C2 muammosini koordinata usuli yordamida yechishda ko‘pchilik talabalar bir xil muammoga duch kelishadi. Ular hisoblay olmaydilar nuqtalarning koordinatalari skalyar mahsulot formulasiga kiritilgan. Eng katta qiyinchiliklar paydo bo'ladi piramidalar. Va agar asosiy nuqtalar ko'proq yoki kamroq normal deb hisoblansa, unda tepaliklar haqiqiy do'zaxdir.

Bugun biz oddiy to'rtburchak piramida ustida ishlaymiz. Bundan tashqari, uchburchak piramida mavjud (aka - tetraedr). Bu yanada murakkab dizayn, shuning uchun unga alohida dars bag'ishlanadi.

Birinchidan, ta'rifni eslaylik:

Oddiy piramida quyidagilardan iborat:

1. Asos - muntazam ko'pburchak: uchburchak, kvadrat va boshqalar;
2. Bazaga chizilgan balandlik uning markazidan o'tadi.

Xususan, to'rtburchak piramidaning asosi kvadrat. Xuddi Cheops kabi, biroz kichikroq.

Quyida barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan piramida uchun hisob-kitoblar keltirilgan. Agar muammongizda bunday bo'lmasa, hisob-kitoblar o'zgarmaydi - faqat raqamlar boshqacha bo'ladi.

To'rtburchakli piramidaning uchlari

Shunday qilib, SABCD to'rtburchakli muntazam piramida berilsin, bu erda S cho'qqi va ABCD asosi kvadratdir. Barcha qirralar 1 ga teng. Siz koordinatalar tizimini kiritishingiz va barcha nuqtalarning koordinatalarini topishingiz kerak. Bizda ... bor:

A nuqtada kelib chiqadigan koordinatalar tizimini kiritamiz:

1. OX o'qi AB chetiga parallel yo'naltirilgan;
2. OY o'qi AD ga parallel. ABCD kvadrat bo'lgani uchun AB ⊥ AD;
3. Nihoyat, biz OZ o'qini yuqoriga, ABCD tekisligiga perpendikulyar yo'naltiramiz.

Endi biz koordinatalarni hisoblaymiz. Qo'shimcha qurilish: SH - poydevorga chizilgan balandlik. Qulaylik uchun biz piramidaning asosini alohida rasmga joylashtiramiz. A, B, C va D nuqtalar OXY tekisligida joylashganligi sababli ularning koordinatasi z = 0. Bizda:

1. A = (0; 0; 0) - kelib chiqishi bilan mos keladi;
2. B = (1; 0; 0) - koordinata boshidan OX o'qi bo'ylab 1 ga;
3. C = (1; 1; 0) - OX o'qi bo'ylab 1 ga va OY o'qi bo'ylab 1 ga;
4. D = (0; 1; 0) - faqat OY o'qi bo'ylab qadam.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - kvadratning markazi, AC segmentining o'rtasi.

S nuqtaning koordinatalarini topish qoladi. E'tibor bering, S va H nuqtalarning x va y koordinatalari bir xil, chunki ular OZ o'qiga parallel bo'lgan chiziqda yotadi. S nuqta uchun z koordinatasini topish qoladi.

ASH va ABH uchburchaklarini ko'rib chiqing:

1. AS = AB = 1 shart bo'yicha;
2. Burchak AHS = AHB = 90°, chunki SH balandligi va AH ⊥ HB kvadratning diagonallari sifatida;
3. AH tomoni keng tarqalgan.

Shuning uchun, to'g'ri burchakli uchburchaklar ASH va ABH teng bitta oyoq va bitta gipotenuz. Bu SH = BH = 0,5 BD degan ma'noni anglatadi. Ammo BD - tomoni 1 bo'lgan kvadratning diagonali. Shuning uchun bizda:

S nuqtaning umumiy koordinatalari:

Xulosa qilib, biz muntazam to'rtburchaklar piramidaning barcha cho'qqilarining koordinatalarini yozamiz:

Qovurg'alar boshqacha bo'lsa, nima qilish kerak

Piramidaning yon qirralari poydevorning chetlariga teng bo'lmasa-chi? Bunday holda, AHS uchburchagini ko'rib chiqing:

Uchburchak AHS - to'rtburchaklar, va AS gipotenuzasi ham asl SABCD piramidasining yon chetidir. Oyoq AH osongina hisoblab chiqiladi: AH = 0,5 AC. Biz SHning qolgan oyog'ini topamiz Pifagor teoremasiga ko'ra. Bu S nuqta uchun z koordinatasi bo'ladi.

Vazifa. Muntazam toʻrtburchakli SABCD piramidasi berilgan boʻlib, uning asosida tomoni 1 boʻlgan kvadrat yotadi. Yon cheti BS = 3. S nuqtaning koordinatalarini toping.

Biz bu nuqtaning x va y koordinatalarini allaqachon bilamiz: x = y = 0,5. Bu ikkita faktdan kelib chiqadi:

1. S nuqtaning OXY tekisligiga proyeksiyasi H nuqta;
2. Shu bilan birga, H nuqtasi barcha tomonlari 1 ga teng bo'lgan ABCD kvadratining markazidir.

S nuqtaning koordinatasini topish qoladi. AHS uchburchagini ko'rib chiqing. U to'g'ri burchakli, gipotenuzasi AS = BS = 3, oyog'i AH diagonalning yarmi. Qo'shimcha hisob-kitoblar uchun bizga uning uzunligi kerak bo'ladi:

AHS uchburchagi uchun Pifagor teoremasi: AH 2 + SH 2 = AS 2. Bizda ... bor:

Shunday qilib, S nuqtaning koordinatalari:

Birinchi daraja

Piramida. Vizual qoʻllanma (2019)

Piramida nima?

U qanday ko'rinadi?

Ko'ryapsizmi: piramidaning pastki qismida (ular "deyishadi" bazasida") ba'zi ko'pburchaklar va bu ko'pburchakning barcha uchlari fazodagi biron bir nuqtaga bog'langan (bu nuqta "deb ataladi" cho'qqi»).

Bu butun tuzilma hali ham mavjud yon yuzlar, yon qovurg'alar Va asosiy qovurg'alar. Keling, yana bir bor ushbu nomlar bilan birga piramida chizamiz:

Ba'zi piramidalar juda g'alati ko'rinishi mumkin, ammo ular hali ham piramidalar.

Bu erda, masalan, butunlay "qiyshiq" piramida.

Va ismlar haqida bir oz ko'proq: agar piramidaning tagida uchburchak bo'lsa, u holda piramida uchburchak deb ataladi, agar u to'rtburchak bo'lsa, to'rtburchak, agar u sentagon bo'lsa, unda ... o'zingiz taxmin qiling. .

Shu bilan birga, u tushgan nuqta balandlik, chaqirildi balandligi poydevori. E'tibor bering, "qiyshiq" piramidalarda balandlik hatto piramidadan tashqarida ham tugashi mumkin. Mana bunday:

Va buning hech qanday yomon joyi yo'q. Bu to'g'ridan-to'g'ri uchburchakka o'xshaydi.

To'g'ri piramida.

Ko'p murakkab so'zlar? Keling, shifrlaymiz: "Asosiy - to'g'ri" - bu tushunarli. Endi eslaylikki, muntazam ko'pburchakning markazi - va ning markazi bo'lgan nuqta bor.

Xo'sh, "yuqori poydevorning markaziga proyeksiyalangan" so'zlari balandlikning poydevori taglikning o'rtasiga to'liq tushishini anglatadi. Qarang, u qanchalik silliq va yoqimli ko'rinadi muntazam piramida.

Olti burchakli: asosda muntazam olti burchakli bo'lib, uchi asosning markaziga proyeksiyalangan.

To'rtburchak: asosi kvadrat, ustki qismi bu kvadratning diagonallari kesishish nuqtasiga proyeksiyalangan.

Uchburchak: asosda muntazam uchburchak mavjud, cho'qqisi bu uchburchakning balandliklari (ular ham medianalari va bissektrisalari) kesishish nuqtasiga proyeksiyalanadi.

Juda Oddiy piramidaning muhim xususiyatlari:

To'g'ri piramidada

• barcha yon qirralar teng.
• barcha lateral yuzlar teng yonli uchburchaklardir va bu uchburchaklarning barchasi tengdir.

Piramidaning hajmi

Piramida hajmining asosiy formulasi:

U aynan qayerdan kelgan? Bu unchalik oddiy emas va dastlab siz piramida va konusning formulada hajmga ega ekanligini yodda tutishingiz kerak, ammo silindrda bunday emas.

Endi eng mashhur piramidalarning hajmini hisoblaylik.

Poydevorning yon tomoni teng, yon tomoni esa teng bo'lsin. Biz topishimiz kerak va.

Bu muntazam uchburchakning maydoni.

Keling, ushbu hududni qanday qidirishni eslaylik. Biz maydon formulasidan foydalanamiz:

Biz uchun “ ” bu, “ ” ham bu, eh.

Endi topamiz.

uchun Pifagor teoremasiga ko'ra

Nima farqi bor? Bu aylana radiusi, chunki piramidato'g'ri va shuning uchun markaz.

Chunki - medianalarning kesishish nuqtasi ham.

(Pifagor teoremasi uchun)

Keling, uni formulaga almashtiramiz.

Va keling, hamma narsani hajm formulasiga almashtiramiz:

Diqqat: Agar sizda oddiy tetraedr bo'lsa (ya'ni), unda formula quyidagicha chiqadi:

Poydevorning yon tomoni teng, yon tomoni esa teng bo'lsin.

Bu erda qarashning hojati yo'q; Axir, asos kvadrat va shuning uchun.

Biz topamiz. uchun Pifagor teoremasiga ko'ra

Biz bilamizmi? Deyarli. Qarang:

(biz buni ko'rib chiqdik).

Quyidagi formulaga almashtiring:

Va endi biz hajm formulasini almashtiramiz.

Poydevorning yon tomoni teng, yon tomoni esa teng bo'lsin.

Qanday topish mumkin? Qarang, olti burchak aniq oltita bir xil muntazam uchburchakdan iborat. Muntazam uchburchak piramidasining hajmini hisoblashda biz allaqachon muntazam uchburchakning maydonini qidirganmiz, bu erda biz topgan formuladan foydalanamiz.

Endi (uni) topamiz.

uchun Pifagor teoremasiga ko'ra

Lekin buning nima ahamiyati bor? Bu oddiy, chunki (va hamma ham) to'g'ri.

Keling, almashtiramiz:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Piramida - bu har qanday tekis ko'pburchak (), poydevor tekisligida yotmaydigan nuqta (piramidaning yuqori qismi) va piramidaning yuqori qismini poydevor nuqtalari (yon qirralari) bilan bog'laydigan barcha segmentlardan iborat ko'pburchak.

Piramida tepasidan poydevor tekisligiga perpendikulyar tushdi.

To'g'ri piramida- asosda muntazam ko'pburchak yotadigan va piramidaning tepasi poydevor markaziga proyeksiyalangan piramida.

Oddiy piramidaning xususiyati:

• Oddiy piramidada barcha lateral qirralar tengdir.
• Barcha lateral yuzlar teng yonli uchburchaklardir va bu uchburchaklarning barchasi tengdir.

Piramida tushunchasi

Ta'rif 1

Ko'pburchak va shu ko'pburchakni o'z ichiga olgan tekislikda yotmagan nuqtadan hosil bo'lgan, ko'pburchakning barcha uchlari bilan bog'langan geometrik figuraga piramida deyiladi (1-rasm).

Piramida qurilgan ko'pburchak piramidaning asosi deb ataladi; natijada paydo bo'lgan uchburchaklar nuqtaga ulanganda piramidaning yon yuzlari, uchburchaklarning tomonlari piramidaning tomonlari va umumiy nuqtadir. barcha uchburchaklar uchun piramidaning tepasi.

Piramidalarning turlari

Piramida poydevoridagi burchaklar soniga qarab, uni uchburchak, to'rtburchak va hokazo deb atash mumkin (2-rasm).

2-rasm.

Piramidaning yana bir turi oddiy piramidadir.

Oddiy piramidaning xususiyatini tanishtiramiz va isbotlaymiz.

Teorema 1

Muntazam piramidaning barcha lateral yuzlari bir-biriga teng bo'lgan teng yonli uchburchaklardir.

Isbot.

Balandligi $S$ $h=SO$ boʻlgan oddiy $n-$gonal piramidani koʻrib chiqaylik. Keling, poydevor atrofida aylana chizamiz (4-rasm).

4-rasm.

$SOA$ uchburchagini ko'rib chiqing. Pifagor teoremasiga ko'ra, biz olamiz

Shubhasiz, har qanday yon chekka shu tarzda aniqlanadi. Binobarin, barcha yon qirralar bir-biriga teng, ya'ni barcha yon tomonlari teng yonli uchburchaklardir. Keling, ularning bir-biriga teng ekanligini isbotlaylik. Baza muntazam ko'pburchak bo'lgani uchun barcha yon yuzlarning asoslari bir-biriga teng. Binobarin, barcha lateral yuzlar uchburchaklar tengligining III mezoniga ko'ra tengdir.

Teorema isbotlangan.

Keling, oddiy piramida tushunchasi bilan bog'liq quyidagi ta'rifni kiritamiz.

Ta'rif 3

Muntazam piramidaning apothemi uning yon yuzining balandligidir.

Shubhasiz, Birinchi teoremaga ko'ra, barcha apotemlar bir-biriga tengdir.

Teorema 2

Muntazam piramidaning lateral yuzasi poydevorning yarim perimetri va apothemning mahsuloti sifatida aniqlanadi.

Isbot.

$n-$gonal piramida asosining yon tomonini $a$, apotemini $d$ bilan belgilaymiz. Shuning uchun, yon yuzning maydoni tengdir

Chunki, 1-teoremaga ko'ra, barcha tomonlar tengdir

Teorema isbotlangan.

Piramidaning yana bir turi kesilgan piramidadir.

Ta'rif 4

Agar oddiy piramida orqali uning asosiga parallel tekislik o'tkazilsa, u holda bu tekislik bilan asos tekisligi o'rtasida hosil bo'lgan figuraga kesilgan piramida deyiladi (5-rasm).

5-rasm. Kesilgan piramida

Kesilgan piramidaning lateral yuzlari trapezoidlardir.

