introduzione

Quando abbiamo iniziato a studiare le figure stereometriche, abbiamo toccato l'argomento "Piramide". Questo tema ci è piaciuto perché la piramide viene utilizzata molto spesso in architettura. E poiché la nostra futura professione di architetto, ispirandosi a questa figura, pensiamo che potrà spingerci verso grandi progetti.

La forza delle strutture architettoniche, la loro qualità più importante. Associando la forza, in primo luogo, ai materiali da cui sono creati e, in secondo luogo, alle caratteristiche delle soluzioni progettuali, si scopre che la forza di una struttura è direttamente correlata alla forma geometrica che ne è fondamentale.

Si tratta, in altre parole, della figura geometrica che può essere considerata come modello della corrispondente forma architettonica. Si scopre che la forma geometrica determina anche la forza della struttura architettonica.

Le piramidi egiziane sono state a lungo considerate la struttura architettonica più durevole. Come sapete, hanno la forma di piramidi quadrangolari regolari.

È questa forma geometrica che offre la massima stabilità grazie all'ampia superficie di base. D'altra parte, la forma della piramide fa sì che la massa diminuisca all'aumentare dell'altezza dal suolo. Sono queste due proprietà che rendono la piramide stabile e quindi forte nelle condizioni di gravità.

Obiettivo del progetto: imparare qualcosa di nuovo sulle piramidi, approfondire la conoscenza e trovare applicazioni pratiche.

Per raggiungere questo obiettivo, è stato necessario risolvere i seguenti compiti:

Scopri informazioni storiche sulla piramide

Considera la piramide come una figura geometrica

Trova applicazione nella vita e nell'architettura

Trova somiglianze e differenze tra le piramidi situate in diverse parti del mondo

Parte teorica

Informazioni storiche

L'inizio della geometria della piramide fu posto nell'antico Egitto e in Babilonia, ma fu sviluppato attivamente nell'antica Grecia. Il primo a stabilire a quanto corrisponde il volume della piramide fu Democrito, e lo dimostrò Eudosso di Cnido. L'antico matematico greco Euclide sistematizzò la conoscenza della piramide nel XII volume dei suoi "Inizi" e fece emergere anche la prima definizione di piramide: una figura corporea delimitata da piani che convergono da un piano in un punto.

Le tombe dei faraoni egiziani. Le più grandi di queste: le piramidi di Cheope, Chefren e Mikerin a El Giza nei tempi antichi erano considerate una delle sette meraviglie del mondo. L'erezione della piramide, in cui già Greci e Romani vedevano un monumento all'orgoglio senza precedenti dei re e alla crudeltà, che condannò l'intero popolo egiziano a una costruzione insensata, era l'atto di culto più importante e avrebbe dovuto esprimere, a quanto pare, l'identità mistica del paese e del suo sovrano. La popolazione del paese lavorava alla costruzione della tomba nella parte dell'anno libera dai lavori agricoli. Numerosi testi testimoniano l'attenzione e la cura che gli stessi re (seppur di epoca successiva) prestarono alla costruzione della loro tomba e dei suoi costruttori. È anche noto degli speciali onori di culto che si sono rivelati essere la piramide stessa.

Concetti basilari

Piramide Si chiama un poliedro, la cui base è un poligono e le restanti facce sono triangoli con un vertice comune.

Apotema- l'altezza della faccia laterale di una piramide regolare, ricavata dal suo vertice;

Facce laterali- triangoli convergenti in alto;

Costole laterali- lati comuni delle facce laterali;

sommità della piramide- un punto che collega i bordi laterali e non giace nel piano della base;

Altezza- un segmento di una perpendicolare tracciata attraverso la sommità della piramide fino al piano della sua base (le estremità di questo segmento sono la sommità della piramide e la base della perpendicolare);

Sezione diagonale di una piramide- sezione della piramide passante per il vertice e la diagonale della base;

Base- un poligono che non appartiene al vertice della piramide.

Le principali proprietà della piramide corretta

I bordi laterali, le facce laterali e gli apotemi sono rispettivamente uguali.

Gli angoli diedri alla base sono uguali.

Gli angoli diedri ai bordi laterali sono uguali.

Ogni punto di altezza è equidistante da tutti i vertici di base.

Ogni punto di altezza è equidistante da tutte le facce laterali.

Formule piramidali fondamentali

L'area della superficie laterale e completa della piramide.

L'area della superficie laterale della piramide (intera e tronca) è la somma delle aree di tutte le sue facce laterali, la superficie totale è la somma delle aree di tutte le sue facce.

Teorema: L'area della superficie laterale di una piramide regolare è pari alla metà del prodotto del perimetro della base e dell'apotema della piramide.

P- perimetro della base;

H- apotema.

L'area delle superfici laterali e piene di una piramide tronca.

p1, P 2 - perimetri di base;

H- apotema.

R- superficie totale di una piramide regolare tronca;

Lato S- area della superficie laterale di una piramide regolare tronca;

S1+S2- superficie della base

Volume piramidale

Modulo La scala del volume viene utilizzata per piramidi di qualsiasi tipo.

Hè l'altezza della piramide.

Angoli della piramide

Gli angoli formati dalla faccia laterale e dalla base della piramide si chiamano angoli diedri alla base della piramide.

Un angolo diedro è formato da due perpendicolari.

Per determinare questo angolo, spesso è necessario utilizzare il teorema delle tre perpendicolari.

Si chiamano angoli gli angoli formati da uno spigolo laterale e dalla sua proiezione sul piano della base angoli tra il bordo laterale e il piano della base.

Si chiama l'angolo formato da due facce laterali angolo diedro al bordo laterale della piramide.

Si chiama l'angolo formato dai due spigoli laterali di una faccia della piramide angolo in cima alla piramide.

Sezioni della piramide

La superficie di una piramide è la superficie di un poliedro. Ciascuna delle sue facce è un piano, quindi la sezione della piramide data dal piano secante è una linea spezzata costituita da rette separate.

Sezione diagonale

Si chiama sezione di una piramide mediante un piano passante per due spigoli laterali che non giacciono sulla stessa faccia sezione diagonale piramidi.

Sezioni parallele

Teorema:

Se la piramide è attraversata da un piano parallelo alla base, allora i bordi laterali e le altezze della piramide sono divisi da questo piano in parti proporzionali;

La sezione di questo piano è un poligono simile alla base;

Le aree della sezione e della base sono correlate tra loro come i quadrati delle loro distanze dal vertice.

Tipi di piramide

Piramide corretta- una piramide, la cui base è un poligono regolare, e la sommità della piramide è proiettata al centro della base.

