Fazodagi chiziqning kanonik tenglamalari yo'nalish vektoriga to'g'ri keladigan berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziqni aniqlaydigan tenglamalardir.
Nuqta va yo'nalish vektori berilgan bo'lsin. Ixtiyoriy nuqta chiziq ustida yotadi l faqat va vektorlari kollinear bo'lsa, ya'ni ular uchun shart bajarilsa:
.
Yuqoridagi tenglamalar to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalaridir.
Raqamlar m , n Va p yo'nalish vektorining koordinata o'qlariga proyeksiyalaridir. Vektor nolga teng bo'lmaganligi sababli, barcha raqamlar m , n Va p bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas. Ammo ulardan bir yoki ikkitasi nolga aylanishi mumkin. Masalan, analitik geometriyada quyidagi yozuvga ruxsat beriladi:
,
demak, vektorning o'qdagi proyeksiyalari Oy Va Oz nolga teng. Demak, kanonik tenglamalar bilan aniqlangan vektor ham, to‘g‘ri chiziq ham o‘qlarga perpendikulyar. Oy Va Oz, ya'ni samolyotlar yOz .
1-misol. Tekislikka perpendikulyar fazodagi chiziq tenglamalarini yozing 
va bu tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasidan o'tish Oz
.
Yechim. Bu tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasini topamiz Oz. O'qda yotgan har qanday nuqtadan beri Oz, tekislikning berilgan tenglamasida faraz qilsak, koordinatalariga ega x = y = 0, biz 4 ni olamiz z- 8 = 0 yoki z= 2 . Shuning uchun, bu tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasi Oz koordinatalariga ega (0; 0; 2) . Kerakli chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lgani uchun u normal vektoriga parallel. Shuning uchun to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori normal vektor bo'lishi mumkin 
berilgan samolyot.
Endi nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning kerakli tenglamalarini yozamiz A= (0; 0; 2) vektor yo'nalishi bo'yicha:
Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamalari
To'g'ri chiziqni uning ustida joylashgan ikkita nuqta bilan aniqlash mumkin 
Va 
Bunday holda, to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori vektor bo'lishi mumkin. Keyin chiziqning kanonik tenglamalari shaklni oladi
.
Yuqoridagi tenglamalar ikkita berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziqni aniqlaydi.
2-misol. va nuqtalardan o'tuvchi fazodagi chiziq tenglamasini yozing.
Yechim. Yuqorida nazariy ma’lumotnomada berilgan to‘g‘ri chiziqning kerakli tenglamalarini yozamiz:
.
Chunki , u holda kerakli to'g'ri chiziq o'qga perpendikulyar Oy .
To'g'ri tekisliklarning kesishish chizig'i kabi
Kosmosdagi to'g'ri chiziqni ikkita parallel bo'lmagan tekislikning kesishish chizig'i va, ya'ni ikkita chiziqli tenglamalar tizimini qanoatlantiruvchi nuqtalar to'plami sifatida aniqlash mumkin.
Tizim tenglamalari fazodagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamalari deb ham ataladi.
3-misol. Umumiy tenglamalar bilan berilgan fazodagi chiziqning kanonik tenglamalarini tuzing
Yechim. Toʻgʻri chiziqning kanonik tenglamalarini yoki bir xil boʻlgan ikkita berilgan nuqtadan oʻtuvchi chiziq tenglamalarini yozish uchun toʻgʻri chiziqdagi istalgan ikkita nuqtaning koordinatalarini topish kerak. Ular, masalan, har qanday ikkita koordinata tekisligi bilan to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalari bo'lishi mumkin yOz Va xOz .
Chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi yOz abtsissaga ega x= 0. Shuning uchun, bu tenglamalar tizimida faraz qilish x= 0, biz ikkita o'zgaruvchiga ega tizimni olamiz:
Uning qarori y = 2 , z= 6 bilan birga x= 0 nuqtani belgilaydi A(0; 2; 6) kerakli chiziq. Keyin berilgan tenglamalar tizimida qabul qilinadi y= 0, biz tizimni olamiz
Uning qarori x = -2 , z= 0 bilan birga y= 0 nuqtani belgilaydi B(-2; 0; 0) chiziqning tekislik bilan kesishishi xOz .
Endi nuqtalardan o'tuvchi chiziq tenglamalarini yozamiz A(0; 2; 6) va B (-2; 0; 0) :
,
yoki maxrajlarni -2 ga bo'lgandan keyin:
,
Ushbu maqola tekislikdagi chiziq tenglamasi mavzusini davom ettiradi: biz ushbu turdagi tenglamani chiziqning umumiy tenglamasi sifatida ko'rib chiqamiz. Teoremani aniqlab, uning isbotini keltiramiz; Keling, chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamasi nima ekanligini va umumiy tenglamadan chiziqning boshqa turdagi tenglamalariga qanday o'tishni aniqlaymiz. Biz butun nazariyani illyustratsiyalar va amaliy masalalarning yechimlari bilan mustahkamlaymiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Tekislikda O x y to'rtburchak koordinatalar sistemasi ko'rsatilsin.
Teorema 1
A x + B y + C = 0 ko'rinishga ega bo'lgan birinchi darajali har qanday tenglama, bu erda A, B, C ba'zi haqiqiy sonlar (A va B bir vaqtning o'zida nolga teng emas) to'g'ri chiziqni aniqlaydi. tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi. O'z navbatida, tekislikdagi to'rtburchaklar koordinata tizimidagi har qanday to'g'ri chiziq A, B, C qiymatlarining ma'lum bir to'plami uchun A x + B y + C = 0 ko'rinishga ega bo'lgan tenglama bilan aniqlanadi.
Isbot
Bu teorema ikkita nuqtadan iborat, biz ularning har birini isbotlaymiz.
- A x + B y + C = 0 tenglama tekislikdagi to'g'ri chiziqni aniqlashini isbotlaylik.
