Fazodagi istalgan uchta nuqtadan bitta tekislik o'tkazilishi uchun bu nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotmasligi kerak.

Umumiy dekart koordinata sistemasidagi M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) nuqtalarni ko‘rib chiqaylik.

Ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta M 1, M 2, M 3 nuqtalar bilan bir tekislikda yotishi uchun vektorlar koplanar bo lishi kerak.

Ta'rif 2.1.

Kosmosdagi ikkita chiziq bir tekislikda yotsa va umumiy nuqtalarga ega bo'lmasa, parallel deyiladi.

Agar a va b ikkita chiziq parallel bo'lsa, u holda, planimetriyada bo'lgani kabi, || yozing b. Kosmosda chiziqlar kesishmasligi yoki parallel bo'lmasligi uchun joylashtirilishi mumkin. Bu holat stereometriya uchun maxsus hisoblanadi.

Ta'rif 2.2.

Umumiy nuqtalari bo'lmagan va parallel bo'lmagan chiziqlar kesishuvchi deyiladi.

2.1 teorema.

Berilgan chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali berilgan chiziqqa parallel va faqat bitta chiziq o'tkazish mumkin.

Parallel chiziqlar belgisi

Fazodagi ikkita chiziq bir tekislikda yotsa va kesishmasa, parallel deyiladi. Berilgan chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali siz ushbu to'g'ri chiziqqa parallel va faqat bitta to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin. Ushbu bayonot tekislikdagi parallellar aksiomasiga qisqartiradi. Teorema. Uchinchi chiziqqa parallel ikkita chiziq parallel. b va c chiziqlar a chiziqqa parallel bo'lsin. b || ekanligini isbotlaylik Bilan. Planimetriyada a, b va to'g'ri chiziqlar bir tekislikda yotgan hollari ko'rib chiqiladi, biz uni o'tkazib yuboramiz. Faraz qilaylik, a, b va c bir tekislikda yotmaydi. Lekin ikkita parallel chiziq bir tekislikda joylashganligi uchun a va b tekislikda, a b va c esa tekislikda joylashgan deb taxmin qilishimiz mumkin (61-rasm). c chiziqda biz (har qanday) M nuqtani belgilaymiz va b chiziq va M nuqta orqali biz tekislikni chizamiz. U, , l to‘g‘ri chiziqda kesishadi. l to'g'ri chiziq tekislikni kesib o'tmaydi, chunki agar l kesishgan bo'lsa, u holda ularning kesishish nuqtasi a (a va l bir tekislikda) va b (b va l bir tekislikda) ustida yotishi kerak. Shunday qilib, bitta kesishish nuqtasi l va ikkala a chiziqda ham, b chiziqda ham yotishi kerak, bu mumkin emas: a || b. Shuning uchun, || , l || a, l || b. a va l bir tekislikda yotganligi sababli, l c chiziqqa (parallellik aksiomasi bo'yicha) to'g'ri keladi va shuning uchun || b. Teorema isbotlangan.

25.Chiziq va tekislik orasidagi parallellik belgisi

Teorema

Agar tekislikka tegishli bo'lmagan chiziq shu tekislikdagi qandaydir chiziqqa parallel bo'lsa, u tekislikning o'ziga parallel bo'ladi.

Isbot

a tekislik, unda yotmaydigan chiziq va a1 tekislikdagi a to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsin. a va a1 to’g’rilar orqali a1 tekislikni o’tkazamiz. a va a1 tekisliklar a1 to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi. Agar kesishgan a tekislik bo'lsa, kesishish nuqtasi a1 chiziqqa tegishli bo'ladi. Ammo bu mumkin emas, chunki a va a1 chiziqlari parallel. Binobarin, a chiziq a tekislikni kesmaydi va shuning uchun a tekislikka parallel. Teorema isbotlangan.

27.Berilgan tekislikka parallel tekislikning mavjudligi

Teorema

Berilgan tekislikdan tashqaridagi nuqta orqali berilgan tekislikka parallel va faqat bitta tekislik chizish mumkin.

Isbot

Bu tekislikda a va b ixtiyoriy ikkita kesishuvchi chiziq chizamiz. Berilgan A nuqta orqali ularga parallel a1 va b1 chiziqlarni o'tkazamiz. Tekisliklar parallelligi haqidagi teoremaga ko'ra a1 va b1 to'g'ri chiziqdan o'tuvchi b tekislik a tekislikka parallel.

Faraz qilaylik, A nuqtadan a tekislikka parallel boshqa b1 tekislik ham o'tadi. b1 tekisligida b tekislikda yotmaydigan S nuqtani belgilaymiz. a tekislikning A, C nuqtalari va ba'zi B nuqtalari orqali g tekislikni o'tkazamiz. Bu tekislik a, b va b1 tekisliklarni b, a va c to'g'ri chiziqlar bo'ylab kesib o'tadi. a va c chiziqlar b chiziqni kesishmaydi, chunki ular a tekislik bilan kesishmaydi. Shuning uchun ular b chiziqqa parallel. Lekin g tekislikda A nuqtadan faqat b chiziqqa parallel bitta chiziq o'tishi mumkin. bu taxminga ziddir. Teorema isbotlangan.

28.Parallel tekisliklarning xossalari th

29.

Fazodagi perpendikulyar chiziqlar. Kosmosdagi ikkita to'g'ri chiziq, agar ular orasidagi burchak 90 gradus bo'lsa, perpendikulyar deyiladi. c. m. k. k. m. c. k. Kesishuvchi. chatishtirish.

1-teorema TOʻGʻRIS VA TAKSIKLIKNING PERPENDİKULYARLIGI BELGISI. Agar tekislikni kesib o'tuvchi chiziq shu tekislik va tekislikning kesishish nuqtasidan o'tuvchi bu tekislikdagi ikkita chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u holda tekislikka perpendikulyar bo'ladi.

Isbot: a tekislikdagi b va c chiziqlarga perpendikulyar chiziq bo'lsin. Keyin a chiziq b va c chiziqlar kesishmasi A nuqtasidan o'tadi. a to'g'ri chiziq tekislikka perpendikulyar ekanligini isbotlaylik. Tekislikning A nuqtasi orqali ixtiyoriy x chiziq o'tkazamiz va uning a chiziqqa perpendikulyar ekanligini ko'rsatamiz. Tekislikda A nuqtadan o'tmaydigan va b, c va x chiziqlarni kesib o'tuvchi ixtiyoriy chiziq chizamiz. Kesishish nuqtalari B, C va X bo'lsin. A to'g'rida A nuqtadan turli yo'nalishlarda teng AA 1 va AA 2 segmentlarni chizamiz. A 1 CA 2 uchburchagi teng yon tomonli, chunki AC segmenti teorema bo'yicha balandlik va qurilish bo'yicha medianadir (AA 1 = AA 2) Xuddi shu sababga ko'ra A 1 BA 2 uchburchak ham teng yon tomonli. Demak, A 1 BC va A 2 BC uchburchaklar uchta tomoni teng. A 1 BC va A 2 BC uchburchaklar tengligidan kelib chiqadiki, A 1 BC va A 2 BC burchaklari teng va shuning uchun A 1 BC va A 2 BC uchburchaklar ikki tomonda va ular orasidagi burchakda tengdir. . Bu uchburchaklarning A 1 X va A 2 X tomonlari tengligidan A 1 XA 2 uchburchak teng yon tomonli, degan xulosaga kelamiz. Shuning uchun uning median XA ham balandligidir. Bu esa x chiziq a ga perpendikulyar ekanligini bildiradi. Ta'rifga ko'ra, to'g'ri chiziq tekislikka perpendikulyar. Teorema isbotlangan.

2-teorema PERPEDİKULAR CHIZIQLAR VA TAKSIMLIKLARNING 1-XOSASI. Agar tekislik ikkita parallel chiziqlardan biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqasiga ham perpendikulyar bo'ladi.
Isbot: a 1 va 2 - 2 parallel to‘g‘rilar va a 1 to‘g‘riga perpendikulyar tekislik bo‘lsin. Bu tekislik a 2 chiziqqa perpendikulyar ekanligini isbotlaylik. a 2 to‘g‘ri chiziqning tekislik bilan kesishishining A 2 nuqtasi orqali tekislikda ixtiyoriy x 2 to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. A 1 nuqta orqali tekislikda a 1 chiziqning x 2 chiziqqa parallel bo'lgan x 1 to'g'ri chiziq bilan kesishmasini chizamiz. a 1 chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lgani uchun a 1 va x 1 chiziqlar perpendikulyar bo'ladi. Va 1-teoremaga ko'ra, ularga parallel bo'lgan kesishuvchi chiziqlar, a 2 va x 2 ham perpendikulyardir. Shunday qilib, a 2 chiziq tekislikdagi istalgan x 2 chiziqqa perpendikulyar. Va bu (ta'rif bo'yicha) a 2 to'g'ri chiziq tekislikka perpendikulyar ekanligini anglatadi. Teorema isbotlangan. Shuningdek qarang: №2 qo‘llab-quvvatlash topshirig‘i.
3-teorema PERPEDİKULAR TO'G'RILAR VA TAKSIMLIKLARNING 2-XOSASI. Xuddi shu tekislikka perpendikulyar ikkita chiziq parallel.
Isbot: a va b tekislikka perpendikulyar 2 ta to'g'ri chiziq bo'lsin. Faraz qilaylik, a va b chiziqlar parallel emas. b to'g'rida tekislikda yotmaydigan C nuqtani tanlaymiz. C nuqtadan a chiziqqa parallel b 1 chiziq chizamiz. b 1 to'g'ri chiziq 2-teorema bo'yicha tekislikka perpendikulyar. B va B 1 to'g'ri tekislik bilan b va b 1 to'g'ri kesishish nuqtalari bo'lsin. U holda BB 1 to'g'ri chiziq kesishuvchi b va b 1 chiziqlarga perpendikulyar bo'ladi. Va bu mumkin emas. Biz qarama-qarshilikka keldik. Teorema isbotlangan.

33.Perpendikulyar, berilgan tekislikning berilgan nuqtasidan tushirilgan, berilgan nuqtani tekislikdagi nuqta bilan bog'laydigan va tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziqda yotgan segment. Tekislikda yotgan bu segmentning oxiri deyiladi perpendikulyar asos.
Egiluvchan berilgan nuqtadan berilgan tekislikka chizilgan deb, berilgan nuqtani tekislikka perpendikulyar bo'lmagan tekislikdagi nuqta bilan bog'laydigan har qanday segment deyiladi. Tekislikda yotgan segmentning oxiri deyiladi eğimli asos. Xuddi shu nuqtadan chizilgan perpendikulyarning asoslarini qiyalik bilan bog'laydigan segment deyiladi. qiya proyeksiya.

AB a tekislikka perpendikulyar.
AC – qiya, CB – proyeksiya.

Teoremaning bayoni

Agar tekislikka qiya chiziq asosi orqali o'tkazilgan to'g'ri chiziq uning proyeksiyasiga perpendikulyar bo'lsa, u qiya chiziqqa perpendikulyar bo'ladi.

Isbot

Mayli AB- a tekislikka perpendikulyar, A.C.- moyil va c- nuqtadan o'tuvchi a tekislikdagi to'g'ri chiziq C va proyeksiyaga perpendikulyar Miloddan avvalgi. Keling, to'g'ridan-to'g'ri qilaylik CK chiziqqa parallel AB. Streyt CK a tekislikka perpendikulyar (parallel bo'lgani uchun AB) va shuning uchun bu tekislikning har qanday to'g'ri chizig'i, shuning uchun CK to'g'ri chiziqqa perpendikulyar c. Keling, parallel chiziqlar orqali chizamiz AB Va CK tekislik b (parallel chiziqlar tekislikni belgilaydi va faqat bitta). Streyt c b tekislikda yotgan ikkita kesishuvchi chiziqqa perpendikulyar, bu Miloddan avvalgi shartiga ko'ra va CK konstruksiyaga ko'ra, bu tekislikka tegishli har qanday chiziqqa perpendikulyar ekanligini anglatadi, ya'ni chiziqqa perpendikulyar A.C..

Birinchi daraja

Koordinatalar va vektorlar. Keng qamrovli qoʻllanma (2019)

Ushbu maqolada biz ko'plab geometriya muammolarini oddiy arifmetikaga qisqartirish imkonini beradigan bitta "sehrli tayoqcha" ni muhokama qilishni boshlaymiz. Bu "tayoq" hayotingizni ancha osonlashtirishi mumkin, ayniqsa fazoviy figuralar, bo'limlar va hokazolarni qurishda ishonchingiz komil bo'lmaganda. Bularning barchasi ma'lum tasavvur va amaliy ko'nikmalarni talab qiladi. Biz bu erda ko'rib chiqa boshlaydigan usul sizga barcha turdagi geometrik konstruktsiyalardan va mulohazalardan deyarli butunlay mavhum bo'lishga imkon beradi. Usul deyiladi "koordinata usuli". Ushbu maqolada biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Koordinata tekisligi
2. Samolyotdagi nuqtalar va vektorlar
3. Ikki nuqtadan vektorni qurish
4. Vektor uzunligi (ikki nuqta orasidagi masofa).
5. Segment o'rtasining koordinatalari
6. Vektorlarning nuqta mahsuloti
7. Ikki vektor orasidagi burchak

O'ylaymanki, siz koordinata usuli nima uchun bunday deb nomlanganini allaqachon taxmin qilgansiz? To'g'ri, u geometrik jismlar bilan emas, balki ularning raqamli xarakteristikalari (koordinatalari) bilan ishlagani uchun bunday nom oldi. Va geometriyadan algebraga o'tishga imkon beradigan transformatsiyaning o'zi koordinatalar tizimini joriy etishdan iborat. Agar dastlabki rasm tekis bo'lsa, u holda koordinatalar ikki o'lchovli, agar rasm uch o'lchamli bo'lsa, u holda koordinatalar uch o'lchovli bo'ladi. Ushbu maqolada biz faqat ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqamiz. Va maqolaning asosiy maqsadi sizga koordinata usulining ba'zi asosiy usullaridan qanday foydalanishni o'rgatishdir (ular ba'zan Yagona davlat imtihonining B qismidagi planimetriya bo'yicha muammolarni hal qilishda foydali bo'ladi). Ushbu mavzu bo'yicha keyingi ikkita bo'lim C2 (stereometriya muammosi) muammolarini hal qilish usullarini muhokama qilishga bag'ishlangan.

Koordinata usulini muhokama qilishni qaerdan boshlash mantiqan to'g'ri keladi? Ehtimol, koordinatalar tizimi tushunchasidan. U bilan birinchi marta uchrashganingizni eslang. Menimcha, siz 7-sinfda, masalan, chiziqli funktsiyaning mavjudligi haqida bilganingizda. Eslatib o'taman, siz uni nuqta-nuqta qurgansiz. Esingizdami? Siz ixtiyoriy raqamni tanladingiz, uni formulaga almashtirdingiz va shu tarzda hisoblab chiqdingiz. Masalan, agar, keyin, agar, keyin va hokazo. Oxirida nima oldingiz? Va siz koordinatali ballarni oldingiz: va. Keyinchalik, siz "xoch" (koordinatalar tizimi) chizdingiz, undagi masshtabni tanladingiz (birlik segmenti sifatida qancha katakchaga ega bo'lasiz) va unda olingan nuqtalarni belgiladingiz, keyin ularni to'g'ri chiziq bilan bog'ladingiz; natijada chiziq funksiyaning grafigi.

Bu erda sizga batafsilroq tushuntirilishi kerak bo'lgan bir nechta fikrlar mavjud:

1. Chizmada hamma narsa chiroyli va ixcham tarzda joylashishi uchun siz qulaylik uchun bitta segmentni tanlaysiz.

2. O'q chapdan o'ngga, o'q esa pastdan yuqoriga o'tishi qabul qilinadi

3. Ular to’g’ri burchak ostida kesishadi va ularning kesishish nuqtasi koordinata deyiladi. Bu harf bilan ko'rsatilgan.

4. Nuqta koordinatalarini yozishda, masalan, qavslar ichida chap tomonda nuqtaning o'q bo'ylab koordinatasi, o'ng tomonida esa o'q bo'ylab. Xususan, bu shunchaki nuqtada degan ma'noni anglatadi

5. Koordinata o'qidagi istalgan nuqtani ko'rsatish uchun uning koordinatalarini (2 ta raqam) ko'rsatish kerak.

6. O'qda yotgan har qanday nuqta uchun,

7. O'qda yotgan har qanday nuqta uchun,

8. O'q x o'qi deyiladi

9. O'q y o'qi deb ataladi

Endi keyingi bosqichga o'tamiz: ikkita nuqtani belgilang. Keling, bu ikki nuqtani segment bilan bog'laymiz. Va biz o'qni nuqtadan nuqtaga segmentni chizayotgandek qo'yamiz: ya'ni biz segmentimizni yo'naltiramiz!

