ตัวอย่างสมการที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น ประเภทของสมการและวิธีการแก้สมการ

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เด็กจะได้ยินคำว่า "สมการ" เป็นครั้งแรก นี่คืออะไร เราลองมาคิดกันดู ในบทความนี้เราจะดูประเภทและวิธีการแก้ปัญหา

คณิตศาสตร์. สมการ

ก่อนอื่นเราขอแนะนำให้คุณเข้าใจแนวคิดนี้ก่อนว่าคืออะไร? ดังที่หนังสือเรียนคณิตศาสตร์หลายเล่มกล่าวไว้ สมการคือสำนวนที่ต้องมีเครื่องหมายเท่ากับ นิพจน์เหล่านี้มีตัวอักษรที่เรียกว่าตัวแปรซึ่งจะต้องค้นหาค่า

นี่คือแอตทริบิวต์ของระบบที่เปลี่ยนแปลงค่า ตัวอย่างที่ดีของตัวแปรได้แก่:

• อุณหภูมิอากาศ
• ความสูงของเด็ก
• น้ำหนักและอื่น ๆ

ในทางคณิตศาสตร์จะแสดงด้วยตัวอักษร เช่น x, a, b, c... โดยปกติงานทางคณิตศาสตร์จะเป็นดังนี้: ค้นหาค่าของสมการ ซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแปรเหล่านี้

พันธุ์

สมการ (เราพูดถึงว่ามันคืออะไรในย่อหน้าก่อนหน้า) สามารถอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

• เชิงเส้น;
• สี่เหลี่ยม;
• ลูกบาศก์;
• พีชคณิต;
• เหนือธรรมชาติ

หากต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมทุกประเภทเราจะพิจารณาแยกกัน

สมการเชิงเส้น

นี่เป็นสายพันธุ์แรกที่เด็กนักเรียนได้รู้จัก พวกเขาได้รับการแก้ไขอย่างรวดเร็วและง่ายดาย แล้วสมการเชิงเส้นคืออะไร? นี่คือนิพจน์ในรูปแบบ: ah=c ยังไม่ชัดเจนนัก เรามายกตัวอย่างกัน: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.

ลองดูตัวอย่างของสมการ ในการดำเนินการนี้ เราจำเป็นต้องรวบรวมข้อมูลที่ทราบทั้งหมดในด้านหนึ่ง และข้อมูลที่ไม่รู้จักอีกด้านหนึ่ง: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. ในที่นี้มีการใช้กฎเบื้องต้นของคณิตศาสตร์: a*c=e จากนี้ c=e/a; ก=อี/ค. เพื่อแก้สมการให้สมบูรณ์ เราต้องกระทำสิ่งหนึ่ง (ในกรณีของเราคือการหาร) x = 13; x=8; x=5. นี่คือตัวอย่างของการคูณ ตอนนี้เรามาดูการลบและการบวกกัน: x+3=9; 10x-5=15. เราถ่ายโอนข้อมูลที่ทราบไปในทิศทางเดียว: x=9-3; x=20/10. ดำเนินการล่าสุด: x=6; x=2.

สมการเชิงเส้นแบบต่างๆ ก็เป็นไปได้เช่นกัน โดยที่ใช้ตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว: 2x-2y=4 ในการแก้ปัญหา จำเป็นต้องบวก 2y ในแต่ละส่วน เราจะได้ 2x-2y + 2y = 4-2y ดังที่เราสังเกตเห็น ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ -2y และ +2y ถูกยกเลิก เหลือเพียงเรา : 2x = 4 -2у ขั้นตอนสุดท้ายคือหารแต่ละส่วนด้วยสอง เราจะได้คำตอบ: x เท่ากับ 2 ลบ y

ปัญหาเกี่ยวกับสมการยังพบได้แม้แต่ในกระดาษปาปิรุสของอาห์มส์ ปัญหาหนึ่งคือ ตัวเลขและส่วนที่สี่รวมกันได้ 15 เพื่อแก้ปัญหานี้ เราเขียนสมการต่อไปนี้: x บวกหนึ่งในสี่ x เท่ากับสิบห้า เราเห็นอีกตัวอย่างหนึ่งตามผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา เราได้คำตอบ: x=12 แต่ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในอีกทางหนึ่งคือชาวอียิปต์หรือวิธีการสันนิษฐานที่เรียกต่างกัน กระดาษปาปิรัสใช้วิธีการแก้ปัญหาต่อไปนี้: เอาสี่และหนึ่งในสี่ของทั้งหมดนั่นคือหนึ่ง รวมแล้วให้ห้า ตอนนี้สิบห้าต้องหารด้วยผลรวม เราได้สาม ขั้นตอนสุดท้ายคือคูณสามด้วยสี่ เราได้รับคำตอบ: 12. เหตุใดเราจึงหาร 15 ด้วย 5 ในคำตอบ? เราหาได้กี่ครั้งว่าสิบห้า นั่นคือผลลัพธ์ที่เราต้องได้น้อยกว่าห้า ปัญหาได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้ในยุคกลางซึ่งกลายเป็นที่รู้จักในชื่อวิธีการระบุตำแหน่งที่ผิดพลาด

สมการกำลังสอง

นอกจากตัวอย่างที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้แล้ว ยังมีตัวอย่างอื่นๆ อีก อันไหนกันแน่? สมการกำลังสอง มันคืออะไร? พวกมันดูเหมือน ax 2 +bx+c=0 ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ คุณต้องทำความคุ้นเคยกับแนวคิดและกฎเกณฑ์บางประการ

ขั้นแรก คุณต้องหาตัวจำแนกโดยใช้สูตร: b 2 -4ac ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการตัดสินใจมีสามประการ:

• การเลือกปฏิบัติมีค่ามากกว่าศูนย์
• น้อยกว่าศูนย์
• เท่ากับศูนย์

ในตัวเลือกแรก เราสามารถได้คำตอบจากสองราก ซึ่งพบได้ตามสูตร: -b+-root ของตัวแยกแยะหารด้วยสองเท่าของสัมประสิทธิ์แรก นั่นคือ 2a

ในกรณีที่สอง สมการไม่มีราก ในกรณีที่สาม พบรากโดยใช้สูตร: -b/2a

ลองดูตัวอย่างสมการกำลังสองเพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม: 3 x กำลังสอง ลบ 14 x ลบ 5 เท่ากับ 0 เริ่มต้นด้วยตามที่เขียนไว้ก่อนหน้านี้ เรากำลังมองหาการแบ่งแยก ในกรณีของเรามันเท่ากับ 256 โปรดทราบว่าจำนวนผลลัพธ์มากกว่าศูนย์ ดังนั้น เราควรได้คำตอบที่ประกอบด้วยสองราก เราแทนที่ผลการแบ่งแยกผลลัพธ์เป็นสูตรเพื่อค้นหาราก ผลลัพธ์ที่ได้คือ: x เท่ากับห้าและลบหนึ่งในสาม

กรณีพิเศษในสมการกำลังสอง

นี่คือตัวอย่างที่มีค่าบางค่าเป็นศูนย์ (a, b หรือ c) และอาจมากกว่าหนึ่งค่า

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการต่อไปนี้ซึ่งเป็นกำลังสอง: 2 x กำลังสองเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้เราจะเห็นว่า b และ c เท่ากับศูนย์ ลองแก้มันกัน โดยหารทั้งสองข้างของสมการด้วยสอง เราได้: x 2 = 0 ผลลัพธ์ที่ได้คือ x=0

อีกกรณีหนึ่งคือ 16x 2 -9=0 ที่นี่เท่านั้น b=0 มาแก้สมการโดยโอนสัมประสิทธิ์อิสระไปทางด้านขวา: 16x 2 = 9 ตอนนี้เราหารแต่ละส่วนด้วยสิบหก: x 2 = เก้าสิบหก เนื่องจากเรามี x กำลังสอง รากของ 9/16 จึงเป็นลบหรือบวกก็ได้ เราเขียนคำตอบดังนี้: x เท่ากับบวก/ลบสามในสี่

