بدبخت کسانی هستند که برنامه نویسی حداقل در سطح فرمول های اکسل را بلد نیستند! به عنوان مثال، همیشه به نظر آنها می رسد که پارادوکس های نظریه احتمال، خصلت های ریاضیدانانی است که قادر به درک نیستند. زندگی واقعی. در همین حال، نظریه احتمال در واقع فرآیندهای واقعی را مدل می کند، در حالی که تفکر انسان اغلب نمی تواند تمام و کمالمتوجه شوید که چه اتفاقی می افتد

بیایید پارادوکس مونتی هال را در نظر بگیریم؛ من فرمول آن را از ویکی‌پدیای روسی در اینجا می‌آورم:

تصور کنید که در یک بازی شرکت کرده اید که در آن باید یکی از سه در را انتخاب کنید. پشت یکی از درها یک ماشین است، پشت دو در دیگر بزها. شما یکی از درها را مثلا شماره 1 انتخاب می کنید، بعد از آن لیدر که می داند ماشین کجاست و بزها کجا هستند، یکی از درهای باقی مانده را باز می کند، مثلا شماره 3 که پشت آن یک بز است. سپس از شما می پرسد که آیا می خواهید انتخاب خود را تغییر دهید و درب شماره 2 را انتخاب کنید. آیا در صورت قبول پیشنهاد میزبان و تغییر انتخاب، شانس شما برای برنده شدن خودرو افزایش می یابد؟

(در این صورت، شرکت کننده در بازی قوانین زیر را از قبل می داند:

1. خودرو به همان اندازه در پشت هر یک از 3 در قرار می گیرد.
2. در هر صورت، مجری موظف است در را با بز باز کند (اما نه در را که بازیکن انتخاب کرده است) و بازیکن را به تغییر انتخاب دعوت کند.
3. اگر رهبر انتخاب داشته باشد که کدام یک از دو در را باز کند، هر یک از آنها را با احتمال مساوی انتخاب می کند)

در نگاه اول، شانس نباید تغییر کند (با عرض پوزش، این دیگر برای من یک پارادوکس نیست، و من دیگر نمی توانم توضیح نادرستی برای اینکه چرا شانس تغییر نمی کند، ارائه کنم، که در نگاه اول منطقی به نظر می رسد).

به طور معمول، راویان این پارادوکس شروع به درگیر شدن در استدلال های پیچیده می کنند یا خواننده را غرق در فرمول ها می کنند. اما اگر حتی کمی برنامه نویسی بلد باشید، به این نیاز ندارید. می‌توانید آزمایش‌های شبیه‌سازی را اجرا کنید و ببینید با یک استراتژی خاص چقدر برنده یا باختید.

واقعاً احتمال چیست؟ وقتی می گویند "با یک استراتژی معین، احتمال برنده شدن 1/3 است" - این بدان معنی است که اگر 1000 آزمایش انجام دهید، حدود 333 مورد از آنها را برنده خواهید شد. به عبارت دیگر، شانس "1 در 3" است - این به معنای واقعی کلمه یکی از سه آزمایش است. "احتمال 2/3" در دو مورد از سه مورد دقیقاً یکسان است.

بنابراین، بیایید آزمایش مونتی هال را انجام دهیم. یک آزمایش به راحتی در یک خط از جدول اکسل قرار می گیرد: اینجاست (فایل برای دیدن فرمول ها ارزش بارگیری را دارد)، در اینجا شرحی را بر اساس ستون ارائه می دهم:

A. شماره آزمایش (برای راحتی)

ب. کل را ایجاد کنید عدد تصادفیاز 1 تا 3. این دری است که ماشین پشت آن پنهان شده است

C-E. برای وضوح، "بز" و "ماشین" را در این سلول ها قرار دادم

F. اکنون یک درب تصادفی را انتخاب می کنیم (در واقع، ما می توانیم همیشه یک درب را انتخاب کنیم، زیرا تصادفی بودن در انتخاب درب برای ماشین قبلاً برای مدل کافی است - بررسی کنید!)

ز. میزبان اکنون یک در را از بین دو درب باقی مانده برای باز کردن برای شما انتخاب می کند

ح. و مهم ترین چیز اینجاست: دری را که ماشین پشت آن است باز نمی کند، اما اگر در ابتدا با بز به در اشاره کردید، تنها درب ممکن دیگر را با بز باز می کند! این نکته او برای شماست.

خوب، حالا بیایید شانس ها را محاسبه کنیم. در حال حاضر ما در را عوض نمی کنیم - یعنی. بیایید مواردی را بشماریم که ستون B برابر با ستون F است. بگذارید "1" - برنده و "0" - باخته باشد. سپس مجموع سلول ها (سلول I1003) تعداد بردها است. این عدد باید نزدیک به 333 باشد (در کل در حال انجام 1000 آزمایش هستیم). در واقع، پیدا کردن یک ماشین پشت هر یک از سه در یک رویداد به همان اندازه محتمل است، به این معنی که هنگام انتخاب یک در، شانس حدس زدن یک از سه در است.

J. کافی نخواهد بود! بیایید انتخاب خود را تغییر دهیم.

K. به طور مشابه: "1" - برد، "0" - باخت. پس مجموع چقدر است؟ و کل عددی برابر با 1000 منهای عدد سلول I1003 است، یعنی. نزدیک به 667. آیا این شما را شگفت زده می کند؟ آیا ممکن است اتفاق دیگری بیفتد؟ بالاخره درهای بسته دیگری وجود ندارد! اگر درب انتخاب شده اولیه 333 بار از 1000 بار به شما برنده می شود، درب دیگر باید در تمام موارد باقی مانده به شما برنده شود!

آیا اکنون مرا درک می کنید که چرا من تناقض را در اینجا نمی بینم؟ اگر دو و فقط دو استراتژی متقابل انحصاری وجود داشته باشد و یکی با احتمال p برد بدهد، دیگری باید با احتمال 1-p برد بدهد، این چه نوع پارادوکس است؟

اگر این پست را دوست داشتید، اکنون سعی کنید یک فایل مشابه برای پارادوکس پسر و دختر در فرمول زیر بسازید:

آقای اسمیت پدر دو فرزند است. او را در حال قدم زدن در خیابان با پسر کوچکی دیدیم که با افتخار او را پسرش به ما معرفی کرد. احتمال اینکه فرزند دیگر آقای اسمیت هم پسر باشد چقدر است؟

درود از ویتنام آفتابی! :) بیا با ما کار کن! :)

همه ما با شرایطی آشنا هستیم که به جای محاسبه هوشیارانه، به شهود خود تکیه کرده ایم. پس از همه، باید قبول کنیم که همیشه نمی توان قبل از انتخاب همه چیز را محاسبه کرد. و مهم نیست که چقدر افراد ناصادق هستند، که عادت دارند تنها پس از تجزیه و تحلیل دقیق، انتخاب خود را انجام دهند، هرگز مجبور نبوده اند این کار را بر اساس اصل "احتمالا اینطور" انجام دهند. یکی از دلایل چنین اقدامی ممکن است کمبود ساده زمان لازم برای ارزیابی وضعیت باشد.

در عین حال، انتخاب در حال حاضر در انتظار وضعیت فعلی است و اجازه نمی دهد از پاسخ یا عمل فرار کنید. اما موقعیت‌های سخت‌تر برای ما که در آن قرار داریم به معنای واقعی کلمهباعث اسپاسم مغزی می شود - این از بین رفتن اعتماد به نفس در صحت انتخاب یا برتری احتمالی آن بر سایر گزینه ها بر اساس نتیجه گیری های منطقی است. همه پارادوکس های موجود بر این اساس است.

پارادوکس در بازی برنامه تلویزیونی "بیایید معامله کنیم"

یکی از پارادوکس هایی که باعث بحث های داغ در بین علاقه مندان به پازل می شود پارادوکس مونتی هال نام دارد. نام آن از مجری یک برنامه تلویزیونی ایالات متحده به نام "بیایید معامله کنیم" گرفته شده است. در یک برنامه تلویزیونی، مجری پیشنهاد می کند یکی از سه در را باز کند، جایی که جایزه یک ماشین است، در حالی که پشت دو درب دیگر هر کدام یک بز وجود دارد.

شرکت کننده در بازی انتخاب خود را انجام می دهد ، اما مجری با دانستن اینکه ماشین کجاست ، دری را که بازیکن نشان داده است باز نمی کند ، بلکه در دیگری را که بز در آن قرار دارد باز می کند و پیشنهاد می کند که انتخاب اولیه بازیکن را تغییر دهد. برای تجزیه و تحلیل بیشتر، ما این نوع خاص از رفتار رهبر را می پذیریم، اگرچه در واقع ممکن است به طور دوره ای تغییر کند. ما به سادگی سایر گزینه های سناریو توسعه را در زیر در مقاله فهرست می کنیم.

جوهر پارادوکس چیست؟

یک بار دیگر، نقطه به نقطه، بیایید شرایط را تعیین کنیم و اشیاء بازی را برای تنوع به خودمان تغییر دهیم.

شرکت کننده در بازی در اتاقی با سه صندوق امانات است. در یکی از سه سلول یک شمش طلا و در دو خانه دیگر یک سکه با ارزش اسمی 1 کوپک اتحاد جماهیر شوروی وجود دارد.

بنابراین، شرکت کننده با یک انتخاب روبرو می شود و شرایط بازی به شرح زیر است:

1. شرکت‌کننده می‌تواند تنها یکی از سه سلول را انتخاب کند.
2. بانکدار ابتدا محل شمش را می داند.
3. بانکدار همیشه یک سلول را با سکه ای متفاوت از انتخاب بازیکن باز می کند و پیشنهاد می کند انتخاب بازیکن را تغییر دهد.
4. بازیکن می تواند به نوبه خود انتخاب خود را تغییر دهد یا گزینه اصلی را ترک کند.

شهود چه می گوید؟

تناقض این است که برای اکثر افرادی که عادت به تفکر منطقی دارند، در صورت تغییر انتخاب اولیه خود، شانس برنده شدن 50 به 50 است. در نهایت، پس از اینکه بانکدار سلول دیگری را با یک سکه باز کرد، متفاوت از انتخاب اولیه بازیکن، 2 سلول ها باقی می مانند که یکی از آنها حاوی یک شمش طلا و دیگری یک سکه است. بازیکن در صورتی برنده شمش می شود که پیشنهاد بانکدار برای تغییر سلول را بپذیرد، مشروط بر اینکه در سلول اصلی بازیکن انتخاب شده شمش وجود نداشته باشد. و بالعکس وقتی شرط داده شده- در صورت امتناع از قبول پیشنهاد ضرر می کند.

همانطور که عقل سلیم نشان می دهد، احتمال انتخاب شمش و برنده شدن در این مورد 1/2 است. اما در واقعیت اوضاع فرق می کند! "اما این چگونه می تواند باشد، همه چیز اینجا واضح است؟" - تو پرسیدی. فرض کنید سلول شماره 1 را انتخاب کردید. به طور شهودی، بله، مهم نیست که انتخاب شما در ابتدا چه بوده است، در نهایت شما در واقع بین سکه و شمش انتخاب دارید. و اگر در ابتدا احتمال دریافت جایزه 1/3 داشتید، در نهایت، وقتی یک بانکدار یک سلول را باز می کند، احتمال 1/2 دریافت می کنید. به نظر می رسید احتمال از 1/3 به 1/2 افزایش می یابد. با تجزیه و تحلیل دقیق بازی، معلوم می شود که وقتی تصمیم تغییر می کند، به جای 1/2 شهودی، احتمال به 2/3 افزایش می یابد. بیایید بررسی کنیم که چرا این اتفاق می افتد.

برخلاف سطح شهودی که آگاهی ما رویداد را پس از تغییر سلول به عنوان چیزی مجزا در نظر می گیرد و انتخاب اولیه را فراموش می کند، ریاضیات این دو رویداد را از هم جدا نمی کند، بلکه زنجیره رویدادها را از ابتدا تا انتها حفظ می کند. بنابراین، همانطور که قبلاً گفتیم، اگر فوراً روی یک شمش فرود بیایید، شانس ما برای برنده شدن 1/3 است و احتمال اینکه سلولی را با یک سکه انتخاب کنیم 2/3 است (چون یک شمش و دو سکه داریم) .

1. ما در ابتدا یک سلول بانکی را با شمش انتخاب می کنیم - احتمال 1/3.
   • اگر بازیکن با قبول پیشنهاد بانکدار انتخاب خود را تغییر دهد، بازنده است.
   • اگر بازیکن با قبول نکردن پیشنهاد بانکدار انتخاب خود را تغییر ندهد، برنده است.
2. اولین بار یک صندوق امانات را با یک سکه انتخاب می کنیم - احتمال 2/3.
   • اگر بازیکن انتخاب خود را تغییر دهد، برنده است.
   • اگر بازیکن انتخاب خود را تغییر ندهد، بازنده است.

بنابراین، برای اینکه یک بازیکن با یک شمش طلا در جیب خود از بانک خارج شود، باید در ابتدا موقعیت باخت را با یک سکه انتخاب کند (احتمال 1/3) و سپس پیشنهاد بانکدار برای تغییر سلول را بپذیرد.

برای درک این پارادوکس و خارج شدن از قید الگوی انتخاب اولیه و سلول های باقی مانده، بیایید رفتار بازیکن را دقیقاً برعکس تصور کنیم. قبل از اینکه بانکدار سلولی را برای انتخاب پیشنهاد دهد، بازیکن از نظر ذهنی تشخیص می دهد که در حال تغییر انتخاب خود است و تنها پس از آن رویداد باز کردن یک در اضافی برای او دنبال می شود. چرا که نه؟ به هر حال، یک در باز با چنین توالی منطقی اطلاعات بیشتری در اختیار او قرار نمی دهد. در مرحله اول زمانی، بازیکن سلول‌ها را به دو ناحیه مختلف تقسیم می‌کند: اولی ناحیه‌ای با یک سلول با انتخاب اولیه خود، دومی با دو سلول باقی‌مانده. در مرحله بعد، بازیکن باید بین دو منطقه انتخاب کند. احتمال گرفتن شمش طلا از سلول از ناحیه اول 1/3 و از دوم 2/3 است. انتخاب به دنبال ناحیه دومی است که در آن او می تواند دو سلول را باز کند، اولی توسط بانکدار و دومی توسط خودش.

توضیح واضح تری برای پارادوکس مونتی هال وجود دارد. برای انجام این کار، باید جمله بندی کار را تغییر دهید. بانکدار مشخص می کند که در یکی از سه صندوق امانات یک شمش طلا وجود دارد. در مورد اول، او پیشنهاد می کند یکی از سه سلول را باز کند، و در دوم - دو سلول را همزمان. بازیکن چه چیزی را انتخاب خواهد کرد؟ خوب، البته، دو در یک زمان، با دو برابر کردن احتمال. و لحظه ای که بانکدار یک سلول را با یک سکه باز کرد، این در واقع به هیچ وجه به بازیکن کمک نمی کند و مانع انتخاب نمی شود، زیرا بانکدار در هر صورت این سلول را با یک سکه نشان می دهد، بنابراین بازیکن می تواند به سادگی نادیده بگیرد. این اقدام از طرف بازیکن فقط می توان از بانکدار تشکر کرد که زندگی اش را راحت کرده است و به جای دو سلول مجبور شد یک سلول را باز کند. خوب، در نهایت می توانید از شر سندرم پارادوکس خلاص شوید اگر خود را به جای یک بانکدار بگذارید که در ابتدا می داند که بازیکن در دو مورد از سه مورد به در اشتباه اشاره می کند. برای بانکدار، هیچ تناقضی وجود ندارد، زیرا دقیقاً در چنین وارونگی رویدادها او مطمئن است که اگر رویدادها تغییر کنند، بازیکن شمش طلا را خواهد گرفت.

پارادوکس مونتی هال به وضوح اجازه نمی دهد محافظه کاران برنده شوند، کسانی که در انتخاب اولیه خود محکم می ایستند و شانس خود را برای افزایش احتمال از دست می دهند. برای محافظه کاران 1/3 باقی خواهد ماند. برای افراد هوشیار و عاقل به 2/3 بالا می رسد.

تمام عبارات فوق فقط در صورتی مرتبط هستند که شرایط اولیه توافق شده رعایت شود.

اگر تعداد سلول ها را افزایش دهیم چه؟

اگر تعداد سلول ها را افزایش دهیم چه؟ فرض کنید به جای سه عدد، 50 عدد از آنها وجود خواهد داشت. بر این اساس، بر خلاف حالت کلاسیک، احتمال اصابت به هدف در حرکت به جای 1/3 1/50 یا 2٪ است، در حالی که احتمال انتخاب سلول با سکه 98٪ است. سپس وضعیت مانند مورد قبلی توسعه می یابد. بانکدار پیشنهاد می کند هر یک از 50 سلول را باز کند، شرکت کننده انتخاب می کند. فرض کنید بازیکن یک سلول با شماره سریال 49 باز می کند. بانکدار نیز به نوبه خود، مانند نسخه کلاسیک، عجله ای برای برآورده کردن خواسته بازیکن ندارد و 48 سلول دیگر را با سکه باز می کند و پیشنهاد می کند که انتخاب خود را به سلول باقی مانده تغییر دهد. در شماره 50

درک این نکته مهم است که بانکدار دقیقاً 48 سلول را باز می کند، نه 30 را، و 2 سلول را ترک می کند، از جمله سلولی که بازیکن انتخاب کرده است. این انتخاب است که به پارادوکس اجازه می دهد تا برخلاف شهود پیش رود. همانطور که در مورد نسخه کلاسیک، باز کردن 48 سلول توسط بانکدار تنها یک گزینه را برای انتخاب باقی می گذارد. مورد نوع باز شدن کوچکتر سلول ها به ما اجازه نمی دهد که مشکل را در حد کلاسیک قرار دهیم و پارادوکس را احساس کنیم.

اما از آنجایی که ما این گزینه را لمس کردیم، فرض می کنیم که بانکدار یک سلول را به جز سلولی که بازیکن انتخاب کرده است، ترک نمی کند. مانند قبل، 50 سلول ارائه شد. پس از انتخاب بازیکن، بانکدار تنها یک سلول را باز می کند و 48 سلول را بسته می گذارد، از جمله سلول انتخاب شده توسط بازیکن. احتمال انتخاب شمش بار اول 1/50 است. در مجموع، احتمال یافتن شمش در سلول‌های باقی‌مانده 49/50 است که به نوبه خود نه بیش از 49، بلکه روی 48 سلول پخش می‌شود. محاسبه اینکه احتمال یافتن شمش در این گزینه (49/50)/48=49/2900 است کار سختی نیست. این احتمال، اگرچه خیلی زیاد نیست، اما هنوز تقریباً 1٪ از 1/50 بیشتر است.

همانطور که در همان ابتدا اشاره کردیم، میزبان مونتی هال در سناریوی بازی کلاسیک با در، بز و ماشین جایزه می تواند شرایط بازی و در کنار آن احتمال برنده شدن را تغییر دهد.

ریاضیات پارادوکس

آیا فرمول های ریاضی می توانند افزایش احتمال را هنگام تغییر انتخاب ها ثابت کنند؟
بیایید زنجیره ای از رویدادها را در قالب یک مجموعه به دو قسمت تصور کنیم، قسمت اول به عنوان X در نظر گرفته می شود - این انتخاب بازیکن یک سلول امن در مرحله اول است. و مجموعه دوم Y - دو سلول باقی مانده. احتمال (B) برنده شدن برای سلول های 2 و 3 را می توان با استفاده از فرمول بیان کرد.

B(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
B(3) = 1/2 * 2/3 = 1/3

جایی که 1/2 احتمال باز کردن سلول های 2 و 3 توسط بانکدار است، مشروط بر اینکه بازیکن ابتدا سلولی را بدون شمش انتخاب کند.
در مرحله بعد، احتمال شرطی 1/2 هنگامی که بانکدار یک سلول را با یک سکه باز می کند به 1 و 0 تغییر می کند. سپس فرمول ها شکل زیر را به خود می گیرند:

B(2) = 0 * 2/3 = 0
B(3) = 1 * 2/3 = 1

در اینجا به وضوح می بینیم که احتمال انتخاب شمش در سلول 3 2/3 است که کمی بیش از 60 درصد است.
خود برنامه نویس سطح ورودیبا نوشتن برنامه ای که احتمال را هنگام تغییر انتخاب یا برعکس محاسبه می کند و نتایج را با هم مقایسه می کند، می تواند به راحتی این پارادوکس را بررسی کند.

توضیح پارادوکس در فیلم 21 (بیست و یک)

توضیح تصویری از پارادوکس مونتی پل در فیلم "21" (بیست و یک) به کارگردانی رابرت لوکتیچ ارائه شده است. در طول سخنرانی خود، پروفسور میکی روزا مثالی از نمایش بیایید معامله کنیم و از دانش آموز بن کمپبل (بازیگر و خواننده جیمز آنتونی) سوالی در مورد توزیع احتمال می پرسد، که توزیع صحیح را ارائه می دهد و در نتیجه معلم را شگفت زده می کند.

خود مطالعه پارادوکس

برای افرادی که می خواهند نتیجه را خودشان در عمل بررسی کنند، اما مبنای ریاضی ندارند، پیشنهاد می کنیم خودتان یک بازی را شبیه سازی کنید که شما میزبان و شخص دیگری بازیکن خواهد بود. می توانید کودکانی را در این بازی شرکت دهید که در جعبه های مقوایی از قبل آماده شده، آب نبات یا بسته بندی آب نبات را از بین آنها انتخاب کنند. با هر انتخاب، حتما نتیجه را برای محاسبه بیشتر ثبت کنید.

فرمولاسیون

محبوب ترین مشکل با شرط اضافیشماره 6 از جدول - شرکت کننده در بازی قوانین زیر را از قبل می داند:

• خودرو به همان اندازه در پشت هر یک از 3 در قرار می گیرد.
• در هر صورت، مجری موظف است در را با بز باز کند و بازیکن را برای تغییر انتخاب دعوت کند، اما نه دری را که بازیکن انتخاب کرده است.
• اگر رهبر انتخاب داشته باشد که کدام یک از 2 در را باز کند، یکی از آنها را با احتمال مساوی انتخاب می کند.

متن زیر دقیقاً با این فرمول مسئله مونتی هال را مورد بحث قرار می دهد.

تحلیل و بررسی

هنگام حل این مشکل، آنها معمولاً چیزی شبیه به این استدلال می کنند: رهبر همیشه یک در گم شده را حذف می کند و سپس بدون توجه به انتخاب اولیه، احتمال ظاهر شدن یک ماشین پشت دو در باز برابر با 1/2 می شود.

تمام نکته این است که شرکت کننده با انتخاب اولیه خود درها را تقسیم می کند: انتخاب شده آو دو نفر دیگر - بو سی. احتمال اینکه ماشین پشت در انتخاب شده باشد = 1/3، پشت درب دیگر = 2/3.

برای هر یک از درهای باقی مانده، وضعیت فعلی به شرح زیر است:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

جایی که 1/2 احتمال مشروط یافتن یک ماشین دقیقاً پشت در معین است، مشروط بر اینکه ماشین پشت درب انتخاب شده توسط بازیکن نباشد.

ارائه دهنده، با باز کردن یکی از درهای باقی مانده، که همیشه بازنده است، به این ترتیب دقیقاً 1 بیت اطلاعات را به بازیکن اطلاع می دهد و احتمالات شرطی B و C را به ترتیب به "1" و "0" تغییر می دهد.

در نتیجه، عبارات به شکل زیر در می آیند:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

بنابراین، شرکت کننده باید انتخاب اصلی خود را تغییر دهد - در این حالت، احتمال برنده شدن برابر با 2/3 خواهد بود.

یکی از ساده ترین توضیحات این است: اگر بعد از اقدامات میزبان در را تغییر دهید، اگر ابتدا درب بازنده را انتخاب کرده باشید برنده خواهید شد (سپس میزبان درب بازنده دوم را باز می کند و شما باید انتخاب خود را برای برنده شدن تغییر دهید) . و در ابتدا می توانید یک درب بازنده را به 2 روش انتخاب کنید (احتمال 2/3)، یعنی. اگر در را عوض کنید، با احتمال 2/3 برنده می شوید.

این نتیجه گیری با درک شهودی بیشتر افراد از وضعیت در تضاد است، به همین دلیل است که وظیفه توصیف شده نامیده می شود پارادوکس مونتی هال، یعنی یک پارادوکس به معنای روزمره

و درک شهودی این است: با باز کردن درب با بز، مجری وظیفه جدیدی را برای بازیکن تعیین می کند که به هیچ وجه با انتخاب قبلی مرتبط نیست - بالاخره بز پشت است. در بازبدون توجه به اینکه بازیکن قبلاً بز یا ماشین را انتخاب کرده باشد، معلوم می شود. پس از باز شدن در سوم، بازیکن باید دوباره انتخاب کند - و یا همان دری را که قبلا انتخاب کرده بود یا در دیگری را انتخاب کند. یعنی انتخاب قبلی خود را تغییر نمی دهد، بلکه انتخاب جدیدی می سازد. حل ریاضی دو وظیفه متوالی رهبر را با یکدیگر مرتبط می داند.

با این حال، باید این عامل را از این شرط در نظر گرفت که مجری در را با بز از دو نفر باقی مانده باز کند و نه دری که بازیکن انتخاب کرده است. بنابراین، درب باقی مانده شانس بیشتری برای ماشین بودن دارد زیرا توسط رهبر انتخاب نشده است. اگر حالتی را در نظر بگیریم که مجری با علم به اینکه پشت درب انتخاب شده توسط بازیکن بزی وجود دارد، با این وجود این در را باز می کند، با این کار عمدا شانس بازیکن را برای انتخاب درب صحیح کاهش می دهد، زیرا احتمال انتخاب درستاز قبل 1/2 خواهد بود. ولی این نوعبازی از قوانین مختلفی پیروی خواهد کرد.

بیایید یک توضیح بیشتر بدهیم. بیایید فرض کنیم که شما طبق سیستمی که در بالا توضیح داده شد بازی می کنید. از بین دو درب باقیمانده، شما همیشه دری متفاوت از انتخاب اصلی خود انتخاب می کنید. در چه صورت باخت؟ ضرر اتفاق می افتد اگر و فقط اگر از همان ابتدا دری را که ماشین پشت آن قرار دارد انتخاب کنید ، زیرا متعاقباً تصمیم خود را به نفع درب با بز تغییر خواهید داد ، در همه موارد دیگر برنده خواهید شد ، یعنی ، اگر از همان ابتدا در انتخاب درب اشتباه کردیم. اما احتمال انتخاب درب با بز از همان ابتدا 2/3 است، بنابراین معلوم می شود که برای برنده شدن نیاز به خطا دارید که احتمال آن دو برابر انتخاب صحیح است.

اشاره می کند

• در فیلم بیست و یک، معلم، میکی روزا، به شخصیت اصلی، بن، پیشنهاد می کند تا مشکلی را حل کند: پشت سه در، دو اسکوتر و یک ماشین وجود دارد، شما باید در را با ماشین حدس بزنید. پس از اولین انتخاب، میکی پیشنهاد می کند که انتخاب را تغییر دهید. بن موافق است و از نظر ریاضی برای تصمیم خود استدلال می کند. بنابراین او به طور غیر ارادی در آزمون تیم میکا موفق می شود.
• در رمان "کلوتز" اثر سرگئی لوکیاننکو، شخصیت های اصلی با استفاده از این تکنیک، یک کالسکه و فرصتی برای ادامه سفر به دست می آورند.
• در مجموعه تلویزیونی "4isla" (قسمت 13 از فصل 1 "Man Hunt")، یکی از شخصیت های اصلی، چارلی ایپس، پارادوکس مونتی هال را در یک سخنرانی محبوب در مورد ریاضیات توضیح می دهد و به وضوح آن را با استفاده از تابلوهای نشانگر نشان می دهد. جنبه های منفیکه از آن بزها و یک ماشین کشیده شده است. چارلی در واقع پس از تغییر انتخاب خود، ماشین را پیدا می کند. با این حال، باید توجه داشت که او تنها یک آزمایش انجام می دهد، در حالی که مزیت استراتژی سوئیچینگ انتخاب آماری است و باید یک سری آزمایش برای نشان دادن درست آن انجام شود.
• پارادوکس مونتی هال در دفتر خاطرات قهرمان داستان مارک هادون "قتل عجیب سگ در شب" مورد بحث قرار گرفته است.
• پارادوکس مونتی هال توسط MythBusters آزمایش شد

همچنین ببینید

• پارادوکس برتراند

پیوندها

	پارادوکس مونتی هالدر ویکی کتاب ها
	پارادوکس مونتی هالدر ویکی‌مدیا کامانز

• نمونه اولیه تعاملی: برای کسانی که می خواهند گول بزنند (نسل بعد از اولین انتخاب اتفاق می افتد)
• نمونه اولیه تعاملی: یک نمونه اولیه واقعی از بازی (کارت ها قبل از انتخاب تولید می شوند، کار نمونه اولیه شفاف است)
• ویدیوی توضیحی در وب سایت Smart Videos .ru

• وایستاین، اریک دبلیو.پارادوکس مونتی هال (انگلیسی) در وب سایت Wolfram MathWorld.
• پارادوکس مونتی هال در وب سایت برنامه تلویزیونی Let’s Make a deal
• گزیده ای از کتاب اس. لوکیاننکو که از پارادوکس مونتی هال استفاده می کند
• راه حل دیگر بیز راه حل دیگر بیز در انجمن دانشگاه ایالتی نووسیبیرسک

ادبیات

• Gmurman V.E.نظریه احتمال و آمار ریاضی، - M.: آموزش عالی. 2005
• گندین، ساشا "بازی آبشش موندی". مجله هوش ریاضی، 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
• مجله رژهاز 17 فوریه
• ووس ساوانت، مرلین. ستون، مجله "از مرلین بپرس". مجله رژهاز 26 فوریه
• باپسوارا رائو، وی. وی. و رائو، ام. باسکارا. "نمایش بازی سه در و برخی از انواع آن." مجله دانشمند ریاضی, 1992, № 2.
• تیمز، هنک. درک احتمالات، قوانین شانس در زندگی روزمره. انتشارات دانشگاه کمبریج، نیویورک، 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

یادداشت

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید "پارادوکس مونتی هال" در سایر لغت نامه ها چیست:

در جستجوی ماشین، بازیکن در 1 را انتخاب می کند. سپس مجری در سوم را که پشت آن یک بز قرار دارد باز می کند و از بازیکن دعوت می کند که انتخاب خود را به در 2 تغییر دهد. آیا باید این کار را انجام دهد؟ پارادوکس مونتی هال یکی از مشکلات شناخته شده نظریه... ... ویکی پدیا است

- (پارادوکس کراوات) یک پارادوکس شناخته شده است، شبیه به مسئله دو پاکت، که همچنین ویژگی های ادراک ذهنی نظریه احتمال را نشان می دهد. اصل پارادوکس: دو مرد برای کریسمس به یکدیگر کراوات می دهند که توسط آنها خریداری شده است... ... ویکی پدیا

سه نوع دروغ وجود دارد: دروغ، دروغ لعنتی و آمار. این عبارت که توسط مارک تواین به بنجامین دیزرائیلی، نخست وزیر بریتانیا نسبت داده شده است، نسبتاً نشان دهنده نگرش اکثریت نسبت به قوانین ریاضی است. در واقع، گاهی اوقات تئوری احتمال مطرح می شود حقایق شگفت انگیز، که در نگاه اول به سختی می توان آنها را باور کرد - و با این وجود، توسط علم تأیید شده است. "نظریه ها و عمل ها" معروف ترین پارادوکس ها را به یاد می آورد.

مشکل مونتی هال

این دقیقا همان مشکلی است که یک استاد حیله گر MIT در فیلم بیست و یک به دانشجویان ارائه کرد. با دادن پاسخ صحیح، شخصیت اصلیدر نهایت به تیمی از ریاضیدانان جوان باهوش می رسد که کازینوها را در لاس وگاس شکست می دهند.

فرمول کلاسیک به این صورت است: «فرض کنید به یک بازیکن خاص پیشنهاد می شود در برنامه تلویزیونی معروف آمریکایی Let’s Make a Deal که توسط مونتی هال میزبانی می شود شرکت کند و او باید یکی از سه در را انتخاب کند. پشت دو در بز است، پشت یکی - جایزه بزرگ، ماشین، مجری محل جوایز را می داند. پس از انتخاب بازیکن، میزبان یکی از درهای باقی مانده را که پشت آن یک بز قرار دارد باز می کند و از بازیکن دعوت می کند تا تصمیم خود را تغییر دهد. آیا بازیکن باید موافقت کند یا بهتر است انتخاب اصلی خود را حفظ کند؟»

در اینجا یک استدلال معمولی وجود دارد: پس از اینکه میزبان یکی از درها را باز کرد و بز را نشان داد، بازیکن باید بین دو در یکی را انتخاب کند. ماشین پشت یکی از آنها قرار دارد، به این معنی که احتمال حدس زدن آن ½ است. بنابراین فرقی نمی کند که انتخاب خود را تغییر دهید یا نه. و با این حال، نظریه احتمال می گوید که شما می توانید با تغییر تصمیم خود شانس برنده شدن خود را افزایش دهید. بیایید بفهمیم چرا اینطور است.

برای انجام این کار، اجازه دهید یک قدم به عقب برگردیم. لحظه ای که انتخاب اولیه خود را انجام دادیم، درها را به دو قسمت تقسیم کردیم: یکی که انتخاب کردیم و دو قسمت دیگر. بدیهی است که احتمال اینکه ماشین پشت درب "ما" پنهان شود ⅓ است - بر این اساس، ماشین پشت یکی از دو درب باقی مانده با احتمال ⅔ است. وقتی مجری نشان می دهد که یک بز پشت یکی از این درها وجود دارد، معلوم می شود که این شانس ⅔ روی در دوم می افتد. و این انتخاب بازیکن را به دو در کاهش می دهد که در پشت یکی از آنها (در ابتدا انتخاب شده) ماشین با احتمال ⅓ و پشت دیگری - با احتمال ⅔ قرار دارد. انتخاب آشکار می شود. که البته این واقعیت را تغییر نمی دهد که از همان ابتدا بازیکن می توانست در را با ماشین انتخاب کند.

مشکل سه زندانی

پارادوکس سه زندانی شبیه مشکل مونتی هال است، اگرچه در فضای دراماتیک تری اتفاق می افتد. سه زندانی (الف، ب و ج) محکوم می شوند مجازات مرگو در سلول انفرادی قرار گرفت. فرماندار به طور تصادفی یکی از آنها را انتخاب می کند و او را عفو می کند. نگهبان می داند که کدام یک از این سه مورد عفو قرار گرفته است، اما به او دستور داده می شود که آن را مخفی نگه دارد. زندانی الف از نگهبان می خواهد که نام دومین زندانی (غیر از خودش) را که قطعا اعدام می شود به او بگوید: «اگر ب عفو شد به من بگو که ج اعدام می شود. اگر ب عفو شد به من بگو که ب اعدام می شود. اگر هر دو اعدام شدند و من عفو ​​شدم، یک سکه بیندازید و یکی از این دو اسم را بگویید.» نگهبان می گوید زندانی ب اعدام می شود زندانی الف باید خوشحال باشد؟

اینطور به نظر می رسد. از این گذشته ، قبل از دریافت این اطلاعات ، احتمال مرگ زندانی A ⅔ بود و اکنون او می داند که یکی از دو زندانی دیگر اعدام خواهد شد - به این معنی که احتمال اعدام او به ½ کاهش یافته است. اما در واقع، زندانی الف چیز جدیدی یاد نگرفت: اگر او را عفو نمی کردند، نام یک زندانی دیگر را به او می گفتند و او از قبل می دانست که یکی از دو نفر باقی مانده اعدام خواهد شد. اگر او خوش شانس باشد و اعدام لغو شود، نام تصادفی B یا C را می شنود. بنابراین، شانس نجات او به هیچ وجه تغییر نکرده است.

حال تصور کنید یکی از زندانیان باقیمانده از سوال زندانی الف و پاسخ دریافت شده مطلع شود. این دیدگاه او را در مورد احتمال عفو تغییر خواهد داد.

اگر زندانی ب مکالمه را شنیده باشد، می داند که قطعا اعدام خواهد شد. و اگر زندانی B، احتمال عفو او ⅔ خواهد بود. چرا این اتفاق افتاد؟ زندانی الف هیچ اطلاعاتی دریافت نکرده و هنوز ⅓ شانس عفو دارد. زندانی ب قطعا عفو نمی شود و شانس او ​​صفر است. یعنی احتمال آزادی سومین زندانی ⅔ است.

پارادوکس دو پاکت

این پارادوکس به لطف ریاضیدان مارتین گاردنر شناخته شد و به صورت زیر فرموله شده است: «فرض کنید به شما و یکی از دوستان دو پاکت پیشنهاد شده است که یکی حاوی مقدار مشخصی پول X و دیگری حاوی مقداری دو برابر بیشتر است. شما به طور مستقل پاکت ها را باز می کنید، پول را می شمارید و سپس می توانید آنها را مبادله کنید. پاکت ها یکسان هستند، بنابراین احتمال اینکه شما یک پاکت با مقدار کمتر دریافت کنید ½ است. فرض کنید یک پاکت را باز می کنید و 10 دلار در آن پیدا می کنید. بنابراین، به همان اندازه احتمال دارد که پاکت دوست شما حاوی 5 یا 20 دلار باشد. اگر تصمیم به مبادله دارید، می توانید انتظارات ریاضی مبلغ نهایی را محاسبه کنید - یعنی مقدار متوسط ​​آن. 1/2x5$+1/2x20=12.5$ است. بنابراین، مبادله برای شما مفید است. و به احتمال زیاد دوست شما هم همینطور فکر خواهد کرد. اما بدیهی است که مبادله نمی تواند برای هر دوی شما مفید باشد. اشتباه چیست؟

تناقض این است که تا زمانی که پاکت خود را باز نکنید، احتمالات به خوبی رفتار می کنند: شما در واقع 50% شانس پیدا کردن مقدار X را در پاکت خود و 50% شانس یافتن مقدار 2X دارید. و عقل سلیم حکم می کند که اطلاعات مربوط به مقداری که دارید نمی تواند بر محتویات پاکت دوم تأثیر بگذارد.

با این حال، به محض باز کردن پاکت، وضعیت به طور چشمگیری تغییر می کند (این پارادوکس تا حدودی شبیه به داستان گربه شرودینگر است، جایی که حضور یک ناظر بر وضعیت امور تأثیر می گذارد). واقعیت این است که برای رعایت شرایط پارادوکس، احتمال یافتن در پاکت دوم مقدار بزرگتر یا کوچکتر از شما باید یکسان باشد. اما هر مقدار از این مجموع از صفر تا بی نهایت به همان اندازه محتمل است. و اگر به همان اندازه محتمل باشد عدد بی نهایتامکانات تا بی نهایت جمع می شوند. و این غیر ممکن است.

برای وضوح، می توانید تصور کنید که یک سنت در پاکت نامه خود پیدا می کنید. بدیهی است که پاکت دوم نمی تواند حاوی نصف مقدار باشد.

جالب است که بحث در مورد حل پارادوکس تا امروز ادامه دارد. در عین حال، تلاش برای تبیین پارادوکس از درون و توسعه بهترین استراتژیرفتار در چنین شرایطی به طور خاص، پروفسور توماس کاور یک رویکرد اصلی برای تشکیل استراتژی پیشنهاد کرد - تغییر یا عدم تغییر پاکت، با هدایت برخی انتظارات شهودی. فرض کنید، اگر یک پاکت را باز کنید و 10 دلار در آن پیدا کنید - مقدار کمی از تخمین شما - ارزش تعویض آن را دارد. و اگر مثلاً 1000 دلار در پاکت وجود دارد که فراتر از انتظارات شماست، دیگر نیازی به تغییر نیست. این استراتژی بصری، اگر مرتباً از شما خواسته شود دو پاکت را انتخاب کنید، به شما این امکان را می دهد که کل برد خود را بیش از استراتژی تغییر مداوم پاکت ها افزایش دهید.

پارادوکس دختر و پسر

این پارادوکس توسط مارتین گاردنر نیز مطرح شد و به صورت زیر بیان شده است: «آقای اسمیت دو فرزند دارد. حداقل یک بچه پسر است. احتمال اینکه دومی هم پسر باشه چقدره؟

به نظر می رسد که کار ساده است. با این حال، اگر شروع به بررسی آن کنید، یک شرایط عجیب ظاهر می شود: پاسخ صحیح بسته به نحوه محاسبه احتمال جنسیت فرزند دیگر متفاوت خواهد بود.

انتخاب 1

بیایید تمام ترکیبات ممکن را در خانواده های دارای دو فرزند در نظر بگیریم:

دختر/دختر

دختر پسر

پسر دختر

پسر/پسر

گزینه دختر/دختر با توجه به شرایط تکلیف مناسب ما نیست. بنابراین، برای خانواده آقای اسمیت، سه گزینه به یک اندازه محتمل وجود دارد - به این معنی که احتمال اینکه فرزند دیگر نیز پسر باشد ⅓ است. این دقیقاً همان پاسخی است که خود گاردنر در ابتدا داد.

گزینه 2

بیایید تصور کنیم که آقای اسمیت را در خیابان وقتی که با پسرش راه می رود ملاقات می کنیم. احتمال اینکه فرزند دوم هم پسر باشد چقدر است؟ از آنجایی که جنسیت فرزند دوم ربطی به جنسیت فرزند اول ندارد، پاسخ واضح (و صحیح) ½ است.

چرا این اتفاق می افتد، زیرا به نظر می رسد چیزی تغییر نکرده است؟

همه چیز بستگی به نحوه برخورد ما با مسئله محاسبه احتمال دارد. در مورد اول همه چیز را در نظر گرفتیم گزینه های ممکنخانواده اسمیت در مرحله دوم، ما همه خانواده هایی را که تحت شرط اجباری "یک پسر باشد" در نظر گرفتیم. محاسبه احتمال جنسیت فرزند دوم با این شرط انجام شد (در نظریه احتمال به آن "احتمال شرطی" می گویند) که منجر به نتیجه ای متفاوت از اول شد.

من آن را با نام "پارادوکس مونتی هال" ملاقات کردم، و وای، آن را متفاوت حل کرد، یعنی: ثابت کرد که این یک شبه پارادوکس است.

دوستان، خوشحال می شوم به انتقاداتی که در مورد رد این پارادوکس (شبه پارادوکس، اگر راست می گویم) گوش دهم. و بعد با چشمان خودم میبینم که منطقم لنگ است، دیگر خود را یک متفکر تصور نمیکنم و به فکر تغییر نوع فعالیتم به فعالیتی غنایی تر خواهم بود :o). بنابراین، در اینجا محتوای کار است. راه حل پیشنهادی و رد من در زیر آمده است.

تصور کنید که در یک بازی شرکت می کنید که در آن جلوی سه در هستید. مجری که به راستگویی معروف است، پشت یکی از درها یک ماشین و پشت دو در دیگر هر کدام یک بز گذاشت. شما هیچ اطلاعاتی در مورد آنچه پشت کدام در است ندارید.

میزبان به شما می گوید: «ابتدا باید یکی از درها را انتخاب کنید. بعد از آن یکی از درهای باقی مانده را که پشت آن یک بز است باز می کنم. سپس از شما می خواهم که گزینه اصلی خود را تغییر دهید و گزینه باقی مانده را انتخاب کنید در بستهبه جای آن که در ابتدا انتخاب کردید. می توانید توصیه های من را دنبال کنید و درب دیگری را انتخاب کنید یا انتخاب اصلی خود را تأیید کنید. پس از آن دری را که تو انتخاب کردی باز می کنم و هر چه پشت آن در باشد برنده می شوی.»

شما در شماره 3 را انتخاب می کنید. میزبان در شماره 1 را باز می کند و نشان می دهد که یک بز پشت آن است. سپس میزبان از شما می خواهد که درب شماره 2 را انتخاب کنید.

اگر به توصیه های او عمل کنید، شانس شما برای برنده شدن یک ماشین افزایش می یابد؟
پارادوکس مونتی هال یکی از مسائل شناخته شده در نظریه احتمالات است که حل آن در نگاه اول با عقل سلیم در تضاد است.
هنگام حل این مشکل، آنها معمولاً چیزی شبیه به این استدلال می کنند: پس از اینکه رهبر دری را که بز پشت آن است باز کرد، ماشین فقط می تواند پشت یکی از دو در باقی مانده باشد. از آنجایی که بازیکن نمی تواند هیچ کدام را دریافت کند اطلاعات اضافیدر مورد اینکه ماشین پشت کدام در است، پس احتمال پیدا کردن ماشین پشت هر در یکسان است و تغییر انتخاب اولیه درب هیچ مزیتی به بازیکن نمی دهد. با این حال، این خط استدلال نادرست است.
اگر میزبان همیشه بداند که کدام در پشت چه چیزی است، همیشه یکی از درهای باقی مانده را که بز پشت آن قرار دارد باز کند و همیشه بازیکن را دعوت کند که انتخاب خود را تغییر دهد، احتمال اینکه ماشین پشت دری باشد که بازیکن انتخاب کرده است. 1/3 است، و بر این اساس، احتمال اینکه ماشین پشت درب باقی مانده باشد 2/3 است. بنابراین، تغییر انتخاب اولیه، شانس بازیکن را برای بردن ماشین 2 برابر می کند. این نتیجه گیری با ادراک شهودی بیشتر مردم از موقعیت در تضاد است، به همین دلیل است که مشکل توصیف شده پارادوکس مونتی هال نامیده می شود.

به نظر من شانس تغییر نخواهد کرد، یعنی. هیچ پارادوکسی وجود ندارد

و به همین دلیل: انتخاب درب اول و دوم است مستقلمناسبت ها. مثل پرتاب کردن یک سکه دو بار است: آنچه بار دوم می آید به هیچ وجه به چیزی که بار اول می آید بستگی ندارد.

اینجا هم همین‌طور است: پس از باز کردن در با بز، بازیکن خودش را در می‌یابد وضعیت جدید ، زمانی که 2 در داشته باشد و احتمال انتخاب ماشین یا بز 1/2 باشد.

یک بار دیگر: پس از باز کردن یک در از سه، احتمال اینکه ماشین پشت درب باقی مانده باشد است برابر 2/3 نیست، زیرا 2/3 احتمال این است که ماشین پشت هر 2 در باشد. نسبت دادن این احتمال به در باز نشده یا باز نادرست است. قبل ازباز کردن درها چنین توازنی از احتمالات بود، اما بعد ازباز کردن یک در، همه این احتمالات تبدیل می شوند ناچیز، زیرا وضعیت تغییر کرده است و بنابراین به یک محاسبه احتمال جدید نیاز است، که مردم عادیبه درستی، پاسخ به این که تغییر انتخاب چیزی را تغییر نمی دهد.

اضافه: 1) استدلال که:

الف) احتمال پیدا کردن ماشین پشت درب انتخاب شده 1/3 است،

ب) احتمال اینکه ماشین پشت دو درب دیگر انتخاب نشده باشد 2/3 است.

ج) به دلیل رهبر در را با بز باز کرد، سپس احتمال 2/3 به طور کامل به یک در انتخاب نشده (و باز نشده) می رود،

و بنابراین لازم است انتخاب را به در دیگری تغییر دهید تا احتمال از 1/3 به 2/3 تبدیل شود. درست نیست، اما نادرست است، یعنی: در بند "ج"، زیرا در ابتدا احتمال 2/3 مربوط به هر دو در است ، از جمله 2 باز نشده است و از آنجایی که یک در باز شده است ، پس این احتمال به طور مساوی بین 2 باز نشده تقسیم می شود. احتمال برابر خواهد بود و انتخاب درب دیگر آن را افزایش نمی دهد.

2) احتمالات مشروط در صورت وجود 2 یا بیشتر محاسبه می شود رویدادهای تصادفی، و برای هر رویداد احتمال جداگانه محاسبه می شود و تنها در این صورت احتمال وقوع مشترک 2 یا چند رویداد محاسبه می شود. در اینجا، ابتدا احتمال حدس زدن 1/3 بود، اما برای محاسبه احتمال اینکه ماشین پشت در انتخاب شده نیست، اما پشت در دیگری که باز نیست، نیازی به محاسبه شرط نیست. احتمال، اما شما باید احتمال ساده را محاسبه کنید، که برابر با 1 از 2 است. 1/2.

3) بنابراین، این یک پارادوکس نیست، بلکه یک توهم است! (11/19/2009)

ضمیمه 2: دیروز به ساده ترین توضیح رسیدم که استراتژی انتخاب مجدد همچنان سودمندتر است(پارادوکس درست است!): با انتخاب اول، احتمال سوار شدن به بز 2 برابر بیشتر از ماشین است، زیرا دو بز وجود دارد و بنابراین، با انتخاب دوم، باید انتخاب را تغییر دهید. خیلی واضحه :o)

یا به عبارت دیگر: لازم نیست بزها را در ماشین علامت بزنید، بلکه بزها را بکشید و حتی رهبر با باز کردن بز در این امر کمک می کند. و در ابتدای بازی، با احتمال 2 از 3، بازیکن موفق خواهد شد، بنابراین، با از بین بردن بزها، باید انتخاب را تغییر دهید. و این نیز ناگهان بسیار آشکار شد: o)

بنابراین هر آنچه که تا به حال نوشته ام یک شبه رد بوده است. خوب، اینجا مثال دیگری از این واقعیت است که شما باید متواضع‌تر باشید، به دیدگاه دیگران احترام بگذارید و به اطمینان‌های منطقی خود اعتماد نکنید که تصمیمات آن کاملاً منطقی است.