В реальной жизни часто появляются вопросы, почему на одних рынках фирмы сотрудничают, а на других - агрессивно конкурируют; к каким средствам следует прибегать фирме, чтобы не допустить вторжения потенциальных конкурентов; как принимаются решения о цене; когда меняются условия спроса или издержек. Изучая эти проблемы, ученые используют теорию игр.
Первыми исследователями в области теории игр были американский математик Дж.-Ф. Нейман и австро-американский экономист О. Моргенштерн («Теория игр и экономическое поведение», 1944). Они распространили математические категории на экономическую жизнь общества, вводя понятия оптимальных стратегий, максимизации ожидаемой полезности, доминирование в игре (на рынке), коалиционные соглашения. Эти ученые оказали стимулирующее влияние на развитие социальных наук в целом, математической статистики, экономической мысли, в частности в области практического использования теории вероятности и теории игр в экономике.
Ученые стремились сформулировать основополагающие критерии рационального поведения участника рынка. Они различали два вида игр. Первый - «с нулевой суммой» - предусматривает такой выигрыш который формируется из издержек других игроков, то есть общая сумма выгоды и издержек всегда равна нулю. Другой вид - «игра с плюсовой суммой», когда индивидуальные игроки ведут борьбу за выигрыш, складывающийся из их ставок. Иногда этот выигрыш создается за счет наличия «выходного» (термин из карточной игры в бридж; так называют одного из игроков, который, делая ставки, не принимает участия в игре), совсем пассивного и часто такого, который служит объектом эксплуатации. И в том, и в другом случае игра неминуемо соединена с риском, поскольку каждый из ее участников, как считали Дж.-Ф. Нейман и О. Моргенштерн, «стремится максимально повысить функцию, переменные которой не контролируются». Если все игроки одинаково умелые, то решающим фактором становится случайность. Однако так происходит редко. Почти всегда важнейшую роль в игре играет хитрость, с помощью которой делаются попытки раскрыть замысел противника и завуалировать свои намерения, а потом занять выгодные позиции и вынудить противника действовать в убыток себе. Важная роль отводится и «контрхитрости».
Во время игры много зависит и от рационального поведения игрока, то есть продуманного выбора и оптимальной стратегии. Разработке формализованного (в виде моделей) описания конфликтных ситуаций, в частности «формулы равновесия», то есть устойчивости решений противников в игре, занимался Дж.-Ф. Нэш
Нэш (Nash) Джон-Форбс (род в 1928) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1994). Родился в г. Блуэфилд (штат Западная Вирджиния, США). Учился в Университете Карнеги-Меллона по специальности инженера-химика, но, увлекшись математикой, перевелся на математический факультет. Получил диплом бакалавра математики и одновременно магистра математики.
Поступил в аспирантуру по математической специализации Принстонского университета, где защитил докторскую диссертацию на тему «Некооперативные игры» (1950). В следующем году ее опубликовали отдельной статьей в журнале «Анналы математики». Когда обучался на старших курсах университета, принимал участие в исследовательской работе фирмы «RAND Corp.», которая финансировала ряд его разведывательных проектов в области теории игр, математической экономики и общей теории рационального поведения в игровых ситуациях.
В 1951-1959 гг. Дж.-Ф. Нэш - преподаватель Массачусетского технологического института. Одновременно ведет научно-исследовательскую деятельность. Ему удалось решить классическую проблему, связанную с дифференциальной геометрией.
Из-за тяжелой болезни он в течение 20 лет не мог работать.
В 70-е годы болезнь отступила. Но продуктивные научные результаты высшей пробы ему не удавались.
Дж.-Ф. Нэш продолжает исследования по математике. В целом он опубликовал 21 научную работу, 16 из них увидели свет до 1959 г.
Он член Национальной академии наук США, Эконометрического общества и Американской академии искусств и наук.
В классической теории игр кооперативные и бескоалиционные игры трактуются по-разному. Дж.-Ф. Нэш первым указал на отличие между ними и определил кооперативные игры как игры, допускающие свободный обмен информацией и принудительные условия между игроками, а бескоалиционные - как такие, которые не допускают свободного обмена информацией и принудительных условий. Некооперативной является такая игра, когда кооперирование между игроками не допускается вообще. В статьях «Точки равновесия в играх с N-числом участников» и «Проблема заключения сделок» (1951) он математически точно вывел правила действий участников (игроков), которые выигрывают в соответствии с выбранной стратегией. Каждый из игроков старается снизить степень риска с помощью самой выгодной стратегии, то есть путем постоянного приспособления к поведению тех, кто тоже хочет достичь наиболее лучших результатов.
Досконально изучив разные игры, создав серию новых математических игр и наблюдая за действиями участников в разных игровых ситуациях, Дж.-Ф. Нэш стремился понять, как функционирует рынок, как компании принимают решения, связанные с риском, почему покупатели действуют так, а не иначе. Ведь в экономике, как и в игре, руководители фирм должны учитывать не только последние, но и предыдущие шаги конкурентов, а также ситуацию на всем экономическом (игровом, например, шахматном) поле и другие факторы.
Известно, что субъекты экономической жизни - активные ее участники, которые на рынке в условиях конкуренции идут на риск, и он должен быть оправдан. Поэтому каждый из них, как и игрок, должен иметь свою стратегию. Именно из этого исходил Дж.-Ф. Нэш, разрабатывая метод, который позже назвали «равновесием Неша».
Равновесие Неша - совокупность стратегий или действий, согласно которым каждый участник реализовывает оптимальную стратегию, предвидя действия соперников.
«Стратегию» как основное понятие теории игр Дж.-Ф. Нэш разъясняет на основе «игры с нулевой суммой» («симметричная игра»), когда каждый участник имеет определенное количество стратегий. Выигрыш каждого игрока зависит от выбранной им стратегии, а также от стратегии его соперников. На этой основе строится матрица для нахождения оптимальной стратегии, которая при многократном повторении игры обеспечивает определенному игроку максимально возможный средний выигрыш (или максимально возможный средний проигрыш). Поскольку этому игроку неизвестно, какую стратегию выберет противник, ему самому целесообразнее выбрать стратегию, рассчитанную на самое неблагоприятное для него поведение противника (принцип «Гарантированного результата»). Действуя осторожно и считая конкурента сильным, этот игрок выберет для каждой своей стратегии минимально возможный выигрыш. И таким образом из всех минимально выигрышных стратегий выберет такую, которая обеспечит ему максимальный из всех минимальных выигрышей («максимин»).
Его противник, наверное, рассуждает так же. Он найдет для себя наибольшие проигрыши во всех стратегиях этого игрока, а потом из этих максимальных проигрышей выберет минимальный («минимакс»). При равенстве максимина минимаксу решения игроков будут устойчивыми, а игра будет иметь равновесие. Устойчивость (равновесие) решений (стратегий) заключается в том, что обоим участникам игры будет невыгодно отходить от выбранных стратегий. Когда же максимин не равен минимаксу, то решения (стратегии) обоих игроков, если они хотя бы в какой-то мере угадали выбор стратегии противника, будут неустойчивыми, неравновесными.
