Endi hal qilaylik ko'paytirish va bo'lish.
Aytaylik, +3 ni -4 ga ko'paytirishimiz kerak. Buni qanday qilish kerak?
Keling, bunday ishni ko'rib chiqaylik. Uch kishi qarzga botgan va har birining 4 dollardan qarzi bor. Umumiy qarz qancha? Uni topish uchun siz uchta qarzni qo'shishingiz kerak: 4 dollar + 4 dollar + 4 dollar = 12 dollar. Biz uchta raqam 4 qo'shilishi 3x4 sifatida belgilanishiga qaror qildik. Bu holatda biz qarz haqida gapirayotganimiz sababli, 4-dan oldin "-" belgisi mavjud. Bilamizki, umumiy qarz $12, shuning uchun bizning muammomiz endi 3x(-4)=-12 ga aylanadi.
Agar muammoga ko'ra, to'rt kishining har biri 3 dollardan qarzga ega bo'lsa, biz ham xuddi shunday natijaga erishamiz. Boshqacha qilib aytganda, (+4)x(-3)=-12. Va omillarning tartibi muhim emasligi sababli, biz (-4)x(+3)=-12 va (+4)x(-3)=-12 ni olamiz.
Keling, natijalarni umumlashtiramiz. Bitta ijobiy va bitta manfiy sonni ko'paytirsangiz, natija har doim manfiy son bo'ladi. Javobning raqamli qiymati musbat raqamlar bilan bir xil bo'ladi. Mahsulot (+4)x(+3)=+12. "-" belgisining mavjudligi faqat belgiga ta'sir qiladi, lekin raqamli qiymatga ta'sir qilmaydi.
Ikki manfiy sonni qanday ko'paytirish mumkin?
Afsuski, bu mavzu bo'yicha munosib hayotiy misol keltirish juda qiyin. 3 yoki 4 dollarlik qarzni tasavvur qilish oson, lekin qarzga botgan -4 yoki -3 kishini tasavvur qilish mutlaqo mumkin emas.
Ehtimol, biz boshqa yo'ldan boramiz. Ko'paytirishda omillardan birining belgisi o'zgarganda mahsulotning belgisi o'zgaradi. Agar ikkala omilning belgilarini o'zgartirsak, biz ikki marta o'zgartirishimiz kerak ish belgisi, avval ijobiydan salbiyga, keyin esa aksincha, salbiydan ijobiyga, ya'ni mahsulot boshlang'ich belgisiga ega bo'ladi.
Shuning uchun (-3) x (-4) = +12 bo'lishi biroz g'alati bo'lsa ham, mantiqan to'g'ri.
Imzo pozitsiyasi ko'paytirilganda u quyidagicha o'zgaradi:
- musbat son x musbat son = musbat son;
- manfiy son x musbat son = manfiy son;
- musbat son x manfiy son = manfiy son;
- manfiy son x manfiy son = musbat son.
Boshqa so'zlar bilan aytganda, bir xil belgilar bilan ikkita raqamni ko'paytirsak, biz ijobiy sonni olamiz. Har xil belgilarga ega bo'lgan ikkita raqamni ko'paytirsak, biz manfiy sonni olamiz.
Xuddi shu qoida ko'paytirishga qarama-qarshi harakat uchun ham amal qiladi - uchun.
Buni ishga tushirish orqali osongina tekshirishingiz mumkin teskari ko'paytirish amallari. Yuqoridagi misollarning har birida, agar siz qismni bo'linuvchiga ko'paytirsangiz, dividend olasiz va uning bir xil belgiga ega ekanligiga ishonch hosil qilasiz, masalan (-3)x(-4)=(+12).
Qish kelganligi sababli, muz ustida sirpanib ketmaslik va qishki yo'llarda o'zingizni ishonchli his qilmaslik uchun temir otingizning poyafzallarini nimaga almashtirish haqida o'ylash vaqti keldi. Siz, masalan, Yokohama shinalarini mvo.ru yoki boshqa saytlarda sotib olishingiz mumkin, asosiysi ular yuqori sifatli, Mvo.ru veb-saytida qo'shimcha ma'lumot va narxlarni bilib olishingiz mumkin.
Ushbu maqolada biz bilan shug'ullanamiz turli belgilar bilan raqamlarni ko'paytirish. Bu erda biz birinchi navbatda musbat va manfiy sonlarni ko'paytirish qoidasini tuzamiz, uni asoslaymiz va keyin misollarni yechishda ushbu qoidani qo'llashni ko'rib chiqamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Turli xil belgilar bilan raqamlarni ko'paytirish qoidasi
Ijobiy sonni manfiy songa, shuningdek manfiy sonni musbat songa ko'paytirish quyidagicha amalga oshiriladi: turli belgilar bilan raqamlarni ko'paytirish qoidasi: turli xil belgilar bilan raqamlarni ko'paytirish uchun siz ko'paytirishingiz va olingan mahsulot oldiga minus belgisini qo'yishingiz kerak.
Keling, ushbu qoidani harf shaklida yozamiz. Har qanday musbat haqiqiy son a va har qanday manfiy haqiqiy son −b uchun tenglik a·(−b)=−(|a|·|b|) , shuningdek manfiy son −a va musbat b soni uchun tenglik (−a)·b=−(|a|·|b|) .
Turli xil belgilar bilan raqamlarni ko'paytirish qoidasi to'liq mos keladi haqiqiy sonlar bilan amallar xossalari. Darhaqiqat, ularning asosida haqiqiy va musbat sonlar uchun a va b shakldagi tengliklar zanjiri ekanligini ko'rsatish oson. a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, bu a·(−b) va a·b ning qarama-qarshi sonlar ekanligini isbotlaydi, bu esa a·(−b)=−(a·b) tengligini bildiradi. Va undan ko'rib chiqilayotgan ko'paytirish qoidasining haqiqiyligi kelib chiqadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, har xil belgilarga ega bo'lgan raqamlarni ko'paytirishning ko'rsatilgan qoidasi haqiqiy sonlar uchun ham, ratsional sonlar uchun ham, butun sonlar uchun ham amal qiladi. Bu shuni ko'rsatadiki, ratsional va butun sonlar bilan amallar yuqoridagi isbotda ishlatilgan bir xil xususiyatlarga ega.
Olingan qoidaga ko'ra turli xil belgilarga ega bo'lgan raqamlarni ko'paytirish ijobiy sonlarni ko'paytirishga to'g'ri kelishi aniq.
Turli belgilar bilan raqamlarni ko'paytirishda demontaj qilingan ko'paytirish qoidasini qo'llash misollarini ko'rib chiqishgina qoladi.
Turli xil belgilar bilan raqamlarni ko'paytirishga misollar
Keling, bir nechta echimlarni ko'rib chiqaylik turli belgilar bilan sonlarni ko'paytirishga misollar. Hisoblashning murakkabligiga emas, balki qoidaning bosqichlariga e'tibor qaratish uchun oddiy holatdan boshlaylik.
Misol.
−4 manfiy sonni musbat 5 ga ko‘paytiring.
Yechim.
Turli xil belgilar bilan raqamlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, biz birinchi navbatda asl omillarning mutlaq qiymatlarini ko'paytirishimiz kerak. −4 ning moduli 4 ga, 5 ning moduli 5 ga teng, 4 va 5 natural sonlarini ko‘paytirish 20 ni beradi. Nihoyat, natijada olingan raqam oldiga minus belgisi qo'yish qoladi, bizda -20 bor. Bu ko'paytirishni yakunlaydi.
Qisqacha, yechimni quyidagicha yozish mumkin: (−4)·5=−(4·5)=−20.
Javob:
(−4)·5=−20.
Har xil belgilarga ega bo'lgan kasrlarni ko'paytirishda oddiy kasrlarni ko'paytirish, o'nli kasrlarni va ularning birikmalarini tabiiy va aralash sonlar bilan ko'paytirishni bilish kerak.
Misol.
0, (2) va turli belgilari bo'lgan raqamlarni ko'paytiring.
Yechim.
Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish, shuningdek, aralash sondan noto'g'ri kasrga o'tkazish orqali asl mahsulotdan 
shaklning har xil belgilariga ega oddiy kasrlar hosilasiga kelamiz. Ushbu mahsulot, turli belgilar bilan raqamlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, ga teng. Qavslar ichidagi oddiy kasrlarni ko'paytirishgina qoladi, bizda bor 
.
Ushbu darsda biz ijobiy va salbiy sonlarni qo'shish qoidalarini ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz turli xil belgilar bilan raqamlarni qanday ko'paytirishni o'rganamiz va ko'paytirish uchun belgilar qoidalarini o'rganamiz. Keling, ijobiy va manfiy sonlarni ko'paytirish misollarini ko'rib chiqaylik.
Manfiy sonlar holatida nolga ko'paytirish xossasi to'g'ri bo'lib qoladi. Nol har qanday raqamga ko'paytirilsa, nolga teng bo'ladi.
Adabiyotlar ro'yxati
- Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonskiy V.V., Yakir M.S. Matematika 6-sinf. - Gimnaziya. 2006 yil.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Matematika darsligi sahifalari ortida. - M.: Ta'lim, 1989 yil.
- Rurukin A.N., Chaykovskiy I.V. 5-6 sinflar uchun matematika kursi uchun topshiriqlar. - M.: ZSh MEPhI, 2011 yil.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaykovskiy K.G. Matematika 5-6. MEPhI sirtqi maktabining 6-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma. - M.: ZSh MEPhI, 2011 yil.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Umumta’lim maktabining 5-6-sinflari uchun darslik-suhbatdosh. - M.: Ta'lim, matematika o'qituvchisi kutubxonasi, 1989 yil.
Uy vazifasi
- Mnemonica.ru internet portali ().
- Youtube.com internet portali ().
- School-assistant.ru internet portali ().
- Bymath.net internet portali ().
5-jadval
6-jadval
Bir oz cho'zilgan holda, xuddi shu tushuntirish 1-5 mahsulot uchun amal qiladi, agar "sum" bittadan olingan deb taxmin qilsak.
muddat bu muddatga teng. Ammo 0 5 yoki (-3) 5 ko'paytmasini bu tarzda tushuntirib bo'lmaydi: nol yoki minus uchta hadning yig'indisi nimani anglatadi?
Biroq, siz omillarni qayta tartibga solishingiz mumkin
Agar biz omillarni qayta joylashtirganda mahsulot o'zgarmasligini istasak - musbat raqamlarda bo'lgani kabi - u holda biz taxmin qilishimiz kerak
Endi (-3) (-5) ko'paytmaga o'tamiz. Bu nimaga teng: -15 yoki +15? Ikkala variantning ham sabablari bor. Bir tomondan, bitta omildagi minus allaqachon mahsulotni salbiy qiladi - bundan ham ko'proq, agar ikkala omil ham salbiy bo'lsa, u salbiy bo'lishi kerak. Boshqa tomondan, jadvalda. 7 allaqachon ikkita minusga ega, lekin faqat bitta ortiqcha va "adolat uchun" (-3) - (-5) +15 ga teng bo'lishi kerak. Xo'sh, qaysi birini afzal ko'rishingiz kerak?
7-jadval
Albatta, bunday gaplardan adashmaysiz: maktabdagi matematika kursidan siz minus bilan minus ortiqcha bo'lishini aniq bilib oldingiz. Ammo tasavvur qiling-a, sizning akangiz yoki opangiz sizdan so'radi: nega? Bu nima - o'qituvchining injiqligi, yuqori hokimiyat buyrug'i yoki isbotlanishi mumkin bo'lgan teorema?
Odatda salbiy sonlarni ko'paytirish qoidasi jadvalda keltirilgan misollar bilan tushuntiriladi. 8.
8-jadval
Buni boshqacha tushuntirish mumkin. Keling, raqamlarni ketma-ket yozamiz
Keling, bir xil sonlarni 3 ga ko'paytiramiz:
Har bir raqam oldingisidan 3 ga ko'p ekanligini payqash oson. Endi bir xil raqamlarni teskari tartibda yozamiz (masalan, 5 va 15 dan boshlab):
Bundan tashqari, -5 raqami ostida -15 raqami bor edi, shuning uchun 3 (-5) = -15: ortiqcha minus minusni beradi.
Endi 1,2,3,4,5 ... sonlarini -3 ga ko'paytirib, xuddi shu tartibni takrorlaymiz (biz allaqachon bilamizki, ortiqcha minus minus beradi):
Pastki qatordagi har bir keyingi raqam oldingisidan 3 ta kam sonlarni teskari tartibda yozing
va davom eting:
-5 raqami ostida 15 ta bor, shuning uchun (-3) (-5) = 15.
Ehtimol, bu tushuntirishlar sizning akangiz yoki singlingizni qoniqtirar. Lekin siz narsalar qandayligini so'rashga haqlisiz va (-3) (-5) = 15 ekanligini isbotlash mumkinmi?
Bu erda javob shuki, agar biz qo'shish, ayirish va ko'paytirishning oddiy xossalari barcha sonlar, jumladan manfiylar uchun ham to'g'ri bo'lishini istasak, (-3) (-5) 15 ga teng bo'lishi kerakligini isbotlashimiz mumkin. Ushbu dalilning sxemasi quyidagicha.
Avval 3 (-5) = -15 ekanligini isbotlaymiz. -15 nima? Bu 15 ning qarama-qarshi soni, ya'ni 15 ga qo'shilganda 0 ni beradigan son. Demak, buni isbotlashimiz kerak.
Ushbu maqolada biz manfiy sonlarni ko'paytirish qoidasini shakllantiramiz va buning uchun tushuntirish beramiz. Salbiy raqamlarni ko'paytirish jarayoni batafsil ko'rib chiqiladi. Misollar barcha mumkin bo'lgan holatlarni ko'rsatadi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Salbiy raqamlarni ko'paytirish
Ta'rif 1Salbiy sonlarni ko'paytirish qoidasi ikkita manfiy sonni ko'paytirish uchun ularning modullarini ko'paytirish kerak. Bu qoida quyidagicha yoziladi: har qanday manfiy sonlar uchun – a, - b, bu tenglik rost deb hisoblanadi.
(- a) · (- b) = a · b.
Yuqorida ikkita manfiy sonni ko'paytirish qoidasi mavjud. Unga asoslanib, ifodani isbotlaymiz: (- a) · (- b) = a · b. Turli xil belgilar bilan raqamlarni ko'paytirish maqolasida aytilishicha, a · (- b) = - a · b tengliklari, xuddi (- a) · b = - a · b. Bu qarama-qarshi sonlarning xususiyatidan kelib chiqadi, buning natijasida tengliklar quyidagicha yoziladi:
(- a) · (- b) = (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b.
Bu erda siz salbiy sonlarni ko'paytirish qoidasining isbotini aniq ko'rishingiz mumkin. Misollarga asoslanib, ikkita manfiy sonning ko'paytmasi musbat son ekanligi aniq. Raqamlarning modullarini ko'paytirishda natija har doim ijobiy son bo'ladi.
Ushbu qoida haqiqiy sonlarni, ratsional sonlarni va butun sonlarni ko'paytirish uchun amal qiladi.
Keling, ikkita manfiy sonni ko'paytirish misollarini batafsil ko'rib chiqaylik. Hisoblashda siz yuqorida yozilgan qoidadan foydalanishingiz kerak.
1-misol
Raqamlarni ko'paytiring - 3 va - 5.
Yechim.
Ko'paytirilayotgan ikkita sonning mutlaq qiymati 3 va 5 musbat raqamlariga teng. Ularning mahsuloti 15 ni tashkil qiladi. Bundan kelib chiqadiki, berilgan sonlarning ko'paytmasi 15 ga teng
Keling, manfiy sonlarni ko'paytirishni qisqacha yozamiz:
(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15
Javob: (- 3) · (- 5) = 15.
Salbiy ratsional sonlarni ko'paytirishda, muhokama qilingan qoidadan foydalanib, siz kasrlarni ko'paytirish, aralash raqamlarni ko'paytirish, o'nli kasrlarni ko'paytirish uchun safarbar qilishingiz mumkin.
2-misol
Mahsulotni hisoblang (- 0 , 125) · (- 6) .
Yechim.
Salbiy sonlarni ko'paytirish qoidasidan foydalanib, biz (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 ni olamiz. Natijani olish uchun o'nlik kasrni ustunlarning tabiiy soniga ko'paytirish kerak. Bu shunday ko'rinadi:
Biz ifoda (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75 ko‘rinishini olishini aniqladik.
Javob: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.
Agar omillar irratsional sonlar bo'lsa, ularning mahsulotini raqamli ifoda sifatida yozish mumkin. Qiymat faqat kerak bo'lganda hisoblab chiqiladi.
3-misol
Salbiy - 2 ni manfiy bo'lmagan log 5 1 3 ga ko'paytirish kerak.
Yechim
Berilgan raqamlarning modullarini topish:
2 = 2 va log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3.
Salbiy sonlarni ko'paytirish qoidalaridan kelib chiqib, natijani olamiz - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Bu ifoda javobdir.
Javob: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3.
Mavzuni o'rganishni davom ettirish uchun siz haqiqiy sonlarni ko'paytirish bo'limini takrorlashingiz kerak.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing