>

Właściwości regularnej piramidy czworokątnej. Podstawy geometrii: prawidłowa piramida to

Wstęp

Kiedy zaczęliśmy badać figury stereometryczne, poruszyliśmy temat „Piramida”. Spodobał nam się ten motyw, ponieważ piramida jest bardzo często wykorzystywana w architekturze. A ponieważ nasz przyszły zawód architekta inspirowany jest tą postacią, uważamy, że będzie ona w stanie popchnąć nas do świetnych projektów.

Siła obiektów architektonicznych, ich najważniejsza jakość. Wiążąc wytrzymałość, po pierwsze, z materiałami, z których są wykonane, a po drugie, z cechami rozwiązań konstrukcyjnych, okazuje się, że wytrzymałość konstrukcji jest bezpośrednio powiązana z podstawowym dla niej kształtem geometrycznym.

Innymi słowy, mówimy o figurze geometrycznej, którą można uznać za model odpowiedniej formy architektonicznej. Okazuje się, że kształt geometryczny decyduje także o wytrzymałości konstrukcji architektonicznej.

Piramidy egipskie od dawna uważane są za najtrwalszą konstrukcję architektoniczną. Jak wiadomo, mają kształt regularnych czworokątnych piramid.

To właśnie ten geometryczny kształt zapewnia największą stabilność dzięki dużej powierzchni podstawy. Z drugiej strony kształt piramidy zapewnia, że ​​masa maleje wraz ze wzrostem wysokości nad poziomem gruntu. To właśnie te dwie właściwości sprawiają, że piramida jest stabilna, a co za tym idzie wytrzymała w warunkach grawitacji.

Cel projektu: dowiedz się czegoś nowego o piramidach, pogłębij wiedzę i znajdź praktyczne zastosowania.

Aby osiągnąć ten cel, należało rozwiązać następujące zadania:

Poznaj informacje historyczne na temat piramidy

Rozważ piramidę jako figurę geometryczną

Znajdź zastosowanie w życiu i architekturze

Znajdź podobieństwa i różnice pomiędzy piramidami znajdującymi się w różnych częściach świata


Część teoretyczna

Informacje historyczne

Początek geometrii piramidy powstał w starożytnym Egipcie i Babilonie, ale był aktywnie rozwijany w starożytnej Grecji. Pierwszym, który ustalił objętość piramidy, był Demokryt, a udowodnił to Eudoksos z Knidos. Starożytny grecki matematyk Euklides usystematyzował wiedzę o piramidzie w XII tomie swoich „Początków”, a także przedstawił pierwszą definicję piramidy: figura cielesna ograniczona płaszczyznami zbiegającymi się z jednej płaszczyzny w jednym punkcie.

Groby egipskich faraonów. Największa z nich - piramidy Cheopsa, Chefre'a i Mikerina w El Gizie w czasach starożytnych uważana była za jeden z Siedmiu Cudów Świata. Wzniesienie piramidy, w której Grecy i Rzymianie widzieli już pomnik bezprecedensowej pychy królów i okrucieństwa, które skazywało cały lud Egiptu na bezsensowną budowę, było najważniejszym aktem kultowym i miało wyrażać najwyraźniej: mistyczna tożsamość kraju i jego władcy. Przy budowie grobowca w części roku wolnej od prac rolniczych pracowała ludność kraju. Szereg tekstów świadczy o uwadze i trosce, jaką sami królowie (choć później) poświęcili budowie swojego grobowca i jego budowniczym. Wiadomo również o specjalnych zaszczytach kultowych, które okazały się samą piramidą.


Podstawowe koncepcje

Piramida Nazywa się wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a pozostałe ściany to trójkąty mające wspólny wierzchołek.

Apotem- wysokość boku regularnej piramidy, narysowana od jej wierzchołka;



Boczne twarze- trójkąty zbiegające się u góry;

Boczne żebra- wspólne strony ścian bocznych;

szczyt piramidy- punkt łączący krawędzie boczne i nie leżący w płaszczyźnie podstawy;

Wysokość- odcinek prostopadłej poprowadzony przez wierzchołek piramidy do płaszczyzny jej podstawy (końce tego odcinka to wierzchołek ostrosłupa i podstawa prostopadłej);

Przekątna przekrój piramidy- przekrój piramidy przechodzący przez górę i przekątną podstawy;

Baza- wielokąt nie należący do szczytu piramidy.

Główne właściwości prawidłowej piramidy

Krawędzie boczne, ściany boczne i apotemy są odpowiednio równe.

Kąty dwuścienne u podstawy są równe.

Kąty dwuścienne przy krawędziach bocznych są równe.

Każdy punkt wysokości jest w jednakowej odległości od wszystkich wierzchołków podstawy.

Każdy punkt wysokości jest w jednakowej odległości od wszystkich ścian bocznych.


Podstawowe formuły piramidalne

Powierzchnia bocznej i pełnej powierzchni piramidy.

Pole powierzchni bocznej piramidy (pełnej i ściętej) to suma pól wszystkich jej ścian bocznych, całkowita powierzchnia to suma pól wszystkich jej ścian.

Twierdzenie: Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothemu piramidy.

P- obwód podstawy;

H- apotem.

Obszar powierzchni bocznych i pełnych ściętej piramidy.

p1, P 2 - obwody podstawy;

H- apotem.

R- całkowita powierzchnia regularnej ściętej piramidy;

Strona S- obszar powierzchni bocznej regularnej ściętej piramidy;

S1 + S2- powierzchnia podstawy

Objętość piramidy

Formularz Skala objętości jest używana w przypadku piramid dowolnego rodzaju.

H jest wysokością piramidy.


Kąty piramidy

Kąty utworzone przez ścianę boczną i podstawę piramidy nazywane są kątami dwuściennymi u podstawy piramidy.

Kąt dwuścienny jest utworzony przez dwie prostopadłe.

Aby wyznaczyć ten kąt, często trzeba skorzystać z twierdzenia o trzech prostopadłych.

Nazywa się kąty utworzone przez krawędź boczną i jej rzut na płaszczyznę podstawy kąty pomiędzy krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.

Nazywa się kąt utworzony przez dwie ściany boczne kąt dwuścienny na bocznej krawędzi piramidy.

Nazywa się kąt utworzony przez dwie boczne krawędzie jednej ściany piramidy róg na szczycie piramidy.


Sekcje piramidy

Powierzchnia piramidy jest powierzchnią wielościanu. Każda z jej ścian jest płaszczyzną, więc przekrój piramidy wyznaczony przez sieczną płaszczyznę jest linią łamaną składającą się z oddzielnych linii prostych.

Przekrój ukośny

Nazywa się przekrój piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie leżą na tej samej ścianie przekrój diagonalny piramidy.

Sekcje równoległe

Twierdzenie:

Jeżeli piramidę przecina płaszczyzna równoległa do podstawy, wówczas boczne krawędzie i wysokości piramidy są dzielone przez tę płaszczyznę na proporcjonalne części;

Przekrój tej płaszczyzny jest wielokątem podobnym do podstawy;

Pola przekroju i podstawy odnoszą się do siebie jako kwadraty ich odległości od góry.