Koordinatalari A x + B y + C = 0 tenglamasiga mos keladigan qandaydir M 0 (x 0 , y 0) nuqta bo'lsin. Shunday qilib: A x 0 + B y 0 + C = 0. A x + B y + C = 0 tenglamalarining chap va o'ng tomonlaridan A x 0 + B y 0 + C = 0 tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ayirsak, biz A (x) ga o'xshash yangi tenglamani olamiz. - x 0) + B (y - y 0) = 0 . U A x + B y + C = 0 ga teng.
Olingan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tenglama n → = (A, B) va M 0 M → = (x - x) vektorlarining perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shartdir. 0, y - y 0 ). Shunday qilib, M (x, y) nuqtalar to'plami n → = (A, B) vektor yo'nalishiga perpendikulyar to'rtburchaklar koordinata tizimidagi to'g'ri chiziqni belgilaydi. Bu shunday emas deb taxmin qilishimiz mumkin, lekin u holda n → = (A, B) va M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorlari perpendikulyar bo'lmaydi va tenglik A (x -) x 0 ) + B (y - y 0) = 0 to'g'ri bo'lmaydi.
Binobarin, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tenglama tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi ma'lum bir chiziqni aniqlaydi va shuning uchun A x + B y + C = 0 ekvivalent tenglamasi bir xil qator. Teoremaning birinchi qismini shunday isbotladik.
- Tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi darajali A x + B y + C = 0 tenglamasi bilan aniqlanishi mumkinligini isbotlaylik.
Tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida a to'g'ri chiziqni aniqlaymiz; bu chiziq o'tadigan M 0 (x 0, y 0) nuqtasi, shuningdek, bu chiziqning normal vektori n → = (A, B) .
M (x, y) nuqta ham bo'lsin - chiziqdagi suzuvchi nuqta. Bunda n → = (A, B) va M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorlari bir-biriga perpendikulyar bo'lib, ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 tenglamani qayta yozamiz, C ni aniqlaymiz: C = - A x 0 - B y 0 va yakuniy natijada A x + B y + C = tenglamani olamiz. 0.
Shunday qilib, biz teoremaning ikkinchi qismini isbotladik va biz butun teoremani bir butun sifatida isbotladik.
Ta'rif 1
Shaklning tenglamasi A x + B y + C = 0 - Bu chiziqning umumiy tenglamasi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdaOksi.
Tasdiqlangan teoremaga asoslanib, biz shunday xulosaga kelishimiz mumkinki, to'g'ri chiziq va uning qo'zg'almas to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikda aniqlangan umumiy tenglamasi uzviy bog'liqdir. Boshqacha qilib aytganda, asl chiziq uning umumiy tenglamasiga mos keladi; chiziqning umumiy tenglamasi berilgan chiziqqa mos keladi.
Teoremani isbotlashdan x va y o'zgaruvchilar uchun A va B koeffitsientlari chiziqning normal vektorining koordinatalari ekanligi ham kelib chiqadi, bu A x + B y + C chiziqning umumiy tenglamasi bilan beriladi. 0.
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasining aniq misolini ko'rib chiqamiz.
Berilgan to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi to'g'ri chiziqqa mos keladigan 2 x + 3 y - 2 = 0 tenglama berilsin. Bu chiziqning normal vektori vektor hisoblanadi n → = (2, 3) . Chizmada berilgan to'g'ri chiziqni chizamiz.
Quyidagilarni ham aytishimiz mumkin: biz chizmada ko'rgan to'g'ri chiziq 2 x + 3 y - 2 = 0 umumiy tenglama bilan aniqlanadi, chunki berilgan to'g'ri chiziqdagi barcha nuqtalarning koordinatalari ushbu tenglamaga mos keladi.
l · A x + l · B y + l · C = 0 tenglamani chiziqning umumiy tenglamasining ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan l soniga ko'paytirish orqali olishimiz mumkin. Olingan tenglama asl umumiy tenglamaga teng, shuning uchun u tekislikda bir xil to'g'ri chiziqni tasvirlaydi.
Ta'rif 2Chiziqning to'liq umumiy tenglamasi– A x + B y + C = 0 to'g'ri chiziqning shunday umumiy tenglamasi, unda A, B, C raqamlari noldan farq qiladi. Aks holda, tenglama bo'ladi to'liqsiz.
Keling, chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamasining barcha o'zgarishlarini tahlil qilaylik.
- A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 bo'lganda, umumiy tenglama B y + C = 0 ko'rinishini oladi. Bunday to'liq bo'lmagan umumiy tenglama O x y to'rtburchaklar koordinatalar tizimida O x o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni aniqlaydi, chunki x ning har qanday haqiqiy qiymati uchun y o'zgaruvchisi qiymatni oladi. - C B. Boshqacha qilib aytganda, A x + B y + C = 0 to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi A = 0, B ≠ 0 bo'lganda, koordinatalari bir xil songa teng bo'lgan (x, y) nuqtalarning joylashishini aniqlaydi. - C B.
- Agar A = 0, B ≠ 0, C = 0 bo'lsa, umumiy tenglama y = 0 ko'rinishini oladi. Ushbu to'liq bo'lmagan tenglama x o'qini O x aniqlaydi.
- A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 bo'lganda, biz ordinataga parallel to'g'ri chiziqni aniqlaydigan to'liq bo'lmagan A x + C = 0 umumiy tenglamani olamiz.
- A ≠ 0, B = 0, C = 0 bo'lsin, u holda to'liq bo'lmagan umumiy tenglama x = 0 ko'rinishini oladi va bu O y koordinata chizig'ining tenglamasi.
- Nihoyat, A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 uchun to‘liq bo‘lmagan umumiy tenglama A x + B y = 0 ko‘rinishini oladi. Va bu tenglama koordinata boshidan o'tadigan to'g'ri chiziqni tasvirlaydi. Aslida, (0, 0) sonlar juftligi A x + B y = 0 tengligiga mos keladi, chunki A · 0 + B · 0 = 0.
To'g'ri chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamalarining yuqoridagi barcha turlarini grafik tarzda tasvirlaylik.
1-misol
Ma'lumki, berilgan to'g'ri chiziq ordinata o'qiga parallel bo'lib, 2 7, - 11 nuqtadan o'tadi. Berilgan chiziqning umumiy tenglamasini yozish kerak.
