Da questo articolo il lettore imparerà cos'è l'estremo valore funzionale, nonché le caratteristiche del suo utilizzo in attività pratiche. Lo studio di un tale concetto è estremamente importante per comprendere i fondamenti della matematica superiore. Questo argomento è fondamentale per un approfondimento del corso.

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Cos'è un estremo?

Nel corso scolastico vengono fornite molte definizioni del concetto di “estremo”. Questo articolo ha lo scopo di fornire la comprensione più profonda e chiara del termine per coloro che ignorano la questione. Quindi, con il termine si intende in che misura l'intervallo funzionale acquisisce un valore minimo o massimo su un particolare insieme.

Un estremo è allo stesso tempo il valore minimo e massimo di una funzione. C'è un punto minimo e un punto massimo, cioè i valori estremi dell'argomento sul grafico. Le principali scienze che utilizzano questo concetto sono:

• statistiche;
• controllo della macchina;
• econometria.

I punti estremi svolgono un ruolo importante nel determinare la sequenza di una determinata funzione. Il sistema di coordinate nel grafico mostra al meglio il cambiamento nella posizione estrema a seconda del cambiamento di funzionalità.

Estremi della funzione derivativa

Esiste anche un fenomeno chiamato "derivato". È necessario determinare il punto estremo. È importante non confondere i punti minimo o massimo con i valori massimo e minimo. Si tratta di concetti diversi, anche se possono sembrare simili.

Il valore della funzione è il fattore principale nel determinare come trovare il punto massimo. Il derivato non è formato dai valori, ma esclusivamente dalla sua posizione estrema nell'uno o nell'altro ordine.

La derivata stessa viene determinata in base a questi punti estremi e non al valore più grande o più piccolo. Nelle scuole russe, il confine tra questi due concetti non è chiaramente tracciato, il che influisce sulla comprensione di questo argomento in generale.

Consideriamo ora il concetto di “estremo acuto”. Oggi esiste un valore minimo acuto e un valore massimo acuto. La definizione è data secondo la classificazione russa dei punti critici di una funzione. Il concetto di punto estremo è la base per trovare i punti critici su un grafico.

Per definire tale concetto ricorrono al teorema di Fermat. È il più importante nello studio dei punti estremi e dà un'idea chiara della loro esistenza in una forma o nell'altra. Per garantire l'estremo, è importante creare determinate condizioni per una diminuzione o un aumento sul grafico.

Per rispondere con precisione alla domanda “come trovare il punto massimo”, è necessario seguire queste linee guida:

1. Trovare l'esatto dominio di definizione sul grafico.
2. Cerca la derivata di una funzione e il punto estremo.
3. Risolvi le disuguaglianze standard per il dominio in cui si trova l'argomento.
4. Essere in grado di dimostrare in quali funzioni un punto su un grafico è definito e continuo.

Attenzione! La ricerca del punto critico di una funzione è possibile solo se esiste una derivata almeno del secondo ordine, assicurata da un'elevata percentuale della presenza di un punto estremo.

Condizione necessaria per l'estremo di una funzione

Affinché esista un estremo, è importante che ci siano sia punti di minimo che di massimo. Se questa regola viene rispettata solo parzialmente, viene violata la condizione per l'esistenza di un estremo.

Ogni funzione in qualsiasi posizione deve essere differenziata per identificarne i nuovi significati. È importante capire che il caso in cui un punto tende a zero non è il principio principale per trovare un punto differenziabile.

Un estremo acuto, così come il minimo di una funzione, è un aspetto estremamente importante nella risoluzione di un problema matematico utilizzando valori estremi. Per meglio comprendere questo componente è importante fare riferimento ai valori tabellari per specificarne la funzionalità.

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Tracciare un grafico dei valori

1. Determinazione dei punti di valori crescenti e decrescenti. 2. Individuazione dei punti di discontinuità, degli estremi e di intersezione con gli assi coordinati. 3. Il processo di determinazione dei cambiamenti di posizione su un grafico. 4. Determinazione dell'indicatore e direzione della convessità e della convessità, tenendo conto della presenza di asintoti. 5. Creazione di una tabella riassuntiva della ricerca dal punto di vista della determinazione delle sue coordinate. 6. Trovare gli intervalli dei punti estremi e diesis crescenti e decrescenti. 7. Determinazione della convessità e della concavità di una curva. 8. Tracciare un grafico tenendo conto della ricerca consente di trovare il minimo o il massimo.

L'elemento principale quando è necessario lavorare con punti estremi è la costruzione accurata del suo grafico. Gli insegnanti scolastici spesso non prestano la massima attenzione a un aspetto così importante, che costituisce una grave violazione del processo educativo. La costruzione di un grafico avviene solo sulla base dei risultati dello studio dei dati funzionali, dell'identificazione degli estremi acuti e dei punti sul grafico. Gli estremi netti della funzione derivativa vengono visualizzati su un grafico di valori esatti, utilizzando una procedura standard per la determinazione degli asintoti.

Crescente, decrescente ed estremi di una funzione

Trovare gli intervalli di aumento, diminuzione ed estremi di una funzione è sia un compito indipendente che una parte essenziale di altri compiti, in particolare, studio completo delle funzioni. Vengono fornite le informazioni iniziali sull'aumento, la diminuzione e gli estremi della funzione capitolo teorico sulla derivata, che consiglio vivamente per lo studio preliminare (o ripetizione)– anche per il motivo che il seguente materiale si basa proprio su questo essenzialmente derivato, essendo una continuazione armoniosa di questo articolo. Tuttavia, se il tempo stringe, è possibile anche una pratica puramente formale con esempi tratti dalla lezione di oggi.

E oggi c'è uno spirito di rara unanimità nell'aria, e posso sentire direttamente che tutti i presenti bruciano di desiderio imparare ad esplorare una funzione usando la sua derivata. Pertanto, sugli schermi dei vostri monitor appare immediatamente una terminologia ragionevole, buona ed eterna.

Per quello? Uno dei motivi è il più pratico: in modo che sia chiaro cosa ti viene generalmente richiesto in un particolare compito!

Monotonicità della funzione. Punti estremi ed estremi di una funzione

Consideriamo alcune funzioni. Per dirla semplicemente, supponiamo che lei continuo sull'intera linea numerica:

Per ogni evenienza, liberiamoci immediatamente di possibili illusioni, soprattutto per quei lettori che hanno fatto conoscenza di recente intervalli di segno costante della funzione. Ora noi NON INTERESSATO, come si trova il grafico della funzione rispetto all'asse (sopra, sotto, dove l'asse si interseca). Per essere convincente, cancella mentalmente gli assi e lascia un grafico. Perché è lì che sta l’interesse.

Funzione aumenta su un intervallo se per due punti qualsiasi di questo intervallo collegati dalla relazione , la disuguaglianza è vera. Cioè, un valore maggiore dell'argomento corrisponde a un valore maggiore della funzione e il suo grafico va “dal basso verso l'alto”. La funzione dimostrativa cresce nel corso dell'intervallo.

Allo stesso modo, la funzione diminuisce su un intervallo se per due punti qualsiasi di un dato intervallo tali che , la disuguaglianza è vera. Cioè, un valore maggiore dell'argomento corrisponde a un valore minore della funzione e il suo grafico va “dall'alto verso il basso”. La nostra funzione diminuisce negli intervalli .

Se una funzione aumenta o diminuisce in un intervallo, viene chiamata rigorosamente monotono a questo intervallo. Cos'è la monotonia? Prendilo alla lettera: monotonia.

Puoi anche definire non decrescente funzione (condizione rilassata nella prima definizione) e non crescente funzione (condizione attenuata nella seconda definizione). Una funzione non decrescente o non crescente su un intervallo è chiamata funzione monotona su un dato intervallo (la monotonicità rigorosa è un caso speciale di monotonicità “semplice”).

La teoria considera anche altri approcci per determinare l'aumento/diminuzione di una funzione, anche su semiintervalli, segmenti, ma per non versarvi olio-olio-olio in testa concorderemo di operare con intervalli aperti con definizioni categoriche - questo è più chiaro e abbastanza per risolvere molti problemi pratici.

Così, nei miei articoli la dicitura “monotonia di una funzione” sarà quasi sempre nascosta intervalli rigorosa monotonia(funzione strettamente crescente o strettamente decrescente).

Intorno di un punto. Parole dopo le quali gli studenti scappano dove possono e si nascondono con orrore negli angoli. ...Anche se dopo il post Limiti di Cauchy Probabilmente non si nascondono più, ma tremano solo leggermente =) Non preoccuparti, ora non ci saranno prove dei teoremi dell'analisi matematica - avevo bisogno dell'ambiente per formulare le definizioni in modo più rigoroso punti estremi. Ricordiamo:

Intorno di un punto viene chiamato un intervallo che contiene un dato punto e per comodità si assume spesso che l'intervallo sia simmetrico. Ad esempio, un punto e il suo intorno standard:

In realtà le definizioni:

Il punto è chiamato punto massimo rigoroso, Se esiste il suo quartiere, per tutti valori di cui, fatta eccezione per il punto stesso, la disuguaglianza . Nel nostro esempio specifico, questo è un punto.

Il punto è chiamato punto minimo rigoroso, Se esiste il suo quartiere, per tutti valori di cui, fatta eccezione per il punto stesso, la disuguaglianza . Nel disegno è presente il punto “a”.

