Z tego artykułu czytelnik dowie się, czym jest ekstremum wartości funkcjonalnej, a także o cechach jego zastosowania w zajęcia praktyczne. Przestudiowanie takiej koncepcji jest niezwykle ważne dla zrozumienia podstaw matematyki wyższej. Temat ten ma fundamentalne znaczenie dla głębszego przestudiowania kursu.

W kontakcie z

Co to jest ekstremum?

Na lekcjach szkolnych podaje się wiele definicji pojęcia „ekstremum”. Celem tego artykułu jest zapewnienie najgłębszego i najjaśniejszego zrozumienia tego terminu osobom ignorantom w tej kwestii. Termin ten rozumie się zatem, w jakim stopniu przedział funkcjonalny uzyskuje wartość minimalną lub maksymalną w określonym zbiorze.

Ekstremum jest jednocześnie wartością minimalną i maksymalną funkcji. Istnieje punkt minimalny i punkt maksymalny, czyli skrajne wartości argumentu na wykresie. Główne nauki wykorzystujące tę koncepcję to:

• Statystyka;
• sterowanie maszyną;
• ekonometria.

Punkty ekstremalne odgrywają ważną rolę w określeniu kolejności danej funkcji. Układ współrzędnych na wykresie w najlepszym wydaniu pokazuje zmianę skrajnego położenia w zależności od zmiany funkcjonalności.

Ekstrema funkcji pochodnej

Istnieje również takie zjawisko jak „pochodna”. Konieczne jest wyznaczenie punktu ekstremalnego. Ważne jest, aby nie mylić punktów minimalnych i maksymalnych z wartościami najwyższymi i najniższymi. Są to różne koncepcje, choć mogą wydawać się podobne.

Wartość funkcji jest głównym czynnikiem decydującym o tym, jak znaleźć punkt maksymalny. Pochodna nie jest tworzona z wartości, ale wyłącznie z jej skrajnego położenia w takiej czy innej kolejności.

Sama pochodna jest wyznaczana na podstawie tych ekstremów, a nie na podstawie największej lub najmniejszej wartości. W szkołach rosyjskich granica między tymi dwoma pojęciami nie jest wyraźnie zarysowana, co wpływa na ogólne zrozumienie tego tematu.

Rozważmy teraz takie pojęcie jak „ostre ekstremum”. Obecnie istnieje ostra wartość minimalna i ostra wartość maksymalna. Definicja podana jest zgodnie z rosyjską klasyfikacją punktów krytycznych funkcji. Koncepcja punktu ekstremalnego jest podstawą znajdowania punktów krytycznych na wykresie.

Aby zdefiniować takie pojęcie, uciekają się do twierdzenia Fermata. Jest najważniejszy w badaniu punktów skrajnych i daje jasny obraz ich istnienia w takiej czy innej formie. Aby zapewnić skrajność, ważne jest stworzenie pewnych warunków spadku lub wzrostu na wykresie.

Aby dokładnie odpowiedzieć na pytanie „jak znaleźć punkt maksymalny”, należy postępować zgodnie z poniższymi wskazówkami:

1. Znalezienie dokładnej dziedziny definicji na wykresie.
2. Szukaj pochodnej funkcji i punktu ekstremum.
3. Rozwiąż standardowe nierówności dla dziedziny, w której znajduje się argument.
4. Potrafić wykazać, w jakich funkcjach punkt na wykresie jest zdefiniowany i ciągły.

Uwaga! Poszukiwanie punktu krytycznego funkcji jest możliwe tylko wtedy, gdy istnieje pochodna co najmniej drugiego rzędu, co zapewnia duży udział obecności punktu ekstremalnego.

Warunek konieczny ekstremum funkcji

Aby ekstremum istniało, ważne jest, aby istniały zarówno punkty minimalne, jak i maksymalne. Jeśli zasada ta jest przestrzegana tylko częściowo, wówczas naruszony zostaje warunek istnienia ekstremum.

Każdą funkcję w dowolnej pozycji należy różnicować, aby zidentyfikować jej nowe znaczenia. Ważne jest, aby zrozumieć, że przypadek osiągnięcia punktu zerowego nie jest główną zasadą znalezienia punktu różniczkowalnego.

Ekstremum ostre, a także minimum funkcji, jest niezwykle ważnym aspektem rozwiązywania problemu matematycznego przy użyciu wartości ekstremalnych. Aby lepiej zrozumieć ten komponent, ważne jest, aby odnieść się do wartości tabelarycznych w celu określenia funkcjonalności.

Badanie pełnego znaczenia

Wykreślanie wykresu wartości

1. Wyznaczanie punktów wartości rosnących i malejących. 2. Wyznaczanie punktów nieciągłości, ekstremum i przecięcia z osiami współrzędnych. 3. Proces wyznaczania zmian położenia na wykresie. 4. Wyznaczanie wskaźnika i kierunku wypukłości i wypukłości z uwzględnieniem obecności asymptot. 5. Utworzenie tabeli podsumowującej badania pod kątem ustalenia jego współrzędnych. 6. Znajdowanie przedziałów rosnących i malejących punktów skrajnych i ostrych. 7. Wyznaczanie wypukłości i wklęsłości krzywej. 8. Wykreślając wykres uwzględniający badania, można znaleźć minimum lub maksimum.