Yechim
Ordinata o'qiga parallel to'g'ri chiziq A x + C = 0 ko'rinishdagi tenglama bilan berilgan, bunda A ≠ 0. Shart shuningdek, chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalarini belgilaydi va bu nuqtaning koordinatalari to'liq bo'lmagan umumiy tenglama A x + C = 0 shartlariga javob beradi, ya'ni. tenglik to'g'ri:
A 2 7 + C = 0
Undan A ga qandaydir nolga teng bo'lmagan qiymat bersak, C ni aniqlash mumkin, masalan, A = 7. Bu holda biz quyidagilarni olamiz: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Biz A va C koeffitsientlarini bilamiz, ularni A x + C = 0 tenglamasiga almashtiramiz va kerakli to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz: 7 x - 2 = 0
Javob: 7 x - 2 = 0
2-misol
Chizma to'g'ri chiziqni ko'rsatadi, siz uning tenglamasini yozishingiz kerak.
Yechim
Berilgan chizma muammoni hal qilish uchun dastlabki ma'lumotlarni osongina olish imkonini beradi. Chizmada berilgan to’g’ri chiziq O x o’qiga parallel va (0, 3) nuqtadan o’tishini ko’ramiz.
Abtsissaga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq to'liq bo'lmagan umumiy tenglama B y + C = 0 bilan aniqlanadi. B va C qiymatlarini topamiz. (0, 3) nuqtaning koordinatalari, chunki berilgan chiziq undan o'tganligi sababli, B y + C = 0 chiziq tenglamasini qanoatlantiradi, u holda tenglik o'rinli bo'ladi: B · 3 + C = 0. Keling, B ga noldan boshqa qiymatni o'rnatamiz. B = 1 deylik, u holda B · 3 + C = 0 tengligidan C: C = - 3 ni topish mumkin. B va C ning ma'lum qiymatlaridan foydalanib, biz to'g'ri chiziqning kerakli tenglamasini olamiz: y - 3 = 0.
Javob: y - 3 = 0.
Tekislikning berilgan nuqtasidan o'tuvchi chiziqning umumiy tenglamasi
Berilgan chiziq M 0 (x 0 , y 0) nuqtadan o'tib ketsin, u holda uning koordinatalari chiziqning umumiy tenglamasiga mos keladi, ya'ni. tenglik to'g'ri: A x 0 + B y 0 + C = 0. Chiziqning umumiy to'liq tenglamasining chap va o'ng tomonlaridan ushbu tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ayirib olaylik. Biz olamiz: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, bu tenglama asl umumiyga ekvivalent, M 0 (x 0, y 0) nuqtadan o'tadi va normalga ega. vektor n → = (A, B) .
Biz olingan natija chiziqning normal vektorining ma'lum koordinatalari va ushbu chiziqning ma'lum bir nuqtasining koordinatalariga ega bo'lgan chiziqning umumiy tenglamasini yozish imkonini beradi.
3-misol
Chiziq o'tadigan M 0 (- 3, 4) nuqta va bu chiziqning normal vektori berilgan. n → = (1 , - 2) . Berilgan chiziq tenglamasini yozish kerak.
Yechim
Dastlabki shartlar tenglamani tuzish uchun kerakli ma'lumotlarni olish imkonini beradi: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Keyin:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
Muammoni boshqacha hal qilish mumkin edi. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi A x + B y + C = 0. Berilgan normal vektor A va B koeffitsientlarining qiymatlarini olishga imkon beradi, keyin:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
Endi to'g'ri chiziq o'tadigan masala sharti bilan belgilangan M 0 (- 3, 4) nuqtadan foydalanib, C ning qiymatini topamiz. Bu nuqtaning koordinatalari x - 2 · y + C = 0 tenglamasiga mos keladi, ya'ni. - 3 - 2 4 + C = 0. Demak, C = 11. Kerakli to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishni oladi: x - 2 · y + 11 = 0.
Javob: x - 2 y + 11 = 0.
4-misol
2 3 x - y - 1 2 = 0 chiziq va shu chiziqda yotgan M 0 nuqta berilgan. Bu nuqtaning faqat abtsissasi ma'lum va u - 3 ga teng. Berilgan nuqtaning ordinatasini aniqlash kerak.
Yechim
M 0 nuqtaning koordinatalarini x 0 va y 0 deb belgilaymiz. Manba ma'lumotlari x 0 = - 3 ekanligini ko'rsatadi. Nuqta berilgan chiziqqa tegishli bo'lganligi sababli, uning koordinatalari ushbu chiziqning umumiy tenglamasiga mos keladi. Keyin tenglik to'g'ri bo'ladi:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
y 0 ni aniqlang: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
Javob: - 5 2
Chiziqning umumiy tenglamasidan chiziq tenglamalarining boshqa turlariga o'tish va aksincha
Ma'lumki, tekislikda bir xil to'g'ri chiziq uchun bir necha turdagi tenglamalar mavjud. Tenglama turini tanlash masala shartlariga bog'liq; uni hal qilish uchun qulayroqni tanlash mumkin. Bu erda bir turdagi tenglamani boshqa turdagi tenglamaga aylantirish mahorati juda foydali.
Avval A x + B y + C = 0 ko'rinishdagi umumiy tenglamadan x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonik tenglamaga o'tishni ko'rib chiqamiz.
Agar A ≠ 0 bo'lsa, u holda B y atamani umumiy tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz. Chap tomonda qavs ichidan A ni chiqaramiz. Natijada quyidagilarga erishamiz: A x + C A = - B y.
Bu tenglikni nisbat sifatida yozish mumkin: x + C A - B = y A.
Agar B ≠ 0 bo'lsa, umumiy tenglamaning chap tomonida faqat A x atamasini qoldiramiz, qolganlarini o'ng tomonga o'tkazamiz, biz quyidagilarni olamiz: A x = - B y - C. Qavs ichidan – B ni olamiz, keyin: A x = - B y + C B .
Tenglikni proporsiya shaklida qayta yozamiz: x - B = y + C B A.
Albatta, hosil bo'lgan formulalarni yodlashning hojati yo'q. Umumiy tenglamadan kanonik tenglamaga o'tishda harakatlar algoritmini bilish kifoya.
