Movimento a vortice. Linee e tubi Vortex. Secondo teorema di Helmholtz. Intensità del tubo vortice. Teorema di Stokes. Formula Bio-Savart.

Se in qualche regione dello spazio, ciò significa che le particelle liquide si muovono non solo traslazionalmente, ma durante il loro movimento ruotano attorno ad assi istantanei che passano attraverso il polo della particella. Questo movimento fluido è chiamato vortice e lo è la velocità angolare istantanea di rotazione della particella liquida I vettori di velocità angolari di volumi infinitamente piccoli di liquido in vari punti del flusso formano un campo vettoriale di velocità angolari (o un campo vettoriale di vortici del vettore velocità). Il campo vettoriale della velocità angolare o rotore del vettore velocità (vortice) è caratterizzato dalle seguenti immagini geometriche: linea del vortice E tubo a vortice.

Linea del vortice– una retta tangente alla quale in ogni suo punto questo momento il tempo è diretto lungo il vettore velocità del rotore, cioè || , dove è l'elemento della linea del vortice. Tenendo conto che = otteniamo l'equazione della linea del vortice:

(4.1)

Dove - proiezioni del vettore velocità angolare sugli assi coordinati. Durante il moto stazionario, le linee del vortice coincidono tra loro in momenti diversi.

Tubo a vortice – un insieme di linee di vortice che passano attraverso una curva chiusa che non è una linea di vortice.

Cavo a vortice – parte del liquido limitata dal tubo vortex.

2° teorema di Helmholtz - Il flusso del vettore velocità del rotore attraverso qualsiasi sezione del tubo vortice in un dato momento è lo stesso lungo l'intero tubo:

(4.2)

Il flusso vettoriale del vortice è una quantità caratteristica di un tubo vortice. Egli è chiamato intensità tubo vortice:

(4.3)

Per un tubo vorticoso elementare, la relazione (4.3) può essere scritta come segue:

(4.4)

Dall’espressione (4.4) seguono due corollari:

1. La sezione trasversale di un tubo vortex non può diventare zero in nessun punto all'interno del liquido.

2. I tubi Vortex non possono iniziare e terminare con una sezione trasversale di dimensioni finite all'interno del liquido.

I tubi vortice formano anelli chiusi o iniziano e terminano su superfici che delimitano il fluido o su una superficie libera.

Teorema di Stokes: L'intensità del tubo vortice è uguale alla circolazione del vettore velocità lungo un contorno chiuso situato sulla superficie del tubo vortice e che lo circonda una volta:

(4.5)

Se ci sono diversi tubi vorticosi nello spazio con intensità e nel resto dello spazio all'esterno dei tubi vortice , allora la circolazione del vettore velocità lungo un anello chiuso che racchiude i tubi vorticosi è uguale alla somma algebrica delle intensità di questi tubi:

(4.6)

Formula Bio-Savart – permette di calcolare il campo di velocità in prossimità di un dato filamento di vortice l (cavo vortice) con circolazione (intensità) G. La velocità indotta nel punto M da un elemento del filamento del vortice secondo la formula di Biot-Savart è pari a:

(4.7)

dove (vedi figura) è l'elemento della corda del vortice, è il raggio vettore diretto dall'inizio dell'elemento della corda del vortice al punto M, - l'angolo tra e .

Il vettore è diretto perpendicolarmente ai vettori e (secondo la regola prodotto vettoriale vettori). Trovare la velocità indotta dall'intero filamento del vortice in un punto M,è necessario integrare l'espressione (4.7) su tutta la lunghezza della colonna vortice.