Głównym elementem, gdy konieczna jest praca z punktami ekstremalnymi, jest dokładna konstrukcja ich wykresu. Nauczyciele szkolni często nie zwracają maksymalnej uwagi na tak ważny aspekt, jakim jest rażące naruszenie procesu edukacyjnego. Konstrukcja wykresu następuje wyłącznie na podstawie wyników badania danych funkcjonalnych, identyfikacji ostrych ekstremów, a także punktów na wykresie. Ostre ekstrema funkcji pochodnej przedstawiono na wykresie dokładnych wartości, stosując standardową procedurę wyznaczania asymptot.

Zwiększanie, zmniejszanie i ekstrema funkcji

Znalezienie przedziałów wzrostu, spadku i ekstremów funkcji jest zarówno zadaniem niezależnym, jak i istotną częścią innych zadań, w szczególności: pełne badanie funkcji. Początkowe informacje o wzroście, spadku i ekstremach funkcji podano w rozdział teoretyczny o pochodnej, które gorąco polecam do wstępnego przestudiowania (lub powtórzenie)– także z tego powodu, że poniższy materiał opiera się na tym samym zasadniczo pochodna, stanowiącą harmonijną kontynuację tego artykułu. Chociaż, jeśli czasu jest mało, możliwe jest również czysto formalne przećwiczenie przykładów z dzisiejszej lekcji.

A dziś w powietrzu unosi się duch rzadkiej jednomyślności i bezpośrednio czuję, że wszyscy obecni płoną pożądaniem naucz się badać funkcję za pomocą jej pochodnej. Dlatego na ekranach monitorów natychmiast pojawia się rozsądna, dobra, wieczna terminologia.

Po co? Jeden z powodów jest najbardziej praktyczny: aby było jasne, czego ogólnie oczekuje się od Ciebie przy konkretnym zadaniu!

Monotoniczność funkcji. Ekstrema i ekstrema funkcji

Rozważmy pewną funkcję. Najprościej mówiąc, zakładamy, że ona ciągły na całej osi liczbowej:

Na wszelki wypadek pozbądźmy się od razu ewentualnych złudzeń, zwłaszcza dla tych czytelników, którzy niedawno zapoznali się z przedziały stałego znaku funkcji. Teraz my NIE ZAINTERESOWANY, położenie wykresu funkcji względem osi (powyżej, poniżej, w miejscu przecięcia osi). Aby być przekonującym, wymaż w myślach osie i zostaw jeden wykres. Bo tam właśnie leży zainteresowanie.

Funkcjonować wzrasta na przedziale, jeżeli dla dowolnych dwóch punktów tego przedziału, połączonych zależnością, nierówność jest prawdziwa. Oznacza to, że większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji, a jej wykres przebiega „od dołu do góry”. Funkcja demonstracyjna rośnie w przedziale.

Podobnie funkcja maleje na przedziale, jeśli dla dowolnych dwóch punktów danego przedziału tak, że , nierówność jest prawdziwa. Oznacza to, że większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji, a jej wykres przebiega „od góry do dołu”. Nasza funkcja maleje na przedziałach .

Jeśli funkcja rośnie lub maleje w pewnym przedziale, wówczas nazywa się ją ściśle monotonne w tym przedziale. Co to jest monotonia? Weź to dosłownie – monotonia.

Możesz także zdefiniować nie malejący funkcja (stan rozluźniony w pierwszej definicji) i nierosnący funkcja (stan zmiękczony w drugiej definicji). Niemalejącą lub nierosnącą funkcję na danym przedziale nazywamy funkcją monotoniczną na danym przedziale (ścisła monotoniczność jest szczególnym przypadkiem „po prostu” monotoniczności).

Teoria uwzględnia także inne podejścia do wyznaczania wzrostu/spadku funkcji, m.in. na półprzedziałach, odcinkach, jednak żeby nie zalewać głowy olej-olej-olej zgodzimy się operować przedziałami otwartymi z definicjami kategorycznymi - jest to jaśniejsze i wystarczające do rozwiązania wielu praktycznych problemów.

Zatem, w moich artykułach sformułowanie „monotoniczność funkcji” będzie prawie zawsze ukryte interwałyścisła monotonia(funkcja ściśle rosnąca lub ściśle malejąca).