Значит, равновесие Нэша - результат, в котором стратегия каждого из игроков является лучшей среди других стратегий, принятых остальными участниками игры. Это определение основывается на том, что каждый из игроков изменением собственной роли не может достичь наибольшей выгоды (максимизации функции полезности), если другие участники твердо придерживаются собственной линии поведения.
Свою «формулу равновесия» Дж.-Ф. Нэш усилил показателем оптимального объема информации. Он вывел его из анализа ситуаций с полным информированием игрока о своих противниках и с неполным информированием о них. Переведя этот постулат с математического языка на язык экономической жизни, ученый ввел (как важный информационный элемент знания условий «внешней среды») неуправляемые переменные рыночных отношений.
Появление в науке равновесия Дж.-Ф. Нэша открыло многочисленные исследования с целью приближения его к реальной экономической действительности. На усовершенствование равновесия Дж.-Ф. Нэша были направлены исследования многих ученых. Среди них Дж.-Ч. Харшани.
Харшани (Harsanyi) Джон-Чарльз (1920-2000) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1994). Родился в г. Будапеште (Венгрия), закончил Лютеранскую гимназию.
Получил высшее медицинское образование. В 1947 г., защитив докторскую диссертацию, начал работать преподавателем университетского Института социологии. Из-за антимарксистских взглядов в 1948 г. вышел в отставку, а потом выехал в Австралию. Там работал на заводе, одновременно обучался в Сиднейском университете, где изучал английский язык и экономику. В 1953 г. получил степень магистра.
С 1954 г. он лектор экономики Брисбенского университета. Через два года Дж.-Ч. Харшани был отмечен Фондом Рокфеллера, что давало ему право в течение следующих двух лет писать докторскую диссертацию в Стэнфордском университете.
В 1958 г. Дж.-Ч. Харшани возвращается в Австралию. Однако, почувствовав определенную изолированность, поскольку в этой стране в то время теория игр фактически не была известна, переехал в США, где работал профессором экономики Детройтского университета. В 1964 г. он профессор Экономического центра Волтера Хааса при университете Беркли в штате Калифорния.
Первые научные работы Дж.-Ч. Харшани опубликовал в начале 50-х годов, посвятив их вопросам использования функции полезности Неймана-Моргенштерна в экономике благосостояния и в этике. Дж.-Ч. Харшани является автором многих работ по утилитарной этике, экономики благосостояния, а также в сфере, граничащей между экономикой и моральной философией. В работе «Рациональное поведение и переговорное равновесие в играх и социальных ситуациях» (1977) он обосновывает «общую теорию рационального поведения», охватывающую «теорию индивидуального решения», вопросы деловой этики и теорию игр. Среди его книг «Эссе по этике, социальному поведению и научному объяснению» (1976), «Работы по теории игр» (1982), «Общая теория выбора равновесия в играх» (1988, совместно с Р.-Дж.-Р. Селтеном), которая в 2001 г. издана на русском языке, «Рациональное взаимодействие» и др.
Дж.-Ч. Харшани - почетный доктор Северно-Западного и почетный профессор Калифорнийского университетов (США).
Предметом исследования Дж.-Ч. Харшани были сложные ситуации, которые случаются при наличии асимметричной информации. В игре с полной информацией все игроки знают преимущества других, а в игре с неполной информацией они нуждаются в этих знаниях.
Поскольку толкование равновесия Нэша базировалось на прогнозе, что игроки знают преимущества других, все методы были недоступны для анализа игр с неполной информацией, несмотря на то, что такие игры более полно отражают стратегические взаимосвязи в реальном мире.
Ситуацию радикально изменили исследования Дж.-Ч. Харшани («Игры с неполной информацией, сыгранные байсианскими игроками»). Ученый исходил из того, что каждый игрок является одним из нескольких «типов», а каждый тип отвечает набору возможных преимуществ для игрока и вероятно распределяет почти всех на типы игроков. Значит, каждый игрок в игре с неполной информацией выбирает стратегию одного из таких типов. С согласованным требованием в отношении возможности распределения игроков Дж.-Ч. Харшани показал, что для каждой игры с неполной информацией существует эквивалентная игра с полной информацией. То есть он трансформировал игру с неполной информацией в игру с несовершенной информацией. В таком случае игра может регулироваться стандартными моделями.
Примером игры с неполной информацией может быть ситуация, когда частные фирмы и финансовые рынки точно не знают преимуществ центрального банка в отношении дилеммы между инфляцией и безработицей. Соответственно неизвестна и банковская политика в отношении будущих процентных ставок. Взаимодействие между будущими ожиданиями и политикой центрального банка можно проанализировать с помощью методики, предложенной Дж.-Ч. Харшани. В самом простом виде банк может или ориентироваться на борьбу с инфляцией и, значит, готовиться к осуществлению ограничительной политики с высокими процентными показателями, или будет бороться с безработицей с помощью низких процентных показателей.
Равновесие Нэша доработал и усовершенствовал, в частности относительно игр с неполной информацией, Р.-Дж.-Р. Селтен.
Селтен (Selten) Рейнхард-Джустус-Реджинальд (род в 1930) - немецкий экономист, лауреат Нобелевской премии (1994). Родился в г. Бреслау (ныне г. Вроцлав, Польша). В 1951 г. закончил в г. Мелсунген среднюю школу. Уже здесь заинтересовался математикой, впервые узнал о теории игр. Учился на математическом факультете Университета во Франкфурте-на Майне, окончил его в 1957 г. в течение десяти лет
Р.-Дж.-Р. Селтен работал там ассистентом. Этот период его жизни был насыщен активной экспериментаторской работой. В 1959 г. защитил докторскую диссертацию по математике. На протяжении 1969-1972 гг. он профессор экономики Свободного университета в Западном Берлине. Потом работал в Билефельдском университете, в котором продолжил экспериментальные исследования теории игр.
С 1984 г. Р.-Дж.-Р. Селтен - профессор кафедры экономики Боннского университета имени Фридриха-Вильгельма. Выступив организатором научно-исследовательского года (с 1 октября 1987 года по 30 сентября 1988 года) по теории игр в поведенческих науках, он сумел собрать большую международную группу экономистов, биологов, математиков, политологов, психологов и философов. Их общая работа изложена
в 4-х книгах «Модели равновесия игры» (1991). Р.-Дж.-Р. Селтен - основатель теории некооперативных игр.
В 1995 г. Р.-Дж.-Р. Селтен избран вице-президентом Европейской экономической ассоциации, а в 1997 г. - ее президентом. Он член Американских экономической ассоциации и эконометрического общества, входит в состав многих редколлегий научных журналов, является почетным иностранным членом Американской академии искусств и наук, членом Национальной академии наук США, а также почетным доктором Билефельдского, Бреславского, Грацского университетов, Университета Франкфурта-на-Майне и др.
В статье «Модель олигополии с инерцией спроса» (1965)
Р.-Дж.-Р. Селтен разработал «чистую стратегию» с интуитивным выбором. Последовательно усложняя и уточняя отмеченное «равновесие» дополнительными условиями для предыдущих договоренностей об игре, ученый развивал ее с точки зрения динамики и приближал к условиям реальной жизни. Он на противоположных примерах доказал, что даже точки равновесия могут вызвать иррациональное поведение. По мнению ученого, только специальный класс точек равновесия (он их назвал «истинными», или «совершенными точками равновесия») обеспечивает на самом деле рациональное поведение в бескоалиционной игре.