5-misol
3 y - 4 = 0 chiziqning umumiy tenglamasi berilgan. Uni kanonik tenglamaga aylantirish kerak.
Yechim
Dastlabki tenglamani 3 y - 4 = 0 shaklida yozamiz. Keyinchalik, biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz: 0 x atamasi chap tomonda qoladi; va o'ng tomonda biz qavslardan 3 tasini qo'yamiz; olamiz: 0 x = - 3 y - 4 3 .
Olingan tenglikni proporsiya sifatida yozamiz: x - 3 = y - 4 3 0 . Shunday qilib, biz kanonik shakldagi tenglamani oldik.
Javob: x - 3 = y - 4 3 0.
Chiziqning umumiy tenglamasini parametrik tenglamaga aylantirish uchun avval kanonik ko‘rinishga, so‘ngra chiziqning kanonik tenglamasidan parametrik tenglamalarga o‘tish amalga oshiriladi.
6-misol
To'g'ri chiziq 2 x - 5 y - 1 = 0 tenglama bilan berilgan. Ushbu chiziq uchun parametrik tenglamalarni yozing.
Yechim
Keling, umumiy tenglamadan kanonik tenglamaga o'tamiz:
2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Endi kanonik tenglamaning ikkala tomonini l ga teng olamiz, keyin:
x 5 = l y + 1 5 2 = l ⇔ x = 5 l y = - 1 5 + 2 l , l ∈ R
Javob:x = 5 l y = - 1 5 + 2 l , l ∈ R
Umumiy tenglamani qiyaligi y = k · x + b bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasiga aylantirish mumkin, lekin faqat B ≠ 0 bo‘lganda. O'tish uchun biz B y atamasini chap tomonda qoldiramiz, qolganlari o'ngga o'tkaziladi. Biz olamiz: B y = - A x - C . Hosil bo'lgan tenglikning ikkala tomonini noldan farqli bo'lgan B ga ajratamiz: y = - A B x - C B.
7-misol
Chiziqning umumiy tenglamasi berilgan: 2 x + 7 y = 0. Siz bu tenglamani qiyalik tenglamasiga aylantirishingiz kerak.
Yechim
Keling, algoritmga muvofiq kerakli harakatlarni bajaramiz:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
Javob: y = - 2 7 x.
Chiziqning umumiy tenglamasidan x a + y b = 1 ko'rinishdagi segmentlarda oddiygina tenglamani olish kifoya. Bunday o'tishni amalga oshirish uchun biz C raqamini tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz, hosil bo'lgan tenglikning ikkala tomonini - C ga bo'lamiz va nihoyat, x va y o'zgaruvchilari uchun koeffitsientlarni maxrajlarga o'tkazamiz:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
8-misol
X - 7 y + 1 2 = 0 chiziqning umumiy tenglamasini segmentlardagi chiziq tenglamasiga aylantirish kerak.
Yechim
1 2 ni o'ng tomonga o'tkazamiz: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
Tenglikning ikkala tomonini -1/2 ga bo'laylik: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
Javob: x - 1 2 + y 1 14 = 1.
Umuman olganda, teskari o'tish ham oson: boshqa turdagi tenglamalardan umumiy tenglamaga.
Segmentlardagi chiziq tenglamasi va burchak koeffitsientli tenglamani tenglikning chap tomonidagi barcha shartlarni yig'ish orqali osongina umumiyga aylantirish mumkin:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Kanonik tenglama quyidagi sxema bo'yicha umumiy tenglamaga aylantiriladi:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Parametriklardan o'tish uchun avval kanonikga, keyin esa umumiyga o'ting:
x = x 1 + a x · l y = y 1 + a y · l ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
9-misol
x = - 1 + 2 · l y = 4 chiziqning parametrik tenglamalari berilgan. Bu chiziqning umumiy tenglamasini yozish kerak.
Yechim
Parametrik tenglamalardan kanonik tenglamalarga o'tamiz:
x = - 1 + 2 · l y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · l y = 4 + 0 · l ⇔ l = x + 1 2 l = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
Keling, kanonikdan umumiyga o'tamiz:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
Javob: y - 4 = 0
10-misol
x 3 + y 1 2 = 1 segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan. Tenglamaning umumiy shakliga o'tish kerak.
Yechim:
Biz shunchaki tenglamani kerakli shaklda qayta yozamiz:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
Javob: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.
Chiziqning umumiy tenglamasini tuzish
Yuqorida umumiy tenglamani normal vektorning ma'lum koordinatalari va chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalari bilan yozish mumkinligini aytdik. Bunday to'g'ri chiziq A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tenglama bilan aniqlanadi. U erda biz tegishli misolni ham tahlil qildik.
Endi murakkabroq misollarni ko'rib chiqamiz, ularda birinchi navbatda normal vektorning koordinatalarini aniqlashimiz kerak.
11-misol
2 x - 3 y + 3 3 = 0 chiziqqa parallel chiziq berilgan. Berilgan chiziq o'tadigan M 0 (4, 1) nuqta ham ma'lum. Berilgan chiziq tenglamasini yozish kerak.
Yechim
Dastlabki shartlar bizga chiziqlar parallel ekanligini aytadi, keyin tenglamasi yozilishi kerak bo'lgan chiziqning normal vektori sifatida biz n → = (2, - 3) chiziqning yo'nalish vektorini olamiz: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Endi biz chiziqning umumiy tenglamasini yaratish uchun barcha kerakli ma'lumotlarni bilamiz:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
Javob: 2 x - 3 y - 5 = 0.
12-misol
Berilgan chiziq x - 2 3 = y + 4 5 chiziqqa perpendikulyar koordinatalar koordinatalaridan o'tadi. Berilgan chiziq uchun umumiy tenglamani yaratish kerak.
Yechim
Berilgan chiziqning normal vektori x - 2 3 = y + 4 5 chiziqning yo'nalish vektori bo'ladi.
Keyin n → = (3, 5) . To'g'ri chiziq boshlang'ichdan o'tadi, ya'ni. O nuqtasi orqali (0, 0). Berilgan chiziq uchun umumiy tenglama tuzamiz:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Javob: 3 x + 5 y = 0.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Evklid geometriyasida to'g'ri chiziqning xossalari.
Istalgan nuqta orqali cheksiz ko'p to'g'ri chiziqlar o'tkazish mumkin.
Har qanday ikkita mos kelmaydigan nuqta orqali bitta to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin.
Tekislikdagi ikkita divergent chiziq bitta nuqtada kesishadi yoki bo'ladi
parallel (avvalgisidan keyin).
Uch o'lchovli fazoda ikkita chiziqning nisbiy joylashuvi uchun uchta variant mavjud:
- chiziqlar kesishadi;
- chiziqlar parallel;
- to'g'ri chiziqlar kesishadi.
Streyt chiziq— birinchi tartibli algebraik egri chiziq: Dekart koordinata tizimidagi to‘g‘ri chiziq
tekislikda birinchi darajali tenglama (chiziqli tenglama) bilan beriladi.
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi.
Ta'rif. Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi tartibli tenglama bilan aniqlanishi mumkin
Ax + Wu + C = 0,
va doimiy A, B bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu birinchi tartibli tenglama deyiladi umumiy
to'g'ri chiziq tenglamasi. Konstantalarning qiymatlariga qarab A, B Va BILAN Quyidagi maxsus holatlar mumkin:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- to'g'ri chiziq koordinatali nuqtadan o'tadi
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- o'qqa parallel to'g'ri chiziq Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- o'qqa parallel to'g'ri chiziq OU
. B = C = 0, A ≠0- to'g'ri chiziq o'qga to'g'ri keladi OU
. A = C = 0, B ≠0- to'g'ri chiziq o'qga to'g'ri keladi Oh
To'g'ri chiziq tenglamasi har qanday berilganga qarab turli shakllarda taqdim etilishi mumkin
boshlang'ich sharoitlar.
Nuqtadan to'g'ri chiziq va normal vektor tenglamasi.
Ta'rif. Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimida komponentlar (A, B) bo'lgan vektor.
tenglama bilan berilgan chiziqqa perpendikulyar
Ax + Wu + C = 0.
Misol. Nuqtadan o‘tuvchi chiziq tenglamasini toping A(1, 2) vektorga perpendikulyar (3, -1).
Yechim. A = 3 va B = -1 bilan to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz: 3x - y + C = 0. C koeffitsientini topish uchun
Hosil bo'lgan ifodaga berilgan A nuqtaning koordinatalarini qo'yamiz: 3 - 2 + C = 0, demak.
C = -1. Jami: kerakli tenglama: 3x - y - 1 = 0.
Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi.
Kosmosda ikkita nuqta berilgan bo'lsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Va M2 (x 2, y 2, z 2), Keyin chiziq tenglamasi,
Ushbu nuqtalardan o'tish:
Agar maxrajlardan birortasi nolga teng bo'lsa, mos keladigan numerator nolga teng bo'lishi kerak. Yoniq
tekislikda, yuqorida yozilgan to'g'ri chiziq tenglamasi soddalashtirilgan:
Agar x 1 ≠ x 2 Va x = x 1, Agar x 1 = x 2 .
Fraksiya = k chaqirdi qiyalik Streyt.
Misol. A(1, 2) va B(3, 4) nuqtalardan o`tuvchi chiziq tenglamasini toping.
Yechim. Yuqorida yozilgan formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
To'g'ri chiziqning nuqta va qiyalik yordamida tenglamasi.
Agar chiziqning umumiy tenglamasi Ax + Wu + C = 0 olib kelishi:
va belgilang 
, keyin hosil bo'lgan tenglama chaqiriladi
qiyaligi k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi.
Nuqtadan to'g'ri chiziq va yo'nalish vektori tenglamasi.
Oddiy vektor orqali to'g'ri chiziq tenglamasini ko'rib chiqadigan nuqtaga o'xshatib, siz vazifani kiritishingiz mumkin
nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziq va to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori.
Ta'rif. Har bir nolga teng bo'lmagan vektor (a 1 , a 2), uning tarkibiy qismlari shartni qanoatlantiradi
Aa 1 + Ba 2 = 0 chaqirdi to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori.
Ax + Wu + C = 0.
Misol. Yo‘nalish vektori (1, -1) bo‘lgan va A(1, 2) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.
Yechim. Biz kerakli chiziq tenglamasini quyidagi shaklda qidiramiz: Ax + By + C = 0. Ta'rifga ko'ra,
koeffitsientlar quyidagi shartlarga javob berishi kerak:
1 * A + (-1) * B = 0, ya'ni. A = B.
Keyin to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: Ax + Ay + C = 0, yoki x + y + C / A = 0.
da x = 1, y = 2 olamiz C/A = -3, ya'ni. zarur tenglama:
x + y - 3 = 0
To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.
Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida Ax + Vu + S = 0 S≠0 bo'lsa, -S ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz:
yoki qayerda
Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi shundaki, a koeffitsienti kesishish nuqtasining koordinatasi hisoblanadi
eksa bilan to'g'ri Oh, A b- chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatasi OU.
Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan x - y + 1 = 0. Bu chiziqning segmentlardagi tenglamasini toping.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Oddiy chiziq tenglamasi.
Agar tenglamaning ikkala tomoni bo'lsa Ax + Wu + C = 0 raqamga bo'linadi 
qaysi deyiladi
normallashtiruvchi omil, keyin olamiz
xcosph + ysinph - p = 0 -chiziqning normal tenglamasi.
Normallashtiruvchi omilning ± belgisi shunday tanlanishi kerak m*C< 0.
R- boshdan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi;
A φ - o'qning musbat yo'nalishi bilan bu perpendikulyar tomonidan hosil qilingan burchak Oh.
Misol. Chiziqning umumiy tenglamasi berilgan 12x - 5y - 65 = 0. Har xil turdagi tenglamalarni yozish uchun talab qilinadi
bu to'g'ri chiziq.
Ushbu chiziqning segmentlardagi tenglamasi:
Bu chiziqning qiyalik bilan tenglamasi: (5 ga bo'linadi)
Chiziq tenglamasi:
cos ph = 12/13; sin ph= -5/13; p = 5.
