>

Formal mantiq haqidagi Gödel teoremasi. Qiziqarli faktlar va foydali maslahatlar

Gödelning to'liqsizlik teoremalari

Gödelning to'liqsizlik teoremalari

Gödelning to'liqsizlik teoremalari- rasmiy arifmetikaning asosiy cheklovlari va natijada har qanday etarlicha kuchli birinchi tartibli nazariya haqida matematik mantiqning ikkita teoremasi.

Birinchi teorema shuni ko'rsatadiki, agar rasmiy arifmetika izchil bo'lsa, unda kamaytirilmaydigan va inkor etilmaydigan formula mavjud.

Ikkinchi teorema shuni ko'rsatadiki, agar rasmiy arifmetika izchil bo'lsa, unda bu nazariyaning izchilligini mazmunli tasdiqlovchi ma'lum bir formula mavjud.

Gödelning birinchi toʻliqsizlik teoremasi

Gödelning birinchi toʻliqsizlik teoremasining bayonoti quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Agar rasmiy arifmetika bo'lsa S izchil bo'lsa, unda u yopiq G formulasini o'z ichiga oladi, shuning uchun na G, na uning inkori ¬G da hosil bo'lmaydi. S .

Teoremani isbotlashda Gödel formulani tuzdi G aniq, uni ba'zan Gödelning hal qilib bo'lmaydigan formulasi deb atashadi. Standart talqinda jumla G Sda o'zining qaytarilmasligini tasdiqlaydi. Shuning uchun, Gödel teoremasi bo'yicha, agar S nazariyasi izchil bo'lsa, u holda bu formula Sda haqiqatda qaytarilmaydi va shuning uchun standart talqinda to'g'ri. Shunday qilib, natural sonlar uchun formula G toʻgʻri, lekin S.da hosil boʻlmaydi.

Gödelning isboti S dan olingan har qanday nazariya uchun yangi aksiomalarni qo'shish orqali amalga oshirilishi mumkin, masalan, formula G aksioma sifatida. Shuning uchun, rasmiy arifmetikaning kengaytmasi bo'lgan har qanday izchil nazariya to'liq bo'lmaydi.

Birinchi toʻliqsizlik teoremasini isbotlash uchun Gödel rasmiy arifmetikadagi har bir belgi, ifoda va ifodalar ketma-ketligiga maʼlum bir raqam berdi. Formulalar va teoremalar arifmetikaning jumlalari, teoremalarning formal hosilalari esa formulalar ketma-ketligi bo'lganligi sababli, natural sonlar nuqtai nazaridan teorema va isbotlar haqida gapirish mumkin bo'ldi. Misol uchun, Gödelning hal qilib bo'lmaydigan formulasi bo'lsin G raqamga ega m, u holda arifmetika tilida quyidagi gapga teng bo‘ladi: “bunday natural son yo‘q. n, Nima n raqamli formulali chiqish raqami mavjud m". Formulalar va natural sonlarni bunday taqqoslash matematikaning arifmetizatsiyasi deb ataladi va birinchi marta Gödel tomonidan amalga oshirildi. Keyinchalik bu g'oya matematik mantiqning ko'plab muhim muammolarini hal qilish uchun kalit bo'ldi.

Dalilning eskizi

Keling, elementar matematik tushunchalarni ifodalash mumkin bo'lgan ba'zi rasmiy PM tizimini tuzataylik.

Formal tizimning ifodalari tashqaridan qaralganda, ibtidoiy belgilarning chekli ketma-ketliklari (oʻzgaruvchilar, mantiqiy doimiylar va qavslar yoki nuqtalar) boʻlib, qaysi ibtidoiy belgilar ketma-ketligi formula, qaysi biri formula emasligini qatʼiy belgilash qiyin emas. Xuddi shunday, rasmiy nuqtai nazardan, isbotlar formulalarning cheklangan ketma-ketligidan boshqa narsa emas (qat'iy belgilangan xususiyatlarga ega). Matematik mulohazalar uchun qaysi ob'ektlarni ibtidoiy belgilar sifatida qabul qilishimiz muhim emas va biz bu maqsadlar uchun natural sonlardan foydalanishga qaror qilamiz. Shunga ko'ra, formula - natural sonlarning chekli ketma-ketligi, formulaning xulosasi - natural sonlarning chekli ketma-ketligi. Shunday qilib, matematik tushunchalar (bayonotlar) natural sonlar yoki ularning ketma-ketligi haqidagi tushunchalarga (bayonotlarga) aylanadi va shuning uchun o'zlari PM tizimining ramziyligida (hech bo'lmaganda qisman) ifodalanishi mumkin. Xususan, “formula”, “hosil qilish”, “hosil formula” tushunchalari PM tizimida aniqlanishi, yaʼni, masalan, formulani qayta tiklash mumkinligini koʻrsatish mumkin. F(v) bitta erkin o'zgaruvchi bilan PMda v(turi son qatori) shunday F(v), intuitiv talqinda quyidagilarni anglatadi: v- olingan formula. Endi PM tizimining hal qilib bo'lmaydigan jumlasini, ya'ni gapni tuzamiz A, buning uchun ham A, na A bo'lmagan hosil bo'lmaydigan, quyidagicha:

Turi natural son (sinflar sinfi) bo‘lgan bitta erkin o‘zgaruvchiga ega bo‘lgan PMdagi formula ifoda klassi deb ataladi. Keling, sinf ifodalarini qandaydir tarzda ketma-ketlikda joylashtiramiz, belgilaymiz n-e orqali R(n) va “sinf-ifoda” tushunchasi, shuningdek, tartib munosabatiga e’tibor bering R PM tizimida aniqlanishi mumkin. a ixtiyoriy sinf ifodasi bo'lsin; orqali [a; n] erkin o‘zgaruvchini natural son belgisi bilan almashtirish orqali a sinf ifodasidan hosil bo‘lgan formulani bildiring. n. Uchlik munosabat x = [y;z] PMda ham aniqlanishi mumkin. Endi biz sinfni aniqlaymiz K natural sonlar quyidagicha:

n ∈ K≡ ¬Bew[ R(n);n] (*)

(qaerda Bew x anglatadi: x- olingan formula). Ushbu ta'rifda topilgan barcha tushunchalar PMda ifodalanishi mumkinligi sababli, kontseptsiya uchun ham xuddi shunday K, ulardan tuzilgan, ya'ni shunday ifoda sinfi mavjud S, formula [ S;n], intuitiv talqini, natural sonni bildiradi n tegishli K. Ifoda sinfi sifatida, S ba'zi bir o'ziga xoslik bilan bir xil R(q) bizning raqamlashimizda, ya'ni

S = R(q)

muayyan natural son uchun amal qiladi q. Endi biz jumlani ko'rsatamiz [ R(q);q] PMda hal qilib bo'lmaydi. Demak, agar jumla [ R(q);q] hosila deb qabul qilinsa, u to‘g‘ri bo‘lib chiqadi, ya’ni yuqorida aytilganlarga muvofiq, q tegishli bo'ladi K, ya'ni (*), ¬Bew[ ga muvofiq R(q);q] bajariladi, bu bizning taxminimizga ziddir. Boshqa tomondan, agar inkor [ R(q);q] inferable edi, keyin ¬ n ∈ K, ya'ni Bew[ R(q);q] rost bo'ladi. Demak, [ R(q);q] uning inkori bilan birgalikda xulosa chiqarish mumkin bo'ladi, bu yana mumkin emas.

Polinom shakli

Har bir izchil nazariya uchun T K parametrining butun qiymatini belgilash mumkin, shundayki tenglama (th + 2 z − b 5) 2 + (u + tθ − l) 2 + (y + mθ − e) 2 + (n − q 16) 2 + ((g + eq 3 + lq 5 + (2(e − z l)(1 + g) 4 + l b 5 + l b 5 q 4)q 4)(n 2 − n) + (q 3 − bl + l + θλ q 3 + (b 5 − 2)q 5)(n 2 − 1) − r) 2 + (p − 2ws 2 r 2 n 2) 2 + (p 2 k 2 − k 2 + 1 - t 2) 2 + (4(c − ksn 2) 2 + ē − k 2) 2 + (r + 1 + hp − h − k) 2 + (a − (wn 2 + 1)rsn 2) 2 + (2r+ 1 + ph − c) 2 + (bw + ca − 2c+ 4ag − 5g − d) 2 + ((a 2 − 1)c 2 + 1 − d 2) 2 + ((a 2 − 1)i 2 c 4 + 1 − f 2) 2 + (((a + f 2 (d 2 − a)) 2 − 1)(2r + 1 + jc) 2 + 1 − (d + of) 2) 2 + (((z + u + y) 2 + u) 2 + y − K) 2 = 0 manfiy bo'lmagan butun sonlarda yechimlari yo'q, lekin bu haqiqatni nazariy jihatdan isbotlab bo'lmaydi T . Bundan tashqari, har bir izchil nazariya uchun ushbu xususiyatga ega bo'lgan K parametrining qiymatlari to'plami cheksizdir va algoritmik jihatdan sanab bo'lmaydi.

Gödelning ikkinchi toʻliqsizlik teoremasi

Rasmiy S arifmetikasida standart talqinda S nazariyasi mos kelsagina to'g'ri bo'lgan formulani qurish mumkin. Ushbu formula uchun Gödelning ikkinchi teoremasining bayonoti to'g'ri:

Agar rasmiy arifmetika bo'lsa S izchil bo'lsa, unda mazmunli ravishda izchillikni tasdiqlovchi qaytarilmas formula mavjud S .

Boshqacha qilib aytganda, rasmiy arifmetikaning izchilligini bu nazariya yordamida isbotlab bo'lmaydi. Biroq, unda ifodalanmaydigan vositalar yordamida rasmiy arifmetikaning izchilligini isbotlovchi dalillar mavjud.

Dalilning eskizi

Avval formula tuziladi Con, bu S nazariyasida uning inkori bilan bir qatorda hech qanday formulani olishning mumkin emasligini mazmunli ifodalaydi. Keyin Gödelning birinchi teoremasining bayoni formula bilan ifodalanadi Con ⊃ G, Qayerda G- Gödelning yechilmaydigan formulasi. Birinchi teoremani isbotlash uchun barcha mulohazalarni S orqali ifodalash va amalga oshirish mumkin, ya'ni formulani S da chiqarish mumkin. Con ⊃ G. Demak, agar S da hosila bo'lsa Con, keyin chiqarilishi mumkin va G. Biroq, Gödelning birinchi teoremasiga ko'ra, agar S izchil bo'lsa, u holda G unda chiqarib bo'lmaydi. Demak, agar S izchil bo'lsa, undagi formula ham qaytarilmaydi Con.

Eslatmalar

Shuningdek qarang

Havolalar

  • V. A. Uspenskiy Gödelning to'liqsizlik teoremasi. - M.: Nauka, 1982. - 110 b. - (Matematika bo'yicha mashhur ma'ruzalar).
  • Akademik Yu. L. Ershov "Matematikada isbotlash", 2003 yil 16 iyundagi A. Gordon dasturi
  • A. B. Sosinskiy Gödel teoremasi // "Zamonaviy matematika" yozgi maktabi. - Dubna: 2006 yil.
  • P. J. Koen To'plamlar nazariyasi asoslari haqida // Matematika fanlaridagi yutuqlar. - 1974. - T. 29. - No 5(179). - 169–176-betlar.
  • M. Kordonskiy Haqiqatning oxiri. - ISBN 5-946448-001-04
  • V. A. Uspenskiy Gödelning to'liqsizlik teoremasi va unga olib boradigan to'rtta yo'l // "Zamonaviy matematika" yozgi maktabi. - Dubna: 2007 yil.
  • Zenkin A.A. Vaqtni bo'lish printsipi va kvazi-cheklangan mantiqiy fikrlashning bir sinfini tahlil qilish (G. Kantorning hisoblanmaslik haqidagi teoremasi misolidan foydalangan holda) // DAN. - 1997. - T. 356. - No 6. - B. 733-735.
  • Chechulin V.L. Gödel teoremalarini isbotlashning qisqacha versiyasi haqida // “Matematika va informatika fanining fundamental muammolari”, Akademik E.V. nomidagi XXXIV Uzoq Sharq matematika maktabi-seminarining materiallari. Zolotova. - Xabarovsk, Rossiya: 2009. - B. 60-61.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Gödelning to'liqsizlik haqidagi teoremalari" nima ekanligini ko'ring:

    Bu atama boshqa maʼnolarga ham ega, Gödel teoremasiga qarang. Gödelning toʻliqsizlik haqidagi teoremasi va Gödelning ikkinchi teoremasi [1] rasmiy arifmetikaning asosiy cheklovlari haqidagi matematik mantiqning ikkita teoremasi va natijada har qanday ... ... Vikipediya.

    Gödelning to'liqsizlik teoremalari - bu ma'lum bir turdagi rasmiy tizimlarning to'liq emasligi haqidagi matematik mantiqning ikkita teoremasi. Mundarija 1 Gödelning birinchi toʻliqsizlik teoremasi 2. Gödelning ikkinchi toʻliqsizlik teoremasi ... Vikipediya

    Bu atama boshqa maʼnolarga ham ega, Gödel teoremasiga qarang. Gödelning predikatlar hisobining to'liqligi haqidagi teoremasi matematik mantiqning asosiy teoremalaridan biridir: u mantiqiy haqiqat o'rtasida aniq bog'liqlikni o'rnatadi... ... Vikipediya

    K. Gödel tomonidan o'rnatilgan ikkita teoremaning umumiy nomi. Birinchi G. t. n haqida. Minimal arifmetikani o'z ichiga olgan har qanday izchil rasmiy tizimda (belgilar va ular bilan ishlashning odatiy qoidalari) rasmiy ravishda hal qilib bo'lmaydigan narsa borligini ta'kidlaydi... ... Matematik entsiklopediya

Isbot g'oyasi - bu uni ko'rsatadigan iborani qurish

o'zining isbotlanmasligi. Ushbu qurilish uch bosqichda amalga oshirilishi mumkin:

Birinchi bosqich - rasmiy arifmetika va butun sonlar to'plami o'rtasidagi muvofiqlikni o'rnatish (Goedelizatsiya);

Ikkinchi bosqich - bu rasmiy arifmetika teoremasimi yoki yo'qligi noma'lum bo'lgan qandaydir maxsus xususiyatni qurish;

Uchinchi bosqich - o'zi bilan bog'langan ma'lum bir butun sonni x o'rniga almashtirish, ya'ni barchasini ushbu raqamlar bilan almashtirish.

Birinchi bosqich. Formal arifmetikaning gedelizatsiyasi

Formal arifmetikani quyidagi tarzda arifmetizatsiya qilish (ya'ni, Godelizatsiya) mumkin: uning har bir teoremasi ma'lum bir son bilan bog'liq. Biroq, har bir son ham teorema bo'lganligi sababli, har bir teorema, bir tomondan, formal arifmetika teoremasi, ikkinchi tomondan, formal arifmetika teoremalari to'plami haqida teorema sifatida, ya'ni. ma'lum bir teoremaning isbotiga mos keladigan metateorema.

Shunday qilib, rasmiy arifmetika tizimi ham o'z metatizimini o'z ichiga oladi, degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Endi biz olingan natijalarni aniqroq va batafsil taqdim etamiz.

Birinchidan, biz har bir belgi va rasmiy arifmetika bilan bu holda Gödel raqami deb ataladigan maxsus kod belgisini bog'lashimiz mumkin.

Ikkinchidan, har bir belgilar ketma-ketligini qandaydir kompozitsion funksiyadan foydalanib, bir xil Gödel raqami bilan bog‘laymiz.

Uchinchidan (va bu juda muhim), aksiomalar va almashtirish qoidalari (yoki almashtirish qoidalari) ketma-ketligining har bir isboti isbotlashda ishlatiladigan teoremalar ketma-ketligini bildiradigan raqam bilan bog'lanadi.

Shunday qilib, formal arifmetikadagi har qanday dalil ma'lum bir songa - uning Gödel soniga to'g'ri keladi.Formal arifmetikadagi har qanday fikrlash natural sonlar to'plamidagi hisob-kitoblarga aylanadi.

Shunday qilib, belgilar, teoremalar va dalillarni manipulyatsiya qilish o'rniga siz foydalanishingiz mumkin

butun sonlar to'plami bo'yicha hisoblar. Masalan, quyidagi kabi har qanday ibora: "rasmiy arifmetikada isbotlanishi mumkin" endi ma'lum bir raqamga to'g'ri keladi, biz uni quyidagicha belgilaymiz.

Keling, quyidagi pozitsiyani shakllantiramiz.

Rasmiy metaarifmetika tabiiy sonlar to'plamida mavjud bo'lib, uning o'zi rasmiy arifmetikaning talqinida mavjud.

Rasmiy arifmetika bilan bog'liq bu holat tabiiy til bilan bog'liq vaziyatni eslatadi: axir, uning asosiy tushunchalari va qoidalarini shakllantirish uchun undan foydalanishga hech narsa to'sqinlik qilmaydi.

Funktsiyani to'g'ri tanlash A dan aniq o'tishga imkon beradi, ya'ni ikki xil dalillarga ikki xil raqamni belgilash. Misol uchun, Gödel raqamlarini shunday tanlash mumkinki, rasmiy arifmetika alifbosining har bir belgisi, masalan, jadvalda ko'rsatilganidek, o'zining tub raqamiga mos keladi. 3.2.

