Garmonik tebranish tenglamasida miqdor. Agar tebranish sinus qonuniga muvofiq tasvirlansa

12.10.2019

Bu davriy tebranish bo'lib, unda harakatni tavsiflovchi koordinata, tezlik, tezlanish sinus yoki kosinus qonuniga muvofiq o'zgaradi. Garmonik tebranish tenglamasi tana koordinatalarining vaqtga bog'liqligini belgilaydi

Dastlabki momentdagi kosinus grafigi maksimal qiymatga ega, sinus grafigi esa dastlabki momentda nol qiymatga ega. Agar biz muvozanat holatidan tebranishni tekshirishni boshlasak, u holda tebranish sinusoidni takrorlaydi. Agar biz tebranishni maksimal og'ish pozitsiyasidan ko'rib chiqa boshlasak, u holda tebranish kosinus bilan tavsiflanadi. Yoki bunday tebranish boshlang'ich faza bilan sinus formulasi bilan tasvirlanishi mumkin.

Matematik mayatnik

Matematik mayatnikning tebranishlari.
Matematik mayatnik - vaznsiz cho'zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqta (fizik model).
Mayatnikning harakatini egilish burchagi kichik bo'lishi sharti bilan ko'rib chiqamiz, u holda burchakni radianlarda o'lchasak, quyidagi fikr to'g'ri bo'ladi: .
Og'irlik kuchi va ipning tarangligi tanaga ta'sir qiladi. Ushbu kuchlarning natijasi ikkita komponentga ega: kattalikdagi tezlanishni o'zgartiradigan tangensial va tezlanishni yo'nalishi bo'yicha o'zgartiradigan normal (markazga yo'naltirilgan tezlanish, tana yoy bo'ylab harakatlanadi).
Chunki burchak kichik, u holda tangensial komponent tortishish kuchining traektoriyaga teguvchiga proyeksiyasiga teng: . Radianlardagi burchak yoy uzunligining radiusga (ipning uzunligi) nisbatiga teng, yoy uzunligi esa taxminan siljishga teng ( x ≈ s): .
Olingan tenglamani tebranish harakati tenglamasi bilan solishtiramiz. Matematik mayatnikning tebranishlari paytidagi siklik chastotasi yoki ekanligini ko'rish mumkin.
Tebranish davri yoki (Galiley formulasi).	Galiley formulasi
Eng muhim xulosa: matematik mayatnikning tebranish davri tananing massasiga bog'liq emas!
Shunga o'xshash hisob-kitoblarni energiya saqlanish qonuni yordamida amalga oshirish mumkin. Jismning tortishish maydonidagi potentsial energiyasi ga, umumiy mexanik energiya esa maksimal potensial yoki kinetik energiyaga teng ekanligini hisobga olamiz:
Energiyaning saqlanish qonunini yozamiz va tenglamaning chap va o'ng tomonlarini hosilasini olamiz: . Chunki doimiy qiymatning hosilasi nolga teng, u holda . Yig'indining hosilasi hosilalari yig'indisiga teng: va.
Shuning uchun: , va shuning uchun.

Ideal gaz holati tenglamasi (Mendeleyev-Klapeyron tenglamasi).
Holat tenglamasi - bu fizik tizimning parametrlarini bog'laydigan va uning holatini yagona aniqlaydigan tenglama. 1834 yilda frantsuz fizigi B. Klapeyron, Sankt-Peterburgda uzoq vaqt ishlagan, doimiy gaz massasi uchun ideal gazning holat tenglamasini chiqardi. 1874 yilda D.I.Mendeleyev molekulalarning ixtiyoriy soni uchun tenglama olingan.
MCT va ideal gaz termodinamikasida makroskopik parametrlar: p, V, T, m. Biz buni bilamiz . Demak,. Shuni hisobga olib , biz olamiz:.
Doimiy miqdorlarning mahsuloti doimiy miqdordir, shuning uchun: - universal gaz konstantasi (universal, chunki u hamma gazlar uchun bir xil).
Shunday qilib, bizda: Holat tenglamasi (Mendeleyev-Klapeyron tenglamasi).
Ideal gazning holat tenglamasini yozishning boshqa shakllari.
1. 1 mol modda uchun tenglama. Agar n=1 mol bo'lsa, u holda bir mol V m hajmini belgilab, quyidagini olamiz: . Oddiy sharoitlar uchun biz quyidagilarni olamiz:
2. Zichlik orqali tenglamani yozish: - zichlik harorat va bosimga bog'liq!
3. Klapeyron tenglamasi. Ko'pincha gazning miqdori o'zgarmagan holda (m=const) va kimyoviy reaktsiyalar bo'lmaganda (M=const) uning holati o'zgargan vaziyatni tekshirish kerak. Demak, moddaning miqdori n=const. Keyin:
Ushbu yozuv shuni anglatadi berilgan gazning ma'lum bir massasi uchun tenglik to'g'ri:
Ideal gazning doimiy massasi uchun bosim va hajm mahsulotining ma'lum holatdagi mutlaq haroratga nisbati o'zgarmas qiymatdir: .
Gaz qonunlari.
1. Avogadro qonuni. Bir xil tashqi sharoitda teng hajmdagi turli gazlar bir xil miqdordagi molekulalarni (atomlarni) o'z ichiga oladi. Shart: V 1 =V 2 =...=V n; p 1 =p 2 =…=p n ; T 1 =T 2 =…=T n
Isbot: Binobarin, bir xil sharoitlarda (bosim, hajm, harorat) molekulalar soni gazning tabiatiga bog'liq emas va bir xil bo'ladi.
2. Dalton qonuni. Gazlar aralashmasining bosimi har bir gazning qisman (xususiy) bosimlari yig'indisiga teng. Isbotlang: p=p 1 +p 2 +…+p n Isbot:
3. Paskal qonuni. Suyuqlik yoki gazga ta'sir qiladigan bosim o'zgarmagan holda barcha yo'nalishlarda uzatiladi.

Ideal gazning holat tenglamasi. Gaz qonunlari.

Erkinlik darajalari soni: Bu tizimning fazodagi o'rnini to'liq aniqlaydigan mustaqil o'zgaruvchilar (koordinatalar) soni. Ayrim masalalarda bir atomli gaz molekulasi (1-rasm, a) moddiy nuqta sifatida qaraladi, unga uch darajali translatsiya harakati erkinligi beriladi. Bunday holda, aylanish harakatining energiyasi hisobga olinmaydi. Mexanikada ikki atomli gaz molekulasi, birinchi taxminga ko'ra, deformatsiyalanmaydigan bog'lanish bilan qattiq bog'langan ikkita moddiy nuqtalar to'plami deb hisoblanadi (1-rasm, b). Tarjima harakati erkinligining uch darajasidan tashqari, bu tizim aylanish harakati erkinligining yana ikkita darajasiga ega. Ikkala atomdan o'tuvchi uchinchi o'q atrofida aylanish ma'nosizdir. Bu ikki atomli gazning beshta erkinlik darajasiga ega ekanligini anglatadi ( i= 5). Uch atomli (1c-rasm) va ko'p atomli chiziqli bo'lmagan molekula oltita erkinlik darajasiga ega: uchta tarjima va uchta aylanish. Atomlar o'rtasida qattiq bog'liqlik yo'q deb taxmin qilish tabiiy. Shuning uchun haqiqiy molekulalar uchun tebranish harakatining erkinlik darajalarini ham hisobga olish kerak.

Berilgan molekula erkinlik darajasining istalgan soni uchun uchta erkinlik darajasi har doim translyatsion bo'ladi. Tarjima erkinlik darajalarining hech biri boshqalardan ustunlikka ega emas, ya'ni ularning har biri o'rtacha qiymatning 1/3 qismiga teng bo'lgan bir xil energiyani tashkil qiladi.<ε 0 >(molekulalarning translatsion harakatining energiyasi): Statistik fizikada u olingan Molekulalarning erkinlik darajalari bo'yicha energiyaning bir xil taqsimlanishi to'g'risidagi Boltsman qonuni: termodinamik muvozanat holatida bo'lgan statistik tizim uchun har bir translatsiya va aylanish erkinlik darajasi kT/2 ga teng o'rtacha kinetik energiyaga ega va har bir tebranish erkinlik darajasi kT ga teng o'rtacha energiyaga ega. Tebranish darajasi ikki barobar energiyaga ega, chunki u kinetik energiyani (tarjima va aylanish harakatlarida bo'lgani kabi) va potentsialni hisobga oladi va potentsial va kinetik energiyaning o'rtacha qiymatlari bir xil. Bu molekulaning o'rtacha energiyasini bildiradi Qayerda i- molekulaning translatsiya soni, aylanish soni va tebranish erkinlik darajalarining ikki barobari soni yig'indisi: i=i post + i+2 aylantiring i tebranishlar Klassik nazariyada atomlar orasidagi qattiq bog'langan molekulalar ko'rib chiqiladi; ular uchun i molekulaning erkinlik darajalari soniga to'g'ri keladi. Ideal gazda molekulalar orasidagi o'zaro ta'sirning o'zaro potentsial energiyasi nolga teng bo'lganligi sababli (molekulalar bir-biri bilan o'zaro ta'sir qilmaydi), bir mol gaz uchun ichki energiya molekulalarning N A kinetik energiyalari yig'indisiga teng bo'ladi: (1). ) Ixtiyoriy massa m gaz uchun ichki energiya. bu erda M molyar massa, ν - moddaning miqdori.

Tebranishlarning eng oddiy turi garmonik tebranishlar- tebranish nuqtasining muvozanat holatidan siljishi vaqt o'tishi bilan sinus yoki kosinus qonuniga muvofiq o'zgarib turadigan tebranishlar.

Shunday qilib, aylana bo'ylab to'pning bir xil aylanishi bilan, uning proyeksiyasi (yorug'likning parallel nurlaridagi soya) vertikal ekranda garmonik tebranish harakatini amalga oshiradi (1-rasm).

Garmonik tebranishlar paytida muvozanat holatidan siljish quyidagi shakldagi tenglama (u garmonik harakatning kinematik qonuni deb ataladi) bilan tavsiflanadi:

bu erda x - siljish - muvozanat holatiga nisbatan t vaqtdagi tebranish nuqtasining holatini tavsiflovchi va muvozanat holatidan nuqtaning ma'lum bir vaqtdagi holatigacha bo'lgan masofa bilan o'lchanadigan miqdor; A - tebranishlar amplitudasi - tananing muvozanat holatidan maksimal siljishi; T - tebranish davri - bitta to'liq tebranish vaqti; bular. tebranishlarni tavsiflovchi jismoniy miqdorlarning qiymatlari takrorlanadigan eng qisqa vaqt davri; - boshlang'ich bosqich;

t vaqtidagi tebranish fazasi. Tebranish fazasi davriy funktsiyaning argumenti bo'lib, u ma'lum bir tebranish amplitudasi uchun istalgan vaqtda tananing tebranish tizimining holatini (o'zgarishi, tezligi, tezlashishi) aniqlaydi.

Agar vaqtning boshlang'ich momentida tebranish nuqtasi muvozanat holatidan maksimal darajada siljigan bo'lsa, u holda , va nuqtaning muvozanat holatidan siljishi qonunga muvofiq o'zgaradi.

Agar tebranish nuqtasi barqaror muvozanat holatida bo'lsa, u holda nuqtaning muvozanat holatidan siljishi qonunga muvofiq o'zgaradi.

V qiymati, davrning teskarisi va 1 soniyada bajarilgan to'liq tebranishlar soniga teng, tebranish chastotasi deyiladi:

Agar t vaqt ichida tana N ta to'liq tebranishlarni amalga oshirsa, u holda

Hajmi jismning s ichida qancha tebranishlar qilishini ko'rsatish deyiladi siklik (aylana) chastota.

Garmonik harakatning kinematik qonuni quyidagicha yozilishi mumkin:

Grafik jihatdan tebranish nuqtasining siljishining vaqtga bog'liqligi kosinus to'lqini (yoki sinus to'lqin) bilan ifodalanadi.

2-rasm, a da holat uchun muvozanat holatidan tebranish nuqtasi siljishining vaqtga bog'liqligi grafigi ko'rsatilgan.

Keling, tebranish nuqtasi tezligi vaqt o'tishi bilan qanday o'zgarishini bilib olaylik. Buning uchun biz ushbu ifodaning vaqt hosilasini topamiz:

bu yerda - x o'qiga tezlik proyeksiyasining amplitudasi.

Bu formula shuni ko'rsatadiki, garmonik tebranishlar vaqtida jism tezligining x o'qiga proyeksiyasi ham garmonik qonun bo'yicha bir xil chastotali, boshqa amplituda bilan o'zgaradi va faza bo'yicha siljishdan oldinda bo'ladi (2-rasm, b). ).

Tezlanishning bog'liqligini aniqlash uchun biz tezlik proyeksiyasining vaqt hosilasini topamiz:

bu yerda - x o'qiga tezlanish proyeksiyasining amplitudasi.

Garmonik tebranishlar bilan tezlanish proyeksiyasi faza siljishidan k ga oldinda bo'ladi (2-rasm, c).

Xuddi shunday, siz qaramlik grafiklarini yaratishingiz mumkin

Shuni hisobga olib, tezlanish formulasini yozish mumkin

bular. garmonik tebranishlar bilan tezlashuv proyeksiyasi siljish bilan to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir va ishoraga qarama-qarshidir, ya'ni. tezlanish siljishga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltiriladi.

Shunday qilib, tezlanish proyeksiyasi siljishning ikkinchi hosilasi bo'lib, natijada olingan munosabatni quyidagicha yozish mumkin:

Oxirgi tenglik deyiladi garmonik tenglama.

Garmonik tebranishlar mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan fizik tizim deyiladi garmonik osilator, garmonik tebranishlar tenglamasi esa garmonik osilator tenglamasi.

§ 6. MEXANIK VIBRASYONLARAsosiy formulalar

Garmonik tenglama

Qayerda X - tebranish nuqtasining muvozanat holatidan siljishi; t- vaqt; A,ō, ph - mos ravishda amplituda, burchak chastotasi, tebranishlarning boshlang'ich bosqichi; - hozirgi vaqtda tebranishlar bosqichi t.

Burchak chastotasi

Bu erda n va T - tebranishlarning chastotasi va davri.

Garmonik tebranishlarni bajaradigan nuqtaning tezligi

Garmonik tebranish vaqtida tezlanish

Amplituda A bir to'g'ri chiziq bo'ylab sodir bo'ladigan bir xil chastotali ikkita tebranish qo'shilishi natijasida olingan tebranish formula bilan aniqlanadi.

Qayerda a 1 Va A 2 - tebranish komponentlarining amplitudalari; ph 1 va ph 2 ularning dastlabki fazalaridir.

Hosil bo'lgan tebranishning boshlang'ich fazasi ph ni formuladan topish mumkin

Har xil, lekin o'xshash chastotalar n 1 va n 2 bo'lgan bir to'g'ri chiziq bo'ylab sodir bo'ladigan ikkita tebranish qo'shilganda paydo bo'ladigan urish chastotasi,

A 1 va A 2 amplitudalari va ph 1 va ph 2 boshlang'ich fazalari bilan ikkita o'zaro perpendikulyar tebranishlarda ishtirok etuvchi nuqta traektoriyasining tenglamasi,

Agar tebranish komponentlarining ph 1 va ph 2 boshlang'ich fazalari bir xil bo'lsa, u holda traektoriya tenglamasi shaklni oladi.

ya'ni nuqta to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qiladi.

Fazalar farqi bo'lgan taqdirda, tenglama shaklni oladi

ya'ni nuqta ellips bo'ylab harakatlanadi.

Moddiy nuqta garmonik tebranishlarining differensial tenglamasi

, yoki ,bu yerda m nuqtaning massasi; k- yarim elastik kuch koeffitsienti ( k=Tō 2).

Garmonik tebranishlarni amalga oshiradigan moddiy nuqtaning umumiy energiyasi

Prujinaga osilgan jismning tebranish davri (prujinali mayatnik)

Qayerda m- tana massasi; k- bahorning qattiqligi. Formula Guk qonuni bajariladigan chegaralardagi elastik tebranishlar uchun amal qiladi (tananing massasiga nisbatan kamonning kichik massasi bilan).

Matematik mayatnikning tebranish davri

Qayerda l- mayatnik uzunligi; g- tortishishning tezlashishi. Fizik mayatnikning tebranish davri

Qayerda J- tebranish jismining o'qqa nisbatan inersiya momenti

ikkilanish; A- mayatnikning massa markazining tebranish o'qidan masofasi;

Fizik mayatnikning qisqargan uzunligi.

Berilgan formulalar cheksiz kichik amplitudalar uchun aniqdir. Cheklangan amplitudalar uchun bu formulalar faqat taxminiy natijalarni beradi. Katta bo'lmagan amplitudalar bilan, davr qiymatidagi xatolik 1% dan oshmaydi.

Elastik ipga osilgan jismning burilish tebranishlari davri

Qayerda J- elastik ip bilan mos keladigan o'qqa nisbatan tananing inersiya momenti; k- elastik ipning qattiqligi, ipni burish paytida paydo bo'ladigan elastik momentning ipning burish burchagiga nisbati.

Söndürülmüş tebranishlarning differensial tenglamasi , yoki,

Qayerda r- qarshilik koeffitsienti; d - damping koeffitsienti: ;ō 0 - tebranishlarning tabiiy burchak chastotasi *

Dampingli tebranish tenglamasi

Qayerda Da)- hozirgi vaqtda so'yilgan tebranishlarning amplitudasi t;ō - ularning burchak chastotasi.

Söndürülmüş tebranishlarning burchak chastotasi

O Söndürülmüş tebranishlar amplitudasining vaqtga bog'liqligi

Qayerda A 0 - momentdagi tebranishlar amplitudasi t=0.

Logarifmik tebranishning kamayishi

Qayerda Da) Va A(t+T)- vaqt bo'yicha davr bilan ajratilgan ikkita ketma-ket tebranishlarning amplitudalari.

Majburiy tebranishlarning differensial tenglamasi

bu yerda tebranuvchi moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi va majburiy tebranishlarni keltirib chiqaruvchi tashqi davriy kuch; F 0 - uning amplituda qiymati;

Majburiy tebranishlar amplitudasi

Rezonans chastotasi va rezonans amplitudasi Va

Muammoni hal qilishga misollar

1-misol. Nuqta qonunga muvofiq tebranadi x(t)=, Qayerda A=2 Agar boshlang'ich fazani aniqlash ph ga qarang

x(0)=sm va X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо- мента t=0.

Yechim. Harakat tenglamasidan foydalanamiz va momentdagi siljishni ifodalaymiz t=0 boshlang'ich bosqichda:

Bu erda biz boshlang'ich bosqichni topamiz:

* Garmonik tebranishlar uchun ilgari berilgan formulalarda xuddi shu miqdor oddiygina ō (indekssiz 0) bilan belgilangan.

Keling, berilgan qiymatlarni ushbu ifodaga almashtiramiz x(0) va A:φ= = . Argumentning qiymati ikkita burchak qiymati bilan qondiriladi:

Bu ph burchak qiymatlaridan qaysi biri shartga javob berishini aniqlash uchun avvalo quyidagilarni topamiz:

Qiymatni ushbu ifodaga almashtirish t=0 va navbat bilan boshlang'ich fazalarning qiymatlari va topamiz

T har doimgidek A>0 va ō>0 bo'lsa, faqat boshlang'ich fazaning birinchi qiymati shartni qondiradi. Shunday qilib, kerakli dastlabki bosqich

ph ning topilgan qiymatidan foydalanib vektor diagrammasini tuzamiz (6.1-rasm). 2-misol. Massa bilan moddiy nuqta T=5 g chastotali garmonik tebranishlarni bajaradi ν =0,5 Gts. Tebranish amplitudasi A=3 sm.Aniqlang: 1) tezlik y siljish sodir bo'lgan vaqtda nuqtalar x== 1,5 sm; 2) nuqtaga ta'sir etuvchi maksimal kuch F max; 3) rasm. 6.1 umumiy energiya E tebranish nuqtasi.

va biz siljishning birinchi marta hosilasini olish orqali tezlik formulasini olamiz:

Tezlikni siljish orqali ifodalash uchun (1) va (2) formulalardan vaqtni chiqarib tashlash kerak. Buning uchun ikkala tenglamani kvadratga olamiz va birinchisini ga bo'lamiz A 2 , ikkinchisi A 2 ō 2 va qo'shing:

, yoki

y uchun oxirgi tenglamani yechish , topamiz

Ushbu formuladan foydalanib hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz olamiz

Plyus belgisi tezlikning yo'nalishi o'qning ijobiy yo'nalishiga to'g'ri keladigan holatga mos keladi. X, minus belgisi - tezlik yo'nalishi o'qning salbiy yo'nalishiga to'g'ri kelganda X.

Garmonik tebranish paytidagi siljish (1) tenglamadan tashqari, tenglama bilan ham aniqlanishi mumkin.

Ushbu tenglama bilan bir xil yechimni takrorlab, biz bir xil javobni olamiz.

2. Nyutonning ikkinchi qonunidan foydalanib, nuqtaga ta’sir etuvchi kuchni topamiz:

Qayerda A - Tezlikning vaqt hosilasini olish orqali erishiladigan nuqta tezlanishi:

Tezlanish ifodasini (3) formulaga qo'yib, olamiz

Demak, kuchning maksimal qiymati

p, n qiymatlarini ushbu tenglamaga almashtirsak, T Va A, topamiz

3. Tebranish nuqtasining umumiy energiyasi vaqtning istalgan momenti uchun hisoblangan kinetik va potentsial energiyalarning yig'indisidir.

Umumiy energiyani hisoblashning eng oson yo'li kinetik energiya maksimal qiymatga etgan paytdadir. Bu vaqtda potentsial energiya nolga teng. Shunday qilib, umumiy energiya E tebranish nuqtasi maksimal kinetik energiyaga teng

Biz maksimal tezlikni formuladan (2) aniqlaymiz, bunda: . Tezlik ifodasini (4) formulaga almashtirib, topamiz

Ushbu formulaga miqdorlarning qiymatlarini almashtirib, hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz olamiz

yoki µJ.

3-misol. Yupqa novda uzunligining uchlarida l= 1 m va massa m 3 =400 g massali mustahkamlangan kichik sharlar m 1 =200 g Va m 2 = 300g. Rod gorizontal o'q atrofida, perpendikulyar tebranadi

tayoqchaga dikular va uning o'rtasidan o'tadi (6.2-rasmdagi O nuqta). Davrni belgilang T novda tomonidan amalga oshirilgan tebranishlar.

Yechim. Jismoniy mayatnikning tebranish davri, masalan, sharlari bo'lgan novda, o'zaro bog'liqlik bilan belgilanadi.

Qayerda J- T - uning massasi; l BILAN - mayatnikning massa markazidan o'qgacha bo'lgan masofa.

Ushbu mayatnikning inersiya momenti sharlarning inersiya momentlari yig'indisiga teng. J 1 va J 2 va novda J 3:

To'plarni moddiy nuqta sifatida olib, biz ularning inersiya momentlarini ifodalaymiz:

O'q novda o'rtasidan o'tganligi sababli, uning bu o'qga nisbatan inersiya momenti J 3 = =. Olingan iboralarni almashtirish J 1 , J 2 Va J 3-formuladan (2) biz fizik mayatnikning umumiy inersiya momentini topamiz:

Ushbu formuladan foydalanib hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz topamiz

Guruch. 6.2 Mayatnikning massasi sharlarning massalari va novda massasidan iborat:

Masofa l BILAN Quyidagi mulohazalarga asoslanib, tebranish o‘qidan mayatnikning massa markazini topamiz. Agar eksa X novda bo'ylab to'g'ridan-to'g'ri va koordinatalarning kelib chiqishini nuqta bilan tekislang HAQIDA, keyin kerakli masofa l mayatnikning massa markazining koordinatasiga teng, ya'ni.

Miqdorlarning qiymatlarini almashtirish m 1 , m 2 , m, l va hisob-kitoblarni amalga oshirgandan so'ng, biz topamiz

Formula (1) yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz fizik mayatnikning tebranish davrini olamiz:

4-misol. Jismoniy mayatnik - bu uzunlikdagi novda l= 1 m va massasi 3 T 1 Bilan uning uchlaridan biriga diametrli va massali halqa bilan biriktirilgan T 1 . Gorizontal o'q Oz

mayatnik unga perpendikulyar tayoqning o'rtasidan o'tadi (6.3-rasm). Davrni belgilang T bunday mayatnikning tebranishlari.

Yechim. Fizik mayatnikning tebranish davri formula bilan aniqlanadi

(1)

Qayerda J- mayatnikning tebranish o'qiga nisbatan inersiya momenti; T - uning massasi; l C - mayatnikning massa markazidan tebranish o'qiga qadar bo'lgan masofa.

Mayatnikning inersiya momenti sterjenning inersiya momentlari yig‘indisiga teng. J 1 va halqa J 2:

(2).

Tayoqning sterjenga perpendikulyar bo'lgan va uning massa markazidan o'tuvchi o'qga nisbatan inersiya momenti formula bilan aniqlanadi. . Ushbu holatda t= 3T 1 va

Shtayner teoremasi yordamida halqaning inersiya momentini topamiz ,Qaerda J- ixtiyoriy o'qga nisbatan inersiya momenti; J 0 - berilgan o'qqa parallel massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti; A - ko'rsatilgan o'qlar orasidagi masofa. Ushbu formulani halqaga qo'llash orqali biz olamiz

Ifodalarni almashtirish J 1 va J 2-formuladan (2) aylanma o'qiga nisbatan mayatnikning inersiya momentini topamiz:

Masofa l BILAN mayatnik o'qidan uning massa markaziga teng

Ifodalarni formulaga almashtirish (1) J, l s va mayatnikning massasi, biz uning tebranish davrini topamiz:

Ushbu formuladan foydalanib hisoblagandan so'ng biz olamiz T=2,17 s.

5-misol. Bir xil yo'nalishdagi ikkita tebranish qo'shiladi, tenglamalar bilan ifodalanadi; X 2 = =, qayerda A 1 = 1 sm, A 2 =2 sm, s, s, ō = =. 1. Osilator komponentlarining ph 1 va ph 2 boshlang‘ich fazalarini aniqlang.

Baniya. 2. Amplitudani toping A va hosil bo'lgan tebranishning boshlang'ich fazasi ph. Olingan tebranish tenglamasini yozing.

Yechim. 1. Garmonik tebranish tenglamasi shaklga ega

Masalaning bayonida ko‘rsatilgan tenglamalarni bir xil ko‘rinishga aylantiramiz:

(2) iboralarni (1) tenglik bilan taqqoslashdan biz birinchi va ikkinchi tebranishlarning boshlang'ich fazalarini topamiz:

Xursand va xursand.

2. Amplitudani aniqlash uchun A hosil bo'lgan tebranishning vektor diagrammasidan foydalanish qulay guruch. 6.4. Kosinus teoremasiga ko'ra, biz olamiz

tebranish komponentlarining fazalar farqi qayerda , keyin topilgan qiymatlarni ph 2 va ph 1 almashtirib, biz rad olamiz.

Keling, qiymatlarni almashtiramiz A 1 , A 2 va formulaga (3) kiriting va hisob-kitoblarni bajaring:

A= 2,65 sm.

To'g'ridan-to'g'ri shakldan hosil bo'lgan tebranishning boshlang'ich fazasi ph tangensini aniqlaymiz. 6.4: , dastlabki bosqich qayerdan keladi?

Maksimal tezlik va tezlashtirish qiymatlari

v(t) va a(t) bog'liqlik tenglamalarini tahlil qilib, trigonometrik omil 1 yoki -1 ga teng bo'lganda tezlik va tezlanish maksimal qiymatlarni olishini taxmin qilishimiz mumkin. Formula bilan aniqlanadi

v (t) va a (t) bog'liqliklarini qanday olish mumkin

7. Erkin tebranishlar. Tebranish harakatining tezligi, tezlanishi va energiyasi. Vibratsiyani qo'shish

Erkin tebranishlar(yoki tabiiy tebranishlar) tashqi ta'sirlar bo'lmaganda faqat dastlabki berilgan energiya (potentsial yoki kinetik) tufayli yuzaga keladigan tebranish tizimining tebranishlari.

Potensial yoki kinetik energiya, masalan, mexanik tizimlarda dastlabki siljish yoki dastlabki tezlik orqali berilishi mumkin.

Erkin tebranish jismlari har doim boshqa jismlar bilan o'zaro ta'sir qiladi va ular bilan birgalikda jismlar tizimini tashkil qiladi tebranish tizimi.

Masalan, buloq, to'p va bahorning yuqori uchi biriktirilgan vertikal ustun (quyidagi rasmga qarang) tebranish tizimiga kiradi. Bu erda to'p ip bo'ylab erkin siljiydi (ishqalanish kuchlari ahamiyatsiz). Agar siz to'pni o'ngga siljitsangiz va uni o'zida qoldirsangiz, u muvozanat holati (nuqta) atrofida erkin tebranadi. HAQIDA) bahorning muvozanat holatiga yo'naltirilgan elastik kuchining ta'siri tufayli.

Mexanik tebranish tizimining yana bir klassik misoli matematik mayatnikdir (quyidagi rasmga qarang). Bunday holda, to'p ikkita kuch ta'sirida erkin tebranishlarni amalga oshiradi: tortishish va ipning elastik kuchi (Yer ham tebranish tizimiga kiradi). Ularning natijasi muvozanat holatiga yo'naltiriladi.

Tebranish sistemasi jismlari o'rtasida harakat qiluvchi kuchlar deyiladi ichki kuchlar. Tashqi kuchlar tomonidan sistemaga undan tashqaridagi jismlardan ta'sir etuvchi kuchlar deyiladi. Shu nuqtai nazardan qaraganda, erkin tebranishlar tizim muvozanat holatidan chiqarilgandan keyin ichki kuchlar ta'sirida tizimdagi tebranishlar sifatida belgilanishi mumkin.

Erkin tebranishlarning paydo bo'lishi uchun shartlar:

1) ularda tizimni bu holatdan chiqarilgandan so'ng uni barqaror muvozanat holatiga qaytaradigan kuchning paydo bo'lishi;

2) tizimda ishqalanishning yo'qligi.

Erkin tebranishlar dinamikasi.

Elastik kuchlar ta'sirida tananing tebranishlari. Elastik kuch ta'sirida jismning tebranish harakati tenglamasi F(rasmga qarang) Nyutonning ikkinchi qonunini hisobga olgan holda olinishi mumkin ( F = ma) va Guk qonuni ( F nazorati= -kx), Qayerda m to'pning massasi va elastik kuch ta'sirida to'p tomonidan olingan tezlashuv; k- bahorning qattiqlik koeffitsienti, X- tananing muvozanat holatidan siljishi (har ikkala tenglama ham gorizontal o'qga proyeksiyada yoziladi. Oh). Bu tenglamalarning o'ng tomonlarini tenglashtirish va tezlanishni hisobga olish A koordinataning ikkinchi hosilasidir X(joy almashtirish), biz quyidagilarni olamiz:

Bu elastik kuch ta'sirida tebranayotgan jism harakatining differensial tenglamasi: koordinataning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasi (tananing tezlashishi) uning koordinatasiga to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'lib, qarama-qarshi belgi bilan olinadi.

Matematik mayatnikning tebranishlari. Matematik mayatnikning tebranish tenglamasini (rasm) olish uchun tortishish kuchini kengaytirish kerak. F T= mg normal holatga Fn(ip bo'ylab yo'naltirilgan) va tangensial F t(to'pning traektoriyasiga teginish - doira) komponentlar. Gravitatsiyaning oddiy komponenti Fn va ipning elastik kuchi Fynp jami mayatnikga markazga yo'naltirilgan tezlanishni beradi, bu tezlikning kattaligiga ta'sir qilmaydi, faqat uning yo'nalishini va tangensial komponentini o'zgartiradi. F t to'pni muvozanat holatiga qaytaruvchi va uning tebranish harakatlariga olib keladigan kuchdir. Oldingi holatda bo'lgani kabi, tangensial tezlanish uchun Nyuton qonunidan foydalanish ma t = F t va shuni hisobga olgan holda F t= -mg sina, biz olamiz:

a t= -g sina,

Minus belgisi paydo bo'ldi, chunki kuch va muvozanat holatidan og'ish burchagi α qarama-qarshi belgilarga ega. Kichik burilish burchaklari uchun gunoh a ≈ a. O'z navbatida, a = s/l, Qayerda s- yoy O.A., I- ip uzunligi. Shuni hisobga olib va t= s", biz nihoyat olamiz:

Tenglamaning shakli tenglamaga o'xshaydi . Faqat bu erda tizimning parametrlari ipning uzunligi va erkin tushishning tezlashishi, bahorning qattiqligi va to'pning massasi emas; koordinataning rolini yoy uzunligi (ya'ni birinchi holatda bo'lgani kabi bosib o'tgan masofa) o'ynaydi.

Shunday qilib, erkin tebranishlar ushbu tebranishlarni keltirib chiqaradigan kuchlarning fizik tabiatidan qat'i nazar, bir xil turdagi (bir xil qonunlarga bo'ysunuvchi) tenglamalar bilan tavsiflanadi.

Tenglamalarni yechish va shaklning funksiyasi:

x = x mcos ō 0t(yoki x = x mgunoh ō 0t).

Ya'ni, erkin tebranishlarni amalga oshiruvchi jismning koordinatasi vaqt o'tishi bilan kosinus yoki sinus qonuniga muvofiq o'zgaradi va shuning uchun bu tebranishlar garmonikdir:

Tenglamada. x = x mcos ō 0t(yoki x = x mgunoh ō 0t), x m- tebranish amplitudasi, ω 0 - tebranishlarning o'ziga xos tsiklik (dumaloq) chastotasi.

Erkin garmonik tebranishlarning siklik chastotasi va davri tizimning xususiyatlari bilan belgilanadi. Shunday qilib, prujinaga biriktirilgan jismning tebranishlari uchun quyidagi munosabatlar o'rinlidir:

Bahorning qattiqligi qanchalik katta bo'lsa yoki yukning massasi qanchalik kichik bo'lsa, tajriba bilan to'liq tasdiqlangan tabiiy chastota qanchalik katta bo'lsa.

Matematik mayatnik uchun quyidagi tengliklar bajariladi:

Bu formulani birinchi marta golland olimi Gyuygens (Nyutonning zamondoshi) olgan va tajribada sinab ko‘rgan.

Tebranish davri mayatnik uzunligi ortishi bilan ortadi va uning massasiga bog'liq emas.

Garmonik tebranishlar qat'iy davriy bo'lishiga alohida e'tibor qaratish lozim (chunki ular sinus yoki kosinus qonuniga bo'ysunadi) va hatto haqiqiy (fizik) mayatnikning idealizatsiyasi bo'lgan matematik mayatnik uchun ham faqat kichik tebranishlarda mumkin. burchaklar. Agar burilish burchaklari katta bo'lsa, yukning siljishi burilish burchagiga (burchakning sinusiga) proportsional bo'lmaydi va tezlanish siljishga proportsional bo'lmaydi.

Erkin tebranayotgan jismning tezligi va tezlanishi ham garmonik tebranishlarga uchraydi. Funktsiyaning vaqt hosilasini olish ( x = x mcos ō 0t(yoki x = x mgunoh ō 0t)), biz tezlik uchun ifodani olamiz:

v = -v mgunoh ō 0t = -v mx mcos (ō 0t + p/2),

Qayerda v m= ω 0 x m- tezlik amplitudasi.

Tezlashtirish uchun o'xshash ibora A farqlash orqali olamiz ( v = -v mgunoh ō 0t = -v mx mcos (ō 0t + p/2)):

a = -a mcos ō 0t,

Qayerda a m= ō 2 0x m- tezlanish amplitudasi. Shunday qilib, garmonik tebranishlar tezligining amplitudasi chastotaga, tezlanish amplitudasi esa tebranish chastotasining kvadratiga proporsionaldir.

GARMONIK VIBRASYONLAR
Kosinus yoki sinus qonuniga (garmonik qonun) muvofiq jismoniy miqdorlarning o'zgarishi sodir bo'ladigan tebranishlar deyiladi. garmonik tebranishlar. Masalan, mexanik garmonik tebranishlarda:. Bu formulalarda ō - tebranish chastotasi, x m - tebranish amplitudasi, ph 0 va ph 0 ' - tebranishning boshlang'ich fazalari. Yuqoridagi formulalar boshlang'ich fazaning ta'rifida farqlanadi va ph 0 ' = ph 0 +p/2 da butunlay mos keladi.
Bu davriy tebranishlarning eng oddiy turi. Funktsiyaning o'ziga xos shakli (sinus yoki kosinus) tizimni muvozanat holatidan olib tashlash usuliga bog'liq. Agar olib tashlash surish orqali sodir bo'lsa (kinetik energiya beriladi), u holda t=0 da siljish x=0, shuning uchun sin funktsiyasidan foydalanish qulayroq, ph 0 '=0; muvozanat holatidan og'ishda (potentsial energiya xabar qilinadi) t = 0, siljish x = x m, shuning uchun cos funktsiyasidan va ph 0 = 0 dan foydalanish qulayroqdir.
Cos yoki sin belgisi ostidagi ifoda deyiladi. tebranish bosqichi:. Tebranish fazasi radianlarda o'lchanadi va ma'lum bir vaqtda siljishning qiymatini (tebranish miqdorini) aniqlaydi.
Tebranishning amplitudasi faqat dastlabki og'ish (tebranish tizimiga berilgan dastlabki energiya) ga bog'liq.
Garmonik tebranishlar paytida tezlik va tezlanish.
Tezlik ta'rifiga ko'ra, tezlik vaqtga nisbatan pozitsiyaning hosilasidir
Shunday qilib, garmonik tebranish harakati paytida tezlik ham garmonik qonunga muvofiq o'zgarishini ko'ramiz, lekin tezlik tebranishlari faza almashinish tebranishlaridan p/2 ga oldinda.
Qiymat - tebranish harakatining maksimal tezligi (tezlik tebranishlarining amplitudasi).
Shunday qilib, garmonik tebranish paytida tezlik uchun bizda: , va nol boshlang'ich faza uchun (grafikga qarang).
Tezlanishning ta'rifiga ko'ra, tezlanish tezlikning vaqtga nisbatan hosilasidir: koordinataning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasidir. Keyin: . Garmonik tebranish harakatida tezlanish ham garmonik qonunga muvofiq o'zgaradi, lekin tezlanish tebranishlari tezlik tebranishlaridan p/2 ga va siljish tebranishlaridan p ga (tebranishlar sodir bo'ladi deyiladi) antifazada).
Qiymat - maksimal tezlashtirish (tezlanish tebranishlarining amplitudasi). Shunday qilib, tezlashtirish uchun bizda: , va nol boshlang'ich faza uchun: (jadvalga qarang).
Tebranish harakati jarayonini tahlil qilish, grafiklar va mos keladigan matematik ifodalardan ko'rinib turibdiki, tebranuvchi jism muvozanat holatidan o'tganda (o'zgarish nolga teng), tezlanish nolga teng, jismning tezligi esa maksimal ( jism muvozanat holatidan inertsiya bilan o'tadi) va siljishning amplituda qiymatiga erishilganda tezlik nolga teng bo'ladi va tezlanish mutlaq qiymatda maksimal bo'ladi (tana o'z harakat yo'nalishini o'zgartiradi).
Garmonik tebranishlar vaqtida siljish va tezlanish ifodalarini solishtiramiz: va .
Siz yozishingiz mumkin: - ya'ni. siljishning ikkinchi hosilasi siljishga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir (qarama-qarshi belgi bilan). Bu tenglama deyiladi garmonik tebranish tenglamasi. Bu bog'liqlik tabiatidan qat'iy nazar har qanday garmonik tebranish uchun amal qiladi. Biz hech qachon ma'lum bir tebranish tizimining parametrlarini ishlatmaganimiz sababli, ularga faqat tsiklik chastota bog'liq bo'lishi mumkin.
Ko'pincha tebranishlar uchun tenglamalarni quyidagi shaklda yozish qulay: , bu erda T - tebranish davri. Keyin, agar vaqt davrning kasrlarida ifodalangan bo'lsa, hisob-kitoblar soddalashtiriladi. Masalan, davrning 1/8 qismidan keyingi siljishni topishimiz kerak bo'lsa, biz: . Tezlik va tezlashtirish uchun ham xuddi shunday.

Ko'pincha tizim bir vaqtning o'zida bir-biridan mustaqil ravishda ikki yoki bir nechta tebranishlarda ishtirok etadigan holatlar mavjud. Bunday hollarda tebranishlarni bir-biriga qo'shish (qo'shish) natijasida hosil bo'lgan murakkab tebranish harakati hosil bo'ladi. Shubhasiz, tebranishlarni qo'shish holatlari juda xilma-xil bo'lishi mumkin. Ular nafaqat qo'shilgan tebranishlar soniga, balki tebranishlar parametrlariga, ularning chastotalari, fazalari, amplitudalari va yo'nalishlariga ham bog'liq. Tebranishlarni qo'shishning barcha mumkin bo'lgan turli xil holatlarini ko'rib chiqishning iloji yo'q, shuning uchun biz faqat alohida misollarni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz.
1. Bir yo`nalishdagi tebranishlarni qo`shish. Keling, bir xil chastotali, lekin fazalari va amplitudalari har xil bo'lgan ikkita tebranishlarni qo'shamiz.

(4.40)
Tebranishlar bir-birining ustiga qo'yilganda

Tenglamalar bo'yicha yangi A va j parametrlarini kiritamiz:

(4.42)
(4.42) tenglamalar tizimini yechish oson.

(4.43)

(4.44)
Shunday qilib, x uchun biz nihoyat tenglamani olamiz

(4.45)
Shunday qilib, bir xil chastotali bir tomonlama tebranishlarni qo'shish natijasida amplitudasi va fazasi (4.43) va (4.44) formulalar bilan aniqlanadigan garmonik (sinusoidal) tebranish hosil bo'ladi.
Keling, ikkita qo'shilgan tebranishlarning fazalari o'rtasidagi munosabatlar har xil bo'lgan maxsus holatlarni ko'rib chiqaylik:

(4.46)
Keling, bir xil amplitudali, bir xil fazali, lekin har xil chastotali bir yo'nalishli tebranishlarni qo'shamiz.

(4.47)
Keling, chastotalar bir-biriga yaqin bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik, ya'ni w1~w2=w.
Keyin taxminan (w1+w2)/2= w va (w2-w1)/2 kichik qiymat deb faraz qilamiz. Olingan tebranishning tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

(4.48)
Uning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 4.5 Bunday tebranish urish deyiladi. Bu w chastotasi bilan sodir bo'ladi, lekin uning amplitudasi katta davr bilan tebranadi.

2. Ikki o'zaro perpendikulyar tebranishlarni qo'shish. Faraz qilaylik, bir tebranish x o'qi bo'ylab, ikkinchisi y o'qi bo'ylab sodir bo'ladi. Olingan harakat xy tekisligida joylashganligi aniq.
1. Faraz qilaylik, tebranish chastotalari va fazalari bir xil, ammo amplitudalari har xil.

(4.49)
Olingan harakatning traektoriyasini topish uchun (4.49) tenglamalardan vaqtni chiqarib tashlash kerak. Buning uchun bir tenglamani haddan ikkinchisiga bo'lish kifoya, natijada biz olamiz

(4.50)
(4.50) tenglama shuni ko'rsatadiki, bu holda tebranishlarning qo'shilishi to'g'ri chiziqda tebranishga olib keladi, uning qiyaligi amplitudalar nisbati bilan belgilanadi.
2. Qo'shilgan tebranishlarning fazalari bir-biridan /2 ga farq qilsin va tenglamalar ko'rinishga ega bo'lsin:

(4.51)
Vaqtni hisobga olmaganda, hosil bo'lgan harakatning traektoriyasini topish uchun (4.51) tenglamalarni kvadratga solish kerak, avval ularni mos ravishda A1 va A2 ga bo'lish va keyin qo'shish kerak. Traektoriya tenglamasi quyidagi shaklda bo'ladi:

(4.52)
Bu ellipsning tenglamasi. Bir xil chastotadagi o'zaro perpendikulyar tebranishlarning qo'shilgan har qanday boshlang'ich fazalari va har qanday amplitudalari uchun hosil bo'lgan tebranish ellips bo'ylab sodir bo'lishini isbotlash mumkin. Uning yo'nalishi qo'shilgan tebranishlarning fazalari va amplitudalariga bog'liq bo'ladi.
Agar qo'shilgan tebranishlar turli xil chastotalarga ega bo'lsa, unda hosil bo'lgan harakatlarning traektoriyalari juda xilma-xil bo'lib chiqadi. Faqat x va y dagi tebranish chastotalari bir-biriga karrali bo'lsa, yopiq traektoriyalar olinadi. Bunday harakatlarni davriy deb tasniflash mumkin. Bunday holda, harakatlarning traektoriyalari Lissajous figuralari deb ataladi. Harakat boshida bir xil amplituda va fazali chastotalar nisbati 1:2 bo'lgan tebranishlarni qo'shish orqali olingan Lissaju figuralaridan birini ko'rib chiqamiz.

(4.53)
Tebranishlar y o'qi bo'ylab x o'qiga qaraganda ikki marta tez-tez sodir bo'ladi. Bunday tebranishlarning qo'shilishi sakkizinchi raqam ko'rinishidagi harakat traektoriyasiga olib keladi (4.7-rasm).

8. Söndürülmüş tebranishlar va ularning parametrlari: dekrement va tebranish koeffitsienti, relaksatsiya vaqti

)Söndürülmüş tebranishlar davri:

T = (58)

Da δ << ω o tebranishlar garmoniklardan farq qilmaydi: T = 2p/ ō o.

2) Söndürülmüş tebranishlarning amplitudasi(119) formula bilan ifodalanadi.

3) Kuchlanishning pasayishi, ketma-ket ikkita tebranish amplitudasining nisbatiga teng A(t) Va A(t+T), ma'lum bir davrda amplitudaning pasayish tezligini tavsiflaydi:

= EDT (59)

4) Logarifmik dampingning kamayishi- bir davr bilan farq qiluvchi vaqt momentlariga to'g'ri keladigan ketma-ket ikkita tebranish amplitudalari nisbatining natural logarifmi.

q = ln = ln e d T =dT(60)

Logarifmik damping dekrementi berilgan tebranish sistemasi uchun doimiy qiymatdir.

5) Dam olish vaqti vaqt davrini chaqirish odatiy holdir ( t) bunda sönümli tebranishlar amplitudasi e marta kamayadi:

e d t = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

(60) va (61) iboralarni taqqoslash natijasida biz quyidagilarni olamiz:

q= = , (62)

Qayerda N e - dam olish vaqtida amalga oshirilgan tebranishlar soni.

Agar vaqt ichida t tizim majburiyat oladi Ν ikkilanish, keyin t = Ν . Τ va sönümli tebranishlar tenglamasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

S = A 0 e -d N T cos(w t+j)= A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Tebranish tizimining sifat omili(Q) odatda tebranish davrida tizimdagi energiya yo'qotilishini tavsiflovchi miqdor deb ataladi:

Q = 2p , (63)

Qayerda V- tizimning umumiy energiyasi; DW- ma'lum bir davr ichida tarqaladigan energiya. Qanchalik kam energiya sarflansa, tizimning sifat omili shunchalik katta bo'ladi. Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadi

Q = = pN e = =. (64)

Shu bilan birga, sifat omili logarifmik zaiflashuvning pasayishiga teskari proportsionaldir. (64) formuladan kelib chiqadiki, sifat omili tebranishlar soniga proportsionaldir N e dam olish vaqtida tizim tomonidan amalga oshiriladi.

7) Potensial energiya t vaqtidagi tizimni potentsial energiya bilan ifodalash mumkin V 0 eng katta og'ishda:

V = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN. (65)

Odatda an'anaviy ravishda tebranishlar, agar ularning energiyasi 100 baravar kamaygan bo'lsa (amplitudasi 10 marta kamaygan bo'lsa) amalda to'xtagan deb hisoblanadi. Bu erdan biz tizim tomonidan bajariladigan tebranishlar sonini hisoblash uchun ifodani olishimiz mumkin:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Majburiy tebranishlar. Rezonans. Aperiodik tebranishlar. O'z-o'zidan tebranishlar.

Tizim so'nmagan tebranishlarni amalga oshirishi uchun tashqi tomondan ishqalanish natijasida tebranish energiyasining yo'qolishini qoplash kerak. Tizimning tebranish energiyasi kamaymasligini ta'minlash uchun odatda tizimga vaqti-vaqti bilan ta'sir qiluvchi kuch kiritiladi (biz bunday kuchni chaqiramiz) majburlash, va tebranishlar majburiy).

TA’RIF: majbur Bu tebranishlar tizimida tashqi davriy o'zgaruvchan kuch ta'sirida sodir bo'ladigan tebranishlardir.

Bu kuch odatda ikki tomonlama rol o'ynaydi:

birinchidan, u tizimni silkitadi va uni ma'lum miqdorda energiya bilan ta'minlaydi;

ikkinchidan, qarshilik va ishqalanish kuchlarini engish uchun vaqti-vaqti bilan energiya yo'qotishlarini (energiya iste'molini) to'ldiradi.

Vaqt o'tishi bilan harakatlantiruvchi kuch qonunga muvofiq o'zgarib tursin:

Shunday kuch ta’sirida tebranayotgan sistema uchun harakat tenglamasini tuzamiz. Biz tizimga kvazelastik kuch va muhitning qarshilik kuchi ham ta'sir qiladi deb faraz qilamiz (bu kichik tebranishlar farazi ostida to'g'ri). Keyin tizimning harakat tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

Yoki .

Tizim tebranishlarining tabiiy chastotasini , , – almashtirishlarni amalga oshirib, biz bir jinsli chiziqli differensial tenglamani olamiz 2 th buyurtma:

Differensial tenglamalar nazariyasidan ma'lumki, bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi va bir jinsli bo'lmagan tenglamaning alohida yechimi yig'indisiga teng.

Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ma'lum:

Qayerda ; a 0 va a– ixtiyoriy const.

Vektor diagrammasidan foydalanib, siz ushbu taxminning to'g'riligini tekshirishingiz, shuningdek "" qiymatlarini aniqlashingiz mumkin. a"Va" j”.

Tebranishlar amplitudasi quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

Ma'nosi " j”, bu majburiy tebranishning faza kechikishining kattaligi uni aniqlagan harakatlantiruvchi kuchdan, shuningdek vektor diagrammasidan aniqlanadi va quyidagilarga teng bo'ladi:

Nihoyat, bir hil bo'lmagan tenglamaning ma'lum bir yechimi quyidagi shaklni oladi:

(8.18)

Bu funksiya bilan birlashtirilgan

(8.19)

majburiy tebranishlar ostida tizimning harakatini tavsiflovchi bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamaning umumiy yechimini beradi. (8.19) atamasi jarayonning boshlang'ich bosqichida, tebranishlarni o'rnatish deb ataladigan davrda muhim rol o'ynaydi (8.10-rasm). Vaqt o‘tishi bilan eksponensial omil hisobiga ikkinchi hadning roli (8.19) tobora kamayib boradi va yetarlicha vaqt o‘tgandan so‘ng uni e’tibordan chetda qoldirish mumkin, yechimda faqat (8.18) atama saqlanib qoladi.

Shunday qilib, funktsiya (8.18) barqaror holatdagi majburiy tebranishlarni tavsiflaydi. Ular harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga teng chastotali garmonik tebranishlarni ifodalaydi. Majburiy tebranishlar amplitudasi harakatlantiruvchi kuchning amplitudasiga proportsionaldir. Berilgan tebranish tizimi uchun (w 0 va b bilan belgilanadi) amplituda harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga bog'liq. Majburiy tebranishlar fazada harakatlantiruvchi kuchdan orqada qoladi va “j” ortda qolishning kattaligi ham harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga bog'liq.

Majburiy tebranishlar amplitudasining harakatlantiruvchi kuch chastotasiga bog'liqligi ma'lum bir tizim uchun aniqlangan ma'lum bir chastotada tebranishlar amplitudasi maksimal qiymatga etib borishiga olib keladi. Tebranish tizimi ushbu chastotada harakatlantiruvchi kuchning ta'siriga ayniqsa sezgir bo'lib chiqadi. Bu hodisa deyiladi rezonans, va mos keladigan chastota rezonans chastotasi.

TA'RIFI: majburiy tebranishlar amplitudasining keskin ortishi kuzatiladigan hodisa deyiladi. rezonans.

Rezonans chastotasi majburiy tebranishlar amplitudasining maksimal sharti asosida aniqlanadi:

. (8.20)

Keyin, ushbu qiymatni amplituda ifodasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

. (8.21)

O'rtacha qarshilik bo'lmasa, rezonansdagi tebranishlar amplitudasi cheksizlikka aylanadi; bir xil sharoitdagi rezonans chastotasi (b=0) tebranishlarning tabiiy chastotasiga to'g'ri keladi.

Majburiy tebranishlar amplitudasining harakatlantiruvchi kuch chastotasiga (yoki bir xil bo'lsa, tebranish chastotasiga) bog'liqligini grafik tarzda tasvirlash mumkin (8.11-rasm). Alohida egri chiziqlar "b" ning turli qiymatlariga mos keladi. Qanchalik kichikroq "b" bo'lsa, shuncha yuqori va o'ng tomonda bu egri chiziqning maksimali yotadi (w res ifodasiga qarang). Juda yuqori damping bilan rezonans kuzatilmaydi - ortib borayotgan chastota bilan majburiy tebranishlarning amplitudasi monoton ravishda kamayadi (8.11-rasmdagi pastki egri).

b ning turli qiymatlariga mos keladigan taqdim etilgan grafiklar to'plami deyiladi rezonans egri chiziqlari.

Eslatmalar rezonans egri chiziqlari haqida:

w®0 tendentsiyasida barcha egri chiziqlar bir xil nolga teng bo'lmagan qiymatga keladi. Bu qiymat tizim doimiy kuch ta'sirida qabul qiladigan muvozanat holatidan siljishni anglatadi. F 0 .

chunki w®¥ barcha egri chiziqlar asimptotik tarzda nolga intiladi, chunki yuqori chastotalarda kuch o'z yo'nalishini shunchalik tez o'zgartiradiki, tizim muvozanat holatidan sezilarli siljish uchun vaqt topa olmaydi.

b qanchalik kichik bo'lsa, rezonans yaqinidagi amplituda chastota bilan qanchalik ko'p o'zgaradi, maksimal "o'tkir".

Rezonans hodisasi ko'pincha, ayniqsa akustika va radiotexnikada foydali bo'lib chiqadi.

O'z-o'zidan tebranishlar- doimiy energiya bilan quvvatlanadigan chiziqli bo'lmagan teskari aloqaga ega dissipativ dinamik tizimdagi so'nmaydigan tebranishlar, ya'ni davriy bo'lmagan tashqi ta'sir.

O'z-o'zidan tebranishlar farq qiladi majburiy tebranishlar chunki ikkinchisi sabab bo'ladi davriy tashqi ta'sir va bu ta'sirning chastotasi bilan sodir bo'ladi, o'z-o'zidan tebranishlarning paydo bo'lishi va ularning chastotasi o'z-o'zidan tebranuvchi tizimning ichki xususiyatlari bilan belgilanadi.

Muddati o'z-o'zidan tebranishlar rus terminologiyasiga 1928 yilda A. A. Andronov tomonidan kiritilgan.

Misollar[

O'z-o'zidan tebranishlarga misollar:

· o'rash og'irligining tortishish kuchining doimiy ta'siridan soat mayatnikining so'nmagan tebranishlari;

bir tekis harakatlanuvchi kamon ta'sirida skripka torining tebranishi

· doimiy besleme zo'riqishida multivibrator zanjirlarida va boshqa elektron generatorlarda o'zgaruvchan tokning paydo bo'lishi;

· organ trubkasidagi havo ustunining tebranishi, unga bir xil havo etkazib berish. (shuningdek qarang: Turuvchi to'lqin)

· вращательные колебания латунной часовой шестерёнки со стальной осью, подвешенной к магниту и закрученной (опыт Гамазкова) (кинетическая энергия колеса, как в униполярном генераторе преобразуется в потенциальную энергию электрического поля, потенциальная энергия электрического поля, как в униполярном двигателе, преобразуется в кинетическую энергию колеса va hokazo.)

Maklakovning bolg'asi

Elektr zanjiridagi oqim chastotasidan ko'p marta past chastotali o'zgaruvchan tok energiyasidan foydalangan holda uradigan bolg'a.

Tebranuvchi konturning L bobini stol (yoki urish kerak bo'lgan boshqa ob'ekt) ustida joylashgan. Pastdan temir trubka kiradi, uning pastki uchi bolg'aning zarba beruvchi qismidir. Naychada Foucault oqimlarini kamaytirish uchun vertikal tirqish mavjud. Tebranish zanjirining parametrlari shundayki, uning tebranishlarining tabiiy chastotasi zanjirdagi oqim chastotasiga to'g'ri keladi (masalan, o'zgaruvchan shahar oqimi, 50 gerts).

Oqimni yoqqandan va tebranishlarni o'rnatgandan so'ng, kontaktlarning zanglashiga olib keladigan oqimlari va tashqi kontaktlarning zanglashiga olib keladi va temir trubka lasan ichiga tortiladi. G'altakning induktivligi ortadi, tebranish davri rezonansdan chiqib ketadi va g'altakdagi tok tebranishlarining amplitudasi kamayadi. Shuning uchun trubka tortishish kuchi ta'sirida asl holatiga - lasan tashqarisiga qaytadi. Keyin kontaktlarning zanglashiga olib keladigan oqim tebranishlari kuchaya boshlaydi va yana rezonans paydo bo'ladi: trubka yana lasan ichiga tortiladi.

Quvur hosil qiladi o'z-o'zidan tebranishlar, ya'ni yuqoriga va pastga davriy harakatlar va bir vaqtning o'zida bolg'a kabi stolni baland ovozda taqillatadi. Ushbu mexanik o'z-o'zidan tebranishlar davri ularni qo'llab-quvvatlaydigan o'zgaruvchan tokning davridan o'nlab marta ko'pdir.

Bolg'a o'z-o'zidan tebranishlarni ko'rsatish uchun bunday tajribani taklif qilgan va amalga oshirgan Moskva fizika-texnika instituti o'qituvchisi M.I.Maklakov nomi bilan atalgan.

O'z-o'zidan tebranish mexanizmi

1-rasm. O'z-o'zidan tebranish mexanizmi

O'z-o'zidan tebranishlar boshqa tabiatga ega bo'lishi mumkin: mexanik, termal, elektromagnit, kimyoviy. Turli tizimlarda o'z-o'zidan tebranishlarning paydo bo'lishi va ta'minlanishi mexanizmi fizika yoki kimyoning turli qonunlariga asoslanishi mumkin. Turli xil tizimlarning o'z-o'zidan tebranishlarini aniq miqdoriy tavsiflash uchun turli xil matematik apparatlar talab qilinishi mumkin. Shunga qaramay, ushbu mexanizmni sifat jihatidan tavsiflovchi barcha o'z-o'zidan tebranuvchi tizimlar uchun umumiy bo'lgan diagrammani tasavvur qilish mumkin (1-rasm).

Diagrammada: S- doimiy (davriy bo'lmagan) ta'sir manbai; R- doimiy ta'sirni o'zgaruvchanga (masalan, vaqt o'tishi bilan intervalgacha) aylantiradigan chiziqli bo'lmagan boshqaruvchi osilator V- tizimning tebranish elementi(lar)i va teskari aloqa orqali osilator tebranishlari B regulyatorning ishlashini nazorat qilish R, so'raydi bosqichi Va chastota uning harakatlari. O'z-o'zidan tebranuvchi tizimda tarqalish (energiya tarqalishi) doimiy ta'sir manbasidan unga energiya oqimi bilan qoplanadi, buning natijasida o'z-o'zidan tebranishlar o'chmaydi.

Guruch. 2 Mayatnikli soatning mandal mexanizmining diagrammasi

Agar tizimning tebranish elementi o'z qobiliyatiga ega bo'lsa sönümli tebranishlar(deb nomlangan garmonik dissipativ osilator), o'z-o'zidan tebranishlar (davr davomida tizimga teng tarqalish va energiya kiritish bilan) yaqin chastotada o'rnatiladi. rezonansli bu osilator uchun ularning shakli harmonikga yaqin bo'ladi va ma'lum qiymatlar oralig'ida amplituda doimiy tashqi ta'sirning kattaligi qanchalik katta bo'lsa.

Ushbu turdagi tizimga misol sifatida mayatnikli soatning mandal mexanizmi bo'lib, uning diagrammasi rasmda ko'rsatilgan. 2. Ratchet g'ildiragi o'qida A(bu tizimda chiziqli bo'lmagan regulyator vazifasini bajaradi) doimiy kuch momenti mavjud M, tishli poezd orqali asosiy buloqdan yoki og'irlikdan uzatiladi. G'ildirak aylanganda A uning tishlari mayatnikga qisqa muddatli kuch impulslarini beradi P(osilator), buning natijasida uning tebranishlari susaymaydi. Mexanizmning kinematikasi tizimda teskari aloqa rolini o'ynaydi, g'ildirakning aylanishini mayatnikning tebranishlari bilan shunday sinxronlashtiradiki, tebranishning to'liq davrida g'ildirak bir tishga mos keladigan burchak orqali aylanadi.

Garmonik osilatorlarni o'z ichiga olmaydigan o'z-o'zidan tebranuvchi tizimlar deyiladi dam olish. Ulardagi tebranishlar harmoniklardan juda farq qilishi mumkin va to'rtburchaklar, uchburchaklar yoki trapezoidal shaklga ega. Gevşeme o'z-o'zidan tebranishlarning amplitudasi va davri doimiy ta'sirning kattaligi va tizimning inertsiya va tarqalish xususiyatlarining nisbati bilan belgilanadi.

Guruch. 3 Elektr qo'ng'irog'i

Bo'shashishning o'z-o'zidan tebranishlarining eng oddiy misoli - rasmda ko'rsatilgan elektr qo'ng'irog'ining ishlashi. 3. Bu erda doimiy (davriy bo'lmagan) ta'sir qilish manbai elektr batareyasi U; Chiziqli bo'lmagan regulyatorning rolini maydalagich bajaradi T, elektr zanjirini yopish va ochish, buning natijasida unda intervalgacha oqim paydo bo'ladi; tebranish elementlari elektromagnitning yadrosida davriy ravishda induktsiya qilinadigan magnit maydondir E, va langar A, o'zgaruvchan magnit maydon ta'siri ostida harakatlanuvchi. Armatura tebranishlari teskari aloqani tashkil etuvchi to'xtatuvchini faollashtiradi.

Ushbu tizimning inertsiyasi ikki xil jismoniy miqdor bilan belgilanadi: armatura inersiya momenti A va elektromagnit o'rashning induktivligi E. Ushbu parametrlarning har qandayida o'sish o'z-o'zidan tebranishlar davrining oshishiga olib keladi.

Agar tizimda bir-biridan mustaqil ravishda tebranadigan va bir vaqtning o'zida chiziqli bo'lmagan regulyator yoki regulyatorga ta'sir qiladigan bir nechta elementlar mavjud bo'lsa (ulardan bir nechtasi ham bo'lishi mumkin), o'z-o'zidan tebranishlar murakkabroq xususiyatga ega bo'lishi mumkin, masalan: aperiodik, yoki dinamik tartibsizlik.

Tabiatda va texnologiyada

O'z-o'zidan tebranishlar ko'plab tabiat hodisalari asosida yotadi:

· bir xil havo oqimi ta'sirida o'simlik barglarining tebranishlari;

· daryo yoriqlari va tez oqimlarida turbulent oqimlarning shakllanishi;

· muntazam geyzerlarning harakati va boshqalar.

Ko'p sonli turli xil texnik qurilmalar va qurilmalarning ishlash printsipi o'z-o'zidan tebranishlarga asoslanadi, jumladan:

· mexanik va elektr soatlarning barcha turlarini boshqarish;

· barcha shamolli va torli cholg'u asboblarining ovozi;

©2015-2019 sayti
Barcha huquqlar ularning mualliflariga tegishli. Ushbu sayt mualliflik huquqiga da'vo qilmaydi, lekin bepul foydalanishni ta'minlaydi.
Sahifaning yaratilgan sanasi: 2017-04-04

Tebranishlar vaqt o'tishi bilan ma'lum bir takrorlanishi bilan tavsiflangan harakatlar yoki jarayonlar deyiladi. Tabiatda va texnikada tebranish jarayonlari keng tarqalgan, masalan, soat mayatnikining tebranishi, o'zgaruvchan elektr toki va hokazo.Maatnik tebranishida uning massa markazining koordinatasi o'zgaradi, o'zgaruvchan tokda kuchlanish va tok o'zgaradi. zanjirda o'zgarib turadi. Tebranishlarning fizik tabiati har xil bo'lishi mumkin, shuning uchun mexanik, elektromagnit va boshqalar tebranishlar mavjud.Ammo turli xil tebranish jarayonlari bir xil xususiyatlar va bir xil tenglamalar bilan tavsiflanadi. Shuning uchun maqsadga muvofiqlik umumiy yondashuv tebranishlarni o'rganish uchun turli jismoniy tabiatga ega.

Tebranishlar deyiladi ozod, agar ular faqat sistema elementlari orasida ta'sir etuvchi ichki kuchlar ta'sirida yuzaga kelsa, sistema tashqi kuchlar ta'sirida muvozanatdan chiqarib, o'z-o'zidan qoldirilganidan keyin. Har doim bepul tebranishlar sönümli tebranishlar , chunki real tizimlarda energiya yo'qotishlari muqarrar. Energiyani yo'qotmaydigan tizimning ideal holatida erkin tebranishlar (kerak bo'lgan vaqtgacha davom etishi) deyiladi. Shaxsiy.

Erkin susaytirilmagan tebranishlarning eng oddiy turi garmonik tebranishlar - tebranish miqdori sinus (kosinus) qonuniga ko'ra vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan tebranishlar. Tabiatda va texnologiyada uchraydigan tebranishlar ko'pincha harmonikga yaqin xarakterga ega.

Garmonik tebranishlar garmonik tebranish tenglamasi deb ataladigan tenglama bilan tavsiflanadi:

Qayerda A- tebranishlar amplitudasi, tebranuvchi miqdorning maksimal qiymati X; - tabiiy tebranishlarning doiraviy (tsiklik) chastotasi; - vaqt momentidagi tebranishning boshlang'ich bosqichi t= 0; - vaqt momentidagi tebranish fazasi t. Tebranish fazasi ma'lum bir vaqtda tebranuvchi miqdorning qiymatini aniqlaydi. Kosinus +1 dan -1 gacha o'zgarganligi sababli X+ dan qiymatlarni olishi mumkin A oldin - A.

Vaqt T bu vaqtda tizim bitta to'liq tebranish deb ataladi tebranish davri. davomida T tebranish fazasi 2 ga oshiriladi π , ya'ni.

Qayerda. (14.2)

Tebranish davrining teskarisi

ya'ni vaqt birligida bajariladigan to'liq tebranishlar soni tebranish chastotasi deb ataladi. (14.2) va (14.3) ni taqqoslab, olamiz

Chastotaning birligi gerts (Hz): 1 Hz - 1 soniyada bitta to'liq tebranish sodir bo'ladigan chastota.

Erkin tebranishlar paydo bo'lishi mumkin bo'lgan tizimlar deyiladi osilatorlar . Tizimda erkin tebranishlar paydo bo'lishi uchun tizim qanday xususiyatlarga ega bo'lishi kerak? Mexanik tizim bo'lishi kerak barqaror muvozanat holati, chiqqandan keyin paydo bo'ladi muvozanat holatiga yo'naltirilgan tiklovchi kuch. Bu pozitsiya, ma'lumki, tizimning minimal potentsial energiyasiga mos keladi. Keling, sanab o'tilgan xususiyatlarni qondiradigan bir nechta tebranish tizimlarini ko'rib chiqaylik.