>

Trigonometrik tenglamalar. Keng qamrovli qoʻllanma (2019). Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish

Trigonometrik tenglamalar oson mavzu emas. Ular juda xilma-xildir.) Masalan, bular:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+p /4) = karyola(2x-p /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Va hokazo...

Ammo bu (va boshqa barcha) trigonometrik yirtqich hayvonlar ikkita umumiy va majburiy xususiyatga ega. Birinchidan - ishonmaysiz - tenglamalarda trigonometrik funktsiyalar mavjud.) Ikkinchidan: x bilan barcha ifodalar topiladi. xuddi shu funktsiyalar doirasida. Va faqat u erda! Agar biror joyda X paydo bo'lsa tashqarida, Masalan, sin2x + 3x = 3, bu allaqachon aralash turdagi tenglama bo'ladi. Bunday tenglamalar individual yondashuvni talab qiladi. Biz ularni bu erda ko'rib chiqmaymiz.

Biz bu darsda ham yomon tenglamalarni yechmaymiz.) Bu erda biz bilan shug'ullanamiz eng oddiy trigonometrik tenglamalar. Nega? Ha, chunki yechim har qanday trigonometrik tenglamalar ikki bosqichdan iborat. Birinchi bosqichda yovuz tenglama turli xil o'zgarishlar orqali oddiy tenglamaga tushiriladi. Ikkinchisida bu eng oddiy tenglama yechilgan. Boshqa yo'l yo'q.

Shunday qilib, agar siz ikkinchi bosqichda muammolarga duch kelsangiz, birinchi bosqich juda mantiqiy emas.)

Elementar trigonometrik tenglamalar qanday ko'rinishga ega?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Bu yerga A har qanday raqamni bildiradi. Har qanday.

Aytgancha, funktsiya ichida sof X emas, balki qandaydir ifoda bo'lishi mumkin, masalan:

cos(3x+p /3) = 1/2

va hokazo. Bu hayotni murakkablashtiradi, lekin trigonometrik tenglamani yechish usuliga ta'sir qilmaydi.

Trigonometrik tenglamalarni qanday yechish mumkin?

Trigonometrik tenglamalarni ikki usulda yechish mumkin. Birinchi usul: mantiq va trigonometrik doiradan foydalanish. Biz bu yo'lni shu erda ko'rib chiqamiz. Ikkinchi usul - xotira va formulalardan foydalanish - keyingi darsda muhokama qilinadi.

Birinchi usul tushunarli, ishonchli va unutish qiyin.) Bu trigonometrik tenglamalar, tengsizliklar va har xil nostandart misollarni echish uchun yaxshi. Mantiq xotiradan kuchliroq!)

Trigonometrik doira yordamida tenglamalarni yechish.

Biz elementar mantiqni va trigonometrik doiradan foydalanish qobiliyatini o'z ichiga olamiz. Qanday qilib bilmayapsizmi? Biroq ... Siz trigonometriyada qiyinchilikka duch kelasiz ...) Lekin bu muhim emas. Darslarni ko'ring "Trigonometrik doira...... Bu nima?" va "Trigonometrik doiradagi burchaklarni o'lchash". U erda hamma narsa oddiy. Darsliklardan farqli o'laroq...)

Oh, bilasizmi!? Va hatto "Trigonometrik doira bilan amaliy ish" ni o'zlashtirdi!? Tabriklaymiz. Bu mavzu sizga yaqin va tushunarli bo'ladi.) Ayniqsa, quvonarlisi shundaki, trigonometrik aylana qaysi tenglamani yechishingizga ahamiyat bermaydi. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - uning uchun hamma narsa bir xil. Faqat bitta yechim printsipi mavjud.

Shunday qilib, biz har qanday elementar trigonometrik tenglamani olamiz. Hech bo'lmaganda bu:

cosx = 0,5

Biz X ni topishimiz kerak. Inson tilida gapirganda, sizga kerak kosinasi 0,5 bo'lgan burchakni (x) toping.