คำตอบที่เป็นไปได้อีกประการหนึ่งคือสมการไม่มีรากเลย ลองดูตัวอย่างนี้: 5x 2 +80=0 ที่นี่ b=0 วิธีแก้ไข ให้โยนพจน์อิสระไปทางด้านขวา หลังจากการกระทำเหล่านี้ เราได้: 5x 2 = -80 ตอนนี้เราหารแต่ละส่วนด้วย 5: x 2 = ลบสิบหก หากเรายกกำลังสองจำนวนใดๆ เราจะไม่ได้ค่าลบ ดังนั้น คำตอบของเราคือ สมการไม่มีราก

การขยายตัวแบบไตรโนเมียล

งานสมการกำลังสองอาจมีเสียงเช่นนี้: แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: a(x-x 1)(x-x 2) ในการทำเช่นนี้เช่นเดียวกับงานเวอร์ชันอื่นคุณต้องค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: 3x 2 -14x-5 แยกตัวประกอบตรีโกณมิติ เราค้นหาผู้แยกแยะโดยใช้สูตรที่เรารู้จักอยู่แล้วซึ่งมีค่าเท่ากับ 256 เราทราบทันทีว่า 256 มากกว่าศูนย์ ดังนั้นสมการจะมีสองราก เราพบพวกมัน เช่นเดียวกับในย่อหน้าก่อนหน้า เรามี: x = ห้าและลบหนึ่งในสาม ลองใช้สูตรแยกตัวประกอบตรีโกณมิติ: 3(x-5)(x+1/3) ในวงเล็บที่สอง เราได้เครื่องหมายเท่ากับ เนื่องจากสูตรมีเครื่องหมายลบ และรากก็เป็นลบเช่นกัน โดยใช้ความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ในผลรวมเรามีเครื่องหมายบวก เพื่อให้ง่ายขึ้น ลองคูณพจน์ที่หนึ่งและสามของสมการเพื่อกำจัดเศษส่วน: (x-5)(x+1)

สมการลดลงเป็นกำลังสอง

ในส่วนนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีแก้สมการที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น เริ่มจากตัวอย่างทันที:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0 เราสามารถสังเกตเห็นองค์ประกอบที่ซ้ำกัน: (x 2 - 2x) เพื่อแก้มัน จะสะดวกสำหรับเราที่จะแทนที่มันด้วยตัวแปรอื่น แล้ว แก้สมการกำลังสองปกติทันที เราทราบว่าในงานดังกล่าวเราจะได้รากสี่อันซึ่งคุณไม่ควรกลัว เราแสดงถึงการซ้ำซ้อนของตัวแปร a เราได้รับ: 2 -2a-3=0 ขั้นต่อไปของเราคือค้นหาการแบ่งแยกสมการใหม่ เราได้ 16 หาสองราก ลบหนึ่งกับสาม เราจำได้ว่าเราทำการแทนที่ แทนที่ค่าเหล่านี้ ดังนั้นเราจึงได้สมการ: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. เราแก้มันด้วยคำตอบแรก: x เท่ากับ 1, คำตอบที่สอง: x เท่ากับลบ 1 กับ 3 เราเขียนคำตอบดังนี้: บวก/ลบ หนึ่งและสาม ตามกฎแล้วคำตอบจะเขียนตามลำดับจากน้อยไปมาก

สมการลูกบาศก์

ลองพิจารณาอีกทางเลือกหนึ่งที่เป็นไปได้ เราจะพูดถึงสมการลูกบาศก์ ดูเหมือนว่า: ax 3 + b x 2 + cx + d =0 เราจะดูตัวอย่างสมการด้านล่าง แต่ก่อนอื่น มาดูทฤษฎีเล็กๆ น้อยๆ ก่อน พวกมันสามารถมีได้สามราก และยังมีสูตรสำหรับค้นหาตัวแยกแยะสำหรับสมการกำลังสามด้วย

ลองดูตัวอย่าง: 3x 3 +4x 2 +2x=0 วิธีแก้ปัญหา? เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเพียงใส่ x ออกจากวงเล็บ: x(3x 2 +4x+2)=0 สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณรากของสมการในวงเล็บ การแบ่งแยกสมการกำลังสองในวงเล็บน้อยกว่าศูนย์ โดยขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ นิพจน์มีราก: x=0

พีชคณิต. สมการ

มาดูมุมมองต่อไปกันดีกว่า ตอนนี้เราจะดูสมการพีชคณิตโดยย่อ งานอย่างหนึ่งมีดังนี้: ปัจจัย 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5 วิธีที่สะดวกที่สุดคือการจัดกลุ่มดังนี้: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5) โปรดทราบว่าเราแทน 8x 2 จากนิพจน์แรกเป็นผลรวมของ 3x 2 และ 5x 2 ตอนนี้เรานำปัจจัยร่วม 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1) ออกจากแต่ละวงเล็บ เราเห็นว่าเรามีตัวประกอบร่วม: x กำลังสองบวกหนึ่ง เราเอามันออกจากวงเล็บ: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5) ไม่สามารถขยายเพิ่มเติมได้เนื่องจากสมการทั้งสองมีการแบ่งแยกเชิงลบ

สมการเหนือธรรมชาติ

เราขอแนะนำให้คุณจัดการกับประเภทต่อไปนี้ สมการเหล่านี้เป็นสมการที่มีฟังก์ชันเหนือธรรมชาติ ได้แก่ ลอการิทึม ตรีโกณมิติ หรือเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 และอื่นๆ คุณจะได้เรียนรู้วิธีแก้โจทย์เหล่านี้ในหลักสูตรตรีโกณมิติ

การทำงาน

ขั้นตอนสุดท้ายคือการพิจารณาแนวคิดเรื่องสมการของฟังก์ชัน ไม่เหมือนกับตัวเลือกก่อนหน้านี้ ประเภทนี้ไม่ได้รับการแก้ไข แต่กราฟจะถูกสร้างขึ้นตามนั้น ในการทำเช่นนี้ควรวิเคราะห์สมการให้ดีค้นหาจุดที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการก่อสร้างและคำนวณคะแนนต่ำสุดและสูงสุด

กระทรวงการศึกษาทั่วไปและวิชาชีพแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

สถาบันการศึกษาเทศบาล

โรงยิมหมายเลข 12

องค์ประกอบ

ในหัวข้อ: สมการและวิธีการแก้สมการ

เสร็จสิ้นโดย: นักเรียนชั้น 10 "A"

ครูตโก เยฟเกนีย์

ตรวจสอบโดย: ครูคณิตศาสตร์ Iskhakova Gulsum Akramovna

ตูย์เมน 2001

วางแผน................................................. ................................................ ...... ................................ 1

การแนะนำ................................................. ....... ........................................... ................ ........................ 2

ส่วนสำคัญ................................................ ................................................ ...... ............... 3

บทสรุป................................................. ................................................ ...... ............... 25

แอปพลิเคชัน................................................. ................................................ ...... ................ 26

รายการวรรณกรรมที่ใช้............................................ .......... ........................... 29

วางแผน.

การแนะนำ.