3.2-jadval

Har bir formula (1 dan 1 gacha o'zgarib turadigan belgilardan iborat) o'z navbatida birinchi tub sonlardan, ya'ni raqamdan iborat ketma-ketlik bilan kodlanadi.

tub son qayerda.

O'z navbatida, isbot, ya'ni formulalar ketma-ketligi raqam bilan bir xil tarzda kodlanadi.

Va aksincha, raqamlarni qurishning ushbu usuli tufayli, ma'lum bir sondan boshlab, uning tub omillarga bo'linishidan (natur sonlarning tub sonlarning darajalari mahsulotiga parchalanishining o'ziga xosligi tufayli) foydalanish mumkin bo'ladi. ikki bosqichda ko'rsatkichlarga, ya'ni ibtidoiy belgilarga formal arifmetika. Albatta, bu faqat nazariy, chunki raqamlar tezda juda katta bo'ladi

shuning uchun ularni manipulyatsiya qilish mumkin. Biroq, shuni ta'kidlash kerakki, ushbu operatsiyaning asosiy imkoniyati juda muhimdir.

Misol. Ayrim isbotga mos keladigan va tub sonlar ko‘paytmasini ifodalovchi T raqami berilsin:

Bu kengayish teorema isboti ikki bosqichdan iboratligini bildiradi: biri 1981027125 253 raqamiga, ikkinchisi esa 1981027125 211 raqamiga to'g'ri keladi. Bu raqamlarning har birini yana tub ko'paytuvchilarga ko'paytirsak, biz hosil bo'lamiz.

Rasmiy arifmetikaning alifbo kodlash jadvalidan (3.2-jadval) biz ushbu ikki raqam uchun bizning Gödel raqamlarini topamiz.

quyidagi dalil mos keladi:

Formuladan formula kelib chiqadi

Shunday qilib, metaarifmetikada asl sonning qiymati rasmiy arifmetikadan olinadi.

Ikkinchi bosqich. Gödelning Lemmasi

Isbot bilan bog'langan har bir T soni rasmiy arifmetikada isbotlanadigan teoremaga mos keladi. "Godelizatsiyalangan" rasmiy arifmetika arifmetizatsiyalangan rasmiy arifmetika deb ataladi. Arifmetiklashtirilgan formal arifmetikaning har bir aksiomasi va har bir qoidasi qandaydir arifmetik amalga mos kelganligi sababli, sistematik test yordamida berilgan T soni qandaydir teorema isbotiga mos kelishini aniqlash mumkin.T raqamlari va bu holda bir juft konjugat hosil qiladi. raqamlar. Ifodasi and are conjugate” Arifmetizatsiyalangan rasmiy arifmetikaning o'zida taqdim etiladi. Bu shuni anglatadiki, ushbu bayonotni raqamli ravishda ifodalovchi Gödel raqami mavjud.

Biz Gödel isbotining tanqidiy nuqtasiga yetdik. A qandaydir erkin o‘zgaruvchini o‘z ichiga olgan arifmetizatsiyalangan formal arifmetikaning ifodasi bo‘lsin. Buning o'rniga, ba'zi atamalarni almashtirishingiz mumkin. Xususan, siz A ifodasini A ifodasi bilan almashtirishingiz mumkin.Bu holda A son ifodasi bir vaqtning o'zida ikki xil rolni bajaradi (yuqoridagi qurilishga qarang).

Kantor va Richard): bu almashtirishning haqiqiy ifodasi va natijaviy atama. Biz bu maxsus almashtirishni shunday belgilaymiz, shuning uchun formula bu raqam A ifodasini almashtirish orqali olingan Gödel soni ekanligini anglatadi:

Keyin Gödel bu almashtirishni kiritadigan ifodani (u teorema yoki teorema emasmi noma'lum) tuzadi. Ifoda quyidagicha ko'rinadi:

Uchinchi bosqich. Yakuniy almashtirish

Arifmetiklashtirilgan formal arifmetikada bu ifoda raqamli shaklda ifodalanadi. E uning Gödel raqami bo'lsin. Ifoda erkin o'zgaruvchini o'z ichiga olganligi sababli, biz almashtirishni amalga oshirish huquqiga egamiz - E raqamini almashtirish va E ni bildirish orqali:

Bu ikkinchi ifodani a bilan, Gödel sonini esa E bilan belgilaymiz. E ifodasining talqinlarini beraylik.

Birinchi talqin. Quyidagilar bir vaqtning o'zida mos keladigan bunday juftlik yo'q: bir tomondan, T - o'z-o'zidan arifmetizatsiya qilingan teoremaning arifmetizatsiyalangan isboti soni, boshqa tomondan, almashtirish bo'ladi. boshqalar kabi bir xil transformatsiya, atamalar va ularning kod belgilarida ifodalanishi mumkin - Gödel raqamlari va shuning uchun bunday raqam mavjud. Ehtimol, T raqami mavjud emas.

Ikkinchi talqin. T teoremasining E ning o‘rnini bosuvchi arifmetizatsiyalangan isboti yo‘q. Demak, isbot bo‘lmasa, bu uning o‘zi teorema emasligidir. Bu uchinchi talqinga olib keladi.

Uchinchi talqin. Gödel raqami bo'lgan ifoda E - almashtirish arifmetizatsiyalangan formal arifmetika teoremasi emas. Ammo qarama-qarshilik shu erda, chunki qurilishga ko'ra, uning o'zi E ning o'rnini bosadi va bu raqam E sonining o'zidan boshqa hech narsa emas.Bu erdan e ning yakuniy talqini keladi.

09Sentabr

Muayyan murakkablik darajasidan boshlab matematik aksiomalarning har qanday tizimi ichki ziddiyatli yoki to'liq emas.

1900 yilda Parijda matematiklarning Butunjahon konferentsiyasi bo'lib o'tdi Devid Gilbert(David Hilbert, 1862-1943) tezislar shaklida uning fikricha, kelgusi XX asr nazariyotchilari hal qilishi kerak bo'lgan 23 ta eng muhim vazifalarni taqdim etdi. Uning ro'yxatidagi ikkinchi raqam o'sha oddiy muammolardan biri edi, ularning javobi siz chuqurroq qazilmaguningizcha aniq ko'rinadi. Zamonaviy so'zlar bilan aytganda, bu savol edi: matematika o'z-o'zidan etarlimi? Gilbertning ikkinchi vazifasi, aksiomalar tizimi - matematikada isbotsiz asos sifatida qabul qilingan asosiy bayonotlar - mukammal va to'liq ekanligini, ya'ni mavjud bo'lgan hamma narsani matematik tarzda tasvirlash imkonini beradi, deb qat'iy isbotlash zarurati bilan yakunlandi. Bunday aksiomalar sistemasini aniqlash mumkin ekanligini isbotlash kerak ediki, ular, birinchidan, o'zaro izchil bo'lsin, ikkinchidan, ulardan har qanday fikrning haqiqat yoki noto'g'riligi to'g'risida xulosa chiqarish mumkin edi.

Keling, maktab geometriyasidan misol keltiraylik. Standart Evklid planimetriyasida (tekislikdagi geometriya) "uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 °" degan fikrning to'g'riligini va "uchburchak burchaklarining yig'indisi 137" degan fikrni shubhasiz isbotlash mumkin. °” noto'g'ri. Umuman olganda, Evklid geometriyasida har qanday bayonot noto'g'ri yoki haqiqatdir va uchinchi variant yo'q. Yigirmanchi asrning boshlarida esa matematiklar xuddi shu holat har qanday mantiqiy izchil tizimda kuzatilishi kerakligiga soddalik bilan ishonishgan.

Va keyin 1931 yilda Vena matematikasi ko'zoynakli Kurt Gödel- "matematik mantiq" deb ataladigan butun dunyoni g'azablantiradigan qisqa maqolani olib, nashr etdi. Uzoq va murakkab matematik va nazariy muqaddimalardan so'ng, u tom ma'noda quyidagilarni o'rnatdi. Keling, har qanday bayonotni olaylik: "Ushbu aksiomalar tizimidagi 247-sonli faraz mantiqiy jihatdan isbotlanmaydi" va uni "A bayonoti" deb nomlang. Shunday qilib, Gödel har qanday aksiomalar tizimining quyidagi ajoyib xususiyatini isbotladi:

"Agar A bayonotini isbotlash mumkin bo'lsa, unda A bo'lmagan bayonotni isbotlash mumkin."

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar "247-faraz isbotlab bo'lmaydi" degan gapning haqiqati isbotlanishi mumkin bo'lsa, "247-faraz isbotlanishi mumkin" degan gapning haqiqati ham isbotlanishi mumkin. Ya'ni, Gilbertning ikkinchi muammosini shakllantirishga qaytadigan bo'lsak, agar aksiomalar tizimi to'liq bo'lsa (ya'ni undagi har qanday bayonotni isbotlash mumkin), demak u qarama-qarshidir.

Bunday vaziyatdan chiqishning yagona yo'li to'liq bo'lmagan aksiomalar tizimini qabul qilishdir. Ya'ni, har qanday mantiqiy tizim kontekstida bizda hali ham "A tipidagi" bayonotlar bo'lishi mumkinligiga chidashimiz kerak, ular aniq haqiqat yoki noto'g'ri - va biz ularning haqiqatini faqat bizda mavjud bo'lgan aksiomatika doirasidan tashqarida hukm qilishimiz mumkin. qabul qilingan. Agar bunday bayonotlar bo'lmasa, unda bizning aksiomatikamiz qarama-qarshidir va uning doirasida muqarrar ravishda isbotlanishi va rad etilishi mumkin bo'lgan formulalar bo'ladi.

Shunday qilib, to'liqsizlik haqidagi birinchi yoki zaif Gödel teoremasining formulasi: "Har qanday rasmiy aksiomalar tizimi hal qilinmagan taxminlarni o'z ichiga oladi". Ammo Gödel bu bilan to‘xtab qolmay, Gödelning ikkinchi yoki kuchli to‘liqsizlik teoremasini shakllantirib, isbotlab berdi: “Har qanday aksiomalar tizimining mantiqiy to‘liqligini (yoki to‘liqsizligini) bu tizim doirasida isbotlab bo‘lmaydi. Uni isbotlash yoki inkor qilish uchun qo‘shimcha aksiomalar talab qilinadi (tizimni mustahkamlash).

Gödel teoremalari tabiatan mavhum va bizga taalluqli emas, balki faqat yuksak matematik mantiq sohalariga tegishli deb o'ylash xavfsizroq bo'lar edi, lekin aslida ular inson miyasining tuzilishi bilan bevosita bog'liq ekanligi ma'lum bo'ldi. Ingliz matematigi va fizigi Rojer Penrouz (1931 y. tug‘ilgan) shuni ko‘rsatdiki. Gödel teoremalari inson miyasi va kompyuter o'rtasida tub farqlar mavjudligini isbotlash uchun ishlatilishi mumkin. Uning fikrining ma'nosi oddiy. Kompyuter qat'iy mantiqiy ravishda ishlaydi va agar u aksiomatikadan tashqariga chiqsa, A bayonotining to'g'ri yoki noto'g'ri ekanligini aniqlay olmaydi va Gödel teoremasiga ko'ra, bunday bayonotlar muqarrar ravishda mavjud. Bunday mantiqiy isbotlab bo'lmaydigan va inkor etib bo'lmaydigan A bayonotiga duch kelgan odam har doim uning haqiqat yoki yolg'onligini - kundalik tajribaga asoslanib aniqlay oladi. Hech bo'lmaganda bu jihatdan inson miyasi sof mantiqiy sxemalar bilan cheklangan kompyuterdan ustundir. Inson miyasi Gödel teoremalarida mavjud bo'lgan haqiqatning to'liq chuqurligini tushunishga qodir, ammo kompyuter miyasi hech qachon tushuna olmaydi. Demak, inson miyasi kompyuterdan boshqa narsa emas. U qaror qabul qilishga qodir va Tyuring testidan o'tadi.

Kurt Gödelning toʻliqsizlik teoremalari 20-asr matematikasida burilish nuqtasi boʻldi. Va o'limidan keyin nashr etilgan qo'lyozmalarida Xudo borligining mantiqiy isboti saqlanib qolgan. So'nggi Rojdestvo o'qishlarida Tobolsk diniy seminariyasining dotsenti, ilohiyot fanlari nomzodi, ruhoniy Dimitriy KIRYANOV tomonidan kam ma'lum bo'lgan meros haqida qiziqarli ma'ruza qilindi. "NS" olimning asosiy g'oyalarini tushuntirishni so'radi.

Gödelning to'liqsizlik teoremalari: Matematikadagi teshik

- Gödelning to'liqsizlik teoremalarini tushuntirishning mashhur usuli bormi? Sartarosh faqat o'zini soqol qilmaganlarni soqolini oladi. Sartarosh o'zini soqol oladimi? Bu mashhur paradoksning ular bilan aloqasi bormi?

Kurt Gödel tomonidan ilgari surilgan Xudo borligining mantiqiy isbotining asosiy tezisi: "Xudo fikrda mavjud. Lekin haqiqatdagi mavjudlik faqat fikrdagi mavjudlikdan ko'proqdir. Shuning uchun Xudo mavjud bo'lishi kerak." Suratda: toʻliqlik teoremasi muallifi Kurt Gödel oʻzining doʻsti, nisbiylik nazariyasi muallifi Albert Eynshteyn bilan. Priston. Amerika. 1950

- Ha, albatta. Gödeldan oldin matematikani aksiomatizatsiya qilish muammosi va har qanday tilda rasmiy ravishda yozilishi mumkin bo'lgan paradoksal jumlalar muammosi mavjud edi. Masalan: "Bu bayonot noto'g'ri." Ushbu bayonotning haqiqati nimada? Agar rost bo'lsa, u yolg'on, agar u yolg'on bo'lsa, u haqiqatdir; Bu lingvistik paradoksga olib keladi. Gödel arifmetikani o'rgandi va o'z teoremalarida uning izchilligini o'z-o'zidan ravshan printsiplar: qo'shish, ayirish, bo'lish, ko'paytirish va boshqalar aksiomalari asosida isbotlab bo'lmasligini ko'rsatdi. Buni oqlash uchun biz ba'zi qo'shimcha taxminlarni talab qilamiz. Bu eng oddiy nazariyaga asoslanadi, ammo murakkabroqlari (fizika tenglamalari va boshqalar) haqida nima deyishimiz mumkin! Har qanday xulosalar tizimini asoslash uchun biz har doim tizim doirasida oqlanmagan ba'zi qo'shimcha xulosalarga murojaat qilishga majburmiz.

Bu, birinchi navbatda, inson ongining voqelikni bilishdagi da'volarining chegaralanganligini ko'rsatadi. Ya'ni, biz hamma narsani tushuntirib beradigan qandaydir keng qamrovli olam nazariyasini quramiz, deb ayta olmaymiz - bunday nazariya ilmiy bo'lishi mumkin emas.

— Hozir matematiklar Gödel teoremalariga qanday munosabatda? Hech kim ularni rad etishga yoki qandaydir tarzda ularni aylanib o'tishga harakat qilmayaptimi?

"Bu Pifagor teoremasini rad etishga urinish kabi." Teoremalarning qat'iy mantiqiy isboti bor. Shu bilan birga, Gödel teoremalarini qo'llash bo'yicha cheklovlarni topishga harakat qilinmoqda. Lekin asosan munozaralar Gödel teoremalarining falsafiy ta'siri atrofida aylanadi.

- Gödelning Xudo borligi haqidagi isboti qanchalik rivojlangan? Tugadimi?

"Bu batafsil ishlab chiqilgan, garchi olimning o'zi o'limigacha uni nashr etishga jur'at etmagan." Gödel ontologik (metafizik. -) rivojlanadi. "NS") argument birinchi marta Kenterberilik Anselm tomonidan taklif qilingan. Qisqartirilgan shaklda bu dalilni quyidagicha ko'rsatish mumkin: “Xudo, ta'rifiga ko'ra, Undan buyukroq narsani tasavvur qilib bo'lmaydi. Xudo fikrlashda mavjud. Ammo voqelikdagi mavjudlik faqat fikrdagi mavjudlikdan ko'proqdir. Shuning uchun Xudo mavjud bo'lishi kerak ". Anselmning argumenti keyinchalik Rene Dekart va Gotfrid Vilgelm Leybnits tomonidan ishlab chiqilgan. Shunday qilib, Dekartning fikricha, borliqdan mahrum bo‘lgan Oliy Komil Zot haqida fikr yuritish mantiqiy ziddiyatga tushib qolish demakdir. Ushbu g'oyalar kontekstida Gödel dalilning o'z versiyasini ishlab chiqadi; u tom ma'noda ikki sahifaga to'g'ri keladi. Afsuski, juda murakkab modal mantiq asoslarini kiritmasdan turib, uning dalillarini keltirish mumkin emas.

Albatta, Gödel xulosalarining mantiqiy benuqsonligi dalil kuchi bosimi ostida odamni imonli bo‘lishga majburlamaydi. Biz sodda bo'lmasligimiz va ontologik dalillar yoki boshqa dalillar yordamida har qanday aqlli odamni Xudoga ishonishga ishontirishimiz mumkinligiga ishonmasligimiz kerak. Imon inson Xudoning oliy transsendental Haqiqatining yaqqol borligi bilan yuzma-yuz kelganda tug'iladi. Ammo ontologik dalillar diniy e'tiqodga olib kelgan kamida bitta odamni nomlashimiz mumkin - yozuvchi Klayv Staples Lyuis, buni uning o'zi tan oldi.

Uzoq kelajak uzoq o'tmishdir

- Zamondoshlar Gödelga qanday munosabatda bo'lishdi? U buyuk olimlardan birortasi bilan do'st bo'lganmi?

- Eynshteynning Prinstondagi yordamchisi guvohlik berishicha, u hayotining so'nggi yillarida u bilan do'st bo'lgan yagona odam Kurt Gödel bo'lgan. Ular deyarli hamma narsada boshqacha edilar - Eynshteyn xushchaqchaq va xushchaqchaq edi, Gödel esa juda jiddiy, butunlay yolg'iz va ishonchsiz edi. Ammo ular umumiy xususiyatga ega edilar: ikkalasi ham fan va falsafaning markaziy masalalariga bevosita va samimiy murojaat qilishdi. Eynshteyn bilan do'stligiga qaramay, Gödel dinga o'ziga xos nuqtai nazarga ega edi. Eynshteyn uchun Xudo bo'lgani kabi, u Xudoning shaxssiz mavjudot sifatidagi g'oyasini rad etdi. Shu munosabat bilan Gödel shunday dedi: "Eynshteynning dini Spinoza va hind falsafasi kabi juda mavhumdir. Spinozaning Xudosi insondan kam; Mening Xudoyim insondan ko'proqdir; chunki Xudo shaxsiyat rolini o'ynashi mumkin." Badanga ega bo'lmagan, lekin biz bilan muloqot qila oladigan va dunyoga ta'sir qiladigan ruhlar bo'lishi mumkin."

- Qanday qilib Gödel Amerikaga keldi? Natsistlardan qochib ketdingizmi?

— Ha, natsistlar uni oriy va buyuk olim deb tan olib, harbiy xizmatdan ozod qilishlariga qaramay, 1940 yilda Germaniyadan Amerikaga kelgan. U rafiqasi Adel bilan Rossiya orqali Trans-Sibir temir yo'li bo'ylab yo'l oldi. U bu sayohat haqida hech qanday xotira qoldirmadi. Adel faqat tunda doimiy qo'rquvni eslaydi, ular uni to'xtatib, orqaga qaytarishadi. Amerikada sakkiz yil yashab, Gödel AQSh fuqaroligini oldi. Fuqarolikka da'vogarlar singari u ham Amerika Konstitutsiyasiga oid savollarga javob berishi kerak edi. U vijdonli odam bo'lgani uchun bu imtihonga juda puxta tayyorgarlik ko'rdi. Nihoyat, u Konstitutsiyada nomuvofiqlikni aniqlaganini aytdi: "Men Qo'shma Shtatlar diktaturaga aylanishi mumkin bo'lgan mantiqiy qonuniy imkoniyatni topdim". Uning do'stlari, Gödel argumentining mantiqiy afzalliklaridan qat'i nazar, bu imkoniyat faqat faraziy xususiyatga ega ekanligini tan oldilar va imtihonda bu mavzu haqida uzoq gapirishdan ogohlantirdilar.

- Gödel va Eynshteyn ilmiy ishda bir-birining g'oyalaridan foydalanganmi?

— 1949-yilda Gödel oʻzining kosmologik gʻoyalarini matematik inshoda ifodalagan, bu Albert Eynshteynning fikricha, umumiy nisbiylik nazariyasiga muhim hissa boʻlgan. Gödel vaqt - "dunyo va bizning mavjudligimizning asosini tashkil etuvchi sirli va ayni paytda o'ziga qarama-qarshilik" - oxir-oqibat eng katta illyuziyaga aylanishiga ishondi. U "bir kun" mavjud bo'lishni to'xtatadi va mavjudlikning boshqa shakli keladi, uni abadiylik deb atash mumkin. Vaqt haqidagi bu g'oya buyuk mantiqshunosni kutilmagan xulosaga olib keldi. U shunday deb yozgan edi: "Men ilohiyotdan qat'i nazar, keyingi hayotga aminman. Agar dunyo aqlli tarzda yaratilgan bo'lsa, unda keyingi hayot bo'lishi kerak."

- "Vaqt o'z-o'zidan qarama-qarshi bo'lgan mavjudotdir." G'alati eshitiladi; bu jismoniy ma'noga egami?

- Gödel Eynshteyn tenglamasi doirasida uzoq o'tmish va uzoq kelajak mos keladigan yopiq vaqtli kosmologik modelni qurish mumkinligini ko'rsatdi. Ushbu modelda vaqt sayohati nazariy jihatdan mumkin bo'ladi. Bu g'alati tuyuladi, lekin matematik jihatdan ifodalanishi mumkin - bu nuqta. Ushbu model eksperimental ta'sirga ega bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Bu yangi kosmologik modellarni yaratishda foydali bo'lishi yoki keraksiz bo'lib chiqishi mumkin bo'lgan nazariy konstruktsiyadir. Zamonaviy nazariy fizika, xususan, kvant kosmologiyasi shunday murakkab matematik tuzilishga egaki, bu tuzilmalarga aniq falsafiy tushuncha berish juda qiyin. Bundan tashqari, uning ba'zi nazariy dizaynlari hozirgacha eksperimental ravishda tekshirib bo'lmaydi, chunki ularni tekshirish juda yuqori energiyali zarralarni aniqlashni talab qiladi. Odamlar Katta adron kollayderining ishga tushirilishidan qanday xavotirga tushganini eslang: OAV odamlarni dunyoning oxiri yaqinlashayotganidan doimo qo‘rqitib turardi. Aslida, kvant kosmologiyasi modellarini va "katta birlashtirilgan nazariyalar" ni sinab ko'rish uchun jiddiy ilmiy tajriba o'tkazildi. Agar Xiggs zarralari deb ataladigan narsalarni aniqlash mumkin bo'lsa, bu bizning koinotimiz mavjudligining eng dastlabki bosqichlarini tushunishimizda yana bir qadam bo'lar edi. Ammo eksperimental ma'lumotlar mavjud bo'lmasa-da, kvant kosmologiyasining raqobatdosh modellari shunchaki matematik modellar bo'lib qolmoqda.

Imon va sezgi

— “...Mening Xudoyim insondan ham ko'proqdir; chunki Xudo inson rolini o'ynashi mumkin ..." Shunday bo'lsa-da, Gödelning e'tiqodi pravoslav e'tirofidan uzoqmi?

- Gödelning e'tiqodi haqidagi bayonotlarining juda oz qismi saqlanib qolgan; ular asta-sekin to'plangan. 1941 yilda Gödel argumentning o'z versiyasining birinchi loyihalarini yaratganiga qaramay, u hamkasblarining masxaralaridan qo'rqib, 1970 yilgacha bu haqda gapirmadi. 1970 yil fevral oyida u o'lim yaqinlashayotganini sezib, yordamchisiga o'z isbotining nusxasini ko'chirishga ruxsat berdi. 1978 yilda Gödel o'limidan so'ng, uning maqolalarida ontologik dalillarning biroz boshqacha versiyasi topildi. Kurt Gödelning rafiqasi Adel, erining o'limidan ikki kun o'tib, Gödel, "u cherkovga bormagan bo'lsa-da, dindor edi va har yakshanba kuni ertalab yotoqda Injilni o'qiydi", dedi.

Biz Gödel, Eynshteyn yoki Galiley yoki Nyuton kabi olimlar haqida gapirganda, ular ateist bo'lmaganligini ta'kidlash kerak. Ular koinotning orqasida Aql, o'ziga xos Oliy kuch borligini ko'rdilar. Ko'pgina olimlar uchun Oliy Aqlning mavjudligiga ishonch ularning ilmiy aks ettirish natijalaridan biri edi va bu mulohaza har doim ham inson va Xudo o'rtasida chuqur diniy aloqaning paydo bo'lishiga olib kelavermaydi. Gödelga nisbatan aytishimiz mumkinki, u bu aloqaga ehtiyoj sezgan, chunki u teist ekanligini va Xudoni shaxs sifatida o'ylaganligini ta'kidlagan. Lekin, albatta, uning e'tiqodini pravoslav deb atash mumkin emas. U, ta'bir joiz bo'lsa, "uy lyuteran" edi.

— Tarixiy misollar keltira olasizmi: turli olimlar qanday qilib Xudoga ishonishadi? Mana, genetik Frensis Kollinz, o'z e'tiroflariga ko'ra, DNK tuzilishini o'rganish uni Xudoga ishonishga olib keldi ...

— Xudo haqidagi tabiiy bilimning o'zi Xudoni bilish uchun etarli emas. Tabiatni o'rganish orqali Xudoni kashf etishning o'zi etarli emas, Xudo insonga bergan Vahiy orqali Uni bilishni o'rganish muhimdir. Insonning iymonga kelishi, u olim bo‘ladimi yoki yo‘qmi, har doim faqat mantiqiy yoki ilmiy dalillardan tashqariga chiqadigan narsaga tayanadi. Frensis Kollinzning yozishicha, u 27 yoshida o'zi bilan va Klayv Staples Lyuis ta'siri ostida uzoq davom etgan intellektual munozaralardan so'ng imonga kelgan. Ikki kishi bir xil tarixiy vaziyatda, bir xil boshlang'ich sharoitda: biri imonga, ikkinchisi ateistga aylanadi. Birinchisi, DNKni o'rganish Xudoning mavjudligiga ishonishga olib keladi. Boshqa tadqiqot va bu xulosaga kelmaydi. Ikki kishi rasmga qaraydi: biri uni go'zal deb o'ylaydi, ikkinchisi: "Shunday qilib, oddiy rasm!" Birida did, sezgi bor, ikkinchisida esa yo'q. Pravoslav Sankt-Tixon gumanitar universiteti professori, falsafa fanlari doktori, birinchi ma'lumotli matematik Vladimir Nikolaevich Katasonov shunday deydi: "Matematikada hech qanday dalil sezgisiz mumkin emas: matematik avval rasmni ko'radi, keyin esa isbotni shakllantiradi".

Insonning iymonga kelishi haqidagi savol har doim faqat mantiqiy fikrlashdan tashqariga chiqadigan savoldir. Sizni imonga nima yetaklaganini qanday tushuntira olasiz? Odam javob beradi: Men ma'badga bordim, o'yladim, u-bu narsani o'qidim, koinotning uyg'unligini ko'rdim; lekin inson birdan Xudoning huzuriga duch kelganini biladigan eng muhim, eng istisno daqiqani ifodalab bo'lmaydi. Bu har doim sir.

— Zamonaviy ilm-fan hal qila olmaydigan muammolarni aniqlay olasizmi?

— Zero, ilm-fan yetarlicha ishonchli, mustaqil va yaxshi rivojlanayotgan korxona bunchalik qattiq gapirish uchun. Bu inson qo'lida yaxshi va juda foydali vositadir. Frensis Bekon davridan beri bilim haqiqatan ham dunyoni o'zgartiruvchi kuchga aylandi. Fan o‘zining ichki qonuniyatlari asosida rivojlanadi: olim olam qonunlarini idrok etishga intiladi va bu izlanish muvaffaqiyatga erishishiga shubha yo‘q. Lekin, shu bilan birga, ilmning chegaralarini tan olish kerak. Ilm-fan bilan bog'liq holda ko'tarilishi mumkin bo'lgan mafkuraviy masalalarni aralashtirib yubormaslik kerak. Bugungi kunda asosiy muammolar ilmiy uslub bilan emas, balki qiymat yo'nalishlari bilan bog'liq. Yigirmanchi asr davomida ilm-fan odamlar tomonidan insoniyat taraqqiyotiga hissa qo'shadigan mutlaq ne'mat sifatida qabul qilingan; va biz yigirmanchi asr inson qurbonlari jihatidan eng shafqatsiz bo'lganini ko'ramiz. Va bu erda ilmiy taraqqiyot, umuman bilim qadriyatlari haqida savol tug'iladi. Axloqiy qadriyatlar fanning o'zidan kelib chiqmaydi. Zo'r olim butun insoniyatni yo'q qilish uchun qurol ixtiro qilishi mumkin va bu olimning ma'naviy javobgarligi haqida savol tug'diradi, bunga fan javob bera olmaydi. Ilm insonga uning mavjudligining mazmuni va maqsadini ko'rsata olmaydi. Ilm hech qachon savolga javob bera olmaydi, nega biz bu erdamiz? Koinot nima uchun mavjud? Bu savollar falsafa va din kabi bilimning boshqa darajasida hal qilinadi.

- Gödel teoremalaridan tashqari, ilmiy uslubning o'z chegaralari borligi haqida boshqa dalillar bormi? Olimlarning o'zlari buni tan olishadimi?

— 20-asr boshlaridayoq faylasuflar Bergson va Gusserl tabiat toʻgʻrisidagi ilmiy bilimlarning nisbiy ahamiyatini taʼkidlagan edilar. Hozirgi vaqtda fan faylasuflari orasida ilmiy nazariyalar hodisalarni tushuntirishning faraziy modellarini ifodalaydi, degan deyarli universal e'tiqodga aylandi. Kvant mexanikasini yaratuvchilardan biri Ervin Shredinger elementar zarrachalar faqat tasvir ekanligini, ammo ularsiz biz osonlik bilan ish tutishimiz mumkinligini aytdi. Faylasuf va mantiqchi Karl Popperning fikricha, ilmiy nazariyalar biz dunyoni ushlashga harakat qiladigan to'rga o'xshaydi, ular fotosuratga o'xshamaydi. Ilmiy nazariyalar doimiy rivojlanish va o'zgarishlarda. Pauli, Bor, Geyzenberg kabi kvant mexanikasi yaratuvchilari ilmiy uslubning chegaralari haqida gapirdilar. Pauli shunday deb yozgan edi: "...Fizika va psixikani bir xil voqelikning qo'shimcha jihatlari sifatida ko'rib chiqish mumkin" - va mavjudlikning yuqori darajalarining quyi darajalarga qaytarilmasligiga qaratilgan. Turli tushuntirishlar bir vaqtning o'zida materiyaning faqat bir tomonini qamrab oladi, ammo keng qamrovli nazariyaga hech qachon erishib bo'lmaydi.

Koinotning go'zalligi va uyg'unligi uni ilmiy usullar bilan bilish imkoniyatini nazarda tutadi. Shu bilan birga, nasroniylar har doim bu moddiy olam ortidagi sirning tushunarsizligini tushunishgan. Olamning o‘zida asos yo‘q va borliqning mukammal manbai – Xudoga ishora qiladi.

Hayot ekologiyasi. Fan va kashfiyot: Matematik mantiqning eng mashhur teoremalaridan biri bo'lgan Gödelning to'liqsizlik teoremasi ham omadli, ham omadsizdir. Bunda u Eynshteynning maxsus nisbiylik nazariyasiga o'xshaydi. Bir tomondan, deyarli hamma ular haqida biror narsa eshitgan. Boshqa talqinga ko'ra, Eynshteyn nazariyasi "dunyodagi hamma narsa nisbiy ekanligini aytadi".

Teorema Gödel to'liqsizlik haqida, matematik mantiqning eng mashhur teoremalaridan biri, bir vaqtning o'zida omadli va omadsizdir. Bunda u Eynshteynning maxsus nisbiylik nazariyasiga o'xshaydi.

Bir tomondan, deyarli hamma ular haqida biror narsa eshitgan. Boshqa tomondan, mashhur talqinda Eynshteyn nazariyasi, Ma'lumki, " dunyoda hamma narsa nisbiy ekanligini aytadi" A Gödelning to'liqsizlik teoremasi(bundan buyon matnda TGN), taxminan bir xil bepul xalq formulasida, " inson ongi uchun tushunarsiz narsalar borligini isbotlaydi».

Va shuning uchun ba'zilar buni qasam ichishga qarshi dalil sifatida moslashtirishga harakat qilmoqdalar erializm , boshqalar esa, aksincha, uning yordami bilan isbotlaydilar, xudo yo'qligini . Qizig'i shundaki, ikkala tomon ham bir vaqtning o'zida to'g'ri bo'la olmaydi, balki na biri, na boshqasi bu teorema aslida nimani anglatishini tushunishga qiynalmaydi.

Xo'sh? Quyida men sizga bu haqda "barmoqlarda" aytib berishga harakat qilaman. Mening taqdimotim, albatta, qat'iy bo'lmagan va intuitiv bo'ladi, lekin men matematiklardan meni qat'iy hukm qilmasliklarini so'rayman. Matematik bo'lmaganlar uchun (aslida men ulardan biriman) quyida tavsiflangan narsalarda yangi va foydali narsa bo'lishi mumkin.

Matematik mantiq haqiqatan ham juda murakkab fan va eng muhimi, unchalik tanish emas. Bu ehtiyotkorlik va qat'iy manevrlarni talab qiladi, bunda haqiqatda isbotlangan narsani "allaqachon aniq" bilan aralashtirib yubormaslik kerak. Ammo, umid qilamanki, quyidagi "TGN isbotining sxemasi" ni tushunish uchun o'quvchiga faqat o'rta maktab matematika/informatika fanlari, mantiqiy fikrlash qobiliyatlari va 15-20 daqiqa vaqt kerak bo'ladi.

Bir oz soddalashtirish uchun, TGN ta'kidlashicha, etarlicha murakkab tillarda isbotlab bo'lmaydigan gaplar mavjud. Ammo bu iborada deyarli har bir so'z tushuntirishga muhtoj.

Keling, dalil nima ekanligini aniqlashga harakat qilaylik. Keling, maktab arifmetik muammosini olaylik. Misol uchun, siz quyidagi oddiy formulaning to'g'riligini isbotlashingiz kerak deylik: “∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)” (sizga ∀ belgisi o'qilganligini eslatib o'taman) "har qanday uchun" va "universal kvantifikator" deb ataladi). Siz buni xuddi shunday o'zgartirish orqali isbotlashingiz mumkin, masalan:

    ∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)

    ∀xx2−3x+2−2=x2−3x

    ∀xx2−3x–x2+3x=0

    ∀x0=0

    TO'G'RI

Bir formuladan ikkinchisiga o'tish ma'lum ma'lum qoidalarga muvofiq sodir bo'ladi. 4-formuladan 5-ga o'tish, aytaylik, har bir raqam o'ziga teng bo'lganligi sababli sodir bo'ldi - bu arifmetika aksiomasi. Shunday qilib, butun isbotlash protsedurasi formulani mantiqiy TRUE qiymatiga aylantiradi. Natija ham yolg'on bo'lishi mumkin - agar biz biron bir formulani rad qilsak. Bunday holda biz uning inkorini isbotlagan bo'lardik. Inson aralashuvisiz o'xshash (va murakkabroq) bayonotlarni isbotlaydigan dasturni (va bunday dasturlar aslida yozilgan) tasavvur qilish mumkin.

Keling, xuddi shu narsani biroz rasmiyroq bayon qilaylik. Keling, ba'zi alifbodagi belgilar qatorlaridan iborat to'plamga ega bo'lamiz va bu qatorlardan S kichik to'plamini tanlashimiz mumkin bo'lgan qoidalar mavjud. so'z birikmalari - ya'ni har biri to'g'ri yoki yolg'on bo'lgan grammatik ma'noli iboralar.. Aytishimiz mumkinki, S dan ikkita qiymatdan biri: TRUE yoki FALSE (ya'ni ularni ikkita elementdan iborat B mantiqiy to'plamiga moslashtiradi) dan biriga S dan bayonotlarni tayinlaydigan P funktsiyasi mavjud.

Keling, bu juftlikni chaqiraylik- S iboralar to'plami va P funktsiyasi >S dan B gacha - "bayonotlar tili". E'tibor bering, kundalik ma'noda til tushunchasi biroz kengroqdir. Masalan, ruscha ibora " Bu yerga kel!"to'g'ri ham, yolg'on ham emas, ya'ni matematik mantiq nuqtai nazaridan bu bayonot emas.

Quyidagilar uchun bizga algoritm tushunchasi kerak. Men bu erda uning rasmiy ta'rifini bermayman - bu bizni juda uzoqqa yo'ldan ozdiradi. Men o'zimni norasmiy bilan cheklayman: "algoritm" - bu aniq ko'rsatmalar ("dastur") ketma-ketligi bo'lib, u cheklangan miqdordagi bosqichlarda dastlabki ma'lumotlarni natijaga aylantiradi.

Kursiv bilan yozilgan narsa juda muhim - agar dastur ba'zi bir dastlabki ma'lumotlarga aylansa, u algoritmni tasvirlamaydi. Oddiylik va bizning holatimizga tatbiq qilish uchun o'quvchi algoritm bu o'ziga ma'lum bo'lgan har qanday dasturlash tilida yozilgan dastur, deb hisoblashi mumkin, bu ma'lum sinfdan har qanday kirish ma'lumotlari uchun mantiqiy natijani keltirib chiqaradigan ishini yakunlash kafolatlanadi.

Keling, o'zimizga savol beraylik: har bir P funktsiyasi uchun "tasdiqlash algoritmi" mavjud (yoki qisqasi, " deduktiv"), bu funktsiyaga ekvivalentmi, ya'ni har bir bayonotni aynan bir xil mantiqiy qiymatga aylantiradimi? Xuddi shu savolni yanada aniqroq shakllantirish mumkin: Bir qator bayonotlar ustidagi har bir funktsiyani hisoblash mumkinmi?

Siz allaqachon taxmin qilganingizdek, TGN ning haqiqiyligidan kelib chiqadiki, yo'q, har bir funktsiya emas - bu turdagi hisoblab bo'lmaydigan funktsiyalar mavjud. Boshqa so'zlar bilan aytganda, Har bir to'g'ri bayonotni isbotlab bo'lmaydi.

Bu gap sizda ichki norozilikka sabab bo'lishi juda mumkin. Bu bir nechta holatlarga bog'liq. Birinchidan, bizga maktab matematikasini o'rgatishganda, biz ba'zan "X teorema to'g'ri" va "X teoremani isbotlash yoki tekshirish mumkin" iboralari deyarli bir xil degan noto'g'ri taassurotga ega bo'lamiz.

Ammo, agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, bu umuman aniq emas. Ba'zi teoremalar juda oddiy isbotlangan (masalan, oz sonli variantlarni sinab ko'rish orqali), boshqalari esa juda qiyin. Masalan, mashhur Buyukni eslaylik Ferma teoremasi:

Tabiiy x,y,z va n>2 mavjud emaski, xn+yn=zn,

buning isboti birinchi formuladan atigi uch yarim asr o'tgach topilgan (va u elementar emas). BILAN Gapning haqiqati va uning isbotlanishini farqlash kerak. Hech qayerdan hech qanday to'g'ri, ammo tasdiqlanmaydigan (va to'liq tekshirib bo'lmaydigan) bayonotlar yo'q degan xulosa chiqarmaydi.

TGNga qarshi ikkinchi intuitiv argument yanada nozikroq. Aytaylik, bizda isbotlab bo'lmaydigan (bu deduktiv doirasida) bayonot bor. Uni yangi aksioma sifatida qabul qilishimizga nima xalaqit beradi? Shunday qilib, biz dalillar tizimimizni biroz murakkablashtiramiz, ammo bu qo'rqinchli emas.

Agar chekli sonda isbotlanmaydigan bayonotlar mavjud bo'lsa, bu dalil to'liq to'g'ri bo'lar edi. Amalda, quyidagilar sodir bo'lishi mumkin: yangi aksiomani qo'ygandan so'ng, siz yangi isbotlanmagan bayonotga qoqilib qolasiz. Agar siz uni boshqa aksioma sifatida qabul qilsangiz, uchinchisiga qoqilib qolasiz. Va shunga o'xshash infinitum.

Ular shunday deyishadi chegirma to'liqsiz qoladi. Shuningdek, biz isbotlash algoritmini tilning har qanday talaffuzi uchun ma'lum bir natija bilan cheklangan miqdordagi bosqichlarda tugatishga majburlashimiz mumkin. Ammo shu bilan birga, u yolg'on gapira boshlaydi - noto'g'ri bayonotlar uchun haqiqatga yoki sodiqlar uchun yolg'onga olib keladi.

Bunday hollarda chegirma qarama-qarshidir, deyishadi. Shunday qilib, TGN ning boshqa formulasi shunday eshitiladi: " To'liq izchil deduktiv jarayonni amalga oshirish mumkin bo'lmagan taklif tillari mavjud." - shuning uchun teorema nomi.

Ba'zan "Gödel teoremasi" deb ataladigan bayonot shundan iboratki, har qanday nazariya nazariyaning o'zi doirasida hal etilmaydigan va uni umumlashtirishni talab qiladigan muammolarni o'z ichiga oladi. Qaysidir ma'noda bu to'g'ri, garchi bu formula muammoni aniqlashtirish o'rniga, uni yashirishga intiladi.

Shuni ham ta'kidlab o'tamanki, agar biz haqiqiy sonlar to'plamiga mos keladigan tanish funktsiyalar haqida gapiradigan bo'lsak, unda funktsiyaning "hisoblab bo'lmasligi" hech kimni ajablantirmaydi ("hisoblash mumkin bo'lgan funktsiyalar" va "hisoblash mumkin bo'lgan raqamlar" ni chalkashtirmang. ” - bular har xil narsalar).

Kurt Gödel

Har qanday maktab o'quvchisi biladiki, aytaylik, sin⁡x funksiyasi bo'lsa, bu funktsiya qiymatining aniq o'nli ko'rinishini hisoblash jarayoni cheklangan sonda yakunlanishi uchun siz argument bilan juda omadli bo'lishingiz kerak. qadamlar.

Ammo, ehtimol, siz uni cheksiz ketma-ketlikdan foydalanib hisoblaysiz va bu hisob hech qachon aniq natijaga olib kelmaydi, garchi u sizga xohlagancha yaqinlashsa ham - shunchaki, chunki ko'pchilik argumentlarning sinus qiymati mantiqsizdir. TGN shunchaki aytadiki, hatto argumentlari satr bo'lgan va qiymatlari nol yoki bitta bo'lgan funktsiyalar orasida, ular butunlay boshqacha tuzilishga ega bo'lsa-da, hisoblab bo'lmaydigan funktsiyalar ham mavjud.

Keyingi maqsadlar uchun biz "rasmiy arifmetika tili" ni ta'riflaymiz. Arab raqamlari, tabiiy qiymatlarni, bo'shliqlarni, arifmetik belgilarni, tenglik va tengsizlikni, ∃ ("mavjud") va ∀ ("har qanday") kvantifikatorlarini qabul qiluvchi arab raqamlari, o'zgaruvchilar (lotin alifbosi harflari) dan iborat cheklangan uzunlikdagi matn satrlari sinfini ko'rib chiqing. va, ehtimol, ba'zi boshqa belgilar (ularning aniq soni va tarkibi biz uchun ahamiyatsiz).

Bunday satrlarning hammasi ham ma’noli emasligi aniq (masalan, “12=+∀x>” – bema’nilik). Ushbu sinfdagi ma'noli iboralarning kichik to'plami (ya'ni oddiy arifmetika nuqtai nazaridan to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lgan satrlar) bizning bayonotlar to'plamimiz bo'ladi.

Rasmiy arifmetik bayonotlarga misollar:

    1=1

    2×2=5

    ∃xx>3

    ∀y∀zy×z>y+ z

va hokazo. Endi "erkin parametrli formula" (FSP) ni ushbu parametr sifatida natural son o'rniga qo'yilsa, bayonotga aylanadigan satr deb ataymiz. FSP ga misollar (x parametri bilan):

    x=0

    2×2=x

    ∃yx+y>x

va hokazo. Boshqacha qilib aytganda, FSPlar mantiqiy qiymatlarga ega bo'lgan tabiiy argument funktsiyalariga ekvivalentdir.

Keling, barcha FSPlar to'plamini F harfi bilan belgilaylik. Uni buyurtma qilish mumkinligi aniq (masalan, avval alifbo tartibida bir harfli formulalarni, keyin ikki harfli formulalarni va hokazolarni yozamiz; bu muhim emas. bizga buyurtma qaysi alifboda bo'ladi). Shunday qilib, har qanday FSP tartiblangan ro'yxatdagi uning k raqamiga mos keladi va biz uni Fk deb belgilaymiz.

Keling, quyidagi formulada TGN isbotining eskiziga o'tamiz:

Rasmiy arifmetikaning taklif tili uchun to'liq izchil deduktiv tizim mavjud emas.

Biz buni qarama-qarshilik bilan isbotlaymiz.

Shunday qilib, shunday deduktiv tizim mavjud deb faraz qilaylik. K natural soniga mantiqiy qiymat beradigan quyidagi yordamchi algoritm A ni quyidagicha tasvirlaymiz:

1. F ro‘yxatdagi k-formulani toping.

2. Argument sifatida unga k sonini qo‘ying.

3. Biz isbotlash algoritmimizni natijaviy bayonotga qo'llaymiz (bizning taxminimiz bo'yicha, u mavjud), bu uni TRUE yoki FALSE ga aylantiradi.

4. Olingan natijaga mantiqiy inkorni qo'llang.

Oddiy qilib aytganda, algoritm ro'yxatimizdagi FSPda o'z raqamini almashtirish natijasi noto'g'ri bayonot bergan taqdirdagina TRUE qiymatini beradi.

Bu erda biz o'quvchidan so'zimni qabul qilishni so'raydigan yagona joyga keldik.

Ko'rinib turibdiki, yuqorida keltirilgan taxminga ko'ra, F dan har qanday FSP kirishda natural son va chiqishda mantiqiy qiymatni o'z ichiga olgan algoritm bilan bog'lanishi mumkin.

Qarama-qarshilik kamroq aniq:

Lemma: natural sonni mantiqiy qiymatga aylantiruvchi har qanday algoritm F to'plamidagi ba'zi FSP ga mos keladi.

Ushbu lemmaning isboti algoritm tushunchasini intuitiv emas, balki hech bo'lmaganda rasmiy ta'rifini talab qiladi. Biroq, agar siz bu haqda bir oz o'ylab ko'rsangiz, bu juda mantiqiy.

Aslida, algoritmlar algoritmik tillarda yozilgan bo'lib, ular orasida, masalan, sakkizta bitta belgidan iborat bo'lgan Brainfuck kabi ekzotik tillar mavjud bo'lib, ularda har qanday algoritmni amalga oshirish mumkin. Agar biz tasvirlab bergan rasmiy arifmetika formulalarining yanada boy tili kambag'al bo'lib chiqsa, g'alati bo'lar edi - garchi, shubhasiz, u oddiy dasturlash uchun unchalik mos emas.

Ushbu sirpanchiq joydan o'tib, biz tezda oxiriga yetamiz.

Shunday qilib, yuqorida biz A algoritmini tasvirlab berdik. Men sizdan ishonishingizni so'ragan lemmaga ko'ra, ekvivalent FSP mavjud. Uning F ro'yxatida ba'zi raqam bor - aytaylik, n. Keling, o'zimizga savol beraylik, Fn(n) nima? Bu HAQIQAT bo'lsin. Keyin, A algoritmini qurishga ko'ra (va shuning uchun Fn ekvivalent funktsiyasi), bu Fn funktsiyasiga n raqamini almashtirish natijasi YOLG'ON ekanligini anglatadi.

Teskari bir xil tarzda tekshiriladi: Fn(n)=YOLG‘ON dan Fn(n)=TRUE bo‘ladi. Biz qarama-qarshilikka erishdik, ya'ni dastlabki taxmin noto'g'ri. Shunday qilib, rasmiy arifmetika uchun to'liq izchil deduktiv tizim mavjud emas. Q.E.D.

Bu o'rinda Epimenidni eslash o'rinli bo'ladi, u, ma'lumki, barcha Kritliklar yolg'onchi, o'zi esa Kritlik deb e'lon qilgan. O'z bayonotining qisqaroq ifodasida ("yolg'onchi paradoks" deb nomlanadi) quyidagicha shakllantirish mumkin: " yolg'on gapiraman" Aynan mana shu gapning o'zi yolg'onligini e'lon qiladi, biz isbot uchun foydalandik.

Xulosa qilib shuni ta'kidlashni istardimki, TGN hech qanday ajablantiradigan narsaga da'vo qilmaydi. Axir hamma ham hamma raqamlarni ikkita butun son nisbati sifatida ifodalash mumkin emasligiga uzoq vaqtdan beri o‘rganib qolgan (esda tutingki, bu bayonotda ikki ming yildan ortiqroq bo‘lgan juda nafis dalil bormi?).Va ratsional koeffitsientli ko'phadlarning ildizlari hamma raqamlar ham emas . Va endi tabiiy argumentning barcha funktsiyalarini hisoblash mumkin emasligi ma'lum bo'ldi.

Berilgan isbotning eskizi rasmiy arifmetika uchun edi, lekin TGN ko'plab boshqa taklif tillari uchun qo'llanilishini ko'rish oson. Albatta, hamma tillar ham shunday emas. Masalan, tilni quyidagicha belgilaymiz:

"Xitoy tilidagi har qanday ibora, agar u o'rtoq Mao Tszedunning iqtibos kitobida mavjud bo'lsa, to'g'ri bayonotdir, agar u mavjud bo'lmasa, noto'g'ri."

Keyin tegishli to'liq va izchil isbotlash algoritmi (uni "dogmatik deduktiv" deb atash mumkin) quyidagicha ko'rinadi:

“Oʻzingiz izlayotgan soʻzni topmaguningizcha, oʻrtoq Mao Tszedunning iqtiboslar kitobini varaqlang. Agar topilsa, to‘g‘ri, lekin iqtibos kitobi tugasa va gap topilmasa, bu noto‘g‘ridir”.

Bu erda bizni qutqaradigan narsa shundaki, har qanday iqtibos kitobi aniq cheklangan, shuning uchun "isbotlash" jarayoni muqarrar ravishda tugaydi. Shunday qilib, TGN dogmatik bayonotlar tiliga taalluqli emas. Ammo biz murakkab tillar haqida gapirgan edik, shunday emasmi? nashr etilgan