Fizika va matematika "vektor miqdori" tushunchasisiz ishlamaydi. Siz uni bilishingiz va tanib olishingiz, shuningdek, u bilan ishlashingiz kerak. Adashib qolmaslik va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun buni albatta o'rganishingiz kerak.
Skayar miqdorni vektor kattalikdan qanday ajratish mumkin?
Birinchisi har doim faqat bitta xususiyatga ega. Bu uning raqamli qiymati. Aksariyat skalyar miqdorlar ham ijobiy, ham manfiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bunga elektr zaryadi, ish yoki harorat misol bo'la oladi. Ammo salbiy bo'lishi mumkin bo'lmagan skalyarlar mavjud, masalan, uzunlik va massa.
Har doim modul bo'yicha olinadigan raqamli kattalikdan tashqari vektor kattalik ham yo'nalish bilan tavsiflanadi. Shuning uchun uni grafik tarzda, ya'ni uzunligi ma'lum bir yo'nalishga yo'naltirilgan mutlaq qiymatga teng bo'lgan o'q shaklida tasvirlash mumkin.
Yozishda har bir vektor miqdori harfdagi o'q belgisi bilan ko'rsatiladi. Agar haqida gapiramiz raqamli qiymat haqida, keyin o'q yozilmaydi yoki modul qabul qilinadi.
Ko'pincha vektorlar bilan qanday harakatlar amalga oshiriladi?
Birinchidan, taqqoslash. Ular teng yoki teng bo'lmasligi mumkin. Birinchi holda, ularning modullari bir xil. Ammo bu yagona shart emas. Ular ham bir xil yoki qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lishi kerak. Birinchi holda, ularni teng vektorlar deb atash kerak. Ikkinchisida ular qarama-qarshi bo'lib chiqadi. Belgilangan shartlardan kamida bittasi bajarilmasa, vektorlar teng emas.
Keyin qo'shimcha keladi. U ikkita qoidaga muvofiq amalga oshirilishi mumkin: uchburchak yoki parallelogramm. Birinchisi, avval bitta vektorni, so'ngra uning oxiridan ikkinchisini ishdan bo'shatishni buyuradi. Qo'shish natijasi birinchisining boshidan ikkinchisining oxirigacha chizilishi kerak bo'lgan natija bo'ladi.
Parallelogramma qoidasidan fizikada vektor miqdorlarni qo‘shishda foydalanish mumkin. Birinchi qoidadan farqli o'laroq, bu erda ular bir nuqtadan kechiktirilishi kerak. Keyin ularni parallelogramm hosil qiling. Harakat natijasini xuddi shu nuqtadan chizilgan parallelogrammaning diagonali deb hisoblash kerak.
Agar vektor miqdori boshqasidan ayirilsa, ular yana bir nuqtadan chiziladi. Faqat natija ikkinchi oxiridan birinchisining oxirigacha chizilgan narsaga to'g'ri keladigan vektor bo'ladi.
Fizikada qanday vektorlar o‘rganiladi?
Ularning soni qancha skalar bo'lsa, shuncha ko'p. Siz fizikada qanday vektor miqdorlari mavjudligini shunchaki eslab qolishingiz mumkin. Yoki ularni hisoblash mumkin bo'lgan belgilarni biling. Birinchi variantni afzal ko'rganlar uchun ushbu jadval foydali bo'ladi. U asosiy vektor fizik miqdorlarini taqdim etadi.
Endi bu miqdorlarning ba'zilari haqida bir oz ko'proq.
Birinchi miqdor - bu tezlik
Vektor miqdorlarining misollaridan boshlashga arziydi. Bu birinchilardan bo'lib o'rganilganligi bilan bog'liq.
Tezlik tananing kosmosdagi harakatining o'ziga xos xususiyati sifatida aniqlanadi. Bu raqamli qiymat va yo'nalishni o'rnatadi. Demak, tezlik vektor kattalikdir. Bundan tashqari, uni turlarga bo'lish odatiy holdir. Birinchisi - chiziqli tezlik. U to'g'ri chiziqli bir tekis harakatni ko'rib chiqishda kiritiladi. Bunday holda, u tananing bosib o'tgan yo'lining harakat vaqtiga nisbatiga teng bo'lib chiqadi.
Xuddi shu formuladan notekis harakatlanish uchun foydalanish mumkin. Shundagina u o'rtacha bo'ladi. Bundan tashqari, tanlanishi kerak bo'lgan vaqt oralig'i imkon qadar qisqa bo'lishi kerak. Vaqt oralig'i nolga moyil bo'lganligi sababli, tezlik qiymati allaqachon bir zumda.
Agar ixtiyoriy harakat hisobga olinsa, u holda tezlik har doim vektor miqdordir. Axir, u koordinata chiziqlarini yo'naltiruvchi har bir vektor bo'ylab yo'naltirilgan tarkibiy qismlarga bo'linishi kerak. Bundan tashqari, u vaqtga nisbatan olingan radius vektorining hosilasi sifatida aniqlanadi.
Ikkinchi miqdor - bu kuch
U boshqa jismlar yoki maydonlar tomonidan tanaga ta'sir qilish intensivligining o'lchovini belgilaydi. Kuch vektor kattalik bo'lganligi sababli, u o'z kattaligi va yo'nalishiga ega. U tanaga ta'sir qilganligi sababli, kuch qo'llaniladigan nuqta ham muhimdir. Kuch vektorlarining vizual tasvirini olish uchun quyidagi jadvalga murojaat qilishingiz mumkin.
Yana bir vektor miqdori natijaviy kuchdir. Bu tanaga ta'sir qiluvchi barcha mexanik kuchlarning yig'indisi sifatida aniqlanadi. Uni aniqlash uchun uchburchak qoidasi printsipiga ko'ra qo'shishni amalga oshirish kerak. Oldingi oxiridan birma-bir vektorlarni olib tashlashingiz kerak. Natijada birinchining boshini oxirgisining oxiriga bog'laydigan narsa bo'ladi.
Uchinchi miqdor - siljish
Harakat paytida tana ma'lum bir chiziqni tasvirlaydi. Bu traektoriya deb ataladi. Bu chiziq butunlay boshqacha bo'lishi mumkin. Eng muhimi, uning tashqi ko'rinishi emas, balki harakatning boshlang'ich va yakuniy nuqtalari. Ular tarjima deb ataladigan segment bilan bog'lanadi. Bu ham vektor miqdordir. Bundan tashqari, u har doim harakatning boshidan harakat to'xtatilgan nuqtaga yo'naltiriladi. Odatda lotincha r harfi bilan belgilanadi.
Bu erda quyidagi savol tug'ilishi mumkin: "Yo'l vektor kattalikmi?" Umuman olganda, bu bayonot haqiqatga to'g'ri kelmaydi. Yo'l traektoriya uzunligiga teng va ma'lum bir yo'nalishga ega emas. Istisno - bu bir yo'nalishda to'g'ri chiziqli harakatni hisobga olgan holda. Keyin siljish vektorining kattaligi yo'l bilan qiymatga to'g'ri keladi va ularning yo'nalishi bir xil bo'lib chiqadi. Shuning uchun, harakat yo'nalishini o'zgartirmasdan, to'g'ri chiziq bo'ylab harakatni ko'rib chiqishda, yo'lni vektor kattaliklari misollariga kiritish mumkin.
To'rtinchi miqdor - tezlashtirish
Bu tezlikni o'zgartirish tezligining o'ziga xos xususiyati. Bundan tashqari, tezlashtirish ham ijobiy, ham salbiy qiymatlarga ega bo'lishi mumkin. To'g'ri chiziqda harakatlanayotganda, u yuqori tezlikka yo'naltiriladi. Agar harakat egri chiziq bo'ylab sodir bo'lsa, u holda uning tezlanish vektori ikkita komponentga bo'linadi, ulardan biri radius bo'ylab egrilik markaziga yo'naltiriladi.