Boshqa yo'nalishli segment nima deb nomlanganini eslaysizmi? To'g'ri, bu vektor deyiladi!

Shunday qilib, agar biz nuqtani nuqtaga bog'lasak, va boshi A nuqtasi bo'ladi va oxiri B nuqtasi bo'ladi, keyin vektorni olamiz. Siz ham bu qurilishni 8-sinfda qilgan edingizmi?

Ma'lum bo'lishicha, vektorlar ham nuqtalar kabi ikkita raqam bilan belgilanishi mumkin: bu raqamlar vektor koordinatalari deb ataladi. Savol: Sizningcha, vektorning koordinatalarini topish uchun uning boshi va oxiri koordinatalarini bilish kifoya qiladimi? Ma'lum bo'lishicha, ha! Va bu juda oddiy tarzda amalga oshiriladi:

Shunday qilib, vektorda nuqta boshi va nuqta oxiri bo'lganligi sababli vektor quyidagi koordinatalarga ega:

Masalan, agar, u holda vektorning koordinatalari

Endi teskarisini qilamiz, vektorning koordinatalarini topamiz. Buning uchun nimani o'zgartirishimiz kerak? Ha, siz boshi va oxirini almashtirishingiz kerak: endi vektorning boshlanishi nuqtada, oxiri esa nuqtada bo'ladi. Keyin:

Ehtiyotkorlik bilan qarang, vektorlar va o'rtasidagi farq nima? Ularning yagona farqi koordinatalardagi belgilardir. Ular qarama-qarshidir. Bu fakt odatda shunday yoziladi:

Ba'zan vektorning qaysi nuqtasi boshi va qaysi biri oxiri ekanligi aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, vektorlar ikkita bosh harf bilan emas, balki bitta kichik harf bilan belgilanadi, masalan: va hokazo.

Endi biroz amaliyot O'zingiz va quyidagi vektorlarning koordinatalarini toping:

Imtihon:

Endi biroz qiyinroq muammoni hal qiling:

Bir nuqtada boshlanishi bo'lgan vektor ko-or-di-na-sizga ega. Abs-cis-su nuqtalarini toping.

Hammasi juda prozaik: nuqta koordinatalari bo'lsin. Keyin

Men tizimni vektor koordinatalari nima ekanligini aniqlashga asoslanib tuzdim. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi. Bizni abscissa qiziqtiradi. Keyin

Javob:

Vektorlar bilan yana nima qila olasiz? Ha, deyarli hamma narsa oddiy raqamlar bilan bir xil (bundan tashqari siz bo'lolmaysiz, lekin siz ikki yo'l bilan ko'paytirishingiz mumkin, ulardan birini birozdan keyin muhokama qilamiz)

1. Vektorlarni bir-biriga qo'shish mumkin
2. Vektorlarni bir-biridan ayirish mumkin
3. Vektorlarni ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish (yoki bo'lish) mumkin
4. Vektorlarni bir-biriga ko'paytirish mumkin

Bu operatsiyalarning barchasi juda aniq geometrik tasvirga ega. Masalan, qo'shish va ayirish uchun uchburchak (yoki parallelogramm) qoidasi:

Songa koʻpaytirilganda yoki boʻlinganda vektor choʻziladi yoki qisqaradi yoki yoʻnalishini oʻzgartiradi:

Biroq, bu erda biz koordinatalar bilan nima sodir bo'lishi haqidagi savolga qiziqamiz.

1. Ikki vektorni qo'shishda (ayirishda) ularning koordinatalarini element bo'yicha qo'shamiz (ayitamiz). Ya'ni:

2. Vektorni songa ko'paytirishda (bo'lishda) uning barcha koordinatalari shu raqamga ko'paytiriladi (bo'linadi):

Masalan:

· Ko-or-di-nat asr-to-ra miqdorini toping.

Avval vektorlarning har birining koordinatalarini topamiz. Ularning ikkalasining kelib chiqishi bir xil - kelib chiqish nuqtasi. Ularning oxiri boshqacha. Keyin, . Endi vektorning koordinatalarini hisoblaymiz.Unda hosil bo'lgan vektor koordinatalarining yig'indisi teng bo'ladi.

Javob:

Endi quyidagi muammoni o'zingiz hal qiling:

· Vektor koordinatalarining yig‘indisini toping

Biz tekshiramiz:

Endi quyidagi masalani ko'rib chiqamiz: bizda koordinatalar tekisligida ikkita nuqta bor. Ularning orasidagi masofani qanday topish mumkin? Birinchi nuqta bo'lsin, ikkinchisi. Ularning orasidagi masofani bilan belgilaymiz. Aniqlik uchun quyidagi rasmni tuzamiz:

Men nima qildim? Birinchidan, men nuqtalarni bog'ladim, shuningdek, nuqtadan o'qga parallel chiziq chizdim va nuqtadan o'qga parallel chiziq chizdim. Ular bir nuqtada kesishib, ajoyib figurani hosil qildilarmi? Uning nimasi o‘ziga xos? Ha, siz va men to'g'ri burchakli uchburchak haqida deyarli hamma narsani bilamiz. Albatta, Pifagor teoremasi. Kerakli segment bu uchburchakning gipotenuzasi, segmentlari esa oyoqlardir. Nuqtaning koordinatalari qanday? Ha, ularni rasmdan topish oson: segmentlar o'qlarga parallel bo'lgani uchun va mos ravishda ularning uzunliklarini topish oson: agar segmentlarning uzunliklarini mos ravishda bilan belgilasak, u holda

Endi Pifagor teoremasidan foydalanamiz. Biz oyoqlarning uzunligini bilamiz, biz gipotenuzani topamiz:

Shunday qilib, ikki nuqta orasidagi masofa koordinatalardan kvadrat farqlar yig'indisining ildizidir. Yoki - ikki nuqta orasidagi masofa ularni bog'laydigan segmentning uzunligi. Nuqtalar orasidagi masofa yo'nalishga bog'liq emasligini ko'rish oson. Keyin:

Bu erdan biz uchta xulosa chiqaramiz:

Keling, ikkita nuqta orasidagi masofani hisoblash bo'yicha bir oz mashq qilaylik:

Masalan, agar, u holda va orasidagi masofa teng

Yoki boshqa yo'l bilan boraylik: vektorning koordinatalarini toping

Va vektor uzunligini toping:

Ko'rib turganingizdek, xuddi shunday!

Endi biroz mashq qiling:

Vazifa: ko'rsatilgan nuqtalar orasidagi masofani toping:

Biz tekshiramiz:

Xuddi shu formuladan foydalangan holda yana bir nechta muammo bor, garchi ular bir oz boshqacha eshitiladi:

1. Qovoq uzunligining kvadratini toping.

2. Qovoq uzunligining kvadratini toping

Menimcha, siz ular bilan qiyinchiliksiz muomala qildingizmi? Biz tekshiramiz:

1. Va bu diqqat uchun) Biz vektorlarning koordinatalarini avvalroq topdik: . Keyin vektor koordinatalariga ega bo'ladi. Uning uzunligi kvadrati quyidagilarga teng bo'ladi:

2. Vektorning koordinatalarini toping

Keyin uning uzunligi kvadrati bo'ladi

Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Oddiy arifmetika, boshqa hech narsa emas.

Quyidagi muammolarni aniq tasniflash mumkin emas, ular ko'proq umumiy bilim va oddiy rasmlarni chizish qobiliyatiga tegishli.

1. Nuqtani abscissa o'qi bilan bog'lovchi kesmadan burchak sinusini toping.

Va

Bu erda qanday davom etamiz? Biz o'q va orasidagi burchakning sinusini topishimiz kerak. Sinusni qayerdan izlashimiz mumkin? To'g'ri, to'g'ri uchburchakda. Xo'sh, nima qilishimiz kerak? Bu uchburchakni yarating!

Nuqtaning koordinatalari va bo'lgani uchun, u holda segment ga teng, va segment. Biz burchakning sinusini topishimiz kerak. Eslatib o'taman, sinus - qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati

Bizga nima qilish kerak? Gipotenuzani toping. Buni ikki yo'l bilan qilishingiz mumkin: Pifagor teoremasidan foydalanish (oyoqlari ma'lum!) yoki ikkita nuqta orasidagi masofa uchun formuladan foydalanish (aslida, birinchi usul bilan bir xil narsa!). Men ikkinchi yo'lga boraman:

Javob:

Keyingi vazifa sizga yanada osonroq ko'rinadi. U nuqtaning koordinatalarida.

Vazifa 2. Per-pen-di-ku-lyar ab-ciss o'qiga tushirilgan nuqtadan. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Keling, rasm chizamiz:

Perpendikulyarning asosi uning x o'qi (o'qi) bilan kesishgan nuqtasidir, men uchun bu nuqta. Rasmda uning koordinatalari borligi ko'rsatilgan: . Bizni abscissa - ya'ni "x" komponenti qiziqtiradi. U teng.

Javob: .

Vazifa 3. Oldingi masala shartlarida nuqtadan koordinata o'qlarigacha bo'lgan masofalar yig'indisini toping.

Agar nuqtadan o'qlargacha bo'lgan masofa qancha ekanligini bilsangiz, vazifa odatda elementardir. Sen bilasan? Umid qilamanki, lekin baribir sizga eslataman:

Shunday qilib, yuqoridagi chizilgan rasmimda men allaqachon bitta perpendikulyar chizganmanmi? U qaysi o'qda? O'qga. Va keyin uning uzunligi qancha? U teng. Endi o'z o'qiga perpendikulyar chizib, uning uzunligini toping. Bu teng bo'ladi, to'g'rimi? Keyin ularning yig'indisi teng bo'ladi.

Javob: .

Vazifa 4. 2-topshiriq shartlarida nuqtaning abtsissa o'qiga nisbatan simmetrik nuqta ordinatasini toping.

O'ylaymanki, simmetriya nima ekanligi sizga intuitiv ravishda tushunarli? Ko'pgina ob'ektlarga ega: ko'plab binolar, jadvallar, samolyotlar, ko'plab geometrik figuralar: to'p, silindr, kvadrat, romb va boshqalar.. Qo'pol qilib aytganda, simmetriyani quyidagicha tushunish mumkin: raqam ikki (yoki undan ko'p) bir xil yarmidan iborat. Bu simmetriya eksenel simmetriya deb ataladi. Xo'sh, eksa nima? Aynan shu chiziq bo'ylab raqamni, nisbatan aytganda, teng yarmiga "kesish" mumkin (bu rasmda simmetriya o'qi to'g'ri):

Endi vazifamizga qaytaylik. Biz o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtani qidirayotganimizni bilamiz. Keyin bu o'q simmetriya o'qi hisoblanadi. Bu shuni anglatadiki, biz o'q segmentni ikkita teng qismga kesib tashlaydigan nuqtani belgilashimiz kerak. Bunday nuqtani o'zingiz belgilashga harakat qiling. Endi mening yechimim bilan solishtiring:

Siz uchun ham xuddi shunday chiqdimi? Yaxshi! Bizni topilgan nuqtaning ordinatasi qiziqtiradi. Bu teng

Javob:

Endi ayting-chi, bir necha soniya o'ylab ko'ring, A nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning ordinataga nisbatan abscissasi qanday bo'ladi? Sizning javobingiz nima? To'g'ri javob: .

Umuman olganda, qoida quyidagicha yozilishi mumkin:

Abtsissa o'qiga nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalarga ega:

Ordinata o'qiga nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalarga ega:

Xo'sh, endi bu butunlay qo'rqinchli vazifa: nuqtaning koordinatalarini koordinatalarini koordinatalarini koordinatalarini toping. Siz avval o'zingiz o'ylab ko'ring, keyin mening rasmimni ko'ring!

Javob:

Hozir parallelogramm muammosi:

5-topshiriq: nuqtalar ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma ko'rinadi. Or-di-on-o'sha nuqtani toping.

Siz bu muammoni ikki yo'l bilan hal qilishingiz mumkin: mantiq va koordinata usuli. Avval koordinata usulidan foydalanaman, keyin esa uni qanday qilib boshqacha yechish mumkinligini aytaman.

Nuqtaning abssissasi teng ekanligi aniq. (u nuqtadan abscissa o'qiga chizilgan perpendikulyarda yotadi). Biz ordinatani topishimiz kerak. Keling, bizning raqamimiz parallelogramm ekanligidan foydalanaylik, bu shuni anglatadiki. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi yordamida segment uzunligini topamiz:

Nuqtani eksa bilan bog'laydigan perpendikulyarni tushiramiz. Men kesishish nuqtasini harf bilan belgilayman.

Segmentning uzunligi teng. (bu nuqtani muhokama qilgan muammoni o'zingiz toping), keyin Pifagor teoremasi yordamida segment uzunligini topamiz:

Segmentning uzunligi uning ordinatasiga to'liq mos keladi.

Javob: .

Boshqa yechim (men uni tasvirlaydigan rasmni beraman)

Yechim jarayoni:

1. Xulq-atvor

2. Nuqta va uzunlik koordinatalarini toping

3. Buni isbotlang.

Boshqasi segment uzunligi muammosi:

Nuqtalar uchburchakning tepasida paydo bo'ladi. Uning o'rta chizig'ining uzunligini toping, parallel.

Uchburchakning o'rta chizig'i nima ekanligini eslaysizmi? Keyin bu vazifa siz uchun oddiy. Esingizda bo'lmasa, men sizga eslataman: uchburchakning o'rta chizig'i qarama-qarshi tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan chiziqdir. U asosga parallel va uning yarmiga teng.

Baza segmentdir. Biz uning uzunligini avvalroq izlashimiz kerak edi, u teng. Keyin o'rta chiziqning uzunligi yarmi katta va teng bo'ladi.

Javob: .

Izoh: bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, biz biroz keyinroq murojaat qilamiz.

Ayni paytda, bu erda siz uchun bir nechta muammolar bor, ular ustida mashq qiling, ular juda oddiy, ammo ular koordinata usulidan foydalanishni yaxshilashga yordam beradi!

1. Nuqtalar tra-pe-tionlarning yuqori qismidir. Uning o'rta chizig'ining uzunligini toping.

2. Nuqtalar va ko'rinishlar ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Or-di-on-o'sha nuqtani toping.

3. Nuqtani va bog`lovchi kesimdan uzunlikni toping

4. Koordinatsiya tekisligidagi rangli figuraning orqasidagi maydonni toping.

5. Nuqtadan markazi na-cha-le ko-or-di-natda boʻlgan aylana oʻtadi. Uning ra-di-usni toping.

6. Aylananing-di-te ra-di-usni toping, to'g'ri burchakli-no-ka haqida ta'rif-san-noy, biror narsaning tepalari ko- yoki -di-na-siz juda mas'ulsiz.

Yechimlar:

1. Ma'lumki, trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslari yig'indisining yarmiga teng. Baza teng, asos esa. Keyin

Javob:

2. Bu masalani yechishning eng oson yo‘li shuni qayd etishdir (paralelogramma qoidasi). Vektorlarning koordinatalarini hisoblash qiyin emas: . Vektorlarni qo'shishda koordinatalar qo'shiladi. Keyin koordinatalar mavjud. Nuqta ham shu koordinatalarga ega, chunki vektorning kelib chiqishi koordinatali nuqtadir. Biz ordinataga qiziqamiz. U teng.

Javob:

3. Biz darhol ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga muvofiq harakat qilamiz:

Javob:

4. Rasmga qarang va ayting-chi, soyali maydon qaysi ikki raqam orasiga «sendvichlangan»? U ikkita kvadrat orasiga o'ralgan. Keyin kerakli raqamning maydoni katta kvadratning maydonidan kichik kvadratning maydoniga teng bo'ladi. Kichik kvadratning yon tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment bo'lib, uning uzunligi

Keyin kichik kvadratning maydoni

Katta kvadrat bilan ham xuddi shunday qilamiz: uning tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment va uning uzunligi

Keyin katta kvadratning maydoni

Formuladan foydalanib, kerakli raqamning maydonini topamiz:

Javob:

5. Agar aylananing koordinatasi uning markazi bo'lsa va nuqtadan o'tsa, u holda uning radiusi segment uzunligiga to'liq teng bo'ladi (chizma qiling va nima uchun bu aniq ekanligini tushunasiz). Keling, ushbu segmentning uzunligini topamiz:

Javob:

6. Ma'lumki, to'rtburchak atrofida aylana radiusi uning diagonalining yarmiga teng. Keling, ikkita diagonaldan birining uzunligini topaylik (oxir-oqibat, to'rtburchakda ular teng!)

