Maktab matematika kursida bola birinchi marta "tenglama" atamasini eshitadi. Bu nima, keling, buni birgalikda aniqlashga harakat qilaylik. Ushbu maqolada biz yechim turlari va usullarini ko'rib chiqamiz.
Matematika. Tenglamalar
Boshlash uchun biz kontseptsiyaning o'zini tushunishingizni taklif qilamiz, bu nima? Ko'pgina matematika darsliklarida aytilganidek, tenglama - bu tenglik belgisi bo'lishi kerak bo'lgan ba'zi ifodalar. Ushbu iboralar o'zgaruvchilar deb ataladigan harflarni o'z ichiga oladi, ularning qiymatini topish kerak.
Bu uning qiymatini o'zgartiradigan tizim atributidir. O'zgaruvchilarga yaxshi misol:
- havo harorati;
- bolaning balandligi;
- vazn va boshqalar.
Matematikada ular harflar bilan belgilanadi, masalan, x, a, b, c... Odatda matematik vazifa quyidagicha bo'ladi: tenglamaning qiymatini toping. Bu shuni anglatadiki, bu o'zgaruvchilarning qiymatini topish kerak.
Turlari
Tenglama (biz oldingi xatboshida nima ekanligini muhokama qildik) quyidagi shaklda bo'lishi mumkin:
- chiziqli;
- kvadrat;
- kub;
- algebraik;
- transsendental.
Barcha turlar bilan batafsilroq tanishish uchun biz har birini alohida ko'rib chiqamiz.
Chiziqli tenglama
Bu maktab o'quvchilari bilan tanishadigan birinchi tur. Ular juda tez va sodda tarzda hal qilinadi. Shunday qilib, chiziqli tenglama nima? Bu shaklning ifodasidir: ah=c. Bu ayniqsa aniq emas, shuning uchun bir nechta misollar keltiramiz: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Keling, tenglamalarga misollarni ko'rib chiqaylik. Buning uchun barcha ma'lum ma'lumotlarni bir tomonda, noma'lumlarini esa ikkinchi tomondan to'plashimiz kerak: x=26/2; x=40/5; x=6/1,2. Bu yerda matematikaning elementar qoidalaridan foydalanilgan: a*c=e, bundan c=e/a; a=e/c. Tenglamaning yechilishini yakunlash uchun biz bitta amalni bajaramiz (bizning holatimizda bo'linish) x = 13; x=8; x=5. Bular ko'paytirishga misollar edi, endi ayirish va qo'shishni ko'rib chiqamiz: x+3=9; 10x-5=15. Biz ma'lum ma'lumotlarni bir yo'nalishda o'tkazamiz: x=9-3; x=20/10. Oxirgi amalni bajaring: x=6; x=2.
Chiziqli tenglamalarning variantlari ham mumkin, bu erda bir nechta o'zgaruvchilar ishlatiladi: 2x-2y=4. Yechish uchun har bir qismga 2y qo'shish kerak, biz 2x-2y + 2y = 4-2y olamiz, biz payqaganimizdek, teng belgisining chap tomonida -2y va +2y bekor qilinadi va bizni qoldirib ketadi. : 2x = 4 -2u. Oxirgi qadam har bir qismni ikkiga bo'lishdir, biz javob olamiz: x ikki minus y ga teng.
Tenglamalar bilan bog'liq muammolar hatto Ahmes papiruslarida ham uchraydi. Bitta masala: son va uning to‘rtinchi qismi qo‘shilib 15 ga teng. Uni yechish uchun quyidagi tenglamani yozamiz: x plyus to‘rtdan bir x o‘n beshga teng. Yechim natijasiga asoslangan yana bir misolni ko'ramiz, javobni olamiz: x=12. Ammo bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, ya'ni misrlik yoki boshqacha deyilganidek, taxmin usuli. Papirus quyidagi yechimdan foydalanadi: uning to'rtdan to'rtinchi qismini, ya'ni bittasini oling. Hammasi bo'lib beshta beradilar, endi o'n beshni yig'indiga bo'lish kerak, biz uchta olamiz, oxirgi qadam uchni to'rtga ko'paytirishdir. Javobni olamiz: 12. Nima uchun eritmada o'n beshni beshga bo'lamiz? Shunday qilib, biz necha marta o'n besh, ya'ni olishimiz kerak bo'lgan natija beshdan kam ekanligini bilib olamiz. O'rta asrlarda muammolar shu tarzda hal qilindi, u yolg'on pozitsiya usuli sifatida tanildi.
Kvadrat tenglamalar
Yuqorida muhokama qilingan misollardan tashqari, boshqalar ham bor. Aynan qanday? Kvadrat tenglama, bu nima? Ular ax 2 +bx+c=0 ga o'xshaydi. Ularni hal qilish uchun siz ba'zi tushunchalar va qoidalar bilan tanishishingiz kerak.
Birinchidan, quyidagi formula yordamida diskriminantni topishingiz kerak: b 2 -4ac. Qarorning uchta mumkin bo'lgan natijasi mavjud:
- diskriminant noldan katta;
- noldan kam;
- nolga teng.
Birinchi variantda javobni quyidagi formula bo'yicha topilgan ikkita ildizdan olishimiz mumkin: -b+-diskriminantning ildizi ikki barobar birinchi koeffitsientga, ya'ni 2a ga bo'linadi.
Ikkinchi holda, tenglamaning ildizlari yo'q. Uchinchi holatda, ildiz quyidagi formula yordamida topiladi: -b/2a.
Batafsilroq kirish uchun kvadrat tenglama misolini ko'rib chiqamiz: uch x kvadrat minus o'n to'rt x minus besh nolga teng. Boshlash uchun, avval yozilganidek, biz diskriminantni qidirmoqdamiz, bizning holatlarimizda u 256 ga teng. E'tibor bering, natijada olingan son noldan katta, shuning uchun biz ikkita ildizdan iborat javobni olishimiz kerak. Olingan diskriminantni ildizlarni topish formulasiga almashtiramiz. Natijada, bizda: x teng besh va minus uchdan bir.
Kvadrat tenglamalarda maxsus holatlar
Bu ba'zi qiymatlar nolga (a, b yoki c) va, ehtimol, birdan ortiq bo'lgan misollardir.
Masalan, kvadrat bo'lgan quyidagi tenglamani olaylik: ikkita x kvadrat nolga teng, bu erda biz b va c nolga teng ekanligini ko'ramiz. Keling, uni hal qilishga harakat qilaylik, buning uchun tenglamaning ikkala tomonini ikkiga bo'lamiz, bizda: x 2 =0. Natijada biz x=0 ni olamiz.
Boshqa holat 16x 2 -9=0. Bu erda faqat b = 0. Keling, tenglamani hal qilaylik, erkin koeffitsientni o'ng tomonga o'tkazamiz: 16x 2 = 9, endi har bir qismni o'n oltiga bo'lamiz: x 2 = o'n oltidan to'qqiz. Bizda x kvadrat bo'lganligi sababli, 9/16 ning ildizi salbiy yoki ijobiy bo'lishi mumkin. Javobni quyidagicha yozamiz: x teng plyus/minus to'rtdan uch.
Yana bir mumkin bo'lgan javob shundaki, tenglamaning ildizlari yo'q. Keling, bu misolni ko'rib chiqaylik: 5x 2 +80=0, bu erda b=0. Yechish uchun erkin atamani o'ng tomonga tashlang, bu harakatlardan so'ng biz olamiz: 5x 2 = -80, endi har bir qismni beshga bo'lamiz: x 2 = minus o'n olti. Har qanday raqamni kvadratga aylantirsak, biz manfiy qiymatni olmaymiz. Shuning uchun bizning javobimiz: tenglamaning ildizlari yo'q.
Trinomial kengayish
Kvadrat tenglamalar topshirig‘i ham shunday bo‘lishi mumkin: kvadrat uch a’zoni ko‘paytiring. Buni quyidagi formula yordamida amalga oshirish mumkin: a(x-x 1)(x-x 2). Buning uchun vazifaning boshqa versiyasida bo'lgani kabi, diskriminantni topish kerak.
Quyidagi misolni ko'rib chiqing: 3x 2 -14x-5, trinomialni ko'paytiring. Biz diskriminantni bizga allaqachon ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib topamiz, u 256 ga teng bo'lib chiqadi. Biz darhol 256 noldan katta ekanligini ta'kidlaymiz, shuning uchun tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi. Biz ularni oldingi xatboshidagi kabi topamiz: x = besh va minus uchdan bir. Uch a’zoni koeffitsientlarga ajratish formulasidan foydalanamiz: 3(x-5)(x+1/3). Ikkinchi qavsda biz teng belgini oldik, chunki formulada minus belgisi mavjud va ildiz ham manfiy bo'lib, matematikaning asosiy bilimlaridan foydalangan holda, yig'indida bizda ortiqcha belgi bor. Soddalashtirish uchun kasrdan qutulish uchun tenglamaning birinchi va uchinchi hadlarini ko'paytiramiz: (x-5)(x+1).
Kvadratga kamaytiruvchi tenglamalar
Ushbu bo'limda biz murakkabroq tenglamalarni qanday echishni o'rganamiz. Keling, darhol misol bilan boshlaylik:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Biz takrorlanuvchi elementlarni ko'rishimiz mumkin: (x 2 - 2x), uni hal qilish uchun uni boshqa o'zgaruvchiga almashtirishimiz qulay va keyin odatiy kvadrat tenglamani darhol hal qiling Biz shuni ta'kidlaymizki, bunday vazifada biz to'rtta ildiz olamiz, bu sizni qo'rqitmasligi kerak. a o‘zgaruvchining takrorlanishini belgilaymiz. Biz olamiz: a 2 -2a-3=0. Bizning keyingi qadamimiz yangi tenglamaning diskriminantini topishdir. Biz 16 ni olamiz, ikkita ildizni topamiz: minus bir va uchta. Biz almashtirishni amalga oshirganimizni eslaymiz, bu qiymatlarni almashtiramiz, natijada biz tenglamalarga ega bo'lamiz: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Biz ularni birinchi javobda hal qilamiz: x birga teng, ikkinchisida: x minus bir va uchtaga teng. Javobni quyidagicha yozamiz: ortiqcha/minus bir va uchta. Qoidaga ko'ra, javob o'sish tartibida yoziladi.
Kubik tenglamalar
Keling, boshqa mumkin bo'lgan variantni ko'rib chiqaylik. Biz kubik tenglamalar haqida gapiramiz. Ular quyidagicha ko'rinadi: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Quyida biz tenglamalar misollarini ko'rib chiqamiz, lekin birinchi navbatda, bir oz nazariya. Ular uchta ildizga ega bo'lishi mumkin va kub tenglama uchun diskriminantni topish formulasi ham mavjud.
Misolni ko'rib chiqamiz: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Uni qanday hal qilish kerak? Buning uchun qavs ichidan x ni chiqarish kifoya: x(3x 2 +4x+2)=0. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - tenglamaning ildizlarini qavs ichida hisoblash. Qavs ichidagi kvadrat tenglamaning diskriminanti noldan kichik, shunga asoslanib, ifoda ildizga ega: x=0.
Algebra. Tenglamalar
Keling, keyingi ko'rinishga o'tamiz. Endi biz algebraik tenglamalarni qisqacha ko'rib chiqamiz. Vazifalardan biri quyidagicha: omil 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Eng qulay usul quyidagi guruhlash bo'ladi: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). E'tibor bering, biz birinchi ifodadan 8x 2 ni 3x 2 va 5x 2 yig'indisi sifatida ifodaladik. Endi biz har bir qavsdan 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1) umumiy koeffitsientini chiqaramiz. Bizda umumiy koeffitsient borligini ko'ramiz: x kvadrat plyus bir, biz uni qavs ichidan chiqaramiz: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Keyinchalik kengaytirish mumkin emas, chunki ikkala tenglama ham salbiy diskriminantga ega.
Transsendental tenglamalar
Quyidagi tur bilan shug'ullanishingizni tavsiya qilamiz. Bular logarifmik, trigonometrik yoki eksponensial kabi transsendental funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalardir. Misollar: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 va hokazo. Ular qanday yechilishini trigonometriya kursida bilib olasiz.
Funktsiya
Yakuniy bosqich - funksiya tenglamasi tushunchasini ko'rib chiqish. Oldingi variantlardan farqli o'laroq, bu tur hal etilmaydi, lekin uning asosida grafik tuziladi. Buning uchun tenglamani yaxshilab tahlil qilish, qurilish uchun barcha kerakli nuqtalarni topish va minimal va maksimal nuqtalarni hisoblash kerak.
Rossiya Federatsiyasi Umumiy va kasbiy ta'lim vazirligi
Munitsipal ta'lim muassasasi
12-sonli gimnaziya
tarkibi
mavzu bo'yicha: Tenglamalar va ularni yechish usullari
To‘ldiruvchi: 10 “A” sinf o‘quvchisi
Krutko Evgeniy
Tekshirildi: matematika o`qituvchisi Isxakova Gulsum Akramovna
Tyumen, 2001 yil
Reja................................................................. ................................................................ ...... ................................ 1
Kirish................................................................. ....... ................................................. ............. ......................... 2
Asosiy qism................................................ .................................................. ............... 3
Xulosa................................................. ................................................................ ...... .............. 25
Qo'llash................................................................. ................................................................ ...... ................ 26
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati........................................... ............ ........................... 29
Reja.
Kirish.
Tarixiy ma'lumotnoma.
Tenglamalar. Algebraik tenglamalar.
a) asosiy ta'riflar.
b) Chiziqli tenglama va uni yechish usuli.
v) Kvadrat tenglamalar va ularni yechish usullari.
d) binom tenglamalar va ularni yechish usullari.
e) Kubik tenglamalar va ularni yechish usullari.
f) Bikvadrat tenglama va uni yechish usuli.
g) To`rtinchi darajali tenglamalar va ularni yechish usullari.
g) Yuqori darajali tenglamalar va ularni yechish usullari.
h) Ratsional algebraik tenglama va uning usuli
i) Irratsional tenglamalar va ularni yechish usullari.
j) Belgi ostida noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamalar.
mutlaq qiymat va uni hal qilish usuli.
Transsendental tenglamalar.
a) Ko‘rsatkichli tenglamalar va ularni yechish usullari.
b) Logarifmik tenglamalar va ularni yechish usullari.
Kirish
Umumta'lim maktabida olingan matematik ta'lim umumiy ta'lim va zamonaviy insonning umumiy madaniyatining muhim tarkibiy qismidir. Zamonaviy odamni o'rab turgan deyarli hamma narsa matematika bilan bog'liq. Va fizika, muhandislik va axborot texnologiyalari sohasidagi so'nggi yutuqlar kelajakda ishlarning holati o'zgarishsiz qolishiga shubha qoldirmaydi. Shuning uchun, ko'plab amaliy muammolarni hal qilish, siz qanday echishni o'rganishingiz kerak bo'lgan har xil turdagi tenglamalarni echishga to'g'ri keladi.
Ushbu ish yuqoridagi mavzu bo'yicha o'rganilgan materialni umumlashtirish va tizimlashtirishga urinishdir. Men materialni eng oddiyidan boshlab qiyinchilik bo'yicha joylashtirdim. U maktab algebra kursidan bizga ma'lum bo'lgan tenglama turlarini ham, qo'shimcha materiallarni ham o'z ichiga oladi. Shu bilan birga, maktab kursida o'rganilmaydigan, lekin oliy o'quv yurtiga kirishda bilim kerak bo'lishi mumkin bo'lgan tenglama turlarini ko'rsatishga harakat qildim. O'z ishimda tenglamalarni yechishda men faqat haqiqiy yechim bilan cheklanib qolmay, balki murakkab yechimni ham ko'rsatdim, chunki aks holda tenglama shunchaki yechilmagan deb hisoblayman. Axir, agar tenglamaning haqiqiy ildizlari bo'lmasa, bu uning yechimlari yo'qligini anglatmaydi. Afsuski, vaqt yo'qligi sababli menda mavjud bo'lgan barcha materiallarni taqdim eta olmadim, lekin bu erda keltirilgan material bilan ham ko'plab savollar tug'ilishi mumkin. Umid qilamanki, mening bilimlarim ko'p savollarga javob berish uchun etarli. Shunday qilib, men materialni taqdim etishni boshlayman.
Matematika... tartibni ochib beradi,
simmetriya va ishonchlilik,
va bu go'zallikning eng muhim turlari.
Aristotel.
Tarixiy ma'lumotnoma
O'sha uzoq vaqtlarda, donishmandlar birinchi marta noma'lum miqdorlarni o'z ichiga olgan tengliklar haqida o'ylay boshlaganlarida, ehtimol, tangalar yoki hamyonlar yo'q edi. Ammo noma'lum miqdordagi narsalarni saqlashi mumkin bo'lgan saqlash keshlari roli uchun mukammal bo'lgan uyumlar, shuningdek, kostryulkalar va savatlar bor edi. Miloddan avvalgi 2-ming yillikda misrlik yozuvchi Axmes: “Biz uchdan ikki, yarim va yettinchi bilan birga 37... ni tashkil etuvchi uyumni qidirmoqdamiz. Mesopotamiya, Hindiston, Xitoy, Gretsiyaning qadimgi matematik muammolarida noma'lum miqdorlar bog'dagi tovuslar sonini, podada buqalar sonini va mulkni bo'lishda hisobga olingan narsalarning umumiyligini ifodalagan. Yashirin bilimga kirishgan, hisob ilmini yaxshi o'rgangan ulamolar, amaldorlar va ruhoniylar bunday vazifalarni juda muvaffaqiyatli hal qilishdi.
Bizgacha etib kelgan manbalar shuni ko'rsatadiki, qadimgi olimlar noma'lum miqdorlar bilan muammolarni hal qilishning umumiy usullariga ega edilar. Biroq, biron bir papirus yoki loy tabletkada bu usullarning tavsifi mavjud emas. Mualliflar faqat vaqti-vaqti bilan o'zlarining raqamli hisob-kitoblariga "Qarang!", "Buni qiling!", "To'g'risini topdingiz" kabi arzimas izohlar bilan ta'minladilar. Shu ma'noda, istisno yunon matematigi Iskandariyalik Diofantning (III asr) "Arifmetikasi" - ularning echimlarini tizimli ravishda taqdim etgan holda tenglamalar tuzish uchun muammolar to'plami.
Biroq, keng tarqalgan muammolarni hal qilish bo'yicha birinchi qo'llanma 9-asr Bag'dodlik olimining ishi edi. Muhammad bin Muso al-Xorazmiy. Ushbu risolaning arabcha nomi – “Kitob al-jabir val-mukabala” (“Qayta tiklash va qarama-qarshilik kitobi”)dan olingan “al-jabr” so‘zi vaqt o‘tishi bilan mashhur “algebra” so‘ziga aylangan va al- Xorazmiy ijodining oʻzi tenglamalarni yechish fanining rivojlanishida boshlangʻich nuqta boʻldi.
tenglamalar Algebraik tenglamalar
Asosiy ta'riflar
Algebrada tenglikning ikki turi - o'ziga xosliklar va tenglamalar ko'rib chiqiladi.
Identifikatsiya unga kiritilgan harflarning barcha (ruxsat etilgan) qiymatlari uchun amal qiladigan tenglik). Belgi bilan birga shaxsni yozib olish uchun
belgisi ham ishlatiladi.Tenglama faqat unga kiritilgan harflarning ma'lum qiymatlari uchun amal qiladigan tenglikdir. Tenglamaga kiritilgan harflar muammoning shartlariga ko'ra teng bo'lmasligi mumkin: ba'zilari barcha ruxsat etilgan qiymatlarni olishlari mumkin (ular deyiladi) parametrlari yoki koeffitsientlar tenglamalar va odatda lotin alifbosining birinchi harflari bilan belgilanadi:
, , ... - yoki indekslar bilan ta'minlangan bir xil harflar: , , ... yoki , , ...); qadriyatlarini topish kerak bo'lgan boshqalar deyiladi noma'lum(ular odatda lotin alifbosining oxirgi harflari bilan belgilanadi: , , , ... - yoki indekslar bilan ta'minlangan bir xil harflar: , , ... yoki , , ...).Umuman olganda, tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
(, , ..., ).Noma’lumlar soniga qarab tenglama bir, ikkita va hokazo noma’lumli tenglama deyiladi.
Tenglama - bu tenglik bo'lgan va noma'lumni o'z ichiga olgan matematik ifoda. Agar tenglik unga kiritilgan noma'lumlarning har qanday ruxsat etilgan qiymatlari uchun to'g'ri bo'lsa, u identifikatsiya deb ataladi; masalan: (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) ko‘rinishdagi munosabat x ning barcha qiymatlari uchun amal qiladi.
Agar noma'lum x ni o'z ichiga olgan tenglama faqat x ning ma'lum qiymatlari uchun amal qilsa va x ning barcha qiymatlari uchun emas, xuddi identifikatsiya holatida bo'lgani kabi, u holda x ning qiymatlarini aniqlash foydali bo'lishi mumkin. tenglama haqiqiydir. X ning bunday qiymatlari tenglamaning ildizlari yoki yechimlari deb ataladi. Masalan, 5 soni 2x + 7= 17 tenglamaning ildizidir.
Matematikaning tenglamalar nazariyasi deb ataladigan bo'limida asosiy o'rganish mavzusi tenglamalarni yechish usullari hisoblanadi. Maktab algebra kursida tenglamalar beriladi katta e'tibor.
Tenglamalarni o'rganish tarixi ko'p asrlarga borib taqaladi. Tenglamalar nazariyasining rivojlanishiga hissa qo'shgan eng mashhur matematiklar:
Arximed (miloddan avvalgi 287–212 yillar) qadimgi yunon olimi, matematigi va mexaniki. Kub tenglamaga keltiriladigan masalani o'rganayotganda, Arximed xarakteristikaning rolini aniqladi, keyinchalik u diskriminant deb ataladi.
Fransua Viet 16-asrda yashagan. U matematikaning turli masalalarini o'rganishga katta hissa qo'shgan. Xususan, u tenglama koeffitsientlari uchun harf belgilarini kiritdi va kvadrat tenglamaning ildizlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatdi.
Leonhard Eyler (1707 - 1783) - matematik, mexanik, fizik va astronom. Muallifi St. Matematik analiz, differensial tenglamalar, geometriya, sonlar nazariyasi, taqribiy hisoblar, samoviy mexanika, matematika, optika, ballistika, kemasozlik, musiqa nazariyasi va boshqalarga oid 800 ta asar ilm-fan rivojiga katta taʼsir koʻrsatdi. U ko'rsatkichli funktsiya orqali x o'zgaruvchining trigonometrik funktsiyalarini ifodalovchi formulalarni (Eyler formulalari) chiqardi.
Lagranj Jozef Lui (1736 - 1813), fransuz matematigi va mexaniki. U ajoyib tadqiqotlar, jumladan algebra (tenglama ildizlarining simmetrik funksiyasi, differensial tenglamalar (singular yechimlar nazariyasi, konstantalarni oʻzgartirish usuli)) boʻyicha tadqiqotlar olib borgan.
J. Lagranj va A. Vandermonde fransuz matematiklari. 1771 yilda birinchi marta tenglamalar tizimini echish usuli (almashtirish usuli) qo'llanildi.
Gauss Karl Fridrix (1777 -1855) - nemis matematigi. U ko'p jihatdan Galua nazariyasining prototipi bo'lgan doirani bo'lish uchun tenglamalar nazariyasini (ya'ni, xn - 1 = 0 tenglamalari) tavsiflovchi kitob yozdi. Bu tenglamalarni yechishning umumiy usullaridan tashqari, ular va muntazam ko'pburchaklar qurish o'rtasida bog'lanishni o'rnatdi. Qadimgi yunon olimlaridan beri birinchi marta u bu masalada muhim qadam tashladi, ya'ni: u n ning barcha qiymatlarini topdi, ular uchun muntazam n-burchakni sirkul va o'lchagich yordamida qurish mumkin. Men qo'shish usulini o'rgandim. Men tenglamalar tizimini qo'shish, bo'lish va ko'paytirish mumkin degan xulosaga keldim.
O. I. Somov - matematikaning turli qismlarini muhim va koʻp sonli asarlar bilan boyitgan, ular orasida yuqori darajadagi ayrim algebraik tenglamalar nazariyasi ham bor.
Galois Evariste (1811-1832) - fransuz matematigi. J.Lagranj, N.Abel va boshqalar boshlagan algebraik tenglamalarning yechish qobiliyatiga oid tadqiqotlarni davom ettirish bilan bog‘liq bo‘lgan g‘oyalar to‘plamini shakllantirish va algebraik tenglamalar nazariyasini yaratish uning asosiy xizmatidir. bir noma'lum bilan yuqori darajalar.
A. V. Pogorelov (1919 – 1981) - Uning ishlari geometrik usullarni qisman differensial tenglamalar nazariyasining analitik usullari bilan birlashtiradi. Uning asarlari chiziqli bo'lmagan differensial tenglamalar nazariyasiga ham sezilarli ta'sir ko'rsatdi.
P. Ruffini - italyan matematiki. U almashtirishlar to'plamining yopiqligini tizimli ravishda ishlatib, 5-darajali tenglamalarning yechilmasligini isbotlashga bir qator ishlarni bag'ishlagan.
Olimlar tenglamalarni uzoq vaqt davomida o'rganishlariga qaramay, fan odamlarga tenglamalardan qanday va qachon foydalanish kerakligini bilmaydi. Ma'lumki, odamlar inson bo'lganidan beri eng oddiy tenglamalarni echishga olib keladigan masalalarni yechishmoqda. Miloddan avvalgi yana 3-4 ming yil. e. Misrliklar va bobilliklar tenglamalarni yechishni bilishgan. Ushbu tenglamalarni echish qoidasi zamonaviyga to'g'ri keladi, ammo ular bu erga qanday etib kelgani noma'lum.
Qadimgi Misr va Bobilda yolg'on pozitsiya usuli qo'llanilgan. Bitta noma'lumli birinchi darajali tenglamani har doim ax + b = c ko'rinishga keltirish mumkin, bunda a, b, c butun sonlardir. Arifmetik amallar qoidalariga ko'ra ax = c - b,
Agar b > c bo'lsa, u holda c b manfiy sondir. Salbiy raqamlar misrliklarga va boshqa ko'plab keyingi xalqlarga noma'lum edi (ular matematikada ijobiy raqamlar bilan teng ravishda faqat XVII asrda qo'llanila boshlandi). Biz hozir birinchi darajali tenglamalar bilan yechadigan muammolarni hal qilish uchun noto'g'ri pozitsiya usuli ixtiro qilindi. Ahmes papirusida bu usul bilan 15 ta masala yechilgan. Misrliklar noma'lum raqam uchun maxsus belgiga ega bo'lib, u yaqin vaqtgacha "qanday" deb o'qilgan va "yiv" ("uyma" yoki "noma'lum raqam" birliklari) deb tarjima qilingan. Endi ular biroz kamroq noto'g'ri o'qiydilar: "ha". Ahmes tomonidan qo'llaniladigan yechim usuli bitta noto'g'ri pozitsiya usuli deb ataladi. Bu usul yordamida ax = b ko'rinishdagi tenglamalar yechiladi. Bu usul tenglamaning har bir tomonini a ga bo'lishni o'z ichiga oladi. U Misrliklar va Bobilliklar tomonidan ishlatilgan. Turli xalqlar ikkita yolg'on pozitsiya usulidan foydalanganlar. Arablar bu usulni mexanizatsiyalashtirib, uni Yevropa xalqlari darsliklariga, jumladan Magnitskiyning “Arifmetika”siga o‘tkazish shaklini oldilar. Magnitskiy yechimni "noto'g'ri qoida" deb ataydi va kitobining ushbu usulni tavsiflovchi qismida shunday yozadi:
Bu qism juda ayyor, chunki siz u bilan hamma narsani qo'yishingiz mumkin. Faqat fuqarolikdagi narsa emas, balki fazodagi oliy ilmlar ham jannat sohasida sanab o'tilgan, chunki donishmandlarning ehtiyojlari bor.
Magnitskiy she'rlarining mazmunini qisqacha quyidagicha ifodalash mumkin: arifmetikaning bu qismi juda qiyin. Uning yordami bilan siz nafaqat kundalik amaliyotda zarur bo'lgan narsalarni hisoblashingiz mumkin, balki u "donolar" oldida turgan "yuqori" savollarni ham hal qiladi. Magnitskiy "noto'g'ri qoida" ni arablar bergan shaklda ishlatib, uni "ikki xato arifmetikasi" yoki "tarozi usuli" deb ataydi. Hind matematiklari ko'pincha she'rlarda muammolarni berishdi. Lotus muammosi:
Sokin ko‘l ustida, suvdan yarim o‘lchov balandda lotusning rangi ko‘rinib turardi. U yolg'iz o'sdi va shamol, to'lqin kabi, uni yon tomonga egdi, endi yo'q
Suv ustida gul. Baliqchining ko'zi uni o'sgan joyidan ikki metr uzoqlikda topdi. Bu erda ko'l suvi qanchalik chuqur? Men sizga bir savol beraman.
Tenglamalar turlari
Chiziqli tenglamalar
Chiziqli tenglamalar quyidagi shakldagi tenglamalardir: ax + b = 0, bu erda a va b ba'zi doimiylar. Agar a nolga teng bo'lmasa, u holda tenglama bitta ildizga ega bo'ladi: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.).
Masalan: chiziqli tenglamani yeching: 4x + 12 = 0.
Yechish: a = 4 va b = 12 bo'lgani uchun x = - 12: 4; x = - 3.
Tekshiring: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.
0 = 0 bo'lgani uchun -3 asl tenglamaning ildizidir.
Javob. x = -3
Agar a nolga va b nolga teng bo'lsa, ax + b = 0 tenglamaning ildizi istalgan sondir.
Masalan:
0 = 0. 0 0 ga teng bo'lganligi sababli, 0x + 0 = 0 tenglamaning ildizi istalgan sondir.
Agar a nolga teng va b nolga teng bo'lmasa, ax + b = 0 tenglamaning ildizlari yo'q.
Masalan:
0 = 6. 0 6 ga teng bo'lmagani uchun 0x – 6 = 0 ning ildizlari yo'q.
Chiziqli tenglamalar sistemalari.
Chiziqli tenglamalar tizimi barcha tenglamalar chiziqli bo'lgan tizimdir.
Tizimni yechish uning barcha yechimlarini topish demakdir.
Chiziqli tenglamalar tizimini yechishdan oldin uning yechimlari sonini aniqlash mumkin.
Tenglamalar sistemasi berilsin: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.
Agar a1 a2 ga bo'lingan b1 b2 ga bo'lingan bo'lsa, u holda tizim bitta yagona yechimga ega.
Agar a1 a2 ga bo'lingan b1 ga b2 ga bo'lingan bo'lsa, lekin c1 ga bo'lingan c2 ga teng bo'lsa, u holda tizimning echimlari yo'q.
Agar a1 a2 ga bo'lingan b1 b2 ga bo'lingan va c1 c2 ga bo'lingan bo'lsa, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.
Kamida bitta yechimga ega bo'lgan tenglamalar tizimi bir vaqtda deyiladi.
Izchil sistema, agar uning yechimlari soni chekli bo'lsa, aniq, yechimlar to'plami cheksiz bo'lsa, noaniq tizim deyiladi.
Yagona yechimga ega bo'lmagan tizim nomuvofiq yoki ziddiyatli deb ataladi.
Chiziqli tenglamalarni yechish usullari
Chiziqli tenglamalarni echishning bir necha usullari mavjud:
1) Tanlash usuli. Bu eng oddiy usul. Bu noma'lumning barcha haqiqiy qiymatlarini sanab o'tish orqali tanlashdan iborat.
Masalan:
Tenglamani yeching.
X = 1 bo'lsin. Keyin
4 = 6. 4 6 ga teng emasligi sababli, bizning x = 1 degan taxminimiz noto'g'ri edi.
x = 2 bo'lsin.
6 = 6. 6 6 ga teng bo'lgani uchun, bizning x = 2 degan farazimiz to'g'ri edi.
Javob: x = 2.
2) soddalashtirish usuli
Bu usul noma'lumni o'z ichiga olgan barcha atamalarni chap tomonga, ma'lumlarini esa qarama-qarshi belgisi bilan o'ngga o'tkazish, o'xshashlarini olib kelish va tenglamaning ikkala tomonini noma'lum koeffitsientga bo'lishdan iborat.
Masalan:
Tenglamani yeching.
5x – 4 = 11 + 2x;
5x – 2x = 11 + 4;
3x = 15; : (3) x = 5.
Javob. x = 5.
3) Grafik usul.
U berilgan tenglamaning funksiyalarining grafigini tuzishdan iborat. y = 0 chiziqli tenglamada grafik y o'qiga parallel bo'ladi. Grafikning x o'qi bilan kesishgan nuqtasi bu tenglamaning yechimi bo'ladi.
Masalan:
Tenglamani yeching.
y = 7 bo'lsin. U holda y = 2x + 3 bo'lsin.
Ikkala tenglamaning funksiyalarini chizamiz:
Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish usullari
Ettinchi sinfda ular tenglamalar tizimini echishning uchta usulini o'rganadilar:
1) almashtirish usuli.
Bu usul tenglamalardan birida bir noma'lumni boshqasi bilan ifodalashdan iborat. Olingan ifoda boshqa tenglamaga almashtiriladi, keyin u bitta noma'lum tenglamaga aylanadi va keyin u echiladi. Ushbu noma'lumning natijaviy qiymati dastlabki tizimning istalgan tenglamasiga almashtiriladi va ikkinchi noma'lumning qiymati topiladi.
Masalan.
Tenglamalar sistemasini yeching.
5x - 2y - 2 = 1.
3x + y = 4; y = 4 - 3x.
Olingan ifodani boshqa tenglamaga almashtiramiz:
5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;
5x – 8 + 6x = 1 + 2;
11x = 11; : (11) x = 1.
Olingan qiymatni 3x + y = 4 tenglamaga almashtiramiz.
3 1 + y = 4;
3 + y = 4; y = 4 – 3; y = 1.
Imtihon.
/3 1 + 1 = 4,
\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;
Javob: x = 1; y = 1.
2) qo'shish usuli.
Bu usul shundan iboratki, agar berilgan sistema a’zolar bo’yicha qo’shilganda bitta noma’lumli tenglama hosil qiladigan tenglamalardan iborat bo’lsa, bu tenglamani yechish orqali biz noma’lumlardan birining qiymatini olamiz. Ushbu noma'lumning natijaviy qiymati dastlabki tizimning istalgan tenglamasiga almashtiriladi va ikkinchi noma'lumning qiymati topiladi.
Masalan:
Tenglamalar sistemasini yeching.
/3u – 2x = 5,
\5x – 3y = 4.
Olingan tenglamani yechamiz.
3x = 9; : (3) x = 3.
Olingan qiymatni 3y – 2x = 5 tenglamaga almashtiramiz.
3u – 2 3 = 5;
3u = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.
Shunday qilib, x = 3; y = 3 2/3.
Imtihon.
/3 11/3 – 2 3 = 5,
\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;
Javob. x = 3; y = 3 2/3
3) Grafik usul.
Bu usul tenglamalarning bir koordinata tizimida chizilishiga asoslanadi. Agar tenglamaning grafiklari kesishsa, kesishish nuqtasining koordinatalari bu sistemaning yechimi hisoblanadi. Agar tenglamaning grafiklari parallel chiziqlar bo'lsa, bu tizimning yechimlari yo'q. Agar tenglamalarning grafiklari bitta to'g'ri chiziqqa birlashsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ladi.
Masalan.
Tenglamalar sistemasini yeching.
18x + 3y - 1 = 8.
2x - y = 5; 18x + 3y - 1 = 8;
Y = 5 - 2x; 3y = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.
Xuddi shu koordinatalar sistemasida y = 2x - 5 va y = 3 - 6x funksiyalarning grafiklarini tuzamiz.
y = 2x - 5 va y = 3 - 6x funksiyalarning grafiklari A nuqtada kesishadi (1; -3).
Demak, bu tenglamalar tizimining yechimi x = 1 va y = -3 bo'ladi.
Imtihon.
2 1 - (- 3) = 5,
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Javob. x = 1; y = -3.
Xulosa
Yuqorida aytilganlarning barchasiga asoslanib, biz tenglamalar zamonaviy dunyoda nafaqat amaliy muammolarni hal qilish uchun, balki ilmiy vosita sifatida ham zarur degan xulosaga kelishimiz mumkin. Shuning uchun ham ko'plab olimlar bu masalani o'rganishgan va uni o'rganishda davom etmoqdalar.
52. Tenglamalarning murakkabroq misollari.
1-misol.
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Umumiy maxraj x 2 – 1, chunki x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Bu tenglamaning ikkala tomonini x 2 – 1 ga ko'paytiramiz. Biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
yoki qisqartirilgandan keyin,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x = 7 va x = 3½
Keling, boshqa tenglamani ko'rib chiqaylik:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Yuqoridagi kabi hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 yoki 2x = 2 va x = 1.
Ko‘rib chiqilayotgan tenglamalarning har biridagi x ni topilgan son bilan almashtirsak, bizning tengliklarimiz oqlanadimi yoki yo‘qligini bilib olaylik.
Birinchi misol uchun biz quyidagilarni olamiz:
Biz hech qanday shubhaga o'rin yo'qligini ko'ramiz: biz x uchun kerakli tenglik oqlanadigan son topdik.
Ikkinchi misol uchun biz quyidagilarni olamiz:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) yoki 5/0 – 3/2 = 15/0
Bu erda shubhalar paydo bo'ladi: biz nolga bo'linish bilan duch keldik, bu mumkin emas. Agar kelajakda biz bu bo'linishga bilvosita bo'lsa ham ma'lum ma'noni berishga muvaffaq bo'lsak, topilgan x - 1 yechim bizning tenglamamizni qanoatlantirishiga rozi bo'lishimiz mumkin. Ungacha tan olishimiz kerakki, bizning tenglamamiz to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega bo'lgan yechimga ega emas.
Shunga o'xshash holatlar tenglamada mavjud bo'lgan kasrlarning maxrajlariga noma'lum qandaydir tarzda kiritilganda va bu maxrajlarning ba'zilari, yechim topilganda, nolga aylanadi.
2-misol.
Bu tenglamaning mutanosiblik ko'rinishida ekanligini darhol ko'rishingiz mumkin: x + 3 sonining x – 1 soniga nisbati 2x + 3 sonining 2x – 2 soniga nisbatiga teng. Kimdir, ichida ushbu holatni ko'rib chiqib, bu erda tenglamani kasrlardan ozod qilish uchun qo'llashga qaror qiling, bu mutanosiblikning asosiy xususiyati (ekstremal hadlar mahsuloti o'rta hadlar mahsulotiga teng). Keyin u oladi:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Bu erda, biz bu tenglamaga dosh berolmaymiz, degan qo'rquv, tenglama x 2 bilan shartlarni o'z ichiga olganligi sababli paydo bo'lishi mumkin. Biroq, biz tenglamaning har ikki tomonidan 2x 2 ayirishimiz mumkin - bu tenglamani buzmaydi; keyin x 2 bo'lgan shartlar yo'q qilinadi va biz quyidagilarni olamiz:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Noma'lum atamalarni chapga, ma'lumlarini o'ngga siljitamiz - biz:
3x = 3 yoki x = 1
Ushbu tenglamani eslab qolish
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
X (x = 1) ning topilgan qiymati har bir kasrning maxrajlarini yo'q qilishini darhol sezamiz; Biz nolga bo'lish masalasini ko'rib chiqmagunimizcha, bunday yechimdan voz kechishimiz kerak.
Agar mutanosiblik xususiyatini qo‘llash masalani murakkablashtirganini va berilganning ikkala tomonini umumiy maxrajga, ya’ni 2(x – 1) ga ko‘paytirish yo‘li bilan oddiyroq tenglamani olish mumkinligini ham ta’kidlasak, 2x – 2 bo‘ladi. = 2 (x - 1) bo'lsa, biz quyidagilarni olamiz:
2(x + 3) = 2x – 3 yoki 2x + 6 = 2x – 3 yoki 6 = –3,
bu mumkin emas.
Bu holat shuni ko'rsatadiki, bu tenglamada ushbu tenglamaning maxrajlarini nolga aylantirmaydigan to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega bo'lgan echimlar yo'q.
Endi tenglamani yechamiz:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
2(x – 1) tenglamaning ikkala tomonini, ya’ni umumiy maxrajga ko‘paytiramiz:
6x + 10 = 2x + 18
Topilgan yechim maxrajni yo'qotmaydi va to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega:
yoki 11 = 11
Agar kimdir ikkala qismni 2 (x - 1) ga ko'paytirish o'rniga mutanosiblik xususiyatidan foydalansa, ular quyidagilarni oladi:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) yoki
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Bu erda x 2 bilan atamalar yo'q qilinmaydi. Barcha noma'lum atamalarni chap tomonga va ma'lum bo'lganlarni o'ngga ko'chirsak, biz olamiz
4x 2 – 12x = –8
x 2 – 3x = –2
Endi biz bu tenglamani yecha olmaymiz. Kelajakda biz bunday tenglamalarni qanday yechish va uning ikkita yechimini topishni o‘rganamiz: 1) siz x = 2 va 2) x = 1 ni olishingiz mumkin. Ikkala yechimni ham tekshirish oson:
1) 2 2 – 3 2 = –2 va 2) 1 2 – 3 1 = –2
Agar biz dastlabki tenglamani eslasak
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
u holda biz hozir uning ikkala yechimini ham olishimizni ko'ramiz: 1) x = 2 - to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega bo'lgan va maxrajni nolga aylantirmaydigan yechim, 2) x = 1 - maxrajni nolga aylantiruvchi va. to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega emas.
3-misol.
Keling, ushbu tenglamaga kiritilgan kasrlarning umumiy maxrajini har bir maxrajni faktorlarga ajratib topamiz:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Umumiy maxraj (x – 3)(x – 2)(x + 1) dir.
Keling, bu tenglamaning ikkala tomonini ko'paytiramiz (va endi uni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:
umumiy maxraj bilan (x – 3) (x – 2) (x + 1). Keyin, har bir kasrni kamaytirgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) yoki
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Bu erdan biz olamiz:
–x = –13 va x = 13.
Bu yechim to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega: u hech qanday maxrajni yo'qotmaydi.
Agar biz tenglamani olsak:
keyin, yuqoridagi kabi xuddi shunday qilib, biz olamiz
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
uni qayerdan olardingiz?
bu mumkin emas. Bu holat shuni ko'rsatadiki, to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega bo'lgan oxirgi tenglamaning yechimini topish mumkin emas.
Ushbu videoda biz bir xil algoritm yordamida echiladigan chiziqli tenglamalarning butun to'plamini tahlil qilamiz - shuning uchun ular eng oddiy deb ataladi.
Birinchidan, aniqlaymiz: chiziqli tenglama nima va qaysi biri eng oddiy deb ataladi?
Chiziqli tenglama - bu faqat bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan va faqat birinchi darajali tenglama.
Eng oddiy tenglama qurilishni anglatadi:
Boshqa barcha chiziqli tenglamalar algoritmdan foydalanib, eng oddiyiga qisqartiriladi:
- Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring;
- Oʻzgaruvchisi boʻlgan shartlarni teng belgisining bir tomoniga, oʻzgaruvchisi boʻlmagan shartlarni ikkinchi tomoniga koʻchiring;
- Tenglik belgisining chap va o'ng tomoniga o'xshash shartlarni bering;
- Hosil bo‘lgan tenglamani $x$ o‘zgaruvchining koeffitsientiga bo‘ling.
Albatta, bu algoritm har doim ham yordam bermaydi. Gap shundaki, ba'zida bu hiyla-nayranglardan keyin $x$ o'zgaruvchisining koeffitsienti nolga teng bo'lib chiqadi. Bunday holda, ikkita variant mavjud:
- Tenglama umuman yechimga ega emas. Misol uchun, $0\cdot x=8$ kabi narsa paydo bo'lganda, ya'ni. chap tomonda nol, o'ngda esa noldan boshqa raqam. Quyidagi videoda biz bu holatning mumkin bo'lgan bir nechta sabablarini ko'rib chiqamiz.
- Yechim barcha raqamlardir. Bu mumkin bo'lgan yagona holat tenglama $0\cdot x=0$ konstruktsiyasiga qisqartirilganda bo'ladi. Qaysi $x$ ni almashtirsak ham, baribir “nol nolga teng”, ya’ni “nolga teng” bo‘lib chiqishi mantiqan to‘g‘ri. to'g'ri raqamli tenglik.
Keling, bularning barchasi hayotiy misollar yordamida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.
Tenglamalarni yechishga misollar
Bugun biz chiziqli tenglamalar bilan shug'ullanamiz va faqat eng oddiylari. Umuman olganda, chiziqli tenglama aynan bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har qanday tenglikni anglatadi va u faqat birinchi darajaga boradi.
Bunday inshootlar taxminan bir xil tarzda hal qilinadi:
- Avvalo, agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytirishingiz kerak (oxirgi misolimizda bo'lgani kabi);
- Keyin shunga o'xshash narsalarni birlashtiring
- Nihoyat, o'zgaruvchini ajratib oling, ya'ni. o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsani - u mavjud bo'lgan atamalarni - bir tomonga siljiting va unsiz qolgan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazing.
Keyin, qoida tariqasida, hosil bo'lgan tenglikning har bir tomoniga o'xshash narsalarni olib kelishingiz kerak, shundan so'ng "x" koeffitsientiga bo'lish qoladi va biz yakuniy javobni olamiz.
Nazariy jihatdan, bu yoqimli va sodda ko'rinadi, ammo amalda hatto tajribali o'rta maktab o'quvchilari ham juda oddiy chiziqli tenglamalarda haqoratli xatolarga yo'l qo'yishlari mumkin. Odatda, qavslarni ochishda yoki "ortiqcha" va "minuslar" ni hisoblashda xatolarga yo'l qo'yiladi.
Bundan tashqari, shunday bo'ladiki, chiziqli tenglamaning yechimlari umuman yo'q yoki yechim butun son chizig'i, ya'ni. har qanday raqam. Ushbu nozikliklarni bugungi darsimizda ko'rib chiqamiz. Ammo biz, siz allaqachon tushunganingizdek, eng oddiy vazifalardan boshlaymiz.
Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish sxemasi
Birinchidan, yana bir bor eng oddiy chiziqli tenglamalarni echish uchun butun sxemani yozishga ruxsat bering:
- Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring.
- Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, ya'ni. Biz "X" ni o'z ichiga olgan hamma narsani bir tomonga, "X" lari bo'lmagan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazamiz.
- Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
- Biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz.
Albatta, bu sxema har doim ham ishlamaydi, unda ma'lum nozikliklar va fokuslar mavjud va endi biz ular bilan tanishamiz.
Oddiy chiziqli tenglamalarning haqiqiy misollarini yechish
Vazifa № 1
Birinchi qadam bizdan qavslarni ochishni talab qiladi. Ammo ular bu misolda yo'q, shuning uchun biz bu bosqichni o'tkazib yuboramiz. Ikkinchi bosqichda biz o'zgaruvchilarni ajratishimiz kerak. E'tibor bering: biz faqat individual shartlar haqida gapiramiz. Keling, yozamiz:
Biz chap va o'ngda shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz, ammo bu erda allaqachon qilingan. Shuning uchun biz to'rtinchi bosqichga o'tamiz: koeffitsientga bo'ling:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Shunday qilib, biz javob oldik.
Vazifa № 2
Biz ushbu muammoda qavslarni ko'rishimiz mumkin, shuning uchun ularni kengaytiramiz:
Chapda ham, o'ngda ham taxminan bir xil dizaynni ko'ramiz, lekin keling, algoritmga muvofiq harakat qilaylik, ya'ni. o'zgaruvchilarni ajratish:
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Bu qanday ildizlarda ishlaydi? Javob: har qanday uchun. Shuning uchun $x$ har qanday raqam ekanligini yozishimiz mumkin.
Vazifa № 3
Uchinchi chiziqli tenglama qiziqroq:
\[\chap(6-x \o'ng)+\chap(12+x \o'ng)-\chap(3-2x \o'ng)=15\]
Bu erda bir nechta qavslar mavjud, lekin ular hech narsa bilan ko'paytirilmaydi, ular oldida turli xil belgilar mavjud. Keling, ularni ajratamiz:
Bizga ma'lum bo'lgan ikkinchi bosqichni bajaramiz:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Keling, hisob-kitob qilaylik:
Biz oxirgi bosqichni bajaramiz - hamma narsani "x" koeffitsientiga bo'ling:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Chiziqli tenglamalarni yechishda eslash kerak bo'lgan narsalar
Agar biz juda oddiy vazifalarni e'tiborsiz qoldirsak, men quyidagilarni aytmoqchiman:
- Yuqorida aytganimdek, har bir chiziqli tenglamaning yechimi yo'q - ba'zida oddiygina ildizlar yo'q;
- Ildizlar bo'lsa ham, ular orasida nol bo'lishi mumkin - buning hech qanday yomon joyi yo'q.
Nol boshqalar bilan bir xil raqam; siz uni hech qanday tarzda kamsitmasligingiz kerak yoki agar siz nolga ega bo'lsangiz, unda siz noto'g'ri ish qildingiz deb o'ylamasligingiz kerak.
Yana bir xususiyat qavslarning ochilishi bilan bog'liq. Iltimos, diqqat qiling: ularning oldida "minus" bo'lsa, biz uni olib tashlaymiz, lekin qavs ichida biz belgilarni o'zgartiramiz qarama-qarshi. Va keyin biz uni standart algoritmlar yordamida ochishimiz mumkin: biz yuqoridagi hisob-kitoblarda ko'rgan narsamizni olamiz.
Ushbu oddiy haqiqatni tushunish sizga o'rta maktabda ahmoqona va xafagarchilikka yo'l qo'ymaslikka yordam beradi, chunki bunday narsalarni qilish odatiy holdir.
Murakkab chiziqli tenglamalarni yechish
Keling, murakkabroq tenglamalarga o'tamiz. Endi konstruktsiyalar murakkablashadi va turli xil o'zgarishlarni amalga oshirishda kvadrat funktsiya paydo bo'ladi. Biroq, biz bundan qo'rqmasligimiz kerak, chunki agar muallifning rejasiga ko'ra, biz chiziqli tenglamani yechayotgan bo'lsak, unda transformatsiya jarayonida kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan barcha monomiallar albatta bekor qilinadi.
Misol № 1
Shubhasiz, birinchi qadam qavslarni ochishdir. Buni juda ehtiyotkorlik bilan qilaylik:
Endi maxfiylikni ko'rib chiqaylik:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Shubhasiz, bu tenglamaning yechimlari yo'q, shuning uchun biz buni javobda yozamiz:
\[\varnothing\]
yoki hech qanday ildiz yo'q.
Misol № 2
Biz xuddi shu harakatlarni bajaramiz. Birinchi qadam:
Keling, o'zgaruvchisi bo'lgan hamma narsani chapga, usiz esa o'ngga siljitamiz:
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Shubhasiz, bu chiziqli tenglamaning yechimi yo'q, shuning uchun biz uni quyidagicha yozamiz:
\[\varnothing\],
yoki hech qanday ildiz yo'q.
Yechimning nuanslari
Ikkala tenglama ham to'liq yechilgan. Bu ikki iboradan misol tariqasida biz yana bir bor amin bo‘ldikki, hatto eng oddiy chiziqli tenglamalarda ham hamma narsa unchalik oddiy bo‘lmasligi mumkin: bitta, yoki hech biri, yoki cheksiz ko‘p ildizlar bo‘lishi mumkin. Bizning holatlarimizda biz ikkita tenglamani ko'rib chiqdik, ikkalasi ham oddiygina ildizga ega emas.
Ammo men sizning e'tiboringizni yana bir faktga qaratmoqchiman: qavslar bilan qanday ishlash va ularning oldida minus belgisi bo'lsa, ularni qanday ochish kerak. Ushbu ifodani ko'rib chiqing:
Ochishdan oldin siz hamma narsani "X" ga ko'paytirishingiz kerak. E'tibor bering: ko'payadi har bir alohida atama. Ichkarida ikkita atama mavjud - mos ravishda ikkita atama va ko'paytiriladi.
Va faqat bu oddiy ko'rinadigan, ammo juda muhim va xavfli o'zgarishlar tugagandan so'ng, siz qavsni undan keyin minus belgisi borligi nuqtai nazaridan ochishingiz mumkin. Ha, ha: faqat hozir, o'zgartirishlar tugallangandan so'ng, biz qavslar oldida minus belgisi borligini eslaymiz, ya'ni pastdagi hamma narsa shunchaki belgilarni o'zgartiradi. Shu bilan birga, qavslarning o'zi yo'qoladi va eng muhimi, oldingi "minus" ham yo'qoladi.
Ikkinchi tenglama bilan ham xuddi shunday qilamiz:
Men bu mayda-chuyda, arzimasdek ko‘ringan faktlarga bejiz e’tibor qaratganim yo‘q. Chunki tenglamalarni yechish har doim elementar o'zgarishlar ketma-ketligi bo'lib, bu erda oddiy harakatlarni aniq va malakali bajara olmaslik yuqori sinf o'quvchilarining mening oldimga kelishiga va yana shunday oddiy tenglamalarni echishni o'rganishiga olib keladi.
Albatta, kun keladiki, siz bu ko'nikmalarni avtomatizm darajasiga ko'tarasiz. Endi har safar juda ko'p o'zgarishlarni amalga oshirishingiz shart emas, siz hamma narsani bitta satrga yozasiz. Ammo endigina o'rganayotganingizda, har bir harakatni alohida yozishingiz kerak.
Bundan ham murakkab chiziqli tenglamalarni yechish
Biz hozir hal qilmoqchi bo'lgan narsani eng oddiy vazifa deb atash qiyin, ammo ma'no o'zgarishsiz qolmoqda.
Vazifa № 1
\[\left(7x+1 \o'ng)\left(3x-1 \o'ng)-21((x)^(2))=3\]
Birinchi qismdagi barcha elementlarni ko'paytiramiz:
Keling, bir oz maxfiylikni ta'minlaylik:
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Keling, oxirgi bosqichni bajaramiz:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Mana bizning yakuniy javobimiz. Va yechish jarayonida bizda kvadratik funktsiyaga ega koeffitsientlar bo'lganiga qaramay, ular bir-birini bekor qildi, bu esa tenglamani kvadrat emas, chiziqli qiladi.
Vazifa № 2
\[\chap(1-4x \o'ng)\chap(1-3x \o'ng)=6x\chap(2x-1 \o'ng)\]
Keling, birinchi qadamni diqqat bilan bajaramiz: birinchi qavsdagi har bir elementni ikkinchisidan har bir elementga ko'paytiramiz. O'zgartirishlardan keyin jami to'rtta yangi atama bo'lishi kerak:
Endi har bir atamada ko'paytirishni diqqat bilan bajaramiz:
Keling, "X" harfi bo'lgan shartlarni chapga, bo'lmaganlarini esa o'ngga o'tkazamiz:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Mana shunga o'xshash atamalar:
Yana bir bor yakuniy javobni oldik.
Yechimning nuanslari
Bu ikki tenglama haqida eng muhim eslatma quyidagicha: biz bir nechta haddan iborat bo'lgan qavslarni ko'paytirishni boshlaganimizdan so'ng, bu quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi: biz birinchi haddan birinchisini olamiz va har bir element bilan ko'paytiramiz. ikkinchisi; keyin birinchi elementdan ikkinchi elementni olamiz va xuddi shunday ikkinchi elementning har bir elementiga ko'paytiramiz. Natijada biz to'rtta muddatga ega bo'lamiz.
Algebraik yig'indi haqida
Ushbu oxirgi misol bilan men o'quvchilarga algebraik yig'indi nima ekanligini eslatmoqchiman. Klassik matematikada $1-7$ deganda biz oddiy qurilishni nazarda tutamiz: bittadan yettini ayirish. Algebrada biz quyidagilarni nazarda tutamiz: "bir" raqamiga biz boshqa raqamni qo'shamiz, ya'ni "minus etti". Algebraik yig'indi oddiy arifmetik yig'indidan shunday farq qiladi.
Barcha o'zgartirishlarni, har bir qo'shish va ko'paytirishni amalga oshirayotganda, yuqorida tavsiflanganlarga o'xshash konstruktsiyalarni ko'rishni boshlasangiz, polinomlar va tenglamalar bilan ishlashda algebrada hech qanday muammo bo'lmaydi.
Va nihoyat, keling, biz ko'rib chiqqanlardan ham murakkabroq bo'lgan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik va ularni hal qilish uchun biz standart algoritmimizni biroz kengaytirishimiz kerak.
Kasrli tenglamalarni yechish
Bunday vazifalarni hal qilish uchun biz algoritmimizga yana bir qadam qo'shishimiz kerak. Lekin birinchi navbatda algoritmimizni eslatib o'taman:
- Qavslarni oching.
- Alohida o'zgaruvchilar.
- Shunga o'xshashlarni olib keling.
- Nisbatga bo'linadi.
Afsuski, bu ajoyib algoritm, barcha samaradorligiga qaramay, oldimizda kasrlar mavjud bo'lganda, unchalik mos kelmaydi. Va biz quyida ko'rib chiqamiz, biz ikkala tenglamada ham chap, ham o'ngda kasrga egamiz.
Bu holatda qanday ishlash kerak? Ha, bu juda oddiy! Buni amalga oshirish uchun siz algoritmga yana bir qadam qo'shishingiz kerak, bu birinchi harakatdan oldin ham, keyin ham bajarilishi mumkin, ya'ni kasrlardan xalos bo'lish. Shunday qilib, algoritm quyidagicha bo'ladi:
- Fraksiyalardan xalos bo'ling.
- Qavslarni oching.
- Alohida o'zgaruvchilar.
- Shunga o'xshashlarni olib keling.
- Nisbatga bo'linadi.
"Fraksiyalardan xalos bo'lish" nimani anglatadi? Va nima uchun buni birinchi standart qadamdan keyin ham, oldin ham qilish mumkin? Aslida, bizning holatlarimizda, barcha kasrlar o'zlarining maxrajlarida sonli, ya'ni. Hamma joyda maxraj shunchaki raqamdir. Shuning uchun, agar tenglamaning ikkala tomonini bu raqamga ko'paytirsak, biz kasrlardan xalos bo'lamiz.
Misol № 1
\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng))(4)=((x)^(2))-1\]
Keling, bu tenglamadagi kasrlardan xalos bo'laylik:
\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]
E'tibor bering: hamma narsa bir marta "to'rt" ga ko'paytiriladi, ya'ni. Sizda ikkita qavs borligi har birini "to'rt" ga ko'paytirish kerak degani emas. Keling, yozamiz:
\[\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]
Endi kengaytiramiz:
Biz o'zgaruvchini ajratamiz:
Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartiramiz:
\[-4x=-1\chap| :\left(-4 \o'ng) \o'ng.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Biz yakuniy yechimni oldik, keling, ikkinchi tenglamaga o'tamiz.
Misol № 2
\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng))(5)+(x)^(2))=1\]
Bu erda biz bir xil harakatlarni bajaramiz:
\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Muammo hal qilindi.
Men bugun sizga aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi.
Asosiy fikrlar
Asosiy topilmalar quyidagilar:
- Chiziqli tenglamalarni yechish algoritmini bilish.
- Qavslarni ochish qobiliyati.
- Agar biror joyda kvadratik funktsiyalaringiz bo'lsa, tashvishlanmang, ehtimol ular keyingi o'zgarishlar jarayonida kamayadi.
- Chiziqli tenglamalarda ildizlarning uchta turi mavjud, hatto eng oddiylari ham: bitta ildiz, butun son qatori ildiz va umuman ildiz yo'q.
Umid qilamanki, bu dars sizga barcha matematikani qo'shimcha tushunish uchun oddiy, ammo juda muhim mavzuni o'zlashtirishga yordam beradi. Agar biror narsa aniq bo'lmasa, saytga o'ting va u erda keltirilgan misollarni hal qiling. Bizni kuzatib boring, sizni yana ko'plab qiziqarli narsalar kutmoqda!