog kojih se elementarni ishodi testa smatraju jednako vjerovatnim. Obično se jednakost elementarnih ishoda testa zaključuje iz razmatranja simetrije. Međutim, takvi zadaci su vrlo rijetki u praksi. Iz ovih razloga, uz klasičnu definiciju vjerovatnoće, koriste se i druge definicije vjerovatnoće.
Statistička vjerovatnoća događaj A je relativna učestalost pojavljivanja ovog događaja u obavljenim testovima:
gdje je vjerovatnoća pojave događaja A;
Relativna učestalost pojavljivanja događaja A;
Broj pokušaja u kojima se pojavio događaj A;
Ukupan broj pokušaja.
Za razliku od klasične vjerovatnoće, statistička vjerovatnoća je karakteristika eksperimentalne.
Primjer: Za kontrolu kvaliteta proizvoda iz serije nasumično je odabrano 100 proizvoda, među kojima su se 3 proizvoda pokazala neispravnima. Odredite vjerovatnoću braka.
.
Statistička metoda određivanja vjerovatnoće primjenjiva je samo na one događaje koji imaju sljedeća svojstva:
Događaji koji se razmatraju trebali bi biti ishodi samo onih ispitivanja koja se mogu reproducirati neograničen broj puta pod istim skupom uslova.
Događaji moraju imati statističku stabilnost (ili stabilnost relativnih frekvencija). To znači da se u različitim serijama testova relativna učestalost događaja ne mijenja značajno.
Broj pokušaja koji rezultiraju događajem A mora biti dovoljno velik.
Lako je provjeriti da su svojstva vjerovatnoće, koja slijede iz klasične definicije, sačuvana i u statističkoj definiciji vjerovatnoće.
Događaji koji se događaju u stvarnosti ili u našoj mašti mogu se podijeliti u 3 grupe. To su određeni događaji koji će se sigurno dogoditi, nemogući događaji i slučajni događaji. Teorija vjerovatnoće proučava slučajne događaje, tj. događaji koji se mogu ili ne moraju dogoditi. Ovaj članak će ukratko predstaviti teoriju formula vjerovatnoće i primjere rješavanja zadataka iz teorije vjerovatnoće, koji će se naći u 4. zadatku Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profilni nivo).
Zašto nam je potrebna teorija vjerovatnoće
Istorijski gledano, potreba za proučavanjem ovih problema pojavila se u 17. veku u vezi sa razvojem i profesionalizacijom kockanja i pojavom kazina. Bio je to pravi fenomen koji je zahtijevao svoje proučavanje i istraživanje.
Igranje karata, kockica, ruleta stvorilo je situacije u kojima se može dogoditi bilo koji od konačnog broja jednako vjerovatnih događaja. Postojala je potreba da se daju numeričke procjene mogućnosti nastanka nekog događaja.
U 20. veku postalo je jasno da ova naizgled neozbiljna nauka igra važnu ulogu u razumevanju fundamentalnih procesa koji se dešavaju u mikrokosmosu. Stvorena je moderna teorija vjerovatnoće.
Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće
Predmet proučavanja teorije vjerovatnoće su događaji i njihove vjerovatnoće. Ako je događaj složen, onda se može rastaviti na jednostavne komponente čije je vjerovatnoće lako pronaći.
Zbir događaja A i B naziva se događaj C, što se sastoji u činjenici da su se ili događaj A, ili događaj B, ili događaji A i B dogodili u isto vrijeme.
Proizvod događaja A i B je događaj C, koji se sastoji u činjenici da su se desili i događaj A i događaj B.
Za događaje A i B kaže se da su nekompatibilni ako se ne mogu dogoditi u isto vrijeme.
Za događaj A se kaže da je nemoguć ako se ne može dogoditi. Takav događaj je označen simbolom .
Događaj A se naziva izvjesnim ako će se definitivno dogoditi. Takav događaj je označen simbolom .
Neka svakom događaju A bude dodeljen broj P(A). Ovaj broj P(A) naziva se verovatnoća događaja A ako su sledeći uslovi ispunjeni takvom korespondencijom.
Važan poseban slučaj je situacija kada postoje podjednako vjerovatni elementarni ishodi, a proizvoljni od ovih ishoda formiraju događaje A. U ovom slučaju vjerovatnoća se može uvesti formulom . Ovako uvedena vjerovatnoća naziva se klasičnom vjerovatnoćom. Može se dokazati da svojstva 1-4 vrijede u ovom slučaju.
Problemi u teoriji vjerovatnoće, koji se nalaze na ispitu iz matematike, uglavnom se odnose na klasičnu vjerovatnoću. Takvi zadaci mogu biti vrlo jednostavni. Posebno su jednostavni problemi u teoriji vjerovatnoće u demonstracionim verzijama. Lako je izračunati broj povoljnih ishoda, broj svih ishoda je upisan direktno u uslov.
Dobijamo odgovor prema formuli.
Primjer zadatka sa ispita iz matematike za određivanje vjerovatnoće
Na stolu je 20 pita - 5 sa kupusom, 7 sa jabukama i 8 sa pirinčem. Marina želi da uzme pitu. Kolika je vjerovatnoća da će uzeti pirinčanu tortu?
Rješenje.
Ukupno ima 20 jednako vjerojatnih elementarnih ishoda, odnosno Marina može uzeti bilo koju od 20 pita. Ali moramo procijeniti vjerovatnoću da će Marina uzeti pirinčanu pljeskavicu, odnosno gdje je A izbor pirinčane pljeskavice. To znači da imamo ukupno 8 povoljnih ishoda (odabir pirinčane pite) Tada će se vjerovatnoća odrediti po formuli:
Nezavisni, suprotni i proizvoljni događaji
Međutim, složeniji zadaci počeli su se pojavljivati u otvorenoj banci zadataka. Stoga, skrenimo pažnju čitaoca na druga pitanja koja se proučavaju u teoriji vjerovatnoće.
Događaji A i B nazivaju se nezavisnim ako vjerovatnoća svakog od njih ne zavisi od toga da li se drugi događaj dogodio.
Događaj B se sastoji u tome što se događaj A nije dogodio, tj. događaj B je suprotan događaju A. Vjerovatnoća suprotnog događaja jednaka je jedan minus vjerovatnoća direktnog događaja, tj. .
Teoreme sabiranja i množenja, formule
Za proizvoljne događaje A i B, vjerovatnoća zbira ovih događaja jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća bez vjerovatnoće njihovog zajedničkog događaja, tj. .
Za nezavisne događaje A i B, vjerovatnoća proizvoda ovih događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća, tj. u ovom slučaju .
Posljednje 2 tvrdnje nazivaju se teoreme sabiranja i množenja vjerovatnoća.
Nije uvijek računati broj ishoda tako jednostavno. U nekim slučajevima potrebno je koristiti kombinatoričke formule. Najvažnije je izbrojati broj događaja koji ispunjavaju određene uslove. Ponekad takvi proračuni mogu postati samostalni zadaci.
Na koliko načina može 6 učenika sjesti u 6 praznih mjesta? Prvi učenik će zauzeti bilo koje od 6 mjesta. Svaka od ovih opcija odgovara 5 načina za postavljanje drugog učenika. Za trećeg učenika slobodna su 4 mjesta, za četvrtog - 3, za petog - 2, šesti će zauzeti jedino preostalo mjesto. Da biste pronašli broj svih opcija, morate pronaći proizvod koji je označen simbolom 6! i pročitajte "šest faktorijala".
U opštem slučaju, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj permutacija od n elemenata.U našem slučaju, .
Razmotrimo sada još jedan slučaj sa našim studentima. Na koliko načina 2 učenika mogu sjesti u 6 praznih mjesta? Prvi učenik će zauzeti bilo koje od 6 mjesta. Svaka od ovih opcija odgovara 5 načina za postavljanje drugog učenika. Da biste pronašli broj svih opcija, morate pronaći proizvod.
U opštem slučaju, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj postavljanja n elemenata po k elemenata
U našem slučaju.
I posljednja u ovoj seriji. Na koliko načina postoji izbor 3 od 6 učenika? Prvi učenik se može izabrati na 6 načina, drugi na 5, a treći na 4 načina. Ali među ovim opcijama, ista tri učenika se javljaju 6 puta. Da biste pronašli broj svih opcija, morate izračunati vrijednost: . U opštem slučaju, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj kombinacija elemenata po elementima:
U našem slučaju.
Primjeri rješavanja zadataka sa ispita iz matematike za određivanje vjerovatnoće
Zadatak 1. Iz zbirke, ur. Yashchenko.