Javob:

Xo'sh, siz hamma narsaga dosh berdingizmi? Buni aniqlash juda qiyin emas edi, shunday emasmi? Bu erda faqat bitta qoida bor - vizual rasm yaratish va undan barcha ma'lumotlarni "o'qish".

Bizda juda oz qoldi. Men muhokama qilmoqchi bo'lgan yana ikkita fikr bor.

Keling, ushbu oddiy muammoni hal qilishga harakat qilaylik. Ikki ball bo'lsin va berilsin. Segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini toping. Ushbu muammoning echimi quyidagicha: nuqta kerakli o'rta bo'lsin, keyin uning koordinatalari mavjud:

Ya'ni: segment o'rtasining koordinatalari = segment uchlarining tegishli koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Bu qoida juda oddiy va odatda talabalar uchun qiyinchilik tug'dirmaydi. Keling, qanday muammolar va qanday ishlatilishini ko'rib chiqaylik:

1. Kesimdan-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny toping, nuqtani ulang va.

2. Nuqtalar dunyoning eng yuqori nuqtasi bo'lib ko'rinadi. Uning dia-go-na-ley-ning per-re-se-che-niya-di-te or-di-na-tu nuqtalarini toping.

3. Top-di-te abs-cis-su aylana markazi, tasvir-san-noy haqida to'rtburchaklar-no-ka, biror narsaning tepalari ko-or-di-na-siz juda mas'uliyatli-lekin bor.

Yechimlar:

1. Birinchi muammo oddiygina klassik. Biz segmentning o'rtasini aniqlash uchun darhol davom etamiz. Uning koordinatalari bor. Ordinata teng.

Javob:

2. Bu to‘rtburchakning parallelogramm (hatto romb ham!) ekanligini ko‘rish oson. Tomonlarning uzunligini hisoblab, ularni bir-biri bilan solishtirib, buni o'zingiz isbotlashingiz mumkin. Parallelogrammalar haqida nima bilaman? Uning diagonallari kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'lingan! Ha! Xo'sh, diagonallarning kesishish nuqtasi nima? Bu har qanday diagonalning o'rtasi! Men, xususan, diagonalni tanlayman. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi Nuqtaning ordinatasi ga teng.

Javob:

3. To‘g‘ri to‘rtburchak atrofida chizilgan aylananing markazi nimaga to‘g‘ri keladi? U diagonallarining kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz? Ular teng va kesishish nuqtasi ularni yarmiga bo'ladi. Vazifa avvalgisiga qisqartirildi. Masalan, diagonalni olaylik. Agar aylananing markazi bo'lsa, u holda o'rta nuqta. Men koordinatalarni qidiryapman: abscissa teng.

Javob:

Endi o'zingiz bir oz mashq qiling, men har bir muammoga javob beraman, shunda siz o'zingizni sinab ko'rishingiz mumkin.

1. Aylananing-di-te ra-di-usni toping, uchburchak-no-ka haqida tasvir-san-noy, biror narsaning tepalarida ko-or-di -no mister bor.

2. Aylananing o‘sha markazini toping, tepalari koordinatalari bo‘lgan uchburchak-no-ka haqida-san-noy tasvirlang.

3. Ab-ciss o'qiga tegib turadigan nuqtada markazi bo'lgan doira qanday ra-di-u-sa bo'lishi kerak?

4. O‘qning qayta-se-se-se-sektsiyasining o‘sha yoki o‘sha nuqtasini toping va kesmadan, nuqtani bog‘lang va

Javoblar:

Hammasi muvaffaqiyatli bo'ldimi? Men, albatta, umid qilaman! Endi - oxirgi bosish. Endi ayniqsa ehtiyot bo'ling. Men hozir tushuntirib beradigan material nafaqat B bo'limidagi koordinatalar usuli bo'yicha oddiy masalalar bilan bevosita bog'liq, balki C2 muammosining hamma joyida mavjud.

Qaysi va'dalarimni hali bajarmaganman? Esingizdami, vektorlar ustida qanday operatsiyalarni kiritishga va'da berganman va oxirida qaysilarini kiritganman? Hech narsani unutmaganimga ishonchingiz komilmi? Unutdim! Vektorni ko'paytirish nimani anglatishini tushuntirishni unutibman.

Vektorni vektorga ko'paytirishning ikki yo'li mavjud. Tanlangan usulga qarab, biz turli tabiatdagi ob'ektlarni olamiz:

O'zaro faoliyat juda aqlli tarzda amalga oshiriladi. Buni qanday qilish kerak va nima uchun kerak, biz keyingi maqolada muhokama qilamiz. Va bu erda biz skalyar mahsulotga e'tibor qaratamiz.

Hisoblashning ikkita usuli mavjud:

Siz taxmin qilganingizdek, natija bir xil bo'lishi kerak! Shunday qilib, birinchi usulni ko'rib chiqaylik:

Koordinatalar orqali nuqta mahsuloti

Toping: - skalyar mahsulot uchun umumiy qabul qilingan belgi

Hisoblash formulasi quyidagicha:

Ya'ni, skalyar mahsulot = vektor koordinatalari ko'paytmalarining yig'indisi!

Misol:

Top-di-te

Yechim:

Har bir vektorning koordinatalarini topamiz:

Skalar mahsulotni formuladan foydalanib hisoblaymiz:

Javob:

Qarang, hech qanday murakkab narsa yo'q!

Xo'sh, endi o'zingiz sinab ko'ring:

· Asrlar pro-iz-ve-de-nie skalyarni toping va

Siz boshqardingizmi? Ehtimol, siz kichik ovni payqadingizmi? Keling, tekshiramiz:

Oldingi masaladagi kabi vektor koordinatalari! Javob: .

Koordinataga qo'shimcha ravishda, skalyar mahsulotni hisoblashning yana bir usuli mavjud, ya'ni vektorlarning uzunligi va ular orasidagi burchakning kosinuslari orqali:

vektorlar orasidagi burchakni bildiradi.

Ya'ni, skalyar ko'paytma vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinuslari ko'paytmasiga teng.

Nima uchun bizga bu ikkinchi formula kerak, agar bizda birinchisi bo'lsa, u ancha sodda, hech bo'lmaganda unda kosinuslar yo'q. Va bu birinchi va ikkinchi formulalardan siz va men vektorlar orasidagi burchakni qanday topishni xulosa qilishimiz uchun kerak!

Let Keyin vektor uzunligi formulasini eslaylik!

Agar men ushbu ma'lumotlarni skalyar mahsulot formulasiga almashtirsam, men quyidagilarni olaman:

Ammo boshqa yo'l bilan:

Xo'sh, siz va men nima oldik? Endi bizda ikkita vektor orasidagi burchakni hisoblash imkonini beruvchi formula mavjud! Ba'zan qisqalik uchun shunday yoziladi:

Ya'ni vektorlar orasidagi burchakni hisoblash algoritmi quyidagicha:

1. Koordinatalar orqali skalyar hosilani hisoblang
2. Vektorlarning uzunliklarini toping va ularni ko'paytiring
3. 1-bandning natijasini 2-bandning natijasiga bo'ling

Keling, misollar bilan mashq qilaylik:

1. Ko'z qovoqlari orasidagi burchakni toping va. Javobni grad-du-sahda bering.

2. Oldingi masala shartlarida vektorlar orasidagi kosinusni toping

Keling, shunday qilaylik: birinchi muammoni hal qilishga yordam beraman, ikkinchisini esa o'zingiz qilishga harakat qiling! Rozimisiz? Keyin boshlaylik!

1. Bu vektorlar bizning eski do'stlarimizdir. Biz allaqachon ularning skalyar mahsulotini hisoblab chiqdik va u teng edi. Ularning koordinatalari: , . Keyin ularning uzunligini topamiz:

Keyin vektorlar orasidagi kosinusni qidiramiz:

Burchakning kosinusu nimaga teng? Bu burchak.

Javob:

Xo'sh, endi ikkinchi masalani o'zingiz hal qiling va keyin solishtiring! Men juda qisqacha yechim beraman:

2. koordinatalari bor, koordinatalari bor.

vektorlar orasidagi burchak bo'lsin, keyin

Javob:

Shuni ta'kidlash kerakki, imtihon qog'ozining B qismida to'g'ridan-to'g'ri vektorlar va koordinatalar usuli bilan bog'liq muammolar juda kam uchraydi. Biroq, C2 muammolarining katta qismi koordinata tizimini joriy qilish orqali osonlikcha hal qilinishi mumkin. Shunday qilib, siz ushbu maqolani asos sifatida ko'rib chiqishingiz mumkin, uning asosida biz murakkab muammolarni hal qilishimiz kerak bo'lgan juda aqlli konstruktsiyalarni qilamiz.

KOORDINATLAR VA VEKTORLAR. O'RTA DARAJA

Siz va men koordinata usulini o'rganishda davom etamiz. Oxirgi qismda biz sizga imkon beradigan bir qator muhim formulalarni oldik:

1. Vektor koordinatalarini toping
2. Vektor uzunligini toping (muqobil ravishda: ikki nuqta orasidagi masofa)
3. Vektorlarni qo'shish va ayirish. Ularni haqiqiy songa ko'paytiring
4. Segmentning o'rta nuqtasini toping
5. Vektorlarning nuqta mahsulotini hisoblang
6. Vektorlar orasidagi burchakni toping

Albatta, butun koordinata usuli bu 6 nuqtaga to'g'ri kelmaydi. U analitik geometriya kabi fanning asosini yotadi, siz uni universitetda yaxshi bilasiz. Men faqat bitta davlatda muammolarni hal qilish imkonini beradigan poydevor qurmoqchiman. imtihon. Biz B qismidagi vazifalarni hal qildik. Endi butunlay yangi bosqichga o'tish vaqti keldi! Ushbu maqola C2 muammolarini hal qilish usuliga bag'ishlangan bo'lib, unda koordinatalar usuliga o'tish maqsadga muvofiqdir. Ushbu asoslilik muammoda nimani topish kerakligi va qanday raqam berilganligi bilan belgilanadi. Shunday qilib, agar savollar bo'lsa, men koordinata usulidan foydalanaman:

1. Ikki tekislik orasidagi burchakni toping
2. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping
3. Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchakni toping
4. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
5. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping
6. To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
7. Ikki chiziq orasidagi masofani toping

Agar masala bayonida berilgan rasm aylanish jismi bo‘lsa (to‘p, silindr, konus...)

Koordinata usuli uchun mos raqamlar:

1. To'rtburchak parallelepiped
2. Piramida (uchburchak, to'rtburchak, olti burchakli)

Shuningdek, mening tajribamdan uchun koordinata usulini qo'llash noo'rin:

1. Kesma maydonlarni topish
2. Jismlarning hajmlarini hisoblash

Biroq, darhol shuni ta'kidlash kerakki, koordinata usuli uchun uchta "noqulay" holat amalda juda kam uchraydi. Ko'pgina vazifalarda, ayniqsa, siz uch o'lchovli konstruktsiyalarda unchalik yaxshi bo'lmasangiz (ba'zida juda murakkab bo'lishi mumkin) sizning qutqaruvchingizga aylanishi mumkin.

Men yuqorida sanab o'tgan barcha raqamlar qanday? Ular endi tekis emas, masalan, kvadrat, uchburchak, doira kabi, lekin katta hajmli! Shunga ko'ra, biz ikki o'lchovli emas, balki uch o'lchovli koordinatalar tizimini hisobga olishimiz kerak. Buni qurish juda oson: abscissa va ordinata o'qiga qo'shimcha ravishda biz boshqa o'qni - qo'llaniladigan o'qni kiritamiz. Rasmda ularning nisbiy holati sxematik ko'rsatilgan:

Ularning barchasi o'zaro perpendikulyar va bir nuqtada kesishadi, biz uni koordinatalarning kelib chiqishi deb ataymiz. Avvalgidek, abscissa o'qini, ordinata o'qini - va kiritilgan qo'llaniladigan o'qni - belgilaymiz.

Agar ilgari tekislikdagi har bir nuqta ikkita raqam - abscissa va ordinata bilan tavsiflangan bo'lsa, u holda fazodagi har bir nuqta allaqachon uchta raqam bilan tasvirlangan - abscissa, ordinata va ilova. Masalan:

Shunga ko'ra, nuqtaning abssissasi teng, ordinatasi , ilovasi esa .

Ba'zan nuqtaning abscissasi nuqtaning abscissa o'qiga proyeksiyasi, ordinata - nuqtaning ordinata o'qiga proyeksiyasi, applikatsiya - nuqtaning qo'llaniladigan o'qga proyeksiyasi deb ham ataladi. Shunga ko'ra, agar nuqta berilgan bo'lsa, u holda koordinatali nuqta:

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

Tabiiy savol tug'iladi: ikki o'lchovli holat uchun olingan barcha formulalar kosmosda haqiqiymi? Javob ha, ular adolatli va bir xil ko'rinishga ega. Kichik tafsilot uchun. O'ylaymanki, siz allaqachon qaysi biri ekanligini taxmin qilgansiz. Barcha formulalarda biz ilova o'qi uchun javob beradigan yana bitta atama qo'shishimiz kerak. Aynan.

1. Ikki nuqta berilgan bo'lsa: , u holda:

• Vektor koordinatalari:
• Ikki nuqta orasidagi masofa (yoki vektor uzunligi)
• Segmentning o'rta nuqtasi koordinatalarga ega

2. Agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va, keyin:

• Ularning skalyar mahsuloti quyidagilarga teng:
• Vektorlar orasidagi burchakning kosinusu quyidagilarga teng:

Biroq, makon unchalik oddiy emas. Siz tushunganingizdek, yana bitta koordinatani qo'shish ushbu makonda "yashovchi" raqamlar spektriga sezilarli xilma-xillikni keltirib chiqaradi. Va keyingi rivoyat uchun men to'g'ri chiziqning ba'zi, taxminan aytganda, "umumlashtirish" bilan tanishtirishim kerak. Ushbu "umumlashtirish" samolyot bo'ladi. Samolyot haqida nimalarni bilasiz? Savolga javob berishga harakat qiling, samolyot nima? Buni aytish juda qiyin. Biroq, biz hammamiz intuitiv ravishda uning qanday ko'rinishini tasavvur qilamiz:

Taxminan aytganda, bu kosmosga yopishgan cheksiz "varaq". "Cheksizlik" samolyotning barcha yo'nalishlarda cho'zilishi, ya'ni uning maydoni cheksizlikka teng ekanligini tushunish kerak. Biroq, bu "qo'lda" tushuntirish samolyotning tuzilishi haqida eng kichik tasavvurga ega emas. Va u biz bilan qiziqadi.

Keling, geometriyaning asosiy aksiomalaridan birini eslaylik:

• to'g'ri chiziq tekislikning ikki xil nuqtasidan o'tadi va faqat bittasi:

Yoki uning kosmosdagi analogi:

Albatta, siz ikkita berilgan nuqtadan chiziq tenglamasini qanday chiqarishni eslaysiz, bu unchalik qiyin emas: agar birinchi nuqtada koordinatalar bo'lsa: ikkinchisi esa, chiziq tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

Siz buni 7-sinfda olgansiz. Fazoda chiziq tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: bizga koordinatali ikkita nuqta berilsin: , u holda ular orqali o'tadigan chiziq tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi:

Masalan, chiziq nuqtalardan o'tadi:

Buni qanday tushunish kerak? Buni quyidagicha tushunish kerak: nuqta chiziq ustida joylashgan bo'lsa, uning koordinatalari quyidagi tizimni qondirsa:

Bizni chiziq tenglamasi unchalik qiziqtirmaydi, lekin biz chiziqning yo'nalish vektorining juda muhim tushunchasiga e'tibor qaratishimiz kerak. - berilgan chiziqda yoki unga parallel bo'lgan nolga teng bo'lmagan har qanday vektor.

Masalan, ikkala vektor ham to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorlari. Chiziqda yotuvchi nuqta va uning yo‘nalishi vektori bo‘lsin. Keyin chiziq tenglamasini quyidagi shaklda yozish mumkin:

Yana bir bor, men to'g'ri chiziq tenglamasiga unchalik qiziqmayman, lekin men sizga yo'nalish vektori nima ekanligini eslab qolishingiz kerak! Yana bir marta: Bu chiziq ustida yoki unga parallel yotgan HAR QANDAY nolga teng vektor.

Olib tashlash berilgan uchta nuqtaga asoslangan tekislik tenglamasi endi unchalik ahamiyatsiz emas va bu masala odatda o'rta maktab kurslarida ko'rib chiqilmaydi. Lekin behuda! Murakkab muammolarni hal qilish uchun koordinata usuliga murojaat qilganimizda, bu usul juda muhimdir. Biroq, menimcha, siz yangi narsalarni o'rganishni xohlaysizmi? Bundan tashqari, siz odatda analitik geometriya kursida o'rganiladigan texnikadan qanday foydalanishni bilganingiz ma'lum bo'lganda, siz universitetdagi o'qituvchingizni hayratda qoldirishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Tekislik tenglamasi tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasidan unchalik farq qilmaydi, ya'ni u quyidagi ko'rinishga ega:

ba'zi raqamlar (barchasi nolga teng emas), lekin o'zgaruvchilar, masalan: va hokazo. Ko'rib turganingizdek, tekislik tenglamasi to'g'ri chiziq tenglamasidan (chiziqli funktsiya) unchalik farq qilmaydi. Biroq, siz va men nima bahslashganimizni eslaysizmi? Agar bizda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bo'lsa, unda tekislik tenglamasini ulardan noyob tarzda qayta qurish mumkinligini aytdik. Lekin qanday? Men buni sizga tushuntirishga harakat qilaman.

Chunki tekislikning tenglamasi:

Va nuqtalar ushbu tekislikka tegishli, keyin har bir nuqtaning koordinatalarini tekislik tenglamasiga almashtirganda, biz to'g'ri identifikatsiyani olishimiz kerak:

Shunday qilib, noma'lumlar bilan uchta tenglamani yechish kerak! Dilemma! Biroq, siz har doim shunday deb taxmin qilishingiz mumkin (buni amalga oshirish uchun siz bo'linishingiz kerak). Shunday qilib, biz uchta noma'lumli uchta tenglamani olamiz:

Biroq, biz bunday tizimni hal qilmaymiz, lekin undan kelib chiqadigan sirli iborani yozamiz:

Berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi

\[\chap| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiv)) \o'ng| = 0\]

STOP! Bu nima? Juda noodatiy modul! Biroq, sizning oldingizda ko'rayotgan ob'ektning modulga hech qanday aloqasi yo'q. Bu obyekt uchinchi tartibli determinant deb ataladi. Bundan buyon, siz tekislikdagi koordinatalar usuli bilan shug'ullanganingizda, xuddi shu determinantlarga tez-tez duch kelasiz. Uchinchi tartibli determinant nima? Ajabo, bu shunchaki raqam. Determinant bilan qaysi aniq raqamni solishtirishni tushunish qoladi.

Avval uchinchi tartibli determinantni umumiyroq shaklda yozamiz:

Ba'zi raqamlar qayerda. Bundan tashqari, birinchi indeks deganda biz satr raqamini, indeks deganda esa ustun raqamini tushunamiz. Masalan, bu raqam ikkinchi qator va uchinchi ustunning kesishgan joyida ekanligini anglatadi. Keling, quyidagi savolni qo'yaylik: bunday determinantni qanday aniq hisoblaymiz? Ya'ni, qaysi aniq raqam bilan solishtiramiz? Uchinchi tartibli determinant uchun evristik (vizual) uchburchak qoidasi mavjud, u quyidagicha ko'rinadi:

1. Asosiy diagonal elementlarining mahsuloti (yuqori chap burchakdan pastki o'ngga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi asosiy diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning mahsulotiga "perpendikulyar". asosiy diagonali
2. Ikkilamchi diagonal elementlarining mahsuloti (yuqori o'ng burchakdan pastki chapga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi ikkinchi darajali diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning mahsulotiga "perpendikulyar". ikkilamchi diagonali
3. Keyin determinant va qadamda olingan qiymatlar orasidagi farqga teng bo'ladi

Agar bularning barchasini raqamlar bilan yozsak, quyidagi ifodani olamiz:

Biroq, bu shaklda hisoblash usulini eslab qolishning hojati yo'q, shunchaki uchburchaklarni va nimaga nima qo'shilishi va keyin nimadan nima ayirilishi haqidagi g'oyani boshingizda saqlash kifoya).

Keling, uchburchak usulini misol bilan ko'rsatamiz:

1. Aniqlovchini hisoblang:

Keling, nimani qo'shishimiz va nimani ayirishimizni aniqlaymiz:

Plyus bilan birga keladigan shartlar:

Bu asosiy diagonal: elementlarning mahsuloti teng

Birinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti teng

Ikkinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti teng

Uchta raqamni qo'shing:

Minus bilan kelgan shartlar

Bu yon diagonali: elementlarning mahsuloti teng

Birinchi uchburchak, "ikkilamchi diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti teng

Ikkinchi uchburchak, "ikkilamchi diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti teng

Uchta raqamni qo'shing:

Bajarilishi kerak bo'lgan narsa "minus" shartlari yig'indisidan "ortiqcha" shartlar yig'indisini ayirishdir:

Shunday qilib,

Ko'rib turganingizdek, uchinchi darajali determinantlarni hisoblashda murakkab yoki g'ayritabiiy narsa yo'q. Faqat uchburchaklar haqida eslash va arifmetik xatolarga yo'l qo'ymaslik muhimdir. Endi uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling:

Biz tekshiramiz:

1. Asosiy diagonalga perpendikulyar bo'lgan birinchi uchburchak:
2. Asosiy diagonalga perpendikulyar ikkinchi uchburchak:
3. Plyus bilan shartlar yig'indisi:
4. Ikkilamchi diagonalga perpendikulyar bo'lgan birinchi uchburchak:
5. Yon diagonalga perpendikulyar ikkinchi uchburchak:
6. Minus bilan shartlar yig'indisi:
7. Plyusli shartlar yig'indisi minusli shartlar yig'indisi:

Mana yana bir nechta aniqlovchilar, ularning qiymatlarini o'zingiz hisoblang va ularni javoblar bilan solishtiring:

Javoblar:

Xo'sh, hammasi mos keldimi? Ajoyib, keyin davom eta olasiz! Agar qiyinchiliklar bo'lsa, mening maslahatim shunday: Internetda determinantni onlayn hisoblash uchun juda ko'p dasturlar mavjud. Sizga kerak bo'lgan narsa - o'zingizning determinantingizni o'ylab toping, uni o'zingiz hisoblang va keyin uni dastur hisoblagan narsa bilan solishtiring. Va shunga o'xshash natijalar to'g'ri kelguncha davom eting. Ishonchim komilki, bu lahzaning kelishi uzoq davom etmaydi!

Keling, uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi haqida gapirganimda yozgan determinantga qaytaylik:

Sizga kerak bo'lgan narsa uning qiymatini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash (uchburchak usuli yordamida) va natijani nolga qo'yishdir. Tabiiyki, bu o'zgaruvchilar bo'lgani uchun siz ularga bog'liq bo'lgan ba'zi ifodalarni olasiz. Aynan shu ifoda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi bo'ladi!

Buni oddiy misol bilan tushuntiramiz:

1. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini tuzing

Biz ushbu uchta nuqta uchun determinantni tuzamiz:

Keling, soddalashtiramiz:

Endi biz uni to'g'ridan-to'g'ri uchburchak qoidasi yordamida hisoblaymiz:

\[(\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiv)) \ o'ng| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \o'ng) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Shunday qilib, nuqtalardan o'tadigan tekislikning tenglamasi:

Endi bitta muammoni o'zingiz hal qilishga harakat qiling, keyin biz buni muhokama qilamiz:

2. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping

Xo'sh, endi yechimni muhokama qilaylik:

Determinant yarataylik:

Va uning qiymatini hisoblang:

Keyin tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Yoki kamaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Endi o'z-o'zini nazorat qilish uchun ikkita vazifa:

1. Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzing:

Javoblar:

Hammasi mos tushdimi? Shunga qaramay, agar ma'lum qiyinchiliklar mavjud bo'lsa, unda mening maslahatim shunday: boshingizdan uchta nuqtani oling (ular bir xil to'g'ri chiziqda yotmaslik ehtimoli yuqori), ular asosida samolyot yasang. Va keyin siz o'zingizni onlayn tekshirasiz. Masalan, saytda:

Biroq, determinantlar yordamida biz nafaqat tekislikning tenglamasini tuzamiz. Esingizda bo'lsin, men sizga faqat vektorlar uchun nuqta mahsuloti aniqlanmaganligini aytdim. Shuningdek, vektor mahsuloti, shuningdek aralash mahsulot mavjud. Va agar ikkita vektorning skalyar ko'paytmasi son bo'lsa, u holda ikkita vektorning vektor mahsuloti vektor bo'ladi va bu vektor berilganlarga perpendikulyar bo'ladi:

Bundan tashqari, uning moduli vektorlar ustida qurilgan parallelogramm maydoniga teng bo'ladi. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun bizga bu vektor kerak bo'ladi. Vektorlarning vektor mahsulotini qanday hisoblash mumkin va agar ularning koordinatalari berilgan bo'lsa? Uchinchi tartibli determinant yana yordamimizga keladi. Biroq, vektor mahsulotini hisoblash algoritmiga o'tishdan oldin, men kichik bir chekinishim kerak.

Ushbu chekinish bazis vektorlariga tegishli.

Ular sxematik tarzda rasmda ko'rsatilgan:

Nima uchun ular asosiy deb ataladi deb o'ylaysiz? Gap shundaki :

Yoki rasmda:

Ushbu formulaning to'g'riligi aniq, chunki:

Vektor san'ati

Endi men o'zaro faoliyat mahsulotini kiritishni boshlashim mumkin:

Ikki vektorning vektor mahsuloti vektor bo'lib, u quyidagi qoida bo'yicha hisoblanadi:

Keling, ko'ndalang mahsulotni hisoblashning ba'zi misollarini keltiramiz:

1-misol: Vektorlarning o‘zaro ko‘paytmasini toping:

Yechish: Determinant yasayman:

Va men buni hisoblayman:

Endi bazaviy vektorlar orqali yozishdan keyin men odatdagi vektor yozuviga qaytaman:

Shunday qilib:

Endi sinab ko'ring.

Tayyormisiz? Biz tekshiramiz:

Va an'anaviy ravishda ikkita nazorat qilish uchun vazifalar:

1. Quyidagi vektorlarning vektor mahsulotini toping:
2. Quyidagi vektorlarning vektor mahsulotini toping:

Javoblar:

Uch vektorning aralash mahsuloti

Menga kerak bo'lgan oxirgi qurilish uchta vektorning aralash mahsulotidir. Bu, xuddi skaler kabi, raqam. Uni hisoblashning ikki yo'li mavjud. - aniqlovchi orqali, - aralash hosila orqali.

Ya'ni, bizga uchta vektor berilsin:

Shu bilan belgilangan uchta vektorning aralash mahsulotini quyidagicha hisoblash mumkin:

1. - ya'ni aralash mahsulot vektorning skalyar ko'paytmasi va boshqa ikkita vektorning vektor ko'paytmasidir.

Masalan, uchta vektorning aralash mahsuloti:

Vektor mahsuloti yordamida uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling va natijalar mos kelishiga ishonch hosil qiling!

Va yana mustaqil echimlar uchun ikkita misol:

Javoblar:

Koordinatalar tizimini tanlash

Xo'sh, endi biz murakkab stereometrik geometriya muammolarini hal qilish uchun barcha kerakli bilimlarga egamiz. Biroq, to'g'ridan-to'g'ri misollar va ularni hal qilish algoritmlariga o'tishdan oldin, men quyidagi savolga to'xtalib o'tish foydali bo'ladi deb o'ylayman: qanday qilib aniq ma'lum bir raqam uchun koordinatalar tizimini tanlang. Axir, bu koordinata tizimining nisbiy o'rnini va kosmosdagi raqamni tanlash hisob-kitoblarning qanchalik og'ir bo'lishini aniqlaydi.

Eslatib o'tamiz, ushbu bo'limda biz quyidagi raqamlarni ko'rib chiqamiz:

1. To'rtburchak parallelepiped
2. To'g'ri prizma (uchburchak, olti burchakli ...)
3. Piramida (uchburchak, to'rtburchak)
4. Tetraedr (uchburchak piramida bilan bir xil)

To'rtburchaklar parallelepiped yoki kub uchun men sizga quyidagi qurilishni tavsiya qilaman:

Ya'ni, men raqamni "burchakda" joylashtiraman. Kub va parallelepiped juda yaxshi figuralar. Ular uchun siz har doim uning cho'qqilarining koordinatalarini osongina topishingiz mumkin. Masalan, agar (rasmda ko'rsatilganidek)

u holda cho'qqilarning koordinatalari quyidagicha bo'ladi:

Albatta, buni eslab qolishning hojati yo'q, lekin kub yoki to'rtburchak parallelepipedni qanday joylashtirishni eslab qolish tavsiya etiladi.

To'g'ri prizma

Prizma ko'proq zararli raqamdir. U kosmosda turli yo'llar bilan joylashtirilishi mumkin. Biroq, men uchun quyidagi variant eng maqbul ko'rinadi:

Uchburchak prizma:

Ya'ni, biz uchburchakning bir tomonini to'liq o'qga joylashtiramiz va cho'qqilardan biri koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri keladi.

Olti burchakli prizma:

Ya'ni, cho'qqilardan biri koordinataga to'g'ri keladi va tomonlardan biri o'qda yotadi.

To'rtburchak va olti burchakli piramida:

Vaziyat kubga o'xshaydi: biz asosning ikki tomonini koordinata o'qlari bilan tekislaymiz va cho'qqilardan birini koordinatalarning kelib chiqishi bilan tekislaymiz. Faqatgina engil qiyinchilik nuqta koordinatalarini hisoblash bo'ladi.

Olti burchakli piramida uchun - olti burchakli prizma bilan bir xil. Asosiy vazifa yana tepaning koordinatalarini topish bo'ladi.

Tetraedr (uchburchak piramida)

Vaziyat men uchburchak prizma uchun bergan holatga juda o'xshaydi: bir uchi koordinata o'qiga to'g'ri keladi, bir tomoni koordinata o'qida yotadi.

Xo'sh, endi siz va men muammolarni hal qilishni boshlashga yaqinmiz. Maqolaning boshida aytganlarimdan siz quyidagi xulosaga kelishingiz mumkin: ko'pchilik C2 muammolari 2 toifaga bo'linadi: burchak muammolari va masofa masalalari. Birinchidan, burchakni topish muammolarini ko'rib chiqamiz. Ular o'z navbatida quyidagi toifalarga bo'linadi (murakkablik ortishi bilan):

Burchaklarni topish muammolari

1. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish
2. Ikki tekislik orasidagi burchakni topish

Keling, ushbu masalalarni ketma-ket ko'rib chiqaylik: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topishdan boshlaylik. Xo'sh, esingizdami, siz va men shunga o'xshash misollarni ilgari hal qilmaganmidik? Esingizdami, bizda allaqachon shunga o'xshash narsa bor edi ... Biz ikkita vektor orasidagi burchakni qidirdik. Sizga eslatib o'taman, agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va ular orasidagi burchak munosabatlardan topiladi:

Endi bizning maqsadimiz ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topishdir. Keling, "tekis rasm" ni ko'rib chiqaylik:

Ikki to‘g‘ri chiziq kesishganda nechta burchak oldik? Faqat bir nechta narsa. To'g'ri, ulardan faqat ikkitasi teng emas, boshqalari esa ularga vertikal (va shuning uchun ular bilan mos keladi). Xo'sh, qaysi burchakni ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni hisobga olishimiz kerak: yoki? Bu erda qoida: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak har doim gradusdan oshmaydi. Ya'ni, ikkita burchakdan biz har doim eng kichik daraja o'lchovi bilan burchakni tanlaymiz. Ya'ni, bu rasmda ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak teng. Har safar ikkita burchakning eng kichigini topish bilan bezovtalanmaslik uchun ayyor matematiklar moduldan foydalanishni taklif qilishdi. Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Diqqatli o'quvchi sifatida sizda savol tug'ilishi kerak edi: burchakning kosinusini hisoblashimiz kerak bo'lgan raqamlarni qaerdan olamiz? Javob: biz ularni chiziqlarning yo'nalish vektorlaridan olamiz! Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish algoritmi quyidagicha:

1. Biz 1-formulani qo'llaymiz.

Yoki batafsilroq:

1. Biz birinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
2. Biz ikkinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
3. Biz ularning skalyar mahsulotining modulini hisoblaymiz
4. Biz birinchi vektorning uzunligini qidiramiz
5. Biz ikkinchi vektorning uzunligini qidiramiz
6. 4-band natijalarini 5-band natijalariga ko'paytiring
7. 3-nuqta natijasini 6-nuqta natijasiga ajratamiz. Chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini olamiz.
8. Agar bu natija burchakni to'g'ri hisoblash imkonini beradigan bo'lsa, biz uni qidiramiz
9. Aks holda biz yoy kosinusu orqali yozamiz

Xo'sh, endi muammolarga o'tish vaqti keldi: birinchi ikkitasining yechimini batafsil ko'rsataman, boshqasiga qisqacha yechimni taqdim etaman, oxirgi ikki masalaga esa faqat javoblarni beraman; ular uchun barcha hisob-kitoblarni o'zingiz bajarishingiz kerak.