Nota : il requisito della simmetria dell'intorno non è affatto necessario. Inoltre, è importante il fatto stesso di esistere quartiere (minuscolo o microscopico) che soddisfa le condizioni specificate

I punti vengono chiamati punti strettamente estremi o semplicemente punti estremi funzioni. Cioè, è un termine generalizzato per punti massimi e punti minimi.

Come intendiamo la parola “estremo”? Sì, direttamente come la monotonia. Punti estremi delle montagne russe.

Come nel caso della monotonicità, esistono postulati sciolti e sono ancora più comuni in teoria (in cui, ovviamente, rientrano i casi rigorosi considerati!):

Il punto è chiamato punto massimo, Se esiste i suoi dintorni sono tali per tutti
Il punto è chiamato punto minimo, Se esiste i suoi dintorni sono tali per tutti valori di questo quartiere, la disuguaglianza vale.

Si noti che secondo le ultime due definizioni, qualsiasi punto di una funzione costante (o una “sezione piatta” di una funzione) è considerato sia un punto di massimo che di minimo! La funzione, tra l'altro, è sia non crescente che non decrescente, cioè monotona. Lasciamo però queste considerazioni ai teorici, poiché in pratica contempliamo quasi sempre le tradizionali “colline” e “cavità” (vedi disegno) con un unico “re della collina” o “principessa della palude”. Come varietà, si verifica mancia, diretto verso l'alto o verso il basso, ad esempio il minimo della funzione nel punto.

Oh, e parlando di regalità:
– si chiama il significato massimo funzioni;
– si chiama il significato minimo funzioni.

Nome comune - estremi funzioni.

Per favore, fai attenzione alle tue parole!

Punti estremi– questi sono i valori “X”.
Estremi– Significati di “gioco”.

! Nota : a volte i termini elencati si riferiscono ai punti “X-Y” che giacciono direttamente sul GRAFICO DELLA funzione STESSA.

Quanti estremi può avere una funzione?

Nessuno, 1, 2, 3, ... ecc. all'infinito. Ad esempio, il seno ha infiniti minimi e massimi.

IMPORTANTE! Il termine "massimo di funzione" non identico il termine “valore massimo di una funzione”. È facile notare che il valore è massimo solo in un quartiere locale, e in alto a sinistra ci sono i “compagni più cool”. Allo stesso modo, “minimo di una funzione” non è la stessa cosa di “valore minimo di una funzione”, e nel disegno vediamo che il valore è minimo solo in una certa area. A questo proposito vengono anche chiamati punti estremi punti estremi locali, e gli estremi – estremi locali. Camminano e vagano nelle vicinanze e globale fratelli. Quindi ogni parabola ha al suo vertice minimo globale O massimo globale. Inoltre, non distinguerò tra tipi di estremi e la spiegazione è espressa più per scopi educativi generali: gli aggettivi aggiuntivi “locale”/“globale” non dovrebbero sorprendervi.

Riassumiamo la nostra breve escursione nella teoria con uno scatto di prova: cosa significa il compito “trovare gli intervalli di monotonicità e i punti estremi della funzione”?

La formulazione ti incoraggia a trovare:

– intervalli di funzione crescente/decrescente (non decrescente, non crescente appare molto meno spesso);

– punti massimi e/o minimi (se esistenti). Beh, per evitare fallimenti, è meglio trovare da soli i minimi/massimi ;-)

Come determinare tutto questo? Usando la funzione derivativa!

Come trovare intervalli crescenti, decrescenti,
punti estremi ed estremi della funzione?

Molte regole, infatti, sono già conosciute e comprese lezione sul significato di una derivata.

Derivata tangente porta la lieta notizia che la funzionalità sta aumentando ovunque dominio di definizione.

Con cotangente e sua derivata la situazione è esattamente l'opposto.

L'arcoseno aumenta nell'intervallo: la derivata qui è positiva: .
Quando la funzione è definita, ma non differenziabile. Tuttavia, nel punto critico c'è una derivata destrorsa e una tangente destrorsa, e sull'altro bordo ci sono le loro controparti mancini.

Penso che non ti sarà troppo difficile fare un ragionamento simile per l’arcocoseno e la sua derivata.

Tutti i casi sopra menzionati, molti dei quali lo sono derivate tabulari, ti ricordo, segui direttamente da definizioni di derivati.

Perché esplorare una funzione utilizzando la sua derivata?

Per capire meglio come appare il grafico di questa funzione: dove va “dal basso verso l’alto”, dove “dall’alto verso il basso”, dove raggiunge i minimi e i massimi (se mai raggiunge). Non tutte le funzioni sono così semplici: nella maggior parte dei casi non abbiamo alcuna idea del grafico di una particolare funzione.

È tempo di passare a esempi più significativi e considerare algoritmo per trovare intervalli di monotonicità ed estremi di una funzione:

Esempio 1

Trova gli intervalli di aumento/diminuzione e gli estremi della funzione

Soluzione:

1) Il primo passo è trovare dominio di una funzione e prendi nota anche dei punti di interruzione (se esistono). In questo caso la funzione è continua su tutta la linea numerica e questa azione è in una certa misura formale. Ma in molti casi qui divampano passioni serie, quindi trattiamo il paragrafo senza disdegno.

2) Il secondo punto dell'algoritmo è dovuto a

una condizione necessaria per un estremo:

Se in un punto è presente un estremo, il valore non esiste.

Confuso dal finale? Estremo della funzione “modulo x”. .

La condizione è necessaria, ma non abbastanza, e non sempre è vero il contrario. Quindi dall'uguaglianza non segue ancora che la funzione raggiunga un massimo o un minimo nel punto . Un esempio classico è già stato evidenziato sopra: questa è una parabola cubica e il suo punto critico.

Comunque sia, la condizione necessaria per un estremo impone la necessità di trovare punti sospetti. Per fare ciò, trova la derivata e risolvi l'equazione:

All'inizio del primo articolo sui grafici delle funzioni Ti ho detto come costruire velocemente una parabola usando un esempio : “...prendiamo la derivata prima e la uguagliamo a zero: ...Quindi, la soluzione della nostra equazione: - è in questo punto che si trova il vertice della parabola...”. Ora, penso, tutti capiscono perché il vertice della parabola si trova esattamente in questo punto =) In generale, dovremmo iniziare qui con un esempio simile, ma è troppo semplice (anche per una teiera). Inoltre, alla fine della lezione c'è un analogo derivata di una funzione. Aumentiamo quindi il grado:

Esempio 2

Trova gli intervalli di monotonicità e gli estremi della funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Una soluzione completa e un esempio finale approssimativo del problema alla fine della lezione.

Il momento tanto atteso dell'incontro con le funzioni razionali frazionarie è arrivato:

Esempio 3

Esplora una funzione utilizzando la derivata prima

Prestare attenzione alla variabilità con cui lo stesso compito può essere riformulato.

Soluzione:

1) La funzione soffre di infinite discontinuità in punti.

2) Rileviamo i punti critici. Troviamo la derivata prima e uguagliamola a zero:

Risolviamo l'equazione. Una frazione è zero quando il suo numeratore è zero:

Quindi, otteniamo tre punti critici:

3) Tracciamo TUTTI i punti rilevati sulla linea numerica e metodo dell'intervallo definiamo i segni della DERIVATA:

Ti ricordo che devi prendere un punto nell'intervallo e calcolare il valore della derivata in esso e determinarne il segno. È più redditizio nemmeno contare, ma "stimare" verbalmente. Prendiamo ad esempio un punto appartenente all'intervallo ed eseguiamo la sostituzione: .

Due “più” e un “meno” danno quindi un “meno”, il che significa che la derivata è negativa su tutto l'intervallo.

L'azione, come hai capito, deve essere eseguita per ciascuno dei sei intervalli. A proposito, nota che il fattore numeratore e il denominatore sono strettamente positivi per qualsiasi punto in qualsiasi intervallo, il che semplifica notevolmente il compito.

Quindi, la derivata ci ha detto che la FUNZIONE STESSA aumenta di e diminuisce di . È conveniente collegare intervalli dello stesso tipo con l'icona Unisci.

Nel punto in cui la funzione raggiunge il suo massimo:
Nel punto in cui la funzione raggiunge il minimo:

Pensa al motivo per cui non devi ricalcolare il secondo valore ;-)

Quando passa per un punto, la derivata non cambia segno, quindi la funzione non ha ESTREMO in quel punto: è diminuita e allo stesso tempo è rimasta decrescente.

! Ripetiamo un punto importante: i punti non sono considerati critici: contengono una funzione non determinato. Di conseguenza, qui In linea di principio non possono esserci estremi(anche se la derivata cambia segno).

Risposta: la funzione aumenta di e diminuisce di Nel punto in cui viene raggiunto il massimo della funzione: , e al punto – il minimo: .

Conoscenza degli intervalli e degli estremi di monotonicità, accoppiati con quelli stabiliti asintoti dà già un'idea molto chiara dell'aspetto del grafico della funzione. Una persona con una formazione media è in grado di determinare verbalmente che il grafico di una funzione ha due asintoti verticali e un asintoto obliquo. Ecco il nostro eroe:

Prova ancora una volta a correlare i risultati dello studio con il grafico di questa funzione.
Non c’è un estremo nel punto critico, ma c’è flessione del grafico(che, di regola, accade in casi simili).

Esempio 4

Trova gli estremi della funzione

Esempio 5

Trova intervalli di monotonicità, massimi e minimi della funzione

…è quasi come una sorta di vacanza “X in a cube” oggi....
Allora, chi nella galleria si è offerto da bere per questo? =)

Ogni compito ha le sue sfumature sostanziali e sottigliezze tecniche, che vengono commentate alla fine della lezione.

L’algoritmo per trovare questi punti è già stato trattato più volte, ma lo ripeto brevemente:

1. Trova la derivata della funzione.

2. Trova gli zeri della derivata (equiparare la derivata a zero e risolvere l'equazione).

3. Successivamente, costruiamo una linea numerica, contrassegniamo i punti trovati su di essa e determiniamo i segni della derivata sugli intervalli risultanti. *Ciò viene fatto sostituendo valori arbitrari dagli intervalli nella derivata.

Se non hai familiarità con le proprietà dei derivati ​​per lo studio delle funzioni, assicurati di studiare l'articolo« ». Ripetiamo anche la tabella dei derivati ​​e le regole di differenziazione (disponibili nello stesso articolo). Consideriamo i compiti:

77431. Trova il punto massimo della funzione y = x 3 –5x 2 +7x–5.

Troviamo la derivata della funzione:

Troviamo gli zeri della derivata:

3x2 – 10x + 7 = 0

sì(0)" = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

sì(2)" = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

sì(3)" = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

Nel punto x = 1 la derivata cambia segno da positivo a negativo, il che significa che questo è il punto massimo desiderato.

Risposta 1

77432. Trova il punto minimo della funzione y = x 3 +5x 2 +7x–5.

Troviamo la derivata della funzione:

Troviamo gli zeri della derivata:

3x2 + 10x + 7 = 0

Risolvendo l'equazione quadratica otteniamo:

Determiniamo i segni della derivata della funzione sugli intervalli e li segniamo sullo schizzo. Sostituiamo un valore arbitrario da ciascun intervallo nell'espressione derivativa:

y(–3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

y(–2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0

y(0) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

Nel punto x = –1 la derivata cambia segno da negativo a positivo, il che significa che questo è il punto minimo desiderato.

Risposta 1

77435. Trova il punto massimo della funzione y = 7 + 12x – x 3

Troviamo la derivata della funzione:

Troviamo gli zeri della derivata:

12 – 3x2 = 0

x2 = 4

Risolvendo l'equazione otteniamo:

*Questi sono punti di possibile massimo (minimo) della funzione.

Determiniamo i segni della derivata della funzione sugli intervalli e li segniamo sullo schizzo. Sostituiamo un valore arbitrario da ciascun intervallo nell'espressione derivativa:

y(–3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

y(0) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0

y( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0

Nel punto x = 2 la derivata cambia segno da positivo a negativo, il che significa che questo è il punto massimo desiderato.

Risposta: 2

*Per la stessa funzione, il punto minimo è il punto x = – 2.

77439. Trova il punto massimo della funzione y = 9x 2 – x 3.

Troviamo la derivata della funzione:

Troviamo gli zeri della derivata:

18x –3x 2 = 0

3x(6 – x) = 0

Risolvendo l'equazione otteniamo:

Determiniamo i segni della derivata della funzione sugli intervalli e li segniamo sullo schizzo. Sostituiamo un valore arbitrario da ciascun intervallo nell'espressione derivativa:

y(–1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

y(1) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

y(7) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0

Nel punto x = 6 la derivata cambia segno da positivo a negativo, il che significa che questo è il punto massimo desiderato.

Risposta: 6

*Per la stessa funzione, il punto minimo è il punto x = 0.

77443. Trova il punto massimo della funzione y = (x 3 /3)–9x–7.

Troviamo la derivata della funzione:

Troviamo gli zeri della derivata:

x2 – 9 = 0

x2 = 9

Risolvendo l'equazione otteniamo:

Determiniamo i segni della derivata della funzione sugli intervalli e li segniamo sullo schizzo. Sostituiamo un valore arbitrario da ciascun intervallo nell'espressione derivativa:

y(–4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0

y(0) "= 0 2 – 9 < 0

y(4) "= 4 2 – 9 > 0

Nel punto x = – 3 la derivata cambia segno da positivo a negativo, il che significa che questo è il punto massimo desiderato.

Risposta: – 3

In questo articolo esamineremo diversi esempi di come trovare i punti massimi (minimi) di una funzione irrazionale. L'algoritmo risolutivo è già stato più volte delineato in articoli con compiti simili, in uno degli articoli precedenti.

Potresti avere una domanda: in cosa differisce una funzione razionale da una irrazionale?In una funzione irrazionale, in parole semplici, l'argomento è sotto la radice, oppure il suo grado è una frazione (frazione irriducibile). Un'altra domanda -Quali sono le differenze nel trovare i loro punti massimi (minimi)? Niente.

Il principio e l'algoritmo per risolvere i compiti per determinare i punti massimi (minimi) sono gli stessi. Solo per comodità e sistematizzazione del materiale, l'ho diviso in diversi articoli: ho considerato separatamente razionale, logaritmico, trigonometrico e altri, c'erano ancora alcuni esempi sulla ricerca del valore più grande (più piccolo) di una funzione irrazionale su un segmento. Considereremo anche loro.

Descrivo in dettaglio come trovare la derivata quando l'argomento ha un grado; questo viene utilizzato in tutti gli esempi seguenti.

La formula stessa:

Cioè, se abbiamo un argomento fino a un certo punto e dobbiamo trovare la derivata, allora scriviamo questo valore del grado, lo moltiplichiamo per l'argomento e il suo grado sarà inferiore di uno, ad esempio:

Se il grado è un numero frazionario, allora tutto è uguale:

Il prossimo momento! Naturalmente, devi ricordare le proprietà delle radici e delle potenze, vale a dire:

Cioè, se nell'esempio vedi, ad esempio, l'espressione (o qualcosa di simile con la radice):

Quindi in fase di risoluzione, per calcolare la derivata, occorre rappresentarla come x elevato alla potenza, sarà così:

Dovresti conoscere il resto delle derivate delle tabelle e le regole di differenziazione!!!

Regole di differenziazione:

Diamo un'occhiata agli esempi:

77451. Trova il punto minimo della funzione y = x 3/2 – 3x + 1

Troviamo gli zeri della derivata:

Risolviamo l'equazione:

Nel punto x = 4 la derivata cambia segno da negativa a positiva, il che significa che questo punto è il punto di minimo.

Risposta: 4

77455. Trova il punto massimo della funzione

Troviamo la derivata della funzione data:

Troviamo gli zeri della derivata:

Risolviamo l'equazione:

Determiniamo i segni della derivata della funzione e descriviamo il comportamento della funzione nella figura. Per fare ciò, sostituiamo i valori arbitrari dagli intervalli risultanti nella derivata:

Nel punto x = 4 la derivata cambia segno da positiva a negativa, il che significa che questo punto è il punto massimo.

Risposta: 4

77457. Trova il punto massimo della funzione

Troviamo la derivata della funzione data:

Troviamo gli zeri della derivata:

Risolvere l'equazione:

Determiniamo i segni della derivata della funzione e descriviamo il comportamento della funzione nella figura. Per fare ciò, sostituiamo i valori arbitrari dagli intervalli risultanti nella derivata:

Nel punto x = 9 la derivata cambia segno da positiva a negativa, il che significa che questo punto è il punto massimo.

Risposta: 9

Ciao! Affrontiamo il prossimo Esame di Stato Unificato con una preparazione sistematica di alta qualità e tenacia nel macinare il granito della scienza!!! INC'è un compito di competizione alla fine del post, sii il primo! In uno degli articoli di questa sezione, io e te, in cui è stato fornito un grafico della funzione e sono state sollevate varie domande sugli estremi, sugli intervalli di aumento (diminuzione) e altri.

In questo articolo considereremo i problemi compresi nell'Esame di Stato Unificato di matematica, in cui viene fornito un grafico della derivata di una funzione e vengono poste le seguenti domande:

1. In quale punto di un dato segmento la funzione assume il valore più grande (o più piccolo).

2. Trova il numero di punti massimi (o minimi) della funzione appartenenti a un dato segmento.

3. Trova il numero di punti estremi della funzione appartenenti a un dato segmento.

4. Trova il punto estremo della funzione appartenente al segmento dato.

5. Trova gli intervalli della funzione crescente (o decrescente) e nella risposta indica la somma dei punti interi inclusi in questi intervalli.

6. Trova gli intervalli di aumento (o diminuzione) della funzione. Nella tua risposta, indica la lunghezza del più grande di questi intervalli.

7. Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela o coincide con una linea della forma y = kx + b.

8. Trova l'ascissa del punto in cui la tangente al grafico della funzione è parallela all'asse delle ascisse o coincide con esso.

Potrebbero esserci altre domande, ma non ti causeranno alcuna difficoltà se capisci e (vengono forniti collegamenti ad articoli che forniscono le informazioni necessarie per la soluzione, consiglio di ripeterli).

Informazioni di base (brevemente):

1. La derivata a intervalli crescenti ha segno positivo.

Se la derivata ad un certo punto di un certo intervallo ha un valore positivo, allora il grafico della funzione su questo intervallo aumenta.

2. A intervalli decrescenti la derivata ha segno negativo.

Se la derivata ad un certo punto di un certo intervallo ha un valore negativo, allora il grafico della funzione diminuisce su questo intervallo.

3. La derivata nel punto x è uguale alla pendenza della tangente tracciata al grafico della funzione nello stesso punto.

4. Nei punti estremi (massimo-minimo) della funzione, la derivata è uguale a zero. La tangente al grafico della funzione in questo punto è parallela all'asse x.

Questo deve essere ben compreso e ricordato!!!

Il grafico derivato “confonde” molte persone. Alcune persone lo confondono inavvertitamente con il grafico della funzione stessa. Pertanto, in tali edifici, dove vedi che è dato un grafico, focalizza immediatamente la tua attenzione nella condizione su ciò che è dato: il grafico della funzione o il grafico della derivata della funzione?

Se è un grafico della derivata di una funzione, trattalo come un "riflesso" della funzione stessa, che ti fornisce semplicemente informazioni su quella funzione.

Considera il compito:

La figura mostra un grafico y =F'(X)- derivata di una funzione F(X), definito sull'intervallo (–2;21).

Risponderemo alle seguenti domande:

1. In quale punto del segmento si trova la funzione F(X) assume il valore maggiore.

Su un dato intervallo, la derivata di una funzione è negativa, il che significa che la funzione su questo intervallo diminuisce (diminuisce dal limite sinistro dell'intervallo a quello destro). Pertanto, il valore massimo della funzione si ottiene sul bordo sinistro del segmento, cioè nel punto 7.

Risposta: 7

2. In quale punto del segmento si trova la funzione F(X)

Da questo grafico derivato possiamo dire quanto segue. Su un dato intervallo, la derivata della funzione è positiva, il che significa che la funzione su questo intervallo aumenta (aumenta dal limite sinistro dell'intervallo a quello destro). Pertanto, il valore più piccolo della funzione si ottiene sul bordo sinistro del segmento, cioè nel punto x = 3.

Risposta: 3

3. Trova il numero di punti massimi della funzione F(X)

I punti massimi corrispondono ai punti in cui il segno della derivata cambia da positivo a negativo. Consideriamo dove cambia il segno in questo modo.

Sul segmento (3;6) la derivata è positiva, sul segmento (6;16) è negativa.

Sul segmento (16;18) la derivata è positiva, sul segmento (18;20) è negativa.

Pertanto, su un dato segmento la funzione ha due punti massimi x = 6 e x = 18.

Risposta: 2

4. Trova il numero di punti minimi della funzione F(X), appartenente al segmento.

I punti minimi corrispondono ai punti in cui il segno della derivata cambia da negativo a positivo. La nostra derivata è negativa sull'intervallo (0;3) e positiva sull'intervallo (3;4).

Sul segmento quindi la funzione ha un solo punto di minimo x = 3.

*Fai attenzione quando scrivi la risposta: viene registrato il numero di punti, non il valore x; un errore del genere può essere commesso a causa di disattenzione.

Risposta 1

5. Trova il numero di punti estremi della funzione F(X), appartenente al segmento.

Tieni presente cosa devi trovare quantità punti estremi (questi sono sia punti massimi che minimi).

I punti estremi corrispondono ai punti in cui cambia il segno della derivata (da positivo a negativo o viceversa). Nel grafico fornito nella condizione, questi sono gli zeri della funzione. La derivata si annulla ai punti 3, 6, 16, 18.

Pertanto, la funzione ha 4 punti estremi sul segmento.

Risposta: 4

6. Trova gli intervalli di funzione crescente F(X)

Intervalli di incremento di questa funzione F(X) corrispondono agli intervalli su cui la sua derivata è positiva, cioè gli intervalli (3;6) e (16;18). Tieni presente che i confini dell'intervallo non sono inclusi in esso (parentesi tonde - i confini non sono inclusi nell'intervallo, parentesi quadre - inclusi). Questi intervalli contengono i punti interi 4, 5, 17. La loro somma è: 4 + 5 + 17 = 26

Risposta: 26

7. Trova gli intervalli di funzione decrescente F(X) ad un dato intervallo. Nella risposta indica la somma dei punti interi compresi in questi intervalli.

Intervalli decrescenti di una funzione F(X) corrispondono a intervalli su cui la derivata della funzione è negativa. In questo problema questi sono gli intervalli (–2;3), (6;16), (18:21).

Questi intervalli contengono i seguenti punti interi: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. La loro somma è:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Risposta: 140

*Prestare attenzione alla condizione: se i confini sono inclusi o meno nell'intervallo. Se vengono inclusi i confini, negli intervalli considerati nel processo di soluzione è necessario tener conto anche di questi confini.

8. Trova gli intervalli di funzione crescente F(X)

Intervalli di funzione crescente F(X) corrispondono a intervalli su cui la derivata della funzione è positiva. Li abbiamo già indicati: (3;6) e (16:18). Il più grande è l'intervallo (3;6), la sua lunghezza è 3.

Risposta: 3

9. Trova gli intervalli di funzione decrescente F(X). Nella tua risposta, indica la lunghezza del più grande di essi.

Intervalli decrescenti di una funzione F(X) corrispondono a intervalli su cui la derivata della funzione è negativa. Li abbiamo già indicati; questi sono gli intervalli (–2;3), (6;16), (18;21), le loro lunghezze sono rispettivamente 5, 10, 3.

La lunghezza del più grande è 10.

Risposta: 10

10. Trova il numero di punti in cui è tangente al grafico della funzione F(X) parallelo o coincidente con la retta y = 2x + 3.

Il valore della derivata nel punto di tangenza è uguale alla pendenza della tangente. Poiché la tangente è parallela alla retta y = 2x + 3 o coincide con essa, i loro coefficienti angolari sono pari a 2. Ciò significa che è necessario trovare il numero di punti in cui y′(x 0) = 2. Dal punto di vista geometrico, ciò corrisponde al numero di punti di intersezione del grafico della derivata con la retta y = 2. Su questo intervallo ci sono 4 punti di questo tipo.

Risposta: 4

11. Trova il punto estremo della funzione F(X), appartenente al segmento.

Il punto estremo di una funzione è il punto in cui la sua derivata è uguale a zero, e in prossimità di questo punto la derivata cambia segno (da positiva a negativa o viceversa). Sul segmento, il grafico della derivata interseca l'asse x, la derivata cambia segno da negativo a positivo. Pertanto il punto x = 3 è un punto estremo.

Risposta: 3

12. Trova l'ascissa dei punti in cui le tangenti al grafico y = f (x) sono parallele all'asse delle ascisse o coincidono con esso. Nella tua risposta, indica il più grande.

La tangente al grafico y = f (x) può essere parallela all'asse delle ascisse o coincidere con esso, solo nei punti in cui la derivata è uguale a zero (possono essere punti estremi o punti stazionari in prossimità dei quali la derivata non vale senza cambiare segno). Questo grafico mostra che la derivata è zero nei punti 3, 6, 16,18. Il più grande ha 18 anni.

Puoi costruire il tuo ragionamento in questo modo:

Il valore della derivata nel punto di tangenza è uguale alla pendenza della tangente. Poiché la tangente è parallela o coincide con l'asse x, la sua pendenza è 0 (infatti, la tangente di un angolo di zero gradi è zero). Cerchiamo quindi il punto in cui la pendenza è uguale a zero, e quindi la derivata è uguale a zero. La derivata è uguale a zero nel punto in cui il suo grafico interseca l'asse x, e questi sono i punti 3, 6, 16,18.

Risposta: 18

La figura mostra un grafico y =F'(X)- derivata di una funzione F(X), definito sull'intervallo (–8;4). In quale punto del segmento [–7;–3] si trova la funzione F(X) assume il valore più piccolo.

La figura mostra un grafico y =F'(X)- derivata di una funzione F(X), definito sull'intervallo (–7;14). Trova il numero di punti massimi della funzione F(X), appartenente al segmento [–6;9].

La figura mostra un grafico y =F'(X)- derivata di una funzione F(X), definito sull'intervallo (–18;6). Trova il numero di punti minimi della funzione F(X), appartenente al segmento [–13;1].

La figura mostra un grafico y =F'(X)- derivata di una funzione F(X), definito sull'intervallo (–11; –11). Trova il numero dei punti estremi della funzione F(X), appartenente al segmento [–10; -10].

La figura mostra un grafico y =F'(X)- derivata di una funzione F(X), definito sull'intervallo (–7;4). Trova gli intervalli di funzione crescente F(X). Nella risposta indica la somma dei punti interi compresi in questi intervalli.

La figura mostra un grafico y =F'(X)- derivata di una funzione F(X), definito sull'intervallo (–5;7). Trova gli intervalli di funzione decrescente F(X). Nella risposta indica la somma dei punti interi compresi in questi intervalli.

La figura mostra un grafico y =F'(X)- derivata di una funzione F(X), definito sull'intervallo (–11;3). Trova gli intervalli di funzione crescente F(X). Nella tua risposta, indica la lunghezza del più grande di essi.

F La figura mostra un grafico

Le condizioni del problema sono le stesse (che abbiamo considerato). Trova la somma di tre numeri:

1. La somma dei quadrati degli estremi della funzione f (x).

2. La differenza tra i quadrati della somma dei punti massimi e la somma dei punti minimi della funzione f (x).

3. Il numero di tangenti a f (x) parallele alla retta y = –3x + 5.

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Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitsikh.

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