Ilgari biz aylanadan qanday foydalanganmiz? Biz unga burchak chizdik. Darajalar yoki radianlarda. Va darhol ko'rgan Bu burchakning trigonometrik funktsiyalari. Endi teskarisini qilaylik. Aylana ustiga 0,5 ga teng va darhol kosinus chizamiz Biz ko'ramiz burchak. Javobni yozishgina qoladi.) Ha, ha!

Doira chizing va kosinusni 0,5 ga teng belgilang. Albatta, kosinus o'qida. Mana bunday:

Endi bu kosinus bizga beradigan burchakni chizamiz. Sichqonchani rasm ustiga olib boring (yoki planshetingizdagi rasmga teging) va ko'rasiz aynan shu burchak X.

Qaysi burchakning kosinasi 0,5 ga teng?

x = p /3

cos 60°= cos( p /3) = 0,5

Ba'zilar shubha bilan kulishadi, ha... Xuddi hamma narsa aniq bo'lsa, aylana yasash kerakmidi... Albatta, kulishingiz mumkin...) Lekin haqiqat shundaki, bu noto'g'ri javob. To'g'rirog'i, etarli emas. Doira biluvchilari bu erda 0,5 kosinusni beradigan bir qancha boshqa burchaklar mavjudligini tushunishadi.

Agar siz OA harakatlanuvchi tomonini aylantirsangiz to'liq burilish, A nuqtasi asl holatiga qaytadi. Xuddi shu kosinus bilan 0,5 ga teng. Bular. burchak o'zgaradi 360° yoki 2p radianga, va kosinus - yo'q. Yangi burchak 60° + 360° = 420° ham tenglamamizning yechimi boʻladi, chunki

Bunday to'liq inqiloblarning cheksiz sonini amalga oshirish mumkin ... Va bu barcha yangi burchaklar trigonometrik tenglamamizning echimi bo'ladi. Va ularning barchasi javob sifatida qandaydir tarzda yozilishi kerak. Hammasi. Aks holda, qaror hisobga olinmaydi, ha...)

Matematika buni sodda va nafis bajarishi mumkin. Bitta qisqa javobda yozing cheksiz to'plam qarorlar. Bu bizning tenglamamiz uchun qanday ko'rinadi:

x = p /3 + 2p n, n ∈ Z

Men uni hal qilaman. Hali ham yozing mazmunli Bu ahmoqona sirli harflarni chizishdan ko'ra yoqimliroq, shunday emasmi?)

p /3 - bu biznikiga o'xshash burchak ko'rgan doira ustida va belgilangan kosinuslar jadvaliga ko'ra.

2p radyanlarda bitta to'liq inqilobdir.

n - bu to'liqlarning soni, ya'ni. butun rpm Bu aniq n 0, ±1, ±2, ±3.... ga teng bo'lishi mumkin va hokazo. Qisqa yozuvda ko'rsatilganidek:

n ∈ Z

n tegishli ( ∈ ) butun sonlar to'plami ( Z ). Aytgancha, xat o'rniga n harflardan foydalanish mumkin k, m, t va hokazo.

Bu belgi siz har qanday butun sonni olishingiz mumkinligini bildiradi n . Kamida -3, kamida 0, kamida +55. Xohlaganingiz. Agar siz ushbu raqamni javobga almashtirsangiz, siz aniq burchakka ega bo'lasiz, bu shubhasiz bizning qattiq tenglamamizning yechimi bo'ladi.)

Yoki boshqacha aytganda, x = p /3 cheksiz to‘plamning yagona ildizidir. Boshqa barcha ildizlarni olish uchun p /3 ga har qanday miqdordagi to'liq aylanishlarni qo'shish kifoya. n ) radianlarda. Bular. 2p radian.

Hammasi? Yo'q. Men zavqni ataylab uzaytiraman. Yaxshi eslab qolish uchun.) Biz tenglamamizga javoblarning faqat bir qismini oldik. Men yechimning birinchi qismini shunday yozaman:

x 1 = p /3 + 2p n, n ∈ Z

x 1 - faqat bitta ildiz emas, balki butun bir qator ildizlar, qisqa shaklda yozilgan.

Ammo 0,5 kosinusni ham beradigan burchaklar ham bor!

Keling, javobni yozgan rasmimizga qaytaylik. Mana u:

Sichqonchani tasvir ustiga olib boring va ko'ramiz boshqa burchak 0,5 kosinusni ham beradi. Nimaga teng deb o'ylaysiz? Uchburchaklar bir xil... Ha! Bu burchakka teng X , faqat salbiy yo'nalishda kechiktirildi. Bu burchak -X. Ammo biz allaqachon x ni hisoblab chiqdik. p /3 yoki 60°. Shunday qilib, biz ishonch bilan yozishimiz mumkin:

x 2 = - p /3

Albatta, biz to'liq aylanishlar orqali olingan barcha burchaklarni qo'shamiz:

x 2 = - p /3 + 2p n, n ∈ Z

Hammasi shu.) Trigonometrik doirada biz ko'rgan(kim tushunadi, albatta)) Hammasi 0,5 kosinus beradigan burchaklar. Va biz bu burchaklarni qisqa matematik shaklda yozdik. Javob ikkita cheksiz ildiz qatoriga olib keldi:

x 1 = p /3 + 2p n, n ∈ Z

x 2 = - p /3 + 2p n, n ∈ Z

Bu to'g'ri javob.

Umid, trigonometrik tenglamalarni yechishning umumiy tamoyili aylanadan foydalanish aniq. Berilgan tenglamadan kosinusni (sinus, tangens, kotangens) aylanaga belgilab, unga mos burchaklarni chizamiz va javobni yozamiz. Albatta, biz qaysi burchaklar ekanligimizni aniqlashimiz kerak ko'rgan doira ustida. Ba'zida bu unchalik aniq emas. Xo'sh, men bu erda mantiq kerakligini aytdim.)

Masalan, boshqa trigonometrik tenglamani ko'rib chiqamiz:

Iltimos, 0,5 raqami tenglamalarda mumkin bo'lgan yagona raqam emasligini hisobga oling!) Men uchun uni ildiz va kasrlardan ko'ra yozish qulayroq.

Biz umumiy printsip asosida ishlaymiz. Biz doira chizamiz, belgilaymiz (sinus o'qi bo'yicha, albatta!) 0,5. Biz bir vaqtning o'zida ushbu sinusga mos keladigan barcha burchaklarni chizamiz. Biz ushbu rasmni olamiz:

Avval burchak bilan shug'ullanamiz X birinchi chorakda. Sinuslar jadvalini eslaymiz va bu burchakning qiymatini aniqlaymiz. Bu oddiy masala:

x = p /6

Biz to'liq burilishlarni eslaymiz va toza vijdon bilan javoblarning birinchi qatorini yozamiz:

x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z

Ishning yarmi tugadi. Ammo endi biz aniqlashimiz kerak ikkinchi burchak ... Bu kosinuslarni ishlatishdan ko'ra qiyinroq, ha... Lekin bizni mantiq qutqaradi! Ikkinchi burchakni qanday aniqlash mumkin x orqali? Ha oson! Rasmdagi uchburchaklar bir xil va qizil burchak X burchakka teng X . Faqat u p burchakdan manfiy yo'nalishda hisoblanadi. Shuning uchun u qizil.) Va javob uchun bizga musbat yarim o'q OX dan to'g'ri o'lchangan burchak kerak, ya'ni. 0 daraja burchakdan.

Biz kursorni chizilgan ustiga olib boramiz va hamma narsani ko'ramiz. Rasmni murakkablashtirmaslik uchun birinchi burchakni olib tashladim. Bizni qiziqtirgan burchak (yashil rangda chizilgan) quyidagilarga teng bo'ladi:

p - x

X buni bilamiz p /6 . Shunday qilib, ikkinchi burchak quyidagicha bo'ladi:

p - p /6 = 5p /6

Biz yana to'liq inqiloblarni qo'shishni eslaymiz va javoblarning ikkinchi seriyasini yozamiz:

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z

Ana xolos. To'liq javob ikki qator ildizlardan iborat:

x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z

Tangens va kotangens tenglamalar trigonometrik tenglamalarni yechishda bir xil umumiy printsip yordamida osonlikcha yechilishi mumkin. Agar, albatta, trigonometrik doirada tangens va kotangensni qanday chizishni bilsangiz.