Понятие «равновесие Нэша» распространяется на теорию динамичных игр. В этом случае каждый участник выбирает стратегию (то есть план действий для каждого периода игры), которая максимизирует его выигрыш при заданных стратегиях других игроков. Основная проблема с динамичным равновесием Неша заключается в том, что в последнем периоде игры игроки могут вести себя иррационально. В тот момент, когда становится ясно, что данный период игры последний, ранее выбранное действие может оказаться иррациональным (не максимизирует выгоду). Усовершенствованное понятие равновесия, предложенное в 1975 г.
Р.-Дж.-Р. Селтеном, позволяет избавиться от непредвиденных предпосылок о стратегиях. Это понятие «совершенного равновесия Нэша», или совершенного равновесия субигры, предусматривает, что стратегии, выбранные игроками, являются равновесными, по Нешу, в каждой субигре (то есть в каждой однопериодной игре основной игры) независимо от того, какие действия были выполнены раньше.
Внедрение равновесия Нэша стало важным шагом в микроэкономике. Его использование способствовало углубленному пониманию развития и функционирования рынков, обоснованию стратегических решений, принимающихся менеджерами разных фирм. Важным является вклад Р.-Дж.-Р. Селтена, который усовершенствовал концепцию равновесия Нэша для анализа стратегического взаимодействия в динамике и использовал это для анализа конкуренции при условии небольшого количества участников. А методология анализа игры с неполной информацией Дж.-Ч. Харшани обеспечила теоретическую основу для исследования экономики информации.
Равновесием Нэша можно пользоваться при изучении процесса ведения политических переговоров и экономического поведения, в частности на олигополистических рынках (форма организации рынка, где существует несколько производителей однородного или дифференцированного товара). Именно Р.-Дж.-Р. Селтен выявил возможности использования моделей в политике. Его сотрудничество с американским ученым-политиком А. Пелмутером позволило разработать так называемый сценарий пакетного метода - систематизированный способ создания простых моделей игры конкретных международных конфликтов, благодаря которым можно осуществлять экспертные проверки эмпирических фактов.
Таким образом, дополненная теория игр дала экономике мощный математический инструментарий, который помог экономистам освободиться от зависимости от формального математического аппарата физики. Равновесие Нэша - это гибкий метод анализа разнообразных конкретных проблем и ситуаций на рынках.
Теория игр в дальнейшем была использована в исследованиях Томаса Шеллинга и Роберта Оманна. Их интересовал вопрос: «Почему некоторые группы людей, организаций и стран преуспевают в сотрудничестве, в то время как другие страдают от постоянных конфликтов?»
Шеллинг (Schelling) Томас Кромби (род. в 1921) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии 2005 г. «За расширение понимания проблем конфликта и кооперации с помощью анализа в рамках теории игр». Профессор Мэрилендского университета. Президент Американской экономической ассоциации в 1991 г. Лауреат премии Фрэнка Сейдмана (1977). Основные произведения: «Стратегия конфликта» (The Strategy of Conflict, 1960); «Микромотивы и макровыбор» (Micromotives and Macrobehavior, 1978); «Выбор и последствия» (Choice and Consequence, 1985).
Использовал теорию игр для принятия рациональных решений в условиях недостаточной информации о возможных последствиях, как базу для объединения и исследования общественных наук в своей книге «Стратегия конфликта» (The Strategy of Conflict), опубликованной в 50-е годы прошлого века в условиях гонки вооружений.
В своей книге Шеллинг показывает, например, что способность принять ответные меры может быть иногда более полезной, чем способность выдержать атаку, или что возможное неизвестное возмездие часто более эффективно, нежели известное неотвратимое возмездие.
В книге Шеллинга рассматривались возможности решения стратегических конфликтов и способы избежать войны, однако его выводы могли объяснить и широкий диапазон явлений в сфере экономики и конкурентоспособности предприятий.
Р. Ауманн в свою очередь, посвятил свои исследования изучению теории бесконечных повторяющихся игр или того, каким образом можно поддерживать определенные результаты в отношениях в течение долгого периода времени.
Ауманн (Aumann) Исраэль Роберт Джон (также Оман) (род. в 1930) - израильский математик, профессор Еврейского университета в Иерусалиме, лауреат Нобелевской премии по экономике 2005 года «За расширение понимания проблем конфликта и кооперации с помощью анализа в рамках теории игр».
В 1983 году Оман был награждён премией Харви. В 1994 году профессор Оман был награждён Государственной премией Израиля по экономике вместе с профессором Михаэлем Бруно.
Р. Оман возглавлял Общество теории игр, а в начале 1990-х являлся президентом Израильского союза математиков. Кроме того являлся ответственным редактором «Журнала Европейского математического общества». Ауманн также консультировал Агентство США по контролю за вооружениями и разоружению. Он занимался теорией игр и её приложениями около 40 лет. Основные произведения: «Почти строго конкурентные игры» (Almost Strictly Competitive Games, 1961); «Смешанные и поведенческие стратегии в бесконечно расширенных играх» (Mixed and Behavior Strategies in Infinite Extensive Games, 1964).
Теория игр - это наука о стратегии, она изучает, как различные соперничающие группы - бизнесмены или любые другие сообщества - могут сотрудничать с получением идеального результата.
Оман специализировался в «повторяющихся играх», анализируя развитие конфликта во времени. Исследования Ауманна базировались на идее о том, что сотрудничество во многих ситуациях легче установить в ходе долгосрочных стабильных отношений.
Теория Ауманна объясняет, почему более трудно достичь сотрудничества между большим количеством участников, учитывая насколько часты, продолжительны и надежны контакты между ними и насколько каждый участник может предвидеть действия других.
Исследования направлены на объяснение таких экономических конфликтов, как ценовые и торговые войны, раскрытие механизма переговоров в различных условиях - от требований о повышении заработной платы до заключения международных торговых соглашений.
И Оскар Моргенштерн стали основателями нового интересного направления математики, которое получило название "теория игр". В 1950-е годы этим направлением заинтересовался молодой математик Джон Нэш. Теория равновесия стала темой его диссертации, которую он написал, будучи в возрасте 21 год. Так родилась новая стратегия игр под названием «Равновесие по Нэшу», заслужившая Нобелевскую премию спустя много лет - в 1994 году.
Долгий разрыв между написанием диссертации и всеобщим признанием стал испытанием для математика. Гениальность без признания вылилась в серьезные ментальные нарушения, но и эту задачу Джон Нэш смог решить благодаря прекрасному логическуму разуму. Его теория "равновесие по Нэшу" удостоилась премии Нобеля, а его жизнь экранизации в фильме «Beautiful mind» («Игры разума»).
Кратко о теории игр
Поскольку теория равновесия Нэша объясняет поведение людей в условиях взаимодействия, поэтому стоит рассмотреть основные понятия теории игр.
Теория игр изучает поведение участников (агентов) в условиях взаимодействия друг с другом по типу игры, когда исход зависит от решения и поведения нескольких людей. Участник принимает решения, руководствуясь своими прогнозами относительно поведения остальных, что и называется игровой стратегией.