Sąsiedztwo punktu. Słowa, po których uczniowie uciekają, gdzie się da i z przerażeniem chowają po kątach. ...Chociaż po poście Granice Cauchy’ego Pewnie już się nie ukrywają, a jedynie lekko drżą =) Nie martwcie się, teraz nie będzie dowodów na twierdzenia analizy matematycznej - potrzebowałem otoczenia, żeby ściślej sformułować definicje punkty ekstremalne. Zapamiętajmy:

Sąsiedztwo punktu nazywa się przedział zawierający dany punkt i dla wygody często przyjmuje się, że przedział ten jest symetryczny. Na przykład punkt i jego standardowe otoczenie:

Właściwie definicje:

Punkt nazywa się ścisły punkt maksymalny, Jeśli istnieje jej okolica, dla wszystkich wartości, z wyjątkiem samego punktu, nierówność . W naszym konkretnym przykładzie jest to kropka.

Punkt nazywa się ścisły punkt minimalny, Jeśli istnieje jej okolica, dla wszystkich wartości, z wyjątkiem samego punktu, nierówność . Na rysunku jest punkt „a”.

Notatka : wymóg symetrii sąsiedztwa wcale nie jest konieczny. Poza tym jest to ważne sam fakt istnienia sąsiedztwo (niezależnie od tego, czy jest maleńkie, czy mikroskopijne), które spełnia określone warunki

Punkty to tzw punkty ściśle ekstremalne lub po prostu punkty ekstremalne Funkcje. Oznacza to, że jest to uogólniony termin określający maksymalną i minimalną liczbę punktów.

Jak rozumiemy słowo „ekstremalny”? Tak, tak samo bezpośrednio jak monotonia. Skrajne punkty kolejek górskich.

Podobnie jak w przypadku monotoniczności, istnieją luźne postulaty, które w teorii są jeszcze częstsze (do których oczywiście zaliczają się rozważane ścisłe przypadki!):

Punkt nazywa się maksymalny punkt, Jeśli istnieje jego otoczenie jest takie, że dla wszystkich
Punkt nazywa się minimalny punkt, Jeśli istnieje jego otoczenie jest takie, że dla wszystkich wartości tego sąsiedztwa, nierówność jest zachowana.

Należy pamiętać, że zgodnie z dwiema ostatnimi definicjami każdy punkt funkcji stałej (lub „płaski odcinek” funkcji) jest uważany zarówno za punkt maksymalny, jak i minimalny! Nawiasem mówiąc, funkcja jest zarówno nierosnąca, jak i niemalejąca, to znaczy monotoniczna. Rozważania te pozostawimy jednak teoretykom, gdyż w praktyce prawie zawsze kontemplujemy tradycyjne „wzgórza” i „doliny” (patrz rysunek) z unikalnym „królem wzgórza” lub „księżniczką bagien”. Jako odmiana występuje wskazówka, skierowany w górę lub w dół, na przykład minimum funkcji w punkcie.

Aha, a jeśli mowa o rodzinie królewskiej:
– nazywa się znaczenie maksymalny Funkcje;
– nazywa się znaczenie minimum Funkcje.

Nazwa zwyczajowa - skrajności Funkcje.

Proszę uważać na słowa!

Punkty ekstremalne– są to wartości „X”.
Skrajności– znaczenia „gry”.

! Notatka : czasami wymienione terminy odnoszą się do punktów „X-Y”, które leżą bezpośrednio na WYKRESIE SAMEJ funkcji.

Ile ekstremów może mieć funkcja?

Brak, 1, 2, 3, ... itd. do nieskończoności. Na przykład sinus ma nieskończenie wiele minimów i maksimów.

WAŻNY! Termin „maksimum funkcji” nieidentyczny termin „maksymalna wartość funkcji”. Łatwo zauważyć, że wartość jest maksymalna tylko w lokalnym sąsiedztwie, a w lewym górnym rogu znajdują się „fajniejsi towarzysze”. Podobnie „minimum funkcji” nie jest tożsame z „minimalną wartością funkcji”, a na rysunku widzimy, że wartość jest minimalna tylko w pewnym obszarze. W związku z tym nazywane są również punkty ekstremalne lokalne punkty ekstremalne i ekstremum – lokalne ekstrema. Chodzą i wędrują w pobliżu i światowy bracia. Zatem każda parabola ma swój wierzchołek minimum globalne Lub globalne maksimum. Co więcej, nie będę rozróżniał rodzajów skrajności, a wyjaśnienie ma charakter bardziej ogólnoedukacyjny - dodatkowe przymiotniki „lokalny”/„globalny” nie powinny Cię zaskoczyć.

Podsumujmy naszą krótką wycieczkę do teorii zdjęciem testowym: co oznacza zadanie „znajdź przedziały monotoniczności i punkty ekstremalne funkcji”?

Sformułowanie zachęca do odnalezienia:

– przedziały funkcji rosnącej/malejącej (znacznie rzadziej pojawiają się przedziały niemalejące, nierosnące);

– maksymalna i/lub minimalna liczba punktów (jeśli istnieją). No cóż, żeby uniknąć porażki, lepiej samemu znaleźć minima/maksyma ;-)

Jak to wszystko ustalić? Korzystanie z funkcji pochodnej!

Jak znaleźć przedziały rosnące, malejące,
ekstrema i ekstrema funkcji?