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

สมการ สมการพีชคณิต

ก) คำจำกัดความพื้นฐาน

b) สมการเชิงเส้นและวิธีการแก้มัน

c) สมการกำลังสองและวิธีการแก้สมการเหล่านั้น

d) สมการทวินามและวิธีแก้ปัญหา

e) สมการลูกบาศก์และวิธีการแก้โจทย์

f) สมการกำลังสองและวิธีการแก้โจทย์

g) สมการระดับที่สี่และวิธีการแก้ไข

g) สมการระดับสูงและวิธีการแก้ไข

h) สมการพีชคณิตตรรกยะและวิธีการของมัน

i) สมการไม่ลงตัวและวิธีการแก้สมการเหล่านี้

j) สมการที่มีสิ่งไม่รู้อยู่ใต้เครื่องหมาย

ค่าสัมบูรณ์และวิธีการแก้ไข

สมการเหนือธรรมชาติ

ก) สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและวิธีแก้

b) สมการลอการิทึมและวิธีการแก้ไข

การแนะนำ

การศึกษาคณิตศาสตร์ที่ได้รับในโรงเรียนแบบครบวงจรถือเป็นองค์ประกอบสำคัญของการศึกษาทั่วไปและวัฒนธรรมทั่วไปของมนุษย์ยุคใหม่ เกือบทุกอย่างที่อยู่รอบตัวมนุษย์สมัยใหม่ล้วนเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น และความก้าวหน้าล่าสุดในด้านฟิสิกส์ วิศวกรรม และเทคโนโลยีสารสนเทศทำให้ไม่ต้องสงสัยเลยว่าในอนาคตสถานะของกิจการจะยังคงเหมือนเดิม ดังนั้น การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายอย่างจึงขึ้นอยู่กับการแก้สมการประเภทต่างๆ ที่คุณต้องเรียนรู้วิธีแก้

งานนี้เป็นความพยายามที่จะสรุปและจัดระบบเนื้อหาที่ศึกษาในหัวข้อข้างต้น ฉันได้จัดเรียงเนื้อหาตามความยากง่ายโดยเริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด ประกอบด้วยสมการทั้งสองประเภทที่เรารู้จักจากหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนและเนื้อหาเพิ่มเติม ในเวลาเดียวกันฉันพยายามแสดงประเภทของสมการที่ไม่ได้เรียนในหลักสูตรของโรงเรียน แต่ความรู้ที่อาจจำเป็นเมื่อเข้าสู่สถาบันอุดมศึกษา ในงานของฉันเมื่อแก้สมการฉันไม่ได้ จำกัด ตัวเองอยู่เพียงวิธีแก้ปัญหาที่แท้จริงเท่านั้น แต่ยังระบุวิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อนด้วยเนื่องจากฉันเชื่อว่าไม่อย่างนั้นสมการก็ยังไม่ได้รับการแก้ไข ท้ายที่สุดแล้ว หากสมการไม่มีรากที่แท้จริง ก็ไม่ได้หมายความว่าจะไม่มีคำตอบ น่าเสียดาย เนื่องจากไม่มีเวลา ฉันจึงไม่สามารถนำเสนอเนื้อหาทั้งหมดที่ฉันมีได้ แต่ถึงแม้จะมีเนื้อหาที่นำเสนอที่นี่ ก็อาจมีคำถามมากมายเกิดขึ้น ฉันหวังว่าความรู้ของฉันจะเพียงพอที่จะตอบคำถามส่วนใหญ่ได้ ฉันจึงเริ่มนำเสนอเนื้อหา

คณิตศาสตร์...เผยลำดับ

ความสมมาตรและความแน่นอน

และนี่คือความงามประเภทที่สำคัญที่สุด

อริสโตเติล

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

ในสมัยที่ห่างไกลเหล่านั้น เมื่อปราชญ์เริ่มคิดถึงความเท่าเทียมกันที่มีปริมาณที่ไม่รู้จัก อาจไม่มีเหรียญหรือกระเป๋าสตางค์เลย แต่ก็มีกองอยู่มากมาย เช่นเดียวกับหม้อและตะกร้า ซึ่งเหมาะอย่างยิ่งสำหรับทำหน้าที่เป็นแคชจัดเก็บข้อมูลที่สามารถเก็บสิ่งของจำนวนที่ไม่ทราบจำนวนได้ “เรากำลังมองหากองที่เมื่อรวมกับสองในสามครึ่งและหนึ่งในเจ็ดทำให้เกิด 37...” สอนอาห์เมส อาลักษณ์ชาวอียิปต์ในช่วงสหัสวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช ในปัญหาทางคณิตศาสตร์โบราณของเมโสโปเตเมีย อินเดีย จีน กรีซ ปริมาณที่ไม่รู้จักแสดงจำนวนนกยูงในสวน จำนวนวัวในฝูง และจำนวนรวมของสิ่งต่าง ๆ ที่นำมาพิจารณาเมื่อแบ่งทรัพย์สิน อาลักษณ์ เจ้าหน้าที่ และนักบวชที่เริ่มต้นความรู้ลับ ได้รับการฝึกฝนมาเป็นอย่างดีในด้านศาสตร์การบัญชี รับมือกับงานดังกล่าวได้ค่อนข้างประสบความสำเร็จ

แหล่งที่มาที่มาถึงเราระบุว่านักวิทยาศาสตร์โบราณมีเทคนิคทั่วไปในการแก้ปัญหาโดยไม่ทราบปริมาณ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่กระดาษปาปิรุสหรือแผ่นดินเหนียวแผ่นเดียวที่มีคำอธิบายเกี่ยวกับเทคนิคเหล่านี้ ผู้เขียนระบุการคำนวณตัวเลขด้วยความคิดเห็นที่ไม่ชัดเจนเป็นครั้งคราว เช่น: "ดูสิ!", "ทำนี่สิ!", "คุณพบอันที่ใช่แล้ว" ในแง่นี้ข้อยกเว้นคือ "เลขคณิต" ของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Diophantus แห่งอเล็กซานเดรีย (ศตวรรษที่ 3) - ชุดของปัญหาสำหรับการเขียนสมการด้วยการนำเสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างเป็นระบบ

อย่างไรก็ตาม คู่มือการแก้ปัญหาฉบับแรกซึ่งเป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางคือผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวแบกแดดแห่งศตวรรษที่ 9 มูฮัมหมัด บิน มูซา อัล-คอวาริซมี. คำว่า "al-jabr" จากชื่อภาษาอาหรับของบทความนี้ - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("หนังสือแห่งการฟื้นฟูและการต่อต้าน") - เมื่อเวลาผ่านไปกลายเป็นคำที่รู้จักกันดี "พีชคณิต" และ al- งานของ Khwarizmi นั้นเป็นจุดเริ่มต้นในการพัฒนาศาสตร์แห่งการแก้สมการ

สมการ สมการพีชคณิต

คำจำกัดความพื้นฐาน

ในพีชคณิตจะพิจารณาความเท่าเทียมกันสองประเภท - อัตลักษณ์และสมการ

ตัวตนคือความเท่าเทียมกันที่เก็บค่าทั้งหมด (ยอมรับได้) ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น) เพื่อบันทึกตัวตนพร้อมป้าย

ป้ายก็ใช้เช่นกัน

สมการคือความเท่าเทียมกันที่เก็บไว้เฉพาะค่าบางค่าของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น ตัวอักษรที่รวมอยู่ในสมการตามเงื่อนไขของปัญหาอาจไม่เท่ากัน: บางตัวสามารถรับค่าที่อนุญาตได้ทั้งหมด (เรียกว่า พารามิเตอร์หรือ ค่าสัมประสิทธิ์สมการและมักจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวแรกของอักษรละติน:

, , ... - หรือตัวอักษรเดียวกันกับดัชนี: , , ... หรือ , , ...); คนอื่น ๆ ที่ต้องค้นหาคุณค่าเรียกว่า ไม่ทราบ(โดยปกติจะกำหนดด้วยตัวอักษรตัวสุดท้ายของตัวอักษรละติน: , , , ... - หรือตัวอักษรเดียวกันกับดัชนี: , , ... หรือ , , ...)

โดยทั่วไปสมการสามารถเขียนได้ดังนี้

(, , ..., ).

สมการนี้เรียกว่าสมการที่ไม่ทราบจำนวนหนึ่ง สอง ฯลฯ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับจำนวนของสิ่งที่ไม่ทราบ

สมการคือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่มีความเท่าเทียมกันและประกอบด้วยสิ่งที่ไม่ทราบ หากความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของสิ่งที่ไม่รู้จักที่รวมอยู่ในนั้น จะเรียกว่าตัวตน ตัวอย่างเช่น: ความสัมพันธ์ของรูปแบบ (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) ถือเป็นค่าทั้งหมดของ x

หากสมการที่มี x ที่ไม่รู้จักเก็บเฉพาะค่า x บางค่าเท่านั้นและไม่ใช่สำหรับค่า x ทั้งหมดเช่นเดียวกับในกรณีของตัวตน การพิจารณาค่า x เหล่านั้นที่ สมการนั้นถูกต้อง ค่า x ดังกล่าวเรียกว่ารากหรือคำตอบของสมการ ตัวอย่างเช่น เลข 5 คือรากของสมการ 2x + 7= 17

ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีสมการ วิชาหลักของการศึกษาคือวิธีการแก้สมการ ในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนจะมีการให้สมการ ความสนใจอย่างมาก.

ประวัติความเป็นมาของการศึกษาสมการย้อนกลับไปหลายศตวรรษ นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดที่มีส่วนในการพัฒนาทฤษฎีสมการคือ:

อาร์คิมีดีส (ประมาณ 287–212 ปีก่อนคริสตกาล) เป็นนักวิทยาศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ และช่างกลชาวกรีกโบราณ ในขณะที่ศึกษาปัญหาที่ลดเหลือสมการกำลังสาม อาร์คิมิดีสได้ค้นพบบทบาทของคุณลักษณะ ซึ่งต่อมาถูกเรียกว่าผู้แยกแยะ

Francois Viet อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 16 เขามีส่วนช่วยอย่างมากในการศึกษาปัญหาต่างๆทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาได้แนะนำการกำหนดตัวอักษรสำหรับสัมประสิทธิ์ของสมการ และสร้างการเชื่อมโยงระหว่างรากของสมการกำลังสอง

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707 – 1783) - นักคณิตศาสตร์ ช่างเครื่อง นักฟิสิกส์ และนักดาราศาสตร์ ผู้เขียนเซนต์. 800 งานเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิต ทฤษฎีจำนวน การคำนวณโดยประมาณ กลศาสตร์ท้องฟ้า คณิตศาสตร์ ทัศนศาสตร์ ขีปนาวุธ การต่อเรือ ทฤษฎีดนตรี ฯลฯ เขามีอิทธิพลสำคัญต่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์ เขาได้รับสูตร (สูตรของออยเลอร์) ที่แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติของตัวแปร x ผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ลากรองจ์ โจเซฟ หลุยส์ (ค.ศ. 1736 - 1813) นักคณิตศาสตร์และช่างเครื่องชาวฝรั่งเศส เขาได้ดำเนินการวิจัยที่โดดเด่น รวมถึงการวิจัยเกี่ยวกับพีชคณิต (ฟังก์ชันสมมาตรของรากของสมการ สมการเชิงอนุพันธ์ (ทฤษฎีการแก้ปัญหาเอกพจน์ วิธีการแปรผันของค่าคงที่)

J. Lagrange และ A. Vandermonde เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ในปี พ.ศ. 2314 มีการใช้วิธีการแก้ระบบสมการ (วิธีการทดแทน) เป็นครั้งแรก

เกาส์ คาร์ล ฟรีดริช (พ.ศ. 2320-2398) - นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เขาเขียนหนังสือสรุปทฤษฎีสมการสำหรับการหารวงกลม (เช่น สมการ xn - 1 = 0) ซึ่งเป็นต้นแบบของทฤษฎีกาลัวส์ในหลาย ๆ ด้าน นอกเหนือจากวิธีการทั่วไปในการแก้สมการเหล่านี้แล้ว เขายังสร้างความเชื่อมโยงระหว่างสมการเหล่านี้กับการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติอีกด้วย นับเป็นครั้งแรกนับตั้งแต่นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณเขาได้ก้าวไปข้างหน้าในเรื่องนี้ กล่าวคือ: เขาค้นพบค่าเหล่านั้นทั้งหมดของ n ซึ่งสามารถสร้าง n-gon ปกติด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดได้ ฉันศึกษาวิธีการบวก ฉันสรุปได้ว่าระบบสมการสามารถบวก หาร และคูณได้

O. I. Somov - เสริมคุณค่าส่วนต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ด้วยผลงานที่สำคัญและมากมายรวมถึงทฤษฎีสมการพีชคณิตบางระดับที่สูงกว่า

Galois Evariste (1811-1832) - นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ข้อดีหลักของเขาคือการกำหนดชุดความคิดที่เขาเกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของการวิจัยเกี่ยวกับความสามารถในการแก้สมการพีชคณิตซึ่งเริ่มต้นโดย J. Lagrange, N. Abel และคนอื่นๆ และสร้างทฤษฎีสมการพีชคณิตของ ระดับที่สูงขึ้นโดยไม่มีใครไม่รู้จัก

A. V. Pogorelov (1919 – 1981) - งานของเขาผสมผสานวิธีเรขาคณิตเข้ากับวิธีวิเคราะห์ของทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ผลงานของเขามีผลกระทบสำคัญต่อทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นด้วย

P. Ruffini - นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เขาอุทิศงานจำนวนหนึ่งเพื่อพิสูจน์ความไม่สมการของสมการระดับ 5 โดยใช้ความปิดของชุดการทดแทนอย่างเป็นระบบ

แม้ว่านักวิทยาศาสตร์จะศึกษาสมการมาเป็นเวลานาน แต่วิทยาศาสตร์ไม่รู้ว่าผู้คนจำเป็นต้องใช้สมการอย่างไรและเมื่อใด เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าผู้คนได้แก้ไขปัญหาที่นำไปสู่การแก้สมการที่ง่ายที่สุดนับตั้งแต่ที่พวกเขากลายเป็นมนุษย์ อีก 3 - 4 พันปีก่อนคริสต์ศักราช จ. ชาวอียิปต์และชาวบาบิโลนรู้วิธีแก้สมการ กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้เกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่รู้ว่ามันมาถึงจุดนั้นได้อย่างไร

ในอียิปต์โบราณและบาบิโลน ใช้วิธีการวางตำแหน่งที่ผิดพลาด สมการของระดับแรกที่ไม่ทราบค่าหนึ่งสามารถถูกลดให้อยู่ในรูปแบบ ax + b = c ได้เสมอ โดยที่ a, b, c เป็นจำนวนเต็ม ตามกฎของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ax = c - b,

ถ้า b > c แล้ว c b เป็นจำนวนลบ ชาวอียิปต์และชนกลุ่มน้อยอื่นๆ ในยุคหลังไม่รู้จักจำนวนลบ (เริ่มถูกนำมาใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ในระดับเท่าๆ กันกับจำนวนบวกเฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น) เพื่อแก้ปัญหาที่เราแก้ด้วยสมการระดับแรก จึงได้คิดค้นวิธีการวางตำแหน่งเท็จขึ้นมา ในกระดาษปาปิรัส Ahmes ปัญหา 15 ข้อได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้ ชาวอียิปต์มีสัญลักษณ์พิเศษสำหรับหมายเลขที่ไม่รู้จักซึ่งจนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้อ่านว่า "อย่างไร" และแปลว่า "ฮีป" ("ฮีป" หรือ "จำนวนที่ไม่รู้จัก" ของหน่วย) ตอนนี้พวกเขาอ่านผิดน้อยลงเล็กน้อย: "ใช่" วิธีการแก้ปัญหาที่ Ahmes ใช้เรียกว่าวิธีการของตำแหน่งที่ผิดพลาดเพียงตำแหน่งเดียว เมื่อใช้วิธีนี้ สมการของรูปแบบ ax = b จะถูกแก้ วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการหารแต่ละด้านของสมการด้วย a มันถูกใช้โดยทั้งชาวอียิปต์และชาวบาบิโลน ต่างคนต่างใช้วิธีการของตำแหน่งเท็จสองตำแหน่ง ชาวอาหรับใช้วิธีนี้และได้รับแบบฟอร์มซึ่งถ่ายโอนไปยังหนังสือเรียนของชาวยุโรป รวมถึงเลขคณิตของ Magnitsky Magnitsky เรียกวิธีแก้ปัญหานี้ว่า "กฎเท็จ" และเขียนในส่วนของหนังสือของเขาโดยสรุปวิธีนี้:

ส่วนนี้มีไหวพริบมากเพราะคุณสามารถใส่ทุกอย่างลงไปได้ ไม่เพียงแต่สิ่งที่เป็นพลเมืองเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงวิทยาศาสตร์ชั้นสูงในอวกาศซึ่งระบุไว้ในขอบเขตแห่งสวรรค์ตามที่ปราชญ์มีความต้องการ

เนื้อหาของบทกวีของ Magnitsky สามารถสรุปสั้น ๆ ได้ดังนี้ เลขคณิตส่วนนี้ยุ่งยากมาก ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถคำนวณได้ไม่เพียงแต่สิ่งที่จำเป็นสำหรับการปฏิบัติในชีวิตประจำวันเท่านั้น แต่ยังช่วยแก้ปัญหาคำถาม "ที่สูงกว่า" ที่เผชิญหน้ากับ "คนฉลาด" ด้วย Magnitsky ใช้ "กฎเท็จ" ในรูปแบบที่ชาวอาหรับให้ไว้ โดยเรียกมันว่า "เลขคณิตของข้อผิดพลาดทั้งสอง" หรือ "วิธีการวัด" นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียมักให้โจทย์ปัญหาเป็นข้อๆ ปัญหาโลตัส:

เหนือทะเลสาบอันเงียบสงบ อยู่เหนือน้ำครึ่งวัด มองเห็นสีของดอกบัวได้ เขาเติบโตมาโดยลำพัง และลมก็เหมือนคลื่นที่โน้มตัวเขาไปด้านข้าง และไม่อีกต่อไป

ดอกไม้เหนือน้ำ สายตาของชาวประมงพบเขาห่างจากสถานที่ที่เขาเติบโตขึ้นมาสองเมตร น้ำในทะเลสาบที่นี่ลึกแค่ไหน? ฉันจะถามคำถามคุณ

ประเภทของสมการ

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นคือสมการที่อยู่ในรูปแบบ: ax + b = 0 โดยที่ a และ b เป็นค่าคงที่บางค่า ถ้า a ไม่เท่ากับศูนย์ สมการจะมีรากเดียว: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.)

ตัวอย่างเช่น: แก้สมการเชิงเส้น: 4x + 12 = 0

วิธีแก้: เนื่องจาก a = 4 และ b = 12 ดังนั้น x = - 12: 4; x = - 3.

ตรวจสอบ: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0

เนื่องจาก 0 = 0 ดังนั้น -3 จึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม

คำตอบ. x = -3

ถ้า a เท่ากับศูนย์ และ b เท่ากับศูนย์ แล้วรากของสมการ ax + b = 0 จะเป็นตัวเลขใดๆ

ตัวอย่างเช่น:

0 = 0 เนื่องจาก 0 เท่ากับ 0 ดังนั้นรากของสมการ 0x + 0 = 0 จึงเป็นตัวเลขใดๆ

ถ้า a เท่ากับศูนย์ และ b ไม่เท่ากับศูนย์ สมการ ax + b = 0 จะไม่มีราก

ตัวอย่างเช่น:

0 = 6 เนื่องจาก 0 ไม่เท่ากับ 6 ดังนั้น 0x – 6 = 0 จึงไม่มีราก

ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้นคือระบบที่สมการทั้งหมดเป็นเส้นตรง

การแก้ปัญหาระบบหมายถึงการค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด

ก่อนที่จะแก้ระบบสมการเชิงเส้น คุณสามารถกำหนดจำนวนคำตอบของระบบได้

ให้ระบบสมการได้รับ: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2

ถ้า a1 หารด้วย a2 ไม่เท่ากับ b1 หารด้วย b2 ระบบก็จะมีคำตอบเดียว

ถ้า a1 หารด้วย a2 เท่ากับ b1 หารด้วย b2 แต่เท่ากับ c1 หารด้วย c2 ระบบก็จะไม่มีคำตอบ

ถ้า a1 หารด้วย a2 เท่ากับ b1 หารด้วย b2 และเท่ากับ c1 หารด้วย c2 แล้วระบบก็จะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

ระบบสมการที่มีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งข้อเรียกว่าพร้อมกัน

ระบบที่สอดคล้องกันเรียกว่าระบบที่แน่นอนหากมีจำนวนคำตอบที่จำกัด และไม่แน่นอนหากชุดของคำตอบของมันไม่มีที่สิ้นสุด

ระบบที่ไม่มีวิธีแก้ไขปัญหาเดียวเรียกว่าไม่สอดคล้องกันหรือขัดแย้งกัน

วิธีการแก้สมการเชิงเส้น

มีหลายวิธีในการแก้สมการเชิงเส้น:

1) วิธีการคัดเลือก นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด ประกอบด้วยการเลือกค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของค่าที่ไม่รู้จักโดยการแจงนับ

ตัวอย่างเช่น:

แก้สมการ

ให้ x = 1 จากนั้น

4 = 6 เนื่องจาก 4 ไม่เท่ากับ 6 ดังนั้นสมมติฐานของเราที่ว่า x = 1 จึงไม่ถูกต้อง

ให้ x = 2

6 = 6 เนื่องจาก 6 เท่ากับ 6 ดังนั้นสมมติฐานของเราที่ว่า x = 2 นั้นถูกต้อง

คำตอบ: x = 2

2) วิธีการทำให้เข้าใจง่าย

วิธีนี้ประกอบด้วยการโอนพจน์ทั้งหมดที่มีสิ่งไม่รู้ไปทางซ้าย และพจน์ที่รู้ไปทางขวาโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม นำพจน์ที่คล้ายกันมา แล้วหารทั้งสองข้างของสมการด้วยสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ

ตัวอย่างเช่น:

แก้สมการ

5x – 4 = 11 + 2x;

5x – 2x = 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

คำตอบ. x = 5.

3) วิธีกราฟิก

ประกอบด้วยการสร้างกราฟฟังก์ชันของสมการที่กำหนด เนื่องจากในสมการเชิงเส้น y = 0 กราฟจะขนานกับแกน y จุดตัดกันของกราฟกับแกน x จะเป็นคำตอบของสมการนี้

ตัวอย่างเช่น:

แก้สมการ

ให้ y = 7 จากนั้น y = 2x + 3

ลองพลอตฟังก์ชันของสมการทั้งสอง:

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 พวกเขาศึกษาสามวิธีในการแก้ระบบสมการ:

1) วิธีการทดแทน

วิธีนี้ประกอบด้วยการแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักในแง่ของอีกสมการหนึ่งในสมการ ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่น ซึ่งจากนั้นจะกลายเป็นสมการที่ไม่ทราบค่า จากนั้นจึงแก้ไข ค่าผลลัพธ์ของค่าที่ไม่ทราบนี้จะถูกแทนที่ลงในสมการใดๆ ของระบบดั้งเดิม และค่าของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สองจะถูกค้นพบ

ตัวอย่างเช่น.

แก้ระบบสมการ

5x - 2y - 2 = 1

3x + y = 4; y = 4 - 3x

ลองแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นสมการอื่น:

5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;

5x – 8 + 6x = 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

ลองแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการ 3x + y = 4

3 1 + ย = 4;

3 + ย = 4; ย = 4 – 3; ย = 1.

การตรวจสอบ.

/3 1 + 1 = 4,

\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;

คำตอบ: x = 1; ย = 1.

2) วิธีการบวก

วิธีนี้คือหากระบบที่กำหนดประกอบด้วยสมการที่เมื่อบวกทีละเทอม จะทำให้เกิดสมการโดยมีค่าที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง จากนั้นเมื่อแก้สมการนี้ เราจะได้ค่าของค่าที่ไม่ทราบค่าตัวใดตัวหนึ่ง ค่าผลลัพธ์ของค่าที่ไม่ทราบนี้จะถูกแทนที่ลงในสมการใดๆ ของระบบดั้งเดิม และค่าของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สองจะถูกค้นพบ

ตัวอย่างเช่น:

แก้ระบบสมการ

/3у – 2х = 5,

\5x – 3y = 4

ลองแก้สมการผลลัพธ์กัน

3x = 9; : (3) x = 3.

ลองแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการ 3y – 2x = 5

3у – 2 3 = 5;

3у = 11; : (3) y = 11/3; ย = 3 2/3

ดังนั้น x = 3; ย = 3 2/3

การตรวจสอบ.

/3 11/3 – 2 3 = 5,

\5 · 3 – 3 · 11/3 = 4;

คำตอบ. x = 3; ย = 3 2/3

3) วิธีกราฟิก

วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าสมการถูกพล็อตในระบบพิกัดเดียว หากกราฟของสมการตัดกัน พิกัดของจุดตัดกันจะเป็นคำตอบของระบบนี้ หากกราฟของสมการเป็นเส้นขนาน แสดงว่าระบบนี้ไม่มีคำตอบ ถ้ากราฟของสมการรวมกันเป็นเส้นตรงเส้นเดียว ระบบก็จะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่น.

แก้ระบบสมการ

18x + 3y - 1 = 8

2x - ย = 5; 18x + 3y - 1 = 8;

วาย = 5 - 2x; 3y = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x

มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2x - 5 และ y = 3 - 6x บนระบบพิกัดเดียวกันกันดีกว่า

กราฟของฟังก์ชัน y = 2x - 5 และ y = 3 - 6x ตัดกันที่จุด A (1; -3)

ดังนั้นการแก้ระบบสมการนี้จะเป็น x = 1 และ y = -3

การตรวจสอบ.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

คำตอบ. x = 1; ย = -3.

บทสรุป

จากที่กล่าวมาทั้งหมด เราสามารถสรุปได้ว่าสมการมีความจำเป็นในโลกสมัยใหม่ ไม่เพียงแต่สำหรับการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติเท่านั้น แต่ยังเป็นเครื่องมือทางวิทยาศาสตร์ด้วย นั่นคือสาเหตุที่นักวิทยาศาสตร์จำนวนมากได้ศึกษาประเด็นนี้และศึกษาต่อไป

52. ตัวอย่างสมการที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น.
ตัวอย่างที่ 1

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

ตัวส่วนร่วมคือ x 2 – 1 เนื่องจาก x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1) ลองคูณทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย x 2 – 1 เราจะได้:

หรือหลังจากลดแล้ว

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 และ x = 3½

ลองพิจารณาสมการอื่น:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

การแก้ปัญหาข้างต้นเราได้รับ:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 หรือ 2x = 2 และ x = 1

ลองดูว่าความเท่าเทียมกันของเราถูกต้องหรือไม่หากเราแทนที่ x ในแต่ละสมการที่พิจารณาด้วยตัวเลขที่พบ

สำหรับตัวอย่างแรกที่เราได้รับ:

เราเห็นว่าไม่มีที่ว่างให้สงสัย: เราพบตัวเลขสำหรับ x ซึ่งทำให้ความเท่าเทียมกันที่ต้องการนั้นถูกต้อง

สำหรับตัวอย่างที่สองเราได้รับ:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) หรือ 5/0 – 3/2 = 15/0

มีข้อสงสัยเกิดขึ้น: เราต้องเผชิญกับการหารด้วยศูนย์ซึ่งเป็นไปไม่ได้ หากในอนาคตเราสามารถให้ค่าที่แน่นอนแก่การหารนี้ได้ แม้ว่าทางอ้อม เราก็ตกลงกันว่าคำตอบที่ค้นพบ x – 1 เป็นไปตามสมการของเรา ถึงตอนนั้นเราต้องยอมรับว่าสมการของเราไม่มีคำตอบที่มีความหมายโดยตรง

กรณีดังกล่าวอาจเกิดขึ้นเมื่อค่าที่ไม่ทราบรวมอยู่ในตัวส่วนของเศษส่วนที่มีอยู่ในสมการ และเมื่อพบคำตอบแล้ว ตัวส่วนบางส่วนจะเปลี่ยนเป็นศูนย์

ตัวอย่างที่ 2

คุณจะเห็นได้ทันทีว่าสมการนี้มีรูปแบบของสัดส่วน โดยอัตราส่วนของตัวเลข x + 3 ต่อตัวเลข x – 1 เท่ากับอัตราส่วนของตัวเลข 2x + 3 ต่อตัวเลข 2x – 2 ให้ใครซักคนเข้ามา เมื่อพิจารณาถึงสถานการณ์นี้ ตัดสินใจใช้ที่นี่เพื่อปลดปล่อยสมการจากเศษส่วน ซึ่งเป็นคุณสมบัติหลักของสัดส่วน (ผลคูณของเทอมสุดขั้วเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง) จากนั้นเขาจะได้รับ:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3

ในที่นี้ ความกลัวว่าเราจะไม่รับมือกับสมการนี้อาจเกิดจากการที่สมการรวมพจน์ที่มี x 2 ไว้ด้วย อย่างไรก็ตาม เราสามารถลบ 2x 2 จากทั้งสองข้างของสมการได้ ซึ่งจะไม่ทำให้สมการเสียหาย จากนั้นพจน์ที่มี x 2 จะถูกทำลายและเราได้รับ:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

ลองย้ายคำศัพท์ที่ไม่รู้จักไปทางซ้ายและคำศัพท์ที่รู้จักไปทางขวา - เราได้:

3x = 3 หรือ x = 1

จำสมการนี้ได้

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

เราจะสังเกตได้ทันทีว่าค่าที่ค้นพบของ x (x = 1) ทำให้ตัวส่วนของแต่ละเศษส่วนหายไป เราต้องละทิ้งวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจนกว่าเราจะพิจารณาคำถามเรื่องการหารด้วยศูนย์

หากเราสังเกตด้วยว่าการใช้คุณสมบัติของสัดส่วนทำให้สสารซับซ้อน และสมการที่ง่ายกว่านั้นสามารถหาได้โดยการคูณทั้งสองด้านของค่าที่กำหนดด้วยตัวส่วนร่วม กล่าวคือ 2(x – 1) - สุดท้ายแล้ว 2x – 2 = 2 (x – 1) แล้วเราจะได้:

2(x + 3) = 2x – 3 หรือ 2x + 6 = 2x – 3 หรือ 6 = –3,

ซึ่งเป็นไปไม่ได้

สถานการณ์นี้บ่งชี้ว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบใดๆ ที่มีความหมายโดยตรงซึ่งจะไม่ทำให้ตัวส่วนของสมการนี้เป็นศูนย์
ให้เราแก้สมการตอนนี้:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

ลองคูณทั้งสองข้างของสมการ 2(x – 1) กัน นั่นคือด้วยตัวส่วนร่วม เราจะได้:

6x + 10 = 2x + 18

ผลเฉลยที่พบไม่ได้ทำให้ตัวส่วนหายไปและมีความหมายโดยตรง:

หรือ 11 = 11

หากใครบางคนแทนที่จะคูณทั้งสองส่วนด้วย 2(x – 1) แทนการใช้คุณสมบัติของสัดส่วน เขาจะได้:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) หรือ
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18

เงื่อนไขที่มี x 2 จะไม่ถูกทำลาย ย้ายเทอมที่ไม่รู้จักทั้งหมดไปทางซ้าย และเทอมที่รู้จักไปทางขวา เราก็จะได้

4x 2 – 12x = –8

x 2 – 3x = –2

ตอนนี้เราจะแก้สมการนี้ไม่ได้ ในอนาคต เราจะเรียนรู้วิธีแก้สมการดังกล่าวและหาคำตอบได้ 2 แบบ: 1) คุณสามารถหา x = 2 และ 2) คุณสามารถหา x = 1 ได้ ง่ายต่อการตรวจสอบทั้งสองวิธีแก้ปัญหา:

1) 2 2 – 3 2 = –2 และ 2) 1 2 – 3 1 = –2

ถ้าเราจำสมการตั้งต้นได้

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2)

จากนั้นเราจะเห็นว่าตอนนี้เราได้คำตอบทั้งสองแล้ว: 1) x = 2 คือคำตอบที่มีความหมายโดยตรงและไม่เปลี่ยนตัวส่วนให้เป็นศูนย์ 2) x = 1 คือคำตอบที่เปลี่ยนตัวส่วนให้เป็นศูนย์และ ไม่มีความหมายโดยตรง

ตัวอย่างที่ 3

มาหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนที่อยู่ในสมการนี้โดยการแยกตัวประกอบแต่ละตัว:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2)

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1)

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1)

ตัวส่วนร่วมคือ (x – 3)(x – 2)(x + 1)

ลองคูณทั้งสองข้างของสมการนี้กัน (และตอนนี้เราสามารถเขียนมันใหม่ได้เป็น:

โดยตัวส่วนร่วม (x – 3) (x – 2) (x + 1) จากนั้นหลังจากลดแต่ละเศษส่วนแล้วเราจะได้:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) หรือ
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4

จากที่นี่เราได้รับ:

–x = –13 และ x = 13

ผลเฉลยนี้มีความหมายโดยตรง: มันไม่ได้ทำให้ตัวส่วนหายไป

หากเราใช้สมการ:

จากนั้นทำแบบเดียวกับข้างบน เราก็จะได้

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

คุณจะได้มันมาจากไหน?

ซึ่งเป็นไปไม่ได้ สถานการณ์นี้แสดงให้เห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะหาคำตอบสำหรับสมการสุดท้ายที่มีความหมายโดยตรง

ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์สมการเชิงเส้นทั้งชุดที่แก้โดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด

ก่อนอื่น เรามานิยามกันดีกว่า: สมการเชิงเส้นคืออะไร และอันไหนเรียกว่าง่ายที่สุด?

สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ที่ระดับแรกเท่านั้น

สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:

สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดขนาดให้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:

1. ขยายวงเล็บ ถ้ามี
2. ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายเทอมที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
3. ระบุเงื่อนไขที่คล้ายกันทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
4. หารสมการผลลัพธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$

แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือบางครั้งหลังจากการใช้เครื่องจักรทั้งหมดนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$ จะเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:

1. สมการนี้ไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อผลลัพธ์เช่น $0\cdot x=8$ ปรากฏออกมา นั่นคือ ทางซ้ายเป็นศูนย์ และทางขวาเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะดูสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
2. ผลเฉลยคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการลดลงเหลือโครงสร้าง $0\cdot x=0$ มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไรก็ตาม มันก็ยังกลายเป็น "ศูนย์เท่ากับศูนย์" เช่น ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ตอนนี้เรามาดูกันว่าทั้งหมดนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างในชีวิตจริง

ตัวอย่างการแก้สมการ

วันนี้เรากำลังพูดถึงสมการเชิงเส้น และเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้น และจะไปที่ระดับแรกเท่านั้น

โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยประมาณ:

1. ก่อนอื่น คุณต้องขยายวงเล็บ (ถ้ามี) (ดังตัวอย่างที่แล้ว)
2. จากนั้นจึงผสมให้เข้ากัน
3. สุดท้าย ให้แยกตัวแปรออก เช่น ย้ายทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร—เงื่อนไขที่มีตัวแปร—ไปด้านหนึ่ง และย้ายทุกสิ่งที่เหลือโดยไม่มีตัวแปรไปยังอีกด้านหนึ่ง

ตามกฎแล้วคุณจะต้องนำสิ่งที่คล้ายกันมาในแต่ละด้านของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและหลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x" แล้วเราจะได้คำตอบสุดท้าย

ตามทฤษฎี สิ่งนี้ดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถสร้างข้อผิดพลาดที่ไม่เหมาะสมในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยทั่วไปแล้วข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บหรือเมื่อคำนวณ "บวก" และ "ลบ"

นอกจากนั้น ยังเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือคำตอบคือเส้นจำนวนทั้งหมด กล่าวคือ หมายเลขใดก็ได้ เราจะดูรายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนของวันนี้ แต่เราจะเริ่มต้นด้วยงานที่ง่ายที่สุดตามที่คุณเข้าใจแล้ว

โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ก่อนอื่น ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดอีกครั้ง:

1. ขยายวงเล็บออก ถ้ามี
2. เราแยกตัวแปรต่างๆ เช่น เราย้ายทุกอย่างที่มี "X's" ไปด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่ไม่มี "X's" ไปอีกด้านหนึ่ง
3. เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
4. เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x"

แน่นอนว่าโครงการนี้ไม่ได้ผลเสมอไปมีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นบางอย่างอยู่และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ภารกิจที่ 1

ขั้นตอนแรกต้องการให้เราเปิดวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ เราจึงข้ามขั้นตอนนี้ไป ในขั้นตอนที่ 2 เราต้องแยกตัวแปรต่างๆ ออก โปรดทราบ: เรากำลังพูดถึงเฉพาะข้อกำหนดส่วนบุคคลเท่านั้น ลองเขียนมันลงไป:

เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันทางซ้ายและขวา แต่ได้ดำเนินการไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยสัมประสิทธิ์:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ

ภารกิจที่ 2

เราเห็นวงเล็บในปัญหานี้ ดังนั้นมาขยายกันดีกว่า:

ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเราเห็นการออกแบบเดียวกันโดยประมาณ แต่ให้ดำเนินการตามอัลกอริทึมนั่นคือ การแยกตัวแปร:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

งานนี้มีรากฐานมาจากอะไร? คำตอบ: สำหรับใด ๆ ดังนั้นเราจึงเขียนได้ว่า $x$ เป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้

ภารกิจที่ 3

สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่า:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

มีวงเล็บหลายอันที่นี่ แต่ไม่ได้คูณด้วยอะไรเลย แต่นำหน้าด้วยเครื่องหมายต่างกัน มาทำลายพวกเขากัน:

เราทำขั้นตอนที่สองที่เราทราบอยู่แล้ว:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

มาทำคณิตศาสตร์กันเถอะ:

เราดำเนินการขั้นตอนสุดท้าย - หารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

หากเราเพิกเฉยต่องานง่าย ๆ เกินไป ฉันอยากจะพูดดังต่อไปนี้:

• อย่างที่ผมบอกไปแล้ว ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหา บางครั้งมันก็ไม่มีรากเลย
• แม้ว่าจะมีราก แต่ก็อาจมีศูนย์อยู่ด้วย - ไม่มีอะไรผิดปกติ

ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวกันกับตัวเลขอื่นๆ คุณไม่ควรเลือกปฏิบัติไม่ว่าในทางใดทางหนึ่งหรือคิดว่าถ้าคุณได้ศูนย์ แสดงว่าคุณทำอะไรผิด

คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปิดวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้า เราจะลบออก แต่ในวงเล็บเราเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม. จากนั้นเราสามารถเปิดมันได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน: เราจะได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณด้านบน

การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่โง่เขลาและเป็นอันตรายในโรงเรียนมัธยมปลาย เมื่อการกระทำเช่นนั้นถูกมองข้ามไป

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

เรามาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า ตอนนี้การก่อสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและเมื่อทำการแปลงต่าง ๆ ฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้น อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรกลัวสิ่งนี้ เพราะถ้าตามแผนของผู้เขียน เรากำลังแก้สมการเชิงเส้น ในระหว่างกระบวนการแปลง monomials ทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะถูกยกเลิกอย่างแน่นอน

ตัวอย่างหมายเลข 1

แน่นอนว่าขั้นตอนแรกคือการเปิดวงเล็บออก เรามาทำสิ่งนี้อย่างระมัดระวัง:

มาดูความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นเราจะเขียนสิ่งนี้ไว้ในคำตอบ:

\[\varไม่มีอะไร\]

หรือไม่มีราก

ตัวอย่างหมายเลข 2

เราทำการกระทำแบบเดียวกัน ขั้นแรก:

มาย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มีตัวแปรไปทางขวา:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

แน่นอนว่าสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นเราจะเขียนมันแบบนี้:

\[\var ไม่มีอะไร\],

หรือไม่มีราก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

สมการทั้งสองได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ จากการใช้สองนิพจน์นี้เป็นตัวอย่าง เรามั่นใจอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกอย่างอาจไม่ง่ายนัก อาจมีรากเดียวหรือไม่มีก็ได้ หรือหลายรากอย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ ซึ่งทั้งสองสมการไม่มีรากเลย

แต่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปยังข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: วิธีทำงานกับวงเล็บและวิธีเปิดหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณานิพจน์นี้:

ก่อนที่จะเปิด คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "X" โปรดทราบ: ทวีคูณ แต่ละเทอม. ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ, สองเทอมและคูณ

และหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ดูเหมือนขั้นพื้นฐาน แต่สำคัญมากและเป็นอันตรายเสร็จสิ้นแล้ว คุณสามารถเปิดวงเล็บได้จากมุมมองของข้อเท็จจริงที่ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หลังจากนั้น ใช่ ใช่: ตอนนี้เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกสิ่งด้านล่างเพียงเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะเดียวกันวงเล็บก็หายไปและที่สำคัญที่สุดคือ "ลบ" ด้านหน้าก็หายไปเช่นกัน

เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันจะให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เนื่องจากการแก้สมการนั้นเป็นลำดับของการแปลงเบื้องต้นเสมอ โดยที่การไม่สามารถดำเนินการง่ายๆ ได้อย่างชัดเจนและมีความสามารถนำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนมัธยมปลายมาหาฉันและเรียนรู้ที่จะแก้สมการง่ายๆ ดังกล่าวอีกครั้ง

แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึงเมื่อคุณจะต้องฝึกฝนทักษะเหล่านี้จนเป็นไปโดยอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงมากมายในแต่ละครั้งอีกต่อไป คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณเพิ่งเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขตอนนี้แทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม

ภารกิจที่ 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

คูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:

มาทำความเป็นส่วนตัวกันเถอะ:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

มาทำขั้นตอนสุดท้ายให้เสร็จ:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าในกระบวนการแก้เรามีสัมประสิทธิ์กับฟังก์ชันกำลังสอง พวกมันก็หักล้างกัน ซึ่งทำให้สมการเป็นเส้นตรงและไม่ใช่กำลังสอง

ภารกิจที่ 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

มาทำขั้นตอนแรกกันอย่างระมัดระวัง: คูณแต่ละองค์ประกอบจากวงเล็บแรกด้วยแต่ละองค์ประกอบจากวินาที ควรมีคำศัพท์ใหม่ทั้งหมดสี่คำหลังการเปลี่ยนแปลง:

ตอนนี้เรามาทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:

ย้ายเงื่อนไขที่มี "X" ไปทางซ้ายและเงื่อนไขที่ไม่มี - ไปทางขวา:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

เราได้รับคำตอบสุดท้ายอีกครั้ง

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

หมายเหตุที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้มีดังต่อไปนี้: ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บที่มีมากกว่าหนึ่งเทอม ก็จะเสร็จสิ้นตามกฎต่อไปนี้: เราใช้เทอมแรกจากเทอมแรกและคูณด้วยแต่ละองค์ประกอบจาก ที่สอง; จากนั้นเราก็นำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกและคูณกับแต่ละองค์ประกอบจากวินาทีในทำนองเดียวกัน ผลก็คือเราจะมีเทอมสี่เทอม

เกี่ยวกับผลรวมพีชคณิต

จากตัวอย่างสุดท้ายนี้ ฉันอยากจะเตือนนักเรียนว่าผลรวมพีชคณิตคืออะไร ในคณิตศาสตร์คลาสสิก 1-7$ เราหมายถึงโครงสร้างง่ายๆ คือ ลบ 7 จาก 1 ในพีชคณิตเราหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: ไปที่ตัวเลข "หนึ่ง" เราจะบวกอีกจำนวนหนึ่งคือ "ลบเจ็ด" นี่คือสาเหตุที่ผลรวมพีชคณิตแตกต่างจากผลรวมเลขคณิตทั่วไป

ทันทีที่เมื่อทำการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาใดๆ ในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ

สุดท้ายนี้ เรามาดูตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะต้องขยายอัลกอริธึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราจะต้องเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอนให้กับอัลกอริทึมของเรา แต่ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณเกี่ยวกับอัลกอริทึมของเรา:

1. เปิดวงเล็บ
2. แยกตัวแปร
3. เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
4. หารด้วยอัตราส่วน.

อนิจจา อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ แม้จะมีประสิทธิภาพทั้งหมด กลับกลายเป็นว่าไม่เหมาะสมเลยเมื่อเรามีเศษส่วนอยู่ตรงหน้า และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างนี้ เรามีเศษส่วนทั้งทางซ้ายและขวาในสมการทั้งสอง

วิธีการทำงานในกรณีนี้? ใช่ มันง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้คุณต้องเพิ่มขั้นตอนอีกขั้นตอนหนึ่งให้กับอัลกอริทึมซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนและหลังการดำเนินการครั้งแรก ได้แก่ การกำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:

1. กำจัดเศษส่วน.
2. เปิดวงเล็บ
3. แยกตัวแปร
4. เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
5. หารด้วยอัตราส่วน.

“การกำจัดเศษส่วน” หมายความว่าอย่างไร? และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งหลังและก่อนขั้นตอนมาตรฐานแรก? ที่จริงแล้ว ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวส่วนเป็นตัวเลข เช่น ทุกที่ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข. ดังนั้น ถ้าเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนนี้ เราก็จะกำจัดเศษส่วนออกไป

ตัวอย่างหมายเลข 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

กำจัดเศษส่วนในสมการนี้:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

โปรดทราบ: ทุกอย่างคูณด้วย "สี่" หนึ่งครั้ง เช่น เพียงเพราะคุณมีวงเล็บสองวงเล็บไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณแต่ละวงเล็บด้วย "สี่" มาเขียนกัน:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ตอนนี้เรามาขยาย:

เราแยกตัวแปร:

เราดำเนินการลดข้อกำหนดที่คล้ายกัน:

\[-4x=-1\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

เราได้รับคำตอบสุดท้ายแล้ว มาดูสมการที่สองกันดีกว่า

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ที่นี่เราทำการกระทำเดียวกันทั้งหมด:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณในวันนี้

ประเด็นสำคัญ

ข้อค้นพบที่สำคัญคือ:

• รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
• ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
• อย่ากังวลหากคุณมีฟังก์ชันกำลังสองอยู่ที่ไหนสักแห่ง ส่วนใหญ่แล้ว ฟังก์ชันเหล่านี้จะลดลงในกระบวนการแปลงต่อไป
• สมการเชิงเส้นมีรากอยู่สามประเภท แม้แต่รากที่ง่ายที่สุด: รากเดียว เส้นจำนวนทั้งหมดคือราก และไม่มีรากเลย

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญหัวข้อที่เรียบง่าย แต่สำคัญมากสำหรับการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดเพิ่มเติม หากมีบางอย่างไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์และแก้ไขตัวอย่างที่นำเสนอที่นั่น คอยติดตามสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!