Rodzaje piramid

Poprawna piramida- piramida, której podstawa jest foremnym wielokątem, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy.

Przy właściwej piramidzie:

1. żebra boczne są równe

2. ściany boczne są równe

3. Apotemy są równe

4. Kąty dwuścienne u podstawy są równe

5. Kąty dwuścienne przy krawędziach bocznych są równe

6. każdy punkt wysokości jest w jednakowej odległości od wszystkich wierzchołków podstawy

7. każdy punkt wysokości jest w jednakowej odległości od wszystkich ścian bocznych

Ścięta piramida- część piramidy zawarta pomiędzy jej podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy.

Nazywa się podstawę i odpowiadającą jej część ściętej piramidy podstawy ściętej piramidy.

Nazywa się prostopadłą poprowadzoną z dowolnego punktu jednej podstawy do płaszczyzny drugiej wysokość ściętej piramidy.


Zadania

nr 1. W regularnej czworokątnej piramidzie punkt O jest środkiem podstawy, SO=8 cm, BD=30 cm Znajdź krawędź boczną SA.


Rozwiązywanie problemów

nr 1. W regularnej piramidzie wszystkie ściany i krawędzie są równe.

Rozważmy OSB: prostokąt prostokątny OSB, ponieważ.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida w architekturze

Piramida - monumentalna budowla w formie zwykłej regularnej piramidy geometrycznej, w której boki zbiegają się w jednym punkcie. Ze względu na cel funkcjonalny piramidy w starożytności były miejscem pochówku lub kultu. Podstawa piramidy może być trójkątna, czworokątna lub wielokątna z dowolną liczbą wierzchołków, ale najpopularniejszą wersją jest podstawa czworokątna.

Znana jest znaczna liczba piramid budowanych przez różne kultury starożytnego świata, głównie jako świątynie lub pomniki. Największe piramidy to piramidy egipskie.

Na całej Ziemi można zobaczyć konstrukcje architektoniczne w formie piramid. Budynki piramid przypominają czasy starożytne i wyglądają bardzo pięknie.

Piramidy egipskie to największe zabytki architektury starożytnego Egiptu, wśród których jednym z „siedmiu cudów świata” jest piramida Cheopsa. Od podnóża do szczytu sięga 137,3 m, a zanim stracił szczyt, jego wysokość wynosiła 146,7 m.

Budynek rozgłośni radiowej w stolicy Słowacji, przypominający odwróconą piramidę, został wybudowany w 1983 roku. Oprócz biur i lokali usługowych, wewnątrz bryły znajduje się dość obszerna sala koncertowa, w której znajdują się jedne z największych organów na Słowacji .

Luwr, który „jest cichy i majestatyczny jak piramida”, na przestrzeni wieków przeszedł wiele zmian, zanim stał się największym muzeum na świecie. Narodziło się jako twierdza wzniesiona przez Filipa Augusta w 1190 roku, która wkrótce przekształciła się w rezydencję królewską. W 1793 roku pałac stał się muzeum. Zbiory wzbogacane są poprzez zapisy lub zakupy.

Studenci spotykają się z koncepcją piramidy na długo przed studiowaniem geometrii. Wiń słynne wielkie egipskie cuda świata. Dlatego rozpoczynając naukę tego cudownego wielościanu, większość uczniów już wyraźnie to sobie wyobraża. Wszystkie powyższe zabytki są w prawidłowym stanie. Co się stało prawa piramida i jakie ma właściwości, co zostanie omówione dalej.

W kontakcie z

Definicja

Istnieje wiele definicji piramidy. Od czasów starożytnych cieszył się dużą popularnością.

Na przykład Euklides zdefiniował ją jako bryłę złożoną z płaszczyzn, które począwszy od jednej zbiegają się w pewnym punkcie.

Heron przedstawił bardziej precyzyjne sformułowanie. Upierał się, że chodzi o tę liczbę ma podstawę i płaszczyzny w kształcie trójkątów, zbiegające się w jednym punkcie.

W oparciu o współczesną interpretację piramida jest przedstawiana jako wielościan przestrzenny, składający się z pewnych k-gonów i k płaskich figur trójkątnych, mających jeden wspólny punkt.

Przyjrzyjmy się bliżej, Z jakich elementów się składa?

  • k-gon jest uważany za podstawę figury;
  • Trójkątne figury wystają jako boki części bocznej;
  • górna część, z której pochodzą elementy boczne, nazywana jest górną;
  • wszystkie odcinki łączące wierzchołek nazywane są krawędziami;
  • jeśli linia prosta zostanie obniżona od góry do płaszczyzny figury pod kątem 90 stopni, wówczas jej część zamknięta w przestrzeni wewnętrznej jest wysokością piramidy;
  • w dowolnym elemencie bocznym naszego wielościanu możesz narysować prostopadłą, zwaną apotemem.

Liczbę krawędzi oblicza się ze wzoru 2*k, gdzie k jest liczbą boków k-kąta. Ile ścian ma wielościan podobny do piramidy, można określić za pomocą wyrażenia k + 1.

Ważny! Piramida poprawna forma nazywana figurą stereometryczną, której płaszczyzną bazową jest k-gon o równych bokach.

Podstawowe właściwości

Poprawna piramida ma wiele właściwości które są dla niej wyjątkowe. Wymieńmy je:

  1. Podstawą jest figura o właściwej formie.
  2. Krawędzie piramidy ograniczające elementy boczne mają równe wartości liczbowe.
  3. Elementy boczne to trójkąty równoramienne.
  4. Podstawa wysokości figury wpada w środek wielokąta, będąc jednocześnie centralnym punktem wpisanego i opisanego.
  5. Wszystkie żebra boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.
  6. Wszystkie powierzchnie boczne mają ten sam kąt nachylenia względem podstawy.

Dzięki wszystkim wymienionym właściwościom wykonywanie obliczeń elementów jest znacznie uproszczone. W oparciu o powyższe właściwości zwracamy uwagę dwa znaki:

  1. W przypadku, gdy wielokąt wpasowuje się w okrąg, ściany boczne będą miały równe kąty z podstawą.
  2. Opisując okrąg wokół wielokąta, wszystkie krawędzie piramidy wychodzące z wierzchołka będą miały tę samą długość i równe kąty z podstawą.

Kwadrat opiera się

Regularna czworokątna piramida - wielościan oparty na kwadracie.

Ma cztery ściany boczne, które wyglądają jak równoramienne.

Na płaszczyźnie przedstawiono kwadrat, ale opierają się one na wszystkich właściwościach zwykłego czworoboku.

Na przykład, jeśli konieczne jest połączenie boku kwadratu z jego przekątną, wówczas stosuje się następujący wzór: przekątna jest równa iloczynowi boku kwadratu i pierwiastka kwadratowego z dwóch.

Oparty na regularnym trójkącie

Regularna piramida trójkątna to wielościan, którego podstawa jest foremnym trójkątem.

Jeśli podstawa jest regularnym trójkątem, a krawędzie boczne są równe krawędziom podstawy, to taka figura zwany czworościanem.

Wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi. W takim przypadku musisz znać niektóre punkty i nie tracić na nie czasu przy obliczaniu:

  • kąt nachylenia żeber do dowolnej podstawy wynosi 60 stopni;
  • wartość wszystkich ścian wewnętrznych wynosi również 60 stopni;
  • każda twarz może działać jako podstawa;
  • narysowane wewnątrz figury to równe elementy.

Przekroje wielościanu

W każdym wielościanie są kilka typów sekcji samolot. Często na szkolnym kursie geometrii pracują z dwoma:

  • osiowy;
  • podstawa równoległa.

Przekrój osiowy uzyskuje się poprzez przecięcie wielościanu z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek, krawędzie boczne i oś. W tym przypadku osią jest wysokość narysowana od wierzchołka. Płaszczyzna cięcia jest ograniczona liniami przecięcia ze wszystkimi ścianami, co daje trójkąt.

Uwaga! W regularnej piramidzie przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym.

Jeśli płaszczyzna cięcia przebiega równolegle do podstawy, wówczas wynikiem jest druga opcja. W tym przypadku mamy w kontekście figurę podobną do podstawy.

Na przykład, jeśli podstawa jest kwadratem, to przekrój równoległy do ​​podstawy również będzie kwadratem, tylko o mniejszym rozmiarze.

Przy rozwiązywaniu problemów w tym stanie stosuje się znaki i właściwości podobieństwa figur, w oparciu o twierdzenie Talesa. Przede wszystkim należy określić współczynnik podobieństwa.

Jeżeli płaszczyznę poprowadzimy równolegle do podstawy i odetniemy górną część wielościanu, wówczas w dolnej części otrzymamy regularną ściętą piramidę. Mówi się wtedy, że podstawy ściętego wielościanu są wielokątami podobnymi. W tym przypadku ściany boczne są trapezami równoramiennymi. Przekrój osiowy jest również równoramienny.

Aby określić wysokość ściętego wielościanu, należy narysować wysokość w przekroju osiowym, czyli w trapezie.

Powierzchnie

Główne problemy geometryczne, które należy rozwiązać na szkolnym kursie geometrii, to znalezienie pola powierzchni i objętości piramidy.

Istnieją dwa rodzaje powierzchni:

  • obszar elementów bocznych;
  • całą powierzchnię.

Już z tytułu wiadomo o co chodzi. Powierzchnia boczna obejmuje tylko elementy boczne. Z tego wynika, że ​​aby go znaleźć, wystarczy dodać pola płaszczyzn bocznych, czyli pola 3-kątów równoramiennych. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole elementów bocznych:

  1. Pole 3-kąta równoramiennego wynosi Str=1/2(aL), gdzie a to bok podstawy, L to apotem.
  2. Liczba płaszczyzn bocznych zależy od rodzaju k-gonu u podstawy. Na przykład regularna czworokątna piramida ma cztery płaszczyzny boczne. Dlatego należy dodać pola czterech cyfr Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Wyrażenie zostaje w ten sposób uproszczone, ponieważ wartość 4a=POS, gdzie POS jest obwodem podstawy. A wyrażenie 1/2 * Rosn to jego półobwód.
  3. Dochodzimy więc do wniosku, że powierzchnia elementów bocznych regularnej piramidy jest równa iloczynowi półobwodu podstawy i apotemu: Sside \u003d Rosn * L.

Pole pełnej powierzchni piramidy składa się z sumy pól płaszczyzn bocznych i podstawy: Sp.p. = Sside + Sbase.

Jeśli chodzi o obszar podstawy, tutaj stosuje się wzór zgodnie z rodzajem wielokąta.

Objętość regularnej piramidy jest równa iloczynowi powierzchni płaszczyzny podstawy i wysokości podzielonej przez trzy: V=1/3*Spodstawa*H, gdzie H jest wysokością wielościanu.

Czym jest regularna piramida w geometrii

Właściwości regularnej piramidy czworokątnej

Hipoteza: wierzymy, że doskonałość kształtu piramidy wynika z praw matematycznych wbudowanych w jej kształt.

Cel: po przestudiowaniu piramidy jako bryły geometrycznej, aby wyjaśnić doskonałość jej formy.

Zadania:

1. Podaj matematyczną definicję piramidy.

2. Przeanalizuj piramidę jako ciało geometryczne.

3. Zrozum, jaką wiedzę matematyczną Egipcjanie umieścili w swoich piramidach.

Prywatne pytania:

1. Czym jest piramida jako ciało geometryczne?

2. Jak matematycznie wytłumaczyć wyjątkowy kształt piramidy?

3. Co wyjaśnia geometryczne cuda piramidy?

4. Co wyjaśnia doskonałość kształtu piramidy?

Definicja piramidy.

PIRAMIDA (z greckich piramid, rodzaj n. piramidos) - wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a pozostałe ściany to trójkąty o wspólnym wierzchołku (rysunek). W zależności od liczby rogów podstawy piramidy są trójkątne, czworokątne itp.

PIRAMIDA - monumentalna budowla o geometrycznym kształcie piramidy (czasami także schodkowej lub w kształcie wieży). Gigantyczne grobowce starożytnych egipskich faraonów z III-II tysiąclecia p.n.e. nazywane są piramidami. e., a także starożytne amerykańskie cokoły świątyń (w Meksyku, Gwatemali, Hondurasie, Peru) związanych z kultami kosmologicznymi.

Możliwe, że greckie słowo „piramida” pochodzi od egipskiego wyrażenia per-em-us, czyli od terminu oznaczającego wysokość piramidy. Wybitny rosyjski egiptolog W. Struwe uważał, że greckie „puram…j” pochodzi od starożytnego egipskiego „p”-mr”.

Z historii. Po przestudiowaniu materiału w podręczniku „Geometria” autorów Atanasyana. Butuzovej i innych dowiedzieliśmy się, że: Wielościan złożony z n-kątów A1A2A3 ... Trójkątów An i n RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 nazywa się piramidą. Wielokąt A1A2A3 ... An jest podstawą piramidy, a trójkąty RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 są bocznymi ścianami piramidy, P jest wierzchołkiem piramidy, odcinki RA1, RA2, .. ., RAn to krawędzie boczne.

Jednak taka definicja piramidy nie zawsze istniała. Na przykład starożytny grecki matematyk, autor teoretycznych traktatów matematycznych, które do nas dotarły, Euklides, definiuje piramidę jako bryłę ograniczoną płaszczyznami zbiegającymi się z jednej płaszczyzny do jednego punktu.

Jednak definicja ta była krytykowana już w starożytności. Dlatego Heron zaproponował następującą definicję piramidy: „Jest to figura ograniczona trójkątami zbiegającymi się w jednym punkcie, której podstawą jest wielokąt”.

Nasza grupa porównując te definicje doszła do wniosku, że nie mają one jasnego sformułowania pojęcia „fundament”.

Przestudiowaliśmy te definicje i znaleźliśmy definicję Adriena Marie Legendre, który w 1794 roku w swoim dziele „Elementy geometrii” definiuje piramidę w następujący sposób: „Piramida to figura cielesna utworzona przez trójkąty zbiegające się w jednym punkcie i kończące się po różnych stronach płaska podstawa.”