Tak naprawdę wiele zasad jest już znanych i rozumianych lekcja o znaczeniu pochodnej.

Pochodna styczna przynosi radosną wiadomość, że funkcjonalność stale się zwiększa dziedzina definicji.

Z cotangensem i jego pochodną sytuacja jest dokładnie odwrotna.

Arcsinus rośnie w tym przedziale - pochodna tutaj jest dodatnia: .
Gdy funkcja jest zdefiniowana, ale nie jest różniczkowalna. Jednakże w punkcie krytycznym znajduje się prawoskrętna pochodna i prawoskrętna tangens, a na drugiej krawędzi ich lewoskrętne odpowiedniki.

Myślę, że nie będzie ci zbyt trudno przeprowadzić podobne rozumowanie dla cosinusa łuku i jego pochodnej.

Wszystkie powyższe przypadki, a jest ich wiele pochodne tabelaryczne, Przypominam, podążaj bezpośrednio z definicje instrumentów pochodnych.

Po co badać funkcję za pomocą jej pochodnej?

Aby lepiej zrozumieć jak wygląda wykres tej funkcji: gdzie idzie „od dołu do góry”, gdzie „z góry na dół”, gdzie osiąga minimum i maksimum (jeśli w ogóle osiąga). Nie wszystkie funkcje są takie proste – w większości przypadków nie mamy pojęcia o wykresie danej funkcji.

Czas przejść do bardziej znaczących przykładów i rozważyć algorytm wyznaczania przedziałów monotoniczności i ekstremów funkcji:

Przykład 1

Znajdź przedziały wzrostu/spadku i ekstrema funkcji

Rozwiązanie:

1) Pierwszym krokiem jest znalezienie dziedzina funkcji, a także zwróć uwagę na punkty przerwania (jeśli istnieją). W tym przypadku funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej i działanie to jest w pewnym stopniu formalne. Ale w wielu przypadkach wybuchają tu poważne namiętności, więc traktujmy ten akapit bez pogardy.

2) Drugi punkt algorytmu wynika z

warunek konieczny ekstremum:

Jeśli w punkcie istnieje ekstremum, to albo wartość nie istnieje.

Zdziwiony zakończeniem? Ekstremum funkcji „moduł x”. .

Warunek jest konieczny, ale niewystarczająco, a sytuacja odwrotna nie zawsze jest prawdą. Zatem z równości nie wynika jeszcze, że funkcja osiąga maksimum lub minimum w punkcie . Klasyczny przykład został już podkreślony powyżej - jest to parabola sześcienna i jej punkt krytyczny.

Tak czy inaczej, warunek konieczny ekstremum narzuca potrzebę znalezienia podejrzanych punktów. Aby to zrobić, znajdź pochodną i rozwiąż równanie:

Na początku pierwszego artykułu o wykresach funkcji Mówiłem ci, jak szybko zbudować parabolę na przykładzie : „...bierzemy pierwszą pochodną i przyrównujemy ją do zera: ...A więc rozwiązanie naszego równania: - w tym miejscu znajduje się wierzchołek paraboli...”. Teraz myślę, że każdy rozumie, dlaczego wierzchołek paraboli znajduje się dokładnie w tym miejscu =) W sumie powinniśmy zacząć tutaj od podobnego przykładu, ale jest to zbyt proste (nawet dla imbryka). Ponadto na samym końcu lekcji znajduje się analogia pochodna funkcji. Dlatego zwiększmy stopień:

Przykład 2

Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Kompletne rozwiązanie i przybliżona ostateczna próbka problemu na końcu lekcji.

Nadszedł długo oczekiwany moment spotkania z funkcjami ułamkowo-wymiernymi:

Przykład 3

Zbadaj funkcję, korzystając z pierwszej pochodnej

Zwróć uwagę na to, jak różnorodnie można przeformułować jedno i to samo zadanie.

Rozwiązanie:

1) Funkcja ma nieskończone nieciągłości w punktach.

2) Wykrywamy punkty krytyczne. Znajdźmy pierwszą pochodną i przyrównajmy ją do zera:

Rozwiążmy równanie. Ułamek ma wartość zero, gdy jego licznik wynosi zero:

W ten sposób otrzymujemy trzy punkty krytyczne:

3) Nanosimy WSZYSTKIE wykryte punkty na oś liczbową i metoda interwałowa definiujemy znaki POCHODNEJ:

Przypominam, że trzeba wziąć jakiś punkt w przedziale i obliczyć w nim wartość pochodnej i określ jego znak. Bardziej opłaca się nawet nie liczyć, ale „szacować” werbalnie. Weźmy na przykład punkt należący do przedziału i wykonaj podstawienie: .

Dwa „plusy” i jeden „minus” dają zatem „minus”, co oznacza, że ​​pochodna jest ujemna w całym przedziale.

Akcję, jak rozumiesz, należy wykonać dla każdego z sześciu przedziałów. Nawiasem mówiąc, zauważ, że licznik i mianownik są ściśle dodatnie dla dowolnego punktu w dowolnym przedziale, co znacznie upraszcza zadanie.

