Ehtimollikni klassik aniqlashga oid masalalar Yechishga misollar. Voqea ehtimoli. Hodisa ehtimolini aniqlash

Voqea ehtimoli. Hayotiy amaliyotda tasodifiy hodisa yoki hodisalar uchun quyidagi atamalar qo'llaniladi: imkonsiz, ehtimoldan yiroq, bir xil ehtimolli, ishonchli va boshqalar, bu voqea sodir bo'lishiga qanchalik ishonganimizni ko'rsatadi. Tasodifiy hodisa ehtimoli yo'q deganda, biz bir xil shartlar ko'p marta takrorlanganda, bu hodisa sodir bo'lmaganidan ko'ra kamroq sodir bo'lishini nazarda tutamiz. Aksincha, ehtimoli yuqori bo'lgan hodisa tez-tez sodir bo'ladi. Agar ma'lum sharoitlarda ikki xil tasodifiy hodisa bir xil tez-tez sodir bo'lsa, ular bir xil ehtimolli hisoblanadi. Agar ma'lum bir sharoitda ma'lum bir hodisa aniq sodir bo'lishiga ishonchimiz komil bo'lsa, biz buni aniq deb aytamiz. Agar, aksincha, biror hodisaning ma’lum sharoitlarda ro‘y bermasligiga ishonchimiz komil bo‘lsa, bu hodisani imkonsiz deymiz.

Biroq, tasodifiy hodisaning sodir bo'lish imkoniyatini shu tarzda aniqlash orqali biz qat'iy statistik qonunlarni joriy qila olmaymiz, chunki bu ko'pincha bizning bilimimiz etarli emasligi bilan cheklangan ushbu hodisani sub'ektiv baholashimiz bilan bog'liq.

Qattiq statistik qonunlarni joriy qilish uchun tasodifiy hodisaning ob'ektiv imkoniyati darajasi sifatida ehtimollikning qat'iy matematik ta'rifi ham talab qilinadi.

Ehtimolning matematik ta'rifini berish uchun ommaviy hodisalarning yuzaga kelishiga oddiy misolni ko'rib chiqish kerak. Bunday hodisalarning eng oddiy misollari, odatda, tangani uloqtirganda u yoki bu tomonini yo'qotish yoki o'limni otishda qandaydir raqamni yo'qotishdir. Bu erda alohida hodisa u yoki bu yuzning (raqamning) yo'qolishi deb hisoblanadi.

Amaliyotdan ma'lumki, zarning bir uloqtirilishida (bitta hodisa) aniq qaysi raqam (qancha ball) paydo bo'lishini oldindan aytib bo'lmaydi. Shuning uchun, ma'lum miqdordagi ball olish tasodifiy hodisa bo'ladi.

Ammo, agar biz shunga o'xshash voqealarning butun seriyasini ko'rib chiqsak - o'limni takroriy otish, unda har bir tomon ko'p marta paydo bo'ladi va tasodifiy hodisalar allaqachon ommaviy bo'ladi. Ularga nisbatan ma'lum qonunlar qo'llaniladi.

Amaliyotdan ma'lumki, zar otishda bir xil raqamni olish mumkin bo'ladi, masalan, ketma-ket ikki marta, ketma-ket uch marta - allaqachon ehtimoldan yiroq, ketma-ket to'rt marta - bundan ham kamroq, va masalan, ketma-ket o'n marta - deyarli imkonsiz.

Bundan tashqari, agar siz zarni atigi olti marta tashlasangiz, ba'zi raqamlar ikki marta paydo bo'lishi mumkin, ba'zilari esa yo'q. Bu erda ma'lum bir raqamning ko'rinishida biron bir naqshni sezish qiyin. Biroq, agar uloqtirishlar soni 60 ga oshirilsa, har bir raqam taxminan o'n marta paydo bo'ladi. Bu erda ma'lum bir naqsh paydo bo'ladi. Biroq, o'limni tashlashda tasodifiylik tufayli (uning boshlang'ich holati, tezligi, parvoz yo'li) turli xil tajriba seriyalarida turli raqamlar soni har xil bo'ladi. Bu tajribalarning o'zi etarli emasligi bilan bog'liq.

Agar biz uloqtirishlar sonini olti mingga oshirsak, u holda barcha otishlarning oltidan bir qismi har bir raqamning paydo bo'lishiga olib keladi. Va otishlar soni qancha ko'p bo'lsa, berilgan raqamning tomchilari soni shunchalik yaqin bo'ladi

Qatlamni takroriy uloqtirish paytida berilgan sonning sodir bo'lish sonining otishlarning umumiy soniga nisbati bir hil sinovlar seriyasida ushbu hodisaning takrorlanish chastotasi deb ataladi. Sinovlarning umumiy sonining ko'payishi bilan takrorlash chastotasi ma'lum bir qator tajribalar bilan aniqlangan ma'lum bir doimiy chegaraga intiladi.

Bu chegara berilgan hodisaning ehtimolligi deyiladi. Biroq, takrorlash tezligini cheklash tendentsiyasi faqat testlar sonining cheksiz ko'payishi bilan kuzatiladi.

Umuman olganda, agar biron bir hodisa sinovlarning umumiy sonidan Gts marta sodir bo'lsa, matematik jihatdan ehtimollik qulay hodisalar sonining hodisalarning umumiy soniga nisbati chegarasi sifatida aniqlanadi (bir hil sinovlar guruhi), bu guruhdagi sinovlar soni cheksizlikka moyil bo'lishi sharti bilan. Boshqacha qilib aytganda, bizning holatimizda hodisaning ehtimoli quyidagicha yoziladi:

Fizikada tasodifiy o'zgaruvchi ko'pincha vaqt o'tishi bilan o'zgaradi. Keyin, masalan, tizimning ma'lum bir holatining ehtimoli formula bilan aniqlanishi mumkin

sistemaning shu holatda qolgan vaqti qayerda, umumiy kuzatish vaqti.

Bundan kelib chiqadiki, biron bir hodisaning ehtimolini eksperimental aniqlash uchun cheksiz bo'lmasa, juda ko'p sonli sinovlarni o'tkazish, qulay hodisalar sonini topish va ularning nisbatiga qarab, topish kerak. ushbu hodisaning ehtimoli.

Ko'pgina amaliy holatlarda, ehtimollikni aniqlash uchun aynan shu narsa amalga oshiriladi. Bunday holda, ehtimollik

amalga oshirilgan testlar soni qanchalik ko'p bo'lsa yoki voqealar ko'rib chiqiladigan vaqt oralig'i qanchalik ko'p bo'lsa, qanchalik aniqroq aniqlanadi.

Biroq, ko'p hollarda, ma'lum bir hodisaning (ayniqsa, jismoniy) ehtimolini umuman testlarsiz aniqlash mumkin. Bu oldingi ehtimollik deb ataladi. Buni, albatta, eksperimental tarzda tekshirish mumkin.

Uni o'limni otish holatida topish uchun biz quyidagicha fikr yuritamiz. Qop bir xil bo'lgani uchun va har xil tashlanganligi sababli, olti tomonning har biri qo'nish ehtimoli teng bo'ladi (hech kim boshqa tomondan ustunlikka ega bo'lmaydi). Shuning uchun, bor-yo'g'i oltita yuz borligi sababli, ulardan birini olish ehtimoli teng deb aytishimiz mumkin. Bunday holda, ehtimollikni aniqlash uchun siz testlarni umuman o'tkaza olmaysiz, lekin umumiy mulohazalar asosida ehtimollikni topasiz.

Tarqatish funksiyasi. Berilgan misollarda tasodifiy o'zgaruvchi faqat bir nechta (juda aniq raqam) turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Tasodifiy o'zgaruvchi ushbu qiymatlardan birini olganida biz hodisalarni chaqirdik va bu hodisalarga ma'lum bir ehtimollik tayinladik.

Ammo bunday miqdorlar (zarlar, tangalar va boshqalar otish) bilan bir qatorda son-sanoqsiz cheksiz yaqin qiymatlarni (uzluksiz spektr) olishi mumkin bo'lgan tasodifiy miqdorlar mavjud. Bunday holda, quyidagi xususiyat xarakterlidir: tasodifiy o'zgaruvchining qandaydir qat'iy belgilangan qiymatni olishidan iborat bo'lgan bitta hodisaning ehtimoli nolga teng. Shuning uchun, faqat tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir qiymat oralig'ida joylashgan qiymatlarni olish ehtimoli haqida gapirish mantiqan to'g'ri keladi.

Intervalda qiymatni topish ehtimoli cheksiz kichik qiymatlar oralig'iga o'tishda, ehtimollik allaqachon bo'ladi va piktogrammalar tasodifiy o'zgaruvchining intervallarda yoki, ya'ni dan yoki gacha qiymatlarni olishi mumkinligini ko'rsatadi.

Bizning javobimiz

To'g'ri garov tanlash nafaqat sezgi, sport bilimi, bukmekerlik koeffitsientiga, balki hodisaning ehtimollik koeffitsientiga ham bog'liq. Tikishda bunday ko'rsatkichni hisoblash qobiliyati garov qo'yilishi kerak bo'lgan yaqinlashib kelayotgan voqeani bashorat qilishda muvaffaqiyat kalitidir.
Bukmekerlarda uch xil koeffitsient mavjud (batafsil maqolada), ularning turi o'yinchi uchun voqea ehtimolini qanday hisoblashni aniqlaydi.

O'nlik koeffitsientlar

Bunda hodisa ehtimoli quyidagi formula yordamida hisoblanadi: 1/koeffitsient. = v.i, bu erda koeffitsient. hodisa koeffitsienti, v.i esa natija ehtimoli. Misol uchun, biz bir dollar tikish bilan 1,80 koeffitsientini olamiz, formula bo'yicha matematik operatsiyani bajaramiz, o'yinchi bukmekerlik konserniga ko'ra voqea natijasi ehtimoli 0,55 foizni tashkil qiladi.

Kasr koeffitsientlari

Kasr koeffitsientlaridan foydalanilganda, ehtimollikni hisoblash formulasi boshqacha bo'ladi. Shunday qilib, 7/2 koeffitsienti bilan, bu erda birinchi raqam sof foydaning mumkin bo'lgan miqdorini, ikkinchisi esa ushbu foydani olish uchun talab qilinadigan garov hajmini bildiradi, tenglama quyidagicha ko'rinadi: zn.od/ summa uchun ning zn.od va chs.od = v.i. Bu yerda zn.coef koeffitsientning maxraji, chs.koef koeffitsientning hisoblagichi, v.i natijaning ehtimolligi. Shunday qilib, 7/2 kasr koeffitsienti uchun tenglama 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22 ko'rinadi, shuning uchun bukmekerlik konserni ma'lumotlariga ko'ra, voqea natijasi ehtimoli 0,22 foizni tashkil qiladi.

Amerika stavkalari

Amerikalik koeffitsientlar o'yinchilar orasida unchalik mashhur emas va, qoida tariqasida, murakkab va chalkash tuzilishga ega bo'lgan faqat AQShda qo'llaniladi. Savolga javob berish uchun: "Hodisa ehtimolini shu tarzda qanday hisoblash mumkin?", bunday koeffitsientlar salbiy va ijobiy bo'lishi mumkinligini bilishingiz kerak.

"-" belgisi bo'lgan koeffitsient, masalan -150, o'yinchi $100 sof foyda olish uchun $150 ga tikish kerakligini ko'rsatadi. Hodisa ehtimoli siz manfiy koeffitsientni manfiy koeffitsient va 100 ga bo'lishingiz kerak bo'lgan formula asosida hisoblanadi. / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, bu erda 0,6 100 ga ko'paytiriladi va hodisaning natija ehtimoli 60 foizni tashkil qiladi. Xuddi shu formula Amerikaning ijobiy koeffitsientlari uchun ham mos keladi.

“Baxtsiz hodisalar tasodifiy emas”... Bu faylasuf aytgan gapga o‘xshaydi, lekin aslida tasodifiylikni o‘rganish buyuk matematika fanining taqdiridir. Matematikada tasodif ehtimollar nazariyasi bilan shug'ullanadi. Maqolada formulalar va vazifalar misollari, shuningdek, ushbu fanning asosiy ta'riflari keltirilgan.

Ehtimollar nazariyasi nima?

Ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalarni o'rganadigan matematik fanlardan biridir.

Buni biroz tushunarli qilish uchun kichik bir misol keltiraylik: agar siz tanga tashlasangiz, u bosh yoki dumga tushishi mumkin. Tanga havoda bo'lsa-da, bu ikkala ehtimollik ham mumkin. Ya'ni, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan oqibatlarning ehtimoli 1: 1. Agar bitta karta 36 ta kartadan olingan bo'lsa, ehtimollik 1:36 sifatida ko'rsatiladi. Bu erda, ayniqsa, matematik formulalar yordamida o'rganish va bashorat qilish uchun hech narsa yo'qdek tuyuladi. Biroq, agar siz ma'lum bir harakatni ko'p marta takrorlasangiz, siz ma'lum bir naqshni aniqlay olasiz va unga asoslanib, boshqa sharoitlarda hodisalarning natijasini taxmin qilishingiz mumkin.

Yuqorida aytilganlarning barchasini umumlashtirish uchun, ehtimollik nazariyasi klassik ma'noda mumkin bo'lgan hodisalardan birining soni qiymatda sodir bo'lish imkoniyatini o'rganadi.

Tarix sahifalaridan

Ehtimollar nazariyasi, formulalar va birinchi vazifalarning misollari uzoq o'rta asrlarda, birinchi marta karta o'yinlarining natijalarini bashorat qilishga urinishlar paydo bo'lganida paydo bo'lgan.

Dastlab, ehtimollar nazariyasi matematikaga hech qanday aloqasi yo'q edi. Bu amalda takrorlanishi mumkin bo'lgan hodisaning empirik faktlari yoki xususiyatlari bilan oqlandi. Matematik fan sifatida bu sohadagi birinchi ishlar 17-asrda paydo boʻlgan. Ta'sischilar Blez Paskal va Per Ferma edi. Ular uzoq vaqt qimor o'ynashni o'rganishdi va ma'lum naqshlarni ko'rishdi, ular haqida jamoatchilikka aytib berishga qaror qilishdi.

Xuddi shu texnikani Kristian Gyuygens ixtiro qilgan, garchi u Paskal va Fermatning tadqiqotlari natijalari bilan tanish bo'lmasa ham. U tomonidan fan tarixida birinchi sanalgan “ehtimollar nazariyasi” tushunchasi, formulalar va misollar kiritilgan.