Yuqoridagi misollarda men sinus va kosinusning jadval qiymatidan foydalandim: 0,5. Bular. talaba biladigan ma'nolardan biri kerak. Endi imkoniyatlarimizni kengaytiramiz boshqa barcha qadriyatlar. Qaror qiling, qaror qiling!)

Deylik, bu trigonometrik tenglamani yechishimiz kerak:

Qisqa jadvallarda bunday kosinus qiymati yo'q. Biz bu dahshatli haqiqatni sovuqqonlik bilan e'tiborsiz qoldiramiz. Doira chizing, kosinus o'qiga 2/3 ni belgilang va mos keladigan burchaklarni chizing. Biz bu rasmni olamiz.

Keling, birinchi navbatda, birinchi chorakdagi burchakka qaraylik. Agar x ning nimaga tengligini bilsak edi, darhol javobni yozar edik! Biz bilmaymiz... Muvaffaqiyatsizlik!? Sokin! Matematika o'z xalqini qiyinchilikda qoldirmaydi! U bu holat uchun yoy kosinuslarini o'ylab topdi. Bilmayman? Bekordan bekorga. Aniqlang, bu siz o'ylagandan ham osonroq. Ushbu havolada "teskari trigonometrik funktsiyalar" haqida biron bir hiyla-nayrang yo'q ... Bu mavzuda bu ortiqcha.

Agar siz bilsangiz, shunchaki o'zingizga ayting: "X - kosinasi 2/3 ga teng bo'lgan burchak." Va darhol, yoy kosinusining ta'rifiga ko'ra, biz yozishimiz mumkin:

Biz qo'shimcha inqiloblarni eslaymiz va trigonometrik tenglamamizning birinchi qator ildizlarini xotirjamlik bilan yozamiz:

x 1 = arccos 2/3 + 2p n, n ∈ Z

Ikkinchi burchak uchun ildizlarning ikkinchi seriyasi deyarli avtomatik ravishda yoziladi. Hammasi bir xil, faqat X (arccos 2/3) minus bilan bo'ladi:

x 2 = - arccos 2/3 + 2p n, n ∈ Z

Va shunday! Bu to'g'ri javob. Jadval qiymatlariga qaraganda osonroq. Hech narsani eslab qolishning hojati yo'q.) Aytgancha, eng diqqatli kishi bu rasmda yechimni yoy kosinasi orqali ko'rsatayotganini sezadi. mohiyatan, cosx = 0,5 tenglama uchun rasmdan farq qilmaydi.

Aynan shunday! Umumiy printsip - bu! Men ataylab ikkita deyarli bir xil rasm chizdim. Doira bizga burchakni ko'rsatadi X uning kosinasi bilan. Bu jadvalli kosinusmi yoki yo'qmi, hamma uchun noma'lum. Bu qanday burchak, p /3 yoki yoy kosinasi nima - buni o'zimiz hal qilamiz.

Sinus bilan bir xil qo'shiq. Masalan:

Yana aylana chizing, sinusni 1/3 ga teng belgilang, burchaklarni chizing. Bu biz olgan rasm:

Va yana rasm tenglama bilan deyarli bir xil sinx = 0,5. Yana birinchi chorakda burchakdan boshlaymiz. Agar uning sinusi 1/3 bo'lsa, X nimaga teng? Hammasi joyida!