Zatem pochodna powiedziała nam, że SAMA FUNKCJA wzrasta o i maleje o . Wygodne jest łączenie przedziałów tego samego typu za pomocą ikony łączenia.

W punkcie, w którym funkcja osiąga maksimum:
W tym momencie funkcja osiąga minimum:

Zastanów się, dlaczego nie musisz przeliczać drugiej wartości ;-)

Po przejściu przez punkt pochodna nie zmienia znaku, więc funkcja NIE MA tam EKSTREMUM - zarówno malała, jak i pozostała malejąca.

! Powtórzmy ważną kwestię: punkty nie są uważane za krytyczne - zawierają funkcję niezdeterminowany. Odpowiednio tutaj W zasadzie nie może być skrajności(nawet jeśli pochodna zmienia znak).

Odpowiedź: funkcja zwiększa się o i maleje o W momencie osiągnięcia maksimum funkcji: , a w tym miejscu – minimum: .

Znajomość przedziałów i ekstremów monotoniczności w połączeniu z ustalonymi asymptoty daje już bardzo dobre pojęcie o wyglądzie wykresu funkcji. Osoba średnio wyszkolona potrafi werbalnie określić, że wykres funkcji ma dwie asymptoty pionowe i jedną asymptotę ukośną. Oto nasz bohater:

Spróbuj jeszcze raz skorelować wyniki badania z wykresem tej funkcji.
W punkcie krytycznym nie ma ekstremum, ale jest przegięcie wykresu(co z reguły dzieje się w podobnych przypadkach).

Przykład 4

Znajdź ekstremum funkcji

Przykład 5

Znajdź przedziały monotoniczności, maksima i minima funkcji

…to dziś prawie jak święto „X w kostce”....
Soooo, kto w galerii zaproponował, że za to wypije? =)

Każde zadanie ma swoje niuanse merytoryczne i techniczne, które są komentowane na końcu lekcji.

Algorytm znajdowania tych punktów był już omawiany kilkukrotnie, ale powtórzę go w skrócie:

1. Znajdź pochodną funkcji.

2. Znajdź miejsca zerowe pochodnej (przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż równanie).

3. Następnie budujemy oś liczbową, zaznaczamy na niej znalezione punkty i wyznaczamy znaki pochodnej na otrzymanych przedziałach. *Odbywa się to poprzez podstawienie dowolnych wartości z przedziałów do pochodnej.

Jeśli w ogóle nie znasz właściwości pochodnych do badania funkcji, koniecznie przestudiuj artykuł« ». Powtórz także tabelę pochodnych i zasad różniczkowania (dostępną w tym samym artykule). Rozważmy zadania:

77431. Znajdź maksimum funkcji y = x 3 –5x 2 +7x–5.

Znajdźmy pochodną funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej:

3x 2 – 10x + 7 = 0

y(0)" = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

y(2)" = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

ty(3)" = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

W punkcie x = 1 pochodna zmienia swój znak z dodatniego na ujemny, co oznacza, że ​​jest to pożądany punkt maksymalny.

Odpowiedź 1

77432. Znajdź punkt minimalny funkcji y = x 3 +5x 2 +7x–5.

Znajdźmy pochodną funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej:

3x 2 + 10x + 7 = 0

Rozwiązując równanie kwadratowe otrzymujemy:

Wyznaczamy znaki pochodnej funkcji na przedziałach i zaznaczamy je na szkicu. Podstawiamy dowolną wartość z każdego przedziału do wyrażenia pochodnego:

y(–3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

y(–2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0

y(0) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

W punkcie x = –1 pochodna zmienia swój znak z ujemnego na dodatni, co oznacza, że ​​jest to pożądany punkt minimalny.

Odpowiedź 1

77435. Znajdź maksimum funkcji y = 7 + 12x – x 3

Znajdźmy pochodną funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej:

12 – 3x 2 = 0

x2 = 4

Rozwiązując równanie otrzymujemy:

*Są to punkty możliwego maksimum (minimum) funkcji.

Wyznaczamy znaki pochodnej funkcji na przedziałach i zaznaczamy je na szkicu. Podstawiamy dowolną wartość z każdego przedziału do wyrażenia pochodnego:

y(–3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

y(0) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0

y( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0

W punkcie x = 2 pochodna zmienia swój znak z dodatniego na ujemny, co oznacza, że ​​jest to pożądany punkt maksymalny.

Odpowiedź: 2

*Dla tej samej funkcji punktem minimalnym jest punkt x = – 2.

77439. Znajdź maksimum funkcji y = 9x 2 – x 3.

Znajdźmy pochodną funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej:

18x –3x 2 = 0

3x(6 – x) = 0

Rozwiązując równanie otrzymujemy:

Wyznaczamy znaki pochodnej funkcji na przedziałach i zaznaczamy je na szkicu. Podstawiamy dowolną wartość z każdego przedziału do wyrażenia pochodnego:

y(–1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

y(1) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

ty(7) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0

W punkcie x = 6 pochodna zmienia swój znak z dodatniego na ujemny, co oznacza, że ​​jest to pożądany punkt maksymalny.