Vazifalar:

1. O'ng tet-ra-ed-reda tet-ra-ed-ra balandligi va o'rta tomoni orasidagi burchakni toping.

2. O'ng tarafdagi olti burchakli pi-ra-mi-de yuzta os-no-va-niya teng, yon qirralari teng, chiziqlar orasidagi burchakni toping va.

3. O'ng to'rtta ko'mir pi-ra-mi-dy barcha qirralarning uzunliklari bir-biriga teng. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va agar kesmadan - siz berilgan pi-ra-mi-dy bilan bo'lsangiz, nuqta uning bo-co- ikkinchi qovurg'alarida se-re-di-dir.

4. Kubning chetida shunday nuqta borki, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va

5. Nuqta - kubning chetlarida To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va.

Vazifalarni shu tartibda tartiblaganim bejiz emas. Siz hali koordinata usulida harakat qilishni boshlamagan bo'lsangiz ham, men eng "muammoli" raqamlarni o'zim tahlil qilaman va sizni eng oddiy kub bilan shug'ullanish uchun qoldiraman! Asta-sekin siz barcha raqamlar bilan ishlashni o'rganishingiz kerak bo'ladi; Men mavzudan mavzuga vazifalarning murakkabligini oshiraman.

Keling, muammolarni hal qilishni boshlaylik:

1. Tetraedrni chizing, uni ilgari taklif qilganimdek koordinatalar tizimiga joylashtiring. Tetraedr muntazam bo'lgani uchun uning barcha yuzlari (shu jumladan asos) muntazam uchburchaklardir. Bizga tomonning uzunligi berilmaganligi sababli, men uni teng deb qabul qila olaman. O'ylaymanki, burchak bizning tetraedrimizning qanchalik "cho'zilganiga" bog'liq emasligini tushunasizmi? Tetraedrda balandlik va medianani ham chizaman. Yo'lda men uning asosini chizaman (bu biz uchun ham foydali bo'ladi).

va orasidagi burchakni topishim kerak. Biz nimani bilamiz? Biz faqat nuqtaning koordinatasini bilamiz. Bu nuqtalarning koordinatalarini topishimiz kerakligini anglatadi. Endi biz o'ylaymiz: nuqta - bu uchburchakning balandliklari (yoki bissektrisalari yoki medianlari) kesishish nuqtasi. Va nuqta - bu ko'tarilgan nuqta. Nuqta segmentning o'rtasidir. Keyin nihoyat topishimiz kerak: nuqtalarning koordinatalarini: .

Eng oddiy narsadan boshlaylik: nuqta koordinatalari. Rasmga qarang: nuqtaning ilovasi nolga teng ekanligi aniq (nuqta tekislikda yotadi). Uning ordinatasi teng (chunki u mediana). Uning abscissasini topish qiyinroq. Biroq, bu Pifagor teoremasi asosida osonlik bilan amalga oshiriladi: uchburchakni ko'rib chiqing. Uning gipotenuzasi teng va oyoqlaridan biri teng bo'lsa:

Nihoyat bizda: .

Endi nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning qo'llanilishi yana nolga teng va uning ordinatasi nuqta bilan bir xil, ya'ni. Keling, uning absissasini topamiz. Agar buni eslasangiz, bu juda ahamiyatsiz tarzda amalga oshiriladi teng tomonli uchburchakning kesishish nuqtasi bo'yicha balandliklari mutanosib ravishda bo'linadi, yuqoridan hisoblash. Chunki: , u holda kesma uzunligiga teng nuqtaning kerakli absissasi: ga teng. Shunday qilib, nuqtaning koordinatalari:

Nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning abscissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Va ariza segmentning uzunligiga teng. - bu uchburchakning oyoqlaridan biri. Uchburchakning gipotenuzasi segment - oyoqdir. Men qalin harf bilan ta'kidlagan sabablarga ko'ra qidirilmoqda:

Nuqta segmentning o'rtasidir. Keyin segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari formulasini eslab qolishimiz kerak:

Mana, endi biz yo'nalish vektorlarining koordinatalarini izlashimiz mumkin:

Xo'sh, hamma narsa tayyor: biz barcha ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib,

Javob:

Bunday "qo'rqinchli" javoblardan qo'rqmaslik kerak: C2 muammolari uchun bu odatiy amaliyotdir. Men bu qismdagi "chiroyli" javobdan hayratda qolgan bo'lardim. Bundan tashqari, siz sezganingizdek, men amalda Pifagor teoremasi va teng qirrali uchburchakning balandliklar xususiyatidan boshqa hech narsaga murojaat qilmadim. Ya'ni, stereometrik muammoni hal qilish uchun men eng minimal stereometriyadan foydalandim. Bu boradagi daromad ancha mashaqqatli hisob-kitoblar bilan qisman "o'chiriladi". Ammo ular juda algoritmik!

2. Muntazam olti burchakli piramidani koordinatalar tizimi bilan bir qatorda uning asosini ham tasvirlaylik:

Biz va chiziqlar orasidagi burchakni topishimiz kerak. Shunday qilib, bizning vazifamiz nuqtalarning koordinatalarini topishga to'g'ri keladi: . Oxirgi uchtasining koordinatalarini kichik chizma yordamida topamiz va nuqta koordinatasi orqali tepaning koordinatasini topamiz. Ko'p ish qilish kerak, lekin biz boshlashimiz kerak!

a) Koordinata: uning ilovasi va ordinatasi nolga teng ekanligi aniq. Keling, abtsissani topamiz. Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Afsuski, unda biz faqat teng bo'lgan gipotenuzani bilamiz. Biz oyoqni topishga harakat qilamiz (chunki oyoqning ikki barobar uzunligi bizga nuqtaning abscissasini berishi aniq). Uni qanday izlashimiz mumkin? Keling, piramidaning tagida qanday shakl borligini eslaylik? Bu oddiy olti burchakli. Bu nima degani? Bu barcha tomonlar va barcha burchaklar teng ekanligini anglatadi. Biz shunday burchaklardan birini topishimiz kerak. Har qanday fikr bormi? Ko'p fikrlar bor, lekin formula bor:

Muntazam n-burchak burchaklarining yig'indisi .

Shunday qilib, muntazam olti burchakli burchaklar yig'indisi darajaga teng. Keyin burchaklarning har biri teng bo'ladi:

Keling, rasmga yana qaraylik. Segment burchakning bissektrisasi ekanligi aniq. Keyin burchak gradusga teng bo'ladi. Keyin:

Keyin qayerdan.

Shunday qilib, u koordinatalarga ega

b) Endi nuqtaning koordinatasini bemalol topamiz: .

v) nuqtaning koordinatalarini toping. Uning abscissasi segment uzunligiga to'g'ri kelganligi sababli, u tengdir. Ordinatni topish ham unchalik qiyin emas: agar nuqtalarni birlashtirib, chiziqning kesishish nuqtasini, aytaylik, deb belgilasak. (oddiy qurilishni o'zingiz bajaring). Shunday qilib, B nuqtaning ordinatasi segmentlar uzunliklarining yig'indisiga teng. Keling, yana uchburchakni ko'rib chiqaylik. Keyin

O'shandan beri nuqta koordinatalariga ega

d) Endi nuqtaning koordinatalarini topamiz. To'rtburchakni ko'rib chiqing va nuqta koordinatalari quyidagicha ekanligini isbotlang:

e) Tepaning koordinatalarini topish qoladi. Ko'rinib turibdiki, uning abscissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Keling, ilovani topamiz. O'shandan beri. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing. Muammoning shartlariga ko'ra, yon chekka. Bu mening uchburchakning gipotenuzasi. Keyin piramidaning balandligi oyoqdir.

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Xo'sh, tamom, menda meni qiziqtirgan barcha nuqtalarning koordinatalari bor. Men to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining koordinatalarini qidiryapman:

Ushbu vektorlar orasidagi burchakni qidiramiz:

Javob:

Shunga qaramay, bu muammoni hal qilishda men muntazam n-burchak burchaklarining yig'indisi formulasidan, shuningdek, to'g'ri burchakli uchburchakning kosinus va sinusini aniqlashdan boshqa hech qanday murakkab usullardan foydalanmadim.

3. Bizga yana piramidada qirralarning uzunliklari berilmagani uchun ularni bittaga teng deb hisoblayman. Shunday qilib, nafaqat yon tomonlari emas, balki HAMMA qirralari bir-biriga teng bo'lganligi sababli, piramida va men poydevorida kvadrat bor va yon yuzlari muntazam uchburchaklardir. Keling, masalaning matnida keltirilgan barcha ma'lumotlarni hisobga olib, bunday piramidani, shuningdek uning asosini tekislikda chizamiz:

Biz va orasidagi burchakni qidiramiz. Nuqtalarning koordinatalarini qidirganimda juda qisqa hisob-kitoblarni amalga oshiraman. Siz ularni "deshifrlashingiz" kerak bo'ladi:

b) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari:

c) uchburchakda Pifagor teoremasidan foydalanib segment uzunligini topaman. Men buni uchburchakda Pifagor teoremasi yordamida topa olaman.

Koordinatalar:

d) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari

e) Vektor koordinatalari

f) Vektor koordinatalari

g) burchakni izlash:

Kub eng oddiy figuradir. Ishonchim komilki, siz buni o'zingiz hal qilasiz. 4 va 5-masalalarning javoblari quyidagicha:

To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish

Xo'sh, oddiy jumboqlarning vaqti tugadi! Endi misollar yanada murakkabroq bo'ladi. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:

1. Uch nuqtadan foydalanib, biz tekislikning tenglamasini tuzamiz
   ,
   uchinchi tartibli determinant yordamida.
2. Ikki nuqtadan foydalanib, biz to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini qidiramiz:
3. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni hisoblash uchun formuladan foydalanamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu formula biz ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchaklarni topish uchun ishlatgan formulaga juda o'xshaydi. O'ng tomondagi struktura oddiygina bir xil, chap tomonda esa biz avvalgidek kosinusni emas, balki sinusni qidiramiz. Xo'sh, bitta jirkanch harakat qo'shildi - samolyot tenglamasini qidirish.

Kechiktirmaylik Yechim misollari:

1. Asosiy-lekin-va-ni-em to'g'ridan-to'g'ri prizma-biz teng-kambag'al uchburchakmiz. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping

2. G‘arbdan to‘rtburchak par-ral-le-le-pi-pe-de to‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni toping.

3. To'g'ri olti burchakli prizmada barcha qirralar teng. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping.

4. To'g'ri uchburchakda pi-ra-mi-de os-no-va-ni-em bilan ma'lum qovurg'alar Burchakni toping, ob-ra-zo-van - tekis asosda va tekis, kulrangdan o'tuvchi. qovurg'alar va

5. Cho'qqisi bo'lgan to'g'ri to'rtburchak pi-ra-mi-dyning barcha qirralarining uzunliklari bir-biriga teng. Agar nuqta pi-ra-mi-dy chetida bo'lsa, to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping.

Yana birinchi ikkita masalani batafsil, uchinchisini qisqacha hal qilaman va oxirgi ikkitasini o'zingiz hal qilishingiz uchun qoldiraman. Bundan tashqari, siz allaqachon uchburchak va to'rtburchak piramidalar bilan shug'ullanishingiz kerak edi, lekin hali prizmalar bilan emas.

Yechimlar:

1. Prizmani, shuningdek, uning asosini tasvirlaylik. Keling, uni koordinatalar tizimi bilan birlashtiramiz va muammo bayonida berilgan barcha ma'lumotlarni qayd qilamiz:

Men mutanosibliklarga rioya qilmaslik uchun uzr so'rayman, lekin muammoni hal qilish uchun bu, aslida, unchalik muhim emas. Samolyot mening prizmaning "orqa devori" dir. Bunday tekislikning tenglamasi quyidagi shaklga ega ekanligini taxmin qilish kifoya:

Biroq, bu to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilishi mumkin:

Keling, ushbu tekislikdagi ixtiyoriy uchta nuqtani tanlaymiz: masalan, .

Tekislik tenglamasini tuzamiz:

Siz uchun mashq: bu determinantni o'zingiz hisoblang. Muvaffaqiyatga erishdingizmi? Keyin tekislikning tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

Yoki oddiygina

Shunday qilib,

Misolni hal qilish uchun men to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini topishim kerak. Nuqta koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri kelganligi uchun vektorning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan oddiygina mos tushadi.Buning uchun avvalo nuqtaning koordinatalarini topamiz.

Buning uchun uchburchakni ko'rib chiqing. Tepadan balandlikni (mediana va bissektrisa deb ham ataladi) chizamiz. Chunki nuqtaning ordinatasi ga teng. Ushbu nuqtaning abssissasini topish uchun biz segmentning uzunligini hisoblashimiz kerak. Pifagor teoremasiga ko'ra bizda:

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Nuqta - bu "ko'tarilgan" nuqta:

Keyin vektor koordinatalari:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bunday muammolarni hal qilishda tubdan qiyin narsa yo'q. Aslida, jarayon prizma kabi raqamning "to'g'riligi" bilan biroz soddalashtirilgan. Endi keyingi misolga o'tamiz:

2. Parallelepipedni chizing, unga tekislik va to'g'ri chiziq chizing, shuningdek, uning pastki asosini alohida chizing:

Birinchidan, biz tekislikning tenglamasini topamiz: undagi uchta nuqtaning koordinatalari:

(birinchi ikkita koordinata aniq tarzda olinadi va siz nuqtadan rasmdan oxirgi koordinatani osongina topishingiz mumkin). Keyin tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Biz hisoblaymiz:

Biz yo'naltiruvchi vektorning koordinatalarini qidiramiz: uning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan mos kelishi aniq, shunday emasmi? Koordinatalarni qanday topish mumkin? Bular ilova o'qi bo'ylab bittaga ko'tarilgan nuqtaning koordinatalari! . Keyin kerakli burchakni qidiramiz:

Javob:

3. Muntazam olti burchakli piramida chizing, so‘ngra unga tekislik va to‘g‘ri chiziq chizing.

Bu erda samolyotni chizish ham muammoli, bu muammoni hal qilish haqida gapirmasa ham bo'ladi, lekin koordinata usuli ahamiyat bermaydi! Uning ko'p qirraliligi uning asosiy ustunligidir!

Samolyot uchta nuqtadan o'tadi: . Biz ularning koordinatalarini qidiramiz:

1) . Oxirgi ikki nuqtaning koordinatalarini o'zingiz toping. Buning uchun olti burchakli piramida muammosini hal qilishingiz kerak bo'ladi!

2) Tekislik tenglamasini tuzamiz:

Biz vektorning koordinatalarini qidiramiz: . (Yana uchburchak piramida muammosiga qarang!)

3) Burchakni izlash:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bu vazifalarda g'ayritabiiy qiyin narsa yo'q. Siz faqat ildizlar bilan juda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Men faqat oxirgi ikkita muammoga javob beraman:

Ko'rib turganingizdek, muammolarni echish texnikasi hamma joyda bir xil: asosiy vazifa - cho'qqilarning koordinatalarini topish va ularni ma'lum formulalarga almashtirish. Biz hali ham burchaklarni hisoblash uchun muammolarning yana bir sinfini ko'rib chiqishimiz kerak, xususan:

Ikki tekislik orasidagi burchaklarni hisoblash

Yechim algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Uch nuqtadan foydalanib, birinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
2. Qolgan uchta nuqtadan foydalanib, biz ikkinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
3. Biz formulani qo'llaymiz:

Ko'rib turganingizdek, formula oldingi ikkitasiga juda o'xshaydi, ularning yordami bilan biz to'g'ri chiziqlar orasidagi va to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchaklarni qidirdik. Shuning uchun buni eslab qolish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Keling, vazifalarni tahlil qilishga o'tamiz:

1. To‘g‘ri burchakli uchburchak prizma asosining tomoni teng, yon yuzining dia-gonali teng. Prizma o'qi tekisligi bilan tekislik orasidagi burchakni toping.

2. O‘ng to‘rt burchakli pi-ra-mi-de, barcha qirralari teng, per-pen-di-ku- nuqtadan o‘tuvchi tekislik va tekis suyak orasidagi burchakning sinusini toping. lyar - lekin to'g'ri.

3. Muntazam to‘rt burchakli prizmada asosning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. dan-me-che-on chekkasida bir nuqta bor, shuning uchun. va tekisliklari orasidagi burchakni toping

4. To'g'ri to'rtburchak prizmada asosning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. Nuqtadan chetida shunday nuqta borki, tekisliklar orasidagi burchakni toping va.

5. Kubda va tekisliklar orasidagi burchakning ko-si-nusini toping

Muammoni hal qilish usullari:

1. Muntazam (poydegida teng yonli uchburchak) uchburchak prizma chizaman va uning ustida masala bayonida ko‘rsatilgan tekisliklarni belgilayman:

Biz ikkita tekislikning tenglamalarini topishimiz kerak: Baza tenglamasi ahamiyatsiz: siz uchta nuqtadan foydalanib, mos keladigan determinantni tuzishingiz mumkin, lekin men darhol tenglama tuzaman:

Endi tenglamani topamiz Nuqta koordinatalariga ega Nuqta - Uchburchakning medianasi va balandligi bo'lgani uchun uni uchburchakdagi Pifagor teoremasi yordamida osongina topish mumkin. U holda nuqta koordinatalariga ega bo'ladi: Nuqtaning ilovasini topamiz.Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqamiz.

Keyin quyidagi koordinatalarni olamiz: Tekislik tenglamasini tuzamiz.

Biz tekisliklar orasidagi burchakni hisoblaymiz:

Javob:

2. Chizma yasash:

Eng qiyin narsa, bu nuqtadan perpendikulyar ravishda o'tadigan qanday sirli tekislik ekanligini tushunishdir. Xo'sh, asosiysi, bu nima? Asosiysi, diqqat! Aslida, chiziq perpendikulyar. To'g'ri chiziq ham perpendikulyar. Keyin bu ikki chiziqdan o'tuvchi tekislik chiziqqa perpendikulyar bo'ladi va, aytmoqchi, nuqtadan o'tadi. Bu tekislik ham piramidaning tepasidan o'tadi. Keyin kerakli samolyot - Va samolyot allaqachon bizga berilgan. Biz nuqtalarning koordinatalarini qidiramiz.

Nuqta orqali nuqtaning koordinatasini topamiz. Kichkina rasmdan nuqtaning koordinatalari quyidagicha bo'lishini osonlik bilan xulosa qilish mumkin: Piramida tepasining koordinatalarini topish uchun endi nima qilish kerak? Bundan tashqari, uning balandligini hisoblashingiz kerak. Bu xuddi shu Pifagor teoremasi yordamida amalga oshiriladi: avval buni isbotlang (poydevorda kvadrat hosil qiluvchi kichik uchburchaklardan). Chunki shartga ko'ra bizda:

Endi hamma narsa tayyor: vertex koordinatalari:

Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Siz allaqachon determinantlarni hisoblash bo'yicha mutaxassissiz. Siz qiyinchiliksiz olasiz:

Yoki boshqacha (agar ikkala tomonni ikkitaning ildiziga ko'paytirsak)

Endi tekislikning tenglamasini topamiz:

(Samolyot tenglamasini qanday olishimizni unutmagansiz, to'g'rimi? Agar bu minus qaerdan kelganini tushunmasangiz, unda tekislik tenglamasining ta'rifiga qayting! Bu har doim undan oldin bo'lgan. mening samolyotim koordinatalarning kelib chiqishiga tegishli edi!)

Determinantni hisoblaymiz:

(Samolyot tenglamasi nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasiga toʻgʻri kelishini sezishingiz mumkin va nima uchun oʻylab koʻring!)

Endi burchakni hisoblaymiz:

Biz sinusni topishimiz kerak:

Javob:

3. Qiziqarli savol: to'rtburchak prizma nima deb o'ylaysiz? Bu shunchaki siz yaxshi biladigan parallelepiped! Keling, darhol rasm chizamiz! Bazani alohida tasvirlashning hojati yo'q, bu erda unchalik foydali emas:

Samolyot, yuqorida aytib o'tganimizdek, tenglama shaklida yozilgan:

Endi samolyot yarataylik

Biz darhol tekislikning tenglamasini yaratamiz:

Burchak qidirmoqda:

Endi oxirgi ikkita muammoga javoblar:

Xo'sh, endi biroz tanaffus qilish vaqti keldi, chunki siz va men ajoyibmiz va ajoyib ish qildik!

Koordinatalar va vektorlar. Yuqori daraja

Ushbu maqolada biz siz bilan koordinata usuli yordamida echilishi mumkin bo'lgan muammolarning yana bir sinfini muhokama qilamiz: masofani hisoblash masalalari. Ya'ni, biz quyidagi holatlarni ko'rib chiqamiz:

1. Kesishuvchi chiziqlar orasidagi masofani hisoblash.

Men bu topshiriqlarni ortib borayotgan qiyinchilik tartibida buyurdim. Buni topish eng oson bo'lib chiqdi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa, va eng qiyin narsa topishdir kesishgan chiziqlar orasidagi masofa. Garchi, albatta, imkonsiz narsa yo'q! Keling, kechiktirmaylik va darhol muammolarning birinchi sinfini ko'rib chiqishga kirishamiz:

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Bu muammoni hal qilish uchun bizga nima kerak?

1. Nuqta koordinatalari

Shunday qilib, barcha kerakli ma'lumotlarni olishimiz bilan biz formulani qo'llaymiz:

Oxirgi qismda muhokama qilgan oldingi muammolardan tekislik tenglamasini qanday qurishimizni allaqachon bilishingiz kerak. Keling, to'g'ridan-to'g'ri vazifalarga o'tamiz. Sxema quyidagicha: 1, 2 - men sizga qaror qabul qilishda yordam beraman va ba'zi tafsilotlarda 3, 4 - faqat javob, siz o'zingiz yechimni amalga oshirasiz va taqqoslaysiz. Boshlaymiz!

Vazifalar:

1. Kub berilgan. Kubning chetining uzunligi teng. Se-re-di-nadan kesmadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping

2. To'g'ri to'rtta ko'mir pi-ra-mi-ha berilgan, yon tomonning tomoni asosga teng. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping, bu erda - qirralarning se-re-di-on.

3. Os-no-va-ni-em bilan to'g'ri uchburchak pi-ra-mi-de, yon qirrasi teng, yuz-ro-on os-no-vaniya teng. Yuqoridan tekislikgacha bo'lgan masofani toping.

4. To'g'ri olti burchakli prizmada barcha qirralar teng. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping.

Yechimlar:

1. Yagona qirrali kub chizing, segment va tekislikni tuzing, segmentning o'rtasini harf bilan belgilang

.

Birinchidan, eng osonidan boshlaylik: nuqtaning koordinatalarini toping. O'shandan beri (segmentning o'rtasi koordinatalarini eslang!)

Endi biz uch nuqtadan foydalanib, tekislik tenglamasini tuzamiz

\[\chap| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiv)) \o'ng| = 0\]

Endi masofani topishni boshlashim mumkin:

2. Biz barcha ma'lumotlarni belgilab qo'ygan chizma bilan yana boshlaymiz!

Piramida uchun uning asosini alohida chizish foydali bo'ladi.

Tovuqdek panjasi bilan chizganim ham bu muammoni osonlikcha hal qilishimizga xalaqit bermaydi!

Endi nuqtaning koordinatalarini topish oson

Nuqtaning koordinatalari beri, keyin

2. a nuqtaning koordinatalari segmentning o'rtasi bo'lgani uchun, u holda

Hech qanday muammosiz tekislikdagi yana ikkita nuqtaning koordinatalarini topishimiz mumkin.Teklik uchun tenglama tuzamiz va uni soddalashtiramiz:

\[\chap| (\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiv)) \right|) \right| = 0\]

Nuqta koordinatalariga ega bo'lgani uchun: masofani hisoblaymiz:

Javob (juda kamdan-kam!):

Xo'sh, tushundingizmi? Menimcha, bu erda hamma narsa avvalgi qismda ko'rib chiqqan misollardagi kabi texnikdir. Shuning uchun ishonchim komilki, agar siz ushbu materialni o'zlashtirgan bo'lsangiz, qolgan ikkita muammoni hal qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Men sizga faqat javoblarni beraman:

To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Aslida, bu erda hech qanday yangilik yo'q. To'g'ri chiziq va tekislikni bir-biriga nisbatan qanday joylashtirish mumkin? Ularning faqat bitta imkoniyati bor: kesishish yoki tekis chiziq tekislikka parallel. Sizningcha, to'g'ri chiziqdan bu to'g'ri chiziq kesishgan tekislikgacha bo'lgan masofa qancha? Menimcha, bu erda bunday masofa nolga teng ekanligi aniq. Qiziqarli holat emas.

Ikkinchi holat qiyinroq: bu erda masofa allaqachon nolga teng. Biroq, chiziq tekislikka parallel bo'lganligi sababli, chiziqning har bir nuqtasi ushbu tekislikdan teng masofada joylashgan:

Shunday qilib:

Bu mening vazifam avvalgisiga qisqartirilganligini anglatadi: biz to'g'ri chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz, tekislik tenglamasini qidiramiz va nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz. Aslida, Yagona davlat imtihonida bunday vazifalar juda kam uchraydi. Men faqat bitta muammoni topishga muvaffaq bo'ldim va undagi ma'lumotlar shunday ediki, koordinata usuli unga unchalik mos kelmadi!

Endi muammolarning boshqa, ancha muhim sinfiga o'tamiz:

Nuqtadan chiziqqa masofani hisoblash

Bizga nima kerak?

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalari:

2. Chiziqda yotgan har qanday nuqtaning koordinatalari

3. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari

Biz qanday formuladan foydalanamiz?

Bu kasrning maxraji nimani anglatishi siz uchun tushunarli bo'lishi kerak: bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining uzunligi. Bu juda qiyin hisoblagich! Ifoda vektorlarning vektor mahsulotining moduli (uzunligi) degan ma'noni anglatadi va vektor mahsulotini qanday hisoblash mumkin, biz ishning oldingi qismida o'rganib chiqdik. Bilimingizni yangilang, bizga hozir juda kerak bo'ladi!

Shunday qilib, muammolarni hal qilish algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

2. Biz masofani izlayotgan chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

3. Vektorni tuzing

4. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini tuzing

5. Vektor mahsulotini hisoblang

6. Olingan vektorning uzunligini qidiramiz:

7. Masofani hisoblang:

Bizda juda ko'p ish bor va misollar juda murakkab bo'ladi! Shunday qilib, endi barcha e'tiboringizni qarating!

1. Tepasi bo'lgan to'g'ri uchburchak pi-ra-mi-da berilgan. Pi-ra-mi-dy asosidagi yuz-ro- teng, siz tengsiz. Kulrang chetdan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping, bu erda nuqtalar kulrang qirralar va veterinariyadan.

2. Qovurg'a uzunliklari va to'g'ri burchakli-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da mos ravishda teng va Tepadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping.

3. To‘g‘ri olti burchakli prizmada barcha qirralar teng, nuqtadan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani toping.

Yechimlar:

1. Biz barcha ma'lumotlarni belgilagan chiroyli chizmani yaratamiz:

Bizda qiladigan ish ko'p! Birinchidan, men nimani qidirayotganimizni va qanday tartibda so'z bilan tasvirlab bermoqchiman:

1. Nuqtalarning koordinatalari va

2. Nuqta koordinatalari

3. Nuqtalarning koordinatalari va

4. Vektorlarning koordinatalari va

5. Ularning ko‘paytmasi

6. Vektor uzunligi

7. Vektor mahsulotining uzunligi

8. dan gacha bo'lgan masofa

Axir, bizni juda ko'p ishlar kutmoqda! Keling, yeng shimarib, bunga erishaylik!

1. Piramida balandligining koordinatalarini topish uchun nuqtaning koordinatalarini bilishimiz kerak.Uning ilovasi nolga teng, ordinatasi esa abssissasi kesma uzunligiga teng.Chunki balandligi teng qirrali uchburchak, u cho'qqidan sanab, bu erdan nisbatga bo'linadi. Nihoyat, biz koordinatalarni oldik:

Nuqta koordinatalari

2. - segmentning o'rtasi

3. - segmentning o'rtasi

Segmentning o'rta nuqtasi

4. Koordinatalar

Vektor koordinatalari

5. Vektor mahsulotini hisoblang:

6. Vektor uzunligi: almashtirishning eng oson usuli - bu segment uchburchakning o'rta chizig'i bo'lib, u asosning yarmiga teng degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib.

7. Vektor mahsulotining uzunligini hisoblang:

8. Nihoyat, biz masofani topamiz:

Uf, shunaqa! Sizga rostini aytaman: bu muammoni an'anaviy usullar yordamida (qurilish orqali) hal qilish ancha tezroq bo'ladi. Lekin bu erda men hamma narsani tayyor algoritmga qisqartirdim! Menimcha, yechim algoritmi siz uchun tushunarlimi? Shuning uchun qolgan ikkita muammoni o'zingiz hal qilishingizni so'rayman. Javoblarni solishtiraylikmi?

Yana takror aytaman: bu muammolarni koordinata usuliga murojaat qilishdan ko'ra, konstruktsiyalar orqali hal qilish osonroq (tezroq). Men ushbu yechim usulini faqat sizga "hech narsa qurishni tugatmaslik" imkonini beradigan universal usulni ko'rsatish uchun ko'rsatdim.

Va nihoyat, muammolarning oxirgi sinfini ko'rib chiqing:

Kesishuvchi chiziqlar orasidagi masofani hisoblash

Bu erda muammolarni hal qilish algoritmi avvalgisiga o'xshash bo'ladi. Bizda nima bor:

3. Birinchi va ikkinchi chiziq nuqtalarini tutashtiruvchi har qanday vektor:

Chiziqlar orasidagi masofani qanday topamiz?

Formula quyidagicha:

Numerator aralash mahsulotning moduli (biz uni avvalgi qismda kiritganmiz), maxraj esa avvalgi formulada bo'lgani kabi (to'g'ri chiziqlar yo'nalish vektorlarining vektor mahsulotining moduli, biz ular orasidagi masofa). qidirmoqda).

Men buni sizga eslataman

Keyin masofa uchun formulani quyidagicha qayta yozish mumkin:

Bu determinantga bo'lingan determinant! Rostini aytsam, bu yerda hazilga vaqtim yo'q! Bu formula, aslida, juda og'ir va juda murakkab hisob-kitoblarga olib keladi. Agar men sizning o'rningizda bo'lsam, men bunga faqat oxirgi chora sifatida murojaat qilgan bo'lardim!

Keling, yuqoridagi usul yordamida bir nechta muammolarni hal qilishga harakat qilaylik:

1. Barcha qirralari teng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak prizmada va to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofani toping.

2. To'g'ri uchburchak prizma berilgan bo'lsa, asosning barcha qirralari tana qovurg'asidan o'tadigan kesimga teng va se-re-di-quduq qovurg'alari kvadratdir. va to'g'ri chiziqlar orasidagi masofani toping

Men birinchisini hal qilaman, shunga asoslanib, ikkinchisini siz hal qilasiz!

1. Prizma chizaman va to'g'ri chiziqlarni belgilayman va

C nuqtaning koordinatalari: keyin

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Vektor koordinatalari

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \o'ng) = \left| (\begin(massiv)(*(20)(l))(\begin(massiv)(*(20)(c))0&1&0\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20) (c))0&0&1\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiv))\end(massiv)) \o'ng| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

vektorlar orasidagi vektor mahsulotini hisoblaymiz

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \chap| \begin(massiv)(l)\begin(massiv)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiv)\\\begin(massiv) )(*(20)(c))0&0&1\end(massiv)\\\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiv)\end(massiv) \o'ng| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Endi biz uning uzunligini hisoblaymiz:

Javob:

Endi ikkinchi vazifani diqqat bilan bajarishga harakat qiling. Bunga javob quyidagicha bo'ladi: .

Koordinatalar va vektorlar. Qisqacha tavsif va asosiy formulalar

Vektor yo'naltirilgan segmentdir. - vektorning boshi, - vektorning oxiri.
Vektor yoki bilan belgilanadi.

Mutlaq qiymat vektor - vektorni ifodalovchi segment uzunligi. Sifatida belgilanadi.

Vektor koordinatalari:

,
\displaystyle a vektorining uchlari qayerda.

Vektorlar yig'indisi: .

Vektorlar mahsuloti:

Vektorlarning nuqta mahsuloti:

Turli yo'llar bilan ko'rsatilishi mumkin (bir nuqta va vektor, ikkita nuqta va vektor, uch nuqta va boshqalar). Aynan shuni hisobga olgan holda tekislik tenglamasi har xil ko'rinishga ega bo'lishi mumkin. Shuningdek, ma'lum shartlarga rioya qilgan holda, tekisliklar parallel, perpendikulyar, kesishuvchi va hokazo bo'lishi mumkin. Bu haqda ushbu maqolada gaplashamiz. Biz tekislikning umumiy tenglamasini yaratish va boshqalarni o'rganamiz.

Oddiy tenglama shakli

Aytaylik, to'rtburchaklar XYZ koordinata tizimiga ega bo'lgan R 3 fazo mavjud. Dastlabki O nuqtadan chiqariladigan a vektorni aniqlaymiz. a vektorning oxiri orqali unga perpendikulyar bo'lgan P tekislik o'tkazamiz.

P dagi ixtiyoriy nuqtani Q = (x, y, z) deb belgilaymiz. Q nuqtaning radius vektorini p harfi bilan belgilaymiz. Bunda a vektor uzunligi r=IaI va Ʋ=(cosa,cosb,cosy) ga teng.

Bu a vektori kabi yon tomonga yo'naltirilgan birlik vektor. a, b va g - Ʋ vektori va mos ravishda x, y, z fazo o'qlarining musbat yo'nalishlari o'rtasida hosil bo'ladigan burchaklar. Har qanday QsP nuqtaning Ʋ vektorga proyeksiyasi p ga teng bo‘lgan doimiy qiymat: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Yuqoridagi tenglama p=0 bo'lganda mantiqiy bo'ladi. Yagona narsa shundaki, bu holda P tekislik koordinatalarning boshi bo'lgan O nuqtani (a=0) kesib o'tadi va O nuqtadan chiqarilgan birlik vektor Ʋ uning yo'nalishiga qaramay, P ga perpendikulyar bo'ladi. vektor Ʋ belgiga aniqlik bilan aniqlanganligini bildiradi. Oldingi tenglama vektor shaklida ifodalangan P tekisligimiz tenglamasi. Ammo koordinatalarda u quyidagicha ko'rinadi:

Bu yerda P 0 dan katta yoki teng. Fazodagi tekislik tenglamasini normal shaklda topdik.

Umumiy tenglama

Agar biz koordinatadagi tenglamani nolga teng bo'lmagan istalgan songa ko'paytirsak, biz aynan shu tekislikni aniqlaydigan shunga ekvivalent tenglamani olamiz. Bu shunday ko'rinadi:

Bu erda A, B, C bir vaqtning o'zida noldan farq qiladigan raqamlardir. Bu tenglama umumiy tekislik tenglamasi deyiladi.

Samolyotlar tenglamalari. Maxsus holatlar

Umumiy shakldagi tenglama qo'shimcha shartlar mavjud bo'lganda o'zgartirilishi mumkin. Keling, ulardan ba'zilarini ko'rib chiqaylik.

Faraz qilaylik, A koeffitsienti 0. Demak, bu tekislik berilgan Ox o'qiga parallel. Bu holda tenglamaning shakli o'zgaradi: Vu+Cz+D=0.

Xuddi shunday, tenglamaning shakli quyidagi sharoitlarda o'zgaradi:

• Birinchidan, agar B = 0 bo'lsa, u holda tenglama Ax + Cz + D = 0 ga o'zgaradi, bu Oy o'qiga parallellikni ko'rsatadi.
• Ikkinchidan, agar C=0 bo'lsa, u holda tenglama Ax+By+D=0 ga aylanadi, bu esa berilgan Oz o'qiga parallellikni ko'rsatadi.
• Uchinchidan, agar D=0 boʻlsa, tenglama Ax+By+Cz=0 koʻrinishida boʻladi, yaʼni tekislik O ni (koordinata boshini) kesib oʻtishini bildiradi.
• To'rtinchidan, agar A=B=0 bo'lsa, u holda tenglama Cz+D=0 ga o'zgaradi, bu Oksi ga parallel bo'ladi.
• Beshinchidan, agar B=C=0 boʻlsa, tenglama Ax+D=0 boʻladi, yaʼni Oyzgacha boʻlgan tekislik parallel.
• Oltinchidan, agar A=C=0 bo'lsa, tenglama Vu+D=0 ko'rinishini oladi, ya'ni Oxz ga parallellik haqida xabar beradi.

Segmentlardagi tenglamalar turi

Agar A, B, C, D raqamlari noldan farq qiladigan bo'lsa, (0) tenglamaning shakli quyidagicha bo'lishi mumkin:

x/a + y/b + z/c = 1,

unda a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Natijaga erishamiz.Shuni ta'kidlash joizki, bu tekislik Ox o'qini (a,0,0), Oy - (0,b,0) va Oz - (0,0,c) koordinatali nuqtada kesib o'tadi. ).

x/a + y/b + z/c = 1 tenglamasini hisobga olgan holda, berilgan koordinatalar tizimiga nisbatan tekislikning joylashishini vizual tarzda tasavvur qilish qiyin emas.

Oddiy vektor koordinatalari

P tekislikka normal vektor n bu tekislikning umumiy tenglamasining koeffitsientlari bo'lgan koordinatalarga ega, ya'ni n (A, B, C).

Normal n ning koordinatalarini aniqlash uchun berilgan tekislikning umumiy tenglamasini bilish kifoya.

X/a + y/b + z/c = 1 ko'rinishga ega bo'lgan segmentlarda tenglamadan foydalanilganda, umumiy tenglamadan foydalanganda, siz berilgan tekislikning istalgan normal vektorining koordinatalarini yozishingiz mumkin: (1/a) + 1/b + 1/ bilan).

Shuni ta'kidlash kerakki, oddiy vektor turli muammolarni hal qilishga yordam beradi. Eng keng tarqalganlari qatoriga tekisliklarning perpendikulyarligi yoki parallelligini isbotlash masalalari, tekisliklar orasidagi burchaklarni yoki tekisliklar va to'g'ri chiziqlar orasidagi burchaklarni topish masalalari kiradi.

Nuqta va normal vektor koordinatalari bo'yicha tekislik tenglamasining turi

Berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan n nolga teng bo'lmagan vektor berilgan tekislik uchun normal deyiladi.

Faraz qilaylik, koordinatalar fazosida (to'rtburchaklar koordinatalar tizimi) Oxyz berilgan:

• koordinatali Mₒ nuqtasi (xₒ,yₒ,zₒ);
• nol vektor n=A*i+B*j+C*k.

Oddiy n ga perpendikulyar Mₒ nuqtadan o'tadigan tekislik uchun tenglama tuzish kerak.

Fazodagi istalgan ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz va uni M (x y, z) ni belgilaymiz. Har qanday M (x,y,z) nuqtaning radius vektori r=x*i+y*j+z*k, Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) nuqtaning radius vektori - rₒ=xₒ* bo‘lsin. i+yₒ *j+zₒ*k. MₒM vektori n vektorga perpendikulyar bo'lsa, M nuqta berilgan tekislikka tegishli bo'ladi. Ortogonallik shartini skalyar ko‘paytma yordamida yozamiz:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ bo'lgani uchun tekislikning vektor tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu tenglama boshqa shaklga ega bo'lishi mumkin. Buning uchun skalyar ko'paytmaning xossalaridan foydalaniladi va tenglamaning chap tomoni o'zgartiriladi. = -. Agar uni c deb belgilasak, quyidagi tenglamani olamiz: - c = 0 yoki = c, bu tekislikka tegishli berilgan nuqtalar radius vektorlarining normal vektoriga proyeksiyalarning konstantligini ifodalaydi.

Endi tekisligimiz vektor tenglamasini yozishning koordinata shaklini olishimiz mumkin = 0. Chunki r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, va n = A*i+B *j+S*k, bizda:

Ma’lum bo‘lishicha, bizda normal n ga perpendikulyar nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasi mavjud:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Ikki nuqtaning koordinatalariga ko'ra tekislik tenglamasining turi va tekislikka kollinear vektor

Ikkita ixtiyoriy M′ (x′,y′,z′) va M″ (x″,y″,z″) nuqtalarini, shuningdek a (a′,a″,a‴) vektorini belgilaymiz.

Endi biz mavjud M′ va M″ nuqtalardan, shuningdek berilgan a vektoriga parallel ravishda koordinatalari (x, y, z) bo‘lgan har qanday M nuqtadan o‘tadigan berilgan tekislik uchun tenglama tuzishimiz mumkin.

Bunda M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) va M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vektorlari vektor bilan mutanosib boʻlishi kerak. a=(a′,a″,a‴), ya’ni (M′M, M″M, a)=0.

Shunday qilib, bizning kosmosdagi tekislik tenglamamiz quyidagicha ko'rinadi:

Uch nuqtani kesishgan tekislik tenglamasining turi

Aytaylik, bizda uchta nuqta bor: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ular bir chiziqqa tegishli emas. Berilgan uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozish kerak. Geometriya nazariyasi bunday tekislik haqiqatan ham mavjudligini ta'kidlaydi, ammo u yagona va noyobdir. Bu tekislik (x',y',z') nuqtani kesib o'tganligi sababli, uning tenglama shakli quyidagicha bo'ladi:

Bu erda A, B, C bir vaqtning o'zida noldan farq qiladi. Shuningdek, berilgan tekislik yana ikkita nuqtani kesishadi: (x″,y″,z″) va (x‴,y‴,z‴). Shu munosabat bilan quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

Endi biz u, v, w noma'lumlari bilan bir hil sistema yaratishimiz mumkin:

Bizning holatimizda x, y yoki z (1) tenglamani qanoatlantiradigan ixtiyoriy nuqtadir. Berilgan (1) tenglama va (2) va (3) tenglamalar sistemasi yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan tenglamalar tizimi N (A,B,C) vektori bilan qanoatlantiriladi, u notrivialdir. Shuning uchun ham bu sistemaning determinanti nolga teng.

Olingan (1) tenglama tekislikning tenglamasidir. U 3 nuqtadan aniq o'tadi va buni tekshirish oson. Buning uchun biz determinantimizni birinchi qatordagi elementlarga kengaytirishimiz kerak. Determinantning mavjud xususiyatlaridan kelib chiqadiki, bizning tekisligimiz bir vaqtning o'zida uchta dastlabki berilgan nuqtani (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) kesib o'tadi. . Ya'ni, o'zimizga yuklangan vazifani hal qildik.

Samolyotlar orasidagi dihedral burchak

Ikki burchakli burchak - bu bitta to'g'ri chiziqdan chiqadigan ikkita yarim tekislikdan hosil bo'lgan fazoviy geometrik figura. Boshqacha qilib aytganda, bu kosmosning bu yarim tekisliklar bilan chegaralangan qismidir.

Aytaylik, bizda quyidagi tenglamalarga ega ikkita tekislik bor:

Biz bilamizki, N=(A,B,C) va N¹=(A¹,B¹,C¹) vektorlari berilgan tekisliklarga muvofiq perpendikulyar. Shu munosabat bilan N va N¹ vektorlari orasidagi ph burchagi bu tekisliklar orasida joylashgan burchakka (dihedral) teng. Nuqta mahsuloti quyidagi shaklga ega:

NN¹=|N||N¹|cos ph,

aniq, chunki

cosph= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/(√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

0≤ph≤p ekanligini hisobga olish kifoya.

Aslida, kesishgan ikkita tekislik ikkita burchak (dihedral) hosil qiladi: ph 1 va ph 2. Ularning yig'indisi p ga teng (ph 1 + ph 2 = p). Ularning kosinuslariga kelsak, ularning mutlaq qiymatlari teng, lekin ular belgisi jihatidan farq qiladi, ya'ni cos ph 1 = -cos ph 2. Agar (0) tenglamada biz A, B va C raqamlarini mos ravishda -A, -B va -C raqamlari bilan almashtirsak, biz olgan tenglama bir xil tekislikni, yagona, cos tenglamadagi ph burchagini aniqlaydi. ph= NN 1 /| N||N 1 | p-ph bilan almashtiriladi.

Perpendikulyar tekislik tenglamasi

Burchaklari 90 gradus bo'lgan tekisliklar perpendikulyar deyiladi. Yuqorida keltirilgan materialdan foydalanib, boshqasiga perpendikulyar tekislikning tenglamasini topishimiz mumkin. Aytaylik, bizda ikkita tekislik bor: Ax+By+Cz+D=0 va A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Agar cosph=0 bo'lsa, ular perpendikulyar bo'ladi, deb aytishimiz mumkin. Bu NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 ekanligini bildiradi.

Parallel tekislik tenglamasi

Umumiy nuqtalari bo'lmagan ikkita tekislik parallel deyiladi.

Shart (ularning tenglamalari oldingi paragrafdagi kabi) ularga perpendikulyar bo'lgan N va N¹ vektorlari kollinear bo'lishidir. Bu quyidagi mutanosiblik shartlari bajarilishini anglatadi:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Agar mutanosiblik shartlari kengaytirilsa - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

bu bu samolyotlarning bir-biriga mos kelishini ko'rsatadi. Demak, Ax+By+Cz+D=0 va A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 tenglamalari bitta tekislikni tasvirlaydi.

Nuqtadan samolyotgacha bo'lgan masofa

Aytaylik, bizda P tekislik bor, u (0) tenglama bilan berilgan. Koordinatalari (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ bo'lgan nuqtadan unga masofani topish kerak. Buning uchun siz P tekislik tenglamasini normal shaklga keltirishingiz kerak:

(r,v)=r (r≥0).

Bunday holda, r (x,y,z) - P da joylashgan Q nuqtamizning radius vektori, p - nol nuqtadan chiqarilgan perpendikulyar P ning uzunligi, v - birlik vektor, u erda joylashgan. yo'nalishi a.

P ga tegishli bo'lgan ba'zi Q = (x, y, z) nuqtaning r-rº radius vektori, shuningdek, berilgan nuqtaning radius vektori Q 0 = (xₒ, uₒ, zₒ) ayirmasi shunday vektor, v ga proyeksiyasining mutlaq qiymati Q 0 = (xₒ,uₒ,zₒ) dan P gacha topilishi kerak bo'lgan d masofaga teng:

D=|(r-r 0 ,v)|, lekin

(r-r 0 ,v)= (r,v)-(r 0 ,v) =r-(r 0 ,v).

Shunday qilib, shunday bo'ladi

d=|(r 0 ,v)-r|.

Shunday qilib, hosil bo'lgan ifodaning mutlaq qiymatini, ya'ni kerakli d ni topamiz.

Parametr tilidan foydalanib, biz aniq narsani olamiz:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+V²+S²).

Agar berilgan Q 0 nuqtasi koordinatalarning kelib chiqishi kabi P tekislikning narigi tomonida bo'lsa, u holda r-r 0 va v vektori orasida shunday bo'ladi:

d=-(r-r 0 ,v)=(r 0 ,v)-r>0.

Agar Q 0 nuqtasi koordinatalarning kelib chiqishi bilan birga P ning bir tomonida joylashgan bo'lsa, yaratilgan burchak o'tkir, ya'ni:

d=(r-r 0 ,v)=r - (r 0 , v)>0.

Natijada, birinchi holatda (r 0 ,v)>r, ikkinchi holatda (r 0 ,v) ekanligi ma'lum bo'ladi.<р.

Tangens tekislik va uning tenglamasi

Mº aloqa nuqtasida sirtga teginish tekisligi - bu sirtdagi bu nuqta orqali chizilgan egri chiziqlarga barcha mumkin bo'lgan teglarni o'z ichiga olgan tekislik.

Ushbu turdagi sirt tenglamasi F(x,y,z)=0 bilan Mº(xº,yº,zº) teginish nuqtasidagi tangens tekislik tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Agar siz sirtni aniq z=f (x,y) shaklida ko'rsatsangiz, u holda teginish tekisligi tenglama bilan tavsiflanadi:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Ikki tekislikning kesishishi

Koordinatalar tizimida (to'rtburchaklar) Oxyz joylashgan, kesishgan va bir-biriga to'g'ri kelmaydigan ikkita P′ va P″ tekisliklari berilgan. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimida joylashgan har qanday tekislik umumiy tenglama bilan aniqlanganligi sababli, biz P′ va P″ A′x+B′y+C′z+D′=0 va A″x tenglamalar bilan berilgan deb faraz qilamiz. +B″y+ S″z+D″=0. Bunda biz P ′ tekislikning normal n′ (A′,B′,C′) ga va P″ tekislikning normal n″ (A″,B″,C″) ga egamiz. Bizning samolyotlarimiz parallel emas va bir-biriga to'g'ri kelmasligi sababli, bu vektorlar kollinear emas. Matematika tilidan foydalanib, bu shartni quyidagicha yozishimiz mumkin: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (l*A″,l*B″,l*C″), lsR. P′ va P″ kesishmasida joylashgan to‘g‘ri chiziq a harfi bilan belgilansin, bu holda a = P′ ∩ P″.

a - P′ va P″ (umumiy) tekisliklarning barcha nuqtalari toʻplamidan iborat toʻgʻri chiziq. Bu shuni anglatadiki, a chiziqqa tegishli har qanday nuqtaning koordinatalari bir vaqtning o'zida A′x+B′y+C′z+D′=0 va A″x+B″y+C″z+D″=0 tenglamalarini qondirishi kerak. . Bu shuni anglatadiki, nuqta koordinatalari quyidagi tenglamalar tizimining qisman yechimi bo'ladi:

Natijada, ma'lum bo'lishicha, ushbu tenglamalar tizimining (umumiy) yechimi chiziqning har bir nuqtasining koordinatalarini aniqlaydi, ular P' va P' ning kesishish nuqtasi vazifasini bajaradi va to'g'ri chiziqni aniqlaydi. a fazodagi Oxyz (to'rtburchak) koordinatalar tizimida.

Ushbu maqolada berilgan chiziqqa perpendikulyar uch o'lchamli fazoda berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik uchun tenglamani qanday yaratish haqida fikr berilgan. Berilgan algoritmni tipik masalalarni yechish misolida tahlil qilaylik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Fazoda berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini topish

Unda uch o lchamli fazo va to rtburchak koordinatalar sistemasi O x y z berilsin. M 1 nuqta (x 1, y 1, z 1), a to'g'ri va M 1 nuqtadan o'tuvchi a to'g'ri chiziqqa perpendikulyar a tekislik ham berilgan. a tekislikning tenglamasini yozish kerak.

Ushbu muammoni hal qilishni boshlashdan oldin, keling, 10-11 sinflar uchun o'quv dasturidagi geometriya teoremasini eslaylik:

Ta'rif 1

Uch o'lchamli fazoda berilgan nuqta orqali berilgan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan bitta tekislik o'tadi.

Endi boshlang'ich nuqtadan o'tuvchi va berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lgan bu yagona tekislikning tenglamasini qanday topishni ko'rib chiqamiz.

Bu tekislikka tegishli nuqtaning koordinatalari, shuningdek, tekislikning normal vektorining koordinatalari ma'lum bo'lsa, tekislikning umumiy tenglamasini yozish mumkin.

Masalaning shartlari a tekislik o'tadigan M 1 nuqtaning x 1, y 1, z 1 koordinatalarini beradi. Agar a tekislikning normal vektorining koordinatalarini aniqlasak, u holda kerakli tenglamani yozib olishimiz mumkin bo'ladi.

a tekislikning normal vektori, chunki u nolga teng bo'lmagan va a tekislikka perpendikulyar bo'lgan a to'g'rida joylashgani uchun a chiziqning istalgan yo'nalish vektori bo'ladi. Shunday qilib, a tekislikning normal vektorining koordinatalarini topish masalasi a to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini aniqlash masalasiga aylantiriladi.

a to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini aniqlash turli usullar bilan amalga oshirilishi mumkin: bu a to'g'ri chiziqni dastlabki sharoitda ko'rsatish variantiga bog'liq. Misol uchun, agar masala qo'yilishidagi a to'g'ri chiziq shaklning kanonik tenglamalari bilan berilgan bo'lsa

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

yoki shakldagi parametrik tenglamalar:

x = x 1 + a x · l y = y 1 + a y · l z = z 1 + a z · l

u holda to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori a x, a y va a z koordinatalariga ega bo'ladi. Agar a to'g'ri chiziq ikkita M 2 (x 2, y 2, z 2) va M 3 (x 3, y 3, z 3) nuqtalar bilan tasvirlangan bo'lsa, u holda yo'nalish vektorining koordinatalari ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

Ta'rif 2

Berilgan chiziqqa perpendikulyar berilgan nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini topish algoritmi:

a to'g'ri chiziq yo'nalishi vektorining koordinatalarini aniqlaymiz: a → = (a x, a y, a z) ;

a tekislikning normal vektorining koordinatalarini a to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari sifatida aniqlaymiz:

n → = (A , B , C) , bu yerda A = a x, B = a y, C = a z;

M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtadan o'tuvchi va normal vektorga ega bo'lgan tekislikning tenglamasini yozamiz. n → = (A, B, C) A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 ko‘rinishida. Bu fazoda berilgan nuqtadan o'tuvchi va berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lgan tekislikning kerakli tenglamasi bo'ladi.

Olingan tekislikning umumiy tenglamasi: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 tekislikning segmentlardagi tenglamasini yoki tekislikning normal tenglamasini olish imkonini beradi.

Keling, yuqorida olingan algoritm yordamida bir nechta misollarni hal qilaylik.

1-misol

M 1 (3, - 4, 5) nuqta berilgan, u orqali tekislik o'tadi va bu tekislik O z koordinata chizig'iga perpendikulyar.

Yechim

koordinata chizig'ining yo'nalish vektori O z koordinata vektori bo'ladi k ⇀ = (0, 0, 1). Demak, tekislikning normal vektori koordinatalarga (0, 0, 1) ega. Normal vektori koordinatalariga (0, 0, 1) ega bo‘lgan M 1 (3, - 4, 5) nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozamiz:

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Javob: z – 5 = 0.

Keling, ushbu muammoni hal qilishning yana bir usulini ko'rib chiqaylik:

2-misol

O z to‘g‘riga perpendikulyar bo‘lgan tekislik C z + D = 0, C ≠ 0 ko‘rinishdagi to‘liq bo‘lmagan umumiy tekislik tenglamasi bilan beriladi. Keling, C va D qiymatlarini aniqlaylik: samolyot ma'lum bir nuqtadan o'tadigan qiymatlar. Bu nuqtaning koordinatalarini C z + D = 0 tenglamaga almashtiramiz, biz quyidagilarga erishamiz: C · 5 + D = 0. Bular. raqamlari, C va D munosabat bilan bog'liq - D C = 5. C = 1 ni olib, D = - 5 ni olamiz.

Bu qiymatlarni C z + D = 0 tenglamasiga almashtiramiz va O z to'g'ri chiziqqa perpendikulyar va M 1 (3, - 4, 5) nuqtadan o'tuvchi tekislikning kerakli tenglamasini olamiz.

U quyidagicha ko'rinadi: z – 5 = 0.

Javob: z – 5 = 0.

3-misol

Koordinata koordinatasidan o'tuvchi va x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan tekislik tenglamasini yozing.

Yechim

Masalaning shartlaridan kelib chiqib, berilgan to‘g‘ri chiziqning yo‘nalish vektorini berilgan tekislikning normal vektori n → sifatida olish mumkinligini ta’kidlab o‘tish mumkin. Shunday qilib: n → = (- 3 , - 7 , 2) . O (0, 0, 0) nuqtadan o‘tuvchi va normal vektori n → = (- 3, - 7, 2) bo‘lgan tekislik tenglamasini yozamiz:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Berilgan chiziqqa perpendikulyar koordinatalar boshidan o'tuvchi tekislikning kerakli tenglamasini oldik.

Javob:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

4-misol

To'g'ri burchakli koordinatalar tizimi O x y z uch o'lchovli fazoda berilgan, unda ikkita A (2, - 1, - 2) va B (3, - 2, 4) nuqtalari mavjud. a tekislik A nuqtadan A B to'g'riga perpendikulyar o'tadi. Kesimlarda a tekislik uchun tenglama tuzish kerak.

Yechim

a tekislik A B chiziqqa perpendikulyar, u holda A B → vektori a tekislikning normal vektori bo'ladi. Ushbu vektorning koordinatalari B (3, - 2, 4) va A (2, - 1, - 2) nuqtalarning tegishli koordinatalari orasidagi farq sifatida aniqlanadi:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Samolyotning umumiy tenglamasi quyidagicha yoziladi:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Endi segmentlarda tekislikning kerakli tenglamasini tuzamiz:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Javob:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Yana shuni ta'kidlash kerakki, ularning talabi berilgan nuqtadan o'tuvchi va berilgan ikkita tekislikka perpendikulyar tekislik tenglamasini yozishdan iborat bo'lgan masalalar mavjud. Umuman olganda, bu masalani yechish uchun berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar berilgan nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini tuzish kerak. ikkita kesishgan tekislik to'g'ri chiziqni belgilaydi.

5-misol

O x y z to'rtburchak koordinatalar sistemasi berilgan, unda M 1 (2, 0, - 5) nuqta mavjud. a to'g'ri chiziq bo'ylab kesishgan 3 x + 2 y + 1 = 0 va x + 2 z – 1 = 0 bo'lgan ikkita tekislikning tenglamalari ham berilgan. a to'g'ri chiziqqa perpendikulyar M 1 nuqtadan o'tuvchi tekislik uchun tenglama tuzish kerak.

Yechim

a to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini aniqlaymiz. U n → (1, 0, 2) tekislikning normal vektori n 1 → (3, 2, 0) va x + 2 z - normal vektori 3 x + 2 y + 1 = 0 ga perpendikulyar. 1 = 0 tekislik.

Keyin a → a chiziq yo'naltiruvchi vektor sifatida n 1 → va n 2 → vektorlarning vektor ko'paytmasini olamiz:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Shunday qilib, n → = (4, - 6, - 2) vektori a chiziqqa perpendikulyar tekislikning normal vektori bo'ladi. Samolyotning kerakli tenglamasini yozamiz:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Javob: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Fazodagi istalgan uchta nuqtadan bitta tekislik o'tkazilishi uchun bu nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotmasligi kerak.

Umumiy dekart koordinata sistemasidagi M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) nuqtalarni ko‘rib chiqaylik.

Ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta M 1, M 2, M 3 nuqtalar bilan bir tekislikda yotishi uchun vektorlar koplanar bo lishi kerak.

(
) = 0

Shunday qilib,

Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi:

Tekislik tenglamasi ikki nuqta va tekislikka kollinear vektor berilgan.

M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) nuqtalar va vektor berilsin.
.

Berilgan M 1 va M 2 nuqtalardan va vektorga parallel bo‘lgan ixtiyoriy M (x, y, z) nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini tuzamiz. .

Vektorlar
va vektor
koplanar bo'lishi kerak, ya'ni.

(
) = 0

Tekislik tenglamasi:

Bir nuqta va ikkita vektor yordamida tekislik tenglamasi,

tekislikka to'g'ri keladi.

Ikki vektor berilgan bo'lsin
Va
, kollinear tekisliklar. U holda tekislikka tegishli ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta uchun vektorlar.
mutanosib bo'lishi kerak.

Tekislik tenglamasi:

Tekislikning nuqta va normal vektor bo'yicha tenglamasi .

Teorema. Agar fazoda M nuqta berilgan bo'lsa 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), keyin M nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi 0 normal vektorga perpendikulyar (A, B, C) quyidagi shaklga ega:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Isbot. Tekislikka tegishli ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta uchun vektor tuzamiz. Chunki vektor normal vektor bo'lsa, u tekislikka perpendikulyar va shuning uchun vektorga perpendikulyar bo'ladi.
. Keyin skalyar mahsulot

= 0

Shunday qilib, biz tekislikning tenglamasini olamiz

Teorema isbotlangan.

Segmentlardagi tekislik tenglamasi.

Agar umumiy tenglamada Ax + Bi + Cz + D = 0 bo'lsa, ikkala tomonni (-D) ga bo'lamiz.

,

almashtirish
, biz segmentlardagi tekislikning tenglamasini olamiz:

a, b, c raqamlari tekislikning mos ravishda x, y, z o'qlari bilan kesishgan nuqtalaridir.

Tekislikning vektor ko'rinishidagi tenglamasi.

Qayerda

- joriy nuqtaning radius vektori M(x, y, z),

Perpendikulyar yo'nalishga ega bo'lgan birlik vektor koordinata boshidan tekislikka tushdi.

,  va  - bu vektor tomonidan x, y, z o'qlari bilan hosil qilingan burchaklar.

p - bu perpendikulyarning uzunligi.

Koordinatalarda bu tenglama quyidagicha ko'rinadi:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Bir nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa.

Ixtiyoriy M 0 (x 0, y 0, z 0) nuqtadan Ax+By+Cz+D=0 tekislikgacha bo‘lgan masofa:

Misol. P(4; -3; 12) nuqta koordinata boshidan shu tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi ekanligini bilib, tekislik tenglamasini toping.

Shunday qilib, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, biz formuladan foydalanamiz:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Misol. P(2; 0; -1) va ikkita nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping

Q(1; -1; 3) tekislikka perpendikulyar 3x + 2y – z + 5 = 0.

3x + 2y – z + 5 = 0 tekislikka normal vektor
kerakli tekislikka parallel.

Biz olamiz:

Misol. A(2, -1, 4) va nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping

B(3, 2, -1) tekislikka perpendikulyar X + da + 2z – 3 = 0.

Tekislikning kerakli tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: A x+B y+C z+ D = 0, bu tekislikka normal vektor (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) tekislikka tegishli. Bizga berilgan tekislik, kerakliga perpendikulyar, normal vektorga ega (1, 1, 2). Chunki A va B nuqtalari ikkala tekislikka tegishli va tekisliklar o'zaro perpendikulyar, demak

Shunday qilib, normal vektor (11, -7, -2). Chunki nuqta A kerakli tekislikka tegishli, keyin uning koordinatalari bu tekislikning tenglamasini qondirishi kerak, ya'ni. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Hammasi bo'lib, biz tekislikning tenglamasini olamiz: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Misol. P(4, -3, 12) nuqta koordinata boshidan shu tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi ekanligini bilib, tekislik tenglamasini toping.

Normal vektorning koordinatalarini topish
= (4, -3, 12). Tekislikning kerakli tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. D koeffitsientini topish uchun P nuqtaning koordinatalarini tenglamaga almashtiramiz:

16 + 9 + 144 + D = 0

Hammasi bo'lib biz kerakli tenglamani olamiz: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Misol. Piramida cho'qqilarining koordinatalari berilgan A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

A 1 A 2 chetining uzunligini toping.

A 1 A 2 va A 1 A 4 qirralari orasidagi burchakni toping.

A 1 A 4 chekkasi va A 1 A 2 A 3 yuzi orasidagi burchakni toping.

Avval A 1 A 2 A 3 yuzining normal vektorini topamiz vektorlarning o'zaro mahsuloti sifatida
Va
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Normal vektor bilan vektor orasidagi burchakni topamiz
.

-4 – 4 = -8.

Vektor va tekislik orasidagi kerakli burchak   = 90 0 -  ga teng bo'ladi.

A 1 A 2 A 3 yuzning maydonini toping.

Piramidaning hajmini toping.

A 1 A 2 A 3 tekislik tenglamasini toping.

Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi formulasidan foydalanamiz.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kompyuter versiyasidan foydalanganda " Oliy matematika kursi” siz piramida cho'qqilarining istalgan koordinatalari uchun yuqoridagi misolni hal qiladigan dasturni ishga tushirishingiz mumkin.

Dasturni ishga tushirish uchun belgini ikki marta bosing:

Ochilgan dastur oynasida piramida uchlari koordinatalarini kiriting va Enter tugmasini bosing. Shu tarzda, barcha qaror nuqtalarini birma-bir olish mumkin.

Eslatma: Dasturni ishga tushirish uchun kompyuteringizda MapleV Release 4 dan boshlab istalgan versiyadagi Maple dasturi ( Waterloo Maple Inc.) o'rnatilgan bo'lishi kerak.