Teorema 3

Oddiy kesilgan piramidaning lateral yuzasi poydevor va apotemaning yarim perimetrlari yig'indisi sifatida aniqlanadi.

Isbot.

$n-$gonal piramida asoslarining tomonlarini mos ravishda $a\ va\ b$, apotemini $d$ bilan belgilaymiz. Shuning uchun, yon yuzning maydoni tengdir

Hamma tomonlar teng bo'lgani uchun

Teorema isbotlangan.

Namuna topshiriq

1-misol

Kesilgan uchburchak piramidaning lateral yuzasi maydonini toping, agar u asos tomoni 4 va apotemi 5 bo'lgan oddiy piramidadan yon yuzlarning o'rta chizig'idan o'tadigan tekislikni kesib o'tgan bo'lsa.

Yechim.

O'rta chiziq teoremasidan foydalanib, biz kesilgan piramidaning yuqori asosi $4\cdot \frac(1)(2)=2$, apotema esa $5\cdot \frac(1)(2) ga teng ekanligini aniqlaymiz. =2,5$.

Keyin 3-teorema bo'yicha biz olamiz

Gipoteza: biz piramida shaklining mukammal bo'lishi uning shakliga xos bo'lgan matematik qonunlar bilan bog'liq deb hisoblaymiz.

Maqsad: Piramidani geometrik jism sifatida o'rganib, uning shakli mukammalligini tushuntiring.

Vazifalar:

1. Piramidaning matematik ta’rifini bering.

2. Piramidani geometrik jism sifatida o‘rganing.

3. Misrliklar qanday matematik bilimlarni o'z piramidalariga kiritganliklarini tushuning.

Shaxsiy savollar:

1. Geometrik jism sifatida piramida nima?

2. Piramidaning noyob shaklini matematik nuqtai nazardan qanday tushuntirish mumkin?

3. Piramidaning geometrik mo''jizalari nima bilan izohlanadi?

4. Piramida shaklining mukammalligi nima bilan izohlanadi?

Piramidaning ta'rifi.

PIRAMIDA (yunoncha pyramis, gen. pyramidos dan) - asosi ko'pburchak, qolgan yuzlari esa umumiy uchi (chizma) bo'lgan uchburchaklar bo'lgan ko'pburchak. Poydevorning burchaklari soniga ko'ra, piramidalar uchburchak, to'rtburchak va boshqalarga bo'linadi.

PIRAMIDA - piramidaning geometrik shakliga ega bo'lgan monumental inshoot (ba'zan pog'onali yoki minora shaklida ham). Piramidalar - miloddan avvalgi 3-2 ming yilliklarda qadimgi Misr fir'avnlarining ulkan qabrlariga berilgan nom. e., shuningdek, kosmologik kultlar bilan bog'liq bo'lgan qadimgi Amerika ma'badlari poydevorlari (Meksika, Gvatemala, Gonduras, Peruda).

Ehtimol, yunoncha "piramida" so'zi misrlik per-em-us iborasidan, ya'ni piramidaning balandligini anglatuvchi atamadan kelib chiqqan bo'lishi mumkin. Taniqli rus Misrshunosi V. Struve yunoncha “puram...j” qadimgi Misr “p”-mr” dan keladi, deb hisoblagan.

Tarixdan. Atanasyan mualliflarining "Geometriya" darsligidagi materialni o'rganib chiqdi. Butuzov va boshqalar shuni bilib oldikki: n-gon A1A2A3 ... An va n uchburchaklar PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 dan tashkil topgan ko‘pburchak piramida deyiladi. A1A2A3 ko‘pburchak...An piramida asosi, PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 uchburchaklar piramidaning yon yuzlari, P piramidaning tepasi, PA1, PA2,..., PAn segmentlari. yon qirralardir.

Biroq, piramidaning bu ta'rifi har doim ham mavjud emas edi. Masalan, qadimgi yunon matematigi, matematikaga oid bizgacha yetib kelgan nazariy risolalar muallifi Evklid piramidani bir tekislikdan bir nuqtaga yaqinlashuvchi tekisliklar bilan chegaralangan qattiq figura sifatida belgilaydi.

Ammo bu ta'rif qadimgi davrlarda tanqid qilingan. Shunday qilib, Heron piramidaning quyidagi ta'rifini taklif qildi: "Bu bir nuqtada yaqinlashuvchi uchburchaklar bilan chegaralangan va asosi ko'pburchak bo'lgan raqam".

Bizning guruhimiz ushbu ta'riflarni taqqoslab, ularda "asos" tushunchasining aniq formulasi yo'q degan xulosaga keldi.

Biz ushbu ta'riflarni ko'rib chiqdik va Adrien Mari Legendre ta'rifini topdik, u 1794 yilda o'zining "Geometriya elementlari" asarida piramidaga quyidagicha ta'rif beradi: "Piramida - bu uchburchaklar bir nuqtada yaqinlashib, turli tomonlarda tugaydigan qattiq figuradir. tekis asos."

Bizningcha, oxirgi ta'rif piramida haqida aniq tasavvur beradi, chunki u poydevorning tekis ekanligi haqida gapiradi. Piramidaning yana bir ta'rifi 19-asr darsligida paydo bo'lgan: "piramida - bu tekislik bilan kesishgan qattiq burchak".

Piramida geometrik jism sifatida.

Bu. Piramida ko'pburchak bo'lib, uning yuzlaridan biri (poydevori) ko'pburchak, qolgan yuzlari (tomonlari) bitta umumiy cho'qqisi (piramida cho'qqisi) bo'lgan uchburchaklardir.

Piramidaning tepasidan poydevor tekisligiga tortilgan perpendikulyar deyiladi balandlikh piramidalar.

O'zboshimchalik bilan piramidadan tashqari, mavjud to'g'ri piramida uning asosida muntazam ko'pburchak va kesilgan piramida.

Rasmda PABCD piramidasi, ABCD - uning asosi, PO - balandligi.

Umumiy sirt maydoni piramida uning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisidir.

Sfull = Sside + Smain, Qayerda Yon- yon yuzlar maydonlarining yig'indisi.

Piramidaning hajmi formula bilan topiladi:

V=1/3Sbas. h, bu erda Sbas. - tayanch maydoni, h- balandlik.

Muntazam piramidaning o'qi uning balandligini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqdir.
Apotem ST - oddiy piramidaning yon yuzining balandligi.

Muntazam piramidaning lateral yuzining maydoni quyidagicha ifodalanadi: Sside. =1/2P h, bu erda P - asosning perimetri, h- yon yuzning balandligi (muntazam piramidaning apothemi). Agar piramida asosga parallel bo'lgan A'B'C'D' tekisligi bilan kesishsa, u holda:

1) yon qovurg'alar va balandlik bu tekislik bilan proportsional qismlarga bo'linadi;

2) ko‘ndalang kesimda asosga o‘xshash A’B’C’D’ ko‘pburchak olinadi;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Kesilgan piramidaning asoslari– o‘xshash ko‘pburchaklar ABCD va A`B`C`D`, yon yuzlari trapetsiyadir.

Balandligi kesilgan piramida - tayanchlar orasidagi masofa.