Существует также доминирующая стратегия, при которой участник получает оптимальный результат при любом поведении других участников. Это наилучшая безпроигрышная стратегия игрока.
Дилемма заключенного и научный прорыв
Дилемма заключенного - это случай с игрой, когда участники вынуждены принимать рациональные решения, достигая общей цели в условии конфликта альтернатив. Вопрос заключается в том, какой из этих вариантов он выберет, осознавая личный и общий интерес, а также невозможность получить и то, и другое. Игроки словно заключены в жесткие игровые условия, что порой заставляет их мыслить очень продуктивно.
Эту дилемму исследовал американский математик Равновесие, которое он вывел, стало революционным в своем роде. Особенно ярко эта новая мысль повлияла на мнение экономистов о том, как делают выбор игроки рынка, учитывая интересы других, при плотном взаимодействии и пересечении интересов.
Лучше всего изучать теорию игр на конкретных примерах, поскольку сама эта математическая дисциплина не является сухо-теоретической.
Пример дилеммы заключенного
Пример, два человека совершили грабеж, попали в руки полиции и проходят допрос в отдельных камерах. При этом служители полиции предлагают каждому участнику выгодные условия, при которых он выйдет на свободу в случае дачи показаний против своего напарника. У каждого из преступников существует следующий набор стратегий, которые он будет рассматривать:
- Оба одновременно дают показания и получают по 2,5 года в тюрьме.
- Оба одновременно молчат и получают по 1 году, поскольку в таком случае доказательная база их вины будет мала.
- Один дает показания и получает свободу, а другой молчит и получает 5 лет тюрьмы.
Очевидно, что исход дела зависит от решения обоих участников, но сговориться они не могут, поскольку сидят в разных камерах. Также ярко виден конфликт их личных интересов в борьбе за общий интерес. У каждого из заключенных есть два варианта действий и 4 варианта исходов.
Цепь логических умозаключений
Итак, преступник А рассматривает следующие варианты:
- Я молчу и молчит мой напарник — мы оба получим по 1 году тюрьмы.
- Я сдаю напарника и он сдает меня — мы оба получим по 2,5 года тюрьмы.
- Я молчу, а напарник меня сдает — я получу 5 лет тюрьмы, а он свободу.
- Я сдаю напарника, а он молчит - я получаю свободу, а он 5 лет тюрьмы.
Приведем матрицу возможных решений и исходов для наглядности.
Таблица вероятных исходов дилеммы заключенного.
Вопрос состоит в том, что выберет каждый участник?
«Молчать, нельзя говорить» или «молчать нельзя, говорить»
Чтобы понять выбор участника, нужно пройти по цепочке его размышлений. Следуя рассуждениям преступника А: если я промолчу и промолчит мой напарник, мы получим минимум срока (1 год), но я не могу узнать, как он себя поведет. Если он даст показания против меня, то мне также лучше дать показания, иначе я могу сесть на 5 лет. Лучше мне сесть на 2,5 года, чем на 5 лет. Если он промолчит, то мне тем более нужно дать показания, поскольку так я получу свободу. Точно так же рассуждает и участник B.
Нетрудно понять, что доминирующая стратегия для каждого из преступников - это дача показаний. Оптимальная точка этой игры наступает тогда, когда оба преступника дают показания и получают свой «приз» — 2,5 года тюрьмы. Теория игр Нэша называет это равновесием.
Неоптимальное оптимальное решение по Нэшу
Революционность нэшевского взгляда в том, не является оптимальным, если рассмотреть отдельного участника и его личный интерес. Ведь наилучший вариант - это промолчать и выйти на свободу.
Равновесие по Нэшу - это точка соприкосновения интересов, где каждый участник выбирает такой вариант, который для него оптимальный только при условии, что другие участники выбирают определенную стратегию.
Рассматривая вариант, когда оба преступника молчат и получают всего по 1 году, можно назвать него Парето-оптимальным вариантом. Однако он возможен, только если преступники смогли бы сговориться заранее. Но даже это не гарантировало бы этого исхода, поскольку соблазн отступить от уговора и избежать наказания велик. Отсутствие полного доверия друг к другу и опасность получить 5 лет вынуждает выбрать вариант с признанием. Размышлять о том, что участники будут придерживаться варианта с молчанием, действуя согласованно, просто нерационально. Такой вывод можно сделать, если изучать равновесие Нэша. Примеры только доказывают правоту.
Эгоистично или рационально
Теория равновесия Нэша дала потрясающие выводы, опровергнувшие существующие до этого принципы. Например, Адам Смит рассматривал поведение каждого из участников как абсолютно эгоистичное, что и приводило систему в равновесие. Эта теория носила название «невидимая рука рынка».
Джон Нэш увидел, что если все участники будут действовать, преследуя только свои интересы, то это никогда не приведет к оптимальному групповому результату. Учитывая, что рациональное мышление присуще каждому участнику, более вероятен выбор, который предлагает стратегия равновесия Нэша.
Чисто мужской эксперимент
Ярким примером может служить игра «парадокс блондинки», которая хотя и кажется неуместной, но является яркой иллюстрацией, показывающей, как работает теория игр Нэша.
В этой игре нужно представить, что компания свободных парней пришла в бар. Рядом оказывается компания девушек, одна из которых предпочтительнее других, скажем блондинка. Как парням повести себя, чтобы получить наилучшую подругу для себя?
Итак, рассуждения парней: если все начнут знакомиться с блондинкой, то, скорее всего, она никому не достанется, тогда и ее подруги не захотят знакомства. Никто не хочет быть вторым запасным вариантом. Но если парни выберут избегать блондинку, то вероятность каждому из парней найти среди девушек хорошую подругу высока.
Ситуация равновесия по Нэшу неоптимальна для парней, поскольку, преследуя лишь свои эгоистические интересы, каждый выбрал бы именно блондинку. Видно, что преследование только эгоистичных интересов будет равнозначно краху групповых интересов. Равновесие по Нэшу будет значить то, что каждый парень действует в своих личных интересах, которые соприкасаются с интересами всей группы. Это неоптимальный вариант для каждого лично, но оптимальный для каждого, исходя из общей стратегии успеха.
Вся наша жизнь игра
Принятие решений в реальных условиях очень напоминает игру, когда вы ожидаете определенного рационального поведения и от других участников. В бизнесе, в работе, в коллективе, в компании и даже в отношениях с противоположным полом. От больших сделок и до обычных жизненных ситуаций все подчиняется тому или иному закону.
Конечно, рассмотренные игровые ситуации с преступниками и баром - это всего лишь отличные иллюстрации, демонстрирующие равновесие Нэша. Примеры таких дилемм очень часто возникают на реальном рынке, а особенно это работает в случаях с двумя монополистами, контролирующими рынок.
Смешанные стратегии
Часто мы вовлекаемы не в одну, а сразу в несколько игр. Выбирая один из вариантов одной игре, руководствуясь рациональной стратегией, но попадаете в другую игру. После нескольких рациональных решений вы можете обнаружить, что ваш результат вас не устраивает. Что же предпринимать?
Рассмотрим два вида стратегии:
- Чистая стратегия - это поведение участника, которое исходит из размышления над возможным поведением других участников.
- Смешанная стратегия или случайная стратегия - это чередование чистых стратегий случайным образом или выбор чистой стратегии с определенной вероятностью. Такую стратегию еще называют рэндомизированной.
Рассматривая такое поведение, мы получаем новый взгляд на равновесие по Нешу. Если ранее говорилось о том, что игрок выбирает стратегию один раз, то можно представить и другое поведение. Можно допустить тот вариант, что игроки выбирают стратегию случайно с определенной вероятностью. Игры, в которых нельзя найти равновесия Нэша в чистых стратегиях, всегда имеют их в смешанных.
Равновесие Нэша в смешанных стратегиях называется смешанным равновесием. Это такое равновесие, где каждый участник выбирает оптимальную частоту выбора своих стратегий при условии, что другие участники выбирают свои стратегии с заданной частотой.
Пенальти и смешанная стратегия
Пример смешанной стратегии можно привести в игре в футбол. Лучшая иллюстрация смешанной стратегии - это, пожалуй, серия пенальти. Так, у нас есть вратарь, который может прыгнуть только в один угол, и игрок, который будет бить пенальти.
Итак, если в первый раз игрок выберет стратегию сделать удар в левый угол, а вратарь также упадет в этот угол и словит мяч, то как могут развиваться события во второй раз? Если игрок будет бить в противоположный угол, это, скорее всего, слишком очевидно, но и удар в тот же угол не менее очевиден. Поэтому и вратарю, и бьющему ничего не остается, как положиться на случайный выбор.
Так, чередуя случайный выбор с определенной чистой стратегией, игрок и вратарь пытаються получить максимальный результат.
Равновесие Нэша (Nash equilibrium ) - это такая ситуация, при которой ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш, в одностороннем порядке меняя свое решение. Другими словами, равновесие Нэша - это положение, при котром стратегия обеих игроков является наилучшей реакцией на действия своего оппонента
Равновесие Нэша в чистых стратегиях для стратегической игры - это такой профиль стратегий, что для всякого агента выполняется следующее условие:
Если в игре каждый из противников применяет только одну и ту же стратегию, то про саму игру в этом случае говорят, что она происходит в чистых стратегиях , а используемые игроком А и игроком В пара стратегий называются чистыми стратегиями .
Определение. В антогонистической игре пара стратегий (А i , В j) называется равновесной или устойчивой, если ни одному из игроков не выгодно отходить от своей стратегии.
Применять чистые стратегии имеет смысл тогда, когда игроки А и В располагают сведениями о действиях друг друга и достигнутых результатах. Если допустим, что хотя бы одна из сторон не знает о поведении противника, то идея равновесия нарушается, и игра ведется бессистемно.
33. Функция Неймана- Моргенштерна в теории игр. Равновесие Байеса-Нэша
Систематическая же математическая теория игр была детально разработана американскими учёными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном (1944) как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики. В ходе своего развития И. т. переросла эти рамки и превратилась в общую математическую теорию конфликтов.
Основным в И. т. является понятие игры, являющееся формализованным представлением о конфликте. Точное описание конфликта в виде игры состоит поэтому в указании того, кто и как участвует в конфликте, каковы возможные исходы конфликта, а также кто и в какой форме заинтересован в этих исходах. Участвующие в конфликте стороны называются коалициями действия; доступные для них действия - их стратегиями; возможные исходы конфликта - ситуациями (обычно каждая ситуация понимается как результат выбора каждой из коалиций действия некоторой своей стратегии); стороны, заинтересованные в исходах конфликта, - коалициями интересов; их интересы описываются предпочтениями тех или иных ситуаций (эти предпочтения часто выражаются численными выигрышами). Конкретизация перечисленных объектов и связей между ними порождает разнообразные частные классы игр.
Определить оптимальную стратегию можно:
- Равновесие Байеса-Нэша: если определено статистическое распределение встречаемого поведения (например, 33 % «око за око», 33 % всегда обманывают и 33 % всегда сотрудничают), то стратегию можно вычислить математически . Этим детально занимается теория эволюционной динамики.
Что же делать участвующим в игре агентам? Как им определить, какая стратегия лучше других?
Давайте для начала поставим перед собой более скромную цель: определить, какие стратегии точно не подойдут.
Определение 1.2 . Стратегия агента называется доминируемой, если существует такая стратегия , что
В таком случае говорят, что доминирует над .
Иначе говоря, стратегия доминируема, если существует другая стратегия, которая не хуже в каждой точке, при любых возможных комбинациях стратегий других агентов. Значит, нет вообще никакой причины предпочитать , и ее можно просто отбросить при анализе.
Пример 1.4 . Вспомним пример 1.2, в котором полковник Блотто собирался расставить войска на поле . Если проанализировать матрицу из примера 1.2, станет очевидным, что стратегии , и доминируются другими: например, стратегия окажется лучше любой из них. Разумеется, то же самое верно и для противника Блотто. Таким образом, матрица существенно сократится.
Конец примера 1.4 .
Пример 1.5
. В примере 1.3, в котором мы обсуждали конкуренцию по Курно, было очень много доминируемых стратегий. Таковыми были все стратегии : они гарантированно приносили неположительную прибыль
, в то время как нулевая стратегия (, ничего не производить) гарантирует нулевую прибыль
. Поэтому сразу можно было ограничиться анализом квадрата 
в качестве множества
стратегий.
Конец примера 1.5 .
Правда, стоит заметить, что легко построить пример, в котором любая стратегия доминируема. Это будет значить, что некоторые стратегии эквивалентны, то есть доминируют друг над другом. В таких случаях хотя бы одну из них стоит оставить, а то совсем не из чего будет выбирать.
Продолжаем разговор. После доминируемых стратегий логично будет ввести доминантные стратегии .
Определение 1.3 . Стратегия агента называется доминантной , если всякая другая стратегия ею доминируется, то есть
Доминантная стратегия для агента - настоящее счастье. Ему вообще думать не надо: достаточно выбрать доминантную стратегию, все равно никакая другая ни при каком исходе ничего лучшего не даст.
Более того, если у всех агентов есть доминантные стратегии , то анализ такой игры закончится, не успев начаться. Можно с уверенностью сказать, что все агенты выберут свои доминантные стратегии .
Определение 1.4 . Равновесие в доминантных стратегиях для стратегической игры - это такой профиль стратегий , что для всякого агента стратегия является доминантной.
Такое равновесие является самым устойчивым из всех. В следующей лекции мы приведем пример из теории экономических механизмов, в котором возникает такое равновесие - так называемый аукцион Викри (см. теорему 2.1.
Но, к сожалению, счастье достижимо далеко не всегда. Ни в примере 1.1, ни в примере 1.2, ни в примере 1.3 никакого равновесия в доминантных стратегиях не получалось. Для каждой стратегии игрока там существовал профиль стратегий других игроков , в котором игроку было бы выгодно сменить на ту или иную .
Равновесие Нэша
В предыдущем параграфе мы обсудили, что если у агента есть доминантная стратегия , то ему вообще размышлять и беспокоиться не о чем: он может просто выбирать эту стратегию. Но что же делать участвующим в игре агентам, когда таких стратегий нет и не предвидится?
