Nel corso della matematica scolastica, il bambino sente per la prima volta il termine "equazione". Che cos'è, proviamo a capirlo insieme. In questo articolo considereremo i tipi e i metodi di risoluzione.
Matematica. Equazioni
Per cominciare, proponiamo di affrontare il concetto stesso, che cos'è? Come dicono molti libri di testo di matematica, un'equazione è costituita da alcune espressioni tra le quali c'è sempre un segno di uguale. Queste espressioni contengono lettere, le cosiddette variabili, il cui valore deve essere trovato.
Questo è un attributo di sistema che cambia il suo valore. Un buon esempio di variabili sono:
- temperatura dell'aria;
- altezza del bambino;
- peso e così via.
In matematica, sono indicati da lettere, ad esempio x, a, b, c ... Di solito il compito in matematica è il seguente: trova il valore dell'equazione. Ciò significa che è necessario trovare il valore di queste variabili.
Varietà
L'equazione (che cos'è, abbiamo discusso nel paragrafo precedente) può essere della seguente forma:
- lineare;
- piazza;
- cubo;
- algebrico;
- trascendente.
Per una conoscenza più dettagliata di tutti i tipi, li considereremo separatamente.
Equazione lineare
Questo è il primo tipo con cui gli studenti conoscono. Sono risolti abbastanza rapidamente e semplicemente. Quindi, cos'è un'equazione lineare? Questa è un'espressione della forma: ax=s. Non è molto chiaro, quindi facciamo qualche esempio: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Vediamo esempi di equazioni. Per fare ciò, abbiamo bisogno di raccogliere tutti i dati noti da un lato e quelli sconosciuti dall'altro: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Qui sono state usate regole elementari della matematica: a*c=e, da questo c=e/a; a=e/s. Per completare la soluzione dell'equazione, eseguiamo un'azione (nel nostro caso, divisione) x=13; x=8; x=5. Questi erano esempi di moltiplicazione, ora diamo un'occhiata alla sottrazione e all'addizione: x + 3 = 9; 10x-5=15. Trasferiamo i dati noti in una direzione: x=9-3; x=20/10. Eseguiamo l'ultima azione: x=6; x=2.
Sono possibili anche varianti di equazioni lineari, dove viene utilizzata più di una variabile: 2x-2y=4. Per risolvere è necessario aggiungere 2y a ciascuna parte, otteniamo 2x-2y + 2y \u003d 4-2y, come abbiamo notato, sul lato sinistro del segno uguale -2y e +2y sono ridotti, mentre noi avere: 2x \u003d 4 -2u. L'ultimo passo è dividere ogni parte per due, otteniamo la risposta: x è uguale a due meno y.
Problemi con le equazioni si trovano anche sui papiri di Ahmes. Ecco uno dei problemi: la somma del numero e della sua quarta parte dà 15. Per risolverlo, scriviamo la seguente equazione: x più un quarto di x è uguale a quindici. Vediamo un altro esempio come risultato della soluzione, otteniamo la risposta: x=12. Ma questo problema può essere risolto in un altro modo, vale a dire l'egiziano o, come viene chiamato in altro modo, il metodo di assunzione. Il papiro usa la seguente soluzione: prendi quattro e la sua quarta parte, cioè una. In totale danno cinque, ora quindici devono essere divisi per la somma, otteniamo tre, con l'ultima azione moltiplichiamo tre per quattro. Otteniamo la risposta: 12. Perché dividiamo quindici per cinque nella soluzione? Quindi scopriamo quante volte quindici, cioè il risultato che dobbiamo ottenere è meno di cinque. Nel Medioevo i problemi venivano risolti in questo modo, divenne noto come metodo della falsa posizione.
Equazioni quadratiche
Oltre agli esempi discussi in precedenza, ce ne sono altri. Che cosa esattamente? Cos'è un'equazione quadratica? Sembrano ax 2 +bx+c=0. Per risolverli, devi familiarizzare con alcuni concetti e regole.
Innanzitutto, devi trovare il discriminante usando la formula: b 2 -4ac. Ci sono tre possibili soluzioni:
- il discriminante è maggiore di zero;
- minore di zero;
- uguale a zero.
Nella prima opzione, possiamo ottenere una risposta da due radici, che si trovano dalla formula: -b + - la radice del discriminante divisa per il primo coefficiente raddoppiato, cioè 2a.
Nel secondo caso, l'equazione non ha radici. Nel terzo caso, la radice si trova con la formula: -b / 2a.
Considera un esempio di un'equazione quadratica per una conoscenza più dettagliata: tre x al quadrato meno quattordici x meno cinque è uguale a zero. Per cominciare, come scritto in precedenza, stiamo cercando il discriminante, nel nostro caso è 256. Nota che il numero risultante è maggiore di zero, quindi, dovremmo ottenere una risposta composta da due radici. Sostituiamo il discriminante risultante nella formula per trovare le radici. Di conseguenza, abbiamo: x uguale a cinque e meno un terzo.
Casi particolari nelle equazioni quadratiche
Questi sono esempi in cui alcuni valori sono zero (a, b o c), e possibilmente più di uno.
Ad esempio, prendiamo la seguente equazione, che è quadratica: due x al quadrato è uguale a zero, qui vediamo che b e c sono zero. Proviamo a risolverlo, per questo dividiamo entrambe le parti dell'equazione per due, abbiamo: x 2 \u003d 0. Di conseguenza, otteniamo x=0.
Un altro caso è 16x 2 -9=0. Qui solo b=0. Risolviamo l'equazione, trasferiamo il coefficiente libero sul lato destro: 16x 2 \u003d 9, ora dividiamo ogni parte per sedici: x 2 \u003d nove sedicesimi. Poiché abbiamo x al quadrato, la radice di 9/16 può essere negativa o positiva. Scriviamo la risposta come segue: x è uguale a più/meno tre quarti.
Una tale risposta è anche possibile, poiché l'equazione non ha radici. Diamo un'occhiata a questo esempio: 5x 2 +80=0, qui b=0. Per risolvere il membro libero, lancialo sul lato destro, dopo queste azioni otteniamo: 5x 2 \u003d -80, ora dividiamo ogni parte per cinque: x 2 \u003d meno sedici. Se qualsiasi numero è al quadrato, non otterremo un valore negativo. Pertanto, la nostra risposta suona così: l'equazione non ha radici.
Espansione trinomiale
Anche l'assegnazione per le equazioni quadratiche può suonare diversamente: fattorizza un trinomio quadrato. Questo può essere fatto usando la seguente formula: a (x-x 1) (x-x 2). Per questo, come in un'altra versione del compito, è necessario trovare il discriminante.