Na tanjiru je 30 pita: 3 sa mesom, 18 sa kupusom i 9 sa višnjama. Sasha nasumično bira jednu pitu. Pronađite vjerovatnoću da će on završiti sa trešnjom.
.
Odgovor: 0.3.
Problem 2. Iz zbirke, ur. Yashchenko.
U svakoj seriji od 1000 sijalica, u prosjeku 20 neispravnih. Pronađite vjerovatnoću da je nasumično odabrana sijalica iz serije dobra.
Rješenje: Broj servisiranih sijalica je 1000-20=980. Tada je vjerovatnoća da će sijalica uzeta nasumično iz serije biti ispravna:
Odgovor: 0,98.
Verovatnoća da učenik U. tačno reši više od 9 zadataka na testu iz matematike je 0,67. Verovatnoća da U. tačno reši više od 8 zadataka je 0,73. Nađi vjerovatnoću da U. tačno riješi tačno 9 zadataka.
Ako zamislimo brojevnu pravu i na njoj označimo tačke 8 i 9, tada ćemo vidjeti da je uslov "U. tačno reši tačno 9 zadataka” je uključeno u uslov „U. ispravno riješiti više od 8 zadataka", ali se ne odnosi na uvjet "W. ispravno riješiti više od 9 problema.
Međutim, uslov „U. ispravno riješiti više od 9 zadataka" sadržano je u uvjetu "U. ispravno riješiti više od 8 zadataka. Dakle, ako označimo događaje: „W. tačno reši tačno 9 zadataka" - do A, "U. tačno riješiti više od 8 zadataka" - do B, "U. ispravno riješi više od 9 problema ”kroz C. Tada će rješenje izgledati ovako:
Odgovor: 0.06.
Na ispitu iz geometrije student odgovara na jedno pitanje sa liste ispitnih pitanja. Vjerovatnoća da je ovo pitanje trigonometrije je 0,2. Vjerovatnoća da je ovo pitanje vanjskih uglova je 0,15. Nema pitanja vezanih za ove dvije teme u isto vrijeme. Odrediti vjerovatnoću da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.
Hajde da razmislimo o tome koje događaje imamo. Nama su data dva nespojiva događaja. Odnosno, ili će se pitanje odnositi na temu "Trigonometrija", ili na temu "Spoljni uglovi". Prema teoremi vjerovatnoće, vjerovatnoća nekompatibilnih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća svakog događaja, moramo pronaći zbir vjerovatnoća ovih događaja, odnosno:
Odgovor: 0,35.
Prostorija je osvetljena fenjerom sa tri lampe. Verovatnoća da jedna lampa pregori u godini je 0,29. Nađite vjerovatnoću da barem jedna lampa ne pregori u toku jedne godine.
Hajde da razmotrimo moguće događaje. Imamo tri sijalice, od kojih svaka može ili ne mora da pregori nezavisno od bilo koje druge sijalice. To su nezavisni događaji.
Zatim navodimo varijante takvih događaja. Prihvatamo oznaku: - sijalica je upaljena, - sijalica je pregorela. I odmah zatim izračunavamo vjerovatnoću događaja. Na primjer, vjerovatnoća događaja u kojem su se dogodila tri nezavisna događaja "sijalica je pregorjela", "sijalica upaljena", "sijalica upaljena": .
Imajte na umu da postoji samo 7 nekompatibilnih događaja koji su nam povoljni. Vjerovatnoća takvih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća svakog od događaja: .
Odgovor: 0,975608.
Još jedan problem možete vidjeti na slici:
Tako smo ti i ja shvatili šta je teorija vjerovatnoće, formule i primjeri rješavanja problema za koje se možete upoznati u verziji ispita.
U početku, kao samo zbirka informacija i empirijskih zapažanja o igri kockica, teorija vjerovatnoće je postala solidna nauka. Fermat i Pascal su prvi dali matematički okvir.
Od razmišljanja o vječnom do teorije vjerovatnoće
Dva pojedinca kojima teorija vjerovatnoće duguje mnoge fundamentalne formule, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznati su kao duboko religiozni ljudi, potonji je bio prezbiterijanski sveštenik. Očigledno je želja ove dvojice naučnika da dokažu pogrešno mišljenje o određenoj Fortuni, dajući sreću njenim miljenicima, dala podsticaj istraživanjima u ovoj oblasti. Uostalom, svaka igra na sreću, sa svojim pobjedama i porazima, samo je simfonija matematičkih principa.
Zahvaljujući uzbuđenju Chevalier de Merea, koji je bio podjednako kockar i osoba koja nije bila ravnodušna prema nauci, Pascal je bio primoran da pronađe način da izračuna vjerovatnoću. De Merea je zanimalo ovo pitanje: "Koliko puta trebate baciti dvije kockice u paru da bi vjerovatnoća da dobijete 12 poena veća od 50%?". Drugo pitanje koje je gospodina izuzetno zanimalo: "Kako podijeliti opkladu između učesnika u nedovršenoj igri?" Naravno, Pascal je uspješno odgovorio na oba pitanja de Merea, koji je postao nesvjesni inicijator razvoja teorije vjerovatnoće. Zanimljivo je da je ličnost de Merea ostala poznata na ovim prostorima, a ne u literaturi.
Ranije nijedan matematičar još nije pokušao izračunati vjerovatnoće događaja, jer se vjerovalo da je to samo rješenje za nagađanje. Blaise Pascal je dao prvu definiciju vjerovatnoće događaja i pokazao da je to specifična brojka koja se može matematički opravdati. Teorija vjerovatnoće je postala osnova za statistiku i široko se koristi u modernoj nauci.
Šta je slučajnost
Ako uzmemo u obzir test koji se može ponoviti beskonačan broj puta, onda možemo definirati slučajni događaj. Ovo je jedan od mogućih ishoda iskustva.
Iskustvo je izvođenje određenih radnji u stalnim uslovima.
Da bi se moglo raditi s rezultatima iskustva, događaji se obično označavaju slovima A, B, C, D, E...
Vjerovatnoća slučajnog događaja
Da bismo mogli da pređemo na matematički deo verovatnoće, potrebno je definisati sve njene komponente.
Vjerovatnoća događaja je numerička mjera mogućnosti nastanka nekog događaja (A ili B) kao rezultat nekog iskustva. Vjerovatnoća se označava kao P(A) ili P(B).
Teorija vjerovatnoće je:
- pouzdan zagarantovano je da će se događaj desiti kao rezultat eksperimenta R(Ω) = 1;
- nemoguće događaj se nikada ne može dogoditi R(Ø) = 0;
- nasumično događaj se nalazi između sigurnog i nemogućeg, odnosno vjerovatnoća njegovog nastanka je moguća, ali nije zagarantovana (vjerovatnoća slučajnog događaja je uvijek unutar 0≤P(A)≤1).
Odnosi između događaja
I jedan i zbir događaja A + B se uzimaju u obzir kada se događaj računa u implementaciji najmanje jedne od komponenti, A ili B, ili oboje - A i B.
U međusobnoj vezi događaji mogu biti:
- Jednako moguće.
- kompatibilan.
- Nekompatibilno.
- Suprotnost (međusobno isključiva).
- Zavisni.
Ako se dva događaja mogu dogoditi sa jednakom vjerovatnoćom, onda oni podjednako moguće.
Ako pojava događaja A ne poništi vjerovatnoću pojave događaja B, onda oni kompatibilan.
Ako se događaji A i B nikada ne dogode u isto vrijeme u istom eksperimentu, onda se oni nazivaju nekompatibilno. Bacanje novčića je dobar primjer: podizanje repa automatski nije podizanje glave.
Vjerovatnoća za zbir takvih nekompatibilnih događaja sastoji se od zbira vjerovatnoća svakog od događaja:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Ako pojava jednog događaja onemogućava nastanak drugog, onda se oni nazivaju suprotnim. Tada se jedan od njih označava kao A, a drugi - Ā (čita se kao "ne A"). Pojava događaja A znači da se Ā nije dogodilo. Ova dva događaja čine kompletnu grupu sa zbirom vjerovatnoća jednakim 1.
Zavisni događaji imaju međusobni uticaj, smanjujući ili povećavajući jedni druge verovatnoće.
Odnosi između događaja. Primjeri
Mnogo je lakše razumjeti principe teorije vjerovatnoće i kombinacije događaja koristeći primjere.
Eksperiment koji će se izvoditi je izvlačenje loptica iz kutije, a rezultat svakog eksperimenta je elementaran ishod.
Događaj je jedan od mogućih ishoda iskustva - crvena lopta, plava lopta, lopta sa brojem šest, itd.
Test broj 1. Ima 6 loptica, od kojih su tri plave sa neparnim brojevima, a ostale tri crvene sa parnim brojevima.
Test broj 2. Postoji 6 plavih loptica sa brojevima od jedan do šest.
Na osnovu ovog primjera možemo imenovati kombinacije:
- Pouzdan događaj. Na španskom Pod br. 2, događaj "dobi plavu loptu" je pouzdan, jer je vjerovatnoća njegovog nastanka 1, pošto su sve kuglice plave i ne može biti promašaja. Dok je događaj "dobiti loptu sa brojem 1" slučajan.
- Nemoguć događaj. Na španskom Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama, događaj "dobiti ljubičastu kuglu" je nemoguć, jer je vjerovatnoća njegovog nastanka 0.
- Ekvivalentni događaji. Na španskom Broj 1, podjednako su verovatni događaji „dobiti loptu sa brojem 2“ i „dobiti loptu sa brojem 3“, a događaji „dobiti loptu sa parnim brojem“ i „dobiti loptu sa brojem 2 ” imaju različite vjerovatnoće.
- Kompatibilni događaji. Dobivanje šestice u procesu bacanja kocke dvaput zaredom su kompatibilni događaji.
- Nekompatibilni događaji. Na istom španskom Događaji br. 1 "dobi crvenu loptu" i "dobi loptu sa neparnim brojem" ne mogu se kombinovati u istom iskustvu.
- suprotnih događaja. Najupečatljiviji primjer ovoga je bacanje novčića, gdje je crtanje glava isto što i ne izvlačenje repa, a zbir njihovih vjerovatnoća je uvijek 1 (puna grupa).
- Zavisni događaji. Dakle, na španskom Broj 1, možete sebi postaviti cilj da dvaput zaredom izvučete crvenu loptu. Ekstrahovanje ili ne izdvajanje prvi put utiče na verovatnoću da se izvuče drugi put.
Vidi se da prvi događaj značajno utiče na vjerovatnoću drugog (40% i 60%).
Formula vjerovatnoće događaja
Prelazak sa proricanja sudbine na tačne podatke se dešava prenošenjem teme na matematičku ravan. Odnosno, prosudbe o slučajnom događaju poput "velike vjerovatnoće" ili "minimalne vjerovatnoće" mogu se prevesti u specifične numeričke podatke. Već je dozvoljeno procjenjivati, upoređivati i uvoditi takav materijal u složenije proračune.
Sa stanovišta proračuna, definicija vjerovatnoće događaja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda i broja svih mogućih ishoda iskustva u odnosu na određeni događaj. Vjerovatnoća je označena sa P (A), gdje P znači riječ "vjerovatnoća", što je s francuskog prevedeno kao "vjerovatnoća".
Dakle, formula za vjerovatnoću događaja je:
Gdje je m broj povoljnih ishoda za događaj A, n je zbir svih mogućih ishoda za ovo iskustvo. Vjerovatnoća događaja je uvijek između 0 i 1:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Proračun vjerovatnoće događaja. Primjer
Uzmimo španski. Br. 1 sa loptama, što je ranije opisano: 3 plave kuglice sa brojevima 1/3/5 i 3 crvene kuglice sa brojevima 2/4/6.
Na osnovu ovog testa može se razmotriti nekoliko različitih zadataka:
- A - ispuštanje crvene lopte. Postoje 3 crvene kuglice, a ukupno ima 6 varijanti Ovo je najjednostavniji primjer u kojem je vjerovatnoća događaja P(A)=3/6=0,5.
- B - ispuštanje parnog broja. Ukupno ima 3 (2,4,6) parna broja, a ukupan broj mogućih numeričkih opcija je 6. Vjerovatnoća ovog događaja je P(B)=3/6=0,5.
- C - gubitak broja većeg od 2. Postoje 4 takve opcije (3,4,5,6) od ukupnog broja mogućih ishoda 6. Vjerovatnoća događaja C je P(C)=4/6= 0,67.
Kao što se može vidjeti iz proračuna, događaj C ima veću vjerovatnoću, jer je broj mogućih pozitivnih ishoda veći nego u A i B.
Nekompatibilni događaji
Takvi događaji ne mogu se pojaviti istovremeno u istom iskustvu. Kao na španskom Broj 1, nemoguće je dobiti plavu i crvenu loptu u isto vrijeme. Odnosno, možete dobiti ili plavu ili crvenu loptu. Na isti način, paran i neparan broj se ne mogu pojaviti u kockici u isto vrijeme.
