В центре его запускают случайное блуждание. Что за чертовщина это «случайное блуждание»

Существует еще одна интересная задача, при решении которой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «случайных блужданий». В простейшем варианте эта задача выглядит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки , за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки ), либо назад (до точки ), причем решение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе - так называемое броуновское движение - или образование ошибки при измерениях. Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбрасыванием монеты.

Прежде всего давайте рассмотрим несколько примеров случайных блуждании. Их можно описать «чистым» продвижением за N шагов. На фиг. 6.5 показаны три примера путей при случайном блуждании. (При построении их в качестве случайной последовательности решений о том, куда сделать следующий шаг, использовались результаты подбрасывания монеты, приведенные на фиг. 6.1.)

Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, можно спросить: как далеко мы в среднем продвинемся? Нужно ожидать, что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с разной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением мы все с большей вероятностью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние, т. е. каково среднее значение ? Впрочем, удобнее иметь дело не с , а с ; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блужданий.

Фигура 6.5. Три примера случайного блуждания.

По горизонта отложено число шагов , по вертикали - координата , т. е. чистое расстояние от начальной точки.

Можно показать, что ожидаемая величина равна просто - числу сделанных шагов. Кстати, под «ожидаемой величиной» мы понимаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся процессов блуждания. Эта величина обозначается как и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного шага всегда равно , поэтому, несомненно, . (За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины.)

Ожидаемая величина для может быть получена из . Если после шагов мы оказались на расстоянии , то еще один шаг даст либо , либо . Или для квадратов

(6.7)

Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятностью , так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая величина будет просто . Но какова величина вернее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение»

(6.8)

Если теперь вспомнить, что , то получается очень простой результат:

Отклонение от начального положения можно характеризовать величиной типа расстояния (а не квадрата расстояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из получить так называемое «среднее квадратичное расстояние»

(6.10)

Мы уже говорили, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет, с которого мы начали эту главу. Если представить себе, что каждое продвижение вперед или назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то будет просто равно т. е. разности числа выпадений «орла» и «решки». Или поскольку N (где - полное число подбрасываний), то . Вспомните, что раньше мы уже получали выражение для ожидаемого распределения величины [она обозначалась тогда через ; см. уравнение (6.5)]. Ну а поскольку - просто постоянная, то теперь такое же распределение получилось и для . (Выпадение каждого «орла» означает невыпадение «решки», поэтому в связи между и появляется множитель 2.) Таким образом, на фиг. 6.2 график представляет одновременно и распределение расстояний, на которые мы можем уйти за 30 случайных шагов ( соответствует , соответствует и т. д.).

Отклонение от ожидаемой величины будет равно

откуда для среднего квадратичного отклонения получаем

.

Вспомним теперь наш результат для Мы ожидаем, что среднее расстояние, пройденное за 30 шагов, должно быть равно , откуда среднее отклонение от 15 должно быть . Заметьте, что средняя полуширина нашей кривой на фиг. 6.2 (т. е. полуширина «колокола» где-то посредине) как раз приблизительно равна 3, что согласуется с этим результатом.

Теперь мы способны рассмотреть вопрос, которого избегали до сих пор. Как узнать, «честна» ли наша монета? Сейчас мы можем, по крайней мере частично, ответить на него. Если монета «честная», то мы ожидаем, что в половине случаев выпадет «орел», т. е.

Одновременно ожидается, что действительное число выпадений «орла» должно отличаться от на величину порядка , или, если говорить о доле отклонения, она равна

,

т. е. чем больше , тем ближе к половине отношение .

Фигура 6.6. Доля выпадений «орла» в некоторой частной последовательности подбрасываний монеты.

На фиг. 6.6 отложены числа для тех подбрасываний монеты, о которых мы говорили раньше. Как видите, при увеличении числа кривая все ближе и ближе подходит к 0,5. Но, к сожалению, нет никаких гарантий, что для каждой данной серии или комбинации серий наблюдаемое отклонение будет близко к ожидаемому отклонению. Всегда есть конечная вероятность, что произойдет большая флуктуация - появление большого числа выпадений «орла» или «решки»,- которая даст произвольно большое отклонение. Единственное, что можно сказать,- это если отклонения близки к ожидаемому (скажем, со множителем 2 или 3), то нет оснований считать монету «поддельной» (или что партнер плутует).

Мы не рассматривали еще случаи, когда для монеты или какого-то другого объекта испытания, подобного монете (в том смысле, что возможны два или несколько достоверно не предсказуемых исхода наблюдения, например камень, который может упасть только па какую-то из двух сторон), имеется достаточно оснований полагать, что вероятности разных исходов не равны. Мы определили вероятность как отношение . Но что принять за величину ? Каким образом можно узнать, что ожидается? Во многих случаях самое лучшее, что можно сделать, это подсчитать число выпадений «орла» в большой серии испытаний и взять (наблюденное). (Как можно ожидать чего-то еще?) При этом, однако, нужно понимать, что различные наблюдатели и различные серии испытаний могут дать другое значение , отличное от нашего. Следует ожидать, однако, что все эти различные ответы не будут расходиться больше чем на [если близко к половине]. Физики-экспериментаторы обычно говорят, что «экспериментально найденная» вероятность имеет «ошибку», и записывают это в виде

. (6.14)

При такой записи подразумевается, что существует некая «истинная» вероятность, которую в принципе можно подсчитать, но что различные флуктуации приводят к ошибке при экспериментальном ее определении. Однако нет возможности сделать эти рассуждения логически согласованными. Лучше все-таки, чтобы вы поняли, что вероятность в каком-то смысле - вещь субъективная, что она всегда основывается на какой-то неопределенности наших познаний и величина ее колеблется при их изменении.

Хаотическое движение броуновских частиц в жидкости или газе представляет собой пример случайных блужданий. Теория броуновского движения была построена А.Эйнштейном и М.Смолуховским в 1905 - 1906 гг.

Задача о случайных блужданиях является одной из широко исследуемых задач теории вероятностей и находит множество других приложений.

6.1. Закономерности случайных блужданий

Закономерности случайных блужданий можно понять, используя простую модель, которая легко реализуется с помощью компьютера.

N частиц (которые в начальный момент для удобства наблюдений распределены на осиy ) смещаются последовательными шагами ∆x вдоль осиx . Каждый шаг каждой частицы выбирается случайным и независимым от других шагов. Однако распределение вероятностей при выборе любого шага одно и то же. Примем, что смещения в противоположные стороны равновероятны. Это значит, что среднее значение смещения

Смысл этого равенства в том, что среднее арифметическое смещений ∆x очень большого числа частиц приближается к нулю по мере роста этого числа. Так понимается усреднение и далее. Иногда такие средние величины называютаприорными 19 . Кроме того, мы будем использовать «наблюдаемые средние» – средние арифметические для заданного числа частиц (как правило, очень большого). «Наблюдаемое среднее» смещения частицы ∆x н мало, но не равно нулю.

После каждого шага частицы будут «расползаться» от оси y . Обозначимx (k ) координату некоторой частицы черезk шагов. Тогда

Усреднив это равенство (вновь по множеству частиц), получаем

x (k + 1) =x (k ) ,

т.е. среднее значение x (k ) не изменяется от шага к шагу и, следовательно, равноx (0) = 0. Наблюдаемое значениеx н для большого числа частиц

ранее предполагаем, что вероятность выпадения «орла» равна 1/2.

окажется близким к нулю (здесь x j - координата j -й частицы)20 .

Ширину полосы, по которой распределяются частицы после k -го шага, удобно характеризовать величинойx 2 (k ) . Чтобы выяснить зависимость этой величины от числа шагов, возведем равенство (2 ) в квадрат и усредним:

Ввиду независимости x (k ) и ∆x имеем

x (k )∆x =x (k ) ∆x = 0.

Обозначим (∆x )2 =a 2 . Из (4) следует

x 2 (k + 1) =x 2 (k ) +a 2 ,

т.е. средний квадрат координаты растет с каждым шагом на величину a 2 . Значит,

изменяется приблизительно пропорционально числу шагов.

Распределение частиц в занятой ими полосе более детально характеризуется функцией распределения f (x ), определяющей концентрацию частиц;dW =f (x )dx

– вероятность того, что координата j -й частицы после k -го шага окажется в интервалеx ≤ x j ≤ x +dx . Теория случайных блужданий дает для достаточно большого числа шаговk распределение Гаусса

Наблюдаемая функция распределения получается путем разбиения оси x на конечные интервалы и подсчета числа частиц в каждом из них. Результат подсчета представляется графически ступенчатой кривой –гистограммой (рис.7 ).

Обратим внимание на одно свойство зависимости (5 ). Если укрупнить шаги по времени вl раз, то средний квадрат смещения за один шагa 2 следует в соот-

20 При заданном числе частицN это справедливо для не слишком большого номера шагаk .

Рис. 7. Распределение частиц при диффузии (гистограмма и теоретическая кривая)

6.2. Оценка параметров движения броуновской частицы в жидкости

Приведем оценки для реального броуновского движения. Средняя скорость хаотического движения броуновской частицы v T определяется так же, как средняя скорость молекулы, соотношением

Если же скорость частицы близка к тепловой, v v T , то и сила, естественно, гораздо меньше, а отклонения ее от среднего значения−αv весьма существенны.

21 Для шарика радиусаR в жидкости с коэффициентом вязкостиη согласно закону Стокса

α = 6 πηR.

Именно эти отклонения ответственны за безостановочное хаотическое движение частицы. Если речь идет о таком движении, то τ из (9 ) можно понимать как оценку времени, спустя которое частица «забывает» начальное направление движения. Но та же величинаτ дает грубую оценку интервала времени, в течение которого частица «помнит» направление движения. (Может быть, для оценки времени «гарантированного забывания» стоило бы взять 2τ , а для оценки времени гарантированного сохранения направленияτ/ 2, но нас интересуют не «гарантированные», а средние времена, поэтому будем полагать, что коэффициенты 2, 1/2 и т.п. лежат за пределами принятой точности оценок.)

За время τ частица проходит путь, равный по порядку величины

Смещения частицы за различные интервалы времени порядка τ мы можем рассматривать как случайные, подобные рассматривавшимся ранее ∆x , только направленные не вдоль осиx , а в произвольном направлении (например, как три одновременных и независимых смещения вдоль трех осей координат). Движение частицы за времяt τ можно разбить наk t/τ таких шагов. Смещение частицы за времяt оценивается по аналогии с (5 ):

где D – коэффициент диффузии22 . С учетом (8 ), (9 ), (11 )

D k α Б T .(13)

Если сначала частицы были сосредоточены в каком-то малом объеме, то со временем они распространяются все дальше, занимая область размераr (t ).

Соотношения вида (12 ), (13 ), полученные Эйнштейном и Смолуховским, послужили основой экспериментов Перрена, в ходе которых была определена масса атомов и которые были приняты «научной общественностью» в качестве убедительного доказательства существования атомов.

Описанные выше закономерности следует понимать как предельный случай, отвечающий наблюдению бесконечного числа частиц. Реализация же случайных блужданий конечного числа частиц, совершающих броуновское движение (настоящих или «компьютерных»), демонстрирует лишь приближенное выполнение этих соотношений.