Odpowiedź: 6

*Dla tej samej funkcji punktem minimalnym jest punkt x = 0.

77443. Znajdź maksimum funkcji y = (x 3 /3)–9x–7.

Znajdźmy pochodną funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej:

x 2 – 9 = 0

x2 = 9

Rozwiązując równanie otrzymujemy:

Wyznaczamy znaki pochodnej funkcji na przedziałach i zaznaczamy je na szkicu. Podstawiamy dowolną wartość z każdego przedziału do wyrażenia pochodnego:

y(–4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0

y(0) "= 0 2 – 9 < 0

y(4) "= 4 2 – 9 > 0

W punkcie x = – 3 pochodna zmienia swój znak z dodatniego na ujemny, co oznacza, że ​​jest to pożądany punkt maksymalny.

Odpowiedź: – 3

W tym artykule przyjrzymy się kilku przykładom znajdowania punktów maksymalnych (minimalnych) funkcji niewymiernej. Algorytm rozwiązania był już wielokrotnie opisywany w artykułach o podobnych zadaniach, w jednym z poprzednich artykułów.

Możesz mieć pytanie - czym różni się funkcja wymierna od funkcji irracjonalnej?W funkcji niewymiernej, mówiąc najprościej, argument znajduje się pod pierwiastkiem lub jego stopień jest ułamkiem (ułamkiem nieredukowalnym). Inne pytanie -Jakie są różnice w znalezieniu ich maksymalnej (minimalnej) liczby punktów? Nic.

Zasada i algorytm rozwiązywania zadań określania maksymalnych (minimalnych) punktów jest taki sam. Dla wygody i usystematyzowania materiału podzieliłem go na kilka artykułów - osobno rozważałem wymierne, logarytmiczne, trygonometryczne i inne, pozostało jeszcze kilka przykładów na znalezienie największej (najmniejszej) wartości funkcji niewymiernej na odcinku. Rozważymy je również.

Opiszę szczegółowo, jak znaleźć pochodną, ​​gdy argument ma stopień; jest to używane we wszystkich poniższych przykładach.

Sama formuła:

To znaczy, jeśli mamy argument do pewnego stopnia i musimy znaleźć pochodną, ​​to zapisujemy tę wartość stopnia, mnożymy ją przez argument, a jego stopień będzie mniejszy o jeden, na przykład:

Jeśli stopień jest liczbą ułamkową, wszystko jest takie samo:

Następna chwila! Oczywiście trzeba pamiętać o właściwościach pierwiastków i potęg, a mianowicie:

To znaczy, jeśli w przykładzie widzisz na przykład wyrażenie (lub coś podobnego z rdzeniem):

Następnie przy rozwiązywaniu, aby obliczyć pochodną, ​​należy ją przedstawić jako x do potęgi, będzie to wyglądało tak:

Powinieneś znać resztę tabeli pochodnych i zasady różniczkowania!!!

Zasady różnicowania:

Spójrzmy na przykłady:

77451. Znajdź punkt minimalny funkcji y = x 3/2 – 3x + 1

Znajdźmy zera pochodnej:

Rozwiązujemy równanie:

W punkcie x = 4 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, co oznacza, że ​​ten punkt jest punktem minimalnym.

Odpowiedź: 4

77455. Znajdź maksymalny punkt funkcji

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej:

Rozwiązujemy równanie:

Określmy znaki pochodnej funkcji i przedstawmy zachowanie funkcji na rysunku. W tym celu podstawimy dowolne wartości z otrzymanych przedziałów do pochodnej:

W punkcie x = 4 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, co oznacza, że ​​ten punkt jest punktem maksymalnym.

Odpowiedź: 4

77457. Znajdź maksymalny punkt funkcji

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej:

Rozwiązanie równania:

Określmy znaki pochodnej funkcji i przedstawmy zachowanie funkcji na rysunku. W tym celu podstawimy dowolne wartości z otrzymanych przedziałów do pochodnej:

W punkcie x = 9 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, co oznacza, że ​​ten punkt jest punktem maksymalnym.

Odpowiedź: 9

Cześć! Zdajmy się na nadchodzący Egzamin Państwowy Jednolity wysokiej jakości, systematycznym przygotowaniem i wytrwałością w szlifowaniu granitu nauki!!! WNa końcu postu znajduje się zadanie konkursowe, bądź pierwszy! W jednym z artykułów w tym dziale ty i ja, w którym podano wykres funkcji i poruszono różne pytania dotyczące ekstremów, przedziałów wzrostu (spadku) i innych.

W tym artykule rozważymy problemy zawarte w Unified State Examination z matematyki, w którym podany jest wykres pochodnej funkcji i stawione są następujące pytania:

1. W którym punkcie danego odcinka funkcja przyjmuje największą (lub najmniejszą) wartość.

2. Znajdź liczbę punktów maksymalnych (lub minimalnych) funkcji należących do danego odcinka.

3. Znajdź liczbę ekstremów funkcji należących do danego odcinka.

4. Znajdź ekstremum funkcji należącej do danego odcinka.

5. Znajdź przedziały funkcji rosnącej (lub malejącej) i w odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

6. Znajdź przedziały wzrostu (lub spadku) funkcji. W swojej odpowiedzi wskaż długość największego z tych przedziałów.

7. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z prostą postaci y = kx + b.

8. Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi odciętych lub z nią pokrywa się.

Mogą pojawić się inne pytania, ale nie sprawią one żadnych trudności, jeśli zrozumiesz i (podane są linki do artykułów zawierających informacje niezbędne do rozwiązania, polecam je powtórzyć).

Podstawowe informacje (w skrócie):

1. Pochodna w rosnących odstępach ma znak dodatni.

Jeżeli pochodna w pewnym punkcie pewnego przedziału ma wartość dodatnią, to wykres funkcji na tym przedziale rośnie.

2. W malejących odstępach pochodna ma znak ujemny.

Jeżeli pochodna w pewnym punkcie pewnego przedziału ma wartość ujemną, to wykres funkcji maleje na tym przedziale.

3. Pochodna w punkcie x jest równa nachyleniu stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym samym punkcie.

4. W punktach ekstremum (maksimum-minimum) funkcji pochodna jest równa zeru. Styczna do wykresu funkcji w tym punkcie jest równoległa do osi x.

Należy to jasno zrozumieć i zapamiętać!!!

Wykres pochodnej „dezorientuje” wiele osób. Niektórzy nieumyślnie mylą go z wykresem samej funkcji. Dlatego w takich budynkach, gdzie widzisz, że dany jest wykres, od razu skup swoją uwagę w warunku na tym, co jest dane: wykresie funkcji czy wykresie pochodnej funkcji?

Jeśli jest to wykres pochodnej funkcji, to potraktuj go jako „odbicie” samej funkcji, co po prostu daje informację o tej funkcji.

Rozważ zadanie:

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–2;21).

Odpowiemy na następujące pytania:

1. W którym punkcie odcinka znajduje się funkcja F(X) przyjmuje największą wartość.

Na danym przedziale pochodna funkcji jest ujemna, co oznacza, że ​​funkcja na tym przedziale maleje (maleje od lewej granicy przedziału w prawo). Zatem największą wartość funkcji uzyskuje się na lewym brzegu odcinka, czyli w punkcie 7.

Odpowiedź: 7

2. W którym punkcie odcinka znajduje się funkcja F(X)

Z tego wykresu pochodnego możemy powiedzieć, co następuje. Na danym przedziale pochodna funkcji jest dodatnia, co oznacza, że ​​funkcja na tym przedziale rośnie (rośnie od lewej granicy przedziału w prawo). Zatem najmniejszą wartość funkcji uzyskuje się na lewym brzegu odcinka, czyli w punkcie x = 3.

Odpowiedź: 3

3. Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji F(X)

Maksymalne punkty odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z dodatniego na ujemny. Zastanówmy się, gdzie znak zmienia się w ten sposób.

W segmencie (3;6) pochodna jest dodatnia, w segmencie (6;16) ujemna.

W segmencie (16;18) pochodna jest dodatnia, w segmencie (18;20) ujemna.

Zatem na danym odcinku funkcja ma dwa maksymalne punkty x = 6 i x = 18.

Odpowiedź: 2

4. Znajdź liczbę punktów minimalnych funkcji F(X), należący do segmentu.

Punkty minimalne odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z ujemnego na dodatni. Nasza pochodna jest ujemna w przedziale (0;3) i dodatnia w przedziale (3;4).

Zatem na odcinku funkcja ma tylko jeden punkt minimalny x = 3.

*Bądź ostrożny podczas zapisywania odpowiedzi - zapisywana jest liczba punktów, a nie wartość x; taki błąd może zostać popełniony przez nieuwagę.

Odpowiedź 1

5. Znajdź liczbę ekstremów funkcji F(X), należący do segmentu.

Zanotuj, co musisz znaleźć ilość punkty ekstremalne (są to zarówno punkty maksymalne, jak i minimalne).

Punkty ekstremalne odpowiadają punktom, w których zmienia się znak pochodnej (z dodatniej na ujemną i odwrotnie). Na wykresie podanym w warunku są to zera funkcji. Pochodna znika w punktach 3, 6, 16, 18.

Zatem funkcja ma 4 ekstrema na odcinku.

Odpowiedź: 4

6. Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X)

Przedziały wzrostu tej funkcji F(X) odpowiadają przedziałom, w których jego pochodna jest dodatnia, to znaczy przedziałom (3;6) i (16;18). Należy pamiętać, że nie uwzględnia się w nim granic przedziału (nawiasy okrągłe – granice nie są wliczane do przedziału, nawiasy kwadratowe – uwzględniają). Przedziały te zawierają punkty całkowite 4, 5, 17. Ich suma wynosi: 4 + 5 + 17 = 26

Odpowiedź: 26

7. Znajdź przedziały funkcji malejącej F(X) w danym odstępie czasu. W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Malejące przedziały funkcji F(X) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest ujemna. W tym zadaniu są to przedziały (–2;3), (6;16), (18:21).

Przedziały te zawierają następujące punkty całkowite: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ich suma wynosi:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Odpowiedź: 140

*Zwróć uwagę na warunek: czy granice mieszczą się w przedziale, czy nie. Jeżeli uwzględnione są granice, to w przedziałach uwzględnianych w procesie rozwiązywania należy je również uwzględnić.

8. Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X)

Przedziały funkcji rosnącej F(X) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest dodatnia. Już je wskazaliśmy: (3;6) i (16:18). Największym z nich jest przedział (3;6), jego długość wynosi 3.

Odpowiedź: 3

9. Znajdź przedziały funkcji malejącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.

Malejące przedziały funkcji F(X) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest ujemna. Już je wskazaliśmy, są to przedziały (–2;3), (6;16), (18;21), ich długości wynoszą odpowiednio 5, 10, 3.

Długość największego wynosi 10.

Odpowiedź: 10

10. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji F(X) równolegle lub pokrywa się z linią prostą y = 2x + 3.

Wartość pochodnej w punkcie styczności jest równa nachyleniu stycznej. Ponieważ styczna jest równoległa do prostej y = 2x + 3 lub pokrywa się z nią, ich współczynniki kątowe wynoszą 2. Oznacza to, że należy znaleźć liczbę punktów, w których y′(x 0) = 2. Geometrycznie odpowiada to liczbie punktów przecięcia wykresu pochodnej z prostą y = 2. Na tym przedziale znajdują się 4 takie punkty.

Odpowiedź: 4

11. Znajdź ekstremum funkcji F(X), należący do segmentu.

Ekstremum funkcji to punkt, w którym jej pochodna jest równa zeru i w pobliżu tego punktu pochodna zmienia znak (z dodatniego na ujemny i odwrotnie). Na odcinku wykres pochodnej przecina oś x, pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni. Dlatego punkt x = 3 jest punktem ekstremalnym.

Odpowiedź: 3

12. Znajdź odciętą punktów, w których styczne do wykresu y = f (x) są równoległe do osi odciętych lub z nią pokrywają się. W swojej odpowiedzi wskaż największy z nich.

Styczna do wykresu y = f (x) może być równoległa do osi odciętej lub pokrywać się z nią tylko w punktach, w których pochodna jest równa zeru (mogą to być punkty ekstremalne lub punkty stacjonarne, w pobliżu których pochodna nie nie zmieniać znaku). Ten wykres pokazuje, że pochodna wynosi zero w punktach 3, 6, 16,18. Największy ma 18.

Możesz uporządkować swoje rozumowanie w następujący sposób:

Wartość pochodnej w punkcie styczności jest równa nachyleniu stycznej. Ponieważ styczna jest równoległa do osi x lub pokrywa się z nią, jej nachylenie wynosi 0 (w rzeczywistości tangens kąta zerowego stopni wynosi zero). Dlatego szukamy punktu, w którym nachylenie jest równe zero, a zatem pochodna jest równa zero. Pochodna jest równa zeru w punkcie przecięcia jej wykresu z osią x i są to punkty 3, 6, 16,18.

Odpowiedź: 18

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–8;4). W którym punkcie odcinka [–7;–3] znajduje się funkcja F(X) przyjmuje najmniejszą wartość.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–7;14). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji F(X), należący do segmentu [–6;9].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–18;6). Znajdź liczbę punktów minimalnych funkcji F(X), należący do segmentu [–13;1].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–11; –11). Znajdź liczbę ekstremów funkcji F(X), należący do segmentu [–10; -10].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–7;4). Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–5;7). Znajdź przedziały funkcji malejącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–11;3). Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.

F Rysunek przedstawia wykres

Warunki problemu są takie same (co rozważaliśmy). Znajdź sumę trzech liczb:

1. Suma kwadratów ekstremów funkcji f (x).

2. Różnica między kwadratami sumy punktów maksymalnych i sumą punktów minimalnych funkcji f (x).

3. Liczba stycznych do f (x) równoległych do prostej y = –3x + 5.

Osoba, która jako pierwsza udzieli prawidłowej odpowiedzi, otrzyma nagrodę motywacyjną w wysokości 150 rubli. Napisz swoje odpowiedzi w komentarzach. Jeżeli jest to Twój pierwszy komentarz na blogu, nie pojawi się on od razu, ale nieco później (nie martw się, odnotowywana jest godzina dodania komentarza).

Powodzenia!

Pozdrawiam, Alexander Krutitsikh.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.