Qisqartirilgan hajm Piramida quyidagi formula bo'yicha topiladi:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="chap" eni="91" balandligi="96"> Muntazam kesilgan piramidaning lateral yuzasi maydoni quyidagicha ifodalanadi: Sside. = ½(P+P') h, bu erda P va P’ asoslarning perimetrlari, h- yon yuzning balandligi (oddiy kesilgan piramining apothemi).

Piramidaning bo'limlari.

Piramidaning cho'qqisidan o'tuvchi tekisliklar bo'yicha kesmalari uchburchaklardir.

Piramidaning ikkita qo'shni bo'lmagan lateral chetidan o'tuvchi kesma deyiladi diagonal qism.

Agar kesma poydevorning yon cheti va yon tomonidagi nuqtadan o'tsa, u holda uning piramida asosining tekisligiga bo'lgan izi shu tomon bo'ladi.

Piramidaning yuzida yotgan nuqtadan o'tadigan kesma va tayanch tekisligida berilgan kesma izi, keyin qurilish quyidagicha amalga oshirilishi kerak:

· berilgan yuz tekisligining kesishish nuqtasini va piramida kesimining izini toping va uni belgilang;

· berilgan nuqtadan va hosil bo‘lgan kesishish nuqtasidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni qurish;

· keyingi yuzlar uchun ushbu amallarni takrorlang.

, bu to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari nisbati 4: 3 ga to'g'ri keladi. Oyoqlarning bu nisbati "mukammal", "muqaddas" yoki "Misr" uchburchagi deb ataladigan tomonlari 3: 4: 5 bo'lgan taniqli o'ng uchburchakka to'g'ri keladi. Tarixchilarning fikriga ko'ra, "Misr" uchburchagi sehrli ma'noga ega edi. Plutarxning yozishicha, misrliklar olam tabiatini “muqaddas” uchburchak bilan solishtirgan; ular ramziy ma'noda vertikal oyoqni eriga, asosini xotinga va gipotenuzani ikkalasidan tug'ilganga o'xshatishgan.

3:4:5 uchburchak uchun tenglik to'g'ri: 32 + 42 = 52, bu Pifagor teoremasini ifodalaydi. Misr ruhoniylari 3:4:5 uchburchak asosida piramida o'rnatish orqali bu teoremani abadiylashtirmoqchi emasmidi? Misrliklarga Pifagor tomonidan kashf etilishidan ancha oldin ma'lum bo'lgan Pifagor teoremasini tasvirlash uchun undan muvaffaqiyatliroq misol topish qiyin.

Shunday qilib, Misr piramidalarining ajoyib ijodkorlari uzoq avlodlarni o'zlarining chuqur bilimlari bilan hayratda qoldirishga intilishdi va ular bunga Xeops piramidasi uchun "asosiy geometrik g'oya" va "muqaddas" "oltin" to'g'ri burchakli uchburchakni tanlash orqali erishdilar. yoki Xafre piramidasi uchun "Misr" uchburchagi.

Ko'pincha olimlar o'z tadqiqotlarida Oltin nisbatli piramidalarning xususiyatlaridan foydalanadilar.

Matematik ensiklopedik lug'at Oltin bo'limning quyidagi ta'rifini beradi - bu garmonik bo'linish, ekstremal va o'rtacha nisbatlarda bo'linish - AB segmentini ikki qismga bo'lish, uning katta qismi AC butun segment orasidagi o'rtacha proportsionaldir. AB va uning kichikroq qismi NE.

Segmentning Oltin kesimini algebraik aniqlash AB = a a tenglamani yechishga qisqartiradi: x = x: (a – x), undan x taxminan 0,62a ga teng. X nisbati 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618 kasrlar sifatida ifodalanishi mumkin, bu erda 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonachchi raqamlari.

AB segmentining Oltin kesimining geometrik qurilishi quyidagicha amalga oshiriladi: B nuqtasida AB ga perpendikulyar tiklanadi, uning ustiga BE = 1/2 AB segmenti yotqiziladi, A va E ulanadi, DE = BE ishdan chiqariladi va nihoyat, AC = AD, keyin AB tengligi bajariladi: CB = 2:3.

Oltin nisbat ko'pincha san'at, me'morchilik asarlarida qo'llaniladi va tabiatda uchraydi. Apollon Belvedere va Parfenon haykali yorqin misollardir. Parthenonni qurishda bino balandligining uzunligiga nisbati ishlatilgan va bu nisbat 0,618 ni tashkil qiladi. Atrofimizdagi ob'ektlar ham "Oltin nisbat" misollarini beradi, masalan, ko'plab kitoblarning bog'lashlari 0,618 ga yaqin kenglik va uzunlik nisbatiga ega. O'simliklarning umumiy poyasida barglarning joylashishini hisobga olsak, har ikki juft barg orasida uchinchisi Oltin nisbatda (slaydlar) joylashganligini ko'rishingiz mumkin. Har birimiz Oltin nisbatni o'zimiz bilan "qo'limizda" olib yuramiz - bu barmoqlarning falanjlarining nisbati.

Bir nechta matematik papiruslarning kashfiyoti tufayli Misrshunoslar qadimgi Misr hisoblash va o'lchash tizimlari haqida biror narsa bilib oldilar. Ulardagi vazifalarni ulamolar hal qilishgan. Eng mashhurlaridan biri Rhind matematik papirusidir. Ushbu muammolarni o'rganish orqali Misrologlar qadimgi misrliklar og'irlik, uzunlik va hajm o'lchovlarini hisoblashda paydo bo'lgan turli miqdorlar bilan qanday munosabatda bo'lishlarini, ko'pincha kasrlarni o'z ichiga olganligini, shuningdek, burchaklarni qanday boshqarishini bilib oldilar.

Qadimgi misrliklar to'g'ri burchakli uchburchakning balandligining poydevoriga nisbati asosida burchaklarni hisoblash usulidan foydalanganlar. Ular gradient tilida istalgan burchakni ifodalagan. Nishab gradienti "seced" deb nomlangan butun son nisbati sifatida ifodalangan. Richard Pillins “Fir’avnlar davridagi matematika” asarida shunday tushuntiradi: “Doimiy piramidaning sekedi to‘rtta uchburchak yuzlardan birortasining poydevor tekisligiga moyilligi bo‘lib, vertikal ko‘tarilish birligi uchun gorizontal birliklarning n-chi soni bilan o‘lchanadi. . Shunday qilib, bu o'lchov birligi bizning zamonaviy moyillik burchagi kotangentiga teng. Shuning uchun misrliklarning "seced" so'zi bizning hozirgi "gradient" so'zimiz bilan bog'liq.

Piramidalarning raqamli kaliti ularning balandligining poydevorga nisbatida yotadi. Amaliy ma'noda, bu piramidaning qurilishi davomida to'g'ri moyillik burchagini doimiy ravishda tekshirish uchun shablonlarni yaratishning eng oson usuli.

Misrologlar bizni har bir fir'avn o'zining individualligini, shuning uchun har bir piramida uchun moyillik burchaklaridagi farqlarni ifodalashni xohlayotganiga bizni ishontirishdan xursand bo'lishadi. Ammo boshqa sabab ham bo'lishi mumkin. Ehtimol, ularning barchasi turli xil nisbatlarda yashiringan turli xil ramziy uyushmalarni o'zida mujassam etishni xohlashgan. Biroq, Xafre piramidasining burchagi (uchburchak asosida (3:4:5) Rhind matematik papirusidagi piramidalar tomonidan taqdim etilgan uchta masalada ko'rinadi). Shunday qilib, bu munosabat qadimgi misrliklarga yaxshi ma'lum edi.

Qadimgi misrliklar 3:4:5 uchburchagidan bexabar deb da'vo qilgan misrshunoslarga adolatli bo'lish uchun, gipotenuza 5 uzunligi hech qachon tilga olinmagan. Lekin piramidalar ishtirokidagi matematik masalalar har doim sekda burchagi - balandlikning asosga nisbati asosida hal qilinadi. Gipotenuzaning uzunligi hech qachon aytilmaganligi sababli, Misrliklar hech qachon uchinchi tomonning uzunligini hisoblamagan degan xulosaga keldi.

Giza piramidalarida ishlatiladigan balandlik va poydevor nisbati, shubhasiz, qadimgi misrliklarga ma'lum edi. Har bir piramida uchun bu munosabatlar o'zboshimchalik bilan tanlangan bo'lishi mumkin. Biroq, bu Misr tasviriy san'atining barcha turlarida raqam ramziyligiga berilgan ahamiyatga ziddir. Ehtimol, bunday munosabatlar o'ziga xos diniy g'oyalarni ifodalagani uchun ahamiyatli bo'lgan. Boshqacha qilib aytganda, butun Giza majmuasi ma'lum bir ilohiy mavzuni aks ettirish uchun mo'ljallangan izchil dizaynga bo'ysundi. Bu nima uchun dizaynerlar uchta piramida uchun turli burchaklarni tanlaganliklarini tushuntiradi.

Bauval va Gilbert “Orion siri” asarida Giza piramidalarini Orion yulduz turkumi bilan, xususan, Orion kamaridagi yulduzlar bilan bog‘lovchi ishonchli dalillar keltirdilar.Xuddi shunday yulduz turkumi Isis va Osiris afsonalarida ham bor va ko‘rishga asos bor. har bir piramida uchta asosiy xudolardan biri - Osiris, Isis va Horusning timsoli sifatida.

"GEOMETRİK" MO'JIZALAR.

Misrning ulug'vor piramidalari orasida u alohida o'rin tutadi Fir'avn Xeopsning buyuk piramidasi (Xufu). Cheops piramidasining shakli va hajmini tahlil qilishni boshlashdan oldin, misrliklar qanday o'lchovlar tizimidan foydalanganliklarini esga olishimiz kerak. Misrliklar uch uzunlik birligiga ega edilar: "tirsak" (466 mm), bu yetti "xurmo" (66,5 mm), o'z navbatida, to'rtta "barmoq" (16,6 mm) ga teng edi.

Ukraina olimi Nikolay Vasyutinskiyning "Oltin nisbat" (1990) ajoyib kitobida keltirilgan dalillarga asoslanib, Cheops piramidasining o'lchamlarini tahlil qilaylik (2-rasm).

Ko'pgina tadqiqotchilar piramida poydevorining yon tomonining uzunligi, masalan, GF ga teng L= 233,16 m.Bu qiymat deyarli 500 ta "tirsak" ga to'g'ri keladi. Agar "tirsak" uzunligi 0,4663 m ga teng deb hisoblansa, 500 ta "tirsak" ga to'liq mos keladi.

Piramidaning balandligi ( H) tadqiqotchilar tomonidan 146,6 dan 148,2 m gacha turlicha baholangan.Va piramidaning qabul qilingan balandligiga qarab, uning geometrik elementlarining barcha munosabatlari o'zgaradi. Piramidaning balandligini baholashdagi farqlarning sababi nima? Gap shundaki, aniq aytganda, Cheops piramidasi kesilgan. Uning yuqori platformasi bugungi kunda taxminan 10´ 10 m ni tashkil qiladi, lekin bir asr oldin u 6´ 6 m edi. Shubhasiz, piramidaning tepasi demontaj qilingan va u asl nusxasiga mos kelmaydi.

Piramidaning balandligini baholashda strukturaning "qoralamasi" kabi jismoniy omilni hisobga olish kerak. Uzoq vaqt davomida ulkan bosim ta'sirida (pastki sirtning 1 m2 uchun 500 tonnaga etadi) piramidaning balandligi asl balandligiga nisbatan kamaydi.

Piramidaning asl balandligi qancha edi? Ushbu balandlikni piramidaning asosiy "geometrik g'oyasi" ni topish orqali qayta tiklash mumkin.

2-rasm.

1837 yilda ingliz polkovnigi G. Wise piramida yuzlarining moyillik burchagini o'lchadi: u teng bo'lib chiqdi. a= 51°51". Bu qiymat bugungi kunda ham ko'pchilik tadqiqotchilar tomonidan tan olingan. Belgilangan burchak qiymati tangensga (tg) mos keladi. a), 1,27306 ga teng. Bu qiymat piramidaning balandligi nisbatiga mos keladi AC asosining yarmigacha C.B.(2-rasm), ya'ni A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

Va bu erda tadqiqotchilar katta ajablanib bo'lishdi!.png" width="25" height="24">= 1,272. Ushbu qiymatni tg qiymati bilan solishtirish a= 1.27306, biz bu qiymatlar bir-biriga juda yaqin ekanligini ko'ramiz. Agar burchakni olsak a= 51°50", ya'ni uni faqat bir yoy daqiqasiga, keyin esa qiymatga kamaytiring a 1,272 ga teng bo'ladi, ya'ni qiymatga to'g'ri keladi. Shuni ta'kidlash kerakki, 1840 yilda G. Wise o'z o'lchovlarini takrorlab, burchakning qiymatini aniqlab berdi. a=51°50".

Ushbu o'lchovlar tadqiqotchilarni quyidagi juda qiziqarli farazga olib keldi: Xeops piramidasining ACB uchburchagi AC munosabatiga asoslangan edi / C.B. = = 1,272!

Endi to'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing ABC, unda oyoqlarning nisbati A.C. / C.B.= (2-rasm). Agar endi to'rtburchak tomonlarning uzunliklari ABC tomonidan belgilang x, y, z, va shuningdek, nisbat ekanligini hisobga oling y/x= , keyin Pifagor teoremasiga muvofiq, uzunlik z formula yordamida hisoblash mumkin:

Qabul qilsak x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

3-rasm."Oltin" to'g'ri burchakli uchburchak.

Tomonlari kabi bog'langan to'g'ri burchakli uchburchak t:oltin" to'g'ri burchakli uchburchak.

Keyin, agar biz Cheops piramidasining asosiy "geometrik g'oyasi" "oltin" to'g'ri burchakli uchburchak degan gipotezani asos qilib olsak, bu erdan biz Cheops piramidasining "dizayn" balandligini osongina hisoblashimiz mumkin. U quyidagilarga teng:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Keling, Xeops piramidasi uchun "oltin" gipotezadan kelib chiqadigan boshqa munosabatlarni keltiramiz. Xususan, biz piramidaning tashqi maydonining uning poydevorining maydoniga nisbatini topamiz. Buning uchun biz oyoqning uzunligini olamiz C.B. birlik uchun, ya'ni: C.B.= 1. Ammo keyin piramida asosining yon tomonining uzunligi GF= 2 va poydevorning maydoni EFGH teng bo'ladi SEFGH = 4.

Keling, Cheops piramidasining yon yuzining maydonini hisoblaylik SD. Chunki balandlik AB uchburchak AEF ga teng t, keyin yon yuzning maydoni teng bo'ladi SD = t. Keyin piramidaning barcha to'rtta lateral yuzlarining umumiy maydoni 4 ga teng bo'ladi t, va piramidaning umumiy tashqi maydonining poydevor maydoniga nisbati oltin nisbatga teng bo'ladi! Bu shunday - Cheops piramidasining asosiy geometrik siri!

Cheops piramidasining "geometrik mo''jizalar" guruhiga piramidadagi turli o'lchamlar o'rtasidagi munosabatlarning haqiqiy va uzoqqa cho'zilgan xususiyatlarini o'z ichiga oladi.

Qoidaga ko'ra, ular ma'lum "doimiy" ni qidirishda olinadi, xususan, "pi" raqami (Ludolfo raqami), 3,14159 ... ga teng; natural logarifmlar asosi "e" (Neperovo soni), 2,71828... ga teng; "F" raqami, "oltin qism" raqami, masalan, 0,618 ... ga teng.

Siz nomlashingiz mumkin, masalan: 1) Gerodotning mulki: (Bo'yi)2 = 0,5 san'at. Asosiy x Apotema; 2) V. mulki Narxi: Balandligi: 0,5 san'at. tayanch = "F" ning kvadrat ildizi; 3) M. Eistning xossasi: Poydevorning perimetri: 2 Balandligi = "Pi"; boshqa talqinda - 2 osh qoshiq. Asosiy : Balandlik = "Pi"; 4) G. Edgening mulki: chizilgan doira radiusi: 0,5 san'at. Asosiy = "F"; 5) K. Kleppish mulki: (Asosiy san’at.)2: 2(Asosiy san’at. x Apotema) = (Asosiy san’at. V. Apotema) = 2(Asosiy san’at. x Apotema) : ((2-modda) asos X Apotema) + (baza asosi)2). Va hokazo. Siz ko'plab bunday xususiyatlarni topishingiz mumkin, ayniqsa ikkita qo'shni piramidani bog'lasangiz. Masalan, “A. Arefyevning xossalari” sifatida Xeops piramidasi va Xafre piramidasi hajmlaridagi farq Mikerin piramidasining ikki barobar hajmiga teng ekanligini ta’kidlash mumkin...

Ko'pgina qiziqarli fikrlar, xususan, "oltin nisbat" bo'yicha piramidalarning qurilishi haqida D.Xambidjning "Arxitekturada dinamik simmetriya" va M.Gikning "Tabiat va san'atdagi nisbat estetikasi" kitoblarida keltirilgan. Eslatib o'tamiz, "oltin nisbat" - bu segmentning A qismi B qismidan necha marta katta bo'lgan, A butun A + B segmentidan necha marta kichik bo'lgan nisbatda bo'linishi. A/B nisbati “F” == 1,618 raqamiga teng... “Oltin nisbat”dan foydalanish nafaqat alohida piramidalarda, balki Gizadagi butun piramidalar majmuasida ham ko‘rsatilgan.

Ammo eng qiziq narsa shundaki, bitta va bir xil Cheops piramidasi juda ko'p ajoyib xususiyatlarni o'z ichiga olmaydi. Muayyan mulkni birma-bir olib, uni "o'rnatish" mumkin, lekin ularning barchasi bir vaqtning o'zida mos kelmaydi - ular bir-biriga mos kelmaydi, ular bir-biriga zid keladi. Shuning uchun, masalan, barcha xususiyatlarni tekshirganda, biz dastlab piramida poydevorining bir xil tomonini (233 m) oladigan bo'lsak, u holda turli xil xususiyatlarga ega bo'lgan piramidalarning balandliklari ham har xil bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, tashqi tomondan Cheopsga o'xshash, ammo har xil xususiyatlarga ega bo'lgan piramidalarning ma'lum bir "oilasi" mavjud. E'tibor bering, "geometrik" xususiyatlarda ayniqsa mo''jizaviy narsa yo'q - ko'p narsa avtomatik ravishda shaklning o'ziga xos xususiyatlaridan kelib chiqadi. "Mo''jiza" faqat qadimgi misrliklar uchun imkonsiz bo'lgan narsa deb hisoblanishi kerak. Bu, xususan, "kosmik" mo''jizalarni o'z ichiga oladi, unda Xeops piramidasi yoki Gizadagi piramida majmuasi o'lchovlari ba'zi astronomik o'lchovlar bilan taqqoslanadi va "juft" raqamlar ko'rsatiladi: million marta kam, milliard marta kam va hokazo. Keling, ba'zi "kosmik" munosabatlarni ko'rib chiqaylik.

Bayonotlardan biri: "agar siz piramida poydevorining yon tomonini yilning aniq uzunligiga bo'lsangiz, siz Yer o'qining roppa-rosa 10 milliondan bir qismini olasiz". Hisoblang: 233 ni 365 ga bo'ling, biz 0,638 ni olamiz. Yerning radiusi 6378 km.

Boshqa bir bayonot aslida oldingisiga qarama-qarshidir. F. Noetling ta'kidlaganidek, agar biz o'zi ixtiro qilgan "Misr tirsagi" dan foydalansak, u holda piramida tomoni "kunning milliarddan bir qismiga yaqinroq ifodalangan quyosh yilining eng aniq davomiyligi" - 365,540 ga to'g'ri keladi. 903.777.

P.Smitning: “Piramidaning balandligi Yerdan Quyoshgacha bo‘lgan masofaning roppa-rosa milliarddan bir qismidir” degan gapi. Odatda olingan balandlik 146,6 m bo'lsa-da, Smit uni 148,2 m deb oldi.Zamonaviy radar o'lchovlariga ko'ra, Yer orbitasining yarim katta o'qi 149,597,870 + 1,6 km. Bu Yerdan Quyoshgacha bo'lgan o'rtacha masofa, ammo perigelionda afelionga qaraganda 5 000 000 kilometrga kamroq.

Oxirgi qiziqarli bayonot:

"Xeops, Xafre va Mykerin piramidalarining massalari Yer, Venera, Mars sayyoralari massalari kabi bir-biriga bog'liqligini qanday tushuntirish mumkin?" Keling, hisoblaylik. Uchta piramidaning massalari: Xafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerin - 0,0915. Uchta sayyora massalarining nisbati: Venera - 0,815; Yer - 1000; Mars - 0,108.

Shunday qilib, skeptitsizmga qaramay, biz bayonotlar qurilishining taniqli uyg'unligini ta'kidlaymiz: 1) piramidaning balandligi, xuddi "kosmosga chiqadigan" chiziq kabi, Yerdan Quyoshgacha bo'lgan masofaga to'g'ri keladi; 2) piramida poydevorining "substratga", ya'ni Yerga eng yaqin tomoni erning radiusi va erning aylanishi uchun javobgardir; 3) piramidaning hajmlari (o'qing - massalar) Yerga eng yaqin sayyoralar massalarining nisbatiga mos keladi. Shunga o'xshash "shifr" ni, masalan, Karl fon Frish tomonidan tahlil qilingan asalarilar tilida kuzatish mumkin. Biroq, hozircha bu masalaga izoh berishdan tiyilamiz.

PIRAMIDA SHAKLI

Piramidalarning mashhur tetraedral shakli darhol paydo bo'lmadi. Skiflar dafnlarni sopol tepaliklar - tepaliklar shaklida qilganlar. Misrliklar toshdan "tepaliklar" - piramidalar qurdilar. Bu birinchi marta Yuqori va Quyi Misr birlashgandan keyin, miloddan avvalgi 28-asrda, uchinchi sulola asoschisi Fir'avn Jozer (Zoser) oldida mamlakat birligini mustahkamlash vazifasi turganda sodir bo'ldi.

Va bu erda, tarixchilarning fikriga ko'ra, qirolning "yangi ilohiy kontseptsiyasi" markaziy hokimiyatni mustahkamlashda muhim rol o'ynagan. Garchi qirol dafnlari ko'proq ulug'vorligi bilan ajralib tursa ham, ular, qoida tariqasida, saroy zodagonlarining qabrlaridan farq qilmadi, ular bir xil tuzilmalar - mastabalar edi. Mumiyani o'z ichiga olgan sarkofagli kameraning tepasida to'rtburchaklar shaklidagi mayda toshlardan yasalgan tepalik quyilgan, u erda katta tosh bloklardan yasalgan kichik bino - "mastaba" (arab tilida - "skameyka") joylashtirilgan. Fir'avn Jozer birinchi piramidani o'zidan oldingi Sanaxtning mastabasi o'rniga o'rnatgan. U zinapoyali bo'lib, bir me'moriy shakldan ikkinchisiga, mastabadan piramidaga ko'rinadigan o'tish bosqichi edi.

Shunday qilib, keyinchalik sehrgar hisoblangan va yunonlar tomonidan Asklepiy xudosi bilan aniqlangan donishmand va me'mor Imxotep fir'avnni "ko'tardi". Go‘yo oltita mastabani ketma-ket o‘rnatgandek bo‘ldi. Bundan tashqari, birinchi piramida 1125 x 115 metr maydonni egallagan, taxminiy balandligi 66 metr (Misr standartlariga ko'ra - 1000 "xurmo"). Dastlab me'mor mastaba qurishni rejalashtirgan, lekin cho'zinchoq emas, balki kvadrat rejada. Keyinchalik u kengaytirildi, lekin kengaytma pastroq qilinganligi sababli, ikki qadam bordek tuyuldi.

Bu holat me’morni qanoatlantirmadi va ulkan yassi mastabaning ustki platformasiga Imxotep yana uchtasini qo‘yib, tepaga qarab asta-sekin pasayib bordi. Qabr piramida ostida joylashgan edi.

Yana bir nechta pog'onali piramidalar ma'lum, ammo keyinchalik quruvchilar bizga ko'proq tanish bo'lgan tetraedral piramidalarni qurishga o'tdilar. Biroq, nima uchun uchburchak yoki, aytaylik, sakkizburchak emas? Bilvosita javob deyarli barcha piramidalar to'rtta asosiy yo'nalish bo'ylab mukammal yo'naltirilganligi va shuning uchun to'rt tomoni borligi bilan beriladi. Bundan tashqari, piramida to'rtburchak dafn xonasining qobig'i bo'lgan "uy" edi.

Ammo yuzlarning moyillik burchagini nima aniqladi? "Proportionlar printsipi" kitobida butun bir bob bunga bag'ishlangan: "Piramidalarning moyillik burchaklarini nima aniqlashi mumkin edi". Xususan, “Qadimgi podshohlikning buyuk piramidalari tortiladigan tasvir cho'qqisida to'g'ri burchakli uchburchakdir.

Kosmosda bu yarim oktaedr: poydevorning qirralari va tomonlari teng bo'lgan piramida, qirralari teng qirrali uchburchaklardir." Bu masala bo'yicha Xembidge, Gik va boshqalarning kitoblarida ma'lum fikrlar berilgan.

Yarim oktaedr burchakning afzalligi nimada? Arxeologlar va tarixchilarning ta'riflariga ko'ra, ba'zi piramidalar o'z og'irligi ostida qulab tushgan. Kerakli narsa "chidamlilik burchagi" edi, bu burchak eng baquvvat jihatdan ishonchli edi. Sof empirik tarzda, bu burchakni cho'qqi burchagidan maydalangan quruq qum uyumida olish mumkin. Ammo aniq ma'lumotlarni olish uchun siz modeldan foydalanishingiz kerak. To'rtta mahkam o'rnatilgan to'pni olib, ularga beshinchisini qo'yish va moyillik burchaklarini o'lchash kerak. Biroq, siz bu erda xato qilishingiz mumkin, shuning uchun nazariy hisoblash yordam beradi: to'plarning markazlarini chiziqlar bilan (aqliy) bog'lashingiz kerak. Baza tomoni radiusning ikki barobariga teng bo'lgan kvadrat bo'ladi. Kvadrat faqat piramidaning asosi bo'ladi, uning qirralari uzunligi ham radiusning ikki barobariga teng bo'ladi.

Shunday qilib, 1: 4 kabi to'plarning yaqin qadoqlanishi bizga oddiy yarim oktaedrni beradi.

Biroq, nega shunga o'xshash shaklga qarab tortilgan ko'plab piramidalar uni saqlab qolishmaydi? Ehtimol, piramidalar qarib qolgan. Mashhur so'zdan farqli o'laroq:

"Dunyoda hamma narsa vaqtdan qo'rqadi, vaqt esa piramidalardan qo'rqadi", piramidalar binolari qarishi kerak, ularda nafaqat tashqi ob-havo jarayonlari, balki ichki "qisqarish" jarayonlari ham sodir bo'lishi mumkin va kerak. piramidalarning pastga tushishiga olib keladi. Siqilish ham mumkin, chunki D. Davidovitsning ishi aniqlanganidek, qadimgi misrliklar ohak chiplaridan, boshqacha qilib aytganda, "beton" dan bloklarni tayyorlash texnologiyasidan foydalanganlar. Aynan shunga o'xshash jarayonlar Qohiradan 50 km janubda joylashgan Medum piramidasining vayron bo'lishi sababini tushuntirishi mumkin. Uning yoshi 4600 yil, poydevorining o'lchamlari 146 x 146 m, balandligi 118 m. “Nima uchun bunchalik buzuq?” deb so‘raydi V. Zamarovskiy.“Vaqtning halokatli ta’siri va “boshqa binolar uchun toshdan foydalanish” haqidagi odatiy havolalar bu yerda mos kelmaydi.

Axir, uning ko'pgina bloklari va qoplama plitalari bugungi kungacha o'z joyida, etagida xaroba bo'lib qolgan." Ko'rib turganimizdek, bir qator qoidalar bizni hatto mashhur Xeops piramidasi ham "qichishgan" deb o'ylashga majbur qiladi. Qanday bo'lmasin, barcha qadimiy tasvirlarda piramidalar ishora qilingan ...

Piramidalarning shakli taqlid qilish orqali ham yaratilishi mumkin edi: ba'zi tabiiy namunalar, "mo''jizaviy mukammallik", aytaylik, oktaedr shaklidagi ba'zi kristallar.

Shunga o'xshash kristallar olmos va oltin kristallari bo'lishi mumkin. Xarakterli katta miqdorda Fir'avn, Quyosh, Oltin, Olmos kabi tushunchalar uchun "bir-biriga o'xshash" belgilar. Hamma joyda - olijanob, yorqin (porloq), buyuk, benuqson va hokazo. O'xshashliklar tasodifiy emas.

Quyosh kulti, ma'lumki, Qadimgi Misr dinining muhim qismi edi. Zamonaviy qo'llanmalardan biri, "Xufu osmoni" yoki "Osmonga qaragan Xufu" deb ta'kidlaydi: "Ehromlarning eng kattasi nomini qanday tarjima qilishimizdan qat'i nazar, bu qirol quyosh ekanligini anglatadi". Agar Xufu o'z qudrati yorqinligida o'zini ikkinchi quyosh deb tasavvur qilsa, uning o'g'li Jedef-Ra Misr shohlaridan birinchi bo'lib o'zini "Raning o'g'li", ya'ni Quyoshning o'g'li deb ataydi. Quyosh deyarli barcha xalqlar orasida "quyosh metalli" oltin bilan ramziy ma'noga ega edi. "Yorqin oltinning katta diski" - misrliklar bizning kun yorug'ligini shunday deb atashgan. Misrliklar oltinni mukammal bilishgan, ular oltin kristallari oktaedrlar shaklida paydo bo'lishi mumkin bo'lgan uning mahalliy shakllarini bilishgan.

Bu erda "quyosh toshi" - olmos ham "shakllar namunasi" sifatida qiziq. Olmosning nomi aynan arab dunyosidan kelib chiqqan, "almas" - eng qattiq, eng qattiq, buzilmas. Qadimgi misrliklar olmos va uning xususiyatlarini juda yaxshi bilishgan. Ba'zi mualliflarning fikriga ko'ra, ular hatto burg'ulash uchun olmos kesgichli bronza naychalardan ham foydalanganlar.

Hozirgi vaqtda olmosning asosiy yetkazib beruvchisi Janubiy Afrika hisoblanadi, ammo G'arbiy Afrika ham olmosga boy. Mali Respublikasi hududi hatto "Olmos o'lkasi" deb ataladi. Ayni paytda, Mali hududida Dogon yashaydi, ular bilan paleo-tashrif gipotezasi tarafdorlari ko'p umidlarni bog'lashadi (pastga qarang). Qadimgi misrliklarning ushbu mintaqa bilan aloqalari uchun olmoslar sabab bo'lishi mumkin emas edi. Biroq, u yoki bu tarzda, qadimgi misrliklar olmos va oltin kristallarining oktaedrlarini nusxalash orqali, xuddi olmos kabi "buzilmas" va oltin kabi "yorqin" fir'avnlarni, quyosh o'g'illarini faqat solishtirish mumkin bo'lgan ilohiylashtirgan bo'lishi mumkin. tabiatning eng ajoyib ijodlariga.

Xulosa:

Piramidani geometrik jism sifatida o'rganib, uning elementlari va xususiyatlari bilan tanishib, biz piramida shaklining go'zalligi haqidagi fikrning to'g'riligiga amin bo'ldik.

Tadqiqotlarimiz natijasida misrliklar eng qimmatli matematik bilimlarni to‘plab, uni piramidada mujassamlashtirgan degan xulosaga keldik. Demak, piramida haqiqatan ham tabiat va insonning eng mukammal ijodidir.

Bibliografiya

"Geometriya: darslik. 7-9 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar\ va boshqalar - 9-nashr - M.: Ta'lim, 1999

Maktabda matematika tarixi, M: "Prosveshchenie", 1982 yil.

Geometriya 10-11 sinf, M: “Ma’rifat”, 2000 y

Piter Tompkins "Buyuk Xeops piramidasining sirlari", M: "Tsentropoligraf", 2005 yil.

Internet resurslari

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

• apotema- muntazam piramidaning uning cho'qqisidan chizilgan yon yuzining balandligi (bundan tashqari, apotem - muntazam ko'pburchakning o'rtasidan uning bir tomoniga tushirilgan perpendikulyar uzunligi);
• yon yuzlar (ASB, BSC, CSD, DSA) - cho'qqisida uchrashadigan uchburchaklar;
• lateral qovurg'alar ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — yon yuzlarning umumiy tomonlari;
• piramidaning tepasi (t. S) - yon qovurg'alarni bog'laydigan va asos tekisligida yotmaydigan nuqta;
• balandlik ( SO ) - piramidaning ustki qismidan uning asosi tekisligiga chizilgan perpendikulyar segment (bunday segmentning uchlari piramidaning tepasi va perpendikulyarning asosi bo'ladi);
• piramidaning diagonal qismi- piramidaning tepadan va asosning diagonalidan o'tadigan qismi;
• asos (A B C D) - piramida cho'qqisiga tegishli bo'lmagan ko'pburchak.

Piramidaning xossalari.

1. Barcha yon qirralarning o'lchami bir xil bo'lsa, u holda:

• piramida poydevori yaqinidagi doirani tasvirlash oson va piramidaning tepasi bu doira markaziga proyeksiyalanadi;
• yon qovurg'alar taglik tekisligi bilan teng burchaklar hosil qiladi;
• Bundan tashqari, buning aksi ham to'g'ri, ya'ni. yon qovurg'alar poydevor tekisligi bilan teng burchaklarni hosil qilganda yoki piramida poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa va piramidaning tepasi bu doiraning markaziga proyeksiyalansa, bu barcha yon qirralarning ekanligini anglatadi. Piramidaning o'lchamlari bir xil.

2. Yon yuzlar bir xil qiymatdagi poydevor tekisligiga moyillik burchagiga ega bo'lsa, u holda:

• piramida poydevori yaqinidagi doirani tasvirlash oson va piramidaning tepasi bu doira markaziga proyeksiyalanadi;
• yon yuzlarning balandligi teng uzunlikda;
• yon yuzaning maydoni taglik perimetri va yon yuzning balandligi mahsulotining ½ qismiga teng.

3. Piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin, agar piramidaning negizida uning atrofida aylana tasvirlanadigan ko‘pburchak bo‘lsa (zarur va yetarli shart). Sfera markazi ularga perpendikulyar piramida qirralarining o'rtalaridan o'tadigan tekisliklarning kesishish nuqtasi bo'ladi. Ushbu teoremadan biz sharni har qanday uchburchak atrofida ham, har qanday muntazam piramida atrofida ham tasvirlash mumkin degan xulosaga kelamiz.

4. Piramidaning ichki ikki burchakli burchaklarining bissektrisa tekisliklari 1-nuqtada kesishsa (zarur va yetarli shart) sharni piramida ichiga yozib olish mumkin. Bu nuqta sharning markaziga aylanadi.

Eng oddiy piramida.

Burchaklar soniga ko'ra, piramida asosi uchburchak, to'rtburchak va boshqalarga bo'linadi.

Piramida bo'ladi uchburchak, to'rtburchak, va hokazo, piramidaning asosi uchburchak, to'rtburchak va hokazo bo'lganda. Uchburchak piramida tetraedr - tetraedrdir. To'rtburchak - beshburchak va boshqalar.