Shuni ta'kidlash kerakki, har bir to'g'ri chiziqni segmentlarda tenglama bilan ifodalash mumkin emas, masalan, to'g'ri chiziqlar,
o'qlarga parallel yoki boshlang'ichdan o'tuvchi.
Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak.
Ta'rif. Ikki qator berilgan bo'lsa y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, keyin bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak
sifatida belgilanadi
Ikki chiziq parallel bo'lsa k 1 = k 2. Ikki chiziq perpendikulyar
Agar k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
To'g'ridan-to'g'ri Ax + Wu + C = 0 Va A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 koeffitsientlar proportsional bo'lganda parallel
A 1 = lA, B 1 = lB. Agar ham S 1 = l, keyin chiziqlar mos keladi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari
bu chiziqlar tenglamalar sistemasi yechimi sifatida topiladi.
Berilgan chiziqqa perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi.
Ta'rif. Nuqtadan o'tuvchi chiziq M 1 (x 1, y 1) va chiziqqa perpendikulyar y = kx + b
tenglama bilan ifodalanadi:
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
Teorema. Agar ball berilsa M(x 0, y 0), keyin to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa Ax + Wu + C = 0 quyidagicha aniqlanadi:
Isbot. Nuqtaga ruxsat bering M 1 (x 1, y 1)- nuqtadan tushgan perpendikulyarning asosi M berilgan uchun
bevosita. Keyin nuqtalar orasidagi masofa M Va M 1:
(1)
Koordinatalar x 1 Va 1 da tenglamalar sistemasiga yechim sifatida topish mumkin:
Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan M 0 nuqtadan perpendikulyar oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasidir.
to'g'ri chiziq berilgan. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,
keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:
Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:
Teorema isbotlangan.
“Geometrik algoritmlar” turkumidan dars
Salom aziz o'quvchi!
Bugun biz geometriya bilan bog'liq algoritmlarni o'rganishni boshlaymiz. Gap shundaki, informatika fanidan hisoblash geometriyasi bilan bog'liq olimpiada masalalari juda ko'p va bunday muammolarni hal qilish ko'pincha qiyinchiliklarga olib keladi.
Bir nechta darslar davomida biz hisoblash geometriyasining ko'pgina muammolarini echishga asoslangan bir qator elementar kichik vazifalarni ko'rib chiqamiz.
Ushbu darsda biz uchun dastur tuzamiz chiziq tenglamasini topish, berilgan orqali o'tish ikki nuqta. Geometrik masalalarni yechish uchun bizga hisoblash geometriyasi bo‘yicha ma’lum bilimlar kerak bo‘ladi. Biz darsning bir qismini ular bilan tanishishga bag'ishlaymiz.
Hisoblash geometriyasidan tushunchalar
Hisoblash geometriyasi - geometrik masalalarni yechish algoritmlarini o'rganadigan informatika sohasi.
Bunday muammolar uchun dastlabki ma'lumotlar tekislikdagi nuqtalar to'plami, segmentlar to'plami, ko'pburchak (masalan, soat yo'nalishi bo'yicha uning uchlari ro'yxati bilan ko'rsatilgan) va boshqalar bo'lishi mumkin.
Natija qaysidir savolga javob (masalan, nuqta segmentga tegishlimi, ikkita segment kesishadimi, ...) yoki geometrik ob'ekt (masalan, berilgan nuqtalarni bog'laydigan eng kichik qavariq ko'pburchak, maydon maydoni) bo'lishi mumkin. ko'pburchak va boshqalar).
Hisoblash geometriyasiga oid masalalarni faqat tekislikda va faqat Dekart koordinata tizimida ko‘rib chiqamiz.
Vektorlar va koordinatalar
Hisoblash geometriyasining usullarini qo'llash uchun geometrik tasvirlarni raqamlar tiliga tarjima qilish kerak. Samolyotga soat miliga teskari yo'nalishda aylanish yo'nalishi musbat deb ataladigan Dekart koordinata tizimi berilgan deb faraz qilamiz.
Endi geometrik jismlar analitik ifodani oladi. Shunday qilib, nuqtani ko'rsatish uchun uning koordinatalarini ko'rsatish kifoya: bir juft son (x; y). Segmentni uning uchlari koordinatalarini ko'rsatish orqali aniqlash mumkin; to'g'ri chiziqni uning juft nuqtalarining koordinatalarini ko'rsatish orqali aniqlash mumkin.
Ammo muammolarni hal qilish uchun bizning asosiy vositamiz vektorlar bo'ladi. Shuning uchun ular haqidagi ba'zi ma'lumotlarni eslaylik.
Chiziq segmenti AB, qaysi bir nuqta bor A bosh (qo‘llash nuqtasi) va nuqta hisoblanadi IN– end, vektor deb ataladi AB va masalan, yo yoki qalin kichik harf bilan belgilanadi A .
Vektor uzunligini (ya'ni mos keladigan segment uzunligini) belgilash uchun modul belgisidan foydalanamiz (masalan, ).
Ixtiyoriy vektorning koordinatalari uning oxiri va boshining tegishli koordinatalari orasidagi farqga teng bo'ladi:
,
bu erda nuqtalar A Va B
koordinatalariga ega 
mos ravishda.
Hisob-kitoblar uchun biz kontseptsiyadan foydalanamiz yo'naltirilgan burchak, ya'ni vektorlarning nisbiy holatini hisobga oladigan burchak.
Vektorlar orasidagi yo'naltirilgan burchak a Va b agar aylanish vektordan bo'lsa ijobiy a vektorga b ijobiy yo'nalishda (soat miliga teskari) va boshqa holatda salbiy amalga oshiriladi. 1a-rasm, 1b-rasmga qarang. Shuningdek, vektor juftligi ham aytiladi a Va b ijobiy (salbiy) yo'naltirilgan.
Shunday qilib, yo'naltirilgan burchakning qiymati vektorlar ro'yxatga olish tartibiga bog'liq va intervalda qiymatlarni qabul qilishi mumkin.
Hisoblash geometriyasining ko'pgina masalalarida vektorlarning vektor (qiyshiq yoki psevdoskalar) mahsuloti tushunchasi qo'llaniladi.
a va b vektorlarning vektor ko'paytmasi bu vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchak sinuslarining ko'paytmasiga teng:
.
Koordinatadagi vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasi:
O'ngdagi ifoda ikkinchi tartibli determinantdir:
Analitik geometriyada berilgan ta'rifdan farqli o'laroq, u skalardir.
Vektor mahsulotining belgisi vektorlarning bir-biriga nisbatan o'rnini aniqlaydi:
a Va b ijobiy yo'naltirilgan.
Agar qiymat bo'lsa, u holda vektor juftligi a Va b salbiy yo'naltirilgan.
Nolga teng bo'lmagan vektorlarning o'zaro ko'paytmasi, agar ular kollinear bo'lsa, nolga teng bo'ladi ( 
). Bu ularning bir xil chiziqda yoki parallel chiziqlarda yotishini anglatadi.
Keling, murakkabroq muammolarni hal qilishda zarur bo'lgan bir nechta oddiy muammolarni ko'rib chiqaylik.
Ikki nuqtaning koordinatalaridan to‘g‘ri chiziq tenglamasini aniqlaymiz.
Koordinatalari bilan belgilangan ikki xil nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi.
To'g'ri chiziqda bir-biriga mos kelmaydigan ikkita nuqta berilgan bo'lsin: koordinatali (x1; y1) va koordinatali (x2; y2). Shunga ko'ra, boshlanishi nuqtada va oxiri nuqtada bo'lgan vektor koordinatalarga ega (x2-x1, y2-y1). Agar P(x, y) chiziqmizdagi ixtiyoriy nuqta bo‘lsa, vektorning koordinatalari (x-x1, y – y1) ga teng bo‘ladi.
Vektor mahsulotidan foydalanib, vektorlarning kollinearligi sharti va quyidagicha yozilishi mumkin:
Bular. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0
(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0
Oxirgi tenglamani quyidagicha qayta yozamiz:
ax + by + c = 0, (1)
c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)
Demak, to'g'ri chiziq (1) ko'rinishdagi tenglama bilan aniqlanishi mumkin.
Masala 1. Ikki nuqtaning koordinatalari berilgan. Uning ax + by + c = 0 ko'rinishidagi ko'rinishini toping.
Ushbu darsda biz hisoblash geometriyasi haqida ba'zi ma'lumotlarni bilib oldik. Ikki nuqtaning koordinatalaridan chiziq tenglamasini topish masalasini hal qildik.
Keyingi darsda biz tenglamalarimiz orqali berilgan ikki chiziqning kesishish nuqtasini topish dasturini tuzamiz.
Ushbu maqolada tekislikda joylashgan to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasining hosilasi ochib beriladi. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini chiqaramiz. Biz o'tilgan materialga tegishli bir nechta misollarni aniq ko'rsatamiz va hal qilamiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasini olishdan oldin ba'zi faktlarga e'tibor berish kerak. Tekislikdagi ikkita divergent nuqta orqali faqat bitta to'g'ri chiziq chizish mumkinligini aytadigan aksioma mavjud. Boshqacha qilib aytganda, tekislikdagi ikkita berilgan nuqta shu nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq bilan aniqlanadi.
Agar tekislik Oxy to'rtburchaklar koordinata tizimi bilan aniqlansa, unda tasvirlangan har qanday to'g'ri chiziq tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasiga mos keladi. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bilan ham bog'lanish mavjud.Bu ma'lumotlar berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini tuzish uchun etarli.
Keling, shunga o'xshash muammoni hal qilishning misolini ko'rib chiqaylik. Dekart koordinata sistemasida joylashgan M 1 (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2) ikkita ajralgan nuqtalardan o‘tuvchi a to‘g‘ri chiziq uchun tenglama tuzish kerak.
X - x 1 a x = y - y 1 a y ko'rinishga ega bo'lgan tekislikdagi chiziqning kanonik tenglamasida to'rtburchaklar koordinatalar tizimi O x y koordinatalari M 1 (x) bo'lgan nuqtada u bilan kesishadigan chiziq bilan ko'rsatilgan. 1, y 1) hidoyat vektori bilan a → = (a x , a y) .
Koordinatalari M 1 (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2) bo'lgan ikkita nuqtadan o'tadigan a to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini yaratish kerak.
To'g'ri a koordinatali (x 2 - x 1, y 2 - y 1) M 1 M 2 → yo'nalish vektoriga ega, chunki u M 1 va M 2 nuqtalarini kesib o'tadi. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) yo'nalish vektorining koordinatalari va ularda yotgan M 1 nuqtalarning koordinatalari bilan kanonik tenglamani o'zgartirish uchun kerakli ma'lumotlarni oldik. (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 yoki x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 ko'rinishdagi tenglamani olamiz.
Quyidagi rasmni ko'rib chiqing.
Hisob-kitoblardan so'ng M 1 (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2) koordinatali ikkita nuqtadan o'tadigan tekislikdagi chiziqning parametrik tenglamalarini yozamiz. x = x 1 + (x 2 - x 1) · l y = y 1 + (y 2 - y 1) · l yoki x = x 2 + (x 2 - x 1) · l ko'rinishdagi tenglamani olamiz. y = y 2 + (y 2 - y 1) · l .
Keling, bir nechta misollarni hal qilishni batafsil ko'rib chiqaylik.
1-misol
Koordinatalari M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 bo‘lgan berilgan 2 ta nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.
Yechim
Koordinatalari x 1, y 1 va x 2, y 2 bo'lgan ikki nuqtada kesishgan chiziq uchun kanonik tenglama x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ko'rinishini oladi. Masalaning shartlariga ko'ra, bizda x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Raqamli qiymatlarni x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 tenglamasiga qo'yish kerak. Bundan kelib chiqadiki, kanonik tenglama x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 ko'rinishda bo'ladi.
Javob: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Agar siz boshqa turdagi tenglama bilan muammoni hal qilishingiz kerak bo'lsa, avval siz kanonikga o'tishingiz mumkin, chunki undan boshqasiga o'tish osonroq.
2-misol
O x y koordinatalar sistemasidagi M 1 (1, 1) va M 2 (4, 2) koordinatali nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini tuzing.
Yechim
Birinchidan, berilgan ikkita nuqtadan o'tadigan berilgan chiziqning kanonik tenglamasini yozishingiz kerak. Biz x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 ko'rinishdagi tenglamani olamiz.
Keling, kanonik tenglamani kerakli ko'rinishga keltiramiz, keyin biz olamiz:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Javob: x - 3 y + 2 = 0.
Bunday topshiriqlarga misollar maktab darsliklarida algebra darslarida muhokama qilingan. Maktab muammolari burchak koeffitsientiga ega bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi y = k x + b ko'rinishga ega bo'lganligi bilan farqlanadi. Agar y = k x + b tenglama O x y tizimidagi M 1 (x 1, y 1) va M 2 ( nuqtalardan o'tuvchi chiziqni belgilaydigan k nishabning qiymatini va b sonini topish kerak bo'lsa. x 2, y 2) , bu erda x 1 ≠ x 2. X 1 = x 2 bo'lganda , keyin burchak koeffitsienti cheksizlik qiymatini oladi va to'g'ri chiziq M 1 M 2 x - x 1 = 0 ko'rinishdagi umumiy to'liq bo'lmagan tenglama bilan aniqlanadi. .
Chunki ballar M 1 Va M 2 to'g'ri chiziqda bo'lsa, u holda ularning koordinatalari y 1 = k x 1 + b va y 2 = k x 2 + b tenglamani qanoatlantiradi. k va b uchun y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b tenglamalar tizimini yechish kerak.
Buning uchun k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 yoki k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = ni topamiz. y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Ushbu k va b qiymatlari bilan berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x bo'ladi. 1 yoki y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Bir vaqtning o'zida bunday juda ko'p sonli formulalarni eslab qolish mumkin emas. Buning uchun masalalarni yechishda takrorlash sonini oshirish kerak.
3-misol
Koordinatalari M 2 (2, 1) va y = k x + b bo'lgan nuqtalardan o'tadigan burchak koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.
Yechim
Muammoni hal qilish uchun y = k x + b ko'rinishdagi burchak koeffitsientiga ega bo'lgan formuladan foydalanamiz. K va b koeffitsientlari shunday qiymat qabul qilishlari kerakki, bu tenglama M 1 (- 7, - 5) va M 2 (2, 1) koordinatali ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqqa mos keladi.
Ballar M 1 Va M 2 to'g'ri chiziqda joylashgan bo'lsa, u holda ularning koordinatalari y = k x + b tenglamani haqiqiy tenglikka aylantirishi kerak. Bundan - 5 = k · (- 7) + b va 1 = k · 2 + b ni olamiz. Tenglamani sistemaga birlashtiramiz - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b va yeching.
O'zgartirishdan keyin biz buni olamiz
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Endi k = 2 3 va b = - 1 3 qiymatlari y = k x + b tenglamasiga almashtiriladi. Berilgan nuqtalardan o'tuvchi kerakli tenglama y = 2 3 x - 1 3 ko'rinishdagi tenglama bo'lishini topamiz.
Ushbu yechim usuli ko'p vaqtni yo'qotishni oldindan belgilab beradi. Vazifani tom ma'noda ikki bosqichda hal qilish usuli mavjud.
M 2 (2, 1) va M 1 (- 7, - 5) dan o'tuvchi chiziqning x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ko'rinishdagi kanonik tenglamasini yozamiz. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Endi qiyalik tenglamasiga o'tamiz. Biz shuni olamiz: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Javob: y = 2 3 x - 1 3 .
Agar uch o‘lchamli fazoda M 1 (x 1, y 1, z 1) va M 2 (x 2, y 2, z 2) koordinatalari bo‘lgan bir-biriga to‘g‘ri kelmaydigan ikkita berilgan nuqtaga ega to‘g‘ri burchakli O x y z koordinatalar tizimi mavjud bo‘lsa, to'g'ri chiziq M ular orqali o'tadigan 1 M 2, bu chiziq tenglamasini olish kerak.
Bizda x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ko‘rinishdagi kanonik tenglamalar va x = x 1 + a x · l y = y 1 + a y · l z = z ko‘rinishdagi parametrik tenglamalar mavjud. 1 + a z · l koordinatalari (x 1, y 1, z 1) boʻlgan nuqtalardan oʻtuvchi a → = (a x, a y, a z) yoʻnalish vektoriga ega boʻlgan O x y z koordinata tizimidagi chiziqni aniqlay oladi.
To'g'ridan-to'g'ri M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ko'rinishdagi yo'nalish vektoriga ega, bu erda to'g'ri chiziq M 1 nuqtadan o'tadi (x 1, y 1, z 1) va M 2 (x 2, y 2, z 2), demak, kanonik tenglama x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 ko‘rinishda bo‘lishi mumkin. z 2 - z 1 yoki x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, o‘z navbatida parametrik x = x 1 + (x 2 - x 1) ) l y = y 1 + (y 2 - y 1) l z = z 1 + (z 2 - z 1) l yoki x = x 2 + (x 2 - x 1) l y = y 2 + (y 2) - y 1) · l z = z 2 + (z 2 - z 1) · l .
Fazoda berilgan 2 nuqtani va to'g'ri chiziq tenglamasini ko'rsatadigan chizmani ko'rib chiqaylik.
4-misol
Koordinatalari M 1 (2, - 3, 0) va M 2 (1, - 3, - 5) bo‘lgan berilgan ikkita nuqtadan o‘tuvchi uch o‘lchamli fazoning O x y z to‘rtburchak koordinata sistemasida aniqlangan chiziq tenglamasini yozing.
Yechim
Kanonik tenglamani topish kerak. Gap uch o‘lchamli fazo haqida ketayotganligi sababli, bu chiziq berilgan nuqtalardan o‘tganda kerakli kanonik tenglama x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z ko‘rinishini olishini bildiradi. - z 1 z 2 - z 1.
Shart bo'yicha bizda x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 bor. Bundan kelib chiqadiki, kerakli tenglamalar quyidagicha yoziladi:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Javob: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing