คนเหล่านั้นที่ไม่รู้วิธีการเขียนโปรแกรมอย่างน้อยในระดับสูตร Excel ไม่มีความสุข! ตัวอย่างเช่น สำหรับพวกเขาดูเหมือนว่าความขัดแย้งของทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นนิสัยของนักคณิตศาสตร์ที่ไม่สามารถเข้าใจได้ ชีวิตจริง. ในขณะเดียวกัน ทฤษฎีความน่าจะเป็นจำลองกระบวนการจริง ในขณะที่ความคิดของมนุษย์มักไม่สามารถทำได้ เต็มตระหนักถึงสิ่งที่เกิดขึ้น

มาดูความขัดแย้งของ Monty Hall กันดีกว่า ฉันจะให้สูตรจากวิกิพีเดียภาษารัสเซียที่นี่:

ลองนึกภาพว่าคุณได้เป็นผู้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณต้องเลือกหนึ่งในสามประตู หลังประตูบานหนึ่งมีรถยนต์ หลังประตูอีกสองบานมีแพะ คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง เช่น หมายเลข 1 หลังจากนั้นผู้นำซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและแพะอยู่ที่ไหน ก็เปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ เช่น หมายเลข 3 ซึ่งอยู่ด้านหลังซึ่งมีแพะอยู่ จากนั้นเขาก็ถามคุณว่าคุณต้องการเปลี่ยนตัวเลือกและเลือกประตูหมายเลข 2 หรือไม่ โอกาสในการชนะรถของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่หากคุณยอมรับข้อเสนอของเจ้าบ้านและเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ?

(ในกรณีนี้ผู้เข้าร่วมเกมจะรู้กฎต่อไปนี้ล่วงหน้า:

1. รถจะถูกวางไว้ด้านหลังประตูทั้ง 3 บานเท่ากัน
2. ไม่ว่าในกรณีใดผู้นำเสนอจะต้องเปิดประตูพร้อมกับแพะ (แต่ไม่ใช่ตัวที่ผู้เล่นเลือก) และเชิญผู้เล่นให้เปลี่ยนตัวเลือก
3. หากผู้นำสามารถเลือกได้ว่าจะเปิดประตูบานใด 2 บานก็เลือกบานใดบานหนึ่งที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน)

เมื่อมองแวบแรก อัตราต่อรองไม่ควรเปลี่ยนแปลง (ขออภัย นี่ไม่ใช่ความขัดแย้งสำหรับฉันอีกต่อไป และฉันไม่สามารถหาคำอธิบายที่ไม่ถูกต้องได้อีกต่อไปว่าทำไมอัตราต่อรองจึงไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งเมื่อมองแวบแรกจะดูสมเหตุสมผล)

โดยปกติแล้ว ผู้บรรยายของความขัดแย้งนี้จะเริ่มใช้เหตุผลที่ซับซ้อนหรือทำให้ผู้อ่านมีสูตรมากเกินไป แต่ถ้าคุณรู้การเขียนโปรแกรมเพียงเล็กน้อย คุณไม่จำเป็นต้องมีสิ่งนี้ คุณสามารถทำการทดสอบจำลองและดูว่าคุณชนะหรือแพ้บ่อยแค่ไหนด้วยกลยุทธ์เฉพาะ

จริงๆ แล้ว ความน่าจะเป็นคืออะไร? เมื่อพวกเขาพูดว่า "ด้วยกลยุทธ์ที่กำหนด ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3" ซึ่งหมายความว่าหากคุณทำการทดลอง 1,000 ครั้ง คุณจะชนะการทดลองประมาณ 333 ครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่งคือโอกาสคือ "1 ใน 3" - นี่คือหนึ่งในสามของการทดลองอย่างแท้จริง “ความน่าจะเป็น 2/3” จะเท่ากันทุกประการในสองในสามกรณี

เรามาทำการทดลองมอนตี้ ฮอลล์กันดีกว่า การทดลองหนึ่งรายการสามารถใส่ลงในตาราง Excel หนึ่งบรรทัดได้อย่างง่ายดาย นี่คือ (ไฟล์นี้ควรค่าแก่การดาวน์โหลดไฟล์เพื่อดูสูตร) ​​ฉันจะให้คำอธิบายที่นี่เป็นคอลัมน์:

ก. หมายเลขการทดลอง (เพื่อความสะดวก)

B. สร้างทั้งหมด หมายเลขสุ่มจาก 1 ถึง 3 นี่จะเป็นประตูที่ซ่อนรถไว้ด้านหลัง

ซี-อี เพื่อความชัดเจน ฉันจึงวาง "แพะ" และ "รถยนต์" ไว้ในเซลล์เหล่านี้

F. ตอนนี้เราเลือกประตูสุ่ม (อันที่จริงเราสามารถเลือกประตูเดียวกันได้ตลอดเวลาเนื่องจากการสุ่มในการเลือกประตูสำหรับรถยนต์ก็เพียงพอแล้วสำหรับรุ่น - ตรวจสอบ!)

G. ตอนนี้เจ้าบ้านเลือกประตูจากสองประตูที่เหลือที่จะเปิดให้คุณ

H. และนี่คือสิ่งที่สำคัญที่สุด: มันไม่ได้เปิดประตูที่อยู่ด้านหลังรถ แต่ถ้าคุณชี้ไปที่ประตูพร้อมกับแพะในตอนแรก มันจะเปิดประตูบานอื่นที่เป็นไปได้พร้อมกับแพะ! นี่คือเคล็ดลับของเขาสำหรับคุณ

I. ทีนี้มาคำนวณโอกาสกันดีกว่า ในตอนนี้เราจะไม่เปลี่ยนประตู – กล่าวคือ ลองนับกรณีที่คอลัมน์ B เท่ากับคอลัมน์ F ให้มี "1" - ชนะและ "0" - แพ้ ผลรวมของเซลล์ (เซลล์ I1003) คือจำนวนชัยชนะ ตัวเลขควรใกล้เคียง 333 (เรากำลังทำการทดลองทั้งหมด 1,000 ครั้ง) แท้จริงแล้ว การหารถอยู่หลังประตูทั้ง 3 บานนั้นมีความเป็นไปได้พอๆ กัน ซึ่งหมายความว่าเมื่อเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง โอกาสในการเดาคือหนึ่งในสาม

เจ ยังไม่พอ! เรามาเปลี่ยนทางเลือกกันเถอะ

K. ในทำนองเดียวกัน: “1” – ชนะ, “0” – แพ้ แล้วทั้งหมดเป็นเท่าไหร่? และผลรวมเป็นตัวเลขเท่ากับ 1,000 ลบด้วยตัวเลขจากเซลล์ I1003 เช่น ใกล้ถึง 667 สิ่งนี้ทำให้คุณประหลาดใจไหม? มีอะไรเกิดขึ้นอีกไหม? ท้ายที่สุดแล้วไม่มีประตูอื่นที่ปิดอยู่! หากประตูที่เลือกในตอนแรกทำให้คุณชนะ 333 ครั้งจาก 1,000 ประตูอีกประตูควรให้คุณชนะในกรณีที่เหลือทั้งหมด!

ตอนนี้คุณเข้าใจฉันแล้วว่าทำไมฉันไม่เห็นความขัดแย้งที่นี่? หากมี 2 กลยุทธ์ที่แยกจากกันเท่านั้น และกลยุทธ์หนึ่งชนะด้วยความน่าจะเป็น p ดังนั้นอีกกลยุทธ์หนึ่งควรให้ชัยชนะด้วยความน่าจะเป็น 1-p นี่คือความขัดแย้งแบบไหน

หากคุณชอบโพสต์นี้ ตอนนี้ให้ลองสร้างไฟล์ที่คล้ายกันสำหรับความขัดแย้งระหว่างเด็กผู้ชายและเด็กผู้หญิงตามสูตรต่อไปนี้:

นายสมิธเป็นพ่อของลูกสองคน เราพบเขาเดินไปตามถนนพร้อมกับเด็กชายตัวเล็ก ๆ ซึ่งเขาแนะนำให้เรารู้จักในฐานะลูกชายของเขาอย่างภาคภูมิใจ ความน่าจะเป็นที่ลูกอีกคนของคุณสมิธจะเป็นเด็กผู้ชายเป็นเท่าไร?

คำทักทายจากเวียดนามอันสดใส! :) มาร่วมงานกับเราสิ! :)

เราทุกคนคุ้นเคยกับสถานการณ์ที่แทนที่จะใช้การคำนวณอย่างมีสติ แต่เรากลับต้องอาศัยสัญชาตญาณของเรา ท้ายที่สุดเราต้องยอมรับว่าไม่สามารถคำนวณทุกอย่างก่อนตัดสินใจเลือกได้เสมอไป และไม่ว่าคนที่ไม่จริงใจจะเป็นอย่างไรซึ่งคุ้นเคยกับการตัดสินใจหลังจากวิเคราะห์อย่างรอบคอบแล้ว พวกเขาก็ไม่เคยต้องทำแบบนั้นโดยยึดหลักการ "น่าจะเป็นอย่างนั้น" เหตุผลประการหนึ่งสำหรับการดำเนินการดังกล่าวอาจเป็นเพราะขาดเวลาที่จำเป็นในการประเมินสถานการณ์

ในขณะเดียวกัน ตัวเลือกก็กำลังรอสถานการณ์ปัจจุบันอยู่ และไม่อนุญาตให้คุณหลบหนีคำตอบหรือการกระทำ แต่สถานการณ์ที่ยุ่งยากยิ่งกว่าสำหรับเราที่กำลังอยู่ อย่างแท้จริงทำให้เกิดอาการกระตุกของสมอง - นี่คือการทำลายความมั่นใจในความถูกต้องของตัวเลือกหรือความเหนือกว่าที่เป็นไปได้เหนือตัวเลือกอื่น ๆ ตามข้อสรุปเชิงตรรกะ ความขัดแย้งที่มีอยู่ทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากสิ่งนี้

Paradox ในเกมรายการทีวี Let's Make a Deal

ความขัดแย้งประการหนึ่งที่ก่อให้เกิดการถกเถียงอย่างดุเดือดในหมู่ผู้ที่ชื่นชอบปริศนาเรียกว่า Monty Hall Paradox ตั้งชื่อตามพิธีกรรายการทีวีของสหรัฐฯ ชื่อ "Let's Make a Deal" ในรายการทีวี พิธีกรเสนอให้เปิดประตู 1 ประตูจาก 3 ประตู โดยรางวัลคือรถยนต์ 1 คัน ส่วนด้านหลังอีก 2 ประตูมีแพะประตูละ 1 ตัว

ผู้เข้าร่วมในเกมตัดสินใจเลือก แต่ผู้นำเสนอเมื่อรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนไม่ได้เปิดประตูที่ผู้เล่นระบุ แต่เป็นอีกประตูหนึ่งซึ่งมีแพะอยู่และเสนอให้เปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นของผู้เล่น สำหรับการวิเคราะห์เพิ่มเติม เรายอมรับพฤติกรรมของผู้นำที่แปรผันนี้ แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วอาจมีการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะๆ เราจะแสดงรายการตัวเลือกสถานการณ์การพัฒนาอื่นๆ ด้านล่างในบทความ

สาระสำคัญของความขัดแย้งคืออะไร?

อีกครั้ง ทีละจุด มากำหนดเงื่อนไขและเปลี่ยนวัตถุในเกมเป็นของเราเองเพื่อความหลากหลาย

ผู้เข้าร่วมเกมอยู่ในห้องที่มีตู้นิรภัยสามใบ หนึ่งในสามเซลล์มีทองคำแท่งหนึ่งส่วนอีกสองเหรียญมีหนึ่งเหรียญที่มีมูลค่าหน้า 1 kopeck ของสหภาพโซเวียต

ดังนั้นผู้เข้าร่วมต้องเผชิญกับทางเลือกและเงื่อนไขของเกมมีดังนี้:

1. ผู้เข้าร่วมสามารถเลือกได้เพียงหนึ่งในสามเซลล์เท่านั้น
2. นายธนาคารทราบตำแหน่งของทองคำแท่งตั้งแต่แรก
3. นายธนาคารจะเปิดช่องด้วยเหรียญที่แตกต่างจากตัวเลือกของผู้เล่นเสมอ และเสนอให้เปลี่ยนตัวเลือกของผู้เล่น
4. ผู้เล่นสามารถเปลี่ยนตัวเลือกของเขาหรือออกจากตัวเลือกเดิมได้

สัญชาตญาณพูดว่าอะไร?

ความขัดแย้งก็คือสำหรับคนส่วนใหญ่ที่เคยคิดอย่างมีตรรกะ โอกาสในการชนะหากพวกเขาเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นคือ 50 ถึง 50 อย่างไรก็ตาม หลังจากที่นายธนาคารเปิดช่องอื่นด้วยเหรียญ ซึ่งแตกต่างจากตัวเลือกเริ่มต้นของผู้เล่น 2 เซลล์ยังคงอยู่ โดยเซลล์หนึ่งมีทองคำแท่ง และอีกเซลล์หนึ่งมีเหรียญ ผู้เล่นจะได้รับทองคำแท่งหากเขายอมรับข้อเสนอของนายธนาคารในการเปลี่ยนเซลล์ โดยมีเงื่อนไขว่าไม่มีทองคำแท่งอยู่ในเซลล์ที่ผู้เล่นเลือกไว้แต่แรก และในทางกลับกันเมื่อไร เงื่อนไขที่กำหนด- แพ้หากเขาปฏิเสธที่จะยอมรับข้อเสนอ

ตามที่สามัญสำนึกแนะนำ ความน่าจะเป็นในการเลือกแท่งโลหะและชนะในกรณีนี้คือ 1/2 แต่ในความเป็นจริงแล้วสถานการณ์แตกต่างออกไป! “แต่จะเป็นไปได้อย่างไร ทุกอย่างชัดเจนที่นี่” - คุณถาม. สมมติว่าคุณเลือกเซลล์หมายเลข 1 ตามสัญชาตญาณแล้ว ไม่ว่าคุณจะเลือกอะไรในตอนแรก แต่ท้ายที่สุดแล้ว คุณก็มีตัวเลือกระหว่างเหรียญกับแท่งโลหะ และหากในตอนแรก คุณมีความน่าจะเป็น 1/3 ที่จะได้รับรางวัล แล้วท้ายที่สุด เมื่อนายธนาคารเปิดเซลล์หนึ่ง คุณก็จะได้รับความน่าจะเป็น 1/2 ความน่าจะเป็นดูเหมือนจะเพิ่มขึ้นจาก 1/3 เป็น 1/2 จากการวิเคราะห์เกมอย่างรอบคอบ ปรากฎว่าเมื่อการตัดสินใจเปลี่ยนไป ความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นเป็น 2/3 แทนที่จะเป็น 1/2 ตามสัญชาตญาณ มาดูกันว่าเหตุใดจึงเกิดเหตุการณ์เช่นนี้

ซึ่งแตกต่างจากระดับสัญชาตญาณที่จิตสำนึกของเราพิจารณาว่าเหตุการณ์หลังจากเปลี่ยนเซลล์เป็นสิ่งที่แยกจากกันและลืมเกี่ยวกับตัวเลือกเริ่มต้น คณิตศาสตร์ไม่ได้แยกเหตุการณ์ทั้งสองนี้ออกจากกัน แต่จะรักษาสายโซ่ของเหตุการณ์ตั้งแต่ต้นจนจบ อย่างที่เราบอกไปก่อนหน้านี้ โอกาสในการชนะของเราถ้าเราได้แท่งโลหะทันทีคือ 1/3 และความน่าจะเป็นที่เราจะเลือกช่องที่มีเหรียญคือ 2/3 (เนื่องจากเรามีแท่งหนึ่งแท่งและสองเหรียญ) .

1. ในตอนแรกเราเลือกเซลล์ธนาคารที่มีแท่งโลหะ - ความน่าจะเป็น 1/3
   • หากผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือกโดยยอมรับข้อเสนอของนายธนาคาร เขาจะแพ้
   • หากผู้เล่นไม่เปลี่ยนตัวเลือกโดยไม่ยอมรับข้อเสนอของนายธนาคาร เขาจะชนะ
2. เราเลือกตู้เซฟที่มีเหรียญในครั้งแรก - ความน่าจะเป็น 2/3
   • หากผู้เล่นเปลี่ยนตัวเลือกของเขา เขาจะชนะ
   • หากผู้เล่นไม่เปลี่ยนตัวเลือกเขาจะแพ้

ดังนั้น เพื่อให้ผู้เล่นออกจากธนาคารโดยมีทองคำแท่งอยู่ในกระเป๋า เขาจะต้องเลือกตำแหน่งที่เสียไปในตอนแรกด้วยเหรียญ (ความน่าจะเป็น 1/3) จากนั้นจึงยอมรับข้อเสนอของนายธนาคารเพื่อเปลี่ยนเซลล์

เพื่อที่จะเข้าใจความขัดแย้งนี้และแยกตัวออกจากพันธนาการของรูปแบบของตัวเลือกเริ่มต้นและเซลล์ที่เหลือ ลองจินตนาการถึงพฤติกรรมของผู้เล่นในทิศทางตรงกันข้าม ก่อนที่นายธนาคารจะเสนอห้องขังให้ผู้เล่นตัดสินใจในใจว่าเขากำลังเปลี่ยนตัวเลือกของเขา และหลังจากนั้นเหตุการณ์เปิดประตูพิเศษจะตามมาสำหรับเขาเท่านั้น ทำไมจะไม่ล่ะ? ท้ายที่สุดแล้ว ประตูที่เปิดอยู่ไม่ได้ให้ข้อมูลเพิ่มเติมแก่เขาในลำดับเชิงตรรกะเช่นนี้ ในช่วงแรกของเวลา ผู้เล่นจะแบ่งเซลล์ออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกคือพื้นที่ที่มีเซลล์หนึ่งที่มีตัวเลือกเริ่มต้น ส่วนที่สองกับเซลล์ที่เหลืออีกสองเซลล์ ต่อไปผู้เล่นจะต้องทำการเลือกระหว่างสองพื้นที่ ความน่าจะเป็นที่จะได้ทองคำแท่งจากช่องแรกคือ 1/3 จากช่องที่สองคือ 2/3 ตัวเลือกจะเป็นไปตามพื้นที่ที่สองซึ่งเขาสามารถเปิดสองเซลล์ได้ โดยเซลล์แรกจะเปิดโดยนายธนาคาร ส่วนเซลล์ที่สองจะเปิดเอง

มีคำอธิบายที่ชัดเจนยิ่งขึ้นสำหรับ Monty Hall Paradox เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องเปลี่ยนถ้อยคำของงาน นายธนาคารชี้แจงอย่างชัดเจนว่ามีทองคำแท่งอยู่ในหนึ่งในสามตู้นิรภัย ในกรณีแรกเขาเสนอให้เปิดหนึ่งในสามเซลล์และเซลล์ที่สอง - สองในเวลาเดียวกัน ผู้เล่นจะเลือกอะไร? แน่นอนว่า สองครั้งพร้อมกัน โดยเพิ่มความน่าจะเป็นเป็นสองเท่า และช่วงเวลาที่นายธนาคารเปิดช่องด้วยเหรียญ สิ่งนี้ไม่ได้ช่วยผู้เล่นแต่อย่างใดและไม่ขัดขวางการเลือกเพราะนายธนาคารจะแสดงช่องนี้ด้วยเหรียญไม่ว่าในกรณีใด ๆ ดังนั้นผู้เล่นจึงสามารถเพิกเฉยได้ การกระทำนี้ จากฝั่งผู้เล่น ทำได้เพียงขอบคุณนายธนาคารที่ทำให้ชีวิตของเขาง่ายขึ้น และแทนที่จะเปิดสองห้อง เขากลับต้องเปิดห้องขังหนึ่งห้อง ในที่สุดคุณก็สามารถกำจัด Paradox Syndrome ได้หากคุณวางตัวเองในตำแหน่งนายธนาคารที่รู้ในตอนแรกว่าผู้เล่นชี้ไปที่ประตูผิดในสองในสามกรณี สำหรับนายธนาคาร ไม่มีความขัดแย้งเช่นนี้ เพราะแน่นอนว่าในการผกผันของเหตุการณ์เช่นนี้ เขามั่นใจว่าหากเหตุการณ์เปลี่ยนแปลง ผู้เล่นจะได้ทองคำแท่ง

เห็นได้ชัดว่าความขัดแย้งของ Monty Hall ไม่อนุญาตให้ฝ่ายอนุรักษ์นิยมชนะ ซึ่งยืนหยัดอย่างมั่นคงในตัวเลือกเริ่มต้นและสูญเสียโอกาสในการเพิ่มความน่าจะเป็น สำหรับฝ่ายอนุรักษ์นิยม จะยังคงอยู่ที่ 1/3 สำหรับคนที่ระมัดระวังและมีไหวพริบ อัตราจะเพิ่มขึ้นเป็น 2/3 ข้างต้น

ข้อความข้างต้นทั้งหมดเกี่ยวข้องเฉพาะในกรณีที่ตรงตามเงื่อนไขที่ตกลงกันไว้ในตอนแรกเท่านั้น

จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มจำนวนเซลล์?

จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มจำนวนเซลล์? สมมติว่าแทนที่จะเป็นสามจะมี 50 แท่ง ทองคำแท่งจะอยู่ในเซลล์เดียวและอีก 49 ที่เหลือจะมีเหรียญ ในทางตรงกันข้ามกับกรณีคลาสสิก ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายขณะเคลื่อนที่คือ 1/50 หรือ 2% แทนที่จะเป็น 1/3 ในขณะที่ความน่าจะเป็นในการเลือกเซลล์ที่มีเหรียญคือ 98% จากนั้นสถานการณ์ก็พัฒนาเช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้า นายธนาคารเสนอให้เปิดเซลล์ใด ๆ จาก 50 เซลล์ตามที่ผู้เข้าร่วมเลือก สมมติว่าผู้เล่นเปิดเซลล์ที่มีหมายเลขซีเรียล 49 ในทางกลับกันนายธนาคารเช่นเดียวกับในเวอร์ชันคลาสสิกไม่ต้องรีบร้อนที่จะสนองความต้องการของผู้เล่นและเปิดอีก 48 เซลล์พร้อมเหรียญและเสนอให้เปลี่ยนตัวเลือกของเขาเป็นเซลล์ที่เหลือ ที่หมายเลข 50

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจที่นี่ว่านายธนาคารเปิด 48 เซลล์ ไม่ใช่ 30 เซลล์ และเหลือ 2 เซลล์ รวมถึงเซลล์ที่ผู้เล่นเลือกด้วย ทางเลือกนี้เองที่ทำให้ความขัดแย้งขัดแย้งกับสัญชาตญาณ เช่นเดียวกับกรณีของ รุ่นคลาสสิกการเปิด 48 เซลล์ของนายธนาคารเหลือเพียงทางเลือกเดียวให้เลือก กรณีของการเปิดเซลล์ที่เล็กกว่านั้นไม่อนุญาตให้เราวางปัญหาให้ทัดเทียมกับคลาสสิกและรู้สึกถึงความขัดแย้ง

แต่เนื่องจากเราได้สัมผัสตัวเลือกนี้แล้ว สมมติว่านายธนาคารไม่เหลือเซลล์เดียวยกเว้นเซลล์ที่ผู้เล่นเลือก แต่มีหลายเซลล์ นำเสนอเหมือนเมื่อก่อน 50 เซลล์ หลังจากเลือกผู้เล่นแล้ว นายธนาคารจะเปิดเพียงเซลล์เดียว โดยเหลือ 48 เซลล์ปิดอยู่ รวมถึงเซลล์ที่ผู้เล่นเลือกด้วย ความน่าจะเป็นที่จะเลือกแท่งโลหะในครั้งแรกคือ 1/50 โดยรวมแล้วความน่าจะเป็นที่จะพบแท่งโลหะในเซลล์ที่เหลือคือ 49/50 ซึ่งจะกระจายไม่เกิน 49 แต่มากกว่า 48 เซลล์ การคำนวณได้ไม่ยากว่าความน่าจะเป็นที่จะพบแท่งโลหะในตัวเลือกนี้คือ (49/50)/48=49/2900 ความน่าจะเป็นแม้จะไม่มากนัก แต่ก็ยังสูงกว่า 1/50 ประมาณ 1%

ดังที่เราได้กล่าวไว้ในตอนต้นว่า เจ้าบ้าน Monty Hall ในสถานการณ์เกมคลาสสิกที่มีประตู แพะ และรถรางวัลสามารถเปลี่ยนเงื่อนไขของเกม และความน่าจะเป็นในการชนะควบคู่ไปด้วย

คณิตศาสตร์ของความขัดแย้ง

สูตรทางคณิตศาสตร์สามารถพิสูจน์ความน่าจะเป็นที่เพิ่มขึ้นเมื่อเปลี่ยนตัวเลือกได้หรือไม่
ลองจินตนาการถึงห่วงโซ่ของเหตุการณ์ในรูปแบบของชุดที่แบ่งออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกจะถูกถือเป็น X - นี่คือห้องขังที่ผู้เล่นเลือกในระยะแรก และชุดที่สอง Y - เซลล์ที่เหลืออีกสองเซลล์ ความน่าจะเป็น (B) ที่จะชนะสำหรับเซลล์ 2 และ 3 สามารถแสดงได้โดยใช้สูตร

ข(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
ข(3) = 1/2 * 2/3= 1/3

โดยที่ 1/2 คือความน่าจะเป็นที่นายธนาคารจะเปิดเซลล์ 2 และ 3 โดยที่ผู้เล่นเลือกเซลล์ที่ไม่มีทองคำแท่งในตอนแรก
ถัดไป ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข 1/2 เมื่อนายธนาคารเปิดเซลล์ที่มีเหรียญเปลี่ยนเป็น 1 และ 0 จากนั้นสูตรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

ข(2) = 0 * 2/3 = 0
ข(3) = 1 * 2/3 = 1

ตรงนี้เราเห็นได้อย่างชัดเจนว่าความน่าจะเป็นในการเลือกแท่งโลหะในเซลล์ 3 คือ 2/3 ซึ่งมากกว่า 60 เปอร์เซ็นต์เท่านั้น
โปรแกรมเมอร์นั่นเอง ระดับเริ่มต้นสามารถตรวจสอบความขัดแย้งนี้ได้อย่างง่ายดายโดยการเขียนโปรแกรมที่คำนวณความน่าจะเป็นเมื่อเปลี่ยนตัวเลือกหรือในทางกลับกันแล้วเปรียบเทียบผลลัพธ์

คำอธิบายความขัดแย้งในภาพยนตร์ 21 (ยี่สิบเอ็ด)

คำอธิบายภาพเกี่ยวกับความขัดแย้งของมอนตี้ พอลมีให้ในภาพยนตร์เรื่อง "21" (ยี่สิบเอ็ด) กำกับโดยโรเบิร์ต ลูเคติค ในระหว่างการบรรยาย ศาสตราจารย์มิกกี้ โรซายกตัวอย่างจากรายการ Let's Make a Deal และถามนักเรียน Ben Campbell (นักแสดงและนักร้อง James Anthony) เกี่ยวกับการแจกแจงความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นผู้ให้การแจกแจงที่ถูกต้อง และทำให้ครูประหลาดใจ

ศึกษาความขัดแย้งด้วยตนเอง

สำหรับผู้ที่ต้องการตรวจสอบผลลัพธ์ด้วยตนเองในทางปฏิบัติ แต่ไม่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ เราขอแนะนำให้จำลองเกมด้วยตัวเอง โดยคุณจะเป็นเจ้าบ้านและคนอื่นจะเป็นผู้เล่น คุณสามารถให้เด็กๆ มีส่วนร่วมในเกมนี้ โดยจะเลือกลูกอมหรือกระดาษห่อขนมจากพวกเขาในกล่องกระดาษแข็งที่เตรียมไว้ ในแต่ละตัวเลือก อย่าลืมบันทึกผลลัพธ์เพื่อการคำนวณต่อไป

สูตร

ปัญหาที่พบบ่อยที่สุดก็คือกับ เงื่อนไขเพิ่มเติมหมายเลข 6 จากโต๊ะ - ผู้เข้าร่วมในเกมรู้กฎต่อไปนี้ล่วงหน้า:

• รถจะถูกวางไว้ด้านหลังประตูทั้ง 3 บานเท่ากัน
• ไม่ว่าในกรณีใดผู้นำเสนอจะต้องเปิดประตูพร้อมกับแพะและเชิญผู้เล่นให้เปลี่ยนตัวเลือก แต่ไม่ใช่ประตูที่ผู้เล่นเลือก
• หากผู้นำสามารถเลือกได้ว่าจะให้เปิดประตู 2 บานใด เขาจะเลือกบานใดบานหนึ่งด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน

ข้อความต่อไปนี้กล่าวถึงปัญหามอนตี ฮอลล์ในสูตรนี้อย่างชัดเจน

การวิเคราะห์

เมื่อแก้ไขปัญหานี้ พวกเขามักจะให้เหตุผลดังนี้: ผู้นำมักจะถอดประตูที่เสียไปหนึ่งบานออกเสมอ และความน่าจะเป็นที่รถจะปรากฏด้านหลังสองบานที่เปิดอยู่จะเท่ากับ 1/2 โดยไม่คำนึงถึงตัวเลือกเริ่มแรก

ประเด็นทั้งหมดก็คือด้วยการเลือกครั้งแรก ผู้เข้าร่วมจะแบ่งประตู: ประตูที่เลือก กและอีกสองคน - บีและ ค. ความน่าจะเป็นที่รถอยู่หลังประตูที่เลือก = 1/3 ว่ารถอยู่หลังประตูอื่น = 2/3

สำหรับประตูที่เหลือแต่ละบาน สถานการณ์ปัจจุบันจะอธิบายดังนี้:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

โดยที่ 1/2 คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขในการหารถที่อยู่หลังประตูที่กำหนด โดยที่รถไม่ได้อยู่หลังประตูที่ผู้เล่นเลือก

ผู้นำเสนอซึ่งเปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือซึ่งเป็นประตูที่แพ้เสมอจึงแจ้งให้ผู้เล่นทราบข้อมูล 1 บิตอย่างชัดเจนและเปลี่ยนความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขสำหรับ B และ C ตามลำดับเป็น "1" และ "0"

เป็นผลให้นิพจน์อยู่ในรูปแบบ:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

ดังนั้นผู้เข้าร่วมควรเปลี่ยนตัวเลือกเดิม - ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่จะชนะจะเท่ากับ 2/3

คำอธิบายที่ง่ายที่สุดประการหนึ่งมีดังต่อไปนี้: หากคุณเปลี่ยนประตูหลังจากการกระทำของเจ้าบ้าน คุณจะชนะหากคุณเลือกประตูที่แพ้ในตอนแรก (จากนั้นเจ้าบ้านจะเปิดประตูที่แพ้ครั้งที่สอง และคุณจะต้องเปลี่ยนตัวเลือกของคุณเพื่อที่จะชนะ) . และในตอนแรกคุณสามารถเลือกประตูที่แพ้ได้ 2 วิธี (ความน่าจะเป็น 2/3) คือ ถ้าเปลี่ยนประตูจะชนะด้วยความน่าจะเป็น 2/3

ข้อสรุปนี้ขัดแย้งกับการรับรู้ตามสัญชาตญาณของสถานการณ์โดยคนส่วนใหญ่ ซึ่งเป็นสาเหตุที่เรียกงานที่อธิบายไว้ มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์, เช่น. ความขัดแย้งในชีวิตประจำวัน

และการรับรู้ตามสัญชาตญาณก็คือ: โดยการเปิดประตูพร้อมกับแพะผู้นำเสนอจะกำหนดงานใหม่สำหรับผู้เล่นซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับตัวเลือกก่อนหน้าเลย - ท้ายที่สุดแล้วแพะก็อยู่ข้างหลัง เปิดประตูจะออกมาไม่ว่าผู้เล่นจะเลือกแพะหรือรถยนต์มาก่อนก็ตาม หลังจากที่ประตูที่สามถูกเปิดขึ้น ผู้เล่นจะต้องเลือกอีกครั้ง - และเลือกประตูเดียวกับที่เขาเลือกไว้ก่อนหน้าหรือประตูอื่น นั่นคือเขาไม่เปลี่ยนตัวเลือกก่อนหน้า แต่สร้างตัวเลือกใหม่ วิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์จะพิจารณางานสองงานติดต่อกันของผู้นำซึ่งสัมพันธ์กัน

อย่างไรก็ตามควรคำนึงถึงปัจจัยจากเงื่อนไขที่ผู้นำเสนอจะเปิดประตูโดยมีแพะจากอีกสองตัวที่เหลือไม่ใช่ประตูที่ผู้เล่นเลือก ดังนั้นประตูที่เหลือจึงมีโอกาสเป็นรถได้ดีกว่าเนื่องจากไม่ได้เลือกจากผู้นำ หากเราพิจารณากรณีที่ผู้นำเสนอรู้ว่ามีแพะอยู่หลังประตูที่ผู้เล่นเลือกแต่เปิดประตูนี้โดยการทำเช่นนั้นเขาจะจงใจลดโอกาสของผู้เล่นในการเลือกประตูที่ถูกต้องเพราะ ความน่าจะเป็น ทางเลือกที่เหมาะสมมันจะเป็น 1/2 แล้ว แต่ ชนิดนี้เกมจะเป็นไปตามกฎที่แตกต่างกัน

ขอคำอธิบายอีกข้อหนึ่ง สมมติว่าคุณเล่นตามระบบที่อธิบายไว้ข้างต้น กล่าวคือ จากประตูที่เหลืออีกสองบาน คุณจะต้องเลือกประตูที่แตกต่างจากประตูเดิมที่คุณเลือกเสมอ คุณจะแพ้ในกรณีไหน? การสูญเสียจะเกิดขึ้นหากตั้งแต่เริ่มต้นที่คุณเลือกประตูที่รถตั้งอยู่เพราะต่อมาคุณจะเปลี่ยนการตัดสินใจของคุณอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้เพื่อสนับสนุนประตูที่มีแพะในกรณีอื่น ๆ ทั้งหมดคุณจะชนะนั่นคือ ถ้าตั้งแต่แรกแล้ว เราทำผิดพลาดกับการเลือกประตู แต่ความน่าจะเป็นในการเลือกประตูที่มีแพะตั้งแต่แรกคือ 2/3 ดังนั้นปรากฎว่าคุณต้องมีข้อผิดพลาดในการชนะซึ่งความน่าจะเป็นจะสูงเป็นสองเท่าของตัวเลือกที่ถูกต้อง

กล่าวถึง

• ในภาพยนตร์เรื่อง Twenty-One ครู Miki Rosa เสนอให้ Ben เป็นตัวละครหลักในการแก้ปัญหา โดยที่ด้านหลังประตูสามบานมีสกู๊ตเตอร์สองบานและรถยนต์หนึ่งคัน คุณต้องเดาประตูด้วยรถ หลังจากตัวเลือกแรก มิกิแนะนำให้เปลี่ยนตัวเลือก เบ็นเห็นด้วยและโต้แย้งทางคณิตศาสตร์เพื่อการตัดสินใจของเขา เขาจึงผ่านการทดสอบให้กับทีมของมิกะโดยไม่ได้ตั้งใจ
• ในนวนิยายเรื่อง Klutz ของ Sergei Lukyanenko ตัวละครหลักที่ใช้เทคนิคนี้ชนะรถม้าและมีโอกาสเดินทางต่อไป
• ในซีรีส์ทางโทรทัศน์เรื่อง 4isla (ตอนที่ 13 ของซีซั่น 1 "Man Hunt") หนึ่งในตัวละครหลัก Charlie Epps อธิบายความขัดแย้งของ Monty Hall ในการบรรยายยอดนิยมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ โดยแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนโดยใช้กระดานทำเครื่องหมายบน ข้อเสียซึ่งมีแพะและรถลากออกมา ชาร์ลีพบรถจริงๆ หลังจากเปลี่ยนตัวเลือก อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าเขากำลังทำการทดลองเพียงครั้งเดียว ในขณะที่ข้อได้เปรียบของกลยุทธ์การเปลี่ยนตัวเลือกนั้นเป็นทางสถิติ และควรทำการทดลองหลายชุดเพื่อแสดงให้เห็นอย่างถูกต้อง
• มีการกล่าวถึง Monty Hall Paradox ในไดอารี่ของฮีโร่ในเรื่องของ Mark Haddon เรื่อง "The Curious Murder of the Dog in the Night-Time"
• Monty Hall Paradox ได้รับการทดสอบโดย MythBusters

ดูสิ่งนี้ด้วย

• Paradox ของเบอร์ทรานด์

ลิงค์

	มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์ในวิกิตำรา
	มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์บนวิกิมีเดียคอมมอนส์

• ต้นแบบเชิงโต้ตอบ: สำหรับผู้ที่ต้องการหลอก (รุ่นเกิดขึ้นหลังจากตัวเลือกแรก)
• ต้นแบบเชิงโต้ตอบ: ต้นแบบที่แท้จริงของเกม (การ์ดจะถูกสร้างขึ้นก่อนที่จะเลือก การทำงานของต้นแบบมีความโปร่งใส)
• วิดีโออธิบายบนเว็บไซต์ Smart Videos .ru

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. Monty Hall's Paradox (ภาษาอังกฤษ) บนเว็บไซต์ Wolfram MathWorld
• The Monty Hall Paradox บนเว็บไซต์ของรายการทีวี Let's Make a deal
• ข้อความที่ตัดตอนมาจากหนังสือของ S. Lukyanenko ซึ่งใช้ Monty Hall Paradox
• โซลูชัน Bayes อื่น โซลูชัน Bayes อื่นที่ฟอรัม Novosibirsk State University

วรรณกรรม

• กรัมเมอร์มาน วี.อี.ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ - ม.: อุดมศึกษา. 2005
• Gnedin, Sasha "เกม Mondee Gills" นิตยสาร ผู้ชาญฉลาดทางคณิตศาสตร์, 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
• นิตยสารพาเหรดตั้งแต่วันที่ 17 กุมภาพันธ์
• โดย เมวันต์, มาริลิน. คอลัมน์ "ถามมาริลิน" นิตยสาร นิตยสารพาเหรดตั้งแต่วันที่ 26 กุมภาพันธ์
• Bapeswara Rao, V.V. และ Rao, M. Bhaskara. "เกมโชว์สามประตูและรูปแบบบางส่วน" นิตยสาร นักคณิตศาสตร์, 1992, № 2.
• ทิมส์, เฮงค์. ทำความเข้าใจความน่าจะเป็น กฎของโอกาสในชีวิตประจำวัน. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, นิวยอร์ก, 2547 (ISBN 0-521-54036-4)

หมายเหตุ

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.

ดูว่า "Monty Hall Paradox" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

ในการค้นหารถยนต์ผู้เล่นเลือกประตู 1 จากนั้นผู้นำเสนอเปิดประตูที่ 3 ซึ่งมีแพะอยู่ด้านหลังและเชิญชวนให้ผู้เล่นเปลี่ยนตัวเลือกเป็นประตู 2 เขาควรทำเช่นนี้หรือไม่? ความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์เป็นหนึ่งในปัญหาที่รู้จักกันดีของทฤษฎีนี้... ... วิกิพีเดีย

- (Tie Paradox) เป็นความขัดแย้งที่รู้จักกันดี คล้ายกับปัญหาของสองซอง ซึ่งยังแสดงให้เห็นถึงลักษณะเฉพาะของการรับรู้เชิงอัตนัยของทฤษฎีความน่าจะเป็นด้วย แก่นแท้ของความขัดแย้ง: ชายสองคนผูกสัมพันธ์กันในวันคริสต์มาส โดยพวกเขาซื้อมา... ... Wikipedia

“การโกหกมีสามประเภท: การโกหก การโกหกสาปแช่ง และสถิติ” วลีนี้ที่มาร์ก ทเวนกล่าวถึงนายกรัฐมนตรีอังกฤษ เบนจามิน ดิสเรลี สะท้อนถึงทัศนคติของคนส่วนใหญ่ที่มีต่อกฎหมายทางคณิตศาสตร์อย่างยุติธรรม อันที่จริง ทฤษฎีความน่าจะเป็นบางครั้งก็อ้วกออกมา ข้อเท็จจริงที่น่าอัศจรรย์ซึ่งเป็นเรื่องยากที่จะเชื่อเมื่อมองแวบแรก - และได้รับการยืนยันจากวิทยาศาสตร์แล้ว “ทฤษฎีและการปฏิบัติ” เล่าถึงความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงที่สุด

ปัญหามอนตี้ ฮอลล์

นี่เป็นปัญหาที่ศาสตราจารย์ MIT ผู้ฉลาดแกมโกงนำเสนอต่อนักเรียนในภาพยนตร์เรื่อง Twenty-One โดยให้คำตอบที่ถูกต้องแล้ว ตัวละครหลักจบลงด้วยทีมนักคณิตศาสตร์หนุ่มผู้เก่งกาจที่เอาชนะคาสิโนในลาสเวกัส

สูตรคลาสสิกมีลักษณะดังนี้: "สมมติว่าผู้เล่นบางคนได้รับการเสนอให้เข้าร่วมในรายการทีวีชื่อดังของอเมริกา Let's Make a Deal ซึ่งจัดโดย Monty Hall และเขาต้องเลือกหนึ่งในสามประตู หลังประตูสองบานมีแพะอยู่หลังหนึ่ง - รางวัลใหญ่,รถยนต์ผู้นำเสนอทราบสถานที่รับรางวัล หลังจากที่ผู้เล่นตัดสินใจเลือกแล้ว เจ้าบ้านจะเปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือซึ่งมีแพะอยู่ด้านหลัง และเชิญผู้เล่นให้เปลี่ยนการตัดสินใจของเขา ผู้เล่นควรเห็นด้วยหรือควรเก็บตัวเลือกเดิมไว้ดีกว่า?”

ต่อไปนี้เป็นแนวทางทั่วไป: หลังจากที่เจ้าบ้านเปิดประตูบานใดบานหนึ่งและแสดงให้แพะเห็น ผู้เล่นจะต้องเลือกระหว่างประตูสองบาน รถอยู่ด้านหลังหนึ่งในนั้น ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะเดาได้คือ 1/2 ดังนั้นจึงไม่สำคัญว่าจะต้องเปลี่ยนตัวเลือกของคุณหรือไม่ อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีความน่าจะเป็นบอกว่าคุณสามารถเพิ่มโอกาสในการชนะโดยการเปลี่ยนการตัดสินใจของคุณ ลองหาคำตอบว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น

หากต้องการทำสิ่งนี้ ให้ย้อนกลับไปหนึ่งก้าว ทันทีที่เราตัดสินใจเลือกครั้งแรก เราก็แบ่งประตูออกเป็นสองส่วน: ส่วนที่เราเลือกและอีกสองส่วน แน่นอนว่าความน่าจะเป็นที่รถซ่อนอยู่หลังประตู "ของเรา" คือ ⅓ ดังนั้น รถจึงอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งจากสองบานที่เหลืออยู่โดยมีความน่าจะเป็น ⅔ เมื่อผู้นำเสนอแสดงให้เห็นว่ามีแพะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งปรากฎว่าโอกาส⅔นี้ตกอยู่ที่ประตูที่สอง และสิ่งนี้จะลดการเลือกของผู้เล่นเหลือสองประตู โดยด้านหลังประตูหนึ่ง (เลือกไว้ในตอนแรก) รถจะมีความน่าจะเป็น ⅓ และด้านหลังอีกบาน - ด้วยความน่าจะเป็นที่ ⅔ ทางเลือกจะชัดเจน ซึ่งแน่นอนว่าไม่ได้เปลี่ยนความจริงที่ว่าตั้งแต่เริ่มแรกผู้เล่นสามารถเลือกประตูกับรถได้

ปัญหานักโทษสามคน

The Three Prisoners Paradox คล้ายกับปัญหาของ Monty Hall แม้ว่าจะเกิดขึ้นในฉากที่ดราม่ามากกว่าก็ตาม นักโทษสามคน (A, B และ C) ถูกตัดสินจำคุก โทษประหารและถูกขังเดี่ยวไว้ ผู้ว่าราชการจะสุ่มเลือกหนึ่งในนั้นและให้อภัยโทษ ผู้คุมรู้ว่าคนไหนในสามคนที่ได้รับการอภัยโทษ แต่เขาได้รับคำสั่งให้เก็บเป็นความลับ นักโทษ A ขอให้ผู้คุมบอกชื่อนักโทษคนที่ 2 (นอกจากตัวเขาเอง) ที่จะโดนประหารอย่างแน่นอน “ถ้า B ได้รับการอภัยโทษ บอกผมว่า C จะถูกประหาร ถ้า B ได้รับการอภัยโทษ บอกผมว่า B จะถูกประหารชีวิต” หากพวกเขาทั้งสองถูกประหารชีวิตและฉันได้รับการอภัยโทษแล้วให้โยนเหรียญแล้วพูดชื่อใดชื่อหนึ่งในสองชื่อนี้” ผู้คุมบอกว่านักโทษ B จะถูกประหารชีวิต นักโทษ A ควรมีความสุขไหม?

ดูเหมือนว่าจะเป็นเช่นนั้น ท้ายที่สุด ก่อนที่จะได้รับข้อมูลนี้ ความน่าจะเป็นที่นักโทษ A จะเสียชีวิตคือ ⅔ และตอนนี้เขารู้แล้วว่าหนึ่งในนักโทษอีกสองคนจะถูกประหารชีวิต ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่นักโทษ A จะเสียชีวิตลดลงเหลือ ½ แต่ในความเป็นจริง นักโทษ A ไม่ได้เรียนรู้อะไรใหม่ ถ้าเขาไม่ได้รับการอภัยโทษ เขาจะถูกบอกชื่อนักโทษอีกคน และเขารู้อยู่แล้วว่าหนึ่งในสองคนที่เหลือจะถูกประหารชีวิต หากเขาโชคดีและยกเลิกการประหารชีวิตเขาจะได้ยินชื่อแบบสุ่ม B หรือ C ดังนั้นโอกาสรอดของเขาจึงไม่เปลี่ยนแปลงแต่อย่างใด

ทีนี้ ลองจินตนาการว่านักโทษคนหนึ่งที่เหลืออยู่รู้เรื่องคำถามของนักโทษ ก และคำตอบที่ได้รับ สิ่งนี้จะเปลี่ยนมุมมองของเขาเกี่ยวกับความเป็นไปได้ที่จะได้รับการอภัยโทษ

หากนักโทษ บี ได้ยินการสนทนา เขาจะรู้ว่าเขาจะถูกประหารอย่างแน่นอน และถ้านักโทษ B ความน่าจะเป็นของการอภัยโทษจะเป็น ⅔ ทำไมมันถึงเกิดขึ้น? นักโทษ A ยังไม่ได้รับข้อมูลใดๆ และยังมีโอกาส ⅓ ที่จะได้รับการอภัยโทษ นักโทษ B จะไม่ได้รับการอภัยโทษอย่างแน่นอน และโอกาสของเขาเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่นักโทษคนที่สามจะได้รับการปล่อยตัวคือ ⅔

Paradox ของสองซองจดหมาย

ความขัดแย้งนี้เป็นที่รู้จักต้องขอบคุณนักคณิตศาสตร์ Martin Gardner และกำหนดสูตรได้ดังนี้: “สมมติว่าคุณและเพื่อนได้รับซองสองซอง ซองหนึ่งบรรจุเงินจำนวนหนึ่ง X และอีกซองบรรจุจำนวนเงินมากกว่าสองเท่า คุณเปิดซองจดหมายได้อย่างอิสระ นับเงิน จากนั้นคุณสามารถแลกเปลี่ยนได้ ซองจดหมายจะเหมือนกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่คุณจะได้รับซองจดหมายที่มีจำนวนน้อยกว่าคือ ½ สมมติว่าคุณเปิดซองจดหมายแล้วพบเงิน 10 ดอลลาร์ในนั้น ดังนั้นจึงมีแนวโน้มที่ซองของเพื่อนของคุณจะมีมูลค่า $5 หรือ $20 เท่าๆ กัน หากคุณตัดสินใจที่จะแลกเปลี่ยน คุณสามารถคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเงินสุดท้ายได้ ซึ่งก็คือค่าเฉลี่ย มันคือ 1/2x$5+1/2x20=$12.5 ดังนั้นการแลกเปลี่ยนจึงเป็นประโยชน์ต่อคุณ และเป็นไปได้มากที่เพื่อนของคุณจะคิดแบบเดียวกัน แต่เห็นได้ชัดว่าการแลกเปลี่ยนไม่สามารถเป็นประโยชน์สำหรับคุณทั้งคู่ได้ ข้อผิดพลาดคืออะไร?

ความขัดแย้งก็คือความน่าจะเป็นที่จะทำงานได้ดีจนกว่าคุณจะเปิดซองจดหมาย: คุณมีโอกาส 50% ที่จะพบจำนวน X ในซองจดหมายของคุณ และโอกาส 50% ที่จะพบจำนวน 2X และสามัญสำนึกกำหนดว่าข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนเงินที่คุณมีไม่สามารถส่งผลกระทบต่อเนื้อหาของซองที่สอง

อย่างไรก็ตาม ทันทีที่คุณเปิดซองจดหมาย สถานการณ์จะเปลี่ยนไปอย่างมาก (ความขัดแย้งนี้ค่อนข้างคล้ายกับเรื่องราวของแมวของชโรดิงเงอร์ ซึ่งการมีอยู่ของผู้สังเกตการณ์ส่งผลต่อสถานการณ์) ความจริงก็คือเพื่อให้สอดคล้องกับเงื่อนไขของความขัดแย้ง ความน่าจะเป็นที่จะพบในซองที่สองในปริมาณที่มากกว่าหรือน้อยกว่าของคุณจะต้องเท่ากัน แต่ค่าใดๆ ของผลบวกนี้จาก 0 ถึงอนันต์ มีความน่าจะเป็นเท่ากัน และถ้ามันมีความเป็นไปได้เท่ากัน จำนวนอนันต์ความเป็นไปได้รวมกันจนไม่มีที่สิ้นสุด และนี่เป็นไปไม่ได้

เพื่อความชัดเจน คุณสามารถจินตนาการได้ว่าคุณจะพบเงินหนึ่งเซ็นต์ในซองจดหมายของคุณ แน่นอนว่าซองที่สองไม่สามารถบรรจุได้เพียงครึ่งเดียว

เป็นเรื่องที่น่าสงสัยว่าการอภิปรายเกี่ยวกับการแก้ไขความขัดแย้งยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ในเวลาเดียวกัน มีการพยายามที่จะอธิบายความขัดแย้งจากภายในและพัฒนา กลยุทธ์ที่ดีที่สุดพฤติกรรมในสถานการณ์ดังกล่าว โดยเฉพาะอย่างยิ่งศาสตราจารย์ Thomas Cover เสนอแนวทางดั้งเดิมในการสร้างกลยุทธ์ - เปลี่ยนแปลงหรือไม่เปลี่ยนขอบเขตโดยได้รับคำแนะนำจากความคาดหวังตามสัญชาตญาณ สมมติว่า หากคุณเปิดซองจดหมายและพบว่ามีเงิน 10 ดอลลาร์ในนั้น ซึ่งเป็นจำนวนเล็กน้อยในการประมาณค่าของคุณ ก็คุ้มค่าที่จะแลกเปลี่ยน และหากมีเงิน 1,000 ดอลลาร์ในซองจดหมาย ซึ่งเกินความคาดหวังสูงสุดของคุณ ก็ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลง กลยุทธ์ที่ใช้งานง่ายนี้ หากคุณถูกขอให้เลือกสองซองเป็นประจำ จะช่วยให้คุณเพิ่มเงินรางวัลรวมได้มากกว่ากลยุทธ์ในการเปลี่ยนซองอยู่ตลอดเวลา

ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

ความขัดแย้งนี้เสนอโดย Martin Gardner และกำหนดไว้ดังนี้: “มิสเตอร์สมิธมีลูกสองคน อย่างน้อยก็มีเด็กคนหนึ่งเป็นเด็กผู้ชาย ความน่าจะเป็นที่คนที่สองจะเป็นเด็กผู้ชายเป็นเท่าไร?

ดูเหมือนว่างานจะง่าย อย่างไรก็ตาม หากคุณเริ่มพิจารณาดู เหตุการณ์ที่น่าสงสัยก็เกิดขึ้น: คำตอบที่ถูกต้องจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับวิธีที่เราคำนวณความน่าจะเป็นของเพศของเด็กอีกคน

ตัวเลือกที่ 1

พิจารณาการรวมกันที่เป็นไปได้ทั้งหมดในครอบครัวที่มีลูกสองคน:

เด็กหญิง/เด็กหญิง

เด็กผู้หญิง

ชายหญิง

เด็กชาย/เด็กชาย

ตัวเลือกเด็กหญิง/เด็กหญิงไม่เหมาะกับเราตามเงื่อนไขของงาน ดังนั้น สำหรับครอบครัวของมิสเตอร์สมิธ มีทางเลือกที่เป็นไปได้สามทางที่เท่าเทียมกัน ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่เด็กอีกคนจะเป็นเด็กผู้ชายด้วยคือ ⅓ นี่คือคำตอบที่การ์ดเนอร์ให้ไว้ตั้งแต่แรก

ตัวเลือกที่ 2

ลองนึกภาพว่าเราพบกับมิสเตอร์สมิธบนถนนตอนที่เขาเดินเล่นกับลูกชาย ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้ชายเป็นเท่าไร? เนื่องจากเพศของลูกคนที่สองไม่เกี่ยวอะไรกับเพศของลูกคนแรก คำตอบที่ชัดเจน (และถูกต้อง) ก็คือ ½

เหตุใดสิ่งนี้จึงเกิดขึ้นเนื่องจากดูเหมือนว่าไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับว่าเราจัดการกับปัญหาการคำนวณความน่าจะเป็นอย่างไร ในกรณีแรกเราพิจารณาทุกอย่าง ตัวเลือกที่เป็นไปได้ครอบครัวสมิธ. ประการที่สอง เราถือว่าทุกครอบครัวที่อยู่ภายใต้เงื่อนไขบังคับ “ต้องมีเด็กผู้ชายหนึ่งคน” การคำนวณความน่าจะเป็นของเพศของลูกคนที่สองดำเนินการตามเงื่อนไขนี้ (ในทฤษฎีความน่าจะเป็นสิ่งนี้เรียกว่า "ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข") ซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แตกต่างจากครั้งแรก

เจอกันในชื่อ "The Monty Hall Paradox" แล้วว้าว แก้ไขมันแตกต่างออกไป กล่าวคือ พิสูจน์ว่านี่คือความขัดแย้งเทียม.

เพื่อน ๆ ฉันยินดีที่จะรับฟังคำวิจารณ์เกี่ยวกับการหักล้างความขัดแย้งนี้ของฉัน (pseudo-paradox ถ้าฉันพูดถูก) แล้วฉันจะเห็นด้วยตาตัวเองว่าตรรกะของฉันมันงี่เง่า ฉันจะเลิกจินตนาการว่าตัวเองเป็นนักคิดและคิดที่จะเปลี่ยนประเภทของกิจกรรมให้เป็นแบบโคลงสั้น ๆ มากขึ้น :o) ดังนั้นนี่คือเนื้อหาของงาน วิธีแก้ปัญหาที่เสนอและการโต้แย้งของฉันอยู่ด้านล่าง

ลองนึกภาพว่าคุณเป็นผู้เข้าร่วมในเกมที่คุณอยู่หน้าประตูสามบาน ผู้นำเสนอซึ่งรู้กันดีว่าเป็นคนซื่อสัตย์ วางรถไว้หลังประตูบานหนึ่ง และให้แพะอยู่หลังประตูอีกสองบาน คุณไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับสิ่งที่อยู่หลังประตูไหน

เจ้าของบ้านบอกคุณว่า: “ก่อนอื่นคุณต้องเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง หลังจากนั้นฉันจะเปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือซึ่งมีแพะอยู่ด้านหลัง จากนั้นฉันจะขอให้คุณเปลี่ยนตัวเลือกเดิมและเลือกตัวเลือกที่เหลือ ประตูปิดแทนที่จะเป็นอันที่คุณเลือกในตอนแรก คุณสามารถทำตามคำแนะนำของฉันและเลือกประตูอื่นหรือยืนยันตัวเลือกเดิมของคุณได้ หลังจากนั้นฉันจะเปิดประตูที่คุณเลือกและคุณจะชนะทุกสิ่งที่อยู่ด้านหลังประตูนั้น”