Vjerovatnoća dva događaja se smatra vjerovatnoćom njihovog zbira ili proizvoda. Zbir takvih događaja A + B smatra se događajem koji se sastoji u pojavi događaja A ili B, a proizvod njihovog AB - u pojavi oba. Na primjer, pojavljivanje dvije šestice odjednom na stranama dvije kocke u jednom bacanju.
Zbir nekoliko događaja je događaj koji implicira pojavu barem jednog od njih. Proizvod nekoliko događaja je zajednička pojava svih njih.
U teoriji vjerovatnoće, po pravilu, upotreba unije "i" označava zbir, unija "ili" - množenje. Formule s primjerima pomoći će vam da shvatite logiku sabiranja i množenja u teoriji vjerojatnosti.
Vjerovatnoća zbira nespojivih događaja
Ako se uzme u obzir vjerovatnoća nekompatibilnih događaja, tada je vjerovatnoća zbira događaja jednaka zbroju njihovih vjerovatnoća:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Na primjer: izračunavamo vjerovatnoću da na španskom. Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama ispustiće broj između 1 i 4. Računaćemo ne u jednoj akciji, već zbirom verovatnoća elementarnih komponenti. Dakle, u takvom eksperimentu postoji samo 6 kuglica ili 6 od svih mogućih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju uslov su 2 i 3. Verovatnoća da se dobije broj 2 je 1/6, verovatnoća broja 3 je takođe 1/6. Vjerovatnoća da dobijete broj između 1 i 4 je:
Vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja cijele grupe je 1.
Dakle, ako u eksperimentu s kockom zbrojimo vjerovatnoće da dobijemo sve brojeve, onda kao rezultat dobijemo jedan.
To vrijedi i za suprotne događaje, na primjer, u eksperimentu s novčićem, gdje je jedna od njegovih strana događaj A, a druga je suprotan događaj Ā, kao što je poznato,
R(A) + R(Ā) = 1
Vjerovatnoća stvaranja nekompatibilnih događaja
Množenje vjerovatnoća se koristi kada se razmatra pojava dva ili više nekompatibilnih događaja u jednom posmatranju. Vjerovatnoća da će se događaji A i B u njemu pojaviti u isto vrijeme jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća, ili:
P(A*B)=P(A)*P(B)
Na primjer, vjerovatnoća da u Broj 1 kao rezultat dva pokušaja, dva puta će se pojaviti plava lopta, jednaka
Odnosno, vjerovatnoća da se dogodi događaj kada će se, kao rezultat dva pokušaja vađenja loptica, izvući samo plave kuglice, iznosi 25%. Vrlo je lako napraviti praktične eksperimente na ovom problemu i vidjeti da li je to zaista slučaj.
Zajednički događaji
Događaji se smatraju zajedničkim kada se pojava jednog od njih može poklopiti s pojavom drugog. Uprkos činjenici da su zajednički, razmatra se vjerovatnoća nezavisnih događaja. Na primjer, bacanje dvije kocke može dati rezultat kada na obje padne broj 6. Iako su se događaji poklopili i pojavili u isto vrijeme, oni su nezavisni jedan od drugog - samo jedna šestica može ispasti, druga kockica nema uticaj na to.
Vjerovatnoća zajedničkih događaja smatra se vjerovatnoćom njihovog zbira.
Vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja. Primjer
Vjerovatnoća zbira događaja A i B, koji su međusobno povezani, jednaka je zbroju vjerovatnoća događaja minus vjerovatnoća njihovog proizvoda (odnosno njihove zajedničke implementacije):
R zglob. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)
Pretpostavimo da je vjerovatnoća da ćete pogoditi metu jednim udarcem 0,4. Zatim događaj A - pogađanje mete u prvom pokušaju, B - u drugom. Ovi događaji su zajednički, jer je moguće da je moguće pogoditi metu i iz prvog i iz drugog hica. Ali događaji nisu zavisni. Kolika je vjerovatnoća da ćete pogoditi metu sa dva hica (najmanje jednim)? prema formuli:
0,4+0,4-0,4*0,4=0,64
Odgovor na pitanje je: "Vjerovatnoća pogađanja mete sa dva hica je 64%".
Ova formula za vjerovatnoću događaja može se primijeniti i na nekompatibilne događaje, gdje je vjerovatnoća zajedničkog nastupa događaja P(AB) = 0. To znači da se vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja može smatrati posebnim slučajem. predložene formule.
Geometrija vjerovatnoće radi jasnoće
Zanimljivo je da se vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja može predstaviti kao dvije oblasti A i B koje se međusobno seku. Kao što možete vidjeti sa slike, površina njihovog spoja jednaka je ukupnoj površini minus površina njihovog sjecišta. Ovo geometrijsko objašnjenje čini naizgled nelogičnu formulu razumljivijom. Imajte na umu da geometrijska rješenja nisu neuobičajena u teoriji vjerojatnosti.
Definicija vjerovatnoće zbira skupa (više od dva) zajedničkih događaja je prilično glomazna. Da biste ga izračunali, morate koristiti formule koje su predviđene za ove slučajeve.
Zavisni događaji
Zavisni događaji se nazivaju ako pojava jednog (A) od njih utiče na vjerovatnoću pojave drugog (B). Štaviše, uzima se u obzir uticaj i pojave događaja A i njegovog nenastupanja. Iako se događaji po definiciji nazivaju zavisnim, samo jedan od njih je zavisan (B). Uobičajena vjerovatnoća je označena kao P(B) ili vjerovatnoća nezavisnih događaja. U slučaju zavisnih uvodi se novi koncept - uslovna verovatnoća P A (B), koja je verovatnoća zavisnog događaja B pod uslovom da se dogodio događaj A (hipoteza), od kojeg zavisi.
Ali događaj A je takođe slučajan, tako da ima i vjerovatnoću koja se mora i može uzeti u obzir u proračunima. Sljedeći primjer će pokazati kako raditi sa zavisnim događajima i hipotezom.
Primjer izračunavanja vjerovatnoće zavisnih događaja
Dobar primjer za izračunavanje zavisnih događaja je standardni špil karata.
Koristeći primjer špila od 36 karata, razmotrite zavisne događaje. Potrebno je odrediti vjerovatnoću da će druga izvučena karta iz špila biti dijamantska boja, ako je prva izvučena karta:
- Tambura.
- Drugo odijelo.
Očigledno, vjerovatnoća drugog događaja B zavisi od prvog A. Dakle, ako je tačna prva opcija, a to je 1 karta (35) i 1 romb (8) manje u špilu, vjerovatnoća događaja B:
P A (B) \u003d 8 / 35 = 0,23
Ako je druga opcija tačna, tada u špilu ima 35 karata, a ukupan broj tambura (9) je i dalje sačuvan, tada je vjerovatnoća sljedećeg događaja B:
P A (B) = 9/35 = 0,26.
Može se vidjeti da ako je događaj A uvjetovan činjenicom da je prva karta dijamant, onda se vjerovatnoća događaja B smanjuje i obrnuto.
Množenje zavisnih događaja
Na osnovu prethodnog poglavlja, prihvatamo prvi događaj (A) kao činjenicu, ali u suštini ima slučajan karakter. Vjerovatnoća ovog događaja, odnosno vađenja tambure iz špila karata, jednaka je:
P(A) = 9/36=1/4
Budući da teorija ne postoji sama po sebi, već je pozvana da služi praktičnim svrhama, pošteno je napomenuti da je najčešće potrebna vjerovatnoća proizvodnje zavisnih događaja.
Prema teoremi o proizvodu vjerovatnoća zavisnih događaja, vjerovatnoća pojave zajednički zavisnih događaja A i B jednaka je vjerovatnoći jednog događaja A, pomnoženoj sa uslovnom vjerovatnoćom događaja B (u zavisnosti od A):
P (AB) \u003d P (A) * P A (B)
Zatim u primjeru sa špilom, vjerovatnoća da se izvuku dvije karte s odijelom dijamanata je:
9/36*8/35=0,0571 ili 5,7%
A vjerovatnoća da se prvo ne izvade dijamanti, a zatim dijamanti, jednaka je:
27/36*9/35=0,19 ili 19%
Može se vidjeti da je vjerovatnoća nastanka događaja B veća, pod uslovom da se prva izvuče karta druge boje osim dijamanta. Ovaj rezultat je sasvim logičan i razumljiv.
Ukupna vjerovatnoća događaja
Kada problem sa uslovnim verovatnoćama postane višestruk, ne može se izračunati konvencionalnim metodama. Kada postoji više od dvije hipoteze, odnosno A1, A2, ..., A n , .. formira kompletnu grupu događaja pod uslovom:
- P(A i)>0, i=1,2,…
- A i ∩ A j =Ø,i≠j.
- Σ k A k =Ω.
Dakle, formula za ukupnu vjerovatnoću za događaj B sa kompletnom grupom slučajnih događaja A1, A2, ..., A n je:
Pogled u budućnost
Vjerovatnoća slučajnog događaja je bitna u mnogim oblastima nauke: ekonometriji, statistici, fizici itd. Pošto se neki procesi ne mogu opisati deterministički, budući da su sami po sebi vjerovatnost, potrebne su posebne metode rada. Teorija vjerovatnoće događaja može se koristiti u bilo kojoj tehnološkoj oblasti kao način da se odredi mogućnost greške ili kvara.
Može se reći da, prepoznajući vjerovatnoću, na neki način činimo teorijski korak u budućnost, gledajući je kroz prizmu formula.
Htjeli mi to ili ne, naš život je pun svih vrsta nezgoda, kako ugodnih, tako i ne baš. Stoga bi svakom od nas bilo dobro da zna kako pronaći vjerovatnoću nekog događaja. Ovo će vam pomoći da donesete ispravne odluke u svim okolnostima koje su povezane s neizvjesnošću. Na primjer, takvo znanje će biti vrlo korisno pri odabiru opcija ulaganja, procjeni mogućnosti dobitka dionice ili lutrije, utvrđivanju realnosti ostvarivanja osobnih ciljeva itd., itd.
Formula vjerovatnoće
U principu, proučavanje ove teme ne oduzima previše vremena. Da biste dobili odgovor na pitanje: "Kako pronaći vjerovatnoću pojave?", morate razumjeti ključne koncepte i zapamtiti osnovne principe na kojima se izračunavanje zasniva. Dakle, prema statistici, događaji koji se proučavaju su označeni sa A1, A2,..., An. Svaki od njih ima i povoljne ishode (m) i ukupan broj elementarnih ishoda. Na primjer, zanima nas kako pronaći vjerovatnoću da će paran broj tačaka biti na gornjoj strani kocke. Tada je A roll m - kotrljanje 2, 4 ili 6 (tri povoljna izbora), a n je svih šest mogućih izbora.
Sama formula za izračun je sljedeća:
Sa jednim ishodom sve je izuzetno lako. Ali kako pronaći vjerovatnoću ako događaji idu jedan za drugim? Razmotrimo ovaj primjer: jedna karta se prikazuje iz špila karata (36 komada), zatim se sakriva nazad u špil, a nakon miješanja, sljedeća se izvlači. Kako pronaći vjerovatnoću da je barem u jednom slučaju izvučena pikova dama? Postoji sljedeće pravilo: ako se razmatra složeni događaj, koji se može podijeliti na nekoliko nekompatibilnih jednostavnih događaja, tada prvo možete izračunati rezultat za svaki od njih, a zatim ih zbrajati. U našem slučaju to će izgledati ovako: 1/36 + 1/36 = 1/18. Ali šta je kada se nekoliko dešava u isto vreme? Zatim množimo rezultate! Na primjer, vjerovatnoća da će kada se dva novčića baciti istovremeno, dva repa ispasti bit će jednaka: ½ * ½ = 0,25.
Uzmimo sada još složeniji primjer. Pretpostavimo da uđemo u lutriju knjiga u kojoj je deset od trideset listića dobitno. Potrebno je utvrditi:
- Verovatnoća da će oboje pobediti.
- Bar jedan od njih će donijeti nagradu.
- Obojica će biti gubitnici.
Dakle, razmotrimo prvi slučaj. Može se podijeliti na dva događaja: prva karta će biti sretna, a druga će također biti sretna. Uzmimo u obzir da su događaji zavisni, jer se nakon svakog izvlačenja ukupan broj opcija smanjuje. Dobijamo:
10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.
U drugom slučaju, morate odrediti vjerovatnoću gubitka tiketa i uzeti u obzir da može biti i prvi u nizu i drugi: 10 / 30 * 20 / 29 + 20 / 29 * 10 / 30 = 0,4598.
Konačno, treći slučaj, kada se ni jedna knjiga ne može dobiti na lutriji: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.