Nella piramide corretta:

1. le nervature laterali sono uguali

2. le facce laterali sono uguali

3. gli apotemi sono uguali

4. gli angoli diedri alla base sono uguali

5. Gli angoli diedri ai bordi laterali sono uguali

6. ogni punto di altezza è equidistante da tutti i vertici di base

7. ogni punto di altezza è equidistante da tutte le facce laterali

Piramide tronca- la parte della piramide racchiusa tra la sua base e un piano di taglio parallelo alla base.

Si chiamano la base e la sezione corrispondente di una piramide tronca basi di una piramide tronca.

Si chiama perpendicolare tracciata da un punto qualsiasi di una base al piano di un'altra l'altezza della piramide tronca.

Compiti

N. 1. In una piramide quadrangolare regolare, il punto O è il centro della base, SO=8 cm, BD=30 cm. Trova il bordo laterale SA.

Risoluzione dei problemi

N. 1. In una piramide regolare tutte le facce e gli spigoli sono uguali.

Consideriamo OSB: rettangolo rettangolare OSB, perché.

SB2 \u003d SO2 + OB2

SB2=64+225=289

Piramide in architettura

Piramide - una struttura monumentale sotto forma di una normale piramide geometrica regolare, in cui i lati convergono in un punto. Secondo lo scopo funzionale, le piramidi nell'antichità erano un luogo di sepoltura o di culto. La base di una piramide può essere triangolare, quadrangolare o poligonale con un numero arbitrario di vertici, ma la versione più comune è la base quadrangolare.

Si conosce un numero considerevole di piramidi, costruite da diverse culture del mondo antico, principalmente come templi o monumenti. Le piramidi più grandi sono le piramidi egiziane.

In tutta la Terra puoi vedere strutture architettoniche sotto forma di piramidi. Gli edifici piramidali ricordano i tempi antichi e sembrano molto belli.

Le piramidi egiziane sono i più grandi monumenti architettonici dell'Antico Egitto, tra cui una delle "Sette Meraviglie del Mondo" è la piramide di Cheope. Dai piedi alla cima raggiunge i 137,3 m, e prima di perdere la cima la sua altezza era di 146,7 m.

L'edificio della stazione radio nella capitale della Slovacchia, che ricorda una piramide rovesciata, è stato costruito nel 1983. Oltre agli uffici e ai locali di servizio, all'interno del volume si trova una sala da concerto abbastanza spaziosa, che ospita uno dei più grandi organi della Slovacchia .

Il Louvre, che "è silenzioso e maestoso come una piramide" ha subito molti cambiamenti nel corso dei secoli prima di diventare il più grande museo del mondo. Nacque come fortezza, eretta da Filippo Augusto nel 1190, che presto si trasformò in residenza reale. Nel 1793 il palazzo divenne un museo. Le collezioni si arricchiscono attraverso lasciti o acquisti.

Gli studenti incontrano il concetto di piramide molto prima di studiare la geometria. La colpa è delle famose grandi meraviglie egiziane del mondo. Pertanto, iniziando lo studio di questo meraviglioso poliedro, la maggior parte degli studenti lo immagina già chiaramente. Tutti i mirini di cui sopra sono nella forma corretta. Che è successo piramide destra, e quali proprietà ha e saranno discusse ulteriormente.

In contatto con

Definizione

Esistono molte definizioni di piramide. Fin dai tempi antichi è stato molto popolare.

Ad esempio, Euclide la definì come una figura solida, costituita da piani, che, partendo da uno, convergono in un certo punto.

Heron ha fornito una formulazione più precisa. Ha insistito sul fatto che fosse una cifra quella ha una base e piani a forma di triangoli, convergenti in un punto.

Secondo l'interpretazione moderna, la piramide si presenta come un poliedro spaziale, costituito da un certo k-gon e k figure triangolari piatte, aventi un punto comune.

Diamo uno sguardo più da vicino, Da quali elementi è composto?

• k-gon è considerato la base della figura;
• Le figure a 3 angoli sporgono come i lati della parte laterale;
• la parte superiore, da cui hanno origine gli elementi laterali, è detta top;
• tutti i segmenti che collegano il vertice sono chiamati spigoli;
• se una linea retta viene abbassata dall'alto al piano della figura con un angolo di 90 gradi, allora la sua parte racchiusa nello spazio interno è l'altezza della piramide;
• in qualsiasi elemento laterale al lato del nostro poliedro è possibile tracciare una perpendicolare, chiamata apotema.

Il numero di spigoli viene calcolato utilizzando la formula 2*k, dove k è il numero di lati del k-gon. Quante facce ha un poliedro come una piramide può essere determinato con l'espressione k + 1.

Importante! Piramide forma corretta chiamata figura stereometrica il cui piano base è un k-gon con lati uguali.

Proprietà di base

Piramide corretta ha molte proprietà che sono unici per lei. Li elenchiamo:

1. La base è una figura della forma corretta.
2. Gli spigoli della piramide, che delimitano gli elementi laterali, hanno valori numerici uguali.
3. Gli elementi laterali sono triangoli isosceli.
4. La base dell'altezza della figura cade nel centro del poligono, mentre è contemporaneamente il punto centrale dell'inscritto e del descritto.
5. Tutte le nervature laterali sono inclinate rispetto al piano di base con lo stesso angolo.
6. Tutte le superfici laterali hanno lo stesso angolo di inclinazione rispetto alla base.

Grazie a tutte le proprietà elencate, l'esecuzione dei calcoli degli elementi è notevolmente semplificata. Sulla base delle proprietà di cui sopra, prestiamo attenzione a due segni:

1. Nel caso in cui il poligono rientra in un cerchio, le facce laterali avranno angoli uguali con la base.
2. Quando si descrive un cerchio attorno ad un poligono, tutti gli spigoli della piramide che partono dal vertice avranno la stessa lunghezza e gli angoli uguali con la base.

La piazza è basata

Piramide quadrangolare regolare - un poliedro basato su un quadrato.

Ha quattro facce laterali, che hanno un aspetto isoscele.

Su un piano è raffigurato un quadrato, ma si basano su tutte le proprietà di un quadrilatero regolare.

Ad esempio, se è necessario collegare il lato di un quadrato con la sua diagonale, viene utilizzata la seguente formula: la diagonale è uguale al prodotto del lato del quadrato e della radice quadrata di due.

Basato su un triangolo regolare

Una piramide triangolare regolare è un poliedro la cui base è un trigono regolare.

Se la base è un triangolo regolare e i bordi laterali sono uguali ai bordi della base, allora tale figura chiamato tetraedro.

Tutte le facce di un tetraedro sono 3 angoli equilateri. In questo caso, devi conoscere alcuni punti e non perdere tempo con essi durante il calcolo:

• l'angolo di inclinazione delle nervature rispetto a qualsiasi base è di 60 gradi;
• anche il valore di tutte le facce interne è di 60 gradi;
• qualsiasi volto può fungere da base;
• disegnati all'interno della figura sono elementi uguali.

Sezioni di un poliedro

In ogni poliedro ci sono diversi tipi di sezioni aereo. Spesso in un corso di geometria scolastica lavorano con due:

• assiale;
• base parallela.

Una sezione assiale si ottiene intersecando un poliedro con un piano che passa per il vertice, gli spigoli laterali e l'asse. In questo caso l'asse è l'altezza tracciata dal vertice. Il piano di taglio è limitato dalle linee di intersezione con tutte le facce, di conseguenza otteniamo un triangolo.

Attenzione! In una piramide regolare la sezione assiale è un triangolo isoscele.

Se il piano di taglio corre parallelo alla base, il risultato è la seconda opzione. In questo caso, abbiamo nel contesto una figura simile alla base.

Ad esempio, se la base è un quadrato, anche la sezione parallela alla base sarà un quadrato, solo di dimensioni inferiori.

Quando si risolvono problemi in questa condizione, vengono utilizzati segni e proprietà di somiglianza delle figure, basato sul teorema di Talete. Prima di tutto, è necessario determinare il coefficiente di somiglianza.

Se il piano viene disegnato parallelo alla base e taglia la parte superiore del poliedro, nella parte inferiore si ottiene un tronco di piramide regolare. Allora le basi del poliedro troncato si dicono poligoni simili. In questo caso le facce laterali sono trapezi isosceli. Anche la sezione assiale è isoscele.

Per determinare l'altezza di un poliedro troncato è necessario tracciare l'altezza in una sezione assiale, cioè in un trapezio.

Aree superficiali

I principali problemi geometrici che devono essere risolti nel corso di geometria scolastica sono trovare l'area della superficie e il volume di una piramide.

Esistono due tipi di superficie:

• area degli elementi laterali;
• l'intera superficie.

Già dal titolo è chiaro di cosa si tratta. La superficie laterale comprende solo gli elementi laterali. Da ciò ne consegue che per trovarlo basta sommare le aree dei piani laterali, cioè le aree dei 3 assi isosceli. Proviamo a ricavare la formula per l'area degli elementi laterali:

1. L'area di un 3-gono isoscele è Str=1/2(aL), dove a è il lato della base, L è l'apotema.
2. Il numero di piani laterali dipende dal tipo di k-gon alla base. Ad esempio, una piramide quadrangolare regolare ha quattro piani laterali. Occorre quindi sommare le aree di quattro cifre Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . L'espressione è semplificata in questo modo perché il valore 4a=POS, dove POS è il perimetro di base. E l'espressione 1/2 * Rosn è il suo semiperimetro.
3. Quindi, concludiamo che l'area degli elementi laterali di una piramide regolare è uguale al prodotto del semiperimetro della base e dell'apotema: Sside \u003d Rosn * L.

L'area dell'intera superficie della piramide è costituita dalla somma delle aree dei piani laterali e della base: Sp.p. = Slato + Sbase.

Per quanto riguarda l'area della base, qui la formula viene utilizzata in base al tipo di poligono.

Volume di una piramide regolareè uguale al prodotto dell'area del piano di base e dell'altezza diviso tre: V=1/3*Sbase*H, dove H è l'altezza del poliedro.

Cos'è una piramide regolare in geometria

Proprietà di una piramide quadrangolare regolare

Ipotesi: crediamo che la perfezione della forma della piramide sia dovuta alle leggi matematiche insite nella sua forma.

Bersaglio: avendo studiato la piramide come corpo geometrico, per spiegare la perfezione della sua forma.

Compiti:

1. Fornire una definizione matematica di piramide.

2. Studia la piramide come corpo geometrico.

3. Comprendi quale conoscenza matematica gli egiziani riponevano nelle loro piramidi.

Domande private:

1. Cos'è una piramide come corpo geometrico?

2. Come si può spiegare matematicamente la forma unica della piramide?

3. Cosa spiega le meraviglie geometriche della piramide?

4. Cosa spiega la perfezione della forma della piramide?

Definizione di piramide.

PIRAMIDE (dal greco pyramis, genere n. Pyramidos) - un poliedro, la cui base è un poligono, e le facce rimanenti sono triangoli con un vertice comune (figura). A seconda del numero degli angoli della base, le piramidi sono triangolari, quadrangolari, ecc.

PIRAMIDE - una struttura monumentale che ha la forma geometrica di una piramide (talvolta anche a gradini o a torre). Le tombe giganti degli antichi faraoni egiziani del III-II millennio a.C. sono chiamate piramidi. e., così come antichi piedistalli americani di templi (in Messico, Guatemala, Honduras, Perù) associati a culti cosmologici.

È possibile che la parola greca "piramide" derivi dall'espressione egiziana per-em-us, cioè da un termine che indicava l'altezza della piramide. L'eminente egittologo russo V. Struve credeva che il greco “puram…j” derivi dall'antico egiziano “p"-mr".

Dalla storia. Dopo aver studiato il materiale nel libro di testo "Geometria" degli autori di Atanasyan. Butuzova e altri, abbiamo appreso che: Un poliedro composto da n-gon A1A2A3 ... An e n triangoli RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 è chiamato piramide. Il poligono A1A2A3... An è la base della piramide, e i triangoli RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 sono le facce laterali della piramide, P è la sommità della piramide, i segmenti RA1, RA2, .. ., RAn sono i bordi laterali.

Tuttavia, tale definizione di piramide non è sempre esistita. Ad esempio, l'antico matematico greco, autore di trattati teorici di matematica giunti fino a noi, Euclide, definisce una piramide come una figura solida delimitata da piani che convergono da un piano a un punto.

Ma questa definizione è stata criticata già nell’antichità. Quindi Erone propose la seguente definizione di piramide: "Questa è una figura delimitata da triangoli convergenti in un punto e la cui base è un poligono".

Il nostro gruppo, confrontando queste definizioni, è giunto alla conclusione che esse non hanno una formulazione chiara del concetto di “fondazione”.

Abbiamo studiato queste definizioni e abbiamo trovato la definizione di Adrien Marie Legendre, che nel 1794 nella sua opera “Elementi di geometria” definisce la piramide come segue: “La piramide è una figura corporea formata da triangoli convergenti in un punto e terminanti su lati diversi di un base piatta."

Ci sembra che quest'ultima definizione dia un'idea chiara della piramide, poiché si riferisce al fatto che la base è piatta. Un'altra definizione di piramide apparve in un libro di testo del XIX secolo: "una piramide è un angolo solido intersecato da un piano".

Piramide come corpo geometrico.

Quello. Una piramide è un poliedro, una delle cui facce (base) è un poligono, le restanti facce (lati) sono triangoli che hanno un vertice comune (la sommità della piramide).

Si chiama la perpendicolare tracciata dalla sommità della piramide al piano della base altezzaH piramidi.

Oltre a una piramide arbitraria, ci sono piramide destra, alla base del quale c'è un poligono regolare e piramide tronca.

Nella figura - la piramide PABCD, ABCD - la sua base, PO - l'altezza.

Tutta la superficie Una piramide si chiama somma delle aree di tutte le sue facce.

Spieno = Slato + Sbase, Dove Lato Sè la somma delle aree delle facce laterali.

volume piramidale si trova secondo la formula:

V=1/3Sbase H, dove Sosn. - superficie della base H- altezza.

L'asse di una piramide regolare è una linea retta contenente la sua altezza.
Apotema ST - l'altezza della faccia laterale di una piramide regolare.

L'area della faccia laterale di una piramide regolare è espressa come segue: Slato. =1/2P H, dove P è il perimetro della base, H- l'altezza della faccia laterale (l'apotema di una piramide regolare). Se la piramide è attraversata dal piano A'B'C'D' parallelo alla base, allora:

1) i bordi laterali e l'altezza sono divisi da questo piano in parti proporzionali;

2) nella sezione si ottiene un poligono A'B'C'D', simile alla base;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" larghezza="287" altezza="151">

Le basi della piramide tronca sono poligoni simili ABCD e A`B`C`D`, le facce laterali sono trapezi.

Altezza piramide tronca: la distanza tra le basi.

Volume troncato la piramide si trova dalla formula:

V=1/3 H(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" Height="96"> La superficie laterale di una piramide troncata regolare è espresso come segue: Sside = ½(P+P') H, dove P e P’ sono i perimetri delle basi, H- l'altezza della faccia laterale (apotema di un regolare troncato dalle feste

Sezioni della piramide.

Le sezioni della piramide formate da piani passanti per la sua sommità sono triangoli.

Si chiama sezione passante per due spigoli laterali non adiacenti della piramide sezione diagonale.

Se la sezione passa per un punto sul bordo laterale e sul lato della base, allora questo lato sarà la sua traccia sul piano della base della piramide.

Una sezione passante per un punto giacente sulla faccia della piramide, e una determinata traccia della sezione sul piano della base, allora la costruzione va eseguita come segue:

trovare il punto di intersezione del piano della faccia data e la traccia della sezione piramidale e designarlo;

costruire una retta passante per un dato punto e il risultante punto di intersezione;

· Ripetere questi passaggi per i volti successivi.

, che corrisponde al rapporto tra i cateti di un triangolo rettangolo 4:3. Questo rapporto tra le gambe corrisponde al noto triangolo rettangolo con i lati 3:4:5, chiamato triangolo "perfetto", "sacro" o "egiziano". Secondo gli storici, al triangolo "egiziano" veniva dato un significato magico. Plutarco scrive che gli egiziani paragonavano la natura dell'universo a un triangolo "sacro"; simbolicamente paragonavano la gamba verticale al marito, la base alla moglie e l'ipotenusa a ciò che nasce da entrambi.

Per un triangolo 3:4:5 è vera l'uguaglianza: 32 + 42 = 52, che esprime il teorema di Pitagora. Non è forse questo teorema che i sacerdoti egiziani volevano perpetuare erigendo una piramide sulla base del triangolo 3:4:5? È difficile trovare un esempio migliore per illustrare il teorema di Pitagora, che era noto agli egiziani molto prima della sua scoperta da parte di Pitagora.

Pertanto, gli ingegnosi creatori delle piramidi egiziane cercarono di impressionare i lontani discendenti con la profondità della loro conoscenza, e ci riuscirono scegliendo come "idea geometrica principale" per la piramide di Cheope - il triangolo rettangolo "d'oro", e per la piramide di Chefren - il triangolo "sacro" o "egiziano".

Molto spesso, nelle loro ricerche, gli scienziati utilizzano le proprietà delle piramidi con le proporzioni della Sezione Aurea.

Nel dizionario matematico enciclopedico viene data la seguente definizione di Sezione Aurea - questa è una divisione armonica, divisione nel rapporto estremo e medio - divisione del segmento AB in due parti in modo tale che la maggior parte del suo AC sia la media proporzionale tra l'intero segmento AB e la sua parte più piccola CB.

Determinazione algebrica della sezione aurea di un segmento AB = a si riduce a risolvere l'equazione a: x = x: (a - x), da cui x è approssimativamente uguale a 0,62a. Il rapporto x può essere espresso come frazioni 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, dove 2, 3, 5, 8, 13, 21 sono numeri di Fibonacci.

La costruzione geometrica della sezione aurea del segmento AB viene eseguita come segue: nel punto B si ripristina la perpendicolare ad AB, su di esso è posato il segmento BE \u003d 1/2 AB, A ed E sono collegati, DE \ u003d BE viene posticipato e, infine, AC \u003d AD, quindi l'uguaglianza AB è soddisfatta: CB = 2: 3.

La sezione aurea è spesso utilizzata nelle opere d'arte, nell'architettura e si trova in natura. Esempi vividi sono la scultura di Apollo Belvedere, il Partenone. Durante la costruzione del Partenone è stato utilizzato il rapporto tra l'altezza dell'edificio e la sua lunghezza e questo rapporto è 0,618. Anche gli oggetti intorno a noi forniscono esempi della sezione aurea, ad esempio le rilegature di molti libri hanno un rapporto larghezza/lunghezza vicino a 0,618. Considerando la disposizione delle foglie su un fusto comune delle piante, si può notare che tra ogni due paia di foglie, la terza si trova al posto della sezione aurea (diapositive). Ognuno di noi "indossa" la sezione aurea con noi "nelle nostre mani" - questo è il rapporto tra le falangi delle dita.

Grazie alla scoperta di numerosi papiri matematici, gli egittologi hanno imparato qualcosa sugli antichi sistemi di calcolo e di misura egiziani. I compiti in essi contenuti furono risolti dagli scribi. Uno dei più famosi è il papiro matematico Rhind. Studiando questi enigmi, gli egittologi hanno imparato come gli antichi egizi gestivano le varie quantità coinvolte nel calcolo delle misure di peso, lunghezza e volume, che spesso utilizzavano le frazioni, e come gestivano gli angoli.

Gli antichi egizi usavano un metodo per calcolare gli angoli basato sul rapporto tra l'altezza e la base di un triangolo rettangolo. Esprimevano qualsiasi angolo nel linguaggio del gradiente. Il gradiente di pendenza è stato espresso come rapporto di un numero intero, chiamato “seked”. In La matematica al tempo dei faraoni, Richard Pillins spiega: “La ricerca di una piramide regolare è l'inclinazione di una qualsiasi delle quattro facce triangolari rispetto al piano della base, misurata da un numero ennesimo di unità orizzontali per unità verticale di elevazione. . Pertanto, questa unità di misura è equivalente alla nostra moderna cotangente dell'angolo di inclinazione. Pertanto, la parola egiziana "seked" è correlata alla nostra parola moderna "gradiente".

La chiave numerica delle piramidi sta nel rapporto tra la loro altezza e la base. In termini pratici, questo è il modo più semplice per realizzare le dime necessarie per verificare costantemente il corretto angolo di inclinazione durante tutta la costruzione della piramide.

Gli egittologi sarebbero felici di convincerci che ogni faraone era ansioso di esprimere la propria individualità, da qui le differenze negli angoli di inclinazione di ciascuna piramide. Ma potrebbe esserci un altro motivo. Forse tutti volevano incarnare diverse associazioni simboliche nascoste in proporzioni diverse. Tuttavia, l'angolo della piramide di Chefren (basato sul triangolo (3:4:5) appare nei tre problemi presentati dalle piramidi nel Papiro matematico di Rhind). Quindi questo atteggiamento era ben noto agli antichi egizi.

Per essere onesti nei confronti degli egittologi che sostengono che gli antichi egizi non conoscevano il triangolo 3:4:5, diciamo che la lunghezza dell'ipotenusa 5 non è mai stata menzionata. Ma i problemi matematici riguardanti le piramidi vengono sempre risolti sulla base dell'angolo ricercato, il rapporto tra l'altezza e la base. Poiché la lunghezza dell'ipotenusa non veniva mai menzionata, si concluse che gli egiziani non calcolarono mai la lunghezza del terzo lato.

I rapporti altezza-base utilizzati nelle piramidi di Giza erano senza dubbio noti agli antichi egizi. È possibile che questi rapporti per ciascuna piramide siano stati scelti arbitrariamente. Tuttavia, ciò contraddice l’importanza attribuita al simbolismo numerico in tutti i tipi di belle arti egiziane. È molto probabile che tali rapporti fossero di notevole importanza, poiché esprimevano idee religiose specifiche. In altre parole, l’intero complesso di Giza era soggetto ad un progetto coerente, concepito per riflettere una sorta di tema divino. Ciò spiegherebbe perché i progettisti hanno scelto angoli diversi per le tre piramidi.

Ne Il segreto di Orione, Bauval e Gilbert presentano prove convincenti del collegamento delle piramidi di Giza con la costellazione di Orione, in particolare con le stelle della Cintura di Orione. La stessa costellazione è presente nel mito di Iside e Osiride, e lì Questo è un motivo per considerare ogni piramide come l'immagine di una delle tre divinità principali: Osiride, Iside e Horus.

MIRACOLI “GEOMETRICI”.

Tra le grandiose piramidi d'Egitto, un posto speciale è occupato da Grande Piramide del Faraone Cheope (Khufu). Prima di procedere all'analisi della forma e delle dimensioni della piramide di Cheope, è opportuno ricordare quale sistema di misure utilizzavano gli Egizi. Gli egiziani avevano tre unità di lunghezza: il "cubito" (466 mm), pari a sette "palmi" (66,5 mm), che a sua volta era pari a quattro "dita" (16,6 mm).

Analizziamo le dimensioni della piramide di Cheope (Fig. 2), seguendo il ragionamento fornito nel meraviglioso libro dello scienziato ucraino Nikolai Vasyutinskiy "Proporzione aurea" (1990).

La maggior parte dei ricercatori concorda sul fatto che la lunghezza del lato della base della piramide, ad esempio, GFè uguale a l\u003d 233,16 m Questo valore corrisponde quasi esattamente a 500 "cubiti". Il pieno rispetto di 500 "cubiti" si avrà se la lunghezza del "cubito" sarà considerata pari a 0,4663 m.

Altezza della piramide ( H) è stimato dai ricercatori in modo diverso da 146,6 a 148,2 m e, a seconda dell'altezza accettata della piramide, cambiano tutti i rapporti dei suoi elementi geometrici. Qual è la ragione delle differenze nella stima dell'altezza della piramide? Il fatto è che, a rigor di termini, la piramide di Cheope è troncata. La sua piattaforma superiore oggi ha una dimensione di circa 10 ´ 10 m, e un secolo fa era di 6 ´ 6 m È ovvio che la sommità della piramide è stata smantellata e non corrisponde a quella originale.

Stimando l'altezza della piramide, è necessario tenere conto di un fattore fisico come il "pezzo" della struttura. Per molto tempo, sotto l'influenza di una pressione colossale (che raggiunge le 500 tonnellate per 1 m2 della superficie inferiore), l'altezza della piramide è diminuita rispetto alla sua altezza originale.

Qual era l'altezza originale della piramide? Questa altezza può essere ricreata se trovi l'"idea geometrica" ​​di base della piramide.

Figura 2.

Nel 1837 il colonnello inglese G. Wise misurò l'angolo di inclinazione delle facce della piramide: risultò essere pari a UN= 51°51". Questo valore è ancora oggi riconosciuto dalla maggior parte dei ricercatori. Il valore indicato dell'angolo corrisponde alla tangente (tg UN) pari a 1,27306. Questo valore corrisponde al rapporto tra l'altezza della piramide AC a metà della sua base CB(Fig.2), cioè AC / CB = H / (l / 2) = 2H / l.

E qui i ricercatori hanno avuto una grande sorpresa!.png" larghezza="25" altezza="24">= 1.272. Confrontando questo valore con il valore tg UN= 1.27306, vediamo che questi valori sono molto vicini tra loro. Se prendiamo l'angolo UN\u003d 51 ° 50", ovvero ridurlo di un solo minuto d'arco, quindi il valore UN diventerà pari a 1.272, cioè coinciderà con il valore di . Da notare che nel 1840 G. Wise ripeté le sue misurazioni e chiarì che il valore dell'angolo UN=51°50".

Queste misurazioni hanno portato i ricercatori alla seguente ipotesi molto interessante: il triangolo ASV della piramide di Cheope era basato sulla relazione AC / CB = = 1,272!

Consideriamo ora un triangolo rettangolo ABC, in cui il rapporto tra le gambe AC / CB= (Fig.2). Se ora le lunghezze dei lati del rettangolo ABC denotare con X, sì, z, e tenere conto anche del rapporto sì/X= , quindi, secondo il teorema di Pitagora, la lunghezza z può essere calcolato con la formula:

Se accetti X = 1, sì= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" larghezza="143" altezza="27">

Figura 3 Triangolo rettangolo "d'oro".

Un triangolo rettangolo in cui i lati sono correlati come T:triangolo rettangolo "d'oro".

Quindi, se prendiamo come base l'ipotesi che la principale "idea geometrica" ​​della piramide di Cheope sia il triangolo rettangolo "d'oro", allora da qui è facile calcolare l'altezza di "progetto" della piramide di Cheope. È uguale a:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Deriviamo ora alcune altre relazioni per la piramide di Cheope, che derivano dall'ipotesi "aurea". In particolare troviamo il rapporto tra l'area esterna della piramide e l'area della sua base. Per fare questo, prendiamo la lunghezza della gamba CB per unità, ovvero: CB= 1. Ma allora la lunghezza del lato della base della piramide GF= 2, e l'area della base EFGH sarà uguale a SEFGH = 4.

Calcoliamo ora l'area della faccia laterale della piramide di Cheope SD. Perché l'altezza AB triangolo AEFè uguale a T, quindi l'area della faccia laterale sarà uguale a SD = T. Quindi l'area totale di tutte e quattro le facce laterali della piramide sarà pari a 4 T e il rapporto tra l'area esterna totale della piramide e l'area di base sarà uguale alla sezione aurea! Ecco cos'è - il principale segreto geometrico della piramide di Cheope!

Il gruppo delle "meraviglie geometriche" della piramide di Cheope comprende le proprietà reali e inventate del rapporto tra le varie dimensioni della piramide.

Di norma si ottengono cercando qualche "costante", in particolare il numero "pi" (numero di Ludolf), pari a 3,14159...; basi dei logaritmi naturali "e" (numero di Napier) pari a 2,71828...; il numero "F", il numero della "sezione aurea", pari, ad esempio, a 0,618... ecc..

Puoi nominare, ad esempio: 1) Proprietà di Erodoto: (Altezza) 2 \u003d 0,5 st. principale x Apotema; 2) Proprietà di V. Prezzo: Altezza: 0,5 st. osn \u003d Radice quadrata di "Ф"; 3) Proprietà di M. Eist: Perimetro della base: 2 Altezza = "Pi"; in un'interpretazione diversa - 2 cucchiai. principale : Altezza = "Pi"; 4) Proprietà di G. Reber: Raggio del cerchio inscritto: 0,5 st. principale = "F"; 5) Proprietà di K. Kleppish: (St. principale.) 2: 2 (st. principale. x Apotema) \u003d (st. principale. W. Apotema) \u003d 2 (st. principale. x Apotema) : (( 2° principale X Apotema) + (primo principale) 2). Eccetera. Puoi inventare molte di queste proprietà, soprattutto se colleghi due piramidi vicine. Ad esempio, come "Proprietà di A. Arefiev" si può menzionare che la differenza tra i volumi della piramide di Cheope e della piramide di Chefren è pari al doppio del volume della piramide di Micerino...

Molte disposizioni interessanti, in particolare, sulla costruzione delle piramidi secondo la "sezione aurea" sono contenute nei libri di D. Hambidge "Dynamic Symmetry in Architecture" e M. Geek "Aesthetics of Proportion in Nature and Art". Ricordiamo che la "sezione aurea" è la divisione del segmento in tale rapporto, quando la parte A è tante volte maggiore della parte B, quante volte A è inferiore all'intero segmento A + B. Il rapporto A / B è uguale al numero "Ф" == 1.618... L'uso della "sezione aurea" è indicato non solo nelle singole piramidi, ma nell'intero complesso piramidale di Giza.

La cosa più curiosa, tuttavia, è che la stessa piramide di Cheope semplicemente "non può" contenere così tante proprietà meravigliose. Prendendo una determinata proprietà una per una, puoi "aggiustarla", ma all'improvviso non si adattano: non coincidono, si contraddicono a vicenda. Pertanto, se, ad esempio, quando si controllano tutte le proprietà, inizialmente viene preso lo stesso lato della base della piramide (233 m), anche le altezze delle piramidi con proprietà diverse saranno diverse. In altre parole, esiste una certa "famiglia" di piramidi, esteriormente simili a quelle di Cheope, ma corrispondenti a proprietà diverse. Si noti che non c'è nulla di particolarmente meraviglioso nelle proprietà "geometriche": molto deriva in modo puramente automatico, dalle proprietà della figura stessa. Un "miracolo" dovrebbe essere considerato solo qualcosa di ovviamente impossibile per gli antichi egizi. Tra questi rientrano, in particolare, i miracoli “cosmici”, in cui le misure della piramide di Cheope o del complesso piramidale di Giza vengono confrontate con alcune misure astronomiche e vengono indicati numeri “pari”: un milione di volte, un miliardo di volte meno, e così via. . Consideriamo alcune relazioni "cosmiche".

Una delle affermazioni è questa: "se dividiamo il lato della base della piramide per la lunghezza esatta dell'anno, otteniamo esattamente 10 milionesimo dell'asse terrestre". Calcola: dividi 233 per 365, otteniamo 0,638. Il raggio della Terra è 6378 km.

Un'altra affermazione è in realtà l'opposto della precedente. F. Noetling ha sottolineato che se si utilizza il "gomito egiziano" da lui inventato, il lato della piramide corrisponderà alla "durata più accurata dell'anno solare, espressa al miliardesimo di giorno più vicino" - 365.540.903.777 .

Dichiarazione di P. Smith: "L'altezza della piramide è esattamente un miliardesimo della distanza dalla Terra al Sole". Sebbene di solito venga presa l'altezza di 146,6 m, Smith la considerò 148,2 m Secondo le moderne misurazioni radar, il semiasse maggiore dell'orbita terrestre è 149.597.870 + 1,6 km. Questa è la distanza media tra la Terra e il Sole, ma al perielio è 5.000.000 di chilometri inferiore rispetto all'afelio.

Ultima curiosa affermazione:

"Come spiegare che le masse delle piramidi di Cheope, Chefren e Micerino sono correlate tra loro, come le masse dei pianeti Terra, Venere, Marte?" Calcoliamo. Le masse delle tre piramidi sono correlate come: Chefren - 0,835; Cheope: 1.000; Mikerin - 0,0915. I rapporti tra le masse dei tre pianeti: Venere - 0,815; Terreno - 1.000; Marte - 0,108.

Quindi, nonostante lo scetticismo, notiamo la nota armonia della costruzione delle affermazioni: 1) l'altezza della piramide, come una linea che "va nello spazio" - corrisponde alla distanza dalla Terra al Sole; 2) il lato della base della piramide più vicino "al substrato", cioè alla Terra, è responsabile del raggio terrestre e della circolazione terrestre; 3) i volumi della piramide (leggi - masse) corrispondono al rapporto tra le masse dei pianeti più vicini alla Terra. Una "cifra" simile può essere rintracciata, ad esempio, nel linguaggio delle api, analizzato da Karl von Frisch. Ma per ora ci asteniamo dal commentare questo aspetto.

FORMA DELLE PIRAMIDI

La famosa forma tetraedrica delle piramidi non apparve immediatamente. Gli Sciti realizzarono sepolture sotto forma di colline di terra - tumuli. Gli egiziani costruirono "colline" di pietra: piramidi. Ciò accadde per la prima volta dopo l'unificazione dell'Alto e del Basso Egitto, nel 28° secolo a.C., quando il fondatore della III dinastia, il faraone Djoser (Zoser), affrontò il compito di rafforzare l'unità del paese.

E qui, secondo gli storici, il "nuovo concetto di divinizzazione" dello zar ha svolto un ruolo importante nel rafforzamento del potere centrale. Sebbene le sepolture reali fossero caratterizzate da maggiore splendore, in linea di principio non differivano dalle tombe dei nobili di corte, erano le stesse strutture: mastabe. Sopra la camera con il sarcofago contenente la mummia, fu colata una collina rettangolare di piccole pietre, dove fu poi collocato un piccolo edificio di grandi blocchi di pietra - "mastaba" (in arabo - "panchina"). Sul sito della mastaba del suo predecessore Sanakht, il faraone Djoser eresse la prima piramide. Era a gradoni ed era una fase di transizione visibile da una forma architettonica all'altra, da una mastaba a una piramide.

In questo modo il faraone fu "allevato" dal saggio e architetto Imhotep, che in seguito fu considerato un mago e identificato dai greci con il dio Asclepio. Era come se fossero state erette sei mastabe in fila. Inoltre, la prima piramide occupava un'area di 1125 x 115 metri, con un'altezza stimata di 66 metri (secondo le misure egiziane - 1000 "palme"). Inizialmente, l'architetto progettò di costruire una mastaba, ma non oblunga, ma quadrata. Successivamente fu ampliato, ma poiché l'ampliamento fu abbassato, si formarono, per così dire, due gradini.

Questa situazione non soddisfò l'architetto, e sulla piattaforma superiore di un'enorme mastaba piatta, Imhotep ne collocò altre tre, diminuendo gradualmente verso l'alto. La tomba era sotto la piramide.

Si conoscono molte altre piramidi a gradoni, ma in seguito i costruttori passarono alla costruzione di piramidi tetraedriche più familiari. Perché, tuttavia, non triangolare o, diciamo, ottagonale? Una risposta indiretta è data dal fatto che quasi tutte le piramidi sono perfettamente orientate verso i quattro punti cardinali, e quindi hanno quattro lati. Inoltre, la piramide era una "casa", il guscio di una camera funeraria quadrangolare.

Ma cosa ha causato l'angolo di inclinazione dei volti? Nel libro "Il principio delle proporzioni" un intero capitolo è dedicato a questo: "Cosa potrebbe determinare gli angoli delle piramidi". In particolare, viene indicato che "l'immagine verso cui gravitano le grandi piramidi dell'Antico Regno è un triangolo con un angolo retto al vertice.

Nello spazio è un semiottaedro: una piramide in cui gli spigoli e i lati della base sono uguali, le facce sono triangoli equilateri: alcune considerazioni su questo argomento sono riportate nei libri di Hambidge, Geek e altri.

Qual è il vantaggio dell'angolo del semiottaedro? Secondo le descrizioni di archeologi e storici, alcune piramidi crollarono sotto il loro stesso peso. Ciò che serviva era un "angolo di durabilità", un angolo che fosse il più affidabile dal punto di vista energetico. In modo puramente empirico, questo angolo può essere preso dall'angolo al vertice in un mucchio di sabbia secca e sgretolata. Ma per ottenere dati accurati, è necessario utilizzare il modello. Prendendo quattro palline saldamente fissate, è necessario posizionare la quinta su di esse e misurare gli angoli di inclinazione. Tuttavia, qui puoi commettere un errore, quindi un calcolo teorico aiuta: dovresti collegare i centri delle palline con delle linee (mentalmente). Alla base ottieni un quadrato con il lato pari al doppio del raggio. Il quadrato sarà proprio la base della piramide, la cui lunghezza dei bordi sarà pari al doppio del raggio.

Quindi un fitto impaccamento di palline del tipo 1:4 ci darà un semiottaedro regolare.

Ma perché molte piramidi, gravitando verso una forma simile, tuttavia non la mantengono? Probabilmente le piramidi stanno invecchiando. Contrariamente al famoso detto:

"Tutto nel mondo ha paura del tempo, e il tempo ha paura delle piramidi", gli edifici delle piramidi devono invecchiare, possono e devono avvenire non solo processi di alterazione esterna, ma anche processi interni di "restringimento", da cui il le piramidi potrebbero abbassarsi. Il restringimento è possibile anche perché, come scoperto dalle opere di D. Davidovits, gli antichi egizi utilizzavano la tecnologia per realizzare blocchi da scaglie di calce, in altre parole, da "cemento". Sono questi processi che potrebbero spiegare il motivo della distruzione della piramide di Medum, situata a 50 km a sud del Cairo. Ha 4600 anni, le dimensioni della base sono 146 x 146 m, l'altezza è 118 m. “Perché è così mutilato?”, si chiede V. Zamarovsky, “i soliti riferimenti agli effetti distruttivi del tempo e all'”uso della pietra per altri edifici” non si adattano qui.

Dopotutto, la maggior parte dei suoi blocchi e delle lastre di rivestimento sono rimasti al loro posto fino ai giorni nostri, tra le rovine ai suoi piedi." Come vedremo, alcune disposizioni fanno pensare addirittura che anche la famosa piramide di Cheope si sia "rimpicciolita". In ogni caso, su tutte le immagini antiche le piramidi sono puntate...

La forma delle piramidi potrebbe anche essere generata per imitazione: alcuni modelli naturali, "perfezione miracolosa", diciamo, alcuni cristalli a forma di ottaedro.

Tali cristalli potrebbero essere cristalli di diamante e oro. Caratterizzato da un gran numero di segni "intersecanti" per concetti come Faraone, Sole, Oro, Diamante. Ovunque: nobile, brillante (brillante), fantastico, impeccabile e così via. Le somiglianze non sono casuali.

Il culto solare, come sapete, era una parte importante della religione dell'antico Egitto. "Non importa come traduciamo il nome della più grande delle piramidi, - si legge in uno dei manuali moderni - "Sky Khufu" o "Sky Khufu", significava che il re è il sole. Se Khufu, nello splendore del suo potere, immaginava di essere un secondo sole, allora suo figlio Jedef-Ra divenne il primo dei re egiziani che cominciò a chiamarsi "il figlio di Ra", cioè il figlio del Sole. Il sole era simboleggiato da quasi tutti i popoli come il "metallo solare", l'oro. "Il grande disco d'oro brillante" - così gli egiziani chiamavano la nostra luce del giorno. Gli egiziani conoscevano molto bene l'oro, conoscevano le sue forme native, dove i cristalli d'oro possono apparire sotto forma di ottaedri.

Come "campione di forme" è qui interessante anche la "pietra del sole" - un diamante. Il nome del diamante deriva proprio dal mondo arabo, "almas" - il più duro, il più duro, l'indistruttibile. Gli antichi egizi conoscevano il diamante e le sue proprietà erano piuttosto buone. Secondo alcuni autori per la perforazione si utilizzavano addirittura tubi di bronzo con frese diamantate.

Il Sud Africa è oggi il principale fornitore di diamanti, ma anche l’Africa occidentale è ricca di diamanti. Il territorio della Repubblica del Mali è addirittura chiamato la "Terra dei Diamanti". Intanto è sul territorio del Mali che vivono i Dogon, presso i quali i sostenitori dell'ipotesi paleovisita ripongono molte speranze (vedi sotto). I diamanti non potrebbero essere la ragione dei contatti degli antichi egizi con questa regione. Tuttavia, in un modo o nell'altro, è possibile che proprio copiando gli ottaedri di cristalli di diamante e oro gli antichi egizi divinificassero i faraoni, “indistruttibili” come il diamante e “brillanti” come l'oro, i figli del Sole, paragonabili solo con le più meravigliose creazioni della natura.

Conclusione:

Dopo aver studiato la piramide come corpo geometrico, conoscendone gli elementi e le proprietà, eravamo convinti della validità dell'opinione sulla bellezza della forma della piramide.

Come risultato della nostra ricerca, siamo giunti alla conclusione che gli egiziani, dopo aver raccolto le conoscenze matematiche più preziose, le hanno incarnate in una piramide. Pertanto, la piramide è veramente la creazione più perfetta della natura e dell'uomo.

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Primo livello

Piramide. Guida visiva (2019)

Cos'è una piramide?

Come sembra?

Vedi: alla piramide in basso (dicono " alla base"") un poligono e tutti i vertici di questo poligono sono collegati a un punto nello spazio (questo punto è chiamato " vertice»).

Tutta questa struttura ha facce laterali, nervature laterali E nervature di base. Ancora una volta, disegniamo una piramide insieme a tutti questi nomi:

Alcune piramidi possono sembrare molto strane, ma sono pur sempre piramidi.

Qui, ad esempio, abbastanza "obliquo" piramide.

E qualcosa in più sui nomi: se alla base della piramide c'è un triangolo, allora la piramide si chiama triangolare;

Allo stesso tempo, il punto in cui è caduto altezza, è chiamato base in altezza. Si noti che nelle piramidi "storte". altezza potrebbe anche essere fuori dalla piramide. Come questo:

E non c'è niente di terribile in questo. Sembra un triangolo ottuso.

Piramide corretta.

Molte parole difficili? Decifriamo: " Alla base - corretto"- questo è comprensibile. E ora ricorda che un poligono regolare ha un centro, un punto che è il centro di e , e .

Ebbene, la dicitura “la parte superiore è proiettata al centro della base” significa che la base dell'altezza cade esattamente al centro della base. Guarda come sembra liscio e carino piramide destra.

Esagonale: alla base - un esagono regolare, il vertice è proiettato al centro della base.

quadrangolare: alla base - un quadrato, la parte superiore è proiettata al punto di intersezione delle diagonali di questo quadrato.

triangolare: alla base c'è un triangolo regolare, il vertice è proiettato al punto di intersezione delle altezze (sono anche mediane e bisettrici) di questo triangolo.

Molto proprietà importanti di una piramide regolare:

Nella piramide di destra

• tutti i bordi laterali sono uguali.
• tutte le facce laterali sono triangoli isosceli e tutti questi triangoli sono uguali.

Volume piramidale

La formula principale per il volume della piramide:

Da dove viene esattamente? Non è così semplice, e all'inizio devi solo ricordare che la piramide e il cono hanno volume nella formula, ma il cilindro no.

Ora calcoliamo il volume delle piramidi più popolari.

Sia uguale il lato della base e uguale il bordo laterale. Ho bisogno di trovare e.

Questa è l'area di un triangolo rettangolo.

Ricordiamo come cercare quest'area. Usiamo la formula dell'area:

Abbiamo "" - questo e "" - anche questo, eh.

Ora troviamo.

Secondo il teorema di Pitagora per

Cosa importa? Questo è il raggio del cerchio circoscritto, perché piramidecorretto e quindi il centro.

Poiché - anche il punto di intersezione e la mediana.

(Teorema di Pitagora per)

Sostituisci nella formula con.

Inseriamo tutto nella formula del volume:

Attenzione: se hai un tetraedro regolare (cioè), la formula è:

Sia uguale il lato della base e uguale il bordo laterale.

Non è necessario cercare qui; perché alla base c'è un quadrato, e quindi.

Cerchiamo. Secondo il teorema di Pitagora per

Sappiamo? Quasi. Aspetto:

(lo abbiamo visto rivedendolo).

Sostituisci nella formula per:

E ora sostituiamo e nella formula del volume.

Lascia che il lato della base sia uguale e il bordo laterale.

Come trovare? Guarda, un esagono è formato esattamente da sei triangoli regolari identici. Abbiamo già cercato l'area di un triangolo regolare calcolando il volume di una piramide triangolare regolare, qui utilizziamo la formula trovata.

Ora troviamo (questo).

Secondo il teorema di Pitagora per

Ma cosa importa? È semplice perché (e anche tutti gli altri) hanno ragione.

Sostituiamo:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDE. BREVEMENTE SULLA PRINCIPALE

Una piramide è un poliedro costituito da un qualsiasi poligono piatto (), un punto che non giace nel piano della base (parte superiore della piramide) e tutti i segmenti che collegano la parte superiore della piramide ai punti di base (bordi laterali).

Una perpendicolare che scende dalla sommità della piramide al piano della base.

Piramide corretta- una piramide, che ha alla base un poligono regolare, e la sommità della piramide è proiettata al centro della base.

Proprietà di una piramide regolare:

• In una piramide regolare tutti gli spigoli laterali sono uguali.
• Tutte le facce laterali sono triangoli isosceli e tutti questi triangoli sono uguali.