Wydaje nam się, że ostatnia definicja daje jasny obraz piramidy, ponieważ odnosi się do faktu, że podstawa jest płaska. Inna definicja piramidy pojawiła się w XIX-wiecznym podręczniku: „piramida to kąt bryłowy przecięty płaszczyzną”.

Piramida jako bryła geometryczna.

To. Piramida to wielościan, którego jedna ściana (podstawa) jest wielokątem, pozostałe ściany (boki) to trójkąty, które mają jeden wspólny wierzchołek (góra piramidy).

Nazywa się prostopadłą poprowadzoną ze szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy wysokiH piramidy.

Oprócz dowolnej piramidy istnieją prawa piramida, u podstawy którego znajduje się wielokąt foremny i ścięta piramida.

Na rysunku - piramida PABCD, ABCD - jej podstawa, PO - wysokość.

Pełna powierzchnia Piramidę nazywa się sumą pól wszystkich jej ścian.

Sfull = bok + podstawa, Gdzie Strona jest sumą pól ścian bocznych.

objętość piramidy znajduje się według wzoru:

V=1/3Spodstawa H, gdzie Sosn. - powierzchnia podstawy H- wysokość.
Oś regularnej piramidy jest linią prostą zawierającą jej wysokość.
Apothem ST - wysokość bocznej ściany regularnej piramidy.

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy wyraża się w następujący sposób: Sside. =1/2P H, gdzie P jest obwodem podstawy, H- wysokość ściany bocznej (apothem regularnej piramidy). Jeżeli piramidę przecina płaszczyzna A'B'C'D' równoległa do podstawy, to:

1) krawędzie boczne i wysokość są podzielone tą płaszczyzną na proporcjonalne części;

2) w przekroju otrzymuje się wielokąt A'B'C'D' podobny do podstawy;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" szerokość="287" wysokość="151">

Podstawy ściętej piramidy są podobnymi wielokątami ABCD i A`B`C`D`, ściany boczne są trapezami.

Wysokośćścięta piramida - odległość między podstawami.

Obcięta objętość Piramidę oblicza się ze wzoru:

V=1/3 H(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" wyrównania="left" szerokość="91" wysokość="96"> Powierzchnia boczna regularnej ściętej piramidy wyraża się następująco: Sside. = ½(P+P') H, gdzie P i P’ są obwodami podstaw, H- wysokość lica bocznego (apothem regularny obcięty świętami

Sekcje piramidy.

Przekroje piramidy płaszczyznami przechodzącymi przez jej wierzchołek to trójkąty.

Nazywa się odcinek przechodzący przez dwie niesąsiadujące ze sobą boczne krawędzie piramidy przekrój diagonalny.

Jeżeli odcinek przechodzi przez punkt na bocznej krawędzi i na boku podstawy, to ten bok będzie jego śladem na płaszczyźnie podstawy piramidy.

Przekrój przechodzący przez punkt leżący na ścianie piramidy i zadany ślad przekroju na płaszczyźnie podstawy, wówczas konstrukcję należy wykonać w następujący sposób:

znajdź punkt przecięcia płaszczyzny danej ściany ze śladem przekroju ostrosłupa i oznacz go;

zbudować linię prostą przechodzącą przez dany punkt i powstały punkt przecięcia;

· Powtórz te kroki dla kolejnych ścian.

, co odpowiada stosunkowi przyprostokątnych trójkąta prostokątnego 4:3. Ten stosunek nóg odpowiada dobrze znanemu trójkątowi prostokątnemu o bokach 3:4:5, który nazywany jest trójkątem „doskonałym”, „świętym” lub „egipskim”. Według historyków trójkąt „egipski” otrzymał magiczne znaczenie. Plutarch napisał, że Egipcjanie porównali naturę wszechświata do „świętego” trójkąta; symbolicznie porównali pionową nogę do męża, podstawę do żony, a przeciwprostokątną do tego, co rodzi się z obu.

Dla trójkąta 3:4:5 prawdziwa jest równość: 32 + 42 = 52, co wyraża twierdzenie Pitagorasa. Czy to nie jest to twierdzenie, które egipscy kapłani chcieli utrwalić, wznosząc piramidę na podstawie trójkąta 3:4:5? Trudno znaleźć lepszy przykład ilustrujący twierdzenie Pitagorasa, które było znane Egipcjanom na długo przed jego odkryciem przez Pitagorasa.

W ten sposób pomysłowi twórcy egipskich piramid starali się zaimponować odległym potomkom głębią swojej wiedzy i osiągnęli to, wybierając jako „główną ideę geometryczną” piramidy Cheopsa - „złoty” trójkąt prostokątny i dla piramidy Chefre - trójkąt „święty” lub „egipski”.

Bardzo często w swoich badaniach naukowcy wykorzystują właściwości piramid o proporcjach Złotego Podziału.

W matematycznym słowniku encyklopedycznym podana jest następująca definicja złotego podziału - jest to podział harmoniczny, podział w stosunku skrajnym i średnim - podział odcinka AB na dwie części w taki sposób, że większość jego AC jest średnią proporcjonalną pomiędzy całym odcinkiem AB i jego mniejszą częścią CB.

Algebraiczne znajdowanie złotego przekroju segmentu AB = a sprowadza się do rozwiązania równania a: x = x: (a - x), gdzie x jest w przybliżeniu równe 0,62a. Stosunek x można wyrazić jako ułamki 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, gdzie 2, 3, 5, 8, 13, 21 to liczby Fibonacciego.

Geometryczną konstrukcję złotej sekcji odcinka AB przeprowadza się w następujący sposób: w punkcie B przywracana jest prostopadłość do AB, kładzie się na niej odcinek BE \u003d 1/2 AB, A i E są połączone, DE \ u003d BE zostaje odroczone i ostatecznie AC \u003d AD, wówczas spełniona jest równość AB: CB = 2: 3.

Złoty podział jest często stosowany w dziełach sztuki, architekturze i występuje w przyrodzie. Żywymi przykładami są rzeźba Apolla Belvedere, Partenon. Podczas budowy Partenonu zastosowano stosunek wysokości budynku do jego długości i stosunek ten wynosi 0,618. Otaczające nas przedmioty również dostarczają przykładów złotego podziału, na przykład oprawy wielu książek mają stosunek szerokości do długości bliski 0,618. Rozważając ułożenie liści na wspólnej łodydze roślin można zauważyć, że pomiędzy każdymi dwiema parami liści trzecia znajduje się w miejscu Złotego Podziału (slajdy). Każdy z nas „nosi” ze sobą „w rękach” Złoty Podział - jest to stosunek paliczków palców.

Dzięki odkryciu kilku matematycznych papirusów egiptolodzy dowiedzieli się czegoś o starożytnych egipskich systemach rachunku różniczkowego i miar. Zadania w nich zawarte rozwiązywali skrybowie. Jednym z najbardziej znanych jest papirus matematyczny Rhinda. Studiując te zagadki, egiptolodzy dowiedzieli się, jak starożytni Egipcjanie radzili sobie z różnymi wielkościami powstającymi podczas obliczania miar masy, długości i objętości, które często korzystały z ułamków, a także jak radzili sobie z kątami.

Starożytni Egipcjanie stosowali metodę obliczania kątów opartą na stosunku wysokości do podstawy trójkąta prostokątnego. Wyrażali dowolny kąt w języku gradientu. Nachylenie nachylenia wyrażono jako stosunek liczby całkowitej zwanej „seked”. W książce Mathematics in the Time of the Pharaohs Richard Pillins wyjaśnia: „Seked regularnej piramidy to nachylenie dowolnej z czterech trójkątnych ścian do płaszczyzny podstawy, mierzone jako n-ta liczba jednostek poziomych na pionową jednostkę wysokości . Zatem ta jednostka miary jest równoważna naszemu współczesnemu cotangensowi kąta nachylenia. Dlatego egipskie słowo „seked” jest spokrewnione z naszym współczesnym słowem „gradient”.

Klucz numeryczny piramid leży w stosunku ich wysokości do podstawy. W praktyce jest to najprostszy sposób na wykonanie szablonów potrzebnych do ciągłego sprawdzania prawidłowego kąta nachylenia podczas całej budowy piramidy.

Egiptolodzy chętnie przekonaliby nas, że każdemu faraonowi zależało na wyrażeniu swojej indywidualności, stąd różnice w kątach nachylenia poszczególnych piramid. Ale może być inny powód. Być może wszyscy chcieli ucieleśnić różne skojarzenia symboliczne ukryte w różnych proporcjach. Jednakże kąt piramidy Chefre'a (oparty na trójkącie (3:4:5) pojawia się w trzech problemach przedstawionych przez piramidy w Papirusie Matematycznym Rhinda). Zatem takie podejście było dobrze znane starożytnym Egipcjanom.

Aby oddać sprawiedliwość egiptologom, którzy twierdzą, że starożytni Egipcjanie nie znali trójkąta 3:4:5, powiedzmy, że długość przeciwprostokątnej 5 nigdy nie została wspomniana. Jednak problemy matematyczne dotyczące piramid rozwiązuje się zawsze na podstawie kąta przekrojowego, czyli stosunku wysokości do podstawy. Ponieważ nigdy nie wspomniano o długości przeciwprostokątnej, wyciągnięto wniosek, że Egipcjanie nigdy nie obliczyli długości trzeciego boku.

Stosunek wysokości do podstawy stosowany w piramidach w Gizie był niewątpliwie znany starożytnym Egipcjanom. Możliwe, że te współczynniki dla każdej piramidy zostały wybrane arbitralnie. Jest to jednak sprzeczne ze znaczeniem, jakie przywiązuje się do symboliki numerycznej we wszystkich typach egipskiej sztuki pięknej. Jest bardzo prawdopodobne, że relacje te miały istotne znaczenie, gdyż wyrażały określone idee religijne. Innymi słowy, cały kompleks w Gizie został poddany spójnemu projektowi, zaprojektowanemu tak, aby odzwierciedlał jakiś boski motyw. To wyjaśniałoby, dlaczego projektanci wybrali różne kąty dla trzech piramid.

W Tajemnicy Oriona Bauval i Gilbert przedstawili przekonujące dowody na związek piramid w Gizie z konstelacją Oriona, w szczególności z gwiazdami Pasa Oriona.Ta sama konstelacja występuje w micie o Izydzie i Ozyrysie, a tam jest powodem, aby uważać każdą piramidę za obraz jednego z trzech głównych bóstw - Ozyrysa, Izydy i Horusa.

CUDA „GEOMETRYCZNE”.

Wśród wspaniałych piramid w Egipcie szczególne miejsce zajmuje Wielka Piramida Faraona Cheopsa (Khufu). Zanim przystąpimy do analizy kształtu i wielkości piramidy Cheopsa, warto przypomnieć sobie, jakim systemem miar posługiwali się Egipcjanie. Egipcjanie mieli trzy jednostki długości: „łokieć” (466 mm), równy siedmiu „dłoniom” (66,5 mm), co z kolei równało się czterem „palcom” (16,6 mm).

Przeanalizujmy wielkość piramidy Cheopsa (ryc. 2), kierując się rozumowaniem podanym we wspaniałej książce ukraińskiego naukowca Nikołaja Wasyutyńskiego „Złota proporcja” (1990).

Większość badaczy zgadza się, że długość boku podstawy piramidy, np. GF jest równe L\u003d 233,16 m. Wartość ta odpowiada prawie dokładnie 500 „łokciom”. Pełna zgodność z 500 „łokciami” będzie miała miejsce, jeśli długość „łokcia” zostanie uznana za równą 0,4663 m.

Wysokość piramidy ( H) badacze szacują różnie od 146,6 do 148,2 m. A w zależności od przyjętej wysokości piramidy zmieniają się wszystkie proporcje jej elementów geometrycznych. Jaka jest przyczyna różnic w szacunkach wysokości piramidy? Faktem jest, że ściśle rzecz biorąc, piramida Cheopsa jest obcięta. Jej górna platforma ma dziś wymiary około 10 x 10 m, a sto lat temu 6 x 6 m. Jest oczywiste, że wierzchołek piramidy został rozebrany i nie odpowiada on pierwotnemu.

Szacując wysokość piramidy, należy wziąć pod uwagę taki czynnik fizyczny, jak „przeciąg” konstrukcji. Przez długi czas pod wpływem kolosalnego ciśnienia (sięgającego 500 ton na 1 m2 dolnej powierzchni) wysokość piramidy zmniejszała się w stosunku do pierwotnej wysokości.

Jaka była pierwotna wysokość piramidy? Wysokość tę można odtworzyć, jeśli znajdziesz podstawową „ideę geometryczną” piramidy.


Rysunek 2.

W 1837 r. Angielski pułkownik G. Wise zmierzył kąt nachylenia ścian piramidy: okazał się równy A= 51°51”. Wartość ta jest nadal uznawana przez większość badaczy. Wskazana wartość kąta odpowiada tangensowi (tg A), równa 1,27306. Wartość ta odpowiada stosunkowi wysokości piramidy UA do połowy swojej podstawy CB(ryc. 2), tj. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

I tu badaczy spotkała wielka niespodzianka!.png" szerokość="25" wysokość="24">= 1,272. Porównanie tej wartości z wartością tg A= 1,27306, widzimy, że wartości te są bardzo blisko siebie. Jeśli przyjmiemy kąt A\u003d 51 ° 50”, czyli aby zmniejszyć go tylko o jedną minutę kątową, wówczas wartość A wyniesie 1,272, czyli będzie pokrywać się z wartością . Warto zaznaczyć, że w 1840 r. G. Wise powtórzył swoje pomiary i wyjaśnił, że wartość kąta A=51°50".

Pomiary te doprowadziły badaczy do następującej bardzo interesującej hipotezy: trójkąt ASV piramidy Cheopsa został oparty na relacji AC / CB = = 1,272!

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny ABC, w którym stosunek nóg AC / CB= (ryc. 2). Jeśli teraz długości boków prostokąta ABC oznaczać przez X, y, z, a także wziąć pod uwagę, że stosunek y/X= , to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa długość z można obliczyć ze wzoru:

Jeśli zaakceptujesz X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" szerokość="143" wysokość="27">


Rysunek 3„Złoty” trójkąt prostokątny.

Trójkąt prostokątny, w którym boki są ze sobą powiązane jako T:złoty" trójkąt prostokątny.

Następnie, jeśli przyjmiemy za podstawę hipotezę, że główną „ideą geometryczną” piramidy Cheopsa jest „złoty” trójkąt prostokątny, wówczas łatwo jest obliczyć „projektową” wysokość piramidy Cheopsa. Jest równe:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Wyprowadźmy teraz dla piramidy Cheopsa inne zależności, które wynikają ze „złotej” hipotezy. W szczególności znajdujemy stosunek zewnętrznej powierzchni piramidy do powierzchni jej podstawy. Aby to zrobić, bierzemy długość nogi CB na jednostkę, czyli: CB= 1. Ale potem długość boku podstawy piramidy GF= 2 i obszar podstawy E F G H będzie równe SEFGH = 4.

Obliczmy teraz pole powierzchni bocznej piramidy Cheopsa SD. Ponieważ wysokość AB trójkąt AEF jest równe T, wówczas obszar powierzchni bocznej będzie równy SD = T. Wtedy łączna powierzchnia wszystkich czterech bocznych ścian piramidy będzie równa 4 T, a stosunek całkowitej powierzchni zewnętrznej piramidy do powierzchni podstawy będzie równy złotemu podziałowi! To jest to - główny sekret geometryczny piramidy Cheopsa!

Grupa „cudów geometrycznych” piramidy Cheopsa obejmuje rzeczywiste i wymyślone właściwości relacji między różnymi wymiarami piramidy.

Z reguły uzyskuje się je w poszukiwaniu jakiejś „stałej”, w szczególności liczby „pi” (liczba Ludolfa), równej 3,14159...; podstawy logarytmów naturalnych „e” (liczba Napiera) równa 2,71828...; liczba „F”, liczba „złotej sekcji”, równa na przykład 0,618… itd..

Możesz wymienić na przykład: 1) Właściwość Herodota: (Wysokość) 2 \u003d 0,5 st. główny x Apotem; 2) Własność V. Cena: Wysokość: 0,5 st. osn \u003d pierwiastek kwadratowy z „Ф”; 3) Własność M. Eista: Obwód podstawy: 2 Wysokość = „Pi”; w innej interpretacji - 2 łyżki. główny : Wysokość = „Pi”; 4) Własność G. Rebera: Promień okręgu wpisanego: 0,5 st. główny = „F”; 5) Własność K. Kleppisha: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2 st. główny X Apotem) + (st. główny) 2). Itp. Możesz wymyślić wiele takich właściwości, zwłaszcza jeśli połączysz dwie sąsiednie piramidy. Na przykład jako „Właściwości A. Arefiewa” można wspomnieć, że różnica między objętościami piramidy Cheopsa i piramidy Chefrena jest równa dwukrotności objętości piramidy Mykerina…

Wiele interesujących przepisów, w szczególności dotyczących budowy piramid według „złotej sekcji”, znajduje się w książkach D. Hambidge’a „Dynamic Symmetry in Architecture” i M. Geeka „Aesthetics of Proportion in Nature and Art”. Przypomnijmy, że „złoty podział” to podział odcinka w takim stosunku, gdy część A jest tyle razy większa od części B, ile razy A jest mniejsze od całego odcinka A + B. Stosunek A / B wynosi równy liczbie „Ф” == 1,618. .. Użycie „złotej sekcji” jest wskazane nie tylko w poszczególnych piramidach, ale w całym kompleksie piramid w Gizie.

Najciekawsze jest jednak to, że jedna i ta sama piramida Cheopsa po prostu „nie może” zawierać tak wielu cudownych właściwości. Biorąc pewną właściwość jedną po drugiej, można ją „dopasować”, ale jednocześnie nie pasują one do siebie - nie pokrywają się, są ze sobą sprzeczne. Dlatego jeśli na przykład podczas sprawdzania wszystkich właściwości początkowo zostanie przyjęta jedna i ta sama strona podstawy piramidy (233 m), wówczas wysokości piramid o różnych właściwościach również będą różne. Innymi słowy, istnieje pewna „rodzina” piramid, zewnętrznie podobna do piramid Cheopsa, ale posiadająca różne właściwości. Zauważ, że we właściwościach „geometrycznych” nie ma nic szczególnie cudownego - wiele wynika czysto automatycznie, z właściwości samej figury. Za „cud” należy uważać jedynie coś, co w sposób oczywisty było niemożliwe dla starożytnych Egipcjan. Dotyczy to w szczególności cudów „kosmicznych”, w których porównuje się wymiary piramidy Cheopsa lub kompleksu piramid w Gizie z niektórymi pomiarami astronomicznymi i wskazuje liczby „parzyste”: milion razy, miliard razy mniej i tak dalej . Rozważmy pewne „kosmiczne” relacje.

Jedno ze stwierdzeń brzmi: „jeśli podzielimy bok podstawy piramidy przez dokładną długość roku, otrzymamy dokładnie 10 milionową część osi Ziemi”. Oblicz: podziel 233 przez 365, otrzymamy 0,638. Promień Ziemi wynosi 6378 km.

Kolejne stwierdzenie jest właściwie przeciwieństwem poprzedniego. F. Noetling zwrócił uwagę, że jeśli zastosuje się wymyślony przez niego „łokieć egipski”, wówczas bok piramidy będzie odpowiadał „najdokładniejszemu czasowi roku słonecznego, wyrażonemu z dokładnością do najbliższej miliardowej części dnia” - 365.540.903.777 .

Oświadczenie P. Smitha: „Wysokość piramidy wynosi dokładnie jedną miliardową odległości od Ziemi do Słońca”. Chociaż zwykle przyjmuje się wysokość 146,6 m, Smith przyjął ją jako 148,2 m. Według współczesnych pomiarów radarowych, półoś wielka orbity Ziemi wynosi 149,597,870 + 1,6 km. Jest to średnia odległość Ziemi od Słońca, jednak w peryhelium jest ona o 5 000 000 kilometrów mniejsza niż w aphelium.

Ostatnie ciekawe stwierdzenie:

„Jak wytłumaczyć, że masy piramid Cheopsa, Chefrena i Menkaure’a są ze sobą powiązane, jak masy planet Ziemia, Wenus, Mars?” Obliczmy. Masy trzech piramid są powiązane jako: Chefre – 0,835; Cheopsa – 1000; Mikerin - 0,0915. Stosunki mas trzech planet: Wenus - 0,815; Ziemia - 1000; Mars - 0,108.

Zatem pomimo sceptycyzmu zwróćmy uwagę na znaną harmonię konstrukcji twierdzeń: 1) wysokość piramidy jako linii „wychodzącej w przestrzeń” – odpowiada odległości Ziemi od Słońca; 2) bok podstawy piramidy najbliższy „podłożu”, czyli Ziemi, odpowiada za promień Ziemi i krążenie Ziemi; 3) objętości piramidy (czytaj - masy) odpowiadają stosunkowi mas planet najbliższych Ziemi. Podobny „szyfr” można prześledzić na przykład w języku pszczół, analizowanym przez Karla von Frischa. Na razie jednak wstrzymujemy się od komentowania tej kwestii.

KSZTAŁT PIRAMID

Słynny czworościenny kształt piramid nie pojawił się od razu. Scytowie dokonywali pochówków w postaci ziemnych wzgórz - kurhanów. Egipcjanie budowali „wzgórza” z kamienia – piramidy. Stało się to po raz pierwszy po zjednoczeniu Górnego i Dolnego Egiptu, w 28 wieku p.n.e., kiedy założyciel III dynastii, faraon Dżeser (Zoser), stanął przed zadaniem umocnienia jedności kraju.

I tutaj, zdaniem historyków, „nowa koncepcja deifikacji” cara odegrała ważną rolę we wzmocnieniu władzy centralnej. Choć pochówki królewskie odznaczały się większym przepychem, to w zasadzie nie różniły się od grobowców szlachty dworskiej, były to te same budowle – mastaby. Nad komorą z sarkofagiem mieszczącą mumię wylano prostokątne wzniesienie z drobnych kamieni, na którym następnie postawiono niewielki budynek z dużych bloków kamiennych – „mastaba” (po arabsku – „ławka”). Na miejscu mastaby swojego poprzednika, Sanachta, faraon Dżeser wzniósł pierwszą piramidę. Była schodkowa i stanowiła widoczny etap przejściowy od jednej formy architektonicznej do drugiej, od mastaby do piramidy.

W ten sposób faraon został „wychowany” przez mędrca i architekta Imhotepa, którego później uznano za maga i utożsamiono przez Greków z bogiem Asklepiosem. To było tak, jakby w rzędzie ustawiono sześć mastab. Co więcej, pierwsza piramida zajmowała powierzchnię 1125 x 115 metrów, przy szacunkowej wysokości 66 metrów (według miar egipskich - 1000 „palm”). Początkowo architekt planował budowę mastaby, ale nie podłużnej, ale kwadratowej. Później został rozszerzony, ale ponieważ przedłużenie zostało obniżone, utworzono jakby dwa stopnie.

Ta sytuacja nie zadowoliła architekta i na najwyższej platformie ogromnej płaskiej mastaby Imhotep umieścił jeszcze trzy, stopniowo opadając ku górze. Grób znajdował się pod piramidą.

Znanych jest kilka innych piramid schodkowych, ale później budowniczowie przeszli do budowy bardziej znanych piramid czworościennych. Dlaczego jednak nie trójkątny lub, powiedzmy, ośmiokątny? Pośredniej odpowiedzi udziela fakt, że prawie wszystkie piramidy są doskonale zorientowane w czterech głównych punktach, a zatem mają cztery boki. Ponadto piramida była „domem”, skorupą czworokątnej komory grobowej.

Ale co spowodowało kąt nachylenia twarzy? W książce „Zasada proporcji” poświęcony jest temu cały rozdział: „Co może określić kąty piramid”. W szczególności wskazano, że „obraz, do którego ciążą wielkie piramidy Starego Królestwa, jest trójkątem z kątem prostym u góry.

W przestrzeni jest to półośmiościan: piramida, w której krawędzie i boki podstawy są równe, ściany są trójkątami równobocznymi.Pewne rozważania na ten temat znajdują się w książkach Hambidge'a, Geeka i innych.

Jaka jest zaleta kąta półoktaedru? Według opisów archeologów i historyków niektóre piramidy zawaliły się pod własnym ciężarem. Potrzebny był „kąt trwałości”, kąt najbardziej niezawodny energetycznie. Czysto empirycznie, kąt ten można obliczyć z kąta wierzchołkowego w kupie kruszącego się suchego piasku. Aby jednak uzyskać dokładne dane, należy skorzystać z modelu. Biorąc cztery mocno zamocowane kulki, należy na nich położyć piątą i zmierzyć kąty nachylenia. Jednak tutaj możesz popełnić błąd, dlatego pomagają obliczenia teoretyczne: powinieneś połączyć środki piłek liniami (mentalnie). U podstawy otrzymasz kwadrat o boku równym dwukrotności promienia. Kwadrat będzie tylko podstawą piramidy, której długość krawędzi będzie również równa dwukrotności promienia.

Zatem gęste upakowanie kulek typu 1:4 da nam regularny półoktaedr.

Dlaczego jednak wiele piramid, dążących do podobnej formy, mimo to jej nie zachowuje? Prawdopodobnie piramidy się starzeją. Wbrew słynnemu powiedzeniu:

„Wszystko na świecie boi się czasu, a czas boi się piramid”, budynki piramid muszą się starzeć, mogą i powinny zachodzić w nich nie tylko zewnętrzne procesy wietrzenia, ale także wewnętrzne procesy „skurczu”, z których piramidy mogą się obniżyć. Skurcz jest również możliwy, ponieważ, jak wykazały prace D. Davidovitsa, starożytni Egipcjanie stosowali technologię wytwarzania bloków z wiórów wapiennych, czyli innymi słowy z „betonu”. To właśnie te procesy mogłyby wyjaśnić przyczynę zniszczenia piramidy Medum, położonej 50 km na południe od Kairu. Ma 4600 lat, wymiary podstawy to 146 x 146 m, wysokość 118 m. „Dlaczego jest tak zniszczony?” – pyta W. Zamarowski. „Zwykłe odniesienia do niszczycielskiego działania czasu i „wykorzystania kamienia do innych budynków” nie pasują tutaj.

Przecież większość jej bloków i płyt licowych pozostała na swoim miejscu do dziś, w ruinach u jej podnóża. „Jak zobaczymy, szereg zapisów każe myśleć nawet, że słynna piramida Cheopsa również„ skurczyła się ”. W każdym razie na wszystkich starożytnych obrazach piramidy są skierowane ...

Kształt piramid można również uzyskać poprzez naśladownictwo: niektóre naturalne wzory, „cudowną doskonałość”, powiedzmy, niektóre kryształy w kształcie ośmiościanu.

Takimi kryształami mogą być kryształy diamentu i złota. Charakteryzuje się dużą liczbą „przecinających się” znaków dla takich pojęć jak Faraon, Słońce, Złoto, Diament. Wszędzie - szlachetny, genialny (genialny), świetny, bezbłędny i tak dalej. Podobieństwa nie są przypadkowe.

Jak wiadomo, kult słońca był ważną częścią religii starożytnego Egiptu. „Bez względu na to, jak przetłumaczymy nazwę największej z piramid – odnotowuje się w jednym ze współczesnych podręczników – „Sky Khufu” lub „Sky Khufu”, oznaczało to, że królem jest słońce. Jeśli Chufu w blasku swojej mocy wyobrażał sobie, że jest drugim słońcem, wówczas jego syn Jedef-Ra stał się pierwszym z egipskich królów, który zaczął nazywać siebie „synem Ra”, to znaczy synem Słońce. Prawie wszystkie narody symbolizowały słońce jako „słoneczny metal”, czyli złoto. „Wielki dysk jasnego złota” – tak Egipcjanie nazywali nasze światło dzienne. Egipcjanie bardzo dobrze znali złoto, znali jego rodzime formy, gdzie kryształy złota mogą pojawiać się w postaci ośmiościanów.

Jako „próbka form” interesujący jest także „kamień słoneczny” – diament. Nazwa diamentu pochodzi właśnie ze świata arabskiego, „almas” – najtwardszy, najtwardszy, niezniszczalny. Starożytni Egipcjanie znali diament i jego właściwości są całkiem dobre. Według niektórych autorów do wiercenia używano nawet rur z brązu z frezami diamentowymi.

Republika Południowej Afryki jest obecnie głównym dostawcą diamentów, ale Afryka Zachodnia jest również bogata w diamenty. Terytorium Republiki Mali nazywane jest tam nawet „Diamentową Krainą”. Tymczasem to właśnie na terenie Mali zamieszkują Dogoni, z którymi zwolennicy hipotezy paleowizyty wiążą wiele nadziei (patrz niżej). Diamenty nie mogły być powodem kontaktów starożytnych Egipcjan z tym regionem. Jednak w ten czy inny sposób możliwe jest, że to właśnie kopiując ośmiościany diamentów i kryształów złota starożytni Egipcjanie deifikowali faraonów, „niezniszczalnych” jak diament i „błyszczących” jak złoto, synów Słońca, porównywalnych tylko z najwspanialszymi dziełami natury.

Wniosek:

Po przestudiowaniu piramidy jako bryły geometrycznej, zapoznaniu się z jej elementami i właściwościami, przekonaliśmy się o słuszności opinii o pięknie kształtu piramidy.

W wyniku naszych badań doszliśmy do wniosku, że Egipcjanie, zebrawszy najcenniejszą wiedzę matematyczną, ucieleśnili ją w piramidzie. Dlatego piramida jest naprawdę najdoskonalszym dziełem natury i człowieka.

BIBLIOGRAFIA

„Geometria: proc. dla 7 - 9 komórek. ogólne wykształcenie instytucje \ itp. - wyd. 9 - M.: Edukacja, 1999

Historia matematyki w szkole, M: „Oświecenie”, 1982

Geometria klasa 10-11, M: „Oświecenie”, 2000

Peter Tompkins „Tajemnice Wielkiej Piramidy Cheopsa”, M: „Centropoligraph”, 2005

Zasoby internetowe

http://veka-i-mig. *****/

http://tambow. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/en/54373.html

Pierwszy poziom

Piramida. Przewodnik wizualny (2019)

Co to jest piramida?

Jak ona wygląda?

Widzisz: na piramidzie poniżej (mówią „ w bazie„”) jakiś wielokąt, a wszystkie wierzchołki tego wielokąta są połączone z pewnym punktem w przestrzeni (ten punkt nazywa się „ wierzchołek»).

Cała ta konstrukcja ma boczne twarze, żebra boczne I żebra podstawy. Jeszcze raz narysujmy piramidę ze wszystkimi tymi nazwami:

Niektóre piramidy mogą wyglądać bardzo dziwnie, ale nadal są piramidami.

Tutaj na przykład dość „ukośny” piramida.

I trochę więcej o nazwach: jeśli u podstawy piramidy znajduje się trójkąt, wówczas piramida nazywa się trójkątną;

Jednocześnie punkt, w którym spadł wysokość, jest nazywany podstawa wysokości. Należy pamiętać, że w „krzywych” piramidach wysokość może nawet wylądować poza piramidą. Lubię to:

I nie ma w tym nic strasznego. Wygląda jak rozwarty trójkąt.

Poprawna piramida.

Dużo trudnych słów? Rozszyfrujmy: „ U podstawy – poprawnie”- jest to zrozumiałe. A teraz pamiętajcie, że wielokąt foremny ma środek - punkt, który jest środkiem i, i.

Cóż, a słowa „góra jest rzutowana na środek podstawy” oznaczają, że podstawa wysokości wpada dokładnie w środek podstawy. Spójrz, jak gładko i uroczo wygląda prawa piramida.

Sześciokątny: u podstawy - sześciokąt foremny, wierzchołek jest rzutowany na środek podstawy.

czworokątny: u podstawy - kwadrat, góra rzutowana jest na punkt przecięcia przekątnych tego kwadratu.

trójkątny: u podstawy znajduje się regularny trójkąt, wierzchołek jest rzutowany na punkt przecięcia wysokości (są to również środkowe i dwusieczne) tego trójkąta.

Bardzo ważne właściwości regularnej piramidy:

W prawej piramidzie

  • wszystkie krawędzie boczne są równe.
  • wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi i wszystkie te trójkąty są równe.

Objętość piramidy

Główny wzór na objętość piramidy:

Skąd się to dokładnie wzięło? Nie jest to takie proste i na początku trzeba tylko pamiętać, że piramida i stożek mają we wzorze objętość, ale cylinder nie.

Obliczmy teraz objętość najpopularniejszych piramid.

Niech bok podstawy będzie równy, a krawędź boczna równa. Muszę znaleźć i.

To jest obszar trójkąta prostokątnego.

Pamiętajmy, jak szukać tego obszaru. Korzystamy ze wzoru na pole:

Mamy „” – to i „” – to też, eh.

Teraz znajdźmy.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla

Co to za różnica Jest to promień okręgu opisanego w, ponieważ piramidaprawidłowy i stąd centrum.

Ponieważ - punkt przecięcia i mediana też.

(Twierdzenie Pitagorasa dla)

Zastąp we wzorze.

Podstawmy wszystko do wzoru na objętość:

Uwaga: jeśli masz regularny czworościan (tj.), wówczas wzór wygląda następująco:

Niech bok podstawy będzie równy, a krawędź boczna równa.

Nie ma potrzeby tutaj szukać; ponieważ u podstawy jest kwadrat, a zatem.

Znajdźmy. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla

Czy wiemy? Prawie. Patrzeć:

(widzieliśmy to przeglądając).

Zastąp we wzorze:

A teraz podstawiamy i do wzoru na objętość.

Niech bok podstawy będzie równy i krawędź boczna.

Jak znaleźć? Spójrz, sześciokąt składa się z dokładnie sześciu identycznych regularnych trójkątów. Szukaliśmy już pola trójkąta foremnego przy obliczaniu objętości regularnej piramidy trójkątnej, tutaj korzystamy ze znalezionego wzoru.

Teraz znajdźmy (to).

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa dla

Ale jakie to ma znaczenie? To proste, ponieważ (i wszyscy inni też) mają rację.

Zastępujemy:

\ Displaystyle V = \ Frac (\ sqrt (3)) (2) ((a) ^ (2)) \ sqrt ({(b) ^ (2)) - ((a) ^ (2))}

PIRAMIDA. KRÓTKO O GŁÓWNEJ

Piramida to wielościan składający się z dowolnego płaskiego wielokąta (), punktu, który nie leży w płaszczyźnie podstawy (góra piramidy) oraz wszystkich segmentów łączących wierzchołek piramidy z punktami podstawy (krawędzie boczne).

Prostopadłość spuszczona ze szczytu piramidy na płaszczyznę podstawy.

Poprawna piramida- piramida, która ma u podstawy wielokąt foremny, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy.

Właściwość regularnej piramidy:

  • W regularnej piramidzie wszystkie krawędzie boczne są równe.
  • Wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi i wszystkie te trójkąty są równe.