Endi ildizlarning birinchi to'plami tayyor:

x 1 = arksin 1/3 + 2p n, n ∈ Z

Keling, ikkinchi burchak bilan shug'ullanamiz. Jadval qiymati 0,5 bo'lgan misolda u quyidagilarga teng edi:

p - x

Bu erda ham xuddi shunday bo'ladi! Faqat x farq qiladi, arksin 1/3. Nima bo'libdi!? Siz ikkinchi ildiz to'plamini ishonch bilan yozishingiz mumkin:

x 2 = p - yoy 1/3 + 2p n, n ∈ Z

Bu mutlaqo to'g'ri javob. Garchi u juda tanish ko'rinmasa ham. Lekin bu aniq, umid qilamanki.)

Aylana yordamida trigonometrik tenglamalar shunday yechiladi. Bu yo'l aniq va tushunarli. Aynan u trigonometrik tenglamalarda ildizlarni ma'lum oraliqda tanlagan holda, trigonometrik tengsizliklarda saqlaydi - ular odatda deyarli har doim aylanada hal qilinadi. Muxtasar qilib aytganda, odatdagidan biroz qiyinroq bo'lgan har qanday vazifalarda.

Keling, bilimlarni amalda qo'llaylik?)

Trigonometrik tenglamalarni yeching:

Birinchidan, oddiyroq, to'g'ridan-to'g'ri ushbu darsdan.

Endi bu yanada murakkab.

Maslahat: bu erda siz doira haqida o'ylashingiz kerak bo'ladi. Shaxsan.)

Va endi ular tashqi ko'rinishida sodda ... Ularni maxsus holatlar ham deyiladi.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Maslahat: bu yerda siz aylana ichida ikkita javob seriyasi borligini va qaerda bitta javob borligini aniqlashingiz kerak ... Va ikkita javob seriyasi o'rniga qanday qilib bitta javob yozish kerak. Ha, cheksiz sondan birorta ham ildiz yo'qolmasligi uchun!)

Xo'sh, juda oddiy):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Maslahat: bu erda siz arksin va arkkosin nima ekanligini bilishingiz kerakmi? Arktangens, arktangens nima? Eng oddiy ta'riflar. Lekin siz hech qanday jadval qiymatlarini eslab qolishingiz shart emas!)

Javoblar, albatta, chalkashlikdir):

x 1= arcsin0,3 + 2p n, n ∈ Z
x 2= p - arcsin0,3 + 2

Hammasi yaxshi emasmi? Bo'ladi. Darsni yana o'qing. Faqat o'ylab(bunday eskirgan so'z bor...) Va havolalarni kuzatib boring. Asosiy havolalar doira haqida. Busiz trigonometriya yo'lni ko'r-ko'rona kesib o'tishga o'xshaydi. Ba'zan ishlaydi.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

"A olish" video kursi matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonini 60-65 ball bilan muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi. Matematika bo'yicha profil yagona davlat imtihonining 1-13-sonli barcha topshiriqlarini to'liq bajaring. Matematika bo'yicha asosiy yagona davlat imtihonini topshirish uchun ham javob beradi. Agar siz Yagona Davlat imtihonini 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na 100 ball to'plagan talaba, na gumanitar fanlar talabasi ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Yagona davlat imtihonining tezkor echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI vazifalar bankining 1-qismining barcha joriy vazifalari tahlil qilindi. Kurs 2018 yilgi Yagona davlat imtihonining talablariga to'liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab yagona davlat imtihon topshiriqlari. So'z muammolari va ehtimollar nazariyasi. Muammolarni hal qilish uchun oddiy va eslab qolish oson algoritmlar. Geometriya. Yagona davlat imtihonining barcha turlarining nazariyasi, ma'lumotnomasi, tahlili. Stereometriya. Ayyor echimlar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan muammoga 13. Tiklash o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarning aniq tushuntirishlari. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Yagona davlat imtihonining 2-qismining murakkab muammolarini hal qilish uchun asos.

Ko'pchilikni hal qilganda matematik muammolar, ayniqsa, 10-sinfdan oldin sodir bo'lganlar, maqsadga olib keladigan harakatlar tartibi aniq belgilangan. Bunday masalalarga, masalan, chiziqli va kvadrat tenglamalar, chiziqli va kvadrat tengsizliklar, kasr tenglamalar va kvadratik tenglamalar kiradi. Yuqorida aytib o'tilgan muammolarning har birini muvaffaqiyatli hal qilish printsipi quyidagilardan iborat: siz qanday turdagi muammoni hal qilayotganingizni belgilashingiz kerak, kerakli natijaga olib keladigan kerakli harakatlar ketma-ketligini eslab qolishingiz kerak, ya'ni. javob bering va ushbu bosqichlarni bajaring.

Ko'rinib turibdiki, muayyan masalani hal qilishda muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik, asosan, echilayotgan tenglama turi qanchalik to'g'ri aniqlanganiga, uni hal qilishning barcha bosqichlari ketma-ketligi qanchalik to'g'ri takrorlanganiga bog'liq. Albatta, bu holda bir xil o'zgartirish va hisob-kitoblarni bajarish ko'nikmalariga ega bo'lish kerak.

bilan vaziyat boshqacha trigonometrik tenglamalar. Tenglamaning trigonometrik ekanligini aniqlash unchalik qiyin emas. To'g'ri javobga olib keladigan harakatlar ketma-ketligini aniqlashda qiyinchiliklar paydo bo'ladi.

Ba'zan tenglamaning ko'rinishiga qarab uning turini aniqlash qiyin. Va tenglama turini bilmasdan, bir necha o'nlab trigonometrik formulalardan to'g'risini tanlash deyarli mumkin emas.

Trigonometrik tenglamani yechish uchun siz quyidagilarni sinab ko'rishingiz kerak:

1. tenglamaga kiritilgan barcha funksiyalarni “bir xil burchaklarga” keltiring;
2. tenglamani “bir xil funksiyalar”ga keltiring;
3. tenglamaning chap tomonini ko‘paytiring va hokazo.

Keling, ko'rib chiqaylik trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.

I. Eng oddiy trigonometrik tenglamalarga keltirish

Yechim diagrammasi

1-qadam. Trigonometrik funktsiyani ma'lum komponentlar bilan ifodalang.

2-qadam. Funktsiya argumentini formulalar yordamida toping:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + pn, n Ê Z.

tan x = a; x = arktan a + pn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + pn, n Ê Z.

3-qadam. Noma'lum o'zgaruvchini toping.

Misol.

2 cos(3x – p/4) = -√2.

Yechim.

1) cos(3x – p/4) = -√2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Ê Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Ê Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Ê Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.

Javob: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.

II. O'zgaruvchan almashtirish

Yechim diagrammasi

1-qadam. Trigonometrik funksiyalardan biriga nisbatan tenglamani algebraik shaklga keltiring.

2-qadam. Hosil bo‘lgan funksiyani t o‘zgaruvchisi bilan belgilang (agar kerak bo‘lsa, t ga cheklovlar kiriting).

3-qadam. Olingan algebraik tenglamani yozing va yeching.

4-qadam. Teskari almashtirishni amalga oshiring.

5-qadam. Eng oddiy trigonometrik tenglamani yeching.

Misol.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Yechim.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sin (x/2) = t bo'lsin, bu erda |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 yoki e = -3/2, |t| shartini qanoatlantirmaydi ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Ê Z;

x = p + 4pn, n Ê Z.

Javob: x = p + 4pn, n Ê Z.

III. Tenglama tartibini qisqartirish usuli

Yechim diagrammasi

1-qadam. Darajani kamaytirish formulasidan foydalanib, ushbu tenglamani chiziqli tenglama bilan almashtiring:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2-qadam. Olingan tenglamani I va II usullar yordamida yeching.

Misol.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Yechim.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Ê Z;

x = ±p/6 + pn, n Ê Z.

Javob: x = ±p/6 + pn, n Ê Z.

IV. Bir jinsli tenglamalar

Yechim diagrammasi

1-qadam. Ushbu tenglamani shaklga qisqartiring

a) sin x + b cos x = 0 (birinchi darajali bir hil tenglama)

yoki ko'rinishga

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

2-qadam. Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

va tan x uchun tenglamani oling:

a) tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.

3-qadam. Tenglamani ma'lum usullar yordamida yeching.

Misol.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Yechim.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) U holda tg x = t bo'lsin

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 yoki t = -4, bu degani

tg x = 1 yoki tg x = -4.

Birinchi tenglamadan x = p/4 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Javob: x = p/4 + pn, n Ê Z; x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Trigonometrik formulalar yordamida tenglamani o'zgartirish usuli

Yechim diagrammasi

1-qadam. Barcha mumkin bo'lgan trigonometrik formulalardan foydalanib, bu tenglamani I, II, III, IV usullar bilan yechilgan tenglamaga keltiring.

2-qadam. Hosil boʻlgan tenglamani maʼlum usullar yordamida yeching.

Misol.

sin x + gunoh 2x + gunoh 3x = 0.

Yechim.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 yoki 2cos x + 1 = 0;

Birinchi tenglamadan 2x = p/2 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan cos x = -1/2.

Bizda x = p/4 + pn/2, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = ±(p – p/3) + 2pk, k Ê Z.

Natijada, x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.

Javob: x = p/4 + pn/2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.

Trigonometrik tenglamalarni yechish qobiliyati va mahorati juda katta muhim, ularning rivojlanishi talaba tomonidan ham, o'qituvchi tomonidan ham katta kuch talab qiladi.

Trigonometrik tenglamalarni yechish bilan stereometriya, fizika va boshqalarning ko‘pgina masalalari bog‘langan.Bunday masalalarni yechish jarayonida trigonometriya elementlarini o‘rganish natijasida olinadigan ko‘pgina bilim va ko‘nikmalar o‘z ichiga oladi.

Trigonometrik tenglamalar matematikani o'rganish va umuman shaxsiy rivojlanish jarayonida muhim o'rin tutadi.

Hali ham savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

  • Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

  • Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
  • Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
  • Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
  • Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

  • Agar kerak bo'lsa - qonunga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va/yoki Rossiya Federatsiyasining davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
  • Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Trigonometrik tenglamalarni yechish haqida tushuncha.

  • Trigonometrik tenglamani yechish uchun uni bir yoki bir nechta asosiy trigonometrik tenglamalarga aylantiring. Trigonometrik tenglamani yechish oxir-oqibat to'rtta asosiy trigonometrik tenglamani yechishga to'g'ri keladi.

  • Asosiy trigonometrik tenglamalarni yechish.

    • Asosiy trigonometrik tenglamalarning 4 turi mavjud:
    • sin x = a; cos x = a
    • tan x = a; ctg x = a
    • Asosiy trigonometrik tenglamalarni echish birlik aylanasidagi turli x pozitsiyalarni ko'rib chiqishni, shuningdek, konversiya jadvalini (yoki kalkulyator) ishlatishni o'z ichiga oladi.
    • Misol 1. sin x = 0,866. O'tkazish jadvali (yoki kalkulyator) yordamida siz javob olasiz: x = p/3. Birlik doirasi boshqa javob beradi: 2p/3. Esda tuting: barcha trigonometrik funktsiyalar davriydir, ya'ni ularning qiymatlari takrorlanadi. Masalan, sin x va cos x ning davriyligi 2pn, tg x va ctg x ning davriyligi pn ga teng. Shuning uchun javob quyidagicha yoziladi:
    • x1 = p/3 + 2pn; x2 = 2p/3 + 2pn.
    • 2-misol. cos x = -1/2. O'tkazish jadvali (yoki kalkulyator) yordamida siz javob olasiz: x = 2p/3. Birlik doirasi boshqa javob beradi: -2p/3.
    • x1 = 2p/3 + 2p; x2 = -2p/3 + 2p.
    • 3-misol. tg (x - p/4) = 0.
    • Javob: x = p/4 + pn.
    • 4-misol. ctg 2x = 1,732.
    • Javob: x = p/12 + p n.

  • Trigonometrik tenglamalarni yechishda qo'llaniladigan o'zgartirishlar.

    • Trigonometrik tenglamalarni o'zgartirish uchun algebraik o'zgartirishlar (ko'paytmalar, bir jinsli atamalarni qisqartirish va boshqalar) va trigonometrik o'xshashliklardan foydalaniladi.
    • 5-misol: Trigonometrik identifikatsiyalar yordamida sin x + sin 2x + sin 3x = 0 tenglama 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 tenglamasiga aylantiriladi. Shunday qilib, quyidagi asosiy trigonometrik tenglamalar hal qilish kerak: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

    • Ma'lum funktsiya qiymatlari yordamida burchaklarni topish.

      • Trigonometrik tenglamalarni echishni o'rganishdan oldin ma'lum funksiya qiymatlari yordamida burchaklarni topishni o'rganishingiz kerak. Buni konversiya jadvali yoki kalkulyator yordamida amalga oshirish mumkin.
      • Misol: cos x = 0,732. Kalkulyator x = 42,95 daraja javob beradi. Birlik doirasi qo'shimcha burchaklarni beradi, ularning kosinasi ham 0,732.

    • Eritmani birlik doirasiga qo'ying.

      • Trigonometrik tenglamaning yechimlarini birlik doirasi bo‘yicha chizishingiz mumkin. Birlik doiradagi trigonometrik tenglamaning yechimlari muntazam ko‘pburchakning uchlaridir.
      • Misol: Birlik doiradagi x = p/3 + pn/2 yechimlari kvadratning uchlarini ifodalaydi.
      • Misol: Birlik aylanadagi x = p/4 + pn/3 yechimlari muntazam olti burchakli uchlarini ifodalaydi.

    • Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari.

      • Agar berilgan trigonometrik tenglama faqat bitta trigonometrik funktsiyani o'z ichiga olsa, bu tenglamani asosiy trigonometrik tenglama sifatida yeching. Agar berilgan tenglama ikki yoki undan ortiq trigonometrik funktsiyani o'z ichiga olgan bo'lsa, unda bunday tenglamani echishning 2 ta usuli mavjud (uni o'zgartirish imkoniyatiga qarab).
        • 1-usul.
      • Bu tenglamani quyidagi ko’rinishdagi tenglamaga aylantiring: f(x)*g(x)*h(x) = 0, bu yerda f(x), g(x), h(x) asosiy trigonometrik tenglamalar.
      • 6-misol. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
      • Yechim. Ikki burchakli sin 2x = 2*sin x*cos x formulasidan foydalanib, sin 2x ni almashtiring.
      • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos x = 0 va (sin x + 1) = 0.
      • 7-misol. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
      • Yechish: Trigonometrik o‘ziga xosliklardan foydalanib, bu tenglamani quyidagi ko‘rinishdagi tenglamaga aylantiring: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos 2x = 0 va (2cos x + 1) = 0.
      • Misol 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
      • Yechish: Trigonometrik o‘ziga xosliklardan foydalanib, bu tenglamani quyidagi ko‘rinishdagi tenglamaga aylantiring: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos 2x = 0 va (2sin x + 1) = 0 .
        • 2-usul.
      • Berilgan trigonometrik tenglamani faqat bitta trigonometrik funksiyadan iborat tenglamaga aylantiring. Keyin bu trigonometrik funktsiyani noma'lum funktsiya bilan almashtiring, masalan, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t va boshqalar).
      • 9-misol. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
      • Yechim. Ushbu tenglamada (cos^2 x) ni (1 - sin^2 x) bilan almashtiring (identifikatsiyaga ko'ra). O'zgartirilgan tenglama:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x ni t bilan almashtiring. Endi tenglama quyidagicha ko'rinadi: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Bu ikki ildizga ega bo'lgan kvadrat tenglama: t1 = -1 va t2 = 9/5. Ikkinchi ildiz t2 funktsiya diapazonini qoniqtirmaydi (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • 10-misol. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Yechim. tg x ni t bilan almashtiring. Dastlabki tenglamani quyidagicha qayta yozing: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Endi t ni toping va keyin t = tan x uchun x ni toping.


    •