คุณเลือกประตูหมายเลข 3 เจ้าบ้านเปิดประตูหมายเลข 1 และแสดงว่ามีแพะอยู่ข้างหลัง จากนั้นเจ้าบ้านขอให้คุณเลือกประตูหมายเลข 2

โอกาสในการชนะรถจะเพิ่มขึ้นหากคุณทำตามคำแนะนำของเขาหรือไม่?
ความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์เป็นหนึ่งในปัญหาที่รู้จักกันดีในทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งวิธีแก้ปัญหานี้ขัดแย้งกับสามัญสำนึกเมื่อมองแวบแรก
เมื่อแก้ไขปัญหานี้ พวกเขามักจะให้เหตุผลดังนี้ หลังจากที่ผู้นำเปิดประตูที่อยู่ด้านหลังแพะแล้ว รถจะอยู่หลังประตูที่เหลือเพียงบานใดบานหนึ่งเท่านั้น เนื่องจากผู้เล่นไม่สามารถรับได้เลย ข้อมูลเพิ่มเติมว่ารถอยู่ด้านหลังประตูไหน ความน่าจะเป็นที่จะหารถอยู่หลังประตูแต่ละบานจะเท่ากัน และการเปลี่ยนตัวเลือกประตูเริ่มต้นไม่ได้ทำให้ผู้เล่นได้เปรียบแต่อย่างใด อย่างไรก็ตาม การให้เหตุผลบรรทัดนี้ไม่ถูกต้อง
หากเจ้าบ้านรู้อยู่เสมอว่าประตูไหนอยู่ข้างหลังประตูไหน ให้เปิดประตูบานใดประตูหนึ่งที่เหลืออยู่ด้านหลังซึ่งมีแพะอยู่เสมอ และเชิญชวนให้ผู้เล่นเปลี่ยนตัวเลือกของเขาเสมอ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่ผู้เล่นเลือก คือ 1/3 และความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่เหลือคือ 2/3 ดังนั้นการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นจะเพิ่มโอกาสของผู้เล่นในการชนะรถ 2 เท่า ข้อสรุปนี้ขัดแย้งกับการรับรู้ตามสัญชาตญาณของคนส่วนใหญ่ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมปัญหาที่อธิบายไว้จึงเรียกว่า Monty Hall Paradox

สำหรับฉันดูเหมือนว่าโอกาสจะไม่เปลี่ยนแปลงนั่นคือ ไม่มีความขัดแย้ง

และนี่คือเหตุผล: ตัวเลือกประตูที่หนึ่งและสองคือ เป็นอิสระเหตุการณ์ต่างๆ มันเหมือนกับการโยนเหรียญสองครั้ง สิ่งที่เกิดขึ้นในครั้งที่สองไม่ได้ขึ้นอยู่กับสิ่งที่เกิดขึ้นในครั้งแรกแต่อย่างใด

มาถึงแล้ว: หลังจากเปิดประตูพร้อมกับแพะ ผู้เล่นก็พบว่าตัวเองเข้ามา สถานการณ์ใหม่ เมื่อมี 2 ประตู และความน่าจะเป็นในการเลือกรถหรือแพะคือ 1/2

อีกครั้ง: หลังจากเปิดประตูบานหนึ่งจากสามประตู ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่เหลือจะเท่ากับ ไม่เท่ากับ 2/3, เพราะ 2/3 คือความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตู 2 บานใดๆ การระบุความน่าจะเป็นนี้มาจากประตูที่ยังไม่ได้เปิดหรือประตูที่เปิดอยู่นั้นไม่ถูกต้อง ก่อนการเปิดประตูคือความสมดุลของความน่าจะเป็น แต่ หลังจากเมื่อเปิดประตูบานเดียว ความน่าจะเป็นทั้งหมดนี้ก็จะกลายเป็น ไม่มีนัยสำคัญเพราะว่า สถานการณ์เปลี่ยนไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นใหม่, ที่ คนธรรมดาถูกต้องครับ ตอบว่า การเปลี่ยนตัวเลือกจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไร

นอกจากนี้: 1) ให้เหตุผลว่า:

ก) ความน่าจะเป็นที่จะพบรถยนต์หลังประตูที่เลือกคือ 1/3

b) ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูอีกสองบานที่ไม่ได้เลือกคือ 2/3

ค) เพราะ ผู้นำเปิดประตูพร้อมกับแพะ จากนั้นความน่าจะเป็นที่ 2/3 จะไปอยู่ที่ประตูเดียวที่ไม่ได้เลือก (และไม่ได้เปิด)

จึงจำเป็นต้องเปลี่ยนทางเลือกไปประตูอื่นเพื่อให้ความน่าจะเป็นจาก 1/3 กลายเป็น 2/3 ไม่เป็นความจริง แต่เป็นเท็จ กล่าวคือ: ในย่อหน้า "c"เนื่องจากในตอนแรกความน่าจะเป็นของ 2/3 เกี่ยวข้องกับประตูสองบานใดๆ รวมถึงประตูที่เหลืออีก 2 บานที่ยังไม่เปิดด้วย และเนื่องจากประตูบานหนึ่งถูกเปิด ความน่าจะเป็นนี้จะถูกแบ่งเท่าๆ กันระหว่างประตู 2 บานที่ไม่เปิด กล่าวคือ ความน่าจะเป็นจะเท่ากันและการเลือกประตูอื่นจะไม่เพิ่มขึ้น

2) ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะถูกคำนวณหากมี 2 หรือมากกว่า เหตุการณ์สุ่มและสำหรับแต่ละเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นจะถูกคำนวณแยกกัน และจากนั้นจะคำนวณความน่าจะเป็นของการเกิดร่วมกันของ 2 เหตุการณ์ขึ้นไปเท่านั้น ที่นี่ ตอนแรกความน่าจะเป็นในการเดาคือ 1/3 แต่เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่รถไม่ได้อยู่หลังประตูที่เลือก แต่อยู่หลังอีกประตูที่ไม่เปิด คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณเงื่อนไข ความน่าจะเป็น แต่คุณต้องคำนวณความน่าจะเป็นแบบง่าย ซึ่งเท่ากับ 1 ใน 2 นั่นคือ 1/2.

3) ดังนั้น นี่จึงไม่ใช่ความขัดแย้ง แต่เป็นภาพลวงตา! (11/19/2552)

ภาคผนวก 2: เมื่อวานผมได้คำอธิบายที่ง่ายที่สุดมาว่า กลยุทธ์การเลือกตั้งใหม่ยังได้เปรียบกว่า(ความขัดแย้งคือเรื่องจริง!): สำหรับตัวเลือกแรก การเข้าไปในแพะนั้นมีโอกาสมากกว่าการขึ้นรถถึง 2 เท่า เนื่องจากมีแพะสองตัว ดังนั้น สำหรับตัวเลือกที่สอง คุณจะต้องเปลี่ยนตัวเลือก มันชัดเจนมาก :o)

หรืออีกนัยหนึ่ง: คุณไม่จำเป็นต้องทำเครื่องหมายแพะในรถ แต่คัดแยกแพะและแม้แต่ผู้นำก็ช่วยเปิดแพะด้วย และตอนเริ่มเกมมีความน่าจะเป็น 2 ใน 3 ผู้เล่นจะสำเร็จ ดังนั้น หลังจากคัดแพะแล้วก็ต้องเปลี่ยนตัวเลือก และสิ่งนี้ก็ชัดเจนมากเช่นกัน: o)

ดังนั้นทุกสิ่งที่ฉันเขียนจนถึงตอนนี้จึงเป็นการหักล้างแบบหลอกๆ นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของความจริงที่ว่าคุณต้องมีความสุภาพเรียบร้อยมากขึ้น เคารพมุมมองของผู้อื่น และไม่ไว้วางใจการรับรองในตรรกะของคุณว่าการตัดสินใจนั้นเป็นตรรกะที่คริสตัล