Considera il seguente esempio: 3x 2 -14x-5, fattorizza il trinomio. Troviamo il discriminante, usando la formula a noi già nota, risulta essere 256. Notiamo subito che 256 è maggiore di zero, quindi l'equazione avrà due radici. Li troviamo, come nel paragrafo precedente, abbiamo: x \u003d cinque e meno un terzo. Usiamo la formula per scomporre il trinomio in fattori: 3(x-5)(x+1/3). Nella seconda parentesi abbiamo un segno uguale, perché la formula contiene un segno meno, e anche la radice è negativa, usando una conoscenza elementare della matematica, nella somma abbiamo un segno più. Per semplificare, moltiplichiamo il primo e il terzo termine dell'equazione per eliminare la frazione: (x-5) (x + 1).
Equazioni quadratiche
In questa sezione impareremo come risolvere equazioni più complesse. Partiamo subito con un esempio:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Possiamo notare gli elementi ripetuti: (x 2 - 2x), ci conviene sostituirlo con un'altra variabile per la soluzione, e quindi risolvi la solita equazione quadratica, subito notiamo che in tale compito otterremo quattro radici, questo non dovrebbe spaventarti. Indichiamo la ripetizione della variabile a. Otteniamo: a 2 -2a-3=0. Il nostro prossimo passo è trovare il discriminante della nuova equazione. Otteniamo 16, troviamo due radici: meno uno e tre. Ricordiamo che abbiamo effettuato la sostituzione, sostituiamo questi valori, di conseguenza abbiamo le equazioni: x 2 - 2x \u003d -1; x2-2x=3. Li risolviamo nella prima risposta: x è uguale a uno, nella seconda: x è uguale a meno uno e tre. Scriviamo la risposta come segue: più / meno uno e tre. Di norma, la risposta è scritta in ordine crescente.
Equazioni cubiche
Consideriamo un'altra possibile opzione. Parliamo di equazioni cubiche. Sembrano: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Considereremo esempi di equazioni di seguito, ma prima una piccola teoria. Possono avere tre radici, c'è anche una formula per trovare il discriminante per un'equazione cubica.
Considera un esempio: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Come risolverlo? Per fare ciò, estraiamo semplicemente x dalle parentesi: x(3x 2 +4x+2)=0. Non resta che calcolare le radici dell'equazione tra parentesi. Il discriminante dell'equazione quadratica tra parentesi è minore di zero, quindi l'espressione ha una radice: x=0.
Algebra. Equazioni
Passiamo al prossimo. Consideriamo ora brevemente le equazioni algebriche. Uno dei compiti è il seguente: fattorizza 3x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 2x + 5. Il modo più conveniente sarebbe il seguente raggruppamento: (3x 4 + 3x 2) + (2x 3 + 2x) + (5x 2 + 5). Nota che abbiamo rappresentato 8x2 dalla prima espressione come la somma di 3x2 e 5x2. Ora togliamo da ogni parentesi il fattore comune 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 + 1) + 5 (x 2 + 1). Vediamo che abbiamo un divisore comune: x al quadrato più uno, lo estraiamo dalle parentesi: (x 2 +1) (3x 2 + 2x + 5). Un'ulteriore espansione è impossibile, poiché entrambe le equazioni hanno un discriminante negativo.
Equazioni trascendentali
Proponiamo di occuparci del seguente tipo. Queste sono equazioni che contengono funzioni trascendentali, vale a dire logaritmiche, trigonometriche o esponenziali. Esempi: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 e così via. Come vengono risolti imparerai dal corso di trigonometria.
Funzione
Il passo finale è considerare il concetto di equazione di una funzione. A differenza delle opzioni precedenti, questo tipo non è risolto, ma su di esso viene costruito un grafico. Per fare ciò, l'equazione dovrebbe essere ben analizzata, trovare tutti i punti necessari per la costruzione, calcolare i punti minimo e massimo.
Ministero dell'istruzione generale e professionale della Federazione Russa
Istituto scolastico comunale
Ginnasio n. 12
composizione
sull'argomento: equazioni e modi per risolverle
Completato: studente 10 classe "A".
Krutko Evgeny
Controllato: insegnante di matematica Iskhakova Gulsum Akramovna
Tyumen 2001
Piano................................................. .................................................. . ............................. 1
Introduzione .................................................. . .................................................. .. ....................... 2
Parte principale................................................ .................................................. . .............. 3
Conclusione................................................. .................................................. . ................ 25
Applicazione................................................. .................................................. . ............. 26
Lista di referenze ............................................... ............................. ................... ... 29
Piano.
Introduzione.
Riferimento storico.
Equazioni. Equazioni algebriche.
a) Definizioni di base.
b) Equazione lineare e come risolverla.
c) Equazioni di secondo grado e metodi per risolverlo.
d) Equazioni a due termini, un modo per risolverle.
e) Equazioni cubiche e metodi per la sua soluzione.
f) Equazione biquadratica e metodo della sua soluzione.
g) Equazioni di quarto grado e metodi per risolverle.
g) Equazioni di alto grado e metodi dalla soluzione.
h) Equazione algebrica razionale e suo metodo
i) Equazioni irrazionali e metodi della sua soluzione.
j) Equazioni contenenti l'incognita sotto il segno.
valore assoluto e come risolverlo.
Equazioni trascendentali.
a) Equazioni esponenziali e come risolverle.
b) Equazioni logaritmiche e come risolverle.
introduzione
L'educazione matematica ricevuta in una scuola di istruzione generale è una componente essenziale dell'educazione generale e della cultura generale di una persona moderna. Quasi tutto ciò che circonda una persona moderna è tutto collegato in un modo o nell'altro con la matematica. E gli ultimi progressi in fisica, ingegneria e tecnologia dell'informazione non lasciano dubbi sul fatto che in futuro lo stato delle cose rimarrà lo stesso. Pertanto, la soluzione di molti problemi pratici si riduce alla risoluzione di vari tipi di equazioni che devono essere apprese a risolvere.
Questo lavoro è un tentativo di generalizzare e sistematizzare il materiale studiato sull'argomento di cui sopra. Ho ordinato il materiale secondo il grado della sua complessità, cominciando dal più semplice. Include sia i tipi di equazioni a noi noti dal corso scolastico di algebra, sia materiale aggiuntivo. Allo stesso tempo, ho cercato di mostrare i tipi di equazioni che non vengono studiate nel corso scolastico, ma la cui conoscenza potrebbe essere necessaria quando si entra in un istituto di istruzione superiore. Nel mio lavoro, risolvendo equazioni, non mi sono limitato solo a una soluzione reale, ma ne ho indicata anche una complessa, poiché credo che altrimenti l'equazione semplicemente non sia risolta. Dopotutto, se non ci sono radici reali nell'equazione, ciò non significa che non abbia soluzioni. Purtroppo, per mancanza di tempo, non sono stato in grado di presentare tutto il materiale che ho, ma anche con il materiale qui presentato possono sorgere molte domande. Spero che le mie conoscenze siano sufficienti per rispondere alla maggior parte delle domande. Quindi, presenterò il materiale.
La matematica... rivela l'ordine
simmetria e certezza,
e questi sono i tipi più importanti di bellezza.
Aristotele.
Riferimento storico
In quei tempi lontani, quando i saggi iniziarono a pensare per la prima volta alle uguaglianze contenenti quantità sconosciute, probabilmente non c'erano ancora monete o portafogli. Ma d'altra parte c'erano cumuli, oltre a pentole, cestini, perfetti per il ruolo di depositi-nascondi contenenti un numero imprecisato di oggetti. "Stiamo cercando un mucchio, che, insieme a due terzi di esso, mezzo e un settimo, fa 37 ...", insegnava lo scriba egiziano Ahmes nel II millennio a.C. Negli antichi problemi matematici della Mesopotamia, dell'India, della Cina, della Grecia, le quantità incognite esprimevano il numero dei pavoni nel giardino, il numero dei tori nella mandria, la totalità delle cose prese in considerazione nella divisione della proprietà. Scribi, funzionari e sacerdoti iniziati alla conoscenza segreta, ben addestrati nella scienza del conteggio, hanno affrontato con successo tali compiti.
Le fonti che ci sono pervenute indicano che gli antichi scienziati possedevano alcuni metodi generali per risolvere problemi con quantità sconosciute. Tuttavia, non un solo papiro, nessuna tavoletta di argilla fornisce una descrizione di queste tecniche. Gli autori solo occasionalmente hanno fornito ai loro calcoli numerici commenti meschini come: "Guarda!", "Fallo!", "Hai trovato giusto". In questo senso, l'eccezione è l '"aritmetica" del matematico greco Diofanto di Alessandria (III secolo) - una raccolta di problemi per la compilazione di equazioni con una presentazione sistematica delle loro soluzioni.
Tuttavia, il lavoro dello studioso di Baghdad del IX secolo divenne il primo manuale per la risoluzione di problemi che divenne ampiamente conosciuto. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. La parola "al-jabr" dal titolo arabo di questo trattato - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Il libro della restaurazione e del contrasto") - nel tempo si è trasformata nella parola "algebra" ben nota a tutti, e il lavoro di al-Khwarizmi stesso è servito come punto di partenza nello sviluppo della scienza della risoluzione delle equazioni.
equazioni. Equazioni algebriche
Definizioni di base
In algebra vengono considerati due tipi di uguaglianze: identità ed equazioni.
Identitàè un'uguaglianza che vale per tutti i valori (ammissibili) delle lettere ). Scrivere l'identità insieme al segno
viene utilizzato anche il segno.L'equazione- questa è un'uguaglianza che è soddisfatta solo per alcuni valori delle lettere in essa incluse. Le lettere comprese nell'equazione, a seconda della condizione del problema, possono essere disuguali: alcune possono assumere tutti i loro valori ammissibili (si chiamano parametri O coefficienti equazioni e sono generalmente indicate dalle prime lettere dell'alfabeto latino:
, , ... – o le stesse lettere, munite di indici: , , ... oppure , , ...); vengono chiamati altri i cui valori devono essere trovati sconosciuto(di solito sono denotati dalle ultime lettere dell'alfabeto latino: , , , ... - o dalle stesse lettere, fornite di indici: , , ... o , , ...).In generale, l'equazione può essere scritta come segue:
(, , ..., ).A seconda del numero di incognite, l'equazione è chiamata equazione con una, due, ecc. incognite.
Un'equazione è un'espressione matematica che è un'equazione contenente un'incognita. Se l'uguaglianza è vera per tutti i valori ammissibili delle incognite incluse in essa, allora si chiama identità; per esempio: una relazione del tipo (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) vale per tutti i valori di x.
Se un'equazione che coinvolge una x sconosciuta vale solo per certi valori di x, e non per tutti i valori di x, come nel caso di un'identità, allora può essere utile determinare quei valori di x per i quali l'equazione è valida. Tali valori di x sono chiamati radici o soluzioni dell'equazione. Ad esempio, il numero 5 è la radice dell'equazione 2x + 7= 17.
Nel ramo della matematica chiamato teoria delle equazioni, l'oggetto principale dello studio sono i metodi per risolvere le equazioni. Nel corso scolastico di algebra vengono fornite equazioni grande attenzione.
La storia dello studio delle equazioni risale a molti secoli fa. I matematici più famosi che hanno contribuito allo sviluppo della teoria delle equazioni sono stati:
Archimede (circa 287-212 a.C.) - Antico scienziato, matematico e meccanico greco. Nello studio di un problema, ridotto a un'equazione cubica, Archimede scoprì il ruolo della caratteristica, che in seguito divenne nota come discriminante.
François Viet visse nel XVI secolo. Ha dato un grande contributo allo studio di vari problemi di matematica. In particolare, introdusse la notazione letterale per i coefficienti di un'equazione e stabilì una connessione tra le radici di un'equazione quadratica.
Leonhard Euler (1707 - 1783) - matematico, meccanico, fisico e astronomo. L'autore di S. 800 lavora su analisi matematica, equazioni differenziali, geometria, teoria dei numeri, calcoli approssimativi, meccanica celeste, matematica, ottica, balistica, costruzione navale, teoria musicale, ecc. Ha avuto un impatto significativo sullo sviluppo della scienza. Ha derivato formule (formule di Eulero) che esprimono funzioni trigonometriche della variabile x attraverso una funzione esponenziale.
Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), matematico e meccanico francese. Possiede ricerche eccezionali, tra cui ricerche sull'algebra (la funzione simmetrica delle radici di un'equazione, sulle equazioni differenziali (la teoria delle soluzioni singolari, il metodo di variazione delle costanti).
J. Lagrange e A. Vandermonde - Matematici francesi. Nel 1771, per la prima volta, fu utilizzato il metodo di risoluzione dei sistemi di equazioni (metodo di sostituzione).
Gauss Karl Friedrich (1777-1855) - matematico tedesco. Ha scritto un libro che delinea la teoria delle equazioni di divisione del cerchio (cioè, equazioni xn - 1 = 0), che per molti versi era un prototipo della teoria di Galois. Oltre ai metodi generali per risolvere queste equazioni, stabilì una connessione tra esse e la costruzione di poligoni regolari. Lui, per la prima volta dopo gli antichi scienziati greci, fece un significativo passo avanti in questa materia, ovvero: trovò tutti quei valori di n per i quali si può costruire un normale n-gon con un compasso e un righello. Imparato ad aggiungere. Ha concluso che i sistemi di equazioni possono essere sommati, divisi e moltiplicati tra loro.
O. I. Somov - ha arricchito varie parti della matematica con importanti e numerose opere, tra cui la teoria di alcune equazioni algebriche di grado superiore.
Galois Evariste (1811-1832), matematico francese. Il suo merito principale è la formulazione di un insieme di idee, a cui è venuto in connessione con la continuazione della ricerca sulla risolvibilità delle equazioni algebriche, iniziata da J. Lagrange, N. Abel e altri, ha creato la teoria delle equazioni algebriche di grado superiore gradi con uno sconosciuto.
AV Pogorelov (1919 - 1981) - Nel suo lavoro, i metodi geometrici sono collegati ai metodi analitici della teoria delle equazioni alle derivate parziali. I suoi lavori ebbero anche un impatto significativo sulla teoria delle equazioni differenziali non lineari.
P. Ruffini - matematico italiano. Ha dedicato una serie di lavori alla dimostrazione dell'irrisolvibilità dell'equazione del 5 ° grado, utilizza sistematicamente la chiusura dell'insieme delle sostituzioni.
Nonostante il fatto che gli scienziati studino le equazioni da molto tempo, la scienza non sa come e quando le persone hanno avuto la necessità di usare le equazioni. Si sa solo che i problemi che portano alla soluzione delle equazioni più semplici sono stati risolti dalle persone da quando sono diventate persone. Altri 3-4 mila anni a.C. e. gli egizi e i babilonesi sapevano risolvere le equazioni. La regola per risolvere queste equazioni coincide con quella moderna, ma non si sa come siano arrivate a questo punto.
Nell'antico Egitto e in Babilonia veniva utilizzato il metodo della falsa posizione. Un'equazione di primo grado con un'incognita può sempre essere ridotta alla forma ax + b = c, in cui a, b, c sono numeri interi. Secondo le regole delle operazioni aritmetiche, ax \u003d c - b,
Se b > c, allora c b è un numero negativo. I numeri negativi erano sconosciuti agli egizi e a molti altri popoli successivi (su un piano di parità con i numeri positivi iniziarono ad essere usati in matematica solo nel XVII secolo). Per risolvere i problemi che ora risolviamo con le equazioni di primo grado, è stato inventato il metodo della falsa posizione. Nel papiro di Ahmes, 15 problemi sono risolti con questo metodo. Gli egiziani avevano un segno speciale per un numero sconosciuto, che, fino a poco tempo fa, veniva letto "come" e tradotto con la parola "mucchio" ("mucchio" o "numero sconosciuto" di unità). Ora leggono un po 'meno in modo impreciso: "aha". Il metodo di soluzione utilizzato da Ahmes è chiamato il metodo di una falsa posizione. Utilizzando questo metodo, vengono risolte equazioni della forma ax = b. Questo metodo consiste nel dividere ogni lato dell'equazione per a. Era usato sia dagli egizi che dai babilonesi. Popoli diversi hanno usato il metodo di due false posizioni. Gli arabi meccanizzarono questo metodo e ottennero la forma in cui passò nei libri di testo dei popoli europei, compresa l'aritmetica di Magnitsky. Magnitsky chiama il metodo per risolvere la "falsa regola" e scrive nella parte del suo libro che espone questo metodo:
L'astuzia di Zelo bo è questa parte, come se ci potessi mettere tutto. Non solo ciò che è nella cittadinanza, ma anche le scienze superiori nello spazio, anche sono elencate nella sfera del cielo, come il saggio c'è bisogno.
Il contenuto delle poesie di Magnitsky può essere riassunto come segue: questa parte dell'aritmetica è molto complicata. Con il suo aiuto, puoi calcolare non solo ciò che è necessario nella pratica quotidiana, ma risolve anche le domande "superiori" che devono affrontare i "saggi". Magnitsky usa una "regola falsa" nella forma datagli dagli arabi, chiamandola "aritmetica dei due errori" o "metodo dei pesi". I matematici indiani spesso davano problemi in versi. Sfida del loto:
Sopra il lago tranquillo, a mezza misura sopra l'acqua, era visibile il colore del loto. È cresciuto da solo e il vento in un'onda lo ha piegato di lato, e non più
Fiori sopra l'acqua. Ha trovato il suo occhio da pescatore a due misure da dove è cresciuto. Quanti laghi qui sono profondi? Ti proporrò una domanda.
Tipi di equazioni
Equazioni lineari
Le equazioni lineari sono equazioni della forma: ax + b = 0, dove a e b sono delle costanti. Se a non è uguale a zero, l'equazione ha una sola radice: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.).
Ad esempio: risolvi un'equazione lineare: 4x + 12 = 0.
Soluzione: T. a a \u003d 4 e b \u003d 12, quindi x \u003d - 12: 4; x = -3.
Controllo: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.
Poiché k 0 = 0, allora -3 è la radice dell'equazione originale.
Risposta. x = -3
Se a è zero e b è zero, la radice dell'equazione ax + b = 0 è un numero qualsiasi.
Per esempio:
0 = 0. Poiché 0 è 0, la radice dell'equazione 0x + 0 = 0 è un numero qualsiasi.
Se a è zero e b non è zero, allora l'equazione ax + b = 0 non ha radici.
Per esempio:
0 \u003d 6. Poiché 0 non è uguale a 6, allora 0x - 6 \u003d 0 non ha radici.
Sistemi di equazioni lineari.
Un sistema di equazioni lineari è un sistema in cui tutte le equazioni sono lineari.
Risolvere un sistema significa trovare tutte le sue soluzioni.
Prima di risolvere un sistema di equazioni lineari, puoi determinare il numero delle sue soluzioni.
Sia dato il sistema di equazioni: (а1х + b1y = ñ1, (а2х + b2y = c2.
Se a1 diviso a2 non è uguale a b1 diviso b2, allora il sistema ha un'unica soluzione.
Se a1 diviso a2 è uguale a b1 diviso b2, ma uguale a c1 diviso c2, allora il sistema non ha soluzioni.
Se a1 diviso a2 è uguale a b1 diviso b2, e uguale a c1 diviso c2, allora il sistema ha infinite soluzioni.
Un sistema di equazioni che ha almeno una soluzione si dice consistente.
Un sistema congiunto si dice definito se ha un numero finito di soluzioni, e indefinito se l'insieme delle sue soluzioni è infinito.
Un sistema che non ha un'unica soluzione è chiamato incoerente o incoerente.
Modi per risolvere equazioni lineari
Esistono diversi modi per risolvere equazioni lineari:
1) Metodo di selezione. Questo è il modo più semplice. Sta nel fatto che tutti i valori validi dell'ignoto sono selezionati per enumerazione.
Per esempio:
Risolvi l'equazione.
Sia x = 1. Allora
4 = 6. Poiché 4 non è uguale a 6, allora la nostra assunzione che x = 1 non era corretta.
Sia x = 2.
6 = 6. Poiché 6 è uguale a 6, allora la nostra ipotesi che x = 2 era corretta.
Risposta: x = 2.
2) Modo per semplificare
Questo metodo consiste nel fatto che tutti i termini contenenti l'ignoto vengono trasferiti a sinistra, e noti a destra con il segno opposto, diamo quelli simili e dividiamo entrambe le parti dell'equazione per il coefficiente dell'ignoto.
Per esempio:
Risolvi l'equazione.
5x - 4 \u003d 11 + 2x;
5x - 2x \u003d 11 + 4;
3x = 15; : (3) x = 5.
Risposta. x = 5.
3) Modo grafico.
Consiste nel fatto che viene costruito un grafico delle funzioni di una data equazione. Perché nell'equazione lineare y \u003d 0, il grafico sarà parallelo all'asse y. Il punto di intersezione del grafico con l'asse x sarà la soluzione di questa equazione.
Per esempio:
Risolvi l'equazione.
Sia y = 7. Allora y = 2x + 3.
Costruiamo un grafico delle funzioni di entrambe le equazioni:
Modi per risolvere sistemi di equazioni lineari
In seconda media vengono studiati tre modi per risolvere sistemi di equazioni:
1) Metodo di sostituzione.
Questo metodo consiste nel fatto che in una delle equazioni un'incognita è espressa in termini di un'altra. L'espressione risultante viene sostituita in un'altra equazione, che poi si trasforma in un'equazione con un'incognita, quindi viene risolta. Il valore risultante di questa incognita viene sostituito in qualsiasi equazione del sistema originale e viene trovato il valore della seconda incognita.
Per esempio.
Risolvi il sistema di equazioni.
5x - 2a - 2 = 1.
3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.
Sostituisci l'espressione risultante in un'altra equazione:
5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;
5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;
11x = 11; : (11) x = 1.
Sostituisci il valore risultante nell'equazione 3x + y \u003d 4.
3 1 + y = 4;
3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.
Visita medica.
/3 1 + 1 = 4,
\5 1 - 2 1 - 2 = 1;
Risposta: x = 1; y = 1.
2) Metodo di addizione.
Questo metodo consiste nel fatto che se un dato sistema è costituito da equazioni che, sommate termine per termine, formano un'equazione con un'incognita, allora risolvendo questa equazione otterremo il valore di una delle incognite. Il valore risultante di questa incognita viene sostituito in qualsiasi equazione del sistema originale e viene trovato il valore della seconda incognita.
Per esempio:
Risolvi il sistema di equazioni.
/ 3 anni - 2x \u003d 5,
\5x - 3a \u003d 4.
Risolviamo l'equazione risultante.
3x = 9; : (3) x = 3.
Sostituiamo il valore ottenuto nell'equazione 3y - 2x = 5.
3a - 2 3 = 5;
3a = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.
Quindi x = 3; y = 3 2/3.
Visita medica.
/3 11/3 - 2 3 = 5,
\5 3 - 3 11/ 3 = 4;
Risposta. x = 3; y = 3 2/3
3) Modo grafico.
Questo metodo si basa sul fatto che i grafici delle equazioni sono tracciati in un sistema di coordinate. Se i grafici dell'equazione si intersecano, le coordinate del punto di intersezione sono la soluzione di questo sistema. Se i grafici di un'equazione sono linee parallele, allora il sistema dato non ha soluzioni. Se i grafici delle equazioni si fondono in una linea retta, allora il sistema ha infinite soluzioni.
Per esempio.
Risolvi il sistema di equazioni.
18x + 3a - 1 = 8.
2x - y \u003d 5; 18x + 3a - 1 = 8;
Y \u003d 5 - 2x; 3a \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.
Costruiamo grafici di funzioni y \u003d 2x - 5 e y \u003d 3 - 6x sullo stesso sistema di coordinate.
I grafici delle funzioni y \u003d 2x - 5 e y \u003d 3 - 6x si intersecano nel punto A (1; -3).
Pertanto, la soluzione di questo sistema di equazioni sarà x = 1 e y = -3.
Visita medica.
2 1 - (- 3) = 5,
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Risposta. x = 1; y = -3.
Conclusione
Sulla base di quanto sopra, possiamo concludere che le equazioni sono necessarie nel mondo moderno non solo per risolvere problemi pratici, ma anche come strumento scientifico. Pertanto, così tanti scienziati hanno studiato questo problema e continuano a studiare.
52. Esempi più complessi di equazioni.
Esempio 1 .
5 / (x - 1) - 3 / (x + 1) \u003d 15 / (x 2 - 1)
Il denominatore comune è x 2 - 1, poiché x 2 - 1 \u003d (x + 1) (x - 1). Moltiplica entrambi i lati di questa equazione per x 2 - 1. Otteniamo:
o, previa riduzione,
5(x + 1) - 3(x - 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x=7 ex=3½
Considera un'altra equazione:
5 / (x-1) - 3 / (x + 1) \u003d 4 (x 2 - 1)
Risolvendo come sopra, otteniamo:
5(x + 1) - 3(x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 o 2x = 2 e x = 1.
Vediamo se le nostre uguaglianze sono giustificate se sostituiamo x in ciascuna delle equazioni considerate con il numero trovato.
Per il primo esempio, otteniamo:
Vediamo che qui non c'è spazio per alcun dubbio: abbiamo trovato un numero tale per x che l'uguaglianza richiesta è giustificata.
Per il secondo esempio, otteniamo:
5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) o 5/0 - 3/2 = 15/0
Qui sorgono dubbi: qui incontriamo la divisione per zero, che è impossibile. Se in futuro riusciremo a dare un significato certo, seppur indiretto, a questa divisione, allora potremo convenire che la soluzione trovata x - 1 soddisfa la nostra equazione. Fino ad allora, dobbiamo ammettere che la nostra equazione non ha affatto una soluzione che abbia un significato diretto.
Tali casi possono verificarsi quando l'ignoto è in qualche modo incluso nei denominatori delle frazioni nell'equazione e alcuni di questi denominatori, quando viene trovata la soluzione, svaniscono.
Esempio 2 .
Puoi immediatamente vedere che questa equazione ha la forma di una proporzione: il rapporto tra il numero x + 3 e il numero x - 1 è uguale al rapporto tra il numero 2x + 3 e il numero 2x - 2. Lascia che qualcuno, in vista questa circostanza, decidere di applicare qui per liberare l'equazione dalle frazioni sono la proprietà principale della proporzione (il prodotto dei termini estremi è uguale al prodotto delle medie). Quindi otterrà:
(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)
2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.
Qui può sorgere il timore che non riusciremo a far fronte a questa equazione, il fatto che l'equazione includa termini con x 2 . Tuttavia, possiamo sottrarre 2x 2 da entrambi i lati dell'equazione - questo non romperà l'equazione; quindi i membri con x 2 verranno distrutti e otteniamo:
6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3
Spostiamo i termini sconosciuti a sinistra, quelli noti a destra - otteniamo:
3x=3 oppure x=1
Ricordando questa equazione
(x + 3)/(x - 1) = (2x + 3)/(2x - 2)
noteremo subito che il valore trovato per x (x = 1) annulla i denominatori di ogni frazione; dobbiamo abbandonare tale soluzione fino a quando non avremo considerato la questione della divisione per zero.
Se notiamo anche che l'applicazione della proprietà della proporzione ha le cose complicate e che un'equazione più semplice potrebbe essere ottenuta moltiplicando entrambe le parti del dato per un comune denominatore, cioè per 2(x - 1) - dopo tutto, 2x - 2 = 2 (x - 1) , quindi otteniamo:
2(x + 3) = 2x - 3 o 2x + 6 = 2x - 3 o 6 = -3,
il che è impossibile.
Questa circostanza indica che questa equazione non ha soluzioni che hanno un significato diretto, che non azzererebbero i denominatori di questa equazione.
Risolviamo ora l'equazione:
(3x + 5)/(x - 1) = (2x + 18)/(2x - 2)
Moltiplichiamo entrambe le parti dell'equazione 2(x - 1), cioè per un denominatore comune, otteniamo:
6x + 10 = 2x + 18
La soluzione trovata non annulla il denominatore e ha un significato diretto:
o 11 = 11
Se qualcuno, invece di moltiplicare entrambe le parti per 2(x - 1), usasse la proprietà della proporzione, otterrebbe:
(3x + 5)(2x - 2) = (2x + 18)(x - 1) o
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.
Già qui i termini con x 2 non sarebbero annullati. Trasferendo tutti i termini sconosciuti a sinistra e quelli noti a destra, otterremmo
4x2 - 12x = -8
x 2 - 3x = -2
Non possiamo risolvere questa equazione ora. In futuro impareremo come risolvere tali equazioni e trovare due soluzioni per essa: 1) possiamo prendere x = 2 e 2) possiamo prendere x = 1. È facile controllare entrambe le soluzioni:
1) 2 2 - 3 2 = -2 e 2) 1 2 - 3 1 = -2
Se ricordiamo l'equazione iniziale
(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),
vedremo che ora otteniamo entrambe le sue soluzioni: 1) x = 2 è la soluzione che ha un significato diretto e non porta il denominatore a zero, 2) x = 1 è la soluzione che porta il denominatore a zero e non fa non hanno un significato diretto.
Esempio 3 .
Troviamo il denominatore comune delle frazioni incluse in questa equazione, per le quali fattorizziamo ciascuno dei denominatori:
1) x 2 - 5x + 6 \u003d x 2 - 3x - 2x + 6 \u003d x (x - 3) - 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x - 2),
2) x 2 - x - 2 \u003d x 2 - 2x + x - 2 \u003d x (x - 2) + (x - 2) \u003d (x - 2) (x + 1),
3) x 2 - 2x - 3 \u003d x 2 - 3x + x - 3 \u003d x (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 1).
Il comune denominatore è (x - 3)(x - 2)(x + 1).
Moltiplica entrambi i lati di questa equazione (e ora possiamo riscriverla come:
a un comune denominatore (x - 3) (x - 2) (x + 1). Quindi, dopo aver ridotto ogni frazione, otteniamo:
3(x + 1) - 2(x - 3) = 2(x - 2) o
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.
Da qui otteniamo:
–x = –13 e x = 13.
Questa soluzione ha un significato diretto: non imposta nessuno dei denominatori a zero.
Se dovessimo prendere l'equazione:
poi, procedendo esattamente come sopra, si otterrebbe
3(x + 1) - 2(x - 3) = x - 2
3x + 3 - 2x + 6 = x - 2
3x - 2x - x = -3 - 6 - 2,
dove vorresti arrivare
il che è impossibile. Questa circostanza mostra che è impossibile trovare una soluzione per l'ultima equazione che abbia un significato diretto.
In questo video analizzeremo un'intera serie di equazioni lineari che vengono risolte utilizzando lo stesso algoritmo: ecco perché sono chiamate le più semplici.
Per cominciare, definiamo: cos'è un'equazione lineare e quale di esse dovrebbe essere chiamata la più semplice?
Un'equazione lineare è quella in cui c'è solo una variabile, e solo nel primo grado.
L'equazione più semplice significa la costruzione:
Tutte le altre equazioni lineari sono ridotte a quelle più semplici usando l'algoritmo:
- Parentesi aperte, se presenti;
- Sposta i termini contenenti una variabile da una parte del segno di uguale e i termini senza una variabile dall'altra;
- Porta termini simili a sinistra ea destra del segno uguale;
- Dividi l'equazione risultante per il coefficiente della variabile $x$ .
Naturalmente, questo algoritmo non sempre aiuta. Il fatto è che a volte, dopo tutte queste macchinazioni, il coefficiente della variabile $x$ risulta essere uguale a zero. In questo caso sono possibili due opzioni:
- L'equazione non ha soluzioni. Ad esempio, quando ottieni qualcosa come $0\cdot x=8$, i.e. a sinistra è zero ea destra è un numero diverso da zero. Nel video qui sotto, esamineremo diversi motivi per cui questa situazione è possibile.
- La soluzione è tutta numeri. L'unico caso in cui ciò è possibile è quando l'equazione è stata ridotta alla costruzione $0\cdot x=0$. È abbastanza logico che, indipendentemente da quanto $x$ sostituiamo, risulterà comunque "zero è uguale a zero", ad es. corretta uguaglianza numerica.
E ora vediamo come funziona tutto sull'esempio di problemi reali.
Esempi di risoluzione di equazioni
Oggi ci occupiamo di equazioni lineari, e solo di quelle più semplici. In generale, un'equazione lineare significa qualsiasi uguaglianza che contiene esattamente una variabile e va solo al primo grado.
Tali costruzioni sono risolte approssimativamente nello stesso modo:
- Prima di tutto, devi aprire le eventuali parentesi (come nel nostro ultimo esempio);
- Quindi porta simili
- Infine, isolare la variabile, ad es. tutto ciò che è connesso con la variabile - i termini in cui è contenuta - viene trasferito da una parte e tutto ciò che rimane senza di essa viene trasferito dall'altra.
Quindi, di norma, devi portare simili su ciascun lato dell'uguaglianza risultante, dopodiché non resta che dividere per il coefficiente in "x", e otterremo la risposta finale.
In teoria, sembra carino e semplice, ma in pratica, anche gli studenti delle scuole superiori esperti possono commettere errori offensivi in equazioni lineari abbastanza semplici. Di solito, gli errori vengono commessi sia quando si aprono le parentesi, sia quando si contano "più" e "meno".
Inoltre, accade che un'equazione lineare non abbia alcuna soluzione, o che la soluzione sia l'intera linea numerica, ad es. qualsiasi numero. Analizzeremo queste sottigliezze nella lezione di oggi. Ma inizieremo, come hai già capito, con i compiti più semplici.
Schema per la risoluzione di semplici equazioni lineari
Per cominciare, lasciatemi scrivere ancora una volta l'intero schema per risolvere le equazioni lineari più semplici:
- Espandere le parentesi, se presenti.
- Seclude variabili, ad es. tutto ciò che contiene "x" viene trasferito da una parte e senza "x" - dall'altra.
- Presentiamo termini simili.
- Dividiamo tutto per il coefficiente in "x".
Certo, questo schema non sempre funziona, ha alcune sottigliezze e trucchi, e ora li conosceremo.
Risoluzione di esempi reali di semplici equazioni lineari
Compito n. 1
Nella prima fase, ci viene richiesto di aprire le parentesi. Ma non sono in questo esempio, quindi saltiamo questo passaggio. Nella seconda fase, dobbiamo isolare le variabili. Nota: stiamo parlando solo di singoli termini. Scriviamo:
Diamo termini simili a sinistra ea destra, ma questo è già stato fatto qui. Pertanto, procediamo al quarto passaggio: dividere per un fattore:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Qui abbiamo la risposta.
Compito n. 2
In questa attività, possiamo osservare le parentesi, quindi espandiamole:
Sia a sinistra che a destra vediamo approssimativamente la stessa costruzione, ma agiamo secondo l'algoritmo, ad es. variabili di sequestro:
Eccone alcuni come:
A quali radici funziona? Risposta: per qualsiasi. Pertanto, possiamo scrivere che $x$ è un numero qualsiasi.
Compito n. 3
La terza equazione lineare è già più interessante:
\[\sinistra(6-x \destra)+\sinistra(12+x \destra)-\sinistra(3-2x \destra)=15\]
Ci sono diverse parentesi qui, ma non sono moltiplicate per nulla, hanno solo segni diversi davanti a loro. Analizziamoli:
Eseguiamo il secondo passaggio a noi già noto:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Calcoliamo:
Eseguiamo l'ultimo passaggio: dividiamo tutto per il coefficiente in "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Cose da ricordare quando si risolvono equazioni lineari
Se ignoriamo compiti troppo semplici, vorrei dire quanto segue:
- Come ho detto sopra, non tutte le equazioni lineari hanno una soluzione - a volte semplicemente non ci sono radici;
- Anche se ci sono radici, zero può entrare in mezzo a loro - non c'è niente di sbagliato in questo.
Zero è lo stesso numero del resto, non dovresti in qualche modo discriminarlo o presumere che se ottieni zero, allora hai fatto qualcosa di sbagliato.
Un'altra caratteristica è legata all'espansione delle parentesi. Nota: quando c'è un "meno" davanti a loro, lo rimuoviamo, ma tra parentesi cambiamo i segni in opposto. E poi possiamo aprirlo secondo algoritmi standard: otterremo ciò che abbiamo visto nei calcoli sopra.
Comprendere questo semplice fatto ti aiuterà a evitare di commettere errori stupidi e dannosi al liceo, quando compiere tali azioni è dato per scontato.
Risoluzione di equazioni lineari complesse
Passiamo a equazioni più complesse. Ora le costruzioni diventeranno più complicate e apparirà una funzione quadratica durante l'esecuzione di varie trasformazioni. Tuttavia, non dovresti aver paura di questo, perché se, secondo l'intenzione dell'autore, risolviamo un'equazione lineare, allora nel processo di trasformazione tutti i monomi contenenti una funzione quadratica saranno necessariamente ridotti.
Esempio 1
Ovviamente, il primo passo è aprire le parentesi. Facciamolo con molta attenzione:
Ora prendiamo la privacy:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Eccone alcuni come:
Ovviamente questa equazione non ha soluzioni, quindi nella risposta scriviamo quanto segue:
\[\varietà \]
o senza radici.
Esempio #2
Eseguiamo gli stessi passaggi. Primo passo:
Spostiamo tutto con una variabile a sinistra e senza di essa a destra:
Eccone alcuni come:
Ovviamente, questa equazione lineare non ha soluzione, quindi la scriviamo così:
\[\varnothing\],
o senza radici.
Sfumature della soluzione
Entrambe le equazioni sono completamente risolte. Sull'esempio di queste due espressioni, ancora una volta ci siamo assicurati che anche nelle equazioni lineari più semplici tutto possa non essere così semplice: può essercene uno, o nessuno, o infiniti. Nel nostro caso, abbiamo considerato due equazioni, in entrambe semplicemente non ci sono radici.
Ma vorrei attirare la vostra attenzione su un altro fatto: come lavorare con le parentesi e come espanderle se c'è un segno meno davanti a loro. Considera questa espressione:
Prima di aprire, devi moltiplicare tutto per "x". Attenzione: moltiplicare ogni singolo termine. Dentro ci sono due termini - rispettivamente, due termini e viene moltiplicato.
E solo dopo che queste trasformazioni apparentemente elementari, ma molto importanti e pericolose sono state completate, la parentesi può essere aperta dal punto di vista che c'è un segno meno dopo di essa. Sì, sì: solo ora, quando le trasformazioni sono terminate, ricordiamo che c'è un segno meno davanti alle parentesi, il che significa che tutto sotto cambia solo segno. Allo stesso tempo, le parentesi stesse scompaiono e, soprattutto, scompare anche il "meno" anteriore.
Facciamo lo stesso con la seconda equazione:
Non è un caso che presto attenzione a questi piccoli fatti apparentemente insignificanti. Perché risolvere equazioni è sempre una sequenza di trasformazioni elementari, dove l'incapacità di eseguire azioni semplici in modo chiaro e competente porta al fatto che gli studenti delle scuole superiori vengono da me e imparano di nuovo a risolvere equazioni così semplici.
Naturalmente, verrà il giorno in cui affinerai queste abilità all'automatismo. Non dovrai più eseguire così tante trasformazioni ogni volta, scriverai tutto in una riga. Ma mentre stai solo imparando, devi scrivere ogni azione separatamente.
Risoluzione di equazioni lineari ancora più complesse
Quello che risolveremo ora difficilmente può essere definito il compito più semplice, ma il significato rimane lo stesso.
Compito n. 1
\[\sinistra(7x+1 \destra)\sinistra(3x-1 \destra)-21((x)^(2))=3\]
Moltiplichiamo tutti gli elementi nella prima parte:
Facciamo un ritiro:
Eccone alcuni come:
Facciamo l'ultimo passaggio:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Ecco la nostra risposta finale. E, nonostante il fatto che nel processo di risoluzione avessimo coefficienti con una funzione quadratica, tuttavia, si sono annullati a vicenda, il che rende l'equazione esattamente lineare, non quadrata.
Compito n. 2
\[\sinistra(1-4x \destra)\sinistra(1-3x \destra)=6x\sinistra(2x-1 \destra)\]
Facciamo il primo passo con attenzione: moltiplichiamo ogni elemento nella prima parentesi per ogni elemento nella seconda. In totale, quattro nuovi termini dovrebbero essere ottenuti dopo le trasformazioni:
E ora esegui attentamente la moltiplicazione in ogni termine:
Spostiamo i termini con "x" a sinistra e senza - a destra:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Ecco termini simili:
Abbiamo ricevuto una risposta definitiva.
Sfumature della soluzione
L'osservazione più importante su queste due equazioni è questa: non appena iniziamo a moltiplicare le parentesi in cui c'è più di un termine, allora questo viene fatto secondo la seguente regola: prendiamo il primo termine dal primo e moltiplichiamo per ogni elemento dal secondo; quindi prendiamo il secondo elemento dal primo e similmente moltiplichiamo con ogni elemento dal secondo. Di conseguenza, otteniamo quattro termini.
Sulla somma algebrica
Con l'ultimo esempio, vorrei ricordare agli studenti cos'è una somma algebrica. Nella matematica classica, per $1-7$ intendiamo una costruzione semplice: sottraiamo sette da uno. In algebra intendiamo con questo quanto segue: al numero "uno" aggiungiamo un altro numero, cioè "meno sette". Questa somma algebrica differisce dalla solita somma aritmetica.
Non appena esegui tutte le trasformazioni, ogni addizione e moltiplicazione, inizi a vedere costruzioni simili a quelle sopra descritte, semplicemente non avrai problemi di algebra quando lavori con polinomi ed equazioni.
In conclusione, diamo un'occhiata a un altro paio di esempi che saranno ancora più complessi di quelli che abbiamo appena visto e per risolverli dovremo espandere leggermente il nostro algoritmo standard.
Risolvere equazioni con una frazione
Per risolvere tali compiti, sarà necessario aggiungere un ulteriore passaggio al nostro algoritmo. Ma prima, ricorderò il nostro algoritmo:
- Parentesi aperte.
- Variabili separate.
- Porta simili.
- Dividi per un fattore.
Purtroppo, questo meraviglioso algoritmo, nonostante tutta la sua efficienza, non è del tutto appropriato quando abbiamo davanti a noi delle frazioni. E in quello che vedremo sotto, abbiamo una frazione a sinistra ea destra in entrambe le equazioni.
Come lavorare in questo caso? Sì, è molto semplice! Per fare ciò, è necessario aggiungere un ulteriore passaggio all'algoritmo, che può essere eseguito sia prima che dopo la prima azione, ovvero per eliminare le frazioni. L'algoritmo sarà quindi il seguente:
- Sbarazzati delle frazioni.
- Parentesi aperte.
- Variabili separate.
- Porta simili.
- Dividi per un fattore.
Cosa significa "sbarazzarsi delle frazioni"? E perché è possibile farlo sia dopo che prima del primo passaggio standard? Infatti, nel nostro caso, tutte le frazioni sono numeriche in termini di denominatore, cioè ovunque il denominatore è solo un numero. Pertanto, se moltiplichiamo entrambe le parti dell'equazione per questo numero, elimineremo le frazioni.
Esempio 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Liberiamoci delle frazioni in questa equazione:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Nota: tutto viene moltiplicato per "quattro" una volta, ad es. solo perché hai due parentesi non significa che devi moltiplicare ciascuna di esse per "quattro". Scriviamo:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Ora apriamolo:
Eseguiamo l'isolamento di una variabile:
Effettuiamo la riduzione di termini simili:
\[-4x=-1\sinistra| :\sinistra(-4 \destra) \destra.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Abbiamo ricevuto la soluzione finale, passiamo alla seconda equazione.
Esempio #2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Qui eseguiamo tutte le stesse azioni:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problema risolto.
Questo, infatti, è tutto ciò che volevo dire oggi.
Punti chiave
I risultati principali sono i seguenti:
- Conoscere l'algoritmo per risolvere equazioni lineari.
- Possibilità di aprire le parentesi.
- Non preoccuparti se hai funzioni quadratiche da qualche parte, molto probabilmente, nel processo di ulteriori trasformazioni, verranno ridotte.
- Le radici nelle equazioni lineari, anche le più semplici, sono di tre tipi: una sola radice, l'intera retta dei numeri è una radice, non ci sono affatto radici.
Spero che questa lezione ti aiuti a padroneggiare un argomento semplice ma molto importante per un'ulteriore comprensione di tutta la matematica. Se qualcosa non è chiaro, vai sul sito, risolvi gli esempi presentati lì. Resta sintonizzato, ci sono molte altre cose interessanti che ti aspettano!