Salvo rare eccezioni, il movimento di un liquido o di un gas avviene quasi sempre come un vortice. Pertanto, il flusso a vortice è un flusso laminare in un tubo circolare quando la velocità è distribuita secondo una legge parabolica, un flusso nello strato limite con un flusso regolare attorno a un corpo e sulla scia di un corpo poco aerodinamico. Qualsiasi flusso turbolento ha un carattere vorticoso. . Se il flusso attorno al corpo avviene in grandi quantità Rif , la vorticità viene generata nello strato limite e poi trasportata nel flusso principale, dove si formano vortici chiaramente visibili, che si evolvono per qualche tempo e mantengono la loro individualità. Ad esempio, dietro un corpo tozzo si forma uno schema regolare via del vortice Tasca. La formazione di vortici sulla scia di un corpo tozzo determina la parte principale della resistenza del corpo, e la formazione di vortici alle estremità delle ali dell'aereo provoca ulteriori reattanza induttiva .

Nozioni di base sulla teoria della somiglianza. Teoremi di similarità.

Criteri di somiglianza. Criteri di Reynolds, Eulero, Froude, Strouhal, Mach. Modellazione approssimativa.

Nonostante alto livello sviluppo della moderna meccanica dei fluidi, non tutti i problemi possono essere risolti teoricamente con sufficiente precisione e affidabilità per la pratica. Una parte significativa dei problemi idromeccanici e dei problemi pratici è stata finora risolta sperimentalmente. I principali studi sperimentali vengono condotti su impianti modello, dove possono essere utilizzati diversi fluidi di lavoro, e le prove stesse vengono eseguite a velocità e parametri del fluido diversi da quelli naturali. Lo scopo della modellazione è giudicare i fenomeni che si verificano in condizioni naturali sulla base dei risultati degli esperimenti su un modello. Pertanto, quando si imposta un esperimento, è necessario risolvere due problemi:

Come dovrebbe essere realizzato un modello dell'oggetto di prova;

La modellizzazione si basa sul concetto di similarità dei flussi confrontati. Due flussi sono simili se, dalle caratteristiche dell'uno, è possibile ricavare le caratteristiche dell'altro semplicemente moltiplicando le caratteristiche del primo per alcuni coefficienti costanti, detti coefficienti di similarità. Nella meccanica dei fluidi si distinguono la somiglianza geometrica, cinematica, dinamica e termica.

Due corpi sono geometricamente simili se segmenti simili dei corpi sono proporzionali e gli angoli tra segmenti simili sono uguali tra loro:

(12.1)

dove sono le lunghezze di segmenti simili, sono gli angoli tra segmenti simili e sono la scala lineare della simulazione. Scala lineare viene scelto per ragioni pratiche. Se scegliamo dimensioni caratteristiche simili sia per natura che per modello come unità di misura, allora qualsiasi dimensione lineare può essere espressa come frazioni di questi valori:

Si può dimostrare che, ad es. le coordinate adimensionali di punti simili in natura e nel modello sono le stesse.

I flussi sono cinematicamente simili se le velocità in punti simili sono proporzionali e gli angoli tra i vettori di velocità e gli assi delle coordinate sono gli stessi. Lascia che i flussi siano geometricamente simili. Se la relazione

(12.3)

sono identici per qualsiasi coppia di punti simili, allora i flussi sono cinematicamente simili (è la scala della simulazione in termini di velocità). Dalla somiglianza cinematica dei flussi consegue la somiglianza geometrica delle loro linee aerodinamiche.

La somiglianza dinamica richiede la proporzionalità delle forze che agiscono su elementi simili e l'uguaglianza degli angoli tra i corrispondenti vettori di forza e gli assi delle coordinate. Sia e siano forze che agiscono su elementi simili in natura e nel modello. Se

(12.4)

Se esiste un valore costante per qualsiasi coppia di elementi simili, allora i flussi sono dinamicamente simili. I valori adimensionali delle forze in punti simili sono gli stessi. La somiglianza cinematica e dinamica può esistere solo se c'è somiglianza geometrica. Se per qualsiasi gruppo di fenomeni idrodinamici esistono somiglianze cinematiche e dinamiche, allora viene chiamato gruppo di fenomeni meccanicamente simili. Somiglianza meccanica caso speciale somiglianza generale dei processi fisici.

Per flussi meccanicamente simili, le coordinate adimensionali di punti simili, le velocità adimensionali e le forze adimensionali in punti simili sono le stesse. I campi adimensionali dei parametri fisici di flussi meccanicamente simili sono identici. Un fenomeno idromeccanico è determinato dai campi che lo caratterizzano quantità fisiche Quando i fenomeni (sistemi) sono simili, i campi dei parametri corrispondenti dei due sistemi sono simili nello spazio e nel tempo. Se i flussi sono simili, allora le caratteristiche del flusso naturale si ottengono dalle caratteristiche del flusso modello moltiplicandole per i corrispondenti coefficienti di somiglianza (scale di modellazione).

Per la completa somiglianza di due flussi, è necessaria la proporzionalità di tutte le quantità che descrivono il processo. In pratica si limitano alla somiglianza parziale di alcune delle caratteristiche più significative per un dato fenomeno.

La teoria della somiglianza è lo studio delle condizioni per la somiglianza dei fenomeni fisici. Si basa sulla dottrina della dimensione delle quantità fisiche e serve come base per la modellizzazione. Oggetto della teoria della somiglianza è la definizione di criteri per la somiglianza dei fenomeni fisici e lo studio, utilizzando tali criteri, delle proprietà dei fenomeni stessi.

La teoria della somiglianza si basa sui seguenti teoremi:

Informazioni correlate.

Linee di flusso dei fluidi e linee di vortice. Movimento che cambia dolcemente e bruscamente

Se prendiamo un contorno chiuso infinitesimo in un fluido in movimento e tracciamo linee di flusso attraverso tutti i suoi punti, si forma una superficie tubolare chiamata tubo di flusso. La parte di flusso contenuta all'interno del tubo di corrente è detta corrente elementare. Poiché le dimensioni trasversali del flusso tendono a zero, alla fine si contrae in una linea aerodinamica.

In qualsiasi punto del tubo del flusso, cioè sulla superficie laterale del flusso, i vettori di velocità sono diretti tangenzialmente e non ci sono componenti di velocità normali a questa superficie, quindi, durante il moto stazionario, non una singola particella di liquido in nessun punto del tubo del flusso può penetrare all'interno del flusso o uscire all'esterno. Il tubo di corrente è dunque come un muro impenetrabile, e il rivolo elementare è un flusso elementare indipendente.

Figura 1.12 Figura 1.3

Linee di corrente Tubo di corrente

Considereremo innanzitutto i flussi di dimensioni finite come un insieme di flussi elementari, ovvero assumeremo che il flusso sia un getto. A causa della differenza di velocità, i corsi d'acqua vicini scivolano uno sull'altro, ma non si mescolano tra loro. Una sezione vivente, o semplicemente una sezione di flusso, è generalmente chiamata superficie all'interno di un flusso, tracciata perpendicolarmente alle linee del flusso. Successivamente considereremo le zone nei flussi in cui i corsi d'acqua possono essere considerati paralleli e, quindi, i tratti abitati possono essere considerati pianeggianti.

Esistono flussi di fluidi in pressione e non in pressione. I flussi di pressione sono chiamati flussi in canali chiusi senza superficie libera, mentre i flussi non di pressione sono flussi con superficie libera. Nei flussi in pressione, la pressione lungo il flusso è generalmente variabile, nei flussi non in pressione è costante (sulla superficie libera) e molto spesso atmosferica. Esempi di flusso in pressione includono flussi in tubazioni ad alta (o bassa) pressione, in macchine idrauliche o altre unità idrauliche. Le correnti nei fiumi scorrono libere, canali aperti e vassoi.

Consumoè la quantità di liquido che scorre attraverso un flusso vivo (gocciolamento) per unità di tempo. Questa quantità può essere misurata in unità di volume, in unità di peso o in unità di massa, e quindi si distingue tra portate di volume Q, di peso Q G e di massa Q m.

Per un flusso elementare con aree della sezione trasversale infinitamente piccole, la velocità reale può essere considerata la stessa in tutti i punti di ciascuna sezione. Pertanto per questo flusso le portate volumetriche (m 3 / s), ponderali (N / s) e massiche (kg / s)

;

Per un flusso di dimensioni finite, nel caso generale, la velocità ha significato diverso in punti diversi della sezione, per cui la portata deve essere determinata come somma delle portate elementari dei torrenti.

Di solito viene presa in considerazione la velocità media della sezione trasversale

v avg =Q/S, da cui Q= v avg S.

In base alla legge di conservazione della materia, al presupposto della continuità (continuità) del flusso e alla già citata proprietà del tubo di flusso, che consiste nella sua “impenetrabilità”, per un flusso stazionario di un fluido incomprimibile può si può sostenere che la portata volumetrica in tutte le sezioni di un corso d’acqua elementare è la stessa:

dQ=v 1 dS 1 =v 2 dS 2 =const (lungo il corso d'acqua)

Questa equazione è chiamata equazione del flusso volumetrico per un getto elementare.

Un'equazione simile può essere formulata per un flusso di dimensioni finite, limitato da pareti impenetrabili, solo che al posto delle velocità reali si dovrebbero inserire le velocità medie.

Abbiamo già scritto le equazioni generali per il moto di un fluido incomprimibile in presenza di vorticità:

Il contenuto fisico di queste equazioni è stato descritto verbalmente da Helmholtz in tre teoremi. Prima di tutto, immagina di aver disegnato linee di vortice invece di linee di flusso. Per linee vorticose intendiamo linee di campo che hanno la direzione del vettore e la loro densità in qualsiasi regione è proporzionale al valore. Dall'equazione (II) la divergenza è sempre zero [ricordate il capitolo 3, § 7 (punto 5): la divergenza del rotore è sempre zero]. Pertanto, le linee del vortice sono simili alle linee del campo: non finiscono da nessuna parte e non iniziano da nessuna parte e tendono sempre a chiudersi. Helmholtz descrisse la formula (III) con le parole: le linee di vortice si muovono con il liquido. Ciò significa che se si dovessero contrassegnare le particelle liquide situate su una determinata linea del vortice, ad esempio colorandole con inchiostro, man mano che il liquido si muove e trasferisce queste particelle, segnerebbero sempre la nuova posizione della linea del vortice. Non importa come si muovono gli atomi liquidi, le linee dei vortici si muovono con loro. Questo è un modo di descrivere le leggi. Contiene anche un metodo per risolvere qualsiasi problema. Dato il tipo iniziale di flusso, ad esempio specificando ovunque, puoi calcolare . Sapendolo, possiamo anche dire dove saranno le linee del vortice un po' più tardi: si muovono a velocità. E con il nuovo valore, puoi utilizzare le equazioni (I) e (II) e trovare un nuovo valore. (Proprio come nel problema di trovare il campo da determinate correnti.) Se ci viene dato il tipo di flusso in un momento, allora in linea di principio possiamo calcolarlo in tutti i momenti successivi. Noi abbiamo decisione comune flusso non viscoso.

Vorrei mostrarvi come (almeno in parte) si può intendere l'enunciato di Helmholtz, e quindi la formula (III). In realtà questa è semplicemente la legge di conservazione del momento angolare applicata ad un fluido. Immagina un piccolo cilindro liquido il cui asse è parallelo alle linee del vortice (Fig. 40.13a). Dopo qualche tempo, lo stesso volume di liquido sarà altrove. In generale, avrà la forma di un cilindro con un diametro diverso e situato in una posizione diversa. Può anche avere un orientamento diverso (Fig. 40.13b). Ma se cambia il diametro, deve cambiare anche la lunghezza affinché il volume rimanga costante (poiché consideriamo il fluido incomprimibile). Inoltre, poiché le linee del vortice sono associate alla materia, la loro densità aumenta in proporzione inversa alla diminuzione dell'area della sezione trasversale del cilindro. Il prodotto per l'area del cilindro rimarrà costante, secondo Helmholtz

Fico. 40.13. Un gruppo di linee di vortice nel momento (a) e le stesse linee in un momento successivo (b).

Ora notiamo che a viscosità zero, tutte le forze sulla superficie di un volume cilindrico (o qualsiasi volume in quella sostanza) sono perpendicolari alla superficie. Le forze di pressione possono costringerlo a cambiare forma, ma senza forze tangenziali l'entità del momento angolare del fluido al suo interno non può cambiare. Il momento angolare di un fluido all'interno di un piccolo cilindro è uguale al prodotto del suo momento d'inerzia per la velocità angolare del fluido, che è proporzionale alla vorticità. Il momento di inerzia del cilindro è proporzionale a . Pertanto, dalla conservazione del momento angolare, concluderemmo questo

.

Ma la massa sarà la stessa e l'area sarà proporzionale a , quindi otteniamo ancora una volta solo l'equazione (40.21). L'affermazione di Helmholtz, che equivale alla formula (III), è semplicemente una conseguenza del fatto che in assenza di viscosità il momento angolare di un elemento fluido non può cambiare.

Esiste un buon modo per dimostrare un vortice in movimento utilizzando l'apparato mostrato in FIG. 40.14. Si tratta di un “tamburo” del diametro e della lunghezza di circa 60 cm, costituito da una scatola cilindrica sulla cui base aperta è teso uno spesso foglio di gomma. Il tamburo è su un lato e al centro del suo fondo duro viene ritagliato un foro con un diametro di circa 8 cm, se si colpisce bruscamente il diaframma di gomma con la mano, un vortice anulare vola fuori dal foro. Sebbene questo vortice non possa essere visto, possiamo tranquillamente affermare che esiste, poiché spegne la fiamma di una candela che si trova a 3-6 m dal tamburo. Dal ritardo di questo effetto, puoi dire che "qualcosa" si sta diffondendo a una velocità finita. Puoi vedere meglio cosa sta volando fuori riempiendo prima il tamburo di fumo. Quindi vedrai i vortici sotto forma di anelli di "fumo di tabacco" incredibilmente belli.

Fico. 40.14. Anelli di vortice di diffusione.

Gli anelli di fumo (Fig. 40.15a) sono solo un insieme di linee di vortice. Poiché , queste linee di vortice descrivono anche la circolazione (Fig. 40.15, b). Per spiegare perché l'anello si muove in avanti (cioè nella direzione che costituisce la direzione della vite destra), si può ragionare così: la velocità di circolazione aumenta verso la superficie interna dell'anello, e la velocità all'interno dell'anello è diretta inoltrare. Poiché le linee vengono trasferite insieme al liquido, si muovono anche con velocità. (Naturalmente, la maggiore velocità all’interno dell’anello è responsabile del movimento in avanti delle linee del vortice all’esterno.)

Fico. 40.15. Un anello a vortice in movimento (a) e la sua sezione trasversale (b).

Qui occorre sottolineare una seria difficoltà. Come abbiamo già notato, l'equazione (40.90) dice che se la vorticità inizialmente era zero, allora rimarrà sempre zero. Questo risultato è la rovina della teoria dell’acqua secca, perché significa che se ad un certo punto il valore è zero, allora sarà sempre zero, e in nessuna circostanza si potrà creare vorticità. Tuttavia, nel nostro semplice esperimento sul tamburo siamo stati in grado di creare anelli di vortice nell'aria che precedentemente era a riposo. (È chiaro che finché non colpiamo il tamburo, al suo interno e.) Tutti sanno che remando con un remo si possono creare vortici nell'acqua. Indubbiamente, per comprendere appieno il comportamento di un liquido, bisognerebbe passare alla teoria dell’acqua “bagnata”.

Un'altra affermazione errata nella teoria dell'acqua “secca” è l'ipotesi che abbiamo fatto considerando il flusso al confine tra esso e la superficie di un oggetto solido. Quando abbiamo discusso del flusso attorno a un cilindro (ad esempio, Fig. 40.11), abbiamo ipotizzato che il fluido scivolasse lungo la superficie di un corpo solido. Nella nostra teoria la velocità sulla superficie di un solido poteva avere qualsiasi valore, a seconda di come iniziava il movimento, e non tenevamo conto dell’eventuale “attrito” tra il fluido e il solido. Tuttavia il fatto che la velocità di un fluido reale debba arrivare a zero sulla superficie di un corpo solido è un fatto sperimentale. Di conseguenza le nostre soluzioni per il cilindro sia con che senza circolazione sono errate, così come il risultato della creazione di un vortice. Oh di più teorie corrette Te lo dirò nel prossimo capitolo.

Abbiamo già scritto le equazioni generali per il moto di un fluido incomprimibile in presenza di vorticità:

Il contenuto fisico di queste equazioni è stato descritto verbalmente da Helmholtz in tre teoremi. Prima di tutto, immagina che invece delle linee di flusso abbiamo disegnato vorticelinee ruggenti. Per linee vorticose intendiamo linee di campo che hanno la direzione del vettore Ω, e la loro densità in qualsiasi regione è proporzionale al valore di Ω. Dall'equazione (II), la divergenza Ω Sempreè uguale a zero [ricordate il capitolo 3, § 7 (punto 5): la divergenza del rotore è sempre zero]. Pertanto, le linee del vortice sono simili alle linee del campo B: non finiscono da nessuna parte e non iniziano da nessuna parte e tendono sempre a chiudersi. Helmholtz descrisse la formula (III) con le parole: linee di vortice muoversi insiemecon liquido. Ciò significa che se si dovessero contrassegnare le particelle liquide situate su una determinata linea del vortice, ad esempio colorandole con inchiostro, man mano che il liquido si muove e trasferisce queste particelle, segnerebbero sempre la nuova posizione della linea del vortice. Non importa come si muovono gli atomi liquidi, le linee dei vortici si muovono con loro. Questo è un modo di descrivere le leggi. Contiene anche un metodo per risolvere qualsiasi problema. Data la forma iniziale del flusso, ad esempio specificando v ovunque, puoi calcolare Ω. Conoscendo v, possiamo anche dire dove si troveranno le linee del vortice un po’ più tardi: si muovono alla velocità v. E con il nuovo valore di Ω, puoi usare le equazioni (I) e (II) e trovare il nuovo valore di v. (Proprio come nel problema di trovare il campo B da correnti date.) Se ci viene dato il tipo di flusso in un momento, allora in linea di principio possiamo calcolarlo in tutti i momenti successivi. Otteniamo una soluzione generale per il flusso non viscoso.

Vorrei mostrarvi come (almeno in parte) si può intendere l'enunciato di Helmholtz, e quindi la formula (III). In realtà questa è semplicemente la legge di conservazione del momento angolare applicata ad un fluido. Immagina un piccolo cilindro liquido il cui asse è parallelo alle linee del vortice (Fig. 40.13a). Qualche tempo dopo, Stessomaggior parte il volume del liquido si troverà da qualche altra parte. In generale, avrà la forma di un cilindro con un diametro diverso e situato in una posizione diversa. Può anche avere un orientamento diverso (Fig. 40.13b). Ma se cambia il diametro, deve cambiare anche la lunghezza affinché il volume rimanga costante (poiché consideriamo il fluido incomprimibile). Inoltre, poiché le linee del vortice sono associate alla materia, la loro densità aumenta in proporzione inversa alla diminuzione dell'area della sezione trasversale del cilindro. Prodotto tra Ω e l'area del cilindro UN rimarrà costante, quindi secondo Helmholtz

Si noti ora che a viscosità zero tutte le forze sulla superficie del volume cilindrico (o Qualunque volume in questa sostanza) sono perpendicolari alla superficie. Le forze di pressione possono costringerlo a cambiare forma, ma senza tangentecial forza grandezza del momento angolare del fluidodentro Non può cambiare. Il momento angolare del fluido all'interno di un piccolo cilindro è uguale al prodotto del suo momento d'inerzia / e della velocità angolare del fluido, che è proporzionale alla vorticità Ω. Il momento di inerzia del cilindro è proporzionale tr 2. Pertanto, dalla conservazione del momento angolare, concluderemmo questo

Ma la massa sarà la stessa (M 1 = M2), e l'area è proporzionale R 2 , quindi ancora una volta otteniamo solo l'equazione (40.21). L'affermazione di Helmholtz, che equivale alla formula (III), è semplicemente una conseguenza del fatto che in assenza di viscosità il momento angolare di un elemento fluido non può cambiare.

Esiste un buon modo per dimostrare un vortice in movimento utilizzando l'apparato mostrato in FIG. 40.14. Si tratta di un “tamburo” del diametro e della lunghezza di circa 60 cm, costituito da una scatola cilindrica sulla cui base aperta è teso uno spesso foglio di gomma. Il tamburo è appoggiato su un lato e al centro del fondo duro è praticato un foro del diametro di circa 8 mm. cm. Se colpisci bruscamente il diaframma di gomma con la mano, un vortice ad anello vola fuori dal foro. Anche se questo vortice non può essere visto, possiamo tranquillamente affermare che esiste, poiché spegne la fiamma di una candela alta 3-6 M dal tamburo. Dal ritardo di questo effetto, puoi dire che "qualcosa" si sta diffondendo a una velocità finita. Puoi vedere meglio cosa sta volando fuori riempiendo prima il tamburo di fumo. Quindi vedrai i vortici sotto forma di anelli di "fumo di tabacco" incredibilmente belli.

Gli anelli di fumo (Fig. 40.15a) sono solo un insieme di linee di vortice. Poiché Ω=Vx v, queste linee di vortice descrivono anche la circolazione v (Fig. 40.15, b). Per spiegare perché l'anello si muove in avanti (cioè nella direzione che costituisce la vite destra con direzione Ω), si può ragionare così: la velocità di circolazione aumenta verso intcaglio superficie dell'anello e la velocità all'interno dell'anello è diretta in avanti. Poiché le linee Ω vengono trasferite insieme al liquido, anch'esse si muovono con velocità v. (Certamente, ad alta velocità sulla parte interna dell'anello è responsabile del movimento in avanti delle linee di vortice sulla sua parte esterna.)

Qui occorre sottolineare una seria difficoltà. Come abbiamo già notato, l'equazione (40.90) dice che se inizialmente la vorticità Ω era uguale a zero, allora rimarrà sempre uguale a zero. Questo risultato è un collasso della teoria dell’acqua “secca”, perché significa che se in un certo momento il valore di Ω è uguale a zero, allora Sempre sarà uguale a zero, e in nessun caso creare la vorticità non è possibile. Tuttavia, nel nostro semplice esperimento sul tamburo siamo stati in grado di creare anelli di vortice nell'aria che precedentemente era a riposo. (È chiaro che finché non colpiamo il tamburo, v = 0 e Ω = 0 al suo interno.) Tutti sanno che remando con un remo si possono creare vortici nell'acqua. Indubbiamente, per comprendere appieno il comportamento di un liquido, bisognerebbe passare alla teoria dell’acqua “bagnata”.

Un'altra affermazione errata nella teoria dell'acqua “secca” è l'ipotesi che abbiamo fatto considerando il flusso al confine tra esso e la superficie di un oggetto solido. Quando abbiamo discusso del flusso attorno a un cilindro (ad esempio, Fig. 40.11), abbiamo ipotizzato che il fluido scivolasse lungo la superficie di un corpo solido. Nella nostra teoria la velocità sulla superficie di un solido poteva avere qualsiasi valore, a seconda di come iniziava il movimento, e non tenevamo conto dell’eventuale “attrito” tra il fluido e il solido. Tuttavia il fatto che la velocità di un fluido reale debba arrivare a zero sulla superficie di un corpo solido è un fatto sperimentale. Di conseguenza le nostre soluzioni per il cilindro sia con che senza circolazione sono errate, così come il risultato della creazione di un vortice. Delle teorie più corrette vi parlerò nel prossimo capitolo.