Yakob Bernulli, Laplas va Puasson teoremalarining ishlari ham kam ahamiyatga ega emas. Ular ehtimollik nazariyasini ko'proq matematik intizomga o'xshatishdi. Ehtimollar nazariyasi, formulalar va asosiy vazifalarning misollari Kolmogorov aksiomalari tufayli hozirgi shaklini oldi. Barcha o'zgarishlar natijasida ehtimollar nazariyasi matematika sohalaridan biriga aylandi.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari. Voqealar

Ushbu fanning asosiy tushunchasi "hodisa" dir. Hodisalarning uch turi mavjud:

• Ishonchli. Baribir sodir bo'ladiganlar (tanga tushadi).
• Mumkin emas. Hech qanday sharoitda sodir bo'lmaydigan voqealar (tanga havoda osilgan holda qoladi).
• Tasodifiy. Bo'ladigan yoki sodir bo'lmaydiganlar. Ularga bashorat qilish juda qiyin bo'lgan turli omillar ta'sir qilishi mumkin. Agar tanga haqida gapiradigan bo'lsak, unda natijaga ta'sir qilishi mumkin bo'lgan tasodifiy omillar mavjud: tanganing jismoniy xususiyatlari, shakli, asl holati, otish kuchi va boshqalar.

Misollardagi barcha hodisalar katta lotin harflari bilan ko'rsatilgan, boshqa rolga ega bo'lgan P dan tashqari. Masalan:

• A = "talabalar ma'ruza qilish uchun kelishdi."
• Ā = "talabalar ma'ruzaga kelishmadi."

Amaliy topshiriqlarda voqealar odatda so'z bilan yoziladi.

Hodisalarning eng muhim xususiyatlaridan biri ularning teng imkoniyatidir. Ya'ni, agar siz tanga tashlasangiz, u tushgunga qadar dastlabki tushishning barcha variantlari mumkin. Ammo voqealar ham bir xil darajada mumkin emas. Bu, kimdir biror natijaga ataylab ta'sir qilganda sodir bo'ladi. Masalan, "belgilangan" o'yin kartalari yoki zarlar, unda tortishish markazi siljiydi.

Voqealar ham mos va mos kelmaydigan bo'lishi mumkin. Mos keladigan hodisalar bir-birining sodir bo'lishini istisno qilmaydi. Masalan:

• A = "talaba ma'ruzaga keldi".
• B = "talaba ma'ruzaga keldi".

Bu hodisalar bir-biridan mustaqil bo'lib, ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lishiga ta'sir qilmaydi. Mos kelmaydigan hodisalar birining sodir bo'lishi boshqasining sodir bo'lishini istisno qilishi bilan belgilanadi. Agar biz bir xil tanga haqida gapiradigan bo'lsak, unda "dumlar" ning yo'qolishi bir xil tajribada "boshlar" paydo bo'lishini imkonsiz qiladi.

Voqealar bo'yicha harakatlar

Hodisalarni ko'paytirish va qo'shish mumkin, shunga mos ravishda fanga mantiqiy bog'lovchilar "VA" va "YOKI" kiritiladi.

Miqdor A yoki B hodisasi yoki ikkitasi bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkinligi bilan belgilanadi. Agar ular bir-biriga mos kelmasa, oxirgi variantni amalga oshirish mumkin emas, A yoki B o'raladi.

Hodisalarning ko'payishi bir vaqtning o'zida A va B ning paydo bo'lishidan iborat.

Endi biz asoslarni, ehtimollik nazariyasini va formulalarni yaxshiroq eslab qolish uchun bir nechta misollar keltirishimiz mumkin. Quyida muammolarni hal qilish misollari.

1-mashq: Kompaniya uch turdagi ishlar bo'yicha shartnomalar olish uchun tanlovda ishtirok etadi. Bo'lishi mumkin bo'lgan hodisalar:

• A = "firma birinchi shartnomani oladi."
• A 1 = "firma birinchi shartnomani olmaydi."
• B = "firma ikkinchi shartnomani oladi."
• B 1 = "firma ikkinchi shartnomani olmaydi"
• C = "firma uchinchi shartnomani oladi."
• C 1 = "firma uchinchi shartnomani olmaydi."

Voqealar bo'yicha harakatlardan foydalanib, biz quyidagi vaziyatlarni ifodalashga harakat qilamiz:

• K = "kompaniya barcha shartnomalarni oladi."

Matematik shaklda tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: K = ABC.

• M = "kompaniya bitta shartnoma olmaydi."

M = A 1 B 1 C 1.

Vazifani murakkablashtiramiz: H = "kompaniya bitta shartnoma oladi." Kompaniya qaysi shartnomani (birinchi, ikkinchi yoki uchinchi) olishi noma'lum bo'lganligi sababli, mumkin bo'lgan barcha hodisalarni qayd etish kerak:

H = A 1 BC 1 y AB 1 C 1 y A 1 B 1 C.

Va 1 BC 1 - firma birinchi va uchinchi shartnomani olmaydigan, lekin ikkinchisini oladigan voqealar seriyasidir. Boshqa mumkin bo'lgan hodisalar tegishli usul yordamida qayd etilgan. Intizomdagi y belgisi “YOKI” bog‘lovchisini bildiradi. Yuqoridagi misolni inson tiliga tarjima qiladigan bo'lsak, kompaniya yoki uchinchi shartnomani oladi, yoki ikkinchi yoki birinchi. Xuddi shunday, siz "Ehtimollik nazariyasi" fanida boshqa shartlarni yozishingiz mumkin. Yuqorida keltirilgan formulalar va muammolarni hal qilish misollari buni o'zingiz qilishingizga yordam beradi.

Aslida, ehtimollik

Ehtimol, ushbu matematik intizomda hodisaning ehtimolligi markaziy tushunchadir. Ehtimollikning 3 ta ta'rifi mavjud:

• klassik;
• statistik;
• geometrik.

Har birining ehtimolini o'rganishda o'z o'rni bor. Ehtimollar nazariyasi, formulalar va misollar (9-sinf) asosan klassik ta'rifdan foydalanadi, bu quyidagicha eshitiladi:

• A vaziyatining ehtimoli uning yuzaga kelishiga yordam beradigan natijalar sonining barcha mumkin bo'lgan natijalar soniga nisbatiga teng.

Formula quyidagicha ko'rinadi: P(A)=m/n.

A aslida hodisadir. Agar A ga qarama-qarshi holat paydo bo'lsa, uni Ā yoki A 1 shaklida yozish mumkin.

m - mumkin bo'lgan qulay holatlar soni.

n - sodir bo'lishi mumkin bo'lgan barcha hodisalar.

Masalan, A = "yurak kostyumining kartasini chizish." Standart kartada 36 ta karta mavjud, ulardan 9 tasi yurak. Shunga ko'ra, muammoni hal qilish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

P(A)=9/36=0,25.

Natijada, palubadan yurak kostyumining kartasini olish ehtimoli 0,25 ga teng bo'ladi.

Oliy matematikaga

Endi ehtimollik nazariyasi nima ekanligi, formulalar va maktab o'quv dasturida uchraydigan muammolarni echish misollari biroz ma'lum bo'ldi. Biroq, ehtimollar nazariyasi universitetlarda o'qitiladigan oliy matematikada ham mavjud. Ko'pincha ular nazariyaning geometrik va statistik ta'riflari va murakkab formulalar bilan ishlaydi.

Ehtimollar nazariyasi juda qiziq. Formulalar va misollarni (yuqori matematika) kichikdan - ehtimollikning statistik (yoki chastotali) ta'rifi bilan o'rganishni boshlash yaxshiroqdir.

Statistik yondashuv klassikaga zid emas, balki uni biroz kengaytiradi. Agar birinchi holatda hodisaning qanday ehtimollik bilan sodir bo'lishini aniqlash kerak bo'lsa, unda bu usulda uning qanchalik tez-tez sodir bo'lishini ko'rsatish kerak. Bu erda W n (A) bilan belgilanishi mumkin bo'lgan "nisbiy chastota" ning yangi tushunchasi kiritiladi. Formula klassikdan farq qilmaydi:

Agar bashorat qilish uchun klassik formula hisoblansa, statistik formula tajriba natijalariga ko'ra hisoblanadi. Masalan, kichik bir vazifani olaylik.

Texnologik nazorat bo'limi mahsulot sifatini tekshiradi. 100 ta mahsulot orasida 3 tasi sifatsiz deb topildi. Sifatli mahsulotning chastota ehtimolini qanday topish mumkin?

A = "sifatli mahsulotning ko'rinishi".

W n (A)=97/100=0,97

Shunday qilib, sifatli mahsulotning chastotasi 0,97 ni tashkil qiladi. 97 ni qayerdan oldingiz? Tekshirilgan 100 ta mahsulotdan 3 tasi sifatsizligi aniqlangan. Biz 100 dan 3 ni ayirib, 97 ni olamiz, bu sifatli tovarlar miqdori.

Kombinatorika haqida bir oz

Ehtimollar nazariyasining yana bir usuli kombinatorika deb ataladi. Uning asosiy printsipi shundan iboratki, agar ma'lum bir A tanlovi m xil yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin bo'lsa va B tanlovi n xil usulda amalga oshirilishi mumkin bo'lsa, u holda A va B ni tanlash ko'paytirish orqali amalga oshirilishi mumkin.

Masalan, A shahridan B shahriga olib boruvchi 5 ta yo‘l bor. B shahridan C shahriga 4 ta yo'l bor. A shahridan C shahriga necha xil usulda borish mumkin?

Hammasi oddiy: 5x4=20, ya'ni yigirma xil usulda A nuqtadan C nuqtaga o'tish mumkin.

Keling, vazifani murakkablashtiramiz. Solitaireda kartalarni joylashtirishning nechta usuli bor? Kemada 36 ta karta bor - bu boshlang'ich nuqta. Yo'llar sonini bilish uchun siz boshlang'ich nuqtadan bir vaqtning o'zida bitta kartani "ayirish" va ko'paytirishingiz kerak.

Ya'ni, 36x35x34x33x32...x2x1= natija kalkulyator ekraniga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun uni oddiygina 36 deb belgilash mumkin!. Belgisi "!" raqamning yonida raqamlarning butun qatori bir-biriga ko'paytirilishini bildiradi.

Kombinatorikada almashtirish, joylashtirish va kombinatsiya kabi tushunchalar mavjud. Ularning har biri o'z formulasiga ega.

To'plam elementlarining tartiblangan to'plami tartibga solish deyiladi. Joylashuvlar takrorlanishi mumkin, ya'ni bitta element bir necha marta ishlatilishi mumkin. Va takrorlanmasdan, elementlar takrorlanmasa. n - barcha elementlar, m - joylashtirishda ishtirok etadigan elementlar. Takrorlanmasdan joylashtirish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

A n m =n!/(n-m)!

Faqat joylashtirish tartibida farq qiluvchi n ta elementning ulanishlari almashtirishlar deyiladi. Matematikada shunday ko'rinadi: P n = n!

m ning n ta elementining birikmalari - ular qanday elementlar bo'lganligi va ularning umumiy soni qancha ekanligi muhim bo'lgan birikmalar. Formula quyidagicha ko'rinadi:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulli formulasi

Har bir fanda bo'lgani kabi ehtimollar nazariyasida ham o'z sohalarida uni yangi bosqichga olib chiqqan taniqli tadqiqotchilarning ishlari mavjud. Ushbu ishlardan biri Bernulli formulasi bo'lib, u mustaqil sharoitda ma'lum bir hodisaning yuzaga kelish ehtimolini aniqlash imkonini beradi. Bu shuni ko'rsatadiki, tajribada A ning paydo bo'lishi xuddi shu hodisaning oldingi yoki keyingi sinovlarda sodir bo'lishi yoki ro'y bermasligiga bog'liq emas.

Bernulli tenglamasi:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Hodisa (A) sodir bo'lish ehtimoli (p) har bir sinov uchun doimiydir. n ta tajribada vaziyatning aynan m marta sodir bo'lish ehtimoli yuqorida keltirilgan formula bo'yicha hisoblanadi. Shunga ko'ra, q sonini qanday topish mumkinligi haqida savol tug'iladi.

Agar A hodisasi p marta sodir bo'lsa, shunga ko'ra, u sodir bo'lmasligi mumkin. Birlik - bu fandagi vaziyatning barcha natijalarini belgilash uchun ishlatiladigan raqam. Demak, q hodisa sodir bo'lmasligi ehtimolini bildiruvchi sondir.

Endi siz Bernulli formulasini bilasiz (ehtimollar nazariyasi). Biz quyida muammolarni yechish (birinchi daraja) misollarini ko'rib chiqamiz.

2-topshiriq: Do'konga tashrif buyuruvchi 0,2 ehtimollik bilan xarid qiladi. Do'konga 6 nafar tashrif buyuruvchi mustaqil ravishda kirdi. Mehmonning xarid qilish ehtimoli qanday?

Yechim: Qancha tashrif buyuruvchi sotib olishi kerakligi noma'lum bo'lgani uchun, bitta yoki oltitasi, Bernoulli formulasi yordamida barcha mumkin bo'lgan ehtimolliklarni hisoblash kerak.

A = "tashrif buyuruvchi xarid qiladi."

Bunday holda: p = 0,2 (topshiriqda ko'rsatilganidek). Shunga ko'ra, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (chunki do'konda 6 ta mijoz bor). m raqami 0 dan (birorta ham xaridor xarid qilmaydi) 6 gacha (do'konga tashrif buyurgan barcha mehmonlar biror narsa sotib oladi) o'zgaradi. Natijada biz yechimni olamiz:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Xaridorlarning hech biri 0,2621 ehtimollik bilan xarid qilmaydi.

Bernulli formulasidan (ehtimollar nazariyasi) yana qanday foydalaniladi? Quyida muammolarni hal qilish misollari (ikkinchi daraja).

Yuqoridagi misoldan keyin C va r qaerga ketganligi haqida savollar tug'iladi. p ga nisbatan 0 ning kuchiga teng bo'lgan son birga teng bo'ladi. C ga kelsak, uni quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:

C n m = n! /m!(n-m)!

Birinchi misolda m = 0, mos ravishda C = 1 bo'lgani uchun, bu printsipial jihatdan natijaga ta'sir qilmaydi. Yangi formuladan foydalanib, keling, ikkita tashrif buyuruvchining tovarlarni sotib olish ehtimoli qanday ekanligini aniqlashga harakat qilaylik.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Ehtimollar nazariyasi unchalik murakkab emas. Yuqorida misollari keltirilgan Bernulli formulasi buning bevosita dalilidir.

Puasson formulasi

Puasson tenglamasi past ehtimolli tasodifiy vaziyatlarni hisoblash uchun ishlatiladi.

Asosiy formula:

P n (m)=l m /m! × e (-l) .

Bu holda l = n x p. Mana oddiy Puasson formulasi (ehtimollar nazariyasi). Biz quyida muammolarni hal qilish misollarini ko'rib chiqamiz.

Vazifa 3: Zavod 100 000 ta detal ishlab chiqardi. Buzuq qismning paydo bo'lishi = 0,0001. Partiyada 5 ta nuqsonli qism bo‘lish ehtimoli qanday?