22 Для случайных блужданий в направлении осиx вместо (12 ) имеемx 2 (t ) = 2 D t .

Описывающую перемещение частицы в нек-ром фазовом пространстве под воздействием какого-либо случайного механизма. Фазовым пространством обычно бывает d-мерное или целочисленная в нем. Случайные механизмы могут быть различными; чаще рассматривают С. б., порожденные суммированием независимых случайных величин или цепями Маркова. Точного общепринятого определения С. б. нет.
Траектории простейших С. б. в случае d=l описываются начальным положением S 0 =0и последовательностью сумм

где X i независимы и имеют Бернулли

Значение S n можно интерпретировать как выигрыш одного из двух игроков после ппартий в игре, в к-рой этот в каждой из партий выигрывает один рубль с вероятностью . и проигрывает его с вероятностью 1- р. Если игра ведется с помощью подбрасывания симметричной монеты, то следует положить р=1/2 (симметричное блуждание, см. Бернулли блуждание ). При допущении, что начальный капитал 1-го игрока равен b, а начальный капитал 2-го игрока равен а, игра закончится, когда блуждающая частица (с координатами S 1 , S 2 , . . .) впервые коснется одного из уровней аили -b. В этот один из игроков разорится. Эта классич. задача о разорении, в к-рой барьеры в точках аи -b можно рассматривать как поглощающие.
В приложениях, связанных с массового обслуживания теорией, частица вблизи барьеров аи -b=0 может вести себя иначе: напр., если а=, b =0, то положение Z n+ 1 блуждающей частицы в момент n+1в соответствии с (1) описывается соотношением

и барьер в точке 0 можно наз. задерживающим. Существуют и другие возможности для поведения частицы вблизи барьеров.
Если а= то получают задачи для С. б. с одной границей. Если а=b = то получают неограниченное С. б. Изучение описанных С. б. происходит обычно с помощью аппарата дискретных цепей Маркова и, в частности, путем исследования соответствующих уравнений в конечных разностях. Пусть, напр., u k есть разорения 1-го игрока в задаче о разорении, если его капитал равен k, а суммарный капитал обоих игроков фиксирован и равен а+b. Тогда из формулы полной вероятности (по первому скачку) следует, что и k удовлетворяет уравнению

и граничным условиям u а =0, u -b = 1. Отсюда получают

Вторая из этих формул показывает, что даже лбезобидная

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ" в других словарях:

Теория случайных блужданий теория, согласно которой изменения стоимости ценных бумаг колеблются случайным образом вокруг своей объективной цены, оппонирует теории технического анализа. Содержание 1 Одномерное дискретное случайное блуждание … Википедия

случайное блуждание - atsitiktinis klajojimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. random walk vok. zufällige Irrfahrt, f; zufällige Schrittfolge, f rus. случайное блуждание, n pranc. cheminement aléatoire, m; errance, f; marche aléatoire, f … Fizikos terminų žodynas

Случайное блуждание, порождаемое Бернулли испытаниями. На примере Б. б. можно пояснить нек рые основные черты более общих случайных блужданий. В частности, уже в этой простейшей схеме проявляются свойства случайности, парадоксальные с точки… … Математическая энциклопедия

Задача о разорении игрока задача из области теории вероятностей. Подробно рассматривалась российским математиком А. Н. Ширяевым в монографии «Вероятность» … Википедия

Игра, имеющая характер развертывающегося в дискретном времени процесса на древовидно упорядоченном множестве (наз. также деревом). Конечной П. и. наз. система где 1) I множество игроков (|I| = n); 2) X конечное дерево, вершины к рого наз.… … Математическая энциклопедия

Однородный марковский процесс X(t), где Т аддитивная подполугруппа действительной оси R со значениями в топологич. пространстве. с топологией и борелевской алгеброй переходная функция Р(t, х, В), к рого обладает определенным свойством гладкости … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Монте Карло (значения). Метод Монте Карло (методы Монте Карло, ММК) общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного)… … Википедия

Метод Монте Карло (методы Монте Карло, ММК) общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные… … Википедия

При рассмотрении случайных блужданий состояние системы для наглядности интерпретируют как положение движущейся «частицы».

Одномерное случайное блуждание представляет собой марковскую цепь, пространство состояний которой состоит из конечного или бесконечного множества целых чисел; если частица находится в состоянии I, то за один шаг она может либо перейти в одно из своих соседних состояний или , либо остаться в состоянии Если пространством состояний служит множество неотрицательных целых чисел, то матрица переходных вероятностей случайного блуждания имеет вид

где . Числа имеют следующий смысл: если то при

изменения для очевидны.

В пользу названия «случайное блуждание» для процесса такого типа говорит тот факт, что его реализация описывает путь «абсолютно пьяного» человека, делающего случайным образом шаг вперед или шаг назад.

Капитал игрока, участвующего в серии партий азартной игры, часто описывают процессом случайного блуждания. Предположим, что игрок А, имеющий капитал играет с бесконечно богатым партнером, при этом вероятность того, что он выиграет партию и увеличит свой капитал на единицу, равна а вероятность того, что он проиграет и тем самым уменьшит свой капитал на единицу, равна . Зависимость вероятностей выигрыша и проигрыша от отражает возможную зависимость условий игры от капитала. Так, можно условиться, что, оказавшись в состоянии О (соответствующем разорению игрока А), процесс остается в этом состоянии, т. е. Процесс где размер капитала игрока после партий, является процессом случайного блуждания. Этот процесс известен под названием «задачи о разорении игрока».

Случайное блуждание с соответствует одинаковым повторяющимся партиям; если то в каждой партии шансы игрока А явно предпочтительнее. В гл. 3 мы покажем, что в этом случае с вероятностью где его начальный капитал, игрок А разоряется (теряет свой капитал) и с вероятностью его капитал будет беспредельно возрастать. Если же то игра явно выгодна хозяевам игорного заведения, и почти наверное (с вероятностью 1) игрок А разорится, если будет играть достаточно долго. Игрок А обречен на разорение (с вероятностью 1) и в том случае, когда игра безобидна, т. е. когда

Если партнер, игрок тоже начинает игру, располагая ограниченным капиталом у, то капитал игрока А снова описывается марковской цепью Однако эта цепь имеет конечное множество состояний где начальные состояния игроков соответственно. Разность интерпретируется как капитал игрока Б после партий. Если среди исходов каждой партии допускается ничья, то матрица переходных вероятностей цепи имеет вид

Как и ранее, есть вероятность того, что игрок А, имея капитал увеличит (уменьшит) его на единицу в следующей партии. Отметим, что в соответствии с матрицей переходных вероятностей (2.3) капитал игрока А (состояние процесса), достигнув величины а или обратившись в 0, остается в этих состояниях навсегда. Мы говорим, что игрок А разорен, если процесс достиг состояния 0; если же процесс попадает в состояние а, то мы говорим, что разорен игрок

Случайные блуждания оказываются полезными не только для описания игровых ситуаций, но и служат неплохими моделями физических процессов, в частности диффузии частиц. Если частица претерпевает случайные столкновения, то ее положение подвержено случайным флуктуациям, хотя описываемая ею траектория непрерывна. Если будущее положение (точнее, его распределение вероятностей) частицы зависит только от ее настоящего положения, то процесс где положение частицы в момент является марковским. Дискретная аппроксимация такого непрерывного движения соответствует случайному блужданию. Симметричное случайное блуждание представляет собой классический дискретный аналог броуновского движения (см. § 2 гл. 1). Под симметричным случайным блужданием на множестве всех целых чисел подразумевается марковская цепь с пространством состояний, являющимся множеством всех целых чисел, с элементами матрицы переходных вероятностей вида

где . Обычно симметричным случайным блужданием называют марковскую цепь с

Исследование некоторых физических моделей приводит нас к рассмотрению случайных блужданий на множестве неотрицательных целых чисел. Можно дать классификацию таких процессов на основе свойств нулевого состояния. Пусть случайное блуждание описывается матрицей (2.2). Если (а значит, и ), то нулевое состояние обладает свойствами отражающего экрана. Всякий раз, когда частица достигает нулевого состояния, в результате следующего перехода она оказывается в состоянии 1. Это соответствует ситуации, когда в нуле находится упругая стенка и частица отскакивает от нее без каких-либо остаточных явлений.

Если то нулевое состояние ведет себя как поглощающий экран. Попав в нулевое состояние, частица остается

в нем навсегда. Если то нулевое состояние является частично отражающим экраном.

Если случайное блуждание ограничено конечным числом состояний, скажем оба крайних состояния 0 и а независимо и в любой комбинации могут быть отражающими, поглощающими или частично отражающими экранами. Мы уже имели дело со случаем, когда состояния 0 и а были поглощающими [см. (2.3)].

Классическую модель диффузии через мембрану представляет собой модель Эренфестов. Модель описывается как процесс случайного блуждания с конечным числом состояний причем крайние состояния - а и а являются отражающими экранами. Матрица переходных вероятностей задается следующим образом:

Физическая интерпретация этой модели такова. Имеется две урны содержащие вместе 2а шаров. Предположим, что урна А содержит шаров. При каждом испытании случайным образом выбирается один шар и перекладывается в другую урну; при этом каждый из шаров имеет равную со всеми остальными вероятность быть переложенным независимо от того, в какой урне он находится. Каждое испытание приводит к изменению состояния 1) системы. Характерным для перемещения шаров будет преимущественное направление от урны с большей концентрацией к урне с меньшей концентрацией. Модель Эренфестов в некоторых случаях можно использовать для исследования физических систем, находящихся под действием восстанавливающих сил, величина которых пропорциональна расстоянию от положения равновесия.

Классическое симметричное -мерное случайное блуждание определяется следующим образом. Пространством состояний процесса является целочисленная решетка в (n-мерном евклидовом пространстве), точки которой суть наборы из целых чисел вида Переходные вероятности определяются следующим образом:

Аналогично одномерному случаю -мерное симметричное случайное блуждание представляет собой дискретный аналог -мерного броуновского движения.

Попробуем понять, насколько меняется положение танцу­ющей частицы за время, во много раз большее, чем промежуток между двумя ударами. Посмотрим на маленькую частицу, которая вовлеклась в броуновское движение и пляшет под непрерывно и беспорядочно сыплющимися на нее ударами молекул воды. Вопрос: Далеко ли отойдет частица от первона­чального положения, когда истечет заданное время? Эту задачу решили Эйнштейн и Смолуховский. Представим себе, что мы разделили выделенное нам время на малые промежутки, ска­жем, по одной сотой доле секунды, так что после первой сотой доли секунды частица оказалась в одном месте, в течение второй сотой секунды она продвинулась еще, в конце следующей сотой секунды - еще и т. д. При той скорости бомбардировки, которой подвергается частица, одна сотая секунды - огромное время.

Читатель легко может проверить, что число столкновений, которые испытывает одна плавающая в воде молекула, порядка 10 14 в секунду, так что на одну сотую долю секунды приходится примерно 10 12 столкновений, а это очень много! Естественно, что по прошествии одной сотой доли секунды частица не «по­мнит», что с ней было до этого. Иначе говоря, все столкновения случайны, так что каждый последующий «шаг» частицы совер­шенно не зависит от предыдущего. Это напоминает знаменитую задачу о пьяном моряке, который выходит из бара и делает несколько шагов, но плохо держится на ногах, и каждый шаг делает куда-то в сторону, случайно (фиг. 41.6).

Фиг. 41.6. Зигзагооб­разный путь из 36 слу­чайных шагов длиной L.

Как далеко расположена точка S 36 от В? В среднем на 6L.

Так где же окажется наш матрос спустя некоторое время? Конечно, мы этого не знаем! И предсказать это невозможно. Все, что можно сказать, - это то, что он где-то наверняка находится, но это совершенно неопределенно. Ну хорошо, а далеко ли он все-таки уйдет? Каково будет то среднее расстояние от бара, на котором окажется матрос? На этот вопрос мы уже ответили, потому что мы однажды уже обсуждали суперпозицию света от огромного числа различных источников с различными фазами, а это значит, что мы складывали огром­ное число стрелок, направленных по произвольным направ­лениям (см. гл. 32) Тогда мы обнаружили, что средний квадрат расстояния от одного конца цепи беспорядочных шагов до другого (т. е. интенсивность света) равен сумме интенсивностей отдельных источников. Совершенно аналогично, используя ту же математику, можно немедленно показать, что если R N - векторное расстояние от начала через N шагов, то средний квадрат расстояния от начала пропорционален числу шагов N.

Это значит, что <R 2 N >=NL 2 , где L - длина каждого шага. Поскольку число шагов пропорционально выделенному нам условиями задачи времени, то средний квадрат расстояния пропорционален времени:

=at. (41.17)

Это не означает, что среднее расстояние пропорционально времени. Если бы среднее расстояние было пропорционально времени, то частица двигалась бы с вполне определенной по­стоянной скоростью. Матрос, несомненно, идет вперед, но движение его таково, что квадрат среднего расстояния про­порционален времени. Это и есть характерная особенность случайных блужданий.

Мы легко докажем, что каждый шаг увеличивает квадрат расстояния в среднем на L 2 . Если записать R N =R N-1 +L , то окажется, что R 2 N равно

r n R N =R 2 N =r 2 n-i + 2R N-1 L +L 2 ,

а усредняя по многим попыткам, получим =+L 2 , потому что <R N-1 L >=0. Таким образом, по индукции

R 2 N =NL 2 (41.18)

Теперь хорошо бы вычислить коэффициент a в уравнении (41.17); для этого нужно еще кое-что добавить. Предположим, что если к частице приложена сила (она не имеет никакого отношения к броуновскому движению, просто мы подыскиваем выражение для импульса), то частица будет противодействовать силе следующим образом. Прежде всего должна проявиться инерция. Пусть m - коэффициент инерции, эффективная масса частицы (не обязательно настоящая масса настоящей частицы, потому что если протаскивать частицу сквозь воду, то дви­жется и вода). Поэтому если мы рассматриваем движение в одном направлении, то нужно обзавестись с одной стороны слагаемым m(d 2 x/dt 2). Далее подчеркнем, что, если мы толкаем частицу равномерно, она должна тормозиться жидкостью с силой, пропорциональной скорости. Кроме инерции жидкости, существует еще сопротивление течению, вызванное вязкостью и сложным строением жидкости. Для возникновения флуктуа­ции абсолютно необходимо существование необратимых потерь, нечто вроде сопротивления. Пока таких потерь нет, нет способа получить kT". Причина флуктуации тесно связана с такими потерями. Мы еще обсудим, каков механизм такого трения, мы поговорим о силах, пропорциональных скорости, и выясним, откуда они берутся. А пока давайте просто предположим, что такое сопротивление существует. Тогда формула для движения под действием внешней силы, если она толкает частицу самым обычным способом, выглядит
так:

Величину m можно определить экспериментально. Например, мы можем изучить падение капли под действием силы тяжести. Тогда известно, что сила равна mg, а m - это mg, деленное на окончательно установившуюся скорость падения капли. Или можно поместить каплю в центрифугу и следить за скоростью осаждения. А если она заряжена, то можно приложить элек­трическое поле. Таким образом, m - это измеряемая величина, а не какая-нибудь искусственная вещь, и ее значение известно для коллоидных частиц многих типов.

Применим эту формулу также в том случае, когда сила не внешняя, а равна беспорядочным силам броуновского движения. Попробуем определить средний квадрат пройденного телом пути. Будем рассматривать расстояния не в трех, а в одном измерении и определим среднее значение х 2 , чтобы подго­товить себя к решению задачи. (Разумеется, среднее зна­чение х 2 равно среднему y 2 и среднему r 2 , поэтому средний квадрат расстояния будет втрое больше того, что мы получим.)

Конечно, x-составляющая беспорядочной силы так же беспо­рядочна, как и остальные компоненты. Чему же равна скорость изменения x 2 ? Она равна (d/dt)(x 2)=2x(dx/dt), поэтому скорость изменения среднего x 2 ? можно найти, усреднив произведение скорости на координату. Покажем, что это постоянная величина, т. е. средний квадрат радиуса возрастает пропорционально времени, и найдем скорость возрастания. Если умножить уравнение (41.19) на х, то получим mx(d 2 x/dt 2)+ mx(dx/dt)=xF x . Нас интересует среднее по времени x(dx/dt), поэтому усредним по времени все уравнение целиком и изучим все три слагаемых. Что можно сказать о произведении х на силу? Хоть частица и добралась до точки х, последующие толчки могут быть направлены в любом направлении по отношению к х, ведь слу­чайная сила полностью случайна и ей нет дела, откуда частица начала двигаться. Если кордината х положительна, у средней силы нет никаких оснований направиться в этом же направ­лении. Для нее оно столь же вероятно, как и любое другое. Случайные силы не могут отправить частицу в определенном направлении. Поэтому среднее произведения х на F х равно нулю. С другой стороны, слагаемому mx(d 2 x/dt 2) можно, не­много повозившись, придать вид

Мы разбили первоначальное слагаемое на два и должны усред­нить их оба. Посмотрим, чему же равно произведение х на скорость. Это произведение не изменяется со временем, потому что, когда частица попадает в заданную точку, она уже не помнит, где она была раньше, и характеризующие такие си­туации величины не должны зависеть от времени. Поэтому среднее значение этой величины равно нулю. У нас осталось лишь mv 2 , а об этой величине нам кое-что известно: среднее значение mv 2 /2 равно 1 / 2 kT. Следовательно, мы установили,
что

Влечет за собой

Это значит, что средний квадрат радиус-вектора частицы к моменту t равен

=2kTt/m. (41.21)

Таким образом, мы и в самом деле можем выяснить, как далеко уйдут частицы! Сначала нужно изучить реакцию частицы на постоянную силу, выяснить скорость дрейфа частицы под действием известной силы (чтобы определить m), а тогда мы сможем узнать, далеко ли расползутся беспорядочно движу­щиеся частицы. Полученное нами уравнение имеет большую историческую ценность, потому что на нем основан один из первых способов определения постоянной k. Ведь в конце концов можно измерить величину m, и время, определить расстояние, на которое удалится частица, и получить средние значения. Почему так важно определить точное значение k? Потому что по закону PV=RT для моля можно измерить R, которое равно произведению числа атомов в моле на k. Моль когда-то определялся как столько-то граммов кислорода 16 (теперь для этой цели используют углерод), поэтому числа атомов в моле сначала не знали. Это, конечно, интересный и важный вопрос. Каковы размеры атомов? Много ли их? Таким образом, одно из самых ранних определений числа атомов свелось к определению того, далеко ли уйдут мельчайшие соринки, пока мы будем терпеливо разглядывать их в микроскоп в течение строго определенного времени. После этого можно было найти и постоянную Больцмана k, и число Авогадро N 0 , потому что R к этому времени было уже измерено.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Кинетическая теория газов

На сайте сайт читайте: "кинетическая теория газов"..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Свойства вещества
С этой главы мы начнем изучение новой темы, которая займет у нас довольно много времени. Мы начнем анализ свойств вещества с физической точки зрения. Зная, что вещество построено из большого

Давление газа
Каждый знает, что газ оказывает давление. Но отчего? В этом надо разобраться как следует. Если бы наши уши были намного чувствительнее, чем они есть на самом деле, мы бы все время слышали страшный

Сжимаемость излучения
Приведем еще один пример из кинетической теории газов; он не особенно интересует химиков, но очень важен для астро­номов. Внутри нагретого до высокой температуры ящика име­ется огромное число фотон

Температура и кинетическая энергия
До сих пор мы не имели дела с температурой; мы созна­тельно избегали разговоров на эту тему. Мы знаем, что если сжимать газ, энергия молекул возрастает, и мы обычно гово­рим, что газ при это

Закон идеального газа
Теперь можно подставить наше определение температуры в уравнение (39.9) и найти закон зависимости давления газа от температуры: произведение давления на объем равно про­изведению полного числа атом

Экспоненциальная атмосфера
Мы уже изучали некоторые свойства боль­шого числа сталкивающихся атомов. Наука, которая занимается этим, называется кине­тической теорией, и она описывает свойства вещества, рассматривая, как сталк

Закон Болъцмаиа
Отметим здесь тот факт, что числитель показателя экспонен­ты в равенстве (40.1) - это потенциальная энергия, атома. Поэ­тому можно в нашем случае сформулировать закон следующим образом: плот

Испарение жидкости
В менее элементарной статистической механике пытаются решить следующую важную задачу. Предположим, что имеется совокупность притягивающихся друг к другу молекул и сила между любыми двумя молекулами

Распределение молекул по скоростям
Обсудим теперь распределение молекул по скоростям, по­тому что интересно, а иногда и полезно знать, какая часть мо­лекул движется с той или иной скоростью. Чтобы выяснить это, можно использовать те

Удельные теплоемкости газов
Посмотрим теперь, как можно проверить теорию и оценить, насколько хороша классическая теория газов. Мы уже гово­рили, что если U-внутренняя энергия N молекул, то фор­мула pV=NkT=(g-1)

Поражение классической физики
Итак, приходится сказать, что мы натолкнулись на труд­ности. Можно соединить атомы не пружинкой, а чем-нибудь другим, но оказывается, что это только увеличит значение g. Если пустить в ход другие в

Равнораспределение энергии
Броуновское движение открыл в 1827 г. ботаник Роберт Броун. Изучая жизнь под мик­роскопом, он заметил, что мельчайшие частицы цветочной пыльцы пляшут в его поле зрения; в то же время он был достато

Тепловое равновесие излучения
Мы приступаем к обсуждению более сложной и интересной теоремы, суть которой состоит в следующем. Предположим, что у нас имеется заряженный осциллятор, вроде того, о котором мы говорили, когд

Равномерное распределение и квантовый осциллятор
Только что отмеченная трудность - это еще одна сторона проблемы непрерывности в классической физике, она началась с непорядка в теплоемкостях газов, а потом эта проблема сконцентрировалась на распр

Испарение
Эта глава посвящена дальнейшим приме­нениям кинетической теории. В предыдущей главе мы подчеркнули один из выводов этой теории, что средняя кинетическая энергия каждой степени свободы молекулы или

Термоиониая эмиссия
Можно привести еще один пример часто встречающегося процесса, столь похожего на испарение жидкости, что его даже не придется анализировать отдельно. В сущности, это та же самая задача. В любой ради

Тепловая ионизация
Перейдем теперь к еще одному применению все той же идеи. Теперь речь пойдет об ионизации. Предположим, что газ состоит из великого множества атомов, которые обычно нейтральны, но если газ нагреть,

Химическая кинетика
При химических реакциях происходит нечто похожее на «ионизаци

Законы излучения Эйнштейна
Обратимся теперь к интересной задаче, похожей на только что о

Столкновения молекул
До сих пор мы изучали движение молекул только при тепловом равновесии. А теперь нужно обсудить, как движутся молекулы газа, когда он близок к равновесию, но еще не достиг его полностью. Если газ сл

Средняя длина свободного пробега
Есть еще возможность описать столкновения молекул, не вводя для этого времени между столкновениями. Можно оп­ределить, далеко ли успеет уйти частица между столкновениями. Если мы знае

Скорость дрейфа
Мы хотим описать поведение одной или нескольких молекул, которые чем-то отличаются от огромного большинства осталь­ных молекул газа. Будем называть «большинство» молекул молекулами «фона», а отлича

Нонная проводимость
Применим наши результаты к частному случаю. Предпо­ложим, что в сосуде, заполненном газом, содержатся также ионы - атомы или молекулы с избыточным электрическим зарядом. Схематически это выглядит т

Молекулярная диффузия
Перейдем к другой задаче, для которой нам придется не­сколько изменить метод анализа, - к задаче о диффузии. Пред­положим, что мы взяли ящик, заполненный газом, находящимся в тепловом равновесии, а

Подставляя этот результат в (43.22) и пренебрегая множителем 2, получаем
Jx=lv(dna/dx) (43.24) Мы выяснили, что поток особых молекул пропорционален про­изводной плотности, или, как иногда говорят, «градиенту плотности».

Теплопроводность
Методы кинетической теории, которую мы так успешно применяли, позволяют также рассчитать и теплопроводность газа. Если газ в верхней части ящика горячее, чем внизу, то тепло перетечет сверху

Тепловые машины; первый закон
До сих пор мы рассматривали свойства вещества с атомной точки зрения, причем мы пытались, хотя бы в общих чертах, понять, что произойдет, если принять, что вещество состоит из атомов, подчиняющихся

Второй закон
А что такое второй закон термодинамики? Мы знаем, что если при работе приходится преодолевать трение, то потерян­ная работа равна выделившемуся теплу. Если мы преодолеваем трение в комнате при темп

Обратимые машины
Давайте разберемся в наших машинах получше. Одно из свойств всех машин нам уже известно. Если в машине есть трение, то неизбежны потери энергии. Наилучшей машиной была бы машина вообще без трения.

Коэффициент полезного действия идеальной машины
А сейчас попробуем найти закон, определяющий работу W как функцию Q1, Т1 и Т2 . Ясно, что W пропорционально Q1, ибо ес

Термодинамическая температура
Пока мы не будем делать попыток выразить эту возрастаю­щую функцию в терминах делений знакомого нам ртутного гра­дусника, а взамен определим новую температурную шкалу. Когда-то «температура»

Энтропия
Уравнение (44.7) или (44.12) может быть истолковано особо. При работе обратимых машин Q1/T1=Q2/T2, и тепло Q1 при температуре

Внутренняя энергия
Когда приходится использовать термоди­намику для дела, то оказывается, что она очень трудный и сложный предмет. В этой книге, однако, мы не будем залезать в самые дебри. Эта область особенно интере

Применения
Теперь обсудим смысл уравнения (45.7) и посмотрим, почему оно дает ответ на поставленные в предыдущей главе вопросы. Мы занимались рассмотрением такой задачи: в кинетической теории ясно, что рост т

Уравнение Клаузиуса- Клайперона
Испарение жидкости - это еще одна область, в которой можно применить наши результаты. Предположим, что мы вдвигаем поршень в цилиндр с каким-то веществом. Естественно задать себе вопрос: к

Как действует храповик
В этой главе мы поговорим о храповике и собачке - очень простом устройстве, позволяю­щем оси вращаться только в одном направлении. Возможность получать одностороннее вращение заслуживает глубокого

Храповик как машина
Пойдем дальше. Рассмотрим другой пример: температура вертушки T1, а температура храповика Т2; T2 меньше Т1. Так как храповик хол

Обратимость в механике
Что же это за глубокий механический принцип, который утверждает, что при постоянстве температуры и достаточно про­должительной работе наше устройство не уйдет ни назад, ни вперед? Очевидно, мы полу

Необратимость
Все ли законы физики обратимы? Конечно, нет! Попробуйте-ка, например, из яичницы слепить обратно яйцо! Или пустите фильм в обратную сторону - публика в зале тотчас же начнет смеяться. Необратимость

Порядок и энтропия
Итак, мы должны теперь потолковать о том, что понимать под беспорядком и что - под порядком. Дело не в том, что по­рядок приятен, а беспорядок неприятен. Наши смешанные и несмешанные газы отличаютс

Распространение звука
Давайте выведем теперь свойства распространения звука между источником и приемником, основываясь на законах Нью­тона, но не учитывая при этом взаимодействия звука с источ­ником и приемником. Обычно

Волновое уравнение
Итак, физические явления, происходящие в звуковой волне, обладают следующими тремя свойствами: I. Газ движется, и плотность его меняется. II. При изменении плотности меняется и давление. I

Решения волнового уравнения
Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмуще­ние, движется с постоянно

Скорость звука
При выводе волнового уравнения для звука мы получили формулу, которая связывает при нормальном давлении скорость движения волны и относительное изменение давления с плотностью: с2

Сложение двух волн
Не так давно мы довольно подробно обсуж­дали свойства световых волн и их интерферен­цию, т. е. эффект суперпозиции двух волн от различных источников. Но при этом пред­полагалось, что частоты источн

Некоторые замечания о биениях и модуляции
Предположим теперь, что нас интересует интенсивность волны, описываемой уравнением (48.7). Чтобы найти ее, нужно взять квадрат абсолютной величины либо правой, либо левой части этого уравнения. Дав

Боковые полосы
Описанную выше модулированную волну математически можно записать в виде S=(1+bcoswmt)coswct, (48.9) где (wс- несущая частота, а w

Локализованный волновой пакет
Следующий вопрос, который мы хотим обсудить,- это ин­терференция волн как в пространстве, так и во времени. Пред­положим, что в пространстве распространяются две волны. Вы, конечно, знаете, что рас

Амплитуда вероятности частиц
Рассмотрим еще один необычайно интересный пример фа­зовой ско

Волны в пространстве трех измерений
Мы заканчиваем наше обсуждение волн несколькими об­щими замечаниями о волновом уравнении. Эти замечания, при­званные дать нам картину того, чем нам предстоит заниматься в будущем, вовсе не претенду

Собственные колебания
Вернемся теперь к другим очень любопытным примерам биений, которые немного отличаются от того, что мы рассмат­ривали до сих пор. Представьте себе два одинаковых маятника, которые связаны между собо

Отражение волн
В этой главе мы рассмотрим ряд замеча­тельных явлений, возникающих в результате «заключения» волны в некоторую ограничен­ную область. Сначала нам придется устано­вить несколько частных фактов, отно

Волны в ограниченном пространстве и собственные частоты
Перейдем к обсуждению следующей интересной задачи. Что произойдет, если струну закрепить с двух концов, скажем в точках x=0 и x=L? Давайте начнем с идеи отражения волны, с некоего горба, движущегос

Двумерные собственные колебания
Сейчас мы перейдем к рассмотрению очень интересного поведения собственных гармоник в двумерных колебаниях. До сих пор мы говорили только об одномерных колебаниях: натянутой струне или звуковых волн

Связанные маятники
Напоследок необходимо подчеркнуть, что гармоники возни­кают не только в сложных непрерывных системах, но и в очень простых механических системах. Хорошим примером этого служит рассмотренная в преды

Линейные системы
Давайте теперь подытожим рассмотренные выше идеи, которые все являются аспектами, по-видимому, наиболее об­щего и удивительного принципа математической физики. Если у нас есть линейная система, хар

Музыкальные звуки
Говорят, что Пифагор первый обнаружил тот интересный факт, что одновременное зву­чание двух одинаковых струн различной длины приятнее для слуха, если длины этих струн относятся друг к другу

Ряд Фурье
В предыдущей главе мы познакомились с другой точкой зрения на колеблющуюся систему. Мы видели, что в струне воз­никают различные собственные гармоники и что любое частное колебание, которое только

Качество и гармония
Теперь мы уже можем описать, чем определяется «качество» музыкального тона. Оно определяется относительным количе­ством различных гармоник, т. е. относительными величинами а и b. Тон,

Коэффициенты Фурье
Вернемся теперь к утверждению о том, что каждую ноту, т. е. любое периодическое колебание, можно представить в виде надлежащей комбинации гармоник. Хотелось бы знать, как можно найти нужную

Теорема об энергии
Энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды.

Нелинейная реакция
Наконец, в теории гармоник есть одно очень важное явление, которое необходимо отметить, учитывая его практическую важ­ность, но это уже относится к области нелинейных эффектов. Во всех рассмотренны

Волна от движущегося предмета
Мы закончили количественный анализ волн, но посвятим еще одну дополнительную главу некоторым качественным оценкам различных явлений, связанных с волнами; для подробного анализа они слишком сложны.

Ударные волны
Зачастую скорость волны зависит от ее амплитуды, и в слу­чае звука эта зависимость возникает следующим образом. Движущийся в воздухе предмет должен сдвигать его со своего пути, вызывая при этом воз

Волны в твердом теле
Следующий тип волн, о которых нам следует поговорить,- это волны в твердом теле. Мы уже рассмотрели звуковые волны в жидкости и газе, а между ними и звуковыми волнами в твер­дом теле имеется непоср

Поверхностные волны
Следующий интересный тип волн, которые, несомненно, видел каждый и которые обычно в элементарных курсах служат примером волн,- это волны на поверхности воды. Вы скоро убедитесь, что более неудачног

Симметрия и законы сохранения
Даже на этом уровне симметрии физических законов очень увлекательны, но оказывается, что они куда более интересны и удивительны при переходе к квантовой механике. Факт, причи­ну которого я не могу

Зеркальное отражение
Перейдем к следующему вопросу, который будет занимать нас до конца главы,- это симметрия при отражении в про­странстве. Проблема заключается в следующем: симметричны ли физические законы при

Полярный и аксиальный векторы
Пойдем дальше. Вы видели, что в физике имеется масса при­меров применимости правила правой и левой руки. В самом деле, когда мы изучали векторный анализ, то узнали о правиле пра­вой руки, которым н

Какая же рука правая?
Дело в том, что существует один интересный факт: в любом явлении правило правой руки всегда встречается два или вооб­ще четное число раз, и в результате любое явление всегда выглядит симметричным.

Четность не сохраняется!
Оказывается, что законы тяготения, законы электричества и маг

Антивещество
Когда исчезает одна из симметрии, то первым делом нуж­но немедленно обратиться к списку известных или предположен­ных симметрии и посмотреть, не может ли еще нарушиться ка­кая-то из них. Мы не упом

Нарушенная симметрия
А что нам делать с законами, которые только приблизительно симметричны? Самое удивительное здесь то, что в широкой об­ласти важнейших явлений-ядерные силы, электромагнитные явления и даже не