Тогда приходится учитывать не только свои собственные стратегии, но и стратегии других агентов. Учет этот приведет к понятию равновесия, сформулированному в 1950 году Джоном Нэшем .
Определение 1.5 . Равновесие Нэша в чистых стратегиях для стратегической игры - это такой профиль стратегий , что для всякого агента выполняется следующее условие:
Иначе говоря, как и прежде, агенту невыгодно отклоняться от избранной стратегии . Но теперь ему это невыгодно делать не абстрактно, при любом выборе стратегий у других агентов, а только в конкретном профиле стратегий .
Пример 1.6 . Продолжаем рассматривать беднягу Блотто. Матрица игры полковника без доминируемых стратегий была приведена в примере 1.4. Из матрицы легко видеть, что если один игрок выбирает стратегию , то от выбора другого уже ничего не зависит, то есть можно сказать, что другому тоже нет резона отклоняться от стратегии . Все это значит, что для данной игры профиль стратегий находится в равновесии Нэша.
Конец примера 1.6 .
Приведем и непрерывный пример - поверьте, нас еще ждут подобные рассуждения, и пора привыкать к чуть более серьезному анализу.
Пример 1.7
. Вернемся к анализу конкуренции по Курно из примера 1.3. На этот раз мы не будем ничего упрощать: пусть цена задается неизвестной функцией 
, а себестоимость производства для каждой фирмы - неизвестной функцией . Чтобы найти равновесие Нэша, найдем функцию лучшего ответа. Прибыль
компании определяется как
Чтобы определить максимум функции для фиксированного , нужно просто найти производную
и приравнять ее к нулю. Соответственно, равновесие Нэша достигается там, где обе фирмы выдают оптимальный ответ на стратегию противника, то есть на решениях следующей системы дифференциальных уравнений :
Оставим читателю удовольствие проверить, что в рассмотренном в примере 1.3 частном случае равновесием Нэша действительно будет точка пересечения прямых на рис. 1.1 .
Конец примера 1.7 .
В определении 1.5 упоминался странный термин " чистые стратегии ": а какими еще они бывают? Оказывается, что стратегии бывают не только чистыми, но и смешанными. Смешанные стратегии - логичное расширение понятия стратегии: давайте разрешим игроку не только выбирать одну из , но и делать из них более или менее случайный выбор.
Определение 1.6 . Смешанная стратегия для игрока в стратегической игре - это распределение вероятностей , где - множество всех распределений вероятностей над .
Смешанную стратегию также можно рассматривать как задание весов для каждой стратегии так, чтобы сумма (в непрерывном случае - интеграл ) всех весов была равна 1.
Бывают игры, где нет равновесий Нэша для чистых стратегий . Но оно всегда (в конечном случае) есть в смешанных стратегиях .
Пример 1.8 . Вспомним игру "камень-ножницы-бумага", матрицу которой мы уже выписывали в примере 1.1.
Очевидно, что никакого равновесия Нэша в чистых стратегиях здесь нет: для любой стратегии найдется кому ее опровергнуть. Но равновесие Нэша в смешанных стратегиях здесь имеется. Предположим, что второй игрок выбирает камень, ножницы или бумагу с вероятностью , а первый выбирает их с вероятностями , и . Тогда первый игрок выигрывает с вероятностью
а также проигрывает и делает ничью с той же вероятностью. Иначе говоря, если противник выбирает стратегию равновероятно, для игрока все стратегии эквивалентны. Поскольку игра симметрична, получается, что профиль смешанных стратегий
находится в равновесии.
Конец примера 1.8 .
Доказательство того, что равновесие в смешанных стратегиях всегда существует, следует из теоремы Какутани о неподвижной точке [ , ].
Теорема 1.1
(Какутани) Пусть - непустое выпуклое компактное подмножество
евклидова пространства
, а 
- многозначная функция
на с замкнутым графиком, такая, что множество непусто, замкнуто и выпукло для всех . Тогда у есть
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Равновесие Нэша
Введение
1. Джон Форбс Нэш
1.1 Научные достижения Джона Нэша
2. Равновесие Нэша
2.1 Проблема существования равновесий Нэша
2.2 Проблема единственности равновесия Нэша
2.3 Проблема эффективности равновесия Нэша
2.4 Оптимальные по Парето ситуации
3. Проблемы практического применения
Заключение
Список литературы
Введение
Ученые вот уже почти шестьдесят лет используют теорию игр для расширения анализа стратегических решений, принимаемых фирмы, в частности для того, чтобы ответить на вопрос: почему на некоторых рынках фирмы и стремятся сговориться, тогда, как на других агрессивно конкурируют; использующих фирмы, чтобы не допустить вторжения потенциальных конкурентов; как должны приниматься решения о цене, когда меняются условия п опроса или расходов или, когда новые конкуренты вторгаются на рынок.
Первыми провели исследование в области теории игр Дж-Ф Нейман и О Моргенштерн и описали результаты в книге "Теория игр и экономическое поведение" (1944) Они распространили математические категории этой теории й на экономическую жизнь общества, введя понятие оптимальных стратегий, максимизации ожидаемой полезности, доминирования в игре.
Ученые стремились сформулировать основополагающие критерии рационального поведения участника на рынке с целью достижения благоприятных результатов. Они различали две основные категории игр. Первая - игра с нулевой суммой, предусматривающий такой выигрыш, состоящий исключительно из проигрыша других игроков. В связи с этим пользу одних непременно должна образовываться за счет потерь других игроков, так что общее, а сумма пользы и потерь всегда равна нулю. Вторая категория - игра с положительной суммой, когда индивидуальные игроки соревнуются за выигрыш, состоящий из их же ставок. В обоих случаях игра неизбежно сопряжена с риском, поскольку каждый из ее участников, как считали исследователи, стремится максимально повысить функцию, переменные которой им не контролируются. Если все игроки одинаково умелые, то решающим фактором становится случайность. Но так бывает редко. Почти всегда важную роль в игре играет хитрость, с помощью которой делаются попытки раскрыть замыслы противников и завуалировать свои й намерениях, а затем занять выгодные позиции, которые заставили бы этих противников действовать в ущерб самим себе.
В начале 50-х Джон Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу».
1. Джон Форбс Нэш
Очень сильная личность и Нобелевский лауреат Джон Нэш является ученым, который много и плодотворно работал в сфере дифференциальной геометрии и теории игр. Однако не все знают, что математик многие годы своей жизни посвятил трагической борьбе с собственным безумием, граничащим с гениальностью.
«Хорошие научные идеи не приходили бы мне в голову, если бы я думал как нормальные люди.» Д. Нэш
Трудовую деятельность Джон Нэш начал в корпорации "РЭНД" (Санта-Моника, Калифорния), где работал летом 1950 года, а также в 1952 и 1954 годах.
В 1950 - 1951 годах молодой человек преподавал на курсах исчисления (Принстон). В этот период времени он доказал теорему Нэша (о регулярных вложениях). Она является одной из главных в дифференциальной геометрии.
В 1951 - 1952 гг. Джон работает научным ассистентом в Кембридже (Массачусетский технологический институт).
Великому ученому было трудно уживаться в рабочих коллективах. Еще со времен студенчества он прослыл чудаковатым, обособленным, заносчивым, эмоционально холодным человеком (что уже тогда указывало на шизоидную организацию характера). Коллеги и сокурсники, мягко говоря, недолюбливали Джона Нэша за эгоистичность и замкнутость.
1.1 Научные достижения Джона Нэша
Прикладная математика имеет один из разделов - теория игр, который изучает оптимальные стратегии в играх. Эта теория широко применяется в общественных науках, экономике, изучении политико-социальных взаимодействий.
Самое большое открытие Нэша - это выведенная формула равновесия. Она описывает игровую стратегию, в которой выигрыш увеличить не может ни один участник, если изменит свое решение в одностороннем порядке. Например, рабочий митинг (требующий повышения социальных льгот) может завершиться соглашением сторон или же путчем. Для взаимной выгодности две стороны должны использовать идеальную стратегию. Ученый сделал математическое обоснование сочетаний коллективной и личной выгоды, понятий конкуренции. Также он развил "теорию торгов", которая была положена в основу современных стратегий разных сделок (аукционов и т. п.).
Научные изыскания Джона Нэша после исследований в области теории игр не остановились. Ученые считают, что труды, которые математик написал после его первого открытия, даже люди науки не могут понять, очень уж они сложны и для их восприятия.
нэш математик единственность равновесие
2. Равновесие Нэша
Основной математической моделью конфликтной ситуации является игра в нормальной форме. Эта модель задается совокупностью
где множество участников или игроков;
множество допустимых стратегий игрока;
ситуация игры, возникающая в результате выбора всеми игроками своих стратегий;
выигрыш игрока в ситуации.
Важнейшим принципом принятия решений в конфликтных ситуациях является понятие равновесия Нэша.
Равновесием Нэша в игре называется набор стратегий такой, что для каждого игрока его стратегия, входящая в набор, удовлетворяет условию:
Выражение "" читается " при условии ". Оно обозначает набор стратегий, в котором все компоненты, кроме стратегии игрока, совпадают с, а стратегия есть. Данное условие показывает, что стратегия, входящая в набор, является оптимальной для игрока при фиксированных стратегиях всех остальных игроков. Таким образом, можно сказать, что равновесие Нэша это такой набор стратегий, от которого ни одному из игроков не выгодно отклоняться индивидуально.
Обсудим, как можно использовать понятие равновесия Нэша с точки зрения принятия решений. В теории игр, как и во многих других теориях, можно выделить два подхода: нормативный и позитивный. Нормативный подход состоит в том, что теория дает рекомендации, как следует действовать в той или иной конфликтной ситуации. А при позитивном подходе теория пытается описать, как на самом деле происходит взаимодействие между игроками. Изначально теория игр развивалась как нормативная. И сейчас мы обсудим понятие равновесия Нэша именно с такой точки зрения. В этом случае правило принятия решения можно сформулировать следующим образом: в конфликтной ситуации, описываемой игрой в нормальной форме, каждому участнику следует использовать стратегию, которая входит в равновесие Нэша.
Возникают следующие вопросы: всегда ли существует равновесие Нэша и является ли оно единственным? Далее приводятся несколько примеров, которые показывают, что на оба эти вопроса ответ, вообще говоря, отрицательный.
2 .1 Проблема существования равновесий Нэша
Рассмотрим игру двух лиц (), у каждого из которых имеется конечное число стратегий: , . Такие игры двух лиц с конечным числом стратегий у каждого игрока называют биматричными, т.к. для задания функций выигрыша в этом случае удобна биматричная форма записи:
Стратегиям первого игрока соответствуют строки, а стратегиям второго игрока столбцы. Элемент матрицы равен выигрышу игрока, если первый игрок использует свою -тую стратегию, а второй игрок применяет свою -тую стратегию.
Пример игры, в которой не существует равновесий Нэша
Рассмотрим следующую биматричную игру:
Игре с такими матрицами выигрышей можно дать следующую интерпретацию: происходит игра "в монетку": второй игрок загадывает "орел" или "решку", а первый игрок отгадывает. Если он угадывает правильно, то получает от второго игрока "1", иначе отдает "1" второму игроку.
Легко видеть, что в рассматриваемой игре нет равновесий Нэша. Это можно доказать непосредственной проверкой: какую бы ситуацию мы ни взяли, одному из игроков выгодно отклониться, т.к. их интересы противоположны (если выигрывает один, то проигрывает другой) и при любой фиксированной стратегии одного из игроков у другого всегда найдется стратегия, при которой он выигрывает.
2 .2 Проблема единственности равновесия Нэша
Перейдем к ответу на второй вопрос: если существует равновесие Нэша, то является ли оно единственным?
Рассмотрим биматричную игру, называемую "семейный спор". Игроки молодая супружеская пара. Они решают проблему, куда пойти вечером: на футбол или на балет. Муж предпочитает футбол, а жена балет. Но в любом случае им хочется провести вечер вместе, т.к. если они пойдут в разные места, то все удовольствие будет испорчено.
матрица выигрышей жены,
матрица выигрышей мужа.
Легко убедиться, что в этой игре существует два равновесия Нэша: когда оба игрока используют первую стратегию (т.е. супруги идут на балет), либо когда оба игрока используют вторую стратегию (т.е. супруги идут на футбол).
Согласно принципу принятия решений, основанному на понятии равновесия Нэша, игрок должен использовать стратегию, входящую в какое-либо равновесие Нэша. Допустим, каждый игрок выберет то равновесие Нэша, которое ему больше нравится. В данной игре это может привести к самому худшему результату, т.к. жена выберет балет, муж выберет футбол, и в результате они попадут в ситуацию, когда выигрыш у обоих нулевой, т.е. меньше, чем выигрыш каждого игрока в любой из точек равновесия Нэша.
Пример показывает, что необходим какой-то механизм координации при выборе стратегии, если существует несколько равновесий Нэша. Поэтому игры, подобные данному примеру, называют также "играми на координацию".
2 .3 Проблема эффективности равновесия Нэша
Рассмотрим биматричную игру, называющуюся "Дилемма заключенного". (Эта игра достаточно знаменита. Ей посвящено несколько тысяч работ, дающих различные интерпретации этой игры.) Игроками являются два находящихся под следствием человека. У каждого из них есть две стратегии: сознаться в совершенном преступлении или не сознаваться. Следователь предлагает каждому заключенному такие условия: если он сознается, а другой подозреваемый нет, то тогда первого, учитывая его помощь следствию, осудят по минимальному обвинению (на 1 год), а второму дадут максимальный срок (10 лет). Если сознаются оба, то их обоих осудят и дадут срок, соответствующий их преступлению (по 5 лет лишения свободы каждому). Наконец, если оба подследственных не сознаются, то их смогут осудить за недостаточностью улик только по части обвинения (например, за незаконное хранение оружия вместо более тяжкого преступления, которое они на самом деле совершили). В этом случае оба получат по 2 года.
Получаем следующие матрицы выигрышей ("С" сознаться, "Н" не сознаваться):
для первого игрока
для второго игрока
В этой игре существует единственная точка равновесия Нэша обоим сознаться. Но есть ситуация, которая выгоднее обоим игрокам это обоим не сознаваться. Следовательно, точки равновесия Нэша могут быть неэффективны в том смысле, что за счет отклонения обоих игроков от точки равновесия Нэша можно улучшить выигрыши каждого из них.
Описанная в примере игра имеет следующую структуру:
2.4 Оптимальные по Парето ситуации
Чтобы сформулировать обнаруженное свойство неэффективности равновесий Нэша более формально, введем понятие Парето-оптимальной ситуации.
Пусть задана игра в нормальной форме. Набор стратегий называется Парето-оптимальным, если для любого
Фактически оптимальность некоторой ситуации по Парето означает, что за счет изменения стратегий нельзя увеличить выигрыши хотя бы части игроков так, чтобы при этом не уменьшить выигрыши для остальных.
Рассмотренный пример "дилемма заключенного" показывает, что для некоторых игр не существует точек равновесий Нэша, являющихся Парето-оптимальными. В этом случае любая точка равновесия Нэша может быть улучшена за счет совместного выбора стратегий.
3 . Проблемы практического применения
Мы отметили три недостатка понятия равновесия по Нэшу:
равновесий Нэша в игре может не существовать;
равновесие Нэша может быть не единственно;
равновесие Нэша может быть неэффективно.
Но, несмотря на эти недостатки, указанное понятие играет центральную роль в теории принятия решений в конфликтных ситуациях. В 1999 году Джон Нэш, предложивший данное понятие равновесия и известный в основном именно благодаря этому, получил Нобелевскую премию по экономике.
Безусловно, следует указать и на наличие определенных границ применения аналитического инструментария теории игр. В следующих случаях он может быть использован лишь при условии получения дополнительной информации.
Во-первых, это тот случай, когда у игроков сложились разные представления об игре, в которой они участвуют, или, когда они недостаточно информированы о возможностях друг друга. Например, может иметь место неясная информация о платежах конкурента (структуре издержек). Если неполнотой характеризуется не слишком сложная информация, то можно применять опыт подобных случаев с учетом определенных различий.
Во-вторых, теорию игр трудно применять при множестве ситуаций равновесия. Эта проблема может возникнуть даже в ходе простых игр с одновременным выбором стратегических решений.
В-третьих, если ситуация принятия стратегических решений очень сложна, то игроки часто не могут выбрать лучшие для себя варианты. Например, на рынок в разные сроки могут вступить несколько предприятий или реакция уже действующих там предприятий может оказаться более сложной, нежели быть агрессивной или дружественной.
Экспериментально доказано, что при расширении игры до десяти и более этапов игроки уже не в состоянии пользоваться соответствующими алгоритмами и продолжать игру с равновесными стратегиями.
К сожалению, ситуации реального мира зачастую очень сложны и настолько быстро изменяются, что невозможно точно спрогнозировать, как отреагируют конкуренты на изменение тактики. Тем не менее, теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Эта информация важна, поскольку позволяет учесть дополнительные переменные или факторы, имеющие возможность повлиять на ситуацию, и тем самым повысить эффективность решения.
Заключение
В заключение следует особо подчеркнуть, что теория игр является очень сложной областью знания. При обращении к ней надо соблюдать известную осторожность и четко знать границы применения. Слишком простые толкования таят в себе скрытую опасность. Анализ и консультации на основе теории игр из-за их сложности рекомендуются лишь для особо важных проблемных областей. Опыт показывает, что использование соответствующего инструментария предпочтительно при принятии однократных, принципиально важных плановых стратегических решений, в том числе при подготовке крупных кооперационных договоров.
Где же сегодня применяются открытия Нэша?
Пережив бум в семидесятых-восьмидесятых, теория игр заняла прочные позиции в некоторых отраслях социального знания. Эксперименты, в которых команда Нэша в свое время фиксировала особенности поведения игроков, в начале пятидесятых были расценены как провал. Сегодня они легли в основание «экспериментальной экономики». «Равновесие Нэша» активно используется в анализе олигополий: поведении небольшого количества конкурентов в отдельном секторе рынка.
Кроме того, на Западе теория игр активно используется при выдаче лицензий на вещание или связь: выдающий орган математически высчитывает наиболее оптимальный вариант распределения частот.
Список литературы
1. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. -- М.: МГУ, 2005, 272 с.
2. Воробьёв Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. -- М.: Наука, 1985
3. http://dic.academic.ru/dic.nsf/econ_dict/22119
4. http://economicportal.ru/ponyatiya-all/nash_equilibrium.html
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Проблемы неравномерного распределения доходов среди населения. Закон распределения Парето: зависимость между размером доходов и количеством людей. Распределение Парето в теории катастроф. Методы обработки данных с распределением с тяжелыми хвостами.
курсовая работа , добавлен 06.01.2012
Особенности формирования математической модели принятия решений, постановка задачи выбора. Понятие оптимальности по Парето и его роль в математической экономике. Составление алгоритма поиска парето-оптимальных решений, реализация программного средства.
контрольная работа , добавлен 11.06.2011
Разработка математической модели оптимальной расстановки игроков футбольной команды на поле с учетом распределения игровых обязанностей между футболистами и индивидуальных особенностей каждого для достижения максимальной эффективности игры всей команды.
курсовая работа , добавлен 04.08.2011
Сравнительная характеристика эффективности и простоты применения зажиточных за Кондорсе правил голосования Копленда и Симпсона, законов Бордо и оптимальности по Парето с целью разработки автоматизированной программы для нахождения победителя выборов.
курсовая работа , добавлен 20.08.2010
Условия равновесия в экономической модели. Методы регулирования совокупного спроса. Исследование возможностей получения эффективных равновесий в макроэкономике. Использование монетарной и фискальной политик в процессе регулирования рыночных отношений.
дипломная работа , добавлен 18.11.2017
Экономическое равновесие, условия и методы его достижения, ценовые и неценовые причины нарушения. Общая модель рынка по Вальрасу, ее применение в обосновании экономического равновесия, отличия от модели Эрроу-Дебре. Устойчивость конкурентного равновесия.
курсовая работа , добавлен 19.06.2009
Цель сервисной деятельности, формы обслуживания потребителей. Анализ эффективности работы организации в сфере обслуживания. Понятие системы массового обслуживания, ее основные элементы. Разработка математической модели. Анализ полученных результатов.
контрольная работа , добавлен 30.03.2016
Типы многокритериальных задач. Принцип оптимальности Парето и принцип равновесия по Нэшу при выборе решения. Понятие функции предпочтения (полезности) и обзор методов решения задачи векторной оптимизации с использованием средств программы Excel.
реферат , добавлен 14.02.2011
Классическая теория оптимизации. Функция скаляризации Чебышева. Критерий Парето-оптимальность. Марковские процессы принятия решений. Метод изменения ограничений. Алгоритм нахождения кратчайшего пути. Процесс построения минимального остовного дерева сети.
контрольная работа , добавлен 18.01.2015
Рассмотрение теоретических и практических аспектов задачи принятия решения. Ознакомление со способами решения с помощью построения обобщенного критерия и отношения доминирования по Парето; примеры их применения. Использование критерия ожидаемого выигрыша.