O'rtacha va oniy tezlashtirish qiymatlari ajralib turadi. Birinchisi, ma'lum vaqt oralig'ida tezlik o'zgarishining shu vaqtga nisbati sifatida hisoblanishi kerak. Ko'rib chiqilayotgan vaqt oralig'i nolga moyil bo'lganda, biz oniy tezlanish haqida gapiramiz.
Beshinchi qiymat - impuls
Boshqacha qilib aytganda, u harakat miqdori deb ham ataladi. Momentum vektor kattalikdir, chunki u tanaga qo'llaniladigan tezlik va kuchga bevosita bog'liq. Ularning ikkalasi ham yo'nalishga ega va uni turtki beradi.
Ta'rifga ko'ra, ikkinchisi tana massasi va tezligi mahsulotiga teng. Jismning impulsi tushunchasidan foydalanib, Nyutonning mashhur qonunini boshqacha yozishimiz mumkin. Ma’lum bo‘lishicha, impulsning o‘zgarishi kuch va vaqt davri mahsulotiga teng.
Fizikada impulsning saqlanish qonuni muhim oʻrin tutadi, bu qonun jismlarning yopiq sistemasida uning umumiy impulsi doimiy ekanligini bildiradi.
Biz fizika kursida qaysi kattaliklar (vektor) o'rganilishini juda qisqacha sanab o'tdik.
Elastik ta'sir muammosi
Vaziyat. Reylarda statsionar platforma mavjud. Unga 4 m/s tezlikda arava yaqinlashmoqda. Platforma va avtomobilning massalari mos ravishda 10 va 40 tonnani tashkil qiladi. Avtomobil platformaga uriladi va avtomatik ulanish sodir bo'ladi. Ta'sirdan keyin "avtomobil-platforma" tizimining tezligini hisoblash kerak.
Yechim. Birinchidan, siz quyidagi belgilarni kiritishingiz kerak: zarbadan oldin avtomobilning tezligi v1, ulanishdan keyin platforma bilan avtomobilning tezligi v, avtomobilning massasi m1, platformaning massasi m2. Masala shartlariga ko'ra v tezligining qiymatini aniqlash kerak.
Bunday vazifalarni hal qilish qoidalari o'zaro ta'sirdan oldin va keyin tizimning sxematik tasvirini talab qiladi. OX o'qini relslar bo'ylab avtomobil harakatlanayotgan tomonga yo'naltirish maqsadga muvofiqdir.
Bunday sharoitda avtomobil tizimini yopiq deb hisoblash mumkin. Bu tashqi kuchlarni e'tiborsiz qoldirishi mumkinligi bilan belgilanadi. Gravitatsiya va qo'llab-quvvatlash reaktsiyasi muvozanatlangan va relslardagi ishqalanish hisobga olinmaydi.
Impulsning saqlanish qonuniga ko'ra, avtomobil va platformaning o'zaro ta'sirigacha bo'lgan ularning vektor yig'indisi zarbadan keyingi ulanish uchun umumiyga teng. Avvaliga platforma harakatlanmadi, shuning uchun uning impulsi nolga teng edi. Faqat mashina harakat qildi, uning impulsi m1 va v1 ko'paytmasiga teng.
Ta'sir elastik bo'lmaganligi sababli, ya'ni avtomobil platforma bilan bog'langan va keyin ular bir xil yo'nalishda birga aylana boshlaganligi sababli, tizimning impulsi yo'nalishini o'zgartirmadi. Ammo uning ma'nosi o'zgargan. Ya'ni, platforma va kerakli tezlik bilan avtomobilning massasi yig'indisining mahsuloti.
Quyidagi tenglikni yozishingiz mumkin: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Bu impuls vektorlarining tanlangan o'qga proyeksiyasi uchun to'g'ri bo'ladi. Undan kerakli tezlikni hisoblash uchun zarur bo'lgan tenglikni olish oson: v = m1 * v1 / (m1 + m2).
Qoidalarga ko'ra, massa qiymatlari tonnadan kilogrammga aylantirilishi kerak. Shuning uchun, ularni formulaga almashtirganda, avval ma'lum miqdorlarni mingga ko'paytirish kerak. Oddiy hisob-kitoblar 0,75 m / s ko'rsatkichni beradi.
Javob. Platforma bilan avtomobilning tezligi 0,75 m/s.
Tanani qismlarga bo'lish muammosi
Vaziyat. Uchuvchi granataning tezligi 20 m/s. U ikki qismga bo'linadi. Birinchisining vazni 1,8 kg. U 50 m/s tezlikda granata uchayotgan yo'nalish bo'yicha harakatlanishda davom etadi. Ikkinchi parcha 1,2 kg massaga ega. Uning tezligi qanday?
Yechim. Parchalarning massalari m1 va m2 harflari bilan belgilansin. Ularning tezligi mos ravishda v1 va v2 bo'ladi. Grenadaning dastlabki tezligi v. Muammo v2 qiymatini hisoblashni talab qiladi.
Kattaroq bo'lak butun granata bilan bir xil yo'nalishda harakat qilishda davom etishi uchun ikkinchisi teskari yo'nalishda uchishi kerak. Agar siz o'qning yo'nalishini dastlabki impulsda bo'lganini tanlasangiz, tanaffusdan keyin katta bo'lak eksa bo'ylab uchadi, kichik qismi esa o'qga qarshi uchadi.
Bu masalada granataning bir zumda portlashi sababli impulsning saqlanish qonunidan foydalanishga ruxsat beriladi. Shuning uchun, tortishish granata va uning qismlariga ta'sir qilishiga qaramay, u harakat qilish va impuls vektorining yo'nalishini mutlaq qiymati bilan o'zgartirish uchun vaqt topa olmaydi.
Grenada portlashidan keyingi impulsning vektor kattaliklarining yig'indisi undan oldingisiga teng. Agar OX o'qiga proyeksiyada bo'lgan jismning impuls momentining saqlanish qonunini yozsak, u quyidagicha ko'rinadi: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Undan kerakli tezlikni ifodalash oson. U quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Raqamli qiymatlarni va hisob-kitoblarni almashtirgandan so'ng, biz 25 m / s ni olamiz.
Javob. Kichik bo'lakning tezligi 25 m / s ni tashkil qiladi.
Burchakda tortishish muammosi
Vaziyat. Qurol M massali platformaga o'rnatilgan. m massali snaryadni otadi. U ufqqa a burchak ostida v tezlik bilan (yerga nisbatan berilgan) uchib chiqadi. Otishdan keyin platformaning tezligini bilishingiz kerak.
Yechim. Bu masalada OX o'qiga proyeksiyada impulsning saqlanish qonunidan foydalanish mumkin. Ammo tashqi natijaviy kuchlarning proyeksiyasi nolga teng bo'lgandagina.
OX o'qining yo'nalishi uchun siz snaryad uchadigan tomonni va gorizontal chiziqqa parallel ravishda tanlashingiz kerak. Bunda tortishish kuchlarining proyeksiyalari va tayanchning OX dagi reaktsiyasi nolga teng bo'ladi.
Muammo umumiy shaklda hal qilinadi, chunki ma'lum miqdorlar uchun aniq ma'lumotlar yo'q. Javob formuladir.
Otishma oldidan tizimning impulsi nolga teng edi, chunki platforma va snaryad harakatsiz edi. Kerakli platforma tezligi lotin harfi u bilan belgilansin. Keyin uning otishdan keyingi impulsi massa va tezlik proyeksiyasining mahsuloti sifatida aniqlanadi. Platforma orqaga burilgani uchun (OX o'qi yo'nalishiga qarshi), impuls qiymati minus belgisiga ega bo'ladi.