Ko'rib turganingizdek, nikoh ehtimol bo'lmagan hodisadir va shuning uchun hisoblash uchun Puasson formulasi (ehtimollar nazariyasi) qo'llaniladi. Ushbu turdagi muammolarni hal qilish misollari fanning boshqa vazifalaridan farq qilmaydi, biz kerakli ma'lumotlarni berilgan formulaga almashtiramiz:

A = "tasodifiy tanlangan qism nuqsonli bo'ladi."

p = 0,0001 (vazifa shartlariga muvofiq).

n = 100000 (qismlar soni).

m = 5 (nuqsonli qismlar). Biz ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Xuddi Bernulli formulasi (ehtimollar nazariyasi), yuqorida yozilgan yechimlar misollari kabi, Puasson tenglamasi noma'lum e ga ega.Aslida uni quyidagi formula bilan topish mumkin:

e -l = lim n ->∞ (1-l/n) n .

Biroq, e ning deyarli barcha qiymatlarini o'z ichiga olgan maxsus jadvallar mavjud.

De Moivr-Laplas teoremasi

Agar Bernulli sxemasida sinovlar soni yetarlicha ko‘p bo‘lsa va barcha sxemalarda A hodisasining ro‘y berish ehtimoli bir xil bo‘lsa, u holda bir qator sinovlarda A hodisasining ma’lum bir necha marta sodir bo‘lish ehtimoli quyidagicha topiladi: Laplas formulasi:

R n (m)= 1/√npq x s(X m).

X m = m-np/√npq.

Laplas formulasini (ehtimollar nazariyasini) yaxshiroq eslab qolish uchun quyidagi muammolar misollari yordam beradi.

Birinchidan, X m ni topamiz, ma'lumotlarni (ularning barchasi yuqorida sanab o'tilgan) formulaga almashtiramiz va 0,025 ni olamiz. Jadvallardan foydalanib, s(0,025) raqamini topamiz, uning qiymati 0,3988. Endi siz barcha ma'lumotlarni formulaga almashtirishingiz mumkin:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Shunday qilib, flyerning aniq 267 marta ishlashi ehtimoli 0,03 ga teng.

Bayes formulasi

Bayes formulasi (ehtimollar nazariyasi), uning yordamida muammolarni hal qilish misollari quyida keltiriladi, u bilan bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan holatlarga asoslangan hodisaning ehtimolini tavsiflovchi tenglama. Asosiy formula quyidagicha:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A va B aniq hodisalardir.

P(A|B) - shartli ehtimol, ya'ni B hodisa rost bo'lgan taqdirda A hodisa sodir bo'lishi mumkin.

P (B|A) - B hodisasining shartli ehtimoli.

Shunday qilib, "Ehtimollar nazariyasi" qisqa kursining yakuniy qismi Bayes formulasi bo'lib, quyida muammolarni hal qilish misollari keltirilgan.

Vazifa 5: Omborga uchta kompaniyaning telefonlari keltirildi. Shu bilan birga, birinchi zavodda ishlab chiqarilgan telefonlar ulushi 25 foizni, ikkinchisida 60 foizni, uchinchisida 15 foizni tashkil etadi. Bundan tashqari, birinchi zavodda nuqsonli mahsulotlarning o'rtacha ulushi 2%, ikkinchisida - 4%, uchinchisida - 1% ni tashkil etishi ma'lum. Tasodifiy tanlangan telefonning nuqsonli bo'lish ehtimolini topishingiz kerak.

A = "tasodifiy tanlangan telefon".

B 1 - birinchi zavod ishlab chiqargan telefon. Shunga ko'ra, kirish B 2 va B 3 paydo bo'ladi (ikkinchi va uchinchi zavodlar uchun).

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - shuning uchun biz har bir variantning ehtimolini topdik.

Endi siz istalgan hodisaning shartli ehtimolini, ya'ni kompaniyalarda nuqsonli mahsulotlarning paydo bo'lish ehtimolini topishingiz kerak:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Keling, ma'lumotlarni Bayes formulasiga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Maqolada ehtimollik nazariyasi, formulalar va muammolarni hal qilish misollari keltirilgan, ammo bu keng fanning aysbergining faqat uchi. Yozilgan hamma narsadan so'ng, ehtimollik nazariyasi hayotda kerakmi, degan savolni berish mantiqan to'g'ri keladi. Oddiy odamga javob berish qiyin, uni ishlatgan odamdan bir necha marta jekpot yutishini so'rash yaxshidir.

Ehtimollik hodisa - ma'lum bir hodisa uchun qulay bo'lgan elementar natijalar sonining ushbu hodisa yuzaga kelishi mumkin bo'lgan tajribaning barcha teng darajada mumkin bo'lgan natijalari soniga nisbati. A hodisaning ehtimoli P(A) bilan belgilanadi (bu yerda P fransuzcha probabilite – ehtimollik so‘zining birinchi harfi). Ta'rifga ko'ra
(1.2.1)
bu yerda A hodisasi uchun qulay elementar natijalar soni; - hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi tajribaning barcha teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalari soni.
Ehtimollikning bunday ta'rifi klassik deb ataladi. U ehtimollar nazariyasi rivojlanishining dastlabki bosqichida paydo bo'lgan.

Hodisa ehtimoli quyidagi xususiyatlarga ega:
1. Ishonchli hodisaning ehtimoli birga teng. Ishonchli hodisani harf bilan belgilaymiz. Shuning uchun ma'lum bir hodisa uchun
(1.2.2)
2. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng. Imkonsiz hodisani harf bilan belgilaylik. Shuning uchun imkonsiz hodisa uchun
(1.2.3)
3. Tasodifiy hodisaning ehtimoli birdan kichik musbat son sifatida ifodalanadi. Tasodifiy hodisa uchun , yoki , tengsizliklari bajarilganligi sababli
(1.2.4)
4. Har qanday hodisaning ehtimoli tengsizliklarni qanoatlantiradi
(1.2.5)
Bu (1.2.2) - (1.2.4) munosabatlaridan kelib chiqadi.

1-misol. Bir urnada bir xil o'lchamdagi va og'irlikdagi 10 ta shar bor, ulardan 4 tasi qizil va 6 tasi ko'k. To'pdan bitta to'p olinadi. Chizilgan to'pning ko'k bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. Biz "chizilgan to'p ko'k bo'lib chiqdi" hodisasini A harfi bilan belgilaymiz. Bu testda 10 ta teng mumkin bo'lgan elementar natijalar mavjud bo'lib, ulardan 6 tasi A hodisasiga yordam beradi. (1.2.1) formulaga muvofiq, biz olamiz.

2-misol. 1 dan 30 gacha bo'lgan barcha natural sonlar bir xil kartochkalarga yoziladi va urnaga joylashtiriladi. Kartalarni yaxshilab aralashtirgandan so'ng, bitta karta urnadan chiqariladi. Olingan kartadagi raqam 5 ga karrali bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim.“Olingan kartadagi raqam 5 ga karrali” hodisasini A bilan belgilaymiz. Ushbu testda 30 ta teng mumkin bo'lgan elementar natijalar mavjud bo'lib, ulardan A hodisasi 6 ta natijaga (5, 10, 15, 20, 25, 30 raqamlari) ustunlik qiladi. Demak,

3-misol. Ikkita zar tashlanadi va yuqori yuzlardagi ballar yig'indisi hisoblanadi. B hodisasining ehtimolini toping, shunda zarlarning yuqori yuzlari jami 9 ballga ega bo'ladi.

Yechim. Ushbu testda atigi 6 2 = 36 teng mumkin bo'lgan elementar natijalar mavjud. B hodisasi 4 ta natija bilan ma'qullanadi: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), shuning uchun

4-misol. 10 dan katta bo'lmagan natural son tasodifiy tanlanadi.Bu sonning tub bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim.“Tanlangan son tub” hodisasini C harfi bilan belgilaymiz. Bu holda, n = 10, m = 4 (tutqich sonlar 2, 3, 5, 7). Shuning uchun kerakli ehtimollik

5-misol. Ikkita simmetrik tanga tashlangan. Ikkala tanganing yuqori tomonida raqamlar bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. Keling, D harfi bilan "har bir tanganing yuqori qismida raqam bor" hodisasini belgilaymiz. Ushbu testda 4 ta teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalar mavjud: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). ((G, C) yozuvi birinchi tangada gerb, ikkinchisida raqam borligini bildiradi). D hodisasi bitta elementar natija (C, C) tomonidan ma'qullanadi. m = 1 bo'lgani uchun, n = 4, u holda

6-misol. Tasodifiy tanlangan ikki xonali sonning bir xil raqamlarga ega bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. Ikki xonali sonlar - 10 dan 99 gacha bo'lgan raqamlar; Jami 90 ta shunday raqamlar mavjud.9 ta raqam bir xil raqamlarga ega (bular 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 raqamlari). Chunki bu holda m = 9, n = 90, u holda
,
Bu erda A - "bir xil raqamlarga ega bo'lgan raqam" hodisasi.

7-misol. So'zning harflaridan differensial Bitta harf tasodifiy tanlanadi. Bu harfning bo'lish ehtimoli qanday: a) unli, b) undosh, c) harf h?

Yechim. Differensial so'z 12 ta harfdan iborat bo'lib, ulardan 5 tasi unli va 7 tasi undosh. Xatlar h bu so'zda yo'q. Hodisalarni belgilaymiz: A - "unli harf", B - "undosh harf", C - "harf" h". Qulay elementar natijalar soni: - A hodisasi uchun, - B hodisasi uchun, - C hodisasi uchun. n = 12 bo'lgani uchun, u holda
, Va .

8-misol. Ikkita zar tashlanadi va har bir zarning tepasidagi ochkolar soni qayd etiladi. Ikkala zarda ham bir xil miqdordagi ochkolarni ko'rsatish ehtimolini toping.

Yechim. Bu hodisani A harfi bilan belgilaylik. A hodisasi 6 ta elementar natija bilan ma'qullanadi: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6). ;6). To'liq hodisalar guruhini tashkil etuvchi teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalarning umumiy soni, bu holda n=6 2 =36. Bu kerakli ehtimollik degan ma'noni anglatadi

9-misol. Kitob 300 sahifadan iborat. Tasodifiy ochilgan sahifaning 5 ga bo'linadigan seriya raqamiga ega bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. Muammoning shartlaridan kelib chiqadiki, hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi barcha teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalar n = 300 ga teng bo'ladi. Ulardan m = 60 ko'rsatilgan hodisaning ro'y berishiga yordam beradi. Darhaqiqat, 5 ga karrali son 5k ko'rinishga ega bo'ladi, bu erda k natural son va , bu erdan . Demak,
, bu erda A - "sahifa" hodisasi 5" ga karrali tartib raqamiga ega.

10-misol. Ikkita zar tashlanadi va yuqori yuzlardagi ballar yig'indisi hisoblanadi. Nima ko'proq - jami 7 yoki 8 olish?

Yechim. Hodisalarni belgilaymiz: A - "7 ball o'raladi", B - "8 ball o'raladi". A hodisasi 6 ta elementar natija bilan ma’qullanadi: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) va B hodisasi ma’qul. 5 ta natija bilan: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Barcha teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalar n = 6 2 = 36. Demak, Va .

Demak, P(A)>P(B), ya’ni jami 7 ball olish, jami 8 ball olishdan ko‘ra ko‘proq ehtimoliy hodisadir.

Vazifalar

1. 30 dan oshmaydigan natural son tasodifiy tanlanadi.Bu sonning 3 ga karrali bo‘lish ehtimoli qanday?
2. urna ichida a qizil va b hajmi va vazni bir xil bo'lgan ko'k sharlar. Ushbu urnadan tasodifiy olingan to'pning ko'k bo'lish ehtimoli qanday?
3. 30 dan oshmaydigan son tasodifiy tanlanadi.Bu sonning 30 ga bo‘luvchi bo‘lish ehtimoli qanday?
4. Urun ichida A ko'k va b hajmi va vazni bir xil bo'lgan qizil sharlar. Ushbu urnadan bitta to'p olinadi va chetga qo'yiladi. Bu to'p qizil bo'lib chiqdi. Shundan so'ng, urnadan yana bir to'p chiqariladi. Ikkinchi to'pning ham qizil bo'lish ehtimolini toping.
5. 50 dan oshmaydigan milliy raqam tasodifiy tanlanadi.Bu sonning tub bo‘lish ehtimoli qanday?
6. Uchta zar tashlanadi va yuqori yuzlardagi ballar yig'indisi hisoblanadi. Jami 9 yoki 10 ball olish ehtimoli qanday?
7. Uchta zar tashlanadi va urilgan ballar yig‘indisi hisoblanadi. Jami 11 (A hodisasi) yoki 12 ball (B hodisasi) olish ehtimoli ko'proqmi?

Javoblar

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - jami 9 ball olish ehtimoli; p 2 = 27/216 - jami 10 ball olish ehtimoli; p 2 > p 1 7 . P (A) = 27/216, P (B) = 25/216, P (A) > P (B).

Savollar

1. Hodisa yuzaga kelish ehtimoli qanday deyiladi?
2. Ishonchli hodisaning ehtimoli qanday?
3. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli qanday?
4. Tasodifiy hodisaning ehtimollik chegaralari qanday?
5. Har qanday hodisaning ehtimollik chegarasi qanday?
6. Ehtimolning qanday ta’rifi klassik deyiladi?

Ko'pchilik, "ehtimollar nazariyasi" tushunchasiga duch kelganda, bu juda qiyin va juda murakkab narsa deb o'ylab, qo'rqib ketishadi. Lekin aslida hamma narsa unchalik fojiali emas. Bugun biz asosiy tushunchani ko'rib chiqamiz va aniq misollar yordamida muammolarni qanday hal qilishni o'rganamiz.

Fan

Matematikaning «ehtimollar nazariyasi» kabi sohasi nimani o'rganadi? U naqsh va miqdorlarni qayd qiladi. Olimlar bu masala bilan birinchi marta XVIII asrda, qimor o'yinlarini o'rganganlarida qiziqishgan. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasi hodisadir. Bu tajriba yoki kuzatish orqali aniqlangan har qanday haqiqatdir. Ammo tajriba nima? Ehtimollar nazariyasining yana bir asosiy tushunchasi. Demak, bu holatlar majmui tasodifan emas, balki muayyan maqsad uchun yaratilgan. Kuzatishga kelsak, bu erda tadqiqotchining o'zi eksperimentda qatnashmaydi, shunchaki bu voqealarning guvohi bo'lib, sodir bo'layotgan narsaga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi.

Voqealar

Biz ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchasi hodisa ekanligini bilib oldik, ammo tasnifni hisobga olmadik. Ularning barchasi quyidagi toifalarga bo'lingan:

• Ishonchli.
• Mumkin emas.
• Tasodifiy.

Tajriba davomida qanday hodisalar, kuzatilgan yoki yaratilgan bo'lishidan qat'i nazar, ularning barchasi ushbu tasnifga bo'ysunadi. Sizni har bir tur bilan alohida tanishishga taklif qilamiz.

Ishonchli voqea

Bu zaruriy chora-tadbirlar majmui ko'rilgan holat. Mohiyatni yaxshiroq tushunish uchun bir nechta misollar keltirgan ma'qul. Fizika, kimyo, iqtisod va oliy matematika bu qonunga bo'ysunadi. Ehtimollar nazariyasi ishonchli hodisa kabi muhim tushunchani o'z ichiga oladi. Mana bir nechta misollar:

• Biz ishlaymiz va ish haqi shaklida tovon olamiz.
• Biz imtihonlarni yaxshi topshirdik, tanlovdan o'tdik va buning uchun biz ta'lim muassasasiga kirish shaklida mukofot olamiz.
• Biz bankka pul qo‘yganmiz, kerak bo‘lsa qaytarib beramiz.

Bunday hodisalar ishonchli. Agar barcha kerakli shartlarni bajargan bo'lsak, kutilgan natijani albatta qo'lga kiritamiz.

Mumkin bo'lmagan voqealar

Endi biz ehtimollik nazariyasi elementlarini ko'rib chiqamiz. Biz keyingi turdagi hodisani, ya'ni imkonsiz narsani tushuntirishga o'tishni taklif qilamiz. Birinchidan, eng muhim qoidani belgilaylik - imkonsiz hodisaning ehtimoli nolga teng.

Muammolarni hal qilishda bu formuladan chetga chiqish mumkin emas. Aniqlik uchun bunday voqealarga misollar keltiramiz:

• Suv ortiqcha o'n haroratda muzlab qoldi (bu mumkin emas).
• Elektr etishmasligi ishlab chiqarishga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi (oldingi misoldagi kabi imkonsiz).

Ko'proq misollar keltirishning hojati yo'q, chunki yuqorida tavsiflanganlar ushbu toifaning mohiyatini juda aniq aks ettiradi. Tajriba paytida hech qanday sharoitda imkonsiz hodisa hech qachon sodir bo'lmaydi.

Tasodifiy hodisalar

Ehtimollar nazariyasi elementlarini o'rganishda ushbu alohida turdagi hodisaga alohida e'tibor berish kerak. Bu fan o'rganadi. Tajriba natijasida biror narsa sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Bundan tashqari, sinov cheksiz ko'p marta o'tkazilishi mumkin. Bunga yorqin misollar kiradi:

• Tanga otish - bu tajriba yoki sinov, boshlarning qo'nishi - voqea.
• To'pni sumkadan ko'r-ko'rona tortib olish - bu sinov, qizil to'pni olish - voqea va hokazo.

Bunday misollar cheksiz ko'p bo'lishi mumkin, ammo, umuman olganda, mohiyati aniq bo'lishi kerak. Hodisalar haqida olingan bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish uchun jadval taqdim etiladi. Ehtimollar nazariyasi taqdim etilganlarning faqat oxirgi turini o'rganadi.

Qonunlar

Ehtimollar nazariyasi - bu hodisaning yuzaga kelish ehtimolini o'rganadigan fan. Boshqalar singari, u ham ba'zi qoidalarga ega. Ehtimollar nazariyasining quyidagi qonunlari mavjud:

• Tasodifiy miqdorlar ketma-ketligining yaqinlashishi.
• Katta sonlar qonuni.

Murakkab narsaning imkoniyatini hisoblashda, natijaga osonroq va tezroq erishish uchun oddiy hodisalar to'plamidan foydalanishingiz mumkin. E'tibor bering, ehtimollik nazariyasi qonunlari ma'lum teoremalar yordamida osongina isbotlanadi. Birinchi qonun bilan tanishib chiqishingizni tavsiya qilamiz.

Tasodifiy miqdorlar ketma-ketligining yaqinlashishi

E'tibor bering, konvergentsiyaning bir nechta turlari mavjud:

• Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi ehtimollikda yaqinlashadi.
• Deyarli imkonsiz.
• O'rtacha kvadrat konvergentsiya.
• Tarqatish konvergentsiyasi.

Shunday qilib, darhol uning mohiyatini tushunish juda qiyin. Quyida ushbu mavzuni tushunishga yordam beradigan ta'riflar keltirilgan. Birinchi ko'rinishdan boshlaylik. Ketma-ket deyiladi ehtimollikda konvergent, agar quyidagi shart bajarilsa: n cheksizlikka intiladi, ketma-ketlik moyil bo'lgan son noldan katta va birga yaqin.

Keling, keyingi ko'rinishga o'tamiz, deyarli albatta. Ketma-ketlik yaqinlashishi aytiladi deyarli albatta n cheksizlikka moyil bo'lgan va P birlikka yaqin qiymatga moyil bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchiga.

Keyingi turi o'rtacha kvadrat konvergentsiya. SC konvergentsiyasidan foydalanganda vektor tasodifiy jarayonlarini o'rganish ularning koordinatali tasodifiy jarayonlarini o'rganishga qisqartiriladi.

Oxirgi tur qoladi, keling, to'g'ridan-to'g'ri muammolarni hal qilishga o'tishimiz uchun uni qisqacha ko'rib chiqamiz. Tarqatishdagi konvergentsiyaning boshqa nomi bor - "zaif" va nima uchun keyinroq tushuntiramiz. Zaif konvergentsiya cheklovchi taqsimot funksiyasi uzluksizligining barcha nuqtalarida taqsimot funksiyalarining yaqinlashuvidir.

Biz, albatta, o‘z va’damizni bajaramiz: zaif konvergentsiya yuqoridagilarning barchasidan tasodifiy o‘zgaruvchining ehtimollik fazosida aniqlanmaganligi bilan farq qiladi. Bu mumkin, chunki shart faqat taqsimlash funktsiyalari yordamida tuzilgan.

Katta sonlar qonuni

Ehtimollar nazariyasi teoremalari, masalan:

• Chebishev tengsizligi.
• Chebishev teoremasi.
• Chebishevning umumlashtirilgan teoremasi.
• Markov teoremasi.

Agar biz ushbu teoremalarning barchasini ko'rib chiqsak, bu savol bir necha o'nlab varaqlarga cho'zilishi mumkin. Bizning asosiy vazifamiz ehtimollik nazariyasini amaliyotda qo'llashdir. Buni hoziroq qilishni taklif qilamiz. Ammo bundan oldin, ehtimollar nazariyasi aksiomalarini ko'rib chiqaylik, ular muammolarni hal qilishda asosiy yordamchi bo'ladi.

Aksiomalar

Biz imkonsiz voqea haqida gapirganimizda, birinchisini uchratdik. Esda tutaylik: imkonsiz hodisaning ehtimoli nolga teng. Biz juda yorqin va esda qolarli misol keltirdik: havo harorati o'ttiz daraja Selsiyda qor yog'di.

Ikkinchisi quyidagicha: ishonchli hodisa birga teng ehtimollik bilan sodir bo'ladi. Endi buni matematik til yordamida qanday yozishni ko'rsatamiz: P(B)=1.

Uchinchidan: Tasodifiy hodisa ro'y berishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin, lekin imkoniyat har doim noldan birgacha o'zgarib turadi. Qiymat birga qanchalik yaqin bo'lsa, imkoniyat shunchalik ko'p bo'ladi; qiymat nolga yaqinlashsa, ehtimollik juda past. Buni matematik tilda yozamiz: 0<Р(С)<1.

Oxirgi, to'rtinchi aksiomani ko'rib chiqaylik, bu shunday eshitiladi: ikkita hodisa yig'indisining ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng. Uni matematik tilda yozamiz: P(A+B)=P(A)+P(B).

Ehtimollar nazariyasi aksiomalari eslab qolish qiyin bo'lmagan eng oddiy qoidalardir. Keling, allaqachon olgan bilimlarimiz asosida ba'zi muammolarni hal qilishga harakat qilaylik.

Lotereya chiptasi

Birinchidan, eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik - lotereya. Tasavvur qiling, siz omad uchun bitta lotereya chiptasini sotib oldingiz. Siz kamida yigirma rubl yutib olishingiz ehtimoli qanday? Muomalada jami mingta chipta qatnashmoqda, ulardan birida besh yuz so‘mdan, o‘ntasida har biri yuz rubldan, elliktasida yigirma so‘mdan, yuztasida beshta mukofot bor. Ehtimollik muammolari omad imkoniyatini topishga asoslanadi. Endi yuqoridagi vazifaning yechimini birgalikda tahlil qilamiz.

Agar biz besh yuz rubl miqdoridagi yutuqni bildirish uchun A harfidan foydalansak, unda A ni olish ehtimoli 0,001 ga teng bo'ladi. Biz buni qanday oldik? Siz shunchaki "omadli" chiptalar sonini ularning umumiy soniga bo'lishingiz kerak (bu holda: 1/1000).

B - yuz rubllik g'alaba, ehtimollik 0,01 bo'ladi. Endi biz avvalgi harakatdagi kabi printsip asosida ishladik (10/1000)

C - yutuqlar yigirma rubl. Biz ehtimollikni topamiz, u 0,05 ga teng.

Qolgan chiptalar bizni qiziqtirmaydi, chunki ularning mukofot jamg'armasi shartda ko'rsatilganidan kamroq. To'rtinchi aksiomani qo'llaymiz: kamida yigirma rubl yutib olish ehtimoli P (A) + P (B) + P (C). P harfi ma'lum bir hodisaning yuzaga kelish ehtimolini bildiradi, biz ularni oldingi harakatlarda allaqachon topdik. Faqat kerakli ma'lumotlarni to'plash qoladi va biz olgan javob 0,061. Bu raqam vazifa savoliga javob bo'ladi.

Karta to'plami

Ehtimollar nazariyasidagi muammolar murakkabroq bo'lishi mumkin, masalan, quyidagi vazifani olaylik. Sizning oldingizda o'ttiz oltita kartadan iborat paluba bor. Sizning vazifangiz stackni aralashtirmasdan ketma-ket ikkita kartani chizishdir, birinchi va ikkinchi kartalar aslar bo'lishi kerak, kostyum muhim emas.

Birinchidan, birinchi kartaning eys bo'lish ehtimolini topamiz, buning uchun biz to'rtni o'ttiz oltiga bo'lamiz. Ular uni chetga surib qo'yishdi. Biz ikkinchi kartani chiqaramiz, bu uch o'ttiz beshdan bir ehtimollik bilan ace bo'ladi. Ikkinchi hodisaning ehtimoli biz qaysi kartani birinchi bo'lib chizganimizga bog'liq, biz bu acemi yoki yo'qmi deb o'ylaymiz. Bundan kelib chiqadiki, B hodisa A hodisaga bog'liq.

Keyingi qadam bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimolini topishdir, ya'ni biz A va B ni ko'paytiramiz. Ularning ko'paytmasi quyidagicha topiladi: biz bir hodisaning ehtimolligini ikkinchisining shartli ehtimolligiga ko'paytiramiz, biz buni birinchi bo'lib hisoblaymiz. voqea sodir bo'ldi, ya'ni biz birinchi karta bilan eys chizdik.

Hamma narsa aniq bo'lishi uchun keling, voqealar kabi elementga belgi beraylik. A hodisa sodir bo'lgan deb hisoblab chiqiladi. U quyidagicha hisoblanadi: P(B/A).

Keling, muammomizni hal qilishni davom ettiramiz: P (A * B) = P (A) * P (B / A) yoki P (A * B) = P (B) * P (A / B). Ehtimollik (4/36) * ((3/35)/(4/36) ga teng. Biz eng yaqin yuzlikgacha yaxlitlash orqali hisoblaymiz. Bizda: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09.Biz ikkita eysni ketma-ket chizishimiz ehtimoli to'qqiz yuzdan bir qismga teng.Qiymat juda kichik, shundan kelib chiqadiki, hodisaning ro'y berish ehtimoli juda kichik.

Unutilgan raqam

Biz ehtimollik nazariyasi tomonidan o'rganiladigan vazifalarning yana bir nechta variantlarini tahlil qilishni taklif qilamiz. Siz ushbu maqolada ulardan ba'zilarini hal qilish misollarini allaqachon ko'rgansiz.Keling, quyidagi muammoni hal qilishga harakat qilaylik: bola do'stining telefon raqamining oxirgi raqamini unutib qo'ydi, lekin qo'ng'iroq juda muhim bo'lgani uchun u hamma narsani birma-bir terishni boshladi. . Biz uning uch martadan ko'p bo'lmagan qo'ng'iroq qilish ehtimolini hisoblashimiz kerak. Ehtimollar nazariyasining qoidalari, qonunlari va aksiomalari ma'lum bo'lsa, masalaning echimi eng oddiy.

Yechimni ko'rib chiqishdan oldin, uni o'zingiz hal qilishga harakat qiling. Biz bilamizki, oxirgi raqam noldan to'qqizgacha bo'lishi mumkin, ya'ni jami o'nta qiymat. To'g'ri bo'lish ehtimoli 1/10 ga teng.

Keyinchalik, voqeaning kelib chiqishi variantlarini ko'rib chiqishimiz kerak, deylik, bola to'g'ri taxmin qildi va darhol to'g'ri yozdi, bunday hodisaning ehtimoli 1/10 ga teng. Ikkinchi variant: birinchi qo'ng'iroq o'tkazib yuborilgan, ikkinchisi esa maqsadda. Keling, bunday hodisaning ehtimolini hisoblaymiz: 9/10 ni 1/9 ga ko'paytiramiz va natijada biz ham 1/10 ni olamiz. Uchinchi variant: birinchi va ikkinchi qo'ng'iroqlar noto'g'ri manzilda bo'lib chiqdi, faqat uchinchisi bilan bola o'zi xohlagan joyga etib bordi. Biz bunday hodisaning ehtimolini hisoblaymiz: 9/10 ni 8/9 va 1/8 ga ko'paytiramiz, natijada 1/10. Muammoning shartlariga ko'ra bizni boshqa variantlar qiziqtirmaydi, shuning uchun biz faqat olingan natijalarni qo'shishimiz kerak, oxirida bizda 3/10. Javob: bolaning uch martadan ko'p bo'lmagan qo'ng'iroq qilish ehtimoli 0,3 ga teng.

Raqamlar bilan kartalar

Sizning oldingizda to'qqizta karta bor, ularning har birida birdan to'qqizgacha raqam yozilgan, raqamlar takrorlanmaydi. Ular qutiga solingan va yaxshilab aralashtiriladi. Buning ehtimolini hisoblashingiz kerak

• juft raqam paydo bo'ladi;
• ikki raqamli.

Yechimga o'tishdan oldin, m - muvaffaqiyatli holatlar soni, n - variantlarning umumiy soni ekanligini belgilaymiz. Keling, sonning juft bo'lish ehtimoli topilsin. To'rtta juft son borligini hisoblash qiyin bo'lmaydi, bu bizning m bo'ladi, jami to'qqizta mumkin bo'lgan variant mavjud, ya'ni m=9. Keyin ehtimollik 0,44 yoki 4/9 ga teng.

Ikkinchi holatni ko'rib chiqaylik: variantlar soni to'qqizta va muvaffaqiyatli natijalar umuman bo'lishi mumkin emas, ya'ni m nolga teng. Chizilgan kartada ikki xonali raqam bo'lishi ehtimoli ham nolga teng.