Snaryadning impulsi uning massasi va tezlikning OX o'qiga proyeksiyasining mahsulotidir. Tezlik gorizontga burchakka yo'naltirilganligi sababli, uning proyeksiyasi tezlikni burchak kosinusiga ko'paytirishga teng. Harfiy tenglikda u quyidagicha ko'rinadi: 0 = - Mu + mv * cos a. Undan oddiy transformatsiyalar orqali javob formulasi olinadi: u = (mv * cos a) / M.
Javob. Platforma tezligi u = (mv * cos a) / M formulasi bilan aniqlanadi.
Daryodan o'tish muammosi
Vaziyat. Daryoning butun uzunligi bo'ylab kengligi bir xil va l ga teng, qirg'oqlari parallel. Daryodagi suv oqimining tezligi v1 va qayiqning o'z tezligi v2 ma'lum. 1). Ketish paytida qayiqning kamon qismi qarama-qarshi qirg'oqqa yo'naltiriladi. U quyi oqimga qancha masofaga olib boriladi? 2). Qayiqning kamonini qarama-qarshi qirg'oqqa chiqish nuqtasiga qat'iy perpendikulyar etib borishi uchun qanday a burchakka yo'naltirilishi kerak? Bunday o'tish uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
Yechim. 1). Qayiqning umumiy tezligi ikki miqdorning vektor yig'indisidir. Ulardan birinchisi daryoning qirg'oq bo'ylab yo'naltirilgan oqimidir. Ikkinchisi - qayiqning o'z tezligi, qirg'oqlarga perpendikulyar. Chizma ikkita o'xshash uchburchak hosil qiladi. Birinchisi daryoning kengligi va qayiqning o'tadigan masofasidan hosil bo'ladi. Ikkinchisi tezlik vektorlari bo'yicha.
Ulardan quyidagi yozuv keladi: s / l = v1 / v2. Transformatsiyadan so'ng kerakli qiymat uchun formula olinadi: s = l * (v1 / v2).
2). Muammoning ushbu versiyasida umumiy tezlik vektori qirg'oqlarga perpendikulyar. U v1 va v2 vektor yig'indisiga teng. Tabiiy tezlik vektori og'ishi kerak bo'lgan burchakning sinusi v1 va v2 modullarining nisbatiga teng. Sayohat vaqtini hisoblash uchun siz daryoning kengligini hisoblangan to'liq tezlikka bo'lishingiz kerak. Ikkinchisining qiymati Pifagor teoremasi yordamida hisoblanadi.
v = √ (v22 - v12), keyin t = l / (√ (v22 - v12)).
Javob. 1). s = l * (v1 / v2), 2). sin a = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).
Maktab o'quvchilarini qo'rqitadigan ikkita so'z - vektor va skaler - aslida qo'rqinchli emas. Agar siz mavzuga qiziqish bilan yondashsangiz, unda hamma narsani tushunish mumkin. Ushbu maqolada qaysi miqdor vektor va qaysi skalar ekanligini ko'rib chiqamiz. Aniqrog'i, biz misollar keltiramiz. Har bir talaba fizikada ba'zi miqdorlar nafaqat belgi bilan, balki tepadagi o'q bilan ham belgilanishini payqagan bo'lishi mumkin. Ular nimani anglatadi? Bu quyida muhokama qilinadi. Keling, u skalerdan qanday farq qilishini tushunishga harakat qilaylik.
Vektorlarga misollar. Ular qanday tayinlangan?
Vektor deganda nima tushuniladi? Harakatni tavsiflovchi narsa. Kosmosdami yoki samolyotdami muhim emas. Umuman vektor kattalik qanday miqdor? Masalan, samolyot ma'lum bir balandlikda ma'lum tezlikda uchadi, o'ziga xos massaga ega va aeroportdan kerakli tezlanish bilan harakatlana boshladi. Samolyotning harakati nima? Uni uchishga nima majbur qildi? Albatta, tezlashtirish, tezlik. Fizika kursidan vektor kattaliklari aniq misollardir. Ochig'ini aytganda, vektor kattalik harakat, siljish bilan bog'liq.
Suv ham tog' balandligidan ma'lum tezlikda harakat qiladi. Ko'ryapsizmi? Harakat hajm yoki massa bo'yicha emas, balki tezlik bilan amalga oshiriladi. Tennischi raketka yordamida to'pning harakatlanishiga imkon beradi. U tezlashtirishni o'rnatadi. Aytgancha, bu holda qo'llaniladigan kuch ham vektor miqdoridir. Chunki u berilgan tezlik va tezlanishlar natijasida olinadi. Quvvat ham o'zgarishi va muayyan harakatlarni amalga oshirishi mumkin. Daraxtlardagi barglarni harakatga keltiradigan shamol ham bunga misol bo'la oladi. Chunki tezlik bor.
Ijobiy va salbiy miqdorlar
Vektor miqdori - bu atrofdagi fazoda yo'nalishi va kattaligiga ega bo'lgan miqdor. Qo'rqinchli so'z yana paydo bo'ldi, bu safar moduli. Tasavvur qiling-a, siz salbiy tezlashuv qiymati qayd qilinadigan muammoni hal qilishingiz kerak. Tabiatda salbiy ma'nolar mavjud emasdek tuyuladi. Qanday qilib tezlik salbiy bo'lishi mumkin?
Vektorda shunday tushuncha mavjud. Bu, masalan, tanaga qo'llaniladigan, ammo turli yo'nalishlarga ega bo'lgan kuchlarga tegishli. Harakat reaktsiyaga teng bo'lgan uchinchisini eslang. Yigitlar arqon tortish o‘ynashmoqda. Bir jamoa ko'k rangli futbolka kiyadi, ikkinchi jamoa sariq rangli futbolkalarda. Ikkinchisi kuchliroq bo'lib chiqadi. Faraz qilaylik, ularning kuch vektori musbat yo'naltirilgan. Shu bilan birga, birinchilar arqonni tortib ololmaydilar, lekin ular harakat qilishadi. Qarama-qarshi kuch paydo bo'ladi.
Vektor yoki skalyar miqdor?
Keling, vektor kattalik skalyar kattalikdan qanday farq qilishi haqida gapiraylik. Qaysi parametr yo'nalishi yo'q, lekin o'z ma'nosiga ega? Quyida ba'zi skalyar miqdorlarni sanab o'tamiz:
Ularning barchasining yo'nalishi bormi? Yo'q. Qaysi miqdor vektor, qaysi skaler ekanligini faqat vizual misollar bilan ko'rsatish mumkin. Fizikada bunday tushunchalar nafaqat "Mexanika, dinamika va kinematika" bo'limida, balki "Elektr va magnitlanish" bandida ham mavjud. Lorents kuchi ham vektor kattalikdir.
Formulalarda vektor va skalyar
Fizika darsliklarida ko'pincha yuqori qismida o'q bo'lgan formulalar mavjud. Nyutonning ikkinchi qonunini eslang. Kuch (yuqorida o'q bilan "F") massa ("m") va tezlanish ("a" tepasida o'q bilan) mahsulotiga teng. Yuqorida aytib o'tilganidek, kuch va tezlanish vektor kattaliklari, lekin massasi skalerdir.
Afsuski, barcha nashrlarda bu miqdorlarning belgisi mavjud emas. Bu, ehtimol, maktab o'quvchilarini chalg'itmasliklari uchun ishlarni soddalashtirish uchun qilingan. Formulalardagi vektorlarni ko'rsatadigan kitoblar va ma'lumotnomalarni sotib olish yaxshidir.
Rasmda qaysi miqdor vektor ekanligini ko'rsatadi. Fizika darslarida rasm va chizmalarga e'tibor berish tavsiya etiladi. Vektor kattaliklarning yo'nalishi bor. Qaerga yo'naltirilgan, albatta, pastga. Bu shuni anglatadiki, o'q xuddi shu yo'nalishda ko'rsatiladi.
Texnika oliy o'quv yurtlarida fizika chuqur o'rganiladi. Ko'pgina fanlarda o'qituvchilar qanday miqdorlar skalar va vektor ekanligi haqida gapiradilar. Bunday bilimlar quyidagi sohalarda talab qilinadi: qurilish, transport, tabiiy fanlar.
Biz fizikada va xususan uning mexanika sohalaridan birida duch keladigan barcha miqdorlarni ikki turga bo'lish mumkin:
a) bitta haqiqiy musbat yoki manfiy son bilan belgilanadigan skalyar. Bunday miqdorlarga vaqt, harorat;
b) vektor, ular chiziqning yo'naltirilgan fazoviy segmenti (yoki uchta skalyar kattalik) bilan aniqlanadi va quyida keltirilgan xususiyatlarga ega.
Vektor kattaliklarga kuch, tezlik, tezlanish misol bo'la oladi.
Dekart koordinata tizimi
Yo'naltirilgan segmentlar haqida gapirganda, siz ushbu yo'nalish aniqlangan ob'ektni ko'rsatishingiz kerak. Bunday ob'ekt sifatida komponentlari o'qlar bo'lgan Dekart koordinata tizimi olinadi.
O'q - bu yo'nalish ko'rsatilgan to'g'ri chiziq. O nuqtada kesishgan uchta o'zaro perpendikulyar o'qlar mos ravishda nomlanadi, to'rtburchaklar Dekart koordinata tizimini hosil qiladi. Dekart koordinata tizimi o'ng qo'l (1-rasm) yoki chap qo'l (2-rasm) bo'lishi mumkin. Bu tizimlar bir-birining oyna tasviridir va ularni hech qanday harakat bilan birlashtirib bo'lmaydi.
Keyingi barcha taqdimotlarda o'ng qo'lda koordinatalar tizimi qabul qilinadi. To'g'ri koordinatalar tizimida barcha burchaklar uchun musbat mos yozuvlar yo'nalishi soat miliga teskari yo'nalishda olinadi.
Bu o'qning musbat yo'nalishidan qaralganda x va y o'qlari tekislanadigan yo'nalishga mos keladi.
Bepul vektorlar
Berilgan koordinatalar sistemasida faqat uzunligi va yo'nalishi bilan xarakterlanadigan vektor erkin deyiladi. Erkin vektor ma'lum uzunlik va yo'nalishdagi segment bilan ifodalanadi, uning boshlanishi fazoning istalgan nuqtasida joylashgan. Chizmada vektor o'q bilan tasvirlangan (3-rasm).
Vektorlar bitta qalin harf yoki o'qning boshi va oxiriga to'g'ri keladigan ikkita harf bilan belgilanadi, ustiga chiziqcha yoki
Vektorning kattaligi uning moduli deb ataladi va quyidagi usullardan biri bilan belgilanadi
Vektorlarning tengligi
Vektorning asosiy xarakteristikalari uning uzunligi va yo'nalishi bo'lganligi sababli, vektorlar, agar ularning yo'nalishlari va kattaliklari mos kelsa, ular teng deb ataladi. Muayyan holatda teng vektorlar bitta to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltirilishi mumkin. Vektorlarning tengligi, masalan, a va b (4-rasm) quyidagicha yoziladi:
Agar (a va b) vektorlar kattalik bo'yicha teng, lekin yo'nalishi bo'yicha diametrik ravishda qarama-qarshi bo'lsa (5-rasm), u holda bu quyidagicha yoziladi:
Yo'nalishlari bir xil yoki diametrik qarama-qarshi bo'lgan vektorlar kollinear deyiladi.
Vektorni skalerga ko'paytirish
a vektor va skaler K ning ko'paytmasi modulli vektor deyiladi, agar K musbat bo'lsa a vektoriga yo'nalishi bo'yicha teng, K manfiy bo'lsa diametral qarama-qarshi.
Birlik vektori
Moduli bir ga teng va yo‘nalishi berilgan a vektorga to‘g‘ri keladigan vektor berilgan vektorning birlik vektori yoki uning birlik vektori deyiladi. Ort bilan belgilanadi. Har qanday vektorni uning birlik vektori orqali ifodalash mumkin
Koordinata o'qlarining musbat yo'nalishlari bo'ylab joylashgan birlik vektorlari mos ravishda belgilanadi (6-rasm).
Vektor qo'shilishi
Vektorlarni qo'shish qoidasi postulatsiya qilingan (bu postulat vektor tabiatining haqiqiy ob'ektlarini kuzatish orqali oqlanadi). Ushbu postulat ikkita vektordir
Ular fazoning qaysidir nuqtasiga ko'chiriladi, shunda ularning kelib chiqishi mos keladi (7-rasm). Bu vektorlar ustida qurilgan parallelogrammning yo'naltirilgan diagonali (7-rasm) vektorlar yig'indisi deb ataladi, shaklda yoziladi
va parallelogramm qoidasiga ko'ra qo'shish deyiladi.
Vektorlarni qo'shishning ko'rsatilgan qoidasi quyidagi tarzda ham amalga oshirilishi mumkin: fazoning istalgan nuqtasida vektor yana yotqiziladi, vektor vektor oxiridan chiqariladi (8-rasm). Boshi vektorning boshiga va oxiri vektorning oxiriga to'g'ri keladigan a vektori vektorlar yig'indisi bo'ladi.
Agar siz ikkitadan ortiq vektor qo'shishingiz kerak bo'lsa, oxirgi vektor qo'shish qoidasi qulay. Haqiqatan ham, agar siz bir nechta vektorni qo'shishingiz kerak bo'lsa, u holda belgilangan qoidadan foydalanib, tomonlari berilgan vektorlar bo'lgan singan chiziqni qurishingiz kerak va har qanday vektorning boshlanishi oldingi vektorning oxiriga to'g'ri keladi. Bu vektorlarning yig'indisi vektor bo'ladi, uning boshlanishi birinchi vektorning boshiga, oxiri esa oxirgi vektorning oxiriga to'g'ri keladi (9-rasm). Agar berilgan vektorlar yopiq ko'pburchak hosil qilsa, vektorlar yig'indisi nolga teng deyiladi.
Vektorlar yig'indisini qurish qoidasidan kelib chiqadiki, ularning yig'indisi atamalar qabul qilish tartibiga bog'liq emas yoki vektorlarning qo'shilishi kommutativdir. Ikki vektor uchun ikkinchisini quyidagicha yozish mumkin:
Vektor ayirish
Vektordan vektorni ayirish quyidagi qoida bo'yicha amalga oshiriladi: vektor tuziladi va vektor - uning uchidan yotqiziladi (10-rasm). Vektor a, uning boshlanishi boshlanishi bilan mos keladi
vektor va oxiri - vektorning oxiri bilan vektorlar orasidagi farqga teng va bajarilgan operatsiyani quyidagi shaklda yozish mumkin:
Komponentlarga vektorning parchalanishi
Berilgan vektorni parchalash deganda uni bir nechta vektorlar yig'indisi sifatida ifodalash tushuniladi, ular uning tarkibiy qismlari deb ataladi.
a vektorini parchalash masalasini ko'rib chiqamiz, agar uning komponentlari uchta koordinata o'qi bo'ylab yo'naltirilishi kerakligi ko'rsatilgan bo'lsa. Buning uchun diagonali a vektor, qirralari koordinata o'qlariga parallel bo'lgan parallelepipedni quramiz (11-rasm). Keyin, chizmadan ko'rinib turibdiki, bu parallelepipedning qirralari bo'ylab joylashgan vektorlar yig'indisi a vektorini beradi:
Vektorning o'qga proyeksiyasi
Vektorning o'qga proyeksiyasi - bu vektorning boshi va oxiridan o'tuvchi o'qga perpendikulyar tekisliklar bilan chegaralangan yo'naltirilgan segmentning o'lchamidir (12-rasm). Bu tekisliklarning o'q bilan kesishish nuqtalari (A va B) mos ravishda vektorning boshi va oxirining proyeksiyasi deb ataladi.
Vektorning proyeksiyasi, agar vektorning boshi proyeksiyasidan to oxiri proyeksiyasigacha bo'lgan yo'nalishlari o'q yo'nalishiga to'g'ri kelsa, plyus belgisiga ega bo'ladi. Agar bu yo'nalishlar mos kelmasa, u holda proyeksiya minus belgisiga ega.
A vektorning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari mos ravishda belgilanadi
Vektor koordinatalari
Vektor proyeksiyalari va birlik vektorlari orqali koordinata o'qlariga parallel joylashgan a vektorining komponentlari quyidagi ko'rinishda yozilishi mumkin:
Demak:
bu erda ular vektorni to'liq aniqlaydi va uning koordinatalari deb ataladi.
A vektorining koordinata o‘qlari bilan yasagan burchaklari orqali a vektorning o‘qlarga proyeksiyalarini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
Demak, a vektorining moduli uchun quyidagi ifodani olamiz:
Vektorning proyeksiyalari bo'yicha ta'rifi yagona bo'lgani uchun ikkita teng vektor teng koordinatalarga ega bo'ladi.
Vektorlarni koordinatalari orqali qo'shish
Shakldan quyidagicha. 13, vektorlar yig'indisining o'qga proyeksiyasi ularning proyeksiyalarining algebraik yig'indisiga teng. Shuning uchun vektor tengligidan:
quyidagi uchta skalyar tenglik kelib chiqadi:
yoki umumiy vektorning koordinatalari komponent vektorlari koordinatalarining algebraik yig'indisiga teng.
Ikki vektorning nuqta mahsuloti
Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi a b bilan belgilanadi va ularning modullari ko'paytmasi va ular orasidagi burchakning kosinuslari bilan aniqlanadi:
Ikki vektorning nuqta mahsulotini vektorlardan birining moduli va ikkinchi vektorning birinchi vektor yo'nalishiga proyeksiyasi ko'paytmasi sifatida ham aniqlash mumkin.
Skayar mahsulotning ta'rifidan kelib chiqadiki
ya'ni kommutativ qonun sodir bo'ladi.
Qo'shishga nisbatan skalyar mahsulot taqsimlovchi xususiyatga ega:
vektorlar yig'indisining proyeksiyasi ularning proyeksiyalarining algebraik yig'indisiga teng ekanligi xossasidan bevosita kelib chiqadi.
Vektorlarning proyeksiyalari orqali skalyar mahsulot quyidagicha yozilishi mumkin:
Ikki vektorning o'zaro ko'paytmasi
Ikki vektorning o'zaro ko'paytmasi axb bilan belgilanadi. Bu c vektor bo'lib, uning moduli vektorlar modullarining ko'paytmasi ular orasidagi burchakning sinusiga teng:
V vektor c a va b vektorlari bilan aniqlangan tekislikka perpendikulyar yo'naltirilgan bo'lib, agar c vektorining oxiridan qaralsa, a vektorini b vektor bilan imkon qadar tezroq tekislash uchun birinchi vektorni ijobiy tomonga aylantirish kerak edi. yo'nalishi (soat miliga teskari; 14-rasm). Ikki vektorning o'zaro ko'paytmasi bo'lgan vektor eksenel vektor (yoki psevdovektor) deb ataladi. Uning yo'nalishi koordinata tizimini tanlashga yoki burchaklarning ijobiy yo'nalishi bo'yicha shartga bog'liq. c vektorining ko'rsatilgan yo'nalishi dekart koordinata o'qlarining to'g'ri tizimiga mos keladi, uni tanlash avval kelishilgan.
Vektor- faqat fizika yoki boshqa amaliy fanlarda qo'llaniladigan va ba'zi murakkab masalalarni hal qilishni soddalashtirish imkonini beradigan sof matematik tushuncha.
Vektor- yo'naltirilgan tekis segment.
Boshlang'ich fizika kursida ikkita kattalik toifasi bilan ishlash kerak - skaler va vektor.
Skalyar miqdorlar (skalyarlar) son qiymati va belgisi bilan tavsiflangan miqdorlardir. Skayarlar uzunligi - l, massa - m, yo'l - s, vaqt - t, harorat - T, elektr zaryadi - q, energiya - V, koordinatalar va boshqalar.
Barcha algebraik amallar (qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va h.k.) skalyar kattaliklarga taalluqlidir.
1-misol.
q 1 = 2 nC, q 2 = -7 nC, q 3 = 3 nC bo'lsa, unga kiritilgan zaryadlardan iborat tizimning umumiy zaryadini aniqlang.
To'liq tizim to'lovi
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 - 7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 S.
2-misol.
Shaklning kvadrat tenglamasi uchun
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 - 4ac)).
Vektor Miqdorlar (vektorlar) miqdorlar bo'lib, ularni aniqlash uchun raqamli qiymatdan tashqari, yo'nalishni ko'rsatish kerak. Vektorlar - tezlik v, kuch F, impuls p, elektr maydon kuchi E, magnit induktsiya B va boshq.
Vektorning (modulning) raqamli qiymati vektor belgisi bo'lmagan harf bilan belgilanadi yoki vektor vertikal chiziqlar orasiga qo'yilgan. r = |r|.
Grafik jihatdan vektor o'q bilan ifodalanadi (1-rasm),
Berilgan masshtabdagi uzunligi uning kattaligiga teng, yo'nalishi esa vektor yo'nalishiga to'g'ri keladi.
Ikki vektor teng bo'ladi, agar ularning kattaliklari va yo'nalishlari mos kelsa.
Vektor kattaliklari geometrik tarzda qo'shiladi (vektor algebrasi qoidasiga ko'ra).
Berilgan komponent vektorlaridan vektor yig‘indisini topish vektor qo‘shish deyiladi.
Ikki vektorni qo'shish parallelogramm yoki uchburchak qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi. Yig'indi vektori
c = a + b
vektorlar ustiga qurilgan parallelogramma diagonaliga teng a Va b. Uni modul qiling
s = √(a 2 + b 2 - 2abcosa) (2-rasm). 
a = 90° da c = √(a 2 + b 2 ) Pifagor teoremasi.
Xuddi shu vektor c uchburchak qoidasi yordamida, agar vektor oxiridan bo'lsa, olinishi mumkin a vektorni chetga surib qo'ying b. Keyingi vektor c (vektorning boshini ulash a va vektorning oxiri b) - hadlarning vektor yig'indisi (komponent vektorlari a Va b).
Olingan vektor bog'lanishlari komponent vektorlari bo'lgan siniq chiziqning orqa chizig'i sifatida topiladi (3-rasm). 
3-misol.
Ikki kuch qo'shing F 1 = 3 N va F 2 = 4 N, vektorlar F 1 Va F 2 gorizont bilan mos ravishda a 1 = 10 ° va a 2 = 40 ° burchaklar hosil qiling
F = F 1 + F 2(4-rasm). 
Ushbu ikki kuchning qo'shilishi natijasida natija deb ataladigan kuch hosil bo'ladi. Vektor F vektorlarga qurilgan parallelogramma diagonali bo'ylab yo'naltirilgan F 1 Va F 2, ikkala tomoni va moduli uning uzunligiga teng.
Vektor moduli F kosinus teoremasi orqali toping
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(a 2 - a 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° - 10°)) ≈ 6,8 H.
Agar
(a 2 - a 1) = 90°, keyin F = √(F 1 2 + F 2 2).
Vektor bo'lgan burchak F Ox o'qiga teng bo'lsa, uni formuladan foydalanib topamiz
a = arctan((F 1 sina 1 + F 2 sina 2)/(F 1 cosa 1 + F 2 cosa 2)),
a = arktan((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = arktan0.51, a ≈ 0.47 rad.
a vektorining Ox (Oy) o'qiga proyeksiyasi vektor yo'nalishi orasidagi a burchakka bog'liq skalyar kattalikdir. a va Ox (Oy) o'qi. (5-rasm) 
Vektor proyeksiyalari a to'rtburchaklar koordinatalar sistemasining Ox va Oy o'qlarida. (6-rasm) 
Vektorning o'qga proyeksiyasi belgisini aniqlashda xatolikka yo'l qo'ymaslik uchun quyidagi qoidani yodda tutish foydali bo'ladi: agar komponentning yo'nalishi o'qning yo'nalishiga to'g'ri kelsa, u holda vektorning unga proyeksiyasi. o'qi musbat, lekin agar komponentning yo'nalishi o'qning yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda vektorning proyeksiyasi manfiy bo'ladi. (7-rasm) 
Vektorlarni ayirish - bu vektor birinchi vektorga soni jihatidan ikkinchisiga teskari yo'nalishda qo'shiladigan qo'shimcha.
a - b = a + (-b) = d(8-rasm). 
Vektordan zarur bo'lsin a vektorni ayirish b, ularning farqi - d. Ikki vektorning farqini topish uchun vektorga o'tish kerak a vektor qo'shish ( −b), ya'ni vektor d = a - b vektorning boshidan yo'naltirilgan vektor bo'ladi a vektorning oxirigacha ( −b) (9-rasm). 
Vektorlarga qurilgan parallelogrammada a Va b har ikki tomon, bitta diagonal c yig'indisi ma'nosiga ega va boshqa d− vektor farqlari a Va b(9-rasm).
Vektor mahsuloti a skalyar bo'yicha k vektorga teng b= k a, uning moduli vektor modulidan k marta katta a, va yo'nalish yo'nalish bilan mos keladi a musbat k uchun, manfiy k uchun esa aksincha.
4-misol.
5 m/s tezlikda harakatlanayotgan 2 kg og‘irlikdagi jismning impulsini aniqlang. (10-rasm) 
Tana impulsi p= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s va tezlik tomon yo'naltirilgan v.
5-misol.
q = -7,5 nC zaryad E = 400 V / m quvvatga ega bo'lgan elektr maydoniga joylashtirilgan. Zaryadga ta'sir etuvchi kuchning kattaligi va yo'nalishini toping.
Kuch - bu F= q E. Zaryad manfiy bo'lgani uchun kuch vektori vektorga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltiriladi E. (11-rasm) 
Bo'lim vektor a skalyar bilan k ko'paytirishga teng a 1/k.
Nuqta mahsuloti vektorlar a Va b bu vektorlarning modullari va ular orasidagi burchakning kosinuslari mahsulotiga teng bo'lgan skalyar "c" deb ataladi.
(a.b) = (b.a) = c,
s = ab.cosa (12-rasm) 
6-misol.
Agar siljish S = 7,5 m va kuch bilan siljish orasidagi a burchak a = 120° bo'lsa, F = 20 N doimiy kuch bajargan ishni toping.
Kuch bajargan ish, ta'rifiga ko'ra, kuch va siljishning skalyar mahsulotiga teng
A = (F.S) = FScosa = 20 H × 7,5 m × cos120 ° = -150 × 1/2 = -75 J.
Vektor san'ati vektorlar a Va b vektor deb ataladi c, son jihatdan a va b vektorlarining mutlaq qiymatlarining ko'paytmasiga teng, ular orasidagi burchak sinusiga ko'paytiriladi:
c = a × b =,
s = ab × sina.
Vektor c vektorlar yotadigan tekislikka perpendikulyar a Va b, va uning yo'nalishi vektorlar yo'nalishi bilan bog'liq a Va b o'ng vida qoidasi (13-rasm). 
7-misol.
Induksiyasi 5 T bo'lgan magnit maydonga joylashtirilgan 0,2 m uzunlikdagi o'tkazgichga ta'sir qiluvchi kuchni aniqlang, agar o'tkazgichdagi tok kuchi 10 A bo'lsa va u maydon yo'nalishi bilan a = 30 ° burchak hosil qilsa. .
Amper quvvati
dF = I = Idl × B yoki F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsina = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.
Muammoni hal qilishni o'ylab ko'ring.
1. Modullari bir xil va a ga teng bo'lgan ikkita vektor qanday yo'naltiriladi, agar ularning yig'indisining moduli teng bo'lsa: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?
Yechim.
a) Ikki vektor bir to'g'ri chiziq bo'ylab qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan. Bu vektorlarning yig'indisi nolga teng. 
b) Ikki vektor bitta to'g'ri chiziq bo'ylab bir yo'nalishda yo'naltirilgan. Bu vektorlarning yig'indisi 2a ga teng. 
c) Ikki vektor bir-biriga 120 ° burchak ostida yo'naltirilgan. Vektorlarning yig'indisi a ga teng. Olingan vektor kosinus teoremasi yordamida topiladi: 
a 2 + a 2 + 2aakosa = a 2,
cosa = -1/2 va a = 120 °.
d) Ikki vektor bir-biriga 90 ° burchak ostida yo'naltirilgan. Yig'indining moduli ga teng
a 2 + a 2 + 2aakosa = 2a 2,
cosa = 0 va a = 90 °. 
e) Ikki vektor bir-biriga 60 ° burchak ostida yo'naltirilgan. Yig'indining moduli ga teng
a 2 + a 2 + 2aakosa = 3a 2,
cosa = 1/2 va a = 60 °.
Javob: Vektorlar orasidagi a burchak teng: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.
2. Agar a = a 1 + a 2 vektorlarning orientatsiyasi, vektorlarning o'zaro yo'nalishi haqida nima deyish mumkin a 1 Va a 2, agar: a) a = a 1 + a 2; b) a 2 = a 1 2 + a 2 2; c) a 1 + a 2 = a 1 - a 2?
Yechim.
a) Agar vektorlar yig'indisi ushbu vektorlarning modullarining yig'indisi sifatida topilsa, vektorlar bir-biriga parallel, bir to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltiriladi. a 1 ||a 2.
b) Agar vektorlar bir-biriga burchak ostida yo'naltirilgan bo'lsa, ularning yig'indisi parallelogramm uchun kosinus teoremasi yordamida topiladi.
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 kosa = a 2,
cosa = 0 va a = 90 °.
vektorlar bir-biriga perpendikulyar a 1 ⊥ a 2.
c) holat a 1 + a 2 = a 1 - a 2 bo'lsa, bajarilishi mumkin a 2− nol vektor, keyin a 1 + a 2 = a 1 .
Javoblar. A) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; V) a 2− nol vektor.
3. Tananing bir nuqtasiga bir-biriga 60 ° burchak ostida har biri 1,42 N bo'lgan ikkita kuch qo'llaniladi. Jismning bir nuqtasiga har biri 1,75 N bo'lgan ikkita kuchni qanday burchak ostida qo'llash kerak, shunda ularning harakati dastlabki ikki kuchning ta'sirini muvozanatlashtiradi?
Yechim.
Muammoning shartlariga ko'ra, har biri 1,75 N bo'lgan ikkita kuch har biri 1,42 N bo'lgan ikkita kuchni muvozanatlashtiradi, agar kuch juftlarining hosil bo'lgan vektorlarining modullari teng bo'lsa. Olingan vektorni parallelogramm uchun kosinus teoremasi yordamida aniqlaymiz. Birinchi juft kuchlar uchun:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 kosa = F 2,
mos ravishda ikkinchi kuchlar juftligi uchun
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosb = F 2.
Tenglamalarning chap tomonlarini tenglashtirish
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosa = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosb.
Vektorlar orasidagi kerakli b burchakni topamiz
cosb = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosa - F 2 2 - F 2 2)/(2F 2 F 2).
Hisob-kitoblardan so'ng,
cosb = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° - 2.1.752)/(2.1.752) = -0.0124,
b ≈ 90,7°.
Ikkinchi yechim.
Vektorlarning OX koordinata o'qiga proyeksiyasini ko'rib chiqamiz (rasm). 
To'g'ri uchburchakda tomonlar o'rtasidagi munosabatlardan foydalanib, biz olamiz
2F 1 cos(a/2) = 2F 2 cos(b/2),
qayerda
cos(b/2) = (F 1 /F 2)cos(a/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) va b ≈ 90,7°.
4. Vektor a = 3i - 4j. |c uchun c skalyar miqdor qanday bo'lishi kerak a| = 7,5?
Yechim.
c a= c( 3i − 4j) = 7,5
Vektor moduli a teng bo'ladi
a 2 = 3 2 + 4 2 va a = ±5,
keyin dan
c.(±5) = 7,5,
buni topamiz
c = ±1,5.
5. Vektorlar a 1 Va a 2 boshlang'ichdan chiqish va mos ravishda Dekart oxiri koordinatalariga (6, 0) va (1, 4) ega. Vektorni toping a 3 shunday: a) a 1 + a 2 + a 3= 0; b) a 1 − a 2 + a 3 = 0.
Yechim.
Dekart koordinata tizimidagi vektorlarni tasvirlaymiz (rasm). 
a) Ox o'qi bo'ylab olingan vektor
a x = 6 + 1 = 7.
Oy o'qi bo'ylab olingan vektor
a y = 4 + 0 = 4.
Vektorlar yig'indisi nolga teng bo'lishi uchun shart bajarilishi kerak
a 1 + a 2 = −a 3.
Vektor a 3 modul umumiy vektorga teng bo'ladi a 1 + a 2, lekin teskari yo'nalishda yo'naltirilgan. Vektor oxiri koordinatasi a 3(−7, −4) va modulga teng
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8.1.
B) Ox o'qi bo'ylab olingan vektor ga teng
a x = 6 - 1 = 5,
va Oy o'qi bo'ylab olingan vektor
a y = 4 - 0 = 4.
Shart bajarilganda
a 1 − a 2 = −a 3,
vektor a 3 a x = –5 va a y = -4 vektorining oxiri koordinatalariga ega bo'ladi va uning moduli ga teng.
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6.4.
6. Xabarchi shimolga 30 m, sharqqa 25 m, janubga 12 m yurib, keyin 36 m balandlikdagi liftga ko'tarildi, u L qancha masofani bosib o'tdi va S ko'chishi ?
Yechim.
Masalada tasvirlangan vaziyatni ixtiyoriy masshtabda tekislikda tasvirlaylik (rasm). 
Vektorning oxiri O.A. sharqqa 25 m, shimolga 18 m va yuqoriga 36 (25; 18; 36) koordinatalariga ega. Bir kishi bosib o'tgan masofa tengdir
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
Formula yordamida siljish vektorining kattaligini topamiz
S = √((x - x o) 2 + (y - y o) 2 + (z - z o) 2 ),
Bunda x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √ (25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
Javob: L = 103 m, S = 47,4 m.
7. Ikki vektor orasidagi a burchak a Va b 60° ga teng. Vektor uzunligini aniqlang c = a + b va vektorlar orasidagi b burchak a Va c. Vektorlarning kattaliklari a = 3,0 va b = 2,0 ga teng.
Yechim.
Vektor uzunligi vektorlar yig'indisiga teng a Va b Paralelogramm uchun kosinus teoremasidan foydalanib aniqlaymiz (rasm). 
s = √(a 2 + b 2 + 2abkosa).
O'zgartirishdan keyin
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
b burchakni aniqlash uchun ABC uchburchagi uchun sinus teoremasidan foydalanamiz:
b/sinb = a/sin(a - b).
Shu bilan birga, siz buni bilishingiz kerak
sin(a - b) = sinacosb - kozasinb.
Oddiy trigonometrik tenglamani yechib, ifodaga kelamiz
tgb = bsina/(a + bcosa),
shuning uchun,
b = arctan(bsina/(a + bcosa)),
b = arktan(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Uchburchak uchun kosinus teoremasidan foydalanib tekshiramiz:
a 2 + c 2 - 2ac.cosb = b 2,
qayerda
cosb = (a 2 + c 2 - b 2)/(2ac)
Va
b = arccos ((a 2 + c 2 - b 2)/(2ac)) = arccos ((3 2 + 4.4 2 - 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Javob: c ≈ 4,4; b ≈ 23°.
Muammolarni hal qilish.
8. Vektorlar uchun a Va b 7-misolda aniqlangan, vektor uzunligini toping d = a - b burchak γ
orasida a Va d.
9. Vektorning proyeksiyasini toping a = 4.0i + 7.0j to'g'ri chiziqqa, uning yo'nalishi Ox o'qi bilan a = 30 ° burchak hosil qiladi. Vektor a to'g'ri chiziq xOy tekislikda yotadi.
10. Vektor a AB to'g'ri chiziq bilan a = 30 ° burchak hosil qiladi, a = 3,0. Vektorni AB chizig'iga qanday b burchakka yo'naltirish kerak? b(b = √(3)) shunday qilib vektor c = a + b AB ga parallel edi? Vektor uzunligini toping c.
11. Uch vektor berilgan: a = 3i + 2j - k; b = 2i - j + k; c = i + 3j. Toping a) a+b; b) a+c; V) (a, b); G) (a, c)b - (a, b)c.
12. Vektorlar orasidagi burchak a Va b a = 60°, a = 2,0, b = 1,0 ga teng. Vektorlarning uzunliklarini toping c = (a, b)a + b Va d = 2b - a/2.
13. Vektorlar ekanligini isbotlang a Va b a = (2, 1, -5) va b = (5, -5, 1) bo'lsa, perpendikulyar bo'ladi.
14. Vektorlar orasidagi a burchakni toping a Va b, agar a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1) bo'lsa.
15. Vektor a Ox o'qi bilan a = 30 ° burchak hosil qiladi, bu vektorning Oy o'qiga proyeksiyasi a y = 2,0 ga teng. Vektor b vektorga perpendikulyar a va b = 3,0 (rasmga qarang). 
Vektor c = a + b. Toping: a) vektorning proyeksiyalari b Ox va Oy o'qi bo'yicha; b) c ning qiymati va vektor orasidagi b burchak c va Ox o'qi; kabina); d) (a, c).
Javoblar:
9. a 1 = a x cosa + a y sina ≈ 7,0.
10. b = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j - 2k; c) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. a = 44,4°.
15. a) b x = -1,5; b y = 2,6; b) c = 5; b ≈ 67°; c) 0; d) 16.0.
Fizikani o'rganish orqali siz texnik universitetda o'qishni davom ettirish uchun ajoyib imkoniyatlarga egasiz. Bu matematika, kimyo, til va kamroq boshqa fanlar bo'yicha bilimlarni parallel ravishda chuqurlashtirishni talab qiladi. Respublika olimpiadasi g‘olibi Savich Egor MIPTning kimyo fanidan bilimga katta talablar qo‘yiladigan fakultetlaridan birini tamomlagan. Agar sizga kimyo bo'yicha Davlat Fanlar akademiyasida yordam kerak bo'lsa, u holda mutaxassislarga murojaat qiling, siz albatta malakali va o'z vaqtida yordam olasiz.
Vektorlar matematika va fizika uchun kuchli vositadir. Mexanika va elektrodinamikaning asosiy qonunlari vektorlar tilida tuzilgan. Fizikani tushunish uchun vektorlar bilan ishlashni o'rganish kerak.
Ushbu bobda mexanikani o'rganishni boshlash uchun zarur bo'lgan materiallarning batafsil taqdimoti mavjud:
! Vektor qo'shilishi
! Skayarni vektorga ko'paytirish
! Vektorlar orasidagi burchak
! Vektorning o'qga proyeksiyasi
! Tekislikdagi vektorlar va koordinatalar
! Kosmosdagi vektorlar va koordinatalar
! Vektorlarning nuqta mahsuloti
Analitik geometriya va chiziqli algebrani o'rganayotganda, masalan, chiziqli va Evklid fazosining aksiomalari qayerdan kelib chiqqanligini tushunish uchun birinchi yilda ushbu ilova matniga qaytish foydali bo'ladi.
7.1 Skalyar va vektor kattaliklar
Fizikani o'rganish jarayonida biz ikki xil miqdorga duch kelamiz: skalyar va vektor.
Ta'rif. Skayar miqdor yoki skaler - bu (mos o'lchov birliklarida) bitta raqam etarli bo'lgan jismoniy miqdor.
Fizikada skalyarlar juda ko'p. Tana vazni 3 kg, havo harorati 10 S, tarmoq kuchlanishi 220 V. . . Bu barcha holatlarda bizni qiziqtirgan miqdor bitta raqam bilan beriladi. Shuning uchun massa, harorat va elektr kuchlanish skalyarlardir.
Ammo fizikada skaler shunchaki raqam emas. Skayar - bu 1-o'lchov bilan jihozlangan son. Demak, massani ko'rsatayotganda m = 3 ni yoza olmaymiz; O'lchov birligini ko'rsatishingiz kerak, masalan, m = 3 kg. Va agar matematikada biz 3 va 220 raqamlarini qo'shishimiz mumkin bo'lsa, u holda fizikada biz 3 kilogramm va 220 voltni qo'sha olmaymiz: biz faqat bir xil o'lchamga ega bo'lgan skayarlarni (massa bilan massa, kuchlanish bilan va boshqalar) qo'shish huquqiga egamiz. ).
Ta'rif. Vektor kattalik yoki vektor fizik kattalikdir: 1) manfiy bo'lmagan skalyar; 2) kosmosdagi yo'nalish. Bunday holda, skalyar vektorning moduli yoki uning mutlaq qiymati deb ataladi.
Faraz qilaylik, mashina 60 km/soat tezlikda harakatlanyapti. Ammo bu harakat haqida to'liq bo'lmagan ma'lumot, shunday emasmi? Mashina qayerga, qaysi yo'nalishda ketayotgani ham muhim bo'lishi mumkin. Shuning uchun, avtomobil tezligining moduli (mutlaq qiymati) emas, balki bu holda u 60 km / soat, balki uning kosmosdagi yo'nalishini ham bilish muhimdir. Bu tezlik vektor ekanligini anglatadi.
Yana bir misol. Aytaylik, polda 1 kg og'irlikdagi g'isht bor. G'isht ustida 100 N kuch ta'sir qiladi (bu kuchning moduli yoki uning mutlaq qiymati). G'isht qanday harakat qiladi? Kuchning yo'nalishi aniqlanmaguncha savol ma'nosiz. Agar kuch yuqoriga qarab harakat qilsa, u holda g'isht yuqoriga qarab harakatlanadi. Agar kuch gorizontal ravishda harakat qilsa, u holda g'isht gorizontal harakat qiladi. Va agar kuch vertikal ravishda pastga qarab harakat qilsa, u holda g'isht umuman siljimaydi, u faqat polga bosiladi; Shunday qilib, biz kuchning ham vektor ekanligini ko'ramiz.
Fizikada vektor miqdori ham o'lchovga ega. Vektorning o'lchami uning modulining o'lchamidir.
Biz vektorlarni o'q bilan harflar bilan belgilaymiz. Shunday qilib, tezlik vektorini belgilash mumkin
~v orqali, kuch vektori esa F orqali. Aslida vektor - bu o'q yoki ular aytganidek, yo'naltirilgan segment (7.1-rasm).
Guruch. 7.1. Vektor ~v
O'qning boshlang'ich nuqtasi vektorning boshi va o'qning oxirgi nuqtasi (uchi) deb ataladi
vektorning oxiri. Matematikada A nuqtadan boshlanib, B nuqtada tugaydigan vektor belgilanadi
shuningdek, AB; Bizga ham ba'zan bunday belgi kerak bo'ladi.
Boshi va oxiri mos keladigan vektor nol vektor (yoki nol) deb ataladi va
~ bilan belgilanadi. Nol vektor oddiygina nuqta; uning aniq yo'nalishi yo'q.
Nol vektorning uzunligi, albatta, nolga teng.
1 O'lchamsiz skalyarlar ham mavjud: ishqalanish koeffitsienti, samaradorlik, muhitning sinishi ko'rsatkichi. . . Shunday qilib, suvning sinishi ko'rsatkichi 1,33;
O'qlarni chizish vektor kattaliklarini grafik tarzda ifodalash masalasini to'liq hal qiladi. O'qning yo'nalishi berilgan vektorning yo'nalishini ko'rsatadi va mos shkaladagi o'qning uzunligi ushbu vektorning moduli hisoblanadi.
Masalan, ikkita mashina u = 30 km/soat va v = 60 km/soat tezlikda bir-biriga qarab harakatlansin deylik. Shunda avtomobil tezligining ~u va ~v vektorlari qarama-qarshi yo'nalishlarga ega bo'ladi va ~v vektorining uzunligi ikki barobar katta bo'ladi (7.2-rasm).
Guruch. 7.2. Vektor ~v ikki barobar uzun
Siz allaqachon tushunganingizdek, o'qsiz harf (masalan, oldingi xatboshidagi u yoki v) mos keladigan vektorning kattaligini ko'rsatadi. Matematikada ~v vektorining moduli odatda j~vj bilan belgilanadi, lekin fiziklar, agar vaziyat imkon bersa, o'qsiz v harfini afzal ko'radilar.
Vektorlar bir chiziqda yoki parallel chiziqlarda joylashgan bo'lsa, ular kollinear deyiladi.
Ikkita kollinear vektor bo'lsin. Agar ularning yo'nalishlari mos kelsa, vektorlar ko'p yo'nalishli deyiladi; agar ularning yo'nalishlari boshqacha bo'lsa, u holda vektorlar qarama-qarshi yo'naltirilgan deb ataladi. Shunday qilib, yuqoridagi rasmda. 7.2 ~u va ~v vektorlari qarama-qarshi yo'nalgan.
Ikki vektor teng yo'nalishli va teng modullarga ega bo'lsa, teng deyiladi (7.3-rasm).
Guruch. 7.3. ~a va b vektorlari teng: ~a = b
Shunday qilib, vektorlarning tengligi ularning boshlanishi va oxirlarining mos kelishini anglatmaydi: biz vektorni o'ziga parallel ravishda ko'chirishimiz mumkin va bu asl vektorga teng bo'ladi. Bu uzatish doimiy ravishda vektorlarning boshlanishini bir nuqtaga qisqartirish maqsadga muvofiq bo'lgan hollarda, masalan, vektorlarning yig'indisi yoki ayirmasi topilganda qo'llaniladi. Endi vektorlar ustida amallarni ko'rib chiqishga o'tamiz.